4.1.2轨迹方程
高一数学必修二 4.1.2 圆的一般方程
知识梳理
12
【做一做2】 已知点P(x0,y0)是圆x2+y2=4上的动点,点M是OP(O
是原点)的中点,则动点M的轨迹方程是
.
答案:x2+y2=1
重难点突破
12
1.圆的标准方程和一般方程的对比 剖析:(1)由圆的标准方程(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0),可以直接看出圆 心坐标(a,b)和半径r,圆的几何特征明显. (2)由圆的一般方程x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0),知道圆的 方程是一种特殊的二元二次方程,圆的代数特征明显. (3)相互转化,如图所示.
知识梳理
12
【做一做1-1】 圆x2+y2-2x+4y=0的圆心坐标是 ( ) A.(1,-2) B.(1,2) C.(-1,2) D.(-1,-2)
解析:D=-2,E=4,则圆心坐标为 - -2 ,- 4 , 即(1,-2).
22
答案:A
知识梳理
12
【做一做1-2】 圆x2+y2-6x+8y=0的半径等于 ( ) A.3 B.4 C.5 D.25
高一数学必修二教学课件
第四章 圆与方程
4.1.2 圆的一般方程
学习目标
1.正确理解圆的一般方程及其特点. 2.能进行圆的一般方程和标准方程的互化. 3.会求圆的一般方程以及简单的轨迹方程.
知识梳理
12
1.圆的一般方程 (1)方程:当 D2+E2-4F>0 时,方程 x2+y2+Dx+Ey+F=0 叫做圆的一
;当
Hale Waihona Puke D2+E2-4F<0 时,不表示任何图形.
自动控制原理 第四章 根轨迹法
第4章 根 轨 迹 法根轨迹法是分析和设计线性控制系统的图解方法，使用简便，在控制工程上得到了广泛应用。
本章首先介绍根轨迹的基本概念，然后重点介绍根轨迹绘制的基本法则，在此基础上，进一步讨论广义根轨迹的问题，最后介绍控制系统的根轨迹分析方法。
4.1 根轨迹的基本概念4.1.1 根轨迹概念所谓根轨迹，就是系统开环传递函数的某一参数从零变化到无穷时，闭环特征根在s 平面上变化的轨迹。
例如某控制系统的结构图如图4.1所示。
图4.1 控制系统其开环传递函数为()K (0.51)KG s s s =+其闭环传递函数为22()22Ks s s KΦ=++式中：K 为系统开环增益。
于是闭环特征方程可写为2220s s k ++=对上式求解得闭环特征根为1,21s =−令开环增益K 从零变化到无穷，利用上式求出闭环特征根的全部数值，将这些值标注在s 平面上，并连成光滑的粗实线，如图4.2所示，该粗实线就称为系统的根轨迹。
箭头表示随K 值增加根轨迹的变化趋势。
这种通过求解特征方程来绘制根轨迹的方法，称之为解析法。
画出根轨迹的目的是利用根轨迹分析系统的各种性能。
通过第3章的学习知道，系统第4章 根轨迹法·101··101·特征根的分布与系统的稳定性、暂态性能密切相关，而根轨迹正是直观反应了特征根在复平面的位置以及变化情况，所以利用根轨迹很容易了解系统的稳定性和暂态性能。
又因为根轨迹上的任何一点都有与之对应的开环增益值，而开环增益与稳态误差成反比，因而通过根轨迹也可以确定出系统的稳态精度。
可以看出，根轨迹与系统性能之间有着比较密切的联系。
图4.2 控制系统根轨迹4.1.2 根轨迹方程对于高阶系统，求解特征方程是很困难的，因此采用解析法绘制根轨迹只适用于较简单的低阶系统。
而高阶系统根轨迹的绘制是根据已知的开环零、极点位置，采用图解的方法来实现的。
下面给出图解法绘制根轨迹的根轨迹方程。
高二上数学知识点轨迹方程
高二上数学知识点轨迹方程高二上数学知识点——轨迹方程数学是一门抽象而精确的学科，其中轨迹方程是高中数学中一个非常重要的知识点。
通过学习轨迹方程，我们可以揭示事物运动的规律，并在实际问题中应用数学知识。
本文将详细介绍高二上数学中与轨迹方程相关的知识点，帮助读者全面理解该内容。
1. 直线的轨迹方程在平面几何中，直线是我们最常见的事物之一。
学习直线的轨迹方程，我们可以了解直线的运动规律和性质。
以直线y = kx + b为例，其中k是斜率，b是截距。
通过变化k和b的值，我们可以获得不同斜率和截距下的直线。
这样的轨迹方程可以描述一系列平行或相交的直线的运动轨迹。
2. 圆的轨迹方程圆是数学中一种特殊的曲线，由平面上到一定距离的点构成。
学习圆的轨迹方程，我们可以揭示圆的运动规律和特性。
以圆的标准方程x²+ y²= r²为例，其中r代表圆的半径。
通过改变r的值，我们可以绘制出不同半径的圆的轨迹方程。
同时，通过平移、旋转等变换操作，我们还可以得到其他形状的轨迹方程。
3. 抛物线的轨迹方程抛物线是一种常见的曲线，在物理学、工程领域都有广泛应用。
学习抛物线的轨迹方程，我们可以了解抛物线的形状和特性。
以抛物线的标准方程y = ax² + bx + c为例，其中a、b、c分别代表抛物线的形状参数。
通过改变a、b、c的值，我们可以得到不同形状的抛物线的轨迹方程。
同时，通过平移、缩放等变换操作，我们还可以获得其他变形的轨迹方程。
4. 椭圆的轨迹方程椭圆是一种很特殊的曲线，在天文学、机械制造等领域有广泛应用。
学习椭圆的轨迹方程，我们可以了解椭圆的运动规律和特性。
以椭圆的标准方程x²/a² + y²/b² = 1为例，其中a、b是椭圆的半长轴和半短轴。
通过改变a和b的值，我们可以绘制出不同形状和大小的椭圆的轨迹方程。
同时，通过平移、缩放等变换操作，我们还可以得到其他变形的轨迹方程。
4.1.2圆的一般方程(轨迹问题)(第二课时)
一、代入法求轨迹方程：
例4：已知线段AB的端点B的坐标是 2 2 （4，3）， 端点A在圆 ( x 1) y 4 上运动，求线段AB的中点M的轨迹 方程。
方法总结
代入法也称相关点法：
如果轨迹上的动点P（x,y）依赖于另一动
点Q(a,b)，而Q又按某一个规律运动，则可 先用x,y表示a,b，再把a,b代入点Q所满足
圆的一般方程 （轨迹问题）
学习目标：
由已知条件求出圆的方程及轨迹方程
学习重难点:
根据已知条件求轨迹方程
预备知识：轨迹与轨迹方程 1、什么是轨迹？
符合一定条件的动点所形成的图形，或者 说，符合一定条件的点的全体所组成的集 合，叫做满足该条件的点的轨迹． 2、轨迹与轨迹方程有区别吗？ 轨迹是图形，轨迹方程实际上就是轨迹 曲线的方程，即动点坐标(x,y)满足的关 系式．
2 2
轨迹方程为x 3y 4( x 1)．
10
的条件便得到动点P的轨迹方程。
简记为：先有未知表示已知，再有 已知表示未知
练习：
1、已知点P在圆C： 2 2 x y 8x 6 y 21 0
上运动，求线段OP的中点M的轨迹方程。
2、一个动点在圆：x2+y2=1上运动时，
它与定点（3,0）所连线段的中点P的 轨迹方程是什么？
F 2,0 为
2
二、直接法求轨迹方程：
1.(2010 上海卷)若动点P到点F 2, 0 的距离与它到直线 x 2 0的距离相等，则点P的轨迹方程为 __________
程为y 8x.
方法总结
直接法也称直译法： 将已知条件直接翻译为关于动点的几何关 系，再利用解析几何有关公式（如两点间
高中数学人教A版必修2课件-4.1.2圆的一般方程
（3）(x a)2 y2 a2 b2
为半径的圆
表示以（-a，0）为圆心，以 a2 b2 为半
径的圆
表示点（-a，0）
例：求过三点A(5,1),B (7,-3),C(2,8)的圆的方程 方法一：待定系数法
解：设所求圆的方程为：
x2 y2 Dx Ey F 0
因为A(5,1),B (7,-3),C(2,8)都在圆上
52 12 5D E F 0
72
(1)2
7D
E
F
0
22 82 2D 8E F 0
所求圆的方程为
D 4
E
6
F 12
x2 y2 4x 6 y 12 0
方法二： 几何方法 y
O E
A(5,1)
x
B(7,-3)
C(2,-8)
,
3 2
为圆心，1为半径的圆
点的轨迹方程指的是该点坐标(x,y)满足的关系式； “轨迹”与“轨迹方程”既有区分又有联系，求 “轨迹”时第一要求出“轨迹方程”，然后再说 明方程的所表示的图形。
求轨迹方程的一般步骤: 1.建系,设点;
2.列式,代入;
3.简化,检验.
P123 练习 3
作业布置 P124 A组 第4题 P124 B组 第2、3题
小结：求圆的方程
几何方法
待定系数法
求圆心坐标 （两条直线的交点） （常用弦的中垂线）
求 半径 （圆心到圆上一点的距离）
列关于a，b，r（或D，E，F） 的方程组
写出圆的标准方程
解出a，b，r（或D，E，F）， 写出标准方程（或一般方程）
再如：
(1)x2 y2 2x 4 y 1 0
配方得
圆的一般方程2(求轨迹方程)
推导圆的标准方程 问题：圆心是C(a,b),半径是r的圆的方程是什么？
设点M (x,y)为圆C上任一点，则|MC|= r。
圆上所有点的集合 y M(x,y) O
P = { M | |MC| = r }
( x a ) ( y b) r
2 2
C(a,b)
x
(x-a)2+(y-b)2=r2
解：由题意，以AB中点为原点，边AB所 在的直线为x轴建立直角坐标系, 如图，则A(－a，0)，B(a，0),
xa y , ) 则BC中点为E ( 2 2
设C(x，y)，
因为|AE|=m，所以
xa y 2 2 ( a) ( ) m 2 2
化简得(x+3a)2+y2=4m2. 由于点C在直线AB上时， 不能构成三角形，故去掉曲 线与x轴的两个交点， 从而所求的轨迹方程是 (x+3a)2+y2=4m2. (y≠0)
x y ＝ 1． 即点P的轨迹方程为 25 16
2
2
例1 ：将圆x2+y2 = 4上的点的横坐标保持不变， 纵坐标变为原来的一半，求所的曲线的方程， y 并说明它是什么曲线？ 解： 设所的曲线上任一点的坐标为 2 2 （x，y）,圆 x y ＝４上的
对应点的坐标为（x’，y’），由 题意可得：
0
( x 1) ( y 1) ( x 3) ( y 7)
2 2 2
2
x
曲线的方程
A
将上式两边平方，整理得： x+2y－7=0
③
2
例2 已知圆A：(x＋3)2＋y2＝100，圆A内一 定点B(3，0)，圆P过B点且与圆A内切，求圆心 P的轨迹方程． 解：设｜PB｜＝r．
第4章 根轨迹
m
(s p
j 1
n
1
j
)
因ｓ为复变量，根轨迹方程又可分解为幅值方程和相 角方程。 幅值方程为
K r (s zi )
i 1 m
(s p
j 1
n
1 或
(s z )
i
m
j
)
(s p
j 1
i 1 n
j
)
1 Kr
相角方程为
(s z ) (s p ) (2k 1)
设p3的出射角为θ3，如图所示。
假设s1为根轨迹上的一点，则s1应 满足相角方程
(s
i 1
1
1
z i ) ( s1 p j ) (2k 1)
j 1
4
由此可推得出射角的一般表达式
l ( pl zi ) ( pl p j ) i j
例4-6 已知系统的开环传递函数为
K r (s 1.5)(s 2 4s 5) G( s) H ( s) s(s 2.5)(s 2 s 1.5)
试绘制系统的根轨迹图。
18
7. 根轨迹与虚轴的交点
根轨迹与虚轴的交点是系统稳定与不稳定的分界点，常 常需要求得这一交点和相应的Kr值。 设与虚轴相交的闭环极点为ｓ=jω，代入闭环特征方程得：
根为两个复数根，系统呈欠阻尼 状态，即输出呈衰减振荡形式。 特征根的实部σ为衰减系数，虚 部ω为振荡频率。
4
4.1.2 根轨迹方程
设系统的结构如图所示。 系统的闭环传递函数为
C ( s) G(s) R( s ) 1 G ( s ) H ( s )
开环传递函数的一般表达式为
高中数学 第四章 圆与方程 4.1.2 圆的一般方程教案 新人教A版必修2-新人教A版高一必修2数学
圆的一般方程
例3 点P(10,0),Q 为圆x 2+y 2
=16上一动点.当Q 在圆上运动时,求PQ 的中点M 的轨迹方程.
活动:学生回想求曲线方程的方法与步骤,思考讨论,教师适时点拨提示,此题可利用平面几何的知识,见中点作中线,利用中线定长可得方程,再就是利用求曲线方程的办法来求.
图1
解法一:如图1,作MN∥OQ 交x 轴于N, 那么N 为OP 的中点,即N(5,0). 因为|MN|=
2
1
|OQ|=2(定长). 所以所求点M 的轨迹方程为(x-5)2
+y 2
=4.
点评:用直接法求轨迹方程的关键在于找出轨迹上的点应满足的几何条件,然后再将条件代数化.但在许多问题中,动点满足的几何条件较为隐蔽复杂,将它翻译成代数语言时也有困难,这就需要我们探讨求轨迹问题的新方法.转移法就是一种很重要的方法.用转移法求轨迹方程时,首先分析轨迹上的动点M 的运动情况,探求它是由什么样的点控制的. 解法二:设M(x,y)为所求轨迹上任意一点Q(x 0,y 0).
因为M 是PQ 的中点,所以⎪⎩⎪⎨⎧=-=⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧+=+=.2.102,20,2100000y y x x y y x x 即(*) 又因为Q(x 0,y 0)在圆x 2
+y 2
=16上,所以x 02
+y 02
=16.将(*)代入得 (2x-10)2
+(2y)2
=16.
故所求的轨迹方程为(x-5)2
+y 2
=4.
点评:相关点法步骤:①设被动点M(x,y),主动点Q(x 0,y 0).
②求出点M 与点Q 坐标间的关系⎪⎩⎪⎨⎧==).
,(),
,(002001y x f y y x f x (Ⅰ)。
圆的一般方程
4．1．2圆的一般方程主要概念：圆的一般方程――022=++++F Ey Dx y x (0422>-+F E D )。
轨迹方程-----是指点动点M 的坐标),(y x 满足的关系式。
一、重点难点本节教学重点是掌握圆的一般方程，以及用待定系数法求圆的一般方程，难点是二元二次方程与圆的一般方程的关系及求动点的轨迹方程。
二、教材解读本节教材的理论知识有问题提出、探索研究、思考交流三个板块组成。
编写形式上采用了特殊到一般，由具体到抽象的认知方式。
第一板块问题提出解读方程014222=++-+y x y x 表示什么图形？方程064222=+--+y x y x 表示什么图形？对给出的方程通过配方，化成圆的标准方程的形式，第一个方程为4)2()1(22=++-y x ，它表示以(1，-2)为圆心，2为半径的圆；第二个方程为1)2()1(22-=-+-y x ，由于不存在点的坐标),(y x 满足这个方程，所以它不表示任何图形。
第二板块探索研究解读方程022=++++F Ey Dx y x 在什么条件下表示圆？配方得44)2()2(2222F E D E y D x -+=+++。
(1)当0422>-+F E D 时，方程表示以)2,2(E D --为圆心，F E D 42122-+为半径的圆；(2)当0422=-+F E D 时，方程表示一个点)2,2(E D --；(3)当0422<-+F E D 时，方程不表示任何图形。
关于y x ,的二元二次方程022=+++++F Ey Dx Cy Bxy Ax 成为圆方程的充要条件是(1)2x 和2y 的系数相同且不等于0，即A=C ≠0；(2)没有xy 这样的二次项，即B=0；(3)0422>-+AF E D 。
对于圆的一般方程，要熟练地通过配方法，求出圆的圆心坐标和半径。
根据已知条件求圆的方程，仍然采用待定系数法，但要注意的是待定的方程是设标准方程还是设一般方程，这要根据已知条件而定。
4.1.2 圆的一般方程
(4) 过圆(x－a)2+(y－b)2=r2上一点M(x0 , y0)的切线方程： (x0－a)(x－a)+(y0－b)(y－b) = r 2
特别地，过圆x2+y2=r2上点M(x0 , y0)的切线方程：
y
x0 x + y0 y = r2
P(x , y )
M ( x0 , y0 )
二元二次方程 Ax2 Bxy Cy2 Dx Ey F 0
表示圆
（1） x2 和 y2 的系数相同且不为 0 ，即A=C≠0； （2）没有 xy 这样的二次项，即B=0 . （（3））(xDD2 )22+y2E(E2 -D)24AxF4( F>E0)y0F 0
A AA A A
例1.判断 O(0，0)、A(1，1)、B(4，2) 、 C(7，1)
x2 y2 4x 4y 3 0 相交于C、D 两点，且| CD | 2 .
(1) 求 (a 4)(b 4) 的值；(2) 求线段 AB中点M的轨迹方程；
(3) 求 AOB 面积的最小值.
解：(1) 由题意知直线 AB :
x y 1 (a 4，b 4 ) ab
即 bx ay ab 0 (a 4，b 4 )
此方程叫做圆的一般方程 .
结 论：任何一个圆的方程都可以写成：
x2 y2 Dx Ey F 0的形式，
反过来，当 D2 E2 4F 0 时，
方程 x2 y2 Dx Ey F 0 表示一个圆.
比较圆的标准方程和圆的一般方程：
圆的标准方程 (x a)2 (y b)2 r2
A. .B .
O
由①－②得：a b 1 0 由②－③得：3a b 9 0
4.1.2--圆的一般方程
答案： （1）原点(0,0).
(2)圆心为（， 1 2），半径为 11 的圆；
（3）当a 2 b 2 0时， 圆心为（ a， 0），半径为 a 2 b 2的圆.
当a2 b2 0时，表示一个点（0， 0） .
（4）不表示任何图形
判断下列方程能否表示圆的方程,若能,写出圆心与半径.
【解析】∵x2+y2-2x-4y+4=0, ∴(x-1)2+(y-2)2=1. 圆心(1,2)到直线3x+4y+4=0的距离 3 1 4 2 4 d 3. 2 2 3 4 答案：3
例3.圆C 过点P(1, 2) 和 Q(-2, 3)，且圆C 在两轴 上截得的弦长相等，求圆C 的方程 答案： E = 3D 8，F = 11 7D，|E| = |D| 所求圆的方程为：x2 y2 4x 4y 17 = 0 或 x2 y2 2x 2y 3 = 0
（1）当 D2 E 2 4F 0 时， 方程 x y Dx Ey F 0 表示以
2 2
(
D E , ) 为圆心， 2 2
1 D 2 E 2 4 F 为半径的圆. 2
（2）当 D2 E 2 4F 0 时，
D 2 E 2 D2 E 2 4F 方程 ( x ) ( y ) 2 2 4
(1) x2 y 2 2 x 4 y 4 0
(2)2x2 2 y 2 12x 4 y 4 0
(3) x2 2 y 2 6x 4 y 1 0
(4) x2 y 2 2 x 6 y 50 0
(5) x2 y 2 3xy 5x 2 y 0
练习：已知圆C 过点 A( 1, 2 ) , B( 3, 4 )，且在x 轴上截得的弦长为6，求圆C 的方程
轨迹方程知识点总结
轨迹方程知识点总结一、轨迹方程的概念轨迹方程是指在平面直角坐标系中，描述某一特定几何对象的运动过程中所有可能位置点的集合的方程。
它是描述物体或点在运动中所遵循的规律和路径的数学工具。
轨迹方程是一种抽象的数学概念，通过它可以描述所有可能的位置点的集合，从而揭示几何对象的运动轨迹规律。
二、轨迹方程的表示1. 参数方程表示法轨迹方程可以使用参数方程来表示。
参数方程的形式通常为x=f(t)，y=g(t)，其中t为参数，x和y是时间t的函数。
通过变化参数t的取值范围，就可以得到轨迹上的所有点的坐标。
2. 极坐标方程表示法轨迹方程也可以使用极坐标来表示。
极坐标方程的形式通常为r=f(θ)，其中r是极坐标系下到原点的距离，θ是到x轴正向的角度。
通过变化θ的取值范围，就可以得到轨迹上的所有点的极坐标表示。
3. 一般方程表示法轨迹方程还可以用一般方程来表示。
一般方程的形式通常为F(x,y)=0，其中F是一个关于x和y的函数。
通过解一般方程，就可以得到轨迹上的所有点的坐标。
三、轨迹方程的应用1. 描述物体的运动轨迹轨迹方程可以被用来描述物体在运动中所遵循的路径规律。
通过物体的运动速度和加速度等信息，可以推导出物体的轨迹方程，从而预测物体的位置和运动状态。
2. 分析几何对象的性质轨迹方程可以被用来分析几何对象的性质。
通过对轨迹方程的分析，可以得到几何对象的面积、周长、对称性等性质，从而深入理解几何对象的结构和特点。
3. 解决实际问题轨迹方程也可以被用来解决实际问题。
例如，通过轨迹方程可以计算物体的轨迹长度、运动时间、最大速度、最大加速度等参数，从而为实际问题的分析和解决提供数学工具和方法。
四、轨迹方程的求解方法1. 参数方程的求解对于参数方程表示的轨迹方程，可以通过分离变量、积分等方法求解。
例如，对于一条直线的参数方程x=at，y=bt，可以求解出轨迹方程为y=ax/b。
2. 极坐标方程的求解对于极坐标方程表示的轨迹方程，可以通过代入坐标变换、积分等方法求解。
第4章 根轨迹法
(2k 1)180 (2k 1)
k 0, 1, 2,
zj
4.2 绘制根轨迹的基本规则
1.根轨迹的对称性
根轨迹关于实轴对称。因为系统的闭环极 点为实根或复根，复根共轭成对出现且关于 实轴对称，因此系统的根轨迹关于实轴对称。
2.根轨迹的条数（分支数）
zj
[例4-3]
已知单位负反馈系统的开环传递函数为
Kr G(s) H (s) s ( s 2)( s 4)
试概略绘制该系统的根轨迹。
[解] 根据开环传递函数可知，无系统的开环
零点，则m=0；开环极点有3个，即n=3，分别 为 p1 0 、p2 2 和 p3 4 。将开环极点 用“×”在复平面上标出，如图4-4所示。根据 根轨迹绘制规则确定其根轨迹。
p 180 ( p1 z1 ) ( p1 p2 ) 180 90 90 180
1
zp j
l
[例4-4] [解]
p p 180
2 1
jω
×j 2
-2
-1
0 0
σ
j2 ×
图4-5 例4-4系统的根轨迹
4.4 本章小结
第4 章
根轨迹法
根轨迹法的基本概念 绘制根轨迹的基本规则 参量根轨迹的绘制 本章小结
4.1 根轨迹法的基本概念
1948年，伊凡斯（W.R.Evans）提出 了一种简便的求解闭环极点的图解方 法—根轨迹法。
4.1.1 根轨迹
根轨迹定义
根轨迹与系统性能的关系
根轨迹定义
根轨迹：当控制系统的开环传递函数的某个 参数从零变化到无穷大时，闭环极点在s平面上 的变化轨迹称之为根轨迹。 根轨迹法：利用根轨迹进行线性控制系统分 析和设计的方法称为根轨迹法。 [例4-1]单位负反馈控制系统如图4-1所示， 试分析参数K变化对系统性能的影响
4.1.2轨迹方程
练习1. 已知一曲线是与两定点O(0,0)、
P(3,0)距离的比为1/2的点的轨迹，求此 曲线的方程，并画出曲线.
练习1. 已知一曲线是与两定点O(0,0)、 P(3,0)距离的比为1/2
y
M(x,y)
.
的点的轨迹，求此 曲线的方程，并 画出曲线.
O （
x
x y 2x 3 0
专题：求轨迹方程
课本上第122页例5
例5 已知线段AB的端点B的坐标是
（4,3），端点A在
( x 1) y 4
2 2
上运动，求线段AB的中点M的轨迹方程。
课本上第124页 B组 第1题
1. 等腰三角形的顶点是 A(4,2) ，底边一 个端点是 B(3,5) ，求另一个端点C 的轨 迹方程，并说明它的轨迹是什么． [思路导引 ] 利用|AC|＝|AB|代入坐标进 行化简，整理即可．
解： 设另一端点 C 的坐标为(x，y)． 依题意，得|AC|＝|AB|. 由两点间距离公式，得 x－42＋y－22＝ 4－32＋2－52， 整理得(x －4)2＋(y－2)2＝10 . 6分 4分
这是以点 A(4,2)为圆心，以 10为半径的圆，如图所
示，又因为 A、B、C 为三角形的三个顶点，所以 A、B、 C 三点不共线．即点 B、C 不能重合且 B、C 不能为圆 A 的一直径的两个端点．
3.定义法是指动点的轨迹满足某种曲线 的 定义，然后据定义直接写出动点的轨迹 方程． 4.代入法： （1）题目特点：两个动点（主动点和 被动点） （2）它用于处理一个主动点与一个 被动点问题，只需找出这两点坐标之间 的关系，然后代入主动点满足的轨迹方 程即可．
1.求轨迹方程的方法 常用的方法有 (1)直接法(最重要的方法)； (2)定义法；(3)代入法， 2.直接法: (1)题目特征：只有一个动点，有关于 动点的等量关系式。 (2)五个步骤： ①建系；②找出动点M满足的条件； ③用坐标表示此条件； ④化简；⑤验证．
4.1.2圆的一般方程 教案(人教A版必修2)
4.1.2圆的一般方程●三维目标1．知识与技能(1)掌握圆的一般方程及一般方程的特点．(2)能将圆的一般方程化成圆的标准方程，进而求圆心和半径．(3)能用待定系数法由已知条件求出圆的方程．(4)能用坐标法求动点的轨迹方程．2．过程与方法(1)进一步培养学生用代数方法研究几何问题的能力．(2)加深对数形结合思想的理解和加强待定系数法的运用．3．情感、态度与价值观(1)培养学生主动探究知识、合作交流的意识．(2)培养学生勇于思考、探究问题的精神．●重点难点重点：圆的一般方程及待定系数法求圆的方程．难点：用坐标法求动点的轨迹方程．重点突破：以教材的思考为切入点，采取由特殊到一般、由具体到抽象的方法，结合圆的标准方程，突破“二元二次方程同圆的关系”这一重难点，通过学生探究合作与交流，结合题组训练，引导学生进一步掌握用“待定系数法”求解圆的一般方程；借助多媒体演示及学生的直观感知突破“求动点的轨迹方程”这一难点．●教学建议本节课是上节课的拓展和延伸，可采用开门见山、单刀直入的引入方法，让学生通过对一组二元二次方程的观察比较，分析讨论，得出圆的一般方程的形式，并指明“二元二次方程”同“圆”的关系，培养学生分类讨论的思想意识．考虑到“用相关点法求动点的轨迹方程”的难度，教学时可结合一些具体例子，让学生分组协作，通过组内讨论的方式找出动点的轨迹与已知曲线的关系，教师适时点拨，这样学生既掌握了用相关点法求动点轨迹的问题，又对一般的轨迹问题有了了解，为今后进一步学习轨迹问题奠定基础．●教学流程创设问题情境，引出问题：二元二次方程同圆什么关系？⇒引导学生结合配方法及圆的标准方程得出圆的一般方程形式.⇒通过引导学生回答所提问题理解二元二次方程同圆的关系及表示圆的条件.⇒通过例1及其变式训练，使学生掌握圆的一般方程的概念.⇒通过例2及其变式训练，使学生掌握圆的一般方程的求法.⇒通过例3及其变式训练，初步培养学生解决与圆相关的轨迹问题.⇒归纳整理，进行课堂小结，整体认识本节课所学知识.⇒完成当堂双基达标，巩固所学知识并进行反馈矫正.1．圆的标准方程(x －a )2＋(y －b )2＝r 2展开可得到一个什么式子？ 【提示】 x 2＋y 2－2ax －2by ＋a 2＋b 2－r 2＝0. 2．观察以下三个方程： (1)x 2＋y 2＋2x ＋2y ＋8＝0； (2)x 2＋y 2＋2x ＋2y ＋2＝0； (3)x 2＋y 2＋2x ＋2y ＝0.先将它们分别配方，分析它们分别表示什么图形？【提示】 (1)配方得(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝－6，不表示任何图形． (2)配方得(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝0，表示点(－1，－1)． (3)配方得(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝2，表示圆． 方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0(*)表示的图形(1)变形：(x ＋D 2)2＋(y ＋E 2)2＝D 2＋E 2－4F4.(2)图形：①当D 2＋E 2－4F >0时，方程表示的曲线为圆，且圆心为(－D 2，－E2)，半径为12D 2＋E 2－4F ，方程(*)称为圆的一般方程； ②当D 2＋E 2－4F ＝0时，方程(*)表示一个点(－D 2，－E2)；③当D 2＋E 2－4F <0时，方程(*)不表示任何图形.下列方程能否表示圆？若能，求出圆心和半径．(1)2x 2＋y 2－7y ＋5＝0； (2)x 2－xy ＋y 2＋6x ＋7y ＝0； (3)x 2＋y 2－2x －4y ＋10＝0； (4)2x 2＋2y 2－5x ＝0.【思路探究】 分析每个方程是否具有圆的一般方程的特征，也可以把方程配方观察求解．【自主解答】 (1)∵方程2x 2＋y 2－7y ＋5＝0中x 2与y 2的系数不相同， ∴它不能表示圆．(2)∵方程x 2－xy ＋y 2＋6x ＋7y ＝0中含有xy 这样的项， ∴它不能表示圆．(3)方程x 2＋y 2－2x －4y ＋10＝0化为(x －1)2＋(y －2)2＝－5， ∴它不能表示圆．(4)方程2x 2＋2y 2－5x ＝0化为(x －54)2＋y 2＝(54)2，∴它表示以(54，0)为圆心，54为半径长的圆．二元二次方程Ax 2＋Bxy ＋Cy 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0表示圆，应满足的条件是：①A ＝C ≠0，②B ＝0，③D 2＋E 2－4AF >0.如果x 2＋y 2－2x ＋y ＋k ＝0是圆的方程，则实数k 的范围是________． 【解析】 由题意可知(－2)2＋12－4k >0， 即k <54.【答案】 (－∞，54)并求这个圆的半径长和圆心坐标．【思路探究】 设圆的一般式方程――→过点O 、M 、N 求圆的一般式方程――→公式法求圆心坐标、半径【自主解答】 设圆的一般式方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0， 由题意可知点O (0,0)，M (1,1)，N (4,2)满足圆的方程，即 ⎩⎪⎨⎪⎧F ＝0，D ＋E ＋F ＋2＝0，4D ＋2E ＋F ＋20＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧D ＝－8，E ＝6，F ＝0.所以，所求圆的一般方程是x 2＋y 2－8x ＋6y ＝0化为标准方程为(x －4)2＋(y ＋3)2＝25. ∴圆的圆心坐标是(4，－3)，半径r ＝5.1．一般地，所求的圆经过几点且不易得知圆心和半径，常选用一般式． 2．圆的一般式方程中也含有三个未知参数，求解时也需要三个独立的条件．已知A (2,2)，B (5,3)，C (3，－1)，求三角形ABC 的外接圆的方程． 【解】 设三角形ABC 外接圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0， 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧2D ＋2E ＋F ＋8＝0，5D ＋3E ＋F ＋34＝0，3D －E ＋F ＋10＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧D ＝－8，E ＝－2，F ＝12，即三角形ABC 的外接圆方程为x 2＋y 2－8x －2y ＋12＝0.【思路探究】 本题考查动点轨迹方程的求法，关键是寻找动点M 的横、纵坐标之间的关系．【自主解答】 设M (x ，y )，由于M 是AP 的中点， ∴P 点的坐标是(2x －4,2y )．∵P 是圆x 2＋y 2＝1上的点， ∴(2x －4)2＋(2y )2＝1.即动点M 的轨迹方程为(x －2)2＋y 2＝14.本题是运用代入法求轨迹方程．用动点坐标表示相关坐标，再根据相关点所满足的方程即可求动点的轨迹方程，这种求轨迹方程的方法叫作相关点法或代入法．经过圆x 2＋y 2＝4上任意一点P 作x 轴的垂线，垂足为Q ，则线段PQ 中点M 的轨迹方程为________．【解析】 设M (x ，y )，P (x 0，y 0)，由题意可知⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝x ，y 0＝2y .又点P (x 0，y 0)在圆x 2＋y 2＝4上，故x 20＋y 20＝4，即x 2＋4y 2＝4，所以，所求轨迹方程为x 2＋4y 2＝4. 【答案】x 2＋4y 2＝4忽略圆的一般方程中D 2＋E 2－4F >0致误已知定点A (a,2)在圆x 2＋y 2－2ax －3y ＋a 2＋a ＝0的外部，求a 的取值范围． 【错解】 因为点A (a,2)在圆的外部， 所以a 2＋4－2a 2－3×2＋a 2＋a >0， 解得a >2.故所求a 的范围为(2，＋∞)．【错因分析】 上述解法的错误在于“忘记判断二元二次方程表示圆的条件”． 【防范措施】 对于二元二次方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0只有在D 2＋E 2－4F >0的前提下，它才表示圆，故求解本题在判定出点与圆的位置关系后，要验证所求参数的范围是否满足D 2＋E 2－4F >0.【正解】 因为点A 在圆的外部，所以有⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋4－2a 2－3×2＋a 2＋a >0，(－2a )2＋(－3)2－4(a 2＋a )>0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a >2，a <94，即2<a <94.所以a 的取值范围为(2，94)．1．圆的一般方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0是圆的另一种表示形式，其隐含着D 2＋E 2－4F >0，同圆的标准方程类似，求圆的一般式方程也需要三个独立的条件．2．求轨迹的方法很多，注意合理选取，在求与圆有关的轨迹时，注意充分利用圆的性质．1．已知圆x 2＋y 2－4x ＋2y －4＝0，则圆心坐标、半径的长分别是( ) A ．(2，－1)，3 B ．(－2,1)，3 C ．(－2，－1)，3 D ．(2，－1)，9【解析】 圆x 2＋y 2－4x ＋2y －4＝0可化为(x －2)2＋(y ＋1)2＝9. 故其圆心坐标为(2，－1)，半径的长为3. 【答案】 A2．点P (x 0，y 0)是圆x 2＋y 2＝16上的动点，点M 是OP (O 为原点)的中点，则动点M 的轨迹方程是________．【解析】 设M (x ，y )，则⎩⎨⎧x ＝x 02，y ＝y2，即⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝2x ，y 0＝2y ， 又P (x 0，y 0)在圆上， ∴4x 2＋4y 2＝16，即x 2＋y 2＝4. 【答案】 x 2＋y 2＝43．若方程x 2＋y 2－4x ＋2y ＋5k ＝0表示圆，则实数k 的取值范围是________． 【解析】 由(－4)2＋22－4×5k >0，得k <1. 【答案】 (－∞，1)4．已知圆C 过点O (0,0)，A (1,0)，B (0，－1)，求圆C 的方程．【解】 设圆C 的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0.将O ，A ，B 三点坐标依次代入，得 ⎩⎪⎨⎪⎧F ＝0，1＋D ＋F ＝0，(－1)2－E ＋F ＝0，解之得D ＝－1，E ＝1，F ＝0. 所以圆C的方程为x 2＋y 2－x＋y＝0.一、选择题1．(2013·聊城高二检测)方程x 2＋(a ＋2)y 2＋2ax ＋a ＝0表示一个圆，则( ) A ．a ＝－1 B ．a ＝2 C ．a ＝－2 D ．a ＝1【解析】 由题意可知a ＋2＝1，∴a ＝－1. 【答案】 A2．(2013·浏阳高一检测)若方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0(D 2＋E 2>4F )表示的曲线关于直线y ＝x 对称，那么必有( )A ．D ＝EB ．D ＝FC ．E ＝FD ．D ＝E ＝F【解析】 方程所表示的曲线为圆，由已知，圆关于直线y ＝x 对称，所以圆心在直线y ＝x 上，即点(－D 2，－E2)在直线y ＝x 上，所以D ＝E .故选A.【答案】 A3．方程x 2＋y 2＋2ax ＋2by ＋a 2＋b 2＝0表示的图形为( ) A ．以(a ，b )为圆心的圆 B ．以(－a ，－b )为圆心的圆 C ．点(a ，b ) D ．点(－a ，－b )【解析】 原方程可化为：(x ＋a )2＋(y ＋b )2＝0.所以它表示点(－a ，－b )． 【答案】 D4．若圆x 2＋y 2－2x －4y ＝0的圆心到直线x －y ＋a ＝0的距离为22，则a 的值为( ) A ．－2或2 B.12或32C ．2或0D ．－2或0【解析】 由圆心(1,2)到直线的距离公式得|1－2＋a |2＝22得a ＝0或a ＝2.故选C.【答案】 C5．已知两定点A (－2,0)，B (1,0)，如果动点P 满足|P A |＝2|PB |，则点P 的轨迹所围成的图形的面积等于( )A ．πB ．4πC ．8πD ．9π【解析】 设点P 的坐标为(x ，y )，由|P A |＝2|PB |得(x ＋2)2＋y 2＝4(x －1)2＋4y 2 即(x －2)2＋y 2＝4.故点P 的轨迹所围成的图形的面积S ＝4π. 【答案】 B 二、填空题6．若方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0表示以(2，－4)为圆心，4为半径的圆，则F ＝________. 【解析】 由题意可知⎩⎪⎨⎪⎧－D2＝2，－E2＝－4，12D 2＋E 2－4F ＝4，解得D ＝－4，E ＝8，F ＝4. 【答案】 47．圆x 2＋y 2－2x ＋6y ＋8＝0的周长等于________． 【解析】 圆的半径r ＝12(－2)2＋62－4×8＝2，故圆的周长为22π. 【答案】 22π8．设圆x 2＋y 2－4x ＋2y －11＝0的圆心为A ，点P 在圆上，则P A 的中点M 的轨迹方程是________．【解析】 设M 的坐标为(x ，y )，由题意可知圆心A 为(2，－1)，P (2x －2,2y ＋1)在圆上， 故(2x －2)2＋(2y ＋1)2－4(2x －2)＋2(2y ＋1)－11＝0，即x 2＋y 2－4x ＋2y ＋1＝0. 【答案】 x 2＋y 2－4x ＋2y ＋1＝0 三、解答题9．(2013·济宁高一检测)设圆的方程为x 2＋y 2－4x －5＝0， (1)求该圆的圆心坐标及半径；(2)若此圆的一条弦AB 的中点为P (3,1)，求直线AB 的方程．【解】 (1)将x 2＋y 2－4x －5＝0配方得：(x －2)2＋y 2＝9.∴圆心坐标为C (2,0)，半径为r ＝3.(2)设直线AB 的斜率为k .由圆的几何性质可知：CP ⊥AB ，∴k CP ·k ＝－1. 又k CP ＝1－03－2＝1，∴k ＝－1.∴直线AB 的方程为y －1＝－(x －3)， 即x ＋y －4＝0.10．(2013·黄冈高一检测)已知定点O (0,0)，A (3,0)，动点P 到定点O 的距离与到定点A 的距离的比值是1λ，求动点P 的轨迹方程，并说明方程表示的曲线． 【解】 设动点P 的坐标为(x ，y )，则由λ|PO |＝|P A |，得λ(x 2＋y 2)＝(x －3)2＋y 2， 整理得：(λ－1)x 2＋(λ－1)y 2＋6x －9＝0.∵λ>0，∴当λ＝1时，方程可化为2x －3＝0，故方程表示的曲线是线段OA 的垂直平分线；当λ≠1时，方程可化为(x ＋3λ－1)2＋y 2＝[3λ(λ－1)]2，即方程表示的曲线是以(－3λ－1，0)为圆心，3λ|λ－1|为半径的圆．11．(思维拓展题)设△ABC 顶点坐标A (0，a )，B (－3a ，0)，C (3a ，0)，其中a >0，圆M 为△ABC 的外接圆．(1)求圆M 的方程；(2)当a 变化时，圆M 是否过某一定点，请说明理由． 【解】 (1)设圆M 的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0. ∵圆M 过点A (0，a )，B (－3a ，0)，C (3a ，0)，∴⎩⎨⎧a 2＋aE ＋F ＝0，3a －3aD ＋F ＝0，3a ＋3aD ＋F ＝0，解得D ＝0，E ＝3－a ，F ＝－3a .∴圆M 的方程为x 2＋y 2＋(3－a )y －3a ＝0.(2)圆M 的方程可化为(3＋y )a －(x 2＋y 2＋3y )＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧3＋y ＝0，x 2＋y 2＋3y ＝0，解得x ＝0，y ＝－3. ∴圆M 过定点(0，－3).等腰三角形的顶点是A (4,2)，底边的一个端点是B (3,5)，求另一个端点C 的轨迹方程，并说明它的轨迹是什么．【思路探究】 用直接法求轨迹方程，但必须考虑点C 是三角形的另一顶点，即A ，B ，C 三点不能共线，这一点容易被忽略，应注意．【自主解答】 设另一端点C 的坐标为(x ，y )． 依题意得|AC |＝|AB |. 由两点间距离公式，得：(x －4)2＋(y －2)2＝(4－3)2＋(2－5)2， 整理得(x －4)2＋(y －2)2＝10.这是以点A (4,2)为圆心，以10为半径的圆，如图所示，又因为A ，B ，C 为三角形的三个顶点，所以A ，B ，C 三点不共线，即点B ，C 不能重合且B ，C 不能为⊙A 的一直径的两个端点．因为点B ，C 不能重合，所以点C 不能为(3,5)． 又因为点B ，C 不能为一直径的两个端点， 所以x ＋32≠4，且y ＋52≠2，即点C 不能为(5，－1)．故端点C 的轨迹方程是(x －4)2＋(y －2)2＝10(除去点(3,5)和(5，－1))，它的轨迹是以点A (4,2)为圆心，10为半径的圆，但除去(3,5)和(5，－1)两点．一般地，求轨迹方程就是求等式，就是找等量关系．把等量关系用数学语言表达出来，再进行变形、化简，就会得到相应的轨迹方程，所以找等量关系是解决问题的关键．如图所示，自A (4,0)引圆x 2＋y 2＝4的割线ABC ，求弦BC 中点P 的轨迹方程．【解】 ∵P 为BC 中点，O 为圆心，∴OP ⊥BC .设P (x ，y )，当x ≠0时，k OP ·k AP ＝－1，即y x ·y x －4＝－1，即x 2＋y 2－4x ＝0(0<x <1)．① 当x ＝0时，P 点坐标为(0,0)是方程①的解，∴BC 中点P 的轨迹方程为x 2＋y 2－4x ＝0(0≤x ＜1).。
求轨迹方程方法总结
求轨迹方程方法总结轨迹方程是描述物体运动路径的数学表达式。
当我们了解物体的运动规律时，可以使用轨迹方程来描述其运动轨迹，从而帮助我们更好地理解和预测物体的运动。
下面将总结几种常用的推导轨迹方程的方法。
一、基础几何方法：1. 直线运动：对于直线运动，轨迹方程可以通过位移与时间的关系来推导。
如果物体的初始位置为(x0, y0)，速度为v，则物体在时间t后的位置(x,y)可以表示为 x = x0 + vt，y = y0。
从而得到轨迹方程 y = y0 + vt。
2.曲线运动：对于曲线运动，可以通过几何关系来推导轨迹方程。
例如，对于抛体运动，可以通过重力加速度和初速度的关系，推导出位置关于时间的二次方程，从而得到轨迹方程。
二、解微分方程方法：1.一阶微分方程：对于一阶微分方程，可以通过求解微分方程得到轨迹方程。
例如，对于匀加速直线运动，可以得到速度关于时间的一阶微分方程，通过求解得到速度与时间的表达式，再通过积分得到位移与时间的表达式，从而得到轨迹方程。
2.二阶微分方程：对于二阶微分方程，可以通过推导得到物体的运动规律，并进一步得到轨迹方程。
例如，对于单摆运动，可以通过考虑受力平衡和受力大小的关系，推导出物体的运动方程，从而得到轨迹方程。
三、向量方法：1.位矢法：对于具有速度和加速度的运动，可以通过位矢法推导轨迹方程。
位矢是一个描述位置和方向的向量，通过将速度积分得到位矢，再通过对位矢微分得到速度，通过对速度微分得到加速度，从而得到物体的位矢关于时间的表达式。
2.矢量投影法：对于运动方向发生变化的运动，可以利用矢量投影法推导轨迹方程。
将位矢投影到坐标轴上，得到物体在各个坐标轴上的分量，从而得到轨迹方程。
四、参数方程方法：1.参数方程是一种用参数表示物体运动轨迹的方法。
可以将物体的运动分解为水平方向与竖直方向上的分量，再通过参数来表示时间的变化。
将水平和竖直方向的分量分别定义为x(t)和y(t)，则轨迹方程可以表示为(x(t),y(t))。
4.1.2圆的一般方程
知识回顾 圆的标准方程: (x a) 2 (y b) 2 r2 特征： 直接看出圆心A(a,b)与半径r。
y
O A(a,b) x r M
练练手
指出下面圆的圆心和半径：
(x-1)2+(y+2)2=2
(1,2), 2
(x+2)2+(y-2)2=5
(-2,2), 5
(x+a)2+(y-2)2=a2 (a≠0) (-a,2),| a |
方程 x2 y2 2x 4y 6 0 表示什么图形？
对方程 x2 y2 2x 4y 6 0 配方，可得
(x 1)2 (y 2)2 -1, 由于不存在点的坐标（x，y）满足这个方程，所 以这个方程不表示任何图形。
探究
方程 x2 y2 Dx Ey F 0 在什么条件下
整理得：(x 3 )2 ( y 3 )2 1
2
2
这就是点M的轨迹方程，表示以（3 ，3）为圆心，半径长是1的圆。 22
注意“轨迹的方程”与“轨迹”的区别：
轨迹的方程是指点的坐标要满足的方程，而 轨迹是对几何图形的描述。
课堂小结
(1)圆的一般方程
x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0 （D2+E2-4F>0）
M
解：建立直角坐标系，以AB为x轴，中点O为原点。 A
B
设C(x, y), A(2,0), B(2,0), BC中点M（ x 2 , y ）,
22
由题意知AM 3,即( x 2 2)2 ( y 0)2 32.
2
2
整理得, (x 6)2 y2 36,
C不在x轴上,故y 0
综上，点C的轨迹是以（ 6，0）为圆心，以6为半径的圆，去掉（12，0）和（0，0）两点。
轨迹方程的定义
轨迹方程的定义轨迹方程是一种描述空间中运动物体变化规律的数学模型。
它是物体运动轨迹和物体运动参数之间的关系，其中参数包括物体运动的起始位置、方向和速度等。
它表达了物体运动的规律，并能够描述物体变化状态的变化规律，是研究物体运动的重要基础。
一般来说，物体运动的轨迹方程有两种形式，一种是直角坐标系下的轨迹方程，另一种是极坐标系下的轨迹方程。
1. 直角坐标系下的轨迹方程直角坐标系下的轨迹方程是描述物体在直角坐标系下的运动轨迹的数学模型，它包括平移运动、旋转运动和抛物运动等。
平移运动的轨迹方程：平移运动是指物体沿直线运动的情况，其轨迹方程一般可以表示为： x=x_0+v_0t y=y_0+v_0t 其中，x、y是物体的坐标；x_0、y_0是物体的初始位置的坐标值；v_0是物体的初始速度；t是物体运动的时间。
旋转运动的轨迹方程：旋转运动是指物体沿圆形轨迹运动的情况，其轨迹方程一般可以表示为：x=x_0+Rcos(ωt+φ) y=y_0+Rsin(ωt+φ) 其中，x、y是物体的坐标；R是物体的运动半径；x_0、y_0是物体的初始位置的坐标值；ω是物体的角速度；φ是物体的角度；t是物体运动的时间。
抛物运动的轨迹方程：抛物运动是指物体沿抛物线轨迹运动的情况，其轨迹方程一般可以表示为： x=x_0+v_0t y=y_0+v_0t-1/2gt^2 其中，x、y是物体的坐标；x_0、y_0是物体的初始位置的坐标值；v_0是物体的初始速度；t是物体运动的时间；g是重力加速度。
2. 极坐标系下的轨迹方程极坐标系下的轨迹方程是描述物体在极坐标系下的运动轨迹的数学模型，它包括直线运动、圆形运动和椭圆运动等。
直线运动的轨迹方程：直线运动是指物体沿直线运动的情况，其轨迹方程一般可以表示为： r=r_0+v_0t θ=θ_0 其中，r是物体的极径；r_0是物体的初始极径；v_0是物体的初始速度；θ是物体的极角；θ_0是物体的初始极角；t是物体运动的时间。
苏教版高中数学必修二课件4.1.2轨迹方程
即
(x 3)2 (y 3)2 1
所以M的轨迹是以点为 32圆, 32 心，1为半径2的圆 2
设主动点为(x0,y0)
被动点为(x,y)
x0=f(x),y0=g(y)
代入主动点方程
整理得轨迹方程
P134A5
M (x, y)
圆的一般方程
x2 y2 Dx Ey F 0
x
D 2
2
y
E 2
2
D2
E2 4
4F
（1）当时D，2 E2 4F 0
表示圆，
圆心
-
D 2
,
E 2
r
（2）当时D，2 E2 4F 0
D2 E2 4F
1），求圆的标准方程。
解：设所求圆的方程为：
(x a)2 (y b)2 r2
依题意
a 2b 1 0 (0 a)2 (0 b)2 r 2 (2 a)2 (1 b)2 r 2
所求圆的方程为
(x 6)2 ( y 1 )2 29
根据主、从动点的关系
得x0=f(x),y0=g(y)
代入主动点方程
找到几何关系 用方程表示几何关系
整理得轨迹方程
整理得轨迹方程
作业
P135B组T1、T2、T3
2
表示点
-
D 2
,
E 2
（3）当时D，2 E2 4F 0
不表示任何图形
轨迹方程
y
a
轨迹方程的公式
轨迹方程的公式轨迹方程是一个非常重要的数学概念，它拥有很多应用，包括物理，生物学，地理学和工程学等。
总而言之，轨迹方程可以用来描绘物体或者粒子在一定时间内的位置以及受力以及状态等信息。
轨迹方程可以分为两类，一类是一阶轨迹方程，一类是二阶轨迹方程。
本文将主要介绍二阶轨迹方程。
二阶轨迹方程是由早在古罗马时期就开始应用的抛物线方程开发而来的。
这种方程也被称为第二次微分方程，它为物体的运动提供了一个可量化的解释。
二阶轨迹方程的公式可以用另一种形式表示，即速度-位置关系方程： d2x/dt2=F(x,v)，其中F(x,v)表示力对位置和速度的影响。
相较一阶轨迹方程，二阶轨迹方程更为强大，它考虑了物体运动时所受的力，从而更准确地计算出物体的运动规律。
考虑到物理学的基本原理，二阶轨迹方程可以用来描述惯性系统和弹性系统，以及更复杂的物理系统，如磁场系统。
此外，二阶轨迹方程的另一个重要应用是动力学模拟。
这个方法可以用来模拟物体在某一特定时点和特定状态下的运动状态，从而计算出下一个时间点物体的状态。
这种方法可以用来模拟空气动力学、航空、水下运动以及细胞运动等。
此外，二阶轨迹方程还可以用于精确描述大多数生物学系统，包括生物运动特性。
二阶轨迹方程可以用来描述不同类型的生物运动，包括行走、跳跃、投掷等。
在地理学研究中，二阶轨迹方程也可以用来描述物体的运动轨迹，从而更准确地预测物体的位置。
例如，可以用二阶轨迹方程来模拟飞机的飞行轨迹，以及预测海洋的洋流。
在工程学研究中，二阶轨迹方程可以用来描述复杂的设备系统，比如汽车制动系统、运动控制系统以及工厂自动化流水线等。
二阶轨迹方程可以提供更为精确的解释，也可以更有效地计算出物体的运动轨迹和状态。
它也可以用于多个领域，从而构建更复杂的物理模型，从而使我们可以更准确地解决实际问题。
因此，二阶轨迹方程具有重要的作用，在多个学科领域都表现出其优越性，仍然是许多领域的重要研究对象。
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( x0 + 1) + y0 = 4
2 2
-3
设主动点为(x 设主动点为 0,y0) 代入主动点方程
P134 A5
M ( x, y )
P ( x1 , y1 ) 1
C
P2 ( x2 , y2 )
解：设点M（x，y）为圆上任意一点 设点 （ ， ） 圆的方程即M的轨迹方程 圆的方程即 的轨迹方程 Q PM ⊥ P2 M 1 ∴ k1 ⋅ k2 = −1 y − y1 y − y2 ⋅ = −1 x − x1 x − x2
几何关系 法
关键:找到几何关系 关键 找到几何关系
( x − x1 )( x − x2 ) + ( y − y1 ) ( y − y2 ) = 0
P135 B2
y B P(x,y) A O
解：设点AB中点为 （x，y） 中点为P（ ， ） 设点 中点为 依题意有
x
| OP |= a
x2 + y 2 = a x2 + y2 = a2
根据主、 根据主、从动点的关系 得x0=f(x),y0=g(y) 代入主动点方程
找到几何关系
用方程表示几何关系
整理得轨迹方程
整理得轨迹方程
作业
P135 B组 T1、T2、T3 B组 T1、T2、
解析几何
4.1.2轨迹方程 4.1.2轨迹方程
江苏如东马塘中学 轻水长天
圆的标准方程
圆心C(a,b),半径r 圆心 ( , ),半径 ),半径 y M(x,y) ( , ) O x
(x−a) +(y −b) = r
2 2
2
C
标准方程 若圆心为O（ ， ），则圆的方程为： ），则圆的方程为 若圆心为 （0，0），则圆的方程为：
10
半径 r = | OC | =
所求圆的方程为
29 20
6 2 1 2 29 (x − ) + ( y − ) = 5 10 20
半径： 半径：圆心到圆上一点
圆心： 圆心：两条直线的交点
圆的一般方程 2 2 x + y + Dx + Ey + F = 0
D E D2 + E 2 − 4F x+ + y+ = 2 2 4
2 2
2
依题意
a − 2b − 1 = 0 (0 − a) 2 + (0 − b) 2 = r 2 (2 − a) 2 + (1 − b) 2 = r 2
所求圆的方程为
6 a=5 1 ⇒b= 10 2 29 r = 20
6 2 1 2 29 (x − ) + ( y − ) = 5 10 20
几何关系 法
关键:找到几何关系 关键 找到几何关系
AB中点轨迹为以原点为圆心，a为半径的圆 中点轨迹为以原点为圆心， 为半径的圆 中点轨迹为以原点为圆心
小结：求轨迹方程 小结：
主从动点法
设主动点为(x 设主动点为 0,y0) 从动点为(x, 设动点的坐标为为
-2
2
4
-1
又点A在圆 ( x + 1) 2 + y 2 = 4 又点A
上
-2
观看动画
为圆心， 所以M 所以M的轨迹是以点 2 , 2 为圆心，1为半径的圆
3 3 代入得 x − 4 + 1) 2 + (2 y − 3) 2 = 4 即 ( x − ) 2 + ( y − ) 2 = 1 (2 2 2 3 3
的坐标为(x,y) 解.设M的坐标为 的坐标为 A的坐标为 0,y0) 的坐标为(x 的坐标为
P133 例5
主动点
4
被动点
M A
3
因为M AB的中点 因为M是AB的中点 x0 + 4 y0 + 3 主被动点法 x= ,y= 2 2 即 x0 = 2 x − 4, y0 = 2 y − 3
-4
2
B
1
时，不表示任何图形
轨迹方程
y a P(x,y) x
点P的坐标 (x,y)满足的关系式
P(x,y)是直线a上任意一点 是直线a 是直线
Ax + By + C = 0
M(x,y) ( , )
M(x,y)是圆C上任意一点 是圆C 是圆
C
(x−a) +(y −b) = r
2 2
2
点M的坐标 (x,y)满足的关系式
待定系数法
1− 0 1 解：kOA = = 2−0 2
P134 yA3
C A(2,1) ( ,1)
的中垂线的斜率为k 设OA的中垂线的斜率为 的中垂线的斜率为
k ⋅ kOA = −1 k = −2 1 由中点公式， 中点为 由中点公式，OA中点为 1, 2 O OA 中垂线中垂线方程为 x 6 1 y − = −2( x − 1) x= 5 1 6 1 y − = − 2 ( x − 1) ⇒ 2 1 圆心 5 ， 2 10 y = 联立两条直线方程 x − 2y −1 = 0
2 2
表示圆 （1）当 D 2 + E 2 − 4 F > 0 时，表示圆， ）
D E 圆心 - , − 2 2
2 2
r=
D2 + E 2 − 4F 2
表示点 （2）当 D + E − 4 F = 0 时，表示点 ） （3）当 ）
D2 + E 2 − 4F < 0
D E - ,− 2 2
x + y =r
2 2
2
3.已知圆 的圆心在直线 x − 2 y − 1 = 0 上，并 已知圆C的圆心在直线 已知圆 且经过原点和点A（ ， ），求圆的标准方程。 ），求圆的标准方程 且经过原点和点 （2，1），求圆的标准方程。
解：设所求圆的方程为： 设所求圆的方程为：
P134 A3
(x−a) +(y−b) = r