2018北师大版高中数学选修1-1学案：第一章 1 命 题
2017-2018版高中数学 第一章 常用逻辑用语章末复习课学案 北师大版选修1-1
第一章常用逻辑用语学习目标 1.理解命题及四种命题的概念，掌握四种命题间的相互关系.2.理解充分、必要条件的概念，掌握充分、必要条件的判定方法.3.理解逻辑联结词的含义，会判断含有逻辑联结词的命题的真假.4.理解全称量词、存在量词的含义，会判断全称命题、特称命题的真假，会求含有一个量词的命题的否定．知识点一四种命题的关系原命题与逆否命题为等价命题，逆命题与否命题为等价命题．知识点二充分条件、必要条件的判断方法1．直接利用定义判断：即若p⇒q成立，则p是q的充分条件，q是p的必要条件．(条件与结论是相对的)2．利用等价命题的关系判断：p⇒q的等价命题是綈q⇒綈p，即若綈q⇒綈p成立，则p 是q的充分条件，q是p的必要条件．3．从集合的角度判断充分条件、必要条件和充要条件若A⊆B，则p是q的充分条件，若A B，则p是q的充分不必要条件若B⊆A，则p是q的必要条件，若B A，则p是q的必要不充分条件其中p：A＝{x|p(x)成立}，q：B＝{x|q(x)成立}．知识点三全称命题与特称命题1．全称命题与特称命题真假的判断方法(1)判断全称命题为真命题，需严格的逻辑推理证明，判断全称命题为假命题，只需举出一个反例．(2)判断特称命题为真命题，需要举出正例，而判断特称命题为假命题时，要有严格的逻辑证明．2．含有一个量词的命题否定的关注点全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题．否定时既要改写量词，又要否定结论．知识点四简易逻辑联结词“且、或、非”的真假判断可以概括为口诀：“p与綈p”一真一假，“p或q”一真即真，“p且q”一假就假．类型一四种命题及其关系例1 写出命题“若x－2＋(y＋1)2＝0，则x＝2且y＝－1”的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它们的真假．反思与感悟(1)四种命题的改写步骤①确定原命题的条件和结论．②逆命题：把原命题的条件和结论交换．否命题：把原命题中条件和结论分别否定．逆否命题：把原命题中否定了的结论作条件、否定了的条件作结论．(2)命题真假的判断方法：直接法、间接法跟踪训练1 下列四个结论：①已知a，b，c∈R，命题“若a＋b＋c＝3，则a2＋b2＋c2≥3”的否命题是“若a＋b＋c≠3，则a2＋b2＋c2<3”；②命题“若x－sin x＝0，则x＝0”的逆命题为“若x≠0，则x－sin x≠0”；③命题p的否命题和命题p的逆命题同真同假；④若|C |>0，则C >0.其中正确结论的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 类型二 充分条件与必要条件命题角度1 充分条件与必要条件的判断例2 (1)设x ∈R ，则“x 2－3x >0”是“x >4”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件(2)已知a ，b 是实数，则“a >0且b >0”是“a ＋b >0且ab >0”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件反思与感悟 条件的充要关系的常用判断方法(1)定义法；(2)等价法；(3)利用集合间的包含关系判断． 跟踪训练2 使a >b >0成立的一个充分不必要条件是( ) A ．a 2>b 2>0 B ．1122log log a b >>0C ．ln a >ln b >0D ．x a>x b且x >0.5命题角度2 充分条件与必要条件的应用例3 设命题p ：实数x 满足x 2－4ax ＋3a 2<0，其中a >0，命题q ：实数x 满足⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x －6≤0，x 2＋2x －8>0.(1)若a ＝1，且p 且q 为真，求实数x 的取值范围； (2)若綈p 是綈q 的充分不必要条件，求实数a 的取值范围．反思与感悟 利用条件的充要性求参数的范围(1)解决此类问题一般是把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式求解．(2)注意利用转化的方法理解充分必要条件：若綈p 是綈q 的充分不必要(必要不充分、充要)条件，则p 是q 的必要不充分(充分不必要、充要)条件．跟踪训练3 已知p ：2x 2－9x ＋a <0，q ：2<x <3且綈q 是綈p 的必要条件，求实数a 的取值范围．类型三逻辑联结词与量词的综合应用例4 已知命题p：“任意x∈[0,1]，a≥e x”，命题q：“存在x∈R，x2＋4x＋a＝0”，若命题“p且q”是真命题，则实数a的取值范围是________．跟踪训练4 已知命题p：方程2x2＋ax－a2＝0在[－1,1]上有解；命题q：只有一个实数x 满足不等式x2＋2ax＋2a≤0.若命题“p或q”是假命题，求a的取值范围．1．给出命题：若函数y＝f(x)为对数函数，则函数y＝f(x)的图像不过第四象限．在它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数是( )A．3 B．2 C．1 D．02．已知p：0<a<4，q：函数y＝ax2－ax＋1的值恒为正，则p是q的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件3．已知命题p：对任意x∈R，总有2x＞0；q：“x＞1”是“x＞2”的充分不必要条件，则下列命题为真命题的是( )A．p且q B．(綈p)且(綈q)C．(綈p)且q D．p且(綈q)4．对任意x∈[－1,2]，x2－a≥0恒成立，则实数a的取值范围是________．5．(1)若p：两条直线的斜率互为负倒数，q：两条直线互相垂直，则p是q的什么条件？(2)若p：|3x－4|>2，q：1x2－x－2>0，则綈p是綈q的什么条件？1．否命题和命题的否定是两个不同的概念(1)否命题是将原命题的条件否定作为条件，将原命题的结论否定作为结论构造一个新的命题．(2)命题的否定只是否定命题的结论，常用于反证法．若命题为“若p，则q”，则该命题的否命题是“若綈p，则綈q”；命题的否定为“若p，则綈q”．2．四种命题的三种关系，互否关系，互逆关系，互为逆否关系，只有互为逆否关系的命题是等价命题．3．判断p与q之间的关系时，要注意p与q之间关系的方向性，充分条件与必要条件方向正好相反，不要混淆．4．注意常见逻辑联结词的否定一些常见逻辑联结词的否定要记住，如：“都是”的否定“不都是”，“全是”的否定“不全是”，“至少有一个”的否定“一个也没有”，“至多有一个”的否定“至少有两个”．答案精析知识梳理 知识点一若p ，则q 若q ，则p 若綈p 则綈q 若綈q ，则綈p 题型探究例1 解 逆命题：若x ＝2且y ＝－1， 则x －2＋(y ＋1)2＝0，真命题．否命题：若x －2＋(y ＋1)2≠0，则x ≠2或y ≠－1，真命题． 逆否命题：若x ≠2或y ≠－1，则x －2＋(y ＋1)2≠0，真命题． 跟踪训练1 B [正确的为①③.] 例2 (1)B (2)C解析 (1)∵x 2－3x >0⇒/ x >4，x >4⇒x 2－3x >0，故x 2－3x >0是x >4的必要不充分条件． (2)∵a >0且b >0⇔a ＋b >0且ab >0，∴a >0且b >0是a ＋b >0且ab >0的充要条件．跟踪训练2 C [设条件p 符合条件，则p 是a >b >0的充分条件，但不是a >b >0的必然结果，即有“p ⇒a >b >0，a >b >0D ⇒/p ”．A 选项中，a 2>b 2>0D ⇒/a >b >0，有可能是a <b <0，故A 不符合条件； B 选项中，log 12a >log 12b >0⇔0<a <b <1D ⇒/a >b >0，故B 不符合条件；C 选项中，ln a >ln b >0⇔a >b >1⇒a >b >0，而a >b >0D ⇒/a >b >1，符合条件； D 选项中，x a>x b 且0<x <1时a <b ；x >1时a >b ，无法得到a ，b 与0的大小关系，故D 不符合条件．]例3 解 (1)由x 2－4ax ＋3a 2<0得 (x －3a )(x －a )<0. 又a >0，所以a <x <3a ， 当a ＝1时，1<x <3，即p 为真命题时，实数x 的取值范围是1<x <3.由⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x －6≤0，x 2＋2x －8>0，解得⎩⎪⎨⎪⎧－2≤x ≤3，x <－4或x >2.即2<x ≤3. 所以q 为真时，实数x 的取值范围是2<x ≤3.若p 且q 为真，则⎩⎪⎨⎪⎧1<x <3，2<x ≤3⇔2<x <3，所以实数x 的取值范围是(2,3)．(2)方法一 綈p 是綈q 的充分不必要条件， 即綈p ⇒綈q 且綈qD ⇒/綈p . 设綈p ：A ＝{x |x ≤a 或x ≥3a }， 綈q ：B ＝{x |x ≤2或x >3}， 则A B .所以0<a ≤2且3a >3，即1<a ≤2. 所以实数a 的取值范围是(1,2]．方法二 ∵綈p 是綈q 的充分不必要条件， ∴q 是p 的充分不必要条件， 则{x |2<xx |a <x <3a }，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ≤2，3a >3，解得1<a ≤2.∴实数a 的取值范围是(1,2]．跟踪训练3 解 ∵綈q 是綈p 的必要条件， ∴q 是p 的充分条件， 令f (x )＝2x 2－9x ＋a ， 则⎩⎪⎨⎪⎧f ，f，解得a ≤9，∴实数a 的取值范围是(－∞，9]． 例4 [e,4]解析 p ：a ≥e，q ：a ≤4，∵p 且q 为真命题，∴p 与q 均为真， 则e≤a ≤4.跟踪训练4 解 由2x 2＋ax －a 2＝0得(2x －a )(x ＋a )＝0， ∴x ＝a2或x ＝－a ，∴当命题p 为真命题时⎪⎪⎪⎪⎪⎪a 2≤1或|－a |≤1， ∴|a |≤2.又“只有一个实数x 满足x 2＋2ax ＋2a ≤0”， 即函数y ＝x 2＋2ax ＋2a 与x 轴只有一个交点， ∴Δ＝4a 2－8a ＝0，∴a ＝0或a ＝2. ∴当命题q 为真命题时，a ＝0或a ＝2. ∴命题“p 或q ”为真命题时，|a |≤2. ∵命题“p 或q ”为假命题， ∴a >2或a <－2.即a 的取值范围为{a |a >2或a <－2}． 当堂训练1．D 2.A 3.D 4.(－∞，0]5．解 (1)∵两条直线的斜率互为负倒数， ∴两条直线互相垂直，∴p ⇒q .又∵一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为0，两条直线也垂直，∴qD ⇒/p . ∴p 是q 的充分不必要条件． (2)解不等式|3x －4|>2，得p ：{x |x >2或x <23}，∴綈p ：{x |23≤x ≤2}．解不等式1x 2－x －2>0，得q ：{x |x <－1或x >2}．∴綈q ：{x |－1≤x ≤2}． ∴綈p 是綈q 的充分不必要条件．本文档仅供文库使用。
北师版高中数学选修1-1课后习题 第一章 §1 命 题
第一章DIYIZHANG 常用逻辑用语§1 命 题课后篇巩固提升①三角形内角和等于180°;②2>3;③一个数不是正数就是负数;④x>2;⑤这座山真险啊!A.①②③B.①③④C.①②⑤D.②③⑤A.若sin x<12,则x<π6B.若x≥π6,则sin x≥12C.若x<π6,则sin x<12D.若sin x≤12,则x≤π6A.m<2B.m<4C.m>2D.m>4,可知m<4的范围要比题干中m 的范围大,所以取m<4,故选B.A.若log 2x<2,则0<x<4B.若a 与b 共线,则a 与b 的夹角为0°C.已知各项都不为零的数列{a n }满足a n+1-2a n =0,则该数列为等比数列D.点(π,0)是函数y=sin x 图像上一点A.[-3,+∞)B.(-3,+∞)C.(-∞,-3]D.(-∞,-3)-3}.)A=60°,B=30°时,sin2A=sin120°=√32,sin2B=sin60°=√32,此时sin2A=sin2B,但A 与B 不相等.故A=60°,B=30°.Δ=(a -1)2-4≤0,即-1≤a≤3.(1)若x≥10,则2x+1>20;(2)如果两圆外切,那么两圆圆心距等于两圆半径之和;(3)在整数中,奇数不能被2整除.ax 2-2ax-3>0不成立,所以ax 2-2ax-3≤0恒成立.(1)当a=0时,-3≤0成立.(2)当a≠0时,应满足{a <0,Δ≤0,解得-3≤a<0. 由(1)(2)得a 的取值范围为[-3,0].。
北师大版数学- 数学选修1-1教师用书 1.1.1命题
【课堂新坐标】数学选修1-1教师用书：1.1.1命题(教师用书独具)●三维目标1.知识与技能理解命题的概念和命题的构成，能判断给定陈述句是否为命题，能判断命题的真假；能把命题改写成“若p，则q”的形式．2．过程与方法多让学生举命题的例子，培养他们的辨析能力；以及培养他们的分析问题和解决问题的能力．3．情感、态度与价值观通过学生的参与，激发学生学习数学的兴趣．●重点、难点重点：命题的概念、命题的构成．难点：分清命题的条件、结论和判断命题的真假．(教师用书独具)●教学建议命题的概念在初中已经学习过，可以通过回顾初中知识引入，讲清命题概念中的两个问题，判断是否为陈述句，能否判断真假；重点放在命题的形式和判断命题真假的教学中，基于教材内容简单且以前曾经接触过，可以采用提问式、讨论式的教学方法，让学生在讨论、回答问题的过程中学习知识，增长技能，进而突破重难点．●教学流程创设问题情境，引出命题的概念，通过实例形成概念原型.⇒引导学生结合初中学习过的命题概念，比较、分析，揭示命题的特点及构成形式.⇒通过引导学生回答所提问题理解判断命题真假的方法.⇒通过例1及其变式训练，使学生掌握如何判断一个语句是否为命题.⇒通过例2及其互动探究，使学生掌握命题真假的判断方法，并对相关知识进行复习.⇒通过例3及其变式训练，完成对命题形式的认识与巩固，学会对命题进行改写.⇒归纳整理，进行课堂小结，整体认识本节课所学知识.⇒完成当堂双基达标，巩固所学知识并进行反馈矫正.(对应学生用书第1页)课标解读1.了解命题的概念及构成．(重点) 2．会判断命题的真假．(难点、易错点)命题的概念观察下列实例：①一条直线l，不是与平面α平行就是相交；②4是集合{1,2,3,4}的元素；③若x∈R，方程x2－x＋2＝0无实根；④作△ABC∽△A′B′C′上述语句中，哪些能判断真假？【提示】①、②、③、④是祈使句不能判断真假．1．定义在数学中，把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题．2．分类①真命题：判断为真的语句叫做真命题；②假命题：判断为假的语句叫做假命题.命题的形式1．“同位角相等”是命题吗？如果是命题，是真命题还是假命题？【提示】是命题，为假命题．2．你能把“同位角相等”写成“若……，则……”的形式吗？【提示】若两个角为同位角，则这两个角相等．命题的形式：“若p，则q”，其中命题的条件是p，结论是q.(对应学生用书第1页)命题的判断判断下列语句是否为命题，并说明理由．(1)x－2＞0；(2)梯形是不是平面图形呢？(3)若a与b是无理数，则ab是无理数；(4)这盆花长得太好了！(5)若x＜2，则x＜3.【思路探究】(1)这些语句是陈述句吗？(2)你能判断它们的真假吗？【自主解答】(1)不是命题，因为变量x的值没有给定，不能判断真假．(2)不是命题，疑问句不是命题．(3)是命题，因为此语句是陈述句且是假的．(反例a＝b＝2)(4)不是命题，感叹句不是命题．(5)是命题，因为此语句是陈述句且是真的．判断一个语句是否为命题的步骤：(1)语句格式是否为陈述句，只有陈述句才有可能是命题．(2)该语句能否判断真假，语句叙述的内容是否与客观实际相符，是否符合已学过的公理、定理，是明确的，不能模棱两可．判断下列语句是否为命题，并说明理由．(1)一条直线l，与平面α不是平行就是相交；(2)若xy＝1，则x，y互为倒数；(3)作△ABC∽△A′B′C′.【解】(1)是命题．直线l与平面α有相交、平行、l在平面α内三种关系，为假．(2)是命题．因xy＝1时，x，y互为倒数，为真．(3)不是命题，祈使句不是命题．命题真假的判定判断下列语句是否是命题，若是，判断其真假，并说明理由．(1)函数y＝sin4x－cos4x的最小正周期是π；(2)若x＝4，则2x＋1＜0；(3)一个等比数列的公比大于1时，该数列为递增数列；(4)求证：x∈R时，方程x2－x＋2＝0无实根．【思路探究】语句――→命题定义判定是否是命题――→证明(举反例)真假命题【自主解答】(1)(2)(3)是命题，(4)不是命题．命题(1)中，y＝sin4x－cos4x＝sin2x－cos2x＝－cos 2x，显然其最小正周期为π，为真命题．命题(2)中，当x＝4,2x＋1＞0，是假命题．命题(3)中，当等比数列的首项a1＜0，公比q＞1时，该数列为递减数列，是假命题．(4)是一个祈使句，没有作出判断，不是命题．1．真假命题的判定方法：(1)真命题的判定方法：真命题的判定过程实际就是利用命题的条件，结合正确的逻辑推理方法进行正确逻辑推理的一个过程．判断命题为真的关键是弄清命题的条件，选择正确的逻辑推理方法．(2)假命题的判定方法：通过构造一个反例否定命题的正确性，这是判断一个命题为假命题的常用方法．2．解决本类问题的难点是对相关知识的理解与掌握．在本例中，把不是命题的改为命题后，再把假命题改为真命题．【解】(2)是假命题，改为真命题为：若x＝4时，则2x＋1＞0.(3)是假命题，改为真命题为：一个等比数列的公比大于1，首项大于零时，该数列为递增数列．(4)不是命题，改为真命题为：若x∈R，则方程x2－x＋2＝0无实根.命题的形式及改写把下列命题改写成“若p，则q”的形式，并判断命题的真假．(1)两个周长相等的三角形面积相等；(2)已知x，y为正整数，当y＝x＋1时，y＝3，x＝2；(3)当m＞1时，x2－2x＋m＝0无实根；(4)当abc＝0时，a＝0且b＝0且c＝0.【思路探究】(1)这些命题的条件与结论分别是什么？(2)第2小题中大前提“已知x、y为正整数”该怎样处理？【自主解答】(1)若两个三角形周长相等，则这两个三角形面积相等，假命题；(2)已知x，y为正整数，若y＝x＋1，则y＝3，x＝2，假命题；(3)若m＞1，则x2－2x＋m＝0无实根，真命题；(4)若abc＝0，则a＝0且b＝0且c＝0，假命题．1．解决本例问题的关键是找准命题的条件和结论，进而化成“若p，则q”的形式．2．对于命题的大前提，应当写在前面，不要写在条件中；对于改写时语句不通顺的情况，要适当补充使语句顺畅．把下列命题改写成“若p，则q”的形式，并判断命题的真假．(1)奇数不能被2整除；(2)当(a－1)2＋(b－1)2＝0时，a＝b＝1；(3)两个相似三角形是全等三角形；(4)在空间中，平行于同一个平面的两条直线平行．【解】(1)若一个数是奇数，则它不能被2整除，是真命题；(2)若(a－1)2＋(b－1)2＝0，则a＝b＝1，是真命题；(3)若两个三角形是相似三角形，则这两个三角形是全等三角形，是假命题．(4)在空间中，若两条直线平行于同一个平面，则这两条直线平行，是假命题．(对应学生用书第4页)因知识欠缺，导致对命题真假判断失误判断下列命题的真假．(1)若a ＞b ，则1a ＜1b；(2)x ＝1是方程(x －1)(x －2)＝0的一个根． 【错解】 (1)真命题． (2)假命题．【错因分析】 (1)误认为“两数比较大小时，大数的倒数反而小”，而忽视a 、b 的条件，当a ＞0，b ＜0时，a ＞b 但1a ＞1b.(2)因为方程的根为x ＝1或x ＝2，解题时误认为x ＝1不全面，而没有分析清逻辑关系． 【防范措施】 平时学习时一定要对每一个基础知识理解透彻． 【正解】 (1)假命题 (2)真命题1．判断一个语句是否是命题要注意两点： (1)是不是陈述句； (2)能否判断真假．2．命题的真假判断要结合已有知识，进行严格的逻辑推理，对于描述较为简洁的命题可以分清条件和结论后改写成“若p ，则q ”的形式再加以判断.(对应学生用书第4页)1．下列语句中是命题的是( ) A.π2是无限不循环小数 B ．3x ≤5C ．什么是“温室效应”D ．《非常学案》真好呀！【解析】 疑问句和祈使句不是命题，C 、D 不是命题，对于B 无法判断真假，只有A 是命题．【答案】 A2．下列命题中是假命题的是( ) A ．5是15的约数 B ．对任意实数x ，有x 2＜0C ．对顶角相等D ．0不是奇数 【解析】 对任意实数x ，有x 2≥0，所以B 为假命题．A 、C 、D 均为真命题． 【答案】 B3．把命题“垂直于同一平面的两条直线互相平行”改写成“若p ，则q ”的形式为________．【答案】 若两条直线都垂直于同一个平面，则这两条直线互相平行 4．判断下列语句是否为命题，若是命题，判断其真假． (1)求证：2是无理数．(2)若G 2＝ab ，则a 、G 、b 成等比数列． (3)末位数字是0的整数能被5整除． (4)你是高二的学生吗？【解】 (1)不是命题，(2)假命题，(3)真命题，(4)不是命题.一、选择题1．(2013·郑州高二检测)在空间，下列命题正确的是( ) A ．平行直线的平行投影重合 B ．平行于同一直线的两个平面平行 C ．垂直于同一平面的两个平面平行 D ．垂直于同一平面的两条直线平行【解析】 A 中平行投影可能平行，A 为假命题．B 、C 中的两个平面可以平行或相交，为假命题．由线面垂直的性质，D 为真命题．【答案】 D2．命题“6的倍数既能被2整除，也能被3整除”的结论是( ) A ．这个数能被2整除 B ．这个数能被3整除C ．这个数既能被2整除，也能被3整除D ．这个数是6的倍数【解析】 “若p ，则q ”的形式：若一个数是6的倍数，则这个数既能被2整除，也能被3整除．【答案】 C3．下列命题中，是真命题的是( ) A ．{x ∈R |x 2＋1＝0}不是空集 B ．若x 2＝1，则x ＝1 C ．空集是任何集合的真子集 D ．若1x ＝1y，则x ＝y【解析】 A 中方程在实数范围内无解，故为假命题；B 中，若x 2＝1，则x ＝±1，也为假命题；因为空集是任何非空集合的真子集，故C 为假命题，D 为真．【答案】 D4．给出命题：方程x 2＋ax ＋1＝0没有实数根，则使该命题为真命题的a 的一个值可以是( )A ．4B ．2C ．0D ．－3【解析】 方程无实根应满足Δ＝a 2－4＜0即a 2＜4，故当a ＝0时适合条件． 【答案】 C 5．有下列命题：①若xy ＝0，则|x |＋|y |＝0；②若a ＞b ，则a ＋c ＞b ＋c ；③矩形的对角线互相垂直． 其中真命题共有( ) A ．0个B ．1个C ．2个【解析】 ①由x ·y ＝0得到x ＝0或y ＝0， 所以|x |＋|y |＝0不正确，是假命题；②当a ＞b 时，有a ＋c ＞b ＋c 成立，正确，所以是真命题； ③矩形的对角线不一定垂直，不正确．是假命题． 【答案】 B 二、填空题6．把“正弦函数是周期函数”写成“若p ，则q ”的形式是________． 【答案】 若函数为正弦函数，则此函数是周期函数．7．如果命题“若x ∈A ，则x ＋1x ≥2”为真命题，则集合A 可以是________．(写出一个即可)【解析】 当x ＞0时，有x ＋1x ≥2，故A 可以为{x |x ＞0}．【答案】 {x |x ＞0}8．下列命题：①若xy ＝1，则x ，y 互为倒数，②平行四边形是梯形，③若a ＞b ，则ac 2＞bc 2，④若x 、y 互为相反数，则x ＋y ＝0，其中真命题为________．【解析】 ①是真命题，②平行四边形不是梯形，假命题，③若a ＞b ，则ac 2≥bc 2，故为假命题，④为真命题．【答案】 ①④ 三、解答题9．把下列命题改写成“若p ，则q ”的形式，并判断真假： (1)实数的平方是非负数；(2)等底等高的两个三角形是全等三角形； (3)当ac ＞bc 时，a ＞b ；(4)角的平分线上的点到角的两边的距离相等．【解】 (1)若一个数是实数，则它的平方是非负数，真命题．(2)若两个三角形等底等高，则这两个三角形是全等三角形，假命题．(3)若ac ＞bc ，则a ＞b ，假命题．(4)若一个点是一个角的平分线上的点，则该点到这个角的两边的距离相等，真命题．10．判断下列命题的真假并说明理由．(1)合数一定是偶数；(2)若ab ＞0，且a ＋b ＞0，则a ＞0且b ＞0；(3)若m ＞14，则方程mx 2－x ＋1＝0无实根． 【解】 (1)假命题．例如9是合数，但不是偶数．(2)真命题．因为ab ＞0，则a 、b 同号．又a ＋b ＞0故a 、b 不能同负，故a 、b 只能同正，即a ＞0且b ＞0.(3)真命题．因为当m ＞14时，Δ＝1－4m ＜0； ∴方程无实根．11．若命题“ax 2－2ax －3＞0不成立”是真命题，求实数a 的取值范围．【解】 因为ax 2－2ax －3＞0不成立，所以ax 2－2ax －3≤0恒成立．(1)当a ＝0时，－3≤0成立；(2)当a ≠0时，应满足⎩⎪⎨⎪⎧a ＜0，Δ≤0， 解之得－3≤a ＜0.由(1)(2)，得a 的取值范围为[－3,0]．(教师用书独具)下列四个命题：①若向量a ，b 满足a·b ＜0，则a 与b 的夹角为钝角；②已知集合A ＝{正四棱柱}，B ＝{长方体}，则A ∩B ＝B ；③在平面直角坐标系内，点M (|a |，|a －3|)与N (cos α，sin α)在直线x ＋y －2＝0的异侧； ④规定下式对任意a ，b ，c ，d 都成立．⎝ ⎛⎭⎪⎫a b c d 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a b c d ·⎝ ⎛⎭⎪⎫a b c d ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2＋bc ab ＋bd ac ＋cd bc ＋d 2，则⎝ ⎛⎭⎪⎫－sin α cos α cos α sin α2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1 00 1.其中真命题是________(将你认为正确的命题序号都填上)．【解析】 当a 与b 的夹角为π时，有a·b ＜0，但此时的夹角不为钝角，所以①是错误的；因为正四棱柱的底面是正方形，所以A ∩B ＝A ，故②也是错误的；因为|a |＋|a －3|－2≥|a－a ＋3|－2＝1＞0，cos α＋sin α－2＝2sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4－2＜0，所以点M ，N 在直线x ＋y －2＝0的异侧，故③是真命题；根据题意有⎝ ⎛⎭⎪⎫－sin α cos α cos α sin α2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－sin α cos α cos α sin α·⎝ ⎛⎭⎪⎫－sin α cos α cos α sin α ＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫(－sin α)2＋cos 2α －sin αcos α＋cos αsin α－sin αcos α＋cos αsin α cos 2α＋sin 2α＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1 00 1， 所以④是真命题，故填③④.【答案】 ③④把下面命题补充完整，使其成为一个真命题．若函数f (x )＝3＋log 2x (x ＞0)的图象与g (x )的图象关于x 轴对称，则g (x )＝________.【解析】 设g (x )图象上任一点(x ，y )，则它关于x 轴的对称点为(x ，－y )，此点在f (x )的图象上，故有：－y＝3＋log2x成立，即y＝－3－log2x(x＞0)．【答案】－3－log2x(x＞0)。
2018版高中数学北师大版选修1-1学案：第一章3.1全称量词与全称命题-3.2存在量词与特称命题
常用逻辑用语3全称量词与存在量词3.1 全称量词与全称命题3. 2 存在量词与特称命题［学习目标】1•理解全称量词与存在量词的含义.2.理解并掌握全称命题和特称命题的概念3能判定全称命题和特称命题的真假并掌握其判断方法.IT问题导学----------------------------知识点一全称量词与全称命题思考观察下列命题：(1) 每一个三角形都有内切圆；(2) 所有实数都有算术平方根；(3) 对一切有理数x,5x + 2还是有理数.以上三个命题中分别使用了什么量词？根据命题的实际含义能否判断命题的真假.全称量词“所有”、“每一个”、“任何”、“任意”、“一切”、“任给”、“全部”全称命题p含有的命题集合M中的每个元素x,证明p(x)成立；要判断它为假，只需在M中找到一个x,使p(x)不成立，即“存在x€ M , p(x)不成立”.知识点二存在量词与特称命题思考观察下列命题：(1) 有些矩形是正方形；(2) 存在实数X,使Q5.2(3) 至少有一个实数x,使x —2x+ 2<0.以上三个命题分别使用了什么量词？根据命题的实际含义能否判断命题的真假.判断特称命题真假性的方法：要判断一个特称命题是真命题，只要在限定集合M中，至少能找到一个x,使p(x)成立即可，否则，这一特称命题是假命题.R题型探究----------------------------类型一识别全称命题与特称命题例i判断下列语句是全称命题，还是特称命题.(1) 凸多边形的外角和等于360 °(2) 有些实数a, b 能使|a—b|= |a|+ |b|;1 1⑶对任意a, b € R，若a>b，则⑷有一个函数，既是奇函数，又是偶函数.由于某些全称命题的反思与感悟判断一个命题是全称命题还是特称命题的关键是看量词．量词可能省略，所以要根据命题表达的意义判断，同时要会用相应的量词符号正确表达命题．跟踪训练 1 下列命题不是特称命题的是( )A .有些实数的平方可以等于零B .存在x<0 ,使x2<0C.至少有一个三角函数的周期是 2 nD •二次函数的图像都是抛物线类型二全称命题与特称命题的真假的判断例 2 判断下列命题的真假.(1) 在平面直角坐标系中，任意有序实数对(x, y)都对应一点；(2) 存在一个实数，它的绝对值不是正数；⑶对任意实数x i，X2，若捲"2，贝V tan X!<tan X2；(4) 存在一个函数,既是偶函数,又是奇函数.引申探究例 2 若将题中(2)(3)(4) 改为①对所有的实数，它的绝对值均不是正数；②存在实数X i, X2,若X i<X2，贝U tan x i<tan X2；③任意一个函数，都既是偶函数又是奇函数，判断其真假.反思与感悟(1 )判断全称命题真假的方法①要判断一个全称命题为真，必须对在给定集合的每一个元素X,均使命题p(X)为真.②要判断一个全称命题为假时, 即否定一个全称命题可以通过“举反例”来说明, 在给定的集合中找到一个元素X,使命题p(x)为假.(2) 判断特称命题真假的方法①要判断一个特称命题为真，只要在给定的集合中找到一个元素X，使命题q(x)为真.②要判断一个特称命题为假，必须对在给定集合的每一个元素x,均使命题q(x)为假.所以说，全称命题与特称命题之间有可能转化，它们之间并不是对立的关系.跟踪训练2判断下列命题是全称命题，还是特称命题，并判断其真假.(1) 对任意x€ N,2x+ 1是奇数.(2) 每一个平行四边形的对角线都互相平分.1(3) 存在一个x€ R，使R =0.⑷存在一组m, n的值，使m—n = 1.⑸至少有一个集合A，满足A {1,2,3}.类型三全称命题、特称命题的应用例3 (1)已知关于x的不等式x2+ (2a+ 1)x+ a2+ 2< 0的解集非空，求实数a的取值范围; ⑵令p(x)：ax2 + 2x+ 1>0,若对任意x€ R, p(x)是真命题，求实数a的取值范围.反思与感悟有解和恒成立问题是特称命题和全称命题的应用，注意二者的区别.跟踪训练3 (1)对于任意实数x,不等式sin x + cos x>m恒成立，求实数m的取值范围;当堂训练(2)存在实数x,不等式sin x+ cos x>m有解，求实数m的取值范围.1 .下列命题中特称命题的个数是()①有些自然数是偶数；②正方形是菱形；③能被6整除的数也能被3整除；④对于任意x€ R, 总有|sin x|w 1.A. 0B. 1C. 2D. 32. 下列命题中，不是全称命题的是()A .任何一个实数乘以0都等于0B .自然数都是正整数C.每一个向量都有大小D .一定存在没有最大值的二次函数3. 下列含有量词的命题为真命题的是()A .所有四边形都有外接圆B .有的等比数列的项为零C.存在实数没有偶次方根D .任何实数的平方都大于零n4. 对任意的x€ [0 , 4], tan x< m是真命题，则实数m的最小值为 ___________ .5. 将下列命题改写为含有量词的命题，使其为真命题.(1) 相等的角是对顶角；(2) s in x + cos x<3.规律与方法1．判断命题是全称命题还是特称命题，主要是看命题中是否含有全称量词和存在量词，有些全称命题虽然不含全称量词，可以根据命题涉及的意义去判断．2．要确定一个全称命题是真命题，需保证该命题对所有的元素都成立；若能举出一个反例说明命题不成立，则该全称命题是假命题．3．要确定一个特称命题是真命题，举出一个例子说明该命题成立即可；若经过逻辑推理得到命题对所有的元素都不成立，则该特称命题是假命题．答案精析问题导学知识点一思考命题⑴(2)(3)分别使用量词“每一个” “所有”“一切”.命题(1)(3)是真命题，命题⑵是假命题，三个命题中的“每一个”“所有”“一切”都有全部、所有的意义，要求命题对某个集合的所有元素都成立，而负实数没有算术平方根，故命题⑵为假命题.梳理全称量词任意x € M , p(x)知识点二思考命题⑴(2)(3)分别使用了量词“有些” “存在”“至少有一个”.命题(1)(2)是真命题, 命题(3)是假命题•三个命题中的“有些” “存在”“至少有一个”等词都是对某个集合内的个别元素而言，要说明这些命题是真命题，只要举出一个例子即可•所以命题(1)(2)是真命题，而任意实数x, x2—2x+ 2都大于0，所以命题⑶为假命题.梳理存在量词存在x€ M , p(x)题型探究例1解(1)可以改写为“所有的凸多边形的外角和等于360°,是全称命题.(2) 含有存在量词“有些”，故是特称命题.(3) 含有全称量词“任意”，故是全称命题.(4) 含有存在量词“有一个”，是特称命题.跟踪训练1 D例2解(1)在平面直角坐标系中，任意有序实数对(x, y)与平面直角坐标系中的点是一一对应的，故该命题是真命题.(2)存在一个实数零，它的绝对值不是正数，故该命题是真命题.⑶存在X1 = 0，X2= n，X1<X2，但tan 0= tan，故该命题是假命题.(4) 存在一个函数f(x)= 0,它既是偶函数，又是奇函数，故该命题是真命题.引申探究解①存在实数1，它的绝对值是正数，故该命题是假命题.②因为当x€ —n，n时，函数y = tan x是增加的，故存在冷，(— ^，=，,若，则tan X1 <tan X2，故该命题是真命题.③ 如函数y =x 2 +1它是偶函数，但不是奇函数，故该命题是假命题.跟踪训练2 解(1)是全称命题•因为对任意x € N,2x + 1都是奇数，所以全称命题： “对 任意x € N,2x + 1是奇数”是真命题.(2) 是全称命题•由平行四边形的性质可知此命题是真命题.1(3) 是特称命题.不存在 x € R ，使 =0成立，所以该命题是假命题.(4) 是特称命题.当 m = 4, n = 3时，m — n = 1成立，所以该命题是真命题. ⑸是特称命题.存在 A = {3}，使A {1,2,3}成立，所以该命题是真命题.例3 解(1)关于x 的不等式x 2 + (2a + 1)x + a 2 + 2< 0的解集非空，•••△= (2a + 1)2— 4(a 2+ 2) > 0,即即 4a — 7> 0,解得a >7,•实数a 的取值范围为孑，+ m .⑵•••对任意x € R , p(x)是真命题.•对任意x € R , ax + 2x + 1>0恒成立，当a = 0时，不等式为2x + 1>0不恒成立，当0时，若不等式恒成立， a > 0,则△= 4— 4a v 0,即a 的取值范围是(1,+ g ).跟踪训练 3 解 （1）令 y = sin x + cos x , x € R ,又T 任意x € R , sin x + cos x>m 恒成立, x — 1• a>1.■ y = sin x + cos x•只要m<—•.2即可.•所求m的取值范围是(―g, —,2).(2)令y= sin x+ cosx, x€ R,■/ y= sin x+ cos x=2sin x+ 4 € [ - 2，2],又存在x € R, sin x+ cos x>m 有解，•••只要m< 2即可，•••所求m的取值范围是(—g,2). 当堂训练1. B2.D3.C4.15.解(1)存在相等的两个角是对顶角.⑵对任意x € R, sin x+ cos x<3.。
【配套K12】2018北师大版高中数学选修1-1学案：第一章 4.3 逻辑联结词“非”
4.3逻辑联结词“非”学习目标 1.理解逻辑联结词“非”的含义，能写出简单命题的“綈p”命题.2.了解逻辑联结词“或”“且”“非”的初步应用.3.理解命题的否定与否命题的区别．知识点一命题的否定思考1观察下列两个命题：①p：5是25的算术平方根；q：5不是25的算术平方根；②p：y＝cos x是偶函数；q：y＝cos x不是偶函数，它们之间有什么关系？逻辑联结词中“非”的含义是什么？思考2你能判断思考1中的问题所描述的两个命题的真假吗？p的真假与綈p的真假有关系吗？梳理(1)对一个命题p全盘否定，就得到一个新命题，记作__________，读作“非p”或“__________”．“綈p”形式命题：若p是真命题，则綈p必是__________；若p是假命题，则綈p必是__________．(2)逻辑联结词中“非”与生活中的“非”含义一致，表示“否定”“问题的反面”等，若把p看作集合A，则綈p就是集合A的补集．知识点二命题的否定与否命题的区别思考已知命题p：平行四边形的对角线相等，分别写出命题p的否命题和命题p的否定．梳理(1)命题的否定只否定结论，否命题既否定结论也否定条件，这是区分两者的关键．解答此类问题，首先要找出命题的条件与结论，再作出准确的否定．(2)注意常见词语的否定形式：类型一 命题的否定命题角度1 命题的否定的概念例1 写出下列命题的否定，并判断其真假．(1)x ∈(0,2)，函数y ＝x 2－x －1的最小值是－54且最大值是1； (2)100是10或20的倍数．反思与感悟 (1)对命题“p 且q ”的否定，除将简单命题p 、q 否定外，还需将“且”变为“或”．对命题“p 或q ”的否定，除将简单命题p 、q 否定外，还需将“或”变为“且”．(2)命题p 与命题p 的否定綈p 的真假相反．跟踪训练1 写出下列命题的否定，并判断其真假．(1)p ：三角形的内角和等于180°；(2)p ：美国总统奥巴马是2009年度诺贝尔和平奖获得者．命题角度2命题的否定与否命题例2写出下列各命题的否定及其否命题，并判断它们的真假．(1)若x、y都是奇数，则x＋y是偶数；(2)若x2－3x－10＝0，则x＝－2或x＝5.反思与感悟原命题是“若A，则B”，其否定是“若A，则綈B”，条件不变，否定结论；其否命题是“若綈A，则綈B”，既要否定条件，又要否定结论．跟踪训练2写出下列命题的否定和命题的否命题．(1)若a>b，则a－2>b－2；(2)到圆心的距离等于半径的点在圆上．类型二命题否定的综合应用例3设命题p：函数f(x)＝log a|x|在(0，＋∞)上单调递增，命题q：关于x的方程x2＋2x＋log a 32＝0的解集只有一个子集．若“p或q”为真，“綈p或綈q”也为真，求实数a的取值范围．反思与感悟由真值表可判断p或q、p且q、綈p命题的真假，反之，由p或q，p且q，綈p命题的真假也可判断p、q的真假情况．一般求满足p假成立的参数范围，应先求p真成立的参数的范围，再求其补集．跟踪训练3已知命题p：方程x2＋2ax＋1＝0有两个大于－1的实数根，命题q：关于x的不等式ax2－ax＋1>0的解集为R，若“p或q”与“綈q”同时为真命题，求实数a的取值范围．1．已知命题p：3≥3，q：3>4，则下列判断正确的是()A．p或q为真，p且q为真，綈p为假B．p或q为真，p且q为假，綈p为真C．p或q为假，p且q为假，綈p为假D．p或q为真，p且q为假，綈p为假2．若p是真命题，q是假命题，则()A．p且q是真命题B．p或q是假命题C．綈p是真命题D．綈q是真命题3．在一次跳伞训练中，甲、乙两位学员各跳一次，设命题p是“甲降落在指定范围”，q 是“乙降落在指定范围”，则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为() A．(綈p)或(綈q) B. p或(綈q)C．(綈p)且(綈q) D．p且q4．已知命题p：|x＋1|>2，命题q：5x－6>x2，则綈p是綈q的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件5．若命题p：2n－1是奇数，n∈Z，q：2n＋1是偶数，n∈Z.则p，q，綈p，綈q，p且(綈p)，p或(綈p)，p且(綈q)，p或(綈q)，綈p且(綈q)，(綈p)或(綈q)中真命题的个数是________．1．若命题p为真，则“綈p”为假；若p为假，则“綈p”为真，类比集合知识，“綈p”就相当于集合P在全集U中的补集∁U P.因此(綈p)且p为假，(綈p)或p为真．2．命题的否定只否定结论，否命题既否定结论又否定条件，要注意区别．答案精析问题导学知识点一思考1 命题q 是对命题p 的否定，“非”表示“否定”“不是”“问题的反面”等． 思考2 ①p 为真命题，q 为假命题；②p 为真命题，q 为假命题．若p 为真命题，则綈p 为假命题．梳理 (1)綈p p 的否定 假命题真命题知识点二思考 命题p 的否命题：如果一个四边形不是平行四边形，那么它的对角线不相等；命题p 的否定：平行四边形的对角线不相等．梳理 (2)不等于(≠) 不大于(≤) 不小于(≥) 不能 不是 不都(全)是 某个 某两个 某些 至少两个 一个也没有 至少有(n ＋1)个 非p 且非q题型探究例1 解 (1)命题是“p 且q ”的形式，其中p ：x ∈(0,2)，函数y ＝x 2－x －1的最小值是－54；q ：x ∈(0,2)，函数y ＝x 2－x －1的最大值是1.p 真，q 假，该命题的否定是“x ∈(0,2)，函数y ＝x 2－x －1的最小值不是－54或最大值不是1”，这是“綈p 或綈q ”形式的复合命题，因为綈p 假，綈q 真，所以“綈p 或綈q ”为真命题．(2)命题是“p 或q ”的形式，其中p ：“100是10的倍数”；q ：“100是20的倍数”．它的否定形式为“綈p 且綈q ”，即“100不是10的倍数且不是20的倍数”是假命题． 跟踪训练1 解 (1)綈p ：三角形的内角和不等于180°.因为p 为真，故綈p 为假．(2)綈p ：美国总统奥巴马不是2009年度诺贝尔和平奖获得者．因为p 为真，故綈p 为假．例2 解 (1)命题的否定：若x 、y 都是奇数，则x ＋y 不是偶数，为假命题；命题的否命题：若x ，y 不都是奇数，则x ＋y 不是偶数，为假命题．(2)命题的否定：若x 2－3x －10＝0，则x ≠－2且x ≠5，为假命题；命题的否命题：若x 2－3x －10≠0，则x ≠－2且x ≠5，为真命题．跟踪训练2 解 (1)命题的否定：若a >b ，则a －2≤b －2；否命题：若a ≤b ，则a －2≤b －2.(2)命题的否定：到圆心的距离等于半径的点不在圆上；否命题：到圆心的距离不等于半径的点不在圆上．例3 解 当命题p 是真命题时，应有a >1；当命题q 是真命题时，关于x 的方程x 2＋2x ＋log a 32＝0无解， 所以Δ＝4－4log a 32<0， 解得1<a <32. 由于“p 或q ”为真，所以p 和q 中至少有一个为真，又“綈p 或綈q ”也为真，所以綈p 和綈q 中至少有一个为真，即p 和q 中至少有一个为假，故p 和q 中一真一假．p 假q 真时，a 无解；p 真q 假时，a ≥32. 综上所述，实数a 的取值范围是a ≥32. 跟踪训练3 解 命题p ：方程x 2＋2ax ＋1＝0有两个大于－1的实数根，等价于 ⎩⎪⎨⎪⎧ Δ＝4a 2－4≥0，x 1＋x 2>－2，(x 1＋1)(x 2＋1)>0⇔⎩⎪⎨⎪⎧ a 2－1≥0，－2a >－2，2－2a >0，解得a ≤－1.命题q ：关于x 的不等式ax 2－ax ＋1>0的解集为R ，等价于a ＝0或⎩⎨⎧a >0，Δ<0.由于⎩⎨⎧ a >0，Δ<0⇔⎩⎪⎨⎪⎧a >0，a 2－4a <0， 解得0<a <4，所以0≤a <4.因为“p 或q ”与“綈q ”同时为真命题， 即p 真且q 假， 所以⎩⎪⎨⎪⎧a ≤－1，a <0或a ≥4，解得a ≤－1. 故实数a 的取值范围是(－∞，－1]． 当堂训练1．D 2.D 3.A 4.A 5.6。
数学北师大版选修1-1导学案-1.1命题
§1.1 命题[学习目标]1.知道命题的概念；2.会判断一个命题的真假，并会将一个命题改写成“若p，则q”的形式；3.能写出一个命题的逆命题、否命题与逆否命题，能判断四种命题的相互关系及其真假。
一、知识记忆与理解[自主预习]阅读教材P3-P5，完成下列问题1.判断下列语句的对错（1）矩形的对角线相等（）（2）3>12 （）（3）8是24的约数（）（4）两条直线相交，有且只有一个交点（）2.命题的概念3.真命题、假命题的概念4.四种命题的概念：下列四个命题中,命题(1)与命题(2)(3)(4)的条件和结论之间分别有什么关系?(1)若f(x)是正弦函数,则f(x)是周期函数;(2)若f(x)是周期函数,则f(x)是正弦函数;(3)若f(x)不是正弦函数,则f(x)不是周期函数;(4)若f(x)不是周期函数,则f(x)不是正弦函数;原命题:逆命题:否命题:逆否命题:5.四种命题的相互关系图[预习检测]1．判断下列语句中哪些是命题？是真命题还是假命题？（1）空集是任何集合的子集；（2）若整数a是素数，则a是奇数；（3）2小于或等于2；（4）对数函数是增函数吗？2.课本P5练习题1、2二、思维探究与创新[问题探究]1.命题真假的判断探究一：将下列命题改写成“若p，则q”的形式，并判断其真假。
（1）两条直线相交有且只有一个交点；（2）对顶角相等；（3）全等的两个三角形面积也相等。
变式1:将下列命题改写成“若p，则q”的形式，并判断其真假。
（1）同位角相等，两直线平行；（2）正弦函数是周期函数；（3）线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等；（4）空集是任何集合的子集；（5）平面内不相交的两条直线一定平行。
2．四种命题探究二：写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它们的真假：整理反思班级：小组：姓名：1第一章一节阳光总在风雨后班级： 小组： 姓名： 2 第一章一节 阳光总在风雨后 （1）若0a =,则0ab =； （2）若b a =，则b a =； （3）若b a >，则ba 11<； （4）若bc ac =，则b a =。
高中数学选修1-1第一章学案小练习北师大版
①m＞ 1 时，mx2－x＋1＝0无实根； 4
②当 abc＝0 时，a＝0 或 b＝0 或 c＝0．
11. 写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题，并指出他们的真假： (1)若 xy=0，则 x，y 中至少有一个是 0；
(2)若 x＞0，y＞0，则 xy＞0；
【知识应用】
12.证明：若 a2 b2 2a 4b 3 0 ，则： a b 1
4. 命题 p：若 A∩B=B，则 A B ；命题 q：若 A B ，则 A∩B≠B．那么命题 p 与命题
q 的关系是（ ）
A．互逆
B．互否
C．互为逆否命题
D．不能确定
5. 对以下四个命题的判断正确的是 ( )
2
(1)原命题：若一个自然数的末位数字为 0，则这个自然数能被 5 整除
(2)逆命题：若一个自然数能被 5 整除，则这个自然数的末位数字为 0
二、知识探究（试一试） 思考 1：下列四个命题中，命题（1）与命题（2）、（3）、（4）的条件与结论之间分别有什么关系？
（1）若 f(x)是正弦函数，则 f(x)是周期函数． （2）若 f(x)是周期函数，则 f(x)是正弦函数． （3）若 f(x)不是正弦函数，则 f(x)不是周期函数． （4）若 f(x)不是周期函数，则 f(x)不是正弦函数． 归纳总结 （１）和（２）这样的两个命题叫做___________命题， （１）和（３）这样的两个命题叫做___________命题， （１）和（４）这样的两个命题叫做_________________命题。 抽象概括
（3） sin sin 是 的充分条件；
4
（4） ab 0 是 a 0 的充分条件
⑷ p 是 q 的充要条件：__________________________________
2018-2019版高中数学北师大版选修1-1课件：第一章 章末复习课
要(必要不充分、充要)条件，则p是q的必要不充分(充分不必要、充要)
条件.
跟踪训练3 已知p：2x2－9x＋a<0，q：2<x<3且綈q是綈p的必要条件，
求实数a的取值范围. 解答 ∵綈q是綈p的必要条件，
∴q是p的充分条件，
反思与感悟
逆否命题：把原命题中否定了的结论作条件、否定了的条件作结论. (2)命题真假的判断方法
跟踪训练1
下列四个结论：①已知a，b，c∈R，命题“若a＋b＋c＝3，则
a2 ＋ b2 ＋ c2≥3” 的否命题是 “ 若 a ＋ b ＋ c≠3 ，则 a2 ＋ b2 ＋ c2<3” ；②命题 “若x－sin x＝0，则x＝0”的逆命题为“若x≠0，则x－sin x≠0”；③命题
必要条件；若A＝B，则A是B的充要条件.
跟踪训练2 使a>b>0成立的一个充分不必要条件是 答案 A.a2>b2>0 C.ln a>ln b>0 B. a> log 1 b>0 log 1
2 2
解析
D.xa>xb且x>0.5
命题角度2 充分条件与必要条件的应用 例3 设命题p：实数x满足x2－4ax＋3a2<0，其中a>0，命题q：实数x满足
∴a>0且b>0是a＋b>0且ab>0的充要条件.
反思与感悟
条件的充要关系的常用判断方法
(1)定义法：直接判断若p则q，若q则p的真假.
(2)等价法：利用A⇒B与綈B⇒綈A，B⇒A与綈A⇒綈B，A⇔B与綈B⇔綈A
的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法.
高中数学北师大版选修1-1第一章《习题1—1》省级名师优质课教案比赛获奖教案示范课教案公开课教案
高中数学北师大版选修1-1第一章《习题1—1》省级名师优质课教案比赛获奖教案示范课教案公开课教案
【省级名师教案】
1教学目标
2学情分析
3重点难点
重点: 命题的概念和四种命题间的相互关系.
难点:命题的概念和四种命题间的相互关系.
4教学过程
4.1第一学时
教学活动
1【导入】命题及其基本关系
一、引入新课
思考下列语句的表述形式有什么特点?你能判断他们的真假吗?
(1)若直线∥ ,则直线与直线没有公共点 .
(2)2+4=7.
(3)垂直于同一条直线的两个平面平行.
(4)若 ,则 .
(5)两个全等三角形的面积相等.
(6)3能被2整除.
学生通过讨论,总结:所有句子的表述都是陈述句的形式,每句话都判断什么事情.其中(1)(3) (5)的判断为真,(2)(4)(6)的判断为假.
教师的引导分析:所谓判断,就是肯定一个事物是什么或不是什么,不能含混不清.
我们在初中已经学过许多数学命题,什么叫做命题?你能举出一些数学命题的例子吗?。
2018版高中数学北师大版选修1-1学案第一章 章末复习课
学习目标.理解命题及四种命题的概念，掌握四种命题间的相互关系.理解充分、必要条件的概念，掌握充分、必要条件的判定方法.理解逻辑联结词的含义，会判断含有逻辑联结词的命题的真假.理解全称量词、存在量词的含义，会判断全称命题、特称命题的真假，会求含有一个量词的命题的否定．
知识点一四种命题的关系
原命题与逆否命题为等价命题，逆命题与否命题为等价命题．
知识点二充分条件、必要条件的判断方法
．直接利用定义判断：即若⇒成立，则是的充分条件，是的必要条件．(条件与结论是相对的)
．利用等价命题的关系判断：⇒的等价命题是綈⇒綈，即若綈⇒綈成立，则是的充分条件，是的必要条件．
．从集合的角度判断充分条件、必要条件和充要条件
若
⊆，则是的充分条件，若，则是的充分不
必要条件
若
⊆，则是的必要条件，若，则是的必要不
充分条件
若＝，则，互为充要条件
若⊈且⊈，则既不是的充分条件，也不是的
必要条件
其中：＝{()成立}，：＝{()成立}．
知识点三全称命题与特称命题
．全称命题与特称命题真假的判断方法
()判断全称命题为真命题，需严格的逻辑推理证明，判断全称命题为假命题，只需举出一个反例．
()判断特称命题为真命题，需要举出正例，而判断特称命题为假命题时，要有严格的逻辑证明．
．含有一个量词的命题否定的关注点
全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题．否定时既要改写量词，又要否定结论．
知识点四简易逻辑联结词“且、或、非”的真假判断
可以概括为口诀：“与綈”一真一假，“或”一真即真，“且”一假就假．
綈或且
真真假真真。
高中数学北师大版选修1-1教案-§1 命题_教学设计_教案
教学准备1. 教学目标了解命题的逆命题、否命题与、逆否命题的概念，明白四种命题的关系，能求一般命题的逆命题、否命题、逆否命题．合理进行思维的方法，正确判断命题的真假，初步形成运用逻辑知识准确地表述问题的数学意识2. 教学重点/难点教学重点：逆命题、否命题、逆否命题的概念及求法．教学难点：把命题写成若P则q的形式。
3. 教学用具4. 标签教学过程一、创设情境在我们日常生活中，经常涉及到逻辑上的问题。
无论是进行思考、交流，还是从事各项工作，都需要用逻辑用语表达自己的思想，需要用逻辑关系进行判断和推理。
因此，正确使用逻辑用语和逻辑关系是现代社会公民应该具备的基本素质。
本章我们将从命题及其关系入手，学习四种命题的相互关系、充分条件和必要条件，学习逻辑用语，了解数理逻辑的有关知识，体会逻辑用语在表述或论证中的作用，使以后的论证和表述更加准确、清楚和简洁。
在学习过程中我们应避免对逻辑用语的机械记忆和抽象解释，而应该通过具体、生动的实例来使学生体会常用的逻辑用语，学习使用常用的逻辑用语，掌握常用逻辑用语，并在使用过程中纠正出现的逻辑错误。
在初中我们已经学过命题的有关概念，下面我们来复习一下：二、活动尝试问题1:下列语句的表述形式有什么特点？你能判断它们的真假吗？①若xy＝1，则x、y互为倒数；②相似三角形的周长相等；③2+4=5④如果≤－1，那么方程有实根；⑤若，则；⑥3不能被2整除；结论：这些语句都是陈述句，且它们都能判断真假。
一般地，我们用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句，叫做命题；其中判断为正确的命题，为真命题；判断为不正确的命题，为假命题；上述命题中①④⑥为真命题，②③⑤为假命题；三、师生探究问题2:判断下列命题的真假，你能发现各命题之间有什么关系？①如果两个三角形全等，那么它们的面积相等；②如果两个三角形的面积相，那么它们全等；③如果两个三角形不全等，那么它们的面积不相等；④如果两个三角形不相等，那么它们不全等；结论：命题①④为真，②③为假；①与②、③与④条件和结论互逆，①与③、②与④条件和结论互否；四、数学理论1.原命题与逆命题的知识即在两个命题中，如果第一个命题的条件（或题设）是第二个命题的结论，且第一个命题的结论是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题；如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个叫做原命题的逆命题.例如，如果原命题是：⑴同位角相等，两直线平行；它的逆命题就是：⑵两直线平行，同位角相等.2. 否命题与逆否命题的知识即在两个命题中，一个命题的条件和结论分别是另一个命题的条件的否定和结论的否定，这样的两个命题就叫做互否命题，若把其中一个命题叫做原命题，则另一个就叫做原命题的否命题.例如⑶同位角不相等，两直线不平行；⑷两直线不平行，同位角不相等.3. 原命题与逆否命题的知识即在两个命题中，一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论的否定和条件的否定，这样的两个命题就叫做互为逆否命题，若把其中一个命题叫做原命题，则另一个就叫做原命题的否命题.概括地说，设命题⑴为原命题，则命题⑵为逆命题；命题⑶为否命题；命题⑷为逆否命题.关于逆命题、否命题与逆否命题，也可以这样表述：⑴交换原命题的条件和结论，所得的命题是逆命题；⑵同时否定原命题的条件和结论，所得的命题是否命题；⑶交换原命题的条件和结论，并且同时否定，所得的命题是逆否命题.4.四种命题的形式五、巩固运用例1.写出命题“若a=0,则ab=0”的逆命题、否命题、逆否命题，并判断各命题的真假。
2018版高中数学北师大版选修1-1学案：第一章 疑难规律
1解逻辑用语问题的三绝招1．化为集合——理清关系充分(必要)条件是高中学段的一个重要概念，并且是理解上的一个难点．要解决这个难点，将抽象的概念用直观、形象的图形表示出来，看得见、想得通，才是最好的方法．本节使用集合模型对充要条件的外延与内涵作了直观形象的解释，实践证明效果较好．集合模型解释如下：①A是B的充分条件，即A⊆B.(如图1)②A是B的必要条件，即B⊆A.(如图2)③A是B的充要条件，即A＝B.(如图3)图1图2图3④A是B的既不充分又不必要条件，即A∩B＝∅或A、B既有公共元素也有非公共元素．或例1“x2－3x＋2≥0”是“x≥1”的________________条件．(填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”或“既不充分又不必要”)解析设命题p：“x2－3x＋2≥0”，q：“x≥1”对应的集合分别为A、B，则A＝{x|x≤1或x≥2}，B＝{x|x≥1}，显然“A⊈B，B⊈A”，因此“x2－3x＋2≥0”是“x≥1”的既不充分又不必要条件．答案既不充分又不必要2．抓住量词——对症下药全称命题与特称命题是两类特殊的命题，这两类命题的否定又是这部分内容中的重要概念，解决有关此类命题的题目时一定要抓住决定命题性质的量词，理解其相应的含义，从而对症下药．例2 (1)已知命题p ：“任意x ∈[1,2]，x 2－a ≥0”，与命题q ：“存在x ∈R ，x 2＋2ax ＋2＋a ＝0”都是真命题，则实数a 的取值范围为______________．(2)已知命题p ：“存在x ∈[1,2]，x 2－a ≥0”与命题q ：“存在x ∈R ，x 2＋2ax ＋2＋a ＝0”都是真命题，则实数a 的取值范围为____________．解析 (1)将命题p 转化为“当x ∈[1,2]时，(x 2－a )min ≥0”，即1－a ≥0，即a ≤1.命题q ：即方程有解，Δ＝(2a )2－4×(2＋a )≥0，解得a ≤－1或a ≥2.综上所述，a ≤－1.(2)将命题p 转化为当x ∈[1,2]时，(x 2－a )max ≥0，即4－a ≥0，即a ≤4.命题q 同(1)．综上所述a ≤－1或2≤a ≤4.答案 (1)(－∞，－1] (2)(－∞，－1]∪[2,4]点评 认真比较两题就会发现，两题形似而神异，所谓失之毫厘，谬之千里，需要我们抓住这类问题的本质——量词，有的放矢．3．等价转化——提高速度在四种命题的关系、充要条件、简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词中，时时刻刻渗透着等价转化思想，例如互为逆否命题的两个命题(原命题与逆否命题或逆命题与否命题)一定同真或同假，它们就是等价的；但原命题与逆命题不等价，即原命题为真，其逆命题不一定为真．例3 设p ：⎩⎪⎨⎪⎧ 3x ＋4y －12>0，2x －y －8≤0，x －2y ＋6≥0，q ：x 2＋y 2≤r 2 (r >0)，若q 是綈p 的充分不必要条件，求r的取值范围．分析 “q 是綈p 的充分不必要条件”等价于“p 是綈q 的充分不必要条件”．设p 、q 对应的集合分别为A 、B ，则可由A ∁R B 出发解题．解 设p 、q 对应的集合分别为A 、B ，将本题背景放到直角坐标系中，则点集A 表示平面区域，点集∁R B 表示到原点距离大于r 的点的集合，即圆x 2＋y 2＝r 2外的点的集合． ∵A ∁R B 表示区域A 内的点到原点的最近距离大于r ，∴直线3x ＋4y －12＝0上的点到原点的最近距离大于r ，∵原点O 到直线3x ＋4y －12＝0的距离d ＝|－12|32＋42＝125，∴r 的取值范围为0<r <125. 点评 若直接解的话，q 是綈p 的充分不必要条件即为x 2＋y 2≤r 2 (r >0)在p ：⎩⎪⎨⎪⎧ 3x ＋4y －12>0，2x －y －8≤0，x －2y ＋6≥0所对应的区域的外部，也是可以解决的．但以上解法将“q 是綈p 的充分不必要条件”等价转化为“p 是綈q 的充分不必要条件”，更好地体现了相应的数学思想方法．2 命题的否定与否命题辨与析否命题与命题的否定是逻辑关系中的两个相似知识点，但又有着本质的区别，应注意弄清它们的区别和正确表述，下面从以下两个方面来看一下它们的区别．1．否命题与命题的否定的概念设命题“若A ，则B ”为原命题，那么“若綈A ，则綈B ”为原命题的否命题，“若A ，则綈B ”为原命题的否定．所以从概念上看“否命题”是对原命题的条件和结论同时否定后得到的新命题，而且否定的条件仍为条件，否定的结论仍为结论．“命题的否定”是对原命题结论的全盘否定，即“命题的否定”与原命题的条件相同，结论相反．例1 写出下列命题的否命题及否定：(1)若|x |＋|y |＝0，则x ，y 全为0；(2)函数y ＝x ＋b 的值随x 的增加而增加．分析 问题(1)直接依据格式写出相应的命题；问题(2)先改写成“若A ，则B ”的形式，然后再写出相应的命题．解 (1)原命题的条件为“|x |＋|y |＝0”，结论为“x ，y 全为0”．写原命题的否命题需同时否定条件和结论，所以原命题的否命题为“若|x |＋|y |≠0，则x ，y 不全为0”．写原命题的否定只需否定结论，所以原命题的否定为“若|x |＋|y |＝0，则x ，y 不全为0”．(2)原命题可以改写为“若x 增加，则函数y ＝x ＋b 的值也随之增加”．否命题为“若x 不增加，则函数y ＝x ＋b 的值也不增加”；命题的否定为“若x 增加，则函数y ＝x ＋b 的值不增加”．2．否命题与命题的否定的真假从命题的真假上看，原命题与其否命题的真假没有必然的关系，原命题为真，其否命题可能为真，也可能为假；原命题为假，其否命题可能为真，也可能为假．但是原命题与其否定的真假必相反，原命题为真，则其否定为假；原命题为假，则其否定为真．这也可以作为检验写出的命题是否正确的标准．例2写出下列命题的否命题与命题的否定，并判断原命题、否命题和命题的否定的真假：(1)若x2<4，则－2<x<2；(2)若m>0且n>0，则m＋n>0.分析依据定义分别写出否命题与命题的否定．根据不等式及方程的性质逐个判断其真假．解(1)否命题：“若x2≥4，则x≥2或x≤－2”．命题的否定：“若x2<4，则x≥2或x≤－2”．通过解不等式可以知道，原命题为真，否命题为真，命题的否定为假．(2)否命题：“若m≤0或n≤0，则m＋n≤0”．命题的否定：“若m>0且n>0，则m＋n≤0”．由不等式的性质可以知道，原命题为真，否命题为假，命题的否定为假.3走出逻辑用语中的误区误区1所有不等式、集合运算式都不是命题例1判断下列语句是不是命题，若是命题，判断其真假．(1)x＋2>0；(2)x2＋2>0；(3)A∩B＝A∪B；(4)A⊆A∪B.错解(1)、(2)、(3)、(4)都不是命题．剖析(1)中含有未知数x，且x不定，所以x＋2的值也不定，故无法判断x＋2>0是否成立，不能判断其真假，故(1)不是命题；(2)x虽为未知数，但x2≥0，所以x2＋2≥2，故可判断x2＋2>0成立，故(2)为真命题．(3)若A＝B，则A∩B＝A∪B＝A＝B；若A B，则A∩B＝A A∪B＝B.由于A，B的关系未知，所以不能判断其真假，故(3)不是命题．(4)A为A∪B的子集，故A⊆A∪B成立，故(4)为真命题．正解(2)、(4)是命题，且都为真命题．误区2原命题为真，其否命题必为假例2判断下列命题的否命题的真假：(1)若a＝0，则ab＝0；(2)若a2>b2，则a>b.错解(1)因为原命题为真命题，故其否命题是假命题；(2)因为原命题为假命题，故其否命题为真命题．剖析否命题的真假与原命题的真假没有关系，否命题的真假不能根据原命题的真假来判断，应先写出命题的否命题，再判断．正解(1)否命题为：若a≠0，则ab≠0，是假命题；(2)否命题为：若a2≤b2，则a≤b，是假命题．误区3搞不清谁是谁的条件例3使不等式x－3>0成立的一个充分不必要条件是()A．x>3 B．x>4C．x>2 D．x∈{1,2,3}错解由不等式x－3>0成立，得x>3，显然x>3⇒x>2，又x>2D⇒/x>3，因此选C.剖析若p的一个充分不必要条件是q，则q⇒p，pD⇒/q.本题要求使不等式x－3>0成立的一个充分不必要条件，又x>4⇒x－3>0，而x－3>0D⇒/x>4，所以使不等式x－3>0成立的一个充分不必要条件为x>4.正解 B误区4用“且”“或”联结命题时只联结条件或结论例4(1)已知p：方程(x－11)(x－2)＝0的根是x＝11；q：方程(x－11)(x－2)＝0的根是x＝2，试写出“p或q”．(2)p：四条边相等的四边形是正方形；q：四个角相等的四边形是正方形，试写出“p且q”．错解(1)p或q：方程(x－11)(x－2)＝0的根是x＝11或x＝2.(2)p且q：四条边相等且四个角相等的四边形是正方形．剖析(1)(2)两题中p，q都是假命题，所以“p或q”，“p且q”也都应是假命题．而上述解答中写出的两命题却都是真命题．错误原因是：(1)只联结了两个命题的结论；(2)只联结了两个命题的条件．正解(1)p或q：方程(x－11)(x－2)＝0的根是x＝11或方程(x－11)(x－2)＝0的根是x＝2.(2)p且q：四条边相等的四边形是正方形且四个角相等的四边形是正方形．误区5不能正确否定结论例5p：方程x2－5x＋6＝0有两个相等的实数根，试写出“綈p”．错解綈p：方程x2－5x＋6＝0有两个不相等的实数根．剖析命题p的结论为“有两个相等的实数根”，所以“綈p”应否定“有”，而不能否定“相等”．正解綈p：方程x2－5x＋6＝0没有两个相等的实数根．误区6对含有一个量词的命题否定不完全例6已知命题p：存在一个实数x，使得x2－x－2<0，写出綈p.错解一綈p：存在一个实数x，使得x2－x－2≥0.错解二綈p：对任意的实数x，都有x2－x－2<0.剖析该命题是特称命题，其否定是全称命题，但错解一中得到的綈p仍是特称命题，显然只对结论进行了否定，而没有对存在量词进行否定；错解二中只对存在量词进行了否定，而没有对结论进行否定．正解綈p：对任意的实数x，都有x2－x－2≥0.误区7忽略了隐含的量词例7写出下列命题的否定：(1)不相交的两条直线是平行直线；(2)奇函数的图像关于y轴对称．错解(1)不相交的两条直线不是平行直线；(2)奇函数的图像不关于y轴对称．剖析以上错误解答在于没有看出这两个命题都是全称命题．对于一些量词不明显或不含有量词，但其实质只是在文字叙述上省略了某些量词的命题，要特别引起注意．正解(1)存在不相交的两条直线不是平行直线；(2)存在一个奇函数的图像不关于y轴对称．4 解“逻辑”问题需强化三意识1．转化意识由于互为逆否的两个命题同真假，因此，当原命题的真假不易判断或证明原命题较困难时，可以转化为逆否命题的真假来判断或证明．例1 证明：若a 2－b 2＋2a －4b －3≠0，则a －b ≠1.证明 命题“若a 2－b 2＋2a －4b －3≠0，则a －b ≠1”的逆否命题是“若a －b ＝1，则a 2－b 2＋2a －4b －3＝0”．由a －b ＝1得a 2－b 2＋2a －4b －3＝(a ＋b )(a －b )＋2(a －b )－2b －3＝a －b －1＝0.∵原命题的逆否命题是真命题，∴原命题也是真命题．故若a 2－b 2＋2a －4b －3≠0，则a －b ≠1.例2 已知p ：x 2－8x －20>0，q ：x 2－2x ＋1－a 2>0，若p 是q 的充分不必要条件，求正实数a 的取值范围．分析 将充分、必要条件转化为集合之间的关系，进而转化为集合运算问题．解 解不等式x 2－8x －20>0，得p ：A ＝{x |x >10或x <－2}；解不等式x 2－2x ＋1－a 2>0，得q ：B ＝{x |x >1＋a 或x <1－a ，a >0}．依题意p ⇒q ，但qD ⇒/p ，说明A B .于是有⎩⎪⎨⎪⎧ a >01＋a ≤101－a >－2或⎩⎪⎨⎪⎧a >01＋a <101－a ≥－2，解得0<a ≤3.所以正实数a 的取值范围是(0,3]．2．简化意识判断命题真假的关键：一是识别命题的构成形式；二是分别将各命题简化，对等价的简化命题进行判断．例3 已知命题p ：函数y ＝log 0.5(x 2＋2x ＋a )的值域为R ，命题q ：函数y ＝－(5－2a )x 是R 上的减函数．若p 或q 为真命题，p 且q 为假命题，则实数a 的取值范围是________． 解析 函数y ＝log 0.5(x 2＋2x ＋a )的值域为R ，即y ＝x 2＋2x ＋a 的值域是(0，＋∞)，即在方程x 2＋2x ＋a ＝0中，Δ＝4－4a ≥0⇔a ≤1，即p 真⇔a ≤1；函数y ＝－(5－2a )x 是减函数⇔5－2a >1⇔a <2，即q真⇔a<2.由p或q为真命题，p且q为假命题，知命题p，q中必有一真一假．若p真q假，则无解；若p假q真，则1<a<2.故满足题意的实数a的取值范围是(1,2)．答案(1,2)点评若命题“p或q”“p且q”中含有参数，求解时，可以先等价转化命题p，q，直至求出这两个命题为真时参数的取值范围，再依据“p或q”“p且q”的真假情况确定参数的取值范围．3．反例意识在“逻辑”中，经常要对一个命题的真假(尤其是假)作出判断，若直接从正面判断一个命题是假命题不易进行，这时可以通过举出恰当的反例来说明，这是一个简单有效的办法．例4设A，B为两个集合，则下列四个命题中真命题的序号是________．①A⊈B⇔对任意x∈A，都有x∉B；②A⊈B⇔A∩B＝∅；③A⊈B⇔B A；④A⊈B⇔存在x∈A，使得x∉B.分析画出表示A B的V enn图进行判断．解析画出Venn图，如图1所示，则A B⇔存在x∈A，使得x∈B，故①②是假命题，④是真命题．A B⇒B A不成立的反例如图2所示．同理可得B A⇒A B不成立．故③是假命题．综上知，真命题的序号是④.答案④。
2018版高中数学北师大版选修1-1学案：第一章 常用逻辑用语 §1 命 题 Word版含答案
[学习目标] 1.了解命题的概念.2.会判断命题的真假，能够把命题化为“若p，则q”的形式.3.了解命题的逆命题、否命题与逆否命题，会分析四种命题的相互关系.4.会判断四种命题的真假.知识点一命题的定义(1)用文字或符号表述的，可以判断真假的语句叫作命题.(2)判断为真的语句叫作真命题.(3)判断为假的语句叫作假命题.思考(1)“x>5”是命题吗？(2)陈述句一定是命题吗？答案(1)“x>5”不是命题，因为它不能判断真假.(2)陈述句不一定是命题，因为不知真假.只有可以判断真假的陈述句才叫作命题.知识点二命题的结构从构成来看，所有的命题都由条件和结论两部分构成.在数学中，命题常写成“若p，则q”的形式.通常，我们把这种形式的命题中的p叫作命题的条件，q叫作命题的结论.知识点三四种命题的概念(1)互逆命题：对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么这两个命题叫作互逆命题.其中一个命题叫作原命题，另一个叫作原命题的逆命题. (2)互否命题：对于两个命题，其中一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的条件的否定和结论的否定，这两个命题叫作互否命题.其中一个命题叫作原命题，另一个叫作原命题的否命题.(3)互为逆否命题：对于两个命题，其中一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的结论的否定和条件的否定，这两个命题叫作互为逆否命题.其中一个命题叫作原命题，另一个叫作原命题的逆否命题.知识点四四种命题间的关系及真假判断(1)四种命题间的关系(2)四种命题的真假判断①原命题为真，它的逆命题可以为真，也可以为假.②原命题为真，它的否命题可以为真，也可以为假.③原命题为真，它的逆否命题一定为真.④互为逆否的两个命题是等价命题，它们同真同假，同一个命题的逆命题和否命题是一对互为逆否的命题，所以它们同真同假.题型一命题的判断例1(1)下列语句为命题的是()A.x－1＝0B.2＋3＝8C.你会说英语吗？D.这是一棵大树(2)下列语句为命题的有________.①一个数不是正数就是负数；②梯形是不是平面图形呢？③22 015是一个很大的数；④4是集合{2,3,4}的元素；⑤作△ABC≌△A′B′C′.答案(1)B(2)①④解析(1)A中x不确定，x－1＝0的真假无法判断；B中2＋3＝8是命题，且是假命题；C不是陈述句，故不是命题；D中“大”的标准不确定，无法判断真假.(2)①是陈述句，且能判断真假；②不是陈述句；③不能断定真假；④是陈述句且能判断真假；⑤不是陈述句.反思与感悟并不是所有的语句都是命题，只有能判断真假的语句才是命题.命题首先一般是“陈述句”，其他语句如疑问句、祈使句、感叹句等一般都不是命题；其次是“能判断真假”，不能判断真假的陈述句不是命题，如“x≥2”、“小高的个子很高”等都不能判断真假，故都不是命题.因此，判断一个语句是否为命题，关键有两点：①是否为陈述句；②能否判断真假.。
[k12精品]2018北师大版高中数学选修1-1学案：第一章 2.1 充分条件- 2.2 必要条件
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2．1充分条件2．2必要条件学习目标 1.结合具体实例，理解充分条件、必要条件的意义.2.掌握充分条件、必要条件的判断方法.3.通过对充分条件、必要条件的概念的理解和运用，培养分析、判断和归纳的逻辑思维能力．知识点一充分条件与必要条件的概念给出下列命题：(1)若x>a2＋b2，则x>2ab；(2)若ab＝0，则a＝0.思考1你能判断这两个命题的真假吗？思考2命题(1)中条件和结论有什么关系？命题(2)中呢？梳理一般地，“若p，则q”为真命题，是指由p通过推理可以得出q.这时，我们就说，由p可推出q，记作________，并且说p是q的__________，q是p的__________．知识点二充分条件与必要条件的判断知识点三 充分条件、必要条件与集合的关系思考 “x <2”是“x <3”的__________条件，“x <3”是“x <2”的__________条件． 梳理 A ＝{x |x 满足条件p }，B ＝{x|x 满足条件q }类型一 充分条件与必要条件的概念例1 (1)判断下列说法中，p 是q 的充分条件的是______________________________． ①p ：“x ＝1”，q ：“x 2－2x ＋1＝0”；②已知α，β是不同的两个平面，直线a ⊂α，直线b ⊂β，p ：a 与b 无公共点，q ：α∥β； ③设a ，b 是实数，p ：“a ＋b >0”，q ：“ab >0”． (2)下列各题中，p 是q 的必要条件的是________． ①p ：x 2>2 016，q ：x 2>2 015；②p ：ax 2＋2ax ＋1>0的解集是实数集R ，q ：0<a <1； ③已知a ，b 为正实数，p ：a >b >1，q ：log 2a >log 2b >0. 引申探究例1(1)中p 是q 的必要条件的是________． 反思与感悟 充分条件、必要条件的两种判断方法 (1)定义法①确定谁是条件，谁是结论；②尝试从条件推结论，若条件能推出结论，则条件为结论的充分条件，否则就不是充分条件；③尝试从结论推条件，若结论能推出条件，则条件为结论的必要条件，否则就不是必要条件．(2)命题判断法①如果命题：“若p，则q”为真命题，那么p是q的充分条件，同时q是p的必要条件；②如果命题：“若p，则q”为假命题，那么p不是q的充分条件，同时q也不是p的必要条件．跟踪训练1对任意实数a，b，c，在下列命题中，真命题是()A．“ac>bc”是“a>b”的必要条件B．“ac＝bc”是“a＝b”的必要条件C．“ac>bc”是“a>b”的充分条件D．“ac＝bc”是“a＝b”的充分条件类型二充分条件与必要条件的应用例2已知p：x2－x－6≤0，q：x2－4x＋4－9m2≤0，若q是p的充分条件，求正实数m 的取值范围．引申探究若将本例条件变为q是p的必要条件，求正实数m的取值范围．反思与感悟(1)设集合A＝{x|x满足p}，B＝{x|x满足q}，则p⇒q可得A⊆B；q⇒p可得B⊆A；p⇔q可得A＝B，若p是q的充分不必要条件，则A B.(2)利用充分条件、必要条件求参数的取值范围的关键就是找出集合间的包含关系，要注意范围的临界值．跟踪训练2已知p：x<－2或x>10，q：x2－2x＋1－a2>0，若p是q的必要条件，求负实数a的取值范围．1．若a ∈R ，则“a ＝2”是“(a －1)(a －2)＝0”的( ) A ．充分条件 B ．必要条件C ．既不是充分条件，也不是必要条件D ．无法判断2．设x ∈R ，则x >2的一个必要条件是( ) A ．x >1 B ．x <1 C ．x >3D ．x <33．已知函数f (x )的定义域为R ，函数f (x )为奇函数的________条件是f (0)＝0.(填“充分”或“必要”)4．“一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的两根都大于3”是“⎩⎪⎨⎪⎧Δ≥0，x 1＋x 2＞6x 1x 2＞9，”的________条件．(填“充分”或“必要”)5．是否存在实数p ，使得x 2－x －2>0的一个充分条件是4x ＋p <0，若存在，求出p 的取值范围，否则，说明理由．1．充分条件、必要条件的判断方法(1)定义法：直接利用定义进行判断．(2)等价法：“p⇔q”表示p等价于q，等价命题可以进行转换，当我们要证明p成立时，就可以去证明q成立．(3)利用集合间的包含关系进行判断：如果条件p和结论q相应的集合分别为A和B，那么若A⊆B，则p是q的充分条件；若A⊇B，则p是q的必要条件；若A＝B，则p是q的充分必要条件．2．根据充分条件、必要条件求参数的取值范围时，主要根据充分条件、必要条件与集合间的关系，将问题转化为相应的两个集合之间的包含关系，然后建立关于参数的不等式(组)进行求解．答案精析问题导学 知识点一思考1 (1)真命题；(2)假命题．思考2 命题(1)中只要满足条件x >a 2＋b 2，必有结论x >2ab ；命题(2)中满足条件ab ＝0，不一定有结论a ＝0，还可能有结论b ＝0. 梳理 p ⇒q 充分条件 必要条件 知识点二⇒ ⇒/ 充分 必要 充分 必要 知识点三思考 充分 必要 题型探究 例1 (1)①解析 对①，p ⇒q ；②p ⇒/ q ；③p ⇒/ q ，故选①. (2)②③解析 ①q ⇒/ p ；②p ：0≤a <1，故q ⇒p ； ③log 2a >log 2b >0⇒a >b >1， ∴q ⇒p ，故选②③. 引申探究 ①②解析 ①x 2－2x ＋1＝0⇒x ＝1，即q ⇒p ；②⎩⎨⎧α∥β，a ⊂α，b ⊂β⇒a 与b 无公共点，即q ⇒p ；③q ⇒/ p ．故选①②.跟踪训练1 B [∵⎩⎨⎧ac >bc ，c >0⇒a >b ，⎩⎨⎧ac >bc ，c <0⇒a <b ，∴ac >bc ⇒/ a >b ，而由a >b ⇒/ ac >bc ，∴“ac >bc ”既不是“a >b ”的充分条件，也不是必要条件， 故A ，C 错误．又⎩⎨⎧ac ＝bc ，c ≠0⇒a ＝b ， ⎩⎪⎨⎪⎧ac ＝bc ，c ＝0⇒/ a ＝b ， ∴由ac ＝bc ⇒/ a ＝b ， 而由a ＝b ⇒ac ＝bc ，∴“ac ＝bc ”是“a ＝b ”的必要不充分条件，故选B.] 例2 解 解不等式得p ：－2≤x ≤3， 当m >0时，q ：2－3m ≤x ≤2＋3m ， 由q 是p 的充分条件可得q ⇒p ，从而⎩⎨⎧2－3m ≥－2，2＋3m ≤3，m >0⇒0<m ≤13.所以正实数m 的取值范围为(0，13]．引申探究 解 由p ：－2≤x ≤3， q ：2－3m ≤x ≤2＋3m (m >0)， ∵q 是p 的必要条件，∴p ⇒q ， 从而⎩⎪⎨⎪⎧2－3m ≤－2，2＋3m ≥3，m >0，解得m ≥43.∴正实数m 的取值范围为[43，＋∞)．跟踪训练2 解 ∵a <0，解不等式得q ：x <1＋a 或x >1－a ， ∵p 是q 的必要条件，∴q ⇒p ， ∴⎩⎪⎨⎪⎧1＋a ≤－2，1－a ≥10，a <0，解得a ≤－9.故负实数a 的取值范围是a ≤－9. 当堂训练1．A 2.A 3.必要 4.充分 5．解 由x 2－x －2>0， 解得x >2或x <－1. 令A ＝{x |x >2或x <－1}， 由4x ＋p <0，得B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x <－p 4.由题意得B ⊆A ，即－p4≤－1，即p ≥4，此时x <－p4≤－1⇒x 2－x －2>0，∴当p ≥4时，“4x ＋p <0”是“x 2－x －2>0”的一个充分条件．。
北师大版高中数学选修1-1学案：第一章1命 题
北师大版高中数学选修1-1学案：第一章1命题知识点一命题的概念思考1 给出下列语句：①若直线a∥b，则直线a和直线b无公共点；②3＋6＝7；③偶函数的图像关于y轴对称；④5能被4整除．请你找出上述语句的特点．梳理(1)定义可以__________、用文字或符号表述的语句叫作命题．(2)分类①真命题：__________的语句叫作真命题；②假命题：__________的语句叫作假命题．知识点二命题的形式思考 1 你能把“内错角相等”写成“若…，则…”的形式吗？思考 2 “内错角相等”是命题吗？如果是命题，是真命题还是假命题？梳理命题的形式：“若p，则q”，其中命题的条件是p，结论是q.由p能推出q，则为真命题．能举一反例即可确定为假命题．知识点三四种命题的概念思考给出以下四个命题：(1)当x＝2时，x2－3x＋2＝0；(2)若x2－3x＋2＝0，则x＝2；(3)若x≠2，则x2－3x＋2≠0；(4)若x2－3x＋2≠0，则x≠2.你能说出命题(1)与其他三个命题的条件与结论有什么关系吗？梳理一般地，对于两个命题，如果一个命题的条件与结论分别是另一个命题的结论和条件，那么把这两个命题叫作__________．如果是另一个命题条件的否定和结论的否定，那么把这两个命题叫作__________．如果是另一个命题结论的否定和条件的否定，那么把这两个命题叫作______________．把第一个叫作原命题时，另三个可分别称为原命题的逆命题、否命题、逆否命题．知识点四四种命题的关系及其真假判断思考 1 原命题的否命题与原命题的逆否命题之间是什么关系？原命题的逆命题与其逆否命题之间是什么关系？原命题的逆命题与其否命题呢？思考 2 如果原命题是真命题，它的逆命题是真命题吗？它的否命题呢？它的逆否命题呢？梳理(1)四种命题的相互关系(2)在原命题的逆命题、否命题、逆否命题中，一定与原命题真假性相同的是__________．(3)两个命题互为逆命题或互为否命题时，它们的真假性__________．类型一命题的概念例1 下列语句：(1)是无限循环小数；(2)x2－3x＋2＝0；(3)当x＝4时，2x>0；(4)垂直于同一条直线的两条直线必平行吗？(5)一个数不是合数就是素数；(6)作△ABC≌△A′B′C′；(7)二次函数的图像太美了！(8)4是集合{1,2,3}中的元素．其中是命题的是________．(填序号)反思与感悟一般地，判定一个语句是不是命题，要先判断这个语句是不是陈述句，再看能不能判断真假．其流程图如图：跟踪训练1 下列语句中，是命题的为________．①红豆生南国；②作射线AB；③中国领土不可侵犯！④当x≤1时，x2－3x＋2≤0.类型二四种命题及其相互关系命题角度1 四种命题的概念例 2 写出下列命题的逆命题、否命题和逆否命题，并判断它们的真假．(1)若m·n<0，则方程mx2－x＋n＝0有实数根；(2)弦的垂直平分线经过圆心，且平分弦所对的弧；(3)若m≤0或n≤0，则m＋n≤0；(4)在△ABC中，若a>b，则∠A>∠B.反思与感悟四种命题的转换方法(1)交换原命题的条件和结论，所得命题是原命题的逆命题．(2)同时否定原命题的条件和结论，所得命题是原命题的否命题．(3)交换原命题的条件和结论，并且同时否定，所得命题是原命题的逆否命题．跟踪训练2 命题“若函数f(x)＝logax(a>0，a≠1)在其定义域内是减函数，则loga2<0”的逆否命题是( )A．若loga2<0，则函数f(x)＝logax(a>0，a≠1)在其定义域内不是减函数B．若loga2≥0，则函数f(x)＝logax(a>0，a≠1)在其定义域内不是减函数C．若loga2<0，则函数f(x)＝logax(a>0，a≠1)在其定义域内是减函数D．若loga2≥0，则函数f(x)＝logax(a>0，a≠1)在其定义域内是减函数命题角度2 四种命题的相互关系例3 若命题p：“若x＋y＝0，则x，y互为相反数”的否命题为q，命题q的逆命题为r，则r与p的逆命题的关系是( ) A．互为逆命题B．互为否命题C．互为逆否命题D．同一命题反思与感悟(1)判断四种命题之间四种关系的两种方法①利用四种命题的定义判断；②巧用“逆、否”两字进行判断，如“逆命题”与“逆否命题”中不同有“否”一个字，是互否关系；而“逆命题”与“否命题”中不同有“逆、否”二字，其关系为逆否关系．(2)要判断四种命题的真假：首先，要熟悉四种命题的相互关系，注意它们之间的相互性；其次，利用其他知识判断真假时，一定要对有关知识熟练掌握．跟踪训练3 有下列四个命题：①“若x＋y＝0，则x，y互为相反数”的否命题；②一个实数不是正数就是负数；③“若x≤－3，则x2－x－6>0”的否命题；④“同位角相等”的逆命题．其中真命题的个数是________．类型三等价命题的应用例4 判断命题“已知a，x为实数，若关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集非空，则a≥1”的逆否命题的真假．引申探究判断命题“已知a，x为实数，若关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2>0的解集为R，则a<”的逆否命题的真假．反思与感悟由于原命题和它的逆否命题有相同的真假性，即互为逆否命题的两个命题具有等价性，所以我们在直接证明某一个命题为真命题有困难时，可以通过证明它的逆否命题为真命题来间接地证明原命题为真命题．跟踪训练4 证明：若a2－4b2－2a＋1≠0，则a≠2b＋1.1．下列语句是命题的是( )A．2 014是一个大数B．若两条直线平行，则这两条直线没有公共点C．对数函数是增函数吗D．a≤152．命题“垂直于同一条直线的两个平面平行”的条件是( ) A．两个平面B．一条直线C．垂直D．两个平面垂直于同一条直线3．命题“若f(x)是奇函数，则f(－x)是奇函数”的否命题是( )A．若f(x)是偶函数，则f(－x)是偶函数B．若f(x)不是奇函数，则f(－x)不是奇函数C．若f(－x)是奇函数，则f(x)是奇函数D．若f(－x)不是奇函数，则f(x)不是奇函数4．命题“若a>b，则ac2>bc2(a，b，c∈R)”与它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为( )A．0 B．2 C．3 D．45．给出以下命题：①“若x2＋y2≠0，则x、y不全为零”的否命题；②“正多边形都相似”的逆命题；③“若m>0，则x2＋x－m＝0有实根”的逆否命题．其中为真命题的是________．1．可以判断真假的陈述句是命题，命题的条件与结论之间属于因果关系，真命题可以给出证明，假命题只需举出一个反例即可．2．任何命题都是由条件和结论构成的，可以写成“若p，则q”的形式．含有大前提的命题写成“若p，则q”的形式时，大前提应保持不变．3．写四种命题时，可以按下列步骤进行：(1)找出命题的条件p和结论q；(2)写出条件p的否定和结论q的否定；(3)按照四种命题的结构写出所有命题．4．判断命题的真假可以根据互为逆否的命题真假性相同来判断，这也是反证法的理论基础．答案精析问题导学知识点一思考 1 上述语句有两个特点：①都是陈述句；②能够判断真假．梳理(1)判断真假(2)①判断为真②判断为假知识点二思考1 若两个角为内错角，则这两个角相等．思考2 是命题，是假命题．知识点三思考命题(1)的条件和结论与命题(2)的条件和结论恰好互换了．命题(1)的条件与结论恰好是命题(3)条件的否定和结论的否定．命题(1)的条件和结论恰好是命题(4)结论的否定和条件的否定．梳理互逆命题互否命题互为逆否命题知识点四思考1 互逆、互否、互为逆否．思考 2 原命题为真，其逆命题不一定为真，其否命题不一定为真，其逆否命题一定是真命题．梳理(1)逆否互逆(2)逆否命题(3)没有关系题型探究例1 (1)(3)(5)(8)解析本题主要考查命题的判断，判断依据：一是陈述句；二是看能否判断真假．(1)是命题，能判断真假；(2)不是命题，因为语句中含有变量x，在没给变量x赋值前，我们无法判断语句的真假；(3)是命题；(4)不是命题，因为并没有对垂直于同一条直线的两条直线是否平行作出判断；(5)是命题；(6)不是命题；(7)不是命题；(8)是命题．故答案为(1)(3)(5)(8)．跟踪训练1 ①④解析②和③都不是陈述句，根据命题定义可知①④是命题．例 2 解(1)逆命题：若方程mx2－x＋n＝0有实数根，则m·n<0，假命题．否命题：若m·n≥0，则方程mx2－x＋n＝0没有实数根，假命题．逆否命题：若方程mx2－x＋n＝0没有实数根，则m·n≥0，真命题．(2)逆命题：若一条直线经过圆心，且平分弦所对的弧，则这条直线是弦的垂直平分线，真命题．否命题：若一条直线不是弦的垂直平分线，则这条直线不过圆心或不平分弦所对的弧，真命题．逆否命题：若一条直线不经过圆心或不平分弦所对的弧，则这条直线不是弦的垂直平分线，真命题．(3)逆命题：若m＋n≤0，则m≤0或n≤0，真命题．否命题：若m>0且n>0，则m＋n>0，真命题．逆否命题：若m＋n>0，则m>0且n>0，假命题．(4)逆命题：在△ABC中，若∠A>∠B，则a>b，真命题．否命题：在△ABC中，若a≤b，则∠A≤∠B，真命题．逆否命题：在△ABC中，若∠A≤∠B，则a≤b，真命题．跟踪训练 2 B [直接根据逆否命题的定义，将其条件与结论进行否定，再互换，值得注意的是“是减函数”的否定不能写成“是增函数”，而应写成不是减函数．]例3 B [已知命题p：若x＋y＝0，则x，y互为相反数．命题p的否命题q为：若x＋y≠0，则x，y不互为相反数，命题q的逆命题r为：若x，y不互为相反数，则x＋y≠0，∴r是p的逆否命题，∴r是p的逆命题的否命题，故选B.]跟踪训练3 1解析①“若x＋y≠0，则x，y不是相反数”，是真命题．②实数0既不是正数，也不是负数，所以原命题是假命题．③“若x>－3，则x2－x－6≤0”，解不等式x2－x－6≤0可得－2≤x≤3，而x＝4>－3不是不等式的解，故是假命题．④“相等的角是同位角”，是假命题．例4 解方法一原命题的逆否命题：已知a，x为实数，若a<1，则关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集为∅，判断如下：抛物线y＝x2＋(2a＋1)x＋a2＋2的开口向上，令x2＋(2a＋1)x＋a2＋2＝0，则Δ＝(2a＋1)2－4(a2＋2)＝4a－7.因为a<1，所以4a－7<0，即关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集为∅.故此命题为真命题．方法二利用原命题的真假去判断逆否命题的真假．因为关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2≤0的解集非空，所以(2a＋1)2－4(a2＋2)≥0，即4a－7≥0，解得a≥≥1，所以原命题为真，故其逆否命题为真．引申探究解先判断原命题的真假如下：因为a，x为实数，关于x的不等式x2＋(2a＋1)x＋a2＋2>0的解集为R，且抛物线y＝x2＋(2a＋1)x＋a2＋2的开口向上，所以Δ＝(2a＋1)2－4(a2＋2)＝4a－7<0，所以a<.所以原命题是真命题．因为互为逆否命题的两个命题同真同假，所以原命题的逆否命题为真命题．跟踪训练4 证明“若a2－4b2－2a＋1≠0，则a≠2b＋1”的逆否命题为“若a＝2b＋1，则a2－4b2－2a＋1＝0”．∵a＝2b＋1，∴a2－4b2－2a＋1＝(2b＋1)2－4b2－2(2b＋1)＋1＝4b2＋1＋4b－4b2－4b－2＋1＝0.∴命题“若a＝2b＋1，则a2－4b2－2a＋1＝0”为真命题．由原命题与逆否命题具有相同的真假性可知，结论正确．当堂训练1．B 2.D 3.B 4.B 5.①③。
2018版高中数学北师大版选修1-1学案第一章 4.1 逻辑联结词“且”-4.2 逻辑联结词“或”
．逻辑联结词“且”
．逻辑联结词“或”
学习目标.了解联结词“且”“或”的含义.会用联结词“且”“或”联结或改写某些数学命题，并判断新命题的真假．
知识点一含有逻辑联结词“且”“或”的命题
思考观察下面三个命题：①能被整除；②能被整除；③能被整除且能被整除，它们之间有什么关系？
思考观察下面三个命题：①>，②＝，③≥，它们之间有什么关系？
梳理()用联结词“且”把命题和命题联结起来，就得到一个新命题，记作．
()用联结词“或”把命题和命题联结起来，就得到一个新命题，记作．
知识点二含有逻辑联结词“且”“或”的命题的真假
思考你能判断知识点一思考中问题描述的三个命题的真假吗？且的真假与、的真假有关系吗？
思考你能判断知识点一思考中问题描述的三个命题的真假吗？或的真假与、的真假有关系吗？
梳理()含有逻辑联结词的命题真假的判断方法：
①“且”形式命题：当命题、都是时，且是真命题；当、两个命题中有一个命题是时，且是假命题．
②“或”形式命题：当、两个命题中有一个命题是真命题时，或是；当、两个命题都是假命题时，或是．
()命题真假判断的表格如下：
且或
真真
真假
假真
假假。
推荐学习K122018北师大版高中数学选修1-1学案：第一章 4.1 逻辑联结词“且”-4.2 逻辑
4．1逻辑联结词“且”4．2逻辑联结词“或”学习目标 1.了解联结词“且”“或”的含义.2.会用联结词“且”“或”联结或改写某些数学命题，并判断新命题的真假．知识点一含有逻辑联结词“且”“或”的命题思考1观察下面三个命题：①12能被3整除；②12能被4整除；③12能被3整除且能被4整除，它们之间有什么关系？思考2观察下面三个命题：①3>2，②3＝2，③3≥2，它们之间有什么关系？梳理(1)用联结词“且”把命题p和命题q联结起来，就得到一个新命题，记作__________．(2)用联结词“或”把命题p和命题q联结起来，就得到一个新命题，记作__________．知识点二含有逻辑联结词“且”“或”的命题的真假思考1你能判断知识点一思考1中问题描述的三个命题的真假吗？p且q的真假与p、q 的真假有关系吗？思考2你能判断知识点一思考2中问题描述的三个命题的真假吗？p或q的真假与p、q 的真假有关系吗？梳理(1)含有逻辑联结词的命题真假的判断方法：①“p且q”形式命题：当命题p、q都是________时，p且q是真命题；当p、q两个命题中有一个命题是__________时，p且q是假命题．②“p或q”形式命题：当p、q两个命题中有一个命题是真命题时，p或q是__________；当p、q两个命题都是假命题时，p或q是__________．(2)命题真假判断的表格如下：类型一含有“且”“或”命题的构成命题角度1简单命题与复合命题的区分例1指出下列命题的形式及构成它的命题．(1)向量既有大小又有方向；(2)矩形有外接圆或有内切圆；(3)2≥2.反思与感悟不含有逻辑联结词的命题是简单命题；由简单命题与逻辑联结词“或”“且”构成的命题是复合命题．判断一个命题是简单命题还是复合命题，不能仅从字面上看它是否含有“或”“且”等逻辑联结词，而应从命题的结构上来看是否用逻辑联结词联结两个命题．跟踪训练1分别指出下列命题的形式及构成它的简单命题．(1)3是质数或合数；(2)他是运动员兼教练员．命题角度2用逻辑联结词构造新命题例2分别写出下列命题的“p且q”“p或q”形式的命题．(1)p：梯形有一组对边平行，q：梯形有一组对边相等；(2)p：－1是方程x2＋4x＋3＝0的解，q：－3是方程x2＋4x＋3＝0的解．反思与感悟(1)用逻辑联结词“或”“且”联结p，q构成新命题时，在不引起歧义的前提下，可以把p，q中的条件或结论合并．(2)用逻辑联结词构造新命题的两个步骤第一步：确定两个简单命题p，q；第二步：分别用逻辑联结词“且”“或”将p和q联结起来，就得到一个新命题“p且q”“p 或q”．跟踪训练2分别写出由下列命题构成的“p或q”“p且q”形式的复合命题：(1)p：π是无理数，q：e不是无理数；(2)p：方程x2＋4x＋1＝0有两个不相等的实数根，q：方程x2＋4x＋1＝0的两个根的绝对值相等；(3)p：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，q：三角形的一个外角大于与它不相邻的任意一个内角．类型二“p或q”和“p且q”形式命题的真假判断例3分别指出下列各组命题的“p或q”“p且q”形式的新命题的真假．(1)p：2>2，q：2＝2；(2)p：∅是{0}的真子集，q：0∈∅；(3)p：函数y＝x2＋2x＋5的图像与x轴有交点，q：方程x2＋2x＋5＝0没有实数根．反思与感悟判断p且q与p或q形式的命题真假的步骤(1)首先判断命题p与q的真假；(2)对于p且q，“一假则假，全真则真”，对于p或q，只要有一个为真，则p或q为真，全假为假．跟踪训练3分别指出由下列各组命题构成的“p或q”“p且q”形式的命题的真假．(1)p：3是无理数，q：π不是无理数；(2)p：集合A＝A，q：A∪A＝A；(3)p：函数y＝x2＋3x＋4的图像与x轴有公共点，q：方程x2＋3x－4＝0没有实数根．类型三“p或q”与“p且q”的应用例4已知p：方程x2＋mx＋1＝0有两个不相等的负实数根；q：方程4x2＋4(m－2)x＋1＝0的解集是∅，若“p或q”为真，“p且q”为假，求m的取值范围．反思与感悟由p或q为真知p、q中至少一真；由p且q为假知p、q中至少一假．因此，p与q一真一假，分p真q假与p假q真两种情况进行讨论．跟踪训练4已知命题p：函数y＝x2＋2(a2－a)x＋a4－2a3在[－2，＋∞)上是增加的．q：关于x的不等式ax2－ax＋1>0的解集为R.若p且q假，p或q真，求实数a的取值范围．1．命题p：“x>0”是“x2>0”的必要不充分条件，命题q：△ABC中，“A>B”是“sin A>sin B”的充要条件，则()A．p真q假B．p且q为真C．p或q为假D．p假q真2．给出下列命题：①2>1或1>3；②方程x2－2x－4＝0的判别式大于或等于0；③25是6或5的倍数；④集合A∩B是A的子集，且是A∪B的子集．其中真命题的个数为()A．1 B．2C．3 D．43．“p为真命题”是“p且q为真命题”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件4．把“x≥5”改写为含有逻辑联结词的命题为“________________________”．5．已知p：1x－3<0，q：x2－4x－5<0，若p且q为假命题，则x的取值范围是_____________．1．正确理解逻辑联结词是解题的关键，日常用语中的“或”是两个中任选一个，不能都选，而逻辑联结词中的“或”是两个中至少选一个．2．判断含逻辑联结词的命题真假的步骤(1)逐一判断命题p，q的真假．(2)根据“且”“或”的含义判断“p且q”“p或q”的真假．p且q为真⇔p和q同时为真，p或q为真⇔p和q中至少有一个为真．答案精析问题导学知识点一思考1命题③是将命题①②用“且”联结得到的．思考2命题③是将命题①②用“或”联结得到的．梳理(1)p且q(2)p或q知识点二思考1①是真命题；②是真命题；③是真命题．若p、q都为真命题，则p且q也为真命题．思考2①是真命题；②是假命题；③是真命题．若p、q一真一假，则p或q为真命题．梳理(1)①真命题假命题②真命题假命题(2)真真假真假真假假题型探究例1解(1)是p且q形式命题．其中p：向量有大小，q：向量有方向．(2)是p或q形式命题．其中p：矩形有外接圆，q：矩形有内切圆．(3)是p或q形式命题．其中p：2>2，q：2＝2.跟踪训练1解(1)这个命题是“p或q”形式，其中p：3是质数，q：3是合数．(2)这个命题是“p且q”形式，其中p：他是运动员，q：他是教练员．例2解(1)p或q：梯形有一组对边平行或有一组对边相等．p且q：梯形有一组对边平行且有一组对边相等．(2)p或q：－1或－3是方程x2＋4x＋3＝0的解．p且q：－1与－3是方程x2＋4x＋3＝0的解．跟踪训练2解(1)p或q：π是无理数或e不是无理数；p且q：π是无理数且e不是无理数；(2)p或q：方程x2＋4x＋1＝0有两个不相等的实数根或两个根的绝对值相等；p且q：方程x2＋4x＋1＝0有两个不相等的实数根且两个根的绝对值相等；(3)p 或q ：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和或大于与它不相邻的任意一个内角；p 且q ：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和且大于与它不相邻的任意一个内角．例3 解 (1)∵p ：2>2，是假命题， q ：2＝2，是真命题，∴命题“p 或q ”是真命题；“p 且q ”是假命题． (2)∵p ：∅是{0}的真子集，是真命题； q ：0∈∅，是假命题， ∴命题“p 或q ”是真命题； “p 且q ”是假命题．(3)∵p ：函数y ＝x 2＋2x ＋5的图像与x 轴有交点，是假命题，q ：方程x 2＋2x ＋5＝0没有实数根，是真命题，∴命题“p 或q ”是真命题，“p 且q ”是假命题． 跟踪训练3 解 (1)∵p 真，q 假， ∴“p 或q ”为真，“p 且q ”为假． (2)∵p 真，q 真，∴“p 或q ”为真，“p 且q ”为真． (3)∵p 假，q 假，∴“p 或q ”为假，“p 且q ”为假．例4 解 由方程x 2＋mx ＋1＝0有两个不相等的负实数根，∴⎩⎪⎨⎪⎧－m <0，Δ＝m 2－4>0，解得m >2， 则p ：m >2.∵方程4x 2＋4(m －2)x ＋1＝0无解， ∴Δ＝16(m －2)2－16<0即1<m <3.则q ：1<m <3.∵“p 或q ”为真，“p 且q ”为假， ∴p 与q 一真一假．当p 为真，q 为假时，⎩⎪⎨⎪⎧m >2，m ≤1或m ≥3，得m ≥3.当p 为假，q 为真时，⎩⎪⎨⎪⎧m ≤2，1<m <3，得1<m ≤2.综上所述，m 的取值范围是 (1,2]∪[3，＋∞)．跟踪训练4 解 ∵函数y ＝x 2＋2(a 2－a )x ＋a 4－2a 3 ＝[x ＋(a 2－a )]2－a 2，在[－2，＋∞)上是增加的， ∴－(a 2－a )≤－2，即a 2－a －2≥0， 解得a ≤－1或a ≥2， 即p ：a ≤－1或a ≥2.由不等式ax 2－ax ＋1>0的解集为R ，得⎩⎨⎧a >0，Δ<0或a ＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧a >0，(－a )2－4a <0或a ＝0， 解得0≤a <4，∴q ：0≤a <4. ∵p 且q 假，p 或q 真， ∴p 与q 一真一假． ∴p 真q 假或p 假q 真，即⎩⎪⎨⎪⎧a ≤－1或a ≥2，a <0或a ≥4，或⎩⎪⎨⎪⎧－1<a <2，0≤a <4，∴a ≤－1或a ≥4或0≤a <2. ∴实数a 的取值范围是(－∞，－1]∪[0,2)∪[4，＋∞)． 当堂训练1．D 2.D 3.B 4．x >5或x ＝5 5．(－∞，－1]∪[3，＋∞)。
2018版高中数学北师大版选修1-1学案：第一章3.3全称命题与特称命题的否定
3.3 全称命题与特称命题的否定［学习目标】1•理解含有一个量词的命题的否定的意义2会对含有一个量词的命题进行否定.3•掌握全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题.H问题导学-----------------------------知识点全称命题与特称命题的否定思考1写出下列命题的否定：①所有的矩形都是平行四边形；②有些平行四边形是菱形.思考2对①的否定能否写成：所有的矩形都不是平行四边形?思考3对②的否定能否写成：有些平行四边形不是菱形?梳理(1)全称命题的否定是____________(2) 特称命题的否定是 ___________ ;题型探究(3) 常见的命题的否定形式有：原语句是都是>至少有一个至多有一个对任意x € A使p(x)真否定形式类型一全称命题的否定例1写出下列命题的否定，并判断其真假.(1) 任意n€ Z,贝U n € Q；(2) 等圆的面积相等，周长相等；(3) 偶数的平方是正数.反思与感悟(1)写出全称命题的否定的关键是找出全称命题的全称量词和结论，把全称量词改为存在量词，结论变为否定的形式就得到命题的否定.(2)有些全称命题省略了量词，在这种情况下，千万不要将否定简单的写成“是”或“不是跟踪训练1写出下列全称命题的否定：(1) 所有能被3整除的整数都是奇数；(2) 每一个四边形的四个顶点共圆；(3) 对任意x € Z , x2的个位数字不等于3.类型二特称命题的否定例2写出下列特称命题的否定:2(1) 存在x€ R , x + 2x+ 2W 0;(2) 有的三角形是等边三角形；(3) 有一个素数含三个正因数.反思与感悟与全称命题的否定的写法类似，要写出特称命题的否定，先确定它的存在量词, 再确定结论，然后把存在量词改写为全称量词，对结论作出否定就得到特称命题的否定.跟踪训练2写出下列特称命题的否定，并判断其否定的真假：(1) 有些实数的绝对值是正数；(2) 某些平行四边形是菱形；⑶存在x, y€ Z,使得，2x+ y= 3.类型三含有一个量词的命题的否定的应用例3 已知命题p(x)：sin x+ cos x>m, q(x): x2+ mx+ 1>0.如果对于任意x€ R, p(x)为假命题且q(x)为真命题，求实数m的取值范围.引申探究若例3中“如果对于任意x€ R ,p(x)为假命题且q(x)为真命题”改为“如果对于任意x€ R, p(x)与q(x)有且仅有一个是真命题”，其他条件不变，求实数m的取值范围.反思与感悟若全称命题为假命题，通常转化为其否定命题一一特称命题为真命题解决，同理，若特称命题为假命题，通常转化为其否定命题------- 全称命题为真命题解决.跟踪训练3 已知函数f(x) = 4/ —2(p- 2)x- 2p2- p+ 1在区间［—1,1］上至少存在一个实数c, 使得当堂训练f(c)>0.求实数p的取值范围.1 •全称命题“任意实数的平方是正数”的否定是()A •任意实数的平方是负数B •任意实数的平方不是正数C .有的实数的平方是正数D •有的实数的平方不是正数2 •特称命题“有的素数是偶数”的否定是( )C ・所有能被3整除的整数都是奇数2 2 D .任意 x € R , sin x + cos x = 14. _______________________________________________________________________ 若“存在x € 0, n ，sin xcos x>m ”为假命题，则实数 m 的取值范围是 _______________________ 5 •写出下列命题的否定并判断其真假.(1) 不论m 取何实数，方程 x 2+ mx — 1 = 0必有实数根;(2) 有些三角形的三条边相等；(3) 余弦值为负数的角是钝角.厂"规律与方法 ---- ---------------------对含有一个量词的命题的否定要注意以下问题:(1) 确定命题类型，是全称命题还是特称命题.(2) 改变量词：把全称量词改为恰当的存在量词；把存在量词改为恰当的全称量词.(3) 否定结论：原命题中的 “是”“有”“存在”“成立”等改为“不是”“没有” “不存 在”“不成立”等.(4) 无量词的全称命题要先补回量词再否定.A .有的素数不是偶数C .所有的素数都是偶数3 •下列命题的否定为假命题的是2 A .存在 x € R , x + 2x + 2< 0B .任意 x € R , lg x v 1 B .有的素数是奇数 D •所有的素数都不是偶数 ( )答案精析问题导学知识点思考1答案①并非所有的矩形都是平行四边形.②每一个平行四边形都不是菱形.思考2不能.思考3不能.梳理(1)特称命题(2)全称命题(3) 不是不都是 < 一个也没有至少有两个存在x€ A使p(x)为假题型探究例1解⑴存在n€Z,使n?Q,这是假命题.(2) 存在等圆，其面积不相等或周长不相等，这是假命题.(3) 存在偶数的平方不是正数，这是真命题.跟踪训练1解(1)存在一个能被3整除的整数不是奇数.(2)存在一个四边形，它的四个顶点不共圆.⑶存在x€ Z, x2的个位数字等于3.例 2 解(1)任意x€ R, x2+ 2x+ 2>0.(2) 所有的三角形都不是等边三角形.(3) 每一个素数都不含三个正因数.跟踪训练2解⑴命题的否定：“不存在一个实数，它的绝对值是正数”，也即“所有实数的绝对值都不是正数”.由于| —2|= 2,因此命题的否定为假命题.(2)命题的否定：“没有一个平行四边形是菱形”，也即“每一个平行四边形都不是菱形”.由于菱形是平行四边形，因此命题的否定是假命题.⑶命题的否定：“任意x, y€ Z , 2x+ y z 3”.•••当x= 0, y= 3 时，J2x+ y= 3,因此命题的否定是假命题.例 3 解■/ sin x+ cos x>m ,若p(x)为真命题，则m<— 2.T p(x)为假命题，m > —2, ①2由q(x)为真命题，则△= m —4<0 ,即—2<m<2,②由①② 可得—■■■■■2 w m<2.引申探究解由例3知p(x)为真命题时，m<—2,q(x)为真命题时，—2<m<2.由题意知p(x)与q(x)两命题有一真一假，当p(x)为真，q(x)为假时，m<—2,m W —2 或m》2,得m W —2.当p(x)为假，q(x)为真时，I —2<m<2,得—，2 w m<2.所以m的取值范围是(—^,—2］U ［—2, 2).跟踪训练3解在区间［—1,1］中至少存在一个实数c,使得f(c)>0的否定是在区间［—1,1］上的所有实数x,都有f(x) w 0恒成立.又由二次函数的图像特征可知，f —1 W 0, 4+ 2 p—2 —2p2—p+ 1W 0,4 —2 p —2 —2p —p+ 1W 0,p > 1 或p w —2，即3p > 2 或P W —3.3二P > 2或P W — 3.3故p的取值范围是—3<p<q.当堂训练1 , 、1. D2.D3.D4.【2，+8 )5. 解(1)这一命题可表述为对任意的实数m,方程x2+ mx—1 = 0必有实数根.其否定：存在一个实数m,使方程x2+ mx—1 = 0没有实数根，因为该方程的判别式△= m2+ 4>0恒成立，故为假命题.(2)由于存在量词“有些”的否定的表述为“所有”，因此，原命题的否定为“所有三角形的三条边不全相等”，假命题. (3)原命题的否定为“存在余弦值为负数的角不是钝角，真命题.。
高中数学北师大版选修1-1第一章命题word导学案1
命题学习目标：理解命题的概念和命题的组成，能判毕命题的真假；了解四种命题的的含义，能写出给定命题的逆命题、否命题和逆否命题；会分析四种命题之间的彼此关系；重点难点：命题的概念、命题的组成；分清命题的条件、结论和判毕命题的真假。
四种命题的概念及彼此关系.自主学习温习回顾：初中已学过命题的知识，请同窗们回顾：什么叫做命题？2.判断下列语句中哪些是命题？是真命题仍是假命题？（1）空集是任何集合的子集；（2）若整数a是素数，则a是奇数；（3）2小于或等于2；（4）对数函数是增函数吗？x ；（5）215（6）平面内不相交的两条直线必然平行；（7）明天下雨.合作探讨按照下列命题完成填空（1）若是两个三角形全等,那么它们的面积相等；（2）若是两个三角形的面积相等,那么它们全等；（3）若是两个三角形不全等,那么它们的面积不相等；（4）若是两个三角形的面积不相等,那么它们不全等.命题（2）、（3）、（4）与命题（1）有何关系？1．上面的四个命题都是形式的命题，p是命题的条件，q是命题的结论．可记为，其中2．在上面的例子中，命题（2）的别离是命题（1）的，咱们称这两个命题为互逆命题．命题（3）的别离是命题（1）的，这两个命题称为互否命题．命题（4）的别离是命题（1）的，这两个命题称为互为逆否命题．3.逆命题、否命题和逆否命题的含义：一般地，设“若p 则q ”为原命题，那么就叫做原命题的逆命题； 就叫做原命题的否命题； 就叫做原命题的逆否命题．四种命题之间的关系：3.（14.把下列命题改写成“若p 则q ”的形式，并写出它们的逆命题、否命题与逆否命题，同时指出它们的真假．（1）对顶角相等；（2）四条边相等的四边形是正方形．5.原命题、逆命题、否命题、逆否命题的真假有什么关系？（1）原命题与逆否命题 ；（2）逆命题与否命题 ．练习反馈1．给出下列命题：①若bc ac =，则b a =；②若b a >，则b a 11<；③对于实数x ，若02=-x ，则02≤-x ；④若0>p ，则p p >2；⑤正方形不是菱形． 其中真命题是 ；假命题是 ．（填上所有符合题意的序号）2．将下列命题改写成“若p 则q ”的形式：（1）垂直于同一直线的两条直线平行；（2）斜率相等的两条直线平行；（3）钝角的余弦值是负数．3．写出下列各命题的逆命题、否命题 和逆否命题并判断真假：（1）若两个事件是对立事件,则它们是互斥事件；（2）当0>c 时，若b a >，则bc ac >．。
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学习目标 1.理解命题的概念及命题的构成，会判断一个命题的真假.2.理解四种命题及其关系，掌握互为逆否命题的等价关系及真假判断．
知识点一命题的概念
思考1给出下列语句：
①若直线a∥b，则直线a和直线b无公共点；
②3＋6＝7；
③偶函数的图像关于y轴对称；
④5能被4整除．
请你找出上述语句的特点．
梳理(1)定义
可以__________、用文字或符号表述的语句叫作命题．
(2)分类
①真命题：__________的语句叫作真命题；
②假命题：__________的语句叫作假命题．
知识点二命题的形式
思考1你能把“内错角相等”写成“若…，则…”的形式吗？
思考2“内错角相等”是命题吗？如果是命题，是真命题还是假命题？
梳理命题的形式：“若p，则q”，其中命题的条件是p，结论是q.
由p能推出q，则为真命题．能举一反例即可确定为假命题．
知识点三四种命题的概念
思考给出以下四个命题：
(1)当x＝2时，x2－3x＋2＝0；
(2)若x2－3x＋2＝0，则x＝2；
(3)若x≠2，则x2－3x＋2≠0；
(4)若x2－3x＋2≠0，则x≠2.
你能说出命题(1)与其他三个命题的条件与结论有什么关系吗？
梳理一般地，对于两个命题，如果一个命题的条件与结论分别是另一个命题的结论和条件，那么把这两个命题叫作__________．
如果是另一个命题条件的否定和结论的否定，那么把这两个命题叫作__________．
如果是另一个命题结论的否定和条件的否定，那么把这两个命题叫作______________．
把第一个叫作原命题时，另三个可分别称为原命题的逆命题、否命题、逆否命题．
知识点四四种命题的关系及其真假判断
思考1原命题的否命题与原命题的逆否命题之间是什么关系？原命题的逆命题与其逆否命题之间是什么关系？原命题的逆命题与其否命题呢？
思考2如果原命题是真命题，它的逆命题是真命题吗？它的否命题呢？它的逆否命题呢？梳理(1)四种命题的相互关系
(2)在原命题的逆命题、否命题、逆否命题中，一定与原命题真假性相同的是__________．
(3)两个命题互为逆命题或互为否命题时，它们的真假性__________．
类型一命题的概念
例1下列语句：
(1)2是无限循环小数；(2)x2－3x＋2＝0；(3)当x＝4时，2x>0；(4)垂直于同一条直线的两条直线必平行吗？(5)一个数不是合数就是素数；(6)作△ABC≌△A′B′C′；(7)二次函数的图像太美了！(8)4是集合{1,2,3}中的元素．
其中是命题的是________．(填序号)
反思与感悟一般地，判定一个语句是不是命题，要先判断这个语句是不是陈述句，再看能不能判断真假．
其流程图如图：
跟踪训练1下列语句中，是命题的为________．
①红豆生南国；
②作射线AB；
③中国领土不可侵犯！
④当x≤1时，x2－3x＋2≤0.
类型二四种命题及其相互关系
命题角度1四种命题的概念
例2写出下列命题的逆命题、否命题和逆否命题，并判断它们的真假．
(1)若m·n<0，则方程mx2－x＋n＝0有实数根；。