用向量方法解决平面几何问题的“三部曲”
利用向量的模和夹角求解平面几何问题
利用向量的模和夹角求解平面几何问题平面几何作为数学的一个重要分支，研究平面内的点、线、面以及它们之间的关系和性质。
在解决平面几何问题时，向量的模和夹角是非常有用的工具。
本文将通过几个具体例子，介绍如何利用向量的模和夹角来解决平面几何问题。
一、利用向量模解决平面几何问题1. 平行线段判定在平面几何中，有时需要判定两条线段是否平行。
若给定线段的两个端点的坐标，可以利用向量的模来解决此问题。
假设有线段AB和线段CD，其坐标分别为A(x1, y1)、B(x2, y2)和C(x3, y3)、D(x4, y4)。
可以求得向量AB = (x2-x1, y2-y1)和向量CD = (x4-x3, y4-y3)，然后比较两个向量的模是否相等，若相等，则可以判定两条线段平行。
2. 判断三角形形状对于给定的三个点A、B、C，用向量的模可以判断出三角形的形状。
假设三个点的坐标分别为A(x1, y1)、B(x2, y2)、C(x3, y3)。
可以求得向量AB = (x2-x1, y2-y1)和向量AC = (x3-x1, y3-y1)，然后比较两个向量的模，若模相等，则可以判定三角形为等边三角形；若模不相等，还需比较两个向量的夹角，若夹角等于90度，则可以判定三角形为直角三角形；否则为一般三角形。
二、利用向量夹角解决平面几何问题1. 判断点是否在直线上在平面几何中，判断一个点是否在直线上是一个常见的问题。
给定直线上两点的坐标A(x1, y1)和B(x2, y2)，以及待判断的点C(x3, y3)，可以利用向量的夹角来解决此问题。
求得向量AB = (x2-x1, y2-y1)和向量AC = (x3-x1, y3-y1)的夹角，若夹角等于0度或180度，则可判定点C在直线AB上。
2. 判断两条直线的夹角给定两条直线的方程，可以利用向量的夹角来判断两条直线的夹角。
以直线L1的斜率为k1，直线L2的斜率为k2，根据向量的性质，可以求得直线L1的方向向量为(1, k1)，直线L2的方向向量为(1, k2)。
用向量方法解决几何问题的“三部曲”
万方数据
第３３卷第６期２０１４年６月
１
数学教学研究
３９
用向量方法解决平面几何问题的矗考墨 例２（２００９年天津理工农医类１５题）
ＣＤ是平行四边形・为什么前式加嵩＋
形？这是因为单位向量加上单位向量得到平
行四边形法则的对角线上的单位向量乘以
在四边形ＡＢＣＤ中，商一ｃ－－－ｆｉ一（１，１），
面积是多少？
求证：口上精Ｉ口＋６Ｉ＝Ｉ口一６Ｉ，并解释其几何
意义． 证明（１）必要性．因为 Ｉａ＋ｂＩ—Ｉ口一６Ｉ， 所以
口２＋２ａ・６＋ｂ２＝口２—２口・６＋６２
４第１１０页）笔者为了用几何画板设计动画与 演示几何动砸如下，以方便数学教师作课件．
设计动画：先长按“自定义工具”中一级 菜单中的四边形在二级菜单中找到平行四边 行，作出平行四边形ＡＢＣＤ；又在“自定义工 具”中一级菜单中的线段寻找二级菜单中的 线段中点，找出平行四边形中边ＡＤ与ＤＣ 之中点分别为Ｅ和Ｆ；第３步点击线段工具 连结ＥＢ和ＦＢ． 演示动画只要点击一级菜单中的箭头工 具栏，先长按，再到二级菜单中的旋转工具， 拉动Ｄ点，即得几何动画，演示ＡＢＣＤ可由
证明２（解析几何证明法）建立如图５
所示的坐标系，设Ａ（ｍ，，１）和Ｃ（ｐ，ｏ），则苟
＝蔚＝（７，ｌ，以），所以Ｄ点的坐标为（户＋ｍ，
露）．易知
ＡＢ２一ｃＤ２一百斧＝班２＋矛。
ＤＡ２＝ＢＣ２一剪一由２，
＝２（ｍ２＋九２＋Ｐ２）．
ＡＢ２＋ＢＣ２＋ＣＤ２＋ＤＡ２
又因为
角形的底边中线又是底边的高线及其逆定
ＢＩＹ＝瓦磬＝（ｐ－－｝－ｍ）ｚ＋行２，
＋１呢？事实上，两边取绝对值，左边是。和
四边形面积有直接的关系，这种思路是联想
用向量方法解决平面几何问题的“三部曲”
将平面几何问题转(3,1)=的直线方程。
分析：在所求的直线上任取一点(,)P x y ，则A P −−→(2,1)x y =+-由A P−−→∥a −−→。
利用向量的平行条件可写出方程。
解：设(,)P x y 是所求直线上任意一点，A P−−→(2,1)x y =+- ∵A P−−→∥a −−→∴(2)3(1)0x y +--=，即所求的直线方程为350x y -+=。
评注：此题是利用向量平行的充要条件写出直线方程。
例2、已知点(3,0)P -，点A 在Y 轴上,点Q 在轴的正半轴上，点M 在直线AQ 上，满足.0P A A M −−→−−→=,32A M MQ −−→=-−−→当点A 在轴Y 上移动时,求动点M 的轨迹方程。
分析：设出M 的坐标，利用32A M M Q −−→=-−−→，可以将点A 的坐标用M 点的坐标表示出来，从而用.0P A A M−−→−−→=，确定所求轨迹。
例3在平面坐标系xoy 中，平面上任意点P 关于斜坐标系的斜坐标是这样定义的;若12O P x y e e −−→=+（其中12,e e 分别是与x 轴y 轴同方向的单位向量），则P 点斜坐标为(,)x y（1） 若点P 在斜坐标系的斜坐标为（2，-2）求点P 到点O 的距离。
（2） 求以原点O 为圆心，1为半径的圆在斜坐标系xoy 中的方程。
分析：将平面直角坐标系改为平面斜坐标系，圆的形状是否改变？圆的方程是否改变？如何求两点的距离？情景发生了变化，事物总是跟着发生一系列的变化，这是一个有趣的数学问题！解：（1）∵P点斜坐标为（2，-2）∴1222O P e e −−→=-，228812(22)O Pe e ==-−−→-*0.5=4 ∴2O P−−→=,即点P 到原点的距离是2。
设圆上动点M 的斜坐标为(,)x y ，则12O Mx y e e −−→=+∴2112()x y e e =+ ∴221x y y x ++=，故所求方程是221x y y x ++=。
第9讲+平面向量的应用及复数课件-2024年湖南省普通高中学业水平考试复习
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【解析】 证明：(方法 2)如图，建 立平面直角坐标系，
设正方形的边长为 2， 则 A(0，0)，D(0，2)，E(1，0)， F(2，1)， 则A→F＝(2，1)，D→E＝(1，－2). 因为A→F·D→E＝(2，1)·(1，－2)＝2－2＝0， 所以A→F⊥D→E，即 AF⊥DE.
所对应的点位于( )
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
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【解析】 因为－32－＋43i i＝（－2＋3i2）5（3＋4i）＝－1285＋i ＝－1285＋215i，
所以复数－32－＋43i i对应的点位于第二象限. 【答案】 B
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评价要求 了解 理解 掌握
√ √
√ √ √ √
√
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1.向量方法解决平面几何问题的步骤
用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”：
(1)建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉 及的几何元素，将平面几何问题转化为① 向量 问题.
(2)通过② 向量运算 ，研究几何元素之间的关系，
【变式题】
在△ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，C.
已知 A＝π6 ，B＝π4 ，a＝3，则 b＝(
)
A.6
B.3 3
C.3 2
D. 6
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【解析】 因为 A＝π，B＝π，a＝3，所以由正弦定理
6
4
a＝b， sin A sin B
可得
b＝as·isninAB＝3×siπnπ4 ＝3×1
平面向量的应用(教师版)
平面向量的应用1 平面几何中的向量方法① 由于向量的线性运算和数量积运算具有鲜明的几何背景，平面几何图形的许多性质，如全等、相似、长度、夹角等都可以由向量的线性运算及数量积表示出来，因此平面几何中的许多问题都可用向量运算的方法加以解决.② 用向量方法解决平面几何问题的“三部曲”(1) 建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；(2) 通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题；(3) 把运算结果“翻译”成几何关系.Eg 点A 、B 、C 、D 不在同一直线上(1)证明直线平行或共线：AB//CD ⇔AB⃗⃗⃗⃗⃗ //CD ⃗⃗⃗⃗⃗ (2)证明直线垂直：AB ⊥CD ⟺AB⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =0 (3)求线段比值：AB CD =|λ|且AB//CD ⇔ AB⃗⃗⃗⃗⃗ =λCD ⃗⃗⃗⃗⃗ (4)证明线段相等： AB⃗⃗⃗⃗⃗ 2=CD ⃗⃗⃗⃗⃗ 2⇔AB =CD 2 向量在物理中的应用① 速度、力是向量，都可以转化为向量问题；② 力的合成与分解符合平行四边形法则.【题型一】平面向量在几何中的应用【典题1】证明:对角线互相平分的四边形是平行四边形.【证明】 设四边形ABCD 的对角线AC 、BD 交于点O ，且AO =OC ,BO =OD∵AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =12AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +12DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =12DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +12AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ∴AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =DC⃗⃗⃗⃗⃗ ，即AB =DC 且AB//DC 所以四边形ABCD 是平行四边形即对角线互相平分的四边形是平行四边形.【点拨】① 证明四边形是平行四边形⇔AB =DC 且AB//DC ⇔AB⃗⃗⃗⃗⃗ =DC ⃗⃗⃗⃗⃗ . ② 证明几何中的平行和长度关系可以转化为向量的倍数关系.【典题2】 已知平行四边形ABCD 的对角线为AC 、BD ，求证AC 2+BD 2=2(AB 2+AD 2) (即对角线的平方和等于邻边平方和的2倍).【证明】由 |AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |2=AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 2=(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗ )2=|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |2+|AD ⃗⃗⃗⃗⃗ |2+2AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AD ⃗⃗⃗⃗⃗|DB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |2=DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2=(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −AD ⃗⃗⃗⃗⃗ )2=|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |2+|AD ⃗⃗⃗⃗⃗ |2−2AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AD ⃗⃗⃗⃗⃗ 两式相加得|AC⃗⃗⃗⃗⃗ |2+|DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |2=2(|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |2+|AD ⃗⃗⃗⃗⃗ |2) 即AC 2+BD 2=2(AB 2+AD 2)【点拨】利用|AB⃗⃗⃗⃗⃗ |2=|AB |2可证明线段长度关系.【典题3】 用向量方法证明：三角形三条高线交于一点.【证明】(分析 设H 是高线BE 、CF 的交点，再证明AH ⊥BC ，则三条高线就交于一点.)设H 是高线BE 、CF 的交点，则有BH ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AH ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，CH ⃗⃗⃗⃗⃗ =AH ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，BC⃗⃗⃗⃗⃗ =AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ∵BH ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，CH ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥AB⃗⃗⃗⃗⃗ ∴(AH⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(AH ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0 化简得AH⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅(AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )=0C∴AH⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0 则AH ⊥BC (向量中证明AB ⊥CD ，只需要证明AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0) 所以三角形三条高线交于一点.【典题4】证明三角形三条中线交于一点.【证明】(分析 设BE 、AF 交于O ，证明C 、O 、D 三点共线便可)AF 、CD 、BE 是三角形ABC 的三条中线设BE 、AF 交于点O ，∵点D 是中点，∴CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =12(CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +CB ⃗⃗⃗⃗⃗ ) 连接EF ，易证明∆AOB~∆FOE,且相似比是2：1，∴BO =23BE,∴CO ⃗⃗⃗⃗⃗ =CB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BO ⃗⃗⃗⃗⃗ =CB ⃗⃗⃗⃗⃗ +23BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =CB ⃗⃗⃗⃗⃗ +23(BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ) =CB ⃗⃗⃗⃗⃗ +23(BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +12AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )=13(CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +CB ⃗⃗⃗⃗⃗ ) ∴CO ⃗⃗⃗⃗⃗ =23CD ⃗⃗⃗⃗⃗ 即C 、O 、D 三点共线， (向量中证明三点A 、B 、C 共线，只需证明AB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λAC ⃗⃗⃗⃗⃗ ) ∴AF 、CD 、BE 交于一点，即三角形三条中线交于一点.巩固练习1(★★) 如图，E ，F 分别是四边形ABCD 的边AD ，BC 的中点，AB =1，CD =2，∠ABC =75°，∠BCD =45°，则线段EF 的长是 ．【答案】√72【解析】 由图象，得EF →=EA →+AB →+BF →，EF →=ED →+DC →+CF →．∵E ，F 分别是四边形ABCD 的边AD ，BC 的中点，∴2EF →=(EA →+ED →)+(AB →+DC →)+(BF →+CF →)=AB →+DC →．∵∠ABC =75°，∠BCD =45°，∴＜AB →，DC →＞=60°，∴|EF|→=12√(AB →+DC →)2=12√AB →2+DC →2+2|AB|→⋅|DC|→cos ＜AB →，DC →＞=12√12+22+2×1×2×12=√72． ∴EF 的长为√72． 故答案为 √72． 2(★★) 证明勾股定理，在Rt∆ABC 中，AC ⊥BC ，AC =b ，BC =a ,AB =c ，则c 2=a 2+b 2.【证明】 由AB⃗⃗⃗⃗⃗ =AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，得AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2=(AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CB ⃗⃗⃗⃗⃗ )2=AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+2AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CB ⃗⃗⃗⃗⃗ +CB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2 即|AB⃗⃗⃗⃗⃗ |2=|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |2+|CB ⃗⃗⃗⃗⃗ |2 故c 2=a 2+b 2.3(★★) 用向量方法证明 对角线互相垂直的平行四边形是菱形.【证明】如图平行四边形ABCD 对角线AC 、BD 交于点O ，∵AB⃗⃗⃗⃗⃗ =AO ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =BO ⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ∴|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |2=(AO ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗ )2=|AO ⃗⃗⃗⃗⃗ |2+2AO ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB ⃗⃗⃗⃗⃗ +|OB⃗⃗⃗⃗⃗ |2=|AO ⃗⃗⃗⃗⃗ |2+|OB ⃗⃗⃗⃗⃗ |2|BC⃗⃗⃗⃗⃗ |2=(BO ⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ )2=|BO ⃗⃗⃗⃗⃗ |2+2BO ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OC ⃗⃗⃗⃗⃗ +|OC ⃗⃗⃗⃗⃗ |2=|BO ⃗⃗⃗⃗⃗ |2+|OC ⃗⃗⃗⃗⃗ |2 ∴|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|BC ⃗⃗⃗⃗⃗ | A BC∴四边形ABCD 是菱形.4(★★)用向量方法证明 设平面上A ，B ，C ，D 四点满足条件AD ⊥BC ，BD ⊥AC ，则AB ⊥CD ．【证明】 因AD ⊥BC ，所以AD →⋅BC →=AD →⋅(AC →−AB →)=0，因BD ⊥AC ，所以AC →⋅BD →=AC →⋅(AD →−AB →)=0，于是AD →⋅AC →=AD →⋅AB →，AC →⋅AD →=AC →⋅AB →，所以AD →⋅AB →=AC →⋅AB →，(AD →−AC →)⋅AB →=0，即CD →⋅AB →=0，所以CD →⊥AB →，即AB ⊥CD ．5(★★)用向量方法证明 对角线相等的平行四边形是矩形.【证明】如图，平行四边形ABCD 对角线AC 、BD 交于点O,设OA =a ，∵对角线相等 ∴OB =OD =a∵AB⃗⃗⃗⃗⃗ =AO ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =AO ⃗⃗⃗⃗⃗ +OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∴AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ∙AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(AO ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗ )(AO ⃗⃗⃗⃗⃗ +OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=AO ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+AO ⃗⃗⃗⃗⃗ ∙OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AO ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =a 2+AO ⃗⃗⃗⃗⃗ (OD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗ )−a 2=0 ∴AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥AD ⃗⃗⃗⃗⃗ 即AB ⊥AD∴四边形ABCD 是矩形.6(★★★) 已知向量OP 1→、OP 2→、OP 3→满足OP 1→+OP 2→+OP 3→=0，|OP 1→|=|OP 2→|=|OP 3→|=1．求证 △P 1P 2P 3是正三角形．【证明】法一 ∵OP 1→+OP 2→+OP 3→=0，∴OP 1→+OP 2→=−OP 3→．∴|OP 1→+OP 2→|=|−OP 3→|．∴|OP 1→|2+|OP 2→|2+2OP1→•OP 2→=|OP 3→|2． 又∵|OP 1→|=|OP 2→|=|OP 3→|=1，∴OP 1→•OP 2→=−12．∴|OP 1→||OP 2→|cos∠P 1OP 2=−12，即∠P 1OP 2=120°．B C同理∠P 1OP 3=∠P 2OP 3=120°．∴△P 1P 2P 3为等边三角形．法二 以O 点为坐标原点建立直角坐标系，设P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，P 3(x 3，y 3)，则OP 1→=(x 1，y 1)，OP 2→=(x 2，y 2)，OP 3→=(x 3，y 3)．由OP 1→+OP 2→+OP 3→=0，得{x 1+x 2+x 3=0y 1+y 2+y 3=0.∴{x 1+x 2=−x 3y 1+y 2=−y 3.， 由|OP 1→|=|OP 2→|=|OP 3→|=1，得x 12+y 12=x 22+y 22=x 32+y 32=1∴2+2(x 1x 2+y 1y 2)=1∴|P 1P 2→|=√(x 1−x 2)2+(y 1−y 2)2=√x 12+x 22+y 12+y 22−2x 1x 2−2y 1y 2=√2(1−x 1x 2−y 1y 2)=√3同理|P 1P 3→|=√3，|P 2P 3→|=√3∴△P 1P 2P 3为正三角形【题型二】平面向量在物理中的应用【典题1】 如图，已知河水自西向东流速为|v 0|=1m/s ，设某人在静水中游泳的速度为v 1，在流水中实际速度为v 2．(1)若此人朝正南方向游去，且|v 1|=√3m/s ，求他实际前进方向与水流方向的夹角α和v 2的大小；(2)若此人实际前进方向与水流垂直，且|v 2|=√3m/s ，求他游泳的方向与水流方向的夹角β和v 1的大小．【解析】如图，设OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =v 0⃗⃗⃗⃗ ，OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =v 1⃗⃗⃗⃗ ，OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =v 2⃗⃗⃗⃗ ，则由题意知v 2⃗⃗⃗⃗ =v 0⃗⃗⃗⃗ +v 1⃗⃗⃗⃗ ，|OA ⃗⃗⃗⃗⃗ |=1，根据向量加法的平行四边形法则得四边形OACB 为平行四边形．(1)由此人朝正南方向游去得四边形OACB 为矩形，且|OB⃗⃗⃗⃗⃗ |=AC =√3，如下图所示，则在直角△OAC中，|v2⃗⃗⃗⃗ |=OC=√OA2+AC2=2，tan∠AOC=√31=√3，又α=∠AOC∈(0 ,π2)，所以α=π3；(2)由题意知α=∠OCB=π2，且|v2⃗⃗⃗⃗ |=|OC|=√3，BC=1，如下图所示，则在直角△OBC中，|v1⃗⃗⃗⃗ |=OB=√OC2+BC2=2，tan∠BOC=√3=√33，又∠AOC∈(0 ,π2)，所以∠BOC=π6，则β=π2+π6=2π3，答(1)他实际前进方向与水流方向的夹角α为π3，v2的大小为2m/s；(2)他游泳的方向与水流方向的夹角β为2π3，v1的大小为2m/s．【点拨】注意平行四边形法则的使用！【典题2】在日常生活中，我们会看到如图所示的情境，两个人共提一个行李包．假设行李包所受重力为G，作用在行李包上的两个拉力分别为F1⃗⃗⃗ ，F2⃗⃗⃗⃗ ，且|F1⃗⃗⃗ |=|F2⃗⃗⃗⃗ |，F1⃗⃗⃗ 与F2⃗⃗⃗⃗ 的夹角为θ．给出以下结论①θ越大越费力，θ越小越省力；②θ的范围为[0 ,π]；③当θ=π2时，|F1⃗⃗⃗ |=|G|；④当θ=2π3时，|F1⃗⃗⃗ |=|G|．其中正确结论的序号是．【解析】对于①，由|G|=|F1⃗⃗⃗ +F2⃗⃗⃗⃗ |为定值，所以G2=|F1⃗⃗⃗ |2+|F2⃗⃗⃗⃗ |2+2|F1⃗⃗⃗ |×|F2⃗⃗⃗⃗ |×cosθ=2|F1⃗⃗⃗ |2(1+cosθ)，解得|F1⃗⃗⃗ |2=|G|22(1+cosθ)；由题意知θ∈(0 ,π)时，y=cosθ单调递减，所以|F1⃗⃗⃗ |2单调递增，即θ越大越费力，θ越小越省力；①正确．对于②，由题意知，θ的取值范围是(0 ,π)，所以②错误．对于③，当θ=π2时，|F1⃗⃗⃗ |2=G22，所以|F1⃗⃗⃗ |=√22|G|，③错误．对于④，当θ=2π3时，|F1⃗⃗⃗ |2=|G|2，所以|F1⃗⃗⃗ |=|G|，④正确．综上知，正确结论的序号是①④．故答案为①④．【典题3】如图，重为10N的匀质球，半径R为6cm，放在墙与均匀的AB木板之间，A端锁定并能转动，B端用水平绳索BC拉住，板长AB=20cm，与墙夹角为α，如果不计木板的重量，则α为何值时，绳子拉力最小？最小值是多少？【解析】如图，设木板对球的支持力为N⃗，则N⃗=10sinα，设绳子的拉力为f．又AC=20cosα，AD=6tanα2，由动力矩等于阻力矩得|f|×20cosα=|N⃗|×6tanα2=60sinα⋅tanα2，∴|f|=6020cosα⋅sinα⋅tanα2=3cosα(1−cosα)≥3(cosα+1−cosα2)2=314=12，∴当且仅当 cosα=1−cosα 即cosα=12，亦即α=60°时，|f|有最小值12N．巩固练习1(★★) 一条渔船以6km/ℎ的速度向垂直于对岸的方向行驶，同时河水的流速为2km/ℎ，则这条渔船实际航行的速度大小为 ．【答案】2√10km/ℎ【解析】如图所示，渔船实际航行的速度为v AC →=v 船→+v 水→；大小为|v AC →|=|v 船→+v 水→|=√62+22 =2√10km/ℎ．2(★★) 如图所示，一个物体被两根轻质细绳拉住，且处于平衡状态，已知两条绳上的拉力分别是F 1 ,F 2，且F 1 ,F 2与水平夹角均为45°，|F 1⃗⃗⃗ |=|F 2⃗⃗⃗⃗ |=10√2N ，则物体的重力大小为 ．【答案】20【解析】如图，∵|F 1→|=|F 2→|=10√2N ，∴|F 1→+F 2→|=10√2×√2N =20N ，∴物体的重力大小为20．故答案为 20．3(★★) 已知一艘船以5km/ℎ的速度向垂直于对岸方向行驶，航船实际航行方向与水流方向成30°角，求水流速度和船实际速度．【答案】5√3km/ℎ【解析】如图，设AD →表示船垂直于对岸的速度，AB →表示水流的速度，以AD ，AB 为邻边作平行四边形ABCD ，则AC →就是船实际航行的速度．在Rt△ABC 中，∠CAB =30°，|AD →|=|BC →|=5，∴|AC →|=|BC →|sin30°=10，|AB →|=|BC →|tan30°=5√3．故船实际航行速度的大小为10km/ℎ，水流速度5√3km/ℎ．4 (★★)一个物体受到同一平面内三个力F 1、F 2、F 3的作用，沿北偏东45°的方向移动了8m ．已知|F 1|=2N ，方向为北偏东30°；|F 2|=4N ，方向为东偏北30°；|F 3|=6N ，方向为西偏北60°，求这三个力的合力F 所做的功．【答案】24√6 J【解析】 以三个力的作用点为原点，正东方向为x 轴正半轴，建立直角坐标系． 则由已知可得OF 1→=(1，√3)，OF 2→=(2√3，2)，OF 3→=(﹣3，3√3)．∴OF →=OF 1→+OF 2→+OF 3→=(2√3−2，4√3+2)．又位移OS →=(4√2，4√2)．∴OF →•OS →=(2√3−2)×4√2+(4√3+2)×4√2=24√6(J)．。
人教版高中数学必修二第9章9.4向量的应用精品课程课后练习及详解大全
反思 感悟
用向量法求长度的策略 (1)根据图形特点选择基底，利用向量的数量积转化，用公式 |a|2＝a2求解. (2)建立坐标系，确定相应向量的坐标，代入公式：若a＝(x，y)， 则|a|＝ x2＋y2.
跟踪训练2 在△ABC中，已知A(4,1)，B(7,5)，C(－4,7)，则BC边上的 中线AD的长是
∴A→B＝－32C→D，∴A→B与C→D共线. 又|A→B|≠|C→D|，∴该四边形为梯形.
12345
4.当两人提起重量为|G|的旅行包时，两人用力方向的夹角为θ，用力大
小都为|F|，若|F|＝|G|，则θ的值为
A.30°
B.60°
C.90°
√D.120°
解析 作O→A＝F1，O→B＝F2，O→C＝－G(图略)， 则O→C＝O→A＋O→B，
答案 物理中的向量：①物理中有许多量，比如力、速度、加速度、位 移都具有大小和方向，因而它们都是向量. ②力、速度、加速度、位移的合成就是向量的加法，因而它们也符合向 量加法的三角形法则和平行四边形法则；力、速度、加速度、位移的分 解也就是向量的分解，运动的叠加也用到了向量的加法. ③动量mv是数乘向量. ④力所做的功就是作用力F与物体在力F的作用下所产生的位移s的数量积.
解析 对于 A，A→B－A→C＝C→B，故 A 中结论错误； 对于 B，设 θ 为向量A→B与B→C的夹角， 因为A→B·B→C＝A→B·B→C·cos θ，而 cos θ<1， 故A→B·B→C<A→B·B→C，故 B 中结论正确； 对于 C，A→B＋A→C·A→B－A→C＝A→B2－A→C2＝0， 故A→B＝A→C，所以△ABC 为等腰三角形，故 C 中结论正确；
A.v1－v2
√B.v1＋v2
利用向量解决平面几何问题的方法与技巧
利用向量解决平面几何问题的方法与技巧平面几何是数学中的一个重要分支，它研究平面上的点、直线、圆等几何图形及其性质。
解决平面几何问题时，常常可以运用向量的概念和运算来简化计算和分析过程。
本文将介绍一些利用向量解决平面几何问题的方法与技巧。
一、向量的基本概念与运算在讨论向量解决平面几何问题之前，首先需要了解向量的基本概念和运算。
向量是具有大小和方向的量，可以表示为箭头形式或坐标形式。
向量的加法满足交换律和结合律，即（a+b）+c=a+（b+c），a+b=b+a。
向量的数乘是将向量的长度进行拉伸或压缩的操作，结果仍是一个向量。
二、利用向量进行辅助构造1. 向量平移在解决平面几何问题时，有时可以通过向量平移来简化问题。
设有一个平面几何问题，已知点A，B，C等多个点，需要求得某个点D。
可以选择一个已知向量，用它将所有的点平移，然后通过平移后的点的位置关系来确定点D的位置。
2. 向量加法构造向量当需要得到几何图形中的一个向量时，可以利用已知向量进行向量加法构造。
例如，已知直线上的两个点A和B，需要求得直线上的另一个点C，可以利用已知向量AB和一条与直线垂直的向量得出向量AC，从而确定点C在直线上的位置。
三、利用向量进行问题的求解1. 直线和向量的关系在平面几何中，直线可以由点和向量唯一确定。
已知直线上的两点A和B，通过向量AB可以得到直线上的一个特征向量。
2. 平行和共线的判定利用向量的平行性质，可以方便地判定两条直线是否平行或共线。
若两个向量的方向相同或相反，则两条直线平行；若两个向量共线，则两条直线共线。
3. 角度和向量的夹角利用向量的内积，可以求得两个向量之间的夹角。
已知两个向量a和b，它们的夹角θ满足公式cosθ=(a·b)/(|a||b|)。
4. 平面和向量的关系在解决平面几何问题时，有时可以通过平面的法线向量来简化问题。
已知平面上的三个点A、B、C，可以通过向量AB和向量AC求得平面的法线向量，从而得到平面的方程。
向量应用举例1
引言
向量概念和运算，都有明确的物理背景和几 何背景。当向量与平面坐标系结合以后，向量的 运算就可以完全转化为“代数”的计算，这就为 我们解决物理问题和几何研究带来极大的方便。
1.平面几何中的向量方法
平面几何图像的许多性质如距离、平行、三点共 线、垂直、夹角等几何问题
充分利用向量这个工具来解决
形到向量
向量的运算
向量和数到形
合作探究
1、Rt△ABC中，∠A=90°证明： CB AB AC
2 2 2
C
1、化几何量为向量
A B 2、向量运算找关系 3、向量间的关系化为几何关系
2、证明：菱形的两条对角线互相垂直
D
C
A
B
用向量证明三角形中位线定理
1 求证：EF // BC 且EF BC 2
m 1 即( n m )a ( n )b 0 2 不共线， a, b
1 1 因此n(a b ) b m(a b ) 2 2
D E R F T B C
n m 0 m 1 n 0 A 2
1 解得：n= m = 3
F1
F2
| F1 |
2cos 2
|G |
G
(4)如果绳子的最大承受力为 | F1 | 200 N , | G | 200 3 N , θ在什么范围内,绳子才不会断？ F
由 200 3 ≤ 200, cos ≥ 3 , 2 2 2cos 2
证明：设AB a, AD b,
等于相邻两边的平方和的两倍。 D
C
B
探究二：向量在物理学中的应用
平面几何中的向量方法课件-2022-2023学年高一下学期数学人教A版(2019)必修第二册
3
+
2
4
2．已知A，B，C，D四点的坐标分别是(1,0)，(4,3)，(2,4)，(0,2)，则
此四边形为( A )
A．梯形
B．菱形
C．矩形
D．正方形
由题意得 ＝(3,3)， ＝(2,2)，
∴ ∥，||≠||.
3．平面上有三个点A(－2，y)，B
0,
2
，C(x，y)(x≠0)，若
____________________________________________________________．
(2)证明线段垂直问题，如证明四边形是矩形、正方形，判断两直线(或
线段)是否垂直等，常用向量垂直的条件：
a⊥b⇔a·
b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0(a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2))
1
2
CD＝DA＝ AB，求证：AC⊥BC．
证法二
如图，建立直角坐标系，
设CD＝1，则A(0,0)，B(2,0)，C(1,1)，D(0,1)．
∴ ＝(－1,1)， ＝(1,1)．
∴ · ＝(－1,1)·(1,1)＝－1＋1＝0.
∴AC⊥BC．
方法总结
用向量证明平面几何问题的两种基本思路
___________________________________________________．
(3)求角问题，利用公式：cos〈a，b〉＝
⋅
1 2 +1 2
＝
_____________________
12 +12 22 +22
(a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2))．
(1)向量的线性运算法的四个步骤
利用平面向量知识求解平面几何中的比例问题
例 题改 编 １ 如 图 ２所 示 ，平 行
Ｃ
四边形 ＡＢＣＤ中 ，点 Ｅ，Ｆ分别是 ＡＤ，
ＤＣ 边 上 的 点 ，ＤＥ ＝ －ＡＤ，ＣＦ ＝ Ａ
－ ＣＤ，ＡＦ与朋交与尸点，求筹与
图 ２
的值 ． 分析 本题利用平 面几 何 的知识 不容 易解 决 ，但利 用
解 设 Ａ－－ｇ：ｎ， ：ｂ，设 ：Ａ商 ， ：
Ａ（一 ＋丢６），则 ＝ ＋ ，即 ＝ｎ＋Ａ（一ｎ＋ ）＝
（１一Ａ）口＋ ．
再令 ＝ ，日９（１＿Ａ）ｎ＋ ６＝ （ ２＋西），
所 以
２
’
… 知 ÷，
所 以， ＡＰ： １ ，丽ＢＰ＝ ．
例 题 改 编 ２ 如 图 ３所 示 ，ＡＡＢＣ
中，点 Ｅ，Ｆ分 别 是 ＡＢ，ＡＣ边 上 的 点 ，
面 几 何 问 题 的一 般 方 法 ，即所 谓 的 “三部 曲 ”： （１）建立平 面几何 与向量 的联系 ，用 向量 表示 问题 中涉
及的几何元素 ，将 平面几何问题转化为 向量 问题 ； （２）通过 向量运算 ，研 究几何元素之 间的关系 ，如距 离、
夹 角 等 问 题 ；
（３）把运算结果 “翻译”成几何关 系． 关于距离和夹 角的 问题 ，往往 通过 向量 的数 量 积 的运
平 面 上 选 取 两 个 适 当 的不 共 线 向 量 （两 个 足 够 ，这 是 平
面 向量 基 本 定 理保 证 的 ）作 为 基 底 ，来 表 示 图 形 中 的 有 关 向
量．利用 与 共线，引入一个未知数，表示出ａ －ｇ；把赢用
赢和 表示出来，再利用赢与齑 共线，再引入一个未知数．
主要探讨利用 向量知识解决 与 比例有关的问题． 例题 （教 材的例 ２，本 文从方法
高中数学 人教A版必修4 第2章 2.5.1平面几何中的向量方法
2.5.1
2．5.1
平面几何中的向量方法
本 课 时 栏 目 开 关
【学习要求】 1．经历用向量方法解决某些简单的平面几何问题及其它一些实际 问题的过程． 2．体会向量是一种处理几何问题的有力工具． 3．培养运算能力、分析和解决实际问题的能力． 【学法指导】 由于向量涉及共线、夹角、垂直、长度等基本问题，而这些问题 正是平面几何研究的对象，因此可以用向量来处理平面几何问题． 用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”： ①建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元 素，将平面几何问题转化为向量问题； ②通过向量运算，研究几何元素之间的关系； ③把运算结果“翻译”成几何关系.
研一研·问题探究、课堂更高效
2.5.1
探究点三
平面向量在几何中的应用
用向量法处理有关直线平行、垂直、线段相等、点共线、线 共点以及角度等问题时有独到之处，且解法思路清晰、简洁 直观．其基本方法是：
当 v1⊥v2，即 v1· v2＝1＋k1k2＝0 时，l1⊥l2，夹角为直角；当 k1k2≠－1 时，v1· v2≠0，直线 l1 与 l2 的夹角为 θ(0° <θ<90° )．不 难推导利用 k1、k2 表示 cos θ 的夹角公式： |1＋k1k2| |v1· v2 | cos θ＝ ＝ 2 2. |v1||v2| 1＋k1· 1＋k2
填一填·知识要点、记下疑难点
2.5.1
1．向量方法在几何中的应用
本 课 时 栏 目 开 关
(1)证明线段平行问题，包括相似问题，常用向量平行 (共
a＝λb ⇔ x1y2－x2y1＝0 线)的等价条件：a∥b(b≠0)⇔_____
.
(2)证明垂直问题，如证明四边形是矩形、正方形等，常用
高中数学必修四《平面几何中的向量方法》优秀教学设计
2.5.1平面几何中的向量方法一、教学目标1．通过平行四边形这个几何模型，归纳总结出用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”；2．了解平面几何图形中的有关性质，如平移、全等、相似、长度、夹角等可以由向量的线性运算及数量积表示；3．通过对新方法的探求，渗透教学内容中普遍存在的相互联系、相互转化的观点学情分析高一学生的应用意识和应用能力比较弱，而运用向量知识解决几何问题，需要有一定的知识迁移、语言转换能力，这些要求对学生的学习造成了一定的困难。
在思维层面上，学生往往难以想到平面几何与向量之间的密切联系，或是不善于将几何实际问题转化为向量问题来解决。
因此，在本节应用实例课的教学过程中，重点将放在向量的几何背景知识上，着重引导学生怎样将几何实际问题转化为向量问题。
二、教学重、难点重点：用向量方法解决几何问题的基本方法和基本步骤 难点：如何构建向量模型将平面几何问题化归为向量问题 三、教学过程： （一）直接引入向量概念和运算，都有明确的物理背景和几何背景。
当向量与平面坐标系结合以后，向量的运算就可以完全转化为“代数”的计算，这就为我们解决物理问题和几何研究带来极大的方便。
由于向量的线性运算和数量积运算具有鲜明的几何背景，平面几何的许多性质，如平移、全等、相似、长度、夹角都可以由向量的线性运算及数量积表示出来，因此，利用向量方法可以解决平面几何中的一些问题。
（二）探究新知 【情境引入】长方形对角线的长度与两条邻边长度之间有何关系？答：222222AB BC CD DA AC BD +++=+【师生活动】教师设问，学生画图，【设计意图】长方形是特殊的平行四边形，公式结论是学生已知的，为研究平行四边形这个一般问题奠定了基础，体现了由特殊到一般的数学思想．例1．平行四边形是表示向量加法与减法的几何模型.如图,AC AB AD DB AB AD =+=-， 类比长方形对角线的长度与两条邻边长度之间的上述关系，你能发现平行四边形对角线的长度与两条邻边长度之间的关系吗？思考1：题中的几何问题可转化为向量问题吗？ 【师生活动】分析：不妨设,AB a AD b ==， （选择这组基底，其它线段对应向量用它们表示．） 则,AC a b DB a b =+=-，2222,AB a AD b ==．涉及长度问题常常考虑向量的数量积，为此，我们计算22,AC DB ． 解：222()()2AC AC AC a b a b a a a b b a b b a a b b==++=+++=++（１）同理2DB =222.a a b b -+（２）观察(1),(2)两式的特点，我们发现，(1)(2)+得2222222()2()AC DB a b AB AD +=+=+即平行四边形对角线的平方和等于两条邻边平方和的两倍．【设计说明】教师引导学生猜想平行四边形对角线的长度与两邻边长度之间有什么关系，利用类比的思想方法，猜想平行四边形有没有相似关系．指导学生猜想出结论：平行四边形两条对角线的平方和等于四条边的平方和，并运用向量方法进行证明．【设计意图】借助平行四边形这个向量加法与减法的几何模型，引导学生用向量的数量积证明与长度有关的几何问题，加强向量方法的“三步曲”的应用．思考2：向量也可以坐标运算，那么本题可以如何建立直角坐标系，设点的坐标转化为向量的坐标进行运算呢？解:如图建立平面直角坐标系,设(,0),(,)B a D b c ,则(,)C a b c +(,0),(,),AB a AD b c ==(,),(,)AC a b c DB a b c =+=--22||,||,AB a AD b c ==+22||(),||()AC a b c DB a b c =++=-+2222AB BC CD DA +++=222222(||||)2(),AB AD a b c +=++22AC BD +=22222||||2()AC DB a b c +=++222AB BD +=|222AD AB += 2222||||||||AD DC BC AB +++【师生活动】教师可引导学生思考探究，利用向量的几何法简捷地解决了平面几何问题，可否利用向量的坐标运算呢？这需要建立平面直角坐标系，找出所需点的坐标，如果能比较方便地建立起平面直角坐标系，如本例中图形,很方便建立平面直角坐标系，且图形中的各个点的坐标也容易写出，是否利用向量的坐标运算能更快捷地解决问题呢？ 教师引导学生建系、找点的坐标，然后让学生独立完成．【设计意图】进一步调动学生的思维，引导学生应用不同的向量方法解决典型问题，有利于培养学生的发散思维能力．思考３：如果不用向量方法，你能用其他方法证明上述结论吗？ 证明：作CF AB ⊥于F ，DE AB ⊥于E ，则RT ADE RT BCF ∆≅∆，,AD BC AE BF ∴==， 由于22222()AC AF CF AB BF CF =+=++2222222AB BF AB BF CF AB BC AB BF=+++=++22222222()2BD BE DE AB AE DE AB AB AE AE DE =+=-+=-++222AB AB AE AD =-+222AB AB AE BC =-+22222()AC BD AB AD ∴+=+.【师生活动】教师可引导学生思考探究，学生作辅助线，利用平面几何勾股定理解决问题．【设计意图】教师充分让学生对以上各种方法进行分析比较，在培养学生发散思维的同时，让学生体会向量法解决几何问题的优越性，适时引导学生归纳用向量方法处理平面几何问题的一般步骤．方法四：证明：由余弦定理得2222cos AC DA DC DA DC CDA =+-⋅⋅∠ ① 2222cos BD AD AB AD AB DAB =+-⋅⋅∠ ②DC AB =且CDA DAB π∠=-∠cos cos()cos CDA DAB DAB π∴∠=-∠=-∠ ∴①+②得222222AC BD AB AD +=+（三）理解新知【师生活动】师：通过以上问题的解决，我们总结一下运用向量方法解决平面几何问题可以分哪几个步骤？生：运用向量方法解决平面几何问题“三步曲”： (1)建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；(2)通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题； (3)把运算结果“翻译”成几何关系．师生共同简述：形到向量 ⇒ 向量的运算⇒向量和数到形．【设计意图】总结解题方法，加深对用向量方法处理平面几何问题的一般步骤的理解，突破重难点．（四）运用新知例２．如图，平行四边形ABCD 中，点,E F 分别是,AD DC 边的中点，,BE BF 分别与AC 交于,R T 两点，你能发现,,AR RT TC 之间的关系吗？猜想：AR RT TC ==【师生活动】分析：由于,R T 是对角线AC 上的两点，要判断,,AR RT TC 之间的关系，只需分别判断,,AR RT TC 与AC 的关系即可解：第一步, 建立平面几何与向量的关系，用向量表示问题中的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题：设,,,AB a AD b AR r AC a b ====+则. 第二步, 通过向量运算,研究几何元素之间的关系: 由于AR 与AC 共线,所以我们设又因为12EB AB AE a b =-=-ER 与EB 共线,所以我们设1()2ER mEB m a b ==-因为(),AR r nAC n a b n R ===+∈A R A E E R=+所以11()22r b m a b =+- 因此11()()22n a b b m a b +=+-, 即1()()02m n m a n b --++=. 由于向量,a b 不共线,要使上式为0,必须0102n m m n -=⎧⎪⎨-+=⎪⎩. 解得13n m ==. 所以13AR AC =. 同理13TC AC =. 于是13RT AC =. 第三步,把运算结果“翻译”成几何关系AR RT TC ==.【设计说明】此题对学生而言有一定难度，先用几何画板动态演示并展示测量的数据，让学生观察猜想出结论，师生共同分析，指导学生如何将几何问题化归为向量问题，突破本题难点，引导学生用待定系数法表示两平行向量，进而解答出此题． 通过“举一反三”，让学生熟练应用此题中的数学思想和方法．【设计意图】通过此题进一步熟悉向量法的“三步曲”的应用，同样重要的是此题应用到了平行向量基本定理和平面向量基本定理，用向量的数乘表示其平行向量的重要数学思想，和待定系数法这个重要的数学方法．通过此题启发学生灵活运用向量工具解几何问题．变式练习1. 已知AC 为圆O 的一条直径，ABC ∠为圆周角.求证：90ABC ∠=． 证明：设,,AO a OC OB b a b ====,AB AO OB a b =+=+BC a b =-，22()()0AB BC a b a b a b =+-=-=AB BC ∴⊥，90ABC ∴∠=．【设计意图】让学生学会灵活的利用圆的特性、线段垂直的关系等知识巧妙地将几何问题化归为向量问题.变式练习２. 已知在等腰ABC ∆中，,BB CC ''是两腰上的中线,且BB CC ''⊥,求顶角A 的余弦值．解:建立如图所示的平面直角坐标系,取(0,),(,0)A a C c 则(,0)B c -，(0,),(,),(,0),(2,0)OA a BA c a OC c BC c ====．因为,BB CC ''′都是中线，所以'BB =21()BC BA += 3(,)22c a， 同理CC =3(,)22c a-．因为BB CC ''⊥，所以229044ac -+=,229a c =． 所以cos A =542992222222=+-=+-=c c c c ca c a ． 【设计说明】教师可引导学生思考探究，上例利用向量的几何法简捷地解决了平面几何问题.可否利用向量的坐标运算呢？这需要建立平面直角坐标系，找出所需点的坐标.如果能比较方便地建立起平面直角坐标系，如本例中图形，很方便建立平面直角坐标系，且图形中的各个点的坐标也容易写出，是否利用向量的坐标运算能更快捷地解决问题呢？教师引导学生建系、找点的坐标，然后让学生独立完成.【设计意图】本例利用的方法与探究2有所不同，但其本质是一致的，比较两种解法的异同，找出其内在的联系，以达融会贯通，灵活运用． 课堂练习：1．向量,,b OB a OA ==且不共线, 则AOB ∠的平分线OM 可表示为（ D ）.,.,a b a b A B aba b+++..()b a a b a b C D a babλ+++２．如图，已知,,AD BE CF 是ABC ∆三条高．求证：,,AD BE CF 交于一点． 分析：设AD 与BE 交于H ，只须证⊥由此可设=，=，=如何证⊥？如何证0=⋅？利用AH ⊥CB ，BH ⊥CA ．（解答过程由学生完成） （五）课堂小结1.用向量法解平面几何问题的基本思路 用向量方法解决平面几何的“三步曲”：(1)建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；(2)通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题； (3)把运算结果“翻译”成几何关系.简述：形到向量 ⇒向量的运算⇒向量和数到形． 2.本节课用到了哪些思想方法? 平面向量的基本定理ABC D EFH如果12,e e 是同一平面内的两个不共线向量,那么对这一平面内的任一向量a ，有且只有一对实数12,λλ,使1122a e e λλ=+．说明：(1)作为基底的两个向量必须不共线(2)用基底可以表示平面内任意一个向量 （3）基底给定时,分解形式唯一.当要表示同一平面内的多个向量时，要想到“向量基底化”思想．【设计意图】使学生把解题过程中的思想方法总结出来，达到思维能力的提升，从而更广泛的应用于以后的学习中． （六）布置作业 1．必做题：课本P113 A 组1、2 ２．选做题： 设过AOB ∆的重心G 的直线与边,OA OB 分别交于点,P Q ，设,OP xOA OQ yOB ==，AOB ∆ 与OPQ ∆的面积分别是,S T ，证明：（1）311=+y x ； （2）S T S 2191≤≤． 【设计意图】巩固基础知识，设置分层作业，满足每一位学生，增强学生学习数学的愿望和信心.３. 课后练习 自主学习丛书２.５ABO PQG。
借助平面向量处理平面几何问题
借助平面向量处理平面几何问题【用向量方法解决平面几何问题的“三步曲” 】(1)建立平面几何与向量的联系——用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转 化为向量问题.(2)通过向量运算——线性运算和数量积，研究几何元素之间的关系，如距离、平行、垂直及夹角等问题.(3)把运算结果通过“翻译”——还原成几何元素间的关系. 流程图为：形转换成向量→向量运算→运算结果还原为形.向量在平面几何中的应用是非常广泛的.下面我们就五个方面来进行初步研究. (一) 点共线与线共点问题:例1.设两个非零向量e 1，e 2不共线,如果AB⃗⃗⃗⃗⃗ =2e 1+3e 2，BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =6e 1+23e 2，CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =4e 1-8e 2, 求证:A 、B 、D 三点共线.证明：∵ AD ⃗⃗⃗⃗⃗ = AB⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2e 1+3e 2)+(6e 1+23e 2)+( 4e 1-8e 2)=12e 1+18e 2 =6(2e 1+3e 2)=6AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∴ AD ⃗⃗⃗⃗⃗ 与AB⃗⃗⃗⃗⃗ 共线. 又∵ AB 与AD 共点A ， 故 A 、B 、D 三点共线.例2.如图1.5—1.在三角形ABC 中，D 是BC 上的一点，2BD=DC ，E 是DA 的中点，F 是AC 上的点，3AF=FC. 求证：B 、E 、F 三点共线. 证明：设BD ⃗⃗⃗⃗⃗ =e 1，BA ⃗⃗⃗⃗⃗ =e 2，由定比分点的向量形式得， BE ⃗⃗⃗⃗⃗ = 12(e 1+e 2). BF ⃗⃗⃗⃗ =14BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +34BA⃗⃗⃗⃗⃗ =34(e 1+e 2). ∴ BE ⃗⃗⃗⃗⃗ = 23BF ⃗⃗⃗⃗ ，⇒ BE ⃗⃗⃗⃗⃗ ∥BF ⃗⃗⃗⃗ . 又∵ BE 与BF 共点B ， 故 B 、E 、F 三点共线.说明：证明A 、B 、C 三点共线的基本思路是：先选取两不共线线段所对应的向量作为基底，然后将所证三点对应的两向量用基底表示出来，从而得到某个定值λ，使得AB⃗⃗⃗⃗⃗ = λAC ⃗⃗⃗⃗⃗ . 再说明AB 与AC 共点A,从而推出A 、B 、C 三点共线.想一想①： 如图1.5—2.已知∆ABC ，在AC 上取点N ，使3AN=AC ， 在AB 上取点M 使3AM=AB ，在BN 的延长线上取点P ，使2NP=BN ， 在CM 的延长线上取点Q ，使2MQ=CM. 求证：P 、A 、Q 三点共线. 例3.用向量方法证明：三角形的三中线交于一点.已知：在∆ABC 中，G 、E 、L 分别是BC 、CA 、AB 的中点，设中线AD 、BE 交于点P.求证：AD 、BE 、CL 三线共点.证明：设AD∩BE=P . AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =a , AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ，则 AL ⃗⃗⃗⃗⃗ =12 b . CL ⃗⃗⃗⃗ =AL ⃗⃗⃗⃗⃗ −AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =-a +12b . 设AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =mAD ⃗⃗⃗⃗⃗ ,则 AC⃗⃗⃗⃗⃗ +CP ⃗⃗⃗⃗ =m(AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CD ⃗⃗⃗⃗⃗ ), ∴ CP ⃗⃗⃗⃗ =(−1+m )AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +mCD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-1+m 2)a +m2 b . ① 又设 EP⃗⃗⃗⃗ =n EB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则CP ⃗⃗⃗⃗ −CE ⃗⃗⃗⃗ =n(EC ⃗⃗⃗⃗ +CB ⃗⃗⃗⃗⃗ ), ∴CP ⃗⃗⃗⃗ =(1−n )CE ⃗⃗⃗⃗ +nCB ⃗⃗⃗⃗⃗ =−1+n 2a +nb ② 由①、②得:m =23且n =13. ∴CP ⃗⃗⃗⃗ = -23a +13b = 23(-a +12b )= 23CL⃗⃗⃗⃗ B D C F AE 图1.5—1e 1 e 2B MCN PA Q 图1.5—2A LB D CE Pa b 图1.5—3∴ C 、P 、L 三点共线, 故 AD 、BE 、CL 三线共点.说明:1.证明三线共点的基本思路是：先假设两线交于一点P ，然后说明第三条线也过该点.通常要用平面向量基本定理得出参数的等量关系式.2.此题的证明也可参见§1.6【与重心有关的问题】中，命题1的证明.例4.如图1.5—4.设P 、Q 、R 分别是三角形ABC 三边(异于顶点)上的点，若AR=xRB ，BP=yPC ，CQ=zQA. 求证:AP 、BQ 、CR 三线共点的充要条件是：xyz=1.证明:①必要性:设AP 、BQ 、CR 交于点G, ∵ A 、G 、P 三点共线,∴ CB 1CA )-(1CP CA )-(1CG y++=+=αααα(0<α<1). 又∵ B 、G 、Q 三点共线,∴ CA 1CB )-(1CQ CB )-(1CG zz ++=+=ββββ,(0<β<1）.另外可令:))CB AC (11()11()(CG +++=++=+==xCA r AB x CA r AR CA r CR r=CB xxr CA xxr +++11.由平面向量基本定理知：,111,111xr y x rx z z +=+=-+=+=-αββα且⇒1111,11,11-+-=--+=-+-=--+=r r x z y ββααβααββα.由关于x 的两个等式,⇒0)2(=-++r r βα,⇒2=++r βα,⇒ αβ--=11x , ⇒ xyz=1.②充分性:设 xyz=1 ,设AP 与BQ 交于G,连CG 并延长交AB 于R 1,又设AR 1=x 1R 1B.由必要性知 x 1yz=1,⇒ x=x 1 , ⇒R 与R 1重合. AP 、BQ 、CR 三线共点. 由①②知命题成立.想一想②：由例4的结论，你能否给出三角形的三中线、三内角的平分线都是交于一点的.(二)垂直性的证明：例5.已知正方形ABCD ，P 为对角线AC 上任意一点，PE ⊥AB 于点E ， PF ⊥BC 于点F ，连接DP 、EF.求证DP ⊥EF.证明：选择正交(相互垂直)基底{AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，AD ⃗⃗⃗⃗⃗ }，AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1，0)，AD⃗⃗⃗⃗⃗ =(0，1) 设AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(a ，a)，则EB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1−a ，0)，EF ⃗⃗⃗⃗ =(1−a ，a).∴ DP ⃗⃗⃗⃗⃗ =AP ⃗⃗⃗⃗⃗ −AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(a ，a -1).∵ DP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∙EF ⃗⃗⃗⃗ =(a ，a -1) ∙(1−a ，a)=0， ∴ DP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥EF ⃗⃗⃗⃗ ， 因此DP ⊥EF.例6.若非零向量a ，b 满足|a -b |=|a +b |，则向量a ，b 的关系是_________________. 解法1：(把向量用坐标表示，利用坐标关系体现向量关系).设a =(x 1，y 1)，b =(x 2，y 2)，.则a + b=( x 1+ x 2，y 1+ y 2) ，a -b=( x 1-x 2，y 1-y 2).∵ |a -b |=|a +b |，()221221221221)()()(y y x x y y x x -+-=+++，B CP QA RG 图1.5—4 图1.5—5即 x 1x 2+y 1y 2=0，∴ a ⊥b . 解法2：(通过等价转化寻找向量a ，b 的关系). 将|a -b |=|a +b |两边平方得，a 2+b 2-2a ·b=a 2+b 2+2a ·b ， 化简得a ·b =0，∴ a ⊥b .解法3：(利用向量加法，减法的几何意义). 如图1.5—6.根据向量加法，减法的三角形及平行四边 形法则知，对角线相等的平行四边形ABCD 是矩形.所以相邻两边垂直，因此 a ⊥b .例7.已知a 、b 是单位向量，a ·b =0.若向量c 满足| c -a -b |=1，求|c |的取值范围. 分析1.由|a |=|b |=1，将|c -a -b |=1，两边平方可得|c |2-2|a+b ||c |cos θ+1=0 (1).其中θ为向量(a +b )与c 成的角. 再由a ·b =0，⇒|a +b |=√2. 从而由(1)式可得， ]1,1[||221||cos 2-∈+=c c θ，解得 |c |]12,12[+-∈.上述解答过程无论是解题思路、还是计算过程都是比较繁琐的.倘若我们换一个角度来思考，其解答过程将要简洁得多. 分析2.由已知，a 、b 是互相垂直的单位向量，设O 为坐标原点. 则a +b为正方形OACB 的对角线OC 所对应的向量.如图1.5—7(1). 而|c -a -b |=1的几何意义为：向量c 的终点在以C 为圆心， 以1为半径的圆上运动.由圆的性质易得|c |]12,12[+-∈.分析3.建立如图1.5—7(2)所示的平面直角坐标系.设a =OA⃗⃗⃗⃗⃗ =(1，0)， b =OB⃗⃗⃗⃗⃗ =(0，1)，c =(x ，y).可得OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =a +b =(1，1)， 由|c -a -b |=1可得(x -1)2+(y -1)2=1. ∴|c |=√x 2+y 2, 再由圆的性质易知|c |]12,12[+-∈.例8.在平面上，AB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥AB 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，|OB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=|OB 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=1，AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AB 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ . 若|OP ⃗⃗⃗⃗⃗ |<12(O 为坐标原点)，则|OA⃗⃗⃗⃗⃗ |的取值范围是 . 分析：此题若仿例7的法1，从数的角度去处理，将比例7要繁杂得多，因为这里的变数更多.若从几何意义出发，由，|OB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=|OB 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=1，可知点B 1、B 2在单位圆上运动.作为填空题，在这里我们不妨将点B 1放在 特殊位置——单位圆与x 轴的正半轴的交点.如图1.5—8.结合图形知，当点A 在B 1A 上移动时，点P 在B 1O 间移动. 当点A移动到A ′ (此时|B 1A ′|= √32，|OP|= 12).当点在A ′A间移动 时(AB 2与单位圆相切)，点P 在OP 间移动，且满足|OP ⃗⃗⃗⃗⃗ |< 12. 由此易知|OA⃗⃗⃗⃗⃗ |的取值范围是(√72，√2].至于点B 2在单位圆的其它位置移动时，由圆的对称性，上述结论仍然成立.说明：从以上几例可以看出，“以形代数”，再利用其对应的几何意义和几何特性来处理一些A 图1.5—6CD aba+b a -bxy B 1 B 2 AP P O图1.5—8O AB C ab a+b图1.5—7(1) OAB C yx与向量的模有关的问题时，往往可以收到化繁为简、事半功倍的效果.这也是数形结合思想方法的重要体现.例9.如图1.5—9在四边形ABCD 中，若AB 2+CD 2=BC 2+DA 2，则AC ⊥BD. 证明：由AB 2+CD 2=BC 2+DA 2，⇒2222DA B C CD A B +=+， ⇒2222CD DA BC AB -=-，⇒)CD -DA ()CD DA ()B C -AB ()B C AB (⋅+=⋅+， ⇒)CD -DA (CA )B C -AB (AC ⋅=⋅，⇒0)]CD B C (-DA AB [AC =++⋅，⇒0DB 2AC =⋅，⇒ 0DB AC =⋅，⇒AC ⊥BD.说明：欲证AB ⊥CD ，只需证明 AB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∙CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =0即可.想一想③：1.例9的逆命题成立吗？2.求证：平行四边形ABCD 是菱形的充要条件是：两对角线AC ⊥BD.3.若在Rt △ACB 中，∠ACB=900，AC=BC,D 为AC 的中点，E 为AB 上的点，且2AE=EB ，求证：BD ⊥CE(三)线段的等量关系：例10.如图1.5—10.已知平行四边形ABCD 中，E 、F 在对角线BD 上，并且BE =FD .求证AECF 是平行四边形. 证明：由已知设==DC AB a ，==FD BE b.=+=BE AB AE a + b ，=+=DC FD FC b + a ， ∴ AE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = FC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，即边AE 、FC 平行且相等，AECF 是平行四边形.例11.求证平行四边形对角线互相平分．证明：如图1.5—11.设平行四边形ABCD 的两条对角线相交于M ，.,BD y BM AC x AM == 则AD x AB x AC x AM +==.∵ AD y AB y AB AD y AB BD y AB BM AB AM +-=-+=+=+=)1()(.根据平面向量基本定理知，∴ x=1-y 且x=y ，⇒ x=y=12.∴ 点M 是AC 、BD 的中点，即两条对角线互相平分.例12.如图1.5—12. 在平行四边形ABCD 中，点E 、F 分别是AD 、DC 边的中点，BE 、BF分别与AC 交于R 、T 两点，你能发现AR 、RT 、TC 之间的关系吗？ 猜想：AR=RT=TC解：设.,,AB r AR b AD a === 则 =AC a+b. 由于 AC AR 与 共线，故设r=n(a+b ). 又∵ EB ,ER 共线，故设)21(ER b a m -=，∵ ER AE AR +=, ∴ )21(21b a m b r -+=， 因此n(a+b )=)21(21b a m b -+，⇒ m=n=13 ，⇒AR=13AC. 同理 TC=13.AC. 故AT=RT=TCAB CD图1.5—9CADM B图1.5—11ABCD EFRT 图1.5—12A B C D EF图1.5—10例13.如图1.5—13.设AC 是平行四边形ABCD 的长对角线，从C 引AB 、AD 的的垂线CE 、CF ，垂足分别是E 、F.试用向量方法证明：AB·AE+AD·AF=AC 2. 证明：在Rt △AEC 中，cos |AC ||AE |=∠BAC ， 在Rt △AFC 中，cos |AC ||AF |=∠DAC ，∴ |AC ||AB ||AE ||AB |=⋅cos ∠BAC=AC AB ⋅，|AC ||AD ||AF ||AD |=⋅cos ∠DAC=AC AD ⋅,⇒+⋅|AE ||AB |=⋅|AF ||AD |AC AB ⋅+AC AD ⋅=2AC AC )AD AB (=⋅+.即：AB ·AE+AD ·AF=AC 2.点评：证明线段的等量关系时,通常要用向量加减法的三角形及平行四边形法则、平面向量基本定理及a 2=|a|2等基本结论.想一想④：用向量证明三角形及梯形的中位线性质定理.(四)平面几何中基本定理的向量证法： 例14.证明直径所对的圆周角是直角.如图1.5—14.已知⊙O ，AB 为直径，C 为⊙O 上任意一点. 求证∠ACB=900.证明：设b OC a ==,AO ，由已知得|a |=|b |. , 则0)()(22=-=-⋅+=⋅b a b a b a BC AC ，∴ AC ⊥BC . 即 ∠ACB=900.例15.(任意三角形中的射影定理).在三角形ABC 中，设AB=c ，AC=b ，BC=a. 求证：b=a·cosC+c·cosA ①.c=a·cosB+b·cosA ②. a=c·cosB+b·cosC ③. 证明：如图1.5—15.设=AB c ，=BC a ，=AC b . 则a+c =b ，⇒(a+c )·b =b 2，⇒a ·b+c ·b=b 2，⇒|a ||b |cosC+|c ||b |cosA=|b |2，⇒|a | cosC+|c |cosA=|b |， 即 b=a·cosC+c·cosA ①类似地可得 c=a·cosB+b·cosA ② a=c·cosB+b·cosC ③说明：此问题的证明方法较多，比喻可用正弦定理，也可以用余弦定理，还可以用直角三角形中三角函数的定义来证明.例16.(直角三角形中的射影定理)如图1.5—16.在Rt △ACB 中，∠ACB=90°，CD ⊥AB 于D ，求证：AC 2=AD ·AB ① BC 2=BD ·AB ② 证明：∵ BA -BC AC =.(1) DC AD AC +=.（2）又 ∵∠ACB=90°，CD ⊥AB ，⇒ 0DC B A 0,AC B C =⋅=⋅.AEBC FD图1.5—13AOBC图1.5—14A CBb ca 图1.5—15 ADBC图1.5—16由(1)、(2)得：AD BA -)DC AD (BC )DC AD ()BA -BC (AC 2⋅+⋅=+⋅= =||||cos |AD ||B A |-AC B C AD BA =⋅⋅π， 即 AC 2=AD ·AB. ① 类似地可得: BC 2=BD ·AB.②想一想⑤：用向量方法证明勾股定理.例17.已知PT 是圆O 的切线，PAB 是圆的割线.求证：PT 2=PA ·PB.(圆幂定理). 证明：设圆O 的半径为R ，P 是平面上任意一点，如图1.5—17.过P 引射线交圆O 于A 、B ，e 为PB 上的单位向量，21,λλ分别表示PA 、PB 的长度， 则 1OP OA λ+=e ，2OP OB λ+= e. 设M 是PB 上的一动点，|PM |为x ，则x +=OP OM e.∵ 点M 在圆O 上的充要条件是22R OM =. 即22R e)OP (=+x . ∴ 0||)(2222=-+⋅+R OP x e OP x (1) 当点M 与A 重合时，得到PA 的长度1λ是方程（1）的根， 当点M 与B 重合时，得到B P 的长度也2λ是方程（1）的根. 由一元二次方程根与系数的关系知：2221R |OP |—=⋅λλ. 当P 在圆外时，过P 引切线PT(T 为切点). 则由勾股定理易得：222R |OP |PT —=, ∴ PB PA PT 212⋅=⋅=λλ说明：换一个角度看：如果A 与B 重合，PA 即切线，此时PA 2也应等于22R |OP |-.由勾股定理之逆便可得到：过切点的半径垂直于切线这一结论.想一想⑥：你能否用例17的结论来证明相交弦及垂径定理.(五)最值问题：例18.如图1.5—18.在Rt △ABC 中，已知BC=a ，若长为2a 的线段PQ 以点A 为中点，问BC PQ 与的夹角θ取何值时CQ BP ⋅的值最大？并求出这个最大值．解法1.解题思维的入手点是在“Rt △ABC 中”，据此进行翻译和转化．∵AC AB ⊥，∴ 0=⋅AC AB .AC AQ CQ AB AP BP AQ AP -=-=-=,, ，)()(AC AQ AB AP CQ BP -⋅-=⋅∴AC AB AQ AB AC AP AQ AP ⋅+⋅-⋅-⋅=AP AB AC AP a ⋅+⋅--=2)(2AC AB AP a -⋅--=22cos a a θ=-+． cos 1,0(),0PQ BC BP CQ θθ==⋅故当即与方向相同时最大,其最大值为．解法2.以直角项点A 为坐标原点，两直角边所在直线为坐标轴建立如图1.5—19所示的平面直角坐标系.设|AB|=c, |AC|=b ，则A （0，0），B （c ，0），C （0，b ），且|PQ|=2a ，|BC|=a.设点P 的坐标为(x ，y)，则Q(-x ，-y).ABCQP 图1.5—18PT A 图1.5—17OMB·∴),(),,(b y x CQ y c x BP ---=-=，(,),(2,2)BC c b PQ x y =-=-- ∴ )())((b y y x c x CQ BP --+--=⋅=by cx y x -++-)(22. ∵ 2||||cos a by cx BC PQ BC PQ -=⋅⋅=θ； ∴ θcos 2a by cx =-. ∴ θcos 22a a CQ BP +-=⋅. 故当1cos =θ，即0=θ(PQ 与BC 方向相同)时，CQ BP ⋅最大， 其最大值为0.例20.在锐角∆P 1P 2P 3内找一点P ，使P 1P+P 2P+P 3P 的长度最短.解:设在锐角三角形P 1P 2P 3内有一点P 使得:∠P 1P P 2=∠P 3P P 2=∠P 3P P 1=1200.令：的长度是是单位向量i i i i i i PP ,,PP αεεα=（i=1，2，3） 易知0321=++εεε，又设Q 是任意一点，|||||||||QP |i i i i i i i QP QP PP QP εαεεα+=+=+=≥)(i i i QP εαε+⋅三式相加得：233222211321321)(|||||QP |εαεαεαεεε+++++≥++QP QP QP =321ααα++=|P 1P|+|P 2P|+|P 3P|由此可知点P 是使P 1P+P 2P+P 3P 的长度最短的点. 为了找到这样的点P ，可在∆P 1P 2P 3外分别以P 1P 2与P 2P 3为边作两个正∆P 1P 2A ，∆P 2P 3B ，再分别作正∆P 1P 2A ，∆P 2P 3B 的外接圆，两圆除P 2外的另一个交点即为所求的点P ，这是因为∠P 1P P 2=∠P 3P P 2=1200.习题1.51.设向量a ，b 满足：|a |=3，|b |=4，a ·b =0．以a ，b ，a -b 的模为边长构成三角形，则它的边与半径为1的圆的公共点个数最多为( ).A.3.B.4.C.5.D.6.2. 若a ，b ，c 均为单位向量，且a·b =0，(a -c ) ·(b -c )≤ 0，则|a+b -c |的最大值为( ). A.12-. B.1. C..2 D.2.3.在∆ABC 中，D 是BC 上的一点，2BD=DC ，E 为DA 的中点， F 是AC 上一点，如图1.5—21.3AF=FC ，求证：B 、E 、F 三点共线.4.已知OA ⊥BC ，B ⊥AC ，求证：OC ⊥AB5.如图1.5—22. 以AB 、AC 为边向外作正方形ACDE 和正方形ABGF ，M 是BC 的中点，求证：AM ⊥EF.6.证明∆ABC 三边的中垂线交于一点.7.在∆ABC 中，若CA ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ，CB ⃗⃗⃗⃗⃗ = b .求证：S ∆ABC =12√(|a|∙|b|)2−(a ∙b)2. 8.已知G 为∆ABC 的重心，且GA=3，GB=5，GC=7.(1)证明﹕GA⃗⃗⃗⃗⃗ +GB ⃗⃗⃗⃗⃗ +GC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0. (2)求GA ⃗⃗⃗⃗⃗ ∙GB ⃗⃗⃗⃗⃗ 的值﹒(3)求△AGB 的面积﹒P 1P 2P 3P图1.5—20BACDEF 图1.5—21 A B M CD EN FG图1.5—22ABCQP图1.5—19xy参考答案想一想①：证明：∵ AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =AN ⃗⃗⃗⃗⃗ +NP ⃗⃗⃗⃗⃗ =12(NC ⃗⃗⃗⃗⃗ +BN ⃗⃗⃗⃗⃗ )= 12BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，QA ⃗⃗⃗⃗⃗ =QM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +MA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12(MC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )= 12BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∴AP⃗⃗⃗⃗⃗ =QA ⃗⃗⃗⃗⃗ ,又∵A 是公共点，∴ P 、A 、Q 三点共线. 想一想②：对于三中线易知x=y=z=1;对于三内角平分线,可利用内角平分线的性质，得到x.y.z=1. 想一想③：1.成立. 设AC 与BD 交于P ，则 AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =AP ⃗⃗⃗⃗⃗ +PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，∴AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2=AP ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+2AP⃗⃗⃗⃗⃗ ∙PB ⃗⃗⃗⃗⃗ +PB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2， ∵ AP ⊥PB, ∴ AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ∙PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，于是AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2=AP ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+PB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2. 即：AB 2=AP 2+PB 2 ①(实质是证明了勾股定理).同理CD 2=DP 2+PC 2 ② 由①、②得：AB 2 +CD 2=AP 2+PB 2 +DP 2+PC 2=BC 2+DA 2. 2.设AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ，AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ，则AC ⃗⃗⃗⃗⃗ = a+b ，DB ⃗⃗⃗⃗⃗ = a -b . ∵AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ∙DB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a 2-b 2 =|a |2-|b |2=0，|a |=|b |. ∴ 命题成立. 3.证明：如图D1.5—1.以两直角边为坐标轴，C 为原点建立坐标系，设A(1，0)、B(0，1)、C(0，0)，则D(12，0)，E(23，13). 得BD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(12，−1)，CE ⃗⃗⃗⃗ =(23，13), BD ∙⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ CE ⃗⃗⃗⃗ =0， ∴ BD⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥ CE ⃗⃗⃗⃗ 即BD ⊥CE. 想一想④：利用向量加法的三角形法则或平行四边形法则. 想一想⑤： (略). 想一想⑥：当P 在圆内时，由例4的结论知：λ1λ2=R 2-|OP ⃗⃗⃗⃗⃗ |2，易得相交弦定理. 当P 是弦AB 的中点时，λ1λ2=PA 2(或PB 2)也易得结论成立.习题1.5 1.C. 2.B.3.如图D1.5—2.设BA ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ，BA⃗⃗⃗⃗⃗ =b.则易得： BF⃗⃗⃗⃗ =34(13b + a )，BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =12(13b + a ). (下略). 4.证明：如图1.5—3.∵OA ⊥BC ，B ⊥AC ，∴ OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ∙BC⃗⃗⃗⃗⃗ =0， OB⃗⃗⃗⃗⃗ ∙AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0， 则OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ∙(OC ⃗⃗⃗⃗⃗ -OB ⃗⃗⃗⃗⃗ )=0. ① 及 OB ⃗⃗⃗⃗⃗ ∙(OC⃗⃗⃗⃗⃗ -OA ⃗⃗⃗⃗⃗ )=0. ② ①-② 得OC⃗⃗⃗⃗⃗ ∙(OB ⃗⃗⃗⃗⃗ -OA ⃗⃗⃗⃗⃗ )=0, ∴ .则OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ∙AB⃗⃗⃗⃗⃗ =0, 即OC ⊥AB. 5.证明：∵ AM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∙EF ⃗⃗⃗⃗ =12(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ) ∙(EA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AF ⃗⃗⃗⃗⃗ )= 12(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ∙EA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ∙AF ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ∙EA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ∙AF ⃗⃗⃗⃗⃗ ) = 12(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ∙EA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ∙AF ⃗⃗⃗⃗⃗ )= 12[-|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |∙|EA ⃗⃗⃗⃗⃗ |cos(900+∠BAC )+|AC|⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∙|AF ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |cos(900+∠BAC)] =0. ∴ AM ⊥EF.6.证明：如图D1.5—4.设边BC 、AC 的中垂线交于点O ，则OA=OB=OC ，以OA 、OB 为邻边作平行四边形OAFB ，由向量加法的平行四边形法则知OF ⃗⃗⃗⃗⃗ =OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，又∵|OA ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|OB|⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， CA B D E xy图D1.5—1BACDE F图D1.5—2A B M CD ENFG图D1.5—3 AFBCD EO图D1.5—4∴ 四边形OAFB 是菱形，则OF 垂直平分AB.即边AB 的中垂线也过点O.∴三角形ABC 三边的中垂线交于一点. 7.证明：设a ，b 的夹角为θ，则S ∆ABC =12|CA⃗⃗⃗⃗⃗ ||CB ⃗⃗⃗⃗⃗ |sin θ，∵ sin 2θ=cos 2θ=1-(a∙b)2(|a|∙|b|)2∴ S ∆ABC 2=14(|a|∙|b|)2sin 2θ=14[(|a|∙|b|)2-(a ∙b)2]故 S ∆ABC =12√(|a|∙|b|)2−(a ∙b)2 .8.解(1)连AG ⃗⃗⃗⃗⃗ 交BC⃗⃗⃗⃗⃗ 于D ，∵ G 是三角形ABC 的重心﹐∴ D 为BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的中点﹒ 延长AD⃗⃗⃗⃗⃗ 使得GD ⃗⃗⃗⃗⃗ =DG ′⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ﹒因此D 亦为GG ′⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的中点.故GB G ′ C 为平行四边形﹒ ∵ G 是△ABC 的重心﹐∴AG ⃗⃗⃗⃗⃗ =2GD ⃗⃗⃗⃗⃗ ﹒又∵D 是GG′⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 中点﹐所以GA ⃗⃗⃗⃗⃗ =−GG ′⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ﹒ 因此﹐GA⃗⃗⃗⃗⃗ +GB ⃗⃗⃗⃗⃗ +GC ⃗⃗⃗⃗⃗ =GA ⃗⃗⃗⃗⃗ +GG ′⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0. (2) ∵GA ⃗⃗⃗⃗⃗ +GB ⃗⃗⃗⃗⃗ +GC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0， ∴|GA ⃗⃗⃗⃗⃗ +GB ⃗⃗⃗⃗⃗ |2=(-GC ⃗⃗⃗⃗⃗ )2﹐可得GA ⃗⃗⃗⃗⃗ ∙GB ⃗⃗⃗⃗⃗ =152. (3) 由(2)得知﹐GA⃗⃗⃗⃗⃗ ∙GB ⃗⃗⃗⃗⃗ =52﹒利用数量积的定义得知，|GA ⃗⃗⃗⃗⃗ |∙|GB ⃗⃗⃗⃗⃗ |cos ∠AGB=152， 解得∠AGB=600 ﹒∴ S △ABG =15√34.。
高一数学平面几何中的向量方法(图文课件分享)
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我半信半疑的博学绅士，在我半途半熟之前就被凝结了！-这一切使他免于爆炸-而我梦Honor以求的荣誉团契，金牌和名人堂中的利基则化为乌有，冷淡的空气他北极的气氛。
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问题：平行四边形是表示向量加法与减法 的几何模型。如图，你能发现平行四边形 对角线的长度与两条邻边长度之间的关系
吗？
DB AB AD, AC AB AD,
猜想：
D
C
1.长方形对角线的长度
与两条邻边长度之间有
何关系？
A
B
2.类比猜想，平行四边形有相似关系吗？
例1、证明平行四边形四边平方和等于两对角线平方和
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2019-2020学年新教材人教A版高中数学必修第二册课件：第六章 6.4.1 平面几何中的向量方法
第十一页，共34页。
2
又| AC |2＝|a+b|2＝a2+2a·b+b2＝1+4+2a·b＝6， ∴ | AC |＝ 6 ，即AC＝ 6 .
第十七页，共34页。
◆利用向量法解决长度问题的方法 （1）基向量法：利用图形特点选择基底，向向量的数量积转化，用 公式|a|2＝a2求解； （2）坐标法：建立平面直角坐标系，确定相应向量的坐标，代入公 式，若a＝（x，y），则|a|＝ x2 y2 .
第五页，共34页。
◆用向量方法解决平面几何问题的“三步曲” （1）建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元 素，将平面几何问题转化为向量问题； （2）通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问 题； （3）把运算结果“翻译”成几何关系. ◆用向量法解决平面几何问题的两种方法 （1）几何法：选取适当的基底（基底中的向量尽量已知模或夹角）， 将题中涉及的向量用基底表示出来，利用向量的运算法则、运算律或 性质计算. （2）坐标法：建立平面直角坐标系，实现向量的坐标化，将几何问 题中的长度、垂直、平行等问题转化为代数运算. 一般地，存在坐标系或易建坐标系的题目适合用坐标法.
1．用向量方法解决平面几何问题的“三步曲” (1)建立平面几何与向量的联系，用 向量 表示问题中涉及 的几何元素，将平面几何问题转化为 向量问题 ； (2)通过 向量运算 ，研究几何元素之间的关系，如距离、 夹角等问题； (3)把运算结果“翻译”成几何关系． 2．向量在物理中的应用 (1)物理问题中常见的向量有力、速度、位移等． (2)向量的加减法运算体现在一些物理量的合成和分解中． (3)动量 mv 是向量的数乘运算． (4)功是力 F 与位移 s 的数量积．
高中数学2.5平面向量应用举例(教、学案)
2. 5平面向量应用举例一、教材分析向量概念有明确的物理背景和几何背景，物理背景是力、速度、加速度等，几何背景是有向线段，可以说向量概念是从物理背景、几何背景中抽象而来的，正因为如此，运用向量可以解决一些物理和几何问题，例如利用向量计算力沿某方向所做的功，利用向量解决平面内两条直线平行、垂直位置关系的判定等问题。
二、教学目标1.通过应用举例，让学生会用平面向量知识解决几何问题的两种方法-----向量法和坐 标法，可以用向量知识研究物理中的相关问题的“四环节” 和生活中的实际问题2.通过本节的学习，让学生体验向量在解决几何和物理问题中的工具作用，增强学生的 积极主动的探究意识，培养创新精神。
三、教学重点难点重点：理解并能灵活运用向量加减法与向量数量积的法则解决几何和物理问题. 难点：选择适当的方法，将几何问题或者物理问题转化为向量问题加以解决. 四、学情分析在平面几何中，平行四边形是学生熟悉的重要的几何图形，而在物理中，受力分析则是其中最基本的基础知识，那么在本节的学习中，借助这些对于学生来说，非常熟悉的内容来讲解向量在几何与物理问题中的应用。
五、教学方法1.例题教学，要让学生体会思路的形成过程，体会数学思想方法的应用。
2.学案导学：见后面的学案3.新授课教学基本环节：预习检查、总结疑惑→情境导入、展示目标→合作探究、精讲点拨→反思总结、当堂检测→发导学案、布置预习六、课前准备1.学生的学习准备：预习本节课本上的基本内容，初步理解向量在平面几何和物理中的 应用2.教师的教学准备：课前预习学案，课内探究学案，课后延伸拓展学案。
七、课时安排：1课时 八、教学过程(一)预习检查、总结疑惑检查落实了学生的预习情况并了解了学生的疑惑，使教学具有了针对性。
(二）情景导入、展示目标教师首先提问：（1）若O 为ABC ∆重心,则OA +OB +OC =0（2）水渠横断面是四边形ABCD ,DC =12AB ,且|AD |=|BC |,则这个四边形为等腰梯形.类比几何元素之间的关系,你会想到向量运算之间都有什么关系?(3) 两个人提一个旅行包,夹角越大越费力.为什么？教师：本节主要研究了用向量知识解决平面几何和物理问题；掌握向量法和坐标法，以及用向量解决平面几何和物理问题的步骤，已经布置学生们课前预习了这部分，检查学生预习情况并让学生把预习过程中的疑惑说出来。
6.4.1平面几何中的向量方法6.4.2向量在物理中的应用举例课件(人教版)
问题2：如何利用向量推导三角题转化 D
E
为求向量的模的问题
B
C
学习目标
新课讲授
课堂总结
例1：DE是△ABC的中位线，用向量的方法证明:DE//BC, DE 1 BC.
2
解：取{AB, AC} 为基底，因为DE是△ABC的中位线
A
所以 AD 1 AB, AE 1 AC.
解：设 AB a, AC b, AD m,
BD AD AB m a,CD AD AC m b
因为 AB2+CD2=AC2+BD2
2
a
(m b)2
2
b
(m a)2
2
2
2
2
2
2
a m 2m b b b m 2m a a
2m (a b) 0 2 AD ( AB AC) 0
课堂总结
知识点：向量在物理中的应用
问题1：物理中力与向量有何异同？ ①相同点：力和向量都既要考虑大小又要考虑方向 ②不同点：向量与始点无关，力和作用点有关
问题2：向量的运算与速度、加速度、位移有什么联系？ 向量的运算与速度、加速度、位移的运算是一致的
学习目标
新课讲授
课堂总结
思考：在日常生活中,我们有这样的经验:两个人共提一个旅行包、两个拉
力夹角越大越费力如何从数学的角度解释这种现象?
设作用在旅行包上的两个拉力分别为F1,F2,|F1|=|F2|. F1 另设F1,F2的夹角为θ,旅行包所受的重力为G.
F F2
θ
由向量的平行四边形法则、力的平衡以及直角三角形的知识可得
F1
|G|
G
2 cos
2
F1,F2之间的夹角越大越费力，夹角越小越省力
向量在平面几何中的应用
D.垂心
3.设ABC的三边的中点坐标分别为(1, 2),(4, 1),(1, 1), 则ABC的重心坐标为 ______
【解题回顾】本题中，通过建立恰当的坐标系，赋予几何图
形有关点与向量具体的坐标，将有关几何问题转化为相应的 代数运算和向量运算，从而使问题得到解决.应深刻领悟到 其中的形数结合思想.此外，题中坐标系建立的恰当与否很 重要，它关系到运算的繁与简.
例3.已知ABC的外接圆的直径是2, O是ABC的外心, 且OA OB OC 0,求证 : ABC是正三角形.
例4.求证ABC的三条高交于一点
向量法解决平面几何问题的“三步曲”：
(1)建立平面几何与向量的联系，用向量表示题中涉 及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；
(2)通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距 离、夹角等；
(3)把运算结果“翻译”成几何关系.
向量法解决几何问题一般思维策略:
平面几何问题 转化 平面向量问题
问题：平行四边形是表示向量加法与减法的 几何模型。如图，你能发现平行四边形对角
线的长度与两条邻边长度之间的关系吗？
DB AB AD,
AC AB AD,
猜想：
D
C
1.长方形对角线的长度
与两条邻边长度之间有
何关系？
A
B
2.类比猜想,平行四边形有相似关系吗？
例1. 如图， ABCD中，点E、F分别是AD 、 DC 边的中点，BE 、 BF分别与AC交于R 、 T两点， 你能发现AR 、 RT 、TC之间的关系吗？
用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”： （1）建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉 及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；
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将平面几何问题转
(3,1)=的直线方程。
分析：在所求的直线上任取一点(,)P x y ，则A P −−→(2,1)x y =+-由A P
−−→∥a −−→。
利用向量的平行条件可写出方程。
解：设(,)P x y 是所求直线上任意一点，A P
−−→(2,1)x y =+- ∵A P
−−→∥a −−→∴(2)3(1)0x y +--=，即所求的直线方程为350x y -+=。
评注：此题是利用向量平行的充要条件写出直线方程。
例2、已知点(3,0)P -，点A 在Y 轴上,点Q 在轴的正半轴上，点M 在直线AQ 上，满足
.0P A A M −−→−−→=,32A M M
Q −−→=-−−→当点A 在轴Y 上移动时,求动点M 的轨迹方程。
分析：设出M 的坐标，利用32
A M M Q −−→=-−−→，可以将点A 的坐标用M 点的坐标表示出来，从而用.0P A A M
−−→−−→=，确定所求轨迹。
例3在平面坐标系xoy 中，平面上任意点P 关于斜坐标系的斜坐标是这样定义的;若12
O P x y e e −−→=+（其中12,e e 分别是与x 轴y 轴同方向的单位向量），则P 点斜坐标为(,)x y
（1） 若点P 在斜坐标系的斜坐标为（2，-2）求点P 到点O 的距离。
（2） 求以原点O 为圆心，1为半径的圆在斜坐标系xoy 中的方程。
分析：将平面直角坐标系改为平面斜坐标系，圆的形状是否改变？圆的方程是否改变？如何求两点的距离？情景发生了变化，事物总是跟着发生一系列的变化，这是一个有趣的数学问题！
解：（1）∵P
点斜坐标为（2，-2）∴1222O P e e −−→=-，228812(22)O P
e e ==-−−→-*0.5=4 ∴2O P
−−→=,即点P 到原点的距离是2。
设圆上动点M 的斜坐标为(,)x y ，则12O M
x y e e −−→=+∴2112()x y e e =+ ∴221x y y x ++=，故所求方程是221x y y x ++=。