自动控制原理及应用课件(第二章)要点
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自动控制原理课件2第二节典型输入作用和时域性能指标
案例二：二阶系统对正弦信号的响应
总结词：振荡特性
详细描述：二阶系统对正弦信号的响应表现为周期性的振荡，即系统输出在稳态值附近不断波动。这 是由于二阶系统的传递函数中，存在一个极点和一个零点，系统的阻尼比和自然频率决定了振荡的幅 度和频率。
案例三：比较不同输入信号对系统性能的影响
总结词
输入信号对系统性能的影响
详细描述
不同的输入信号对系统的性能影响不同。例如，对于同一个系统，阶跃信号和 正弦信号的响应特性可能完全不同。因此，在实际应用中，需要根据系统的特 性和需求选择合适的输入信号，以达到最佳的控制效果。
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一阶系统的单位阶跃响应
对于一阶系统，单位阶跃响应 (g(t)) 的数学表 达式为 (g(t) = K e^{-t/T})，其中 (t) 是时间。
二阶系统响应
二阶系统定义
二阶系统是指具有两个自由度的线性时不变系统，通常由两个积分环节和一个比例环节 组成。
二阶系统的数学模型
二阶系统的传递函数为 (G(s) = frac{K}{s^2 + 2xiomega_0s + omega_0^2})，其中 (K) 是增益，(omega_0) 是自然频率，(xi) 是阻尼比。
误差积分性能
指系统误差随时间积分后的性 能，反映系统的误差累积效应 。
误差比例系数
指系统误差与输入作用之间的 比例系数，反映系统的误差放
大倍数。
04 系统响应分析
一阶系统响应
一阶系统定义
一阶系统是指具有一个自由度的线性时不变 系统，通常由一个积分环节和一个比例环节 组成。
一阶系统的数学模型
一阶系统的传递函数为 (G(s) = frac{K}{s + T})，其中 (K) 是增益，(T) 是时间常数。
自动控制原理第二章
4
解析法：依据系统及元件各变量之间所遵 循的物理、化学定律列写出变量间的数学表 达式，并实验验证。适用于简单、典型、常见的
系统，
实验法：对系统或元件输入一定形式的信 号（阶跃信号、单位脉冲信号、正弦信号 等），根据系统或元件的输出响应，经过数 据处理而辨识出系统的数学模型。适用于复杂、
非常见的系统。 实际上常常是把这两种方法结合起来建立数学模型更为有效。
许多情况下传递函数是能完全反映系统的动 态性能的 。
20
一、传递函数的概念与定义
Ur(s)
G(s)
Uc(s)
U c( s ) G( s ) U r( s )
21
二、关于传递函数的几点说明
传递函数仅适用于线性定常系统，否则无法用 拉氏变换导出； 传递函数完全取决于系统内部的结构、参数， 而与输入、输出无关； 传递函数只表明一个特定的输入、输出关系， 对于多输入、多输出系统来说没有统一的传递 函数；（可定义传递函数矩阵，见第九章）
L
R i
ui
C
uc
24
解：为了改善系统的性能，常引入图示的无源网络 作为校正元件。无源网络通常由电阻、电容、电感 组成，利用电路理论可方便地求出其动态方程，对 其进行拉氏变换即可求出传递函数。这里用直接求 的方法。因为电阻、电容、电感的复阻抗分别为R、 1∕Cs、Ls，它们的串并联运算关系类同电阻。
式中：T为时间常数， 为阻尼系数。 ⑦二阶微分环节，传递函数为
2 2
1 G(s) 2 2 T s 2 Ts 1
式中： 为时间常数， 为阻尼系数 此外，还经常遇到一种延迟环节，设延迟时间 为 ，该环节的传递函数为：
G(s) s 2 s 1
解析法：依据系统及元件各变量之间所遵 循的物理、化学定律列写出变量间的数学表 达式，并实验验证。适用于简单、典型、常见的
系统，
实验法：对系统或元件输入一定形式的信 号（阶跃信号、单位脉冲信号、正弦信号 等），根据系统或元件的输出响应，经过数 据处理而辨识出系统的数学模型。适用于复杂、
非常见的系统。 实际上常常是把这两种方法结合起来建立数学模型更为有效。
许多情况下传递函数是能完全反映系统的动 态性能的 。
20
一、传递函数的概念与定义
Ur(s)
G(s)
Uc(s)
U c( s ) G( s ) U r( s )
21
二、关于传递函数的几点说明
传递函数仅适用于线性定常系统，否则无法用 拉氏变换导出； 传递函数完全取决于系统内部的结构、参数， 而与输入、输出无关； 传递函数只表明一个特定的输入、输出关系， 对于多输入、多输出系统来说没有统一的传递 函数；（可定义传递函数矩阵，见第九章）
L
R i
ui
C
uc
24
解：为了改善系统的性能，常引入图示的无源网络 作为校正元件。无源网络通常由电阻、电容、电感 组成，利用电路理论可方便地求出其动态方程，对 其进行拉氏变换即可求出传递函数。这里用直接求 的方法。因为电阻、电容、电感的复阻抗分别为R、 1∕Cs、Ls，它们的串并联运算关系类同电阻。
式中：T为时间常数， 为阻尼系数。 ⑦二阶微分环节，传递函数为
2 2
1 G(s) 2 2 T s 2 Ts 1
式中： 为时间常数， 为阻尼系数 此外，还经常遇到一种延迟环节，设延迟时间 为 ，该环节的传递函数为：
G(s) s 2 s 1
自动控制原理课件2
Tm
GD 2 R 375 cecm
uf Kfn
K f 反馈电压和转速之间的 比例系数
（3）消去中间变量得直流调速系统的动态微分方程
1 T d T K m kd d 2 n 2t 1 T m K kd d n tn ( 1 K K r k )C eU g
其中 Kr K1K 为s正向通道电压放大系数
R(S)
E(S)
G(S)
-
B(S)
H(S)
Y(S)
2.结构图的组成： （1）信号线：带箭头的直线，箭头表示信号传递方向。 （2）引出点（分离点）：表示信号引出或测量的位置。 （3）比较点（相加点）：对两个以上信号加减运算。 （4）方框：方框图内输入环节的传递函数。
3 .动态结构图的绘制步骤： （1）确定系统输入量与输出量。 （2）将复杂系统划分为若干个典型环节。 （3）求出各典型环节对应的传递函数。 （4）作出相应的结构图。 （5）按系统各变量的传递顺序，依次将各元件的结构图连接起来。
二、结构图的简化法则 常用的结构图变换方法可归纳为两类：一类是环节的合并，另一类是信号的分支点或相
加点的移动。 结构图的变换必须遵循的原则是：变换前后的数学关系保持不变，因而也称为结构图的
等效变换。
（一）环节的合并 法则一 环节串联，传递函数相乘。
法则二 环节并联，传递函数相加。
法则三 反馈连接的等效传递函数。
（6）延迟环节 （时滞环节、滞后环节） 特点：输出信号经过一段延迟时间τ 后，可完全复现输入信号。
y(t)/r(t)
0τ
r(t) y(t)
t
G(s) es R(s) e s Y(s)
2.4 系统动态结构图
一、概念 1.动态结构图：是描述系统各组成元件之间信号传递关系的数学图形，它 表示了系统的输入输出之间的关系。
自动控制原理第二章PPT课件
(2)实验法
.
4
解析法：依据系统及元件各变量之间所遵循的
物理、化学定律列写出变量间的数学表达式，并 实验验证。
实验法：对系统或元件输入一定形式的信号
（阶跃信号、单位脉冲信号、正弦信号等），根 据系统或元件的输出响应，经过数据处理而辨识
出系统的数学模型。
.
5
总结： 解析方法适用于简单、典型、
常见的系统，而实验方法适用于复杂、 非常见的系统。实际上常常是把这两 种方法结合起来建立数学模型更为有 效
Mc转(t)矩-电（动N机·m和/ra负d载/s）折合到电动机轴上的等效负载
.
18
将式①-④联立求解：
T lT m d 2 d t ( t) T m d d t ( t) ( t) K u U r ( t) K m [ T ld M d c t( t) M c ( t) ]⑤
Tl
L R
——电动机电磁时间常数（s）
m
F2阻尼器的阻力
整 理 得 到 ： m d 2x(t)fd x(t) k x(t)F (t)
d t2
d t
.
11
d2x(t) dx(t) mdt2 f dt ky(t)F(t)
式中：x——m的位移（m）； f——阻尼系数（N·s/m); k ——弹簧刚度（N/m)。
将上式的微分方程标准化
m kdd 2x t2 (t)kf dx d(tt)x(t)k 1F(t)
F(t) f
.
k M x(t)
10
输入F(t)，输出x(t)理论依据:牛顿第二定律, 物体所受的合外力等于物体质量与加速度的
乘积. Fma
F1kx(t),F2
f
dx(t) dt
自动控制原理第二章梅森公式-信号流图课件
ABCD
然后，通过分析梅森公式 的各项系数，确定系统的 极点和零点。
最后，将梅森公式的分析 结果转换为信号流图，进 一步明确系统各变量之间 的传递关系。
梅森公式在信号流图中的应用实例
假设一个控制系统的传递函数为 (G(s) = frac{s^2 + 2s + 5}{s^2 + 3s + 2})
在信号流图中，将极点和零点表示为相 应的节点，并根据梅森公式的各项系数 确定各节点之间的传递关系。
02
信号流图基础
信号流图定义与构成
信号流图定义
信号流图是一种用于描述线性动 态系统数学模型的图形表示方法 ，通过节点和支路表示系统中的 信号传递和转换过程。
信号流图构成
信号流图由节点和支路组成，节 点表示系统的动态方程，支路表 示输入输出之间的关系。
信号流图的绘制方法
确定系统动态方程
根据系统描述，列出系统的动态方程。
2
梅森公式与信号流图在描述和分析线性时不变系 统时具有互补性，二者可以相互转换。
3
信号流图能够直观地表示系统各变量之间的传递 关系，而梅森公式则提供了对系统频率特性的分 析手段。
如何使用梅森公式进行信号流图分析
首先，将系统的传递函数 转换为梅森公式的形式。
根据极点和零点的位置， 判断系统的稳定性、频率 响应特性等。
在未来研究中的可能发展方向
随着科技的不断进步和应用需求的不断变化，控制系统面临着越来越多的 挑战和机遇。
在未来研究中，可以利用梅森公式和信号流图进一步探索复杂系统的分析 和设计方法，提高系统的性能和稳定性。
同时，随着人工智能和大数据技术的应用，可以结合这些技术对控制系统 进行智能化分析和优化设计，提高系统的自适应和学习能力。
自动控制原理_第二章
Gk ( s) G ( s) H ( s)
B( s) G1 ( s)G2 ( s) H ( s) E ( s)
注意：这里的开环传递函数是针对闭环系统而言的，而不是指开环系 统的传递函数。
解：首先对小车进行受力分析，在水平方向应 用牛顿第二定律可写出：
dy(t ) d 2 y (t ) F (t ) f Ky (t ) m dt dt 2
令
2
T
m f , 可得 K 2 mK
图2 弹簧-质量-阻尼器系统图
d 2 y( t ) dy(t ) F (t ) T 2 T y ( t ) dt 2 dt K
用解析法列写系统或元部件微分方程的一般步骤是：
（1）根据系统的具体工作情况，确定系统或元部件的输
入、输出变量；
（2）从输入端开始，按照信号的传递顺序，依据各变量 所遵循的物理（或化学）定律，列写出各元部件的动态方程， 一般为微分方程组； （3）消去中间变量，写出输入、输出变量的微分方程； （4）将微分方程标准化。即将与输入有关的各项放在等 号右侧，与输出有关的各项放在等号左侧，并按降幂排列。
以工作点处的切线代替曲线，得到变量在工作点的增量方程， 经上述处理后，输出与输入之间就成为线性关系。
二、复频域模型 – 传递函数
（1）利用时域卷积获得：
如果已知系统单位脉冲响应为g(t),则任意输入r(t)的响应输出c(t):
c( t )
r ( ) g(t )d
c(t ) r ( ) g(t )d
0 t
考虑到物理可实现性，上式改为： 对上式做拉氏变换得：
C ( s) R( s)G( s) G( s)
C ( s) R( s )
自动控制原理课件 第二章 线性系统的数学模型
c(t ) e
dt Leabharlann t
c( s )
g ( ) r ( ) d e s ( ) d 0 0 g ( )e s r ( )e s d d 0 0
0
g ( )e
5) 闭环系统传递函数G(s)的分母并令其为0，就是系统的特征方 程。
• 涉及的是线性系统 非线性系统必须 进行线性化处理
§2-6 信号流程图
系统很复杂，为方便研究，也为了与 实际对应，通常将复杂系统分解为 若干典型环节的连接
数学模型的定义 数学模型： 描述系统变量间相互关系的动态性能的运动方程 建立数学模型的方法：
解析法: 依据系统及元件各变量之间所遵循的物理或化学规律列写出相 应的数学关系式，建立模型。 自动控制系统的组成可以是电气的，机械的，液压的，气动的等等，然 而描述这些系统的数学模型却可以是相同的。因此，通过数学模型来研 究自动控制系统，就摆脱了各种类型系统的外部关系而抓住这些系统的 共同运动规律，控制系统的数学模型是通过物理学，化学，生物学等定 律来描述的，如机械系统的牛顿定律，电气系统的克希霍夫定律等都是 用来描述系统模型的基本定律。 实验法: 人为地对系统施加某种测试信号，记录其输出响应，并用适当 的数学模型进行逼近。这种方法也称为系统辨识。 数学模型的形式 时间域： 复数域： 频率域： 微分方程 差分方程 传递函数 结构图 频率特性 状态方程
1 例1 : F ( s) ( s 1)(s 2)(s 3) c c c 1 2 3 s 1 s 2 s 3
1 1 c1 [ ( s 1)]s 1 ( s 1)(s 2)(s 3) 6 1 1 c2 [ ( s 2)]s 2 ( s 1)(s 2)(s 3) 15 1 1 c3 [ ( s 3)]s 3 ( s 1)(s 2)(s 3) 10 1 1 1 1 1 1 F ( s) 6 s 1 15 s 2 10 s 3 1 1 1 f (t ) e t e 2t e 3t 6 15 10
自动控制原理(第二章)
基本步骤： （1）由系统原理图画出系统方框图或直接确定 系统中各个基本部件（元件） （2）列写各方框图的输入输出之间的微分方程， 要注意前后连接的两个元件中，后级元件对前级 元件的负载效应 （3）消去中间变量
11
一、控制系统的时域数学模型
举例4：
速度控制系统的微分方程
12
一、控制系统的时域数学模型
m
d x(t ) dt 2
2
F (t ) F1 (t ) F2 (t )
dx(t ) F (t ) f Kx(t ) dt
式中 F1（t）是阻尼器的阻尼力， F2（t）是弹簧反力
9
一、控制系统的时域数学模型
比较: R-L-C电路运动方程与 M-S-D机械系统 运动方程
LC
d 2 uC (t ) dt 2
1
本章内容：
一、控制系统的时域数学模型 二、控制系统的复数域数学模型 三、控制系统的结构图与信号流图
数学模型
时域模型
频域模型
方框图和信号流图
状态空间模型
2
控制系统的数学模型是描述系统内部 物理量之间关系的数学表达式。
模型
静态数学模型 动态数学模型
分析法
建模方法
实验法
3
本章要求:
1、了解建立系统微分方程的一般方法； 2、掌握运用拉氏变换解微分方程的方法； 3、牢固掌握传递函数的概念、定义和性质； 4、明确传递函数与微分方程之间的关系； 5、能熟练地进行结构图等效变换； 6、明确结构图与信号流图之间的关系；
7、熟练运用梅逊公式求系统的传递函数；
8、掌握从不同途径求传递函数的方法。
4
一、控制系统的时域数学模型
主要着重研究描述线性、定常、集总参量控制 系统的微分方程的建立和求解方法。
11
一、控制系统的时域数学模型
举例4：
速度控制系统的微分方程
12
一、控制系统的时域数学模型
m
d x(t ) dt 2
2
F (t ) F1 (t ) F2 (t )
dx(t ) F (t ) f Kx(t ) dt
式中 F1（t）是阻尼器的阻尼力， F2（t）是弹簧反力
9
一、控制系统的时域数学模型
比较: R-L-C电路运动方程与 M-S-D机械系统 运动方程
LC
d 2 uC (t ) dt 2
1
本章内容：
一、控制系统的时域数学模型 二、控制系统的复数域数学模型 三、控制系统的结构图与信号流图
数学模型
时域模型
频域模型
方框图和信号流图
状态空间模型
2
控制系统的数学模型是描述系统内部 物理量之间关系的数学表达式。
模型
静态数学模型 动态数学模型
分析法
建模方法
实验法
3
本章要求:
1、了解建立系统微分方程的一般方法； 2、掌握运用拉氏变换解微分方程的方法； 3、牢固掌握传递函数的概念、定义和性质； 4、明确传递函数与微分方程之间的关系； 5、能熟练地进行结构图等效变换； 6、明确结构图与信号流图之间的关系；
7、熟练运用梅逊公式求系统的传递函数；
8、掌握从不同途径求传递函数的方法。
4
一、控制系统的时域数学模型
主要着重研究描述线性、定常、集总参量控制 系统的微分方程的建立和求解方法。
自动控制原理及应用课件(第二章)
uc (t ) 1 et
2.2 控制系统的传递函数
系统的传递函数模型是在拉氏变换的基础上定义的，它是以系
统本身的参数描述线性定常系统输入量与输出量的关系式，反映
了系统内在的固有特性。 利用传递函数不仅可以研究系统的动态特性，而且可以分析系 统结构或参数改变对系统性能的影响。 控制工程中广泛使用时域法、频域法等系统分析设计方法都是 以传递函数为基础的，可以说传递函数是经典控制理论中最基本、 最重要的概念。
式中，Ce为反电势系数，单位为
ua(t)
ea(t)
V/rad· s-1。
电磁转矩为
M e (t ) Cmia (t )
+ uf(t) if
M
负 载
n(t)
在恒定励磁磁场中，电枢电流产生的
-
（2-7）
图2-3 他励电动机的原理图
式中，Cm为电动机的转矩系数，单位
为N· m/A。
考虑带恒转矩负载的情况，由电动机转轴的转矩平衡得
GD 2 dn M e (t ) M L (t ) M f (t ) 375 dt
（2-8）
式中，ML(t)为负载转矩；Mf(t)为摩擦转矩；GD2为飞轮惯量。 （3）消去中间变量，为简化方程，令ML(t)=Mf(t)=0，可得电枢 电压ua(t)与转轴角速度n(t)之间的关系为
d 2 n( t ) dn(t ) ua (t ) TlTm T n ( t ) m dt 2 dt Ce
自动控制原理及应用
清华大学出版社
董红生主编
第2章 自动控制系统的数学模型
2.1控制系统的微分方程
2.2 控制系统的传递函数
2.3 控制系统的动态结构图
2.4 应 用 实 例 本章小结
自动控制原理第2章
y(t)
L1
Tv Ts
1
t
ve T
对比例4结果，知全响应应为零输入响应和零状态响应之和。
2.1.5 全响应与零输入响应和零状态响应的关系 前面是对一个特定的例子证明了全响应为零输入响应和零状态 响应之和。下面从一般的形式来证明。
数学模型表达式：
dn dtn
y(t) an1
d n1 d t n1
例7
G(s) 1
Ts 1
r(t) t 求输出。
Y(s) G(s)R(s) 1 1 1 T T 2 Ts 1 s2 s2 s Ts 1
t
y(t) (t T ) Te T
第一项是稳态分量，对应于输入函数极点；第二项是暂态分量， 对应于传递函数极点。
2.2 脉冲响应函数（书30页）
第二章 线性连续系统的数学模型
2.1 线性常系数微分方程的建立和它的解 2.1.1 建立常系数微分方程
例1
u0 (t)
1 C
i(t)
d
t
i(t) C du0 (t) dt
LC
d
2u0 (t) d 2t
RC
du0 (t) dt
u0 (t)
ui (t)
例2
m:质量；x：位移；F：外力；F1：摩擦力； F2：弹簧拉力；f：摩擦系数；K：弹性系数
R(s)有 l 个互异的极点 s j
n
l
n
则
y(t) Aiesit B j esjt Ciesit
i1
j 1
i1
当零输入时， R(s) 0
n
y(t) Ciesit
i1
当零状态时， M 0 (s) 0
n
l
y(t) Aiesit B j esjt
自动控制原理 第二章
lim sX ( s )
s
存在，则
x ( 0 ) lim sX ( s )
s
6)延迟定理
L[ x(t )1(t )] = esX(s)
L[eat x(t)] = X(s + a)
7)时标变换
t L x aX ( as ) a
(0)
1 s
x
( 2 )
(0)
若x1(0)= x2(0) = … = 0，x(t)各重积分在t=0的值为0时，
x t dt
1 s
X s
L
x t dt
1 s
2
X s
L x t dt n
1 X s n s
例2-2 电阻－电感－电容串联系统。R-L-C串联电路，试列出以ur(t) 为输入量，uc(t)为输出量的网络微分方程式。
ur(t)
R
L
C uc(t)
解：（1）确定输入量
为ur(t)，输出量为uc(t)，中 间变量为i(t)。
i(t) ur(t)
R
L C
uc(t)
（2）网络按线性集中参数考虑且忽略输出端负载效应。
1 s
0
例2-4 求单位斜坡函数x(t)=t的拉氏变换。
解：
X ( s ) L x ( t ) t s e
st 0
te
0
st
dt e
st
0
1 s
dt
1 s
2
X ( s ) L t L 1 s
1 ( t )dt
s
存在，则
x ( 0 ) lim sX ( s )
s
6)延迟定理
L[ x(t )1(t )] = esX(s)
L[eat x(t)] = X(s + a)
7)时标变换
t L x aX ( as ) a
(0)
1 s
x
( 2 )
(0)
若x1(0)= x2(0) = … = 0，x(t)各重积分在t=0的值为0时，
x t dt
1 s
X s
L
x t dt
1 s
2
X s
L x t dt n
1 X s n s
例2-2 电阻－电感－电容串联系统。R-L-C串联电路，试列出以ur(t) 为输入量，uc(t)为输出量的网络微分方程式。
ur(t)
R
L
C uc(t)
解：（1）确定输入量
为ur(t)，输出量为uc(t)，中 间变量为i(t)。
i(t) ur(t)
R
L C
uc(t)
（2）网络按线性集中参数考虑且忽略输出端负载效应。
1 s
0
例2-4 求单位斜坡函数x(t)=t的拉氏变换。
解：
X ( s ) L x ( t ) t s e
st 0
te
0
st
dt e
st
0
1 s
dt
1 s
2
X ( s ) L t L 1 s
1 ( t )dt
自动控制原理第二章
例2-2的机械系统的微分方程为
d 2 x(t ) dx(t ) m f kx(t ) F (t ) 2 dt dt
当初始条件为零时，对上式进行拉氏变换后可得传递函数为
X ( s) 1 G( s) 2 F ( s) ms fs k
三、性质： ★
1、传递函数表达系统本身固有的动态性能，与输入量大
an c ( n ) (t ) an 1c ( n 1) (t ) ... a1c (1) (t ) a0 c(t ) bm r ( m ) (t ) bm 1r ( m 1) (t ) ... b1r (1) (t ) b0 r (t ), (n m)
2-2 微分方程（基本数学模型）
一、微分方程的建立（时域）
控制系统中的输出量和输入量通常都是时间 t 的函数。
很多常见的元件或系统的输出量和输入量之间的关系都可以用 一个微分方程表示，方程中含有输出量、输入量及它们各自对时间 的导数或积分。这种微分方程又称为动态方程、运动方程或动力学 方程。微分方程的阶数一般是指方程中最高导数项的阶数，又称为 系统的阶数。
例2-1的RLC串联电路的微分方程为
d 2 u o (t ) du o (t ) LC RC u o (t ) u i (t ) 2 dt dt
当初始条件为零时，对上式进行拉氏变换后可得传递函数为
U o ( s) 1 G( s) U i ( s) LCs 2 RCs 1
本章只讨论解析法建立系统的数学模型。
3.模型表示形式
a.时域：微分方程；b.复数域：传递函数，c.频域：频率特 性
三种数学模型之间的关系
线性定常系统
拉氏 s=jω 微分方程 变换 传递函数 频率特性
d 2 x(t ) dx(t ) m f kx(t ) F (t ) 2 dt dt
当初始条件为零时，对上式进行拉氏变换后可得传递函数为
X ( s) 1 G( s) 2 F ( s) ms fs k
三、性质： ★
1、传递函数表达系统本身固有的动态性能，与输入量大
an c ( n ) (t ) an 1c ( n 1) (t ) ... a1c (1) (t ) a0 c(t ) bm r ( m ) (t ) bm 1r ( m 1) (t ) ... b1r (1) (t ) b0 r (t ), (n m)
2-2 微分方程（基本数学模型）
一、微分方程的建立（时域）
控制系统中的输出量和输入量通常都是时间 t 的函数。
很多常见的元件或系统的输出量和输入量之间的关系都可以用 一个微分方程表示，方程中含有输出量、输入量及它们各自对时间 的导数或积分。这种微分方程又称为动态方程、运动方程或动力学 方程。微分方程的阶数一般是指方程中最高导数项的阶数，又称为 系统的阶数。
例2-1的RLC串联电路的微分方程为
d 2 u o (t ) du o (t ) LC RC u o (t ) u i (t ) 2 dt dt
当初始条件为零时，对上式进行拉氏变换后可得传递函数为
U o ( s) 1 G( s) U i ( s) LCs 2 RCs 1
本章只讨论解析法建立系统的数学模型。
3.模型表示形式
a.时域：微分方程；b.复数域：传递函数，c.频域：频率特 性
三种数学模型之间的关系
线性定常系统
拉氏 s=jω 微分方程 变换 传递函数 频率特性
自动控制原理第2章
第三节 传递函数
4．微分环节
理想微分环节数学模型： C(s) dr(t) G(s) = R(s) = Ts c (t) = T dt T — 微分时间常数
R(S) C(S) Ts
微分环节方框图
单位阶跃响应函数： c(t) =Tδ(t)
第三节 传递函数
单位阶跃响应曲线
r(t) c(t)
c(t)
0
r(t)
第二章 自动控制系统的数学模型
第二章自动控制系统的数学模型
第一节 控制系统的微分方程 第二节 数学模型的线性化 第三节 传递函数 第四节 动态结构图
第五节 反馈控制系统的传递函数
第二章 自动控制系统的数学模型
第一节 控制系统的微分方程
一、建立微分方程的一般步骤
二、常见环节和系统的微分 方程的建立
三、 线性微分方程式的求解
1
r(t) t
c(t)
0
由于微分环节的输出量反映输入量的变化，而不反 映输入本身的大小，有些场合不能单独使用，故常用 比例微分环节。 C(s) 其传递函数： = K (Ts + 1) G(s) =
R(s)
比例微分环节的单位阶跃响应：
c(t) r(t)
c(t) = KTδ(t) +K = K [Tδ(t) + 1]
c(t) = e –t sin t= 0 r(t) =δ(t), c(0) = c'(0)
第一节 控制系统的微分方程
输出响应曲线
r(t) c(t)
0
r(t)
c(t)
t
第二章 自动控制系统的数学模型
第二节 数学模型的线性化(自学)
绝大多数物理系统在参数某些范围 内呈现出线性特性。当参数范围不加限 制时，所有的物理系统都是非线性的。 对每个系统都应研究其线性特性和相 应的线性工作范围。
自动控制原理第二章
1 ui (t ) 1(t ), U i ( s) s Ui 0.1s 0.2 1 1 u0 (t ) L [U 0 ( s )] L [ 2 2 ] s s 1 s s 1 1 0.1s 0.2 1 L [ 2 ] 2 s ( s s 1) s s 1
m=10, f=1, k=1
m=10, f=1, k=5
输入： Fi 1(t )
m=10, f=1, k=1
m=10, f=1, k=5
相似系统
RLC无源网络和弹簧-质量-阻尼器机械系 统的数学模型均是二阶微分方程，为相似 系统。 相似系统便于用一个简单系统去研究与其 相似的复杂系统，也便于控制系统的计算 机数字仿真。
化的过程。
4、线性系统的基本特性 叠加性：系统在几个输入信号同时作用 下的总响应，等于这几个输入信号单独 作用的响应之和。
如果元件输入为： r1(t)、r2(t)、r(t) ，
对应的输出为： c1(t)、c2(t)、c(t) 。
如果 r(t)=r1(t)+r2(t) 时， c(t)=c1(t)+c2(t) 满足叠加性。
满足齐次性。
满足叠加性和齐次性的元件才是线性元件
例如 y=kx 是线性元件
输入 x1 输出 y1=kx1 x2 输入x1 ＋x2 C为常数， Cx1 y2=kx2 y1 ＋ y2 满足迭加性 Cy1 满足齐次性
所表示的元件 为线性元件
线性方程不一定满足迭加性和齐次性
y=kx+b(b为常数 0)线性方程，所表示的元件不是 线性元件 . 输入 x1y1 输出 y1＝ kx1+b x2 y2 y2 =kx2+b 输入 x1 ＋ x2 输出 y=k(x1 ＋ x2)+b =k x1 +kx2+b y1 +y2 不满足迭加性 k为常数 :kx1输出y=k(kx1)+b=k2x1+b ky1=k(kx1+b)= k2x1+kb yky1 不满足齐次方程。 所表示的元件不是线性元件。
电子教案-自动控制原理及其应用(第4版_黄坚)课件-2.1
r(t)
c(t)
分析系统性能的第二步就是解微分方 程，工程中常采用拉氏变换法求解。
返回
系统组成：
(1) 中确间定变输量入关和系输式出: 输F入K量(t)=k输y(出t) 量
(2) 初F始B(微t)=分f 方dyd(程tt) 组
根据a=牛Fd=2d顿ymt(2t第a) 二定律
F(t)–FB(t)–FK(t)=ma
弹簧系数k
F(t)
弹簧
质量
m
y(t) 阻尼器
阻尼系数f
(3)消除中间变量
m
d2y(t) dt2
+
f
dy(t) dt
+ky(t)=F(t)
第一节 控制系统的微分方程
3．他激直流电动机
系统组成：
电他根定转根枢机T励 设Tue激据电 T子子据ee定b+d-=-电mu磁=直=T机输R磁CL基d=u义iCTRLd时aam电f3流械入Le-时尔Ga3G:n7T=ii间d7d压D5N电S运DTf+T间霍5C=2afL常2转飞i输反动=动mRf=常夫3CGa磁C矩轮7数0Ra电RLdmn出d机D方数定5力导eiCataa系惯d势2电构磁程e线线d+律d数量系ndted路成场式2b有t数n2T载 的 转等m+T流 作矩效3aG7导 用，d图d5Di2udtCn22线 力使=d:R+m-+uu3C在 产转aTdf7G5m.磁 生子Dd电Cdddn2tmnt场了转RL源电+i+.nadand受电动d机nTn=t=e到磁。反CuT负CudLe电de载eTb势f
第二章的主要内容有：
第二章 自动控制系统的数学模型
第一节 控制系统的微分方程
一、建立微分方程的一般步骤
自动控制原理第二章
i(t) C duo (t) dt
消去中间变量i (t )，可得
LC
d
2uo (t) dt 2
RC
duo (t) dt
uo
(t)
ui
(t)
第一节 控制系统微分方程的建立
2、机械位移系统
一个由弹簧-质量-阻尼器组成的机械平移系统如图所示。m为物体质量，k为
弹簧系数，f 为粘性阻尼系数，外力x(t)为输入量，位移y(t)为输出量。列写系统
y
y0+△y y0
AB
A点：r=r0 , y=y0 ,且y0=f(r0)
B点：当r变化△ r， y=y0+△ y
0
r0
r0+△r
函数在（r0 , y0 ）点连续可微，在A点展开成泰勒级数，即
y
f
(r0
)
df (r dr
)
r
r0
(r r0 )
1 d 2 f (r)
例1 已知 F(s) 1 ，求 f (t) ? s(s a)
解.
F(s) 1 (s a)-s a s(s a)
1 a
1 s
s
1 a
f(t) 1 1 eat a
第二节 拉氏变换及其应用
用留数法分解部分分式
一般有 设
F (s)
B(s) A(s)
n
Ci
s s1 s s2
s sn i1 s si
Ci
lim (s
ssi
si
) F(s)
其中：
B(s) Ci A(s) ssi
消去中间变量i (t )，可得
LC
d
2uo (t) dt 2
RC
duo (t) dt
uo
(t)
ui
(t)
第一节 控制系统微分方程的建立
2、机械位移系统
一个由弹簧-质量-阻尼器组成的机械平移系统如图所示。m为物体质量，k为
弹簧系数，f 为粘性阻尼系数，外力x(t)为输入量，位移y(t)为输出量。列写系统
y
y0+△y y0
AB
A点：r=r0 , y=y0 ,且y0=f(r0)
B点：当r变化△ r， y=y0+△ y
0
r0
r0+△r
函数在（r0 , y0 ）点连续可微，在A点展开成泰勒级数，即
y
f
(r0
)
df (r dr
)
r
r0
(r r0 )
1 d 2 f (r)
例1 已知 F(s) 1 ，求 f (t) ? s(s a)
解.
F(s) 1 (s a)-s a s(s a)
1 a
1 s
s
1 a
f(t) 1 1 eat a
第二节 拉氏变换及其应用
用留数法分解部分分式
一般有 设
F (s)
B(s) A(s)
n
Ci
s s1 s s2
s sn i1 s si
Ci
lim (s
ssi
si
) F(s)
其中：
B(s) Ci A(s) ssi
自动控制原理—第二章
M（s）──传递函数的分子多项式； N（s）──传递函数的分母之多项式。
2．2．2 传递函数的性质
1. 传递函数它只适用于线性定常系统，且只能反映零初始条件下的全部 运动规律。
2. 传递函数是s的复变函数，其M（s）、N（s）的各项系数均由系统或 元件的结构参数决定，并与微分方程式中的各项系数一一对应。 3. 传递函数表征系统或元件本身的特性，而与输入信号无关，但它不能 反映系统或元件的物理结构。也就是说，对于许多物理性质截然不同的 系统或元件，它们可以有相同形式的传递函数。 4. 由于能源的限制和实际系统或元件总是具有惯性的缘故，其输出量不 可能无限制上升，因而有：n≥m。 5. 传递函数表征输入输出信号间的信号传递关系，因此对于同一系统， 选取不同的输入、输出变量，传递函数将不同。 6. 传递函数还可以用下式表达：
由线性系统的齐次性和叠加性可知：作用于线性定常系统的多 个输入信号（它们可以作用于不同的输入端）的总的响应等于 各个输入信号单独作用时产生的响应的代数和。 线性系统的这两个重要性质使得线性定常系统的分析大为简化。
例5求例1的RLC串联电路的传递函数.
列写微分方程的一般步骤
确定元件的input量和output量，并引入 必要的中间变量 根据物理或化学定律，列微分方程 消去中间变量，得出元件的数学模型
2．1．1 电气系统
电气系统中最常见是由电阻、电感、电容、运算放大器
等元件组成的的装置,其电路又称电气网络。像电阻、电
感、电容这类本身不含有电源的器件称为无源器件，像运 算放大器这种本身包含电源的器件称为有源器件。仅由无 源器件组成的电气网络称为无源网络。如果电气网络中包 含有源器件或电源，就称为有源网络．
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自动控制原理及应用
清华大学出版社
董红生主编
第2章 自动控制系统的数学模型
2.1控制系统的微分方程
2.2 控制系统的传递函数
2.3 控制系统的动态结构图
2.4 应 用 实 例 本章小结
教学目标：
了解控制系统数学模型的概念；
熟悉控制系统的微分方程的建立方法； 掌握传递函数的定义、求法及典型环节的传递函数特性； 掌握控制系统动态结构图的化简及利用动态结构图求解控 制系统各种传递函数的方法。
【例2-5】RLC电路如图2-4所示，试求系统的传递函数。 解：由电路理论，可以列出
di (t ) 1 L Ri (t ) i (t )dt r (t ) dt C 1 i (t )dt c (t ) C
L R
+ r(t) -
i(t)
C
+ c(t) -
图2-4【例2-5】RLC电路系统
uc (t ) 1 e t
2.2 控制系统的传递函数
系统的传递函数模型是在拉氏变换的基础上定义的，它是以系
统本身的参数描述线性定常系统输入量与输出量的关系式，反映
了系统内在的固有特性。 利用传递函数不仅可以研究系统的动态特性，而且可以分析系 统结构或参数改变对系统性能的影响。 控制工程中广泛使用时域法、频域法等系统分析设计方法都是 以传递函数为基础的，可以说传递函数是经典控制理论中最基本、 最重要的概念。
【例2-6】PI（比例-积分）控制器如图2-5所示，试用复阻抗求 其传递函数。 解：根据图中a点 “虚地”，可得 I1 ( s) I 2 ( s)
R( s ) C ( s) Z1 Z2
R1
，即
R2 i2 a + C
则PI控制器的传递函数为
Z R 1 Cs R 1 G( s) 2 2 2 (1 ) Z1 R1 R1 R2Cs
（2）按照信号传递顺序，依次列出系统各环节的微分方程，并 建立微分方程组； （3）消去中间变量，获得仅包含输入变量和输出变量的微分方 程； （4）将微分方程标准化，即将与输入变量有关的各项移到方程 的右边，将与输出变量有关的各项移到方程的左边，且按变量导 数的降幂排列。
2.1.1微分方程建立的实例
思路：通过拉氏变换将时域的线性微分方程转换为复数域的代
数方程，在复数域求解代数方程后，再由拉氏反变换得到时域 的微分方程的解。
【例2-4】在例2-1的RC电路的微分方程可表示为
T duc (t ) uc (t ) ur (t ) dt
假设T=1s为系统时间常数，输入电压为ui(t)=1(t)V，在零初 始条件下，求系统的输出响应。
在零初始条件下，对上两式进行拉氏变换，可得
LsI ( s ) RI ( s )
1 I ( s) C ( s) Cs
1 I ( s ) R( s ) Cs
消去中间变量，可得 ( LCs2 RCs 1)C(s) R(s)
由传递函数定义，求取系统传递函数为
C ( s) 1 G( s) R( s) LCs 2 RCs 1
2.1 控制系统的微分方程
微分方程是控制系统最基本的数学模型，可用于在时域中描
述系统的动态性能。
若已知系统的输入信号和初始条件，通过求解微分方程就可
以得到系统的输出响应。
列写控制系统微分方程的一般步骤归纳为： （1）明确控制系统的输入和输出变量。输入变量是系统的外 部作用变量；输出变量是要研究的系统变量；
m
G(s)
j 1
j
(T s 1)
i 1 i
n
（2-15）
或
G(s)
Kg (s z j )
j 1
m
(s p )
i 1 i
n
（2-16）
称（2-15）式为传递函数的时间常数表示法， K为系统增益，
多用于系统频域法分析；称（2-16）式为传递函数的零极点表
示法，Kg称为根轨迹增益，多用于系统根轨迹法分析。由（215）式和（2-16）式不难推出
F ma
可得
d 2 y (t ) 阻力， 2 dt
dy (t ) d 2 y (t ) F (t ) ky (t ) f =m dt dt 2
dy (t ) 其中， ky (t ) 为弹性阻力，f dt 为物体粘性
为物体的加速度。
k F(t) m f y(t)
（3）移项整理，将微分方程标准化。
（2-14）
式中，k为常数。
传递函数的分母多项式称为系统的特征多项式，令特征多
项式等于零，即
( s p1 )( s p2 )( s pn ) 0
称为系统的特征方程。
特征方程的根p1 ,p2, …,pn称为特征根或传递函数的极点。 传递函数分子多项式方程的根z1,z2,…, zm称为传递函数的零点。 零点和极点取决于传递函数中的各项系数，即取决于系统的结 构和参数。 传递函数G(s)常有两种表示形式，即 K ( s 1)
r(t)
i1
-
c(t)
令 K p R2 R1 称为PI控制器的比例系数；
Ti R2C 称为PI控制器的积分时间常数。
1 G ( s ) K (1 ) 代入上式可得 p Ti s
图2-5【例2-5】PI控制器
2.2.2 典型环节的传递函数
1.比例环节 描述比例环节的微分方程为
r(t),c(t) c(t) r(t) 0 t
【例2-1】RC电路如图2-1所示，试列出电路的微分方程。
解：（1）确定输入变量和输出 变量。输入变量为 ui(t) ，输出 变量为uo(t)。 （2）列微分方程。
Ri(t ) u0 (t ) ui (t )
i (t ) C du0 (t ) dt
（2-1）
（2-2）
图2-1 RC电路
（3）消去中间变量，并将微 分方程标准化。
c(t ) Kr (t )
式中，K常数，称为放大系 数或增益。
图2-7 比例环节输入及其响应曲线
R(s) K C(s)
比例环节的传递函数为
G( s ) K
（2-18）
图2-6 比例环节的方框图
比例环节的特点：输出信号成比例地复现输入信号， 二者 没有时间上延迟，输出无失真。
利用复阻抗概念可直接求解，由RLC串联电路的分压公式可 知，输出信号为电容复阻抗1/Cs上的串联分压值，即
C ( s) 1 Cs R( s ) R Ls 1 Cs
则RLC电路系统传递函数为
G( s) C ( s) 1 Cs 1 R( s) R Ls 1 Cs LCs 2 RCs 1
GD 2 dn M e (t ) M L (t ) M f (t ) 375 dt
（2-8）
式中，ML(t)为负载转矩；Mf(t)为摩擦转矩；GD2为飞轮惯量。 （3）消去中间变量，为简化方程，令ML(t)=Mf(t)=0，可得电枢 电压ua(t)与转轴角速度n(t)之间的关系为
d 2 n( t ) dn(t ) ua (t ) TlTm T n ( t ) m dt 2 dt Ce
解：将RC电路的微分方程两边取拉氏变换，可得
TsU c (s) U c ( s) U r ( s)
将
U r (s) 1/ s
代入上式，整理可得
U c ( s) 1 1 Ts 1 s
显然，输出响应为 一条从零开始按指 数规律上升的曲线。
对 U c ( s) 取拉氏反变换并代入已知数据，可得
式中，Ce为反电势系数，单位为
ua(t)
ea(t)
V/rad· s-1。
电磁转矩为
M e (t ) Cmia (t )
+ uf(t) if
M
负 载
n(t)
在恒定励磁磁场中，电枢电流产生的
-
（2-7）
图2-3 他励电动机的原理图
式中，Cm为电动机的转矩系数，单位
为N· m/A。
考虑带恒转矩负载的情况，由电动机转轴的转矩平衡得
2.2.1 传递函数的概念
1.传递函数的定义
在零初始条件下，线性定常系统输出量的拉氏变换与输入量 的拉氏变换之比称为系统的传递函数，用G(s)表示，即
L[c(t )] G( s) L[r (t )]
（2-10）
一般地，线性定常系统可用n阶微分方程描述，即
d n c(t ) d n 1c(t ) dc(t ) a0 a a an c(t ) 1 n 1 n n 1 dt dt dt d m r (t ) d m 1r (t ) dr (t ) b0 b1 bm 1 bm r (t ) dt m dt m 1 dt
（2-9）
式中， Ta La Ra
GD2 Ra ，Tm 375CeCm
分别为电动机的电磁时间和机电时间常
数，单位为s。 可见，电枢电压控制的直流电动机的数学模型为二阶线性常 系数微分方程。
2.1.2 线性常微分方程的求解
可用线性微分方程描述的系统，称为线性系统。线性系统
的一个重要性质就是可以应用叠加原理进行系统分析，对于线 性控制系统的分析与设计非常有用。 工程上，常采用拉氏变换法求解线性常微分方法，其基本
5）传递函数是在零初始条件下定义的，不能反映非零初始条 件下系统的运动规律。 6）传递函数是复数变量s的有理真分式函数，其系数均为实常 数。传递函数的分子多项式的阶次m总是小于或等于分母 多项式的阶次n，即有m≤n。 3. 传递函数的求取 （1）根据系统的微分方程求取传递函数。 （2）根据电路复阻抗的概念求取传递函数。
dia (t ) La ia (t ) Ra ea (t ) ua (t ) dt
清华大学出版社
董红生主编
第2章 自动控制系统的数学模型
2.1控制系统的微分方程
2.2 控制系统的传递函数
2.3 控制系统的动态结构图
2.4 应 用 实 例 本章小结
教学目标：
了解控制系统数学模型的概念；
熟悉控制系统的微分方程的建立方法； 掌握传递函数的定义、求法及典型环节的传递函数特性； 掌握控制系统动态结构图的化简及利用动态结构图求解控 制系统各种传递函数的方法。
【例2-5】RLC电路如图2-4所示，试求系统的传递函数。 解：由电路理论，可以列出
di (t ) 1 L Ri (t ) i (t )dt r (t ) dt C 1 i (t )dt c (t ) C
L R
+ r(t) -
i(t)
C
+ c(t) -
图2-4【例2-5】RLC电路系统
uc (t ) 1 e t
2.2 控制系统的传递函数
系统的传递函数模型是在拉氏变换的基础上定义的，它是以系
统本身的参数描述线性定常系统输入量与输出量的关系式，反映
了系统内在的固有特性。 利用传递函数不仅可以研究系统的动态特性，而且可以分析系 统结构或参数改变对系统性能的影响。 控制工程中广泛使用时域法、频域法等系统分析设计方法都是 以传递函数为基础的，可以说传递函数是经典控制理论中最基本、 最重要的概念。
【例2-6】PI（比例-积分）控制器如图2-5所示，试用复阻抗求 其传递函数。 解：根据图中a点 “虚地”，可得 I1 ( s) I 2 ( s)
R( s ) C ( s) Z1 Z2
R1
，即
R2 i2 a + C
则PI控制器的传递函数为
Z R 1 Cs R 1 G( s) 2 2 2 (1 ) Z1 R1 R1 R2Cs
（2）按照信号传递顺序，依次列出系统各环节的微分方程，并 建立微分方程组； （3）消去中间变量，获得仅包含输入变量和输出变量的微分方 程； （4）将微分方程标准化，即将与输入变量有关的各项移到方程 的右边，将与输出变量有关的各项移到方程的左边，且按变量导 数的降幂排列。
2.1.1微分方程建立的实例
思路：通过拉氏变换将时域的线性微分方程转换为复数域的代
数方程，在复数域求解代数方程后，再由拉氏反变换得到时域 的微分方程的解。
【例2-4】在例2-1的RC电路的微分方程可表示为
T duc (t ) uc (t ) ur (t ) dt
假设T=1s为系统时间常数，输入电压为ui(t)=1(t)V，在零初 始条件下，求系统的输出响应。
在零初始条件下，对上两式进行拉氏变换，可得
LsI ( s ) RI ( s )
1 I ( s) C ( s) Cs
1 I ( s ) R( s ) Cs
消去中间变量，可得 ( LCs2 RCs 1)C(s) R(s)
由传递函数定义，求取系统传递函数为
C ( s) 1 G( s) R( s) LCs 2 RCs 1
2.1 控制系统的微分方程
微分方程是控制系统最基本的数学模型，可用于在时域中描
述系统的动态性能。
若已知系统的输入信号和初始条件，通过求解微分方程就可
以得到系统的输出响应。
列写控制系统微分方程的一般步骤归纳为： （1）明确控制系统的输入和输出变量。输入变量是系统的外 部作用变量；输出变量是要研究的系统变量；
m
G(s)
j 1
j
(T s 1)
i 1 i
n
（2-15）
或
G(s)
Kg (s z j )
j 1
m
(s p )
i 1 i
n
（2-16）
称（2-15）式为传递函数的时间常数表示法， K为系统增益，
多用于系统频域法分析；称（2-16）式为传递函数的零极点表
示法，Kg称为根轨迹增益，多用于系统根轨迹法分析。由（215）式和（2-16）式不难推出
F ma
可得
d 2 y (t ) 阻力， 2 dt
dy (t ) d 2 y (t ) F (t ) ky (t ) f =m dt dt 2
dy (t ) 其中， ky (t ) 为弹性阻力，f dt 为物体粘性
为物体的加速度。
k F(t) m f y(t)
（3）移项整理，将微分方程标准化。
（2-14）
式中，k为常数。
传递函数的分母多项式称为系统的特征多项式，令特征多
项式等于零，即
( s p1 )( s p2 )( s pn ) 0
称为系统的特征方程。
特征方程的根p1 ,p2, …,pn称为特征根或传递函数的极点。 传递函数分子多项式方程的根z1,z2,…, zm称为传递函数的零点。 零点和极点取决于传递函数中的各项系数，即取决于系统的结 构和参数。 传递函数G(s)常有两种表示形式，即 K ( s 1)
r(t)
i1
-
c(t)
令 K p R2 R1 称为PI控制器的比例系数；
Ti R2C 称为PI控制器的积分时间常数。
1 G ( s ) K (1 ) 代入上式可得 p Ti s
图2-5【例2-5】PI控制器
2.2.2 典型环节的传递函数
1.比例环节 描述比例环节的微分方程为
r(t),c(t) c(t) r(t) 0 t
【例2-1】RC电路如图2-1所示，试列出电路的微分方程。
解：（1）确定输入变量和输出 变量。输入变量为 ui(t) ，输出 变量为uo(t)。 （2）列微分方程。
Ri(t ) u0 (t ) ui (t )
i (t ) C du0 (t ) dt
（2-1）
（2-2）
图2-1 RC电路
（3）消去中间变量，并将微 分方程标准化。
c(t ) Kr (t )
式中，K常数，称为放大系 数或增益。
图2-7 比例环节输入及其响应曲线
R(s) K C(s)
比例环节的传递函数为
G( s ) K
（2-18）
图2-6 比例环节的方框图
比例环节的特点：输出信号成比例地复现输入信号， 二者 没有时间上延迟，输出无失真。
利用复阻抗概念可直接求解，由RLC串联电路的分压公式可 知，输出信号为电容复阻抗1/Cs上的串联分压值，即
C ( s) 1 Cs R( s ) R Ls 1 Cs
则RLC电路系统传递函数为
G( s) C ( s) 1 Cs 1 R( s) R Ls 1 Cs LCs 2 RCs 1
GD 2 dn M e (t ) M L (t ) M f (t ) 375 dt
（2-8）
式中，ML(t)为负载转矩；Mf(t)为摩擦转矩；GD2为飞轮惯量。 （3）消去中间变量，为简化方程，令ML(t)=Mf(t)=0，可得电枢 电压ua(t)与转轴角速度n(t)之间的关系为
d 2 n( t ) dn(t ) ua (t ) TlTm T n ( t ) m dt 2 dt Ce
解：将RC电路的微分方程两边取拉氏变换，可得
TsU c (s) U c ( s) U r ( s)
将
U r (s) 1/ s
代入上式，整理可得
U c ( s) 1 1 Ts 1 s
显然，输出响应为 一条从零开始按指 数规律上升的曲线。
对 U c ( s) 取拉氏反变换并代入已知数据，可得
式中，Ce为反电势系数，单位为
ua(t)
ea(t)
V/rad· s-1。
电磁转矩为
M e (t ) Cmia (t )
+ uf(t) if
M
负 载
n(t)
在恒定励磁磁场中，电枢电流产生的
-
（2-7）
图2-3 他励电动机的原理图
式中，Cm为电动机的转矩系数，单位
为N· m/A。
考虑带恒转矩负载的情况，由电动机转轴的转矩平衡得
2.2.1 传递函数的概念
1.传递函数的定义
在零初始条件下，线性定常系统输出量的拉氏变换与输入量 的拉氏变换之比称为系统的传递函数，用G(s)表示，即
L[c(t )] G( s) L[r (t )]
（2-10）
一般地，线性定常系统可用n阶微分方程描述，即
d n c(t ) d n 1c(t ) dc(t ) a0 a a an c(t ) 1 n 1 n n 1 dt dt dt d m r (t ) d m 1r (t ) dr (t ) b0 b1 bm 1 bm r (t ) dt m dt m 1 dt
（2-9）
式中， Ta La Ra
GD2 Ra ，Tm 375CeCm
分别为电动机的电磁时间和机电时间常
数，单位为s。 可见，电枢电压控制的直流电动机的数学模型为二阶线性常 系数微分方程。
2.1.2 线性常微分方程的求解
可用线性微分方程描述的系统，称为线性系统。线性系统
的一个重要性质就是可以应用叠加原理进行系统分析，对于线 性控制系统的分析与设计非常有用。 工程上，常采用拉氏变换法求解线性常微分方法，其基本
5）传递函数是在零初始条件下定义的，不能反映非零初始条 件下系统的运动规律。 6）传递函数是复数变量s的有理真分式函数，其系数均为实常 数。传递函数的分子多项式的阶次m总是小于或等于分母 多项式的阶次n，即有m≤n。 3. 传递函数的求取 （1）根据系统的微分方程求取传递函数。 （2）根据电路复阻抗的概念求取传递函数。
dia (t ) La ia (t ) Ra ea (t ) ua (t ) dt