2016届高考数学大一轮复习课时跟踪检测(四十七)圆的方程文(含解析)

课时跟踪检测(四十七) 圆的方程
一、选择题
1．(2015·北京西城期末)若坐标原点在圆(x －m )2
＋(y ＋m )2
＝4的内部，则实数m 的取值范围是( )
A ．(－1,1)
B ．(－3，3)
C ．(－2，2)
D.⎝ ⎛⎭
⎪⎫－
22，22 2．圆x 2
＋y 2
－4x －4y －10＝0上的点到直线x ＋y －14＝0的最大距离与最小距离的和是( )
A ．30
B ．18
C ．10 2
D ．5 2
3．设圆的方程是x 2
＋y 2
＋2ax ＋2y ＋(a －1)2
＝0，若0<a <1，则原点与圆的位置关系是( )
A ．原点在圆上
B ．原点在圆外
C ．原点在圆内
D ．不确定
4．已知圆C 1：(x －2)2
＋(y －3)2
＝1，圆C 2：(x －3)2
＋(y －4)2
＝9，M ，N 分别是圆C 1，
C 2上的动点，P 为x 轴上的动点，则|PM |＋|PN |的最小值为( )
A ．52－4 B.17－1 C ．6－2 2
D.17
5．点P (4，－2)与圆x 2
＋y 2
＝4上任一点连线的中点轨迹方程是( ) A ．(x －2)2
＋(y ＋1)2
＝1 B ．(x －2)2＋(y ＋1)2
＝4 C ．(x ＋4)2
＋(y －2)2
＝4
D ．(x ＋2)2
＋(y －1)2
＝1
6．(2014·北京高考)已知圆C ：(x －3)2
＋(y －4)2
＝1和两点A (－m,0)，B (m ，0)(m >0)．若圆C 上存在点P ，使得 ∠APB ＝90°，则 m 的最大值为( )
A ．7
B ．6
C ．5
D ．4
二、填空题
7．已知圆C 关于y 轴对称，经过点(1,0)且被x 轴分成两段，弧长比为1∶2，则圆C 的
方
程
为
______________________________________________________________________.
8．(2015·绍兴模拟)点P (1,2)和圆C ：x 2
＋y 2
＋2kx ＋2y ＋k 2
＝0上的点的距离的最小值是________．
9．若圆C ：x 2－2mx ＋y 2
－2my ＋2＝0与x 轴有公共点，则m 的取值范围是________． 10．已知两点A (－2,0)，B (0,2)，点C 是圆x 2
＋y 2
－2x ＝0上任意一点，则△ABC 面积的最小值是________．
三、解答题
11．已知圆的方程是x 2
＋y 2
－2ax ＋2(a －2)y ＋2＝0，其中a ≠1，且a ∈R . (1)求证：a 取不为1的实数时，上述圆过定点； (2)求圆心的轨迹方程．
12. 已知以点P 为圆心的圆经过点A (－1,0)和B (3,4)，线段AB 的垂直平分线交圆P 于点C 和D ，且|CD |＝410.
(1)求直线CD 的方程； (2)求圆P 的方程．
答 案
1．选C ∵(0,0)在(x －m )2
＋(y ＋m )2
＝4的内部，则有(0－m )2
＋(0＋m )2
<4， 解得－2<m <2，选C.
2．选C 由圆x 2
＋y 2
－4x －4y －10＝0知圆心坐标为(2,2)，半径为32，则圆上的点到直线x ＋y －14＝0的最大距离为|2＋2－14|2＋32＝82，最小距离为|2＋2－14|2－32
＝22，故最大距离与最小距离的和为10 2.
3．选B 将圆的一般方程化成标准方程为(x ＋a )2
＋(y ＋1)2
＝2a ，因为0<a <1，所以(0＋a )2
＋(0＋1)2
－2a ＝(a －1)2
>0，即
＋a
2
＋＋
2
>2a ，所以原点在圆外．
4．选A 圆C 1，C 2的图象如图所示． 设P 是x 轴上任意一点，则|PM |的最小值为
|PC 1|－1，同理|PN |的最小值为|PC 2|－3，则|PM |＋|PN |的最小值为|PC 1|＋|PC 2|－4.作C 1关于x 轴的对称点C 1′(2，－3)，连接C 1′C 2，与x 轴交于点P ，连接PC 1，可知|PC 1|＋|PC 2|的最小值为|C 1′C 2|，则|PM |＋|PN |的最小值为52－4，故选A.
5．选A 设M (x 0，y 0)为圆x 2
＋y 2
＝4上任一点，PM 中点为Q (x ，y )，
则⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝x 0＋42，y ＝y 0
－2
2，
∴⎩⎪⎨⎪⎧
x 0＝2x －4，
y 0＝2y ＋2.
代入圆的方程得(2x －4)2＋(2y ＋2)2
＝4， 即(x －2)2
＋(y ＋1)2
＝1.
6．选B 根据题意，画出示意图，如图所示，则圆心C 的坐标为(3,4)，半径r ＝1，且|AB |＝2m ，因为∠APB ＝90°，连接OP ，易知|OP |＝1
2|AB |＝m .要求m 的最大值，即求圆C
上的点P 到原点O 的最大距离．因为|OC |＝32
＋42
＝5，所以|OP |max ＝|OC |＋r ＝6，即m 的最大值为6.
7．解析：由已知圆心在y 轴上，且被x 轴所分劣弧所对圆心角为2π3，设圆心(0，a ), 半径为r ，则r sin π3＝1，r cos π3＝
|a |，解得r ＝
2
3
，即r 2
＝43，|a |＝33，即a ＝±33，
故圆C 的方程为x 2
＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ±332＝43
. 答案：x 2
＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ±
332＝43
8．解析：圆的方程化为标准式为 (x ＋k )2
＋(y ＋1)2
＝1.
∴圆心C (－k ，－1)，半径r ＝1. 易知点P (1,2)在圆外． ∴点P 到圆心C 的距离为： |PC |＝
k ＋
2
＋32
＝
k ＋
2
＋9≥3.
∴|PC |min ＝3.
∴点P 和圆C 上点的最小距离
d min ＝|PC |min －r ＝3－1＝2.
答案：2
9．解析：圆C 的标准方程为 (x －m )2
＋(y －m )2
＝m 2
＋m －2，
依题意有⎩⎨⎧
m 2＋m －2>0，
m ≤
m 2＋m －2，
m ≥0.
得m ≥ 2.
答案：[2，＋∞)
10．解析：l AB ：x －y ＋2＝0， 圆心(1,0)到l 的距离d ＝32，
则AB 边上的高的最小值为
32－1.
故△ABC 面积的最小值是12×22×⎝ ⎛⎭⎪⎫
32－1＝3－ 2.
答案：3－ 2
11．解：(1)证明：将方程x 2
＋y 2
－2ax ＋2(a －2)y ＋2＝0整理得x 2
＋y 2
－4y ＋2－a (2x －2y )＝0(a ≠1，且a ∈R )，
令⎩
⎪⎨
⎪⎧
x 2
＋y 2
－4y ＋2＝0，
2x －2y ＝0，解得⎩
⎪⎨
⎪⎧
x ＝1，
y ＝1.
所以a 取不为1的实数时，上述圆过定点(1,1)． (2)由题意知圆心坐标为(a,2－a )，且a ≠1， 又设圆心坐标为(x ，y )，则有⎩⎪⎨⎪
⎧
x ＝a ，y ＝2－a ，
消去参数a ，得x ＋y －2＝0(x ≠1)，即为
所求圆心的轨迹方程．
12．解：(1)∵直线AB 的斜率k ＝1，AB 的中点坐标为(1,2)． ∴直线CD 的方程为y －2＝－(x －1)， 即x ＋y －3＝0. (2)设圆心P (a ，b )，
则由P 在CD 上得a ＋b －3＝0.① 又∵直径|CD |＝410，∴|PA |＝210. ∴(a ＋1)2
＋b 2
＝40.②
由①②解得⎩⎪⎨
⎪⎧
a ＝－3，
b ＝6，
或⎩⎪⎨⎪⎧
a ＝5，
b ＝－2.
∴圆心P (－3,6)或P (5，－2)．
∴圆P 的方程为(x ＋3)2
＋(y －6)2
＝40或(x －5)2
＋(y ＋2)2
＝40.。