2014-2015年广东省广雅、执信、二中、六中四校联考高二上学期期末数学试卷(理科)与解析

2014-2015学年广东省广雅、执信、二中、六中四校联考高二（上）期末数学试卷（理科）一．选择题（本大题共8道小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中有且只有一个是符合题目要求的）1．（5分）已知集合A={x||x﹣1|＜2}，集合B={x|lnx＞0}，则集合A∩B=（）A．（1，3）B．（0，3）C．（﹣1，3）D．（﹣1，1）2．（5分）执行如图所示的程序框图，若输入A的值为2，则输入的P值为（）A．2B．3C．4D．53．（5分）已知向量，向量，若，则为（）A．（﹣2，2）B．（﹣6，3）C．（2，﹣1）D．（6，﹣3）4．（5分）直线l：y=kx+1与圆O：x2+y2=1相交于A，B两点，则“”是“△OAB 的面积为”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分又不必要条件5．（5分）直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，若∠BAC=90°，AB=AC=AA1，则异面直线BA1与AC1所成的角等于（）A．30°B．45°C．60°D．90°6．（5分）在△ABC中，点M是BC中点．若∠A=120°，，则的最小值是：（）A．B．C．D．7．（5分）若函数f（x）满足f（x）=f（π﹣x），且当时，f（x）=x+sinx，则f（1），f（2），f（3）的大小关系为（）A．f（3）＜f（1）＜f（2）B．f（1）＜f（2）＜f（3）C．f（3）＜f（2）＜f（1）D．f（2）＜f（3）＜f（1）8．（5分）已知双曲线的左焦点F（﹣c，0）（c＞0），过点F作圆：的切线，切点为E，延长FE交双曲线右支于点P，若|FE|=|EP|，则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，满分30分．9．（5分）cos（﹣）=．10．（5分）已知函数，则f[f（﹣3）]=．11．（5分）已知椭圆，其焦距为2c，长轴长是焦距的倍，b，c的一个等比中项为，则c=．12．（5分）在平面直角坐标系xOy中，设D是由不等式组表示的区域，E是到原点的距离不大于1的点构成的区域，向E中随机投一点，则所投点落在D中的概率是．13．（5分）已知△ABC为锐角三角形，且满足tanA=t+1，tanB=t﹣1，则实数t 的取值范围是．14．（5分）数列{a n}中，，且（n∈N*），则数列{a n}的前2014项的和为．三、解答题：本大题共6小题，满分80分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15．（12分）已知向量．（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；（Ⅱ）若θ为锐角，且，求tan2θ的值．16．（12分）甲、乙两所学校高二年级分别有1200人，1000人，为了了解两所学校全体高二年级学生在该地区四校联考的数学成绩情况，采用分层抽样方法从两所学校一共抽取了110名学生的数学成绩，并作出了频数分布统计表如下：甲校：乙校：（Ⅰ）计算x，y的值；（Ⅱ）若规定考试成绩在[120，150]内为优秀，请分别估计两所学校数学成绩的优秀率；（Ⅲ）若规定考试成绩在[140，150]内为特优，甲、乙两所学校从抽取的5张特优试卷中随机抽取两张进行张贴表扬，求这两张试卷来自不同学校的概率．17．（14分）已知梯形ABCD中AD∥BC，∠ABC=∠BAD=，AB=BC=2AD=4，E、F分别是AB、CD上的点，EF∥BC，AE=x．沿EF将梯形ABCD翻折，使平面AEFD⊥平面EBCF（如图）．G是BC的中点．（1）当x=2时，求证：BD⊥EG；（2）当x变化时，求三棱锥D﹣BCF的体积f（x）的函数式．18．（14分）已知函数f（x）=x2，g（x）=x﹣1．（1）若∃x∈R使f（x）＜b•g（x），求实数b的取值范围；（2）设F（x）=f（x）﹣mg（x）+1﹣m﹣m2，且|F（x）|在[0，1]上单调递增，求实数m的取值范围．19．（14分）数列{a n}的前n项和为S n=2a n﹣2，数列{b n}是首项为a1，公差不为零的等差数列，且b1，b3，b11成等比数列．（1）求a1，a2，a3的值；（2）求数列{a n}与{b n}的通项公式；（3）求证：＜5．20．（14分）已知椭圆（a＞b＞0）的左、右焦点分别是F1（﹣c，0）、F2（c，0），离心率为，椭圆上的动点P到直线l：x=的最小距离为2，延长F2P至Q使得||=2a，线段F1Q上存在异于F1的点T满足．（1）求椭圆的方程；（2）求点T的轨迹C的方程；（3）求证：过直线l：x=上任意一点必可以作两条直线与T的轨迹C相切，并且过两切点的直线经过定点．2014-2015学年广东省广雅、执信、二中、六中四校联考高二（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一．选择题（本大题共8道小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中有且只有一个是符合题目要求的）1．（5分）已知集合A={x||x﹣1|＜2}，集合B={x|lnx＞0}，则集合A∩B=（）A．（1，3）B．（0，3）C．（﹣1，3）D．（﹣1，1）【解答】解：集合A={x||x﹣1|＜2}={x|﹣1＜x＜3}，集合B={x|lnx＞0}={x|x＞1}，则集合A∩B={x|1＜x＜3}=（1，3），故选：A．2．（5分）执行如图所示的程序框图，若输入A的值为2，则输入的P值为（）A．2B．3C．4D．5【解答】解：S=1，满足条件S≤2，则P=2，S=1+=满足条件S≤2，则P=3，S=1++=满足条件S≤2，则P=4，S=1+++=不满足条件S≤2，退出循环体，此时P=4故选：C．3．（5分）已知向量，向量，若，则为（）A．（﹣2，2）B．（﹣6，3）C．（2，﹣1）D．（6，﹣3）【解答】解：∵，∴﹣4﹣4x=0，解得x=﹣1．∴，∴=（﹣2，1）+（﹣4，2）=（﹣6，3）．故选：B．4．（5分）直线l：y=kx+1与圆O：x2+y2=1相交于A，B两点，则“”是“△OAB 的面积为”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分又不必要条件【解答】解：直线y=kx+1过定点（0，1）在圆上，不妨设A（0，1），若“△OAB的面积为”，则S==，∴sin∠AOB=，即∠AOB=或，若∠AOB=，则直线的倾斜角为或，若∠AOB=，则直线的倾斜角为或，若，则直线的倾斜角为，故“”是“△OAB的面积为”的充分不必要条件，故选：A．5．（5分）直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，若∠BAC=90°，AB=AC=AA1，则异面直线BA1与AC1所成的角等于（）A．30°B．45°C．60°D．90°【解答】解：延长CA到D，使得AD=AC，则ADA1C1为平行四边形，∠DA1B就是异面直线BA1与AC1所成的角，又A1D=A1B=DB=AB，则三角形A1DB为等边三角形，∴∠DA1B=60°故选：C．6．（5分）在△ABC中，点M是BC中点．若∠A=120°，，则的最小值是：（）A．B．C．D．【解答】解：在△ABC中，点M是BC中点，∴=．再由∠A=120°，，可得||•||•cosA=﹣，∴||•||=1．又==≥≥=，故的最小值是，故选：D．7．（5分）若函数f（x）满足f（x）=f（π﹣x），且当时，f（x）=x+sinx，则f（1），f（2），f（3）的大小关系为（）A．f（3）＜f（1）＜f（2）B．f（1）＜f（2）＜f（3）C．f（3）＜f（2）＜f（1）D．f（2）＜f（3）＜f（1）【解答】解：因为f（x）=f（π﹣x），所以f（2）=f（π﹣2），f（3）=f（π﹣3）．易知．而f′（x）=1+cosx≥0恒成立，所以f（x）在当时为增函数，所以f（π﹣3）＜f（1）＜f（π﹣2），f（3）＜f（1）＜f（2）．故选：A．8．（5分）已知双曲线的左焦点F（﹣c，0）（c＞0），过点F作圆：的切线，切点为E，延长FE交双曲线右支于点P，若|FE|=|EP|，则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．【解答】解：设双曲线的右焦点为F'，过点F作圆：的切线，切点为E，则|OE|=，OE⊥PF，由于|FE|=|EP|，∴E为PF的中点，则|PF'|=2|OE|=b，且PF⊥PF'，∴|PF|2=|FF'|2﹣|PF'|2=4c2﹣b2，由双曲线的定义可得|PF|﹣|PF'|=2a，即有|PF|=2a+b，∴4c2﹣b2=（2a+b）2，且c2=a2+b2，化简得b=2a，∴c==a，∴e==．故选：B．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，满分30分．9．（5分）cos（﹣）=．【解答】解：cos（﹣）=cos（）=cos（）=﹣cos（）=﹣．故答案为：﹣10．（5分）已知函数，则f[f（﹣3）]=．【解答】解：知函数，则f（﹣3）=3﹣3=，f[f（﹣3）]=f（）===．故答案为：．11．（5分）已知椭圆，其焦距为2c，长轴长是焦距的倍，b，c的一个等比中项为，则c=2．【解答】解：由长轴长是焦距的倍，b，c的一个等比中项为，可得2a=2c，bc=8，又a2﹣b2=c2，解得a=2，b=4，c=2，故答案为：2．12．（5分）在平面直角坐标系xOy中，设D是由不等式组表示的区域，E是到原点的距离不大于1的点构成的区域，向E中随机投一点，则所投点落在D中的概率是．【解答】解析：根据题意可得点M（x，y）满足，其构成的区域D如图所示的三角形，面积为S1=1，E所表示的平面区域是以原点为圆心，以1为半径的圆及其内部，面积为S 2=π，故向E中投一点，落入D中的概率为P==．故答案为．13．（5分）已知△ABC为锐角三角形，且满足tanA=t+1，tanB=t﹣1，则实数t的取值范围是．【解答】解：∵C锐角，∴tanC＞0，∵C=180°﹣A﹣B，∴tanC=﹣tan（A+B）=﹣＞0，∴得tanAtanB﹣1＞0，tanA=t+1，tanB=t﹣1，（t﹣1）（t+1）﹣1＞0解得t＞，又tanA=t+1＞0，tanB=t﹣1＞0，故t＞．故答案为：．14．（5分）数列{a n}中，，且（n∈N*），则数列{a n}的前2014项的和为．【解答】解：∵数列{a n}中，，且（n∈N*），∴==+1，∴=1，∵，∴=2，∴数列{}是以2为首项，以1为公差的等差数列，∴=2+（n﹣1）×1=n+1，∴，∴S2014==1﹣=．故答案为：．三、解答题：本大题共6小题，满分80分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15．（12分）已知向量．（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；（Ⅱ）若θ为锐角，且，求t an2θ的值．【解答】解：（1）∵向量．∴f（x）=2sinxcosx+2cos2x﹣1=sin2x+cos2x==．∴f（x）的最小正周期==π．（2）∵，∴．∴．∵θ为锐角，即，∴0＜2θ＜π．∴．∴．16．（12分）甲、乙两所学校高二年级分别有1200人，1000人，为了了解两所学校全体高二年级学生在该地区四校联考的数学成绩情况，采用分层抽样方法从两所学校一共抽取了110名学生的数学成绩，并作出了频数分布统计表如下：甲校：乙校：（Ⅰ）计算x，y的值；（Ⅱ）若规定考试成绩在[120，150]内为优秀，请分别估计两所学校数学成绩的优秀率；（Ⅲ）若规定考试成绩在[140，150]内为特优，甲、乙两所学校从抽取的5张特优试卷中随机抽取两张进行张贴表扬，求这两张试卷来自不同学校的概率．【解答】解：（Ⅰ）甲校抽取110×60人，…（1分）乙校抽取110×=50人，…（2分）故x=10，y=7，…（4分）（Ⅱ）估计甲校优秀率为=25%，…（5分）乙校优秀率为=40%．…（6分）（Ⅲ）设甲校的2张特优试卷为A1，A2：乙校3张特优试卷为B1，B2，B3，则从5张特优试卷中随机抽取两张共10种可能．如下：（A1，A2），（A1，B1），（A1，B2），（A1，B3）（A2，B1），（A2，B2）（A2，B3），（B1，B2）（B1，B3），（B2，B3）…（9分）两张试卷来自不同学校有6种可能：（A1，B1）（A1，B2）（A1，B3）（A2，B1）（A2，B2）（A2，B3）…（11分）所以这两张试卷来自不同学校的概率为：…（12分）17．（14分）已知梯形ABCD中AD∥BC，∠ABC=∠BAD=，AB=BC=2AD=4，E、F分别是AB、CD上的点，EF∥BC，AE=x．沿EF将梯形ABCD翻折，使平面AEFD⊥平面EBCF（如图）．G是BC的中点．（1）当x=2时，求证：BD⊥EG；（2）当x变化时，求三棱锥D﹣BCF的体积f（x）的函数式．【解答】解：（1）证明：作DH⊥EF，垂足H，连结BH，GH，∵平面AEFD⊥平面EBCF，交线EF，DH⊂平面AEFD，∴DH⊥平面EBCF，又EG⊂平面EBCF，故EG⊥DH．∵，EF∥BC，∠ABC=90°．∴四边形BGHE为正方形，∴EG⊥BH．又BH、DH⊂平面DBH，且BH∩DH=H，故EG⊥平面DBH．又BD⊂平面DBH，∴EG⊥BD．（2）∵AE⊥EF，平面AEFD⊥平面EBCF，交线EF，AE⊂平面AEFD．∴AE⊥面EBCF．又由（1）DH⊥平面EBCF，故AE∥GH，∴四边形AEHD是矩形，DH=AE，故以F、B、C、D为顶点的三棱锥D﹣BCF的高DH=AE=x．又，（0≤x≤4）．∴三棱锥D﹣BCF的体积f（x）===，（0≤x≤4）．18．（14分）已知函数f（x）=x2，g（x）=x﹣1．（1）若∃x∈R使f（x）＜b•g（x），求实数b的取值范围；（2）设F（x）=f（x）﹣mg（x）+1﹣m﹣m2，且|F（x）|在[0，1]上单调递增，求实数m的取值范围．【解答】解：（1）由∃x∈R，f（x）＜b•g（x），得∃x∈R，x2﹣bx+b＜0，∴△=（﹣b）2﹣4b＞0，解得b＜0或b＞4，∴实数b的取值范围是（﹣∞，0）∪（4，+∞）；（2）由题设得F（x）=x2﹣mx+1﹣m2，对称轴方程为，△=m2﹣4（1﹣m2）=5m2﹣4，由于|F（x）|在[0，1]上单调递增，则有：①当△≤0即﹣≤m时，有，解得，②当△＞0即或时，设方程F（x）=0的根为x1，x2（x1＜x2），若，则，有即为解得m≥2；若，即，有x1＜0，x2≤0；得F（0）=1﹣m2≥0，有﹣1≤m ≤1，∴；综上所述，实数m的取值范围是[﹣1，0]∪[2，+∞）．19．（14分）数列{a n}的前n项和为S n=2a n﹣2，数列{b n}是首项为a1，公差不为零的等差数列，且b1，b3，b11成等比数列．（1）求a1，a2，a3的值；（2）求数列{a n}与{b n}的通项公式；（3）求证：＜5．【解答】（本题满分14分）解：（1）∵S n=2a n﹣2，∴当=1时，a1=2a1﹣2，解得a1=2；当n=2时，S2=2+a2=2a2﹣2，解得a2=4；当n=3时，s3=a1+a2+a3=2a3﹣2，解得a3=8．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（3分）（2）当n≥2时，a n=s n﹣s n﹣1=2a n﹣2﹣（2a n﹣1﹣2）=2a n﹣2a n﹣1，﹣﹣﹣﹣﹣（5分）得a n=2a n﹣1又，a1=2，∴数列{a n}是以2为首项，公比为2的等比数列，所以数列{a n}的通项公式为．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（7分）b1=a1=2，设公差为d，则由且b1，b3，b11成等比数列得（2+2d）2=2（2+10d），﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（8分）解得d=0（舍去）或d=3，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（9分）∴b n=3n﹣1．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（10分）（3）令T n==，∴2T n=，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（11分）两式式相减得=2+=5﹣，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（13分）又＞0，故：＜5．．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（14）20．（14分）已知椭圆（a＞b＞0）的左、右焦点分别是F1（﹣c，0）、F2（c，0），离心率为，椭圆上的动点P到直线l：x=的最小距离为2，延长F2P至Q使得||=2a，线段F1Q上存在异于F1的点T满足．（1）求椭圆的方程；（2）求点T的轨迹C的方程；（3）求证：过直线l：x=上任意一点必可以作两条直线与T的轨迹C相切，并且过两切点的直线经过定点．【解答】（1）解：依题意，∵椭圆离心率为，椭圆上的动点P到直线l：x=的最小距离为2，∴，…（2分）∴，∴b2=a2﹣c2=3 …（3分）∴椭圆的方程为…（4分）（2）解：设点T的坐标为（x，y）．当P，T重合时，点T坐标为（2，0）和点（﹣2，0），…（5分）当P，T不重合时，由，得．…（6分）由||=2a及椭圆的定义，||=||﹣||=2a﹣||=||，…（7分）所以PT为线段F1Q的垂直平分线，T为线段F1Q的中点在△QF1F2中，=||=a=2，…（8分）所以有x2+y2=4．综上所述，点T的轨迹C的方程是x2+y2=4．…（9分）（3）证明：直线l：x=与x2+y2=4相离，过直线上任意一点M（4，t）可作圆x2+y2=4③的两条切线ME，MF …（10分）所以OE⊥ME，OF⊥MF，所以O，E，M，F四点都在以OM为直径的圆上，…（11分）其方程④…（12分）EF为两圆的公共弦，③﹣④得：EF的方程为4x+ty﹣4=0 …（13分）显然无论t为何值，直线EF经过定点（1，0）．…（14分）赠送—高中数学知识点【1.3.1】单调性与最大（小）值（1）函数的单调性②在公共定义域内，两个增函数的和是增函数，两个减函数的和是减函数，增函数减去一个减函数为增函数，减函数减去一个增函数为减函数．③对于复合函数[()]y f g x =，令()u g x =，若()y f u =为增，()u g x =为增，则[()]y f g x =为增；若()y f u =为减，()u g x =为减，则[()]y f g x =为增；若()y fu=为增，()u g x =为减，则[()]y f g x =为减；若()y f u =为减，()u g x =为增，则[()]y f g x =为减． （2）打“√”函数()(0)af x x a x=+>的图象与性质 ()f x 分别在(,]a -∞-、[,)a +∞上为增函数，分别在[,0)a -、]a 上为减函数．（3）最大（小）值定义①一般地，设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数M 满足：（1）对于任意的x I ∈，都有()f x M ≤； （2）存在0x I ∈，使得0()f x M =．那么，我们称M 是函数()f x 的最大值，记作max ()f x M =．②一般地，设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数m 满足：（1）对于任意的x I ∈，都有()f x m ≥；（2）存在0x I ∈，使得0()f x m =．那么，我们称m 是函数()f x 的最小值，记作max ()f x m =．yxo【1.3.2】奇偶性（4）函数的奇偶性②若函数()f x 为奇函数，且在0x =处有定义，则(0)0f =．③奇函数在y 轴两侧相对称的区间增减性相同，偶函数在y 轴两侧相对称的区间增减性相反．④在公共定义域内，两个偶函数（或奇函数）的和（或差）仍是偶函数（或奇函数），两个偶函数（或奇函数）的积（或商）是偶函数，一个偶函数与一个奇函数的积（或商）是奇函数．。