初中培优竞赛含详细解析 第1讲 整数的基本性质

初中数学竞赛专题1——整数的基本性质

1.（1，2）（数学#初中#竞赛#初中竞赛#数学竞赛#初中数学竞赛#整数#选择题）

【标准答案】1#0#1#4#A

三人中每两个人的平均年龄加上余下一人的年龄分别是47，61，60，那么这三个人中最大年龄与最小年龄的差是 ( ) A. 28 B. 27 C. 26 D. 25

【分析】设三个人的年龄分别为X1，X2，X3，根据题意，则

+X2+2X3=47×2 ①

X

X2+X3+2X1=61×2 ②

X3+X1+2X2=60×2 ③

由①+②+③得X1+X2+X3=84，分别代入①②③得X1=38，X2=36，X3=10.

所以X1-X3=28.

【答案】A

【技巧】设未知数列方程（组）来解应用题是常用的方法.

2.（2，3）（数学#初中#竞赛#初中竞赛#数学竞赛#初中数学竞赛#整数#选择题）

【标准答案】2#0#1#4#B

三角形的三边长a、b、c都是整数，且[a，b，c]=60，（a，b) =4，(b，c)=3则a+b+c的最小值是 ( ) {注：[a，b，c]表示a、b、c的最小公倍数，（a，b）表示a，b的最大公约数}

A．30 B．31 C．32 D. 33

【分析】因为（a，b）=4，所以a，b都是4的倍数.因为(b，c)=3，所以b，c都是3的倍数.从而a=4a1，b=12b1，c=3c1，a1、b1、c1都是正整数；又因为[a，b，c]=60，所以a，b，c中至少有一个被5整除，即a1、b1、c1中至少有一个被5整除.因为abc三个数的系数中，c的系数最小为3，所以只有当a1、b1 取最小时，三个数之和才最小，那么当a1= b1=1，c1=5时，a+b+c=4+1+15=31最小.

【答案】B

【技巧】根据最大公约数和最小公倍数的性质，用解析式表示未知数.

【易错点】若不注意三角形三边的关系（两边之和大于第三边）就容易出错.

3.（3，4）（数学#初中#竞赛#初中竞赛#数学竞赛#初中数学竞赛#整数#选择题）

【标准答案】3#0#1#4#B

从1开始的自然数中，把能表示成两个整数的和与它们的差的乘积的数从小到大排列，在这种排列中，第1998个数是( )

A. 2662 B．2664 C. 2665 D．2666

【分析】依题意设这个数为x，x≥1，且x=(a+b)(a-b)（a、b是自然数且a＞b）。

○1若a-b为奇数，不妨令a-b=2c+1（c是自然数），则x=(2b+2c+1)( 2c+1)= 2b( 2c+1)+ (2c+1)²，所以x必为奇数；

○2若a-b为偶数，不妨令a-b=2c（c是自然数），则x=(2b+2c)×2c=4c(b+c)，即x必为4的倍数。

根据○1○2可知，x是奇数或4的倍数的正整数的集合，则x=4n+1或x=4n+3或x=4n+4（n为自然数)，可以判断出，这一系列数的周期是3. 因为1998÷3=666，能整除.所以第1998个数为x= 4(666-1)+4 = 2664.

【答案】B

【技巧】要充分讨论x的可能性，得到x的周期性规律，分析解题.

【易错点】容易混淆第1998和第1999个数而致错.

4.（3，4）（数学#初中#竞赛#初中竞赛#数学竞赛#初中数学竞赛#整数#填空题）

【标准答案】4#0#4#14

若3个质数a，b，c的乘积等于这3个质数的和的5倍，则2a+2b+2c= _____.

【分析】由题意知abc=5(a+b+c)，因为a、b、c都是质数，所以必有一个是5.不妨设c=5，那么有：ab=a+b+5，

移项变形分解因式，转化为：(a-1)(b-1)=6，

①a-1=2，b-1=3（或a-1=3，b-1=2）时，得a=3，b=4（或a=4，b=3），不合题意，舍去；

②a-1=1，b-1=6（或a-1=6，b-1=1）时，得a=2，b=7（或a=7，b=2）.

综上可知，这三个质数为2，5，7，故2a+2b+2c=22+27+25=78.

【答案】78

【技巧】由题目中三个数都为质数，先确定一个数，再确定剩下的两个数.

5.（1，2）（数学#初中#竞赛#初中竞赛#数学竞赛#初中数学竞赛#整数#填空题）

【标准答案】5#0#4#7

2011

3的个位数字是 _ ___.

【分析】3n（n正整数）的个位数字是以3、9、7、1这4个数字为周期循环出现的，当n=2011

3的个位数字是7.

时，因为2011÷4=502……3，所以2011

【答案】7

【技巧】一个数的n次方的个数数，就是这个数的个位数字的n次方的个位数；找到其中个位数字的周期规律，是解答这类题目的关键.

6.（1，2）（数学#初中#竞赛#初中竞赛#数学竞赛#初中数学竞赛#整数#填空题）

【标准答案】6#0#4#37

一个自然数与13的和是5的倍数，与13的差是6的倍数，则满足条件的最小自然数是_____. 【分析】假设这个数为x，根据题意设x+13=5a，x-13=6b，其中a,b为整数，且a≥3，b≥0.因为x-13=6b≥0，所以x是不小于13的奇数；而且x和13的和是5的倍数，所以x的个位数字是7，显然17、27不符合题意.当x=37的时候，符合题意.

【答案】37

【技巧】两个数的差是偶数，那么两个数的奇偶性是相同的；5的倍数的个位数字是0或5. 【易错点】容易忽视题目限制“最小自然数”而致错.

7.（3，4）（数学#初中#竞赛#初中竞赛#数学竞赛#初中数学竞赛#整数#解答题）

【标准答案】7#0#0

23个不同的正整数的和是4845，问：这23个数的最大公约数可能达到的最大的值是多少？写出你的结论，并说明理由.