初中培优竞赛含详细解析 第1讲 整数的基本性质

初中数学竞赛专题1——整数的基本性质
1.（1，2）（数学#初中#竞赛#初中竞赛#数学竞赛#初中数学竞赛#整数#选择题）
【标准答案】1#0#1#4#A
三人中每两个人的平均年龄加上余下一人的年龄分别是47，61，60，那么这三个人中最大年龄与最小年龄的差是 ( ) A. 28 B. 27 C. 26 D. 25
【分析】设三个人的年龄分别为X1，X2，X3，根据题意，则
+X2+2X3=47×2 ①
X
X2+X3+2X1=61×2 ②
X3+X1+2X2=60×2 ③
由①+②+③得X1+X2+X3=84，分别代入①②③得X1=38，X2=36，X3=10.
所以X1-X3=28.
【答案】A
【技巧】设未知数列方程（组）来解应用题是常用的方法.
2.（2，3）（数学#初中#竞赛#初中竞赛#数学竞赛#初中数学竞赛#整数#选择题）
【标准答案】2#0#1#4#B
三角形的三边长a、b、c都是整数，且[a，b，c]=60，（a，b) =4，(b，c)=3则a+b+c的最小值是 ( ) {注：[a，b，c]表示a、b、c的最小公倍数，（a，b）表示a，b的最大公约数}
A．30 B．31 C．32 D. 33
【分析】因为（a，b）=4，所以a，b都是4的倍数.因为(b，c)=3，所以b，c都是3的倍数.从而a=4a1，b=12b1，c=3c1，a1、b1、c1都是正整数；又因为[a，b，c]=60，所以a，b，c中至少有一个被5整除，即a1、b1、c1中至少有一个被5整除.因为abc三个数的系数中，c的系数最小为3，所以只有当a1、b1 取最小时，三个数之和才最小，那么当a1= b1=1，c1=5时，a+b+c=4+1+15=31最小.
【答案】B
【技巧】根据最大公约数和最小公倍数的性质，用解析式表示未知数.
【易错点】若不注意三角形三边的关系（两边之和大于第三边）就容易出错.
3.（3，4）（数学#初中#竞赛#初中竞赛#数学竞赛#初中数学竞赛#整数#选择题）
【标准答案】3#0#1#4#B
从1开始的自然数中，把能表示成两个整数的和与它们的差的乘积的数从小到大排列，在这种排列中，第1998个数是( )
A. 2662 B．2664 C. 2665 D．2666
【分析】依题意设这个数为x，x≥1，且x=(a+b)(a-b)（a、b是自然数且a＞b）。

○1若a-b为奇数，不妨令a-b=2c+1（c是自然数），则x=(2b+2c+1)( 2c+1)= 2b( 2c+1)+ (2c+1)²，所以x必为奇数；
○2若a-b为偶数，不妨令a-b=2c（c是自然数），则x=(2b+2c)×2c=4c(b+c)，即x必为4的倍数。

根据○1○2可知，x是奇数或4的倍数的正整数的集合，则x=4n+1或x=4n+3或x=4n+4（n为自然数)，可以判断出，这一系列数的周期是3. 因为1998÷3=666，能整除.所以第1998个数为x= 4(666-1)+4 = 2664.
【答案】B
【技巧】要充分讨论x的可能性，得到x的周期性规律，分析解题.
【易错点】容易混淆第1998和第1999个数而致错.
4.（3，4）（数学#初中#竞赛#初中竞赛#数学竞赛#初中数学竞赛#整数#填空题）
【标准答案】4#0#4#14
若3个质数a，b，c的乘积等于这3个质数的和的5倍，则2a+2b+2c= _____.
【分析】由题意知abc=5(a+b+c)，因为a、b、c都是质数，所以必有一个是5.不妨设c=5，那么有：ab=a+b+5，
移项变形分解因式，转化为：(a-1)(b-1)=6，
①a-1=2，b-1=3（或a-1=3，b-1=2）时，得a=3，b=4（或a=4，b=3），不合题意，舍去；
②a-1=1，b-1=6（或a-1=6，b-1=1）时，得a=2，b=7（或a=7，b=2）.
综上可知，这三个质数为2，5，7，故2a+2b+2c=22+27+25=78.
【答案】78
【技巧】由题目中三个数都为质数，先确定一个数，再确定剩下的两个数.
5.（1，2）（数学#初中#竞赛#初中竞赛#数学竞赛#初中数学竞赛#整数#填空题）
【标准答案】5#0#4#7
2011
3的个位数字是 _ ___.
【分析】3n（n正整数）的个位数字是以3、9、7、1这4个数字为周期循环出现的，当n=2011
3的个位数字是7.
时，因为2011÷4=502……3，所以2011
【答案】7
【技巧】一个数的n次方的个数数，就是这个数的个位数字的n次方的个位数；找到其中个位数字的周期规律，是解答这类题目的关键.
6.（1，2）（数学#初中#竞赛#初中竞赛#数学竞赛#初中数学竞赛#整数#填空题）
【标准答案】6#0#4#37
一个自然数与13的和是5的倍数，与13的差是6的倍数，则满足条件的最小自然数是_____. 【分析】假设这个数为x，根据题意设x+13=5a，x-13=6b，其中a,b为整数，且a≥3，b≥0.因为x-13=6b≥0，所以x是不小于13的奇数；而且x和13的和是5的倍数，所以x的个位数字是7，显然17、27不符合题意.当x=37的时候，符合题意.
【答案】37
【技巧】两个数的差是偶数，那么两个数的奇偶性是相同的；5的倍数的个位数字是0或5. 【易错点】容易忽视题目限制“最小自然数”而致错.
7.（3，4）（数学#初中#竞赛#初中竞赛#数学竞赛#初中数学竞赛#整数#解答题）
【标准答案】7#0#0
23个不同的正整数的和是4845，问：这23个数的最大公约数可能达到的最大的值是多少？写出你的结论，并说明理由.
【分析】可将这个公约数先设出来，然后列式分析，根据其范围求得最大值.
【详解】设这23个彼此不同的正整数为a 1，a 2，…，a 23，并且它们的最大公约数是d ，则a 1=db 1 ，a 2=db 2 ，a 3=db 3，…a 23=db 23，依题意，有4845=a 1+a 2+…+a 23=d(b 1+ b 2+…+b 23).因为b 1，b 2，b 3，…，b 23也是彼此不等的正整数，所以b 1+b 2+b 3+…+b 23≥1+2+…+23=276. 因此4845 = d(b 1 +b 2+…十b 23)≥276d ， 所以≤=4845
51d 1792
276. 又因为4845=19×17×15，因此d 的最大值可能是17.
当a 1= 17，a 2 =17×2，a 3= 17×3，…，a 22 =17× 22时，得 a 1 + a 2 + a 3 + … + a 23 = 17 ×(1+ 2 + 3 + … + 22) = 17×253= 4301，a 23 = 4845-4301=544=17× 32，而(a1 ，a2 ， a3，…，a23)=17，所以d 的最大值等于17.
【技巧】要使最大公约数越大，就要使每个数除了最大公约数外的因数越小.
8.（3，4）（数学#初中#竞赛#初中竞赛#数学竞赛#初中数学竞赛#整数#解答题）
【标准答案】8#0#0
求证：（1）奇数的平方被8除余1；
（2）请你进一步证明：2006不能表示为10个奇数的平方之和.
【详解】证明：（1）假设这个数为x =2n+1，n 为整数；那么有2x =(2n+1)2=4n(n+1)+1，n 与n+1中必有一个为偶数，所以4n （n+1）被8整除.
（2）由上面结论可知，每个奇数的平方和除以8余1，8个奇数的平方和被8整除，10个奇数的平方和除以8余2.但2006除以8余6.因此2006不能表示成10个奇数的平方和.
【技巧】把这个数用代数式表示出来，再进行分析.
【易错点】在证明过程中，我们要利用因式分解，再合并同类项，从而推出被8整除，这个题目如果没有证明的第一部分，容易只证到这个数被4除余1.
9.（3，4）（数学#初中#竞赛#初中竞赛#数学竞赛#初中数学竞赛#整数#解答题）
【标准答案】9#0#0
已知k ，a ，b 为正整数，k 被2a ，2b 整除所得的商分别为m ，m+116.
（1）若a ，b 互质，求证：22a b -与2a ，2
b 都互质；
（2）当a ，b 互质时，求k 的值.
【详解】（1）证明：设s 为22a b -与2a 的最大公约数，则222a b cs a ds -==，，c 、d 正整数.于是2222()()a a b b d c s --==-，可见s 是2b 的约数；因为a ，b 互质，所以2a 与2b 也互质；s 是2a 与2b 共同的约数，所以s=1；所以22a b -、2a 互质.
同理可证22a b -与2b 互质.
（2）因为22(116)k ma m b ==+，所以222
()116m a b b -=（a ＞b ）；又因为a ，b ，m 都
是正整数，所以22b a -整除1162b ；因为22b a -与2b 互质，所以22b a -整除116，即(a+b)
（a -b ）整除116.而2921162⨯=，a +b 与a -b 具有相同的奇偶性，且0a b a b +>->，所以 a +b =29a −b =1或 a +b =2×29a −b =2. 解得 a =15b =14或 a =30b =28
. 因为a ，b 互质， 所以a = 15，b =14. m =116b 2
a −
b =784，所以2176400k ma == 【技巧】证明两个数互质，可以先假设两个数的最大公约数，得到最大公约数为1，两个数即互质.。