保险精算学课件3
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保险精算与寿险精算PPT(37张)
四、保险费率厘定的一般方法
实务中确定保险费率的方法主要有观察法、分类 法和增减法。
（一）观察法
观察法又被称为个别法或判断法，它就某一被保 危险单独厘定出费率，在厘定费率的过程中保险 人主要依据自己的判断。之所以采用观察法，是 因为保险标的的数量太少，无法获得充足的统计 资料来确定费率。
出现的概率为Pn。用
MHale Waihona Puke 来表示事件在n次实验中发n
生的次数，则依据泊松大数法则有：对于任意的ε
＞0，下式成立：
ln iP m M nnp1p2n pn 1
泊松大数法则的意思是说：当实验次数无限增加时
结果所得的比率将无限接近。
大数法则总结：
最有意义的结论是：当保险标的的数量足 够大时，通过以往统计数据计算出来的估 计损失概率与实际概率的误差将很小。
M AE C E
其中，M—调整因素，即保险费应调整的百分比；A—实 际损失比率；E—预期损失比率；C—信赖因素。对于许 多具体业务来说，费率的调整比费率的计算更重要。采用 上面的公式来决定费率调整的百分比，关键在于确定信赖 因素C的大小。信赖因素的大小，表示经验期间所取得的 数据的可信赖程度。客观地确定信赖因素的大小，也是非 寿险精算的内容之一。
表程度。稳定系数愈低，则保险经营稳定性愈高；反之，
稳定系数愈高，则保险经营稳定性愈低。对稳定系数低的，
附加的均方差就可小些；反之，对高风险的险种，其保额
损失率所附加的均方差就应该大一些。
二、保险附加费率的确定 附加费率是纯费率的附加部分。按附加费率收取的保险费，
主要用于支付保险人的经营管理费用，主要包括代理手续 费、雇员工资、办公楼租金及办公设备、单据印刷费、通 讯费、广告费和各种税金，同时还包括保险人的合理预期 利润。其计算方法是根据以往年度各项费用的总额加上预 期利润除以同期的纯保费收入总额。可以用公式表示如下： 附加费率＝(各项费用总额＋预期利润)／纯保费收入总 额×100％ 附加费率除按上述公式计算外，还可以根据经验按纯费率 的一定比例确定。 三、保险毛费率的确定 毛费率即习惯上所说的保险费率，是纯费率和附加费率之 和，公式表示为： 毛费率＝纯费率×(1＋附加费率)
保险精算学3-生命表
2、分类
按照计算死亡率的资料来源不同：
国民生命表：源于人口普查资料，反映一个特 定时期内全国人口的寿命分布情况。
经验生命表：源于寿险公司的承保经验，反映 被保险人群的寿命分布情况。
经验生命表的分类
按应用范围不同：
寿险生命表vs年金生命表
按性别不同：
男性生命表vs女性生命表
按统计范围不同
第三章 生命表
英汉单词对照
死亡年龄
Age-at-death
生命表
Life table
剩余寿命
Time-until-death
整数剩余寿命 Curtate-future-lifetime
死亡效力
Force of mortality
极限年龄
Limiting ate
选择与终极生命表 Select-and-ultimate tables
3、lx：从初始年龄0岁到满x岁还生存的人数。
二、生命表中的各类概率
1、qx：x岁的人在x~x+1岁之间死亡的概率。
2、tqx：x岁q的x 人d在lxx x~lxx +lxltx岁1 之间死亡的概率。
3、px：x岁的t qx人在tldx1x 年 后lx 仍lxlx生t 存的概率。
4、tpx：x岁的px人 1到xq+x t岁llx仍x1 生存的概率。
dx列：各年龄间的死亡人数。
o
e
x
列：x岁人的余命的平均值。
三、用途和分类
1、用途：
生命表是过去经验的总结，而在寿险中，保 险金的给付、责任准备金的提取、保单现金 价值的估计、保单红利的分配都与被保险人 的死亡率息息相关，因此反映了被保险人生 命规律的生命表对于寿险经验有着非常重要 的作用。
《保险精算学》课件
总结词
准备金的管理策略包括静态管理、动态管理以及风险管理等 。
详细描述
静态管理是指基于历史数据和当前市场环境确定准备金的数 额；动态管理则是根据市场变化和公司经营状况调整准备金 的数额；风险管理则强调通过建立风险管理体系来降低准备 金的风险。
05
保险风险管理与控制
风险识别与分类
风险识别
识别潜在的风险因素，分析风险发生 的可能性和影响程度。
识，为保险行业的决策提供了更加全面和精确的依据。
02
保险精算的基本原理
概率论基础
随机变量
表示随机事件的数 值结果。
期望值
随机变量的平均值 。
概率
描述随机事件发生 的可能性。
概率分布
描述随机变量取值 的概率规律。
方差
衡量随机变量取值 分散程度的指标。
统计推断
参数估计
根据样本数据推断总体参数的方法。
保险人用于赔付损失的资金。
附加保费确定
附加保费包括经营费用、预期利 润等，是保险人在纯保费基础上
额外收取的费用。
保险费率分类
保险费率可分为单一费率和分类 费率，单一费率适用于相同风险 的多个被保险人，分类费率则根 据被保险人的不同风险等级收取
不同费率。
附加费用的确定
01
02
03
初始费用
初始费用是保险合同签订 时收取的一次性费用，用 于覆盖保险公司的初期成 本。
再保险业务精算案例
比例再保险精算案例
以某保险公司的比例再保险业务为例， 介绍如何根据原保险业务的风险和损失 情况，确定再保险的比例和保费。
VS
非比例再保险精算案例
以某保险公司的非比例再保险业务为例， 介绍如何根据原保险业务的风险和损失情 况，确定再保险的限额和保费。
保险精算学课件_ntu
描述性统计：描 述数据的分布特 征，如均值、中 位数、众数等
推断性统计：通 过样本数据推断 总体特征，如假 设检验、回归分 析等
风险理论：研究 风险事件的发生 概率和损失程度， 如风险函数、风 险度量等
精算模型：建立 数学模型来预测 保险产品的保费、 赔付等，如生命 表、疾病发生率 模型等
损失分布：描述保险事故发生频率和损失程度的概率分布 损失分布模型：常用的损失分布模型有泊松分布、正态分布、指数分布等 损失分布估计：通过历史数据估计损失分布的参数 损失分布预测：利用损失分布模型预测未来损失的分布情况
信用保险：计算信用保险的保费和赔偿金额
财产保险：计算财产保险的保费和赔偿金额
健康保险：计算健康保险的保费和赔偿金额
责任保险：计算责任保险的保费和赔偿金额
农业保险：计算农业保险的保费和赔偿金额
养老金精算的概念：养老金精算是指对养老金进行精算，以确定养老金的支付方式和金额。
养老金精算的应用领域：养老金精算广泛应用于养老保险、企业年金、职业年金等领域。
风险管理：全球化带 来的风险增加，需要 保险精算师进行更精 确的风险评估和管理
技术发展：全球化促 进了保险精算技术的 创新和发展，如大数 据、人工智能等在保 险精算中的应用
气候变化和自然灾害：对保 险精算提出新的挑战
大数据技术的应用：提高精 算准确性，预测风险
人工智能和机器学习的应用： 提高精算效率，降低成本
汇报人：
精算软件分类：寿险、财险、健康险等 精算软件功能：风险评估、定价、准备金评估等 精算软件操作流程：数据输入、模型选择、结果输出等 精算软件应用案例：寿险定价、财险准备金评估等
案例背景：某保险公司推出一款新型保险产品 精算师角色：评估产品风险和收益，制定保费和保额 精算模型：使用精算模型进行风险评估和定价 实践操作：精算师根据模型结果，制定产品策略和销售计划
《保险精算简介》课件
生命表
根据大量人口统计数据编制的，反映不同年龄和性别的人群 死亡率水平的表格。
风险模型的建立与评估
风险识别
识别潜在的风险因素，为 建立风险模型提供基础数 据。
风险量化
对识别出的风险进行量化 和评估，确定风险大小和 可能造成的损失。
风险控制
采取措施降低风险发生概 率和减少潜在损失。
保费计算与调整
保费计算
THANKS
感谢观看
总结词
保费定价的公平性和竞争性是保险精算 的重要考虑因素，需要平衡保险公司和 消费者的利益。
VS
详细描述
在制定保费时，保险精算师需要考虑公平 性和竞争性问题。过高的保费可能导致消 费者负担过重，过低的保费则可能影响保 险公司的偿付能力。因此，保险精算师需 要在保费定价时进行权衡和取舍。
准备金评估的透明度与监管问题
风险模型的适用性问题
总结词
不同的风险模型适用于不同的保险产品和风险类型，选择合适的风险模型对于保险精算 是至关重要的。
详细描述
在实践中，保险精算师需要根据具体的保险产品和风险类型选择合适的风险模型。然而 ，由于风险模型的假设和局限性，其适用性可能会受到限制，导致精算结果出现偏差。
保费定价的公平性与竞争性问题
财产保险精算有助于保险公司降低风险、提高盈利能力。
再保险精算
再保险精算是对再保险合同的评 估和定价进行的研究。
精算师在再保险业务中负责评估 分出公司的风险，制定再保险费 率和分保条件，以保障分出公司
和再保险公司双方的利益。
再保险精算对于维护保险市场的 稳定和促进再保险业务的发展具
有重要意义。
投资与风险管理
未到期责任准备金
为应对未来可能发生的未到期 保险责任而提取的准备金。
根据大量人口统计数据编制的，反映不同年龄和性别的人群 死亡率水平的表格。
风险模型的建立与评估
风险识别
识别潜在的风险因素，为 建立风险模型提供基础数 据。
风险量化
对识别出的风险进行量化 和评估，确定风险大小和 可能造成的损失。
风险控制
采取措施降低风险发生概 率和减少潜在损失。
保费计算与调整
保费计算
THANKS
感谢观看
总结词
保费定价的公平性和竞争性是保险精算 的重要考虑因素，需要平衡保险公司和 消费者的利益。
VS
详细描述
在制定保费时，保险精算师需要考虑公平 性和竞争性问题。过高的保费可能导致消 费者负担过重，过低的保费则可能影响保 险公司的偿付能力。因此，保险精算师需 要在保费定价时进行权衡和取舍。
准备金评估的透明度与监管问题
风险模型的适用性问题
总结词
不同的风险模型适用于不同的保险产品和风险类型，选择合适的风险模型对于保险精算 是至关重要的。
详细描述
在实践中，保险精算师需要根据具体的保险产品和风险类型选择合适的风险模型。然而 ，由于风险模型的假设和局限性，其适用性可能会受到限制，导致精算结果出现偏差。
保费定价的公平性与竞争性问题
财产保险精算有助于保险公司降低风险、提高盈利能力。
再保险精算
再保险精算是对再保险合同的评 估和定价进行的研究。
精算师在再保险业务中负责评估 分出公司的风险，制定再保险费 率和分保条件，以保障分出公司
和再保险公司双方的利益。
再保险精算对于维护保险市场的 稳定和促进再保险业务的发展具
有重要意义。
投资与风险管理
未到期责任准备金
为应对未来可能发生的未到期 保险责任而提取的准备金。
寿险精算学课件-(3)精选全文
费用分类
成分
投资费用
（1）投资分析成本（2）购买、销售及服务成本
1、新契约费 （1）销售费用，包括代理人佣金及宣传广告费（2）风
保
险分类，包括体检费用（3）准备新保单及记录
险 2、维持费 （1）保费收取及会计
费
（2）给付变更及理陪选择权准备
用
（3）与保单持有人进行联络
3、营业费用 （1）研究、开发新险种费用（2）精算及一般法律服务 （3）普通会计（4）税金、许可证等费用
0
Ax
P( Ax )ax
0
P( Ax )
Ax ax
方差确定
Var(L)
Var[vt
P(
Ax
)
1
v d
k
1
]
Var[v(k 1)(s1)
P
(
Ax
)
1
v d
k
1
]
Var[(vs1 P( Ax ) )vk1] d
记Z s
vs1
P( Ax d
)
，Z
k
vk 1
由于分数剩余寿命和整值剩余寿命相互独立，
(
Z
k
)
方差的确定
终身寿险场合有
E
(Z
2 k
)
2 Ax，Var(Zk
)
2 Ax
-
Ax
2
在分数期死亡服从均匀分布的假定下，有
E(Zs )
E
v
s-1
P( Ax )
d
i
P( Ax ) d
Var(Zs
)
Var
v
s-1
P( Ax d
)
Var (v s -1 )
保险精算原理.课件
2023
PART 06
保险精算的前沿问题与发 展趋势
REPORTING
人工智能在保险精算中的应用
1
人工智能技术为保险精算提供了更高效、准确的 模型和算法，用于风险评估、定价和赔付处理等 环节。
2
通过机器学习和深度学习技术，保险公司能够更 快速地处理大量数据，提高风险识别和预测的准 确性。
3
人工智能在保险精算中的应用还包括自动化核保、 智能客服和反欺诈等方面，有助于提升客户体验 和降低运营成本。
保险精算的实务应用
REPORTING
人寿保险精算实务
Байду номын сангаас
人寿保险精算概述
人寿保险精算是一门应用数 学和统计学的学科，用于评 估和预测人寿保险业务的风 险。
人寿保险产品类型
包括定期寿险、终身寿险、 两全保险和年金保险等，每 种产品类型都有其特定的精 算假设和评估方法。
死亡率分析
精算师通过对死亡率的分析， 预测未来死亡率的变化趋势， 为保险产品的定价和准备金 的提取提供依据。
保险精算师
具备保险精算知识和技能的专业人士， 负责制定保险产品的费率、准备金、 赔付金额等关键参数。
保险精算的重要性
风险评估与控制
保险精算通过对风险进行定量评 估，帮助保险公司制定合理的保 费和赔付策略，降低经营风险。
产品定价
保险精算师根据风险评估结果， 制定合理的保险产品价格，确保 公司盈利和客户满意度。
区块链技术为保险精算提供了去中心化、可追溯和不可篡改的数据存储和处理方式。
通过区块链技术，保险公司能够降低信息不对称和欺诈风险，提高赔付处理的透明 度和效率。
区块链技术在保险精算中的应用还包括智能合约、数字货币和跨境保险等方面，有 助于创新业务模式和拓展市场空间。
《寿险精算学(第3版)》 PPT-ch3
函数为
0 , 0 t n Zt vn ,t n
• 定期生存险趸缴净保费
A 1 x:n
E(Zt )
n
vn
fx
(t)dt
vn
n
px
• 现时值方差
Var(Zt )
A 2 1 x：n
A1 x:n
2
其中：2
A1 x:n
=
v2n
n
px
例3.4
• （30）购买10年定期生存险，10年末生存给付1。假设复 利计息，年实质利率为5%，寿命服从（0,100）的de Moivre分布。请计算：
140 ln1.05
（3）对于定期寿险而言，赔付现时值是一个分段函数，因 为 v10=1.0510 0.6139 A310:10，也就是说只要是在10年内发生理赔的 被保险人他们所缴纳的趸缴净保费都小于赔付现时值，他们 保费不足的部分是由那些活过10年，没有发生任何赔付的被 保险人补齐的，即
Pr(Zt
(
x)
1
x 100
例3.2解
,0 x 100 ，所以
f30
(t)
1 70
, 0 t 70
且已知复利计息，年实质利率为5%，则 δ = ln(1+ i) = ln1.05
所以趸缴净保费为
A30 E(Zt )
e 70 t
1
e t dt =
0 70 70
0
1
1 1.0570 =
0.2832
• 赔付现值变量是未来寿命的单调减函数。未来寿命短的被保险 人, 由于贴现时期短,赔付现值会大于平均赔付成本。 反之, 未 来寿命长的被保险人, 由于贴现时期长, 赔付现值会小于平均赔 付成本。 本例中, 收支平衡的时间点出现在未来寿命为25.8577 年的时刻点上。未来寿命长于25.8577 年的被保险人（63%） 会补贴哪些未来寿命短于25.8577年的被保险人（37%）。
保险精算简介_保险学PPT课件
利息理论：
利息可以看作借款人付给出借人资本的租金， 而利率就是指租金的价格。关于利息和利率的理论 是经济学中最基本、最核心的论题之一。
精算学中的利息理论主要介绍利息和利率的一 些基本概念，以及在年金定价、项目评估和债券定 价等方面的应用。
15
利息理论的基本概念
积累函数：考虑投资1单位的本金，我们定义其
保险公司的精算工作具体表现在所谓保险公 司精算控制循环中。
保险公司的精算控制循环是一般精算控制循 环在保险公司运作中的具体表现。
7
保险公司精算控制循环的各个环节
风险评估：在这个环节，精算师要明确在保险 商业活动中会遇到的各种风险并研究其对保险公司 影响的大小；明确各个风险之间的互相影响并给出 各个风险的定量描述。
精算师的工作范围除了保险公司外，还遍及咨 询机构、政府机构、大型企业的员工福利计划部门、 医院、银行和投资公司等所有需要研究经济风险的 部门。
2
第一节 精算和精算师职业
保险精算的起源： 1693年，哈雷发表了第一张生命表 1756年，道得森提出了均衡保费的概念 1848年，英国精算 Control Cycle）
第二种以北美和英联邦国家为代表，主要凭参加精算职 业组织举行的职业资格考试来认可精算师资格。
我们国家的精算考试体系属于上述第二种精算师资格认 可体系，也就是说，考生必须通过专门的精算职业资格考试 才能获得中国精算师资格。
13
精算师应该具有的三项基本素质
职业道德：其基本原则有：精算师应该为公众利益 服务；精算师有责任保护客户的隐私；精算师在明确自 己有足够的知识和经验后才能提供精算建议；公司、客 户和精算师本人的利益有冲突时，精算师应当向客户说 明；精算师如果违背了职业道德的要求，将受到精算职 业组织的惩罚。
利息可以看作借款人付给出借人资本的租金， 而利率就是指租金的价格。关于利息和利率的理论 是经济学中最基本、最核心的论题之一。
精算学中的利息理论主要介绍利息和利率的一 些基本概念，以及在年金定价、项目评估和债券定 价等方面的应用。
15
利息理论的基本概念
积累函数：考虑投资1单位的本金，我们定义其
保险公司的精算工作具体表现在所谓保险公 司精算控制循环中。
保险公司的精算控制循环是一般精算控制循 环在保险公司运作中的具体表现。
7
保险公司精算控制循环的各个环节
风险评估：在这个环节，精算师要明确在保险 商业活动中会遇到的各种风险并研究其对保险公司 影响的大小；明确各个风险之间的互相影响并给出 各个风险的定量描述。
精算师的工作范围除了保险公司外，还遍及咨 询机构、政府机构、大型企业的员工福利计划部门、 医院、银行和投资公司等所有需要研究经济风险的 部门。
2
第一节 精算和精算师职业
保险精算的起源： 1693年，哈雷发表了第一张生命表 1756年，道得森提出了均衡保费的概念 1848年，英国精算 Control Cycle）
第二种以北美和英联邦国家为代表，主要凭参加精算职 业组织举行的职业资格考试来认可精算师资格。
我们国家的精算考试体系属于上述第二种精算师资格认 可体系，也就是说，考生必须通过专门的精算职业资格考试 才能获得中国精算师资格。
13
精算师应该具有的三项基本素质
职业道德：其基本原则有：精算师应该为公众利益 服务；精算师有责任保护客户的隐私；精算师在明确自 己有足够的知识和经验后才能提供精算建议；公司、客 户和精算师本人的利益有冲突时，精算师应当向客户说 明；精算师如果违背了职业道德的要求，将受到精算职 业组织的惩罚。
保险精算课件 第3章寿险精算现值
所以
●
赔付现值随机变量的方差：
2 2 Var ( Z ) E ( Z ) [ E ( Z )]
E ( Z ) v
2 k 0
2
2 ( k 1 ) k x
q e
k 0
2( k 1 ) k x
q
E ( Z ) 相当于以计算趸缴净保费利息力
的两倍计算的趸缴净保费。
Z的方差为
V ( Z ar ) E ( Z ) [ E ( Z )] A ( A )
2 2 2 x
2 x
其中
2
AE ( Z ) e p d t x t x x t
2 2 t 0
例：设(x)投保终身寿险，保险金额为1元， 保险金在死亡即刻赔付，利息力为 0.03 ， 签单时，(x)的剩余寿命的密度函数为
记 有
2
A E ( Z) x
2
2 2
Var ( Z ) A ( A ) x x
赔付现值随机变量的方差反映赔付现值 随机变量的变动幅度，用于衡量保险公司承 担的赔付风险程度。
2.定期寿险
对(x) 的1单位元死亡年末赔付n年定期寿险， 其现值随机变量为
k 1 v , k 0 , 1 ,2 , ,n 1 Z , k n ,n 1 , 0
例3: 设（35）投保5年两全保险，保险
金额为1万元， 保险金死亡年末给付， 按附表1示例生命表计算其趸缴纯保费。
A3 5 : 5 A
4
1 35 : 5
A
k 4
1 35 : 5 5 5
v
k 0
k 1
q 35 v
k 1
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0 . 04 e
0 . 04 t
dt
0 . 54
例4.3
在De Moivre假定下，
100 , 0 .05 , x 30
计算：终身连续生存年金精算现值及方差
a 30 , Var (Y )
例4.3答案
70 70
(1) a 30 or
70
a t f T (t ) dt
n
0
a t t p x x t dt a n n p x
当期支付技巧
a x： v n
0 n t t
p x dt
相关公式及理解
（1） a x ： E (Y ) E ( n 1 zt
)
1
(1 A x ： ) n
1 a x A x： n
第四章 生存年金
本章结构
生存年金简介 与生存相联的一次性支付 连续生存年金 离散生存年金 年h次支付生存年金 等额年金的计算基数公式
第四章中英文单词对照
生存年金 初付年金 延付年金 确定性年金 当期支付技巧 综合支付技巧
Life annuity Annuities-due Annuities-immediate Annuities-certain Current payment technique Aggregate payment technique
Ex Ex
E xt
年龄
n
x
Ex
x+t
n t
E xt
现时值
t
1
Ex
x+n 1 S
1
第三节
连续生存保险
简介
连续生存年金的定义
在保障时期那，以被保险人存活为条件，连续支付 年金的保险 终身连续生存年金/定期连续生存年金 综合支付技巧：考虑年金在死亡或到期而结束时的 总值 当期支付技巧：考虑未来连续支付的现时值之和
连续生存年金的种类
连续生存年金精算现值的估计方法
终身连续生存年金精算现值的估计一 ——综合支付技巧
步骤一：计算到死亡发生时间T为止的所有已支 付的年金的现值之和
aT 1 v
T
步骤二：计算这个年金现值关于时间积分所得的 年金期望值，即终身连续生存年金精算现值，
a x E ( aT )
m
a x a x :m n a x :m
m
E x axm ( Ax :m Ax )
E x a x m :n ( Ax :m Ax :m n )
1
1
例4.5（例4.3,4.4续）
在De Moivre假定下，
100 , 0 .05 , x 30
Pr( K k )
a
k 0
k 1
k
qx
相关公式
1 v K 1 1 Ax 1 1) a x E [ a K 1 ] E E[ zk ] d d d 1 v K 1 1 K 1 ] Var 2) Var [ a 2 Var [ z k ] d d
离散生存年金与连续生存年金的关系
离散生存年金的分类
初付终身生存年金
当期支付技巧
ax
k
Ex
k 0
v
k 0
k 1
k
px
1 lx
v
k 0
k 1
lxk
综合支付技巧
a
k 0 k 1
a x E [ a K 1 ]
a 30:30
例4. 4答案
30 30 30
a 30:30
a t f T (t ) dt a 30
0
p 30
0
1 e
0 . 05 t
1 70
0 . 05
dt
1 e
0 . 05 30
40 70
13 . 01
or
30 30 t t
a 30:30 v
0 70 t
0
1 e
0 . 05 t
1 70
0 . 05
dt
1 0 . 05
1 e
0 . 05 70 2
0 . 05 70
14 . 458
A30 a 30
v f T (t ) dt
0
e
0
0 . 05 t
1 70
dt
1 e
0 . 05 70
E 25 10000 1 . 025
40
相关公式及意义
(1) l x n E x (1 i ) l x n
n
(2) S
n
1 Ex
1 v n px
n
(1 i )
t n
n
lx lx n 1
n t
(3) n E x t E x n t E x t
（2） Var (Y ) Var ( 1 zt ) 1 1 Var ( z t )
2
2
2 2
Var ( a T )
[ A x :n ( A x :n ) ]
例4.4（例4.3续）
在De Moivre假定下，
100 , 0 .05 , x 30
计算：30年定期生存年金精算现值及方差
0 . 05 70
0 . 277
1 A30
1 0 . 277 0 . 05
14 . 458
例4.3答案
(2)
70 2 70 2t
A30
v
0
f T ( t )dt
e
0 2
0 .1t
1 70
dt
1 e
7
70 0 . 1
0 . 1427269
Var ( Z ) A30 ( A30 ) 0 . 1427269 0 . 277
计算：30年定期生存年金精算现值及方差
30
a 30
例4. 5答案
30
a 30 a 30 a 30:30 14 . 458 13 . 01 1 . 45 or
70 70 t t
30
a 30
v
30
p 30 dt
e
30
0 . 05 t
70 t 70
dt 1 . 45
都是间隔一段时间支付一次的系列付款 确定性年金的支付期数确定 生存年金的支付期数不确定（以被保险人生存为条 件）
生存年金与确定性年金的联系
生存年金与确定性年金的区别
生存年金的用途
被保险人保费交付常使用生存年金的方式 某些场合保险人保险理赔的保险金采用生 存年金的方式，特别在：
0
p 30 dt
e
0
0 . 05 t
70 t 70
dt 13 . 01
or
30 30 t
A30:30 a 30:30
v
0
f T ( t ) dt v
30 30
p 30
e
0
0 . 05 t
1 70
dt e
0 . 05 30
40 70
0 . 35
2
( 0 . 25 0 . 16 ) 25
Var [ a T ] 5
例4.2答案
（3） Pr( a T a x ) Pr( 1 e
0 . 06 T
0 . 06 ln 0 . 4 Pr( T ) 0 . 06
10 )
ln 0 . 4 0 . 06
6 . 97
思考题：本题可以用 ax
1 Ax d
做吗？
初付定期生存年金
当期支付技巧
a x :n
n 1 k
Ex
k 0
v
k 0
n 1
k 1
k
px
1 lx
v
k 0
n 1
k 1
lxk
综合支付技巧
a K 1 , K 0,1, , n 1 Y ,K n an a x E [Y ] a
n
例4.1
计算25岁的男性购买40年定期生存险的趸 缴纯保费。已知 p 0 .78765825
40 25
假定i＝6％ 假定i＝2.5％
40 40
(1)10000 (1)10000
E 25 10000 1 . 06
40
0 . 78765825 765 . 78 0 . 78765825 2933 . 48
0
a T f T ( t ) dt
相关公式
（1） a x E ( a T )
0
a T f T ( t ) dt
1 v
t
1 v
t t
0
)
p x x t dt