2019年北京市初三一模数学-几何综合专题(教师版)

2019一模几何综合专题

一、旋转变换

1.（等边三角形+对称＋旋转）(2019通州一模27)如图，在等边ABC △中，点D 是线段BC 上一点.作射

线AD ，点B 关于射线AD 的对称点为E .连接CE 并延长，交射线AD

（1）设BAF α∠=，用α表示BCF ∠的度数；

（2）用等式表示线段AF 、CF

、EF 之间的数量关系，并证明. 解：（1）连接AE . ∵点B 关于射线AD 的对称点为E ，

∴AE =AB ，BAF EAF α∠=∠=∵ABC △是等边三角形， ∴AB AC =，60BAC ACB ∠=∠=︒. ∴602EAC α∠=︒-，AE AC =. 1分

∴()1

180602602

ACE αα∠=︒-︒-=︒+⎡⎤⎣⎦. ∴6060BCF ACE ACB αα∠=∠-∠=︒+-︒=. ……………… 2分

另解：借助圆. （2）AF EF CF -=

证明：如图，作60FCG ∠=︒交AD 于点G ，连接BF . ……………… 3分 ∵BAF BCF α∠=∠=，ADB CDF ∠=∠， ∴60ABC AFC ∠=∠=︒. ∴△FCG 是等边三角形.

∴GF = FC . ……………… 4分 ∵ABC △是等边三角形，

∴BC AC =，60ACB ∠=︒. ∴ACG BCF α∠=∠=.

在△ACG 和△BCF 中，

CA CB ACG BCF CG CF =⎧⎪

∠=∠⎨⎪=⎩

，，

， ∴△ACG ≌△BCF .

∴AG BF =. ……………… 5分 ∵点B 关于射线AD 的对称点为E ， ∴BF EF =. ……………… 6分 ∴AF AG GF -=.

∴AF EF CF -=. ……………… 7分

另一种证法：作60FAH ∠=︒交FC 的延长线于点H ，连接BF .

2.（等边三角形＋旋转）(2019平谷一模27)在△ABC中，∠ABC=120°，线段AC绕点A逆时针旋转60°得到线段AD，连接CD，BD交AC于P．

（1）若∠BAC=α，直接写出∠BCD的度数（用含α的代数式

表示）；

（2）求AB，BC，BD之间的数量关系；

（3）当α=30°时，直接写出AC，BD的关系．

解：（1）∠BCD=120°－α． ······························································

（2）解：

方法一：延长BA使AE=BC，连接DE． (2)

由（1）知△ADC是等边三角形，

∴AD=CD．

∵∠DAB+∠DCB=∠DAB+∠DAE=180°，

∴∠DAB=∠DAE．

∴△ADE≌△CDB． (3)

∴BD=BE．

∴BD=AB+BC． (4)

方法二：延长AB使AF=BC，连接CF． (2)

∠BDC=∠ADE．

∵∠ABC=120°，

∴∠CBF=60°．

∴△BCF是等边三角形．

∴BC=CF．

∵∠DCA=∠BCF=60°，

∴∠DCA+∠ACB=∠BCF+∠ACB．

即∠DCB=∠ACF．

∵CA=CD，

∴△ACF≌△DCB． (3)

∴BD=AF．

∴BD=AB+BC． (4)

（3）AC，BD的数量关系是：AC ； (5)

位置关系是：AC⊥BD于点P． (6)

H O D

C

B

A

3.（等边三角形＋旋转）(2019延庆一模27).已知：四边形ABCD 中，120ABC ∠=︒，60ADC ∠=︒，AD =CD ，对角线AC ，BD

相交于点O ，且BD 平分∠ABC ，过点A 作AH BD ⊥，垂足为H ． （1）求证：ADB ACB ∠=∠；

（2）判断线段BH ，DH ，BC 之间的数量关系；并证明．

解：（1）证明：∵∠ADC =60°，DA=DC

∴△ADC 是等边三角形． ……1分 ∴∠DAC =60°,AD=AC ． ∵∠ABC=120°,BD 平分∠ABC ∴∠ABD=∠DBC =60°．

∴∠DAC =∠DBC =60° ∵∠AOD =∠BOC

∠ADB=180°- ∠DAC -∠AOD

∠ACB=180°- ∠DBC -∠BOC

∴∠ADB=∠ACB ……3分

（2）结论：DH=BH+BC ……4分 证明：在HD 上截取HE=HB ……5分

∵AH ⊥BD

∴∠AHB=∠AHE =90° ∵AH =AH

∴△ABH ≌△AEH ∴AB=AE, ∠AEH=∠ABH =60° ……6分 ∴∠AED=180°-∠AEH=120° ∴∠ABC=∠AED=120° ∵AD=AC, ∠ADB=∠ACB ∴△ABC ≌△AED

∴DE=BC ……7分 ∵DH=HE+ED

∴DH=BH+BC ……8分

4.（等边三角形+旋转）(2019密云一模27)已知ABC ∆为等边三角形，点D 是线段AB 上一点（不与A 、B 重合）.将线段CD 绕点C 逆时针旋转60︒得到线段CE.连结DE 、BE. （1）依题意补全图1并判断AD 与BE 的数量关系.

（2）过点A 作AF EB ⊥交EB 延长线于点F.用等式表示线段EB 、DB 与AF 之间的数量关系并证明.

27.（1）补全图形

AD 与BE 的数量关系为AD=BE .................................2分

（2）

∵∠ACB=∠DCE= 60°, ∴∠ACD=∠BCE 又∵AC=BC,CD=CE ∴△ACD ≌△BCE

∴AD=BE, ∠CBE=∠CAD=60°

∴∠ABF=180°-∠ABC-∠CBE=60° 在Rt AFB ∆

中，

3

2

AF AB = ∴BE+BD=3

2

AB

.................................7分

图2

D C

B

A

图1

A B C

D D

E

B

A