最新精编高中人教版必修二高中数学第二章点、直线、平面之间的位置关系学业分层测评12和答案

学业分层测评(十二)
(建议用时：45分钟)
[达标必做]
一、选择题
1．下列条件中，能使直线m⊥平面α的是( )
A．m⊥b，m⊥c，b⊥α，c⊥αB．m⊥b，b∥α
C．m∩b＝A，b⊥αD．m∥b，b⊥α
【解析】由线线平行及线面垂直的判定知选项D正确．
【答案】 D
2．如图2­3­8，三棱锥P­ABC中，PA⊥AB，PA⊥BC，则直线PB和平面ABC 所成的角是( )
图2­3­8
A．∠BPA B．∠PBA
C．∠PBC D．以上都不对
【解析】由PA⊥AB，PA⊥BC，AB∩BC＝B，
得PA⊥平面ABC，
所以∠PBA为BP与平面ABC所成的角．故选B.
【答案】 B
3．已知直线m，n是异面直线，则过直线n且与直线m垂直的平面( )
【导学号：09960073】A．有且只有一个B．至多一个
C．有一个或无数个D．不存在
【解析】若异面直线m、n垂直，则符合要求的平面有一个，否则不存在．【答案】 B
4．在正方体ABCD­A1B1C1D1中，BB1与平面ACD1所成角的余弦值为( )
A.23
B.33
C.23
D.63
【解析】 如图所示，连接BD 交AC 于点O ，连接D 1O ，由于BB 1∥DD 1，∴DD 1与平面ACD 1所成的角就是BB 1与平面ACD 1所成的角．易知∠DD 1O 即为所求．设正方体的棱长为1，则DD 1＝1，DO ＝22，D 1O ＝6
2
，
∴cos ∠DD 1O ＝DD 1D 1O ＝26＝6
3
.
∴BB 1与平面ACD 1所成的角的余弦值为6
3.
【答案】 D
5．(2015·成都高二检测)已知ABCD ­A 1B 1C 1D 1为正方体，下列结论错误的是( )
A ．BD ∥平面C
B 1D 1 B ．A
C 1⊥B
D C ．AC 1⊥平面CB 1D 1
D ．AC 1⊥BD 1
【解析】 正方体中由BD ∥B 1D 1，易知A 正确；
由BD ⊥AC ，BD ⊥CC 1可得BD ⊥平面ACC 1， 从而BD ⊥AC 1，即B 正确；
由以上可得AC 1⊥B 1D 1，同理AC 1⊥D 1C ， 因此AC 1⊥平面CB 1D 1，即C 正确；
由于四边形ABC 1D 1不是菱形，所以AC 1⊥BD 1不正确．故选D. 【答案】 D 二、填空题
6．(2016·太原高一检测)如图2­3­9，平面α∩β＝CD ，EA ⊥α，垂足为A ，
EB ⊥β，垂足为B ，则CD 与AB 的位置关系是________．
图2­3­9
【解析】 ∵EA ⊥α，CD ⊂α，
根据直线和平面垂直的定义，则有CD ⊥EA . 同样，∵EB ⊥β，CD ⊂β，则有EB ⊥CD . 又EA ∩EB ＝E ， ∴CD ⊥平面AEB .
又∵AB ⊂平面AEB ，∴CD ⊥AB . 【答案】 CD ⊥AB
7．如图2­3­10所示，PA ⊥平面ABC ，在△ABC 中，BC ⊥AC ，则图中直角三角形的个数有________．
图2­3­10
【解析】
⎭⎪
⎬⎪
⎫PA ⊥平面ABC BC ⊂平面ABC ⇒
⎭
⎪⎬⎪
⎫PA ⊥BC
AC ⊥BC PA ∩AC ＝A ⇒BC ⊥平面PAC ⇒BC ⊥PC ，
∴直角三角形有△PAB、△PAC、△ABC、△PBC.
【答案】 4
三、解答题
8．如图2­3­11，四边形ABCD为矩形，AD⊥平面ABE，F为CE上的点，且BF⊥平面ACE.求证：AE⊥BE.
图2­3­11
【证明】∵AD⊥平面ABE，AD∥BC，
∴BC⊥平面ABE.
又AE⊂平面ABE，∴AE⊥BC.
∵BF⊥平面ACE，AE⊂平面ACE，∴AE⊥BF.
又∵BF⊂平面BCE，BC⊂平面BCE，BF∩BC＝B，
∴AE⊥平面BCE.
又BE⊂平面BCE，∴AE⊥BE.
9．如图2­3­12所示，三棱锥A­SBC中，∠BSC＝90°，∠ASB＝∠ASC＝60°，SA＝SB＝SC.求直线AS与平面SBC所成的角．
【导学号：09960074】
图2­3­12
【解】因为∠ASB＝∠ASC＝60°，SA＝SB＝SC，
所以△ASB与△SAC都是等边三角形．因此AB＝AC.
如图所示，取BC的中点D，
连接AD，SD，则AD⊥BC.
设SA＝a，则在Rt△SBC中，BC＝2a，CD＝SD＝2 a.
在Rt△ADC中，AD＝AC2－CD2＝
2 2 a.
则AD2＋SD2＝SA2，所以AD⊥SD.
又BC∩SD＝D，所以AD⊥平面SBC.
因此∠ASD即为直线AS与平面SBC所成的角．
在Rt△ASD中，SD＝AD＝
2
2 a，
所以∠ASD＝45°，
即直线AS与平面SBC所成的角为45°.
[自我挑战]
10．(2015·淮安高二检测)如图2­3­13，四棱锥S­ABCD的底面ABCD为正方形，SD⊥底面ABCD，则下列结论中正确的有________个．
图2­3­13
①AC⊥SB；
②AB∥平面SCD；
③SA与平面ABCD所成的角是∠SAD；
④AB与SC所成的角等于DC与SC所成的角．
【解析】因为SD⊥底面ABCD，所以AC⊥SD.
因为ABCD是正方形，
所以AC⊥BD.又BD∩SD＝D，
所以AC⊥平面SBD，所以AC⊥SB，故①正确．
因为AB∥CD，AB⊄平面SCD，CD⊂平面SCD，
所以AB∥平面SCD，故②正确．
因为AD是SA在平面ABCD内的射影，
所以SA与平面ABCD所成的角是∠SAD.故③正确．
因为AB∥CD，
所以AB与SC所成的角等于DC与SC所成的角，
故④正确．
【答案】 4
11．如图2­3­14，AB为⊙O的直径，PA垂直于⊙O所在的平面，M为圆周上任意一点，AN⊥PM，N为垂足.
【导学号：09960075】
(1)求证：AN⊥平面PBM；
(2)若AQ⊥PB，垂足为Q，求证：NQ⊥PB.
图2­3­14
【证明】(1)∵AB为⊙O的直径，
∴AM⊥BM.
又PA⊥平面ABM，∴PA⊥BM.
又∵PA∩AM＝A，∴BM⊥平面PAM.
又AN⊂平面PAM，∴BM⊥AN.
又AN⊥PM，且BM∩PM＝M，∴AN⊥平面PBM.
(2)由(1)知AN⊥平面PBM，
PB⊂平面PBM，∴AN⊥PB.
又∵AQ⊥PB，AN∩AQ＝A，∴PB⊥平面ANQ.
又NQ⊂平面ANQ，∴PB⊥NQ.。