初中培优竞赛含详细解析 第9讲 特殊方程与不定方程
初中数学竞赛资料：不定方程
第九讲 不定方程一、二元不定方程的解法。
枚举法，余数法。
二、 三元不定方程组的解法，三元不定方程的解法。
1、解下面的不定方程，求出所有自然数解(1) 4598x y += (2) 199100x y +=(3) 719213x y += (4) 14213585x y +=2、已知△和☆分别表示两个自然数,并且5537115=+∆ ,△+☆= . [分析与解答]依题意得11△+5☆=37,易知其自然数解为△=2,☆=3.所以△+☆=5.3、箱子里有乒乓球若干个,其中25%是一级品,五分之几是二级品,其余91个是三级品.那么,箱子里有乒乓球 个.[分析与解答]设箱子里共有n 个乒乓球,二级品占5a .依题意,得 n a n n =++⨯915%25 整理得 9120)415(⨯=-a n ①易知 15-4 a >0,所以a ≤3.将a=1,2,3代入①知,只有a=2符合要求,此时n=260(个).4、某班同学分成若干小组去值树,若每组植树n 棵,且n 为质数,则剩下树苗20棵;若每组植树9棵,则还缺少2棵树苗.这个班的同学共分成了 组.[分析与解答]设共分为x 组.由树苗总数可列方程2029+=-nx x22)9(=-x n因为22=1×22=2×11, n 是小于9的质数,对比上式得x=11(组).5、不定方程23732=++z y x 的自然数解是 .[分析与解答]⎪⎩⎪⎨⎧===⎪⎩⎪⎨⎧===⎪⎩⎪⎨⎧===213125142z y x z y x z y x显然z 只能取1,2,3.当z =1时,1632=+y x ,其自然数解为x=2, y=4; x =5, y=2.当z =2时,932=+y x ,其自然数解为x=3, y=1.当z =3时,232=+y x ,显然无自然数解.所以原方程的自然数解为:⎪⎩⎪⎨⎧===⎪⎩⎪⎨⎧===⎪⎩⎪⎨⎧===213125142z y x z y x z y x6、王老师家的电话号码是七位数,将前四位数组成的数与后四位数组成的数相加得9063;将前三位组成的数与后四位组成的数相加得2529.王老师家的电话号码是 .[分析与解答]8371692.设电话号码的前三位为x ,后三位y ,第四位为a (a ≠0).由题意有⎩⎨⎧=++=++25291000906310y a x y a x ①-②,化简得a x 111726+=.当a=1时, x=837, y=692;当a ≥2时, y <0,不合题意.所以电话号码为8371692.7、有三个分子相同的最简假分数,化成带分数后为87,65,32c b a.已知a ,b ,c 都小于10,a ,b ,c 依次为 , , .[分析与解答]由题意有785623+=+=+c b a .解这个不定方程,得2,3,7===c b a .8、全家每个人各喝了一满碗咖啡加牛奶,并且李明喝了全部牛奶(若干碗)的41和全部咖啡(若干碗)的61.那么,全家有 口人. [分析与解答]设全家共喝了x 碗牛奶和y 碗咖啡,依题意得:16141=+y x 整理得 1223=+y x .易得其自然数解为x=2, y=3.故共喝牛奶和咖啡2+3=5(碗).因此,全家有5口人.9、某单位职工到郊外植树,其中31的职工各带一个孩子参加,男职工每人种13棵树,女职工每人种10棵,每个孩子种6棵,他们共种了216棵树,那么其中有女职工 人.① ②[分析与解答]设有女职工x 人,男职工y 人,那么有孩子3y x +人.这个条件说明3| x + y . 由已知 216631310=⨯+++y x y x 即 7254=+y x72)(4=++y y x由12|4(x + y ),12|72.所以12| y ,又5472x y -=≤5414572=. 所以, y=12, x=3.即有女职工3人.10、将一个棱长为整数(单位:分米)的长方体6个面都涂上红色,然后把它们全部切成棱长为1厘米的小正方体.在这些小正方体中,6个面都没涂红色的有12块,仅有2面涂红色的有28块,仅有1面涂红色的有 块.原来长方体的体积是 立方分米.[分析与解答]画个示意图就不难推知:小正方体中仅两面涂色的每条棱上都有,并在同一个方向的4条棱上2面涂色的小正方体数相等,设它们分别为z y x ,,,()⎩⎨⎧==++⨯12284xyz z y x 剥去所有涂色的小块,得到上图.由上面两上算式可以推算出2,3===z y x ,仅1面涂色彩正方体有:2)232223(2)(⨯⨯+⨯+⨯=⨯⨯+⨯+⨯z x z y y x 32216=⨯=(块).原来长方体的体积为80445)2()2()2(=⨯⨯=+⨯+⨯+=z y x V (立方分米).11、李林在银行兑换了一张面额为100元以内的人民币支票,兑换员不小心将支票上的元与角、分数字看倒置了(例如,把12.34元看成34.12元),并按看错的数字支付.李林将其款花去3.50元之后,发现其余款恰为支票面额的两倍,于是急忙到银行将多领的款额退回.那么,李林应退回的款额是 元.[分析与解答]设支票上的元数与角、分数分别为x 和y ,则可列得方程)100(2350)100(y x x y +=-+,其中x ,y 为整数且0≤x ,y <100.化简方程得 35019998+=x y由此推知2x <y 且为x 偶数,其可能取值为2,4, (48)又 985633298350199+++=+=x x x y , 56≤563+x ≤20056483=+⨯所以 98563=+x 或298⨯.所以 324642==x x 或(舍去). 故42=x ,此时32=y .即李林的支票面额为14.32元,竞换时误看成32.14元,李林应退款额为32.14-14.32=17.82元.12、一队旅客乘坐汽车,要求每辆汽车的乘客人数相等,起初每辆汽车乘22人,结果剩下一人未上车;如果有一辆汽车空车开走,那么所有旅客正好能平均分乘到其它各车上.已知每辆汽车最多只能容纳32人,求起初有多少辆汽车?有多少旅客?[分析与解答]设起初有x 辆汽车,开走一辆汽车后每车乘n 人,依题意,得)1(122-⨯=+⨯x n x ,所以 123221122-+=-+=x x x n 又n , x 为整数,所以(x -1)|23,故x -1=1或23,即x=2或x=24.若x=2,则45122322=-=n 与n ≤32产生矛盾. 因此x=24或n=23,故起初有24辆汽车,有旅客22 x +1=529(名).13、小王用50元钱买40个水果招待五位朋友.水果有苹果、梨子和杏子三种,每个的价格分别为200分、80分、30分.小王希望他和五位朋友都能分到苹果,并且各人得到的苹果数目互不相同,试问他能否实现自己的愿望?[分析与解答]设苹果、梨子、杏子分别买了z y x ,,个,则⎩⎨⎧=++=++4050003080200z y x z y x 消去z 得 380517=+y x ①所以 175380y x -=由0<y <40得 176221738017538017405380171010=<-<⨯-=y 即 176********<<x 又 5|5 y ,5|380,(5,17)=1,由①得5| x .所以x=15或x=20.当x=15时, y=25, z=0,不合题意.因此x=20, y=8, z=12.因此,小王的愿望不能实现,因为按他的要求,苹果至少要有1+2+3+4+5+6=21>20个.14一次数学竞赛准备了22支铅笔作为奖品发给一、二、三等奖的学生,原计划发给一等奖每人6支,二等奖每人3支,三等奖每人2支,后来改为一等奖每人9支,二等奖每人4支,三等奖每人1支,问:获一、二、三等奖的学生各几人?[分析与解答]设获一、二、三等奖的人数分别为z y x ,,,根据题意有:⎩⎨⎧=++=++224922236z y x z y x 2×②得 4422818=++y x ③③-①得 22512=+y x ④解④求得整数解为x=1, y=2.代入②可求得z=5.练习题1、采购员用一张1万元支票去购物.购单价590元的A 种物若干,又买单价670元的B 种物若干,其中B 种个数多于A 种个数,找回了几张100元和几张10元的(10元的不超过9张).如把购A 种物品和B 种物品的个数互换,找回的100元和10元的钞票张数也恰好相反.问购A 物几个,B 物几个?[分析与解答]设买A 种物品a 个, B 种物品b 个,找回100元的m 张,10元的n 张,则有:⎩⎨⎧--=+--=+nm b a n m b a 10010100005906701010010000670590 其中b >a ,n <10.①-②得 )(9)(8m n a b -=- ③① ② ① ②所以 )(98m n -,故m n -8,由b >a ,n <10知 m <n <10,因此, m -n =8,从而b -a =9.由此推知n=9, m=1, b=a+9.代入①式,解得a=3. B=12.答:购A 物3个,B 物12个.2、某地收取电费的标准是:每月用电不超过50度,每度收5角;如果超过50度,超出部分按每度8角收费.某月甲用户比乙用户多交3元3角电费,这个月甲、乙各用了多少度电?[分析与解答]因为33既不是5的倍数又不是8的倍数,所以甲用电超过50度,乙用电不足50度.设甲用电(50+x )度,乙用电(50- y )度.因为甲比乙多交33角电费,所以有:8x+5y=33.容易看出x=1时,y=5.推知甲用电51度,乙用电45度.。
浙教版七年级数学培优竞赛讲义(不定方程)
浙教版七年级数学培优竞赛讲义不定方程不定方程（组）是指未知数的个数多于方程的个数的方程（组），其特点是往往有无穷多个解，不能唯一确定.重要定理：设a 、b 、c 、d 为整数，则不定方程c by ax =+有：定理1 若,),(d b a =且d 不能整除c ，则不定方程c by ax =+没有整数解；定理2 若),(00y x 是不定方程c by ax =+且的一组整数解（称为特解），则⎩⎨⎧-=+=aty y bt x x 00,（t 为整数）是方程的全部整数解（称为通解）. （其中d b a =),(,且d 能整除c ）. 定理 3 若),(00y x 是不定方程1=+by ax ，1),(=b a 的特解，则),(00cy cx 是方程c by ax =+的一个特解. （其中d b a =),(,且d 能整除c ）.求整系数不定方程c by ax =+的正整数解，通常有以下步骤：（1） 判断有无整数解；（2） 求出一个特解；（3） 写出通解；有整数t 同时要满足的条件（不等式组），代入命题（2）中的表达式，写出不定方程的正整数解.1．求下列不定方程的整数解（1）862=+y x ； （2）13105=+y x .2．求下列不定方程的整数解（1）211147=+y x ； （2）11145=-y x2．大客车能容纳54人，小客车能容纳36人，现有378人要乘车，问需要大、小客车各几辆才能使每个人都能上车且各车都正好坐满.4．（新加坡）设正整数m ,n 满足698+=+mn n m ，则m 的最大值为 .5．（2006年国际城市竞赛题）一辆汽车下坡的速度是72km/h ，在平地上的速度是63km/h ，上坡的速度是56km/h.汽车从A 地到B 地用了4h ，而返程用了4小时40分，求A 、B 两地的距离.练习：1． 小张带了5角钱去买橡皮和铅笔，橡皮每块3分，铅笔每支1角1分，问5角钱刚好买几块橡皮和几支铅笔？2．已知2220012c a b +=-==，且a +b +c =2001k ，那么k 的值为( )。
数学竞赛专题讲座七年级第9讲_绝对值与一元一次方程(含答案)
绝对值与一元一次方程知识纵横绝对值是初中数学最活跃的概念之一,•能与数学中很多知识关联而生成新的问题,我们把绝对值符号中含有未知数的方程叫含绝对值符号的方程,简称绝对值方程.解绝对值方程的基本方法有:一是设法去掉绝对值符号,将绝对值方程转化为常见的方程求解;一是数形结合,借助于图形的直观性求解.前者是通法,后者是技巧.解绝对值方程时,常常要用到绝对值的几何意义,去绝对值的符号法则,•非负数的性质、绝对值常用的基本性质等与绝对值相关的知识、技能与方法.例题求解【例1】方程│5x+6│=6x-5的解是_______.(2000年重庆市竞赛题)思路点拨设法去掉绝对值符号,将原方程化为一般的一元一次方程来求解.解:x=11提示:原方程5x+6=±(6x-5)或从5x+6≥0、5x+6<0讨论.【例2】适合│2a+7│+│2a-1│=8的整数a的值的个数有( ).A.5B.4C.3D.2 (第11届“希望杯”邀请赛试题)思路点拨用分类讨论法解过程繁琐,仔细观察数据特征,借助数轴也许能找到简捷的解题途径.解:选B提示:由已知即在数轴上表示2a的点到-7与+1的距离和等于8,•所以2a表示-7到1之间的偶数.【例3】解方程:│x-│3x+1││=4; (天津市竞赛题)思路点拨从内向外,根据绝对值定义性质简化方程.解:x=-54或x=32提示:原方程化为x-│3x+1=4或x-│3x+1│=-4【例4】解下列方程:(1)│x+3│-│x-1│=x+1; (北京市“迎春杯”竞赛题)(2)│x-1│+│x-5│=4. (“祖冲之杯”邀请赛试题)思路点拨解含多个绝对值符号的方程最常用也是最一般的方法是将数轴分段实行讨论,采用前面介绍的“零点分段法”分类讨论;有些特殊的绝对值方程可利用绝对值的几何意义迅速求解.解:(1)提示:当x<-3时,原方程化为x+3+(x-1)=x+1,得x=-5;当-3≤x<1时,原方程化为x+3+x-1=x+1,得x=-1;当x≥1时,原方程化为x+3-(x-1)=x+1,得x=3.综上知原方程的解为x=-5,-1,3.(2)提示:方程的几何意义是,数轴上表示数x的点到表示数1及5的距离和等于4,画出数轴易得满足条件的数为1≤x≤5,此即为原方程的解.【例5】已知关于x的方程│x-2│+│x-3│=a,研究a存有的条件,对这个方程的解实行讨论.思路点拨方程解的情况取决于a的情况,a与方程中常数2、3有依存关系,这种关系决定了方程解的情况,所以,探求这种关系是解本例的关键,•使用分类讨论法或借助数轴是探求这种关系的重要方法与工具,读者可从两个思路去解.解:提示:数轴上表示数x的点到数轴上表示数2,3的点的距离和的最小值为1,由此可得方程解的情况是:(1)当a>1时,原方程解为x=52a;(2)当a=1时,原方程解为2≤x≤3;(3)当a<1时,原方程无解.学力训练一、基础夯实1.方程3(│x│-1)= ||5x+1的解是_______;方程│3x-1│=│2x+1│的解是____.2.已知│3990x+1995│=1995,那么x=______.3.已知│x│=x+2,那么19x99+3x+27的值为________.4.关于x的方程│a│x=│a+1│-x的解是x=0,则a的值是______;关于x的方程│a│x=│a+1│-x的解是x=1,则有理数a的取值范围是________.5.使方程3│x+2│+2=0成立的未知数x的值是( ).A.-2B.0C. 23D.不存有6.方程│x-5│+x-5=0的解的个数为( ).A.不确定B.无数个C.2个D.3个 (“祖冲之杯”邀请赛试题)7.已知关于x的方程mx+2=2(m-x)的解满足│x-12|-1=0,则m的值是( ).A.10或25B.10或-25C.-10或25D.-10或-25(2000年山东省竞赛题)8.若│2000x+2000│=20×2000,则x等于( ).A.20或-21B.-20或21C.-19或21D.19或-21 (2001年重庆市竞赛题)9.解下列方程:(1)││3x-5│+4│=8; (2)│4x-3│-2=3x+4;(3)│x-│2x+1││=3; (4)│2x-1│+│x-2│=│x+1│.10.讨论方程││x+3│-2│=k的解的情况.二、水平拓展11.方程││x-2│-1│=2的解是________.12.若有理数x满足方程│1-x│=1+│x│,则化简│x-1│的结果是_______.13.若a>0,b<0,则使│x-a│+│x-b│=a-b成立的x的取值范围是______.(武汉市选拨赛试题)14.若0<x<10,则满足条件│x-3│=a•的整数a•的值共有_____•个,•它们的和是____.15.若m是方程│2000-x│=2000+│x│的解,则│m-2001│等于( ).A.m-2001B.-m-2001C.m+2001D.-m+200116.若关于x的方程│2x-3│+m=0无解,│3x-4│+n=0只有一个解,│4x-5│+•k=0有两个解,则m、n、k的大小关系是( ).A.m>n>kB.n>k>mC.k>m>nD.m>k>n17.适合关系式│3x-4│+│3x+2│=6的整数x的值有( )个.A.0B.1C.2D.大于2的自然数18.方程│x+5│-│3x-7│=1的解有( ).A.1个B.2个C.3个D.无数个19.设a、b为有理数,且│a│>0,方程││x-a│-b│=3有三个不相等的解,•求b的值.(“华杯赛”邀请赛试题)20.当a满足什么条件时,关于x的方程│x-2│-│x-5│=a有一解?有无数多个解?无解?三、综合创新21.已知│x+2│+│1-x│=9-│y-5│-│1+y│,求x+y的最大值与最小值.(第15届江苏省竞赛题)22.(1)数轴上两点表示的有理数是a、b,求这两点之间的距离;(2)是否存在有理数x,使│x+1│+│x-3│=x?(3)是否存在整数x,使│x-4│+│x-3│+│x+3│+│x+4│=14?如果存在,•求出所有的整数x;如果不存在,说明理由.【学力训练】(答案)1.±107、2或0 2.0或-1 3.54.-1,a≥0 提示:由│a+1│=│a│+1得a×1≥0,即a≥05.D6.B7.A8.D9.(1)x=3或x=13;(2)x=9或x=-37;(3)x=-43或x=2;(4)提示:分x<-1、-1≤x<12、 •12≤x≤2、x≥2四种情况分别去掉绝对值符号解方程,当考虑到12≤x≤2时,•原方程化为(2x-1)-(x-2)=x+1,即1=1,这是一个恒等式,说明凡是满足12≤x≤2的x值都是方程的解.10.当k<0时,原方程无解;当k=0时,原方程有两解:x=-1或x=-5;当0<k<2时,原方程化为│x+3│=2±k,此时原方程有四解:x=-3±(2±k);当k=2时,原方程化为│x+•3│=2±2,此时原方程有三解:x=1或x=-7或x=-3;当k>2时,原方程有两解:x+3=±2(•2+k).11.±5 12.1-x 13.b≤x≤a 提示:利用绝对值的几何意义解.14.7、21提示:当0<x<3时,则有│x-3│=3-x=a,a的解是1,2;当3≤x<10时,则有│x-3│=x-3=a,a的解为0,1,2,3,4,5,615.D 提示:m≤0 16.A 17.C 提示:-2≤3x≤4 18.B19.提示:若b+3、b-3都是非负的,而且如果其中一个为零,则得3个解;如果都不是零,则得4个解,故b=3.20.提示:由绝对值几何意义知:当-3<a<3时,方程有一解;当a=±3时,•方程有无穷多个解;当a>3或a<-3时,方程无解.21.提示:已知等式可化为:│x+2│+│x-1│+│y+1│+│y-5│=9,•由绝对值的几何意义知,当-2≤x≤1且-1≤y≤5时,上式成立,故当x=-2,y=-1时,x+y有最小值为-3;当x=1,y=5时,x+y的最大值为6.22.(1)│a-b│;(2)不存在;(3)x=±3,±2,±1,0.。
竞赛讲座 不定方程
竞不定方程不定方程的问题主要有两大类：判断不定方程有无整数解或解的个数；如果不定方程有整数解，采取正确的方法，求出全部整数解.(1) 不定方程解的判定如果方程的两端对同一个模m(常数)不同余,显然,这个方程必无整数解.而方程如有解则解必为奇数、偶数两种，因而可以在奇偶性分析的基础上应用同余概念判定方程有无整数解.例1 证明方程2x2-5y2=7无整数解.证明∵2x2=5y2+7，显然y为奇数.①若x为偶数，则∴∵方程两边对同一整数8的余数不等，∴x不能为偶数.②若x为奇数，则但5y2+7∴x不能为奇数.因则原方程无整数解.说明:用整数的整除性来判定方程有无整数解,是我们解答这类问题的常用方法.例2 (第14届美国数学邀请赛题)证明方程无整数解证明如果有整数x，y使方程①成立，则=知（2x+3y2）+5能被17整除.设2x+3y=17n+a，其中a是0，±1，±2，±3，±4，±5，±6，±7，±8中的某个数，但是这时（2x+3y）2+5=（17n）2+34na+（a2+5）=a2+5（mod17），而a2+5被17整除得的余数分别是5，6，9，14，4，13，7，3，1，即在任何情况下（2x+3y）2+5都不能被17整除，这与它能被17整除矛盾.故不存在整数x，y使①成立.例3 （第33届美国数学竞赛题）满足方程x2+y2=x3的正整数对（x，y）的个数是（）. （A）0 （B）1（C）2（D）无限个（E）上述结论都不对解由x2+y2=x3得y2=x2（x-1），所以只要x-1为自然数的平方，则方程必有正整数解.令x-1=k2(k为自然数),则为方程的一组通解.由于自然数有无限多个,故满足方程的正整数对(x,y)有无限多个,应选(D).说明:可用写出方程的一组通解的方法,判定方程有无数个解.(2) 不定方程的解法不定方程没有统一的解法,常用的特殊方法有:配方法、因式（质因数）分解法、不等式法、奇偶分析法和余数分析法.对方程进行适当的变形,并正确应用整数的性质是解不定方程的基本思路.例4 求方程的整数解.解(配方法)原方程配方得(x-2y)2+y2=132.在勾股数中,最大的一个为13的只有一组即5,12,13,因此有8对整数的平方和等于132即(5,12),(12,5),(-5,-12),(-12,-5),(5-,12),(12,-5),(-5,12),(-12,5).故原方程组的解只能是下面的八个方程组的解解得例5 (原民主德国1982年中学生竞赛题)已知两个自然数b和c及素数a满足方程a2+b2=c2.证明:这时有a＜b及b+1=c.证明（因式分解法）∵a2+b2=c2，∴a2=（c-b）（c+b），又∵a为素数，∴c-b=1，且c+b=a2.于是得c=b+1及a2=b+c=2b+1＜3b，即＜.而a≥3,∴≤1，∴＜1.∴a＜b.例6（第35届美国中学数学竞赛题）满足联立方程的正整数（a，b，c）的组数是（A）0 （B）1 （C）2 （D）3 （E）4解（质因数分解法）由方程ac+bc=23得（a+b）c=23=1×23.∵a，b，c为正整数，∴c=1且a+b=23.将c和a=23-b代入方程ab+bc=44得(23-b)b+b=44,即(b-2)(b-22)=0,∴b1=2,b2=22.从而得a1=21,a2=1.故满足联立方程的正整数组(a,b,c)有两个,即(21,2,1)和(1,22,1),应选(C).例7求不定方程2(x+y)=xy+7的整数解.解由(y-2)x=2y-7,得分离整数部分得由x为整数知y-2是3的因数,∴y-2=±1，±3，∴x=3，5，±1.∴方程整数解为例8 求方程x+y=x2-xy+y2的整数解.解（不等式法）方程有整数解必须△=（y+1）2-4（y2-y）≥0，解得≤y≤.满足这个不等式的整数只有y=0，1，2.当y=0时，由原方程可得x=0或x=1；当y=1时，由原方程可得x=2或0；当y=2时，由原方程可得x=1或2.所以方程有整数解最后我们来看两个分式和根式不定方程的例子.例9 求满足方程且使y是最大的正整数解（x，y）.解将原方程变形得由此式可知，只有12-x是正的且最小时，y才能取大值.又12-x应是144的约数，所以，12-x=1，x=11，这时y=132.故满足题设的方程的正整数解为（x，y）=（11，132）.例9（第35届美国中学生数学竞赛题）满足0＜x＜y及的不同的整数对（x，y）的个数是（）.（A）0 （B）1 （C）3 （D）4 （E）7解法1 根据题意知，0＜x＜1984，由得当且仅当1984x是完全平方数时，y是整数.而1984=26·31，故当且仅当x具有31t2形式时，1984x 是完全平方数.∵x＜1984，∵1≤t≤7.当t=1，2，3时，得整数对分别为（31，1519）、（124，1116）和（279，775）.当t＞3时y≤x不合题意，因此不同的整数对的个数是3，故应选（C）.解法2 ∵1984=∴由此可知：x必须具有31t2形式，y必须具有31k2形式，并且t+k=8（t，k均为正整数）.因为0＜x＜y，所以t＜k.当t=1，k=7时得（31，1519）；t=2，k=6时得（124，1116）；当t=3，k=5时得（279，775）.因此不同整数对的个数为3.练习1.(第26届国际数学竞赛预选题)求三个正整数x、y、z满足.2．求的整数解.3．（全俄1986年数学竞赛题）求满足条件的整数x，y的所有可能的值.4.(1988年全国初中数学竞赛题)如果p、q、、都是整数，并且p＞1，q＞1，试求p+q的值.练习1.不妨设x≤y≤z,则,故x≤3.又有故x≥2.若x=2,则,故y≤6.又有,故y≥4.若y=4,则z=20.若y=5,则z=10.若y=6,则z无整数解.若x=3,类似可以确定3≤y≤4,y=3或4,z都不能是整数.2.先求出,然后将方程变形为y=5+x-2要使y为整数,5x-1应是完全平方数,…,解得3.简解:原方程变形为3x2-(3y+7)x+3y2-7y=0由关于x的二次方程有解的条件△≥0及y为整数可得0≤y≤5,即y=0,1,2,3,4,5.逐一代入原方程可知,原方程仅有两组解(4,5)、(5,4).4.易知p≠q,不妨设p＞q.令=n,则m＞n由此可得不定方程(4-mn)p=m+2,解此方程可得p、q之值.。
赣县中学高中数学竞赛数论第9九讲不定方程(上)
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赣县中学高中数学竞赛------数论
附加题： 1、若关于 x 的不等式 x 3 6 x k 有解，求实数 k 的最大值。
2、求函数 f ( x)
x 5 24 3x 的值域。
3．求函数 y
x 27 13 x x 的最大值和最小值．
（请大家自学“柯西不等式” ，用它来求最大值，求最小值另想方法）
赣县中学高中数学竞赛---知识点介绍 1、不定方程定义：所谓的不定方程是指方程的未知数的个数多于方程的个数，其解受到 一定限制（如要求是整数、正整数）的一类方程或方程组。 2、二元一次不定方程 ①、整系数二元一次不定方程形式： ax by c(a 0, b 0), a, b, c Z ②、定理 1：二元一次不定方程 ax by c(a 0, b 0), a, b, c Z 有整数解 (a, b) c
例 2、 《张邱建算经》卷下最后一题通常称为“百鸡问题” ： “今有鸡翁一，值钱五；鸡母 一，值钱三；鸡雏三，值钱一。凡百钱买鸡百只。问鸡翁、鸡母、鸡雏各几何？”
例 3 、求出不定方程 25x 13y 7 z 4 的全部解。
例 4、求方程 x y 2 x 3 y 7 0 的整数解。
②、 （1）式有整数解 (a1 , a2 , a3 ,an ) N 4、高次不定方程 解高次不定方程，难度很大，且无定法，但对某些特殊方程可通过特殊方法解决，下 面通过具体实例加以说明。
二、例题讲解
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例1、 解下列两个不定方程 （1） 、 15x 25y 98 ； （2） 、 15x 25y 100
初中竞赛数学27.不定方程、方程组(含答案)
27.不定方程、方程组知识纵横不定方程(组)是指未知数的个数多于方程的个数的方程(组),•其特点是解往往有无穷多个,不能惟一确定.对于不定方程(组),我们往往限定只求整数解,甚至只求正整数解,•加上条件限制后,解就可确定.二元一次不定方程是最简单的不定方程,一些复杂的不定方程(组)•常常转化为二元一次不定方程问题加以解决,与之相关的性质有:设a 、b 、c 、d 为整数,则不定方程ax+by=c 有如下两个重要命题: (1)若(a,b)=d,且d c,则不定方程ax+by=c 没有整数解;(2)若x 0,y 0是方程ax+by=c 且(a,b)=1的一组整数解(称特解),则00x x bt y y at =+⎧⎨=-⎩(t 为整数)是方程的全部整数解(称通解).解不定方程(组),没有现成的模式、固定的方法可循，•需要依据方程（组）的特点进行恰当的变形，并灵活运用以下知识与方法：奇数偶数、整数的整除性、分离整系数、因数分解、配方利用非负数性质、穷举、乘法公式、不等式分析等。
例题求解【例１】正整数m 、n 满足8m+9n=mn+6,则m 的最大值为________. (2000年新加坡数学竞赛题)思路点拨 把m 用含n 的代数式表示,并分离其整数部分(简称分离整系数法),再结合整除知识,求出m 的最大值. 解:75 提示:m=968n n --=9+668n -,n=9时,m 最大值为75. 【例2】如图,在高速公路上从3千米处开始,每隔4千米设一个速度限制标志,而且从千米处开始,每隔9千米设一个测速照相机标志,则刚好在19•千米处同时设置这两种标志.问下一个同时设置这两种标志的地点的千米数是( ).A.32千米B.37千米C.55千米D.90千米(2003年河南省竞赛题) 思路点拨 设置限速标志、照相机标志千米数分别表示为3+4x 、10+9y(x,y•为自然数),问题转化为求不定方程3+4x=10+9y的正整数解.解:选C 提示:x=794y+=2y+1+34y+,4│y+3,135xy=⎧⎨=⎩为所求的解.【例3】(1)求方程15x+52y=6的所有整数解.(2)求方程x+y=x2-xy+y2的整数解. (莫斯科数学奥林匹克试题)(3)求方程11156x y z++=正整数解. (“希望杯”邀请赛试题)思路点拨对于(1)通过观察或辗转相除法,先求出特解.对于(2)易想到完全平方公式,从配方入手;对于(2)易知x,y,z都大于1,不妨设1<x≤y≤z,则1x≥1y≥1z,•将复杂的三元不定方程转化为一元不等式,通过解不等式对某个未知数的取值作出估计,逐步缩小其取值范围,求出其结果.解:(1)观察易得一个特解x=42,y=-12,原方程所有整数解为42521215x ty t=-⎧⎨=-+⎩(t为整数).解法2:x=-4y+6815y+,令6815y+=t1,得y=2t1-168t+,令168t+=t,得t=8t-6,化简得42521215(x ty t t=-⎧⎨=-+⎩为整数)(2)原方程化为(x-y)2+(x-1)2+(y-1)2=2,由此得方程的解为(0,0),(2,2),(1,0),(0,1),(2,1),(1,2)(3)提示: 1x<1x+1y+1z≤3x,即1x<56≤3x,由此得x=2或3,当x=2时, 1x<1y+1z=56-12=13≤1y+1y=2y，即1y<13≤2y,由此得y=4或5或6,同理当x=3时,y=3或4,由此可得当1≤x≤y≤z时,(x,y,z)共有(2,4),(4,2,12),(4,12,2),•(12,2,4),(12,4,2),(2,6,6),(6,2,6),(6,6,2),(3,3,6),(3,6,3),(6,3,3),(3,4,4),(4,4,3),(4,3,4)【例4】一个盒子里装有不多于200粒棋子,如果每次2粒,3粒,4粒或6粒地取出,最终盒内都剩一粒棋子;如果每次11粒地取出,那么正好取完,求盒子里共有多少粒棋子?(2002年重庆市竞赛题)思路点拨 无论怎样取,盒子里的棋子数不变,恰当设未知数,•把问题转化为求不定方程的正整数解.解:提示:设盒子里共有x 粒棋子,则x 被2、3、4、6的最小公倍数12除时,余数为1,即x=12a+1(a 为自然数),又x=11b(b 为自然数),得12a+1=11b,b=12111a + =a+111a +,11│a+1• 因0<x ≤200,故0<12a+1≤200,得0<a<16712,a=10,所以x=12×10+1=•121,•即盒子里共有121粒棋子.【例5】中国百鸡问题:鸡翁一,值钱五,鸡母一,值钱三,鸡雏三,值钱一.百钱买百鸡,问鸡翁、鸡母、鸡雏各几何? (出自中国数学家张丘建的著作《算经》)思路点拨 设鸡翁、鸡母、鸡雏分别为x,y,z,则有100531003x y z zx y ++=⎧⎪⎨++=⎪⎩通过消元,将问题转化为求二元一次不定方程的非负整数解.解:消去方程组中的z,得7x+4y=100,显然,(0,25)是方程的一个特解,•所以方程的通解为4257x ty t=-⎧⎨=+⎩(t 为整数),于是有t=100-x-y=100+4t-(25+7t)=75-3t,由x,y,z ≥0且t•为整数得4025707530t t t -≥⎧⎪+≥⎨⎪-≥⎩,t=0,-1,-2,-3,将t 的值代入通解,得四组解 (x,y,z)=(0,25,75),(4,18,78) (8,11,81),(12,4,84)【例6】甲组同学每人有28个核桃,乙组同学每人有30个核桃,•丙组同学每人有31个核桃,三组的核桃总数是365个,问三个小组共有多少名同学?(2001年海峡两岸友谊赛试题)思路点拨 设甲组同学a 人,乙组学生b 人,丙组学生c 人,由题意得28a+30b+31c=365,怎样解三元一次不定方程?运用放缩法,从求出a+b+c 的取值范围入手.解:设甲组、乙组、丙组分别有学生a 人、b 人、c 人,则28a+30b+31c=365 因28(a+b+c)<28a+30b+31c=365,得a+b+c<36528<13.04 所以a+b+c ≤13因31(a+b+c)>28a+30b+31c=365,得(a+b+c)>36531>11.7 所以a+b+c ≥12因此,a+b+c=12或13当a+b+c=13时,得2b+3c=1,此方程无正整数解.故a+b+c≠13,a+b+c=12学力训练一、基础夯实1.已知x,y,z满足x+y=5及z2=xy+y-9,则x+2y+3z=_______.(2002年山东省竞赛题)2.已知4x-3y-6z=0,x+2y-7z=0(xyz≠0),那么22222223657x y zx y z++++的值为________.3.用一元钱买面值4分、8分、1角的3种邮票共18张,每种邮票至少买一张,共有______种不同的买法.4.购买512345则55.希望中学收到王老师捐赠的足球、篮球、排球共20个,其总价值为330元,•这三种球的价格分别是足球每个60元,篮球每个30元,排球每个10个,•那么其中排球有________个. (2003年温州市中考题)6.方程(x+1)2+(y-2)2=1的整数解有( ).A.1组B.2组C.4组D.无数组7.三元方程x+y+z=1999的非负整数解的个数有( ).A.20001999个B.19992000个C.2001000个D.2001999个 (第11届“希望杯”邀请赛试题)8.以下是一个六位数乘上一个一位数的竖式,a、b、c、d、e、f各代表一个数(不一定相同),则a+b+c+d+e+f=( ).abcdef× 4efabcdA.27B.24C.30D.无法确定 (“五羊杯”邀请赛试题)9.求下列方程的整数解: (1)11x+5y=7; (2)4x+y=3xy.10.在车站开始检票时,有a(a>0)名旅客在候车室排队等候检票进站.•检票开始后,仍有旅客继续前来排队检票进站,设旅客按固定的速度增加,•检票口检票的速度也是固定的,若开放一个检票口,则需30分钟才可将排队等候检票的旅客全部检票完毕;若开放两个检票口,则只需10分钟便可将排队等候检票的旅客全部检票完毕;•如果要在5分钟内将排队等候检票的旅客全部检票完毕,以便后来到站的旅客能随到随检,至少要同时开放几个检票口? (2001年广州市中考题)11.下面是同学们玩过的“锤子、剪子、•布”的游戏规则：游戏在两位同学之间进行，用伸出手掌表示“布”，两人同时口念“锤子、剪子、布”，一念到“布”时，同时出手，“布”赢“锤子”，“锤子”赢“剪子”，“剪子”赢“布”。
数学奥赛辅导丛书：不定方程
数学奥赛辅导丛书：不定方程近几年来，学生参加数学奥赛的人数不断增加，学习数学奥赛需要深入掌握不定方程知识。
不定方程是数学学习的重要知识点之一，它有着复杂的概念，非常考验学生的记忆力和解题思路。
首先，让我们来了解什么是不定方程。
不定方程是一类特定的数学问题，用于查找未知变量的可能值。
从形式上看，它是一个形式为ax+b=c（其中a、b和c是常数），a不等于0的不定方程。
不同于定向方程，不定方程没有明确的解法，只有解不定方程的方法。
其次，学习不定方程时，重要的是对其特殊的解法有所了解。
根据不定方程的形式，一般使用两类不同的解法，一种是把不定方程分解为两个定向方程，另一种是利用系数的特性，改变a的值使其符合定向方程的格式。
除此之外，在学习不定方程时，还要多做练习。
学习任何知识点都要以大量的练习为基础，同样，不定方程也需要多做练习。
不定方程问题通常有着复杂的条件，练习时应该重点关注不同类型的不定方程，更好地提高解题能力。
此外，学习不定方程的过程中，还要非常注意工具的使用。
数学知识的学习不仅仅是理论上的学习，也要做相应的实践。
以不定方程为例，可以使用计算器和电子计算器来帮助解决不定方程问题，进一步提高解题效率。
最后，在学习不定方程时，还要仔细思考不同类型问题的解法。
不定方程涉及到多种问题类型，比如一元不定方程，二元不定方程等，各种不同类型的不定方程都有其解法，要想掌握不定方程，必须要深入了解各种不定方程问题的解法才行。
总之，学习不定方程既非常重要又十分有趣。
不定方程的概念复杂，但只要掌握其特殊的解法，多做练习，熟练运用相关工具，深入研究各种不定方程问题的解法，不定方程将不再难以突破。
只要通过努力，任何人都可以熟练掌握不定方程，为数学奥赛取得好成绩做准备。
专题39 分式方程 初中数学学科素养能力培优竞赛试题精选专练含解析卷
专题39 分式方程一、解复杂分式方程 【典例】计算（1）x 2x+y−x +y ；（2）1x(x+1)+1(x+1)(x+2)+⋯1(x+2005)(x+2006)．【解答】解：（1）x 2x+y −x +y ，=x 2x+y −x 2−y 2x+y， =y 2x+y ；（2）1x(x+1)+1(x+1)(x+2)+⋯+1(x+2005)(x+2006)，=1x −1x+1+1x+1−1x+2+⋯+1x+2005−1x+2006， =1x −1x+2006， =2006x(x+2006)．【巩固】实数x 与y 使得x +y ，x ﹣y ，xy ，xy 四个数中的三个有相同的数值，求出所有具有这样性质的数对（x ，y ）．二、求分式方程的取值范围 【典例】若以x 为未知数的方程1x−1−a 2−x=2(a+1)x 2−3x+2无解，则a ＝ ．【解答】解：去分母得：x ﹣2+a （x ﹣1）＝2（a +1） 解得：x =3a+4a+1当a +1＝0即a ＝﹣1时，方程无解． 根据题意得：3a+4a+1=1时，解得a =−32；当3a+4a+1=2时，解得：a ＝﹣2故答案是﹣1或−32或﹣2．【巩固】若关于x 的方程k(x−1)x+2k+1x 2+x=1+2kx+1有且只有一个实数根，求实数k 的所有可能值．三、分式方程的应用【典例】为增加学生阅读量，某校购买了“科普类”和“文学类”两种书籍，购买“科普类”图书花费了3600元，购买“文学类”图书花费了2700元，其中“科普类”图书的单价比“文学类”图书的单价多20%，购买“科普类”图书的数量比“文学类”图书的数量多20本． （1）求这两种图书的单价分别是多少元？（2）学校决定再次购买这两种图书共100本，且总费用不超过1600元，求最多能购买“科普类”图书多少本？【解答】解：（1）设“文学类”图书的单价为x 元/本，则“科普类”图书的单价为（1+20%）x 元/本， 依题意：3600(1+20%)x−20=2700x， 解之得：x ＝15．经检验，x ＝15是所列方程的根，且符合题意， 所以（1+20%）x ＝18．答：科普类书单价为18元/本，文学类书单价为15元/本； （2）设“科普类”书购a 本，则“文学类”书购（100﹣a ）本， 依题意：18a +15（100﹣a ）≤1600， 解之得：a ≤1003． 因为a 是正整数， 所以a 最大值＝33．答：最多可购“科普类”图书33本． 【巩固】某工厂急需生产一批健身器械共500台，送往销售点出售．当生产150台后，接到通知，要求提前完成任务，因而接下来的时间里每天生产的台数提高到原来的1.4倍，一共用8天刚好完成任务．（1）原来每天生产健身器械多少台？（2）运输公司大货车数量不足10辆，小货车数量充足，计划同时使用大、小货车一次完成这批健身器械的运输．已知每辆大货车一次可以运输健身器械50台，每辆车需要费用1500元；每辆小货车一次可以运输健身器械20台，每辆车需要费用800元．在运输总费用不多于16000元的前提下，请写出所有符合题意的运输方案？哪种运输方案的费用最低，最低运输费用是多少？巩固练习1．若数a 使关于x 的不等式组{x−12＜1+x3，5x −2≥x +a有且只有四个整数解，且使关于y 的分式方程y+a y−1+2a y−1=1的解为非负数，则符合条件的所有整数a 的和为（ ）A ．﹣3B ．﹣2C ．1D ．22．若关于x 的方程x +2x =c +2c 的两个解是x ＝c ，x =2c ，则关于x 的方程的x +2x−1=a +2a−1的解是（ ） A ．a ，2aB ．a ﹣1，2a−1C ．a ，2a−1D ．a ，a+1a−13．已知关于x 的分式方程x x−2−3=k2−x的解为正数，则k 的取值范围是（ ） A ．k ＞﹣6 B ．k ＞﹣2 C ．k ＞﹣6且k ≠﹣2 D ．k ≥﹣6且k ≠﹣24．对于两个不相等的实数a ，b ，我们规定符号min {a ，b }表示a ，b 中较小的数，如：min {3，5}＝3．按照这个规定，方程min {﹣2，﹣3}=3x−2−x2−x的解为（ ） A ．﹣2 B ．﹣3 C ．13D ．345．已知关于x 的方程x−1x−2−x x+1=ax+1x 2−x−2无解，则a 的值为 ．6．解下列分式方程 （1）x x−2−1−x 2(x−3)(x−2)=2xx−3；（2）x+1x−1−4x 2−1=1；（3）y−2y−3=2−13−y．7．如图，某小区有一块长为4a 米（a ＞1），宽为（4a ﹣2）米的长方形地块．该长方形地块正中间是一个长为（2a +1）米的长方形，四个角是大小相同的正方形，该小区计划将阴影部分进行绿化，对四个角的正方形用A 型绿化方案，对正中间的长方形采用B 型绿化方案． （1）用含a 的代数式表示采用A 型绿化方案的四个正方形边长是 米，B 型绿化方案的长方形的另一边长是 米．（2）请你判断使用A 型，B 型绿化方案的面积哪个少？并说明理由．（3）若使用A 型，B 型绿化方案的总造价相同，均为1350元，每平方米造价高的比低的多540(2a−1)2元，求a 的值．8．两个工程队共同参与一项筑路工程．若先由甲、乙两队合作30天，剩下的工程再由乙队单独做15天可以完成，共需施工费810万元若由甲、乙合作完成此项工程共需36天，共需施工费828万元．（1）求乙队单独完成这项工程需多少天 （2）甲、乙两队每天的施工费各为多少万元？（3）若工程预算的总费用不超过840万元，则乙队最少施工多少天？9．定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和谐分式”．如：x+1x−1=x−1+2x−1=x−1x−1+2x−1=1+2x−1，2x−3x+1=2x+2−5x+1=2x+2x+1+−5x+1=2+−5x+1，则x+1x−1和2x−3x+1都是“和谐分式”． （1）下列式子中，属于“和谐分式”的是 （填序号）； ①x+1x；②2+x 2；③x+2x+1；④y 2+1y 2（2）将“和谐分式”a 2−2a+3a−1化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式为：a 2−2a+3a−1= + ；（3）应用：先化简3x+6x+1−x−1x÷x 2−1x 2+2x，并求x 取什么整数时，该式的值为整数．10．某商场在一楼至二楼间安装了一部自动扶梯，以匀速向上行驶．甲、乙两同学同时从扶梯上匀速走到二楼，且甲每分钟走动的级数是乙的两倍．已知甲走了24级到扶梯顶部，乙走了16级到扶梯顶部（甲、乙两同学每次只跨一级台阶）． （1）扶梯露在外面的部分有多少级？（2）如果与扶梯并排有一从二楼到一楼的楼梯道，台阶数与扶梯级数相同，甲、乙各自到扶梯顶部后按原速再下楼梯到楼梯底部再乘扶梯，若楼梯与扶梯之间的距离忽略不计，问甲第1次追上乙时是在扶梯上还是在楼梯上？他已经走动的级数是多少级？专题39 分式方程一、解复杂分式方程 【典例】计算（1）x 2x+y−x +y ；（2）1x(x+1)+1(x+1)(x+2)+⋯1(x+2005)(x+2006)．【解答】解：（1）x 2x+y −x +y ，=x 2x+y −x 2−y 2x+y ，=y 2x+y； （2）1x(x+1)+1(x+1)(x+2)+⋯+1(x+2005)(x+2006)，=1x −1x+1+1x+1−1x+2+⋯+1x+2005−1x+2006， =1x −1x+2006， =2006x(x+2006)．【巩固】实数x 与y 使得x +y ，x ﹣y ，xy ，xy 四个数中的三个有相同的数值，求出所有具有这样性质的数对（x ，y ）．【解答】解：由题意知y ≠0，此时x +y ≠x ﹣y ， 依题意，有x +y =xy =xy 或x −y =xy =xy ， Ⅰ、当x +y =xy =xy 时， 即{x +y =xy ①xy =x y ② 由②得，y ＝±1，将y ＝1代入①得，x +1＝x ，此等式不成立， 将y ＝﹣1代入①得，x ﹣1＝﹣x ， ∴x =12， 即{x =12y =−1.Ⅱ、当x −y =xy =xy 时，即{x −y =xy(1)xy =xy(2)由（2）得，y ＝±1，将y ＝1代入（1）得，x ﹣1＝x ，此等式不成立， 将y ＝﹣1代入（1）得，x +1＝﹣x ， ∴x =−12， 即{x =−12y =−1故满足条件的数对（x ，y ）为（12，﹣1）和（−12，﹣1）．二、求分式方程的取值范围 【典例】若以x 为未知数的方程1x−1−a 2−x=2(a+1)x 2−3x+2无解，则a ＝ ．【解答】解：去分母得：x ﹣2+a （x ﹣1）＝2（a +1） 解得：x =3a+4a+1当a +1＝0即a ＝﹣1时，方程无解． 根据题意得：3a+4a+1=1时，解得a =−32；当3a+4a+1=2时，解得：a ＝﹣2故答案是﹣1或−32或﹣2． 【巩固】若关于x 的方程k(x−1)x+2k+1x 2+x=1+2kx+1有且只有一个实数根，求实数k 的所有可能值． 【解答】解：k(x−1)x+2k+1x 2+x=1+2kx+1两边同时乘以x （x +1）得：k （x ﹣1）（x +1）+2k +1＝x （x +1）+2kx 整理得：（k ﹣1）x 2﹣（2k +1）x +k +1＝0 （1）当k ＝1时，原方程可变为：﹣3x +2＝0 解得：x =23经检验，x =23是原分式方程的唯一实数根，符合题意．（2）当k ≠1时，关于x 的方程（k ﹣1）x 2﹣（2k +1）x +k +1＝0是一元二次方程， ∵原分式方程有且只有一个实数根， ∴△＝[﹣（2k +1）]2﹣4（k ﹣1）（k +1）＝0解得k =−54将k =−54代入方程得：−94x 2+32x −14=0 解得：x 1＝x 2=13经检验，x =13是原分式方程的唯一实数根，符合题意． 当Δ≠0时，则方程必有一个实数根为0或﹣1．把x ＝0代入，可得k ＝﹣1，此时方程为﹣2x 2+x ＝0，解得x ＝0或12，经检验x =12是方程的解．把x ＝﹣1代入，可得k =−14，此时方程为5x 2+2x ﹣3＝0， 解得x ＝﹣1或35，经检验x =35是方程的解，综上，实数k 的所有可能值为1或−54或0或﹣1． 三、分式方程的应用【典例】为增加学生阅读量，某校购买了“科普类”和“文学类”两种书籍，购买“科普类”图书花费了3600元，购买“文学类”图书花费了2700元，其中“科普类”图书的单价比“文学类”图书的单价多20%，购买“科普类”图书的数量比“文学类”图书的数量多20本． （1）求这两种图书的单价分别是多少元？（2）学校决定再次购买这两种图书共100本，且总费用不超过1600元，求最多能购买“科普类”图书多少本？【解答】解：（1）设“文学类”图书的单价为x 元/本，则“科普类”图书的单价为（1+20%）x 元/本， 依题意：3600(1+20%)x−20=2700x， 解之得：x ＝15．经检验，x ＝15是所列方程的根，且符合题意， 所以（1+20%）x ＝18．答：科普类书单价为18元/本，文学类书单价为15元/本； （2）设“科普类”书购a 本，则“文学类”书购（100﹣a ）本， 依题意：18a +15（100﹣a ）≤1600， 解之得：a ≤1003． 因为a 是正整数， 所以a 最大值＝33．答：最多可购“科普类”图书33本．【巩固】某工厂急需生产一批健身器械共500台，送往销售点出售．当生产150台后，接到通知，要求提前完成任务，因而接下来的时间里每天生产的台数提高到原来的1.4倍，一共用8天刚好完成任务．（1）原来每天生产健身器械多少台？（2）运输公司大货车数量不足10辆，小货车数量充足，计划同时使用大、小货车一次完成这批健身器械的运输．已知每辆大货车一次可以运输健身器械50台，每辆车需要费用1500元；每辆小货车一次可以运输健身器械20台，每辆车需要费用800元．在运输总费用不多于16000元的前提下，请写出所有符合题意的运输方案？哪种运输方案的费用最低，最低运输费用是多少？【解答】解：（1）设原来每天生产健身器械x 台，则提高工作效率后每天生产健身器械1.4x 台， 依题意得：150x+500−1501.4x=8，解得：x ＝50，经检验，x ＝50是原方程的解，且符合题意． 答：原来每天生产健身器械50台．（2）设使用m 辆大货车，使用n 辆小货车，∵同时使用大、小货车一次完成这批健身器械的运输， ∴50m +20n ≥500， ∴n ≥25−52m ．又∵运输公司大货车数量不足10辆，且运输总费用不多于16000元， ∴{m ＜101500m +800n ≤16000，即{m ＜101500m +800(25−52m)≤16000， 解得：8≤m ＜10． 又∵m 为整数， ∴m 可以为8，9．当m ＝8时，n ≥25−52m ＝25−52×8＝5； 当m ＝9时，n ≥25−52m ＝25−52×9=52， 又∵n 为整数， ∴n 的最小值为3． ∴共有2种运输方案，方案1：使用8辆大货车，5辆小货车；方案2：使用9辆大货车，3辆小货车．方案1所需费用为1500×8+800×5＝16000（元）， 方案2所需费用为1500×9+800×3＝15900（元）． ∵16000＞15900，∴运输方案2的费用最低，最低运输费用是15900元．巩固练习1．若数a 使关于x 的不等式组{x−12＜1+x3，5x −2≥x +a有且只有四个整数解，且使关于y 的分式方程y+a y−1+2a y−1=1的解为非负数，则符合条件的所有整数a 的和为（ ）A ．﹣3B ．﹣2C ．1D ．2【解答】解：解不等式x−12＜1+x 3，得x ＜5．解不等式5x ﹣2≥x +a ，得x ≥a+24．由不等式组有且仅有4个整数解，得到0＜a+24≤1，解得﹣2＜a ≤2． 解分式方程y+a y−1+2a 1−y=2，得y ＝2﹣a （y ≠1，即a ≠1）．∵关于y 的方程y+a y−1+2a 1−y=2的解为非负数，∴2﹣a ≥0， ∴a ≤2，∴满足条件的a 的值为﹣1、0、2，∴满足条件的整数a 的值之和是﹣1+0+2＝1． 故选：C ．2．若关于x 的方程x +2x =c +2c 的两个解是x ＝c ，x =2c ，则关于x 的方程的x +2x−1=a +2a−1的解是（ ） A ．a ，2aB ．a ﹣1，2a−1C ．a ，2a−1D ．a ，a+1a−1【解答】解：x +2x−1=a +2a−1即x ﹣1+2x−1=a ﹣1+2a−1则x ﹣1＝a ﹣1或2a−1解得：x 1＝a ，x 2=2a−1+1=a+1a−1故选：D ． 3．已知关于x 的分式方程x x−2−3=k 2−x 的解为正数，则k 的取值范围是（ ） A ．k ＞﹣6B ．k ＞﹣2C ．k ＞﹣6且k ≠﹣2D ．k ≥﹣6且k ≠﹣2 【解答】解：分式方程x x−2−3=k 2−x ， 去分母得：x ﹣3（x ﹣2）＝﹣k ，去括号得：x ﹣3x +6＝﹣k ，解得：x =6+k 2，由分式方程的解为正数，得6+k 2＞0，且6+k 2≠2， 解得：k ＞﹣6且k ≠﹣2．故选：C ．4．对于两个不相等的实数a ，b ，我们规定符号min {a ，b }表示a ，b 中较小的数，如：min {3，5}＝3．按照这个规定，方程min {﹣2，﹣3}=3x−2−x 2−x 的解为（ ） A ．﹣2 B ．﹣3C ．13D ．34 【解答】解：由题意：﹣3=3x−2−x 2−x ，两边乘x ﹣2得到：﹣3x +6＝3+x解得：x =34，经检验：x =34是分式方程的解．故选：D ．5．已知关于x 的方程x−1x−2−x x+1=ax+1x 2−x−2无解，则a 的值为 ． 【解答】解：x−1x−2−x x+1=ax+1x 2−x−2，（x +1）（x ﹣1）﹣x （x ﹣2）＝ax +1，∵关于x 的方程x−1x−2−x x+1=ax+1x 2−x−2无解，∴x ﹣2＝0或x +1＝0，把x ＝2代入（x +1）（x ﹣1）﹣x （x ﹣2）＝ax +1中可得：3＝2a +1，解得a ＝1，把x ＝﹣1代入（x +1）（x ﹣1）﹣x （x ﹣2）＝ax +1中可得：﹣3＝﹣a +1，解得a ＝4，∴a 的值为1或4，故答案为：1或4．6．解下列分式方程（1）x x−2−1−x 2(x−3)(x−2)=2x x−3； （2）x+1x−1−4x 2−1=1； （3）y−2y−3=2−13−y ．【解答】解：（1）两边同时乘以（x ﹣2）（x ﹣3）得：x （x ﹣3）﹣（1﹣x 2）＝2x （x ﹣2），解得x ＝1，经检验，x ＝1是原方程的解，∴x ＝1；（2）两边同时乘以（x ﹣1）（x +1）得：（x +1）2﹣4＝（x ﹣1）（x +1），解得x ＝1，经检验，x ＝1是原方程的增根，∴原方程无解；（3）两边同时乘以（y ﹣3）得：y ﹣2＝2（y ﹣3）+1，解得y ＝3，经检验，y ＝3是原方程的增根，∴原方程无解；7．如图，某小区有一块长为4a 米（a ＞1），宽为（4a ﹣2）米的长方形地块．该长方形地块正中间是一个长为（2a +1）米的长方形，四个角是大小相同的正方形，该小区计划将阴影部分进行绿化，对四个角的正方形用A 型绿化方案，对正中间的长方形采用B 型绿化方案．（1）用含a 的代数式表示采用A 型绿化方案的四个正方形边长是 米，B 型绿化方案的长方形的另一边长是 米．（2）请你判断使用A 型，B 型绿化方案的面积哪个少？并说明理由．（3）若使用A 型，B 型绿化方案的总造价相同，均为1350元，每平方米造价高的比低的多540(2a−1)2元，求a 的值．【解答】解：（1）A 型绿化方案的四个正方形边长是（a −12）米，B 型绿化方案的长方形的另一边长是（2a ﹣1）米；故答案为：（a −12）；（2a ﹣1）；（2）记A 型面积为S A ，B 型面积为S B ，根据题意得：S A ＝4（a −12）2＝4a 2﹣4a +1，S B ＝（2a +1）（2a ﹣1）＝4a 2﹣1， ∴S A ﹣S B ＝﹣4a +2，∵4a ﹣2＞0，∴﹣4a +2＜0，即S A ﹣S B ＜0，则S A ＜S B ；（3）由（2）得S A ＜S B ，∴1350S A −1350S B =540(2a−1)2，即1350(2a−1)2−1350(2a+1)(2a−1)=540(2a−1)2，解得：a ＝2，经检验a ＝2是分式方程的解．8．两个工程队共同参与一项筑路工程．若先由甲、乙两队合作30天，剩下的工程再由乙队单独做15天可以完成，共需施工费810万元若由甲、乙合作完成此项工程共需36天，共需施工费828万元．（1）求乙队单独完成这项工程需多少天（2）甲、乙两队每天的施工费各为多少万元？（3）若工程预算的总费用不超过840万元，则乙队最少施工多少天？【解答】解：（1）设乙队单独完成这项工程需x 天，由题意得：136×30+15x=1， 解得：x ＝90，经检验x ＝90是分式方程的解；答：乙队单独完成这项工程需90天；（2）设甲队每天的施工费为m 万元，乙队每天的施工费为n 万元，由题意得：{30(m +n)+15n =81036(m +n)=828， 解得：{m =15n =8； 答：甲队每天的施工费为15万元，乙队每天的施工费为8万元；（3）∵乙队单独完成这项工程需90天，甲、乙合作完成此项工程共需36天， ∴甲队单独完成这项工程的天数为1136−190=60， 设乙队施工a 天，甲队施工b 天，由题意得：{a 90+b 60=1①15b +8a ≤840②， 由①得：b ＝60−23a ，把b ＝60−23a 代入②得：15×（60−23a ）+8a ≤840，解得：a ≥30，即乙队最少施工30天；答：乙队最少施工30天．9．定义：如果一个分式能化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式，则称这个分式为“和谐分式”．如：x+1x−1=x−1+2x−1=x−1x−1+2x−1=1+2x−1，2x−3x+1=2x+2−5x+1=2x+2x+1+−5x+1=2+−5x+1，则x+1x−1和2x−3x+1都是“和谐分式”．（1）下列式子中，属于“和谐分式”的是 （填序号）；①x+1x ；②2+x 2；③x+2x+1；④y 2+1y 2（2）将“和谐分式”a 2−2a+3a−1化成一个整式与一个分子为常数的分式的和的形式为：a 2−2a+3a−1= + ；（3）应用：先化简3x+6x+1−x−1x ÷x 2−1x 2+2x ，并求x 取什么整数时，该式的值为整数． 【解答】解：（1）①x+1x =1+1x ，是和谐分式；③x+2x+1=x+1+1x+1=1+1x+1，是和谐分式；④y 2+1y 2=1+1y 2，是和谐分式； 故答案为：①③④；（2）a 2−2a+3a−1=a 2−2a+1+2a−1=(a−1)2+2a−1=a ﹣1+2a−1，故答案为：a ﹣1、2a−1；（3）原式=3x+6x+1−x−1x •x(x+2)(x+1)(x−1) =3x+6x+1−x+2x+1=2x+4x+1 =2(x+1)+2x+1＝2+2x+1，∴当x +1＝±1或x +1＝±2时，分式的值为整数，此时x ＝0或﹣2或1或﹣3，又∵分式有意义时x ≠0、1、﹣1、﹣2，∴x ＝﹣3．10．某商场在一楼至二楼间安装了一部自动扶梯，以匀速向上行驶．甲、乙两同学同时从扶梯上匀速走到二楼，且甲每分钟走动的级数是乙的两倍．已知甲走了24级到扶梯顶部，乙走了16级到扶梯顶部（甲、乙两同学每次只跨一级台阶）．（1）扶梯露在外面的部分有多少级？（2）如果与扶梯并排有一从二楼到一楼的楼梯道，台阶数与扶梯级数相同，甲、乙各自到扶梯顶部后按原速再下楼梯到楼梯底部再乘扶梯，若楼梯与扶梯之间的距离忽略不计，问甲第1次追上乙时是在扶梯上还是在楼梯上？他已经走动的级数是多少级？【解答】解：（1）设扶梯露在外面的部分有x 级，乙每分钟走动的级数为a 级，则甲每分钟走动的级数为2a 级，扶梯每分钟向上运动b 级．由题意得：{242a =x 2a+b ①16a=x a+b ②， ①÷②得：34=a+b 2a+b ，整理得：b ＝2a ，代入②得x ＝48．答：扶梯露在外面的部分有48级；（2）设追上乙时，甲扶梯走了m 遍，楼梯走了n 遍，则乙走扶梯（m ﹣1）遍，走楼梯（n ﹣1）遍．由题意得：48m 4a +48n 2a =48(m−1)3a +48(n−1)a ，整理得：m +6n ＝16，这里m ，n 中必有一个是整数，且0≤m ﹣n ≤1．①若m 为整数，则n =16−m 6，∴{m =1n =52（不合，舍去），{m =2n =73（不合，舍去）{m =3n =136（符合条件）{m =4n =2（不合，舍去）{m =5n =116（不合，以后均不合，舍去） ②若n 为整数，m ＝16﹣6n ，∴{n =1m =10，{n =2m =4，{n =3m =−2⋯，这些均不符合要求，∴{m =3n =136，此时，甲在楼梯上． 他已走动的级数是(48m 4a +48n 2a )×2a =24m +48n =72+104=176（级）．。
人教版数学八年级培优竞赛 分式方程的解 专题课件
＝1
得
y＝ 10＋a
2
，∵y≠2，∴a≠－6，又
y＝
10＋a 2
有
整数解，∴a＝－8 或一 4，所有满足条件的整数 a 的值之和为－12.
1．分式方程 x 1 4 的解为（ B）
x 1 (x 1)(x 2)
A．x＝1
B．x＝2
C．x＝－1
D．x＝－2
2．若分式方程 6 x 5 有增根，则增根是（ A ）
x
（2）x＋ n n＋1 ＝n＋（n＋1）得 x＝n 或 x＝n＋1；
x
（3）解 x＋ n2＋n ＝2n＋4，则（x－3）＋ n2＋n ＝2n＋1，（x－3）＋ nn＋1 ＝n＋
x－3
x－3
x－3
（n＋l），由（2）得 x－3＝n 或 x－3＝n＋1，故原方程的解为 x＝n＋3 或 x＝n
＋4.
谢谢观赏
x 1
10．若解关于 x 的分式方程 2 mx 3 会产生增根，则 m 的值为
x 2 x2 4 x 2
_____－__4__或__．6
11．若分式方程 1 3 ax 无解，求 a 的值．
x2
x2
去分母得 1＋3（x－2）＝ax，整理得（a－3）x＝－5，当 a＝3 时，该方程无解；
当 a≠3 时，若 x＝2，则分式方程也无解，此时 a＝ 1 ，综上，a＝3 或 a＝ 1 .
≠－3
时，方程的解为负数，解得
m＜4
或
m≠2.
13.阅读材料：
关于 x 的方程：
x
1 x
c
1 c
的解为：
x1
c
，x2
=
1 c
；
x
1 x
c
初三数学知识点专题讲解与训练9---特殊与一般(培优版)
为 4 2 ，则 m =
.
2．把抛物线 y = −3(x −1)2 向上平移 k 个单位，所得抛物线与 x 轴相交于点 A( x1，0)和 B( x2 ，0)，
已知
x12
+
x22
=
26 9
，那么平移后的抛物线的解析式为
.
3．抛物线 y = ax2 + bx + c(a ≠ 0)的图象如图所示．
（杭州市中考试题）
S∆ABC = 6 .问：过 A，B，C 三点的圆与该抛物线是否有第四个交点？试说明理由，如果有，求出其坐标． （武汉市中考试题）
7．已知抛物线 y = x2 + px + q 上有一点 M (x0, y0 )位于 x 轴下方.
（1）求证：已知抛物线必与 x 轴有两个交点 A( x1， ，0) B( x2，0)，其中 x1＜ x2；
（（23））每每件件商商品品的的售售价价定定为为多多少少元元时时，，每每个个月月的可利获润得恰最为大利22润00？元最？大根的据月以利上润的是结多论少，元请？你直接写出 售价在什么范围时，每个月的利润不低于 2200 元？
（武汉市中考试题）
B级
1．已知抛物线 y = x2 + 2mx + m − 7 与 x 轴的两个交点在（1，0）两旁，则 m 的取值范围为
A( ， ， x1 0) B( x2 ，0)，其中 ，x1 x2 是方程两相异实根， AB =
b2 − 4ac
;
a
当2. ∆ = 0时，方程有两个相等实数根，抛物线与 x 轴只有一个交点； 由3.当于∆二<次0函时数，与方二程次没方有程实有数着根深，刻抛的物内线在与联x系轴，没所有以交，点善．于促成二次函数问题与二次方程问题相互 转化，是解相关问题的常用技巧．
九年级数学竞赛培优专题及答案 09 特殊与一般(含答案)
专题09 特殊与一般——二次函数与二次方程阅读与思考二次函数的一般形式是()02≠++=a c bx ax y ，从这个式子中可以看出，二次函数的解析式实际上是关于x 的二次三项式，若令y =0，则得02=++c bx ax这是一个关于x 的一元二次方程，因此，二次函数与一元二次方程有着密切的联系，表现为： 1.当0>∆时，方程有两个不相等实数根，抛物线与x 轴有两个不同的交点，设为A (1x ，0)，B (2x ，0)，其中1x ，2x 是方程两相异实根，aacb AB 42-=;2.当0=∆时，方程有两个相等实数根，抛物线与x 轴只有一个交点；3.当0<∆时，方程没有实数根，抛物线与x 轴没有交点．由于二次函数与二次方程有着深刻的内在联系，所以，善于促成二次函数问题与二次方程问题相互转化，是解相关问题的常用技巧．例题与求解【例1】（1）抛物线c bx ax y ++=2与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点C ，若ABC ∆是直角三角形，则ac = .（全国初中数学联赛试题）（2）为使方程b x x +=+-311322有四个不同的实数根，则实数b 的取值范围为 . 解题思路：对于（1），ABC ∆为直角三角形，则A ，B 两点在原点的两旁，运用根与系数关系及射影定理解题，对于（2），作出函数图象，借助图象解题．【例2】设一元二次方程0622=-++k kx x 的根分别满足下列条件：①两根均大于1；②一根大于1，另一根小于1；③两根均大于1且小于4．试求实数k 的取值范围．解题思路：因为根的表达式复杂，故应把原问题转化为二次函数问题来解决，作出函数图象，借助图象找制约条件．【例3】如果抛物线()1122++-+-=m x m x y 与x 轴交于A ，B 两点，且A 点在x 轴的正半轴上，B 点在x 轴的负半轴上，OA 的长是a ，OB 的长是b ， （1）求m 的取值范围；（2）若1:3:=b a ，求m 的值，并写出此时抛物线的解析式； （3）设（2）的抛物线与y 轴交于点C ，抛物线的顶点是M ，问：抛物线是否存在一点P ，使得PAB ∆面积等于BCM ∆的面积的8倍？若存在，求出P 点坐标，若不存在，请说明理由．（南京市中考试题）解题思路：由题设条件得相应二次方程两实根的符号特征，两实根的关系，这是解本例的突破口．【例4】 设p 是实数，二次函数p px x y --=22的图像与x 轴有2个不同的交点A ()0,1x ，B ()0,2x ． （1）求证：032221>++p x px ；（2）若A ，B 两点之间距离不超过32-p ，求p 的最大值．（全国初中数学联赛试题）解题思路：根据题意，方程022=--p px x 有两个不同的实数根1x ，2x ，于是0>∆，综合运用判别式、根与系数关系、根的方程、不等式来解．【例5】是否存在这样的实数k ，使得二次方程()()023122=+--+k x k x 有两个实数根，且两根都在2与4之间？如果有，试确定k 的取值范围；如果没有，试述理由．（“祖冲之杯”邀请赛试题）解题思路：由于根的表示形式复杂，因此，应把原问题转化为二次函数问题来讨论，即讨论相应二次函数交点在2与4之间，k 应满足的条件，借助函数图象解题．【例6】设m ，n 为正整数，且2≠m .如果对一切实数t ，二次函数()mt x mt x y 332--+=的图象与x 轴的两个交点间的距离不小于n t +2，求m ，n 的值．（全国初中数学联赛试题）解题思路：由()0332=--+mt x mt x ，得mt x x =-=21,3，由条件得n t mt +≥+23，因此不等式对任意实数t 都成立，故将问题转化为判别式结合正整数求解．能力训练A 级1．已知二次函数2242m mx x y +-=的图象与x 轴有两个交点A ，B ，顶点为C ，若△ABC 的面积为24，则m = .2．把抛物线()213--=x y 向上平移k 个单位，所得抛物线与x 轴相交于点A (1x ，0)和B (2x ，0)，已知9262221=+x x ，那么平移后的抛物线的解析式为 . （杭州市中考试题） 3．抛物线()02≠++=a c bx ax y 的图象如图所示．（1）判断abc 及ac b 42-的符号：abc 0 ，ac b 42- 0； .（2）当OB OA =时，c b a ,,满足的关系式为________________ .4．已知二次函数c bx ax y ++=2的图象过（-1，0）和（0，-1）两点，则a 的取值范围为 . （黑龙江省中考试题）5．若关于x 的方程0322=+-m x x 的一个根大于-2，且小于-1，另一个根大于2且小于3，则m 的取值范围是（ ）A. 89<m B.8914<<-m C. 59<<-m D. 214-<<-m （天津市竞赛试题） 6．设函数()()5412+-+-=m x m x y 的图象如图所示，它与x 轴交于A ，B 两点，且线段OA 与OB 的长的比为1:4，则m 的值为（ ）A. 8B.-4C. 11D. -4 或117．已知二次函数c bx ax y ++=2与x 轴相交于两点A (1x ，0)，B (2x ，0)，其顶点坐标为P⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--44,22b c b ，AB=21x x -，若1=∆APB S ，则b 与c 的关系是（ ） A. 0142=+-c b B. 0142=--c bC. 0442=+-c bD. 0442=--c b（福州市中考试题）8．设关于x 的方程()0922=+++a x a ax 有两个不等的实数根1x ，2x ，且1x ＜1＜2x ，那么a的取值范围是（ ）A. 5272<<-a B. 52>a C. 72-<a D. 0112<<-a（全国初中数学竞赛试题）第4题图第3题图第6题图9．已知二次函数()()628222+++-=m x m x y ．（1）求证：不论m 取任何实数，此函数的图象都与x 轴有两个交点，且两个交点都在x 轴的正半轴上；（2）设这个函数的图象与x 轴交于B ，C 两点，与y 轴交于A 点，若△ABC 的面积为48，求m 的值． （徐州市中考试题）10．已知抛物线m mx x y 223212--=交x 轴于A (1x ，0)，B (2x ，0)，交轴于C 点，且1x ＜0＜2x ，()1122+=+CO BO AO（1）求抛物线的解析式；（2）在x 轴的下方是否存在着抛物线上的点P ，使∠APB 为锐角？若存在，求出P 点的横坐标的范围；若不存在，请说明理由．（武汉市中考试题）11．已知抛物线m m mx x y -++=2218381与x 轴交于A (1x ，0)，B (2x ，0) (1x ＜2x )两点，与y 轴交于点C (0，b )，O 为原点．（1）求m 的取值范围．（2）若81>m ，且OC OB OA 3=+，求抛物线的解析式及A ，B ，C 的坐标； （3）在（2）情形下，点P ，Q 分别从A ，O 两点同时出发（如图）以相同的速度沿AB ，OC 向B ，C 运动，连接PQ 与BC 交于M ，设AP =k ，问：是否存在k 值，使以P ，B ，M 为顶点的三角形与△ABC 相似？若存在，求所有k 值；若不存在，请说明理由．（黄冈市中考试题）12．某商品的进价为每件40元，售价为每件50元，每个月可卖出210件；如果每件商品的售价每上涨1元，则每个月少卖10件（每件售价不能高于65元），设每件商品的售价上涨x 元（x 为正整数），每个月的销售利润为y 元．（1）求y 与x 的函数关系式并直接写出自变量x 的取值范围；（2）每件商品的售价定为多少元时，每个月可获得最大利润？最大的月利润是多少元？（3）每件商品的售价定为多少元时，每个月的利润恰为2200元？根据以上的结论，请你直接写出售价在什么范围时，每个月的利润不低于2200元？（武汉市中考试题）B 级1．已知抛物线722-++=m mx x y 与x 轴的两个交点在（1，0）两旁，则m 的取值范围为 ____________.2．设抛物线()452122++++=a x a x y 的图象与x 轴只有一个交点，则618323-+a a 的值为 ____________.（全国初中数学联赛试题）3．设m 是整数，且方程0232=-+mx x 的两根都大于59-而小于73，则m = .（全国初中数学联赛试题）4．已知抛物线12++=kx x y 与x 轴的正方向相交于A ，B 两点，顶点为C ，△ABC 为等腰直角三角形，则k = .5．如图，已知抛物线q px x y ++=2与x 轴交于A ，B 两点，交y 轴负半轴于C 点，∠ACB =90°，且OCOB OA 211=-，则△ABC 的外接圆的面积为 .yxCBAO6．已知抛物线12-++=k kx x y ，（1）求证：无论k 为何实数，抛物线经过x 轴上的一定点；（2）设抛物线与y 轴交于C 点，与x 轴交于A (1x ，0)，B (2x ，0)，两点，且满足：1x ＜2x ，21x x <，6=∆ABC S .问：过A ，B ，C 三点的圆与该抛物线是否有第四个交点？试说明理由，如果有，求出其坐标．（武汉市中考试题）7．已知抛物线q px x y ++=2上有一点()00,y x M 位于x 轴下方.（1）求证：已知抛物线必与x 轴有两个交点A (1x ，0)，B (2x ，0)，其中1x ＜2x ； （2）求证：1x ＜0x ＜2x ;（3）当点M 为（1，-2）时，求整数1x ，2x . （《学习报》公开赛试题）8．随着绿城南宁近几年城市建设的快速发展，对花木的需求量逐年提高，某园林专业户计划投资种植花卉及树木，根据市场调查与预测，种植树木的利润y 1与投资量x 成正比例的关系，如图1所示；种植花卉的利润y 2与投资量x 成二次函数关系，如图2所示（注：利润与投资量的单位：万元）（1）分别求出利润y 1与y 2关于投资量x 的函数关系式；（2）如果这位专业户以8万元资金投入种植花卉和树木，他至少获得多少利润？他能获得的最大利润是多少？（南宁市中考试题）图2图19．已知以x 为自变量的二次函数23842---=n nx x y ，该二次函数图象与x 轴两个交点的横坐标的差的平方等于关于x 的方程()0)45)(1(2672=++++-n n x n x 的一整数根，求n 的值．（绍兴市竞赛试题）10．如图，在直角坐标系中，点A 的坐标为（-2，0），连结OA ，将线段OA 绕原点O 顺时针旋转120°，得到线段OB ．（1）求点B 的坐标；（2）求经过A ，O ，B 三点的抛物线的解析式；（3）在（2）中抛物线的对称轴上是否存在点C ，使△BOC 周长最小？若存在，求点出C 的坐标；若不存在，请说明理由；（4）如果点P 是（2）中的抛物线上的动点，且在x 轴的下方，那么△P AB 是否有最大面积？若有，求出此时P 点的坐标及△P AB 的最大面积；若没有，请说明理由．（深圳市中考试题）11．如图1，抛物线32++=bx ax y 经过两点A （-3，0），B （-1，0）两点. （1）求抛物线的解析式；（2）设抛物线的顶点为M ，直线92+-=x y 与y 轴交于点C ，与直线OM 交于点D ，现将抛物线平移，保持顶点在直线OD 上，若平移的抛物线与射线CD （含端点C ）只有一个公共点，求它的顶点横坐标的值或取值范围；（3）如图2，将抛物线平移，当顶点至原点时，过Q (0，3)作不平行于x 轴的直线交抛物线于E ，F 两点，问在y 轴的负半轴上是否存在点P ，使得△PEF 的内心在y 轴上？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．（武汉市中考试题）12．已知二次函数c bx x y -+=2的图象经过两点P (1，a )，Q (2，10a ) （1）如果a ，b ，c 都是整数，且a b c 8<<，求a ，b ，c 的值；（2）设二次函数c bx x y -+=2的图象与x 轴的交点为A ，B ，与y 轴的交点为C ，如果关于x 的方程02=-+c bx x 的两个根都是整数，求△ABC 的面积．（全国初中数学联赛试题）图2图1专题09特殊与一般 ——二次函数与二次方程例1（1）-1 提示：BO AO OC•=2，即.212ac x x c == (2)令,31,132221b x y x x y +=+-=当01=y 时，01322=+-x x ，∴23±=x∴()().0,23,0,23+-Q P①若直线1l 过P 点，此时两图象有三个交点，再向上移将有四个交点，∴0=(),2331b +-则;363--=b ②若直线2l 与抛物线PQ 部分相切，恰有三个交点， ∴⎪⎩⎪⎨⎧+=+-=,31,132221b x y x x y 整理得 (),014335,0133522=+-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=∆=++-b b x x 则.1213336,1213<<-∴=b b 例2（1）如图1，设()()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>⨯->≥--=∆-++==,1122,01,0644,6222kf k k k kx x x f y ∴.37-≤<-k(2)如图2，(),01<f 则.7-<k（3）如图3，()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<-<>>>∆,4221,04,010kf f ，则.3722-≤<-k322++-=x x y ，1=S点存在,P 点的坐标是:(1,4),(221±，一4). 例4提示:.,2,04421212p x x p x x p p -==+>+=∆(1)原式=()().0444232222121>+=++=+++p p p x x p p p px px(2)()3244422122112-≤+=-+=-=p p p x x x x x x AB 两边平方，解得169≤p . 169=p 符合题意，故p 的最大值为169. 例5这样的k 值不存在，理由如下:设()()()23122+--+==k x k x x f y 并作出如图所示的图象，则()()()()()()()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<+-=-<>+--+=>+--+=≥++-=∆.42122,023124164,023122420234122k a b k k f k k f k k ，这个不等式组无解. 例6 由,23n t mt +≥+得()(),2322n t mt +≥+即()().09464222≥-+-+-n t n m t m 由题意知，,042≠-m 且上式对一切实数t 恒成立，故()()()⎩⎨⎧≤----=∆>-,094446042222n m n m m 即()⎩⎨⎧≤->,064,22mn m 得⎩⎨⎧==2,3n m 或⎩⎨⎧==.1,6n m A 级1.2± 2.35632-+-=x x y 提示:设平移后的抛物线的解析式为().132k x y +--= 3.（1）< > (2)ac -b +1=0 4.0<a <1 提示:当x =1时,y <0. 5. C 提示:设(),322m x x x f +-=，由已知画出y = f (x )的大致图象，知()(),01,02<->-f f ()(),03,02><f f 联立解得.59-<<-m 6.C 7.D 8.D 提示：,09212=+⎪⎭⎫ ⎝⎛++x a x 记,9212+⎪⎭⎫ ⎝⎛++=x a x y 则这个抛物线开口向上，由题意得x =1时, y <0. 9. (1)证明略 (2)2±=m 10.(1)m =1,223212--=x x y (2) 存在这样的P 点，其横坐标为0x ，使∠APB 为锐角.提示:A (一1,0),B (4,0),C (0，一2). ,222AB BC AC =+△ABC 为直角三角形，过A ，B ，C 三点作⊙1O ，则AB 为⊙1O 的直径，C 点关于直线23=x 的对称点M 是⊙1O 与抛物线的另一交点，M （3，-2），.300<<x 11.(1)181>m (2)()()().4,0,0,4,0,8.423812C B A x x y --++= (3)当PQ ∥AC 时，则,QO CO PO AP =即,48k k k k -=-解得;38=k 当PQ ∥AC 时，∠CAB =∠PMB 时，同理可求得,2=k 故存在k 符合题目条件，38=k 或2时，所得三角形与△ABC 相似.12.（1）()()2100110104050102102++-=-+-=x x x x y （150≤<x 且x 为整数）（2）()∴<-=+--=,010.5.24025.5102a x y 当x =5.5时，y 有最大值2402.5.∵150≤<x 且x 为整数，当x =5时，50+x =55,y =2400（元）；当x =6时，50+x =56,y =2400（元）.∴当售价定为每件55元或56元，每个月的利润最大，最大的月利润是 2 400元.(3)当y =2 200时，,2200210011010-2=++x x 解得∴==.10,121x x 当x =1时，50+x =51；当x =10时，50+x =60.∴当售价定为每件51元或60元，每个月的利润恰为2 200元; 当售价不低于51元且不高于60元且为整数时，每个月的利润不低于2200元(或当售价分别为51,52,53,54,55,56,57,58，59，60元时，每个月的利润不低于2200元）．1．m ＜2 提示：f (1)＜0.2. 5 796 提示：a 2－a －1＝0，a 4＝(a ＋1)2＝3a ＋2，a 8 ＝(3a ＋2)2 ＝21a ＋13，a 16＝(21a ＋13)2 ＝987a ＋610，a 18＝（987a ＋ 610）（a ＋1）＝987a 2＋1597a ＋610＝2584a ＋1597，a －6＝1a 4•a 2＝18a ＋5.3. 4 提示：由题意得3×（－95）2＋m （－95）－2＞0，3×（37）2＋m （37）－2＞0，－95＜－m 6＜37.解得3821＜m ＜41345． 4．－2 25. 2π 提示：设A (x 1,0)，B (x 2,0),OA ＝―x 1，OB ＝x 2，得⎩⎪⎨⎪⎧－q ＝q 2－p q 2＝2|q | ,解得⎩⎨⎧q ＝－1p ＝－2.y ＝x 2－2x －1,AB ＝|x 2―x 1|＝2 2.6．(1)抛物线恒过x 轴上一定点(－1，0)． (2)过A ，B ，C 三点的圆与抛物线有第四个交点D ．∵|x 1|＜| x 2|，C 点在y 轴上，C 不是抛物线顶点，x 1＝－1,x 2＞1，即x 2＝1－k ＞1，得k ＜0，由S △ABC ＝6得k ＝－2，∴y ＝x 2－2x －3，其对称轴为x ＝1，根据对称性，D 点坐标(2，－3）．， 7．(1)由y 0＝x 02＋Px 0＋q ＝（x 0＋p 2）2－p 2－4q 4，得p 2－4q ＝4 (x 0＋p 2）2－4 y 0≥―4y 0＞0. (2)将p ＝－（x 1＋x 2）,q ＝x 1•x 2,代入y 0＝x 02＋Px 0＋q ＜0,得x 02－(x 1＋x 2)x 0＋x 1x 2＜0,即（x 0－x 1）（x 0－x 2）＜0.证得x 1＜x 0＜x 2. (3)⎩⎨⎧x 1＝0x 2＝3或⎩⎨⎧x 1＝－1x 2＝2. 8.(1)y 1＝2x ,y 2＝12x 2.(2)设种植树木的资金投入为x 万元，那么种植花卉的资金投入为（8―x ）万元，两项投入所获得的总利润为y 万元，依题意，得y ＝y 1＋y 2＝2x ＋12（8－x ）2＝12x 2－6x ＋32＝12(x －6)2＋14.∴当x ＝6时，y 最小＝14．因此，这位专业户至少获利14万元，∵0≤x ≤8，抛物线的对称轴为x ＝6，当0≤x ＜6时，y 随x 的增大而减小，所以x ＝0时，y 最大＝32；当6≤x ≤8时，y 值随x 的增大而增大，所以x ＝8时，y 最大＝16．综上可知，这位专业户能获取的最大利润是32万元。
初中九年级数学竞赛培优讲义全套专题09 特殊与一般_答案
专题09特殊与一般 ——二次函数与二次方程例1（1）-1 提示：BO AO OC∙=2，即.212ac x x c == (2)令,31,132221b x y x x y +=+-=当01=y 时，01322=+-x x ，∴23±=x∴()().0,23,0,23+-Q P①若直线1l 过P 点，此时两图象有三个交点，再向上移将有四个交点，∴0=(),2331b +-则;363--=b ②若直线2l 与抛物线PQ 部分相切，恰有三个交点， ∴⎪⎩⎪⎨⎧+=+-=,31,132221b x y x x y 整理得 (),014335,0133522=+-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=∆=++-b b x x 则.1213336,1213<<-∴=b b 例2（1）如图1，设()()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>⨯->≥--=∆-++==,1122,01,0644,6222kf k k k kx x x f y ∴.37-≤<-k(2)如图2，(),01<f 则.7-<k（3）如图3，()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<-<>>>∆,4221,04,010kf f ，则.3722-≤<-k例3（1）m >-1 (2)322++-=x x y (3)A (3,0),B (-1,0),C(0,3),M(1,4),，1=∆BCM S 满足条件的P 点存在,P 点的坐标是:(1,4),(221±，一4). 例4提示:.,2,04421212p x x p x x p p -==+>+=∆(1)原式=()().0444232222121>+=++=+++p p p x x p p p px px(2)()3244422122112-≤+=-+=-=p p p x x x x x x AB 两边平方，解得169≤p . 169=p 符合题意，故p 的最大值为169.例5这样的k 值不存在，理由如下:设()()()23122+--+==k x k x x f y 并作出如图所示的图象，则()()()()()()()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<+-=-<>+--+=>+--+=≥++-=∆.42122,023124164,023122420234122k a b k k f k k f k k ，这个不等式组无解. 例6 由,23n t mt +≥+得()(),2322n t mt +≥+即()().09464222≥-+-+-n t n m t m 由题意知，,042≠-m 且上式对一切实数t 恒成立，故()()()⎩⎨⎧≤----=∆>-,094446042222n m n m m 即()⎩⎨⎧≤->,064,22mn m 得⎩⎨⎧==2,3n m 或⎩⎨⎧==.1,6n m A 级 1.2± 2.35632-+-=x x y 提示:设平移后的抛物线的解析式为().132k x y +--= 3.（1）< > (2)ac -b +1=0 4.0<a <1 提示:当x =1时,y <0. 5. C提示:设(),322m x x x f +-=，由已知画出y = f (x )的大致图象，知()(),01,02<->-f f ()(),03,02><f f 联立解得.59-<<-m 6.C 7.D 8.D 提示：,09212=+⎪⎭⎫ ⎝⎛++x a x 记,9212+⎪⎭⎫ ⎝⎛++=x a x y 则这个抛物线开口向上，由题意得x =1时,y <0. 9. (1)证明略 (2)2±=m 10.(1)m =1,223212--=x x y (2) 存在这样的P 点，其横坐标为0x ，使∠APB 为锐角.提示:A (一1,0),B (4,0),C (0，一2).,222AB BC AC =+△ABC 为直角三角形，过A ，B ，C 三点作⊙1O ，则AB 为⊙1O 的直径，C 点关于直线23=x 的对称点M 是⊙1O 与抛物线的另一交点，M （3，-2），.300<<x 11.(1)181>m (2)()()().4,0,0,4,0,8.423812C B A x x y --++= (3)当PQ ∥AC 时，则,QO CO PO AP =即,48k k k k -=-解得;38=k 当PQ ∥AC 时，∠CAB =∠PMB 时，同理可求得,2=k 故存在k 符合题目条件，38=k 或2时，所得三角形与△ABC 相似. 12.（1）()()2100110104050102102++-=-+-=x x x x y （150≤<x 且x 为整数） （2）()∴<-=+--=,010.5.24025.5102a x y 当x =5.5时，y 有最大值2402.5.∵150≤<x 且x 为整数，当x =5时，50+x =55,y =2400（元）；当x =6时，50+x =56,y =2400（元）.∴当售价定为每件55元或56元，每个月的利润最大，最大的月利润是2 400元.(3)当y =2 200时，,2200210011010-2=++x x 解得∴==.10,121x x 当x =1时，50+x =51；当x =10时，50+x =60.∴当售价定为每件51元或60元，每个月的利润恰为2 200元; 当售价不低于51元且不高于60元且为整数时，每个月的利润不低于2200元(或当售价分别为51,52,53,54,55,56,57,58，59，60元时，每个月的利润不低于2200元）．1．m ＜2 提示：f (1)＜0.2. 5 796 提示：a 2－a －1＝0，a 4＝(a ＋1)2＝3a ＋2，a 8 ＝(3a ＋2)2 ＝21a ＋13，a 16＝(21a ＋13)2 ＝987a ＋610，a 18＝（987a ＋ 610）（a ＋1）＝987a 2＋1597a ＋610＝2584a ＋1597， a －6＝1a 4•a 2＝18a ＋5.3. 4 提示：由题意得3×（－95）2＋m （－95）－2＞0，3×（37）2＋m （37）－2＞0，－95＜－m 6＜37.解得3821＜m ＜41345． 4．－2 25. 2π 提示：设A (x 1,0)，B (x 2,0),OA ＝―x 1，OB ＝x 2，得⎩⎪⎨⎪⎧－q ＝q 2－p q 2＝2|q |,解得⎩⎨⎧q ＝－1p ＝－2.y ＝x 2－2x－1,AB ＝|x 2―x 1|＝2 2.6．(1)抛物线恒过x 轴上一定点(－1，0)．(2)过A ，B ，C 三点的圆与抛物线有第四个交点D ．∵|x 1|＜| x 2|，C 点在y 轴上，C 不是抛物线顶点，x 1＝－1,x 2＞1，即x 2＝1－k ＞1，得k ＜0，由S △ABC ＝6得k ＝－2，∴y ＝x 2－2x －3，其对称轴为x ＝1，根据对称性，D 点坐标(2，－3）．，7．(1)由y 0＝x 02＋Px 0＋q ＝（x 0＋p 2）2－p 2－4q 4，得p 2－4q ＝4 (x 0＋p2）2－4 y 0≥―4y 0＞0.(2)将p ＝－（x 1＋x 2）,q ＝x 1•x 2,代入y 0＝x 02＋Px 0＋q ＜0,得x 02－(x 1＋x 2)x 0＋x 1x 2＜0,即（x 0－x 1）（x 0－x 2）＜0.证得x 1＜x 0＜x 2.(3)⎩⎨⎧x 1＝0x 2＝3或⎩⎨⎧x 1＝－1x 2＝2. 8.(1)y 1＝2x ,y 2＝12x 2.(2)设种植树木的资金投入为x 万元，那么种植花卉的资金投入为（8―x ）万元，两项投入所获得的总利润为y 万元，依题意，得y ＝y 1＋y 2＝2x ＋12（8－x ）2＝12x 2－6x ＋32＝12(x －6)2＋14.∴当x ＝6时，y 最小＝14．因此，这位专业户至少获利14万元，∵0≤x ≤8，抛物线的对称轴为x ＝6，当0≤x ＜6时，y 随x 的增大而减小，所以x ＝0时，y 最大＝32；当6≤x ≤8时，y 值随x 的增大而增大，所以x ＝8时，y 最大＝16．综上可知，这位专业户能获取的最大利润是32万元。
学而思初二数学第9讲.解特殊复杂方程.尖子班.教师版
方程10级 判别式与求根公式方程11级 解特殊复杂方程 方程6级方程12级 特殊根问题春季班 第十讲寒假班 第二讲特殊的梦满分晋级阶梯漫画释义9解特殊复杂方程初二春季·第9讲·尖子班·教师版解含参数的一元二次方程时，只需将参数当做已知数来解方程，需要注意的是二次项系数如果含有参数的话，二次项系数不能为零．【引例】 解关于x 的方程20ax bx c ++=【解析】 ⑴ 当0a =，0b ≠时，cx b=-0b =时，0c =，方程有无数解；0b =时，0c ≠，方程无解；⑵ 当0a ≠时，原方程可化为20b cx x a a++=222424b b ac x a a -⎛⎫+=⎪⎝⎭ 当240b ac ->时， 2142b b ac x a -+-=，2242b b ac x a---=知识互联网思路导航例题精讲题型一：解含参数的一元二次方程当240b ac -=时，122b x x a==-当240b ac -<时，该方程无实数根．【例1】 解关于x 的方程()2120a x ax a --+=.【解析】 ⑴当1a =时，方程的根为12x =； ⑵当1a ≠时，()()22414a a a a ∆=---=当0∆>时，即当0a >且1a ≠时，方程有两个不相等的实数根1211a a a ax x a a +-==--，； 当0∆=时，即当0a =时，方程有两个相等的实数根120x x ==； 当0∆<时，即当0a <时，方程没有实数根．求解高次方程与方程组的基本思路与解一元二次方程的思路一样，采取消元以及降次的方法将原方程化简，有时可以采取换元等简便方法．【引例】 解方程组5,14.x y xy +=⎧⎨=-⎩①②【解析】 把①变形为5y x =-，代入②，用代入消元法解．()514x x -=-25140x x -++= 25140x x --= ()()720x x -+= 127,2x x ==-例题精讲思路导航典题精练题型二：解高次整式方程和方程组初二春季·第9讲·尖子班·教师版∴121272,27x x y y ==-⎧⎧⎨⎨=-=⎩⎩【例2】 解下列方程： ⑴ 3223x x x -= ⑵ 427120x x -+=【解析】 ⑴ 移项，得32230x x x --=．提取公因式并应用十字相乘法分解因式，得(3)(1)0x x x -+=．所以原方程的解是1203x x ==，，31x =-．⑵ 方程中只含有未知数的四次项、二次项与常数项，这是通常所称的双二次方程， 将2x 作为一个整体分解因式，得22(4)(3)0x x --=，即()()()()22330x x x x +-+-=，从而原方程的解是12x =-，22x =，33x =-，43x =．【例3】 解方程组⑴()221110x y x y -=⎧⎪⎨++=⎪⎩①② ⑵22235049 5.x y x y +-=⎧⎨-=⎩【解析】 ⑴对于由一个二元一次方程和一个二元二次方程所组成的方程组，基本解法是代入消元法．由①得1x y =+③，代入②，得22(11)10y y +++=，整理得2230y y +-=， 解得13y =-，21y =．将13y =-，21y =分别代入③，得12x =-，22x =， 所以原方程组的解是1123x y =-⎧⎨=-⎩，2221x y =⎧⎨=⎩⑵原方程组可化为235(23)(23)5x y x y x y +=⎧⎨+-=⎩①②，将①代入②，得231x y -=③，解由①、③组成的方程组，得原方程组的解是3223x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩典题精练题型三：解分式方程和无理方程分式方程需注意的就是必须要检验 根号下含有未知数的方程叫做无理方程．．．．，其思想是将无理方程转化为我们熟悉的有理方程求解，注意：无理方程和分式方程一样均需检验，必须带入原方程进行检验．【引例】 322x +=【解析】 两边同时完全平方得：324x +=，23x =，将23x =代入320x +>， 所以原方程的解为23x =【例4】 解方程⑴222241422x x x x x x -+=-+- ⑵2251010715x x x x --+=-- ⑶ 16252736x x x x x x x x +++++=+++++ 【解析】 ⑴原方程变形为()()()()2412222x x x x x x x -+=+-+-． 两边同乘以()()22x x x +-，并整理得2560x x -+=． 解得12x =，23x =． 经检验，2x =是增根． ∴原方程的解为3x =．⑵设251x y x -=-．代入原方程，并整理得：27100y y -+=． 解得12y =，25y =．由2521x x -=-解得13x =，21x =-．由2551x x -=-解得30x =，45x =．经检验，原方程的解是13x =，21x =-，30x =，45x =．典题精练例题精讲思路导航初二春季·第9讲·尖子班·教师版⑶原方程化为()()()()116723x x x x =++++，即290x +=，解得92x =-．【例5】 1.42424x x +-=．【解析】 方42442x x +-．两边平方，得()421684242x x x +=---．3422x -=． 两边平方，得9424x -=．解之，得1716x =．经检验，1716x =是原方程的解．方法二：把方程左边进行分子有理化，得44242x x =+--．42421x x +-．与原方程相加，得2425x +=．解之，得1716x =．经检验，1716x =是原方程的解．42x y +=，则242x y =-． 代入原方程，得244y y +-． 244y y -=-．两边平方，得224168y y y -=-+．解得52y =．∴1716x =．经检验，1716x =是原方程的解．42x m +=42x n -=，则 2242424x m x n m n ⎧+=⎪-=⎨⎪+=⎩①②③ 由①-②得224m n -=．④④÷③，得1m n -=．∴52m =．5422x +=．解之，得1716x =．经检验，1716x =是原方程的解．2. 解方程：22183021845x x x x ++=++【解析】 令21845y x x =++，则原方程化为22150y y --=．解之得3y =-（舍去）或5y =．于是得到原方程的解为961x =--或961x =-+．【例6】 解方程2255120x x x x +---=． 【解析】 原方程就是()22515110x x x x ---+-=设251x y -=，则有210y xy x -+-=． 分解因式，得()()110y y x -+-=． 所以，当10y -=时，有2511x -=． 解得105x =±． 当10y x +-=时，有2511x x -=-．解得11x =-，212x =．经检验，只有105x =±是原方程的根．【例7】 解方程组：⎪⎩⎪⎨⎧=++=++623222y x y xy x .【解析】原方程组可变形为()()⎪⎩⎪⎨⎧=-++=++②①62 2322xy y x xy y x ①×2＋②得，()()261022+=+++y x y x 令y x u +=，则0261022=--+u u ∴221+=u ，242--=u ， 即22+=+y x 或24--=+y x ，当22+=+y x 时，代入①得22=xy ，解方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+=+2222xy y x可得21=x ，21=y 或22=x ，22=y ；当24--=+y x 时，代入①得246+=xy ，而方程组⎪⎩⎪⎨⎧+=--=+24624xy y x 无实数解．综上所述，方程组的解为⎪⎩⎪⎨⎧==2211y x ；⎪⎩⎪⎨⎧==2222y x .例7精讲：用换元思想探索双二次方程、无理方程、分式方程这三类方程的解法。
人教版数学八年级培优和竞赛二合一讲炼教程公式变形与字母系数方程
1 1、公式变形与字母系数方程【知识精读】含有字母系数的方程和只含有数字系数的一元一次方程的解法是相同的，但用含有字母的式子去乘以或除以方程的两边，这个式子的值不能为零。
公式变形实质上是解含有字母系数的方程对于含字母系数的方程，通过化简，一般归结为解方程型，讨论如下：（1）当时，此时方程为关于x的一元一次方程，解为：（2）当时，分以下两种情况：<1>若，原方程变为，为恒等时，此时x可取任意数，故原方程有无数个解；<2>若，原方程变为，这是个矛盾等式，故原方程无解。
含字母系数的分式方程主要有两类问题：（一）求方程的解，其中包括：字母给出条件和未给出条件：（二）已知方程解的情况，确定字母的条件。
下面我们一起来学习公式变形与字母系数方程【分类解析】1. 求含有字母系数的一元一次方程的解例1. 解关于x的方程分析：将x以外字母看作数字，类似解一元一次方程，但注意除数不为零的条件。
解：去分母得：移项，得2. 求含字母系数的分式方程的解例2. 解关于x的方程分析：字母未给出条件，首先挖掘隐含的条件，分情况讨论。
解：若a、b全不为0，去分母整理，得对是否为0分类讨论：（1）当，即时，有，方程无解。
（2）当，即时，解之，得若a、b有一个为0，方程为，无解若a、b全为0，分母为0，方程无意义检验：当时，公分母，所以当时，是原方程的解。
说明：这种字母没给出条件的方程，首先讨论方程存在的隐含条件，这里a、b全不为0时，方程存在，然后在方程存在的情况下，去分母、化为一元一次方程的最简形式，再对未知数的字母系数分类讨论求解。
当a、b中只有一个为0时，方程也存在，但无解；当a、b全为0时，方程不存在。
最后对字母条件归纳，得出方程的解。
3. 已知字母系数的分式方程的解，确定字母的条件例3. 如果关于x的方程有唯一解，确定a、b应满足的条件。
分析：显然方程存在的条件是：且解：若且，去分母整理，得当且仅当，即时，解得经检验，是原方程的解应满足的条件：且说明：已知方程有唯一解，显然方程存在的隐含条件是a、b全不为0，然后在方程存在的条件下，求有解且唯一的条件。
中学考试专题讲义之不定方程
不定方程一、（八中2019级九上周考1）某校庆祝建校第23次奖学金颁奖大会在运动场隆重举行，其中科技创新发明奖共有60人获奖，原计划一等奖5人，二等奖15人，三等奖40人。
后经校长会研究决定，在该奖项奖励总金额不变的情况下，各等级获奖人数实际调整为：一等奖10人，二等奖20人，三等奖30人，调整后一等奖每人奖金降低80元，二等奖每人奖金降低50元，三等奖每人奖金降低30元，调整前二等奖每人奖金比三等奖每人奖金多70元，则调整后一等奖每人奖金比二等奖每人奖金多______（南开融侨2019级九上入学）小明暑假外出旅游时，准备给朋友们带些土特产作为礼物，预先了解到当地最富盛名的A、B两种特产的价格之和为140元，小明计划购买B特产的数量比A特产的数量多5盒，但一共不超过60盒，小明在土特产商店发现A正打九折销售，而B的价格提高了10%，小明决定将A、B特产的购买数量对调，这样，实际花费只比原计划多20元。
已知价格和购买数量均为整数，则小明购买土特产实际花费为______元（一外2019级九上周考1）我市某重点中学校团委、学生会发出倡议，在初中各年级捐款购买书籍送给我市贫困地区的学校，初一年级利用捐款买甲、乙两种自然科学书籍若干本，用去5324元，初二年级买了A、B两种文学书籍若干本，用去4849元，其中A、B的数量分别与甲、乙的数量相等，且甲种树与B种书的单价相同，乙种书与A种书的单价相同。
若甲、乙两种书的单价之和为121元，则初一和初二两个年级共向贫困地区的学习捐献了_______本书。
（一外2019级九上入学测试）某超市销售水果时，将A、B、C三种水果采用甲、乙、丙三种方式搭配装箱进行销售，每箱的成本分别为箱中的A、B、C三种水果的成本之和，箱子成本忽略不计，甲种方式每箱分别装A、B、C三种水果6kg，3kg，1kg，乙种方式每箱分别装A、B、C三种水果2kg，6kg，2kg，甲每箱的总成本是每千克A成本的12.5倍，每箱甲的销售利润率为20%，每箱甲比每箱乙的销售价低25%，丙每箱在成本上提高40%标价后打八折销售获利为是每千克A成本的1.2倍，当销售甲、乙、丙三种方式的水果数量之比为2:1:6时，则销售的总利润率为_________；（一中2019级九上入学测试）某公司以A、B两种原料，利用不同的生产工艺手法生产了甲、乙、丙三种袋装的产品，其中甲产品每袋含1千克A原料，3千克B原料；乙产品每袋含2千克A原料，1千克B原料；丙产品每袋含1千克A原料，1千克B原料；若丙产品每袋销售价格为42元，则利润率为20%，该公司决定于中秋节和电商合作，电商进行促销活动，将甲、乙、丙三种袋装的产品各一袋合装成成礼品盒，顾客每购买一个礼品盒可免费赠送一袋乙产品，这样即可实现利润率为30%，则礼品盒的销售价格是________（八中2019级九上第一次月考）2018年9月28日，八中80周年校庆在渝北校区隆重举行，学校总务处购买了红、黄、蓝三种花卉装扮出甲、乙、丙、丁四种造型，其中一个甲造型需要15盆红花，10盆黄花，10盆蓝花；一个乙造型需要5盆红花，7盆黄花，6盆蓝花；一个丙造型需要7盆红花，8盆黄花，9盆蓝花；一个丁造型需要6盆红花，4盆黄花，4盆蓝花。
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1 . (1) (数学、初中、竞赛、初中竞赛、数学竞赛、初中数学竞赛、特殊方程、不定方程、选择题)
设[x]表示不小于x的最小整数，如[3.4]=4，[4]=4，[3.8]=4，[−3.8]=−3.则下列7个结论中，不成立的结论( )
①x≤x;②x≤x+1;
③x=x只有x为整数才成立；④x+2=[x]+2；
⑤x−2=x−2;⑥2x=2x;⑦x
2=x
2
A.不超过3个
B.恰为4个
C.刚好为5个
D.至少有6个
分析：易见①，②，③，④，⑤成立，但⑥，⑦不成立，其实令x=0.5便知⑥，⑦不成立. 详解：A
2. (1、2) (数学、初中、竞赛、初中竞赛、数学竞赛、初中数学竞赛、特殊方程、不定方程、选择题)
关于x的含有绝对值的方程|2x−1|−|x|=2的不同实数解共有（）
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
分析：|2x−1|−|x|=2.
若x≥1
2
，则方程为2x−1−x=2，x=3；
若0≤x<1
2
，则方程为1−2x−x=2，x=−1，不合题意；
若x<0，则方程为1−2x+x = 2. X=−1，
故题设方程的不同实数解共有2个.
详解： B
技巧：分别讨论绝对值的正负性，看结果是否符合题意.
易错点：如果出现不合题意的结果，应该排除掉.
3. (1、2) (数学、初中、竞赛、初中竞赛、数学竞赛、初中数学竞赛、特殊方程、不定方程、选择题)
方程组|x|+y=12
x+|y|=6的解的个数为
（）
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
分析：若x≥0，则x+y=12
x+|y|=6，于是|y|−y=−6，显然不可能；
若x<0，则−x+y=12
x+|y|=6，于是|y|+y=18，解得y=9，
进而求得x=−3.所以原方程组的解为x=−3
y=9，只有1个解.
详解：A
4. (1、2) (数学、初中、竞赛、初中竞赛、数学竞赛、初中数学竞赛、特殊方程、不定方程、填空题)
方程组|x+y|+|x|=4
2|x+y|+3|x|=9的解共有________ 组.
分析：令x+y=u，x=v，则
u+v=4
2u+3v=9，解得v=1，u=3.
于是x+y=±3，x=±1.(x，y)=(1，2)，(1，−4)，(−1，4)或(−1，−2).
详解：4
技巧：我们可以使用换元法，使题目更加简洁明了.
易错点：讨论结果时，不要遗漏任何解.
5. (2、3) (数学、初中、竞赛、初中竞赛、数学竞赛、初中数学竞赛、特殊方程、不定方程、填空题)
设x，y都是正整数，且+=y，则y的最大值为________ .
分析：假设x−116=m2，x+100=n2（m，n为正整数），所以n2−m2=216.即
(n+m)(n−m)=216，显然n+m>n−m，n+m与n-m只能同时为偶数，故n+m
的最大值为108.
详解：108
技巧：已知原式为a+b的形式，我们利用平方差公式，逆向思考可以化简原式，简单解题.
6. (2、3) (数学、初中、竞赛、初中竞赛、数学竞赛、初中数学竞赛、特殊方程、不定方程、填空题)
满足方程|||x−2006|−1|+8|=2006的所有x的和为________ .
分析：因为x−2006−1+8＞0 ，所以x−2006−1+8=||x−2006|−1|+8；由||x−2006|−1|+8=2006得：||x−2006|−1|=1998⋯①
因为x−2006−1≥−1＞−1998，所以由①得|x−2006|−1=1998.
即|x−2006|=1999⋯②
由②得x=2006+1999或2006−1999，即原方程有两个解，
所有解的和是（2006+1999)+(2006−1999)=4012.
详解：4012
技巧：根据绝对值的意义，先化简，再解题.
易错点：需要排除不符合题意的结果.
7. (3、4) (数学、初中、竞赛、初中竞赛、数学竞赛、初中数学竞赛、特殊方程、不定方程、解答题)
求方程组xz−2yt=3
xt+yz=1的整数解.
分析：我们观察，方程组的两个等式左右两边先平方再相加，会消去相同的项，化简再分别讨论.
详解：（xz−2yt）2
+2（xt+yz）2=32+12，化简合并同类项得：
x2+2y2z2+2t2=11
故x2+2y2=1或z2+2t2=1.
①当 x2+2y2=1时，z2+2t2=11，得y=0，x=±1，t=±.1，z=±3；
②当 z2+2t2=1时，x2+2y2=11，得t=0，z=±1，y=±1，x=±3.
经检验，满足方程的4组解为(1，0，3，1)，(-1，0，-3，-1)，(3，1，1，0)，(-3，-1，-1，0).
答：方程组xz−2yt=3
xt+yz=1的整数解（x，y，z，t）为：(1，0，3，1)，(-1，0，-3，
-1)，(3，1，1，0)，(-3，-1，-1，0).
技巧：我们通过化简，合并同类项，再分情况讨论.
易错点：我们得到结果后，根据题意需代入原方程组验证，排除多余的解.
8. (2、3) (数学、初中、竞赛、初中竞赛、数学竞赛、初中数学竞赛、特殊方程、不定方程、解答题)
已知实数x，y满足(2x+1)2+y2+(y−2x)2=1
3
，求x+y的值.
分析：原式是一个二元方程，但是只有一个等式，我们不妨先展开，移项，化简可以得到2个完全平方式，即可得解.
详解：将原等式展开移项,得：
24x2−12xy+6y2+12x+2=0
分组可以化为两个完全平方式，得：
3x+12+3y−x2=0，
所以有：3x+1=0 y−x=0
解得x=y=−1
3
，
因此x+y=−2
3
⋅
答：x+y的值为−2
3
技巧：我们把有规律项数的分组组成完全平方式，可简便解题.
9. (2、3) (数学、初中、竞赛、初中竞赛、数学竞赛、初中数学竞赛、特殊方程、不定方程、解答题)
有甲、乙两种卡通玩具昆虫，每个甲种玩具昆虫有1只眼睛和40只脚，每个乙种玩具昆虫有3只眼睛，两种玩具昆虫共有26只眼睛和298 只脚，则每个乙种玩具昆虫有多少只脚？分析：我们把未知量都设成未知数，然后列方程.根据未知数的取值范围来谈论，即可解题. 详解：设甲种昆虫有x只，乙种昆虫有y只，每只乙种昆虫有k只脚.依题意有
x+3y=26⋯①
40x+ky=298⋯②
由①可知x是被3除余2的自然数，即x可取2，5，8，11，14，…，
由②可知40x<298，即x≤7.所以x=2或5.
当x=2时，y=8，而8不能整除298−40×2=218，不合题意，舍去；
当x=5时，y=7，而7k=298−40×5=98，所以k=14.
答：每个乙种玩具昆虫有14只脚.
技巧：根据题目中的未知数都是整数，来分析解题.。