八年级数学下册 第十六章 二次根式 16.1 二次根式 16.1.1 二次根式的概念导学案 (新版)新人教版
人教版八年级下册16.1.1《二次根式》二次根式的概念课件
m m2
2 4
有意义，求m的取值范围．
解：由题意得m-2≥0且m2-4≠0，
解得m≥2且m≠-2，m≠2，
∴m＞2．
(2)无论x取任何实数，代数式 x2 6xm都有意 义，求m的取值范围．
解：由题意得x2+6x+m≥0， 即(x+3)2+m-9≥0. ∵(x+3)2≥0， ∴m-9≥0，即m≥9.
二5的次算根术式平的方被根开是方_数__非_.负
2.(1)若式子 在实数范围内有意义，则x的取值 二一((12))次般若(3根 地)二(5式，次)(的如7根)实果均式质一不是个是表数二示的次一平有根个方意式非等义. 负于，数a求，（m那的或么取式x 这值）个范1的数围算叫．术做平a方的根平.方根.
即求(二x+次3根)2式+m中-字9≥母0.的取值范围的基本依据2：
（）
一定是二次根式的有
（）
解：由题意得x2+6x+m≥0，
3个
B.
解：∵被开方数需大于或等于零，
16.1.1 二次根式的概念 4 已知y=
,求3x+2y的算术平方根.
解：∵被开方数需大于或等于零，
一般地，我们把形如
的式子叫做二次根式.
问题2 这些式子有什么共同特征？
注意：a可以是数，也可以是式.
x＞2 B.
一定是二次根式的有 (本2)节无课论主x取要任学何习实了数二，次代根数式式的定义及被开方数都的有取意值义范，围求.m的取值范围．
(若2)式无子论为x取分任式何，实应数同，时代考数虑式分母不为零. 都有意义，求m的取值范围．
一(2)个无正论数x取有任两何个实平数方，根代；数式
都有意义，求m的取值范围．
16-1-1 二次根式的概念(第一课时)(教学课件)-2023-2024八年级
（2）∵被开方数需大于或等于零，
∴3+x≥0，
∴x≥-3.
【点睛】要使二次根式在实数范围内有意义，即需满足被开方数≥0，列不
∵分母不能等于零，∴x-1≠0，∴x≠1.
等式求解即可.若二次根式为分母或二次根式为分式的分母时，应同时考虑
分母不为零.
∴x≥-3 且x≠1.
1.单个二次根式如 A 有意义的条件： A≥0
第十六章 二次根式
16.1 二次根式
16.1.1 二次根式的概念
1.理解二次根式的概念.（重点）
2.掌握二次根式有意义的条件.（重点）
3.会利用二次根式的非负性解决相关问题.
（难点）
1.什么叫做一个数的平方根？如何表示？
一般地，若一个数的平方等于a，则这个数就叫做a的平方根.
a的平方根是 a (a≥0).
+2
6
8．已知 = 2 3 − + 3 − 9 + 2,则ab=_____．
9．已知等腰三角形ABC的两边满足 − 3 + 6 − = 0，则此三角形的
15
周长为_______.
2021
10．若 − 2021 + |2020 − | = ，则20202 − =________.
2.多个二次根式相加如 A B ... N 有意义的条件：
3.二次根式作为分式的分母如
4.二次根式与分式的和如
A
B
或
B
A
或
A
1
A
A≥0；
B≥0；
...
N≥0；
有意义的条件： A＞0
C
有意义的条件： A≥0且B≠0
八年级数学下册第十六章二次根式16.1二次根式16.1.1二次根式的概念导学案新人教版(2021年
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16.1.1二次根式的概念导学案学习目标1．掌握二次根式的概念,并利用a （a≥0）的意义解答具体题目. 2. 提出问题，根据问题给出概念,应用概念解决实际问题。
重点：熟知并正确的理解二次根式的概念.难点：利用a （a≥0）的意义解答具体题目.一、自学释疑二次根式应满足哪两个条件?二、合作探究探究点一、二次根式的概念及有无意义,被开方数中未知数的取值范围问题。
问题1。
下列式子，哪些是二次根式,哪些不是二次根式：2、33、1x、x （x>0)、0、42、—2、1x y +、x y +（x≥0,y ≥0）．解:二次根式有: ；不是二次根式的有： .问题2．在式子xx +-121中,x 的取值范围是____________. 解:由 得: .注意：1、形如a （a≥0）的式子是二次根式的概念；即含有根号，根指数要为2。
2、利用“0a ≥，且（a≥0）”解决具体问题3、结论：要使二次根式在实数范围内有意义，必须满足被开方数是非负数。
强化训练1.试一试：判断下列各式，哪些是二次根式？哪些不是？为什么?3，16-,34，5-，)0(3≥a a ,12+x 2.x 取何值时，下列各二次根式有意义?①43-x ②223x + ③12x --探究点二、小组活动、讨论、典型例题1.已知y=2x -+2x -+5,求x y的值 2.若1a ++1b -=0，求a 2014+b 2104的值.强化训练21。
16.1 二次根式 课件 2023-2024学年人教版数学八年级下册
(2)－ 272× －722×(－ π)－2.
解：原式＝－27×72×π1＝－π1.
6．已知一个圆柱体的体积为V，高为h，求它的底面半 径r(用含有V和h的代数式表示)；求当V＝80π，h＝5时， 底面半径r的值． 解：圆柱体的体积V＝πr2h，
∴r＝ πVh.
把V＝80π，h＝5代入上式，得r＝4.
注意 利用数轴和二次根式的性质进行化简，关键是要要根据a,b的大小 讨论绝对值内式子的符号.
例题与练习
1.计算
( 3)2 = 3 (3 2 )2 = 32 ( 2 )2=18
( 25 )2 = ( 2 )2 =
2
2.说出下列各式的值
0.32 0.3
( 1)2 1 77
()2
102 =
( 1 )2 1
解：由题意，得
x＋5≥0， x≠0，
解得x≥－5且
x
≠0.
∴当x≥－5且 x ≠0时，
x＋5 x
有意义．
归纳
二次根式的实质是表示一个非负数（或式）的算术平方根. 对于任意一个二次根式 a ，我们知道：
（1）a为被开方数，为保证其有意义，可知a≥0； （2） 表示一个数或式的算术平方根，可知 a ≥0.
3．△ABC的三边长为a，b，c，其中a和b满足 b2－4b＋4＋ a－5 ＝0，求c的取值范围． 解：依题意，得(b－2)2＋ a－5 ＝0，
∴b＝2，a＝5. 又∵a，b，c为三角形的三边长， ∴3条件下求 字母的取值范围
抓住被开方数必须为非负数， 从而建立不等式求出其解集.
a3 2
a≤5
例2 下列各式中，哪些是二次根式？哪些不是二次根式？
(1) 11；
(2) －5；
八年级数学下册第十六章二次根式16.1二次根式课件(新版)新人教版
一般地,二次根式有下面的性质:
一般地，根据算术平方根的意义，
a2
a
a (a 0） a (a 0)
(1)( 2)2 2
(2)( 2)2 2 (3) ( 2)2 -2 (4) (2)2 |-2|=2
6、
x-1 x-2
二次根式的性质（１）
非负数的算术平方根仍然是非负数。 性质 1： a ≥0 (a≥0) （双重非负性）
引例：|a-1|+(b+2) 2=0 , 则 a= b=
例 4：已知 a+2 +|3b-9|+(4-c)2=0, 求 2a-b+c 的值。 解：∵ a+2 ≥0、|3b-9|≥0、(4-c) 2≥0，
想一想：假如把题目改为：要使
x-2 x-1
有意义，
字母 x 的取值必须满足什么条件？ x≥2
想一想：一个正数的算术平方根是 正数。
零的算术平方根是 0 。 负数有没有算术平方根？ 没有
做一做: 要使下列各式有意义，字母的取值必
须满足什么条件？
1、 x+3
2、 2-5x
3、
1 x
4、 a2+1
5、 x-3 + 4-x
2、 a 表示什么？ 表示非负数a的算术平方根
试一试 ：说出下列各式的意义；
16, 81, 0, 1 , 0.04; 49
观察：
上面几个式子中，被开方数的特点？ 被开方数是非负数
1.二次根式的概念
a (a≥0)表示非负数 a 的算术平方根，
形如 a (a≥0)的式子叫做二次根式。
八年级数学下册 第十六章 二次根式 16.1 二次根式课件
11．若
在实数范围内有意义，则x的取值范
围( A) A．x≥3 C．x≥3且x≠1
B．x≤3且x≠1 D．x≥1且x≠3
第十页，共十八页。
12．计算： (1)
课后巩固(gǒnggù)
＝__0_._3__，来自＝______；(2)
＝__1_2_5___，
13．化简：
(1)
＝___1_0____，
＝___1_2___． ＝___0_.9____；
次根式”，进行分析． 【答案】C
【点拔】判断一个式子是不是二次根式，一定要紧扣定 义(dìngyì)，看所给的式子是否同时具备二次根式的两个特 征：①带二次根号“ ”；②被开方数不小于零．
第四页，共十八页。
课堂(kètáng)导学
对点训练一
1．下列各式中一定是二次根式的是 ( B )
A.
B.
C.
D.
5．化简：
(1)
＝____7____，
＝________；
(2)
＝____3____，
＝____5____．
第七页，共十八页。
课堂(kètáng)导学
6．计算：
＝____6_____， ＝____1_____．
7．化简：
＝________， ＝________．
第八页，共十八页。
课后巩固(gǒnggù)
A．
B．(
C．
D．
【解析】利用性质
＝a(a≥0)，
来化简即可．
【答案】B
【点拔】本题考查了二次根式的性质与化简，解决本
题的关键是二次根式的性质．
第六页，共十八页。
课堂(kètáng)导学
对点训练二
4．计算：
人教版八年级数学下册第十六章二次根式16.1二次根式第2课时二次根式的性质课件
例3：化简
(1) 16
(2) (5)2
你还有其他 解法吗？
解：(1) 16 42 4； (2) (5)2 25 5.
想一想：如何化简 a2 呢？
(5)2 52 5.
a (a≥ 0)；
a2 =|a| = -a (a＜0).
辨一辨：请同学们快速分辨下列各题的对错．
（ ×） （×） （√ ） （√ ）
算术平方 根之门
问题2：两扇门交换位置，你还会走吗？
a≥0
a→ a→( a )2
a为任 意实数
算术平方 根之门
全部都能通过 a→a2→ a2
一 ( a )2（a≥0）的性质
填一填：
a(a≥0)
0
算术平 方根
1
a
0 0
1 1
1 1 42
平方运算 ( a )2 0
1
观察：两者有什么 关系？
讲授新课
思考：根据前面得出的结论填一填，并说明理由．
4. 实数a在数轴上的位置如图所示，则化简 a 2 (a 1)2
的结果是 1 .
-1 0 1 a 2
5.利用 a ＝ ( a )2 （ a ≥0），把下列非负数分别写成
一个非负数的平方的形式：
(1) 9 ；
( 9)2 (4) 0.25 ； 1 2 4
(2)5 ； ( 5)2
1
(5) ；
2
议一议：如何区别( a )2与 a2 ？
( a)2
a2
从运算顺序看 先开方,后平方 先平方，后开方
从取值范围看 a≥0
a取任何实数
从运算结果看
a
|a|
三 代数式的定义
概念学习 用基本运算符号（包括加、减、乘、除、乘方和开方）
八年级数学下册 第十六章 二次根式 16.1 二次根式 第1课时 二次根式的概念课件 新人教版
7．[2018·内江]若函数 y＝ xx－＋11，则自变量 x 的取值范围是( B )
A．－1＜x＜1
B.x≥－1 且 x≠1
C．x≥－1
A．x>3
B.x≠3
C．x≥3
D.x≥0
4．[2018·北京]若 x在实数范围内有意义，则实数 x 的取值范围是 x≥0 .
分层作业
1．下列各式中，一定是二次根式的是( C )
A. －7
B.3 m
C. 1＋x2
D. 2x
2．[2018·达州]二次根式 2x＋4中 x 的取值范围是( D )
A．x＜－2
第十六章 二次根式
16.1 二次根式 第1课时 二次根式的概念
学习指南 知识管理 归类探究 当堂测评 分层作业
学习指南
★本节学习主要解决以下问题★ 1．二次根式的概念 此内容为本节的重点．为此设计了【归类探究】中的例 1；【当堂测评】中的 第 1,2 题；【分层作业】中的第 1,6 题．
2．二次根式的被开方数中字母的取值范围 此内容为本节的重点，也是难点．为此设计了【归类探究】中的例 2；【当堂 测评】中的第 3,4 题；【分层作业】中的第 2,3,4,5,7,8,9,10 题． 3．二次根式的实际应用 此内容为本节的重点，也是难点．为此设计了【归类探究】中的例 3；【分层 作业】中的第 5,11 题．
x＋2 (4) 3x .
解：(1)根据题意，得 5－2x≥0，解得 x≤52， ∴当 x≤52时， 5－2x有意义． (2)根据题意，得－(x－3)2≥0，即(x－3)2≤0，解得 x＝3， ∴当 x＝3 时， －x－32有意义． (3)根据题意，得x8＋ －8x≥ ≥00， ， 解得－8≤x≤8， ∴当－8≤x≤8 时， x＋8＋ 8－x有意义．
八年级数学下册第十六章二次根式16
D．a≥3
4
计算
3 4
1 6
的结果是(
C)
A. 2 2
B. 2 C. 3 2
4
2
3 D.
2
知1－练
知1－练
5 【中考·包头】下列计算结果正确的是( B ) A．2 3 2 3 B. 8 2 2 C．(－2a2)3＝－6a6 D．(a＋1)2＝a2＋1
知1－练
6 小明的作业本上有以下四题：① 16a4 ＝4a2；
16.2 二次根式的乘除
第2课时 二次根式的 除法
1 课堂讲解 2 课时流程
二次根式的除法 商的算术平方根 最简二次根式
逐点 导讲练
课堂 小结
课后 作业
二次根式的乘法法则是什么内容？ 化简二次根式的一般步骤是什么？
知识点 1 二次根式的除法
知1－导
1.计算：(1)
9
=_______,
9 =_______;
2若
1a a2
1 a ，则a的取值范围是( D ) a
A．a≤0 B．a<0 C．a>0 D．0<a≤1
知2－练
3 【中考·烟台】下列等式不一定成立的是( A )
A. a a ＝(b≠0) bb
B．a3·a－5＝
1 a2
(a≠0)
C．a2－4b2＝(a＋2b)(a－2b)
D．(－2a3)2＝4a6
解：(1) 24 24 = 8= 4 2=2 2; 33
(2) 3 1 3 1 = 3 18= 3 9=3 3. 2 18 2 18 2
总结
知1－讲
利用二次根式的除法法则进行计算，被开方 数相除时，可以用“除以一个不为零的数等于乘这 个数的倒数”进行约分、化简．
八年级数学下册 第十六章 二次根式 16.1 二根次式(第2课时 二次根式的性质)课件
2.二次根式(gēnshì)的性质:
a0 ,a（ 0双 重 非 负 性 ) .
3. a（a≥0）是一个什么数呢？
a（a≥0）是一个非负数．
第三页，共十八页。
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二、学生探索(tàn suǒ)，尝试解决
探索(tàn suǒ)1.（学生活动）根据算术平方根的意义填
的发现过程，体验归纳、猜想的思想(sīxiǎng)方法,最后运用结论严谨解题．。3. （a≥0）是一
个什么数呢。（ ）2=_______。（ ）2=______。（ ）2=_______。（ ）
2=______。活动2：探究二次根式的性质2及应用。（即
表示一个非负数）。(a<8)
第十八页，共十八页。
第八页，共十八页。
例2：计算(jìsuàn)
第九页，共十八页。
四、跟踪(gēnzōng)练习，巩固新知
1. 计算(jìsuàn)下列各式的值：
2.C
第十页，共十八页。
五、变化演练，深化(shēnhuà)提高
第十一页，共十八页。
例4在实数范围内分解(fēnjiě)下列因式: （1）x2－3 （2）x4－4 (3) 2x2－3 解：
又如 (-3)2= 9=3=-(-3) ,再计算： 7
(-75)2 = 5 , (-0.5)2 = 0.5 .
第七页，共十八页。
归纳
(guīnà)
一般(yībān)地，有
a
(a≥0)
性质īběn)运算符号（包括加、减、乘、除、乘方和开方）把数 或表示数的字母连接起来的式子，我们称这样的式子为代数式.
一、选择题
1. 的值是
A. 3
B. -3
八年级数学下册 第16章 二次根式 16.1 二次根式课件1下册数学课件
12/12/2021
第十页，共十五页。
【备选(bèi
xuǎn)例题】已知代数2式x3 1 x1
内有意义,请确定x的取值范围.
在实数范围
【解析】根据题意,得
所以当 x 且3 x≠-1时,
意义.
2
解得 x 且 3x≠-1. 2x3 在1实数范围内2 有
x1
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【微点拨】 求字母取值范围的三种类型
(1)二次根式:被开方数(bèi kāi fānɡ shù)为非负数. (2)分式:分母不等于0. (3)“复合型”式子:取使各部分都有意义的字母取值范围 的公共部分.
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【纠错(jiū cuò)园】
已知代数式
有意义,求x的取值范围.
x2 1
12/12/2021
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(4)∵ 的3 5 根指数是3,
∴不是(bù shi)二次根式.
(5)∵ (1）,2∴ 1 是0二次根(式 1. ) 2
(6)∵当x>32时,29 -x<0,
3
∴ 不是二次根式.
2-x
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第七页，共十五页。
【微点拨】
判断一个式子是二次根式(gēnshì)的方法
x
_____3 _.
(5)式子
(6)化简
x 中x的取值范围是____.x>0
x
__.
x11x 0
12/12/2021
第四页，共十五页。
知识点一 二次根式(gēnshì)的概念
【示范题1】判断下列式子,哪些是二次根式?
(1) 1 . (2) . (3)
人教版八年级数学下册课件16.1 二次根式
练习2 二次根式和算术平方根有什么关系？
二次根式都是非负数的算术平方根；带有根号的 算术平方根是二次根式．
例1 当x 是怎样的实数时， x+2 在实数范围内有 意义？
解：要使 x+2 在实数范围有意义， 必须 x+2≥0， ∴ x≥ -2．
∴ 当x≥-2时， x+2在实数范围内有意义．
思考 当x 是怎样的实数时， x2 在实数范围内有意 义？ x3 呢？
（3）根据你的理解，请写出二次根式的定义．
把形如 3， S， 65 ， h 用来表示一个非负数的 5
算术平方根的式子，叫做二次根式．
二次根式：
一般地，我们把形如 a（a≥0）的式子叫做二次
根式，“ ”称为二次根号．
二次根式
被开方数a≥0； 根指数为2．
练习1 指出下列哪些是二次根式？
（1） 5 ； √ （2） -3 ； （3）3 21； （4） x2+1 ；√ （5） a-2（a ≥ 2）；√ （6） a-b（a＜ b）．
2Rh2
简这个式子吗？ 式子 2Rh1 表示什么？公式中 r= 2Rh 中的
2Rh2
r= 2Rh 表示什么意义？
问题（1） ：
面积为3 的正方形的边长为____3___，
面积为S 的正方形的边长为____S___．
提出问题： 上述问题（1）中式子你是怎么得到？得到的两个
式子有什么不同？
问题（2） ： 一个长方形围栏，长是宽的2 倍，面积为
探究1
2
2
1 3
2
=
2
4
2
0
2 17
2是2的算术平方根，根据算术平方根的意义， 有（ 2）2 = 2.
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16.1.1二次根式的概念
导学案
学习目标
1（a≥0）的意义解答具体题目.
2. 提出问题，根据问题给出概念，应用概念解决实际问题. 重点：熟知并正确的理解二次根式的概念.
.
一、自学释疑
二次根式应满足哪两个条件？
二、合作探究
探究点一、二次根式的概念及有无意义，被开方数中未知数的取值范围问题. 问题1.下列式子，哪些是二次根式，哪些不是二次根式：
1x x>0）1x y +y ≥0）． 解：二次根式有： ；不是二次根式的有： 。
问题2．在式子x x +-121中，x 的取值范围是____________.
解：由 得： 。
注意：1 2.
20≥，且（a≥0）”解决具体问题
3、结论：要使二次根式在实数范围内有意义，必须满足被开方数是非负数。
强化训练
1.试一试：判断下列各式，哪些是二次根式？哪些不是？为什么？
3，16-，34，)0(3
≥a a ，12+x 2.x 取何值时，下列各二次根式有意义？
①43-x
探究点二、小组活动、讨论、典型例题
1.已知，求x y
的值
2.=0，求a 2014+b 2104的值.
强化训练2
1.有意义，则a 的值为___________．
2.已知42-x +y x +2＝0，则=-y x _____________.
3.某工厂要制作一批体积为1m 3的产品包装盒，其高为0.2m ，按设计需要，•底面应做成
正方形，试问底面边长应是多少？
三、随堂检测
1. 下列各式中，一定是二次根式的是（ ） A. B.
C.
D.
2.若式子在实数范围内有意义，则的取值范围是（ ） A.
B.
≥1 C.
D. ≥ 3.要使式子x ＋1
x 有意义，x 的取值范围是( )． A. x ≠1 B. x ≠0 C. x ＞－1且x ≠0 D. x ≥－1且x ≠0
4．要使有意义，则x应满足（）．
A．≤x≤3 B．x≤3且x≠ C．＜x＜3 D．＜x≤3
5.已知，则的值为（）
A. B.
1 C. D.
6.当时，二次根式无意义．
7.小红说：“因为，所以不是二次根式.”你认为小红的说法对吗？
8.当时，二次根式有最小值，其最小值是．
我的收获
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参考答案随堂检测
1.C．
2.D．
3.D.
4.D.
5.A．
6.
7.×．
8.，0．。