嘉兴市2016年高三教学测试一模理科数学试卷

嘉兴市2016年高三教学测试（一）理科数学 试题卷注意事项：1．本科考试分试题卷和答题卷，考生须在答题卷上作答．答题前，请在答题卷的密封线内填写学校、班级、学号、姓名;2．本试题卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共6页，全卷满分150分，考试时间120分钟．参考公式：棱柱的体积公式 Sh V =，其中S 表示棱柱的底面积，h 表示棱柱的高． 棱锥的体积公式Sh V 31=， 其中S 表示棱锥的底面积，h 表示棱锥的高． 棱台的体积公式)(312211S S S S h V ++=， 其中21,S S 分别表示棱台的上、下底面积，h 表示棱台的高． 球的表面积公式 24R S π=，其中R 表示球的半径． 球的体积公式334R V π=，其中R 表示球的半径．第Ⅰ卷一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 函数x x x f 2cos 32sin )(+=的最小正周期为 A ．4πB ．2πC ．πD ．π22. 设函数⎩⎨⎧≤>-=0204)(2x xx x x f ，则)]1([f f 的值为 A ．6- B ．0 C ．4 D ．53．设变量y x ,满足约束条件：⎪⎩⎪⎨⎧≤--≥+-≥-+0320103y x y x y x ，则目标函数432++=y x z 的最小值为A ．10B ．11C ．12D ．274．若α是第二象限角，34)3tan(=+απ，则=+)3cos(απA ．53-B ．53C ．54 D ．53± 5．已知4)(33++=x b ax x f ),(R b a ∈，1)]2[lg(log 3=f ，则)]3[lg(log 2f 的值为 A ．1- B ．3C ．7D ．86．如图，B 、D 是以AC 为直径的圆上的两点，其中1+=t AB ，2+=t AD ，则→→⋅BD AC =A ．1B ．2C ．tD ．t 27．已知双曲线)0,(12222>=-b a by ax ，若焦点F 关于渐近线x a b y =的对称点在另一条渐近线x aby -=上，则双曲线的离心率为 A ．2 B ．2C ．3D ．3AC（第6题）8．已知三棱锥ABCD 中，CD AB ⊥，且AB 与平面BCD 成60°角.当ACDBCDS S ∆∆的值取到最大值时，二面角B CD A --的大小为A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°第Ⅱ卷二、填空题（本大题共7小题，共36分）9．设全集R U =，集合}31|{≤<=x x A ，}2|{≥=x x B ，则=B A ▲ ， =B A ▲ ，( A ∨)B R = ▲ ．10．已知命题p ：“若22b a =，则b a =”，则命题p 的否命题为 ▲ ，该否命题是一个 ▲ 命题．（填“真”，“假”）11．如图是一个几何体的三视图，正视图是边长为2的正三角形，俯视图是等腰直角三角形，该几何体的表面积为 ▲ ，体积为 ▲ ．12．若函数)(x f 是幂函数，则=)1(f ▲ ，若满足)2(8)4(f f =，则=)31(f ▲ ．13．空间四点D C B A 、、、满足1||=AB ，2||=CD ，F E 、分别是BC AD 、的中点，若AB与CD 所在直线的所成角为60°，则=||EF ▲ ． 14．已知21F F 、分别是椭圆)0(1:2222>>=+b a by ax C 的左右焦点，A 是其上顶点，且21F AF ∆是等腰直角三角形，延长2AF 与椭圆C 交于另一点B ，若B AF 1∆的面积为6，则椭圆C 的方程为 ▲ ．15．已知等差数列}{n a 满足09<a ，且||98a a >，数列}{n b 满足)(*21N n a a a b n n n n ∈=++，第11题}{n b 的前n 项和为n S ，当n S 取得最大值时，n 的值为 ▲ ．三、解答题（本大题共5小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16．（本题满分14分）在ABC ∆中，角C B A 、、分别是边c b a 、、的对角，且b a 23=， （Ⅰ）若060=B ，求C sin 的值； （Ⅱ）若a c b 31=-，求C cos 的值．17．（本题满分15分）如图，平行四边形⊥ABCD 平面CDE ，4===DE DC AD ，060=∠ADC ，DE AD ⊥（Ⅰ）求证：⊥DE 平面ABCD ；（Ⅱ）求二面角D AE C --的余弦值的大小．18．（本题满分15分）已知函数1)(2++=ax x x f ,（Ⅰ）设)()32()(x f x x g -=，若)(x g y =与x 轴恰有两个不同的交点，试求a 的取值集合； （Ⅱ）求函数|)(|x f y =在]1,0[上的最大值．19．（本题满分15分）过离心率为22的椭圆)0(1:2222>>=+b a by a x C 的右焦点)0,1(F 作直线l 与椭圆C 交A BCDE（第17题）于不同的两点B A 、，设||||FB FA λ=，)0,2(T . （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）若21≤≤λ，求ABT ∆中AB 边上中线长的取值范围．20．（本题满分15分）数列}{n a 各项均为正数，211=a ，且对任意的*N n ∈，有)0(21>+=+c ca a a n n n ． （Ⅰ）求321111a ca c ca c ++++的值；（Ⅱ）若20161=c ,是否存在*N n ∈，使得1>n a ，若存在，试求出n 的最小值，若不存在，请说明理由．2015年高三教学测试（一）理科数学 参考答案一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.C ；2.A ；3.B ；4.A ；5.C;6.A;7.B;8.A.二、填空题（本大题共7小题，共36分）9. ]3,2[,),1(+∞,)2,1(； 10.若22b a ≠，则b a ≠，真； 11. 734++，332； 12.1，271； 13. 23或27； 14.192922=+y x ； 15. 6.三、解答题（本大题共5小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16．（本题满分14分）在ABC ∆中，角C B A 、、分别是边c b a 、、的对角，且b a 23=， （Ⅰ）若060=B ，求C sin 的值； （Ⅱ）若a c b 31=-，求C cos 的值. 解：（Ⅰ）∵b a 23=，∴B A sin 2sin 3=又∵︒=60B ，代入得︒=60sin 2sin 3A ，解得33sin =A . ∵3:2:=b a ，∴B A <，即36c o s=A ∴6233s i n c o s c o s s i n )s i n (s i n+=+=+=B A B A B A C . …7分（Ⅱ）设t a 2=，t b 3=，则t a b c 3731=-= 则2717)3()2(2)37()3()2(2cos 222222=⨯⨯-+=-+=t t t t t ab c b a C . …7分17.（本题满分15分）如图，平行四边形⊥ABCD 平面CDE ，4===DE DC AD ，060=∠ADC ，DE AD ⊥ （Ⅰ）求证：⊥DE 平面ABCD ；A B（Ⅱ）求二面角D AE C --的余弦值的大小. 证明：（Ⅰ）过A 作AH ⊥DC 交DC 于H . ∵平行四边形⊥ABCD 平面CDE ∴AH ⊥平面CDE 又∵⊂DE 平面CDE ∴AH ⊥DE ①由已知，AD ⊥DE ② A AD AH = ③由①②③得，DE ⊥平面ABCD ； …7分解：（Ⅱ）过C 作CM ⊥AD 交AD 于M ，过C 作CN ⊥AE 交AE 于N ， 连接MN .由（Ⅰ）得DE ⊥平面ABCD ， 又∵⊂DE 平面ADE ， ∴平面ADE ⊥平面ABCD . ∴CM ⊥AE ，又∵CN 垂直AE ，且C CN CM = .∴AE ⊥平面CMN ，得角CNM 就是所求二面角的一个平面角. 又∵32=CM ，2=MN ，∴所求二面角的余弦值为77. …8分18．（本题满分15分）已知函数1)(2++=ax x x f ,（Ⅰ）设)()32()(x f x x g -=，若)(x g y =与x 轴恰有两个不同的交点，试求a 的取值集合； （Ⅱ）求函数|)(|x f y =在]1,0[上的最大值. 解：（Ⅰ）（1）若0)(=x f 恰有一解，且解不为23， 即042=-a ，解得2±=a（2）若0)(=x f 有两个不同的解，且其中一个解为23， 代入得012349=++a ，613-=a HA BCDEM N综上所述，a 的取值集合为}2,2,613{--. …7分（Ⅱ）（1）若02≤-a，即0≥a ，则a f y +==2)1(max （2）若120<-<a，即02<<-a ，此时042<-=∆a ⎩⎨⎧-<-≥+=+==1112}2,1max{)}1(),0(max{max a a a a f f y （3）若12≥-a，即2-≤a ，此时02)1(≤+=a f ⎩⎨⎧-<---≥=--=-=3231}2,1max{)}1(),0(max{max a a a a f f y ，综上所述，⎪⎩⎪⎨⎧-<---<≤--≥+=3213112maxa a a a a y …8分19．（本题满分15分）过离心率为22的椭圆)0(1:2222>>=+b a by a x C 的右焦点)0,1(F 作直线l 与椭圆C 交于不同的两点B A 、，设||||FB FA λ=，)0,2(T .（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）若21≤≤λ，求ABT ∆中AB 边上中线长的取值范围. 解：（Ⅰ）∵22=e ，1=c ，∴1,2==c a 即椭圆C 的方程为：1222=+y x . …7分（Ⅱ）（1）当直线的斜率为0时，显然不成立. （2）设直线1:+=m y x l ，设),(11y x A ，),(22y x B 联立01222=-+y x 得012)2(22=-++m y y m 得22221+-=+m m y y ，21221+-=m y y ，由||||FB FA λ=，得21y y λ-=∵12211y y y y +=-+-λλ，∴24)(212221221+-=+=+-+-m m y y y y λλ ∴722≤m 又∵AB 边上的中线长为221221)()4(21||21y y x x TB TA ++-+=+→→2224)2(494+++=m m m427)2(2222++-+=m m ]16213,1[∈ …8分20．（本题满分15分）数列}{n a 各项均为正数，211=a ，且对任意的*N n ∈，有)0(21>+=+c ca a a n n n . （Ⅰ）求321111a ca c ca c ++++的值；（Ⅱ）若20161=c ，是否存在*N n ∈，使得1>n a ，若存在，试求出n 的最小值，若不存在，请说明理由. 证明：（Ⅰ）∵2111nn n ca a a +=+∴n n n ca c a a +-=+1111，即nn n ca ca a +=-+1111 121111ca c a a +=- 232111ca c a a +=- …… n n n ca c a a +=-+1111 ∴n n ca c ca c ca c a a ++++++=-+111112111 ∴121111111++++++++=n n a ca c ca c ca c a得211111321==++++a a ca c ca c（说明：依次求出32,a a 也得满分） （Ⅱ）∵n n n n a a a a >+=+2120161，∴}{n a 单调递增. 得20162121a a a <<<= 由201621n n n aa a +=+⇒20161111+=-+n n n a a a ⇒201612016120161122016212017++++++=-a a a a∵)2016,,2,1(0 =>i a i ∴201620161122017⨯<-a 解得：12017<a此时，1201721<<<<a a a 又∵201612016120161122017212018++++++=-a a a a∴12016201611122018=⨯+>-a解得：12018>a即数列}{n a 满足： <<<<<<<201920182017211a a a a a . 综上所述，存在1>n a ，且n 的最小值为2018. …8分。