2011年高水平大学自主选拔学业能力测试-数学(仁慧书院)
2011年卓越联盟自主招生数学试卷
故选： C．
【点评】 本题考查复数的摸的求法，复数的几何意义，考查计算能力．
5．（ 5 分）已知抛物线的顶点在原点，焦点在 x 轴上，△ ABC 三个顶点都在抛物线上，且△
ABC 的重心为抛物线的焦点， 若 BC 边所在的直线方程为 4x+y﹣20＝ 0，则抛物线方程为
（）
A ．y2＝ 16x
B ．y2＝ 8x
FB1＝ 1： 3，则异面直线 EF 与 BC1 所成角的正弦值为（
）
A．
B．
C．
D．
4．（ 5 分） i 是虚数单位，设复数 z 满足 |z|＝ 1，则 |
|的最大值为（
）
A． ﹣1
B ．2﹣
C． +1
D． 2+
5．（ 5 分）已知抛物线的顶点在原点，焦点在 x 轴上，△ ABC 三个顶点都在抛物线上，且△
故选： D ． 【点评】 本题考查点到面的距离的计算，考查三棱锥体积的计算，正确求出三棱锥的体 积是关键．
7．（ 5 分）若关于 x 的方程
有四个不同的实数解，则 k 的取值范围为（
）
A ．（ 0， 1）
B．
C．
D．（ 1，+∞）
【分析】 欲使方程
有四个不同的实数解，当 x＝ 0 时，是方程的 1 个根，则只
C． y2＝﹣ 16x
D． y2＝﹣ 8x
【分析】 设抛物线 S 的方程为 y2＝2px，将直线的方程代入抛物线的方程，消去
x 得到关
于 y 的一元二次方程， 再结合直线 l 与抛物线相交于两个不同的点得到根的判别式大于
0，
结合根与系数的关系利用重心公式即可求得
p 值，从而求得抛物线方程．
2011年清华自主招生数学试题和答案解析
2011年高水平大学自主招生选拔学业能力测试数学注意事项：1. 答卷前，考试务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2. 将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
（1）设复数z 满足|z|<1且15|z+|2z=，则|z |=（ ） A 45 B 34 C 23 D 12解析：设|z |a bi =+代入15|z+|2z =整理得22221174a b a b ++=+，又|z |<1，所以2214a b +=，|z |=12=（2）在正四棱锥P-ABCD 中，M 、N 分别为PA 、PB 的中点，且侧面与底面所成二面角的正切.则异面直线DM 与AN 所成角的余弦值为（ ） A13 B 16 C 18 D 112解析：设2AB =,容易算出2PB =,以底面中心为原点建立空间坐标系，1111(1,1,0),(1,1,0),(,,(,,222222D A M N ------，由1cos 6|DM AN ||DM ||AN |θ⋅==⋅uuu u r uuu ruuuu r uuu r （3）过点(1,1)-的直线l 与曲线3221y x x x =--+相切，且(1,1)-不是切点，则直线l 的斜率是（ ）A 2B 1C 1-D 2-解析：32221(),()322y x x x f x f x x x '=--+==--，设切点(),()t f t ，()()()y f t f t x t '-=-，把(1,1)-代入且1t ≠-得到1t =，所以2k =-（4）若23A B π+=,则22cos cos A B +的最小值和最大值分别为（ ）A.312-， B.1322，C.11D.112， 解析：2222211cos cos cos cos ()1cos(2)323A B A A A ππ+=+-=++，选B （5）如图，1O e 和2O e 外切于点C ，1O e ，2O e 又都和O e 内切，切点分别为,A B . 设AOB ACB αβ∠=∠=，，则（ ） A cos sin02αβ+= B sin cos02αβ-=C sin 2sin 0βα+=D sin 2sin 0βα-= 解析：连接12O O 过点C ，设12CAO CBO ∠=∠∠=∠，，12O C O C 、，则+1+2=+21+22=βαπ∠∠∠∠,即2=βαπ-，只有D 是错的。
2011年北京大学等13所大学自主招生数学试题解答
４ｓｉｎ２Ｃｃｏｓ２Ｃ ＝２ｓｉｎ Ｃ≤ｓｉｎ Ａ＋ｓｉｎ Ｂ＝
的方程．
｛ｙ＝２ｘ２ －２ｘ－１，
解法 ２ 联 立 方 程 组
消去 ｙ＝－５ｘ２ ＋２ｘ＋３．
２ ０１１×｜ｘ－２ ０１１１｜＝｜ｘ－１｜＋（｜ｘ－２１｜＋｜ｘ－２１｜）＋
（｜ｘ－３１｜＋｜ｘ－３１｜＋｜ｘ－３１｜）＋ … ＋
（｜ｘ－２ ０１１１｜＋｜ｘ－２ ０１１１｜＋ … ＋｜ｘ－２ ０１１１｜）＝
（｜ｘ－１｜＋｜ｘ－２０１ １１｜）＋（｜ｘ－２１｜＋｜ｘ－２ ０１１１｜）＋
（｜ｘ－２１｜＋｜ｘ－２ ０１１１｜）＋（｜ｘ－３１｜＋｜ｘ－２ ０１１１｜）＋
其２ 个交点为Ａ（ｘ１ ，ｙ１ ）、Ｂ（ｘ２ ，ｙ２ ）．代入点 Ａ 的坐
标
得
烄ｙ１ 烅 烆ｙ１
＝２ｘ１２ －２ｘ１ －１， ＝－５ｘ２１ ＋２ｘ１ ＋３．
① ②
①×５＋②×２ 得 ７ｙ１ ＝－６ｘ１ ＋１，即 ６ｘ１ ＋７ｙ１ －１
＝０．同理得 ６ｘ２ ＋７ｙ２ －１＝０．
所以，两交点 Ａ、Ｂ 都在直线６ｘ＋７ｙ－１＝０ 上，
（｜ｘ－３１｜＋｜ｘ－２ ０１１１｜）＋ …
（※）
其中共有（１＋２＋３＋ … ＋２ ０１１）÷２＝５０３×２ ０１１
解法２ 设等差数列｛ａｎ｝的公差为ｄ，则３＝ａ７ ＝ ａ３ ＋４ｄ＝－１３＋４ｄ，解得ｄ＝４＞０，则通项
ａｎ＝ａ３ ＋（ｎ－３）ｄ＝４ｎ－２５． 令 ａｎ ＝４ｎ－２５＜０，得 正 整 数 ｎ≤６，则
ａ１ ＜ａ２ ＜…＜ａ５ ＜ａ６ ＜０＜ａ７ ＜…， Ｓ１ ＞Ｓ２ ＞…＞Ｓ５ ＞Ｓ６ ＜Ｓ７ ＜Ｓ８ ＜…． 所以，数列Ｓ１ ，Ｓ２ ，…中的第 ６ 项最小，最小值为
2011年综合性大学(北约)自主选拔录取联合考试数学试题及答案
2011年综合性大学(北约)自主选拔录取联合考试数学试题请注意:文科考生做1至5题,理科考生做3至7题,每题20分,共100分.1.已知平行四边形的其中两条边长为3和5,一条对角线长为6,求另一条对角线的长.2.求过抛物线2221y x x =--和2523y x x =-++的交点的直线方程.3.在等差数列{}n a 中,3713,3,a a =-=数列{}n a 的前n 项和为n S ,求数列{}n S 的最小项,并指出其值为何.4.在ABC ∆中,2a b c +≥,求证:60C ∠≤ .5.是否存在四个正实数,使得它们的两两乘积为2,3,5,6,10,16?6.1C 和2C 是平面上两个不重合的固定圆,C 是平面上的一个动圆,C 与12,C C 都相切,则C 的圆心的轨迹是何种曲线?说明理由.7.求()|1||21||20111|f x x x x =-+-++- 的最小值.参考答案1.x =【解】设另一条对角线的长度为x .由22222(35)6,x +=+解得x =. 2.【解】联立两方程,消去2,x 得6710x y +-=.此方程即为所求. 3.最小值为-66.【解法1】425,n a n =-由10,,0.n n a a +≤⎧⎨≥⎩即4250,.4(1)250.n n -≤⎧⎨+-≥⎩解得212544n ≤≤. 因为*,n N ∈所以当6n =时,n S 最小,最小值为66-. 【解法2】因为22235292232(),48n S n n n =-=--因为*,n N ∈所以当6n =时,n S 最小,最小值为66-. 4.由正弦定理sin sin sin a b c ABC==知,2sin sin 2sin 2sincos 2sin 22A B A B a b c A B C C +-+≥⇔+≥⇔≥又因为sin sin()cos ,sin 2sincos 222222A B C C C C C +π=-==,所以,cos cos 2sin cos2222CA B C C-≥,又因为022C π<<时,cos02C >所以11sin cos2222C A B-≤≤(当A B =时取等号),而022C π<<所以30,2C ≤即60C ≤.5.【解】假设存在满足条件的四个正实数,,,a b c d ,不妨,a b c d <<<则有,.ab ac ad bc bd cd <<<< (1)若ad bc <,则有2,3,5,6,10,16ab ac ad bc bd cd ====== 所以,23,b c a a==.由6bc =得1,2,3,5a b c d ====.所以15,cd =与16cd =矛盾.(2)若,ad bc >则有2,3,5,6,10,16.ab ac bc ad bd cd ====== 所以236,,b c d a a a===.由5bc =,得265a =,由16cd =,得298a =,矛盾.综上所述,假设不存立,所以不存在四个正实数,它们两两乘积分别为2，3，5，6，10，16. 6.【解】设圆心12,C C 的半径分别为12,r r ; (1)若12r r =.①若两圆相离,则C 的圆心轨迹为线段12C C 的垂直平分线;②若两圆相切,则C 的圆心轨迹为线段12C C 的垂直平分线(即两圆的内分切线)和直线12C C ,去掉切点;③若两圆相交,则C 的圆心轨迹为线段12C C 的垂直平分线和以12,C C 为焦点,长轴长为12r r +的椭圆,去掉交点. (2)若12r r ≠①若两圆外离,则C 的圆心轨迹为以12,C C 为焦点,长轴长为12||r r -的双曲线的一支(小圆圆心在开口内);②若两圆外切,则C 的圆心轨迹为以12,C C 为焦点,长轴长为12||r r -的双曲线的一支(小圆圆心在开口内)和直线12C C ,去掉切点;③若两圆相交,则C 的圆心轨迹为以12,C C 为焦点,长轴长为12||r r -的双曲线的一支(小圆圆心在开口内)和以12,C C 为焦点,长轴长为12r r +的椭圆,去掉交点.④若两圆内切,则C 的圆心轨迹为以12,C C 为焦点,长轴长为12r r +的椭圆和直线12C C ,去掉切点; ⑤若两圆内含,则C 的圆心轨迹为以12,C C 为焦点,长轴长为12r r +的椭圆. 依据椭圆、双曲线的定义即可证明,这儿不再赘述. 7.491832711【解】首先设1212,()||||||.n n a a a f x x a x a x a ≤≤≤=-+-++-则由绝对值几何意义知,n 为奇数时,当12n x a +=时,()f x 有最小值;当n 为偶数时,当x 取[,1]22n n aa+上任何值时,()f x 有最小值.回到原题, 20111111111()|1|||||||||||||||2233320112011f x x x x x x x x x =-+-+-+-+-+-++-++-个以上和式共有2012201112201120230662⨯+++== 个点.设12345620230661111,,,,,232011a a a a a a a =======所以20230661011533.2=下面求10115331011534,a a 的值.设10115331,a t =则121011533,12(1)1011533,t t +++≥+++-< 可得1422t =,且1011533101153411422a a ==.故11422x =时,()f x 最小.111111491()112114221423120111832142214221422142214221422711f =-+-⨯++-⨯+⨯-+⨯-=。
2011单招数学试卷
数学试卷 第1页，共4页 莱恩教育 地址：邳州市建设中路时代大厦B 座20-1咨询热线：0516-8699978118061127892周老师2011年江苏省国家示范性（骨干）高职院校单独招生文化联合测试试卷1234567数学试卷 第2页，共4页 莱恩教育 地址：邳州市建设中路时代大厦B 座20-1咨询热线：0516-8699978118061127892周老师8、根据如图所示的算法流程图，如图输入x 的值为2，那么输出的y 的值为9、一个袋子中装有形状、大小都相同的2只黑球和1只红球，现从中随机取出1只球，则取出是红球的概率是10221112131415161718、如图，在三棱锥ABC P -中，ABC PA 平面⊥，E D 、分别是AP AB 、上的点.数学试卷 第3页，共4页 莱恩教育 地址：邳州市建设中路时代大厦B 座20-1咨询热线：0516-8699978118061127892周老师（1）如果ED ∥PB ,求证：PB ∥EDC 平面;（2）如果CD ⊥PB ,求证：CD ⊥PAB 平面19、已知等差数列{}n a 中，21=a ，63=a .（1）求2a 和n a （2）设数列{}n a 的前n 项和为n S ,当90>n S 时，求正整数n 的最小值。
20、如图，已知圆1C :()1122=++y x ，圆2C :()4222=+-y x ，直线1l ：kx y =， 直线2l ：mx y =，且1l ⊥2l （1）如果直线1l 经过点()2,1，求直线1l 和2l 的方程；（2）设直线1l 与圆1C 、圆2C 分别交于点B O A 、、，直线2l 与圆1C 、圆2C 分别交于点D O C 、、,求证：OD OC OB OA ⋅+⋅为定值（与m k 、无关）数学试卷第4页，共4页莱恩教育地址：邳州市建设中路时代大厦B座20-1 咨询热线：0516-8699978118061127892周老师。
北京仁慧书院2011年全国高中数学联赛模拟试题(四
北京仁慧书院2011年全国高中数学联赛模拟试题（四）一试时间8月27日8：00~9：20姓名_______________学校______________分数_____________ 一．填空题（每题8分，共64分）1、已知点P 在21y x =--上，点Q 在21x y =+上，则P Q 的最小值是_______．2、设22211a b c R a b c a b c a b c ∈++=++=>>、、，若，，且，则c 的取值范围是 ．3、有20张卡片分别写着数字1，2，…，19，20．将它们放入一个盒中，有4个人从中各抽取一张卡片，取到两个较小数字的二人在同一组，取得两个较大数字的二人在同一组．若其中二人分别抽取到5和14，则此二人在同一组的概率等于_________.(用分数回答)4、已知正三棱柱111ABC A B C -的所有棱长都相等，E 是1A B 的中点，F 在棱1C C 上，当点F 使得1A F BF +最小时，异面直线1AE A F 与所成的角为__________.5、给定数列{x n }，x 1=1，且x n+1=nn x x -+313，则=∑=20101n n x ____________6、设1)5,4,3,2,1(0,51==≥∈∑=i ii i xi x R x ，则{433221,,x x x x x x x ma +++}54,x x +的最小值等于___________.7、已知{}1,2,3,,104A = ，S 是A 的一个子集，若x S ∈，且同时满足1x S -∉和1x S +∉，则称x 为S 的一个“孤立点”，则A 的无孤立点的所有5元子集的个数是____________.8、设函数:f N N ++→是严格递增的，且有(())3f f n n =，则(1)(9)(96)f f f ++＝________________二．解答题（第9题16分，第10题20分，第11题20分）9、若复数列{a n }的通项公式为))(61sin61(cos22*1N n n i n a n n ∈-+-⎪⎪⎭⎫⎝⎛=-ππ.（1）将数列{a n }的各项与复平面上的点对应，问从第几项开始，以后所有各项对应的点都落在圆16122=+y x 的内部；（2）将数列{a n }中的实数项按原来的顺序排成一个新数列{b n }求数列{b n }的通项以及所有项的和.10、如图,已知椭圆E :)0(12222>>=+b a by ax ,A ,B 是上半椭圆E 上的两点.(Ⅰ)求证:椭圆E 上点)(11y x A ，处切线方程为12121=+by y ax x ;(Ⅱ)设A ,B 两点的切线相交于点P ，OP 交椭圆E 于点Q .求证:直线OP 经过弦AB 的中点C ,且点Q 处的切线平行于弦AB .11、已知函数()()2log 1f x x =-，若实数a ，b ()1a b <<满足()1bf a f b ⎛⎫=⎪-⎝⎭，()22a bf b f +⎛⎫=⎪⎝⎭，求证：432b <<+．加 试时间8月25日9：40~12：10姓名_______________学校______________分数_____________一（40分）、如图，⊙O 1、⊙O 2、⊙O 3分别外切⊙O 于A 1、B 1、C 1，并且前三个圆还分别与△ABC 的两条边相切.求证：三条直线AA 1、BB 1、CC 1相交于一点.二（40分）、已知,,, 1.x y z R xyz +∈=证明：2221111(1)1(1)1(1)1x y y z z x ++≥++++++三（50分）、求证：数列13cos(arccos )(1,2,)3nn a n n == 的每项都是整数，但都不是3的倍数．四（50分）、称自然数a 开初若干位数字组成的数为a 的“前缀”.例如， 2010,201,20,2都是数2010的“前缀”.证明：对于任一给定的正整数M ，存在正整数n ，使M 为2n 的“前缀”.xy F 1 F 2PAB OCQ。
2011AAA自主招生模拟试题
“在新开垦的土地上是不会发生背叛行为的，因为它干净纯洁，没有受到城市中你争我
夺和工厂烟囱的污染……请问芳名……”
“我叫纳吉娃。”
“她真是我心中的娇娃。”他这么想着，不觉两眼向她瞟了过去，那一双蓝蓝的大眼
睛……男人还会梦想到比这更美好的妻子吗？
他明白她的意思，赶快亲切地说道：
“可是你必须同意我的观点。”
“我？为什么？”
“因为我将去迎接的生活是值得为之作出牺牲的。 城市的拥挤已压得人喘不过气来。 相
信我，新土地上的生活将是极其美好的，它将成为天堂的一部分，特别是……如果有一位妻
子陪伴着……”
3
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“妻子？为什么你不和她一起去？”
“我还没有结婚哩！”
1
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人员收中文阅读与写作部分的试卷，开考3 小时后收英文阅读与写作、中英文综合部分的试
卷。
麦斯欧德忍不住喊了起来：
“不，这不可能！”
检票员向他投来冷峻而带威胁性的眼光：
“这与你无关……”
麦斯欧德一阵战栗，他差点哭出来，说：
4
一节车厢。车厢里挤满了乘客，一个空位子也没有，连过道上都站满了人。他决心为自己找
一个座位，不能这样站一路。他看见有个座位上放着一只手提包，想先去抢座，免得给别人
占去。他从站在过道上的人群中用肩头艰难地为自己开路，终于走到那座位前。他伸手将包
拎起， 问也没问一声就将它塞到座位底下。 坐在对面的一位姑娘大声嚷起来， 问他要干什么？
#2011各地自主招生考试数学试卷集
2011年漳州一中高中自主招生考试数 学 试 卷（满分：150分；考试时间：120分钟）亲爱的同学：欢迎你参加本次考试！请细心审题，用心思考，耐心解答．祝你成功！ 答题时请注意：请将答案或解答过程写在答题卷的相应位置上，写在试卷上不得分．一、选择题（本大题共有10小题，每小题4分，共40分．每小题都有A 、B 、C 、D 四个选项，其中有且只有一个选项是正确的，请将正确答案的代号填写在答题卷中相应的表格内，答对得4分，答错、不答或答案超过一个的得零分）1.下列运算正确的是…………………………………………………………（ ）A.22532b a ab ab =+ B.632a aa =⋅C.)0( 122≠=-a aaD.y x y x +=+ 2.如图，点A 在数轴上表示的实数为a ，则2-a 等于…………………（ ）A.2-aB.2+aC.2--aD.2+-a 3.甲、乙两名运动员在10次的百米跑练习中，平均成绩分别为x甲7.10＝秒，x乙7.10＝秒，方差分别为S 2甲054.0=，S 2乙103.0=，那么在这次百米跑练习中，甲、乙两名运动员成绩较为稳定的是……………………………（ ）A.甲运动员B.乙运动员C.甲、乙两人一样稳定D.无法确定4.如图，A 、B 、C 、D 是直线l 上顺次四点，M 、N 分别是AB 、CD 的中点，且6=MN cm ，1=BC cm ，则AD 的长等于……………………（ ）A.10cmB.11cmC.12cmD.13cm5.已知等腰三角形的一个外角等于︒140，则这个三角形的三个内角的度数分别是……………………………………………………………………………（ ）A.︒20、︒20、︒140 B.︒40、︒40、︒100 C.︒70、︒70、︒40 D. ︒40、︒40、︒100或︒70、︒70、︒40 6.如图，点A 在函数=y x6-)0(<x 的图象上，过点A 作AE 垂直x 轴，垂足为E ，过点A 作AF 垂直y 轴，垂足为F ，则矩形AEOF 的面积是……（ A.2 B.3． A –1 0 1 2 3 ． ． ． ．． （第2题图）A MBC ND l ． ． ．． ． ． （第4题图）7.用大小和形状完全相同的小正方体木块搭成 一个几何体，使得它的正视图和俯视图如图 所示，则搭成这样的一个几何体至少需要小 正方体木块的个数为………………（ ） A.22个 B.19个C.16个D.13个8.用半径为cm 6、圆心角为︒120的扇形做成一个圆锥的侧面, 则这个圆锥的底面半径是……………………………………………………………………（ ） A.2cm B.3cm C.4cm D.6cm 9.若n 为整数，则能使11-+n n 也为整数的n 的个数有 ……………………（ ） A.1个 B.2个 C.3个 D.4个10.已知a 为实数，则代数式221227a a +-的最小值为………………（ ） A.0 B.3 C.33 D.9二、填空题（本大题共有6小题，每小题4分，共24分．请将正确的答案直接填写在答题卷中相应的横线上） 11.函数12-+=x x y 的自变量x12.分解因式：=+-xy y x 273313.把2007个边长为1图形，则这个图形的周长是． 14.如图，正方形ABCD 的边长为4cm，正方形AEFG 的边长为1cm ．如果正方形AEFG 绕点A 旋转，那么C 、F 两点之间的最小距离为 cm ．15.若规定：①{} m 表示大于m 的最小整数，例如：{}4 3 =，{}2 4.2-=-； ②[] m 表示不大于m 的最大整数，例如：[]5 5 =，[]4 6.3-=-.则使等式{}[]4 2=-x x 成立的整数．．=x ． 16.如图，E 、F B C D 的边AB 、CD 上 的点，AF 与DE 相交于点P ，BF 与CE 相交于 点Q ，若S △APD 15=2cm ，S △BQC 25=2cm ， 则阴影部分的面积为 2cm ． EABCDG F（第14题图）（第13题图）… （正视图） （俯视图） （第7题图）（第16题图）三、解答题（本大题共有7小题，共86分．其中第17题8分，第18、19题各10分，第20题12分，第21题14分，第22、23题各16分．请将解答过程写在答题卷的相应位置上） 17.计算：2330tan 3)2(0----.18.先化简，再求值：⎪⎭⎫ ⎝⎛--+2122x x ÷24--x x，其中42-=x .19.将背面相同，正面分别标有数字1、2、3、4的四张卡片洗匀后，背面朝上放在桌面上. （1）从中随机抽取一张卡片，求该卡片正面上的数字是偶数的概率； （2）先从中随机抽取一张卡片（不放回．．．），将该卡片正面上的数字作为十位上的数字；再随机抽取一张，将该卡片正面上的数字作为个位上的数字，则组成的两位数恰好是4的倍数的概率是多少？请用树状图或列表法加以说明.20.为配合我市“创卫”工作，某中学选派部分学生到若干处公共场所参加义务劳动．若每处安排10人，则还剩15人；若每处安排14人，则有一处的人数不足14人，但不少于10人．求这所学校选派学生的人数和学生所参加义务劳动的公共场所个数.21.如图，四边形ABCD 是正方形，点N 是CD 的中点，M 是AD 边上不同于点A 、D 的点，若1010sin =∠ABM ，求证:MBC NMB ∠=∠.22.如图，抛物线的顶点坐标是⎪⎭⎫ ⎝⎛8925，－，且经过点) 14 , 8 (A .(1)求该抛物线的解析式；(2)设该抛物线与y 轴相交于点B ，与x 轴相交于C 、D 两点（点C 在点D 的左边）， 试求点B 、C 、D 的坐标；(3)设点P 是x 轴上的任意一点，分别连结AC 、BC ． 试判断：PB PA +与BC AC +的大小关系，并说明理由. (第21题图)N(第22题图)23.如图，AB 是⊙O 的直径，过点B 作⊙O 的切线BM ，点P 在右半圆上移动点P 与点A 、B 不重合），过点P 作PC ⊥AB ，垂足为C ；点Q 在射线BM 上移动（点M 在点B 的右边），且在移动过程中保持OQ ∥AP . (1)若PC 、QO 的延长线相交于点E ，判断是否存在点P ，使得点E 恰好在⊙O 上？ 若存在，求出APC ∠的大小；若不存在，请说明理由； (2)连结AQ 交PC 于点F ，设PC PFk =，试问：k 的值是否随点P 的移动而变化？证明你的结论． Q ABC EFPMO（第23题图）．2011年浙江省象山中学提前招生数学试题一、选择题(每小题5分，共30分)1、若匀速行驶的汽车速度提高40％，则行车时间可节省( )％(精确至1％) A 、6 0 B 、40 C 、 29 D 、252、如图，一个正方形被5条平行于一组对边的直线和3条平行于另一组对边的直线分成24个(形状不一定相同的)长方形，如果这24个长方形的周长的和为24，则原正方形的面积为( )．A 、1B 、9/4C 、4D 、36/25 3、已知：2)3(3322=+-+x x xx ，x 2+3x 为( ) A 、1 B 、-3和1 C 、3 D 、-1或34、四边形ABCD 的对角线AC 、BD 交于点O ，且S △AOB =4，S △COD =9，则四边形A B CD 面积有( )A 、最小值12B 、最大值12C 、．最小值25D 、最大值255、二个天平的盘中，形状相同的物体质尊相等，如图(1)图(2)所示的两个天平处于平街状态，要使第三个天平也保持平衡，则需在它的右盘中放置( )A 、 3个球B 、4个球C 、5个球D 、6个球 5、9人分24张票，每人至少1张，则( )A 、至少有3人票数相等B 、至少有4人票数无异C 、不会有5人票数一致D 、不会有6人票数同样 二、填空(：每小题5分，共30分、} 1、姚明在一次“N BA”常规赛中，22投144中得28分，除了3个3分球全中外，他还投中了一个两分球和 个罚球。
2011年台湾省大学入学学科能力测验考试数学试卷及答案
2011年台湾省大学入学学科能力测验考试数学试卷一、解答题（共13小题，满分0分）1．有一箱子，内有3黑球与2白球．有一游戏，从箱子中任取出一球．假设每一颗球被取出的机率都相同，若取出黑球可得奖金50元，而取出白球可得奖金100元，则下列哪一个选项是此游戏的奖金期望值？（1）70 元（2）75 元（3）80 元（4）85 元（5）90 元．2．多项式4（x2+1）+（x+1）2（x﹣3）+（x﹣1）3等于下列哪一个选项？（1）x（x+1）2（2）2x（x﹣1）2（3）x（x﹣1）（x+1）（4）2（x﹣1）2（x+1）（5）2x（x﹣1）（x+1）3．设，n为正整数，且知a n皆为正．令b n=loga n，则数列b1，b2，b3，…为（1）公差为正的等差数列（2）公差为负的等差数列（3）公比为正的等比数列（4）公比为负的等比数列（5）既非等差亦非等比数列．4．坐标平面上满足方程式的点（x，y）所构成的图形为（1）只有原点（2）椭圆及原点（3）两条相异直线（4）椭圆及双曲线（5）双曲线及原点．5．请问下面哪一个选项是正确的？（1）37＜73（2）510＜105（3）2100＜1030（4）log23=1.5（5）log211＜3.5．6．根据台湾寿险业的资料，男性从0岁、1岁、…到60岁各年龄层的死亡率（单位：%）依序为1.0250，0.2350，0.1520，0.1010，0.0720，0.0590，0.0550，0.0540，0.0540，0.0520，0.0490，0.0470，0.0490，0.0560，0.0759，0.1029，0.1394，0.1890，0.2034，0.2123，0.2164，0.2166，0.2137，0.2085，0.2019，0.1948，0.1882，0.1830，0.1799，0.1793，0.1813，0.1862，0.1941，0.2051，0.2190，0.2354，0.2539，0.2742，0.2961，0.3202，0.3472，0.3779，0.4129，0.4527，0.4962，0.5420，0.5886，0.6346，0.6791，0.7239，0.7711，0.8229，0.8817，0.9493，1.0268，1.1148，1.2139，1.3250，1.4485，1.5851，1.7353．经初步整理后，已知61个资料中共有24个资料小于0.2．请问死亡率资料的中位数为下列哪一个选项？（1）0.2034 （2）0.2164 （3）0.2137 （4）0.2085 （5）0.2019．7．设A、B、C分别为复数平面上代表1+i、1+iZ，以及1﹣i的点．请问下列哪些选项所对应的点落在△OAB的内部？（1）cos60°（2）cos50°+isin50°（3）（4）（5）（cos30°+isin30°）25．8．已知且cosθ＞0，请问下列哪些选项是正确的？（1）tanθ＜0（2）（3）sin2θ＞cos2θ（4）sin2θ＞0（5）标准位置角θ与2θ的终边位在不同的象限．9．考虑坐标平面上以O（0，0），A（3，0），B（0，4）为顶点的三角形，令C1，C2分别为△OAB的外接圆、内切圆．请问下列哪些选项是正确的？（1）C1的半径为2（2）C1的圆心在直线y=x上（3）C1的圆心在直线4x+3y=12上（4）C2的圆心在直线y=x上（5）C2的圆心在直线4x+3y=6上．10．坐标平面中，向量与向量互相垂直且等长．请问下列哪些选项是正确的？（1）向量必为或（2）向量与等长（3）向量与的夹角可能为135°（4）若向量，其中，a，b为实数，则向量的长度为（5）若向量，其中c，d为实数，则c＞0．11．在坐标平面上，圆C的圆心在原点且半径为2，已知直线L与圆C相交，请问L与下列哪些图形一定相交？（1）x轴（2）（3）x2+y2=3 （4）（x﹣2）2+y2=16 （5）．12．坐标空间中，考虑球面S：（x﹣1）2+（y﹣2）2+（z﹣3）2=14与A（1，0，0），B（﹣1，0，0）两点．请问下列哪些选项是正确的？（1）原点在球面S上（2）A点在球面S之外部（3）线段与球面S 相交（4）A点为直线AB上距离球心最近的点（5）球面S和xy，yz，xz 平面分别截出的三个圆中，以与xy平面所截的圆面积为最大．13．设f（x）=x（x﹣1）（x+1），请问下列哪些选项是正确的？（1）（2）f（x）=2有整数解（3）f（x）=x2+1有实数解（4）f（x）=x有不等于零的有理数解（5）若f（a）=2，则f（﹣a）=2．二、填空题（共7小题，每小题3分，满分21分）14．（3分）已知首项为a、公比为r的无穷等比级数和等于5；首项为a、公比为3r的无穷等比级数和等于7，则首项为a、公比为2r的无穷等比级数和等于．15．（3分）空间中一长方体如下图所示，其中ABCD为正方形，为长方体的一边．已知，则cot∠CED=．16．（3分）高三甲班共有20位男生、15位女生，需推派3位同学参加某项全校性活动．班会中大家决定用抽签的方式决定参加人选．若每个人中签的机率相等，则推派的三位同学中有男也有女的机率为．17．（3分）四边形ABCD中，，且∠DAB=∠BCD=90°，则对角线长为．18．（3分）一矿物内含A、B、C三种放射性物质，放射出同一种辐射．已知A、B、C每公克分别会释放出1单位、2单位、1单位的辐射强度，又知A、B、C 每过半年其质量分别变为原来质量的倍．于一年前测得此矿物的辐射强度为66单位，而半年前测得此矿物的辐射强度为22单位，且目前此矿物的辐射强度为8单位，则目前此矿物中A、B、C物质之质量分别为公克．19．（3分）设E1：（其中a＞0）为焦点在（3，0），（﹣3，0）的椭圆；E2：焦点在（3，0）且准线为x=﹣3的抛物线．已知E1，E2的交点在直线x=3上，则a=．20．（3分）H：x﹣y+z=2为坐标空间中一平面，L为平面H上的一直线．已知点P（2，1，1）为L上距离原点O最近的点，则为L的方向向量．2011年台湾省大学入学学科能力测验考试数学试卷参考答案与试题解析一、解答题（共13小题，满分0分）1．（2011•台湾）有一箱子，内有3黑球与2白球．有一游戏，从箱子中任取出一球．假设每一颗球被取出的机率都相同，若取出黑球可得奖金50元，而取出白球可得奖金100元，则下列哪一个选项是此游戏的奖金期望值？（1）70 元（2）75 元（3）80 元（4）85 元（5）90 元．【分析】由题意由于箱子，内有3黑球与2白球．有一游戏，从箱子中任取出一球．假设每一颗球被取出的机率都相同，若取出黑球可得奖金50元，而取出白球可得奖金100元，利用古典概型随机事件的概率公式及期望定义即可求得．【解答】解：黑球白球奖金50元100元机率故期望值=（元）故答案为：（1）2．（2011•台湾）多项式4（x2+1）+（x+1）2（x﹣3）+（x﹣1）3等于下列哪一个选项？（1）x（x+1）2（2）2x（x﹣1）2（3）x（x﹣1）（x+1）（4）2（x﹣1）2（x+1）（5）2x（x﹣1）（x+1）【分析】解析此题可先从答案中寻找因式，五个答案中只出现了x，x+1，x﹣1三个因式，故可将x=0，﹣1，1代入原式即可得出正确选项．【解答】解：设f（x）=4（x2+1）+（x+1）2（x﹣3）+（x﹣1）3f（0）=4（0+1）+（0+1）2（0﹣3）+（0﹣1）3=0，故x为f（x）的因式；f（﹣1）=4（1+1）+（﹣1+1）2（﹣1﹣3）+（﹣1﹣1）3=0，故x+1为f（x）的因式；f（1）=4（1+1）+（1+1）2（1﹣3）+（1﹣1）3=0，故x﹣1为f（x）的因式；所以可设f（x）=4（x2+1）+（x+1）2（x﹣3）+（x﹣1）3=kx（x﹣1）（x+1）x=2代入得4×5+9×（﹣1）+1=k×2×1×3，故k=2故答案为：（5）．3．（2011•台湾）设，n为正整数，且知a n皆为正．令b n=loga n，则数列b1，b2，b3，…为（1）公差为正的等差数列（2）公差为负的等差数列（3）公比为正的等比数列（4）公比为负的等比数列（5）既非等差亦非等比数列．【分析】根据b n=loga n，对两边取以10为底的对数，利用对数的运算性质，可得，根据等差数列的定义即可得到答案．【解答】解：由，两边取以10为底的对数，得即，故数列b1，b2，b n为一公差为负的等差数列故答案为（2）．4．（2011•台湾）坐标平面上满足方程式的点（x，y）所构成的图形为（1）只有原点（2）椭圆及原点（3）两条相异直线（4）椭圆及双曲线（5）双曲线及原点．【分析】把方程变形为，表示点（0，0），而代表相交于（0，0）的两相异直线，由此得出结论．【解答】解：由得，即，由得x=y=0，表示点（0，0 ）．而代表相交于（0，0）的两相异直线，故答案为（3）．5．（2011•台湾）请问下面哪一个选项是正确的？（1）37＜73（2）510＜105（3）2100＜1030（4）log23=1.5（5）log211＜3.5．【分析】对于（1）（2）（3）在等式两边同取常用对数，先比较对数值，再根据对数函数的性质判定大小即可，对于（4）利用换底公式求出值进行判定，对于（5）将3.5化成以2为底的对数，然后跟log211进行比较即可，从而得到正确的结论．【解答】解（1）lg37=7×lg3≈7×0.4771=3.3397，lg73=3×lg7≈3×0.8451=2.5353故lg37＞lg73⇒37＞73故（1）不正确；（2）lg510=10×lg5=10×（1﹣lg2）≈10×0.6990=6.990 lg105=5故lg510＞lg105⇒510＞105故（2）不正确；（3）lg2100=100lg2≈30.10lg1030=30故lg2100＞lg1030⇒2100＞1030故（3）不正确；（4）故（4）不正确；（5）故（5）正确，故答案为（5）6．（2011•台湾）根据台湾寿险业的资料，男性从0岁、1岁、…到60岁各年龄层的死亡率（单位：%）依序为1.0250，0.2350，0.1520，0.1010，0.0720，0.0590，0.0550，0.0540，0.0540，0.0520，0.0490，0.0470，0.0490，0.0560，0.0759，0.1029，0.1394，0.1890，0.2034，0.2123，0.2164，0.2166，0.2137，0.2085，0.2019，0.1948，0.1882，0.1830，0.1799，0.1793，0.1813，0.1862，0.1941，0.2051，0.2190，0.2354，0.2539，0.2742，0.2961，0.3202，0.3472，0.3779，0.4129，0.4527，0.4962，0.5420，0.5886，0.6346，0.6791，0.7239，0.7711，0.8229，0.8817，0.9493，1.0268，1.1148，1.2139，1.3250，1.4485，1.5851，1.7353．经初步整理后，已知61个资料中共有24个资料小于0.2．请问死亡率资料的中位数为下列哪一个选项？（1）0.2034 （2）0.2164 （3）0.2137 （4）0.2085 （5）0.2019．【分析】要求一组数据的中位数，这组数据有61个，得到中位数是这些数字的最中间一个，已知61个数据中有24个数据小于0.2，故只须从大于或等于0.2的数据中找出第7个，把数据写出得到结果．【解答】解：61个数据的中位数为第31个数据（须先将所有数据由小排到大）由题目已知61个数据中有24个数据小于0.2，故只须从大于或等于0.2的数据中找出第7个．大于或等于0.2的资料排列如下：0.2019，0.2034，0.2051，0.2085，0.2123，0.2137，0.2164，故中位数为0.2164故死亡率资料的中位数为（2）7．（2011•台湾）设A、B、C分别为复数平面上代表1+i、1+iZ，以及1﹣i的点．请问下列哪些选项所对应的点落在△OAB的内部？（1）cos60°（2）cos50°+isin50°（3）（4）（5）（cos30°+isin30°）25．【分析】根据所给的三个复数的代数形式，写出复数对应的点，得到以这三个点为顶点的三角形，把所给的五个条件进行验证，从模长到幅角两个方面来说明．【解答】解：可知与均与x轴夹45度角．且，（1），故cos60°位于x轴上距离原点单位之处，所以cos60°位于△ABC内部．（2）cos50°+isin50°与原点距离为，且与x轴夹50度角的点，故此点在△ABC外部．（因为50°＞45°）（3）在复数平面对应到点∵在上，∴在△ABC内部．（4）在复数平面对应到点∵在上，∴在外部．（5）（cos30°+isin30°）25=cos750°+isin750°=cos30°+isin30°，此点与原点距离为，且与x轴夹30度角的点，故此点在△ABC内部．（因为30°＜45°）答：（1）（3）（5）8．（2011•台湾）已知且cosθ＞0，请问下列哪些选项是正确的？（1）tanθ＜0（2）（3）sin2θ＞cos2θ（4）sin2θ＞0（5）标准位置角θ与2θ的终边位在不同的象限．【分析】先判断θ为第四象限角，由sinθ的值求出cosθ的值，计算tanθ的值，判断（1）正确；再求出tanθ的平方，可得（2）正确；求出sin2θ和cos2θ 的值，可得（3）不正确；利用二倍角公式计算sin2θ的值和cos2θ的值，可得（4）、（5）不正确．【解答】解：因为，故θ为第四象限角，，所以，（1）＜0 正确，（2）正确，（3）由，故sin2θ＜cos2θ，故（3）不正确，（4），故（4）不正确，（5），∵sin2θ＜0，cos2θ＞0，∴2θ为第四象限角，故角θ与2θ的终边在相同的象限，故（5）不正确．综上，只有（1）（2）正确．9．（2011•台湾）考虑坐标平面上以O （0，0），A （3，0），B （0，4）为顶点的三角形，令C 1，C 2分别为△OAB 的外接圆、内切圆．请问下列哪些选项是正确的？（1）C 1的半径为2（2）C 1的圆心在直线y=x 上 （3）C 1的圆心在直线4x +3y=12上 （4）C 2的圆心在直线y=x 上 （5）C 2的圆心在直线4x +3y=6上．【分析】根据题意画出图形，如图所示，根据直角三角形的外接圆的圆心为斜边的中点，即斜边为外接圆的直径，利用两点间的距离公式求出|AB |，除以2即可得到C 1的半径，判断出选项（1）是错误的；根据中点坐标公式求出线段AB 的中点坐标即为外接圆的圆心坐标，即为C 1的圆心，代入y=x 与4x +3y=12即可判断C 1的圆心在直线4x +3y=12上，不在y=x 上，即选项（2）错误，选项（3）正确；如图点P 为三角形内切圆的圆心，作出点P 到三角形三边的距离都为内切圆的半径r ，把三角形AOB 的面积分为三个三角形，根据三角形的面积公式即可列出关于r 的方程，求出方程的解即可得到r 的值，进而得到点P 的坐标，判断出点P 不在直线4x +3y=6上，在直线y=x 上，即可得到选项（4）正确，（5）错误． 【解答】解：O ，A ，B 三点的位置如右图所示，C 1，C 2为△OAB 的外接圆与内切圆，∵△OAB 为直角三角形，∴C 1为以线段AB 为直径的圆，故半径为，所以（1）选项错误； 又C 1的圆心为线段AB 的中点，此点在直线4x +3y=12上，所以选项（2）错误，选项（3）正确； 如图，P 为△OAB 的内切圆C 2的圆心，故P 到△OAB 的三边距离相等均为圆C 2的半径r ． 连接PA ，PB ，PC ，可得：S △OAB =S △POA +S △PAB +S △POB故P的坐标为（1，1），此点在y=x上．所以选项（4）正确，选项（5）错误，综上，正确的选项有（3）、（4）．10．（2011•台湾）坐标平面中，向量与向量互相垂直且等长．请问下列哪些选项是正确的？（1）向量必为或（2）向量与等长（3）向量与的夹角可能为135°（4）若向量，其中，a，b为实数，则向量的长度为（5）若向量，其中c，d为实数，则c＞0．【分析】（1）由向量与向量互相垂直且等长，可设，列方程组求出；（2）求出向量与的模长；（3）求出向量与的夹角；（4）求出向量的长度；（5）由向量，列方程组，求出实数c，即可．【解答】解：（1）设，∵①；又∵②；由①②可得：，故结论正确；（2）∵，或+=（2+，﹣2），﹣=（2﹣，+2）；∴=3，故结论正确；（3）设与的夹角为θ，则，故（3）结论不正确；（4）∵，∴，故结论不正确；（5）∵，∴c＞0结论正确；11．（2011•台湾）在坐标平面上，圆C的圆心在原点且半径为2，已知直线L与圆C相交，请问L与下列哪些图形一定相交？（1）x轴（2）（3）x2+y2=3 （4）（x﹣2）2+y2=16 （5）．【分析】本题利用图象法解决，分别画出符合条件的图形，画出直线L与圆C相交，再观察直线L与下列哪些图形一定相交即可．【解答】解：（1）错误，如图，若L∥x轴即不成立．（2）错误，如下图，L与不相交．（3）错误，如图，L与x2+y2=3（中间较小的圆）不相交．（4）正确，如图，圆（x﹣2）2+y2=16的图形包含圆C：x2+y2=4，故任何与圆C相交的直线L均与（x﹣2）2+y2=16相交．（5）正确，如图，椭圆图形包含圆C：x2+y2=4，故任何与圆C相交的直线L均与相交．故答案这：（4）（5）．12．（2011•台湾）坐标空间中，考虑球面S：（x﹣1）2+（y﹣2）2+（z﹣3）2=14与A（1，0，0），B（﹣1，0，0）两点．请问下列哪些选项是正确的？（1）原点在球面S上（2）A点在球面S之外部（3）线段与球面S 相交（4）A点为直线AB上距离球心最近的点（5）球面S和xy，yz，xz 平面分别截出的三个圆中，以与xy平面所截的圆面积为最大．【分析】由于S：（x﹣1）2+（y﹣2）2+（z﹣3）2=14，表示：球心P（1，2，3），半径（1）利用原点O与球心P的距离进行判定；O在球面上．（2）利用AP的长与半径之间的关系判定A在球面S的内部．（3）利用AP的长与半径之间的关系判定B在球面S的外部，所以与球面S 相交．（4）直线AB上距离球心P最近的点即为P在直线AB上的投影点Q．结合向量的去处即可；（5）利用平面愈接近球心，与球面S所截出的圆面积愈大进行判定．【解答】解：S：（x﹣1）2+（y﹣2）2+（z﹣3）2=14，球心P（1，2，3），半径（1）原点O与球心P的距离，故O在球面上．（2），故A在球面S的内部．（3），故B在球面S的外部，所以与球面S相交．（4）直线AB上距离球心P最近的点即为P在直线AB上的投影点Q．设Q（k，0，0）∵，∴（k﹣1，﹣2，﹣3）•（1，0，0）=0⇒k=1故Q（1，0，0），即Q=A（5）平面愈接近球心，与球面S所截出的圆面积愈大．球心P（1，2，3）距离xy平面3个单位，距离yz平面1个单位，距离xoz平面2个单位；故求面S与yz平面所截出圆面积最大．故答案为（1）（3）（4）．13．（2011•台湾）设f（x）=x（x﹣1）（x+1），请问下列哪些选项是正确的？（1）（2）f（x）=2有整数解（3）f（x）=x2+1有实数解（4）f（x）=x有不等于零的有理数解（5）若f（a）=2，则f（﹣a）=2．【分析】（1）把代入f（x）可得结论错误；（2）方程f（x）=2有整数解，即x3﹣x﹣2=0有整数解，构造函数g（x）=x3﹣x﹣2有整零点，利用反证法即可得到结论；（3）方程f（x）=x2+1有实数解，即x3﹣x2﹣x﹣1=0为一整系数三次方程式，此方程式必有三个根；因为虚根必成共轭虚根出现，故此方程式必有一实根；（4）f（x）=x有不等于零的有理数解，即x（x﹣1）（x+1）=x，解此方程即可求得结论；（5）f（x）=x（x﹣1）（x+1）是奇函数，因此f（a）=2，则f（﹣a）=﹣2．【解答】解：（1）（2）f（x）=2⇒x（x﹣1）（x+1）=2⇒x3﹣x﹣2=0令g（x）=x3﹣x﹣2若为g（x）=0的有理根，则a|1，b|2，故可为±1，±2．但g（1）≠0，g（﹣1）≠0，g（2）≠0，g（﹣2）≠0，故g（x）=x3﹣x﹣2=0没有整数解，即f（x）=x3﹣x=2没有整数解．（3）f（x）=x2+1⇒x3﹣x=x2+1⇒x3﹣x2﹣x﹣1=0为一整系数三次方程式，此方程式必有三个根；因为虚根必成共轭虚根出现，故此方程式必有一实根．（4），故f（x）=x没有不等于0的有理根．（5）f（a）=2⇒a（a﹣1）（a+1）=2，则f（﹣a）=﹣a（﹣a﹣1）（﹣a+1）=﹣a （a+1）（a﹣1）=﹣2故正确的是（3）二、填空题（共7小题，每小题3分，满分21分）14．（3分）（2011•台湾）已知首项为a、公比为r的无穷等比级数和等于5；首项为a、公比为3r的无穷等比级数和等于7，则首项为a、公比为2r的无穷等比级数和等于．【分析】由无穷等比级数的总和公式，可得，由此能求出首项为a、公比为2r的无穷等比级数和．【解答】解：由无穷等比级数的总和公式，可得，所求=．故答案为：．15．（3分）（2011•台湾）空间中一长方体如下图所示，其中ABCD为正方形，为长方体的一边．已知，则cot∠CED=．【分析】如图，先根据图形得到，∠ABE=∠DCE=90°，再在直角三角形中利用边角关系得到cot∠AEB，通过解直角形即可求得cot∠CED的值．【解答】解：如图，∠ABE=∠DCE=90°设故故答案为：16．（3分）（2011•台湾）高三甲班共有20位男生、15位女生，需推派3位同学参加某项全校性活动．班会中大家决定用抽签的方式决定参加人选．若每个人中签的机率相等，则推派的三位同学中有男也有女的机率为．【分析】本题是一个古典概型，试验发生包含的事件是从35人中选3个同学参加活动，共有C353，满足条件的事件包括两种情况，一是两个男生一个女生，二是一个男生两个女生，列出事件数，得到概率．【解答】解：由题意知本题是一个古典概型，试验发生包含的事件是从35人中选3个同学参加活动，共有C353，满足条件的事件是推派的三位同学中有男也有女，包括两种情况，一是两个男生一个女生，二是一个男生两个女生，共有C151C202+C152C201∴根据古典概型概率公式得到P==，故答案为：17．（3分）（2011•台湾）四边形ABCD中，，且∠DAB=∠BCD=90°，则对角线长为4．【分析】设所求向量的模为x，角B=θ，由∠DAB=∠BCD=90°，根据四边形的内角和表示出角D=π﹣θ，在三角形ABC中，利用余弦定理表示出cosθ，同理在三角形ACD中，利用余弦定理表示出cos（π﹣θ），根据诱导公式得到cosθ=﹣cos （π﹣θ），列出关于x的方程，求出方程的解即可得到x的值，进而所求向量的模．【解答】解：设，由∠DAB=∠BCD=90°，则∠D=180°﹣θ，△ABC中，，，则；△ACD中，，，则；∵cos（180°﹣θ）=﹣cosθ，∴=4．故答案为：418．（3分）（2011•台湾）一矿物内含A、B、C三种放射性物质，放射出同一种辐射．已知A、B、C每公克分别会释放出1单位、2单位、1单位的辐射强度，又知A、B、C每过半年其质量分别变为原来质量的倍．于一年前测得此矿物的辐射强度为66单位，而半年前测得此矿物的辐射强度为22单位，且目前此矿物的辐射强度为8单位，则目前此矿物中A、B、C物质之质量分别为A：4克，B：1克，C：2克公克．【分析】若设目前矿物中A，B，C物质的质量分别为：x克，y克，z克；则根据A、B、C释放的辐射强度和目前此矿物的辐射强度为8单位，得方程①；半年前此矿物的辐射强度为22单位，得方程②；一年前测得此矿物的辐射强度为66单位，得方程③；组成三元一次方程组，解得即可．【解答】解：设目前矿物中A，B，C物质的质量分别为：x克，y克，z克；则半年前之质量分别为：2x克，3y克，4z克；一年前之质量分别为：4x克，9y克，16z克；根据题意，可列式为：故答案为A：4克，B：1克，C：2克19．（3分）（2011•台湾）设E1：（其中a＞0）为焦点在（3，0），（﹣3，0）的椭圆；E2：焦点在（3，0）且准线为x=﹣3的抛物线．已知E1，E2的交点在直线x=3上，则a=3+．【分析】作出图形，如图，P到准线的距离是6，可求得PF1的长度，由勾股定理求得PF2，再由椭圆的定义求出椭圆的长轴即可求得a【解答】解：设P为拋物线E1与椭圆E2的交点P在E 1上，根据拋物线的定义，P在E 2上，根据椭圆的定义，∵P在直线x=3上，∴轴故故答案为：．20．（3分）（2011•台湾）H：x﹣y+z=2为坐标空间中一平面，L为平面H上的一直线．已知点P（2，1，1）为L上距离原点O最近的点，则（2，﹣1，﹣3）为L的方向向量．【分析】根据所给的平面的方程，写出平面的一个法向量，设出直线的一个方向向量，根据两个向量之间的关系得到两个向量的数量积等于0，求出未知数，得到要求的直线的方向向量．【解答】解：∵x﹣y+z=2为坐标空间中一平面∴平面的一个法向量是设直线L的方向向量为∵L在H上，∴与平面H的法向量垂直故∵P（2，1，1）为直线L上距离原点O最近的点，∴故解得b=﹣1，c=﹣3故答案为：（2，﹣1，﹣3）。
2011年卓越联盟自主招生数学试题及答案.pdf
2011年同济等九校(卓越联盟)自主招生数学试题(1)向量a ，b 均为非零向量，(a -2b )⊥a ，(b -2a )⊥b ，则a ，b 的夹角为(A )6π(B )3π(C )23π (D )56π (2)已知sin2(α+γ)=n sin2β，则tan()tan()αβγαβγ++-+22等于 (A )11n n -+ (B )1n n + (C )1n n - (D )11n n +- (3)在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E 为棱AA 1的中点，F 是棱A 1B 1上的点，且A 1F ：FB 1=1：3，则异面直线EF 与BC 1所成角的正弦值为 (A )153 (B )155 (C )53 (D )55(4)i 为虚数单位，设复数z 满足|z |=1，则2221z z z i-+-+的最大值为 (A )2-1 (B )2-2 (C )2+1 (D )2+2(5)已知抛物线的顶点在原点，焦点在x 轴上，△ABC 三个顶点都在抛物线上，且△ABC 的重心为抛物线的焦点，若BC 边所在直线的方程为4x +y -20=0，则抛物线方程为(A )y 2=16x (B )y 2=8x (C )y 2=-16x (D )y 2=-8x(6)在三棱锥ABC —A 1B 1C 1中，底面边长与侧棱长均等于2，且E 为CC 1的中点，则点C 1到平面AB 1E 的距离为(A )3 (B )2 (C )32 (D )22(7)若关于x 的方程||4x x +=kx 2有四个不同的实数解，则k 的取值范围为( ) (A )(0，1) (B )(14，1) (C )(14，+∞) (D )(1，+∞) (8)如图，△ABC 内接于⊙O ，过BC 中点D 作平行于AC 的直线l ，l 交AB 于E ，交⊙O 于G 、F ，交⊙O 在A 点的切线于P ，若PE =3，ED =2，EF =3，则PA 的长为(A )5 (B )6(C )7(D )22 (9)数列{a n }共有11项，a 1=0，a 11=4，且|a k +1-a k |=1，k =1，2，…，10．满足这种条件的不同数列的个数为( )(A )100 (B )120 (C )140 (D )160(10)设σ是坐标平面按顺时针方向绕原点做角度为27π的旋转，τ表示坐标平面关于y 轴的镜面反射．用τσ表示变换的复合，先做τ，再做σ，用σk 表示连续k 次的变换，则στσ2τσ3τσ4是( ) (A )σ4 (B )σ5 (C )σ2τ(D )τσ2 (11)设数列{a n }满足a 1=a ，a 2=b ，2a n +2=a n +1+a n ．(Ⅰ)设b n=a n+1-a n，证明：若a≠b，则{b n}是等比数列；(a1+a2+…+a n)=4，求a，b的值．(Ⅱ)若limn1）考察数列定义2）a1+a2+a3+...+a n=a n-a n-1+2(a n-1-a n-2)+3(a n-2-a n-3)+...+(n-1)(a2-a1)+na1=b n+2b n-1+3b n-3+...+b1+na(错位相减，可得a，b的值)(12)在△ABC中，AB=2AC，AD是A的角平分线，且AD=kAC．(Ⅰ)求k的取值范围；(Ⅱ)若S△ABC=1，问k为何值时，BC最短？(13)已知椭圆的两个焦点为F1(-1，0)，F2(1，0)，且椭圆与直线y=x-3相切．(Ⅰ)求椭圆的方程；(Ⅱ)过F1作两条互相垂直的直线l1，l2，与椭圆分别交于P，Q及M，N，求四边形PMQN面积的最大值与最小值．(14)一袋中有a个白球和b个黑球．从中任取一球，如果取出白球，则把它放回袋中；如果取出黑球，则该黑球不再放回，另补一个白球放到袋中．在重复n次这样的操作后，记袋中白球的个数为X n．(Ⅰ)求EX1；(Ⅱ)设P(X n=a+k)=p k，求P(X n+1=a+k)，k=0，1，…，b；(Ⅲ)证明：EX n+1=(1-1a b+)EX n+1．(15)(Ⅰ)设f(x)=x ln x，求f′(x)；(Ⅱ)设0<a<b，求常数C，使得1|ln|bax C dxb a--⎰取得最小值；(Ⅲ)记(Ⅱ)中的最小值为m a,b，证明：m a,b<ln2．。
第十八讲 2011年自主招生数学试卷
第十八讲 2011年自主招生数学试卷1.设*n N ∈，15n ≥. 集合A 、B 都是{}1,2,,I n =⋅⋅⋅的真子集，A B =∅，A B I =.证明：集合A 或B 中，必有两个不同的数，它们的和为完全平方数.2.设()2(0)f x ax bx c a =++>，方程()f x x =的两个根是1x 和2x ，且10x >，211x x a->，又10t x <<.试比较()f t 与1x 的大小.3.求函数(){}2max 1,5f x x x =+-的最小值，并求出相应的x 的值.4.已知()f x 是定义在R 上的不恒为0的函数，且对于任意的,a b R ∈，有()()()f ab af b bf a =+.(1)求()0f ，()1f 的值；(2)判定函数()f x 的奇偶性，并证明你的结论；(3)若()22f =，()2n n f u n -=()*n N ∈，求数列{}n u 的前n 项和n S .F E D CB A 5.已知关于x 的方程()()22211ax a x +=-，1a >. 证明方程的正根比1小，负根比1-大.6.设a ，b 是两个正数，且a b <. 当[],x a b ∈时，246y x x =-+的最小值为a ，最大值为b ，求a ，b 值.7.某生产队想筑一面积为1442m 的长方形围栏，围栏一边靠墙. 现有铁丝网50m ，筑成这样的围栏最少要多少铁丝网？已有的墙最多利用多长？最少利用多长？8.在正方形ABCD 中，过一个顶点D 作对角线CA 的平行线DE ，若CE CA =，且CE 交边DA 于点F . 求证：AE AF =.9.设圆满足：①截y 轴所得弦长为2；②被x 轴分成两段弧，其弧长比为3:1，在满足上述条件的圆中，求圆心到直线:20l x y -=的距离最小的圆的方程.10.设数列{}n a 的前n 项和为n S ，点*(,)()n S n n N n ∈均在函数32y x =-的图像上. (1)求数列{}n a 的通项公式；(2)设13n n n b a a +=⋅，n T 数列{}n b 的前n 项和，求最小正整数m ，使得20n m T <对所有*n N ∈都成立.11.已知函数()24f x x =-+，12()()()n n S f f f n n n=++⋅⋅⋅+， 1,2,n =⋅⋅⋅. 若不等式11n n n n a a S S ++<恒成立，求实数a 的取值范围.。
山东省2011年高中学业水平考试数学试题(含答案)
山东省2011年高中学业水平考试数学试题一、选择题：本大题共15小题，每题3分，共45分.在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的. 1．集合{0},{|11}M N x Z x ==∈-<<,则M N 等于 A ．{-1,1} B ．{-1} C ．{1} D ．{0} 2．下列函数中，其图象过点（0,1）的是 A ．2xy = B 。
2log y x = C 。
13y x=D.sin y x =3．下列说法正确的是A ．三点确定一个平面B ．两条直线确定一个平面C ．过一条直线的平面有无数多个D ．两个相交平面的交线是一条线段4．已知向量(2,1),(3,4)a b ==-，则a b - 的坐标为A ．（-5,3）B ．（-1,5）C ．（5,-3）D ．.（1，-5） 5．0cos75cos15sin 75sin15+的值为A ．0B ．12C D ．16．已知过点(2,)A m -和(,4)B m 的直线与直线210x y +-=平行，则m 的值为A. -8B. 0C. 2D. 107．高三某班共有学生56人，其中女生24人，现用分层抽样的方法，选取14人参加一项活动，则应选取女生 A. 8人 B. 7 C. 6人 D. 5人8．已知一个半球的俯视图是一个半径为4的圆，则它的主（正）视图的面积是A. 2πB. 4πC. 8πD.16π 9．函数2()(1)(310)f x x x x =-+-的零点个数是 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 10．已知函数()sin()()2f x x x R π=-∈，下面结论正确的是A. 函数()f x 的最小正周期为2πB. 函数()f x 在区间[0,]2π上是增函数C. 函数()f x 是奇函数D. 函数()f x 的图象关于直线0x =对称 11．如图所示的程序框图，其输出的结果是 A. 1 B.32 C. 116 D. 251212．在ABC ∆中，已知()()3a b c b c a bc +++-=，则角A 等于 A. 030 B. 060 C. 0120 D. 015013．不等式组400x y x y +≤⎧⎪≥⎨≥⎪⎩表示的平面区域内横、纵坐标均为整数的点的个数是A.15B.14C. 10D. 914．已知变量,x y 有如下观察数据：则y 对x 的回归方程是0.83y x a =+，则其中a 的值为 A. 2.64 B .2.84 C. 3.95 D.4.3515．等比数列的前2项和为2，前4项和为10，则它的前6项和为A. 31B. 32C. 41D. 42 二、填空题：本大题共5题，每题4分，共20分.16．已知函数2()1,0f x x x =+<，若()10f x =，则x = 。
2011学年初一年级自主招生学科素质测评数学试卷
密封线密封线内不得答题2011学年初一年级自主招生学科素质测评 数学试卷 （考试时间45分钟，满分100分） 一、我会填！相信你是最棒的！（1～6每小题2分，7～10题每题3分，共24分） 1.2011年8月12日，第26届世界大学生运动会将在深圳开幕，开幕式举办场地--深圳湾、体育中心已基本完工，预计投入资金1988000000元，四舍五入到亿位约（ ）亿元；主场馆位于龙岗区奥体新城，总用地面积为520500平方米，合（ ）公顷。
2. 估算：19.88×5.2≈（ ） 8.89÷2.98≈（ ） 3．一个立体图形从上面看是 ，从左面看是 。
要搭成这样的立体图形至少要用（ ）个小正方体。
4. 深圳市成功申办2011年第26届世界大学生运动会，2011年全年有（ ）天。
5.今年植树节，芳华小学六年级学生植树138棵，其中有12棵未成活，后来补种12棵全部成活，今年植树节芳华小学植树的成活率是（ ）%。
6.一家商店把一件上衣标价460元，经物价局工作人员核准，这件上衣降价了220元出售，但仍可赚20%。
那么这件上衣的成本价是（ ）元。
7.把5个整数从小到大排列，中位数是4，如果这5个整数中的唯一众数是6，则这5个整数的和最大可能是（ ）。
8.已知a+a+a+b+b=54,a+a+b+b+b=56,求a=( ),b=（ ）。
9.淘气用棱长1厘米的小正方体木块堆成了一个长方体，从上面拿掉两层后成了一个正方体，表面积也减少了40平方厘米，原来堆成的长方体的长是（ ）厘米，宽是（ ）厘米，共用了（ ）小正方体。
10.一辆汽车从甲地到乙地，如果每小时行50千米，就要比原定时间多用2小时，如果每小时行70千米，就要比原定时间提前2小时。
甲、乙两地相距（ ）千米。
二、反复比较，择优录取！（把正确的答案的序号填在括号里，1～6题每小题2分，7～10题每小题3分，共24分） 1.下列各式中，a 和b 成反比例的是（ ）。
《2011年高水平大学自主选拔学业能力测试》自然科学卷最后一题解析
ａ １ 口十 Ｓ１ １ Ｕ
１ＵＳ１ ａ 十 口 ｎ
如 图 ４所 示 ， 子 在 由 Ｐ 运 动 到 Ｍ 的 过 程 中 ， 粒 建 立 如 图 所 示 的 Ｘｙ 正 交 坐 标 系 ， 沿 着 电 场 的 ｙ 方 向 在
ｓ ｎ ａ Ｏ ＋ Ｃ ｓｎ ０ ０． ｉ Ｃ Ｓ ＯＳａ ｉ ６＋ ０ ８ ａ 一 １ Ｓ ． ｔｎ ．
１
线 段 Ｐ 的长度 ， 为 ５Ｉ ， ０ 即 ｎ Ｐ０一÷ａ 即 ｔ ． ｔ， 一１ｓ
ｙ ／ ｍ
５ 解 法 粒
由 Ｐ运 动到 Ｍ 的过 程 中 ，
建立 如 图所 示 的 Ｘｙ正 交
坐标 系， 垂 直 电场 的 Ｘ 在 ３
别在 Ｙ轴正 方 向 上 和有 向线 段 Ｐ Ｏ方 向 上 ， 据 平 行 根 四边 形定则 ， 可知 有 向线 段 Ｐ Ｏ上 的分 运 动 位 移 等 于
— —
点 运动 到 Ｐ 点 的过 程 中 满 足 ｑ Ｐ一４ ２ ， ＥＯ Ｅ 一 铆
所 以 ＝ ５ ｍ・ 一 ． Ｓ
在 ＯＰ 方 向 上 做 初 速 度 为 零 、 速 度 ａ １ ・ 的 加 一 ０ｍ ｓ 匀 加 速 直 线 运 动 ． 位 移 就 是 有 向 线 段 Ｐ ， 位 移 分 合 Ｍ 分
可 知 ，一 １Ｓ 通 过 Ｍ 点 ． ￡ 时 解 法 ３ 设 粒 子 在 Ｐ 点 的 速 度 大 小 为 ， 由 ０ 在
ｎ 一 ８ｍ・一 ． 由运 动 学 公 式 ＝ 。 ｓ ＝ １ ｔ ，得 ＝ ｎ
所以
：一 一 号ｓ 值 去 ・ 以 一 ￡ １， 一 （ 舍 ）所 １・ ｓｚ 负 ｓ
解 法 ５ 如 图 ５所 示 ， 根
[转载]2011年高校自主招生考试试题评析
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[转载]2011年⾼校⾃主招⽣考试试题评析原⽂地址：2011年⾼校⾃主招⽣考试试题评析作者：家长平台2011年⾼校⾃主招⽣考试试题评析2011年“北约”“华约”⾃主招⽣考试简单试题分析在去年和今年的AAA测试中，都出现了⼀道和其他学科联系的题⽬，2010年五校联考出了⼀个⽣物背景的题⽬，2011年的七校联考则出了⼀个不折不扣的物理问题：⼀个均匀的质量为a的杯⼦，⾥⾯装满⽔，⽔的质量为b，问⾥⾯装多少⽔的时候重⼼最低？从物理意义上来分析，这个题⽬很显然，当重⼼落在⽔⾯上的时候是重⼼最低的时候，数学强调的是推导意义，因此只要抽象出基本的数学模型，⽤最简单的函数知识就可以解决。
类似于这样的问题，其实母体仍然出现在⾼考当中，只是较之⾼考，更加强调⼀般性问题的解决，更加强调在数学层⾯上的分析和推导，这和北约⽅数学试题的第6个题思路不谋⽽合。
平⾯上给定两个定圆，⼀个动圆和两个定圆相切，求动圆圆⼼的轨迹，并证明。
这个题⽬笔者在今年学⽽思秋季的数学课程上详细讲解过，这个题⽬有两个关键点，⼀个是处理相切时的状态，得到点之间的距离关系；⼀个是注意在定圆的不同位置关系下和动圆的不同相切（内切和外切）状态下有不同的结论。
本题可以分很多种情况，不妨解释其中的⼀种：这个问题其实在⾼考复习阶段，很多练习中会有⼀个到两个的具体例⼦，但是很多同学对这个问题并没有重视，这个题⽬就是从特殊情况（练习中的例⼦）到⼀般情况的⼀个拓展，学⽣如果平时不注重分析，这个题⽬往往会⽆法下⼿或者考虑情况不全，从这个意义上来说，⾃主招⽣并不是要⼀味求难求偏，⽽更强调在平时学习中能够“多想⼀点，多⾛⼀步”，这样的积极主动学习会给⾃主招⽣这类考试带来极⼤的益处。
2011年“北约”“华约”⾃主招⽣语⽂试题评析简单地说，2011⾃主招⽣语⽂试题其之所以发⽣变化，全在于联考阵营的扩⼤。
因此，在先前⼏年⾃主招⽣语⽂试题逐渐摸索到⾃⾝成熟的命制形式后，今年的试题变化主要体现在难度降低。
2011年华约自招——数学
13．已知函数 f x 2x 、、 f 1 1
ax b
f
1 2
2 3
．令
x1
1、 2
xn1 f xn ．
1 数列xn的通项公式；
2
证明
x1 x2
xn1
1 2e
．
14．已知双曲线 C :
x2 a2
y2 b2
1a
0、、、b
0
F1
F2 分别为 C 的左右焦点． P 为 C 右
支上一点，且使 F1PF2
1 p1 、、、 p2 p3 p4 ；
2 探究数列pn的递推公式，并给出证明；
讨论数列 pn 的单调性及其极限，并阐述该极限的概率意义．
D．任何一种分法所分出的三角形都恰有 1 个锐角三角形
二、解答题
11．已知 △ABC 不是直角三角形． 1 证明： tan A tan B tan C tan A tan B tan C ；
2 若 3 tan C 1 tan B tan C 、 且 sin 2A、、、sin 2B tan A
b
3 2
x2 y2 z2 的最小值为（
A．1
B． 4 3
1 2
c
3 2
）
C． 3 2
1 2
xa yb zc 1
1则
D． 2
8． AB 为过抛物线 y2 4x 焦点 F 的弦， O 为坐标原点，且 OFA 135、
物线准线与 x 轴的交点，则 ACB 的正切值为（
）
A． 2 2
角的正切为 2 ．则异面直线 DM 与 AN 所成角的余弦为（ ）
A． 1 3
B． 1 6
C． 1 8
D． 1 12
全国高水平大学华约自主招生选拔学业能力测试数学试题
2011年高水平大学（华约）自主招生选拔学业能力测试数学试题分值: 分 时量: 分钟一、选择题(本大题共10小题,每小题3分）1. 设复数z 满足||1z <且15||2z z +=,则||z =( ） A 。
45 B. 43 C 。
32 D 。
122.在正四棱锥P ABCD -中,M N 、分别为PA PB 、的中点，且侧面与底面所成二面角的正切值为则异面直线DM 与AN 所成角的余弦值为 （ )A.13 B. 16 C 。
18D 。
1123。
过点(1,1)-的直线l 与曲线3221y x x x =--+相切，且(1,1)-不是切点，则直线l 的斜率是（ ) A 。
2 B. 1 C 。
1- D. 2-4.若23A B π+=,则22cos cos A B +的最小值和最大值分别为 （ ） A 。
312- B. 13,22C. 1- D 。
1,12+5。
如图,1O 和2O 外切于点12,,C O O 又都和O 内切,,A B ，设,AOB α∠=ACB β∠=，则( )A 。
cos sin02αβ+= B. sin cos02αβ-=C 。
sin 2sin 0βα+=D 。
sin 2sin 0βα-=6.已知异面直线,a b 成60角，A 为空间中一点,则过A 与,a b 都成45角的平面有且只有( ) A. 1个 B.2个 C 。
3个 D. 4个7.若向量3131(0,1),(,),(,),(1,1)2222a b c xa yb zc ==--=-++=，则222x y z ++最小值为 （ ) A. 1 B. 43 C 。
32D 。
28。
AB 为过抛物线24y x =焦点F 的弦,O 为坐标原点,且0135,OFA C ∠=为抛物线准线与x 轴的交点，则ACB ∠的正切值为 （ ）A 。
B 。
5C.3 D 。
39。
如图,已知ABC ∆的面积为2，,D E 分别为边,AB AC 上的点，F 为线段DE 上一点,设,,,AD AE DF x y z AB AC DE===且1,y z x +-=则BDF ∆面积的最大值为 （ ） A. 827 B. 1027 C 。
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2011年高水平大学自主选拔学业能力测试
数 学
注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2．将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．设复数z 满足||1z <且15
||2
z z +=，则||z =( ).
（A ）45 （B ）34 （C ）23 （D ）1
2
2．在正四棱锥P -ABCD 中，M ，N 分别为P A ，PB 的中点，且侧面与底面所成二面角的正切
值为则异面直线DM 与AN 所成夹角的余弦值为( ).
（A ）13
（B ）16 （C ）18
（D ）
1
12
3．过点(1,1)-的直线l 与曲线3221y x x x =--+相切，且(1,1)-不是切点，则直线l 的斜率是( ).
（A ）2 （B ）1 （C ）1-
（D ）2-
4．若23
A B π
+=
，则22cos cos A B +的最小值和最大值分别为( ). （A
）312 （B ）13
,22
（C
）1-
（D
）1,122
+
5．如图，⊙O 1和⊙O 2外切于点C ，⊙O 1，⊙O 2又都和⊙O 内切，切点分别为A ，B.,AOB ACB αβ∠=∠=，则不正确的是( ). （A ）cos sin
02α
β+= （B ）sin cos
02
α
β-=
（C ）sin 2sin 0βα+=
（D ）sin 2sin 0βα-=
6．已知异面直线,a b 所成60°角，A 为空间中一点，则过A 与,a b 都成45°角的平面( ).
（A ）有且只有一个 （B ）有且只有两个 （C ）有且只有三个 （D ）有且只有四个
7．已知向量(0,1)=a ，12⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭b ，12⎫=-⎪⎪⎝⎭
c ，(1,1)x y z ++=a b c .则222x y z ++ 的最小值为( ).
（A ）1 （B ）
43 （C ）3
2
（D ）2 8．AB 过抛物线24y x =焦点F 的弦，O 为坐标原点，且135OFA ∠= ，C 为抛物线准线与x 轴的交点，则ACB ∠的正切值为( ).
（A ）（B ）
5
（C ）
3
（D ）
3
9．如图，已知△ABC 的面积为2，D ，E 分别为边AB ，边AC 上的点，F 为线段DE 上一点，设
,,AD AE DF
x y z AB AC DE
===，且1y z x +-=，则△BDF 面积的最大值为( ). （A ）827 （B ）1027 （C ）1427 （D ）16
27
10．将一个正11边形用对角线划分为9个三角形，这些对角线在正11边形内两两不相交，
则( ). （A ）存在某种分法，所分出的三角形都不是锐角三角形
（B ）存在某种分法，所分出的三角形恰有2个是锐角三角形 （C ）存在某种分法，所分出的三角形至少有3个锐角三角形
（D ）任何一种分法所分出的三角形都恰有1个锐角三角形 二、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 11．（本小题满分14分）已知△ABC 不是直角三角形. （1）证明：tan tan tan tan tan tan A B C A B C ++=；
（2）若tan tan 1tan B C C A +-=
，且sin 2,sin 2,sin 2A B C 的倒数成等差数列，求cos 2
A C
-的值.
12．（本小题满分14分）已知圆柱形水杯质量为a 克，其重心在圆柱轴的中点处（杯底厚度及重量忽略不计，且水杯直立放置）.质量为b 克的水恰好装满水杯，装满水后的水杯的重心还在圆柱轴的中点处.
（1）若3b a =，求装入半杯水后的水杯的重心到水杯底面的距离与水杯高的比值； （2）水杯内装多少克水可以使装入水后的水杯的重心最低？为什么？
13．（本小题满分14分）已知函数2()x
f x ax b
=+，(1)1f =，12
23
f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，令112x =，1()n n x f x +=.
（1）求数列{}n x 的通项公式；
（2）证明：1212n x x x e
⋅⋅⋅>.
14．（本小题满分14分）已知双曲线22
22:1x y C a b
-=（0,0a b >>），1F ，2F 分别为C 的左、右焦
点，P 为C 右支上一点，且使123
F PF π
∠=，又△F 1PF 2的面积为2.
（1）求C 的离心率e ；
（2）设A 为C 的左顶点，Q 为第一象限内C 上的任意一点，问是否存在常数(0)λλ>，使得
22QF A QAF λ∠=∠恒成立.若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由.
15．（本小题满分14分）
将一枚均匀的硬币连续抛掷n 次，以n p 表示未出现连续三次正面的概率. （1）求123,,p p p 和4p ；
（2）探究数列{}n p 的递推公式，并给出证明；
（3）讨论数列{}n p 的单调性及其极限，并阐述该极限的概率意义.
（仁慧书院姚老师提供）。