高一数学必修一1223《函数的表示法》导学案
苏教版高中数学必修1《函数的表示方法》导学案
2.1.2 函数的表示方法【学习目标】掌握函数的三种表示方法，理解同一个函数可以用不同的方法表示；了解分段函数，会作其图象，并能简单地应用；会用待定系数法、换元法求函数的解析式。
【学习重点】掌握函数的三种表示方法；会用待定系数法、换元法求函数的解析式。
【学习难点】会用待定系数法、换元法求函数的解析式；了解分段函数，会作其图象，并能简单地应用。
一、问题情境1.以下表格是我国1949-1999年人口数据 年份 1949 1954 1959 1964 1969 1974 1976 1984 1989 1994 1999 人口 542 603 672 705 807 909 975 1035 1107 1177 12462.一物体从静止开始下落，下落的距离y （m ）与下落时间()s x 之间近似关系是29.4x y =。
3.右图是某城市在某一天24小时内的气温变化情况二、新知学习1．函数的三种表示方法；2．三种表示方法各自的特点。
三、例题分析例1．购买某种饮料x 听，所需钱数是y 元。
若每听2元，试分别用解析法、列表法、图象法将y 表示为x {}()4,3,2,1∈x 的函数，并指出该函数的值域。
例2.求下列函数的解析式（1）已知()x f 是一次函数，且()[]14-=x x f f ，求()x f ；（2）已知()x f 是二次函数，且满足()()()x x f x f f 21,10=-+=，求()x f 。
小结：例3.（1）已知函数()x f =y 满足()x x 21x f +=+，求()x f ；（2）已知函数()x f =y 满足21x 1-x f ⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛x x ，求()x f 。
小结：例4. （1） 的定义域和值域。
（2）。
人教A版《必修1》“1.2.2函数的表示法(第一课时)”导学案
第 1 页高一数学《必修1》导学案1.2.2函数的表示法（第一课时）【学习目标】1、掌握函数的三种表示方法（图象法、列表法、解析法）；2、会根据不同的需要选择恰当的方法表示函数．【课前导学】∽阅读课本P~P 后填空：1、如图，把截面半径为25cm 的圆形木头锯成矩形木料，如果矩形的一边长为x cm ，面积为y cm 2，把y 表示为x 的函数。
2、画出下列函数的图象：(1)y ＝x ＋1(x ∈Z )；(2)y ＝x 2－2x (x ∈[0,3))．【课中导学】首先独立思考探究，然后合作交流展示探究一：某种笔记本的单价是4元，买x (其中x ∈{1,2,3,4,5,6})个笔记本需要y 元。
请用三种表示法表示函数y =f (x )（注意：函数图象既可以是连续的曲线，也可以是直线、折线、离散的点等）。
解：解析法： 列表法：图象法思考：比较三种函数的表示方法，你觉得本例用那种表示方法更好？为什么？变式1：阅读书本例4，回答下列问题： （1）这些函数图像是曲线吗？（2）画这些曲线有什么好处？ 探究二：作出下列函数的图象并求出其值域．(1)y ＝2x ＋1，x ∈[0,2]；(2)y ＝2x，x ∈[2，＋∞)；(3) y ＝x 2＋2x ，x ∈[－2,2]．【总结提升】学完本节课，你在知识、方法等方面有什么收获与感受？请写下来【课后作业】1、某工厂签订了供货合同后组织工人生产某货物，生产了一段时间后，由于订货商想再多订一些，但供货时间不变，该工厂便组织工人加班生产，能反映该工厂生产的货物数量y 与时间x 的函数图象大致是（ ）2h 的关系，则下A.d ＝h C ．d ＝h －25 D ．d ＝h2（第3题）· · · · ···· · · 0 xy3、如图，函数f(x)的图象是曲线OAB ，其中点O ，A ，B 的坐标分别为(0,0)，(1,2)，(3,1)，则f(1f 3)的值等于________． 4、已知函数f (x )，g (xf [g (1)]＝____________________.5、一等腰三角形的周长是20，底边长y 是关于腰长x 的函数，则它的解析式为________．6、作出下列函数的图象并求出其值域．(1) y ＝x ＋1(x ≤0)；(2) y ＝x 2－2x (x ＞1，或x ＜－1)．7、如图，在边长为4的正方形ABCD 的边上有一点P ，它沿着折线BCDA 由点B （起点）向A （终点）运动．设点P 运动的路程为x ，△APB 的面积为y . (1)求y 关于x 的函数表示式，并指出定义域； (2)画出y =f(x )的图象．8、某企业生产某种产品时的能耗y 与产品件数x 之间的关系式为：y ＝ax ＋bx.且当x ＝2时，y ＝100；当x＝7时，y ＝35.且此产品生产件数不超过12件． (1)写出函数y 关于x 的解析式； (2)用列表法表示此函数，并画出图象．。
高中数学必修一导学案-函数的表示
学生班级 姓名 小组号 评价数学必修一 1.2.2 函数的表示【学习目标】1.了解函数的三种表示法；2.掌握求函数解析式的方法;【重点和难点】教学重点：求函数解析式的方法。
教学难点：各种求解析式方法的步骤和使用范围。
【使用说明及学法指导】1． 先预习课本P 19-P 20内容，然后开始做导学案。
2. 带“*”的C 层可以不做。
预习案一．知识梳理1.解析法：图像法：列表法：二．问题导学1.如何理解函数的概念？函数三要素是什么？2.求函数解析式方法有哪些？三.预习自测1．已知2()43f x x x =-+，求(1)f x +．2. 1)(2++=x x x f ，则)2(f = _________；=)1(af _________；=-)(b a f _________；=))2((f f _________3. 已知函数f (x)满足f (a)＋f (b)=f (ab)，且f (2)=p, f (3)=q ，那么f (72)＝（ ）。
（A ）p ＋q （B ）3p ＋2q （C ）2p ＋3q （D ）p 3＋q 2四.我的疑问：探究案一．合作探究探究1. 某种笔记本的单价是5元，买x (x ∈{1，2，3，4，5})个笔记本需要y 元．试用三种表示法表示函数y=f(x) ．探究2. 已知()f x 是一次函数，且满足3(1)2(1)217f x f x x +--=+，求()f x ；探究3. 已知1392)2(2+-=-x x x f ，求)(x f 的解析式。
二．课堂训练与检测1. 画出下列函数图象: (1) ；且2,,2)(≤∈=x Z x x x f (2) );3,(,2)(≤∈+=x z x x x f 且2. 若)(x f 是一次函数，14)]([-=x x f f ，则)(x f = _________________.3．如图，有一块边长为a 的正方形铁皮，将其四个角各截去一个边长为x 的小正方形，然 后折成一个无盖的盒子，写出体积V 以x 为自变量的函数式是_____，这个函数的定义 域为_______4. 设二次函数)(x f 满足：)2()2(--=-x f x f 且图像在y 轴上的截距为1，被x 轴截得 的线段长为22，求函数)(x f 的解析式5.* 已知()f x 满足12()()3f x f x x+=，求()f x ．三.课堂小结大家本节课学到了什么？。
人教新课标版数学高一必修1导学案 函数的表示法教师版
1.2.2函数的表示法教学目标1.了解函数的三种表示法及各自的优缺点；2.掌握求函数解析式的常见方法；3.尝试作图和从图象上获取有用的信息．4.给出分段函数，能研究有关性质；5.了解映射的概念．教学过程一、创设情景教师首先提出问题：通过学生对课本的预习，让学生通过观看《1.2.2 函数的表示法》课件“情景引入”部分，让学生与大家分享自己的了解。
通过举例说明和互相交流，做好教师对学生的活动的梳理引导，并给予积极评价.二、自主学习1．列表法通过列出自变量与对应函数值的表来表示函数关系的方法叫做列表法．2．图象法用“图形”表示函数的方法叫做图象法．3．解析法(公式法)如果在函数y＝f(x)(x∈A)中，f(x)是用代数式(或解析式)来表达的，则这种表示函数的方法叫做解析法(也称为公式法)．4.在函数的定义域内，对于自变量x的不同取值区间，有着不同的对应法则，这样的函数通常叫做分段函数．5.三、合作探究探究点1：解析法问题： 任何一个函数都能用解析法表示吗？提示：不一定，如某地的天气与日期之间存在函数关系，但无法用解析法表示.实际上，能够用解析法表示的函数是少之又少的.例1 根据下列条件，求f (x )的解析式．(1)f [f (x )]＝2x －1，其中f (x )为一次函数；(2)f (x ＋1x )＝x 2＋1x 2； (3)f (x )＋2f (－x )＝x 2＋2x .提示：(1)由题意，设f (x )＝ax ＋b (a ≠0)，∵f (f (x ))＝af (x )＋b ＝a [ax ＋b ]＋b＝a 2x ＋ab ＋b ＝2x －1，由恒等式性质，得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝2，ab ＋b ＝－1， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝2，b ＝1－2或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2，b ＝1＋ 2.∴所求函数解析式为f (x )＝2x ＋1－2或f (x )＝－2x ＋1＋ 2.(2)f (x ＋1x )＝x 2＋1x 2＝(x ＋1x)2－2， ∴f (x )＝x 2－2.又x ≠0，∴x ＋1x ≥2或x ＋1x≤－2， ∴f (x )中的x 与f (x ＋1x )中的x ＋1x取值范围相同， ∴f (x )＝x 2－2，x ∈(－∞，－2]∪[2，＋∞)．(3)∵f (x )＋2f (－x )＝x 2＋2x ，将x 换成－x ，得f (－x )＋2f (x )＝x 2－2x ，∴联立以上两式消去f (－x )，得3f (x )＝x 2－6x ，∴f (x )＝13x 2－2x . 名师点评：1.如果已知函数类型，可以用待定系数法．2．如果已知f (g (x ))的表达式，想求f (x )的解析式，可以设t ＝g (x )，然后把f (g (x ))中每一个x 都换成t .3．如果条件是一个关于f (x )、f (－x )的方程，我们可以用x 的任意性进行赋值．如把每一个x 换成－x ，其目的是再得到一个关于f (x )、f (－x )的方程，然后消元消去f (－x )．探究点2：图象法思考 要知道林黛玉长什么样，你觉得一个字的描述和一张二寸照片哪个更直观？ 提示：一图胜千言．例2 试画出函数y ＝1－x 2的图象．提示： 由1－x 2≥0解得函数定义域为[－1,1]．当x ＝±1时，y 有最小值0.当x ＝0时，y 有最大值1.x ＝±12时，y ＝32. 利用以上五点描点连线，即得函数y ＝1－x 2的图象如下：名师点评：画图时一般很难把所有点都描出来，故为了使画出来的图能反映变量间的变化规律，我们要尽量选择关键点：最高点、最低点和与x ，y 轴的交点．探究点3：研究分段函数的性质例3 已知函数f (x )＝|x －3|－|x ＋1|.(1)求f (x )的值域；(2)解不等式：f (x )>0；(3)若直线y ＝a 与f (x )的图象无交点，求实数a 的取值范围．提示：若x ≤－1，则x －3<0，x ＋1≤0，f (x )＝－(x －3)＋(x ＋1)＝4；若－1<x ≤3，则x －3≤0，x ＋1>0，f (x )＝－(x －3)－(x ＋1)＝－2x ＋2；若x >3，则x －3>0，x ＋1>0，f (x )＝(x －3)－(x ＋1)＝－4.∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 4，x ≤－1，－2x ＋2，－1<x ≤3，－4，x >3.(1)－1<x ≤3时，－4≤－2x ＋2<4.∴f (x )的值域为[－4,4)∪{4}∪{－4}＝[－4,4]．(2)f (x )>0，即⎩⎨⎧ x ≤－1，4>0① 或⎩⎪⎨⎪⎧ －1<x ≤3，－2x ＋2>0② 或⎩⎪⎨⎪⎧x >3，－4>0③ 解①得x ≤－1，解②得－1<x <1，解③得x ∈∅.所以f (x )>0的解集为(－∞，－1]∪(－1，1)∪∅＝(－∞，1)．(3)f (x )的图象如下：由图可知，当a ∈(－∞，－4)∪(4，＋∞)时，直线y ＝a 与f (x )的图象无交点．名师点评：研究分段函数，要牢牢抓住两个要点：(1)分段研究．(2)合并表达．因为分段函数无论分成多少段，仍是一个函数，对外是一个整体． 探究点4：映射例4以下给出的对应是不是从集合A到集合B的映射？(1)集合A＝{P|P是数轴上的点}，集合B＝R，对应关系f：数轴上的点与它所代表的实数对应；(2)集合A＝{P|P是平面直角坐标系中的点}，集合B＝{(x，y)|x∈R，y∈R}，对应关系f：平面直角坐标系中的点与它的坐标对应；(3)集合A＝{x|x是三角形}，集合B＝{x|x是圆}，对应关系f：每一个三角形都对应它的内切圆；(4)集合A＝{x|x是新华中学的班级}，集合B＝{x|x是新华中学的学生}，对应关系f：每一个班级都对应班里的学生．提示：(1)按照建立数轴的方法可知，数轴上的任意一个点，都有唯一的实数与之对应，所以这个对应f：A→B是从集合A到集合B的一个映射．(2)按照建立平面直角坐标系的方法可知，平面直角坐标系中的任意一个点，都有唯一的一个实数对与之对应，所以这个对应f：A→B是从集合A到集合B的一个映射．(3)由于每一个三角形只有一个内切圆与之对应，所以这个对应f：A→B是从集合A到集合B的一个映射．(4)新华中学的每一个班级里的学生都不止一个，即与一个班级对应的学生不止一个，所以这个对应f：A→B不是从集合A到集合B的一个映射．名师点评：映射是一种特殊的对应，它具有：(1)方向性：映射是有次序的，一般地从A 到B的映射与从B到A的映射是不同的；(2)唯一性：集合A中的任意一个元素在集合B中都有唯一的元素与之对应，可以是：一对一，多对一，但不能一对多．四、当堂检测1．如图中所示的对应：其中构成映射的个数为()A ．3B ．4C ．5D ．62．如果二次函数的图象开口向上且关于直线x ＝1对称，且过点(0,0)，则此二次函数的解析式可以是( )A ．f (x )＝x 2－1B ．f (x )＝－(x －1)2＋1C ．f (x )＝(x －1)2＋1D ．f (x )＝(x －1)2－14．已知函数y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋1，x ≤0－2x ，x >0，使函数值为5的x 的值是( ) A ．－2或2B ．2或－52C ．－2D ．2或－2或－524．某同学从家里到学校，为了不迟到，先跑，跑累了再走余下的路，设在途中花的时间为t ，离开家里的路程为d ，下面图形中，能反映该同学的行程的是( )5．著名的Dirichlet 函数D (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x 取有理数时，0，x 取无理数时，则D [D (x )]等于( ) A ．0B ．1 C.⎩⎪⎨⎪⎧ 1，x 取无理数时0，x 取有理数时 D.⎩⎪⎨⎪⎧1，x 取有理数时0，x 取无理数时 提示：1．A 2.D 3.C 4.C 5.B五、课堂小结本节课我们学习过哪些知识内容?提示：1．如何作函数的图象一般地，作函数图象主要有三步：列表、描点、连线．作图象时一般应先确定函数的定义域，再在定义域内化简函数解析式，再列表描出图象，画图时要注意一些关键点，如与坐标轴的交点，端点的虚、实问题等．2．如何求函数的解析式求函数的解析式的关键是理解对应关系f 的本质与特点(对应关系就是对自变量进行对应处理的操作方法，与用什么字母表示无关)，应用适当的方法，注意有的函数要注明定义域．主要方法有：代入法、待定系数法、换元法、解方程组法(消元法)．3．对分段函数的理解(1)分段函数是一个函数而非几个函数．分段函数的定义域是各段上“定义域”的并集，其值域是各段上“值域”的并集．(2)分段函数的图象应分段来作，特别注意各段的自变量取值区间端点处函数的取值情况，以决定这些点的虚实情况．六、课例反思本节课充分体现学生的主体地位，基于对学情的准确分析，采用“教师设疑引导，学生自主探究”的教学方法，教师在教学中只负责“抛砖引玉”，通过精心设计的问题，学生个体独立思考和小组合作探究相结合，学生汇报交流和老师的点拨引导相结合，激发学生的思维，从而建构知识、形成方法、培养能力，整个教学过程形成了以提出问题与解决问题相互引发携手并进的“探究问题”学习链，学生真正成为提出问题和解决问题的主体，成为知识的“发现者”和“研究者”，教学过程成为学生主动获取知识、发展能力的过程。
高中数学新教材必修第一册《3.1.2函数的表示法》导学案
高中数学新教材必修第一册《3.1.2函数的表示法》导学案
学习目标
1. 了解函数的表示方法；
2. 掌握函数解析式的多种求法.
预习导学
1. 函数的三种表示方法： 、 、
2. 函数的三种表示法对比：
课堂讲义
一、重难点：函数解析式的多种求法
方法1：待定系数法求函数解析式
.)(14))(()(.1的解析式，求满足如果一次函数例x f x x f f x f -=
变式训练：
1.()(1)()29,()f x f x f x x f x +-=+已知是一次函数，且满足3求的解析式
2.()(0)0,
(1)()2,()f x f f x f x x f x =+-=已知是二次函数，且满足求的解析式
方法2：换元法（或配凑法）求函数解析式
例2.
方法3：构造方程组法求函数解析式
例3. ()()+2(-)=1,()f x f x f x x f x +若满足关系式求的解析式
变式训练：1()3()+2()4,()f x f x f x f x x
=设满足求的解析式
二、规律总结：
求函数解析式的常用方法：
1. 待定系数法：
2. 换元法：
3. 配凑法：
4. 构造方程组法：
三、课堂小结：
这节课主要学习了哪些内容？
四、作业：
变式训练：已知f (x+1)=x 2-3x+2,求f (x )的解析式; 已知f (x －1)=x 2-4x+2,求f (x )的解析式;。
【新导学案】高中数学人教版必修一：122《函数的表示法》(2)(2).doc
（4） 设 X = {1,2,3,4}, 丫 = {1 丄丄丄 } 广兀 t 丄；
234
x
（5） A = {x\x>2,xe N},B = N , /:x—>小于 x 的最大质数 . 练 2.已知集合 4 二{ ”},B二{-1,0,1}, 从集合力到集合〃的映射，试问能构造出多少映射 ?
【学习反思】 探学习 ?小结 1. 映射的概念；
对应的〃中的元素为（
）.
A. （-3,1）
B. （1,3） C. （-1,-3） D. （3,1）
2. 下列对应
① A = R,B = { XG /?|x > 0], / : x —> |x ;
@ A = N.B = N\f :x ^\x-\\;
? A = [xe R[x>O},B =
>x2.
不是从集合力到〃映射的有（
③ A = {30 。, 45。, 60。}, B = 222
对应法则：求正弦 .
新知：一般地，设久〃是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应法则使对于集合力中的任
意一个元
「 素”在集合〃中都有唯一确定的元素 y 与之对应，那么就称对应
AT B 为从集合 / 到 集合〃的一个映射
（mapping）. 作 : ATB”
关键： M 中任意，〃中唯一；对应法则 / ： 试试：分析例 1①?③是否映射？举例 tl 常生活中的映射
实例 ?
反思：
① 映射的对应情况有 __________ 、 __________, 一对多是映射吗？
② 函数是建立在两个非空数集间的一种对应，若将其屮的条件“非空数集”弱化为“任意两个非空
集
小时时，车距恰好等于车身上，试写出 d 关于『的函数关系式（其中 s为常数） .
高一数学必修一1.2.2.3《函数的表示法》(3)导学案
高一数学必修一1.2.2.3《函数的表示法》(3)导学案-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN- 2 -1.2.2.3《函数的表示法》（3）导学案班级 姓名 时间_______年_____月____日【学习目标】其中2、3是重点和难点 1. 了解简单的分段函数，并能简单应用； 2. 理解函数的概念及三种表示；求函数解析式；3. 能熟练地画出函数的图像，领悟学习数形结合思想的重要性. 【课前导学】阅读教材第19-23页，找出疑惑之处，完成新知学习 1．函数的表示方法有三种:图象法、列表法、解析法2．图象法：在函数y=f （x ）中，以 为横坐标，对应的 为纵坐标的点 的集合，叫做函数y=f （x ）的图象，这种用“图形”表示函数的方法叫做图象法.3．分段函数：在定义域内不同部分上,有不同的解析表达式的函数通常叫做分段函数. 关键：“分段函数，分段处理”【预习自测】首先完成教材上P23第3题； P24第7题；然后做自测题 1．已知()322+-=x x x f ，则()1f f -⎡⎤⎣⎦= ；【由内及外】 若()6=a f ，则a = .【已知函数值，求自变量的值（解方程）】2．已知()1212+=-x x f ，则()x f = .【换元法（设“1-=x t ”，则“______=x ”，然后用含“t ”的代数式替换式中的“x ”）】3．设()xf为一次函数．．．．且()[]12-=xxff，则()x f= .4．作出函数（1）y=2x(2)y=2x＋1,x∈Z且2x<的图象☆5．已知1()2()3f x f xx+=则()x f= .- 3 -【课内探究】首先独立思考探究，然后合作交流展示例1 画出函数0x x y x x x ≥⎧==⎨-<⎩，，的图象.变式1：分别画出函数2-=x y ，2+=x y ，2+=x y 的图象例2 画出函数223,(03)y x x x =--≤<的图象.☆变式1：画出函数223,y x x =--的图象提示：222323x x x y x x x ⎧--≥=⎨+-<⎩ 123456-1-2-1123412-1-2-3-4-5-6-1123412345-1-1-2-3-4-5121234-1-2-3-4-1-2-3-4-512- 5 -1.2.2.2《函数的表示法》（2）【目标检测】姓名_____________ 评价： 1. 已知一次函数的图象过点()1,0以及()0,1，则此一次函数的解析式为（ ）A ．1y x =-+B ．1y x =+C ．1y x =-D ．1y x =-- 2. 分别画出下列函数的图象（1）22≤∈=x z x x y ， （2）1+-=x y （3）()11322，-∈-+-=x x x y- 6 -3．画出函数2x0,f(x)=x0,x x ≥⎧⎨<⎩ 的图象，并求f (32+)+f (32-)的值．☆4. 如图，根据y=f(x) (x R ∈)的图象，写出y=f(x)的解析式．1234-1-2-3-4-1-2-3-4-5-6123。
新人教版高中数学《函数的表示法》导学案
1.2.2《函数的表示法》导学案班级 姓名 学号【学习目标】其中2是重点和难点1. 明确函数的三种表示方法（解析法、列表法、图象法），了解三种表示方法各自的优点，在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法表示函数；2. 通过具体实例，了解简单的分段函数，并能简单应用.【课前导学】阅读教材第19-22页，找出疑惑之处，完成新知学习1．函数的表示法常用的有__________、__________、__________。
解析法：用 表示两个变量之间的对应关系. 优点：简明；给自变量求函数值.图象法：用 表示两个变量之间的对应关系. 优点：直观形象，反应变化趋势.列表法： 来表示两个变量之间的对应关系. 优点：不需计算就可看出函数值.2．分段函数：在函数的定义域内，对于自变量x 的不同取值区间，有着 ，这样的函数通常叫做 。
【预习自测】首先完成教材上P23第1、2题； P24第7、8、9题；然后做自测题1．已知()⎪⎩⎪⎨⎧<-=>=01001x x x x x f π，则()[]___________1=f f 。
（由内及外，对应范围）2．已知223,(,0)()21,[0,)x x f x x x +∈-∞⎧=⎨+∈+∞⎩，则(0)f = ；[(1)]f f -= .3．已知()⎩⎨⎧≤->+=0101x x x x x f ，若()3=x f ，则___________=x 。
4．若函数()2,(),(1)1,f x x mx n f n m f =-+==-则()5f -=5．已知()⎪⎩⎪⎨⎧<+=>-=01001x x x x x x f ，则_________21=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛f f ；*若()a a f >，则a【课内探究】首先独立思考探究，然后合作交流展示探究：函数的三种表示方法例1 某种笔记本的单价是2元，买x (x ∈{1，2，3，4，5})个笔记本需要y 元．试用三种表示法表示函数()y f x =.反思：例1的函数图象有何特征？所有的函数都可用解析法表示吗？ 小结：函数图象可以是一些点或线段。
高中数学：高一必修一 2.1.2函数的表示法(导学案)
2.1.2函数的表示法通过本节学习应达到如下目标:（1）明确函数的三种表示方法；函数的三种不同表示的相互间转化。
（2）在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法表示函数；（3）通过具体实例，了解简单的分段函数，并能简单应用；（4）纠正认为“y=f(x)”就是函数的解析式的片面错误认识．学习重点：函数的三种表示方法，分段函数的概念．学习难点：根据不同的需要选择恰当的方法表示函数，什么才算“恰当”？分段函数的表示及其图象．学习过程(一)自主学习：三个函数问题在表示方法上有什么区别?（二）合作探讨例1．某种笔记本的单价是5元，买x (x∈{1，2，3，4，5})个笔记本需要y元．试用三种表示法表示函数y=f(x) ．例2．画出函数y = | x | ．例3．某市郊空调公共汽车的票价按下列规则制定：（1）乘坐汽车5公里以内，票价2元；（2）5公里以上，每增加5公里，票价增加1元（不足5公里按5公里计算）．已知两个相邻的公共汽车站间相距约为1公里，如果沿途（包括起点站和终点站）设20个汽车站，请根据题意，写出票价与里程之间的函数解析式，并画出函数的图象．（三） 巩固练习1.画出下列函数的图象(1) y = | x-2 | ． (2) F (x)=｛10 )0()0(>≤x x (3) G(n)= 3n +1 , n ∈｛1,2,3｝2. 如图，矩形的面积为10，如果矩形的长为x ，宽为y ，对角线为d,周长为l,那么你能获得关于这些量的哪些函数？y（四）拓展能力1. 已知f (x)= ⎪⎩⎪⎨⎧<--=>+-0,10,10,22x x x x x x (1) 求f (-1), f (f (-1)), f { f [f (-1)]}(2) 画出函数的图象x。
函数的表示方法导学案
2.1.2 函数的表示方法[自学目标]1.了解表示函数有三种基本方法:图象法、列表法、解析法;理解函数关系的三种表示方法具有内在的联系，在一定的条件下是可以互相转化的.2.了解求函数解析式的一些基本方法,会求一些简单函数的解析式.3.了解简单的分段函数的特点以及应用.[知识要点]1.表示函数的方法,常用的有:解析法,列表法和图象法.在表示函数的基本方法中,列表法就是直接列表表示函数,图象法就是直接作图表示函数,而解析法是通过函数解析式表示函数.2.求函数的解析式,一般有三种情况⑴根据实际问题建立函数的关系式;⑵已知函数的类型求函数的解析式;⑶运用换元法求函数的解析式;3．分段函数在定义域内不同部分上,有不同的解析表达式的函数通常叫做分段函数;注意:①分段函数是一个函数,而不是几个函数;②分段函数的定义域是的不同取值范围的并集;其值域是相应的的取值范围的并集[例题分析]例1． 购买某种饮料x 听，所需钱数为y 元．若每听2元，试分别用解析法、列表法、图象法将y 表示x()成的函数，并指出该函数的值域．例2．（1）已知f(x)是一次函数，且f(f(x))=4x-1，求f(x)的表达式；（2）已知f(2x-3)= +x+1，求f(x)的表达式；例3．画出函数的图象，并求，，，x y {}1,2,3,4x ∈2x ()f x x =(3)f -(3)f (1),f -(1)f ((2))f f -变题① 作出函数 的图象变题② 作出函数f(x)=︱x+1︱+︱x-2︱的图象变题③ 求函数f(x)=︱x+1︱+︱x-2︱的值域变题④ 作出函数f(x)=︱x+1︱+︱x-2︱的图象，是否存在使得f()=通过分类讨论，将解析式化为不含有绝对值的式子． 作出f(x)的图象由图可知，的值域为，而，故不存在，使例4．已知函数(1)求f(-3)、f[f(－3)] ；（2）若f(a)= ,求a 的值．()1f x x =+()2f x x =-0x 0x -2x+1, x<-1,f(x)=x+1+x-2=3, -1x 2,2x-1, x>2 ⎧⎪≤≤⎨⎪⎩()f x [3,)+∞<30x 0()f x =25,1,(),11,2, 1.x x f x x x x x +≤-⎧⎪=-<<⎨⎪≥⎩12[课堂练习]1．用长为30cm 的铁丝围成矩形，试将矩形面积S （）表示为矩形一边长x （cm ）的函数，并画出函数的图象．2.若f(f(x))=2x －1，其中f(x)为一次函数，求f(x)的解析式．3.已知f(x-3)＝，求f(x+3) 的表达式．4．如图，根据y=f(x) ()的图象，写出y=f(x)的解析式．[归纳反思]1. 函数关系的表示方法主要有三种: 解析法,列表法和图象法.这三种表示方法各有优缺点,千万不能误认为只有解析式表示出来的对应关系才是函数;2. 函数的解析式是函数的一种常用的表示方法,要求两个变量间的函数关系,一是要求出它们之间的对应法则,二是要求出函数的定义域;3. 无论运用哪种方法表示函数,都不能忽略函数的定义域;对于分段函数,还必须注意在不同的定义范围内,函数有不同的对应关系,必须先分段研究,再合并写出函数的表达式.[巩固提高]1．函数f(x)=︱x+3︱的图象是------------------------------------------------------------( ) 2cm 221x x ++x R∈2．已知,则等于--------------------------------------------------( )A. B. C. D. 3．已知一次函数的图象过点以及，则此一次函数的解析式为------（ ）A ．B ．C ．D ．4．已知函数，且，则实数的值为---（ ）A ．1B ．C ． D5．若函数则 6．某航空公司规定，乘机所携带行李的重量（）与其运费（元）由如图的一次函数图象确定，那么乘客免费可携带行李的最大重量为7．画出函数 的图象，并求的值．8．画出下列函数的图象(1) y=x －︱1－x ︱ (2)()223f x x =+()f x 32x +3x +32x +23x +()1,0()0,11y x =-+1y x =+1y x =-1y x =--()()()221122(2)x x y f x x x x x +≤-⎧⎪==-<<⎨⎪>⎩()3f a =a 1.5()2,(),(1)1,f x x mx n f n m f =-+==-()5f -=kg 2x 0,f(x)=x 0,x x ≥⎧⎨<⎩2221,02,0x x y x x ⎧+≤=⎨->⎩9．求函数y=1－︱1－x︱的图象与x轴所围成的封闭图形的面积．10．如图，在边长为4的正方形ABCD的边上有一点P，它沿着折线BCDA由点B（起点）向A（终点）运动．设点P运动的路程为x，△APB的面积为y.(1)求y关于x的函数表示式，并指出定义域；（2）画出y=f(x)的图象．。
人教A版《必修1》“函数的表示法(第一课时)”导学案
人教A 版《必修1》“函数的表示法（第一课时)”导学案【学习目的】1、掌握函数的三种表示方法〔图象法、列表法、解析法〕；2、会依据不同的需求选择恰当的方法表示函数．【课前导学】∽阅读课本P ~P 后填空：函数表示法含义 解析法图象法列表法1、如图，把截面半径为25cm 的圆形木头锯成矩形木料，假设矩形的一边长为x cm ，面积为y cm 2，把y 表示为x 的函数。
2、画出以下函数的图象：(1)y ＝x ＋1(x ∈Z )；(2)y ＝x 2－2x (x ∈[0,3))． 【课中导学】首先独立思索探求，然后协作交流展现探求一：某种笔记本的单价是4元，买x (其中x ∈{1,2,3,4,5,6})个笔记本需求y 元。
请用三种表示法表示函数y =f (x )〔留意：函数图象既可以是延续的曲线，也可以是直线、折线、团圆的点等〕。
解：解析法： 列表法： 图象法思索：比拟三种函数的表示方法，你觉得本例用那种表示方法更好？为什么？ 变式1：阅读书本例4，回答以下效果： 〔1〕这些函数图像是曲线吗？〔2〕画这些曲线有什么益处？ 探求二：作出以下函数的图象并求出其值域．(1)y ＝2x ＋1，x ∈[0,2]；(2)y ＝2x，x ∈[2，＋∞)；(3) y ＝x 2＋2x ，x ∈[－2,2]． 【总结提升】学完本节课，你在知识、方法等方面有什么收获与感受？请写上去【课后作业】1、某工厂签署了供货合同后组织工人消费某货物，消费了一段时间后，由于订货商想再多订一些，但供货时间不变，该工厂便组织工人加班消费，能反映该工厂消费的货物数量y 与时间x 的函数图象大致是〔 〕 A B C D2、下表列出了一项实验的统计数据，表示将皮球从高处h 落下时，弹跳高度d 与下落高度h 的关系，那么下面的式子能表示这种关系的是( ) A.d ＝h B ．d ＝2h C ．d ＝h －25 D ．d ＝h 2〔第3题〕h 50 80 100 150 … d 25 40 50 75 … · · · · · ··· ··0 x y 0 x y0 x y 0 x y 0 x y3、如图，函数f(x)的图象是曲线OAB ，其中点O ，A ，B 的坐标区分为(0,0)，(1,2)，(3,1)，那么f(1f 3)的值等于________．4、函数f (x )，g (x )区分由下表给出，那么x 1 2 3 f (x ) 2 1 1 f [g (1)]＝__________；(2)假定g [f (x )]＝2，那么x ＝__________.5、一等腰三角形的周长是20，底边长y 是关于腰长x 的函数，那么它的解析式为________．6、作出以下函数的图象并求出其值域．(1) y ＝x ＋1(x ≤0)；(2) y ＝x 2－2x (x ＞1，或x ＜－1)．7、如图，在边长为4的正方形ABCD 的边上有一点P ，它沿着折线BCDA 由点B 〔终点〕向A 〔终点〕运动．设点P 运动的路程为x ，△APB 的面积为y .(1)求y 关于x 的函数表示式，并指出定义域；(2)画出y =f(x )的图象．8、某企业消费某种产品时的能耗y 与产品件数x 之间的关系式为：y ＝ax ＋b x.且当x ＝2时，y ＝100；当x ＝7时，y ＝35.且此产品消费件数不超越12件．(1)写出函数y 关于x 的解析式； (2)用列表法表示此函数，并画出图象． x 1 2 3g (x ) 3 2 1。
人教版高中数学必修一《集合与函数概念》之《函数的表示法》课时导学案
1.2.2 函数的表示法 第1课时 函数的表示法[学习目标] 1.掌握函数的三种表示方法：解析法、图象法、列表法.2.会根据不同的需要选择恰当的方法表示函数.知识点 函数的三种表示方法表示法定义解析法 用数学表达式表示两个变量之间的对应关系 图象法 用图象表示两个变量之间的对应关系 列表法列出表格来表示两个变量之间的对应关系思考 (1)函数的三种表示方法各有什么优、缺点？(2)任何一个函数都可以用解析法、列表法、图象法三种形式表示吗？ 答 (1)三种表示方法的优、缺点比较：优点缺点 解析法①简明、全面地概括了变量间的关系；②可以通过解析式求出任意一个自变量所对应的函数值 不够形象、直观 列表法不通过计算就可以直接看出与自变量的值相对应的函数值一般只能表示部分自变量的函数值图象法 直观、形象地表示出函数的变化情况，有利于通过图形研究函数的某些性质只能近似地求出自变量所对应的函数值，有时误差较大并不是所有的函数都可以用解析式表示，不仅如此，图象法也不适用于所有函数，如D (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧0，x ∈Q ，1，x ∈∁R Q .列表法虽在理论上适用于所有函数，但对于自变量有无数个取值的情况，列表法只能表示函数的一个概况或片段.题型一 作函数的图象 例1 作出下列函数的图象：(1)y＝x＋1(x∈Z)；(2)y＝x2－2x(x∈[0,3)).解(1)这个函数的图象由一些点组成，这些点都在直线y＝x＋1上，如图(1)所示.(2)因为0≤x＜3，所以这个函数的图象是抛物线y＝x2－2x介于0≤x＜3之间的一部分，如图(2)所示.反思与感悟 1.作函数图象主要有三步：列表、描点、连线.作图象时一般应先确定函数的定义域，再在定义域内化简函数解析式，再列表画出图象.2.函数的图象可能是平滑的曲线，也可能是一群孤立的点，画图时要注意关键点，如图象与坐标轴的交点、区间端点，二次函数的顶点等等，还要分清这些关键点是实心点还是空心点. 跟踪训练1画出下列函数的图象：(1)y＝x＋1(x≤0)；(2)y＝x2－2x(x＞1，或x＜－1).解(1)y＝x＋1(x≤0)表示一条射线，图象如图(1).(2)y＝x2－2x＝(x－1)2－1(x＞1，或x＜－1)是抛物线y＝x2－x去掉－1≤x≤1之间的部分后剩余曲线.如图(2).题型二列表法表示函数例2已知函数f(x)，g(x)分别由下表给出x 12 3f(x)13 1x 12 3g(x)32 1则f(g(1))的值为________答案1 2解析∵g(1)＝3，∴f(g(1))＝f(3)＝1.f(g(x))与g(f(x))与x相对应的值如下表所示.∴f (g (x ))>g (f (x ))的解为x ＝2.反思与感悟 解决此类问题关键在于弄清每个表格表示的函数.对于f (g (x ))这类函数值的求解，应从内到外逐层解决，而求解不等式，则可分类讨论或列表解决. 跟踪训练2 已知函数f (x )，g (x )分别由下表给出(1)f [g (1)]＝__________；(2)若g [f (x )]＝2，则x ＝__________. 答案 (1)1 (2)1解析 (1)由表知g (1)＝3，∴f [g (1)]＝f (3)＝1； (2)由表知g (2)＝2，又g [f (x )]＝2，得f (x )＝2， 再由表知x ＝1.题型三 待定系数法求函数解析式例3 (1)已知f (x )是一次函数，且f [f (x )]＝4x －1，求f (x )； (2)已知f (x )是二次函数，且满足f (0)＝1，f (x ＋1)－f (x )＝2x ，求f (x ). 解 (1)∵f (x )是一次函数， ∴设f (x )＝ax ＋b (a ≠0)，则f [f (x )]＝f (ax ＋b )＝a (ax ＋b )＋b ＝a 2x ＋ab ＋b . 又∵f [f (x )]＝4x －1， ∴a 2x ＋ab ＋b ＝4x －1，即⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4，ab ＋b ＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝－13或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2，b ＝1. ∴f (x )＝2x －13或f (x )＝－2x ＋1.(2)∵f (x )是二次函数， ∴设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)， 由f (0)＝1，得c ＝1，由f (x ＋1)－f (x )＝2x ，得a (x ＋1)2＋b (x ＋1)＋1－ax 2－bx －1＝2x . 左边展开整理得2ax ＋(a ＋b )＝2x ，由恒等式原理知⎩⎪⎨⎪⎧ 2a ＝2，a ＋b ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－1.∴f (x )＝x 2－x ＋1.反思与感悟 1.对于特征已明确的函数一般用待定系数法求解析式.2.若所求函数为一次函数，通常设f (x )＝kx ＋b (k ≠0)；若为反比例函数，通常设为f (x )＝kx (k ≠0)；若为二次函数，则解析式有以下三种：(1)一般式y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)；(2)两根式y ＝a (x －x 1)(x －x 2)(a ≠0)，其中x 1，x 2是二次函数图象与x 轴交点的横坐标；(3)顶点式y ＝a (x ＋b 2a )2＋4ac －b 24a (a ≠0)，其中顶点坐标为(－b 2a ，4ac －b 24a).解题时需依据条件灵活选用.跟踪训练3 已知二次函数f (x )满足f (0)＝1，f (1)＝2，f (2)＝5，求该二次函数的解析式. 解 设二次函数的解析式为f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧c ＝1，a ＋b ＋c ＝2，4a ＋2b ＋c ＝5，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝0，c ＝1，故f (x )＝x 2＋1.题型四 换元法(或配凑法)求函数解析式 例4 求下列函数的解析式： (1)已知f ⎝⎛⎭⎫1＋x x ＝1＋x 2x 2＋1x ，求f (x )； (2)已知f (x ＋1)＝x ＋2x ，求f (x ).解 (1)方法一 (换元法)令t ＝1＋x x ＝1x ＋1，则t ≠1.把x ＝1t －1代入f⎝⎛⎭⎫1＋x x ＝1＋x 2x 2＋1x ，得 f (t )＝1＋⎝⎛⎭⎫1t －12⎝⎛⎭⎫1t －12＋11t －1＝(t －1)2＋1＋(t －1)＝t 2－t ＋1.∴所求函数的解析式为f (x )＝x 2－x ＋1，x ∈(－∞，1)∪(1，＋∞).方法二 (配凑法)∵f ⎝⎛⎭⎫1＋x x ＝1＋x 2＋2x －2x x 2＋1x ＝⎝⎛⎭⎫1＋x x 2－1＋x －x x ＝⎝⎛⎭⎫1＋x x 2－1＋xx ＋1， ∴f (x )＝x 2－x ＋1. 又∵1＋x x ＝1x＋1≠1，∴所求函数的解析式为f(x)＝x2－x＋1(x≠1).(2)方法一(换元法)令x＋1＝t(t≥1)，则x＝(t－1)2，∴f(t)＝(t－1)2＋2(t－1)2＝t2－1.∴f(x)＝x2－1(x≥1).方法二(配凑法)∵x＋2x＝(x＋1)2－1，∴f(x＋1)＝(x＋1)2－1.又∵x＋1≥1，∴f(x)＝x2－1(x≥1).反思与感悟 1.换元法的应用：当不知函数类型求函数解析式时，一般可采用换元法.所谓换元法，即将“x＋1”换成另一个字母“t”，然后从中解出x与t的关系，再代入原式中求出关于“t”的函数关系式，即为所求函数解析式，但要注意换元前后自变量取值范围的变化情况.2.配凑法的应用：对于配凑法，通过观察与分析，将右端的式子“x＋2x”变成含有“x＋1”的表达式.这种解法对变形能力、观察能力有较高的要求.跟踪训练4已知函数f(x＋1)＝x2－2x，则f(x)＝________.答案x2－4x＋3解析方法一(换元法)令x＋1＝t，则x＝t－1，可得f(t)＝(t－1)2－2(t－1)＝t2－4t＋3，即f(x)＝x2－4x＋3.方法二(配凑法)因为x2－2x＝(x2＋2x＋1)－(4x＋4)＋3＝(x＋1)2－4(x＋1)＋3，所以f(x＋1)＝(x＋1)2－4(x＋1)＋3，即f(x)＝x2－4x＋3.忽略函数的定义域致误例5已知f(x－1)＝2x＋x，求f(x).错解令t＝x－1，则x＝(t＋1)2，所以f(t)＝2(t＋1)2＋(t＋1)＝2t2＋5t＋3，所以f(x)＝2x2＋5x＋3.正解令t＝x－1，则t≥－1，x＝(t＋1)2，所以f(t)＝2(t＋1)2＋(t＋1)＝2t2＋5t＋3，所以f(x)＝2x2＋5x＋3(x≥－1).易错警示错误原因纠错心得忽略t＝x－1中t的取值范围，导致解析式不正确.对于函数问题，不可忽视定义域，否则就容易导致失误.跟踪训练5已知f(1＋1x)＝1x2－1，求f(x).解令t＝1＋1x(x≠0)，则x＝1t－1(t≠1)，所以f(t)＝(t－1)2－1＝t2－2t(t≠1)，所以f(x)＝x2－2x(x≠1).1.已知f(x＋2)＝6x＋5，则f(x)等于()A.18x＋17B.6x＋5C.6x－7D.6x－5答案 C解析设x＋2＝t，得x＝t－2，∴f(t)＝6(t－2)＋5＝6t－7，∴f(x)＝6x－7，故选C.2.小明骑车上学，开始时匀速行驶，途中因交通堵塞停留了一段时间后，为了赶时间加快速度行驶. 与以上事件吻合得最好的图象是()答案 C解析由题意，知该学生离学校越来越近，故排除选项A；又由于开始时匀速，后来因交通堵塞停留一段时间，最后是加快速度行驶，故选C.3.已知函数f(x)由下表给出，则f(f(3))＝________.x 123 4f(x)324 1答案 1解析 由题设给出的表知f (3)＝4，则f (f (3))＝f (4)＝1.故填1.4.已知f (x )是一次函数，且满足3f (x ＋1)－2f (x －1)＝2x ＋17，则f (x )的解析式为_______. 答案 f (x )＝2x ＋7解析 设f (x )＝ax ＋b (a ≠0)，则3f (x ＋1)－2f (x －1)＝3ax ＋3a ＋3b －2ax ＋2a －2b ＝ax ＋b ＋5a ＝2x ＋17， 所以a ＝2，b ＝7，所以f (x )＝2x ＋7.5.已知f (x )为二次函数，若f (0)＝0，且f (x ＋1)＝f (x )＋x ＋1，求f (x )的表达式. 解 设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，∵f (0)＝c ＝0， ∴f (x ＋1)＝a (x ＋1)2＋b (x ＋1) ＝ax 2＋(2a ＋b )x ＋a ＋b ，f (x )＋x ＋1＝ax 2＋bx ＋x ＋1＝ax 2＋(b ＋1)x ＋1. 又f (x ＋1)＝f (x )＋x ＋1，∴⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋b ＝b ＋1，a ＋b ＝1，∴⎩⎨⎧a ＝12，b ＝12.∴f (x )＝12x 2＋12x .1.函数三种表示法的优缺点2.描点法画函数图象的步骤：(1)求函数定义域；(2)化简解析式；(3)列表；(4)描点；(5)连线.3.求函数解析式常用的方法有(1)待定系数法；(2)换元法；(3)配凑法；(4)消元法等.一、选择题1.已知f (x )是一次函数，2f (2)－3f (1)＝5,2f (0)－f (－1)＝1，则f (x )等于( ) A.3x ＋2 B.3x －2 C.2x ＋3 D.2x －3 答案 B解析 设f (x )＝kx ＋b (k ≠0)，∵2f (2)－3f (1)＝5,2f (0)－f (－1)＝1，∴⎩⎪⎨⎪⎧ k －b ＝5，k ＋b ＝1，∴⎩⎪⎨⎪⎧k ＝3，b ＝－2， ∴f (x )＝3x －2.2.已知f (x －1)＝x 2，则f (x )的解析式为( ) A.f (x )＝x 2＋2x ＋1 B.f (x )＝x 2－2x ＋1 C.f (x )＝x 2＋2x －1 D.f (x )＝x 2－2x －1 答案 A解析 令x －1＝t ，则x ＝t ＋1， ∴f (t )＝(t ＋1)2＝t 2＋2t ＋1， ∴f (x )＝x 2＋2x ＋1.3.已知f (1－2x )＝1x 2，则f (12)的值为( )A.4B.14C.16D.116答案 C解析 根据题意知1－2x ＝12，解得x ＝14，故1x 2＝16.4.函数f (x )＝x ＋|x |x的图象是( )答案 C解析 f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1， x >0，x －1， x <0.5.如图中图象所表示的函数的解析式为( )A.y ＝32|x －1|(0≤x ≤2)B.y ＝32－32|x －1|(0≤x ≤2)C.y ＝32－|x －1|(0≤x ≤2)D.y ＝1－|x －1|(0≤x ≤2) 答案 B解析 由图象知，当0≤x ≤1时，y ＝32x ；当1<x ≤2时，y ＝3－32x .6.设f (x )＝2x ＋a ，g (x )＝14(x 2＋3)，且g (f (x ))＝x 2－x ＋1，则a 的值为( )A.1B.－1C.1或－1D.1或－2答案 B解析 因为g (x )＝14(x 2＋3)，所以g (f (x ))＝14[(2x ＋a )2＋3]＝14(4x 2＋4ax ＋a 2＋3)＝x 2－x ＋1， 求得a ＝－1.故选B. 二、填空题7.已知f (x )是一次函数，若f (f (x ))＝4x ＋8，则f (x )的解析式为________________. 答案 f (x )＝2x ＋83或f (x )＝－2x －8解析 设f (x )＝ax ＋b (a ≠0)，则f (f (x ))＝f (ax ＋b )＝a 2x ＋ab ＋b ＝4x ＋8.所以⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4，ab ＋b ＝8，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝83或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2，b ＝－8.所以f (x )＝2x ＋83或f (x )＝－2x －8.8.函数y ＝x 2－4x ＋6，x ∈[1,5)的值域是________. 答案 [2,11)解析 画出函数的图象，如图所示，观察图象可得图象上所有点的纵坐标的取值范围是[f (2)，f (5))，即函数的值域是[2,11). 9.若2f (x )＋f ⎝⎛⎭⎫1x ＝2x ＋12(x ≠0)，则f (2)＝________. 答案 52解析 令x ＝2，得2f (2)＋f ⎝⎛⎭⎫12＝92， 令x ＝12，得2f ⎝⎛⎭⎫12＋f (2)＝32， 消去f ⎝⎛⎭⎫12，得f (2)＝52. 10.如图，函数y ＝f (x )的图象是折线段ABC ，其中A ，B ，C 的坐标分别为(0,4)，(2,0)，(6,4)，则f (f (0))＝____.答案 2 三、解答题11.作出下列函数的图象，并求出其值域. (1)y ＝x 2＋2x ，x ∈[－2,2]； (2)y ＝|x ＋1|.解 (1)y ＝x 2＋2x ＝(x ＋1)2－1，x ∈[－2,2]. 列表如下：x －2 －1 0 1 2 y 0 －1 0 3 8作出函数图象如图(1)的部分，可得函数的值域是[－1,8].(2)当x ＋1≥0，即x ≥－1时，y ＝x ＋1；当x ＋1<0，即x <－1时，y ＝－x －1.∴y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x ≥－1，－x －1，x <－1. 作该分段函数的图象如图(2)所示，可得函数的值域是[0，＋∞).12.(1)已知f (x )是一次函数，且满足2f (x ＋3)－f (x －2)＝2x ＋21，求f (x )的解析式；(2)已知f (x )为二次函数，且满足f (0)＝1，f (x －1)－f (x )＝4x ，求f (x )的解析式.解 (1)设f (x )＝ax ＋b (a ≠0)，则2f (x ＋3)－f (x －2)＝2[a (x ＋3)＋b ]－[a (x －2)＋b ]＝2ax ＋6a ＋2b －ax ＋2a －b＝ax ＋8a ＋b＝2x ＋21，所以a ＝2，b ＝5，所以f (x )＝2x ＋5.(2)因为f (x )为二次函数，设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0).由f (0)＝1，得c ＝1.又因为f (x －1)－f (x )＝4x ，所以a (x －1)2＋b (x －1)＋c －(ax 2＋bx ＋c )＝4x ，整理，得－2ax ＋a －b ＝4x ，求得a ＝－2，b ＝－2，所以f (x )＝－2x 2－2x ＋1.13.求下列函数的解析式：(1)已知f ⎝⎛⎭⎫x －1x ＝x 2＋1x 2＋1，求f (x )的解析式； (2)已知f (x )＋2f (－x )＝x 2＋2x ，求f (x )的解析式.解 (1)∵f ⎝⎛⎭⎫x －1x ＝⎝⎛⎭⎫x －1x 2＋2＋1 ＝⎝⎛⎭⎫x －1x 2＋3. ∴f (x )＝x 2＋3.(2)以－x 代替x 得：f (－x )＋2f (x )＝x 2－2x . 与f (x )＋2f (－x )＝x 2＋2x 联立得：f (x )＝13x 2－2x .。
人教A版《必修1》“函数的表示法(第二课时)”导学案
人教A 版《必修1》“函数的表示法（第二课时)”导学案【学法指点】先预习教材第22-23页，特别是映射的概念要了解透彻，画函数图象是基本功。
【课前导学】找出疑惑之处，完成新知学习。
1．分段函数：在定义域内不同局部上,有不同的解析表达式的函数通常叫做分段函数.关键：〝分段函数，分段处置〞2．映射：普通地，设A 、B 是两个 的 ，假设按某一个确定的对应法那么f ，使关于集合A 中的 x ，在集合B 中都有 的元素y 与之对应，那么就称对应:f A B →为从集合A 到集合B 的一个 ．记作〝:f A B →〞。
关键：A 中恣意，B 中独一；对应法那么f .3．函数与映射的关系：函数是树立在两个非空数集间的一种对应，假定将其中的条件〝 〞弱化为〝恣意两个非空集合〞，依照某种法那么可以树立起更为普通的元素之间的对应关系，即映射. 简言之：函数一定是映射，而映射不一定是函数.【预习自测】首先完成教材上P23第4题；然后做自测题。
1．假定()1,01,0x x f x x x ->⎧=⎨+≤⎩，那么()1___f f ⎡⎤=⎣⎦；假定()3=x f ，那么x = 。
2. 以下对应是从集合A 到集合B 的映射有.① {1,4,9}A =, {3,2,1,1,2,3}B =---，对应法那么：开平方；② {3,2,1,1,2,3}A =---，{1,4,9}B =，对应法那么：平方；③ {30,45,60}A =︒︒︒, 1{}2B =, 对应法那么：求正弦 小结：映射的对应状况有 、 ，一对多是映射吗？ 【课中导学】首先独立思索探求，然后协作交流展现探求一：某市〝招手即停〞公共汽车的票价按以下规那么制定：〔1〕5公里以内〔含五公里〕，票价1元；(2)5公里以上，每添加5公里，票价添加2元〔缺乏5公里的按5公里计算〕。
假设某条线路的总里程为15公里，请依据题意，写出票价与里程之间的函数解析式，并画出函数的图像。
苏教版数学高一《函数的表示方法》同步导学案
【迁移应用】
1、已知a,b为常数，若f(x)=x2+4x+3，f(ax+b)=x2+10x+24，则5a－b=_________.
2．已知一个函数的解析式为 ，它的值域为 ，这样的函数有多少个？试写出其中两个函数．
5.分段函数的定义：
6．二次函数的形式：
（ห้องสมุดไป่ตู้）一般式：
；
（2）交点式： ，其中， 分别是 的图象与 轴的两个交点的横坐标；
（3）顶点式： ，其中 是抛物线顶点的坐标；
7．已知函数类型，求函数解析式，常用待定系数法。例如，求二次函数解析式的基本步骤是：
（1）设出函数的一般式（或顶点式、交点式）；
（2）代入已知条件，列方程（组）；
3．若 ，则 的解析式为。
4．已知 ， ，则 ，
。
【课堂小结】
【课后反思】
函数的表示方法（1）
【学习导航】
知识网络
学习目标
1．进一步理解和掌握表示两个变量之间的函数关系的方法——列表法、解析法、图象法；
2．能根据条件求出两个变量之间的函数解析式；
3．培养抽象概括能力和解决问题的能力．
新课导学
1．列表法的定义：
2．解析法的定义：
3.图像法的定义：
4.简述三种表示法的优缺点：
（3）通过解方程（组）确定未知系数；
【互动探究】
例1．函数 在闭区间 上的图象如下图所示，则求此函数的解析式．
例2．（1）已知 ， ；
（2）已知 ，求 ．
例3．某人开汽车以 的速度从 地到 远处的 地，在 地停留 后，再以 的速度返回 地，把汽车离开 地的路程 表示为时间 （从 地出发是开始）的函数，再把车速 表示为时间 的函数．
122《函数的表示法》导学案.doc
年级：高一内容：121《函数的表示法》课型：新课执笔人：陈鹏审核人：谭安民、吴军武时间：2015年9月7日班级__________ 姓名 _______【学习目标】1、明确函数的三种表示方法，会根据不同的实际情境选择合适的方法表示函数;2、通过具体实例，了解简单的分段函数及其应用3、知道映射的定义；【重点难点】重点：函数的三种表示方法，分段函数的概念难点：分段函数的表示、求值及其图象【知识链接】我们在初中接触过的函数有些事用表格的形式呈现的，如小明从小学一年级至六年级每年的身高与体重之间对应的函数关系，可以用一个表格的形式表示出来；有的可以用函数解析式，如二次函数y = 3兀2+2兀-1；当然有的也可以用图象表示，如二次函数的图象是一条抛物线. 【学习过程】阅读课本19至20页的内容，尝试回答以下问题：知识点一:函数的表示法解析法就是用_______________ 表示两个变量之间的对应关系，图像法就是用_____________ 表示两个变量之间的对应关系,列表法就是用_____________________ 表示两个变量之间的对应关系.练习：①某商场新近了10台彩电，每台售价3000元，试求售出台数兀与收款数），之间的函数关系，分别用列表法、图象法、解析法表示出来.2、•若f(x)是二次函数，且f(0)=l,f(l)=3,f(2)=7…求f(x)・3、•已知涵数f(x)= 3X2-5X +2,求f(-血),f(・a),f(a+3)・f(a)+f(3)的值。
4、画出函数f(x)= 1x1的图像5、画出函数f(x)= |x-2|的图像②完成课本23页1, 2, 4.知识点二分段函数阅读课本21至22页的内容，尝试回答以下问题：定义：例5中得出的票价与里程之间的函数关系式中对于不同范围内的兀对应不同的y的表达式，像这种在定义域的不同部分对应 ________________________________________ 的函数称为分段函数.注意：①虽然分段函数在定义域的不同部分对应不同的对应关系，但分段函数是一个函数，不能误认为分段函数是“几个函数”;②分段函数的定义域是各段自变量取值范围的并集③分段函数的值域是各段函数值的并集同步练习:% + 2, x < -21、若函数fM = <x\-2<x<292x, x > 2⑴ 试求/(-5),/(-V3),/[/(-V3)]的值;⑵若f(a) = 1,求a的值;(3)写出函数的定义域、值域；(4)作出函数的图象.知识点三映射阅读课本22页至23页的内容，尝试回答下列问题:K 一般地，设A,B是__________________ ，如果按照某种确定的________________ ，使对于集合人中的________________ ,在集合B中都有______________________________ ，那么就称______________ 为从集合A到集合3的一个 __________ •集合A中的元素叫原象，集合B中与A中的元素相对应的元素叫象.2、与函数概念相比，在映射的概念中只是将函数概念中的__________________________ 换为______________ ，所以可以说函数是一种特殊的映射，但映射不一定是函数.例.以下给出的对应是不是从集合力到〃的映射？(1)集合A= ｛P\P是数轴上的点｝,集合B=R, 对应关系f：数轴上的点与它所代表的实数对应；⑵集合A= ｛P\ P是平面直角坐标系中的点｝,集合吐｛匕，y) | xGR, yGR｝, 对应关系f：平面直角坐标系中的点与它的坐标对应；(3)集合A= U|x是三角形｝, 集合B=｛x\x是圆｝,对应关系f：每一个三角形都对应它的内切圆；(4)集合A={” x是新华中学的班级}, 集合B={” x是新华中学的学生},对应关系每一个班级都对应班里的学生.同步练习：下列集合A到集合B的对应中，哪些是A到B的映射？ ___________________(1)A = B = N\f:x^y = \x-?\-⑵ A = N,B =乙= —3;(3)/1 = {xlO<x<l},B = {^ly>l},(4)4 = R. B = R. f : x y = x2 +2x-3\(5)A = {xll<xv3},B = {yl4vy vlO},f : x y = 3x+i.【小结】1、函数的三种表示方法：2、分段函数：3、映射：【当堂检测】(1) _____________________________ 已知/ (兀)=F + 兀 +1,贝11/(1) = ；/[/(!)] = _________ ・(2)/(2x +1) = F — 2 兀,则/*(3) = ______ ・(3)已知函a/(x)=F~4,0-x"2,则/ ⑵= _______________________；[2x,x>2若/(x()) = &则兀。
新人教版高中数学《函数的表示法》导学案
第7课时函数的表示法1.通过前一节的实例了解函数的三种表示方法——解析法、图象法、列表法,体会三种表示方法的特点.2.会用待定系数法和换元法求函数的解析式.3.能够正确画出函数的图象,初步体会数形结合思想在函数中的应用.下表是某天一昼夜温度变化情况:问题1:上面是用什么方法表示时刻与温度这两个变量之间的函数关系的?你能用图象法表示吗?你能写出它的解析式吗?运用了列表法表示,图象法如下:不能写出解析式,并不是每个函数都能写出函数解析式的.问题2:函数常见的表示方法有几种?各是如何定义的?问题3:函数的三种表示方法的优缺点比较(续表)问题4:如何画出函数的图象?画函数图象的一般步骤为 、 、 .在画图象时应注意以下几点:(1)画函数图象时要首先关注函数的 ,即在定义域内作图; (2)图象是实线或实点,定义域外的部分有时可用虚线来衬托整个图象; (3)标出某些关键点,例如图象的 、 与坐标轴的交点等.要分清这些关键点是实心点还是空心点. 函数的表示法(1)一个面积为100 cm 2的等腰梯形,上底长为x cm,下底长为上底长的3倍,则把它的高y 表示成x 的函数为( ).A .y=50x (x>0) B .y=100x (x>0) C .y=(x>0) D .y=(x>0)(2)已知函数f (x )与g (x )的对应关系分别如下表:则g(f(3))= .简单函数图象的作法画出下列函数的图象:(1)y=1+x(x∈Z);(2)y=x2-2x(x∈[0,3));(3)y=,x∈[2,+∞).函数解析式的求法(1)已知f(x)是二次函数,其图象的顶点是(1,3),且过原点,求函数f(x)的解析式.(2)已知f(+1)=x+2,求函数f(x)的解析式.某市生产总值连续两年持续增加.第一年的增长率为x,第二年的增长率为,则该市这两年生产总值的年平均增长率y= .考题变式(我来改编):第7课时函数的表示法知识体系梳理问题2:数学表达式图象表格问题4:列表描点连线(1)定义域(3)顶点端点重点难点探究探究一:【解析】(1)由×y=100,得2xy=100,∴y=(x>0).(2)g(f(3))=g(3)=7.【答案】(1)C(2)7【小结】求函数解析式时,应注明其定义域.探究二:【解析】(1)函数的图象由无数个点组成,这些点都在直线y=1+x上,如图(1)所示.(2)因为0≤x<3,所以函数的图象是抛物线y=x2-2x在0≤x<3之间的一部分,如图(2)所示.(3)当x=2时,y=1,其图象如图(3)所示.【小结】对于函数图象要注意以下几点:(1)函数图象既可以是连续的曲线,也可以是直线、折线、离散的点等.(2)画函数的图象时,要注意函数的定义域.(3)用描点法画函数的图象,在作图时要先找出关键“点”,再连线.(4)常见函数图象的画法:①对于一次函数的图象,描出与坐标轴的交点,连线即可;②对于二次函数的图象,描出与坐标轴的交点、顶点,连线即得.探究三:【解析】(1)∵图象的顶点是(1,3),∴可设f(x)=a(x-1)2+3,又∵图象过原点,∴a+3=0,解得a=-3,∴f(x)=-3(x-1)2+3.(2)(法一)∵x+2=()2+2+1-1=(+1)2-1,∴f(+1)=(+1)2-1(+1≥1).即f(x)=x2-1(x≥1).(法二)令t=+1,则x=(t-1)2,t≥1,代入原式,有f(t)=(t-1)2+2(t-1)=t2-2t+1+2t-2=t2-1.∴f(x)=x2-1(x≥1).【小结】求函数解析式的常用方法:(1)待定系数法:若已知函数的类型,可用待定系数法求解,即由函数类型设出函数解析式,再根据条件列方程(或方程组),通过解方程(组)求出待定系数,进而求出函数解析式.(2)换元法:已知函数f[g(x)]的解析式求f(x)的解析式可用换元法,即令g(x)=t,反解出x,然后代入f[g(x)]中求出f(t),从而求出f(x).全新视角拓展【解析】由题意,得(1+x)(1+)=(1+y)2,解得y=-1=-1.【答案】-1思维导图构建列表描点连线。
人教版高中数学必修一《函数的表示法》教学导学案
1.2.2函数的表示法教案教学目标：一、知识与技能(1)通过实例，了解集合的含义，体会元素与集合的属于关系； (2)知道常用数集及其专用记号；(3)了解集合中元素的确定性.互异性.无序性； (4)会用集合语言表示有关数学对象； (5)培养学生抽象概括的能力.二、.过程与方法(1)让学生经历从集合实例中抽象概括出集合共同特征的过程，感知集合的含义. (2)让学生归纳整理本节所学知识. 三. 情感.态度与价值观使学生感受到学习集合的必要性，增强学习的积极性. 教学重点.难点重点：集合的含义与表示方法. 难点：表示法的恰当选择. 学法与教学用具1. 学法：学生通过阅读教材，自主学习.思考.交流.讨论和概括，从而更好地完成本节课的教学目标.2. 教学用具：投影仪. 教学思路(一)创设情景，揭示课题1．教师首先提出问题：在初中，我们已经接触过一些集合，你能举出一些集合的例子吗? 引导学生回忆.举例和互相交流. 与此同时，教师对学生的活动给予评价.2.接着教师指出：那么，集合的含义是什么呢?这就是我们这一堂课所要学习的内容. （二）研探新知1．教师利用多媒体设备向学生投影出下面9个实例： (1)1—20以内的所有质数； (2)我国古代的四大发明； (3)所有的安理会常任理事国； (4)所有的正方形；(5)海南省在2004年9月之前建成的所有立交桥；(6)到一个角的两边距离相等的所有的点； (7)方程2560x x -+=的所有实数根；(8)不等式30x ->的所有解；(9)新华中学2004年9月入学的高一学生的全体.2．教师组织学生分组讨论：这9个实例的共同特征是什么?3.每个小组选出——位同学发表本组的讨论结果，在此基础上，师生共同概括出9个实例的特征，并给出集合的含义.一般地，指定的某些对象的全体称为集合(简称为集).集合中的每个对象叫作这个集合的元素. 4.教师指出：集合常用大写字母A ，B ，C ，D ，…表示，元素常用小写字母,,,a b c d …表示.(三)质疑答辩，排难解惑，发展思维1．教师引导学生阅读教材中的相关内容，思考：集合中元素有什么特点?并注意个别辅导，解答学生疑难.使学生明确集合元素的三大特性，即:确定性.互异性和无序性.只要构成两个集合的元素是一样的,我们就称这两个集合相等.2．教师组织引导学生思考以下问题：判断以下元素的全体是否组成集合，并说明理由： (1)大于3小于11的偶数； (2)我国的小河流.让学生充分发表自己的建解.3. 让学生自己举出一些能够构成集合的例子以及不能构成集合的例子，并说明理由.教师对学生的学习活动给予及时的评价.4.教师提出问题，让学生思考(1)如果用A 表示高—(3)班全体学生组成的集合，用a 表示高一(3)班的一位同学，b 是高一(4)班的一位同学，那么,a b 与集合A 分别有什么关系?由此引导学生得出元素与集合的关系有两种：属于和不属于. 如果a 是集合A 的元素，就说a 属于集合A ，记作a A ∈. 如果a 不是集合A 的元素，就说a 不属于集合A ，记作a A ∉.(2)如果用A 表示“所有的安理会常任理事国”组成的集合，则中国.日本与集合A 的关系分别是什么?请用数学符号分别表示．(3)让学生完成教材第6页练习第1题.5.教师引导学生回忆数集扩充过程，然后阅读教材中的相交内容，写出常用数集的记号.并让学生完成习题1.1A 组第1题.6.教师引导学生阅读教材中的相关内容，并思考.讨论下列问题： (1)要表示一个集合共有几种方式?(2)试比较自然语言.列举法和描述法在表示集合时，各自有什么特点?适用的对象是什么? (3)如何根据问题选择适当的集合表示法?使学生弄清楚三种表示方式的优缺点和体会它们存在的必要性和适用对象。
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1.2.2.3《函数的表示法》（3）导学案
班级姓名 时间_______年_____月____日
【学习目标】其中2、3是重点和难点
1. 了解简单的分段函数，并能简单应用；
2. 理解函数的概念及三种表示；求函数解析式；
3. 能熟练地画出函数的图像，领悟学习数形结合思想的重要性.
【课前导学】阅读教材第19-23页，找出疑惑之处，完成新知学习
1．函数的表示方法有三种:图象法、列表法、解析法
2．图象法：在函数y=f （x ）中，以为横坐标，对应的为纵坐标的点的集合，叫做函数y=f （x ）的图象，这种用“图形”表示函数的方法叫做图象法.
3．分段函数：在定义域内不同部分上,有不同的解析表达式的函数通常叫做分段函数. 关键：“分段函数，分段处理”
【预习自测】首先完成教材上P23第3题； P24第7题；然后做自测题
1．已知()322
+-=x x x f ，则()1f f -⎡⎤⎣⎦=；
【由内及外】 若()6=a f ，则a =.【已知函数值，求自变量的值（解方程）】
2．已知()1212
+=-x x f ，则()x f =.【换元法（设“1-=x t ”，则“______=x ”，
然后用含“t ”的代数式替换式中的“x ”）】
3．设()x f 为一次函数．．．．且()[]12-=x x f f ，则()x f =.
4．作出函数（1）y=
2
x
(2)y=2x ＋1,x ∈Z 且2x <的图象
☆5．已知1
()2()3f x f x x
+=则()x f =.
【课内探究】首先独立思考探究，然后合作交流展示
例1 画出函数0
x x y x x x ≥⎧==⎨-<⎩，，的图象.
变式1：分别画出函数2-=x y ，
2+=x y ，2+=x y 的图象
例2 画出函数2
23,(03)y x x x =--≤<的图象.
☆变式1：画出函数223,y x x =--的图象 提示：2
2
230
23
x x x y x x x ⎧--≥=⎨+-<⎩
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2
1.2.2.2《函数的表示法》（2）【目标检测】姓名_____________ 评价：
1. 已知一次函数的图象过点()1,0以及()0,1，则此一次函数的解析式为（） A ．1y x =-+ B ．1y x =+ C ．1y x =- D ．1y x =--
2.分别画出下列函数的图象 （1）22≤∈=x z x x
y ，（2）1+-=x y （3）()11
322，-∈-+-=x x x y
3．画出函数2
x 0,f(x)=x
0,
x x ≥⎧⎨<⎩的图象，
并求f (32+)+f (32-)的值．
☆4.如图，根据y=f(x) (x R ∈)的图象，写出y=f(x)的解析式．
1
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23。