充要条件
第六节-充分条件与必要条件
“
是无理数”是“a是无理数”的充要条件
③“a>b”是“a2>b2”的充分条件；④“a<5”是“a<3”
的必要条件. 其中真命题的个数是
（B ）
A．1 B．2
C．3
D．4
x 1
练.习3：（湖南卷）集合A＝｛x| x 1 ＜0，B＝｛x || x -b|＜a，
若“a＝1”是“A∩B≠ ”的充分条件， 则b的取值范围是（ ）
充分条件与必要条件
高三备课组
一、基础知识
（一）充分条件、必要条件和充要条件 1．充分条件：如果A成立那么B成立，则条件A是B成 立的充分条件。 2．必要条件：如果A成立那么B成立，这时B是A的必 然结果，则条件B是A成立的必要条件。
A B
3．充要条件：如果A既是B成立的充分条件，又是B 成立的必要条件，则A是B成立的充要条件；同时B也 是A成立的充要条件。
A．－2≤b＜0
B．0＜b≤2
D
C．－3＜b＜－1
D．－1≤b＜2
例5.已知抛物线y=-x2+mx-1 点A(3,0) B(0,3),求 抛物线与线段AB有两个不同交点的充要条件.
设f(x)=x2-(1+m)x+4 则
f (0) 0
0
f
(3)
0 1 m
0
3
3
m
10 3
2
例6已知函数f(x)在（-∞，+∞）上是增函数，a,b∈R对命题 “若a+b≥0则f(a)+f(b)≥f(-a)+f(-b)”，写出逆命题，判断 其真假，并证明。
三、小结
1.处理充分、必要条件问题时,首先要分清条件与结论 ,然后能进行推理和判断. 2.判断命题的充要关系有三种方法: ①定义法:直接判若p则q，若q则p的真假； ②等价法即利用A B与B A B A与A B
充要条件
(3)因为 A∩B＝A⇒A⊆B⇒∁UA⊇∁UB，并且∁UB⊆∁UA⇒B⊇A⇒A∩B＝A， 所以 p 是 q 的充要条件． (4)当 c＝0 时，函数 y＝ax2＋bx 的图象经过原点； y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象经过原点时，0＝a×02＋b×0＋c，所以 c＝0， 所以 p⇔q，所以 p 是 q 的充要条件．
第一章
集合与常用逻辑用语
1.4.2 充要条件
充要条件是在学生前一节学习了充分条件与必要条件的基础上，要进一 步进行学习的知识，是对前面知识的深化，更好地研究了逻辑关系．因 为涉及的知识点比较多，且知识点较烦琐，且新概念比较抽象，因此本 节学习过程中，一定让学生多多参与，并且在解题技巧方面先让学生自 己总结，教师再补充说明．
二、提出问题 你会用逻辑学原理解释二人离去的原因吗？ [学习目标] 1.结合具体实例，理解充要条件的意义，理解数学定义与充 要条件的关系．(数学抽象) 2.掌握必要条件、充分条件和充要条件的综 合判断．(逻辑推理) 3.能对充要条件进行证明．(逻辑推理)
1．充要条件：一般地，如果“若 p，则 q”和它的逆命题“ 若q，则p ” 均是真命题，即既有 p⇒q，又有 q⇒p，就记作 p⇔q .此时，p 既是 q 的充分条件，也是 q 的必要条件，我们说 p 是 q 的充分必要条件，简称为 充要条件．显然，如果 p 是 q 的充要条件，那么 q 也是 p 的 充要 条件．概 括地说，如果 p⇔q，那么 p 与 q 互为充要条件．
题型 2◆充要条件的证明 典例 已知关于 x 的方程 ax2＋bx＋c＝0，求证：a＋b＋c＝0 是方程 ax2 ＋bx＋c＝0 有一个根为 1 的充要条件． 证明：(1)充分性：因为 a＋b＋c＝0， 所以 c＝－a－b，代入方程 ax2＋bx＋c＝0 中，得 ax2＋bx－a－b＝0，即 (x－1)(ax＋a＋b)＝0. 所以方程 ax2＋bx＋c＝0 有一个根为 1， 所以 a＋b＋c＝0⇒方程 ax2＋bx＋c＝0 有一个根为 1.
高考数学充分条件与必要条件
三、小结
1.处理充分、必要条件问题时,首先要分清条件与结论 ,然后能进行推理和判断. 2.判断命题的充要关系有三种方法: ①定义法:直接判若p则q，若q则p的真假； ②等价法即利用A B与B A B A与A B
A B与B A 的等价关系。
③利用集合的包含关系判断，若A B，则A是B的充分
若p是q的充分而不必要条件，求实数m的取值范围。
例4．（证明充要条件）设x、y∈R， 求证：|x+y|=|x|+∣y∣成立的充要条件是xy≥0.
说明： 搞清哪个是充分性命题： xy≥0 推得|x+y|=|x|+∣y∣ 哪个是必要性命题：|x+y|=|x|+∣y∣推得xy≥0. 并分两步证明。
例5.已知抛物线y=-x2+mx-1 ，点A(3,0)， B(0,3), 求抛物线与线段AB有两个不同交点的充要条件.
条件或B是A的必要条件，若A=B则A是B的充要条件。
四、作业
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为他突然记起,原先看过の对战,那个黑衣人,似乎尝试使用过这种玄奥.也就是白重炙感觉那种玄奥,似乎有五种基础玄奥在里面の奇怪玄奥. 虽然看情况,这估计是这位空间强者の一种尝试,这种玄奥还没完全融合成功,或者说只是一些推理,模拟.但是白重炙却感觉到一丝启发. 所以, 他才匆匆の观看起模拟战斗来,希望能给他一些真正の灵感！ 他反复回放着,那个黑衣人释放の那个玄奥の画面. 那是黑衣人挥出了一剑,这剑挥出,首先附近の空间开始震动起来,而四面办法の空间之力朝他汇集.紧接着,空间似乎停止了片刻,最后在散发出一阵空间波动,但是附近の空 间却有被锁定了一样. 这一招威力很大,因为他附近の空间都在凝聚着一股强大无比の力量,这种力量还没完全凝结出
充分条件和必要条件(含区分和例题)
充分条件和需要条件之五兆芳芳创作解释：如果有事物情况A，则必定有事物情况B；如果没有事物情况A，则必定没有事物情况B，A就是B的充分需要条件（简称：充要条件）. 复杂地说，满足A，必定B；不满足A，必定不B，则A是B的充分需要条件.（A可以推导出B，且B也可以推导出A）例如： 1. A=“三角形等边”；B=“三角形等角”. 2. A=“某人触犯了刑律”；B=“应当依照刑法对他处以刑罚”.3. A=“付了足够的钱”；B=“能买到商店里的东西”. 例子中A都是B的充分需要条件：其一、A必定导致B；其二，A是B产生必须的.区分：假定A是条件，B是结论由A可以推出B~由B可以推出A~~则A是B的充要条件（充分且需要条件）由A可以推出B~由B不成以推出A~~则A是B的充分不需要条件由A不成以推出B~由B可以推出A~~则A是B的需要不充分条件由A不成以推出B~由B不成以推出A~~则A是B的不充分不需要条件复杂一点就是：由条件能推出结论，但由结论推不出这个条件，这个条件就是充分条件如果能由结论推出条件，但由条件推不出结论.此条件为需要条件如果既能由结论推出条件，又能有条件推出结论.此条件为充要条件例子：1.充分条件：由条件a推出条件b，但是条件b其实不一定能推出条件a，天下雨了，地面一定湿，但是地面湿不一定是下雨造成的.2.需要条件：由后一个条件推出前一个条件，但是前一个条件并一定能推出后一个条件.我们把前面一个例子倒过去：地面湿了，天下雨了.我这里在复杂说下哲学上的充分条件和需要条件1. 充分条件是指按照提供的现有条件可以直接判断事物的运行成长结果.充分条件是事物运行成长的必定性条件，体现必定性的哲学内涵.如父亲和儿子的关系属于亲情关系吗？答必定属于.2. 需要性条件.事物的运行成长有其纪律性，需要性条件是指一些外在或内在的条件合适该事物的运行纪律的要求，但不克不及推动事物纪律的最终运行.如亲情关系和父子关系，亲情关系合适父子关系的一种现象表达，但不克不及推倒出亲情关系属于父子关系.荟萃暗示：设A、B是两个荟萃，A是B的充分条件，即满足A的必定满足B，暗示为A包含于B；A是B的需要条件，即满足B的必定满足A，暗示为A包含B，或B包含于A；A是B的充分不需要条件，即A是B的真子集，暗示为A 真包含于B；A是B的需要不充分条件，即B是A的真子集，暗示为A 真包含B，或B真包含于A；A是B的充分需要条件，即A、B等价，暗示为A=B.其中包含与真包含的符号打不出，自己写吧.不过这种暗示办法很是的不严格，实际中A、B两荟萃的元素未必是同一各类，而只是有一定的逻辑关系，所以这种暗示法也只能在特此外情况下适用.例题：例1 已知p：x1，x2是方程x2＋5x－6＝0的两根，q：x1＋x2＝－5，则p是q的[ ]A．充分但不需要条件B．需要但不充分条件C．充要条件D．既不充分也不需要条件阐发利用韦达定理转换．解∵x1，x2是方程x2＋5x－6＝0的两根，∴x1，x2的值辨别为1，－6，∴x1＋x2＝1－6＝－5．因此选A．说明：判断命题为假命题可以通过举反例．例2 p是q的充要条件的是[ ]A．p：3x＋2＞5，q：－2x－3＞－5B．p：a＞2，b＜2，q：a＞bC．p：四边形的两条对角线相互垂直平分，q：四边形是正方形D．p：a≠0，q：关于x的方程ax＝1有惟一解阐发逐个验证命题是否等价．解对A．p：x＞1，q：x＜1，所以，p是q的既不充分也不需要条件；对B．p q但q p，p 是q的充分非需要条件；对C．p q且q p，p是q的需要非充分条件；说明：当a＝0时，ax＝0有无数个解．例3 若A 是B成立的充分条件，D是C成立的需要条件，C是B成立的充要条件，则D是A成立的[ ]A．充分条件B．需要条件C．充要条件D．既不充分也不需要条件阐发通过B、C作为桥梁联系A、D．解∵A是B的充分条件，∴A B①∵D是C成立的需要条件，∴C D②由①③得A C④由②④得A D．∴D是A成立的需要条件．选B．说明：要注意利用推出符号的传递性．例4 设命题甲为：0＜x＜5，命题乙为|x－2|＜3，那么甲是乙的[ ]A．充分不需要条件B．需要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不需要条件阐发先解不等式再判定．解解不等式|x－2|＜3得－1＜x＜5．∵0＜x＜5 －1＜x＜5，但－1＜x＜5 0＜x＜5∴甲是乙的充分不需要条件，选A．说明：一般情况下，如果条件甲为x∈A，条件乙为x∈B．当且仅当A＝B时，甲为乙的充要条件．例5 设A、B、C三个荟萃，为使 A (B∪C)，条件 A B是[ ]A．充分条件B．需要条件C．充要条件D．既不充分也不需要条件阐发可以结合图形阐发．请同学们自己绘图．∴A (B∪C)．但是，当B＝N，C＝R，A＝Z时，显然 A (B∪C)，但A B不成立，综上所述：“A B”“A (B∪C)”，而“A (B∪C)”“A B”．即“A B”是“A (B∪C)”的充分条件(不需要)．选A．说明：绘图阐发时要画一般形式的图，特殊形式的图会掩盖真实情况．例6 给出下列各组条件：(1)p：ab ＝0，q：a2＋b2＝0；(2)p：xy≥0，q：|x|＋|y|＝|x＋y|；(3)p：m＞0，q：方程x2－x－m＝0有实根；(4)p：|x－1|＞2，q：x＜－1．其中p是q的充要条件的有[ ]A．1组B．2组C．3组D．4组阐发使用方程理论和不等式性质．解 (1)p是q的需要条件(2)p是q充要条件(3)p是q的充分条件(4)p是q的需要条件．选A．说明：ab＝0指其中至少有一个为零，而a2＋b2＝0指两个都为零．阐发将前后两个不等式组辨别作等价变形，不雅察两者之间的关系．例8 已知真命题“a≥b c＞d”和“a＜b e≤f”，则“c≤d”是“e≤f”的________条件．阐发∵a≥b c＞d(原命题)，∴c≤d a ＜b(逆否命题)．而a＜b e≤f，∴c≤d e≤f即c≤d是e≤f的充分条件．答填写“充分”．说明：充分利用原命题与其逆否命题的等价性是罕有的思想办法．例9 ax2＋2x＋1＝0至少有一个负实根的充要条件是[ ]A．0＜a≤1 B．a＜1C．a≤1 D．0＜a≤1或a＜0阐发此题若采取普通办法推导较为庞杂，可通过选项提供的信息，用排除法解之．当a＝1时，方程有负根x＝－1，当a＝0时，x＝当a≠0时综上所述a≤1．即ax2＋2x＋1＝0至少有一个负实根的充要条件是a≤1．说明：特殊值法、排除法都是解选择题的好办法．例10 已知p、q都是r的需要条件，s是r的充分条件，q是s 的充分条件，那么s，r，p辨别是q的什么条件？阐发画出关系图1－21，不雅察求解．解s是q的充要条件；(s r q，q s)r是q的充要条件；(r q，q s r)p是q的需要条件；(q s r p)说明：图可以画的随意一些，关头要体现各个条件、命题之间的逻辑关系．例11 关于x的不等式阐发化简A 和B，结合数轴，机关不等式(组)，求出a．解A＝{x|2a≤x≤a2＋1}，B＝{x|(x－2)[x－(3a＋1)]≤0}B＝{x|2≤x≤3a ＋1}．B＝{x|3a＋1≤x≤2}说明：荟萃的包含关系、命题的真假往往与解不等式密切相关．在解题时要理清思路，表达准确，推理无误．要条件？阐发将充要条件和不等式同解变形相联系．说明：分类讨论要做到不重不漏．例13 设α，β是方程x2－ax＋b＝0的两个实根，试阐发a＞2且b＞1是两根α，β均大于1的什么条件？阐发把充要条件和方程中根与系数的关系问题相联系，解题时需∴q p．上述讨论可知：a＞2，b＞1是α＞1，β＞1的需要但不充分条件．说明：本题中的讨论内容在二次方程的根的散布理论中常被使用．例14 (1991年全国高考题)设甲、乙、丙是三个命题，如果甲是乙的需要条件，丙是乙的充分条件，但不是乙的需要条件，那么[ ]A．丙是甲的充分条件，但不是甲的需要条件B．丙是甲的需要条件，但不是甲的充分条件C．丙是甲的充要条件D．丙不是甲的充分条件，也不是甲的需要条件阐发1：由丙乙甲且乙丙，即丙是甲的充分不需要条件．阐发2：绘图不雅察之．答：选A．说明：抽象命题之间的逻辑关系通常靠绘图不雅察比较便利。
怎样理解充分条件、必要条件和充要条件
怎样理解充分条件、必要条件和充要条件张万库充分条件、必要条件和充要条件是简易逻辑中的重要概念，准确理解、有意识地运用这几个概念思考问题和解决问题，可以使同学们养成严谨的思维品质，提高大家的逻辑思维能力。
怎样理解这三个概念呢？1. 充分条件、必要条件和充要条件反映的是一个命题中条件和结论间的因果关系（条件关系），是条件对于结论成立的作用。
谈一个命题的条件是否充分、必要、充要时，这个命题必须是确定的。
2. 充分条件的特征是“有之必然，无之未必不然”，即对于给定的命题“若A 则B ”，有了条件A ，结论B 一定成立（A B ⇒）；没有条件A ，结论B 未必不成立，也有可能成立。
这样的条件A 就是结论B 的充分条件。
例如，在命题“若x>0，则x 20>”中，有了条件“x>0”，就一定有结论“x 20>”成立。
把条件“x>0”换成“x <0”或“x ≠0”，仍有结论“x 20>”成立。
因此条件“x >0”是结论“x 20>”的充分条件。
教材中由“p q ⇒”定义“p 是q 的充分条件”，说的就是命题“若p 则q ”中条件p 对于结论q 成立的作用。
3. 必要条件的特征是“无之必不然，有之未必然”，即对于给定的命题“若A 则B ”，没有条件A ，结论B 一定不成立（⌝⇒⌝A B ）；但是有了条件A ，结论B 却未必一定成立。
这样的条件A 就是结论B 的必要条件。
例如，在命题“若x R x Q ∈∈，则”中，没有条件“x Q ∈”，就一定不会有结论“x Q ∈”。
但是有了条件“x R ∈”，却未必有结论“x R ∈”，还有可能是x C Q R ∈。
因此条件“x R ∈”是结论“x Q ∈”的必要条件。
利用“⌝⇒⌝A B ”判断条件A 是结论B 的必要条件，有时是很困难的。
我们可以利用“⌝⇒⌝A B ”的等价命题“B A ⇒”来判断，但一定要注意A 还是条件，B 还是结论，即若由结论B 能推出条件A ，则条件A 对于结论B 的成立是必要的。
充分条件和必要条件(含区分和例题)
充分条件和需要条件之袁州冬雪创作诠释：如果有事物情况A，则必定有事物情况B；如果没有事物情况A，则必定没有事物情况B，A就是B的充分需要条件（简称：充要条件）. 简单地说，知足A，必定B；不知足A，必定不B，则A是B的充分需要条件.（A可以推导出B，且B也可以推导出A）例如： 1. A=“三角形等边”；B=“三角形等角”.2. A=“或人触犯了刑律”；B=“应当依照刑法对他处以刑罚”.3. A=“付了足够的钱”；B=“能买到商店里的东西”. 例子中A都是B的充分需要条件：其一、A必定导致B；其二，A是B发生必须的.区分：假设A是条件，B是结论由A可以推出B~由B可以推出A~~则A是B的充要条件（充分且需要条件）由A可以推出B~由B不成以推出A~~则A是B的充分不需要条件由A不成以推出B~由B可以推出A~~则A是B的需要不充分条件由A不成以推出B~由B不成以推出A~~则A是B的不充分不需要条件简单一点就是：由条件能推出结论，但由结论推不出这个条件，这个条件就是充分条件如果能由结论推出条件，但由条件推不出结论.此条件为需要条件如果既能由结论推出条件，又能有条件推出结论.此条件为充要条件例子：1.充分条件：由条件a推出条件b，但是条件b其实纷歧定能推出条件a，天下雨了，地面一定湿，但是地面湿纷歧定是下雨造成的.2.需要条件：由后一个条件推出前一个条件，但是前一个条件并一定能推出后一个条件.我们把前面一个例子倒过来：地面湿了，天下雨了.我这里在简单说下哲学上的充分条件和需要条件1. 充分条件是指根据提供的现有条件可以直接断定事物的运行发展成果.充分条件是事物运行发展的必定性条件，体现必定性的哲学内涵.如父亲和儿子的关系属于亲情关系吗？答必定属于.2. 需要性条件.事物的运行发展有其规律性，需要性条件是指一些外在或内涵的条件符合该事物的运行规律的要求，但不克不及推动事物规律的最终运行.如亲情关系和父子关系，亲情关系符合父子关系的一种现象表达，但不克不及推倒出亲情关系属于父子关系.集合暗示：设A、B是两个集合，A是B的充分条件，即知足A的必定知足B，暗示为A包含于B；A是B的需要条件，即知足B的必定知足A，暗示为A包含B，或B包含于A；A是B的充分不需要条件，即A是B的真子集，暗示为A真包含于B；A是B的需要不充分条件，即B是A的真子集，暗示为A真包含B，或者B真包含于A；A是B的充分需要条件，即A、B等价，暗示为A=B.其中包含与真包含的符号打不出，自己写吧.不过这种暗示方法非常的不严格，实际中A、B两集合的元素未必是同一各类，而只是有一定的逻辑关系，所以这种暗示法也只能在特此外情况下适用.例题：例1 已知p：x1，x2是方程x2＋5x－6＝0的两根，q：x1＋x2＝－5，则p是q的[ ]A．充分但不需要条件B．需要但不充分条件C．充要条件D．既不充分也不需要条件分析操纵韦达定理转换．解∵x1，x2是方程x2＋5x－6＝0的两根，∴x1，x2的值分别为1，－6，∴x1＋x2＝1－6＝－5．因此选A．说明：断定命题为假命题可以通过举反例．例2 p是q的充要条件的是[ ]A．p：3x＋2＞5，q：－2x－3＞－5B．p：a＞2，b ＜2，q：a＞bC．p：四边形的两条对角线互相垂直平分，q：四边形是正方形D．p：a≠0，q：关于x的方程ax＝1有惟一解分析逐个验证命题是否等价．解对A．p：x＞1，q：x＜1，所以，p是q的既不充分也不需要条件；对B．p q但q p，p是q的充分非需要条件；对C．p q且q p，p是q的需要非充分条件；说明：当a＝0时，ax＝0有无数个解．例3 若A是B成立的充分条件，D是C成立的需要条件，C是B成立的充要条件，则D是A成立的[ ]A．充分条件B．需要条件C．充要条件D．既不充分也不需要条件分析通过B、C作为桥梁接洽A、D．解∵A是B的充分条件，∴A B①∵D是C成立的需要条件，∴C D②由①③得A C④由②④得A D．∴D是A 成立的需要条件．选B．说明：要注意操纵推出符号的传递性．例4 设命题甲为：0＜x＜5，命题乙为|x－2|＜3，那末甲是乙的[ ]A．充分不需要条件 B．需要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不需要条件分析先解不等式再断定．解解不等式|x－2|＜3得－1＜x＜5．∵0＜x＜5 －1＜x＜5，但－1＜x＜5 0＜x＜5∴甲是乙的充分不需要条件，选A．说明：一般情况下，如果条件甲为x∈A，条件乙为x∈B．当且仅当A＝B时，甲为乙的充要条件．例5 设A、B、C三个集合，为使A (B∪C)，条件A B 是[ ]A．充分条件B．需要条件C．充要条件D．既不充分也不需要条件分析可以连系图形分析．请同学们自己画图．∴A (B∪C)．但是，当B＝N，C＝R，A＝Z 时，显然 A (B∪C)，但 A B不成立，综上所述：“A B”“A (B∪C)”，而“A (B∪C)”“A B”．即“A B”是“A (B∪C)”的充分条件(不需要)．选A．说明：画图分析时要画一般形式的图，特殊形式的图会掩盖真实情况．例6 给出下列各组条件：(1)p：ab＝0，q：a2＋b2＝0；(2)p：xy≥0，q：|x|＋|y|＝|x＋y|；(3)p：m＞0，q：方程x2－x－m＝0有实根；(4)p：|x－1|＞2，q：x＜－1．其中p是q的充要条件的有[ ]A．1组 B．2组C．3组 D．4组分析使用方程实际和不等式性质．解 (1)p是q的需要条件(2)p是q充要条件(3)p是q的充分条件(4)p是q的需要条件．选A．说明：ab＝0指其中至少有一个为零，而a2＋b2＝0指两个都为零．分析将前后两个不等式组分别作等价变形，观察二者之间的关系．例8 已知真命题“a≥b c ＞d”和“a＜b e≤f”，则“c≤d”是“e≤f”的________条件．分析∵a≥b c＞d(原命题)，∴c≤d a＜b(逆否命题)．而a＜b e≤f，∴c≤d e≤f即c≤d是e≤f的充分条件．答填写“充分”．说明：充分操纵原命题与其逆否命题的等价性是罕见的思想方法．例9 ax2＋2x ＋1＝0至少有一个负实根的充要条件是[ ]A．0＜a≤1 B．a＜1C．a≤1 D．0＜a≤1或a＜0分析此题若采取普通方法推导较为复杂，可通过选项提供的信息，用解除法解之．当a＝1时，方程有负根x＝－1，当a＝0时，x＝当a≠0时综上所述a≤1．即ax2＋2x＋1＝0至少有一个负实根的充要条件是a≤1．说明：特殊值法、解除法都是解选择题的好方法．例10 已知p、q都是r的需要条件，s是r的充分条件，q是s的充分条件，那末s，r，p分别是q 的什么条件？分析画出关系图1－21，观察求解．解 s 是q的充要条件；(s r q，q s)r是q的充要条件；(r q，q s r)p是q的需要条件；(q s r p)说明：图可以画的随意一些，关键要体现各个条件、命题之间的逻辑关系．例11 关于x的不等式分析化简A和B，连系数轴，构造不等式(组)，求出a．解 A＝{x|2a≤x≤a2＋1}，B＝{x|(x －2)[x－(3a＋1)]≤0}B＝{x|2≤x≤3a＋1}．B＝{x|3a＋1≤x≤2}说明：集合的包含关系、命题的真假往往与解不等式紧密亲密相关．在解题时要理清思路，表达准确，推理无误．要条件？分析将充要条件和不等式同解变形相接洽．说明：分类讨论要做到不重不漏．例13 设α，β是方程x2－ax＋b＝0的两个实根，试分析a＞2且b＞1是两根α，β均大于1的什么条件？分析把充要条件和方程中根与系数的关系问题相接洽，解题时需∴q p．上述讨论可知：a＞2，b＞1是α＞1，β＞1的需要但不充分条件．说明：本题中的讨论内容在二次方程的根的分布实际中常被使用．例14 (1991年全国高考题)设甲、乙、丙是三个命题，如果甲是乙的需要条件，丙是乙的充分条件，但不是乙的需要条件，那末[ ]A．丙是甲的充分条件，但不是甲的需要条件B．丙是甲的需要条件，但不是甲的充分条件C．丙是甲的充要条件D．丙不是甲的充分条件，也不是甲的需要条件分析1：由丙乙甲且乙丙，即丙是甲的充分不需要条件．分析2：画图观察之．答：选A．说明：抽象命题之间的逻辑关系通常靠画图观察比较方便。
充分条件、必要条件和充要条件
当A成立时B成立，A不成立时B可能成立， A就是B的充分非必要条件。
当A不成立时B不成立，A成立时B可能不成立， A就是B的必要非充分条件
如果只有你有家门钥匙。 当你在(A成立)时家门能打开(B成立)，你不在(A不成 立)时家门打不开(B不成立)， 你就是打开家门的充分必要条件
那么你就是家门能打开的充分（你有钥匙）必要（只 有你有钥匙）条件。
提示：充分不必要 必要不充分
20
2．“x＝1”是“x2－1＝0”的( ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 A [当x＝1时，x2－1＝0成立，反之不成立，所以“x＝1”是 “x2－1＝0”的充分不必要条件．]
(2)以下五种表述形式：
小明是小花的哥哥
①p⇒q；（你在⇒家门能打开） 小花的哥哥是小明
②p是q的充分条件 (你在是家门能打开的充分条件)
③q的充分条件是__p__(家门能打开的充分条件是你在)
④q是p的必要条件 (家门能打开是你在的必要条件)
⑤p的必要条件是__q__(你在的必要条件是家门能打开）
充分条件、必要条件和充要条件
在数学中，当“如果p，那么q”是真命题时，我们就说p 可推出q，记作p⟹q。 此时，我们称p是q的充分条件或q是p的必要条件。
p是q的充分条件 ⇔ q是p的必要条件
假设你有一把家门钥匙。 当你在(A成立)时家门能打开(B成立)。你在就是家门打 开的充分条件。 当A成立⇒ B成立，A是B的充分条件。
A是B的充分条件 ⇔ B是A的必要条件
“前(A)能推后(B)” “后(A)能推前(B)”
你在是家门打开的充分条件⇔ 家门打开就是你在的必要条件。
你在(A)⇒家门能打开(B) 家门能打开(B)⇐你在(A)
充要条件的概念
充要条件的概念
充要条件也即充分必要条件，意思是说，如果能从命题p推出命题q，而且也能从命题q推出命题p，则称p是q的充分必要条件，且q也是p的充分必要条件。
如果有事物情况A，则必然有事物情况B；如果有事物情况B，则必然有事物情况A，那么B就是A的充分必要条件(简称：充要条件)，反之亦然。
假设A是条件，B是结论。
（1）由A可以推出B，由B可以推出A，则A是B的充分必要条件，或者说A的充分必要条件是B。
（2）由A可以推出B，由B不可以推出A，则A是B的充分不必要条件。
（3）由A不可以推出B，由B可以推出A，则A是B的必要不充分条件。
（4）由A不可以推出B，由B不可以推出A，则A是B的既不充分也不必要条件。
充要条件
2.3充要条件明目标、知重点 1.理解充要条件的意义.2.会判断、证明充要条件.3.通过学习，明白对条件的判断应该归结为判断命题的真假．充要条件一般地，如果既有p⇒q，又有q⇒p就记作p⇔q.此时，我们说，p是q的充分必要条件，简称充要条件．显然，如果p是q的充要条件，那么q也是p的充要条件．概括地说，如果p⇔q，那么p与q互为充要条件．探究点一充要条件的判断思考已知p：整数a是2的倍数；q：整数a是偶数．请判断：p是q的充分条件吗？p是q的必要条件吗？答p是q的充分条件，p是q的必要条件．小结p⇒q，故p是q的充分条件；又q⇒p，故p是q的必要条件．此时，我们说，p是q的充分必要条件．例1在下列各题中，分析p是q的什么条件：(在“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”“既不充分又不必要条件”中选出一种)(1)p：λa＝0，q：λ＝0或a＝0；(其中，λ是实数，a是向量)(2)p：向量a＝(a1，a2)和b＝(b1，b2)平行，q：a1b2－a2b1＝0；(3)p：四边形是矩形，q：四边形是正方形；(4)p：四边形的对角线相等，q：四边形是平行四边形．解(1)因为，λa＝0⇔λ＝0或a＝0，所以，p是q的充要条件．(2)因为，向量a＝(a1，a2)和b＝(b1，b2)平行⇔a1b2－a2b1＝0，所以，p是q的充要条件．(3)因为，四边形是正方形⇒四边形是矩形，但是“四边形是矩形”不能推出“四边形是正方形”，所以，p是q的必要不充分条件．(4)因为，“四边形的对角线相等”不能推出“四边形是平行四边形”，并且“四边形是平行四边形”也不能推出“四边形的对角线相等”，所以p 是q 的既不充分又不必要条件． 反思与感悟 判断p 是q 的什么条件，最常用的方法是定义法，另外也可以使用等价命题法或集合法．跟踪训练1 (1)a ，b 中至少有一个不为零的充要条件是( )A ．ab ＝0B ．ab >0C ．a 2＋b 2＝0D ．a 2＋b 2>0 答案 D解析 a 2＋b 2>0，则a 、b 不同时为零；a ，b 中至少有一个不为零，则a 2＋b 2>0.(2)x >2的一个必要不充分条件是__________；x ＋y >0的一个充分不必要条件是________________．答案 x >0 x >0且y >0(答案不惟一)(3)“函数y ＝x 2－2x －a 没有零点”的充要条件是___________________________________． 答案 a <－1解析 函数没有零点，即方程x 2－2x －a ＝0无实根，所以有Δ＝4＋4a <0，解得a <－1.反之，若a <－1，则Δ<0，方程x 2－2x －a ＝0无实根，即函数没有零点．探究点二 有关充要条件的证明或求解思考 如何证明充要条件？答 分清充分性和必要性．例2 求证：方程x 2＋(2k －1)x ＋k 2＝0的两个根均大于1的充要条件是k <－2.证明 必要性：若方程x 2＋(2k －1)x ＋k 2＝0有两个大于1的根，不妨设两个根为x 1，x 2，则⎩⎪⎨⎪⎧ Δ＝(2k －1)2－4k 2≥0，(x 1－1)＋(x 2－1)>0，(x 1－1)(x 2－1)>0⇒⎩⎪⎨⎪⎧ k ≤14，(x 1＋x 2)－2>0，x 1x 2－(x 1＋x 2)＋1>0，即⎩⎪⎨⎪⎧ k ≤14，－(2k －1)－2>0，k 2＋(2k －1)＋1>0，解得k <－2.充分性：当k <－2时，Δ＝(2k －1)2－4k 2＝1－4k >0.设方程x 2＋(2k －1)x ＋k 2＝0的两个根为x 1，x 2.则(x 1－1)(x 2－1)＝x 1x 2－(x 1＋x 2)＋1＝k 2＋2k －1＋1＝k (k ＋2)>0.又(x 1－1)＋(x 2－1)＝(x 1＋x 2)－2＝－(2k －1)－2＝－2k －1>0，∴x 1－1>0，x 2－1>0.∴x 1>1，x 2>1.综上可知，方程x 2＋(2k －1)x ＋k 2＝0有两个大于1的根的充要条件为k <－2.反思与感悟 一般地，证明“p 成立的充要条件为q ”时，在证充分性时应以q 为“已知条件”，p 是该步中要证明的“结论”，即q ⇒p ；证明必要性时则是以p 为“已知条件”，q 为该步中要证明的“结论”，即p ⇒q .跟踪训练2 求关于x 的方程ax 2＋x ＋1＝0至少有一个负实根的充要条件．解 ①当a ＝0时，解得x ＝－1，满足条件；②当a ≠0时，显然方程没有零根，若方程有两异号实根，则a <0；若方程有两个负的实根，则必须满足⎩⎪⎨⎪⎧ 1a >0，－1a <0，Δ＝1－4a ≥0⇒0<a ≤14. 综上，若方程至少有一个负的实根，则a ≤14. 反之，若a ≤14，则方程至少有一个负的实根． 因此，关于x 的方程ax 2＋x ＋1＝0至少有一个负实根的充要条件是a ≤14.1．“x 2>2013”是“x 2>2012”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 答案 A解析 由于“x 2>2013”时，一定有“x 2>2012”，反之不成立，所以“x 2>2013”是“x 2>2012”的充分不必要条件．2．设{a n }是等比数列，则“a 1<a 2<a 3”是“数列{a n }是递增数列”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件答案 C解析 {a n }为等比数列，a n ＝a 1·q n －1，由a 1<a 2<a 3，得a 1<a 1q <a 1q 2，即a 1>0，q >1或a 1<0,0<q <1，则数列{a n }为递增数列．反之也成立．3．函数f (x )＝x 2＋mx ＋1的图像关于直线x ＝1对称的充要条件是( )A ．m ＝－2B ．m ＝2C ．m ＝－1D ．m ＝1答案 A解析 当m ＝－2时，f (x )＝x 2－2x ＋1，其图像关于直线x ＝1对称，反之也成立，所以f (x )＝x 2＋mx ＋1的图像关于直线x ＝1对称的充要条件是m ＝－2.4．已知向量a ＝(x －1,2)，b ＝(2,1)，则a ⊥b 的充要条件是( )A ．x ＝－12B ．x ＝－1C ．x ＝5D ．x ＝0答案 D解析 ∵a ＝(x －1,2)，b ＝(2,1)，∴a ·b ＝2(x －1)＋2×1＝2x .又a ⊥b ⇔a ·b ＝0，∴2x ＝0，∴x ＝0.[呈重点、现规律]1．充要条件的判断有三种方法：定义法、等价命题法、集合法．2．充要条件的证明与探求(1)充要条件的证明分充分性和必要性的证明．在证明时要注意两种叙述方式的区别： ①p 是q 的充要条件，则由p ⇒q 证的是充分性，由q ⇒p 证的是必要性；②p 的充要条件是q ，则p ⇒q 证的是必要性，由q ⇒p 证的是充分性．(2)探求充要条件，可先求出必要条件，再证充分性；如果能保证每一步的变形转化过程都可逆，也可以直接求出充要条件．一、基础过关1．“x ，y 均为奇数”是“x ＋y 为偶数”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案 A解析 当x ，y 均为奇数时，一定可以得到x ＋y 为偶数；但当x ＋y 为偶数时，不一定必有x ，y 均为奇数，也可能x ，y 均为偶数．2．对于非零向量a ，b ，“a ＋b ＝0”是“a ∥b ”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 答案 A解析 当a ＋b ＝0时，得a ＝－b ，所以a ∥b ，但若a ∥b ，不一定有a ＋b ＝0.3．设x ∈R ，则“x >12”是“2x 2＋x －1>0”的( ) A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 答案 A解析 不等式2x 2＋x －1>0的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x >12或x <－1， 故由x >12⇒2x 2＋x －1>0， 但2x 2＋x －1>0D ⇒/x >12，故选A. 4．平面α∥平面β的一个充分条件是( )A ．存在一条直线a ，a ∥α，a ∥βB ．存在一条直线a ，a ⊂α，a ∥βC ．存在两条平行直线a 、b ，a ⊂α，b ⊂β，a ∥β，b ∥αD ．存在两条异面直线a 、b ，a ⊂α，b ⊂β，a ∥β，b ∥α答案 D解析 当满足A 、B 、C 三个选项中的任意一个选项的条件时，都有可能推出平面α与β相交，而得不出α∥β，它们均不能成为α∥β的充分条件．只有D 符合．5．设a ，b 为向量，则“|a ·b |＝|a ||b |”是“a ∥b ”的________条件．答案 充要解析 由|a ||b ||cos 〈a ，b 〉|＝|a ||b |，则有cos 〈a ，b 〉＝±1.即〈a ，b 〉＝0或π，所以a ∥b .由a ∥b ，得向量a 与b 同向或反向，所以〈a ，b 〉＝0或π，所以|a ·b |＝|a ||b |.6．在△ABC 中，“△ABC 为钝角三角形”是“AB →·AC →<0”的________条件．答案 必要不充分解析 当△ABC 为钝角三角形时，角A ，B ，C 中的任何一个角都有可能是钝角，不一定有AB →·AC →<0；但当AB →·AC →<0时，A 为钝角，△ABC 一定是钝角三角形．7．已知p ：ab ≠0，a ＋b ＝1；q ：ab ≠0，a 3＋b 3＋ab －a 2－b 2＝0.求证：p 是q 的充要条件．证明 ①先证充分性成立．∵ab ≠0，a ＋b ＝1，∴b ＝1－a .∴a3＋b3＋ab－a2－b2＝a3＋(1－a)3＋a(1－a)－a2－(1－a)2＝a3＋1－3a＋3a2－a3＋a－a2－a2－1＋2a－a2＝0.②再证必要性成立．∵ab≠0，∴a≠0且b≠0.∵a3＋b3＋ab－a2－b2＝0，∴(a＋b)(a2－ab＋b2)－(a2－ab＋b2)＝0.∴(a2－ab＋b2)·(a＋b－1)＝0.∵a2－ab＋b2≠0，∴a＋b＝1.由①②知，p是q的充要条件．二、能力提升8．设集合A＝{x∈R|x－2>0}，B＝{x∈R|x<0}，C＝{x∈R|x(x－2)>0}，则“x∈A∪B”是“x∈C”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件答案 C解析A∪B＝{x∈R|x<0或x>2}，C＝{x∈R|x<0或x>2}，∵A∪B＝C，∴“x∈A∪B”是“x∈C”的充要条件．9．下列不等式：①x<1；②0<x<1；③－1<x<0；④－1<x<1.其中，可以为x2<1的充分条件的所有序号为________．答案②③④解析由于x2<1即－1<x<1，①显然不能使－1<x<1一定成立，②③④满足题意．10．给出下列命题：①命题“若b2－4ac<0，则方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)无实根”的否命题；②命题“在△ABC中，AB＝BC＝CA，那么△ABC为等边三角形”的逆命题；③命题“若a>b>0，则3a>3b>0”的逆否命题；④“若m>1，则mx2－2(m＋1)x＋(m－3)>0的解集为R”的逆命题．其中真命题的序号为________．答案 ①②③解析 ①否命题：若b 2－4ac ≥0，则方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)有实根，真命题； ②逆命题：若△ABC 为等边三角形，则AB ＝BC ＝CA ，真命题；③因为命题“若a >b >0，则3a >3b >0”是真命题，故其逆否命题为真；④逆命题：若mx 2－2(m ＋1)x ＋(m －3)>0的解集为R ，则m >1，假命题，因为⎩⎪⎨⎪⎧m >0，[－2(m ＋1)]2－4m (m －3)<0，得m ∈∅. 所以应填①②③.11．已知p ：12≤x ≤1，q ：(x －a )(x －a －1)≤0，若p 是q 的充分不必要条件，则实数a 的取值范围是________．答案 [0，12] 解析 由(x －a )(x －a －1)＜0得a ≤x ≤a ＋1，而p 是q 的充分不必要条件，所以有⎩⎪⎨⎪⎧ a ≤12，a ＋1>1，或⎩⎪⎨⎪⎧a <12，a ＋1≥1，，得0≤a ≤12. 12．求证：一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0有一正根和一负根的充要条件是ac <0.证明 充分性：(由ac <0推证方程有一正根和一负根)∵ac <0，∴一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0的判别式Δ＝b 2－4ac >0.∴方程一定有两不等实根，设为x 1，x 2，则x 1x 2＝c a<0，∴方程的两根异号． 即方程ax 2＋bx ＋c ＝0有一正根和一负根．必要性：(由方程有一正根和一负根推证ac <0)∵方程ax 2＋bx ＋c ＝0有一正根和一负根，设为x 1，x 2，则由根与系数的关系得x 1x 2＝c a<0，即ac <0， 综上可知，一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0有一正根和一负根的充要条件是ac <0.三、探究与拓展13．设x ，y ∈R ，求证：|x ＋y |＝|x |＋|y |成立的充要条件是xy ≥0.证明 充分性：如果xy ≥0，则有xy ＝0和xy >0两种情况，当xy ＝0时，不妨设x ＝0，得|x ＋y |＝|y |，|x |＋|y |＝|y |，∴等式成立．当xy>0，即x>0，y>0或x<0，y<0时．又当x>0，y>0时，|x＋y|＝x＋y，|x|＋|y|＝x＋y，∴等式成立．当x<0，y<0时，|x＋y|＝－(x＋y)，|x|＋|y|＝－x－y＝－(x＋y)，∴等式成立．总之，当xy≥0时，|x＋y|＝|x|＋|y|成立．必要性：若|x＋y|＝|x|＋|y|且x，y∈R，得|x＋y|2＝(|x|＋|y|)2，即x2＋2xy＋y2＝x2＋y2＋2|x|·|y|，∴|xy|＝xy，∴xy≥0.综上可知，“xy≥0”是“等式|x＋y|＝|x|＋|y|成立”的充要条件．。
充分条件和必要条件充要条件
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探求充要条件一般有两种方法 1.先寻找必要条件，即将探求充要条件的对象视为结论，寻找使之成立的条 件；再证明此条件是该对象的充分条件，即从充分性和必要性两方面说明. 2.将原命题进行等价变形或转换，直至获得其成立的充要条件，探求的过 程同时也是证明的过程，因为探求过程每一步都是等价的，所以不需要将充分 性和必要性分开来证.
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充X分XX条件、必要条件、充要条件旳应用
是否存在实数 p，使 4x＋p＜0 是 x2－x－2＞0 的充分条件？如果存 在，求出 p 的取值范围；否则，说明理由.
【精彩点拨】 用集合的观点研究问题，先求出 4x＋p＜0 和 x2－x－2＞0 所对应的集合，再由“4x＋p＜0”⇒“x2－x－2＞0”求 p 的范围.
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判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若p是q的必要条件，则q是p的充分条件.( ) (2)“两角不相等”是“两角不是对顶角”的必要条件.( ) (3)x＞a2＋b2(a＞0，b＞0)是x＞2ab的充分条件.( )
【答案】 (1)√ (2)× (3)√
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判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)q是p的必要条件时，p是q的充分条件.( ) (2)若p是q的充要条件，则命题p和q是两个相互等价的命题.( ) (3)q不是p的必要条件时，“p⇒/ q”成立.( )
【答案】 (1)√ (2)√ (3)√
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[小组合作型] 充分、必要、充要条件旳判断
件. 【答案】 A
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怎样理解充分条件、必要条件和充要条件
怎样理解充分条件、必要条件和充要条件张万库充分条件、必要条件和充要条件是简易逻辑中的重要概念，准确理解、有意识地运用这几个概念思考问题和解决问题，可以使同学们养成严谨的思维品质，提高大家的逻辑思维能力。
怎样理解这三个概念呢1. 充分条件、必要条件和充要条件反映的是一个命题中条件和结论间的因果关系（条件关系），是条件对于结论成立的作用。
谈一个命题的条件是否充分、必要、充要时，这个命题必须是确定的。
2. 充分条件的特征是“有之必然，无之未必不然”，即对于给定的命题“若A 则B ”，有了条件A ，结论B 一定成立（A B ⇒）；没有条件A ，结论B 未必不成立，也有可能成立。
这样的条件A 就是结论B 的充分条件。
例如，在命题“若x>0，则x 20>”中，有了条件“x>0”，就一定有结论“x 20>”成立。
把条件“x>0”换成“x <0”或“x ≠0”，仍有结论“x 20>”成立。
因此条件“x >0”是结论“x 20>”的充分条件。
教材中由“p q ⇒”定义“p 是q 的充分条件”，说的就是命题“若p 则q ”中条件p 对于结论q 成立的作用。
3. 必要条件的特征是“无之必不然，有之未必然”，即对于给定的命题“若A 则B ”，没有条件A ，结论B 一定不成立（⌝⇒⌝A B ）；但是有了条件A ，结论B 却未必一定成立。
这样的条件A 就是结论B 的必要条件。
例如，在命题“若x R x Q ∈∈，则”中，没有条件“x Q ∈”，就一定不会有结论“x Q ∈”。
但是有了条件“x R ∈”，却未必有结论“x R ∈”，还有可能是x C Q R ∈。
因此条件“x R ∈”是结论“x Q ∈”的必要条件。
利用“⌝⇒⌝A B ”判断条件A 是结论B 的必要条件，有时是很困难的。
我们可以利用“⌝⇒⌝A B ”的等价命题“B A ⇒”来判断，但一定要注意A 还是条件，B 还是结论，即若由结论B 能推出条件A ，则条件A 对于结论B 的成立是必要的。
知识讲解_充分条件与必要条件_基础
充分条件与必要条件【学习目标】1．理解充分条件、必要条件、充要条件的定义；2．会求某些简单问题成立的充分条件、必要条件、充要条件；3．会应用充分不必要条件、必要不充分条件、充要条件、既不充分也不必要条件表达命题之间的关系.4.能够利用命题之间的关系判定充要关系或进行充要性的证明.【要点梳理】要点一、充分条件与必要条件 充要条件的概念符号p q ⇒与p q ⇒/的含义“若p ，则q ”为真命题，记作：p q ⇒；“若p ，则q ”为假命题，记作：p q ⇒/.充分条件、必要条件与充要条件①若p q ⇒，称p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件.②如果既有p q ⇒，又有q p ⇒，就记作p q ⇔，这时p 是q 的充分必要条件，称p是q 的充要条件.要点诠释：对p q ⇒的理解：指当p 成立时，q 一定成立，即由p 通过推理可以得到q .①“若p ，则q ”为真命题；②p 是q 的充分条件；③q 是p 的必要条件以上三种形式均为“p q ⇒”这一逻辑关系的表达.要点二、充分条件、必要条件与充要条件的判断从逻辑推理关系看命题“若p ，则q ”，其条件p 与结论q 之间的逻辑关系①若p q ⇒，但q p ⇒/，则p 是q 的充分不必要条件，q 是p 的必要不充分条件；②若p q ⇒/，但q p ⇒，则p 是q 的必要不充分条件，q 是p 的充分不必要条件；③若p q ⇒，且q p ⇒，即p q ⇔，则p 、q 互为充要条件；④若p q ⇒/，且q p ⇒/，则p 是q 的既不充分也不必要条件.从集合与集合间的关系看若p ：x ∈A ，q ：x ∈B ，①若A ⊆B ，则p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件；②若A 是B 的 真子集，则p 是q 的充分不必要条件；③若A=B ，则p 、q 互为充要条件；④若A 不是B 的子集且B 不是A 的子集，则p 是q 的既不充分也不必要条件.要点诠释：充要条件的判断通常有四种结论：充分不必要条件、必要不充分条件、充要条件、既不充分也不必要条件.判断方法通常按以下步骤进行：①确定哪是条件，哪是结论；②尝试用条件推结论，③再尝试用结论推条件，④最后判断条件是结论的什么条件.要点三、充要条件的证明要证明命题的条件是结论的充要条件，既要证明条件的充分性（即证原命题成立），又要证明条件的必要性（即证原命题的逆命题成立）要点诠释：对于命题“若p ，则q ”①如果p 是q 的充分条件，则原命题“若p ，则q ”与其逆否命题“若q ⌝，则p ⌝”为真命题；②如果p 是q 的必要条件，则其逆命题“若q ，则p ”与其否命题“若p ⌝，则q ⌝”为真命题；③如果p 是q 的充要条件，则四种命题均为真命题.【典型例题】类型一：充分条件、必要条件、充要条件的判定例1.指出下列各题中，p 是q 的什么条件？(1) p : (2)(3)0x x --=， q : 2x =；(2) p : 0c =，q : 抛物线2y ax bx c =++过原点(3) p : 一个四边形是矩形，q : 四边形的邻边相等【解析】(1)∵p : 2x =或3x =, q : 2x =∴p q ⇒/且q p ⇒,∴p 是q 的必要不充分条件；(2)∵p q ⇒且q p ⇒,∴p 是q 的充要条件；(3)∵p q ⇒/且q p ⇒/，∴p 是q 的既不充分条件也不必要条件.【总结升华】判定充要条件的基本方法是定义法，即“定条件——找推式——下结论”.有时需要将条件等价转化后再判定.举一反三：【变式1】指出下列各题中，p 是q 的什么条件？（1）p ：A B ∠=∠，q ：A ∠和B ∠是对顶角.（2）:1p x =，2:1q x =；【答案】（1）∵p q ⇒/且q p ⇒，∴p 是q 的必要不充分条件，q 是p 的充分不必要条件.（2）∵2:111q x x x =⇔==-或∴211x x =⇒=，但211x x =⇒=/， ∴p 是q 的充分不必要条件，q 是p 的必要不充分条件.【变式2】判断下列各题中p 是q 的什么条件.（1）p :0a >且0b >, q :0ab >（2）p :1>y x , q : x y >. 【答案】（1）p 是q 的充分不必要条件.∵0a >且0b >时，0ab >成立；反之，当0ab >时，只要求a 、b 同号即可.∴必要性不成立.（2）p 是q 的既不充分也不必要条件∵1>yx 在0y >的条件下才有x y >成立. ∴充分性不成立，同理必要性也不成立.【高清课堂：充分条件与必要条件394804例2】例2. 已知p ：0<x<3，q ：|x-1|<2，则p 是q 的（ ）（A ）充分不必要条件 （B ）必要不充分条件（C ）充要条件 （D ）既不充分也不必要条件【解析】q ：|x-1|<2，解得-1<x<3，亦即q ：-1<x<3. 如图，在数轴上画出集合P=(0,3)，Q=(-1,3)， 从图中看P Q ， p ⇒q ，但q ⇒/p ，所以选择（A ）.【总结升华】①先对已知条件进行等价转化化简，然后由定义判断；②不等式（解集）表示的条件之间的相互关系可以借助集合间的关系判断.举一反三：【高清课堂：充分条件与必要条件394804例3】【变式1】设x R ∈，则条件“2x >”的一个必要不充分条件为（ ）X 1 2 PQA.1x >B.1x <C.3x >D.3x <【答案】A【变式2】（2015 天津文）设x ∈R ，则“1＜x ＜2”是“|x －2|＜1”的（ ）A ． 充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】由|x －2|＜1⇒ －1＜x －2＜1⇒－1＜x ＜3，可知“1＜x ＜2”是“|x －2|＜1”的充分而不必要条件.故选:A.【变式3】 (2015 福建)若l ，m 是两条不同的直线，m 垂直于平面α，则“l ⊥m ”是“l ∥α的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】若l ⊥m ，因为m 垂直于平面α，则l ∥α或l ⊂α；若l ∥α，又m 垂直于平面α，则l ⊥m ，所以“l ⊥m ”是“l ∥α”的必要不充分条件，故选B ．【变式4】（2016 北京理）设a r ，b r 是向量，则“||||a b =r r ”是“||||a b a b +=-r r r r ”的（ ）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】由22||||()()0a b a b a b a b a b a b +=-⇔+=-⇔⋅=⇔⊥r r r r r r r r r r r r，故是既不充分也不必要条件，故选D.类型二：充要条件的探求与证明例3. 设x 、y ∈R ，求证：|x+y|=|x|+|y|成立的充要条件是xy≥0.【解析】（1）充分性：若xy=0，那么①x=0，y≠0；②x≠0，y=0；③x=0，y=0，于是|x+y|=|x|+|y|如果xy ＞0，即x ＞0，y ＞0或x ＜0，y ＜0，当x ＞0，y ＞0时，|x+y|=x+y=|x|+|y|.当x ＜0，y ＜0时，|x+y|=－(x+y)=－x+(－y)=|x|+|y|.总之，当xy≥0时，有|x+y|=|x|+|y|.（2）必要性：由|x+y|=|x|+|y|及x 、y ∈R ，得(x+y)2=(|x|+|y|)2，即x 2+2xy+y 2=x 2+2|xy|+y 2，|xy|=xy ，∴xy≥0.综上可得|x+y|=|x|+|y|成立的充要条件是xy≥0.【总结升华】充要条件的证明关键是根据定义确定哪是已知条件，哪是结论，然后搞清楚充分性是证明哪一个命题，必要性是证明哪一个命题.判断命题的充要关系有三种方法：（1）定义法；（2）等价法，即利用A B ⇒与B A ⌝⇒⌝；B A ⇒与A B ⌝⇒⌝；A B ⇔与A B ⌝⇔⌝的等价关系，对于条件或结论是不等关系（否定式）的命题，一般运用等价法.（3）利用集合间的包含关系判断，若A B ⊆，则A 是B 的充分条件或B 是A 的必要条件；若A=B ，则A 是B 的充要条件.举一反三：【变式1】已知a, b, c 都是实数，证明ac<0是关于x 的方程ax 2+bx+c=0有一个正根和一个负根的充要条件.【答案】（1）充分性:若ac<0，则Δ=b 2-4ac>0，方程ax 2+bx+c=0有两个相异实根，设为x 1, x 2, ∵ac<0, ∴x 1·x 2=ac <0，即x 1,x 2的符号相反，即方程有一个正根和一个负根. （2）必要性:若方程ax 2+bx+c=0有一个正根和一个负根，设为x 1,x 2,且x 1>0, x 2<0， 则x 1·x 2=ac <0，∴ac<0 综上可得ac<0是方程ax 2+bx+c=0有一个正根和一个负根的充要条件.【变式2】求关于x 的方程ax 2+2x+1=0至少有一个负的实根的充要条件.【答案】（1）a=0时适合.（2）当a≠0时，显然方程没有零根， 若方程有两异号的实根，则必须满足100440a a a ⎧⎪<⇒<⎨⎪∆=->⎩； 若方程有两个负的实根，则必须满足102001440a a aa ⎧>⎪⎪⎪-<⇒<≤⎨⎪∆=-≥⎪⎪⎩综上知，若方程至少有一个负的实根，则a≤1；反之，若a≤1，则方程至少有一个负的实根，因此，关于x 的方程ax 2+2x+1=0至少有一个负的实根的充要条件是a≤1类型三：充要条件的应用例4. 已知p ：A ＝{x ∈R |x 2＋ax ＋1≤0}，q ：B ＝{x ∈R |x 2－3x ＋2≤0}，若p 是q 的充分不必要条件，求实数a 的取值范围．【解析】B ＝{x ∈R |x 2－3x ＋2≤0}＝{x |1≤x ≤2}，∵p 是q 的充分不必要条件，∴p q ⇒，即A B ，可知A =∅或方程x 2＋ax ＋1＝0的两根要在区间[1,2]内∴Δ＝a 2－4<0或01224210110a a a ∆≥⎧⎪⎪≤-≤⎪⎨⎪++≥⎪++≥⎪⎩，得－2≤a ≤2. 【总结升华】解决这类参数的取值范围问题，应尽量运用集合法求解，即先化简集合A 、B ，再由它们的因果关系，得到A 与B 的包含关系，进而得到相关不等式组，解之即可.举一反三：【变式1】已知命题p ：1－c <x <1＋c (c >0)，命题q ：x >7或x <－1，并且p 是q 的既不充分又不必要条件，则c 的取值范围是________．【答案】0<c ≤2【解析】命题p 对应的集合A ＝{x |1－c <x <1＋c ，c >0}，同理，命题q 对应的集合B ＝{x |x >7或x <－1}．因为p 是q 的既不充分又不必要条件，所以A B ⋂=∅或A 不是B 的子集且B 不是A 的子集，所以1117c c -≥-⎧⎨+≤⎩，①或1117c c +≥-⎧⎨-≤⎩，②，解①得c ≤2，解②得c ≥－2，又c >0，综上所述得0<c ≤2.【变式2】已知221:|1|2,:210(0),3x p q x x m m --≤-+-≤>若p 是q 的充分不必要条件，求m 的取值范围.【答案】9m ≥【解析】由22210(0)x x m m -+-≤>解得11m x m -≤≤+ 又由1|1|23x --≤解得210x -≤≤ p 是q 的充分不必要条件，所以012,110m m m >⎧⎪-≤-⎨⎪+>⎩或012,110m m m >⎧⎪-<-⎨⎪+≥⎩解得9m ≥【巩固练习】一、选择题1．设U 为全集，A ，B 是集合，则“存在集合C 使得A ⊆C ，B ⊆∁U C ”是“A ∩B ＝φ”的( )A ．充分而不必要的条件B ．必要而不充分的条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 2.(2015 北京文)设a b r r ，是非零向量，“||||a b a b =r r r r g ”是“//a b r r ”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件3．设a ，b ∈R ，则“a ＋b ＞4”是“a ＞2且b ＞2”的( )A ．充分非必要条件B ． 必要非充分条件C ．充要条件D ．既非充分又非必要条件4．b ＝c ＝0是二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象经过原点的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5．（2016 四川理）已知直线a ，b 分别在两个不同的平面α，β内.则“直线a 和直线b 相交”是“平面α和平面β相交”的（A ）充分不必要条件（B ）必要不充分条件 （C ）充要条件（D ）既不充分也不必要条件 6. （2016 天津理）设{a n }是首项为正数的等比数列，公比为q ，则“q <0”是“对任意的正整数n ，a 2n −1+a 2n <0”的（ ）（A ）充要条件 （B ）充分而不必要条件（C ）必要而不充分条件 （D ）既不充分也不必要条件二、填空题7．若x ∈R ，则函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的值恒为正的充要条件是______，恒为负的充要条件是______．8．已知数列{a n }，那么“对任意的n ∈N ＋，点P n (n ，a n )，都在直线y ＝2x ＋1上”是“{a n }为等差数列”的________条件．9．用“充分不必要条件”，“必要不充分条件”，“充要条件”，“既不充分也不必要条件”填空：(1)“m ≠3”是“|m |≠3”的________；(2)“四边形ABCD 为平行四边形”是“AB ∥CD ”的________；(3)“a >b ，c >d ”是“a －c >b －d ”的________．10. 函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的图象关于y 轴对称的充要条件是________．三、解答题11．下列各题中，p 是q 的什么条件？(1)p ：x ＝1； q ：x －1(2)p ：－1≤x ≤5； q ：x ≥－1且x ≤5.(3)p ：三角形是等边三角形；q ：三角形是等腰三角形．12．(1)写出|x|<2的一个充分不必要条件；(2) 写出x>-1的一个必要不充分条件；(3) 写出x1>2的一个充要条件 13．已知p: x 2-8x-20>0, q: x 2-2x+1-a 2>0, 若p 是q 的充分而不必要条件，求正实数a 的取值范围.14．不等式x 2－2mx －1>0对一切1≤x ≤3都成立，求m 的取值范围．15．证明：方程ax 2＋bx ＋c ＝0有一根为1的充要条件是a ＋b ＋c ＝0.【答案与解析】1. 【答案】C ．【解析】由题意A ⊆C ，则∁U C ⊆∁U A ，当B ⊆∁U C ，可得“A∩B ＝∅”；若“A∩B ＝∅”能推出存在集合C 使得A ⊆C ，B ⊆∁U C ，∴U 为全集，A ，B 是集合，则“存在集合C 使得A ⊆C ，B ⊆∁U C”是“A∩B ＝∅”的充分必要的条件．故选：C ．2. 【答案】 A【解析】 ||||cos a b a b a b =<>r r r r r r g g ，，由已知得cos 1a b <>=r r ，，即0//a b a b <>=r r r r ，，．而当//a b r r 时，a b <>r r ，还可能是π，此时||||a b a b =-r r r r g ，故“||||a b a b =r r r r g ”是“//a b r r ”的充分而不必要条件．故答案为：A ．3. 【答案】B【解析】当a ＝5，b ＝0时，满足a ＋b ＞4，但a ＞2且b ＞2不成立，即充分性不成立， 若a ＞2且b ＞2，则必有a ＋b ＞4，即必要性成立，故“a ＋b ＞4”是“a ＞2且b ＞2”的必要不充分条件，故选：B ．4. 【答案】 A【解析】 若b ＝c ＝0，则二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c ＝ax 2经过原点，若二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 过原点，则c ＝0，故选A.5. 【答案】 A【解析】直线a 与直线b 相交,则,αβ一定相交,若,αβ相交,则a ,b 可能相交，也可能平行,故选A ．6. 【答案】 C【解析】 由题意得，22212(1)21210()0(1)0(,1)n n n n n a a a q q q q q ----+<⇔+<⇔+<⇔∈-∞-，故是必要不充分条件，故选C.7. 【答案】 a >0且b 2－4ac <0a <0且b 2－4ac <08. 【答案】 充分不必要【解析】 点P n (n ，a n )都在直线y ＝2x ＋1上，即a n ＝2n ＋1，∴{a n }为等差数列， 但是{a n }是等差数列却不一定就是a n ＝2n ＋1.9. 【答案】 (1)必要不充分条件(2)充分不必要条件(3)既不充分也不必要条件10．【答案】b ＝0【解析】f (x )关于y 轴对称⇔002b b a -=⇔=.11. 【解析】 (1)充分不必要条件当x ＝1时，x －1＝1x -成立；当x －1＝1x -时，x ＝1或x ＝2.(2)充要条件∵－1≤x ≤5⇔x ≥－1且x ≤5.(3)充分不必要条件∵等边三角形一定是等腰三角形，而等腰三角形不一定都是等边三角形．12. 【解析】(1)此题为开放题，只要写出{x|-2<x<2}的一个非空真子集即可，如x=0.(2) 仿(1) 只要写出一个包含{x|x>-1}的集合即可，如{x|x>-2}即x>-2.(3) 0<x<2113．【解析】解不等式x 2-8x-20>0，得p: A={x|x>10或x<-2}解不等式x 2-2x+1-a 2>0，得q: B={x|x>1+a 或x<1-a, a<0}依题意，p ⇒q 且q p, 说明A ÜB ， 于是有⎪⎩⎪⎨⎧-≥-≤+>211010a a a 且等号不同时成立，解得：0<a≤3,∴正实数a的取值范围是0<a≤314．【解析】令f(x)＝x2－2mx－1要使x2－2mx－1>0对一切1≤x≤3都成立，只需f(x)＝x2－2mx－1在[1,3]上的最小值大于0即可．（1）当m≤1时，f(x)在[1,3]上是增函数，f(x)min＝f(1)＝－2m>0，解得m<0，又m≤1，∴m<0.（2）当m≥3时，f(x)在[1,3]上是减函数，f(x)min＝f(3)＝8－6m>0，解得43m ，又m≥3，∴此时不成立．（3）当1<m<3时，f(x)min＝f(m)＝－m2－1＝－(m2＋1)>0不成立，综上所述，m的取值范围为m<0.15. 【解析】证明：(1)充分性：∵a＋b＋c＝0，∴c＝－a－b，∴ax2＋bx＋c＝ax2＋bx－a－b＝0，∴a(x－1)(x＋1)＋b(x－1)＝0，∴(x－1)[a(x＋1)＋b]＝0，∴x＝1或a(x＋1)＋b＝0，∴x＝1是方程ax2＋bx＋c＝0的一个根．(2)必要性：∵x＝1是方程ax2＋bx＋c＝0的一个根，∴a＋b＋c＝0.综上(1)(2)命题得证．。
高中数学关于充要条件的概念
高中数学关于充要条件的概念高二数学中学到的充要条件是证明题的一种常考类型，下面店铺的小编将为大家带来高中数学关于充要条件的概念的介绍，希望能够帮助到大家。
高中数学关于充要条件的概念介绍(1)先看“充分条件和必要条件”当命题“若p则q”为真时，可表示为p => q，则我们称p为q 的充分条件，q是p的必要条件。
这里由p => q，得出p为q的充分条件是容易理解的。
但为什么说q是p的必要条件呢?事实上，与“p => q”等价的逆否命题是“非q => 非p”。
它的意思是：若q不成立，则p一定不成立。
这就是说，q对于p是必不可少的，因而是必要的。
(2)再看“充要条件”若有p =>q，同时q => p,则p既是q的充分条件，又是必要条件。
简称为p是q的充要条件。
记作p<=>q回忆一下初中学过的“等价于”这一概念;如果从命题A成立可以推出命题B成立，反过来，从命题B成立也可以推出命题A成立，那么称A等价于B，记作A<=>B。
“充要条件”的含义，实际上与“等价于”的含义完全相同。
也就是说，如果命题A等价于命题B，那么我们说命题A成立的充要条件是命题B成立;同时有命题B成立的充要条件是命题A成立。
(3)定义与充要条件数学中，只有A是B的充要条件时，才用A去定义B，因此每个定义中都包含一个充要条件。
如“两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形”这一定义就是说，一个四边形为平行四边形的充要条件是它的两组对边分别平行。
显然，一个定理如果有逆定理，那么定理、逆定理合在一起，可以用一个含有充要条件的语句来表示。
“充要条件”有时还可以改用“当且仅当”来表示，其中“当”表示“充分”。
“仅当”表示“必要”。
(4)一般地，定义中的条件都是充要条件，判定定理中的条件都是充分条件，性质定理中的“结论”都可作为必要条件。
高中数学数列的概念知识点1.数列的定义按一定次序排列的一列数叫做数列，数列中的每一个数都叫做数列的项.(1)从数列定义可以看出，数列的数是按一定次序排列的，如果组成数列的数相同而排列次序不同，那么它们就不是同一数列，例如数列1，2，3，4，5与数列5，4，3，2，1是不同的数列.(2)在数列的定义中并没有规定数列中的数必须不同，因此，在同一数列中可以出现多个相同的数字，如：-1的1次幂，2次幂，3次幂，4次幂，…构成数列：-1，1，-1，1，….(4)数列的项与它的项数是不同的，数列的项是指这个数列中的某一个确定的数，是一个函数值，也就是相当于f(n)，而项数是指这个数在数列中的位置序号，它是自变量的值，相当于f(n)中的n.(5)次序对于数列来讲是十分重要的，有几个相同的数，由于它们的排列次序不同，构成的数列就不是一个相同的数列，显然数列与数集有本质的区别.如：2，3，4，5，6这5个数按不同的次序排列时，就会得到不同的数列，而{2，3，4，5，6}中元素不论按怎样的次序排列都是同一个集合.2.数列的分类(1)根据数列的项数多少可以对数列进行分类，分为有穷数列和无穷数列.在写数列时，对于有穷数列，要把末项写出，例如数列1，3，5，7，9，…，2n-1表示有穷数列，如果把数列写成1，3，5，7，9，…或1，3，5，7，9，…，2n-1，…，它就表示无穷数列.(2)按照项与项之间的大小关系或数列的增减性可以分为以下几类：递增数列、递减数列、摆动数列、常数列.3.数列的通项公式数列是按一定次序排列的一列数，其内涵的本质属性是确定这一列数的规律，这个规律通常是用式子f(n)来表示的，这两个通项公式形式上虽然不同，但表示同一个数列，正像每个函数关系不都能用解析式表达出来一样，也不是每个数列都能写出它的通项公式;有的数列虽然有通项公式，但在形式上，又不一定是唯一的，仅仅知道一个数列前面的有限项，无其他说明，数列是不能确定的，通项公式更非唯一.如：数列1，2，3，4，…，由公式写出的后续项就不一样了，因此，通项公式的归纳不仅要看它的前几项，更要依据数列的构成规律，多观察分析，真正找到数列的内在规律，由数列前几项写出其通项公式，没有通用的方法可循.再强调对于数列通项公式的理解注意以下几点：(1)数列的通项公式实际上是一个以正整数集N*或它的有限子集{1，2，…，n}为定义域的函数的表达式.(2)如果知道了数列的通项公式，那么依次用1，2，3，…去替代公式中的n就可以求出这个数列的各项;同时，用数列的通项公式也可判断某数是否是某数列中的一项，如果是的话，是第几项.(3)如所有的函数关系不一定都有解析式一样，并不是所有的数列都有通项公式.如2的不足近似值，精确到1，0.1，0.01，0.001，0.000 1，…所构成的数列1，1.4，1.41，1.414，1.414 2，…就没有通项公式.(4)有的数列的通项公式，形式上不一定是唯一的，正如举例中的：(5)有些数列，只给出它的前几项，并没有给出它的构成规律，那么仅由前面几项归纳出的数列通项公式并不唯一.4.数列的图象对于数列4，5，6，7，8，9，10每一项的序号与这一项有下面的对应关系：序号：1 2 3 4 5 6 7项： 4 5 6 7 8 9 10这就是说，上面可以看成是一个序号集合到另一个数的集合的映射.因此，从映射、函数的观点看，数列可以看作是一个定义域为正整集N*(或它的有限子集{1，2，3，…，n})的函数，当自变量从小到大依次取值时，对应的一列函数值.这里的函数是一种特殊的函数，它的自变量只能取正整数.由于数列的项是函数值，序号是自变量，数列的通项公式也就是相应函数和解析式.数列是一种特殊的函数，数列是可以用图象直观地表示的.数列用图象来表示，可以以序号为横坐标，相应的项为纵坐标，描点画图来表示一个数列，在画图时，为方便起见，在平面直角坐标系两条坐标轴上取的单位长度可以不同，从数列的图象表示可以直观地看出数列的变化情况，但不精确.把数列与函数比较，数列是特殊的函数，特殊在定义域是正整数集或由以1为首的有限连续正整数组成的集合，其图象是无限个或有限个孤立的点.5.递推数列一堆钢管，共堆放了七层，自上而下各层的钢管数构成一个数列：4，5，6，7，8，9，10.①数列①还可以用如下方法给出：自上而下第一层的钢管数是4，以下每一层的钢管数都比上层的钢管数多1，。
什么是充分条件？什么是必要条件？什么是充要条件？
什么是充分条件什么是必要条件什么是充要条件假设A是条件，B是结论由A可以推出B~由B不可以推出A~~则A是B的充分不必要条件由A不可以推出B~由B可以推出A~~则A是B的必要不充分条件由A不可以推出B~由B不可以推出A~~则A是B的不充分不必要条件由A可以推出B~由B可以推出A~~则A是B的充要条件（充分且必要条件）简单一点就是：由条件能推出结论，但由结论推不出这个条件，这个条件就是充分条件如果能由结论推出条件，但由条件推不出结论,这个条件为必要条件如果既能由结论推出条件，又能有条件推出结论,这个条件为充要条件·定义：1.充分条件：假如A命题成立，则B命题必然成立。
那么我们把A命题叫做B命题的充分条件。
2.必要条件：假如A命题不成立，则B命题一定不成立，那么我们把A命题叫做B命题的必要条件。
3.充要条件：假如A命题成立，则B命题必然成立，且假如A命题不成立则B命题一定不成立。
那么A命题就叫做B命题的充分必要条件，简称充要条件。
定义：1.充分条件，如果A发生必然导致B发生，则A为B的充分条件。
2.必要条件，如果A不发生必然导致B不发生，则A为B的必要条件。
3.如果A为B的充分条件，且为B的必要条件，则A为B的充分必要条件,简称充要条件。
（1.充分条件：有甲这个条件一定会推出乙这个结果，但有乙这个结果不一定是因为有甲这唯一一个条件。
关联词是：只要……就…… , 甲→乙, 是“顺推”的结果。
只要有甲这个条件就必然有乙这个结果。
是甲“包含”乙的关系。
例如：只要天下雨，地就会湿。
分析：有“下雨”这个条件就一定有“地湿”这个结果，但“地湿”这个结果不一定就是“天下雨”造成的，也许还可能有其他的条件原因，如洒水车洒的、别人喷的等等。
2.必要条件：有甲这个条件不一定能推出乙这个结果，但乙这个结果一定要有甲这个条件。
有乙这个结果必须要有甲这个条件满足。
甲&丙&丁=1 ←乙，是“逆推”的关系。
充要条件
• (3)利用集合间的包含关系进行判断：如果 条件p和结论q都是集合，那么若p⊆q，则p 是q的充分条件；若p⊇q，则p是q的必要条 件；若p＝q，则p是q的充要条件． • 4．充要条件的传递性 • 若A⇒B，B⇒C，C⇒D，则A⇒D，即A是D 的充分条件，利用这一结论可研究多个命 题之间的充要关系．
• (3) 根据线面垂直定义知， l ⊥ α ⇒ l ⊥ m 且 l⊥n， • 当m∥n时，l⊥m且l⊥n⇒/ l⊥α，故选A.
• 在下列四个结论中，正确的有 ( ) • (1)x2>4是x3<－8的必要不充分条件； • (2) 在△ ABC 中，“ AB 2 ＋ AC 2 ＝ BC 2 ”是 “△ABC为直角三角形”的充要条件； • (3)若a，b∈R，则“|a|＋|b|＝0”是“a，b 全不为0”的充要条件； • (4)若a，b∈R，则“|a|＋|b|≠0”是“a，b 不全为0”的充要条件；
• • • •
A．(1)(2) B．(2)(3) C．(1)(3) D．(1)(4) [答案] D [ 解析 ] 对于结论 (1) ，由 x 3 < － 8 ⇒ x < － 2⇒x2>4，但是x2>4⇒x<－2或x>2⇒x3<－8 或x3>8，不一定有x3<－8，故(1)正确；对 于结论 (4) ，由 | a | ＋ | b | ≠ 0 ⇒ a ， b 不全为 0 ， 反之，由 a ， b 不全为 0 ⇒ | a | ＋ | b | ≠ 0 ，故 (4) 正确.
课本例4：已知：圆O的半径为r,圆心O到直线l的距离为d, 求证：d=r是直线l与圆O相切的充要条件。
证明： （1）充分性：作OP l于点P,则OP=d.若d=r,则点P在圆O上， 在直线l上任取一点Q(异于点P)，连接OQ.在直角三角形OPQ中 OQ>OP=r.所以，除点P外直线l上的点都在圆O的外部，即直线 l与圆O仅有一个公共点P，所以直线与圆相切。
充分条件和必要条件的判断
充分条件和必要条件的判断一、必要和充分条件怎么判断充分条件：如果A能推出B，那么A就是B的充分条件。
其中A 为B的子集，即属于A的一定属于B，而属于B的不一定属于A，具体的说若存在元素属于B的不属于A，则A为B的真子集；若属于B 的也属于A，则A与B相等。
必要条件：必要条件是数学中的一种关系形式。
如果没有A，则必然没有B；如果有A而未必有B，则A就是B的必要条件，记作B→A，读作“B含于A”。
数学上简单来说就是如果由结果B能推导出条件A，我们就说A是B的必要条件。
二、充分条件和必要条件的关系1、充分条件：如果条件A是结论B的充分条件：A与其他条件是并连关系，即A、C、D….中任意一个存在都可以使得B成立（就像是个人英雄主义）。
2、必要条件：条件A是结论B的必要条件：A与其他条件是串联关系，即条件A必须存在，且条件C、D….也全部存在才可能导致B结论。
（团结的力量）。
3、充分必要条件，又称充要条件，是数学中的一种关系形式，即如果能从命题p推出命题q，而且也能从命题q推出命题p，则称p是q的充分必要条件，且q也是p的充分必要条件。
三、充分条件和必要条件哪个范围大一些充分条件大，充分条件：有A这个条件一定能推出B这个结果，但是有B这个结果不一定能推出A这个唯一条件。
必要条件：有B这个结果一定能推出A这个条件，但是A这个条件不能推出B 这个结果。
充要条件”包含了“充分条件”和“必要条件”，范围比两者都要更大，而“充分条件”和“必要条件”则包含了小部分条件不是完整的。
相互推理不同：“充分条件”不能推理出“必要条件”和“充要条件”；“必要条件”不能推理出“充分条件”和“充要条件”；“充要条件”可以推理出一定满足“充分条件”和“必要条件”。
充要条件
p）
x 0 x2 0
2、如果命题“若p则q”为假，则记作p q。
例:“若x2>0,则x>0”是一个假命题，可写成
x
20Βιβλιοθήκη x 0二.新课讲解例1、判断下列命题是真命题还是假命题，并研
究其逆命题的真假，用推出符号表示结论。
（1）若x=y，则x2=y2。 （2）有两角相等的三角形是等腰三角形。 （3）ax2+ax+1>0的解集为R，则0<a<4。 （4）若a2>b2，则a>b。 答：(1) p (3) p
q，相当于P=Q ，即
例2，判断下列各组命题中，p是q成立的什么条件, q是p 成立的什么条件? p q （1） x2>1 x<-1 （2） |x-2|<3 -x2+4x+5>0 （3） xy≠0 x≠0或y≠0
解：（1）p （3）p
q，q q，q
p p
（2）p
q
修正p或q，使两者成为充要条件。
二、新课
（二）充要条件
1、定义1：如果已知p 定义2：如果已知q 定义3：如果既有p q，则说p是q的充分条件。 p，则说p是q的必要条件。 q，又有q p，就记作 p q，
则说p是q的充要条件。
2、从集合角度理解： ①p ②q ③p q，相当于P Q ，即 p，相当于Q P ，即 P Q 或 P、Q Q P 或 P、Q P、Q 有它就行 缺它不行 同一事物
是笑意. "呵呵,不咋大的白,别高兴の太早,那个光头估计没死,不过肯定受伤了,最少要在神城躺几个月." 鹿老望着地上の深坑,微微有些惋惜,他身子变大了,力量变强了,移动速度也增加了.但是…反应和攻击速度却弱了一丝,不能将这光头留下,有些遗憾.不过片刻之后,他却笑了起 来："保命传送符！嘿嘿,这次要让他心疼得割了几块肉了,一些传送符可是最少值十万神石！他卖灵魂元丹最少要卖数百枚！哈啥,走了,回去！这次估计再也没人敢来紫岛骚扰了,俺们可以安静の修炼了…" 本书来自 聘熟 当前 第肆叁肆章 又见菊花盛开！ 神城今日再次亮起一条七 彩神光,神城の子民在几年之后再次见到了久违了の神迹.请大家检索（度#扣￥网）看最全！更新最快の但是这次却没有引起神城子民の惊讶和膜拜,反而许多人露出轻蔑嗤之以鼻の表情. 这段时候来,神迹产生の太多了,不说金角神主,不说那张巨脸.就说昨天在妖族上方亮起の那道骇 人听闻の七彩霞光和那响了半个时辰の雷鸣,都比神城这神神迹威猛恢弘了无数倍. 再说了,许多人此刻都对,他们信仰の神主感到深深の质疑.往日守护着他们,战无不胜の神主,在神城被破の时候在哪里?他们の子女莫名消失の时候,他在哪里?神城四卫用铁血手段镇压神城子民の时候, 他又在哪里? 神城中唯一有反应の就是屠神卫焚神卫和刚刚上位の新弑神卫,以及神城の使者. 此刻屠神卫和焚神卫,正在屠仙楼教新上位の弑神卫合击战阵,突然见神主阁上方亮起一条七彩霞光,纷纷大惊.惊恐の对视一眼,三人匆匆の朝神主阁赶去. 神主去紫岛他们是知道了,只是怎 么去了半天却突然回来了?回来很正常,但是他不是瞬移回来,而是传送过来の,那就不正常了. 当她们匆忙赶到神主阁の时候,刚走到门口,却看到让她们无比震惊の一幕. 神主阁院子内,神主正宛如狗吃屎一样,狼狈の趴在地上,浑身都是血迹,正不断の颤抖着,身体附近还闪耀着七彩の 霞光.他の一身大红袍子,却全部化成了焦炭,独留下上身几块碎步正在那,不断の冒着青烟. 全身皮肤不少地方都是一片焦黑和血迹,最奇怪の是…他两瓣雪白の屁股却没有半点受伤,此刻正翘着面对着大门微微颤抖扭动着,一朵褐色の菊花正在那不断の收缩着,宛如菊花正是悄然の盛开 … "神主,您,您怎么了?" 屠神卫和焚神卫刚踏到门前,看到这一幕,没有半分犹豫,立刻转身朝门两旁闪去.而那名新上位の弑神卫,一路上却是走在最前面,一看这情况,连忙面带慌色,急忙冲了过去就要扶起神主,似乎要表示他对神主の忠诚和关切之心. "轰！" 屠神卫和焚神卫,一闪出 大门,立刻跪下地面,闭着眼睛.果然片刻之后,传来一阵巨大の响声,以及弑神卫の惨叫声.两人更加哆嗦了,惶恐の对着院子磕头起来. "将所有の暗卫…全部派出去,给俺将紫岛围住,一旦发现有人出来,立刻捏碎传音玉符…给俺送一百人来,全部要妖族少女.再选一名新の弑神卫…记住, 刚才你呀们什么都没看见,否则…死！" 片刻之后,屠虚弱の声音传了出来,屠神卫和焚神卫两人如临大赦,宛如两只丧家之犬一样,慌忙の爬起来,一溜烟跑没影了. 良久之后,院子内又传来一阵咬牙切齿の怨毒声："你呀们给俺等着,等那个女人回神界,俺要你呀们全都死.一旦俺得到神 剑,整个炽火位面の人都要死,老女人,金角神族,俺一些都不放过,全部都要死…" …… "琤琤…" 那日鹿老大发神威之后,紫岛再次恢复了平静,月倾城和夜轻语也终于可以安心の在紫岛修炼了.夜轻语每日听月倾城弹半天琴,而后在紫岛在不咋大的白の带领下游玩半天,晚上则回到不咋 大的院修炼,日子过得惬意无比. 鹿老也索性在紫岛修炼了,对于他这种境界来说,多修炼几年和少修炼几年区别不大,反而每日在月倾城和夜轻语恭敬の伺候下,好好享受了一把天伦之乐. 春来春去,花开花落！ 眨眼间,一晃又是一年过去了. 期间夜轻舞出来了一次,不到一年半の时候 就突破了帝王境,让月倾城和夜轻语非常高兴,她在紫岛休息了几天之后,却又钻进了逍遥阁,苦练起来. 而白重炙却已经闭关了一年半の时候了,没有半点消息传来.他半年前突然启动了练功房の禁制,并且同时隔绝了和不咋大的白の灵魂联系,就连鹿老和不咋大的白都不能探到他の任何 消息,这点也让几人为之担心起来.但是又恐怕他正在闭关感悟玄奥の紧要关头,所以几人都没敢去打扰他. 白重炙の确在闭关,但是却没有感悟玄奥. 一年前,他无意将看到了那个头顶那双眼睛内の那个女人之后,便一直在想办法,不断の用灵识去靠近她,然后…拥有她！得到那个大机 缘！ "啊！" 逍遥阁内,一条黑白色の身影,不停の惨叫着,不断の翻滚着.一会在地上滚动,一会突然弹起而后猛烈の撞向墙上,一会头和全身不断の在地面上磨擦…… 身体上都是血液,衣服磨破了,皮磨掉了,肉裂开了,露出白森森の骨头.但是他身体此时却被一阵柔和の白色光芒笼罩着, 血一流出来就又被止住,皮肉被磨破了,又慢慢长出皮肉,而后慢慢愈合,如此不断の反复着… 一些不咋大的时后,白重炙终于停止了翻滚,一张冷峻の脸,半张脸都是血迹,脸上の肌肉还在不时の抽动着.一双眼睛深深の陷了进去,紧紧の闭着,胸膛剧烈の起伏,长长の呼吸着,不时还痛苦の 身影一声. "你呀妹の,差一点,就差一点啊,啊！啊！啊！" 片刻之后,白重炙突然睁开了眼睛,同时张大嘴巴愤怒の大吼起来,一只手无力の抬起,胡乱の擦拭了一下脸上凝固の鲜血.另一只手却撑着地面,艰难の坐了起来. 而后他在逍遥戒上一抹,从藏宝阁内取出一身衣服,将身体上一身 血迹破烂不堪の衣服换下.又取出几个灵果,慢慢の吃了起来. 一年时候过去了,他整个人整整瘦了一圈,除了眼睛内依旧闪耀の炯炯精光,和往常一样,整个人看起来更加弱不禁风,羸弱无比. 吃了数个灵果,补充身体内の能量,而后他又开始盘坐修炼起来,将战气在身体内运转了十二个周 天,将身体内の伤势完全修复好.这才摊开身子,在地上平躺着休息起来. "就差一点,下次俺就能看清楚你呀了,到时候…可别让俺失望啊！" 白重炙呢喃了一声,就这样沉沉睡去,这一觉足足睡了五天五夜.当他再次醒来,从地面弹跳而起の时候,一张冷峻の脸却尽是の兴奋和期待. 他相 信,等会再用灵识去探查,他一定可以将那个女人看清楚,一定能看清楚那个让自己整整痛苦了一年の女人…那个lu~体の女人！ …… 【作者题外话】：第二天爆发,明天,看情况吧… 当前 第肆叁伍章 中品神丹 "咻！" 安静の夜里,天空突然落下一条流星,只是这道流星却不似往常の 流星般是单一の亮白色或者是白黄色,这道流星却有五彩光芒闪耀,并且速度奇快,在大陆の天空一闪而过,最后直接没入了高高の神山上.请大家检索（品&书￥网）看最全！更新最快の 神城时隔一年之后,在今夜再次降下神迹,当然这次同样没有人感到惊讶和膜拜.反而有更多の人露出 鄙夷の表情. 屠神卫和焚神卫虽然微微错愕,但是却没有赶去神主阁,一年前の那两瓣雪白の屁股…可是让她们记忆犹新啊. "桀桀！果然不出俺所料啊…" 片刻之后,神主屠尖锐の笑声,从神主阁传来,声音很是肆意和张狂.此刻他正在站在院子の中央,手拿着一枚焕发着五色神彩上面刻 有繁琐符号の石头.这是神界专用の传讯符,也就是刚才の那道流星. 他是神界の人,很清楚神界一千年一次の府主挑战赛,一年前那个骑着白马の英俊男人降临炽火大陆,他就隐隐猜到了一些.而后他传讯回族中,现在终于得到了族中の准确答案了. "桀桀！" 屠手握着泛着幽光の石头, 抬头望着北方,双瞳亮起一条血红の光芒,最后开始放声大笑起来.尖锐刺耳の笑声在神城内飘荡,将神城子民惊得一片毛骨悚然. …… "大人,看来你呀要回神界の事情,已经被屠打探清楚了！" 暗黑城堡
充分条件和必要条件(含区分和例题)
充分条件和必要条件解释：如果有事物情况A，则必然有事物情况B；如果没有事物情况A，则必然没有事物情况B，A就是B的充分必要条件（简称：充要条件）。
简单地说，满足A，必然B；不满足A，必然不B，则A是B的充分必要条件。
（A可以推导出B，且B也可以推导出A）例如： 1. A=“三角形等边”；B=“三角形等角”。
2. A=“某人触犯了刑律”；B=“应当依照刑法对他处以刑罚”。
3. A=“付了足够的钱”；B=“能买到商店里的东西”。
例子中A都是B的充分必要条件：其一、A必然导致B；其二，A是B发生必需的。
区分：假设A是条件，B是结论由A可以推出B~由B可以推出A~~则A是B的充要条件（充分且必要条件）由A可以推出B~由B不可以推出A~~则A是B的充分不必要条件由A不可以推出B~由B可以推出A~~则A是B的必要不充分条件由A不可以推出B~由B不可以推出A~~则A是B的不充分不必要条件简单一点就是：由条件能推出结论，但由结论推不出这个条件，这个条件就是充分条件如果能由结论推出条件，但由条件推不出结论。
此条件为必要条件如果既能由结论推出条件，又能有条件推出结论。
此条件为充要条件例子：1.充分条件：由条件a推出条件b，但是条件b并不一定能推出条件a，天下雨了，地面一定湿，但是地面湿不一定是下雨造成的。
2.必要条件：由后一个条件推出前一个条件，但是前一个条件并一定能推出后一个条件。
我们把前面一个例子倒过来：地面湿了，天下雨了。
我这里在简单说下哲学上的充分条件和必要条件1. 充分条件是指根据提供的现有条件可以直接判断事物的运行发展结果。
充分条件是事物运行发展的必然性条件，体现必然性的哲学内涵。
如父亲和儿子的关系属于亲情关系吗？答必然属于。
2. 必要性条件。
事物的运行发展有其规律性，必要性条件是指一些外在或内在的条件符合该事物的运行规律的要求，但不能推动事物规律的最终运行。
如亲情关系和父子关系，亲情关系符合父子关系的一种现象表达，但不能推倒出亲情关系属于父子关系。
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第四组题
探讨下列生活中的常用语本身是否存 在充要关系，如果有请找出。 范例：少壮不努力，老大徒伤悲
p ：少壮不努力； q：老大徒伤悲
（1）有志者事竟成 （2）不入虎穴，焉得虎子 （3）A single spark can start a prairie fire. 星星之火，可以燎原。 （4）名师出高徒
3、判别技巧： （1）简化命题。 （2）否定命题时举反例。 （3）利用等集合的角度来理解充分条
件、必要条件和充要条件？
2015-3-10
３.补充作业１：（目的在于巩固知识，发挥“同 化”作用，难度大于前2题作业）
在下列各命题中，哪些是“x、y都不为零”的 必要不充分条件，哪些是“x、y都是零”的充要条 2 2 件？ （1） x y 0； （2） x y 0 ；（3） xy 0；
2015-3-10
知识小结
1、定义： (1)若p (2)若p (3)若p q，则p是q的充分条件。（p可能会多余浪费） q,则q是p的必要条件（p可能还不足以使q成立） q,则p是q的充要条件。（p不多不少，恰到好处）
2、判别步骤：
（２）判断p （3）根据定义下结论。
（1）找出p、q；
q与q
p的真假。
2015-3-10
第二组题
（2）写出x=1的一个必要不充分条件。
特点：答案不唯一。 目的：加强学生思维的灵活性、分析问题的深刻性。
2015-3-10
第三组题
请同学们分成四个小组,分别编写： 充分非必要条件、必要非充分条件、充 要条件和非充分非必要条件四种类型的 题目。
分组编题
展示讨论
纠偏纠错
2015-3-10
充要条件
2015-3-10
事例一
提问：鱼非常需要水，没了水，鱼就 无法生存，但只有水，够吗？ q:鱼能生存
引导分析: p:有水
2015-3-10
事例二：
有一位母亲要给女儿做一 件衬衫，母亲带女儿去商店买 布，母亲问营业员：“要做一 件衬衫，应该买多少布料？” 营业员回答：“买三米足够 了！”
p
q
找 p、 q
2015-3-10
判断p q，与 q p的真假
根据定义 下结论
第二组题：
（1）下列条件中哪些是a+b>0的充分不必要条件？
① a>0，b>0 ② a<0,b<0 ③ a>0，b<0且|a|>|b| ④ a=3,b=-2 ⑤ a>-b 特点：先给多个p，让学生进行选择， 通过选择，感知p的不唯一性。
（4）
x 2 y 2 0 ； （5 ） xy 0 ；
（6）x
2
y2 0 ；
2015-3-10
引导分析：
p:有3米布料
q:做一件衬衫
2015-3-10
定义:
1. 若p 2. 若q 3. 若p
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q,则p是q的充分条件. p,则p是q的必要条件. q,则p是q的充要条件.
例题：
利用定义解决问题,并寻找判断方法.
第一组题：
目的
（1）“a>0，b>0”是“ab>0”的什么条件？ （答：充分不必要条件） q p （2）“四边形为平行四边形”是“这个四边形为菱形”的什么 q （答：必要不充分条件） 条件？ p （3）在 ABC中，|BC|=|AC|是 A= B的什么条件？ （答：充要条件） （4）“ a2>b2 ”是“ a>b ”的什么条件？ （答：非充分非必要条件） p q