谱线宽度、展宽

0
∞
− t 2
γ
e j 2π (ν 0 −ν )t dt (1 − 6 − 8)
=
γ
2
E0 − j 2π (ν 0 −ν )
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6
频率在ν ~ ν + dν 间的光强： I (ν )dν ∝ E (ν ) dν = E (ν ) E (ν )∗ dν
2
∴ I (ν ) ∝
γ
2
E0 − j 2π (ν 0 −ν )
∴ 简并度 = 2S + 1 = 1 ∴ J = L+S = 2 ∴ 原子的状态符号为： 1s3d D2
1
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（2） 两电子自旋方向相同 1 1 S = s1 + s2 = + = 1 2 2 L = l1 + l2 = 0 + 2 = 2 ∴ 简并度 = 2S + 1 = 3 ∴ J = L + S、L + S − 1、.... L − S = 3、、 21 ∴ 原子的状态符号为： 1s3d 3 D3 、 3d 3 D2、 3d 3 D1 1s 1s
§1-6 谱线形状和宽度
一、谱线加宽与线型函数 （1） 原子能级跃迁产生光子的能量为： hν = E2 − E1 E2 − E1 光波频率： ν = h 谱线应为线光谱 实际谱线总是有一定的宽度
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为单一频率
谱线加宽的原因：测不准原理 ∆E ⋅ ∆t ≥ h 某一时刻，粒子所处的能级有一定的宽度∆E ∆E2 + ∆E1 ∆ν = ν 1 −ν 2 = h 导致谱线加宽 ——自然加宽 自然加宽的谱线 宽度记为∆ν N
1
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自然加宽的线型函数为：
γ 1 g (ν ) = 2 2 4π γ 2 + (ν −ν 0 ) 4π
这种函数称为洛仑兹函数 当ν = ν 0时，g (ν )取最大值 g max = 4
γ
10
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1 谱线宽度：峰值降到 大小处所对应的波长范围。 2 自然加宽谱线宽度＝右侧半峰值波长－左侧半峰值波长 1 1 2 γ ′) = 2 g (ν = g max = 2 γ 4π γ 2 2 + (ν ′ −ν 0 ) 4π ⇒ ⇒ ⇒
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那么，单位时间内，上能级E2上粒子数随时间的变化率为： dn21 = ∫ n2W21 (ν )dν = ∫ n2 B21 g (ν )ω (ν )dν dt −∞ −∞ = n2 B21 ∫ g (ν )ω (ν )dν
−∞ +∞ +∞ +∞
dn21 结论： 不再简单等于n2 B21ω (ν ) dt
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4
二、自然加宽的线型函数的推导 设t = 0时刻 t时刻 E2能级上的粒子数为n20 n2 (t ) = n20 e
− A21t
自发辐射光强为： I (t ) = hν 0 A21n2(t )=hν 0 A21n20 e − A21t 光的电场强度： E (t ) = E0 e
− t 2
∴ ∴
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100 Φ e (λ ) = ≈ 0.29W 683 × 0.5 Qe = Φ eλ t = 0.29 × 60 = 17.4 J
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6、温度为2856K的溴钨灯，灯丝面积为2mm×4mm （视为黑体），求该辐射源的M e (T )、Le、Φ e、I e。 在30cm处，一垂直于光传播方向放置的平面上的 辐射照度是多少？
γ
e
j 2πν 0t
γ 为衰减因子
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光强I (t ) ∝ E (t ) = E
2
2
∴ ⇒
hν 0 A21n20 e − A21t ∝ E02 e −γ t
γ = A21
E (ν ) = ∫ E (t ) e − j 2πν t dt
0 ∞
根据傅立叶变换，电磁波的频谱为：
= ∫ E0 e
−∞ +∞ +∞
= n2 B21ω (ν 0 ) 同理： dn12 = n1 B12ω (ν 0 ) dt
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受激跃迁几率： W21 = B21ω (ν 0 ) W12 = B12ω (ν 0 ) -----结果同黑体辐射场（连续辐射场） 意义： 用连续谱的辐射光照射原子系统，总有与原子 系统的频率相符合辐射场，从而对原子系统进行激 励、泵浦，但辐射场的利用率比较低，大部分辐射 场都没有用上。
γ2 γ = + (ν ′ −ν 0 ) 2 8π 2 4π γ2 = (ν ′ −ν 0 ) 2 16π 2 γ γ ′ −ν 0 = ± ′ =ν 0 ± ν ⇒ ν 4π 4π γ ∴ 光谱宽度为：∆ν N = 2π
2
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三、谱线加宽对原子与辐射场相互作用的影响 （1） 自发辐射情况 高能级E2上的粒子数n2随时间的变化关系为： dn21 = ∫ n2 A21 (ν )dν dt 自发辐射 −∞ = n2 ∫ A21 (ν )dν
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§1-7
均匀加宽和非均匀加宽
一、均匀加宽 定义：在这类加宽中，每一个发光粒子所发的光对谱线 的任一频率都有贡献。 （1） 自然加宽：粒子自发辐射过程中不可避免的增宽效应
γ 1 g (ν ) = 2 4π γ 2 + (ν −ν 0 ) 2 4π ∆ν N 1 = 2π ∆ν N 2 + (ν −ν 0 ) 2
dn12 = n1 B12 g (ν )ω dt 在频率ν 的单色辐射场的作用下， W21 = B21 g (ν )ω W12 = B12 g (ν )ω
受激跃迁几率为：
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物理意义： 由于谱线的加宽，能够与原子相互作用的光的频率不一定严格等 于原子发光的中心频率（ν 0），只要在不偏离中心频率太大的范围内， 都可以产生受激跃迁。只是在ν = ν 0时跃迁几率最大，偏离ν 0时，跃迁几 率会变小。（ν =ν 0时跃迁几率最大）
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作业解答
1、推导磁场在无源区均匀极化介质中的波动方程。 2、何为态密度，导出它与光波频率υ的函数关系。
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1、一个电子处在1s态，另一个电子处在3d态， 请写出该原子的状态符号。 解：（1） 两电子自旋方向相反 1 1 S = s1 − s2 = − = 0 2 2 L = l1 + l2 = 0 + 2 = 2
2
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（2） 碰撞加宽 a、气体分子间的碰撞、气体分子与容器的碰撞 跃迁时间∆t变小 碰撞 ⇒ 跃迁过程中断 ⇒ ⇒ ∆E增大，能级变宽 ∆E ⋅ ∆t ≥ h b、晶体中原子与相邻原子间的耦合作用，可认为是碰撞 碰撞加宽的线型函数g L (ν ) ∆ν L 1 g L (ν ) = 2π ∆ν L 2 + (ν −ν 0 ) 2 2 在气压不太高，温度不太低时，∆ν L与气压成正比 ∆ν L = α p
2
γ
2
E0 + j 2π (ν 0 −ν )
= E0
1
γ2
4
+ 4π 2 (ν 0 −ν ) 2
E0 2 1 = 2 4π γ 2 + (ν −ν 0 ) 2 ⇐ 改变一下顺序 4π
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由g(ν )的定义： I (ν ) 1 E0 2 1 g (ν ) = ∝ 2 2 I0 I 0 4π γ + (ν −ν 0 ) 2 4π E0 2 令 2 = A为待定常数 4π I 0 g (ν ) = A γ 2 + (ν −ν 0 ) 4π
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（1） 原子与准单色场(线宽很窄)作用 辐射场的中心频率为ν ，光谱宽度为∆ν ′, 并且∆ν ′ dn21 = n2 B21 ∫ g (ν )ω (ν )dν = n2 B21 g (ν )ω dt −∞
+∞
∆ν （原子能级
的光谱宽度）。在此范围内，线型函数g (ν )可看成常数。 则： 同理：
1 ∫ g (ν )dν = I 0 −∞
∫ I (ν )dν
0
I0 = =1 I0
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（3） 总自发辐射功率 I 0 = n2 hν 0 A21 ∴ I (ν ) = I 0g(ν ) = n2 hν 0 A21g(ν ) 令A21(ν )=A21g(ν ),表示总自发跃迁几率A21中 属于频率ν 处单位频率内的自发跃迁几率 I (ν ) = n2 hν 0 A21(ν ) A21(ν )也可理解为跃迁几率按频率分布函数
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2、汞原子的原子序数是80，核外有80个电子， 请写出汞原子基态的电子组态。
1s 2s 2p 3s 3p 4s 3d 4p 5s2 4d10 5p6 6s2 4f14 5d10
2 2 6 2 6 2 10 6
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3、波长为0.510 µ m的绿光的光通量为100lm， 其视见函数V (λ ) = 0.50, 入射到一个屏幕上， 求在1min 时间内该屏所接收的辐射能量。 K (λ ) 1 Φ v (λ ) 解：V (λ ) = 0.5 = = Km 683 Φ e (λ ) Φ v (λ ) = 100lm
−∞ +∞ +∞
= n2 A21 结论：谱线加宽对自发辐射没有影响
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（2） 受激辐射情况 爱因斯坦受激辐射系数： c3 c3 A21 (ν ) B21 = A21 = 3 8π hν 8π hν 3 g (ν ) ∴ B21 (ν ) = B21 g (ν ) 将受激辐射系数看成频率ν 的函数 受激辐射跃迁几率： W21 (ν ) = B21 g (ν )ω (ν )
α 为比例系数，随气体和谱线而变。
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自然加宽和碰撞加宽均属于均匀加宽，谱线线型相同， 由二者引起的谱线加宽可以直接相加。 ∆ν = ∆ν N + ∆ν L 一般情况下，碰撞加宽远大于自然加宽，自然加宽是 谱线所能达到的最低值，只有在极低的气压下才出现。 二、非均匀加宽 定义：粒子所发出的光只对谱线内某些确定的频率有贡献。 多普勒加宽：由于气体分子的多普勒效应引起的加宽 综合加宽：均匀加宽和非均匀加宽的共同作用。
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2
（2） 线型函数g(ν ) 以光强的相对值为纵坐标，以频率为横坐标， 所得光强分布曲线——线型函数g(ν ) 定义：总辐射功率为I0的光谱中，落在频率ν ～ν + dν 范 围内的辐射功率与总功率之比值随频率的分布情况。 g (ν ) = I (ν ) I0
+∞
归一化条件：
+∞
原子能级跃迁线型函数
准单色光（入射光） 准单色光（入射光）谱线
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（2） 原子与连续光辐射的作用 与上一情况相反：∆ν ′ ∆ν g (ν )只在ν = ν 0附近才有非零值，在此范围内可用ω (ν 0 )代替ω (ν ) 则： dn21 = n2 B21 ∫ g (ν )ω (ν )dν dt −∞ = n2 B21ω (ν 0 ) ∫ g (ν )dν
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解：对于黑体
M e (T ) = σ T
4 −8 6 4
= 5.67 × 18 × 2856 = 3.77 × 10 W ⋅ m
−8 −2 −2
斯忒藩常数：σ = 5.67 × 18 W ⋅ m ⋅ K ∂Φ e Me = ∂A 6 −6 ⇒ Φ e = M e A = 3.77 ×10 × 8 ×10 = 30.16W
2
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利用归一化条件： g (ν )dν = 1 ∫
−∞
+∞
∴
+∞
−∞
∫
A
2
源自文库
γ + (ν −ν 0 ) 2 4π
+∞
dν = 1
1 dx x 利用积分公式： 2 ∫∞ x + a 2 = a arctg a −∞ −
+∞
+∞
ν −ν 0 ⇒ A⋅ arctg =1 γ γ 4π 4π −∞ γ 4π ⇒ A⋅ ⋅π = 1 ⇒ A= 2 γ 4π
−4
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Φ e 30.16 −1 设光源为均匀光源：I e = = ≈ 2.4W ⋅ sr Ω 4π Ie 2.4 黑体辐射为余弦辐射体：Le = = A 8 ×10−6 5 −2 −1 = 3 ×10 W ⋅ m ⋅ sr ∂Φ e ∂Φ e r 2 ∂Φ e 1 照度：Ee = = = 2 2 ∂A ∂A r ∂Ω r 1 1 = I e 2 = 2.4 × 0.09 r = 26.67W ⋅ m −2