有限元四面体及六面体单元

8
在得到该单元的形状函数矩阵后，就可以按照有限元分析的标准过 程推导相应的几何矩阵、刚度矩阵、节点等效载荷矩阵以及刚度方
节
程，相关情况如下
点
正
(4-119)
六
面
体
(4-120)
(4-121)
(4-122)
空间问题有限基本元概念分析
4. 8节点正六面体单元的一次线性应变和应力
8
与平面4节点四边形单元类似，由单元的位移表达式(4-
的应变和应力为一次线性变化，因而比4节点四面体常应变单
元精度高。
空间问题有限基本元概念分析
1.空间4节点四面体单元分析的算例
空 间 问 题 分 析 的 算 例
空间问题有限基本元概念分析
1.空间4节点四面体单元分析的算例
空
（1）结构的离散化与编号
间
问
题
分
析
的
算
例
空间问题有限基本元概念分析
1.空间4节点四面体单元分析的算例 （1）结构的离散化与编号
2.空间8节点六面体单元分析的算例
空 间 问 题 分 析 的 算 例
空间问题有限基本元概念分析
2.空间8节点六面体单元分析的算例
（1）结构的离散化与编号
空 间 问 题 分 析 的 算 例
空间问题有限基本元概念分析
2.空间8节点六面体单元分析的算例
（1）结构的离散化与编号
空 间 问 题 分 析 的 算 例
空间问题有限基本元概念分析
1. 4节点四面体单元几何和节点描述
空间问题4节点四面体单元具有几何特征简单、描述能力强的特点，
4
是空间问题有限元分析中最基础的单元，也是最重要的单元之一。
节
点 该单元为由4节点组成的四面体单元(tetrahedron element)，每个节点 四 有3个位移(即三个自由度)，单元的节点及节点位移如图所示。
4 节 点 四 面 体
空间问题有限基本元概念分析
7.单元刚度矩阵
4 节 点 四 面 体
空间问题有限基本元概念分析
8. 4节点四面体单元的常系数应变和应力
4 节 点 四 面 体
空间问题有限基本元概念分析
1. 单元的几何和节点描述
8
该单元为由8节点组成的正六面体单元(hexahedron element)，每个节点有3 个位移(即3个自由度)，单元的节点及节点位移如图所示
点
四
面
(4-104)
体
(4-105)
空间问题有限基本元概念分析
2.单元位移场的表达
4
将式(9-3)代入节点条件(9-4)中，可求取待定系数(ai，bi，ci)，i＝0，1，
节
2，3。在求得待定系数后，可重写式(9-3)为
点
四
面
(4-106)
体
(4-107)
空间问题有限基本元概念分析
3.单元应变场的表达
节
点 117)可知，该单元的位移在x，y，z方向呈线性变化，所以称
正 为线性位移模式，正因为在单元的边界上，位移是按线性变 六 面 化的，且相邻单元公共节点上有共同的节点位移值，可保证
体 两个相邻单元在其公共边界上的位移是连续的，这种单元的
位移模式是完备(completeness)和协调(compatibility)的，它
空 间 问 题 分 析 的 算 例
空间问题有限基本元概念分析
1.空间4节点四面体单元分析的算例 （1）结构的离散化与编号
空 间 问 题 分 析 的 算 例
空间问题有限基本元概念分析
1.空间4节点四面体单元分析的算例 （1）结构的离散化与编号
空 间 问 题 分 析 的 算 例
空间问题有限基本元概念分析
面
体
空间问题有限基本元概念分析
1. 4节点四面体单元几何和节点描述
4 节 点 四 面 体
(4-102) (4-103)
空间问题有限基本元概念分析
2.单元位移场的表达
4
该单元有4个节点，单元的节点位移有12个自由度(DOF)。因此每个方向的
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节
位移场可以设定4个待定系数，根据节点个数以及确定位移模式的基本原则 （从低阶到高阶的完备性、唯一确定性），选取该单元的位移模式为
6.单元刚度方程
(4-112) (4-113)
(4-114)
空间问题有限基本元概念分析
7.单元刚度矩阵
4 节 点 四 面 体
空间问题有限基本元概念分析
7.单元刚度矩阵
4 节 点 四 面 体
空间问题有限基本元概念分析
7.单元刚度矩阵
4 节 点 四 面 体
空间问题有限基本元概念分析
7.单元刚度矩阵
节
点
正
六
面
体
(4-115)
(4-116)
空间问题有限基本元概念分析
2.单元位移场的表达
8
该单元有8个节点，因此每个方向的位移场可以设定8个待定系数， 根据确定位移模式的基本原则（从低阶到高阶、唯一确定性），选
节
取该单元的位移模式为
点
正
六
(4-117)
面
体
(4-118)
空间问题有限基本元概念分析
3.其它物理参量的表达
4 节 点 四 面 体
(4-108)
空间问题有限基本元概念分析
3.单元应变场的表达
4 节 点 四 面 体
(4-109) (4-110)
空间问题有限基本元概念分析
4.单元应力场的表达
4 节 点 四 面 体
(4-111)
空间问题有限基本元概念分析
5.单元的刚度矩阵及节点等效载荷矩阵
4 节 点 四 面 体