兰州市2021届数学高二上学期期末检测试题
2021-2022学年甘肃省兰州市第一中学高二上学期期末考试数学(文)试题解析
2021-2022学年甘肃省兰州市第一中学高二上学期期末考试数学（文）试题一、单选题1．抛物线28y x =的焦点坐标为 A ．(0,2) B ．(2,0) C ．1(,0)32D ．1(0,)32答案：D解：抛物线28y x =可化为218x y =，∴抛物线28y x =的焦点在y 轴上，∵128=p ，∴11 232p =，∴抛物线的焦点坐标为10,32⎛⎫⎪⎝⎭，故选D ． 2．双曲线221416y x -=的渐近线方程为（ ）A ．12y x =± B ．2y x =± C ．14y x =±D ．4y x =±答案：A令双曲线方程得右边为0，可得双曲线的渐近线方程.解：解：令双曲线方程得右边为0，可得220416y x -=，可得12y x =±，即：双曲线221416y x -=的渐近线方程为12y x =±，故选：A.点评：本题主要考查双曲线的渐近线方程，注意牢记双曲线渐近线的求法. 3．若方程2212x y m m+=-表示椭圆，则实数m 的取值范围为（ ） A ．()0,1 B ．()1,2 C ．()0,2 D ．()()0,11,2答案：D由题知0202m m m m >⎧⎪->⎨⎪≠-⎩，解不等式组即可得答案.解：解：因为方程2212x y m m+=-表示椭圆 所以0202m m m m >⎧⎪->⎨⎪≠-⎩，解得021m m m >⎧⎪<⎨⎪≠⎩，所以实数m 的取值范围为()()0,11,2故选：D4．命题“00x ∃>，00sin x x <”的否定是（ ） A ．00x ∃≤，00sin x x < B ．00x ∃≥，00sin x x > C ．0x ∀>，sin x x ≥ D ．0x ∀>，sin x x >答案：C特称命题否定为全称命题即可解：命题“00x ∃>，00sin x x <”的否定是“0x ∀>，sin x x ≥”， 故选：C5．如果质点A 按照规律23s t =运动，则在3t =时的瞬时速度为 A ．6 B ．18C ．54D ．81答案：B对23s t =求导，再把3t =代入,从而可得3t =时的瞬时速度. 解：质点A 按照规律23s t =运动，'6s t ∴=，∴根据导数的物理意义可得，在3t =时的瞬时速度为6318⨯=，故选B.点评：本题主要考查导数的物理意义，意在考查利用所学知识解决实际问题的能力，属于简单题.6．设函数y ＝f (x )＝x 2－1，当自变量x 由1变为 1.1时，函数的平均变化率为（ ） A ．2.1 B ．1.1 C ．2 D ．0答案：A由平均变化率的定义计算．解：22(1.1)(1)(1.11)(11) 2.11.110.1y f f x ∆----===∆- 故选：A ．7．已知0a >，0b >，则“4a b +=1a =，4b =”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分又不必要条件答案：B根据基本不等式确定等式成立的条件，然后由充分必要条件的定义判断．解：0a >，0b >时，4a b +≥=4a b =.因为4a b =时，不一定有1a =，4b = 故选：B.8．椭圆与双曲线2213y x -=有相同的焦点1F ，2F ，离心率互为倒数，P 为椭圆上任意一点，则角12F PF ∠的最大值为（ ） A ．5π6B ．2π3 C ．π2D ．π3答案：D设椭圆方程为22221x y a b+=，根据条件列方程求出,a b ，即可求出椭圆方程，当点P 为椭圆短轴端点时角12F PF ∠最大，利用余弦定理可求得该角. 解：设椭圆方程为22221x y a b+=，则222213211c c a a b c ⎧=+⎪⎪⋅=⎨⎪=+⎪⎩，解得2216,12a b ==， 则椭圆方程为2211612x y +=， 当点P 为椭圆短轴端点时角12F PF ∠最大，此时()22212221616161cos 22162a a c F PF a +-+-∠===⨯， 因为()120,F PF π∠∈，12π3F PF ∴∠= 故选：D.9．已知点P 是抛物线22y x =-上的一个动点，则点P 到点()0,2M 的距离与点P 到该抛物线准线的距离之和的最小值为（ ） AB ．3 CD ．92答案：A求出抛物线的焦点F 的坐标，分析可知点P 到点()0,2M 的距离与点P 到准线12x =的距离之和等于点P 到点()0,2M 的距离与点P 到点F 的距离之和，利用当点P 为线段MF 与抛物线的交点时，即M 、P 、F 三点共线时取PM PF +取最小值可得结果.解：抛物线22y x =-的焦点为1,02F ⎛⎫- ⎪⎝⎭，准线方程为12x =，如下图所示，由抛物线的定义知，点P 到准线12x =的距离PD 等于点P 到焦点F 的距离PF ，因此点P 到点()0,2M 的距离与点P 到准线12x =的距离之和等于点P 到点()0,2M 的距离与点P 到点F 的距离之和，其最小值为点()0,2M 到点1,02F ⎛⎫- ⎪⎝⎭的距离（当点P 为线段MF 与抛物线的交点时，即M 、P 、F 三点共线时）11744+ 故选：A.10．已知点1F ，2F 为椭圆22142x y+=的左右焦点，过点1F 与x 轴垂直的直线与椭圆交于A ，B 两点，则三角形2ABF 的内切圆的半径为（ ）A ．2B ．1C 2D 2答案：C根据题意得2ABF 的周长为48a =，2AB =，进而等面积法求解即可. 解：解：根据题意得2,2a b c ===()12,0F ， 因为过点1F 与x 轴垂直的直线与椭圆交于A ，B 两点 所以()()2,1,2,1A B ---，2AB = 根据椭圆定义得2ABF 的周长为48a =， 不妨设三角形2ABF 的内切圆的半径为r ，所以根据等面积法得21211422ABF S a r AB F F =⨯⋅=△，代入数据得22r故选：C11．已知椭圆C ：22221x y a b +=()0a b >>的右焦点为(),0F c ，右顶点为A ，以OA 为直径的圆交直线cy x b=于点B （不同于原点O ），设OBF 的面积为S ．若S AB AF =⋅，则椭圆C 的离心率为（ ） A ．12 B ．13C ．34D ．35答案：D由题可得Rt OAB 的三边长，再结合三角形面积公式及向量数量积公式可得,,a b c 的关系式，即求.解：依题意，得OB AB ⊥， ∴点A 到直线c y x b =的距离22||AB c b c==+， 在Rt OAB 中，∵OA a =，AB c =， ∴OB b =， ∵S AB AF =⋅，∴1sin ()cos 2bc BOA c a c BAO ∠=-∠，其中sin cos BOA BAO ∠=∠， ∴()2b a c =-，∴()224b a c =-，即225830c ac a -+=， 得2583e e -+=(53)(1)0e e --=，∴35e =或1e =（舍）∴离心率为35.故选：D.12．下列结论正确的个数为（ ）①已知1F ，2F 分别为椭圆22:143x y C +=的左、右焦点，点P 为椭圆C 上的动点，则12PF F △的重心G 的轨迹方程为()2293104x y y +=≠②若动点(),P x y2，则点P 的轨迹为双曲线；③动点P 到直线40x +=的距离减去它到()2,0M 的距离之差是2，则点P 的轨迹是抛物线；④点2F 为椭圆2212516x y +=的右焦点，点P 为椭圆上任意一点，点()1,3M ，则2PF PM+的最小值为5；⑤斜率为2的直线与椭圆()222210x y a b a b+=>>交于A ，B 两点，点M 为AB 的中点，直线OM 的斜率为14-（O 为坐标原点）A ．1B ．2C ．3D ．4答案：D设()G x y ,，由重心坐标公式可得(3,3)P x y ，代入椭圆方程化简即可判断①，根据两点间的距离公式及双曲线的定义可判断②，由抛物线的定义判断③，根据椭圆的定义转化为动点到两定点间距离差的最大值，数形结合求解即可判断④，由点差法建立,a b 关系，求出离心率判断⑤.解：设椭圆的动点坐标00(,)P x y ，12PF F △的重心()G x y ,，则003003x c c x y y +-⎧=⎪⎪⎨++⎪=⎪⎩， 所以03x x =，030y y =≠，代入椭圆方程可得()2293104x y y +=≠，故①正确； 动点(),P xy24<，即动点到定点(2,0)-与(2,0)的距离之差为定值且小于两定点间的距离，所以动点轨迹为双曲线一支，故②错误； 动点P 到直线40x +=的距离减去它到()2,0M 的距离之差是2，即动点P 到直线20x +=的距离与P 到()2,0M 的距离相等，所以点P 的轨迹是抛物线，故③正确； 由M 在椭圆内，如图，22211||||10(||||)10||10(13)(30)1055PM PF PF PM F M ∴+=--≥-=++-=-=当且仅当1,,P F M 共线时，2||||PM PF +取得最小值，即最小值为5成立，故④正确；设1122,,()()A x y B x y ，，可得22221122222211,，x y x y a b a b+=+=两式相减可得1212121222()()()()x x x x y y y y a b -+-+=-，由题意可得12122y y x x --=，且1212(,)22x x y y M ++，121214y y x x +=-+，所以22112(),42b a -=⨯-=-则22121122c b e a a ==--=故⑤正确. 所以正确的结论有4个， 故选：D 二、填空题13．下列各结论中，正确的是______．①“p q ∧为真”是“p q ∨为真”的充分不必要条件； ②“p q ∧为假”是“p q ∨为假”的充分不必要条件； ③“p q ∨为真”是“p ⌝为假”的必要不充分条件； ④“p ⌝为真”是“p q ∧为假”的必要不充分条件． 答案：①③利用充分条件和必要条件结合复合命题的真假判断方法分析判断即可解：对于①，当p q ∧为真时，,p q 都为真，所以p q ∨为真，当p q ∨为真时，,p q 至少有一个为真，则p q ∧不一定为真，所以“p q ∧为真”是“p q ∨为真”的充分不必要条件，所以①正确，对于②，当p q ∧为假时，,p q 中至少有一个为假，则p q ∨不一定为假，当p q ∨为假时，,p q 都为假，则p q ∧一定为假，所以“p q ∧为假”是“p q ∨为假”的必要不充分条件，所以②错误，对于③，当p q ∨为真时，,p q 至少有一个为真，所以p ⌝不一定为假，而当p ⌝为假时，p 为真，所以p q ∨一定为真，所以“p q ∨为真”是“p ⌝为假”的必要不充分条件，所以③正确，对于④，当p ⌝为真时，p 为假，则p q ∧为假，当p q ∧为假时，,p q 中至少有一个为假，所以p 不一定为假，则p ⌝不一定为真，所以“p ⌝为真”是“p q ∧为假”的充分不必要条件， 所以④错误， 故答案为：①③14．与双曲线221916x y -=有共同的渐近线,且经过点()3,23-的双曲线方程是______. 答案：224194x y -=解：设22916x y λ-=,将()3,23-代入求得14λ=. 双曲线方程是224 1.94x y -= 15．在平面直角坐标系xoy 中，点M 是椭圆()222210x y a b a b+=>>上的点，以M 为圆心的圆与x 轴相切于椭圆的焦点F ，圆M 与y 轴相交于P 、Q 两点．若MPQ 为锐角三角形，则该椭圆离心率的取值范围是____________． 答案：6251,22⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭【解析】解：试题分析：∵△PQM 是锐角三角形， ∴∴2222cos cos 4MD c QMD ac a c b QMaπ∠==>=<- 22222,ac a c ac a c >-<- ∴22210,10e e e e +->+-< 解得6251e e --><∴该椭圆离心率的取值范围是6251--⎝⎭ 故答案为6251--⎝⎭16．已知抛物线C ：2y 2px(p 0)=>的焦点为F ，过F 且倾斜角为60的直线l 与抛物线C在第一、四象限分别交于A 、B 两点，与它的准线交于点P ，则AB PB=_____．答案：2：1设出A 、B 坐标，利用焦半径公式求出|AB |，结合x 1x 2＝24p ，求出A 、B 的坐标，然后求其比值．解：设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则y 12＝2px 1，y 22＝2px 2， |AB |＝x 1+x 2+p ＝2028sin 603p p =，即有x 1+x 2＝53p ， 由直线l 倾斜角为60°，则直线l 的方程为：y ﹣0x ﹣2p ）， 联立抛物线方程，消去y 并整理，12x 2﹣20px +3p 2＝0， 则x 1x 2＝24p ，可得x 1＝32p ，x 2＝16p ，则|AP |＝4p ， ∴AB PB=2.故答案为:2:1.点评：本题考查直线的倾斜角，抛物线的简单性质，考查学生分析问题解决问题的能力，属于中档题．本题主要考查直线与圆锥曲线位置关系，所使用方法为韦达定理法：因直线的方程是一次的，圆锥曲线的方程是二次的，故直线与圆锥曲线的问题常转化为方程组关系问题，最终转化为一元二次方程问题，故用韦达定理及判别式是解决圆锥曲线问题的重点方法之一，尤其是弦中点问题，弦长问题，可用韦达定理直接解决，但应注意不要忽视判别式的作用． 三、解答题17．已知集合{}22A x a x a =-≤≤+，{}14B x x =<<． (1)当3a =时，求A B ；(2)“x A ∈”是“x B ∈”的充分不必要条件，求实数a 的取值范围． 答案：(1){}15A B x x ⋃=-≤≤ (2){}1a a <（1）由3a =，得到{}15A x x =-≤≤，再利用并集的运算求解； （2）根据 “x A ∈”是“x B ∈”的充分不必要条件，得到AB ，然后分A =∅，A ≠∅讨论求解. (1)解：当3a =时，{}15A x x =-≤≤． 因为{}14B x x =<<， 所以{}15A B x x ⋃=-≤≤． (2)因为“x A ∈”是“x B ∈”的充分不必要条件， 所以AB ．当A =∅时，符合题意，此时有22a a +<-，解得：0a <．当A ≠∅时，要使AB ，只需22,24,21,a a a a +≥-⎧⎪+<⎨⎪->⎩解得：01a ≤<，综上：1a <．所以实数a 的取值范围{}1a a <． 18．已知命题p ：方程表示焦点在x 轴上的双曲线．命题:q 曲线2(23)1y x m x =+-+与x 轴交于不同的两点，若p q ∧为假命题，p q ∨为真命题，求实数m 的取值范围． 答案：522m <≤或12m <. 分别求出命题p 、q 为真命题时m 的范围，根据复合命题真值表可得命题p ，q 命题一真一假，分p 真q 假和p 假q 真求出m 的范围，再求并集． 解：解：方程22122x y m m -=-表示焦点在x 轴上的双曲线， ∴20220m m m >⎧⇒>⎨->⎩若p 为真时：2m >，曲线2(23)1y x m x =+-+与x 轴交于不同的两点， 则△25(23)402m m =-->⇒>或12m <， 若q 真得：52m >或12m <， 由复合命题真值表得：若p q ∧为假命题，p q ∨为真命题，p ，q 命题一真一假若p 真q 假：522m <； 若p 假q 真：12m <∴实数m 的取值范围为：522m<或12m <． 19．设1F ,2F 分别是椭圆E ：22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点，过点1F 的直线交椭圆E 于,A B 两点，113AF BF =（1）若24,AB ABF =∆的周长为16，求2AF ； （2）若23cos 5AF B ∠=，求椭圆E 的离心率.答案：（1）5；（2）2. 【解析】解：试题分析：（1）由题意113,4AF F B AB ==可以求得113,1AF F B ==，而2ABF ∆的周长为16，再由椭圆定义可得12416,28a AF AF a =+==.故212835AF a AF =-=-=.（2）设出1F B k =，则0k >且13,4AF k AB k ==.根据椭圆定义以及余弦定理可以表示出,a k 的关系()(3)0a k a k +-=，从而3a k =，2123,5AF k AF BF k ===，则22222||||BF F A AB =+，故12F A F A ⊥，12AF F ∆为等腰直角三角形.从而2c a =，所以椭圆E 的离心率2c e a ==. （1）由113,4AF F B AB ==，得113,1AF F B ==.因为2ABF ∆的周长为16，所以由椭圆定义可得12416,28a AF AF a =+==.故212835AF a AF =-=-=.（2）设1F B k =，则0k >且13,4AF k AB k ==.由椭圆定义可得2223,2AF a k BF a k =-=-.在2ABF ∆中，由余弦定理可得22222222||||2cos AB AF BF AF BF AF B =+-⋅∠，即2226(4)(23)(2)(23)(2)5k a k a k a k a k =-+---⋅-，化简可得()(3)0a k a k +-=，而0a k +>，故3a k =.于是有2123,5AF k AF BF k ===.因此22222||||BF F A AB =+，可得12F A F A ⊥，故12AF F ∆为等腰直角三角形.从而c =，所以椭圆E 的离心率c e a ==. 【解析】1.椭圆的定义；2.椭圆的离心率求解.20．已知椭圆C :22221(0)x y a b a b+=>>的离心率为12，椭圆的左、右焦点分别是12F F 、，点M 为椭圆上的一个动点，12MF F △（Ⅰ）求椭圆C 的方程：（Ⅱ）P 为椭圆上一点，1PF 与y 轴相交于Q ，且112F P FQ =，若1PF 与椭圆相交于另一点R ， 求2PRF △的面积 .答案：（1）22143x y +=（2）157 【解析】解：试题分析：（Ⅰ）由已知条件：12c e a ==，122c b bc ⋅⋅==椭圆C 的方程；（Ⅱ） 由112F P FQ =，知Q 为1F P 的中点，设()0,Q y ，则()1,2P y ，由此利用韦达定理、弦长公式能求出2PRF ∆的面积. 试题解析：解：（I )由已知条件：12c e a ==，122c b bc ⋅⋅=∴2,1a b c === ∴椭圆C 的方程为22143x y += . (Ⅱ)由112F P FQ =，知Q 为1F P 的中点，所以设()0,Q y ，则()1,2P y , 又P 满足椭圆的方程，代入求得34y =. ∴直线1PF 方程为()314y x =+ . 由()22314{143y x x y =++= 得 276130x x +-= . 设()11,P x y ，()22,R x y ，则 1212613,77x x x x +=-=- .∴1212627,728y y y y +==- ，∴212115227PRF S c y y c ∆=⋅⋅-==. 说明：各题如有其它解法可参照给分.点睛：本题考查椭圆方程的求法，考查三角形面积的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意椭圆性质、韦达定理、弦长公式的合理运用；当直线与圆锥曲线相交时，将三角形的面积转化为求弦长问题，即联立直线的方程与圆锥曲线的方程构成方程组，结合韦达定理12y y -=.21．已知双曲线()22122:10,0x y C a b a b -=>>与双曲线222:142x y C -=有相同的渐近线，且点(P 在1C 上. （1）求1C 的标准方程；（2）过点()1,1M 的直线l 与双曲线1C 交于,A B 两点，且M 恰好是线段AB 的中点，求直线l 的方程.答案：（1）2212x y -=；（2）210x y -+=.（1）设()221:042x y C λλ-=≠，将(P 代入可得λ，进而可得1C 的标准方程； （2）设直线():11l y k x =-+，将其与1C 联立得到关于x 的方程，根据根与系数的关系和中点坐标公式可解得k ，进而可得直线l 的方程.解：（1）因为1C 与2C 的渐近线相同，可设()221:042x y C λλ-=≠将(P 代入得831422λ=-=，所以1C 的标准方程为2212x y -=. （2）直线l 的斜率显然存在，设直线():11l y k x =-+， 联立方程组()221211x y y k x ⎧-=⎪⎨⎪=-+⎩，消去y 可得()()()22212412120k x k k x k -+----=，由221208(22)0k k k ⎧->⎨∆=-+->⎩得11k <<且2≠±k . 设()1122(),,,A x y B x y ，则()1224121k k x x k -+=-因为M 是线段AB 的中点，所以()122211221k k x xk -+==-，解得12k =，满足题意.所以直线l 的方程为()1112y x =-+，即210x y -+=.22．已知F 为抛物线C ：x 2=2py (p >0)的焦点，点M 在抛物线C 上，O 为坐标原点，△OFM 的外接圆与抛物线C 的准线相切，且该圆面积为94π. （1）求抛物线C 的方程；（2）设A (2，1)，B 是抛物线C 上异于A 的一点，直线AB 与直线y =x -2交于点P ，过点P 作x 轴的垂线交抛物线C 于点N ，证明：直线BN 恒过一定点，并求出该定点的坐标.答案：（1）x 2=4y ；（2）证明见解析，定点(2，2).(1)由题意知圆心必在4p y =，由相切即可知34pr =，结合已知圆的面积即可求出p =2，进而可求出抛物线的方程.(2) 设211(,)4x B x ，写出直线AB 的方程与y =x -2联立，求出P 的横坐标，即可知N 的横坐标，进而可求出N 的坐标，由直线的点斜式可写出直线BN 的方程，从而可求出所过定点.解：解：（1）设△OFM 外接圆的半径为r ，由题知圆心必在4py =， 且圆心到准线的距离3424p p p r +==，所以239()44p π⋅=π，解得p =2， 所以抛物线C 的方程为：x 2=4y .（2）设211(,)4xB x ，由题意知，12x ≠，则直线AB 的方程：211141(2)2x y x x --=--，化简得：121(2)4x y x +-=-，与y =x -2联立得121(2)42x y x y x +⎧-=-⎪⎨⎪=-⎩， 解得11282p x x x -=-，把112(4)2p x x x -=-代入x 2=4y 得：2114()2N x y x -=-， 即211112(4)4(,())22x x N x x ----，则直线BN 的方程：221121111114()42()2(4)42x x x x y x x x x x ----=----， 约分得：11211142()2()44x x x x y x x -+--=-，化简得111141()()422x x x y x x x --+--， 因为与x 1无关，所以当x =2，y =2时恒成立，所以直线BN 恒过定点(2，2).点评：关键点睛:本题第二问的关键是联立直线和直线求出P 的横坐标，写出N 的坐标后，写出直线BN 的方程.。
甘肃省兰州市高二上学期期末考试数学试卷 有答案
甘肃省兰州市第一高二上学期期末考试数学试卷说明：本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分. 满分100分，考试时间100分钟.答案写在答题卷（卡）上，交卷时只交答题卷（卡）第I 卷（选择题）一、选择题(每小题3分，共30分，将答案写在答题卡上．．．．．．．．．) 1．如果命题pq 为真命题，pq 为假命题，那么（ ）A ．命题p 、q 都是真命题B ．命题p 、q 都是假命题C ．命题p 、q 至少有一个是真命题D ．命题p 、q 只有一个真命题 2．过点P （2,4）且与抛物线y 2=8x 有且只有一个公共点的的直线有（ ） A ．0条 B ． 1条 C ．2 条 D ． 3条 3．双曲线22549x y -=-的一条渐近线方程是 ( )A ．230x y -=B ．320x y +=C ．940x y -=D ．490x y -= 4．曲线()2216106xym mm+=<--与曲线()2215959xn nny +=<<--的（）A ．焦距相等B ．离心率相等C ．准线相同D ． 焦点相同 5．设点()()()3,3,1,1,0,5,0,1,0A B C ，则AB 的中点到C 的距离为（ ）A 4B ．2C 4D ．26．下列命题错误．．的是 ( ) A ．命题“若2320x x -+=，则1x =”的逆否命题为“若1x ≠，则2320x x -+≠”. B ．若命题:R p x ∃∈，210x x ++=，则“p ⌝”为：2R 10x x x ∀∈++≠，.C ．若命题p :1,x <-或1x >；命题q :2,x <-或1x >，则p ⌝是q ⌝的必要不充分条件.D ．“2x > ”是“2320x x -+>”的充分不必要条件.7．已知向量()()1,1,0,1,0,2a b ==-，且()()2ka b a b +⊥-，则k 的值为（ ） A ． 1 B ．75C ．35D ．158．已知线段AB 、BD 在平面α内，∠ABD =120°，线段AC ⊥α，如果AB =a ，BD =b ，AC =c ，则线段CD 的长为（ ）A B C D 9．如图，正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E 1、F 1分别是A 1B 1、C 1D 1上的点，并且4B 1E 1＝4D 1F 1＝A 1B 1，则BE 1与DF 1所成角的余弦 值是（ ）A 2B ．12C ．817D ．151710．已知F 是双曲线22221(0,0)x y a b ab-=>>的左焦点，E 是该双曲线的右顶点，过点F 且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A 、B 两点，若△ABE 是锐角三角形，则该双曲线的离心率e 的取值范围为 ( ) A ． (1，+∞) B ．(1,2) C ．(1,1+2) D ．(2,1+2)第II 卷（非选择题）二、填空题（第13小题6分，其余每小题4分，共18分，将答案写在答题卡上．．．．．．．．．） 11．已知点()3,1A ，在抛物线22y x =上找一点P ，使得PF PA +取最小值（F 为抛物线的焦点），此时点P 的坐标是 . 12．对于以下命题：①a b a b -=+是,a b 共线的充要条件；②对空间任意一点O 和不共线的三点A 、B 、C ，若2OP OA OB OC =-+，则P 、A 、B 、C 四点共面. ③如果0<⋅,那么与的夹角为钝角④若{},,a b c 为空间一个基底，则{},,a b b c c a +++构成空间的另一个基底； ⑤若23,246m a b c n a b c =-+=-+-，则//m n . 其中不正确结论的序号是___________________. 13．已知椭圆22162x y +=与双曲线2213x y -=的公共焦点为F 1，F 2，点P 是两条曲线的一个公共点，则cos ∠F 1PF 2的值为 .14．若椭圆221(0,0)mx ny m n +=>>与直线10x y +-=交于A ，B 两点，若:m n =，则过原点与线段AB 的中点M 的连线的斜率为 ．参考答案第I 卷（选择题）一、选择题二、填空题（第13小题6分，其余每小题4分，共16分）11．1,12⎛⎫⎪⎝⎭12．①③ 13．13 14三、解答题（本题共5小题，共54分）15．（本小题满分10分）已知双曲线的中心在原点，焦点12,F F 在坐标轴上，，且过点(4, （Ⅰ）求双曲线方程；（Ⅱ）若点()3,M m 在双曲线上，求证：120MF MF ⋅=.解析：（Ⅰ）由题意，可设双曲线方程为22x y λ-=，又双曲线过点(4,， 解得6λ=故双曲线方程为226x y -=. ……………………………5分（Ⅱ）由（Ⅰ）可知：a b ==，c =， ∴()1F -，()2F∴ ()13,MF m =--，()23,MF m =--， ∴2123MF MF m ⋅=-，又点()3,M m 在双曲线上， ∴ 296m -=， ∴23m =，即120MF MF ⋅=.……………………………10分16．(本小题满分10分) 在棱长为1的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别为棱AB和BC 的中点，试在棱B 1B 上找一点M ，使得D 1M ⊥平面EFB 1.证明：分别以DA 、DC 、DD 1所在直线为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系D －xyz ，则A (1,0,0)，B1(1,1,1)，C (0,1,0)，D 1(0,0,1)，E ⎝⎛⎭⎫1，12，0， M (1,1，m )．∴AC →＝(－1,1,0)，又E 、F 分别为AB 、BC 的中点，∴EF →＝12AC →＝⎝⎛⎭⎫－12，12，0. 又∵B 1E →＝⎝⎛⎭⎫0，－12，－1，D 1M →＝(1,1，m －1)， ∵D 1M ⊥平面FEB 1，∴D 1M ⊥EF 且D 1M ⊥B 1E .即D 1M →·EF →＝0，且D 1M →·B 1E →＝0. ∴⎩⎨⎧－12＋12＋(m －1)·0＝00－12＋(1－m )＝0，∴m ＝12.故取B 1B 的中点M 就能满足D 1M ⊥平面EFB 1.17．（本小题满分10分）已知定点A （1,0）和定圆B ：,x y x 015222=-++动圆P 和定圆B 相切并过A 点，（Ⅰ）求动圆P 的圆心P 的轨迹C 的方程.（Ⅱ）设Q 是轨迹C 上任意一点，求AQB ∠的最大值. 解析：（Ⅰ）设)y ,x (P ，则24>=+PB PA ,∴所以点P 的轨迹是以A ,B 为焦点，长轴长为4的椭圆所以点P 的轨迹方程是13422=+y x ……………………………………………………4分 （Ⅱ）设,n QB ,m QA ==则4=+n m2112616242242222=-+≥-=--+=-+=∠∴)n m (mn mn mn )n m (mn n m AQB cos当且仅当n m =时取“=”，),(AQB π0∈∠ ，∴AQB ∠的最大值是3π.……………………………………………………10分 注：其它解答参考给分.18．(本小题满分12分)如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，190,22ACB AC AA BC ∠====. （Ⅰ）若D 为1AA 中点，求证：平面1B CD ⊥平面11B C D ； （Ⅱ）若二面角B 1—DC —C 1的大小为60°，求AD 的长. 解法1：（Ⅰ）∵11190AC B ACB ∠=∠=，∴1111B C AC ⊥，又由直三棱柱性质知111B C CC ⊥，∴11B C ⊥平面ACC 1A 1.∴11B C CD ⊥……① 由D为中点可知，1DC DC ==22211DC DC CC +=即1CD DC ⊥……②由①②可知CD ⊥平面11B C D ，又CD ⊂平面1B CD ，故平面1B CD 平面11B C D .………………………………………………………………6分（Ⅱ）由（1）可知11B C ⊥平面ACC 1A 1，如图，在面ACC 1A 1内过C 1作1C E CD ⊥，交CD 或延长线或于E ，连EB 1，可知11B EC ∠为二面角B 1—DC —C 1的平面角， ∴1160.B EC ∠= 由B 1C 1=2知，13C E =， 设AD=x，则DC =∵11DC C ∆的面积为1，∴13321212=⋅+⋅x ，解得x =AD ……………………………………………………12分C 11A 1BA DC解法二：（Ⅰ）如图，以C 为原点，CA 、CB 、CC 1所在直线为x, y, z 轴建立空间直角坐标系. 则 C （0，0，0），A （1，0，0），B 1（0，2，2），C 1（0，0，2），D （1，0，1）即11(0,2,0),(1,0,1),(1,0,1)C B DC CD ==-=0101)1,0,1()1,0,1(;,0000)0,2,0()1,0,1(111=++-=-⋅=⋅⊥=++=⋅=⋅DC CD B C CD C 由得由得1CD DC ⊥；又111DC C B C =，∴CD ⊥平面B 1C 1D .又CD ⊂平面B 1CD ，∴平面1B CD 平面11B C D …………………………………………6分（Ⅱ）设AD=a ，则D 点坐标为（1，0，a ），1(1,0,)(0,2,2)CD a C B ==，设平面B 1CD 的法向量为(,,)m x y z =. 则由,1,0220001-=⎩⎨⎧=+=+⇒⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅z z y ax x CB 令 得(,1,1)m a =-， 又平面C 1DC 的法向量为(0,1,0)n =，则由212160cos 2=+a，即a =，故AD = ………………………………………………………………12分19．（本小题满分12分）已知两点)0,1(1-F 及)0,1(2F ，点P 在以1F 、2F 为焦点的椭圆C 上，且1PF 、21F F 、2PF 构成等差数列．(Ⅰ)求椭圆C 的方程；(Ⅱ)如图，动直线:l y kx m =+与椭圆C共点，点,M N 是直线l 上的两点，且12,F M l F N l ⊥⊥求四边形12F MNF 面积S 的最大值．解析：(Ⅰ)依题意，设椭圆C 的方程为22221x y a b+=．1122PF F F PF 、、构成等差数列，11222242a PF PF F F a ⇒=+==⇒=．又1c =，故23b =．从而，椭圆C 的方程为22143x y +=． …………………………………………4分 (Ⅱ)将直线l 的方程y kx m =+代入椭圆C 的方程223412x y +=中，得：01248)34(222=-+++m kmx x k ． ……………………5分 由直线l 与椭圆C 仅有一个公共点知，2222644(43)(412)0k m k m ∆=-+-=，化简得：2243m k =+． …………………………6分设11d F M ==，22d F M ==， …………………………8分（法一）当0k ≠时，设直线l 的倾斜角为θ， 则12tan d d MN θ-=⨯，12d d MN k-⇒=， 22121212221()221m d d d d S d d k k k --=+==+mm m m 1814322+=+-=， …………………………10分又2243m k =+，∴当0k ≠时，3>m ，3343131=+>+m m ，32<S ． 当0=k 时，四边形12F MNF是矩形，S =．故四边形12F MNF 面积S的最大值为 ……………………………12分（法二）222222212222()2(53)11m k k d d k k +++=+==++，222122233311m k k d d k k -+====++．MN ⇒===．四边形12F MNF 的面积121()2S MN d d =+)(11212d d k ++=， ………10分22221222122)1(1216)2(11++=+++=k k d d d d k S12)211(41622≤-+-=k ．当且仅当0k =时，212,S S ==max S =所以四边形12F MNF 的面积S的最大值为…………………………………12分。
甘肃省2021版高二上学期期末数学试卷(理科)C卷
甘肃省2021版高二上学期期末数学试卷（理科）C卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分）已知双曲线与抛物线有一个公共的焦点，且两曲线的一个交点为P，若，则双曲线的渐近线方程为（）A .B .C .D .2. （2分） (2019高二上·天河期末) 某校为了解学生的学习情况，采用分层抽样的方法从高一人、高二人、高三人中抽取人进行问卷调查，则高二抽取的人数是（）A .B .C .D .3. （2分） (2019高一上·瓦房店月考) 命题“ ，”的否定是（）A . ，B . ，C . ，D . ，4. （2分） (2019高三上·安徽月考) 如图所示的程序输出的结果为95040，则判断框中应填（）A .B .C .D .5. （2分） (2019高三上·汉中月考) 如果一组数中每个数减去同一个非零常数，则这一组数的（）A . 平均数不变，方差不变B . 平均数改变，方差改变C . 平均数不变，方差改变D . 平均数改变，方差不变6. （2分） (2015高二下·泉州期中) 如表提供了某厂节能降耗技术改造后在生产A产品过程中记录的产量x （吨）与相应的生产能耗y（吨）的几组对应数据，根据表提供的数据，求出y关于x的线性回归方程为 =0.7x+0.35，则下列结论错误的是（）x3456y 2.5t4 4.5A . 产品的生产能耗与产量呈正相关B . t的取值必定是3.15C . 回归直线一定过点（4，5，3，5）D . A产品每多生产1吨，则相应的生产能耗约增加0.7吨7. （2分）双曲线（p>0）的左焦点在抛物线y2＝2px的准线上，则该双曲线的离心率（）B .C .D . 28. （2分）某电商对10000名网购者2015年度消费情况进行统计，其消费频率分布直方图如图，则在这些网购者中，消费金额在[0.5，0.9]内的人数为（）A . 2000B . 4500C . 6000D . 75009. （2分）抛掷两枚质地的骰子，得到的点数分别为a，b，那么直线bx+ay=1的斜率的概率是（）A .B .C .D .10. （2分） (2015高二下·集宁期中) 若抛物线y2=﹣16x上一点P到x轴的距离为12，则该点到焦点的距离为（）A . 5C . ﹣5D . 1311. （2分）(2020·漳州模拟) 若正四棱柱的底面边长为2，外接球的表面积为，四边形ABCD和的外接圆的圆心分别为M ， N ，则直线MN与所成的角的余弦值是（）A .B .C .D .12. （2分）若为双曲线的左、右焦点，点在双曲线上，，则到轴的距离为（）A .B .C .D .二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分） (2019高二上·寿光月考) 给出下列命题：①“数列为等比数列”是“数列为等比数列”的充分不必要条件；②“ ”是“函数在区间上为增函数”的充要条件；③“ ”是“直线与直线互相垂直”的充要条件；④设，，分别是三个内角，，所对的边，若，，则“ ”是“ ”的必要不充分条件．其中，真命题的序号是________．14. （1分） (2016高二下·仙游期末) 利用计算机产生0～1之间的均匀随机数a，则事件“3a﹣1＞0”发生的概率为________．15. （1分） (2017高二上·嘉兴月考) 已知直三棱柱中，，，，则异面直线与所成角的余弦值为________.16. （1分） (2016高二上·遵义期中) 点P在椭圆 =1上运动，点A、B分别在x2+（y﹣4）2=16和x2+（y+4）2=4上运动，则PA+PB的最大值________．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． (共6题；共50分)17. （5分） (2017高二上·莆田月考) 设为中的对边.求证：成等差数列的充要条件是： .18. （15分）某学校1800名学生在一次百米测试中，成绩全部介于13秒与18秒之间，抽取其中50个样本，将测试结果按如下方式分成五组：第一组[13，14），第二组[14，15），第五组[17，18]，图是按上述分组方法得到的频率分布直方图．（1）若成绩小于15秒认为良好，求该样本在这次百米测试中成绩良好的人数；（2）请估计学校1800名学生中，成绩属于第四组的人数；（3）请根据频率分布直方图，求样本数据的众数和中位数．19. （10分）下表是关于东莞某机械厂某设备的使用年限（年）和所需要的维修费用y（万元）的几组统计数据：（1）请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程；（2）估计使用年限为10年时，维修费用为多少？（参考数值：22+32+42+52+62=90，2×2.2+3×3.8+4×5.5+5×6.5+6×7.0=112.3）20. （5分）如图，P 是△ABC所在平面外一点，且PA⊥平面ABC．若O和Q分别是△ABC和△PBC的垂心，试证：OQ⊥平面PBC．21. （10分） (2016高二上·江北期中) 已知抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为F，若过点F且斜率为1的直线与抛物线相交于M，N两点，且|MN|=8．（1）求抛物线C的方程；（2）设直线l为抛物线C的切线，且l∥MN，P为l上一点，求的最小值．22. （5分）(2019·天津) 设椭圆的左焦点为，上顶点为 .已知椭圆的短轴长为4，离心率为 .（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设点在椭圆上，且异于椭圆的上、下顶点，点为直线与轴的交点，点在轴的负半轴上.若（为原点），且，求直线的斜率.参考答案一、选择题 (共12题；共24分)答案：1-1、考点：解析：答案：2-1、考点：解析：答案：3-1、考点：解析：答案：4-1、考点：解析：答案：5-1、考点：解析：答案：6-1、考点：解析：答案：7-1、考点：解析：答案：8-1、考点：解析：答案：9-1、考点：解析：答案：10-1、考点：解析：答案：11-1、考点：解析：答案：12-1、考点：解析：二、填空题 (共4题；共4分)答案：13-1、考点：解析：答案：14-1、考点：解析：答案：15-1、考点：解析：答案：16-1、考点：解析：三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． (共6题；共50分)答案：17-1、考点：解析：答案：18-1、答案：18-2、答案：18-3、考点：解析：答案：19-1、答案：19-2、考点：解析：答案：20-1、考点：解析：答案：21-1、答案：21-2、考点：解析：答案：22-1、考点：解析：。
兰州市2021届高二上学期数学期末学业水平测试试题
兰州市2021届高二上学期数学期末学业水平测试试题一、选择题1．在区间[]-3,4上随机选取一个实数x ，则满足2x ≤的概率为（ ） A.37B.47C.57D.672．不等式20x x ->的解集是 A ．(0,1) B ．(,1)(0,)-∞-+∞C ．(1,0)-D ．(,0)(1,)-∞+∞3．某中学共有1000名学生，其中高一年级350人，该校为了了解本校学生视力情况，用分层抽样的方法从该校学生中抽出一个容量为100的样本进行调查，则应从高一年级抽取的人数为（ ） A ．20B ．25C ．30D ．354．某学校共有教师120人，老教师、中年教师、青年教师的比例为3:4:3，其中青年男教师24人. 现用分层抽样的方式从该校教师中选出一个30人的样本，则被选出的青年女教师的人数为 A.12B.6C.4D.35．若向量(1,1,2)a =-，(2,1,3)b =-，则||a b +=（ ）B. C.36．已知m ， n 表示两条不同直线，α表示平面，下列说法正确的是（ ） A ．若 //m α， //n α则 //m nB ．若 m α⊥， m n ⊥则//n αC ．若 m α⊥， n α⊂则 m n ⊥D ．若 //m α， m n ⊥则 n α⊥7．平面α的法向量为a ＝(1,2，－2)，平面β的法向量b ＝(－2，h ，k)，若α∥β，则h ＋k 的值为( ) A.－2 B.－8C.0D.－68．设是非零实数，若，则下列不等式成立的是（ ）A ．B ．C ．D ．9．已知x 与y 之间的一组数据：则y 与的线性回归方程y bx a =+必过点（ ） A ．()2,2B ．()1.5,0C ．()1,2D ．()1.5,410．把38化为二进制数为 ( )A ．B ．C ．D ．11．已知数据1x ，2x ，，5x ，2的平均值为2，方差为1，则数据1x ，2x ，，5x 相对于原数据（ ） A.一样稳定B.变得比较稳定C.变得比较不稳定D.稳定性不可以判断12．设命题p ：0x R ∃∈，0200xe x x ->，则命题p 的否定为（ ） A.x R ∀∈， 2x e x x -≤B.0x R ∃∈， 0200xe x x -<C.0x R ∃∈， 0200xe x x -≤D.x R ∀∈， 2x e x x ->二、填空题 13．设函数（，，为常数，且，，）的部分图象如图所示，则_____.14．用1，2，3，4，5这五个数字，可以组成没有重复数字的三位奇数的个数为__________（用数字作答）15．已知C 是以AB 为直径的半圆弧上的动点，O 为圆心，P 为OC 中点，若4AB =，则()PA PB PC +⋅=__________．16．直线25100x y --=与坐标轴围成的三角形的面积是_____________ . 三、解答题 17．如图，三棱柱中，侧面为菱形，.（1）证明：；（2）若，求二面角的正弦值. 18．如图，圆的半径为2，点是圆的一条半径的中点，是圆过点的动弦.(1)当是的中点时，求的值; (2)若，,,且.①,的值;②求的值.19．选修4-5：不等式选讲 已知关于的不等式（Ⅰ）当a=8时，求不等式解集； （Ⅱ）若不等式有解，求a 的范围.20．在直角坐标系中，直线l的参数方程为(t为参数）.以原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知圆C的极坐标方程为，设M是圆C上任一点，连接并延长到Q，使.(1)求点Q轨迹的直角坐标方程；(2)若直线l与点Q的轨迹相交于两点，点P的直角坐标为，求的值.21．一条隧道的横断面由抛物线弧及一个矩形的三边围成，尺寸如图所示单位：，一辆卡车空车时能通过此隧道，现载一集装箱，箱宽3m，车与箱共高，此车是否能通过隧道？并说明理由．22．如图，四棱锥的底面四边形ABCD为菱形，平面ABCD，，，E为BC的中点．求证：平面PAD；求二面角的平面角的余弦值．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题13．14．3615．216．5三、解答题17．（1）见解析；（2）【解析】试题分析：（1）连接，交于点菱形性质得根据线面垂直判定定理得平面即得结论，（2）根据条件建立空间直角坐标系，设立各点坐标，利用方程组解各面法向量，根据向量数量积求夹角，最后根据二面角与向量夹角相等或互补关系求二面角的正弦值.试题解析：（1）证明：连接，交于点，连接，因为侧面为菱形，所以，且为与的中点，，∴，又，所以平面.故（2）在中，∵，∴.结合（1）可知，三条直线两两垂直，因此，以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系.在中，∵，∴，又因为为的中点，所以.因为，所以为等边三角形，因为，所以，.所以，，，.，，设是平面的一个法向量，则，即，所以可取，则.同理，平面一个法向量则，所以.18．（1）（2）.【解析】分析：（1）先根据是的中点时，解得,再根据向量数量积定义求的值;（2）①根据解得，再根据分解唯一性得,的值; ②由得，再根据向量夹角公式得结果.详解：解：（1）因为为圆的弦的中点，所以因为为的中点，所以在中, ,所以,所以所以（2）①因为所以所以又，且与不共线所以，②因为所以即因为,所以所以因此.点睛：平面向量与几何综合问题的求解方法(1)坐标法：把几何图形放在适当的坐标系中，则有关点与向量就可以用坐标表示，这样就能进行相应的代数运算和向量运算，从而使问题得到解决．(2)基向量法：适当选取一组基底，沟通向量之间的联系，利用向量间的关系构造关于未知量的方程来进行求解．19．(1).(2).【解析】分析：（Ⅰ）利用零点分类讨论法解不等式. （Ⅱ）转化为，再求分段函数的最小值得解.详解：（I）当a=8时，则所以即不等式解集为.（II）令，由题意可知；又因为所以，即.点睛：（1）本题主要考查零点讨论法解不等式，考查不等式的有解问题，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分类讨论思想方法. (2)第2问可以转化为，注意是最小值，不是最大值，要理解清楚，这里是有解问题，不是恒成立问题.20．（1）；（2）.【解析】分析：（1）把圆C的极坐标方程化为直角坐标方程，设动点，由得出，把M点坐标代入圆C方程即得Q点轨迹方程；（2）由于直线的参数方程是过P点的标准参数方程，因此参数具有几何意义，直接把参数方程代入Q点轨迹方程，由韦达定理可得，而，变形即得．详解：（1）圆的直角坐标方程为，设，则，∴∴这就是所求的直角坐标方程.（2）把代入，即代入得，即令对应参数分别为，则，所以.点睛：本题考查极坐标方程与直角坐标方程的互化，考查直线的参数方程，考查用动点转移法求动点轨迹方程．利用直线标准参数方程中参数的几何意义求解直线与曲线相交问题中线段长度有关问题是必须掌握的基本方法，为此须用到韦达定理．21．见解析【解析】【分析】建立直角坐标系，得到A、B的坐标，设抛物线方程为，并求得其方程，依题意，集装箱上表面距抛物线型隧道拱顶，从而设抛物线上点D的坐标为，计算即可判断．【详解】以抛物线的上顶点为原点，建立坐标系，则，．设抛物线方程为，将B点坐标代入，得，．抛物线方程为．车与箱共高集装箱上表面距抛物线型隧道拱顶．设抛物线上点D的坐标为，则，，，故此车不能通过隧道．【点睛】本题考查抛物线的简单性质，求得抛物线方程是关键，考查分析推理与运算能力，属于中档题．22．(1)详见解析；(2)【解析】【分析】连结BD，证明推出然后证明平面PAD；以点D为原点，DA，DE，DP所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系求出平面BAD的一个法向量，平面PBA一个法向量，利用空间向量的数量积求解平面PAD与平面PBC所成角的二面角的平面角的余弦值．【详解】连结BD，由已知得与都是正三角形．又因为点E为边BC的中点，所以又因为，所以．又平面ABCD，平面ABCD，所以又因为，AD，平面PAD，所以平面以点D为原点，DA，DE，DP所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系．由知平面BAD的一个法向量为，0，，0，所以，．设平面PBA一个法向量为，由，得，．取，则，故．设与的夹角为，则所以平面PAD与平面PBC所成角的二面角的平面角的余弦值为【点睛】本题考查直线与平面垂直的判断定理的应用，二面角的平面角的求法，考查空间想象能力以及计算能力．面面角一般是定义法，做出二面角，或者三垂线法做出二面角，利用几何关系求出二面角，也可以建系来做。
甘肃省兰州市第四片区2021学年上学期高二年级期末考试数学试卷(文科)
甘肃省兰州市第四片区2020－2021学年上学期高二年级期末考试数学试卷（文科）（满分150分 考试时间120分钟）一、选择题（共12小题， 共60分）1椭圆的离心率是（ ）A ．133B ．53C ．23D ．592．命题“0x ∃∈R ，0122x <或200x x >”的否定是（ ） A ．0x ∃∈R ，0122x≥或200x x ≤ B ．x ∀∈R ，122x≥或2x x ≤ C ．x ∀∈R ，122x ≥且2x x ≤ D ．0x ∃∈R ，0122x ≥且200x x ≤ 3．《九章算术》有这样一个问题：今有女子善织，日增等尺，七日共织二十八尺，第二日、第五日、第八日所织之和为十五尺，则第十日所织尺数为（ ）A 9B 10C 11D 124．已知等差数列{}n a 的公差为d ，前n 项和为n S ，则“0d >”是“4652S S S +>”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5．已知:p “a b >”是“22ab>”的充要条件，:q x ∃∈R ，|1|x x +≤，则（ ） A ．()p q ⌝∨为真命题 B ．p q ∨为真命题 C ．p q ∧为真命题D ．()p q ∧⌝为假命题6、抛物线22y x =的准线方程是（ ） A ．12xB ．12y C ．12x D ．12y 7已知三个数1，a ，9成等比数列，则圆锥曲线2212x y a +=的离心率为（ ）A 5B 3C 53D 3108若变量x y ，满足约束条件111x y y x x +≥⎧⎪-≤⎨⎪≤⎩，则2z x y =-的最小值为（ ）A 1- .0 C9．在△ABC 中，a ＝错误!b ，A ＝120°，则角B 的大小为（ ）A ．30°B ．45°C ．60°D ．90° 10．△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，＝5，c ＝2，cos A ＝32，则b ＝（ ） A 2 B 3 C ．2 D ．311．已知双曲线22:13x E y -=，F 为E 的左焦点，P ，Q 为双曲线E 右支上的两点，若线段PQ 经过点(2,0)，PQF △的周长为PQ 的长为（ ）A ．2B ．C ．4D ．12．过抛物线2(:20)x py p C =>的焦点F 作直线与该抛物线交于A ，B 两点，若3||||AF BF =，O 为坐标原点，则||||AF OF =（ ） A ．43B ．34 C ．4 D ．54二、填空题（共4小题，共20分）13．若双曲线221y x m-=m ＝_________14若直线)0,0(,1>>=+b a bya x 过点（2，4），则b a +2的最小值为15若“0322>--x x ”是“a x >”的必要不充分条件，则a 的最小值是 16．已知数列{a n }中，a 1＝1，若a n ＝2a n －1＋1（n ≥2），则5a 的值是__________．三、解答题（共6小题，共70分）17（本小题满分12分）已知{}n a 为等差数列， n S 为其前n 项和，若1356,0a a a =+= （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）求n S 的最大值时． 18（本小题满分10分）已知命题∀02≥-a x ∃02202=-++a ax x a c 73=a 30=A AB F 1∆B F AF 222={}n a n S 2323-=n n a S {}n a 1log 9+=na nb ：)0(,12222>>=+b a by a x 的离心率与双曲线E ：122=-y x 的离心率互为倒数，且椭圆的右顶点是抛物线C ：x y 82=的焦点．（1）求椭圆M 的方程；（2）已知N （1，0），若点上任意一点，求PN 的最值．【试题答案】一、选择题（共12小题， 共60分）1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 BCBCBCDAADBA二、填空题（共4小题，共20分）13 2 14 16 15 3 16 31三、解答题（共6小题，共70分）17（本小题满分12分）解：（1）设等差数列{}n a 的公差为d 因为 1356,0a a a =+=所以04626=+++d d ，解得d ＝－2因此n d n a a n 28)1(1-=-+= －－－－－－－－－－－－－－－－－6分 求数列{}n a 的通项公式； （2）由题意可知n n d n n na S n 72)1(21+-=-+= 当n ＝3或者n ＝4时，n S 的值最大．此时最大值为1243==S S －－－－－－－－－－－－－－－－12分 18（本小题满分10分） 解∵∀∃2a2314132114337342121734321AF F ∆,3=b 1,2==c a 13422=+y x 033=-+y x ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-533,58B 5381=∆AB F S ),(n m B ),0(b A )0,1(2F B F 2→→=B F AF 222n)1,-2(m =(1,-b))2,23(),(b n m -=32=a 2222=-=c a b 12322=+y x 2323232311-=a a 2≥n )2323(232311---=---n n n n a a S S 13-=n n a a n n a 3=31=a n n a 3=n n a 3=12+=n b n 231=b 21=d 452n n T n +=2的离心率22==a c e ，由⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+===222222c b a a ca 得a ＝2，c ＝2，b ＝2，所以故椭圆M 的方程为12422=+y x ． －－－－－－－－－－－－－－6分 （2）设P 点坐标为),(n m ，则)22(,12422≤≤-=+m n m ， 3221)1(222+-=+-=m m n m PN 因为22≤≤-m所以1,3min max ==PN PN ． －－－－－－－－－－－－－－12分。
甘肃省兰州市2021届数学高二上学期期末调研试卷
甘肃省兰州市2021届数学高二上学期期末调研试卷一、选择题1．已知函数()cos()0,||2f x A wx w πφφ⎛⎫=+><⎪⎝⎭的部分图象如图所示，其中N ，P 的坐标分别为5,A 8π⎛⎫- ⎪⎝⎭，11,08π⎛⎫- ⎪⎝⎭，则函数f （x ）的单调递减区间不可能为（ ）A.5,88ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦B.73,88ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦C.921,48ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦D.933,88ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦2．已知随机变量()21,N ～ξσ，若(3)0.2P ξ>=，则()1(P ξ≥-=)A ．0.2B ．0.8C ．0.1D ．0.93．在一次连环交通事故中，只有一个人需要负主要责任，但在警察询问时，甲说：“主要责任在乙”；乙说：“丙应负主要责任”；丙说“甲说的对”；丁说：“反正我没有责任”．四人中只有一个人说的是真话，则该事故中需要负主要责任的人是（ ） A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁4．已知向量|a b +|=||a b -，且||||2a b ==,则|2|a b -=（ ）A.B.2C.5．一个盒子里有7只好的晶体管、5只坏的晶体管，任取两次，每次取一只，每一次取后不放回，在第一次取到好的条件下，第二次也取到好的概率（ ） A ．38B ．722C ．611D ．7126．中国明代商人程大位对文学和数学也颇感兴趣，他于60岁时完成杰作《直指算法统宗》，这是一本风行东亚的数学名著，该书第五卷有问题云：“今有白米一百八十石，令三人从上及和减率分之，只云甲多丙米三十六石，问：各该若干？”翻译成现代文就是：“今有百米一百八十石，甲乙丙三个人来分，他们分得的米数构成等差数列，只知道甲比丙多分三十六石，那么三人各分得多少米？”请你计算甲应该分得( ) A ．78石 B ．76石 C ．75石 D ．74石7．已知等差数列的公差为2，前项和为，且，则的值为（ ）A ．16B ．15C ．14D ．138．曲线12x y e =在点()24,e 处的切线与坐标轴所围三角形的面积为（ ）A ．2eB ．24eC ．22eD ．292e 9．已知函数()f x 的定义域为()0,∞+，()'fx 是()f x 的导函数，且满足()()'f x xf x >，则不等式()()()2111f x x f x ->-+的解集为（ ）A.()1,+∞B.()1,2C.()2,+∞D.()0,110．设椭圆22:1259x y C +=的左、右焦点分别为12,F F ，P 是C 上任意一点，则12PF F ∆的周长为A.9B.13C.15D.1811．已知定义在R 上的可导函数()f x 满足： ()()'0f x f x +<，则()221m m f m m e-+-与()1f 的大小关系是（ ） A ．()()2211m m f m m f e-+-> B ．()()2211m m f m m f e-+-< C ．()()2211m m f m m f e-+-≥ D ．不确定12．已知全集{}1,2,3,4,5,6,7,8U =，集合{}2,3,5,6A =，集合{}1,3,4,6,7B =，则集合U A B ⋂=ð（ ） A.{}2,5 B.{}3,6C.{}2,5,6D.{}2,3,5,6,8二、填空题13．若()*3nx n N ⎛∈ ⎝的展开式的第3项的二项式系数为36，则其展开式中的常数项为________. 14．设实数满足，则的最小值为______15．已知双曲线C 与椭圆221925+=x y 有共同的焦点，且它们的离心率之和为145，则双曲线C 的方程是_______16．在平面直角坐标系xOy 中，角α与角β均以的Ox 为始边，它们的终边关于y轴对称。
兰州市第四片区2020-2021学年高二上学期期末考试 数学(理+)试题(含答案)
兰州市第四片区2020-2021学年高二上学期期末考试数学（理）试题卷I （选择题）一、 选择题 （本题共计 12 小题 ，每题5分 ，共计60分. ） 1. 命题“若α=π4，则tanα=1”的逆否命题是( ) A.若α≠π4，则tan α≠1 B.若α=π4，则tanα≠1 C.若tanα≠1，则α≠π4 D.若tan α≠1，则α=π4 2. 命题“∀x ∈R ，e x ≥x +1”的否定是（ ） A.∀x ∈R ，e x <x +1 B.∃x 0∈R ，e x 0≥x 0+1 C.∀x ∉R ，e x <x +1D.∃x 0∈R ，e x 0<x 0+13. 双曲线2x 2−y 2=8的实轴长是（ ） A.2B.2√2C.4D.4√24. 若点M 在平面ABC 内，且满足 OM →=pOA →+2OB →−3OC →（点O 为空间任意一点），则抛物线y 2=2px 的准线方程是（ ） A.x =−1 B.x =1C.y =−1D.y =15. 命题“设a 、b 、c ∈R ，若ac 2>bc 2，则a >b ”的逆命题、否命题、逆否命题中真命题共有（ ） A.0个B.1个C.2个D.3个6. 已知命题p ：函数f (x )=x +4x(x ≠0)的最小值为4；命题q ：在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，则“A >B ”是“a >b ”的充要条件，则下列命题为真命题的是（ ） A.(¬p )∧qB.p ∨(¬q)C.p ∧qD.(¬p )∧(¬q )7. 已知F 1，F 2为双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a >0, b >0)的左、右焦点，以F 1F 2为直径的圆与双曲线右支的一个交点为P ，PF 1与双曲线相交于点Q ，且|PQ|＝2|QF 1|，则该双曲线的离心率为 （ ） A.√5B.2C.√3D.√528. 若抛物线y 2=2px(p >0)的焦点到双曲线x 28−y 2p=1的渐近线的距离为√24p ，则抛物线的标准方程为（ ） A.y 2=16xB.y 2=8xC.y 2=4xD.y 2=32x9. 设向量a →=(x −1, x)，b →=(x +2, x −4)，则“a →⊥b →”是“x =2”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件10. 命题p:对任意x ∈R ，x 2+x +1<0的否定是（ ）A.对任意x ∈R ，x 2+x +1≥0B.存在x ∈R ，x 2+x +1≥0C.对任意x ∈R ，x 2+x +1>0D.存在x ∈R ，x 2+x +1>011. “若x ≠a 且x ≠b ，则x 2−(a +b)x +ab ≠0”的否命题是（ ） A.若x =a 且x =b ，则x 2−(a +b)x +ab =0B.若x =a 或x =b ，则x 2−(a +b)x +ab ≠0C.若x =a 且x =b ，则x 2−(a +b)x +ab ≠0D.若x =a 或x =b ，则x 2−(a +b)x +ab =012. 下列命题中错误的个数是（）①命题“若x2−3x+2=0，则x=1”的否命题是“若x2−3x+2=0，则x≠1”①命题P:∃x0∈R，使sinx0>1，则￢P:∀x0∈R，使sinx0≤1①若P且q为假命题，则P、q均为假命题①“φ=π2+2kπ(k∈Z)”是函数y=sin(2x+φ)为偶函数的充要条件．A.1B.2C.3D.4卷II（非选择题）二、填空题（本题共计 4 小题，每题5分，共计20分. ）13. 设a，b∈R，则“a+b>4”是“a>2且b>2” 的________条件．14. 设变量x、y满足约束条件{y≥0,x−y+1≥0,x+y−3≤0,则z=2x+y的最大值为________．15. 满足约束条件{√3x+y≥0(x−2)2+y2≤4的点P(x, y)所在平面区域的面积为________．16. 设命题p：函数y=lg(ax2+ax+1)的定义域为R，若p是真命题，则实数a的取值范围________．三、解答题（本题共计 6 小题，17题 10 分，其它题12分，共计70分 . ）17. 若a>0，b>0，求证：(a+b)(1a +1b)≥4．18. 已知椭圆M：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为2√23，且椭圆上一点与椭圆的两个焦点构成的三角形的周长为6+4√2.(1)求椭圆M的方程；(2)设直线l：x=ky+m与椭圆M交于A，B两点，若以AB为直径的圆经过椭圆的右顶点C，求m的值.19.已知p:−4<x−a<4，q：(x−2)(3−x)>0，若¬p是¬q的充分条件，则实数a的取值范围是．20. f(x)=x2−2x−8，g(x)=2x2−4x−16.(1)求不等式g(x)<0的解集；(2)若对一切x>2，均有f(x)≥(m+2)x−m−15成立，求实数m的取值范围．21. 某工厂生产的某种产品，当年产量在150吨至250吨之间时，年生产总成本y（万元）与年产量x（吨）之间的关系可近似地表示成y=x210−30x+4000，问年产量为多少时，每吨的平均成本最低？并求出该最低成本．22. 已知椭圆x24+y29=1，一组平行直线的斜率是32．(1)这组直线何时与椭圆相交？(2)当它们与椭圆相交时，证明这些直线被椭圆截得的线段的中点在一条直线上．参考答案一、选择题（本题共计 12 小题，每题5 分，共计60分）1.C2.D3.C4.A5.B6.A7.A8.A9.B10.B11.D12.C二、填空题（本题共计 4 小题，每题5 分，共计20分）13.必要不充分条件14.615.10π3+√316.0≤a<4三、解答题（本题共计 6 小题，共计70分）17.证明：左式=1+ba+ab+1≥2+2√ba×ab=4=右式．∴ (a+b)(1a+1b)≥4．18.解：(1)由题意，可得2a+2c=6+4√2，即a+c=3+2√2.又椭圆的离心率为2√23，即e=ca=2√23，所以a=3，c=2√2，所以b2=a2−c2=1，所以椭圆M的方程为x29+y2=1.(2)由{x=ky+m,x29+y2=1消去x得(k2+9)y2+2kmy+m2−9=0.设A(x1, y1)，B(x2, y2)，由韦达定理得y1+y2=−2kmk2+9，y1y2=m2−9k2+9.因为以AB为直径的圆过椭圆右顶点C(3, 0)，所以CA→⋅CB→=0.由CA→=(x1−3,y1)，CB→=(x2−3,y2)，得(x1−3)(x2−3)+y1y2=0.将x1=ky1+m，x2=ky2+m代入上式，得(k 2+1)y 1y 2+k(m −3)(y 1+y 2)+(m −3)2=0， 即(k 2+1)×m 2−9k 2+9+k(m −3)×(−2kmk 2+9)+(m −3)2=0，解得m =125或m =3.\19.解：p:−4<x −a <4⇔a −4<x <a +4，q ：(x −2)(3−x)>0⇔2<x <3． 又¬p 是¬q 的充分条件，即¬p ⇒¬q ，它的等价命题是q ⇒p ． 所以{a −4≤2a +4≥3解得−1≤a ≤6．20.解：(1)由g(x)=2x 2−4x −16<0，得x 2−2x −8<0， 即(x +2)(x −4)<0，解得−2<x <4． 所以不等式g(x)<0的解集为{x|−2<x <4}； (2)因为f(x)=x 2−2x −8，当x >2时，f(x)≥(m +2)x −m −15成立， 则x 2−2x −8≥(m +2)x −m −15成立， 即x 2−4x +7≥m(x −1), 所以对一切x >2，均有不等式x 2−4x+7x−1≥m 成立．而x 2−4x+7x−1=(x −1)+4x−1−2≥2√(x −1)×4x−1−2=2（当x =3时等号成立）．所以实数m 的取值范围是(−∞, 2]．21.解：当年产量在150吨至250吨之间时，年生产总成本y （万元）与年产量x （吨）之间的关系 可近似地表示成y =x 210−30x +4000，可得平均成本为：x 10+4000x−30≥2√x10⋅4000x−30=10，当且仅当x 10=4000x即x =200时取等号，年产量为200吨时，每吨的平均成本最低，最低为10万元．22.(1)解：设一组平行直线的方程为y =32x +m ， 代入椭圆方程，可得：9x 2+4(94x 2+3mx +m 2)=36， 即为18x 2+12mx +4m 2−36=0. 由判别式大于0，可得： 144m 2−72(4m 2−36)>0， 解得−3√2<m <3√2，则这组平行直线的纵截距在区间(−3√2, 3√2)内时与椭圆相交. (2)证明：由(1)直线和椭圆方程联立， 可得：18x 2+12mx +4m 2−36=0， 即有x 1+x 2=−23m ， 截得弦的中点为(−13m, 12m)，由{x =−13m ，y =12m ， 消去m ，可得y =−32x ．则这些直线被椭圆截得的线段的中点在直线y =−32x 上．。
2020-2021学年甘肃省兰州市第四片区高二上学期期末考试数学(理 )试题 Word版
兰州市第四片区2020-2021学年高二上学期期末考试数学（理）（试题满分 150分 考试时间 120分钟）注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息;2．请将答案正确填写在答题卡上对应区域，答在试卷上不得分.卷I （选择题）一、 选择题 （本题共计 12 小题 ，每题5分 ，共计60分. ） 1. 命题“若α=π4，则tanα=1”的逆否命题是( ) A.若α≠π4，则tan α≠1 B.若α=π4，则tanα≠1 C.若tanα≠1，则α≠π4 D.若tan α≠1，则α=π4 2. 命题“∀x ∈R ，e x ≥x +1”的否定是（ ） A.∀x ∈R ，e x<x +1 B.∃x 0∈R ，e x 0≥x 0+1 C.∀x ∉R ，e x <x +1D.∃x 0∈R ，ex 0<x 0+13. 双曲线2x 2−y 2=8的实轴长是（ ） A.2B.2√2C.4D.4√24. 若点M 在平面ABC 内，且满足 OM →=pOA →+2OB →−3OC →（点O 为空间任意一点），则抛物线y 2=2px 的准线方程是（ ）A.x =−1B.x =1C.y =−1D.y =15. 命题“设a 、b 、c ∈R ，若ac 2>bc 2，则a >b ”的逆命题、否命题、逆否命题中真命题共有（ ） A.0个B.1个C.2个D.3个6. 已知命题p ：函数f (x )=x +4x(x ≠0)的最小值为4；命题q ：在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，则“A >B ”是“a >b ”的充要条件，则下列命题为真命题的是（ ） A.(¬p )∧qB.p ∨(¬q)C.p ∧qD.(¬p )∧(¬q )7. 已知F 1，F 2为双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a >0, b >0)的左、右焦点，以F 1F 2为直径的圆与双曲线右支的一个交点为P ，PF 1与双曲线相交于点Q ，且|PQ|＝2|QF 1|，则该双曲线的离心率为 （ ） A.√5B.2C.√3D.√528. 若抛物线y 2=2px(p >0)的焦点到双曲线x 28−y 2p=1的渐近线的距离为√24p ，则抛物线的标准方程为（ ） A.y 2=16xB.y 2=8xC.y 2=4xD.y 2=32x9. 设向量a →=(x −1, x)，b →=(x +2, x −4)，则“a →⊥b →”是“x =2”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件10. 命题p:对任意x ∈R ，x 2+x +1<0的否定是（ ）A.对任意x ∈R ，x 2+x +1≥0B.存在x ∈R ，x 2+x +1≥0C.对任意x ∈R ，x 2+x +1>0D.存在x ∈R ，x 2+x +1>011. “若x ≠a 且x ≠b ，则x 2−(a +b)x +ab ≠0”的否命题是（ ） A.若x =a 且x =b ，则x 2−(a +b)x +ab =0B.若x=a或x=b，则x2−(a+b)x+ab≠0C.若x=a且x=b，则x2−(a+b)x+ab≠0D.若x=a或x=b，则x2−(a+b)x+ab=012. 下列命题中错误的个数是（）①命题“若x2−3x+2=0，则x=1”的否命题是“若x2−3x+2=0，则x≠1”①命题P:∃x0∈R，使sinx0>1，则￢P:∀x0∈R，使sinx0≤1①若P且q为假命题，则P、q均为假命题①“φ=π2+2kπ(k∈Z)”是函数y=sin(2x+φ)为偶函数的充要条件．A.1B.2C.3D.4卷II（非选择题）二、填空题（本题共计 4 小题，每题5分，共计20分. ）13. 设a，b∈R，则“a+b>4”是“a>2且b>2” 的________条件．14. 设变量x、y满足约束条件{y≥0,x−y+1≥0,x+y−3≤0,则z=2x+y的最大值为________．15. 满足约束条件{√3x+y≥0(x−2)2+y2≤4的点P(x, y)所在平面区域的面积为________．16. 设命题p：函数y=lg(ax2+ax+1)的定义域为R，若p是真命题，则实数a的取值范围________．三、解答题（本题共计 6 小题，17题 10 分，其它题12分，共计70分 . ）17. 若a>0，b>0，求证：(a+b)(1a+1b)≥4．18. 已知椭圆M：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为2√23，且椭圆上一点与椭圆的两个焦点构成的三角形的周长为6+4√2.(1)求椭圆M的方程；(2)设直线l：x=ky+m与椭圆M交于A，B两点，若以AB为直径的圆经过椭圆的右顶点C，求m的值.19.已知p:−4<x−a<4，q：(x−2)(3−x)>0，若¬p是¬q的充分条件，则实数a的取值范围是．20. f(x)=x2−2x−8，g(x)=2x2−4x−16.(1)求不等式g(x)<0的解集；(2)若对一切x>2，均有f(x)≥(m+2)x−m−15成立，求实数m的取值范围．21. 某工厂生产的某种产品，当年产量在150吨至250吨之间时，年生产总成本y（万元）与年产量x（吨）之间的关系可近似地表示成y=x210−30x+4000，问年产量为多少时，每吨的平均成本最低？并求出该最低成本．22. 已知椭圆x24+y29=1，一组平行直线的斜率是32．(1)这组直线何时与椭圆相交？(2)当它们与椭圆相交时，证明这些直线被椭圆截得的线段的中点在一条直线上．高二理科数学参考答案一、选择题（本题共计 12 小题，每题5 分，共计60分）1.C2.D3.C4.A5.B6.A7.A8.A9.B10.B 11.D12.C二、填空题（本题共计 4 小题，每题5 分，共计20分）13.必要不充分条件14.615.10π3+√316.0≤a<4三、解答题（本题共计 6 小题，共计70分）17.证明：左式=1+ba+ab+1≥2+2√ba×ab=4=右式．∴ (a+b)(1a+1b)≥4．18.解：(1)由题意，可得2a+2c=6+4√2，即a+c=3+2√2.又椭圆的离心率为2√23，即e=ca=2√23，所以a=3，c=2√2，所以b2=a2−c2=1，所以椭圆M的方程为x29+y2=1.(2)由{x=ky+m,x29+y2=1消去x得(k2+9)y2+2kmy+m2−9=0.设A(x1, y1)，B(x2, y2)，由韦达定理得y1+y2=−2kmk2+9，y1y2=m2−9k2+9.因为以AB 为直径的圆过椭圆右顶点C(3, 0)， 所以CA →⋅CB →=0.由CA →=(x 1−3,y 1)，CB →=(x 2−3,y 2)， 得(x 1−3)(x 2−3)+y 1y 2=0.将x 1=ky 1+m ，x 2=ky 2+m 代入上式，得(k 2+1)y 1y 2+k(m −3)(y 1+y 2)+(m −3)2=0， 即(k 2+1)×m 2−9k 2+9+k(m −3)×(−2kmk 2+9)+(m −3)2=0，解得m =125或m =3.\19.解：p:−4<x −a <4⇔a −4<x <a +4，q ：(x −2)(3−x)>0⇔2<x <3． 又¬p 是¬q 的充分条件，即¬p ⇒¬q ，它的等价命题是q ⇒p ． 所以{a −4≤2a +4≥3解得−1≤a ≤6．20.解：(1)由g(x)=2x 2−4x −16<0，得x 2−2x −8<0， 即(x +2)(x −4)<0，解得−2<x <4． 所以不等式g(x)<0的解集为{x|−2<x <4}； (2)因为f(x)=x 2−2x −8，当x >2时，f(x)≥(m +2)x −m −15成立， 则x 2−2x −8≥(m +2)x −m −15成立， 即x 2−4x +7≥m(x −1), 所以对一切x >2，均有不等式x 2−4x+7x−1≥m 成立．而x 2−4x+7x−1=(x −1)+4x−1−2≥2√(x −1)×4x−1−2=2（当x =3时等号成立）．所以实数m 的取值范围是(−∞, 2]．21.解：当年产量在150吨至250吨之间时，年生产总成本y （万元）与年产量x （吨）之间的关系可近似地表示成y =x 210−30x +4000，可得平均成本为：x10+4000x−30≥2√x10⋅4000x−30=10，当且仅当x10=4000x即x =200时取等号，年产量为200吨时，每吨的平均成本最低，最低为10万元． 22.(1)解：设一组平行直线的方程为y =32x +m ，代入椭圆方程，可得：9x 2+4(94x 2+3mx +m 2)=36，即为18x 2+12mx +4m 2−36=0. 由判别式大于0，可得： 144m 2−72(4m 2−36)>0， 解得−3√2<m <3√2，则这组平行直线的纵截距在区间(−3√2, 3√2)内时与椭圆相交. (2)证明：由(1)直线和椭圆方程联立， 可得：18x 2+12mx +4m 2−36=0， 即有x 1+x 2=−23m ，截得弦的中点为(−13m, 12m)， 由{x =−13m ，y =12m ，消去m ，可得y =−32x ．则这些直线被椭圆截得的线段的中点在直线y =−32x 上．。
甘肃省兰州市2020-2021学年高二数学上学期第二片区丙组期末联考试题文
甘肃省兰州市20212021学年高二数学上学期第二片区丙组期末联考试题文高二文科数学试卷(本卷满分150分；考试时刻120分钟)注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息;2．请将答案正确填写在答题卡上对应区域，答在试卷上不得分.第I 卷（选择题）一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题意.）1.下列有关命题的说法错误的是( )A.命题“若0232=+-x x 则1=x ”的逆否命题为“若1≠x 则0232≠+-x x ” B.“1=x ”是“0232=+-x x ”的充分不必要条件 C ．若q p ∧为假命题，则p ，q 均为假命题D 关于命题R x p ∈∃：，使得012<++x x ,则R x p ∈∀⌝:,均有012≥++x x 2.已知)0,2(-M ，)0,2(N ，4=-PN PM ，则动点P 的轨迹是( )A.双曲线B.双曲线左边一支C.一条射线D.双曲线右边一支3. 已知椭圆1162522=+y x 上的一点P 到椭圆一个焦点的距离为3，则P 到另一个焦点的距离为( )A.9B.7C.5D.34.已知条件032:2<--x x p ，条件a x q >:，若p 是q 的充分不必要条件，则a 的取值范畴为( )A.3>aB.3≥aC.1-<aD.1-≤a5. “0<mn ”是“方程122=+ny mx 表示焦点在y 轴上的双曲线”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ． 必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件6.“关于x 的不等式022>+-a ax x 的解集为R ”的一个必要不充分条件是 ( ) A.10<<a B.310<<a C. 10≤≤a D. 0<a 或31>a7.设函数)(x f 可导，则xf x f x ∆-∆+→∆3)1()1(lim等于( )A.)1('fB.3)1('fC.)1('31f D.)3('f 8.已知点)0,3(M ，直线)3(+=x k y 与椭圆1422=+y x 相交于B A ,两点，则ABM ∆的周长为( )A.4B.8C.12D.16 9.已知直线kx y =与曲线x y ln =相切，则k 的值为( ) A. e B.e - C.e 1 D. e1- 10.设函数)(x f 在R 上可导，其导函数为)('x f ，且函数)(')1(x f x y -=的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是( )A.函数)(x f 有极大值)2(f 和极小值)1(fB.函数)(x f 有极大值)2(-f 和极小值)1(fC.函数)(x f 有极大值)2(f 和极小值)2(-fD.函数)(x f 有极大值)2(-f 和极小值)2(f11.设21,F F 分别为双曲线12222=-by a x )0,0(>>b a 的左,右焦点，双曲线上存在一点P使得b PF PF 321=+，ab PF PF 4921=⋅，则该双曲线的离心率为( ) A.34 B.35 C. 49 D.312.设函数)(),(x g x f 的定义域为R ,且)(x f 为奇函数，)(x g 是偶函数，当0<x 时，0)(')()()('>+x g x f x g x f 且0)3(=-g ,则不等式0)()(<x g x f 的解集为( )A.)3,0()0,3(⋃-B.),3()0,3(+∞⋃-C.)3,0()3,(⋃--∞D.),3()3,(+∞⋃--∞ 第II 卷（非选择题） 二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13. 函数1)(23+++=mx x x x f 是R 上的单调函数，则m 的取值范畴为 . 14.若函数1)1(2)(23+'+=x f x x f ，则=-)1(f ____.15.过抛物线)0(22>=p px y 的焦点F 作倾斜角为45的直线交抛物线于B A ,两点，若线段AB 的长为8，则=p _____.16. 函数312)(3+-=x x x f ，m x g x-=3)(，若]5,1[1-∈∀x ，]2,0[2∈∃x ，)()(21x g x f ≥，则实数m 的最小值是_____.三、解答题（本题共6小题，共70分，解承诺写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. (10分) 在圆422=+y x 上任取一点P ，过点P 作x 轴的垂线段PD ，D 为垂足.当点P 在圆上运动时，求线段PD 的中点M 的轨迹方程.18.(12分)(1)已知椭圆两个焦点的坐标分别是)(02，-，)(02，，同时通过点 ⎝⎛⎪⎭⎫-2325，，求它的标准方程；（2）已知双曲线两个焦点的坐标分别是)(60-，，)(60，，同时通过点)(52-，，求它的标准方程.19. (12分)已知函数5)(23+++=bx ax x x f ，曲线)(x f y =在点))1(,1(f P 处的切线方程为13+=x y . (1)求b a ,的值；(2)求函数)(x f y =在[-3,1]上的最大值.20. (12分)已知命题p ：关于x 的不等式1>xa的解集是{}0|<x x ，命题q : 函数a x ax y +-=2的定义域为R .若q p ∨是真命题，q p ∧是假命题，求实数a 的范畴.21.(12分)已知函数x a ax x x f )1(21ln )(2-+-=. (1)当2=a 时，求函数)(x f 的单调递增区间； (2)当0>a 时，试确定函数)(412x f a y -=的零点个数，并说明理由.22.(12分)已知椭圆)0(12222>>=+b a by a x C ：的离心率为36，短轴一个端点到右焦点的距离为3.(1)求椭圆C 的方程；(2)设直线l 与椭圆C 交于B A ,两点，坐标原点O 到直线l 的距离为23，求AOB ∆面积的最大值.高二文科数学答题卡班级：______________姓名：________________考场：______________座号：________________一、选择题（每小题5分，共计60分）二、填空题（每小题5分，共计20分）13. ____________________________；14.；．15. ____________________________；16.。
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兰州市2021届数学高二上学期期末检测试题一、选择题1．已知集合{}0+2M x x =≤≤4，{}2,3N =-，则M N =A ．∅B ．{}2-C ．{}2D ．{}2,2-2．已知y x ，均为正实数，若2x 与2y 的等差中项为2，则2y x +的取值范围是（ ） A.(,4)-∞B.(0,4)C.[]0,4D.(],4-∞3．已知集合{}2|3410A x x x =-+≤,{|B x y ==,则A B =( )A.3(,1]4B.3,14⎡⎤⎢⎥⎣⎦C.13,34⎡⎤⎢⎥⎣⎦D.13[,)344．已知x 和y 之间的一组数据则y 与x 的线性回归方程ˆˆˆybx a =+必过点( ) A.(2,2)B.3,42⎛⎫⎪⎝⎭C.(1,2)D.2,03⎛⎫⎪⎝⎭5．已知x ，y ∈（0，+∞），且满足，那么x+4y 的最小值为A ．6B ．3C ．3D ．36．“14m <”是“一元二次方程20x x m ++=”有实数解的 A.充分非必要条件 B.充分必要条件 C.必要非充分条件D.非充分必要条件7．对于实数x ，y ，若:2p x ≠或y 1,:3q x y ≠+≠，则p 是q 的（ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 8．已知函数，在区间内任取一点，使的概率为（ ）A.B.C.D.9．已知抛物线C ：24y x =，过点()2,0P 的直线l 与抛物线C 交于不同的两点M ，N ，设()2,0Q -，QMQN λ=，且(]1,11,22λ⎡⎫∈⋃⎪⎢⎣⎭时，则直线MN 斜率的取值范围是( ) A.][(),22,-∞-⋃+∞ B.][(),33,-∞-⋃+∞ C.[)(]2,00,2-⋃D.[)(]3,00,3-⋃10．若1(3)()nx n N x-∈*的展开式中各项系数和为64，则其展开式中含2x -项的系数为（ ） A ．540B ．540-C ．135D ．135-11．已知()f x 是定义在R 上的可导函数，()f xy e '=的图象如下图所示，则()y f x =的单调减区间是（ ）A.(),1-∞-B.(),2-∞C.()0,1D.()1,212．极坐标方程()()()100ρθπρ--=≥，表示的图形是（ ） A ．两个圆B ．一个圆和一条直线C ．一个圆和一条射线D ．一条直线和一条射线二、填空题13．若7280128(1)(12)x x a a x a x a x +-=++++，则1278a a a a ++++的值为________14．在某学校图书馆的书架上随意放着编号为1,2,3,4,5的五本书，若某同学从中任意选出2本书，则选出的2本书编号相连的概率为______．15．在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若22a b -=，sinC =，则A =______．16．已知地球表面及约是火星表面积的4倍，则地球体积是火星体积的_____． 三、解答题 17．已知函数,函数(1)若,求不等式的解集; (2)若对任意,均存在,使得成立,求实数的取值范围.18．如图，直三棱柱中，，，D ，E 分别是BC ，的中点．证明：平面平面ADE ；求三棱锥的高．19．已知函数（1）当时，若关于的不等式恒成立，求的取值范围；（2）当时，证明：．20．某学校1800名学生在一次百米测试中，成绩全部介于13秒与18秒之间，抽取其中50名学生组成一个样本，将测试结果按如下方式分成五组：第一组，第二组……，第五组，如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图.（1）请估计学校1800名学生中，成绩属于第四组的人数；（2）若成绩小于15秒认为良好，求该样本中在这次百米测试中成绩良好的人数；（3）请根据频率分布直方图，求样本数据的众数、平均数.21．用综合法或分析法证明：（1）如果，则；（2）．22．已知复数.实数取什么值时，是（1）实数？（2）虚数？（3）纯虚数？【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题13．314．2 515．03016．8倍三、解答题17．（1），（2）【解析】分析：（1）根据绝对值的定义分类去掉绝对值符号后解相应不等式；（2）求出的最小值，的最小值，然后再解不等式，注意分类讨论．详解：（1）依题意得当时，，或，；当时，，无解所以原不等式的解集为（2）因为所以当时，当时，所以当时，在上单调增，在上单调增，在上单调减当时，，则在上单调增，在上单调减，在上单调增当时，的上单调增，又因为所以①当时，在上单调增，②当时，又因为，结合时，的单调性，故，综上，，又因为，所以①当时，；②当时，综上得：当时，由得，故当时，由得，故当时，由得，故综上所述：的取值范围是点睛：不等式恒成立问题的等价转化：①对任意，，恒成立；②对任意，存在，使成立；③存在，对任意，使成立．18．(1)见解析；（2）.【解析】分析：（1）要证明平面平面，利用平面与平面垂直的判定定理，在其中一个平面内找一条直线与另一个平面垂直。
由，是的中点，可得。
因为三棱柱为直三棱柱，所以平面，进而可得。
由已知条件直三棱柱中，，，分别是的中点．可得：，进而得∽，所以，所以。
因为，由直线与平面垂直的判定定理可得平面，再由平面与平面垂直的判定定理可得平面平面。
（2）求三棱锥的高，直接作高不容易判断垂足的位置，故可以用等体积法求高。
由（1）可知可用来求。
由（1）知直线平面ADE，故求，,，进而求得。
由条件可求得，，知三角形边长要求面积，应先求一个角，故由余弦定理推论可得：，进而求，可求, 设三棱锥的高为，由，得：，解得.详解：（1）由已知得：所以∽所以，所以又因为，是的中点，所以所以平面，所以而，所以平面又平面，所以平面平面；（2）设三棱锥的高为，因为,所以，由已知可求得，，在中，由余弦定理的推论可得，所以，所以,由，得：，所以.点睛：（1）立体几何中证明平面与平面垂直，应注意直线与直线垂直、直线与平面垂直、平面与平面垂直的互相转化；（2）证明面面垂直需注意以下几点：①由已知想性质，由求证想判定，即分析法与综合法相结合寻找证题思路。
②立体几何论证题的解答中，利用题设条件的性质适当添加辅助线（或面）是解题的常用方法之一。
③明确何时应用判定定理，何时应用性质定理，用定理时要先申明条件再由定理得出相应结论。
（3）求点到平面的距离，一种方法，作高求高；一种方法，利用三棱锥等体积转化求高。
19．（1）.（2）见解析.【解析】试题分析：（1）由，得恒成立，令.求出的最小值，即可得到的取值范围；∵为数列的前项和，为数列的前项和.∴只需证明即可.试题解析：（1）由，得.整理，得恒成立，即.令.则.∴函数在上单调递减，在上单调递增.∴函数的最小值为.∴，即.∴的取值范围是.（2）∵为数列的前项和，为数列的前项和.∴只需证明即可.由（1），当时，有，即.令，即得.∴.现证明，即.现证明.构造函数，则.∴函数在上是增函数，即.∴当时，有，即成立.令，则式成立.综上，得.对数列，，分别求前项和，得.20．人；（2）人； 15.70.【解析】试题分析：（1）利用频率分布直方图能估计学校1800名学生中，成绩属于第四组的人数．（2）利用频率分布直方图能求出该样本在这次百米测试中成绩良好的人数．（3）根据频率分布直方图，能求出样本数据的众数、中位数．解析：学校1800名学生中，成绩属于第四组的人数人；（2）样本在这次百米测试中成绩良好的人数是：人；由图可知众数落在第三组，是，.21．(1)见证明；(2)见证明【解析】【分析】（1）利用基本不等式，结合y=lgx在（0，+∞）上增函数即可证明；（2）用分析法证明不等式成立，就是寻找使不等式成立的充分条件，直到使不等式成立的充分条件显然成立为止．【详解】证明：（1）当a，b＞0时，有≥＞0，∴lg≥lg，∴lg ≥lg （ab）=．∴lg≥；（2）要证+＞2+2，只要证（+）2＞（2+2）2，即2＞2，显然成立的，所以，原不等式成立．【点睛】本题考查综合法或分析法，考查对数函数的单调性和定义域，基本不等式的应用，掌握这两种方法证明不等式是关键，属于中档题．22．(1) 当时，为实数.(2) 当时，为虚数.(3) 不存在实数使得为纯虚数.【解析】分析：根据复数的有关概念建立等量关系关系即可．详解：（1）若复数是实数则，即，即a=6．（2）若复数是虚数，则，即，即a≠±1且a≠6．（3）若复数是纯虚数，则，即，此时无解．点睛：本题主要考查复数的有关概念，根据实部和虚部的对应关系是解决本题的关键．。