冀教版八年级数学上册《第十七章特殊三角形》单元测试题含答案

第十七章特殊三角形
一、选择题(每小题4分，共32分)
1．下列说法中，正确的有( )
①等腰三角形的两腰相等；②等腰三角形的两底角相等；③等腰三角形底边上的中线与底边上的高相等；④等腰三角形是轴对称图形．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．长度为下列四组数据的线段中，可以构成直角三角形的是( )
A．1，2，3 B．2，3，4
C．3，4，5 D．4，5，6
3．如果一个等腰三角形的两边长分别是4 cm和5 cm，那么此三角形的周长是( )
A．13 cm B．14 cm
C．15 cm D．13 cm或14 cm
4．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D，E在BC边上，∠ABD＝∠DAE＝∠EAC＝36°，则图中等腰三角形的个数是( )
A．4 B．5
C．6 D．7
5．如图，AC＝BC＝10 cm，∠B＝15°，若AD⊥BD于点D，则AD的长为( )
A．3 cm B．4 cm
C．5 cm D．6 cm
6．在△ABC中，AB＝20，AC＝15，AD为BC边上的高，且AD＝12，则△ABC的周长为( ) A．42 B．60 C．42或60 D．25
7．如图，AD是△ABC的角平分线，DF⊥AB，垂足为F，DE＝DG，△ADG和△AED的面积分别为50和39，则△EDF的面积为( )
A．11 B．5.5 C．7 D．3.5
8．如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝20 cm，AC＝12 cm，点P从点B出发以每秒3 cm的速度向点A运动，点Q从点A出发以每秒2 cm的速度向点C运动，点P，Q同时出发，其中一个点到达端点时，另一个点也随之停止运动，当△APQ是等腰三角形时，运动的时间是( ) A．2.5s B．3s C．3.5s D．4s
二、填空题(每小题4分，共24分)
9．若用反证法证明“三个内角不相等的三角形不是等腰三角形”，可先假设这个三角形是
____________．
10．如图，AC⊥BC于点C，DE⊥BE于点E，BC平分∠ABE，∠BDE＝58°，则∠A＝________°.
11．若直角三角形两条直角边的长分别为5，12，则斜边长为________，斜边上的高为________．12．如图，在Rt△ABC与Rt△DCB中，已知∠A＝∠D＝90°，请你添加一个条件(不添加字母和辅助线)，使Rt△ABC≌Rt△DCB，你添加的条件是________．
13．在等腰三角形ABC中，∠A＝30°，AB＝8，则AB边上的高CD的长是______________．14．如图是一种“羊头形”图案，其作法为：从正方形①开始，以它的一边为斜边，向外作等腰直角三角形，然后再以其直角边为边，分别向外作正方形②、②′，以此类推．若正方形①的边长为64 cm，则正方形⑦的边长为________cm.
三、解答题(共44分)
15．(10分)如图，在△ABC和△DCB中，∠A＝∠D＝90°，AC＝BD，AC与BD相交于点O.
(1)求证：△ABC≌△DCB；
(2)试判断△OBC的形状，并证明你的结论．
16．(10分)如图，在等边三角形ABC中，点D，E分别在边BC，AC上，且DE∥AB，过点E作EF⊥DE，交BC的延长线于点F.
(1)求∠F的度数；
(2)若CD＝2，求DF的长．
17．(12分)如图，已知锐角三角形ABC的两条高BE，CD相交于点O，且OB＝OC.
(1)求证：△ABC是等腰三角形；
(2)判断点O是否在∠BAC的平分线上，并说明理由．
18．(12分)如图，△ABC是边长为6的等边三角形，P是AC边上一动点，Q是CB延长线上一动点，点P由点A向点C运动(与点A，C不重合)，点Q同时以相同的速度由点B向CB延长线方向运动(点Q与点B不重合)，过点P作PE⊥AB于点E，连接PQ交AB于点D.
(1)当∠BQD＝30°时，求AP的长．
(2)在运动过程中线段ED的长是否发生变化？如果不变，求出线段ED的长；如果改变，请说明理由．
1．D 2.C 3．D 4．C 5．C 6．C 7．B 8．D
9．等腰三角形 10．58
11．13
6013
12．答案不唯一，如AB ＝DC 13．4或4 3或4
3
3
14．8
15．解：(1)证明：在Rt △ABC 和Rt △DCB 中，
⎩
⎪⎨⎪⎧AC ＝BD ，BC ＝BC ， ∴Rt △ABC ≌Rt △DCB(HL)． (2)△OBC 是等腰三角形． 证明：∵Rt △ABC ≌Rt △DCB ， ∴∠ACB ＝∠DBC ， ∴OC ＝OB ，
∴△OBC 是等腰三角形．
16．[解析] (1)根据平行线的性质可得∠EDC ＝∠B ＝60°，在Rt △DEF 中，根据三角形内角和定理求解；(2)易证△EDC 是等边三角形，再根据直角三角形的性质求解．
解：(1)∵△ABC 是等边三角形，∴∠B ＝60°. ∵DE ∥AB ，∴∠EDC ＝∠B ＝60°. ∵EF ⊥DE ，∴∠DEF ＝90°，
∴∠F ＝90°－∠EDF ＝90°－60°＝30°. (2)∵△ABC 是等边三角形，∴∠ACB ＝60°. ∵∠ACB ＝60°，∠EDC ＝60°，
∴△EDC 是等边三角形，∴DE ＝DC ＝2.
∵∠DEF ＝90°，∠F ＝30°，∴DF ＝2DE ＝4. 17．解：(1)证明：∵OB ＝OC ， ∴∠OBC ＝∠OCB.
∵BE ，CD 是△ABC 的两条高， ∴∠CEB ＝∠BDC ＝90°. 又∵BC ＝CB ，
∴△CEB ≌△BDC(AAS)，
∴∠DBC ＝∠ECB ，∴AB ＝AC ，∴△ABC 是等腰三角形． (2)点O 在∠BAC 的平分线上．
理由：连接AO.由(1)得△BDC ≌△CEB ，∴DC ＝EB. ∵OC ＝OB ，∴OD ＝OE.
又∵∠ADO ＝∠AEO ＝90°，AO ＝AO ，∴Rt △ADO ≌Rt △AEO(HL)， ∴∠DAO ＝∠EAO ，∴点O 在∠BAC 的平分线上．
18．解：(1)解法一：过点P 作PF ∥QC 交AB 于点F ，则△AFP 是等边三角形，∴AF ＝PF ＝AP.
∵点P ，Q 同时出发，且速度相同，∴BQ ＝AP ，
∴BQ ＝PF.∵PF ∥QC ，∴∠FPD ＝∠DQB ，∠PFD ＝∠DBQ ， ∴△DBQ ≌△DFP ，∴BD ＝DF.
又易知∠BQD ＝∠BDQ ＝∠FDP ＝∠FPD ＝30°， ∴BD ＝DF ＝FA ＝13AB ＝1
3
×6＝2，∴AP ＝2.
解法二：∵点P ，Q 同时同速出发，∴AP ＝BQ.
设AP ＝BQ ＝x ，则PC ＝6－x ，QC ＝6＋x.
在△QCP 中，∠CQP ＝30°，∠C ＝60°，∴∠CPQ ＝90°， ∴QC ＝2PC ，即6＋x ＝2(6－x)，解得x ＝2.∴AP ＝2. (2)不变．
由(1)知BD ＝DF ，而△APF 是等边三角形，PE ⊥AF ，∴AE ＝EF. 又ED ＋(BD ＋AE)＝AB ＝6，∴ED ＋(DF ＋EF)＝6， 即ED ＋ED ＝6，∴ED ＝3为定值，即ED 的长不变．。