第三章量纲分析和相似理论-精品

单位的大小而变。 ➢ 导出量纲可和基本量纲组成无量纲组合，但基本量纲
之间不能组成无量纲组合。 ➢ 一个完整的物理方程式中，各项的量纲必须相同,因此
方程才能用加、减并用等号联系起来。——量纲和谐 ➢ 当度量单位改变时，方程的结构形式不变，即方程可
以转换为无量纲综合数群间的关系。 ——量纲齐次
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单位有两个含义： 一是表示被测物理量的类型， 二是表示测量的“尺度”。
在实验中，各种物理量测量时需要选用适当的单位。如测量物体的 长度，可选用米、厘米、毫米等单位，测量某段时间间隔可选用小时、 分、秒等单位。尽管力学实验存在各种各样的物理量，但一般只需对其 中三种基本物理量定出单位，其他物理量的单位可以由基本物理量的单 位导出。基本物理量的单位称为基本单位，其物理量的单位称为导出单 位。
P C P P ,l C l l , C ,W C W W ,A C A A （c）
Cp、 C l、 C 、 C W 、 CA 为相似系数
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将式（c）代入(b)式得到
1C CpC Cw l P WlCC C pAPA 将上式与(a)相比较可知，若要两现象相似，必须使
模型试验的理论基础——结构相似理论
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一、结构相似定理
相似第一定理——牛顿（1786）
彼此相似的现象，单值条件相同，其相似准数相同。
单值条件： ➢几何相似 ➢物理参数相似 ➢边界条件相似 ➢初始条件相似
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以牛顿第二定律为例来说明第一相似定理性质
牛顿第二定律，即作用力F等于质量m与加 速度a的乘积，其方向与加速度方向相同，即：
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2.量纲：
是物理量的单位种类，又称因次。如长度、宽度、高度、深度、 厚度等都可以用米、英寸、公尺等不同单位来度量，但它们属于同 一单位，即属于同一单位量纲（长度量纲），用L表示。 基本量纲和导出量纲：
基本量纲是具有独立性的量纲，在力学领域中有三个基本量纲： 长度量纲L、时间量纲T、质量量纲M
导出单位是借助乘和除的数字符号通过代数式用基本单位的表 示。有些导出单位已具有专门名称和特有的代号，这些专门名称和 代号本身又可以用来表示其它导出单位，从而比用基本单位表示更 简单。 3)辅助单位
有些个别单位，国际计量大会尚未规定它们是属于基本单位还 是导出单位，这些国际制单位被列为第三类，即所谓"辅助单位"，而 且可以随意把它们当作基本单位或导出单位。这类单位目前只有两 个，即平面角的国际制弧度和立体角的国际制球面度。
在几何相似系统中，任何相应点（i点）的坐标应满足
x pi x Mi
CL
（下标p表示实物，下标M表示模型）
（2）时间相似：对于结构的动力问题，在随时间变化
的过程中，要求模型与原型在对应时刻进行比较，要求
相对应的时间成比例。在随时间变化的过程中，每一时
刻都对应着一批确定的物理量。由于其总是在相同的时
第三节 相似理论
理论计算
力学分析
原型试验
实验研究 模型试验
模型试验是将发生在原型中的力学过程,在物 理相似条件下，经缩小(或放大)后在模型上重演。 对模型中的力学参数进行测量、记录、分析，并 根据相似关系换算到原型中去，达到研究原型力 学过程的目的。
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物理现象相似 是指除了几何相似之外，在进行物理过程的系
统中，在相应的地点（位置）和对应的时刻，模型 与原型的各相应物理量之间的比例应保持常数。
在两个系统中，所有向量在对应点和 对应时刻方向相同、大小成比例，所 有标量也在对应点和对应时刻成比例
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模型试验的优点： ➢ 经济性好－模型尺寸小 ➢ 针对性强－突出主要因素，略去次要因素 ➢ 数据准确－室内试验 模型试验的应用： ➢ 代替大型结构试验或作为大型结构试验的辅助试验。 ➢ 作为结构分析计算的辅助手段。 ➢ 验证和发展结构计算理论。
第三章 量纲分析和相似理论
第一节 量纲和单位 第二节 量纲分析 第三节 相似理论 第四节 用方程式分析结构相似 第五节 用量纲分析法分析结构相似
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第一节 单位和量纲
1.单位:
为了定量地描述某个物理量，就需要用一定的标准去衡量和表示。 如果所取的标准不同，那么测得的结果也就不同。我们把所取的这个标 准就称为单位。
相似第一、第二定理明确了相似现象的性质， 它们是在假定现象相似为已知的基础上导出的， 但是没有给出相似现象的充分条件。
单值条件，是指一个现象区别于一群现象的 那些条件。属于单值条件的因素有：系统的几 何特性、对所研究的对象有重大影响的介质特 性、时间、系统的初始条件和边界条件等。
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（1）几何相似：两个系统的几何相似是指它们的对应边 成比例、对应角相等。几何尺寸之比称为几何相似常数。
彼此相似的现象，其相似指标为1，或其相似判据
为一不变量，或者说相似系统的相似准数相等。
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小结:
➢ 相似常数:在两相似现象中，两个相应的物理量为常数 。对于与此两现象彼此相似的第三个现象中,可以具有 不同的数值。
➢ 相似指标:由彼此相似现象中各相似常数组成的无量纲 量,彼此相似的现象都满足相似指标等于1的条件。
上式表明，若两现象转变时不破坏原有方程式，
则必须使
CF CmCa
令：C i

CF CmCa
若此两现象相似，必须使：
Ci
CF CmCa
1
上式表明其中两个相似系数任意选定后，第
三个相似系数必须由上式决定，因此上式是判别 现象相似的条件，称为“相似指标”。
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上式也可以写成另一种形式
根据量纲齐次原则，必须使
p q 0 ,p r 1 , 2 p 1
解得 所以 从而
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p1,q1,r1 2 22
1 1 1
V F2M 2R2


V FR
M
此即匀速圆周运动线速度公式。
量纲的相互关系：
➢ 两个物理量相等，不仅数值相等，且量纲也要相同。 ➢ 两个同量纲参数的比值是无量纲参数，其值不随所取
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物理量 长度 时间 质量 面积 体积 速度 加速度
力学中常见物理量的量纲
量 纲 物理量 量 纲
物理量
量纲
[L] [T] [M] [L2] [L3] [LT-1] [LT-2]
力
[MLT-2]
能、功 [ML2T-2]
功率 [ML2T-3]
密度
[ML-3]
频率
[T-1]
压强 应力
[ML-1T-2] [M-1T-2]
➢ 相似准数:在所有相似的现象中是一个不变量，无量纲 量,所有相似的系统相似准数应相等。
➢ 确定相似准数有两种方法:
方程分析法－已知描述物理过程的方程。
量纲分析法－已知系统中相关的物理量而无法建立 方程。
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2.相似第二定理 布金汉（Buckingham）定理
描述物理现象的方程式必须是量纲的齐次方 程，因此我们用与方程各项相同量纲去除方程 的各项，则该方程式可变为无量纲综合数群的 方程形式。相似第二定理指出互相相似现象中， 其相似判据可不必利用相似指标来导出，只要 将方程转变为无量纲方程形式，无量纲方程各 项即为相似判据。因表示现象各物理量之间的 关系方程式，均可转变为无量纲方程形式，因 此都可以写出相似判据方程式。
CpCl 1 CCW
Cp 1 CCA
或者
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Pl Pl常数
W W
P P常数
A
写成一般形式得：
K1 PWl，K2 PA
(d)
式(d)称为相似判据，表明彼此相似现象的判据为
不变量。它就是相似理论第二定理，也称为 定
理，即一个现象中各物理量之间的关系方程式都
Fma
对于第一现象 Fma 对于第二现象 Fma
若此两现象各物理量之间存在下列关系：
F C F F ， m C m m ， a C a a
CF，Cm，Ca分别为力、质量和加速度的相似系数
方程，无量纲方程中的各项就
是相似判据。因此描述一现象各物理量之间的关 系方程式，都可转换成由相似判据组成的方程。
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3.相似第三定理 （相似逆定理）
相似第三定理指出，在物理方程相同的情 况下，如两个现象的单值条件相似，亦即从单 值条件下引出的相似判据若与现象本身的相似 判据相同，则这两个现象一定相似。
• 物理方程量纲的均匀性：一个正确的物理方程， 式中的每项的量纲应该相同，并应采用同一度量 单位。
• 物理方程量纲的齐次性：当量度单位改变时，方 程的结构形式不变的性质。
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如果已知有哪些物理量参与某一物理现象，即 可借助量纲分析方法导出某一物理现象的基本方程 式，建立它们之间的一般关系。
间基础上进行的，因此必须保持不变的时间比例关系
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tp tM
Ct
（3）物理参数的相似： 对于弹性结构有
影响的物理参数，有弹性模量E、泊松比
密度 等，在模拟时，应满足下列比例关系：
E EM p CE， M p C， M p C
（4）初始条件的相似： 物理现象一方面 取决于该现象的本质，另一方面也取决于它的 初始条件，因此要求模型与原型在初始时刻的 运动参数相似。包括初始几何位置、质点的位 移、速度和加速度。模型上的速度、加速度和 原型的速度和加速度在对应的位置和对应的时 刻保持一定的比例，并且运动方向一致。
1960年第十一届国际大会通过了国际单位制（SI） ，在国际制单位 中202，0/2国/10 际制单位分为三类：⑴基本单位；⑵导出单位；⑶辅助单位。