(教师用)6立体几何2014---2015上海一模试题分类汇编 - 副本 (3)
(完整版)历年上海高考题(立体几何)
17．（2017-21-17）如图，直三棱柱ABC-A 1B 1C 1的底面为直角三角形，两直角边AB 和AC 的长分别为4和2，侧棱AA 1的长为5． （1）求三棱柱ABC-A 1B 1C 1的体积；（2）设M 是BC 中点，求直线A 1M 与平面ABC 所成角的大小．17.【解析】（1）∵直三棱柱ABC-A 1B 1C 1的底面为直角三角形， 两直角边AB 和AC 的长分别为4和2，侧棱AA 1的长为5．∴三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1的体积V=S △ABC ·AA 1=12AB ·AC ·AA 1=12×4×2×5=20.（2）连接AM.∵直三棱柱ABC-A 1B 1C 1， ∴AA 1⊥底面ABC.∴∠AMA 1是直线A 1M 与平面ABC 所成角. ∵△ABC 是直角三角形，两直角边AB 和AC 的长分别为4和2，点M 是BC 的中点，∴AM=12BC=12×42+22= 5.由AA 1⊥底面ABC ，可得AA 1⊥AM,∴tan ∠A 1MA=AA 1AM =55= 5.∴直线A 1M 与平面ABC 所成角的大小为arctan 5．19．（2016•23-19）将边长为1的正方形AA 1O 1O （及其内部）绕OO 1旋转一周形成圆柱，如图，AC 长为π，A 1B 1长为，其中B 1与C 在平面AA 1O 1O 的同侧．（1）求三棱锥C ﹣O 1A 1B 1的体积；（2）求异面直线B 1C 与AA 1所成的角的大小．【考点】异面直线及其所成的角．【专题】计算题；转化思想；综合法；空间位置关系与距离．【分析】（1）连结O1B1，推导出△O1A1B1为正三角形，从而=，由此能求出三棱锥C﹣O1A1B1的体积．（2）设点B1在下底面圆周的射影为B，连结BB1，则BB1∥AA1，∠BB1C为直线B1C与AA1所成角（或补角），由此能求出直线B1C与AA1所成角大小．【解答】解：（1）连结O1B1，则∠O1A1B1=∠A1O1B1=，∴△O1A1B1为正三角形，∴=，==．（2）设点B1在下底面圆周的射影为B，连结BB1，则BB1∥AA1，∴∠BB1C为直线B1C与AA1所成角（或补角），BB1=AA1=1，连结BC、BO、OC，∠AOB=∠A1O1B1=，，∴∠BOC=，∴△BOC为正三角形，∴BC=BO=1，∴tan∠BB1C=45°，∴直线B1C与AA1所成角大小为45°．【点评】本题考查三棱锥的体积的求法，考查两直线所成角的大小的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．19、（2015.上海）如图。
(上海版)2014届高三数学(第04期)名校试题分省分项汇编 专题12.立体几何 理(含解析)
（上海版）2014届高三数学（第04期）名校试题分省分项汇编 专题12.立体几何 理（含解析）一．基础题组1. 【上海市长宁、嘉定区2014届高三4月第二次模拟考试数学（理）试题】已知函数⎪⎩⎪⎨⎧≤<--≤≤=,21,)1(1,10,)(2x x x x x f 将)(x f 的图像与x 轴围成的封闭图形绕x 轴旋转一周，所得旋转体的体积为___________．2. 【上海市崇明县2014届高三高考模拟考试（二模）数学（理）试卷】已知圆柱M 的底面圆的半径与球O 的半径相同，若圆柱M 与球O 的表面积相等，则它们的体积之比V V 圆柱球：= （结果用数值作答）．3. 【上海市奉贤区2014届下学期高三二模数学试卷（理科）】已知长方体1111ABCD A B C D -，下列向量的数量积一定不为0的是 （ ）A ．11AD BC ⋅ B ．1BD AC ⋅ C ．1AB AD ⋅ D ．1BD BC ⋅4. 【上海市奉贤区2014届下学期高三二模数学试卷（理科）】若一个圆锥的侧面展开图是面积为π2的半圆面，则该圆锥的体积为________.5. 【上海市黄浦区2014年高考模拟（二模）数学（理）试题】若用一个平面去截球体，所得截面圆的面积为16π，球心到该截面的距离是3，则这个球的表面积是 ．6. 【上海市黄浦区2014年高考模拟（二模）数学（理）试题】已知空间直线l 不在平面α内，则“直线l 上有两个点到平面α的距离相等”是“α||l ”的( )．A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．非充分非必要条件7. 【上海市静安、杨浦、青浦、宝山四区2014高考模拟（理科）数学】已知圆锥的母线长为5,侧面积为π15,则此圆锥的体积为__________.(结果中保留π)8. 【上海市静安、杨浦、青浦、宝山四区2014高考模拟（理科）数学】若圆柱的底面直径和高都与球的直径相等,圆柱、球的表面积分别记为1S 、2S ,则1S :2S =…………………………（ ）.)(A 1:1 )(B 2:1 )(C 3:2 )(D 4:19. 【上海市闵行区2014届高三下学期教育质量调研（二模）数学(理)试题】用一平面去截球所得截面的面积为3πcm 2，已知球心到该截面的距离为1 cm ，则该球的体积 是 cm 3.10. 【上海市闵行区2014届高三下学期教育质量调研（二模）数学(理)试题】下列命题中，错误．．的是（ ）． （A ）过平面α外一点可以作无数条直线与平面α平行（B ）与同一个平面所成的角相等的两条直线必平行（C ）若直线l 垂直平面α内的两条相交直线，则直线l 必垂直平面α（D ）垂直于同一个平面的两条直线平行11. 【上海市徐汇、金山、松江区2014届高三第二学期学习能力诊断数学（理）试题】如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，0190,2,1ACB AA AC BC ∠====，则异面直线1A B 与AC 所成角的余弦值是____________．第7题图12. 【上海市徐汇、金山、松江区2014届高三第二学期学习能力诊断数学（理）试题】已知直线⊥l 平面α，直线m ⊆平面β，给出下列命题,其中正确的是-------------( ) ①m l ⊥⇒βα// ②m l //⇒⊥βα③βα⊥⇒m l // ④βα//⇒⊥m lA ．②④ B. ②③④ C. ①③ D. ①②③三．拔高题组1. 【上海市长宁、嘉定区2014届高三4月第二次模拟考试数学（理）试题】在如图所示的多面体中，四边形ABCD 为正方形，四边形ADPQ 是直角梯形，DP AD ⊥，⊥CD 平面ADPQ ，DP AQ AB 21==． （1）求证：⊥PQ 平面DCQ ；（2）求平面BCQ 与平面ADPQ 所成的锐二面角的大小．试题解析：（1）由已知，DA ，DP ，DC 两两垂直，可以D 为原点，DA 、DP 、DC 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系． …………（1分）设a AB =，则)0,0,0(D ，),0,0(a C ，)0,,(a a Q ，)0,2,0(a P ， 故),0,0(a =，)0,,(a a =，)0,,(a a -=， ………………（3分） 因为0=⋅，0=⋅，故⊥，⊥，即PQ DC ⊥，PQ DQ ⊥， ………………………（5分） 所以，⊥PQ 平面DCQ ． ………………………（6分）2. 【上海市崇明县2014届高三高考模拟考试（二模）数学（理）试卷】如图所示，在直四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 是矩形，1AB =，BC =12AA =，E 是侧棱1BB 的中点．（1）求证：1A E ⊥平面AED ；（2）求二面角1A A D E --的大小．200w v w ⎧+=⎪∴⎨+=⎪⎩3.【上海市虹口区2014届高三4月高考练习（二模）数学（理）试题】已知圆锥母线长为6，底面圆半径长为4，点M是母线PA的中点，AB是底面圆的直径，底面半径OC与母线PB所成的角的大小等于θ．θ=︒时，求异面直线MC与PO所成的角；（1）当60-的体积最大时，求θ的值．（2）当三棱锥M ACO⊥交AO于点D，连DC．试题解析：解：（1）连MO，过M作MD AO又PO ==MD ∴=43OC OM ==，．4. 【上海市奉贤区2014届下学期高三二模数学试卷（理科）】如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，090BAC ∠=，1AB AC AA ==．若D 为11B C 的中点，求直线AD 与平面11A BC 所成的角.【答案】60°【解析】试题分析：因为在直三棱柱111ABC A B C -中，090BAC ∠=，1AB AC AA ==．若D 为11B C 的中点，需求直线AD 与平面11A BC 所成的角.可以建立直角坐标系，通过平面11A BC 的法向量与直线AD 所在的向量的夹角的余弦值即为直线与平面所成角的正弦值.即可得结论.另外也可以通过构建直线所成的角，通过解三角形求得结论.在直角△AOG 中，AG ＝23AD AB 1， AO AB ，所以sin ∠AGO ＝AOAG． 10分故∠AGO ＝60°，即AD 与平面A 1BC 1所成的角为60°． 12分 考点：1.线面所成的角.2.空间想象力.5. 【上海市黄浦区2014年高考模拟（二模）数学（理）试题】已知直三棱柱111ABC A B C -中，0190,2,4ACB AC BC AA ∠====，D 是棱1AA 的中点．如图所示．(1)求证：1DC ⊥平面BCD ； (2)求二面角A BD C --的大小．又DCDB D =，所以，1DC BDC ⊥平面．6. 【上海市静安、杨浦、青浦、宝山四区2014高考模拟（理科）数学】如图，四棱锥P ABCD-中，底面ABCD 是平行四边形，︒=∠90CAD ，PA ⊥平面ABCD ，1PA BC ==，AB F 是BC 的中点.(1) 求证：DA ⊥平面PAC ；（2）若以A 为坐标原点，射线AC 、AD 、AP 分别是x 轴、y 轴、z 轴的正半轴，建立空间直角坐标系，已经计算得)1,1,1(=n 是平面PCD 的法向量，求平面PAF 与平面PCD所成锐二面角的余弦值.7.【上海市闵行区2014届高三下学期教育质量调研（二模）数学(理)试题】如图，在体A-中，BD长为E为棱BC的中点，求BCD（1）异面直线AE与CD所成角的大小（结果用反三角函数值表示）；A-的表面积．（2）正三棱锥BCD8. 【上海市徐汇、金山、松江区2014届高三第二学期学习能力诊断数学（理）试题】如图，△ABC 中，090=∠ACB ，030=∠ABC ，3=BC ，在三角形内挖去一个半圆（圆心O 在边BC 上，半圆与AC 、AB 分别相切于点C 、M ，与BC 交于点N ），将△ABC 绕直线BC 旋转一周得到一个旋转体．（1）求该几何体中间一个空心球的表面积的大小；（2）求图中阴影部分绕直线BC 旋转一周所得旋转体的体积．【答案】（1）43π；（2. 【解析】试题分析：（1）要求球的表面积，首先要求出球的半径，如图即半圆O 的半径，这可在OBM ∆中列方程解得，圆O 半径为,r 则有sin OM BOB =，即sin30︒=r =（3）要阴影部分旋转后的体积，我们要看阴影部分是什么几何体，看看能不能把变成我们熟知的锥台、球，或者上它们构成的，本 题中，是在三角形内部挖去一个小三角形，因此最后所得可以看作是一个圆锥里面挖去了一个球，从而其体积就等于一个圆锥的体积减去球的体积，即231433V AC BC OM ππ=⋅⋅-⋅.。
2015专题四：立体几何(教师版)理科(含11-14年高考试题)
2015专题四：立体几何（教师版）题型分析考点一三视图、直观图与表面积、体积1.直观图(1)画法：常用斜二测画法．(2)规则：①原图形中x轴、y轴、z轴两两垂直，直观图中，x′轴、y′轴的夹角为45°(或135°)，z′轴与x′轴和y′轴所在平面垂直．②原图形中平行于坐标轴的线段，直观图中仍平行于坐标轴．平行于x轴和z轴的线段在直观图中保持原长度不变，平行于y轴的线段长度在直观图中变为原来的一半．按照斜二测画法得到的平面图形的直观图，其面积与原图形的面积有以下关系S直观图＝24S原图形，S原图形＝22S直观图．2.三视图(1)几何体的三视图包括正(主)视图、侧(左)视图、俯视图，分别是从几何体的正前方、正左方、正上方观察几何体画出的轮廓线．(2)三视图的画法①基本要求：长对正，高平齐，宽相等．②画法规则：正侧一样高，正俯一样长，侧俯一样宽；看不到的线画虚线1．圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式圆柱圆锥圆台侧面展开图侧面积公式S圆柱侧＝2πrl S圆锥侧＝πrlS圆台侧＝π(r＋r′)l2．空间几何体的表面积与体积公式名称几何体表面积体积柱体(棱柱和圆柱)S表面积＝S侧＋2S底V＝Sh锥体(棱锥和圆锥)S表面积＝S侧＋S底V＝13Sh台体 (棱台和圆台)S 表面积＝S 侧＋S 上＋S 下V ＝13(S 上＋S 下＋S 上S 下)h球S ＝4πR 2V ＝43πR 3例1.等腰梯形ABCD ，上底CD ＝1，腰AD ＝CB ＝2，下底AB ＝3，以下底所在直线为x 轴，则由斜二测画法画出的直观图A ′B ′C ′D ′的面积为________．解析：∵OE ＝(2)2－1＝1，∴O ′E ′＝12，E ′F ＝24，∴直观图A ′B ′C ′D ′的面积为S ′＝12×(1＋3)×24＝22.答案：22例2．(2013·重庆高考)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为( )A ．180B ．200C ．220D ．240解析：选D 由三视图可知，此几何体是一个横放的直四棱柱，底面梯形的面积为(2＋8)×42＝20，侧面面积为2×10＋2×5×10＋8×10＝200，故四棱柱的表面积为2×20＋200＝240.例3.(1)如图所示，已知三棱柱ABC -A 1B 1C 1的所有棱长均为1，且AA 1⊥底面ABC ，则三棱锥B 1 -ABC 1的体积为( )A.312 B.34 C.612D.64(2)(2013·新课标Ⅰ)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A ．16＋8πB ．8＋8πC ．16＋16πD ．8＋16π[解析] (1)三棱锥B 1 -ABC 1的体积等于三棱锥A -B 1BC 1的体积，三棱锥A -B 1BC 1的高为32，底面积为12，故其体积为13×12×32＝312.(2)根据三视图可以判断该几何体由上、下两部分组成，其中上面部分为长方体，下面部分为半个圆柱，所以组合体的体积为2×2×4＋12π×22×4＝16＋8π.[答案] (1)A (2)A考点二 球与空间几何体的“切”“接”问题1．长方体、正方体的外接球其体对角线长为该球的直径． 2．正方体的内切球其棱长为球的直径．3．正三棱锥的外接球中要注意正三棱锥的顶点、球心及底面正三角形中心共线． 4．正四面体的外接球与内切球的半径之比为3∶1. 方法主要是“补体”和“找球心” 方法一：直接法例1、一个长方体的各顶点均在同一球面上，且一个顶点上的三条棱长分别为1,2,3 ，则此球的表面积为 . 14π练习：已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4，体积为16，则这个球的表面积为（ ） A. 16π B. 20π C. 24π D. 32π 方法二：构造法（构造正方体或长方体）例2（2008年福建高考题）若三棱锥的三条侧棱两两垂直，且侧棱长均为3，则其外接球的表面积是 .练习 （2010年全国卷）一个四面体的所有棱长都为2，四个顶点在同一球面上，则此球的表面积为（ ） A. 3π B. 4π C. 33π D. 6π 三、确定球心位置法例3、在矩形ABCD 中，AB=4，BC=3，AC 沿将矩形ABCD 折成一个直二面角B-AC-D ，则四面体ABCD 的外接球的体积为( C )π12125.A π9125.B π6125.C π3125.D四、构造直角三角形例4、正四面体的棱长为a ，则其内切球和外接球的半径是多少,体积是多少？练习： 角度一 直三棱柱的外接球1．(2013·辽宁高考)已知直三棱柱ABC -A 1B 1C 1的6个顶点都在球O 的球面上，若AB ＝3，AC ＝4，AB ⊥AC ，AA 1＝12，则球O 的半径为( )A.3172B ．210 C.132D ．310解析：选C 如图，由球心作平面ABC 的垂线，则垂足为BC 的中点M .又AM ＝12BC ＝52，OM ＝12AA 1＝6，所以球O 的半径R ＝OA ＝⎝⎛⎭⎫522＋62＝132. 角度二 正方体的外接球2．(2013·合肥模拟)一个正方体削去一个角所得到的几何体的三视图如图所示(图中三个四边形都是边长为2的正方形)，则该几何体外接球的体积为________．解析：依题意可知，新的几何体的外接球也就是原正方体的外接球，要求的直径就是正方体的体对角线；∴2R ＝23(R 为球的半径)，∴R ＝3， ∴球的体积V ＝43πR 3＝43π.答案：43π角度三 正四面体的内切球3．(2014·长春模拟)若一个正四面体的表面积为S 1，其内切球的表面积为S 2，则S 1S 2＝________.解析：设正四面体棱长为a ，则正四面体表面积为S 1＝4·34·a 2＝3a 2，其内切球半径为正四面体高的14，即r ＝14·63a ＝612a ，因此内切球表面积为S 2＝4πr 2＝πa 26，则S 1S 2＝3a 2π6a 2＝63π. 答案：63π角度四 四棱锥的外接球4．四棱锥P -ABCD 的五个顶点都在一个球面上，该四棱锥的三视图如图所示，E ，F 分别是棱AB ，CD 的中点，直线EF 被球面所截得的线段长为22，则该球的表面积为( )A．9π B．3πC．22π D．12π解析：选D该几何体的直观图如图所示，该几何体可看作由正方体截得，则正方体外接球的直径即为PC.由直线EF被球面所截得的线段长为22，可知正方形ABCD对角线AC的长为22，可得a＝2，在△P AC中PC＝22＋(22)2＝23，球的半径R＝3，∴S表＝4πR2＝4π×(3)2＝12π.考点三利用空间向量求角和距离1．两条异面直线所成角的求法设两条异面直线a，b的方向向量为a，b，其夹角为θ，则cos φ＝|cos θ|＝|a·b||a||b|(其中φ为异面直线a，b所成的角)．2．直线和平面所成的角的求法如图所示，设直线l的方向向量为e，平面α的法向量为n，直线l与平面α所成的角为φ，两向量e与n的夹角为θ，则有sin φ＝|cos θ|＝|n·e| |n||e|.3．求二面角的大小(1)如图①，AB，CD是二面角α -l -β的两个面内与棱l垂直的直线，则二面角的大小θ＝〈AB，CD〉．(2)如图②③，n1，n2分别是二面角α -l -β的两个半平面α，β的法向量，则二面角的大小θ＝〈n1，n2〉(或π－〈n1，n2〉)．4．点到平面的距离的求法设n 是平面α的法向量，在α内取一点B, 则 A 到α的距离|||||cos |||AB n d AB n θ==易错点：1．求异面直线所成角时，易求出余弦值为负值而盲目得出答案而忽视了夹角为⎝ ⎛⎦⎥⎤0，π2.2．求直线与平面所成角时，注意求出夹角的余弦值的绝对值应为线面角的正弦值．3．利用平面的法向量求二面角的大小时，二面角是锐角或钝角由图形决定．由图形知二面角是锐角时cosθ＝|n 1·n 2||n 1||n 2|；由图形知二面角是钝角时，cos θ＝－|n 1·n 2||n 1||n 2|.当图形不能确定时，要根据向量坐标在图形中观察法向量的方向，从而确定二面角与向量n 1，n 2的夹角是相等(一个平面的法向量指向二面角的内部，另一个平面的法向量指向二面角的外部)，还是互补(两个法向量同时指向二面角的内部或外部)，这是利用向量求二面角的难点、易错点．一、线线角问题1．(2013·沈阳调研)在直三棱柱A 1B 1C 1 -ABC 中，∠BCA ＝90°，点D 1，F 1分别是A 1B 1，A 1C 1的中点，BC ＝CA ＝CC 1，则BD 1与AF 1所成角的余弦值是( )A.3010 B.12 C.3015D.1510解析：选A 建立如图所示的坐标系，设BC ＝1，则A (－1,0,0)，F 1⎝⎛⎭⎫－12，0，1， B (0，－1,0)，D 1⎝⎛⎭⎫－12，－12，1，则1AF ＝⎝⎛⎭⎫12，0，1， 1BD ＝⎝⎛⎭⎫－12，12，1. ∴cos 〈1AF ，1BD 〉＝1AF ·1BD | 1AF ||1BD |＝3010.2．如图，在棱长为1的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，M 和N 分别是A 1B 1和BB 1的中点，那么直线AM 与CN 所成角的余弦值为________．解析：以D 为坐标原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，1DD 为z 轴，建立空间直角坐标系，如图所示．则A (1,0,0)， M ⎝⎛⎭⎫1，12，1， C (0,1,0)， N ⎝⎛⎭⎫1，1，12. ∴AM ＝⎝⎛⎭⎫0，12，1， CN ＝⎝⎛⎭⎫1，0，12. 设直线AM 与CN 所成的角为θ，则 cos θ＝|cos 〈AM ，CN 〉|＝|AM ·CN ||AM ||CN |＝121＋14× 1＋14＝二、线面角的问题3、(2013·湖南高考)如图，在直棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AD ∥BC ，∠BAD ＝90°，AC ⊥BD ，BC ＝1，AD ＝AA 1＝3.(1)证明：AC ⊥B 1D ；(2)求直线B 1C 1与平面ACD 1所成角的正弦值．[解]法一：(1)证明：如图1，因为BB 1⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ，所以AC ⊥BB 1.图1又AC ⊥BD ，所以AC ⊥平面BB 1D .而B 1D ⊂平面BB 1D ，所以AC ⊥B 1D .(2)因为B 1C 1∥AD ，所以直线B 1C 1与平面ACD 1所成的角等于直线AD 与平面ACD 1所成的角(记为θ)． 如图1，连接A 1D .因为棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1是直棱柱，且∠B 1A 1D 1＝∠BAD ＝90°，所以A 1B 1⊥平面ADD 1A 1.从而A 1B 1⊥AD 1.又AD ＝AA 1＝3，所以四边形ADD 1A 1是正方形，于是A 1D ⊥AD 1.故AD 1⊥平面A 1B 1D ，于是AD 1⊥B 1D .由(1)知，AC ⊥B 1D ，所以B 1D ⊥平面ACD 1.故∠ADB 1＝90°－θ.在直角梯形ABCD 中，因为AC ⊥BD ，所以∠BAC ＝∠ADB .从而Rt △ABC ∽Rt △DAB ，故AB DA ＝BCAB.即AB ＝DA ·BC ＝ 3. 连接AB 1，易知△AB 1D 是直角三角形，且B 1D 2＝BB 21＋BD 2＝BB 21＋AB 2＋AD 2＝21，即B 1D ＝21.在Rt △AB 1D 中，cos ∠ADB 1＝AD B 1D ＝321＝217，即cos(90°－θ)＝217.从而sin θ＝217. 即直线B 1C 1与平面ACD 1所成角的正弦值为217. 法二：(1)证明：易知，AB ，AD ，AA 1两两垂直．如图2，以A 为坐标原点，AB ，AD ，AA 1所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系．设AB ＝t ，则有A (0,0,0)，B (t,0,0)，B 1(t,0,3)，C (t,1,0)，C 1(t,1,3)，D (0,3,0)，D 1(0,3,3)．图2从而1B D ＝(－t,3，－3)，AC ＝(t,1,0)，BD ＝(－t,3,0)．因为AC ⊥BD ，所以AC ·BD ＝－t 2＋3＋0＝0， 解得t ＝3或t ＝－3(舍去)．于是1B D ＝(－3，3，－3)，AC ＝(3，1,0)．因为AC ·1B D ＝－3＋3＋0＝0，所以AC ⊥1B D ，即AC ⊥B 1D . (2)由(1)知，1AD ＝(0,3,3)，AC ＝(3，1,0)，11B C ＝(0,1,0)． 设n ＝(x ，y ，z )是平面ACD 1的一个法向量，则⎩⎪⎨⎪⎧n ·AC ＝0，n ·1AD ＝0，即⎩⎨⎧3x ＋y ＝0，3y ＋3z ＝0.令x ＝1，则n ＝(1，－3，3)． 设直线B 1C 1与平面ACD 1所成角为θ，则sin θ＝|cos 〈n ，11B C 〉|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪n ·11B C |n |·|11B C |＝37＝217. 即直线B 1C 1与平面ACD 1所成角的正弦值为217. [针对训练](2013·福建高考改编)如图，在四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1中，侧棱AA 1⊥底面ABCD ，AB ∥DC ，AA 1＝1，AB ＝3k ，AD ＝4k ，BC ＝5k ，DC ＝6k (k >0)．若直线AA 1与平面AB 1C 所成角的正弦值为67，求k 的值．解：由题意知DC ⊥AD ，D 1D ⊥DC ，D 1D ⊥AD 故以D 为原点，DA ，DC ，1DD 的方向为x ，y ，z 轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，则A (4k,0,0)，C (0,6k,0)，B 1(4k,3k,1)，A 1(4k,0,1)，所以AC ＝(－4k,6k,0)，1AB ＝(0,3k,1)，1AA ＝(0,0,1)．设平面AB 1C 的法向量n ＝(x ，y ，z )，则由⎩⎪⎨⎪⎧AC ·n ＝0，1AB ·n ＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧－4kx ＋6ky ＝0，3ky ＋z ＝0.取y ＝2，得n ＝(3,2，－6k )． 设AA 1与平面AB 1C 所成角为θ，则sin θ＝|cos 〈1AA ，n 〉|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪1AA ·n | 1AA |·|n |＝6k 36k 2＋13＝67，解得k ＝1， 故所求k 的值为1.三、二面角问题4、(2013·新课标卷Ⅱ)如图，直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，D ，E 分别是AB ，BB 1的中点，AA 1＝AC ＝CB ＝22AB . (1)证明：BC 1//平面A 1CD ； (2)求二面角D -A 1C -E 的正弦值．[解] (1)证明：连接AC1交A 1C 于点F ，则F 为AC 1的中点． 又D 是AB 的中点，连接DF ，则BC 1∥DF .因为DF ⊂平面A 1CD ，BC 1⊄平面A 1CD ，所以BC 1∥平面A 1CD .(2)由AC ＝CB ＝22AB 得， AC ⊥BC .以C 为坐标原点，CA ，CB ，CC ′的方向为x 轴，y 轴，z 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系C -xyz .设CA ＝2，则D (1,1,0)，E (0,2,1)，A 1(2,0,2)，CD ＝(1,1,0)，CE ＝(0,2,1)，1CA ＝(2,0,2)．设n ＝(x 1，y 1，z 1)是平面A 1CD 的法向量，则⎩⎪⎨⎪⎧n ·CD ＝0，n ·1CA ＝0.即⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋y 1＝0，2x 1＋2z 1＝0.可取n ＝(1，－1，－1)．同理，设m 是平面A 1CE 的法向量，则⎩⎪⎨⎪⎧m ·CE ＝0，m ·1CA ＝0.可取m ＝(2,1，－2)．从而cos 〈n ，m 〉＝n ·m |n ||m |＝33，故sin 〈n ，m 〉＝63.即二面角D -A 1C -E 的正弦值为63. [针对训练](2014·杭州模拟)如图，已知平面QBC 与直线P A 均垂直于Rt △ABC 所在平面，且P A ＝AB ＝AC . (1)求证：P A ∥平面QBC ；(2)若PQ ⊥平面QBC ，求二面角Q -PB -A 的余弦值．解：(1)证明：过点Q 作QD ⊥BC 于点D ， ∵平面QBC ⊥平面ABC ，∴QD ⊥平面ABC . 又P A ⊥平面ABC ，∴QD ∥P A .又QD ⊂平面QBC ，P A ⊄平面QBC ∴P A ∥平面QBC . (2)∵PQ ⊥平面QBC ，∴∠PQB ＝∠PQC ＝90°，又PB ＝PC ，PQ ＝PQ ， ∴△PQB ≌△PQC ，∴BQ ＝CQ .∴点D 是BC 的中点，连接AD ，则AD ⊥BC ， 又AD ⊄平面QBC ，BC ⊂平面QBC ， ∴AD ⊥平面QBC .∴PQ ∥AD ，AD ⊥QD ， ∴四边形P ADQ 是矩形．分别以AC ，AB ，AP 所在的直线为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系A -xyz ，设P A ＝2a ，则Q (a ，a,2a )，B (0,2a,0)，P (0,0,2a )，设平面QPB 的法向量为n ＝(x ，y ，z )， ∵PQ ＝(a ，a,0)，PB ＝(0,2a ，－2a )，∴⎩⎪⎨⎪⎧ax ＋ay ＝0，2ay －2az ＝0，n ＝(1，－1，－1)． 又平面P AB 的一个法向量为m ＝(1,0,0)．设二面角Q -PB -A 为θ，则|cos θ|＝|cos 〈m ，n 〉|＝⎪⎪⎪⎪m·n |m|·|n|＝33， 又二面角Q -PB -A 是钝角， ∴cos θ＝－33，即二面角Q -PB -A 的余弦值为－33.四、 利用空间向量解决探索性问题．(2013·江西模拟)如图，四边形ABCD 是边长为3的正方形，DE ⊥平面ABCD ，AF ∥DE ，DE ＝3AF ，BE 与平面ABCD 所成的角为60°.(1)求证：AC ⊥平面BDE ； (2)求二面角F -BE -D 的余弦值；(3)设点M 是线段BD 上一个动点，试确定点M 的位置，使得AM ∥平面BEF ，并证明你的结论． 解：(1)证明：∵DE ⊥平面ABCD ， ∴DE ⊥AC ，∵四边形ABCD 是正方形， ∴AC ⊥BD ，又DE ∩BD ＝D ， ∴AC ⊥平面BDE . (2)∵DE ⊥平面ABCD ，∴∠EBD 就是BE 与平面ABCD 所成的角，即∠EBD ＝60°. ∴EDBD＝ 3.由AD ＝3，得DE ＝36，AF ＝ 6. 如图，分别以DA ，DC ，DE 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，则A (3,0,0)，F (3,0，6)，E (0,0,36)，B (3,3,0)，C (0,3,0)，∴BF ＝(0，－3，6)，EF ＝(3,0，－26)．设平面BEF 的一个法向量为n ＝(x ，y ，z )，则⎩⎨⎧n ·BF ＝0，n ·EF ＝0，即⎩⎨⎧－3y ＋6z ＝0，3x －26z ＝0.令z ＝6，则n ＝(4,2，6)． ∵AC ⊥平面BDE ，∴CA ＝(3，－3,0)为平面BDE 的一个法向量，∴cos 〈n ，CA 〉＝n ·CA |n ||CA |＝626×32＝1313.故二面角F -BE -D 的余弦值为1313. (3)依题意，设M (t ，t,0)(t ＞0)，则AM ＝(t －3，t,0)， ∵AM ∥平面BEF ，∴AM ·n ＝0， 即4(t －3)＋2t ＝0，解得t ＝2.∴点M 的坐标为(2,2,0)，此时DM ＝23DB ，∴点M 是线段BD 上靠近B 点的三等分点．[针对训练]已知正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为1，点P 在线段BD 1上．当∠APC 最大时，三棱锥P -ABC 的体积为________．解析：以B 为坐标原点，BA 为x 轴，BC 为y 轴，BB 1为z 轴建立空间 直角坐标系(如图)，设BP ＝λ1BD ，可得P (λ，λ，λ)，再由cos ∠APC ＝AP ·CP | AP ||CP |可求得当λ＝13时，∠APC 最大，故V P －ABC ＝13×12×1×1×13＝118.五、近三年新课标高考试题十、立体几何（三视图1小+1小1大：（1）三视图（2）线面关系（3）与球有关的组合体（4）证明、求体积与表面积（注意规范性），作辅助线的思路（5）探索性问题的思考方法）(11)（6）在一个几何体的三视图中，正视图和俯视图如右图所示，则相应的侧视图可以为解析：条件对应的几何体是由底面棱长为r 的正四棱锥沿底面对角线截出的部分与底面为半径为r 的圆锥沿对称轴截出的部分构成的。
2015届一模立体几何汇编
2015届一模立体几何汇编21．文：(本题满分14分) 本题共有2个小题，第1小题满分8分，第2小题满分6分. 如图，正方体1111D C B A ABCD -的棱长为2，点P 为面11A ADD 的对角线1AD 的中点.⊥PM 平面ABCD 交AD 于点M ，BD MN ⊥于点N .（1）求异面直线PN 与11C A 所成角的大小；（结果用反三角函数值表示） （2）求三棱锥BMN P -的体积.文21．(本题满分14分) 本题共有2个小题，第1小题满分8分，第2小题满分6分. （1）因为点P 为面11A ADD 的对角线1AD 的中点.⊥PM 平面ABCD ，所以PM 为△1ADD 的中位线，得1=PM ， 又BD MN ⊥，所以2222===MD ND MN ………………（ 2分） 因为在底面ABCD 中，BD AC B M ⊥⊥,D N ，所以AC MN //，又AC C A //11，∠PNM 为异面直线PN 与11C A 所成角的平面角，………………（ 6分）在△PMN 中，∠PMN 为直角，2tan =∠PNM ，所以2arctan =∠PNM 。
即异面直线PN 与11C A 所成角的大小为2arctan 。
………………………（ 8分）（2）2222-=BN ，………………………（9分） BN MN PM V BMN P ⋅⋅⋅⋅=-2131，………………………（ 12分）计算得三棱锥BMN P -的体积为41。
………………………（ 14分） A BC DA 1B 1C 1D 1PMN理：(本题满分14分) 本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.如图，长方体1111D C B A ABCD -中，2==AD AB ，41=AA ，点P 为面11A ADD 的对角线1AD 上的动点（不包括端点）.⊥PM 平面ABCD 交AD 于点M ，BD MN ⊥于点N . （1）设x AP =，将PN 长表示为x 的函数；（2）当PN 最小时，求异面直线PN 与11C A 所成角的大小. （结果用反三角函数值表示）理21．(本题满分14分) 本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分. （1）在△APM 中，552x PM =，55xAM =； ………………………（ 2分） 其中520<<x ； ………………………（ 3分） 在△MND 中，)552(22x MN -=， …………………………（ 4分） 在△PMN 中，2552109PN 2+-=x x ，)52,0(∈x ……………………………（ 6分） （2）当952=x )52,0(∈时，PN 最小，此时34=PN ．……………………………（8分）因为在底面ABCD 中，BD AC B M ⊥⊥,D N ，所以AC MN //，又AC C A //11，∠PNM 为异面直线PN 与11C A 所成角的平面角，…………………（ 11分）A BCDA 1B 1C 1D 1PMNDCBAD 1A 1C 1B 1M第19题图在△PMN 中，∠PMN 为直角，42tan =∠PNM ，所以42arctan =∠PNM ， 异面直线PN 与11C A 所成角的大小42arctan （或31arcsin 等）……………（ 14分）19.(本题满分12分）本题共2小题，第（1）小题6分，第（2）小题6分.如图所示，在长方体1111ABCD A B C D -中，2AB =，2BC =，14CC =，M 为棱1CC 上一点.（1）若11C M =，求异面直线1A M 和11C D 所成角的正切值； （2）若12C M =，求证BM ⊥平面11A B M .19. 解:（1）由题意，1111,2C M B C BC ===，111B C C M ⊥，得15B M =………… 1分1111//A B C D ，所以异面直线1A M 和11C D 所成角即为1A M 和11A B 所成角 ………… 3分长方体1111ABCD A B C D -中，1111111A B B C A B B B ⊥⊥，，11A B ∴⊥面11B BCC ，111A B B M ∴⊥，故可得11B A M ∠为锐角且111115tan 2B M B A M B A ∠==…………………… 6分 （2）由题意，112BC B C ==，12C M =，14CC =2CM ∴=22211BB BM B M =+，190BMB ∴∠=，即1BM B M ⊥ ……………………………… 8分又由11A B ⊥面11B BCC 可得11A B BM ⊥ ………………………………………… 10分 故BM ⊥平面11A B M . ………………………………………………………………12分21. (本题满分14分) 本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．如图，在两块钢板上打孔，用钉帽呈半球形、钉身为圆柱形的铆钉（图1）穿在一起，在没有帽的一端锤打出一个帽，使得与钉帽的大小相等，铆合的两块钢板，成为某种钢结构的配件，其截面图如图2.（单位：mm ）.（加工中不计损失）. （1）若钉身长度是钉帽高度的2倍，求铆钉的表面积；（2）若每块钢板的厚度为12mm ，求钉身的长度（结果精确到1mm ）.21. (本题满分14分) 本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分． 【解】设钉身的高为h ，钉身的底面半径为r ，钉帽的底面半径为R ，由题意可知：……1分（1） 圆柱的高382==R h ……2分圆柱的侧面积==rh S π21π760……3分 半球的表面积πππ1083421222=+⨯=R R S ……5分 所以铆钉的表面积21S S S +=πππ184********=+=(2m m )……7分（2）πππ240024100121=⨯⨯=⋅=h r V ……8分 31371819323421332πππ=⨯⨯=⨯⨯⨯=R V ……9分 设钉身长度为l ，则l r V ⋅=23πl π100=……10分由于213V V V +=,所以l πππ1003137182400=+，……12分 解得70≈l mm ……13分193820图1 3812 121920图2答：钉身的表面积为21843mm π，钉身的长度约为mm 70。
高考数学专题复习2014年高三一模汇编——立体几何
第13题2014年高三一模汇编——立体几何一、填空题1.（2014长宁一模理6文6）一平面截一球得到直径是6cm 的圆面，球心到这个平面的距离是4cm ，则该球的体积是 . 【答案】3)(3500cm π2.（2014杨浦一模理7文7）若将边长为cm 1的正方形绕其一条边所在直线旋转一周，则所形成圆柱的体积等于 ()3cm . 【答案】π3.（2014浦东一模理10文11）已知圆锥的底面半径为3，体积是12π，则圆锥侧面积等于___________. 【答案】15π4.（2014嘉定一模理5文5）已知圆锥的母线长为，侧面积为，则此圆锥的体积为______．【答案】5.（2014普陀一模文10）如图，正四棱柱1111D C B A ABCD -的底面边长2=AB ，若异面直线A A 1与C B 1 所成的角的大小为21arctan ，则正四棱柱1111D C B A ABCD -的侧面积为 . 【答案】326.（2014普陀一模理10）如图，正四棱柱1111D C B A ABCD -的底面边长2=AB ，若直线C B 1 与底面ABCD 所成的角的大小为2arctan ，则正四棱柱1111D C B A ABCD -的侧面积为 . 【答案】327.（2014普陀一模理13）正三角形ABC 的三个顶点都在半径为2的球面上，球心O 到平面ABC 的距离为1，点D 是线段BC 的中点，过D 作球O 的截面，则截面面积的最小值为 . 【答案】49π8.（2014奉贤一模理9文9）直角ABC ∆的两条直角边长分别为3,4，若将该三角形绕着斜边旋转一周所得的几何体的体积是V ，则V = ； 【答案】485π5cm π202cm 3cm π16第10题9. （2014奉贤一模理11）在棱长为a 的正方体1111ABCD A B C D -中，P 是11C B 的中点, 若,E F 都是AB 上的点， 且2aEF =，Q 是11A B 上的点, 则四面体EFPQ 的体积是 ； 【答案】324a10. （2014奉贤一模文11）四棱锥ABCD S -的底面是矩形,顶点S 在底面的射影是矩形对角线的交点，且四棱锥及其三视图如下（AB 平行于主视图投影平面），则四棱锥ABCD S -的体积为 ；【答案】1611. （2014黄埔一模理11文11）将某个圆锥沿着母线和底面圆周剪开后展开，所得的平面图是一个圆和扇形，己知该扇形的半径为24cm ，圆心角为34π，则圆锥的体积是________3cm . 【答案】352048π12. （2014宝山一模理11文11）多瑙河三角洲的一地点A 位于北纬︒45东经︒30，大兴安岭地区的一地点B 位于北纬︒45东经︒120，设地球半径为R ，则B A ,两地之间的球面距离是 ．【答案】3R π13. （2014金山一模理14文14）如图，在三棱锥P ABC -中PA 、PB 、PC 两两垂直，且3=PA ，2=PB ，1=PC 。
平面解析几何2014---2015上海一模试题分类汇编 - 副本
2014-----2015上海一摸试题分类汇编平面解析几何一、填空题1．已知直线l 垂直于直线0532=+-y x ，则直线l 的一个法向量=n___________．)2,3( 2．若椭圆122=+y mx 的一个焦点与抛物线x y 42=的焦点重合，则=m __________．213．已知直线12:30,:(1(110l x y l x y +-=++=，则直线1l 与2l 的夹角的 大小是 ．3p4．已知抛物线C 的顶点在坐标原点，焦点与双曲线：22172x y -=的右焦点重合，则抛物线C 的方程是 ．212y x =5．文：已知两条直线的方程分别为01:1=+-y x l 和022:2=+-y x l ，则这两条直线的夹角大小为 .（结果用反三角函数值表示）10103arccos （或31arctan ） 6.理：直线l 经过点)1,2(-P 且点)1,2(--A 到直线l 的距离等于1，则直线l 的方程是 .03213=++-y x 或03213=-+--y x ；7. 若方程132||22=-+-ky k x 表示双曲线，则实数k 的取值范围是 .),3()2,2(+∞-8. 若抛物线mx y 42=（0>m ）的焦点在圆122=+y x 内，则实数m 的取值范围是 .1>m9．已知直线l 经过点()()1,2,3,2A B --，则直线l 的方程是___________.10x y ++= 10、已知双曲线2221k x y -=(0)k >的一条渐近线的法向量是(1,2)，那么k = ．1211、已知抛物线2:8C y x =的焦点为F ，准线与x 轴的交点为K ，点A 在C 上且AK ，则AFK ∆的面积为 ．812、定义：曲线C 上的点到直线l 的距离的最小值称为曲线C 到直线l 的距离．已知曲线 21C :y x a =+到直线:l y x =的距离等于222:(4)2C x y ++=到直线:l y x =的距离， 则实数a = .4913．若双曲线122=-ky x 的一个焦点是(3,0)，则实数k = .814．已知圆222:C x y r +=与直线34100x y -+=相切，则圆C 的半径r = .215．已知点A (–3,–2)和圆C ：(x –4)2+(y –8)2=9，一束光线从点A 发出，射到直线l ：y=x –1后反射(入射点为B )，反射光线经过圆周C 上一点P ，则折线ABP 的最短长度是 ．1016．已知点P (x 0, y 0) 在椭圆C ：12222=+by a x (a >b >0)上，如果经过点P 的直线与椭圆只有一个公共点时，称直线为椭圆的切线，此时点P 称为切点，这条切线方程可以表示为：12020=+byy a x x ． 根据以上性质，解决以下问题：已知椭圆L ：191622=+y x ，若Q (u ，v )是椭圆L 外一点(其中u ，v 为定值)，经过Q 点作椭圆L 的两条切线，切点分别为A 、B ，则直线AB 的方程是 ．1916=+vyux 17．若圆C 的半径为1，圆心在第一象限，且与直线430x y -=和x 轴都相切，则该圆的标准方程是 ． ()()22211x y -+-=18．已知双曲线22214x y b-=的右焦点与抛物线212y x =的焦点重合，则该双曲线的焦点到其渐近线的距离为 ． 19．直线:tan105l x y π+-=的倾斜角α= .45π 20..抛物线28y x =的动弦AB 的长为6，则弦AB 中点M 到y 轴的最短距离是 .9821．若抛物线22y px =的焦点与双曲线2213y x -=的右焦点重合，则该抛物线的准线方程为 ．2x =-22．关于,x y 的方程22240x y x y m ++-+=表示圆，则实数m 的取值范围是 .(,5)-∞23．双曲线1322=-y x 的两条渐近线的夹角为 3π . 24．若直线l 的方程为0=++c by ax （b a ,不同时为零），则下列命题正确的是 （1）、（2）、（3） （1）以方程0=++c by ax 的解为坐标的点都在直线l 上； （2）方程0=++c by ax 可以表示平面坐标系中的任意一条直线； （3）直线l 的一个法向量为),(b a ；（4）直线l 的倾斜角为arctan()ab-. 25.直线20x y +=被曲线2262x y x y +--150-=所截得的弦长等于 ．二、选择题 每小题都给出四个选项，其中有且只有一个选项是正确的1．已知直线06)2(3:1=++-y k x l 与直线02)32(:2=+-+y k kx l ，记32)2(3-+-=k k k D .0=D 是两条直线1l 与直线2l 平行的 ( B )A ．充分不必要条件；B ．必要不充分条件 ；C ．充要条件；D ．既不充分也不必要条件 2.“点M 在曲线x y 42=上”是“点M 的坐标满足方程02=+y x ”的……………（ B ）)(A 充分非必要条件 )(B 必要非充分条件 )(C 充要条件 )(D 既非充分也非必要条件3．圆心在抛物线x y 22=上，且与x 轴和抛物线的准线都相切的一个圆的方程是（ D ）A ．01222=+--+y x y xB ．041222=---+y x y x C ．01222=+-++y x y x D ． 041222=+--+y x y x4．设a 、b 是关于t 的方程0sin cos 2=-θθt t 的两个不相等实根，则过),(2a a A 、),(2b b B 两点的直线与双曲线1sin cos 2222=-θθy x 的公共点个数是…………………（ D ） A ．3 B ．2 C ．1 D ．05．设椭圆的一个焦点为)0,3(，且b a 2=，则椭圆的标准方程为 （ A ）()A 1422=+y x ()B 1222=+y x ()C 1422=+x y ()D 1222=+x y 6．已知12,x x 是关于x 的方程2(21)0x mx m +-+=的两个实数根，则经过两点211(,)A x x ，222(,)B x x 的直线与椭圆221164x y +=公共点的个数是 （ A ） ()A 2 ()B 1()C 0()D 不确定 7.双曲线24x -212y =1的焦点到渐近线的距离为（ A ）（A ）（B ）2 （C （D ）1 8.圆0422=-+x y x 在点)3,1(P 处的切线方程为 ( D )（A ）023=-+y x （B ）043=-+y x （C ）043=+-y x （D ）023=+-y x9．设椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的左、右焦点分别为1F 、2F ，上顶点为B ，若2122BF FF ==，则该椭圆的方程为 （ A ）A ．13422=+y x B ．1322=+y x C ．1222=+y x D ．1422=+y x10．曲线21||y x =+的部分图像是（ C ）（A ） （B ）(C) （D ）11．对于方程为||1x +||1y =1的曲线C 给出以下三个命题： （1）曲线C 关于原点中心对称；（2）曲线C 既关于x 轴对称,也关于y 轴对称，且x 轴和y 轴是曲线C 仅有的两条对称轴； （3）若分别在第一、第二、第三、第四象限的点M,N,P,Q 都在曲线C 上，则四边形MNPQ 每一条边的边长都大于2．其中正确的命题是（ B ） (A)（1）（2） (B)（1）（3） (C)（2）（3） (D)（1）（2）（3） 12．已知满足条件122≤+y x 的点(,)x y 构成的平面区域面积为1S ，满足条件1][][22≤+y x 的点(,)x y 构成的平面区域的面积为2S ,其中][][y x 、分别表示不大于y x ,的最大整数，例如：[0.4]1-=-，[1.7]1=，则21S S 与的关系是 ……（ A ）A ．21S S <B ．21S S =C ．21S S >D ．321+=+πS S 三、解答题 解答下列各题必须写出必要的步骤．1.已知P 是椭圆12422=+y x 上的一点，求P 到)0,(m M （0>m ）的距离的最小值. 19. (本题满分12分) 【解】设),(y x P ，其中22≤≤-x ……………………2分则222)(||y m x PM +-==2221212)(2222++-=-+-m mx x x m x ……5分222)2(21m m x -+-=，对称轴m x 2=0>……7分 （1） 若220<<m ，即10<<m ，此时当m x 2=时，2min 2||m PM -=；……9分（2） 若22≥m ，即1≥m ，此时当2=x 时，|2|44||2min -=+-=m m m PM ；……11分综上所述，⎪⎩⎪⎨⎧≥-<<-=1|,2|10,2||2min m m m m PM …………12分2．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．已知点)2,0(-A ，椭圆E ：12222=+by a x （0>>b a ）的长轴长为4，F 是椭圆的右焦点，直线AF 的一个方向向量为)2,3(=d，O 为坐标原点．（1）求椭圆E 的方程；（2）设过点A 的动直线l 与椭圆E 相交于P 、Q 两点，当△OPQ 的面积S 最大时，求l 的方程． 21．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分． 解;（1）设)0,(c F ，直线AF 的点方向式方程为223+=y x ， ………………（2分）令0=y ，得3=x ，即3=c ， ………………………………………（3分）由已知，2=a ，所以1222=-=c a b ． ………………………………………（5分）所以椭圆E 的方程为1422=+y x ． ………………………………………（6分） （2）由题意，设直线l 的方程为2-=kx y ，将2-=kx y 代入1422=+y x ，得01216)14(22=+-+kx x k ， …………（1分） 当△0)34(162>-=k ，即432>k 时，直线l 与椭圆E 相交， ……………（2分）设),(11y x P ，),(22y x Q ，则1416221+=+k k x x ，1412221+=k x x ， ………（3分） 所以]4))[(1())(1()()(||2122122212221221x x x x k x x k y y x x PQ -++=-+=-+-=34141414481416)1(2222222-⋅++=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+-⎪⎭⎫ ⎝⎛+⋅+=k k k k k k k ， 又点O 到直线l 的距离122+=k d ，所以△OPQ 的面积14344||2122+-=⋅=k k d PQ S ． 设t k =-342，则0>t ，tt t t S 44442+=+=， ………………（5分）因为44≥+t t ，所以1≤S ，当且仅当2=t ，即27±=k 时，S 取最大值1．……（7分） 所以，当△OPQ 的面积S 最大时，直线l 的方程为227-±=x y ． ……………（8分）（直线方程用其他形式也可以） 3、（本题16分，第(1)小题6分，第(2)小题10分）已知椭圆C 的中心在原点O ，焦点在x 轴上，椭圆的两焦点与椭圆短轴的一个端点构成等边三角形，右焦点到右顶点的距离为1． （1）求椭圆C 的标准方程；（2）是否存在与椭圆C 交于,A B 两点的直线:()l y kx m k =+∈R ，使得22OA OB OA OB +=-成立？若存在，求出实数m 的取值范围，若不存在，请说明理由.22、解（1）设椭圆C 的方程为)0(12222>>=+b a by a x ，半焦距为c ，则⎩⎨⎧=-=12c a c a 解得：⎩⎨⎧==12c a 所以，3=b ，椭圆方程为13422=+y x （2）解：存在直线l ，使得22OA OB OA OB +=-成立。
上海市徐汇区2014-2015学年高三第一学期一模数学理试卷含答案
2014学年第一学期徐汇区学习能力诊断卷高三年级数学学科（理科）2015.1一．填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得0分．1．已知3sin 5θ=-，则cos 2θ=__ ___．2．若实数,x y 满足4xy =，则224x y +的最小值为 ． 3．设i 是虚数单位，复数z 满足(2)5i z +⋅=，则z = ． 4．函数2()2(0)f x x x =-<的反函数1()f x -= ．5．若抛物线22y px =的焦点与双曲线2213y x -=的右焦点重合，则该抛物线的准线方程为 ．6．若正四棱柱1111ABCD A BC D -的底面边长为2，高为4，则异面直线1BD 与AD 所成角的大小是______________．（结果用反三角函数值表示） 7．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，若11a =，*110()2n n S a n N +-=∈，则{}n a 的通项公式为 ．8．若全集U R =，不等式11111x x+≥-的解集为A ，则U A C = ．9．已知圆22:(1)(1)2C x y -+-=，方向向量(1,1)d =的直线l 过点(0,4)P ，则圆C 上的点到直线l 的距离的最大值为 ．10．如图：在梯形ABCD 中，//AD BC 且12AD BC =，AC 与 BD 相交于O ，设A B a =，D C b =，用,a b 表示BO ，则BO = ．11．已知函数()2sin(2)6f x x π=+，将()y f x =的图像向左平移ϕ（0ϕπ<<）个单位后得到函数()y g x =的图像．若()y g x =的图像上各最高点到点(0,3)的距离的最小值为1，则ϕ的值为 ．12．已知函数222111()1()()(1)2222015n n n f x x n =+++++++，其中*n N ∈． 当1 2 3 n =，，，时，()n f x 的零点依次记作123 x x x ，，，，则lim n n x →∞= ．13．在平面直角坐标系中，对于函数()y f x =的图像上不重合的两点,A B ，若,A B 关于原点对称，则称点对(),A B 是函数()y f x =的一组“奇点对”（规定(),A B 与(),B A 是相同的“奇点对”）．函数()()()1lg 01sin 02x xf x x x ⎧>⎪⎪=⎨⎪<⎪⎩的“奇点对”的组数是 ．14．设集合(){}{}12310,,,,|1,0,1,1,2,3,,10i A x x x x x i =∈-=，则集合A 中满足条件“1231019x x x x ≤++++≤”的元素个数为 ．二．选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得0分．15． “14a ≥”是“实系数一元二次方程20x x a ++=有虚数根”的（ ）（A ）充分非必要条件 （B ）必要非充分条件（C ）充分必要条件 （D ）既非充分又非必要条件16．已知m 和n 是两条不同的直线，α和β是两个不重合的平面，则下列给出的条件中一定能推出m β⊥的是 （ ）（A ）αβ⊥且m α⊂≠（B ）αβ⊥且α//m（C ）n m //且n β⊥ （D ）m n ⊥且//n β17．某电商在“双十一”期间用电子支付系统进行商品买卖，全部商品共有n 类*()n N ∈，分别编号为1,2,,n ，买家共有m 名*(,)m N m n ∈<，分别编号为1,2,,m ．若1,1,10,ij i j a i m j n i j ⎧=≤≤≤≤⎨⎩第名买家购买第类商品第名买家不购买第类商品，则同时购买第1类和第2类商品的人数是（ ） （A ）1112121222m m a a a a a a +++++++（B ）1121112222m m a a a a a a +++++++（C ）1112212212m m a a a a a a +++ （D ）1121122212m m a a a a a a +++18．对于方程为||1x +||1y =1的曲线C 给出以下三个命题： （1）曲线C 关于原点中心对称；（2）曲线C 既关于x 轴对称,也关于y 轴对称，且x 轴和y 轴是曲线C 仅有的两条对称轴； （3）若分别在第一、第二、第三、第四象限的点M,N,P,Q 都在曲线C 上，则四边形MNPQ 每一条边的边长都大于2．其中正确的命题是（ ） (A)（1）（2） (B)（1）（3） (C)（2）（3） (D)（1）（2）（3）三．解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．19．(本题满分12分) 本题共有2个小题，第1小题满分4分，第2小题满分8分． 已知函数R x x A x f ∈+=),4sin()(π，且23)125(=πf ． （1）求A 的值；（2）若23)()(=-+θθf f ，)2,0(πθ∈，求)43(θπ-f ．20．(本题满分14分) 本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分． 已知函数()22()x x f x k k R -=+⋅∈．（1）若函数()f x 为奇函数，求k 的值；（2）若函数()f x 在(],2-∞上为减函数，求k 的取值范围．21．(本题满分14分) 本题共有2个小题，第1小题满分8分，第2小题满分6分．如图所示，某传动装置由两个陀螺12,T T 组成，陀螺之间没有滑动．每个陀螺都由具有公共轴的圆锥和圆柱两个部分构成，每个圆柱的底面半径和高都是相应圆锥底面半径的13，且12,T T 的轴相互垂直，它们相接触的直线与2T 的轴所成角2arctan3θ=．若陀螺2T 中圆锥的底面半径为()0r r >．（1）求陀螺2T 的体积；（2）当陀螺2T 转动一圈时，陀螺1T 中圆锥底面圆周上一点P 转动到点1P ，求P 与1P 之间的距离．22．(本题满分16分) 本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分．已知椭圆222:1x y aγ+=（常数1a >）的左顶点为R ，点(,1),(,1)A a B a -，O 为坐标原点．（1）若P 是椭圆γ上任意一点，OP mOA nOB =+，求22m n +的值； （2）设Q 是椭圆γ上任意一点，()3,0S a ，求QS QR ⋅的取值范围；（3）设1122(,),(,)M x y N x y 是椭圆γ上的两个动点，满足OM ON OA OB k k k k ⋅=⋅，试探究OMN ∆的面积是否为定值，说明理由．23．(本题满分18分) 本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分．已知有穷数列}{n a 各项均不相等．．．．，将}{n a 的项从大到小重新排序后相应的项数．．．．．构成新数列}{n p ，称}{n p 为}{n a 的“序数列”．例如数列：321,,a a a 满足231a a a >>，则其序数列}{n p 为2,3,1． （1）写出公差为(0)d d ≠的等差数列12,,,n a a a L 的序数列}{n p ；（2）若项数不少于5项的有穷数列}{n b 、}{n c 的通项公式分别是nn n b )53(⋅=(*n N ∈)，tn n c n +-=2(*n N ∈)，且}{n b 的序数列与}{n c 的序数列相同，求实数t 的取值范围；（3）若有穷数列}{n d 满足11=d ，nn n d d )21(||1=-+*()n N ∈，且}{12-n d 的序数列单调递减，}{2n d 的序数列单调递增，求数列}{n d 的通项公式．理科参考答案一、填空题：（每题4分）1.7252. 163.4. 2)x >-5. 2x =-6. 7. 2*1,123,2,n n n a n n N -=⎧=⎨⋅≥∈⎩8. (]1,0- 9. 10. 4233a b -+r r 11. 6π12. 3- 13. 3 14. 58024二、选择题：（每题5分）15. B 16. C 17. C 18. B三、解答题19、解：（1）553()sin()121242f A πππ=+=，322A ⋅=……………………..2’A ∴=; ……………………..4’（2）3()()))42f f +-=+-+=ππθθθθ，3cos )sin cos )]2+-+=θθθθ，……………………..6’32=θ，cos =θ，……………………..8’又)2,0(πθ∈，sin ∴==θ， ……………………..10’)43(θπ-f )=-==πθθ．……………………..12’20、解：（1）()()(1)(22)0x x f x f x k -+-=++=对一切的x R ∈成立，……………………..4’ 所以1k =-……………………..6’（2）若0k ≤，则函数()f x 在(],2-∞单调递增（舍）……………………..8’当0k >时，令(]20,4xt =∈，……………………..9’则函数()kg t t t=+在(]0,4上单调递减……………………..10’4≥，……………………..13’ 即16k ≥……………………..14’ 21、解：（1）设陀螺2T 圆锥的高为h ，则23r h =，即32h r =……………………..2’得陀螺2T 圆柱的底面半径和高为3r……………………..3’ 231=3327r r V r ππ⎛⎫= ⎪⎝⎭柱……………………..5’23131=322V r r r ππ=椎……………………..7’232954T V V V r π=+=柱椎……………………..8’（2）设陀螺1T 圆锥底面圆心为O ，则12PP r π=，……………………..10’得1124332PP r POP OP r ππ∠===……………………..12’ 在1POP ∆中，12PPr ==……………………..14’ 22、解：（1）(),OP mOA nOB ma na m n =+=-+， 得(),P ma na m n -+……………………..2’()()221m n m n -++=，即2212m n +=……………………..4’ （2）设(),Q x y ，则()()3,,QS QR a x y a x y ⋅=-----()()()()222331x x a x a y x a x a a=-++=-++-……………………..5’22221213a x ax a a-=-+-()22342222144111a a a a x a x a a a a ⎛⎫--+=---≤≤ ⎪--⎝⎭……………………..6’ 由1a >，得321a a a >-……………………..7’ ∴ 当x a =-时，QS QR ⋅最大值为0；……………………..8’当x a =时，QS QR ⋅最小值为24a -；……………………..9’即QS QR ⋅的取值范围为24,0a ⎡⎤-⎣⎦……………………..10’（3）（解法一）由条件得，122121y y x x a=-，……………………..11’ 平方得224222222121212()()x x a y y a x a x ==--,即22212x x a +=……………………..12’122112OMN S x y x y ∆=-……………………..13’=2a==……………………..15’ 故OMN ∆的面积为定值2a……………………..16’（解法二）①当直线MN 的斜率不存在时，易得OMN ∆的面积为2a……………………..11’ ②当直线MN 的斜率存在时，设直线MN 的方程为y kx t =+()()22222222211210x y a k x kta x a t ay kx t ⎧+=⎪⇒+++-=⎨⎪=+⎩……………………..12’ 由1122(,),(,)M x y N x y ，可得()2221212222212,11a t kta x x x x a k a k --+==++， ()()()2222212121212221t a k y y kx t kx t k x x kt x x x t a k -=++=+++=+又122121OM ON y y k k x x a⋅==-，可得22221t a k =+……………………..13’因为12MN x x =-，……………………..14’ 点O 到直线MN的距离d =……………………..15’12122OMNt S MN d x x ∆=⋅⋅=⋅-2t =22t a==综上：OMN ∆的面积为定值2a……………………..16’ 23、解：(1)当0>d 时，序数列}{n p 为,1,,2,1n n -L ；……………………..2’ 当0<d 时，序数列}{n p 为1,2,,1,n n -L ……………………..4’ (2)因为523)53(1nb b nn n -⋅=-+，……………………..5’当1=n 时，易得12b b >，当2≥n 时，n n b b <+1， 又因531=b ，33)53(3⋅=b ，44)53(4⋅=b ，314b b b <<， 即2314n b b b b b >>>>>L ，故数列}{n b 的序数列为2,3,1,4,,n L ，……………………..8’ 所以对于数列}{n c 有2522<<t ， 解得：54<<t ……………………..10’(3)由于}{12-n d 的序数列单调递减，因此}{12-n d 是递增数列，故01212>--+n n d d ，于是0)()(122212>-+--+n n n n d d d d ，而122)21()21(-<n n，所以||||122212-+-<-n n n n d d d d ，从而0122>--n n d d ， 122121222)1()21(----==-n n n n n d d (1) ……………………..12’ 因为}{2n d 的序数列单调递增，所以}{2n d 是递减数列，同理可得0212<-+n n d d ，故21221221(1)()22n n n nnd d ++--=-= (2) ……………………..14’ 由(1)(2)得：nn n n d d 2)1(11++-=-……………………..15’于是 )()()(123121--++-+-+=n n n d d d d d d d d ……………………..16’122)1(21211--++-+=n n211)21(12111+--⋅+=-n ……………………..17’12)1(3134--⋅+=n n 即数列}{n d 的通项公式为12)1(3134--⋅+=n n n d (*n N ∈)……………………..18’。
上海市各区高三数学一模试题分类汇编 立体几何(理)
上海市各区高三数学一模试题分类汇编 立体几何（理）立体几何2014.01.26（普陀区2014届高三1月一模，理）1. 若集合}02|{2>-=x x x A ，}2|1||{<+=x x B ，则=B A . 1.)0,3(-；（杨浦区2014届高三1月一模，理）4．若全集U R =，函数21x y =的值域为集合A ，则=A C U .4. ()0,∞- ；（嘉定区2014届高三1月一模，理）8．分别从集合}4,3,2,1{=A 和集合}8,7,6,5{=B 中各取一个数，则这两数之积为偶 数的概率是_________． 8．43 （杨浦区2014届高三1月一模，理）7. 若将边长为cm 1的正方形绕其一条边所在直线旋转一周，则所形成圆柱的体积 等于 ()3cm . 7. π；（嘉定区2014届高三1月一模，理）5．已知圆锥的母线长为5cm ，侧面积为π202cm ，则此圆锥的体积为________3cm ． 5．π16（长宁区2014届高三1月一模，理）6、一平面截一球得到直径是6cm 的圆面，球心到这个平面的距离是4cm ，则该球的体积是. 6、3)(3500cm π（浦东新区2014届高三1月一模，理）10. 已知圆锥的底面半径为3，体积是12π，则圆锥侧面积等于___________. 10. 15π（徐汇区2014届高三1月一模，理）12. 如图所示，已知点G 是△ABC 的重心，过G 作直A线与AB 、AC 两边分别交于M 、N 两点，且,AM x AB AN y AC ==，则xyx y+的值为.（普陀区2014届高三1月一模，理）10．如图，正四棱柱1111D C B A ABCD -的底面边长2=AB ，若直线C B 1与底面ABCD所成的角的大小为2arctan ，则正四棱柱1111D C B A ABCD -的侧面积为. 10．32；（普陀区2014届高三1月一模，理）13.正三角形ABC 的三个顶点都在半径为2的球面上，球心O 到平面ABC 的距离为1，点D 是线段BC 的中点，过D 作球O 的截面，则截面面积的最小值为. 13.49π；（杨浦区2014届高三1月一模，理）15. 若空间三条直线c b a 、、满足b a ⊥，c b //，则直线a 与c ………（ ）.第10题第13题)(A 一定平行 )(B 一定相交 )(C 一定是异面直线 )(D 一定垂直15. D ；（长宁区2014届高三1月一模，理）15、下列命题中，错误．．的是 ( )A. 一条直线与两个平行平面中的一个相交，则必与另一个平面相交B.平行于同一平面的两个不同平面平行C.如果平面α不垂直平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面βD.若直线l 不平行平面α，则在平面α内不存在与l 平行的直线 15、D（杨浦区2014届高三1月一模，理）19．（本题满分12分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分 ．已知正方体1111D C B A ABCD -的棱长为a . （1）求异面直线B A 1与C B 1所成角的大小； （2）求四棱锥ABCD A -1的体积.19. 【解】（1）因为D A C B 11//，∴直线B A 1与D A 1所成的角就是异面直线B A 1与C B 1所成角. ……2分又BD A 1∆为等边三角形，∴异面直线B A 1与C B 1所成角的大小为︒60. ……6分（2）四棱锥ABCD A -1的体积=V 323131a a a =⨯⨯……12分 .（长宁区2014届高三1月一模，理）19.（本题满分12分，其中（1）小题满分6分，（2）小题满分6分）如图，正三棱柱ABC —A 1B 1C 1的各棱长都相等，M 、E 分别是AB 和AB 1的中点，点F 在BC 上且满足BF ∶FC =1∶3.(1)求证：BB 1∥平面EFM ；(2)求四面体BEF M -的体积。
2013-2018年上海高考试题汇编-立体几何(带参考答案)
近五年上海高考试卷汇编——立体几何（2015理19）如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，11,2,AA AB AD E F ===、分别是AB BC 、的中点，证明11A C F E 、、、四点共面，并求直线1CD 与平面11AC FE 所成的角的大小．答案：arcsin（2018春14）如图，在直三棱柱111AB A B C C -的棱所在的直线中，与直线1BC 异面的直线条数为（ ）（A ）1（B ）2 （C ）3（D ）4答案 C（2012理19）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是矩形，PA ⊥ 底面ABCD ，E是PC 的中点，已知2AB =，AD =2PA =，求：（1）三角形PCD 的面积．（2）异面直线BC 与AE 所成的角的大小．答案：（1）（2）4π（2012文19）如图，在三棱锥P ABC -中，PA ⊥ 底面ABC ，D 是PC 的中点，已知2BAC π∠=，2AB =，AC=2PA =，求：（1）三棱锥P ABC -的体积．（2）异面直线BC 与AD 所成的角的大小．（结果用反三角函数值表示）答案：（1）（2）3arccos 4（2013文10）已知圆柱Ω的母线长为l ，底面半径为r ，O 是上底面圆心，A 、B 是下底面圆周上两个不同的点，BC 是母线，如图．若直线OA 与BC 所成角的大小为6π，则lr= ．（2016理19）将边长为1的正方形11AAO O （及其内部）绕的1OO 旋转一周形成圆柱，如图，AC 长为23π，11A B 长为3π，其中1B 与C 在平面11AAO O 的同侧。
（1）求三棱锥111C O A B -的体积；（2）求异面直线1B C 与1AA 所成的角的大小。
4π （2018秋17）已知圆锥的顶点为P ，底面圆心为O ，半径为2. （1）设圆锥的母线长为4，求圆锥的体积；（2）设4PO =，OA 、OB 是底面半径，且90AOB ∠=︒，M 为线段AB 的中点，如图，求异面直线PM 与OB 所成的角的大小.答案：（1）V =；（2） 关键点：方法一：建立空间直角坐标系（首选）； 方法二；平移法（2017秋考17）如图，直三棱柱111C B A ABC -中，2,4,5,901===︒=∠BC AB BB ABC ； （1）求三棱柱111C B A ABC V -的体积；（2）若M 是棱AC 中点，求M B 1与平面ABC 所成角的大小；O MPBA答案：（1）20=V ；（2）5arctan；（2015理19）如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，11,2,AA AB AD E F ===、分别是AB BC 、的中点，证明11A C F E 、、、四点共面，并求直线1CD 与平面11AC FE 所成的角的大小．答案：arcsin知识点5：垂直问题（2012理19）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是矩形，PA ⊥ 底面ABCD ，E是PC 的中点，已知2AB =，AD =2PA =，求：（1）三角形PCD 的面积．（2）异面直线BC 与AE 所成的角的大小．答案：（1）（2）4π（2013理19）如图，在长方体''''ABCD A B C D -中，2AB =，1AD =，'1AA =． 证明直线'BC 平行于平面'D AC ，并求直线'BC 到平面'D AC 的距离．证明：略（2013理19）如图，在长方体''''ABCD A B C D -中，2AB =，1AD =，'1AA =． 证明直线'BC 平行于平面'D AC ，并求直线'BC 到平面'D AC 的距离．答案：建立空间直角坐标系，可得的有关点的坐标为(1,0,1)A 、(1,2,1)B 、(0,2,1)C 、'(0,2,0)C 、'(0,0,0)D .设平面'D AC 的法向量为(,,)n u v w =，则'n D A ⊥，'n D C ⊥. 因为'(1,0,1)D A =，'(0,2,1)D C =，'0n D A ⋅=，'0n D C ⋅=， 所以020u w v w +=⎧⎨+=⎩，解得2u v =，2w v =-.取1v =，得平面'D AC 的一个法向量(2,1,2)n =-.因为'(1,0,1)BC =--，所以'0n BC ⋅=，所以'n BC ⊥.又'BC 不在平面'D AC 内，所以直线'BC 与平面'D AC 平行.由(1,0,0)CB =， 得点B 到平面'D AC 的距离223n CB d n⋅⨯===， 所以直线'BC到平面'D AC 的距离为23（2015理4）若正三棱柱的所有棱长均为a，且其体积为a = ． 答案：4（2010理12）如图所示，在边长为4的正方形纸片ABCD 中，AC 与BD 相交于点O ，剪去AOB ，将剩余部分沿,OC OD 折叠，使,OA OB 重合，则以(),A B ,,C D O 为顶点的四面体的体积是 ．（2014理19文19）底面边长为2的正三棱锥P ABC -，其表面展开图是123PP P ∆，如图，求123PP P ∆的各边长及此三棱锥的体积V ．答案：在123P P P ∆中，13P A P A =，23P C PC =，所以AC 是中位线，故1224PP AC ==. 同理，234P P =，314P P =.所以123P P P ∆是等边三角形，各边长均为4.设Q 是ABC ∆的中心，则PQ ⊥平面ABC ，所以AQ =PQ ==从而，13ABC V S PQ ∆=⋅=（2010春10）各棱长为1的正四棱锥的体积V = ． 答案：62 （2018秋15）《九章算术》中，称底面为矩形而有一侧棱垂直于底面的四棱锥为阳马，设1AA 是正六棱柱的一条侧棱，如图，若阳马以该正六棱柱的顶点为顶点，以1AA 为底面矩形的一边，则这样的阳马的个数是（ ）A. 4B. 8C. 12D. 16答案：D 关键点：底面矩形是下图的四种情形，每种情形都有四种垂直于底面的侧棱，故个数为16，（2018春7）如图，在长方形1111B ABC A C D D -中，13,4,5AB BC AA ===，O 是11A C 的中点，则三棱锥11A AOB -的体积为__________．答案：5（2012文5）一个高为2的圆柱，底面周长为2π，该圆柱的表面积为 ． 答案：6π（2013文10）已知圆柱Ω的母线长为l ，底面半径为r ，O 是上底面圆心，A 、B 是下底面圆周上两个不同的点，BC 是母线，如图．若直线OA 与BC 所成角的大小为6π，则lr= ．（2009文8）若等腰直角三角形的直角边长为2，则以一直角边所在的直线为轴旋转一周所成的几何体体积是 ． 答案：83π（2015理6）若圆锥的侧面积与过轴的截面面积之比为2π，则其母线与轴的夹角的大小为______． 答案：3π（2014理6文7）若圆锥的侧面积是底面积的3倍，则其母线与底面夹角的大小为 （结果用反三角函数值表示）． 答案： 1arccos3（2012理8）若一个圆锥的侧面展开图是面积为2π的半圆面，则该圆锥的体积为 ．（2011春20）某甜品店制作一种蛋筒冰激凌,其上部分是半球形,下半部分呈圆锥形（如图）,现把半径为10cm 的圆形蛋皮等分成5个扇形,用一个蛋皮围成圆锥的侧面（蛋皮的厚度忽略不计），求该蛋筒冰激凌的表面积和体积．（精确到0.01）答案：设圆锥的底面半径为r ，高为h .由题意，圆锥的侧面扇形的周长为121045ππ⋅⋅=()cm ，圆锥底面周长为2r π()cm ，则24r ππ=，2r =()cm .=()cm ，圆锥的侧面扇形的面积为11410202S ππ=⨯⨯=()2cm ，半球的面积为 2214282S ππ=⨯⨯=.该蛋筒冰激凌的表面积122887.96S S S π=+=≈()2cm ；圆锥的体积为21123Vπ=⨯⨯()3cm ， 半球的体积为3214162233V ππ=⨯⨯=()3cm ，所以该蛋筒冰激凌的体积为)1216157.803V V V π=+=≈()3cm .因此该蛋筒冰激凌的表面积约为287.96cm ， 体积约为357.80cm .（2018秋17）已知圆锥的顶点为P ，底面圆心为O ，半径为2. （1）设圆锥的母线长为4，求圆锥的体积；（2）设4PO =，OA 、OB 是底面半径，且90AOB ∠=︒，M 为线段AB 的中点，如图，求异面直线PM 与OB 所成的角的大小.答案：（1）V =；（2）（2017秋4）已知球的体积为36π，则该球主视图的面积等于___ 答案：9π（2009理8）已知三个球的半径1R ，2R ，3R 满足32132R R R =+，则它们的表面积1S ，2S ，3S 满足的等量关系是 ．O MPBA=（2013理13）在xOy 平面上，将两个半圆弧22(1)1(1)x y x -+=≥和22(3)1(3)x y x -+=≥、两条直线1y =和1y =-围成的封闭图形记为D ，如图中阴影部分．记D 绕y 轴旋转一周而成的几何体为Ω．过(0,)(||1)y y ≤作Ω的水平截面，所得截面面积为48π+．试利用祖暅原理、一个平放的圆柱和一个长方体，得出Ω的体积值为 ．答案： 2216ππ+（2017秋7）如图，以长方体1111D C B A ABCD -的顶点D 为坐标原点，过D 的三条棱所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，若1DB 的坐标为)2,3,4(，则1AC 的坐标为_____答案：()4,3,2-3，3，2的三角形，则该圆锥的侧面积为 ． 答案：3π（2014文8）在长方体中割去两个小长方体后的几何体的三视图如右图，则切割掉的两个小45长方体的体积之和等于 答案：24（2009年高考文16）如图,已知三棱锥的底面是直角⊥,直角边长分别为3和4,过直角顶点的侧棱长为4,且垂直于底面,该三棱锥的主视图是 ( ) ()A ()B ()C ()D答案：B知识点16：截面问题（2017春15）过正方体中心的截面截正方体所得的截面中，不可能的图形是（ ）A 、三角形B 、长方形C 、对角线不相等的菱形D 、六边形 答案：A知识点17：球面距离（2010春21）已知地球半径约为6371千米． 上海的位置约为东经121°、北纬31°，大连的位置约为东经121°、北纬39°，里斯本的位置约为西经10°、北纬39°．（1）若飞机以平均速度720千米/小时飞行，则从上海到大连的最短飞行时间约为多少小时？（飞机飞行高度忽略不计，结果精确到0．1小时） （2）求大连与里斯本之间的球面距离．（结果精确到1千米） 答案：（1）1.2小时； （2）约为10009千米43434知识点18：和数列相关（2012理6）有一列正方体，棱长组成以1为首项、12为公比的等比数列，体积分别记为12,,...,,...nV V V，则12lim(...)nnV V V→∞+++=．答案：87知识点19：补形法（2011春13）有一种多面体的饰品，其表面由6个正方形和8个正三角形组成（如图），AB 与CD所成角的大小是．答案：3π提示：补充图形为正方体（2010春13）在如图所示的斜截圆柱中，已知圆柱底面的直径为40cm，母线长最短50cm，最长80cm，则斜截圆柱的侧面面积S=2cm．答案：2600πO大连上海北南极赤里斯本40c50c80c（2014春24）如图，在底面半径和高均为1的圆锥中，AB CD 、是底面圆O 的两条互相垂直的直径，E 是母线PB 的中点. 已知过CD 与E 的平面与圆锥侧面的交线是以E 为顶点的抛物线的一部分，则该抛物线的焦点与圆锥顶点P 的距离为（ ）A 、1B 、2 C 、2 D 4答案：D（2012理14）如图，AD 与BC 是四面体ABCD 中互相垂直的棱，2BC =，若2AD c =，且2AB BD AC CD a +=+=，其中,a c 为常数，则四面体ABCD 的体积的最大值是 ．答案：23题型：三棱锥的体积计算与椭圆试一试：已知在半径为2的球面上有A B C D 、、、四点，若2AB CD ==，则四面体ABCD 的体积的最大值为___________答案：3选题理由：本题为四面体中，已知对棱的长为,a b ，对棱的夹角为θ，对棱的距离为h ，体积为1sin 6V abh θ=的典型题 （2018春19）利用“平行于圆锥曲线的母线截圆锥面，所得截线是抛物线”的几何原理，某快餐店用两个射灯（射出的光锥视为圆锥）在广告牌上投影出其标识，如图1所示，图2是投影出的抛物线的平面图，图3是一个射灯的直观图，在图2与图3中，点O 、A 、B 在抛物线上，OC 是抛物线的对称轴，OC AB ⊥于C ，3AB =米， 4.5OC =米．（1）求抛物线的焦点到准线的距离；（2）在图3中，已知OC平行于圆锥的母线SD，AB、DE是圆锥底面的直径，求圆锥的母线与轴的夹角的大小（精确到0．01°）．图1 图2 图3答案：（1）14；（2）9.59 ．。
上海市2014届普通高中学生学业水平考试数学模拟试卷 1--6 排版打印稿 答案部分
高中数学学业水平模拟考试训练试卷（二）参考答案
1． 1, 8. 2.
1 i 2
3．
2 3
4． x 1
5． ,
6. 1
7．
3 4
2
4 15
9.
x 1 5 （向量表示也可） ； 10． 2, 2 y 1
15.(D) 21(D) 16,(A) 22(A) 17.(C) 23(A)
② S nm nS m -------8 分
n(n 1) 2 2 2 ． -------9 分 m d （或写成 S nm nS m Cn m d ， n≥ 2 ） 2 m(m 1) 证明： S m ma1 d， 2 nm(nm 1) nm(m 1) nm(nm 1) S nm nma1 d nS m d d 2 2 2 nm nm n(n 1) 2 nS m d (nm 1 m 1) nS m d (nm m) nS m m d ． ----------12 分 2 2 2
高中数学学业水平模拟考试训练试卷（一）参考答案
1.2 7.1 2. 4,0 , 4,0 8.15 3. ,0 , 9.
1 2
4. 3
5. 0, 2
6. 6，30，10 12. [ 1,3]
1 2 11. 3 3 13.B 14.D 15.D 16.B 17.B 18.C 19.D 20.A 21.D 22.C 23.B 24.A
解得 a1 证明： am1 m2 am2 m1d ，
-------4 分 -------5 分 -------6 分
S m1 m2 S m1 am1 1 am1 2 am1 m2 S m1 (a1 m1d ) (a2 m1d ) (am2 m1d ) S m1 S m2 m1m2 d ．
年上海市高三上一模汇编解析几何
2015年高三一模汇编解析几何一、填空题22 y1.（2015奉贤一模理4文4）若双曲线X 1的一个焦点是（3,0），则实数k二.k【答案】82 2 22.（2015奉贤一模理5文5）已知圆C:x y =r与直线3x_4y T0=0相切，则圆C的半径r = _____________ . 【答案】_23.（2015黄浦一模理3文3）已知直线11 : x y-3=0」2：（1 • -、3）x • （V .. 3）y 1=0，则直线h与J的夹角的大小是______________ .【答案】P32 24.（2015黄浦一模理5文5）已知抛物线C的顶点在坐标原点，焦点与双曲线：D 1的右焦点重合，7 2则抛物线C的方程是________ •【答案】y2=12x5.（2015嘉定一模理3文3）已知直线1垂直于直线2x-3y+5 = 0 ,则直线1的一个法向量n= ____________ •【答案】（3,2）6.（2015嘉定一模理6文6）若椭圆mx2+y2=1的一个焦点与抛物线y2=4x的焦点重合，则m =_____________ •1【答案】丄22 27.（2015宝山一模理12文12）已知点A（-3,-）和圆C: （xT）+（y~8）=9，—束光线从点A发出，射到直线1: y=x -后反射（入射点为B）,反射光线经过圆周C上一点P,则折线ABP的最短长度是__________________ •【答案】102 2x y8.（2015宝山一模理14文14）已知点P（X0, y0）在椭圆C:二2=1 （a>b>0）上，如果经过点P的a b直线与椭圆只有一个公共点时，称直线为椭圆的切线，此时点P称为切点，这条切线方程可以表示为：彎•智=1 •根据以上性质，解决以下问题：a b2 2已知椭圆L: x y 1，若Q（u, v）是椭圆L外一点（其中u, v为定值），经过Q点作椭圆L的16 9两条切线，切点分别为A、B，则直线AB的方程是__________ •【答案】ux vy .116 99. （2015静安一模文10）已知两条直线的方程分别为h：x-y 7=0和S：2x-y *2=0,则这两条直线的夹角大小为_________ .（结果用反三角函数值表示）【答案】3怖亠 1 arccos (或arcta n )10 310.（2015静安一模理11文12）直线I经过点P（_2,1）且点A（_2,_1）到直线I的距离等于1,则直线I的方程是__________ .【答案】..3x _y 1 2、3 =0 或—...3x _ y 1 _2 .、3 =02 211.（2015浦东一模理3文3）关于x, y的方程x y・2x-4y・m=0表示圆，则实数m的取值范围是__________ .【答案】（-：：,5）2x 212.（2015浦东一模理7文7）.双曲线y =1的两条渐近线的夹角为3【答案】-313.（2015浦东一模理12文12）若直线I的方程为ax by ^0 （a,b不同时为零），则下列命题正确的是____________ .（1）以方程ax by ・c=0的解为坐标的点都在直线I上；（2）方程ax by可以表示平面坐标系中的任意一条直线;（3）直线I的一个法向量为（a,b）；（4）直线I的倾斜角为arctan（—旦）. b【答案】（1）（2）（3）2 214.（2015普陀一模理7文7）若方程」-1表示双曲线，则实数k的取值范围是|k|-2 3-k【答案】（-2, 2）（3,：：）2 4x 2 215.（2015普陀一模理10文10）若抛物线y : ——（m 0）的焦点在圆x y =1内，则实数m的■v'm取值范围是____ .【答案】m • 116.（2015青浦一模理4文4）直线I : xtan y-1=0的倾斜角「.54兀【答案】—517.（2015青浦一模理9文9）抛物线y2=8x的动弦AB的长为6，则弦AB中点M到y轴的最短距离是________ .9【答案】-818. （2015松江一模理6文6）若圆C的半径为1，圆心在第一象限，且与直线4x-3y=0和x轴都相切, 则该圆的标准方程是______________ .2 2【答案】（x -2）+（y -1 ）=12 2x y219. （2015松江一模理9文9）已知双曲线的右焦点与抛物线 y =12x 的焦点重合，则该双曲4 b线的焦点到其渐近线的距离为 ___________ • 【答案】.520. （2015杨浦一模理4文4）已知直线丨经过点A 1,-2 ,B -3,2，则直线l 的方程是 _____________【答案】x y 1 =01 2 221.(2015闸北一模理5文5)设门・N "，圆C n ：(x) (y -1)n【答案】4二①曲线C 是双曲线； ②关于y 轴对称；③ 关于坐标原点中心对称；④ 与x 轴所围成封闭图形面积小于 2•则其中正确结论的序号是 __________ .（注：把你认为正确结论的序号都填上） 【答案】②④2x23. （2015闸北一模文9）关于曲线C :y 4=1，给出下列四个结论： 4① 曲线C 是椭圆； ② 关于坐标原点中心对称； ③ 关于直线y =x 轴对称；④ 所围成封闭图形面积小于 &则其中正确结论的序号是 __________ .（注：把你认为正确命题的序号都填上） 【答案】②④9 9924. （2015崇明一模理5文5）已知双曲线k x -y =1 （k 0）的一条渐近线的法向量是 （1,2），那么k =_.1【答案】1225. （2015崇明一模理9文9）已知抛物线C:y 2=8x 的焦点为F ，准线与x 轴的交点为K ,点A 在C 上且AK 二2 AF ，则 AFK 的面积为 ___________________________ .【答案】826. （2015崇明一模理13文13）定义：曲线C 上的点到直线l 的距离的最小值称为曲线C 到直线l 的距离.已知曲线C 1 : y =x 2• a 到直线I : y =x 的距离等于C 2 : x 2（y 4）^2到直线I : y = x 的距离，则实数 a = _9【答案】944n 1-1 4n- 1的面积为S n ,则lim S nn -^-bc22. （2015闸北一模理9）关于曲线 C: X 4 -y 3=1，给出下列四个结论:27.（2015宝山一模理11文11）直线x+2y=0被曲线x2，y2 -6x-2y-15 =0所截得的弦长等于 _____________【答案】4、. 52x 228. （2015虹口一模理1文1）椭圆y =1的焦距为___________________4【答案】2、、329. （2015虹口一模理10文10）已知IJ 2是分别经过 A 21 , B 0,2两点的两条平行直线，当l i ,l 2之间的距离最大时，直线 h 的方程是 ______________ .【答案】2x_y_3=0230. （ 2015虹口一模理11文11）若抛物线y =4x 上的两点 A 、B 到焦点的距离之和为6，则线段 AB 的中点到y 轴的距离为 ______________ .【答案】2222y31. （ 2015徐汇一模理5文5）若抛物线y =2px 的焦点与双曲线 x1的右焦点重合， 3则该抛物线的准线方程为 ___________________ .【答案】x = —222呻32. （2015徐汇一模理9文10）已知圆C ：（x-1） ，（y-1） =2，方向向量d =（1,1）的直线I 过点P（0,4），则圆C 上的点到直线I 的距离的最大值为 _________________ .【答案】3.2【答案】D222. （ 2015松江一模理18文18）已知满足条件 x y < 1的点（x, y ）构成的平面区域面积为3，2 2满足条件［x ］ ［y ］ <1的点（x,y ）构成的平面区域的面积为 S 2,其中［x ］、［y ］分别表示不大于x, y的最大整数，例如：［-0.4］ = -1，［1.7］ =1，则^与S 2的关系是（）A . S 1 :: 5B . 3 = S 2C . S 1 S 2D .E S 2 -二 3【答案】A3. （ 2015普陀一模理16文16） “点M 在曲线y 2=4x 上”是“点M 的坐标满足方程 2x^0 ”的（）（A ）充分非必要条件 （B ）必要非充分条件（C ）充要条件 （D ）既非充分也非必要条件选择题1. （ 2015杨浦一模理17文17）圆心在抛物线 y 2=2x 上，且与x 轴和抛物线的准线都相切的 一个圆的方程是（）A . x 2y 2-x -2y 1 =0 C . x 2y 2x -2y 1=021 y x - 2y 0 42 21D . xy-x-2y 04【答案】B4.（2015浦东一模理13文13）设椭圆的一个焦点为（、-3,0），且a = 2b，则椭圆的标准方程为（）2 2 2 2X 2x 2y 2y 2(A) y =1(B) y =1(C) x =1(D) x =142 4 2【答案】(A)25. ( 2015浦东一模理24文24)已知人,X ?是关于X 的方程x • mx - (2 m • 1) =0的两个实数根，2 2则经过两点A(X 1,xj)，B(X 2,X 22)的直线与椭圆 — -1公共点的个数是()16 4(A) 2(B) 1 (C)0(D)不确定【答案】(A)6. ( 2015 静安一模理 16 文 16)已知直线 :3x —(k 2)y 6=0 与直线 l 2 :kx (2k — 3)y 2 = 0 ,2 2则过A （a , a 2）、B （b , b 2）两点的直线与双曲线 一笃 与 1的公共点个数是（ ）cos 日 sin 6A . 3B . 2C . 1D . 0【答案】D2 29. （ 2015宝山一模理17文17）双曲线X— =1的焦点到渐近线的距离为（）4 12A 、2、3B 、2C 、 3D 、1【答案】A10. （2015宝山一模理20文20）圆X 2，y 2-4x=0在点P （1<. 3）处的切线方程为（）A 、x 、、3y-2=0B 、x .3y-4=0C 、x-\3y 4=0【答案】D211. （2015宝山一模理24文24）曲线y =x+1的部分图像是（ ）3 —(k+2).D =0是两条直线11与直线12平行的（）A •充分不必要条件；B •必要不充分条件C •充要条件; 【答案】BD .既不充分也不必要条件7. （ 2015奉贤一模理19文19）椭圆 2 2X y22=1(a b 0)的左、右焦点分别为F1、F2 ,上顶点为B ，若BF 2 二 F 1F 2 =2,则该椭圆的方程为 （）2 2A .乞「143【答案】Ay 2=12C. - y 2= 12XD .—y 2=18. （2015嘉定一模理 16文16）设a 、b 是关于t 的方程 2t COST - tsin v - 0的两个不相等实【答案】C4212. (2015虹口一模理17文17)关于曲线C:x y =1，给岀下列四个命题：①曲线C 关于原点对称； ② 曲线C 关于直线 y =x 对称③曲线C 围成的面积大于二④ 曲线C 围成的面积小于 二上述命题中，真命题的序号为()A.①②③B.①②④C.①④D.①③【答案】D13. (2015徐汇一模理16)已知m 和n 是两条不同的直线，:-和：是两个不重合的平面，则下列给岀的条件中一定能推岀 m _ ［的是 ()(A ) ： _ :且 m”.：；(B ) ： _ :且 m// ：(C ) m 〃 n 且 n_：( D ) m_n 且 n 〃：【答案】C14. (2015徐汇一模文16)已知直线I 和平面［，无论直线I 与平面〉具有怎样的位置关系，在平面:-内总存在一条直线与直线I ( ) (A )相交(B )平行(C )垂直(D )异面【答案】C1115. (2015徐汇一模理18)对于方程为 +=1的曲线C 给岀以下三个命题：|x| |y|(1) 曲线C 关于原点中心对称；(2)曲线C 既关于x 轴对称，也关于 y 轴对称，且x 轴和y 轴是曲线C 仅有的两条对称轴；(3)若分别在第一、第二、第三、第四象限的点 M,N,P,Q 都在曲线C 上，则四边形MNPQ 每一条边的边长都大于2. 其中正确的命题是()(A) (1)( 2) 【答案】B(B) (1)( 3)(C) (2)( 3)(D) (1)( 2)( 3)三、解答题1. ( 2015普陀一模理19文19)已知P 是椭圆2 2y=1上的一点，求P 到M(m,0) 42(m 0 )的距离的最小值.【答案】解：设P(x, y)，其中-2^x 乞2 ............... 2 分1 1则| PM |2 = (x -m)2 y2= (x「m)2 2 x2x2-2mx m2 2 ……5 分2 21 2 2(x - 2m) • 2 - m ，对称轴 x = 2m ■ 0 .. 7 分 2(1) 若 0 ：：： 2m :：: 2，即 0 ：：： m :：: 1，此时当 x =2m 时，| PM 馬2 - m 2；……9 分 (2) 若 2m _ 2，即 m _ 1，此时当 x = 2 时，| PM |mi n = m 2- 4m 4 =| m - 2 | ；…11 分综上所述，| PM |min=八2一山，0<m<1 .............. 12分 J m -2 |, m> 12. ( 2015奉贤一模理29文29)曲线C 是平面内到直线h : x = -1和直线I 2 ： y = 1的距离之积等于 常数k (k0)的点的轨迹，设曲线 C 的轨迹方程f(x, y)=0 .(1) 求曲线C 的方程f (x, y) =0 ;(2) 定义：若存在圆 M 使得曲线f (x, y) =0上的每一点都落在圆 M 夕卜或圆M 上，则称圆M 为 曲线f(x,y) =0的收敛圆•判断曲线 f(x,y) =0是否存在收敛圆？若存在，求出收敛圆方程；若不存在，请说明理由.【答案】解：(1)设动点为(x, y)，则由条件可知轨迹方程是 x+1 ]y-1=k 2 ；3分(2)设P 为曲线C 上任意一点，可以证明则点P 关于直线x = -1、点(-1,1)及直线y =1对称的点仍在曲线 C 上 6分根据曲线C 的对称性和圆的对称性，若存在收敛圆， 则该收敛圆的方程是(x • 1)2• (y -1)2 =r 2(r • 0)7分■ ■ 2讨论：x .-1,y .1时(x•1)(y一1)=k⑴最多一个有一个交点r 满足条件8分 l (x +1)2+(y -1)2=r 2(2)3. (2015黄浦一模理23)在平面直角坐标系中， 已知动点M (x, y)，点A(Q1, (B 1 £0D点N 与点M关于直线y =x 对称，且AN BN r ^x 2 •直线l 是过点D 的任意一条直线.2(1) 求动点M 所在曲线C 的轨迹方程；3j~9(2)设直线l 与曲线C 交于G 、H 两点，且IGH 2，求直线l的方程；2(3) 若直线I 与曲线C 交于G 、H 两点，与线段 AB 交于点P (点P 不同于点0、A B )，直线GB 与直线HA 交于点Q ，求证：oP OQ 是定值.T【答案】解：(1)依据题意，可得点 N(y,x).. AN =(y,x-1),BN =(y,x • 1).(1)代入(2)得 r^(x 1)2k 4 (x 1)22k 2曲线f (x,y) =0存在收敛圆收敛圆的方程是(x • 1)2• (y -1)2二 r 2(0 ::: r 八2k)10分 11分13分1 2 2 2 1 2X 2又AN BN x , y x -1 x . 所求动点M 的轨迹方程为C:y = 1 .2 2 2(2)若直线l[Jy 轴，则可求得|GH|=2，这与已知矛盾，因此满足题意的直线 I 不平行于y 轴.2- + y = 1 2 2 2 2设直线 I 的斜率为 k ，则 I: y =k(x —1) •由 < 2 '得(1 + 2k 2)x 2 —4k 2x + 2k 2—2=0 .y = k(x —1).4k2人 x 2 二 21k 「,2k '且心>0恒成立(因点D 在椭圆内部).2k -2 X 1X 2—2k 2 -1解得k -.所以，所求直线I: y2(x -1).22证明(3)■直线l 与线段AB 交于点P ，且与点0、A B 不重合,.直线l 的斜率k 满足：一1 ：：： k <1,^=0 .由(2)可得点P(0, -k)，可算得y 1 y 2 企，％y 2二2k +1又直线 HA : y -1 二 x,GB : y 1 二 x .x-i x 2X 2• Y Q T 、0 且 (Y Q T \2(%一1)2X ；*2) + ^2 f 1+k ||20，且()2 ~= ■Y Q 1 Y Q 1(Y 2 1)为 1 Y< Y 2 Y 1Y 2 —kY Q -1 1 ：： k11Q，解得 y Q . . OP OQ =(0,-k)) =1 为定值. y Q 1 1 - kkk1设点 H (x i , y) G(X 2, y 2)，有 又|GH|晋____ ______________ 3 2 ，于是，1 k 2。
数学_2014-2015学年上海市某校高三(上)摸底数学试卷_(含答案)
2014-2015学年上海市某校高三（上）摸底数学试卷一、填空题（每小题4分，满分56分）1. 已知集合A ={x|12≤2x <16}，B ={x|y =log 2(9−x 2)}，则A ∩B =________． 2. 已知向量a →=(2, −1)，b →=(−1, m)，c →=(−1, 2)，若(a →+b →) // c →，则m =________． 3. 二项式(x +2x )6的展开式中常数项的值等于________．4. 若复数z 满足| z 1 2i |=1+i ，（其中i 为虚数单位），则|z|________．5. 不等式x 2−2x +3≤a 2−2a −1在R 上的解集是⌀，则实数a 的取值范围是________．6. 已知数列{a n }是等差数列，a 4=15，S 5=55，则过点P(4, a 2010)和点Q(3, a 2011)的直线的倾斜角是________．（用反三角函数表示结果）7. 若圆锥的侧面积为20π，且母线与底面所成的角为arccos 45，则该圆锥的体积为________．8. 等轴双曲线C:x 2−y 2=a 2与抛物线y 2=16x 的准线交于A 、B 两点，|AB|=4√3，则双曲线C 的实轴长等于________．9. 设{a n }是公比为q 的等比数列，|q|>1，令b n =a n +1(n =1, 2,…)，若数列{b n }有连续四项在集合{−53, −23, 19, 37, 82}中，则6q =________．10. 将3本数学书4本英语书和2本语文书排成一排，则三本数学书排在一起的概率为________． 11. 定义：关于x 的不等式|x −A|<B 的解集叫A 的B 邻域．若a +b −2的a +b 邻域为区间(−2, 2)，则a 2+b 2的最小值是________．12. 已知函数f(x)={log 2(x +1)(x >0)，−x 2−2x(x ≤0)， 若函数g(x)=f(x)−m 有3个零点，则实数m的取值范围是________．13. 在面积为2的△ABC 中，E ，F 分别是AB ，AC 的中点，点P 在直线EF 上，则PC →⋅PB →+BC →2的最小值是________．14. 在直角坐标系中，如果两点A(a, b)，B(−a, −b)在函数y =f(x)的图象上，那么称[A, B]为函数f(x)的一组关于原点的中心对称点（[A, B]与[B, A]看作一组）．则函数g(x)={(x +2)2−1，x ≤0log 4(x +1)，x >0关于原点的中心对称点的组数为________．二、选择题（每小题5分，满分20分）15. 命题A:|x −1|<3，命题B ：(x +2)(x +a)<0；若A 是B 的充分而不必要条件，则a 的取值范围是（ ）A (−∞, −4)B [4, +∞)C (4, +∞)D (−∞, −4]16. 己知空间两条直线m ，n ，两个平面α，β，给出下面四个命题： ①m // n ，m ⊥α⇒n ⊥α；②α // β，m⊊α，n⊊β⇒m // n；③m // n，m // α⇒n // α；④α // β，m // n，m⊥α⇒n⊥β；其中正确命题的序号是（）A ①④B ②③C ①②④D ①③④17. 将函数y=f(x)的图象向右平移π个单位，再向上平移1个单位后得到的函数对应的表4达式为y=2sin2x，则函数f(x)的表达式可以是（）A 2sinxB 2cosxC sin2xD cos2x18. 已知集合M={(x, y)|y=f(x)}，若对于任意(x1, y1)∈M，存在(x2, y2)∈M，使得x1x2+y1y2=0成立，则称集合M是“好集合”．给出下列4个集合：}①M={(x,y)|y=1x②M={(x, y)|y=e x−2}③M={(x, y)|y=cosx}④M={(x, y)|y=lnx}其中所有“好集合”的序号是（）A ①②④B ②③C ③④D ①③④三、解答题19. 如图已知四棱锥P−ABCD的底面是边长为6的正方形，侧棱PA的长为8，且垂直于底面，点M、N分别是DC、AB的中点．求（1）异面直线PM与CN所成角的大小（结果用反三角函数值表示）；（2）四棱锥P−ABCD的表面积．20. 设△ABC三个内角A、B、C所对的边分别为a，b，c．已知C=π，acosA=bcosB．3（1）求角A的大小；（2）如图，在△ABC的外角∠ACD内取一点P，使得PC=2．过点P分别作直线CA、CD的垂线PM、PN，垂足分别是M、N．设∠PCA=α，求PM+PN的最大值及此时α的取值．21. 已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，长轴长为4，且点(1,√3)在椭圆C上．2（1）求椭圆C的方程；（2）设P 是椭圆C 长轴上的一个动点，过P 作方向向量d →=(2,1)的直线l 交椭圆C 于A 、B 两点，求证：|PA|2+|PB|2为定值．22. 已知函数f(x)=ax 2−|x|+2a −1（a 为实常数）． （1）若a =1，作函数f(x)的图象；（2）设f(x)在区间[1, 2]上的最小值为g(a)，求g(a)的表达式； （3）设ℎ(x)=f(x)x，若函数ℎ(x)在区间[1, 2]上是增函数，求实数a 的取值范围．23. 若数列{a n }的每一项都不为零，且对于任意的n ∈N ∗，都有a n+2a n=q （q 为常数），则称数列{a n }为“类等比数列”．已知数列{b n }满足：b 1=b(b ∈R, b ≠0)，对于任意的n ∈N ∗，都有b n ⋅b n+1=2n+1．（1）求证：数列{b n }是“类等比数列”；（2）若{b n }是单调递增数列，求实数b 的取值范围；（3）设数列{b n }的前n 项和为S n ，试探讨limn →∞S n b n +b n+1是否存在，说明理由．2014-2015学年上海市某校高三（上）摸底数学试卷答案1. [−1, 3)2. −13. 1604. √105. {a|−1<a <3}6. π−arctan47. 16π8. 49. −9 10. 11211. 2 12. (0, 1)13. 2√3 14. 2 15. A 16. A 17. C 18. B 19. 解：（1）解法 一：连接AM ，∵ 底面ABCD 是边长为6的正方形，点M 、N 分别是DC 、AB 的中点， ∴ AN = // CM ，∴ 四边形AMCN 是平行四边形， ∴ CN // AM ，∴ ∠PMA （为锐角）是异面直线PM 与CN 所成角．因为PA 垂直于底面，所以PA ⊥AM ，点M 分别是DC 的中点，DC =6，∴ AM =3√5． 在Rt △PAM 中，PA =8，AM =3√5， ∴ tan∠PMA =83√5=8√515， ∴ ∠PMA =arctan8√515，即异面直线PM 与CN 所成角的大小为arctan8√515． 解法二：以A 为坐标原点建立空间直角坐标系，可得M(3, 6, 0)，P(0, 0, 8)，N(3, 0, 0)，C(6, 6, 0)， ∴ PM →=(3,6,−8)，CN →=(−3,−6,0)，直线PM 与CN 所成角为θ，向量PM →与CN →的夹角为ϕ， ∵ cosϕ=|PM →||CN →|˙=−45√109⋅√45=−3√545109， 又cosθ=|cosϕ|=3√545109，θ=arccos3√545109， 即异面直线PM 与CN 所成角的大小为arccos3√545109． （2）因为PA 垂直于底面，所以PA ⊥AB ，PA ⊥AD ，即Rt △PAB ≅Rt △PAD ，又PA ⊥BC ，AB ⊥BC ，AB ∩BC =B ，∴ BC ⊥平面PAB ，∴ BC ⊥PB ． 同理CD ⊥PD ，∴ Rt △PBC ≅Rt △PDC ，∵ 底面四边形ABCD 是边长为6的正方形，所以S 底=36又S 侧=S △PAB +S △PAD +S △PBC +S △PCD =2×(12PA ⋅AB)+2×(12PB ⋅BC)=48+60=108．S 表=108+36=144所以四棱锥P −ABCD 的表面积是144．20. 解：（1）由acosA =bcosB 及正弦定理可得sinAcosA =sinBcosB ，即sin2A =sin2B ，又A ∈(0, π)，B ∈(0, π)， 所以有A =B 或A +B =π2． …3分 又因为C =π3，得A +B =2π3，与A +B =π2矛盾， 所以A =B ，因此A =π3． …6分（2）由题设，得在Rt △PMC 中，PM =PC ⋅sin∠PCM =2sinα；在Rt △PNC 中，PN =PC ⋅sin∠PCN =PC ⋅sin(π−∠PCB) =2sin[π−(α+π3)]=2sin (α+π3)，α∈(0, 2π3)．…8分所以，PM +PN =2sinα+2sin (α+π3)=3sinα+√3cosα=2√3sin(α+π6)．…12分 因为α∈(0, 2π3)，所以α+π6∈(π6, 5π6)，从而有sin(α+π6)∈(12, 1]，即2√3sin(α+π6)∈(√3, 2√3]．于是，当α+π6=π2，即α=π3时，PM +PN 取得最大值2√3．…16分．21. （1）解：∵ C 的焦点在x 轴上且长轴为4， 故可设椭圆C 的方程为x 24+y 2b 2=1(a >b >0)，∵ 点(1,√32)在椭圆C 上，∴ 14+34b 2=1，解得b 2=1，∴ 椭圆C 的方程为x 24+y 2=1． （2）证明：设P(m, 0)(−2≤m ≤2)， ∵ 直线l 方向向量d →=(2,1)， ∴ 直线l 的方程是y =x−m 2，联立{y =12(x −m)x 24+y 2=1⇒2x 2−2mx +m 2−4=0(∗)设A(x 1, y 1)，B(x 2, y 2)，则x 1、x 2是方程(∗)的两个根， ∴ x 1+x 2=m ，x 1x 2=m 2−42，∴ |PA|2+|PB|2=(x 1−m)2+y 12+(x 2−m)2+y 22=(x 1−m)2+14(x 1−m)2+(x 2−m)2+14(x 2−m)2=54[(x 1−m)2+(x 2−m)2]=54[x 12+x 22−2m(x 1+x 2)+2m 2]=54[(x 1+x 2)2−2m(x 1+x 2)−2x 1x 2+2m 2]=54[m 2−2m 2−(m 2−4)+2m 2]=5（定值）．22. 解：（1）当a =1时，f(x)=x 2−|x|+1={x 2+x +1，x <0x 2−x +1，x ≥0．作图（如图所示）（2）当x ∈[1, 2]时，f(x)=ax 2−x +2a −1．若a =0，则f(x)=−x −1在区间[1, 2]上是减函数，g(a)=f(2)=−3． 若a ≠0，则f(x)=a(x −12a )2+2a −14a −1，f(x)图象的对称轴是直线x =12a ． 当a <0时，f(x)在区间[1, 2]上是减函数，g(a)=f(2)=6a −3． 当0<12a <1，即a >12时，f(x)在区间[1, 2]上是增函数， g(a)=f(1)=3a −2． 当1≤12a ≤2，即14≤a ≤12时，g(a)=f(12a)=2a −14a−1，当12a >2，即0<a <14时，f(x)在区间[1, 2]上是减函数，g(a)=f(2)=6a −3．综上可得g(a)={ 6a −3，当a <142a −14a −1，当14≤a ≤123a −2，当a >12．（3）当x ∈[1, 2]时，ℎ(x)=ax +2a−1x −1，在区间[1, 2]上任取x 1，x 2，且x 1<x 2，则ℎ(x 2)−ℎ(x 1)=(ax 2+2a−1x 2−1)−(ax 1+2a−1x 1−1)=(x 2−x 1)(a −2a−1x 1x 2)=(x 2−x 1)⋅ax 1x 2−(2a−1)x 1x 2．因为ℎ(x)在区间[1, 2]上是增函数，所以ℎ(x 2)−ℎ(x 1)>0，因为x 2−x 1>0，x 1x 2>0，所以ax 1x 2−(2a −1)>0，即ax 1x 2>2a −1， 当a =0时，上面的不等式变为0>−1，即a =0时结论成立． 当a >0时，x 1x 2>2a−1a，由1<x 1x 2<4得，2a−1a≤1，解得0<a ≤1，当a <0时，x 1x 2<2a−1a，由1<x 1x 2<4得，2a−1a≥4，解得−12≤a <0，综上，实数a 的取值范围为[−12，1]． 23. （1）证明：∵ b n ⋅b n+1=2n+1， ∴ b n+1⋅b n+2=2n+2， ∴b n+2b n=b n ⋅b n+1˙=2n+22n+1=2，∴ 数列{b n }是“类等比数列”；（2）解：∵ b 1=b ，b n ⋅b n+1=2n+1， ∴ b 2=22b 1=4b，∴ b n ={b ⋅2n−12，n 为奇数4b⋅2n−22，n 是偶数，∵ 数列{b n }是单调递增数列，∴ b 2k−1≤b 2k ≤b 2k+1， 即b ⋅2k−1≤4b ⋅2k−1≤b ⋅2k ， 整理得：b ≤4b ≤2b ，解得：√2≤b ≤2，∴ 实数b 的取值范围为：[√2, 2]； （3）结论：当b =±√84时limn →∞S n b n +b n+1=√2，否则不存在．理由如下：由（2）可知b n ={b ⋅2n−12，n 为奇数4b ⋅2n−22，n 是偶数，①当n =2k −1(k ∈N ∗)时，b n +b n+1=b 2k−1+b 2k =b ⋅2k−1+4b⋅2k−1=(b +4b)⋅2k−1，S n =(b 1+b 3+...+b 2k−1)+(b 2+b 4+...+b 2k−2) =b(1−2k )1−2+4b(1−2k−1)1−2=(2b +4b )⋅2k−1−(b +4b )，∴ lim n →∞S n b n +b n+1=lim k →∞(2b+4b )⋅2k−1−(b+4b )(b+4b )⋅2k−1=2b+4bb+4b=2−44+b 2； ②当n =2k(k ∈N ∗)时，b n +b n+1=b 2k +b 2k+1=4b ⋅2k−1+b ⋅2k =(2b +4b )⋅2k−1， S n =(b 1+b 3+...+b 2k−1)+(b 2+b 4+...+b 2k−2)+b 2k=(2b +4b )⋅2k−1−(b +4b )+4b ⋅2k−1=2(b +4b )⋅2k−1−(b +4b )，∴ lim n →∞S n b n +b n+1=lim k →∞2(b+4b )⋅2k−1−(b+4b )(2b+4b )⋅2k−1=2(b+4b )2b+4b=1+22+b 2； 令2−44+b2=1+22+b 2，化简得：b 4=8， 解得：b =±√84， 综上所述，当b =±√84时limn →∞S n b n +b n+1=√2，否则不存在．。
上海市普陀区2014-2015学年度高三一模数学文试卷含答案
2014学年第一学期普陀区高三文科数学质量调研卷2014.121.答卷前，考生务必在答题纸上将姓名、考试号填写清楚，并在规定的区域贴上条形码.2.本试卷共有23道题，满分150分.考试时间120分钟.3.本试卷另附答题纸，每道题的解答必须写在答题纸的相应位置，本卷上任何解答都不作评分．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．依据．．. 一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14小题，要求直接将结果填写在答题纸对应的空格中.每个空格填对得4分，填错或不填在正确的位置一律得零分.1. 若集合}1lg |{<=x x A ，},sin |{R x x y y B ∈==，则=B A I .2. 若12lim=+∞→n ann ，则常数=a .3. 若1>x ，则函数11-+=x x y 的最小值为 .4. 函数⎪⎭⎫⎝⎛-=4tan πx y 的单调递增区间是 . 5. 方程6lg )1lg(lg =-+x x 的解=x .6. 如图，正三棱柱的底面边长为1，体积为3，则异面直线A A 1与C B 1 所成的角的大小为 （结果用反三角函数值表示）.7. 若方程132||22=-+-ky k x 表示双曲线，则实数k 的取值范围是 .8. 函数11)(--=x x f （2≥x ）的反函数是 .9. 在二项式81⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-x x 的展开式中，含5x 项的系数为 （结果用数值表示）.10 .若抛物线mx y 42=（0>m ）的焦点在圆122=+y x 外，则实数m 的取值范围是 .11. 在ABC ∆中，三个内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若32=a ，2=c ，ο120=A ，则=∆ABC S .ABC1C1B1A第6题12. 若无穷等比数列}{n a 的各项和等于公比q ，则首项1a 的取值范围是 .13. 设a 为大于1的常数，函数⎩⎨⎧≤>=00log )(x a x x x f x a ，若关于x 的方程0)()(2=⋅-x f b x f恰有三个不同的实数解，则实数b 的取值范围是 . 14. 四面体的顶点和各棱中点共有10个点，在其中取四个不共面的点， 不同的取法共有 .二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个结论是正确的，必须把正确结论的代号写在答题纸相应的空格中. 每题选对得5分，不选、选错或选出的代号超过一个（不论是否都写在空格内），或者没有填写在题号对应的空格内，一律得零分.15．若0<<b a ，则下列不等式中，一定成立的是……………………………………………………（ ）)(A 22b ab a << )(B 22b ab a >> )(C ab b a <<22 )(D ab b a >>2216. “点M 在曲线x y 42=上”是“点M 的坐标满足方程02=+y x ”的…………………………（ ）)(A 充分非必要条件 )(B 必要非充分条件 )(C 充要条件 )(D 既非充分也非必要条件17.要得到函数⎪⎭⎫⎝⎛-=42cos πx y 的图像，只需将函数x y 2sin =的图像………………………………（ ）)(A 向左平移8π个单位 )(B 向右平移8π个单位)(C 向左平移4π个单位 )(D 向右平移4π个单位18. 若在边长为1的正三角形ABC 的边BC 上有n (∈n N *，2≥n )等分点，沿向量BC 的方向依次为121,,,-n P P P Λ，记AP AP T n n ⋅++⋅+⋅=-1211Λ，1P 3P1-n P 2P k P第18题第14题若给出四个数值:①429 ②1091③18197 ④33232，则n T 的值不可能的共有…………………（ ） )(A 1个 )(B 2个 )(C 3个 )(D 4个三、解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸规定的方框内写出必要的步骤.19. (本题满分12分)已知P 是椭圆12422=+y x 上的一点，求P 到)0,(m M （0>m ）的距离的最小值.20. (本题满分14分) 本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．已知函数x x b x x f cos sin sin 2)(2+=满足2)6(=πf（1）求实数b 的值以及函数)(x f 的最小正周期；（2）记)()(t x f x g +=，若函数)(x g 是偶函数，求实数t 的值.21. (本题满分14分) 本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．如图，在两块钢板上打孔，用钉帽呈半球形、钉身为圆柱形的铆钉（图1）穿在一起，在没有帽的一端锤打出一个帽，使得与钉帽的大小相等，铆合的两块钢板，成为某种钢结构的配件，其截面图如图2.（单位：mm ）（加工中不计损失）.（1）若钉身长度是钉帽高度的2倍，求铆钉的表面积；（2）若每块钢板的厚度为12mm ，求钉身的长度（结果精确到1mm ）.22. （本题满分16分）本题共有3个小题，第（1）小题5分，第（2）小题6分，第（3）小题5分已知数列}{n a 的前n 项和为n S ，且4=+n n a S ，∈n N *（1）求数列}{n a 的通项公式；（2）已知32+=n c n （∈n N *），记=n d n C n a c log +(0>C 且1≠C )，是否存在这样的常数C ，使得数列}{n d 是常数列，若存在，求出C 的值；若不存在，请说明理由. （3）若数列}{n b ，对于任意的正整数n ，均有2221123121+-⎪⎭⎫⎝⎛=++++--n a b a b a b a b nn n n n Λ成立，求证：数列}{n b 是等差数列；23. （本题满分18分）本题共有3个小题，第（1）小题4分，第（2）小题6分，第（3）小题8分已知函数)(x f y =，若在定义域内存在0x ，使得)()(00x f x f -=-成立，则称0x 为函数)(x f 的局部对称点.（1）若∈a R 且0≠a ，证明：函数a x ax x f -+=2)(必有局部对称点； （2）若函数b x f x+=2)(在区间]2,1[-内有局部对称点，求实数b 的取值范围； （3）若函数324)(21-+⋅-=+m m x f x x在R 上有局部对称点，求实数m 的取值范围.2014学年第一学期普陀区高三文科数学质量调研卷参考答案一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14小题，要求直接将结果填写在答题纸对应的空格中.每个空格填对得4分，填错或不填在正确的位置一律得零分. 1. ]1,0( 2.1 3.3 4.⎪⎭⎫⎝⎛+-43.4ππππk k （Z k ∈） 5.3 6.41arctan 7.),3()2,2(+∞-Y 8.)0(22)(21<+-=-x x x x f9.28 10.10<<m 11.3 12.]41,0()0,2(Y - 13. 10≤<b 14. 141 二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个结论是正确的，必须把正确结论的代号写在答题纸相应的空格中. 每题选对得5分，不选、选错或选出的代号超过一个（不论是否都写在空格内），或者没有填写在题号对应的空格内，一律得零分.三、解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸规定的方框内写出必要的步骤.19. (本题满分12分)【解】设),(y x P ，其中22≤≤-x ……………………2分则222)(||y m x PM +-==2221212)(2222++-=-+-m mx x x m x ……5分 222)2(21m m x -+-=，对称轴m x 2=0>……7分 （1） 若220<<m ，即10<<m ，此时当m x 2=时，2min 2||m PM -=；……9分（2） 若22≥m ，即1≥m ，此时当2=x 时，|2|44||2min -=+-=m m m PM ；……11分综上所述，⎪⎩⎪⎨⎧≥-<<-=1|,2|10,2||2min m m m m PM …………12分20. (本题满分14分) 本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分． 【解】 （1）由26=⎪⎭⎫⎝⎛πf ，得22321412=⨯⨯+⨯b ……2分，解得32=b ……3分 将32=b代入x x x x f cos sin 32sin 2)(2+=得x x x x f cos sin 32sin 2)(2+=所以)(x f x x 2sin 32cos 1+-=……4分)62sin(21π-+=x …………5分所以函数)(x f 的最小正周期ππ==22T …………6分 （2）由（1）得，1]6)(2sin[2)(+-+=+πt x t x f ，所以1622sin 2)(+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=πt x x g (8)分函数)(x g 是偶函数，则对于任意的实数x ，均有)()(x g x g =-成立。
2014届上海市高考一模汇编 立体几何
2014届高中数学·一模汇编（专题：立体几何）2014届高中数学·一模汇编 立体几何一、填空题：1、已知圆锥底面圆的周长为4π，侧棱与底面所成角的大小为arctan 2，则该圆锥的体积是2、直角△ABC 的两条直角边长分别为3，4，若将该三角形绕着斜边旋转一周所得的几何体的体积是V ，则V=3、在棱长为a 的正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，P 是C 1B 1的中点，若E ，F 都是AB 上的点，且，Q 是A 1B 1上的点，则四面体EFPQ 的体积是4、将某个圆锥沿着母线和底面圆周剪开后展开，所得的平面图是一个圆和扇形，己知该扇形的半径为24cm ，圆心角为34π，则圆锥的体积是________3cm . 5、正四棱锥ABCD P -的所有棱长均相等，E 是PC 的中点，那么异面直线BE 与PA 所成的角的余弦值等于6、如图，在四棱锥ABCD P -中，已知⊥PA 底面ABCD ，1=PA ，底面ABCD 是正方形，PC 与底面ABCD 所成角的大小为6π，则该四棱锥的体积是 7、如图，正四棱柱1111D C B A ABCD -的底面边长2=AB ，若异面直线A A 1与C B 1所成的角的大小为21arctan，则正四棱柱1111D C B A ABCD -的侧面积为8、若正四棱柱1111ABCD A BC D -的底面边长为2，高为4，则异面直线1BD 与AD 所成角的大小是______________．（结果用反三角函数值表示）9、正三角形ABC 的三个顶点都在半径为2的球面上，球心O 到平面ABC 的距离为1，点D 是线段BC 的中点，过D 作球O 的截面，则截面面积的最小值为 .10、若将边长为cm 1的正方形绕其一条边所在直线旋转一周，则所形成圆柱的体积等于 ()3cm .11、一平面截一球得到直径是6cm 的圆面，球心到这个平面的距离是4cm ，则该球的体积是ABC D P第10题 第13题图1P图2P 12、到空间不共面的四点距离相等的平面个数为( )A ．1个；B ．4个；C ．7个；D ．8个 13、已知m 和n 是两条不同的直线，α和β是两个不重合的平面，则下列给出的条件中一定能推出m β⊥的是 （ ）（A ）αβ⊥且m α⊂≠（B ）αβ⊥且α//m （C ）n m //且n β⊥ （D ）m n ⊥且//n β 14、下列命题中，错误．．的是 ( ) A. 一条直线与两个平行平面中的一个相交，则必与另一个平面相交B.平行于同一平面的两个不同平面平行C.如果平面α不垂直平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面βD.若直线l 不平行平面α，则在平面α内不存在与l 平行的直线15、如图1，一个密闭圆柱体容器的底部镶嵌了同底的圆锥实心装饰块，容器内盛有a 升水．平放在地面,则水面正好过圆锥的顶点P ，若将容器倒置如图2，水面也恰过点P ．以下命题正确的是( )．.A 圆锥的高等于圆柱高的21； .B 圆锥的高等于圆柱高的32； .C 将容器一条母线贴地，水面也恰过点P ；.D 将容器任意摆放，当水面静止时都过点P ．16、已知正方体1111D C B A ABCD -的棱长为a .（1）求异面直线B A 1与C B 1所成角的大小；（2）求四棱锥ABCD A -1的体积.17、如图，正三棱柱ABC —A 1B 1C 1的各棱长都相等，M 、E 分别是AB 和AB 1的中点，点F 在BC 上且满足BF ∶FC =1∶3.(1)求证：BB 1∥平面EFM ；(2)求四面体BEF M -的体积。
2024一模汇编立体几何(教师版)
立体几何一、小题1.（2024石景山一模4）设,,αβγ是三个不同平面，且l αγ=，m βγ=，则“//l m ”是“//αβ”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B2.（2024海淀一模6）设,αβ是两个不同的平面，,l m 是两条直线，且m α⊂，l α⊥. 则“l β⊥”是“//m β”的 A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A3.（2024东城一模7）《天工开物》是我国明代科学家宋应星所著的一部综合性科学技术著作，书中记载了一种制造瓦片的方法. 某校高一年级计划实践这种方法，为同学们准备了制瓦用的粘土和圆柱形的木质圆桶，圆桶底面外圆的直径为20cm ，高为20cm . 首先，在圆桶的外侧面均匀包上一层厚度为2cm 的粘土，然后，沿圆桶母线方向将粘土层分割成四等份（如图），等粘土干后，即可得到大小相同的四片瓦. 每位同学制作四片瓦，全年级共500人，需要准备的粘土量（不计损耗）与下列哪个数字最接近. （参考数据：π 3.14≈）A.30.8mB.31.4mC.31.8mD.32.2m【答案】B4.（2024平谷一模8）一个边长为10cm 的正方形铁片，把图中所示的阴影部分裁下，然后用余下的四个全等的等腰三角形加工成一个正四棱锥形容器，则这个容器侧面与底面的夹角正切值为A.34 B.43【答案】B5. （2024朝阳一模9）在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D −中，,,E F G 分别为棱11,,AA BC CC 的中点，动点H 在平面EFG 内，且1DH =. 则下列说法正确的是 A.存在点H ，使得直线DH 与直线FG 相交 B.存在点H ，使得直线DH ⊥平面EFG C.直线1B H 与平面EFG 所成角的大小为π3D.平面EFG 【答案】C6.（2024门头沟一模10）如图，正方体1111ABCD A B C D −中，点P 为线段1BC 上的动点，则下列结论正确的个数是①三棱锥1A D PC −的体积为定值；②直线AP 与平面1ACD 所成的角的大小不变； ③直线AP 与1A D 所成的角的大小不变；④1AC DP ⊥.A.1B.2C.3D.4【答案】C7.（2024东城一模9）如图1，正三角形ABD 与以BD 为直径的半圆拼在一起，C 是BD 的 中点，O 为ABD △的中心. 现将ABD △沿BD 翻折为1A BD △，记1A BD △的中心为1O ， 如图2. 设直线1CO 与平面BCD 所成的角为θ，则sin θ的最大值为图1 图2A.13B.12【答案】C8.（2024丰台一模9）正月十五元宵节，中国民间有观赏花灯的习俗. 在2024年元宵节，小明制作了一个“半正多面体”形状的花灯（图1）. 半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体，体现了数学的对称美. 图2是一个棱数为24的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，且此正方体的棱长为2. 关于该半正多面体的四个结论：；②两条棱所在直线异面时，这两条异面直线所成角的大小是60︒；③表面积为12S =+；④外接球的体积为V =.图1 图2其中所有正确结论的序号是A.①②B.①③C.②④D.③④【答案】B9.（2024延庆一模10）已知在正方体1111ABCD A B C D −中，1AB =，P 是正方形ABCD 内的动点，1PA PC ≥，则满足条件的点P 构成的图形的面积等于A.18B.14C.π16D.π8【答案】A10.（2024顺义一模10）《九章算术》中将底面为矩形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为“阳马”. 现有一“阳马”P ABCD −，PA ⊥平面ABCD ，2PA AB AD ===，M 为底面ABCD 及其内部的一个动点且满足||PM =DM BM ⋅的取值范围是A.[1−+B.[1,1−+C.[11]−−−D.[11]−−【答案】D11.（2024西城一模15）如图，正方形ABCD 和矩形ABEF 所在的平面互相垂直. 点P 在正方形ABCD 及其内部运动，点Q 在矩形ABEF 及其内部运动. 设2AB =，1AF =，给出下列 四个结论：①存在点,P Q ，使3PQ =； ②存在点,P Q ，使//CQ EP ；③到直线AD 和EF 的距离相等的点P 有无数个；④若PA PE ⊥，则四面体PAQE 体积的最大值为13.其中所有正确结论的序号是_________. 【答案】①③④12.（2024房山一模15）如图，在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D −中，点P 是对角线1AC 上的动点（点P 与点1,A C 不重合）. 给出下列结论：①存在点P ，使得平面1A DP ⊥平面11AAC ； ②对任意点P ，都有1A P DP =；③1A DP △面积的最小值为6； ④若1θ是平面1A DP 与平面1111A B C D 的夹角，2θ是平面1A DP 与平面11BB C C 的夹角，则对任意点P ，都有12θθ≠. 其中所有正确结论的序号是_________. 【答案】①②③二、大题1.（2024西城一模16）如图，在三棱柱111ABC A B C −中，侧面11A ACC 为正方形，AB AC ⊥，2AB AC ==， D 为BC 的中点.（Ⅰ）求证：1//A C 平面1AB D ；（Ⅱ）若1AC AB ⊥，求二面角11D AB A −−的余弦值. 【答案】解：（Ⅰ）连接1A B ，设11A BAB E =，连接DE ．………1分因为在三棱柱111ABC A B C −中，四边形11A ABB 是平行四边形， 所以E 为1A B 的中点． ………2分因为D 为BC 的中点， 所以1//DE AC ． ………3分又因为1A C ⊄平面1AB D ，⊂DE 平面1AB D ， 所以1//AC 平面1AB D ． ………5分（Ⅱ）因为1AB A C ⊥，AB AC ⊥，所以AB ⊥平面11A ACC ． ………6分所以1AB AA ⊥．又1AA AC ⊥，所以1,,AB AC AA 两两相互垂直． 如图建立空间直角坐标系A x yz −．………7分 则(0,0,0)A ，1(2,0,2)B ，(1,1,0)D ，(0,2,0)C ． 所以1(,,)202AB =，(,,)110AD =．设平面1AB D 的法向量为(,,)x y z =m ，则10,0,AB AD =⎧⎪⎨=⎪⎩⋅⋅m m 即220,0.x z x y +=⎧⎨+=⎩令1x =−，则1y =，1z =．于是(1,1,1)=−m ． ………10分因为AC ⊥平面11A ABB ，所以(0,2,0)AC =是平面11A ABB 的一个法向量． ………11分 3,3||||AC AC AC 〉==⋅m m 由题设，二面角11D AB A −−的平面角为钝角， 1的余弦值为如图，在五面体ABCDEF 中，四边形ABCD 是矩形，平面ADE ⊥平面ABCD ，ADE △是正三角形，2EF =，4AB =，2AD =.（Ⅰ）求证：//EF AB ；（Ⅱ）求二面角F BC D −−的余弦值.如图，在三棱锥D ABC −中，侧面DAC ⊥底面ABC ，AD DC =，AB BC =. （Ⅰ）求证：AC BD ⊥；（Ⅱ）已知AB =，2AC =，AD=，F 是线段BD 上一点，当AF BD ⊥时， 求二面角F AC B −−的余弦值. 【答案】解：（Ⅰ）取AC 中点E ，连接,DE BE ．因为AD DC =，所以DE AC ⊥． 又因为AB BC =，所以BE AC ⊥． 又因为BEDE E =，所以AC ⊥平面BED ． 又BD ⊂平面BED ， 所以AC BD ⊥． 5分（Ⅱ）因为侧面DAC ⊥底面ABC ，且DE AC ⊥，DE ⊂平面DAC ，平面DAC平面ABC AC =，所以DE ⊥平面ABC ．又EB ⊂平面ABC ，所以DE EB ⊥． 又因为BE AC ⊥，如图，建立空间直角坐标系E xyz −．则(1,0,0),(0,2,0),(1,0,0),(0,0,1)A B C D −．所以(2,0,0),(1,0,1),(0,2,1)AC AD DB =−=−=−． 因为F 是线段BD 上一点，设([0,1])DF DB λλ=∈． 所以(1,2,1)AF AD DF AD DB λλλ=+=+=−−． ，所以4AF DB λ⋅=−所以(1,AF =−设平面FAC 的法向量为(,,)x y z =n ，则0,0,AF AC ⋅=⋅= 即令1z =，则0,2x y ==−．于是(0,2,1)=−n ．因为ED ⊥平面ABC ，所以平面ABC 的法向量为(0,0,1)ED =．1,||5ED ED ED ⋅>==n AC B −为锐角，所以其余弦值为4.（2024门头沟一模16）如图，在四棱锥P ABCD −中，PA ⊥平面ABCD ，AB AD ⊥，//AD BC ，12BC AD =，2PA AB ==，E 为棱PD 的中点.（Ⅰ）求证：//EC 平面PAB ；（Ⅱ）当3PC =时，求直线PC 与平面BCE 所成角的正弦值.5.（2024平谷一模17）如图，在三棱柱111ABC A B C −中，侧面11BB C C 和11ABB A 均为正方形，2AB =， 平面11BB C C ⊥平面11ABB A ，点M 是11A B 的中点，N 为线段AC 上的动点. （Ⅰ）若直线1//A N 平面BCM ，求证：N 为线段AC 的中点； （Ⅱ）若直线1A N 与平面1BC M 所成角的正弦值为36， 求线段1A N 的长.【答案】解：（I ）在△ABC 中，过点N 作NQ //AB 交BC 于点Q ，连接QM .因为AB //11A B ，所以NQ //1A M ，所以1A ，N ，Q ，M 四点共面.因为直线1//A N 平面BCM ，1A N ⊂平面1A NQM ， 平面BCM平面1A NQM QM =，所以1A N //.QM 所以四边形1A NQM 是平行四边形. 所以11.2NQ A M AB ==所以F 为PD 的中点. （II ） 因为侧面11BB C C 为正方形，所以1BC BB ⊥，又因平面11BB C C ⊥平面11ABB A ，平面11BB C C 平面111ABB A B B =，BC ⊂平面11BB C C ，所以BC⊥平面11ABB A ，所以BC AB ⊥，1BC BB ⊥，又因11ABB A 为正方形，1AB BB ⊥，以B 为原点，1,,BA BB BC 分别为,,x y z 轴建立空间直角坐标系（如图）．设2AB BC ==，所以111(000),(2,0,0),(0,2,2),(0,2,0),(2,2,0),(0,0,2)B A C B A C ，，，则(1,2,0)M 所以1(0,2,2),(1,2,0)BC BM ==．设平面1BC M 的一个法向量为(,,)x y z =n ，zxy由 10,0BC BM ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n 得220, 20.y z x y +=⎧⎨+=⎩即0,20. y z x y +=⎧⎨+=⎩ 取1y =，得(2,1,1)=−−n ． ，则AN AC λ=． 设(,,)N x y z ，则(2,,)AN x y z =−，因为(2,0,2)AC =−，所以(2,,)(2,0,2)x y z λ−=−．所以22,0,2x y z λλ−=−==，所以N 点坐标为(22,0,2)λλ−． 因为1(2,2,0)A ，所以1(2,2,2)A N λλ=−−． 设直线1A N 与平面CDE 所成角为θ， 111,|||A N A N A N ⋅〈〉==n n n |11(2A N =−所以132||2A N =6.（2024丰台一模16）如图，在直三棱柱111ABC A B C −中，12CA CB CC ===，D 为AB 中点. （Ⅰ）求证：1//AC 平面1B CD ；（Ⅱ）再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知， 求二面角1B B C D −−的余弦值.条件①：1BC AC ⊥； 条件②：16B D =.注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分. 【答案】解：（Ⅰ）证明：连接1BC ，设11BC B C E =，连接DE ，在三角形1ABC 中，D 、E 分别为AB 、1BC 的中点， 所以1AC ∥DE ． 因为1AC ⊄平面1B CD ，DE ⊂平面1B CD ，所以1AC ∥平面1B CD ．…………………4分（Ⅱ）选择条件①：1BC AC ⊥在直三棱柱111ABC A B C −中，1CC ⊥底面ABC ， 所以1CC CA ⊥，1CC CB ⊥， 因为1BC AC ⊥，111CC AC C =，所以BC ⊥面11ACC A ，所以BC AC ⊥．如图建立空间直角坐标系C xyz −，因为12CA CB CC ===， 所以1(0,0,0),(2,0,0),(0,2,0),(0,2,2)C A B B ．zyxEDBACA 1C 1B 1因为D 为AB 中点，所以(1,1,0)D ． 易知(1,0,0)=m 是平面1BCB 的法向量． 在平面1CDB 内，1(1,1,0),(0,2,2)CD CB ==． 设(,,)x y z =n 是平面1CDB 的法向量， 因为CD ⊥n ，1CB ⊥n ， 所以0CD ⋅=n ，10CB ⋅=n ，即0220x y y z +=⎧⎨+=⎩，取1x =，得1,1y z =−=，所以(1,1,1)=−n ．因为二面角1B B C D −−为锐二面角，在直三棱柱111ABC A B C −中，1BB ⊥底面ABC ， 所以1BB AB ⊥．所以222AC BC AB +=，所以BC AC ⊥．因为1CC ⊥底面ABC ，故可如图建立空间直角坐标系C xyz −． 以下同解法1．………………14分7.（2024顺义一模18）如图，在三棱柱111ABC A B C −中，,E F 分别为11,BC A B 的中点，111112A B AC A A ===. （Ⅰ）求证；//EF 平面11AAC C ；（Ⅱ）若111A A A B ⊥，平面11AAC C ⊥平面11A B BA ，从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，求EF 与平面1A BC 所成角的正弦值.条件①：111A A AC ⊥； 条件②：111A A B C ⊥； 条件③：AB AC ⊥.注：如果选择多个符合要求的条件分别解答， 按第一个解答计分. 【答案】8.（2024石景山一模17）如图，在四棱锥P ABCD −中，PA ⊥平面ABCD ，2PA AD CD ===，3BC =，PC =. （Ⅰ）求证：CD ⊥平面PAD ；（Ⅱ）再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知， 求平面PBC 与平面PAD 所成锐二面角的大小.条件①：AB = 条件②：//BC 平面PAD .注：如果选择的条件不符合要求，第（Ⅱ）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分.9.（2024延庆一模18）如图，四棱柱1111ABCD A B C D −的底面ABCD 是边长为2的正方形， 侧面11ADD A ⊥底面ABCD ，13D D =，E 是BC 的中点. （Ⅰ）求证：1//D B 平面1C ED ；（Ⅱ）再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个 条件作为已知，使二面角11D C E B −−唯一确定，并求二面角11D C E B −−的余弦值.条件①：1C D =条件②：1D B = 条件③：1AD C D ⊥.注：如果选择的条件不符合要求，第（Ⅱ）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分.【答案】 解：（Ⅰ）证明：方法一：在四棱柱1111ABCD A B C D −中，连结1D C ，设11D CDC O =，连结OE ，在1D BC △中，因为O 、E 分别为1,D C BC 的中点，所以1//OE D B ， …………2分 又因为OE ⊂平面1C DE ，1D B ⊄平面1C DE ， …………3分 所以11//D B C ED 平面. …………4分 方法二：在四棱柱1111ABCD A B C D −中，设11B C 中点为F ，连结1D F ，BF ，FE ， 因为1=FC BE ∥，所以1FC EB 为平行四边形，所以1//FB C E ， ……1分 因为11==EF CC DD ∥∥，所以1DD FE 为平行四边形，所以1//D F DE ， ……2分 因为11DEC E ED FFB F ==，所以平面11//D FB C DE 平面， ……3分 因为1BD ⊂平面1D FB所以11//D B C ED 平面． ……4分 （Ⅱ）解:选择条件①： 本问记为0分． 选择条件②：连结1D A ，因为底面是正方形， 所以BA AD ⊥，又因为侧面底面，且侧面底面，所以11BA ADD A ⊥平面， 所以1BA D A ⊥，在1D AD △中，因为2AD =，13DD =， 所以，所以1DD ABCD ⊥平面，即1DD AD ⊥，1DD CD ⊥， 又因为AD CD ⊥，所以如图建立空间直角坐标系， …………6分 其中，1(0,2,3)C ，，，且1(0,2,3)DC =，， …………7分ABCD 11ADD A ⊥ABCD 11ADD A ABCD AD =1AD DD ⊥D xyz −(0,0,0)D (1,2,0)E (0,2,0)C (1,2,0)DE =因为侧面底面，11ADD A ABCD AD =平面平面，所以11DC ADD A ⊥平面， 因为平面1111//ADD A BCC B 平面所以，故，…9分设()n x y z =，，为平1C DE 面的一个法向量，则即23020y z x y +=⎧⎨+=⎩ .不妨设3y =−，则6,2x z ==,可得(6,3,2)n =−． …………12分 ,2DC nDC n DC n ⋅−>==⨯因为二面角的平面角是钝角, 的余弦值为选择条件③： 因为底面是正方形， 所以AD DC ⊥， 因为， 所以1AD C DC ⊥平面， 因为11D D C DC ⊂平面 所以1AD D D ⊥，因为侧面底面，且侧面底面，所以1DD ABCD ⊥平面，即1DD AD ⊥，1DD CD ⊥， 又因为AD CD ⊥，所以如图建立空间直角坐标系， …………6分 下面同选择条件②.11ADD A ⊥ABCD 11DC BCC B ⊥平面11(0,2,0)DC C EB =为平面的一个法向量100n DC n DE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，，11D C E B −−1B −1AD C D ⊥ABCD 1AD C D ⊥11ADD A ⊥ABCD 11ADD A ABCD AD =D xyz −10.（2024东城一模18）如图，在五面体ABCDEF 中，底面ABCD 为正方形，4AB =，1EF =. （Ⅰ）求证：//AB EF ；（Ⅱ）若H 为CD 的中点，M 为BH 的中点，EM BH ⊥，EM =，再从条件①、 条件②这两个条件中选择一个作为已知，求直线CF 与平面ADE 所成角的正弦值.条件①：ED EA =； 条件②：5AE =.注：如果选择条件①、条件②分别解答， 按第一个解答计分.【答案】解：（Ⅰ）因为四边形ABCD 是正方形，所以//AB CD .又,AB CDEF CD CDEF ⊄⊂平面平面， 所以//AB CDEF 平面. 又平面ABFE平面CDEF EF =，AB ABFE ⊂平面，所以//AB EF . ......................................................................................6分（Ⅱ）选取条件①: ED EA =.取AD 的中点N ，AB 的靠近点B 的四等分点P ，连接MN MP NE ,,，因为N 是AD 中点，M 是HB 中点， 所以//MN AB ，//MP AD . 因为ED EA =，所以AD NE ⊥.又AD NM ⊥，且NM NE N =，所以AD NME ⊥平面.又因为ME NME ⊂平面,所以AD ME ⊥.又EM BH ⊥且BH AD 与是相交线，所以ME ABCD ⊥平面. 又NM MP ABCD ⊂,平面, 所以ME NM ME MP ⊥⊥,.如图，建立空间直角坐标系M x yz −，所以(0,2,CF =，(0,4,0)DA =，(3,DE =−设平面ADE 的法向量(,,)x y z =n ，则 0,0,DA DE ⋅=⋅= 2=，则设直线CF 与平面cos |α=〈n又ME BH ⊥，BHAM M =且,BH AM ABCD ⊂平面，所以ME ABCD ⊥平面.取AD的中点N ，取AB 的靠近点B 的四等分点P , 连接MN MP ,，如图建系,11.（2024海淀一模18）如图，在四棱锥P ABCD −中，//AD BC ，M 为BP 的中点，//AM 平面CDP . （Ⅰ）求证：2BC AD =；（Ⅱ）若PA AB ⊥，1AB AP AD CD ====，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使四棱锥P ABCD −存在且唯一确定. （ⅰ）求证：PA ⊥平面ABCD ； （ⅱ）设平面CDP平面BAP l =，求二面角C l B −−的余弦值.条件①：BP DP =； 条件②：AB PC ⊥； 条件③：CBM CPM ∠=∠.注：如果选择的条件不符合要求，第（ⅰ）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分. 【答案】解：（Ⅰ）取PC 的中点N ，连接MN ，ND .因为M 为BP 的中点，因为//AD BC ， 所以//AD MN .所以M ，N ，D ，A 四点共面.因为//AM 平面CDP ，平面MNDA 平面CDP DN =， 所以//AM DN . 所以MN AD =. 所以2BC AD =.（Ⅱ）取BC 的中点E ，连接AE ，AC . 由（Ⅰ）知2BC AD =. 所以EC AD =. 因为//EC AD ，所以四边形AECD 是平行四边形. 所以1EC AD ==，AE CD =.所以90BAC ∠=︒，即AB AC ⊥. 选条件①：BP DP =.（ⅰ）因为1AB AD ==，PA PA =， 所以PAB PAD ≅△△. 所以PAB PAD ∠=∠.因为AB PA ⊥，所以90PAB ∠=︒. 所以90PAD ∠=︒，即AP AD ⊥. 所以AP ⊥平面ABCD .（ⅱ）由（ⅰ）知AP ⊥平面ABCD . 所以AP AC ⊥.因为PA AB ⊥，1AP =，如图建立空间直角坐标系A xyz −.所以1(2CD =−，1(2PD =−，(0,AC =设平面PDC 的法向量为 (,,)x y z =n ，则0,0,CD PD ⋅=⋅=即3=，则3). 因为AC 为平面,|||AC AC AC ⋅<>==⋅n n n |选条件③：CBM CPM ∠=∠. （ⅰ）所以CB CP =. 因为1AB AP ==，CA CA =， 所以ABC APC ≅△△.所以90PAC BAC ∠=∠=︒，即PA AC ⊥. 因为PA AB ⊥，所以PA⊥平面ABCD . （ⅱ）同选条件①．ABCDEMPD。
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2014-----2015上海一摸试题分类汇编立体几何一、填空题1．如图，已知⊥PA 平面ABC ，AB AC ⊥，BC AP =，︒=∠30CBA ,D 、E 分别是BC 、AP 的中点. 则异面直线AC 与DE 所成角的大小为 .42arccos2.若正四棱柱1111ABCD A B C D -的底面边长为2，高为4，则异面直线1BD 与AD 所成角的大小是______________．（结果用反三角函数值表示）3．三棱锥O –ABC 中，OA=OB=OC =2，且∠BOC =45︒，则三棱锥O –ABC 体积的最大值是322 4．已知某圆锥体的底面半径3r =，沿圆锥体的母线把侧面展开后得到一个圆心角为23π的扇形，则该圆锥体的表面积是 ．36p5．已知一个铁球的体积为36π，则该铁球的表面积为______________.36π6．若圆锥的侧面积是底面积的4倍，则其母线与轴所成角的大小是____________（结果用反三角函数值表示）．41arcsin7.理：如图，在四棱锥ABCD P -中，已知⊥PA 底面ABCD ，1=PA ，底面ABCD 是正方形，PC 与底面A B C D 所成角的大小为6π，则该四棱锥的体积是 .218.文：已知圆锥底面圆的半径为1，侧面展开图是一个圆心角为32π的扇形，则该圆锥的侧面积是 .π39. 如图，正三棱柱的底面边长为2，体积为3，则直线C B 1与底面ABC 所成的角的大小为 21a r c t a n （结果用反三角函数值表示）.10. 如图，点1P ,2P ,… ,10P 分别是四面体的顶点或其棱的中点，则在同一平面 内的四点组()k j i P P P P ,,,1 （101≤<<<k j i ）共有 33 个.PABCDEA BCDP AB C1C1B1A3 498第14题E DACB11．如图所示，在长方体ABCD –EFGH 中，AD =2，AB=AE=1，M 为矩形AEHD 内的一点，如果∠MGF =∠MGH ，MG 和平面EFG 所成角的正切值为12，那么点M 到平面EFGH 的距离是 ． 22 12．平面α截半径为2的球O 所得的截面圆的面积为π，则球心O 到平面α的距离为__ _ _ .13.正四棱锥ABCD P -的所有棱长均相等，E 是PC 的中点，那么异面直线BE 与PA 所成的角的余弦值等于 ．3314、圆锥的底面半径为3，高为1，则圆锥的侧面积为 ．π10315．如图，在矩形ABCD 中，E 为边AD 的中点，1AB =，2BC =，分别以A 、D 为圆心，1为半径作圆弧EB 、EC （E 在线段AD 上）.由两圆弧EB 、EC 及边BC 所围成的平面图形绕直线AD 旋转一周，则所形成的几何体的体积为 .32π 16.圆锥的侧面展开图恰好是一个半圆，则该圆锥的母线与底面所成的角的大小是 060.17．在正四棱柱1111ABCD A B C D -中，1BC 与平面ABCD 所成的角为60︒，则1BC 与AC 所成的角为 ▲（结果用反三角函数表示）． 二、选择题 每小题都给出四个选项，其中有且只有一个选项是正确的1．“直线l 垂直于ABC △的边AB ，AC ”是“直线l 垂直于ABC △的边BC ”的 （ A ）()A 充分非必要条件 ()B 必要非充分条件 ()C 充要条件 ()D 既非充分也非必要条件2．正方体中两条面对角线的位置关系是 （ D ）A ．平行B ．异面C ．相交D ．平行、相交、异面都有可能3．在空间中，设m 、n 是不同的直线，α、β是不同的平面，且m α⊂≠，n β⊂≠，则下列命题正确的是 （ C ）A ．若n m //，则βα//B ．若m 、n 异面，则α、β平行C ．若m 、n 相交，则α、β相交D ．若n m ⊥，则βα⊥ 4．到空间不共面的四点距离相等的平面个数为 ( )A ．1个；B ．4个；C ．7个；D ．8个AGDE HBC M第11题图ECDPAB5.设a b 、是两条不同的直线，αβ、是两个不同的平面，则下面四个命题中错误．．的是……（ D ）. （A ）若,,a b a b αα⊥⊥⊄ ，则b //α （B ）若,,a b a b αβ⊥⊥⊥ ，则αβ⊥ （C ）若,a βαβ⊥⊥ ，则a //α或 a α≠⊂ （D ）若 a //,ααβ⊥ ，则a β⊥6．给定空间中的直线l 及平面α，条件“直线l 与平面α内的无数条直线都垂直”是“直线l 与平面α垂直的 ( B )． A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．充要条件 D ．非充分非必要条件7．已知m 和n 是两条不同的直线，α和β是两个不重合的平面，则下列给出的条件中一定能推出m β⊥的是 （ C ）（A ）αβ⊥且m α⊂≠（B ）αβ⊥且α//m （C ）n m //且n β⊥ （D ）m n ⊥且//n β8．已知直线l 和平面α，无论直线l 与平面α具有怎样的位置关系，在平面α内总存在一条直线与直线l （ C ）（A ）相交 （B ）平行 （C ）垂直 （D ）异面三、解答题 解答下列各题必须写出必要的步骤．1．（本题满分12分，第1小题满分6分，第2小题满分6分）如图：三棱锥ABC P -中，PA ⊥底面ABC ，若底面ABC 是边长为2的正三角形，且PB 与底面ABC 所成的角为3π．若M 是BC 的中点，求：（1）三棱锥ABC P -的体积；（2）异面直线PM 与AC 所成角的大小（结果用反三角函数值表示）． 19、[解]（1）因为⊥PA 底面ABC ，PB 与底面ABC 所成的角为3π所以 3π=∠PBA ………2分 因为2=AB ，所以32=PB …………4分2324433131=⋅⋅⋅=⋅=∆-PA S V ABC ABC P ………………6分（2）连接PM ，取AB 的中点，记为N ，连接MN ，则AC MN //所以PMN ∠为异面直线PM 与AC 所成的角 ………………7分 计算可得：13=PN ，1=MN ，15=PM ………………9分101515213151cos =-+=∠PMN ………………11分 异面直线PM 与AC 所成的角为1015arccos………………12分2．（本题满分12分）本题共有2个小题，第1小题满分5分，第2小题满分7分．如图，在直三棱柱111C B A ABC -中，︒=∠90BAC ，21===AA AC AB ，点E 、F 分别为棱AC 与11B A 的中点．（1）求三棱锥11EFC A -的体积；（2）求异面直线C A 1与EF 所成角的大小．20．（本题满分12分）本题共有2个小题，第1小题满分5分，第2小题满分7分． （1）3221313111111111111=⋅⋅⋅⋅=⋅==∆--AA F A C A AA S V V FC A FC A E EFC A ． ……（5分） （参考答案只给出最后结果，如果结果错误，可视中间步骤适当给分）（2）取1AA 中点G ，联结EG ，FG ，则EG ∥C A 1， ………（1分） 所以，FEG ∠是异面直线C A 1与EF 所成的角（或其补角）， …………（2分） 在△EFG 中，2==FG EG ，6=EF ， ………………………（4分）所以，232cos 222=⋅⋅-+=∠EG EF FG EF EG FEG ，故6π=∠FEG ． ……（6分） 所以，异面直线C A 1与EF 所成角的大小为6π． ………………………（7分）3．（本题满分12分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分 ．如图，正四棱柱1111ABCD A B C D -的底面边长为1，异面直线AD 与1BC 所成角的大小为60︒，求： （1）线段1A 1B 到底面ABCD 的距离； （2）三棱椎11B ABC -的体积。
19．（本题12分，第一小题6分，第二小题6分） 解：（1）//AD BC ， ∴1CBC ∠为异面直线AD 与1BC 所成角，∴160CBC ∠=︒ …………2分正四棱柱1111ABCD A B C D -，111//A B ABCDBB ABCD ∴⊥面，面 1BB ∴线段的长为线段1A 1B 到底面ABCD 的距离， …………4分1RT BCC ∆中，1BC =，160CBC ∠=︒，11BB CC ∴==F C AE B A 1C 1B 1P线段1A 1B 到底面ABCD …………6分 （2）1111--=B ABC A BB C V V…………8分 111132⎛=⋅⋅⋅ ⎝…………10分 =…………12分 4．(本题满分12分)本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分． 在长方体1111ABCD A B C D -中，14,3AB AA BC ===，E F 、分别是所在棱AB BC 、的中点，点P 是棱11A B 上的动点，联结1,EF AC ．如图所示．(1)求异面直线1EF AC 、所成角的大小(用反三角函数值表示)； (2)(理科)求以E F A P 、、、为顶点的三棱锥的体积． (文科)求以E B F P 、、、为顶点的三棱锥的体积．19．(本题满分14分)本题共有2个小题，第1小题满分６分，第2小题满分６分． 解(1)联结AC ，在长方体1111ABCD A B C D -中，有AC EF .又1CAC ∠是直角三角形1ACC 的一个锐角，∴1CAC ∠就是异面直线1AC EF 与所成的角.由14,3AB AA BC ===，可算得5AC ==.∴114tan 5CC CAC AC ∠==，即异面直线1AC EF 与所成角的大小为4arctan 5.(理) (2)由题意可知，点P 到底面ABCD 的距离与棱1AA 的长相等．∴113P AEF AEF V S AA -∆=⋅． ∵113322222AEF S AE BF ∆=⋅=⋅⋅=，∴1113=4=2332P AEF AEF V S AA -∆=⋅⋅⋅．(文) (2)由题意可知，点P 到底面ABCD 的距离与棱1AA 的长相等．∴113P EBF EBF V S AA -∆=⋅． ∵113322222EBF S EB BF ∆=⋅=⋅⋅=，∴1113=4=2332P EBF EBF V S AA -∆=⋅⋅⋅．5．文：(本题满分14分) 本题共有2个小题，第1小题满分8分，第2小题满分6分.如图，正方体1111D C B A ABCD -的棱长为2，点P 为面11A ADD 的对角线1AD 的中点.⊥PM 平面ABCD 交AD 于点M ，BD MN ⊥于点N .（1）求异面直线PN 与11C A 所成角的大小；（结果用反三角函数值表示） （2）求三棱锥BMN P -的体积.理：(本题满分14分) 本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.A BC DA 1B 1C 1D 1PMN如图，长方体1111D C B A ABCD -中，2==AD AB ，41=AA ，点P 为面11A ADD 的对角线1AD 上的动点（不包括端点）.⊥PM 平面ABCD 交AD 于点M ，BD MN ⊥于点N . （1）设x AP =，将PN 长表示为x 的函数；（2）当PN 最小时，求异面直线PN 与11C A 所成角的大小. （结果用反三角函数值表示） 文21．(本题满分14分) 本题共有2个小题，第1小题满分8分，第2小题满分6分.（1）因为点P 为面11A ADD 的对角线1AD 的中点.⊥PM 平面ABCD ，所以PM 为△1ADD 的中位线，得1=PM ，又BD MN ⊥，所以2222===MD ND MN ………………（ 2分） 因为在底面ABCD 中，BD AC B M ⊥⊥,D N ，所以AC MN //，又AC C A //11，∠PNM 为异面直线PN 与11C A 所成角的平面角，………………（ 6分）在△PMN 中，∠PMN 为直角，2tan =∠PNM ，所以2arctan =∠PNM 。