讲义ch11 能量法

2
2
FN l 2 l 2 l EA
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l
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F F F Fl FN 2 sin 2 tan 2 l 2
代入前一式得： 3
或：
F l EA
F F= ( /l )3 EA
（几何非线性弹性问题） 其F-间的非线性关系曲线为： 应变能为：
O
F EA l
2 BC 2 sin 45 2 2
0
当水平位移与铅垂位移同时发生时，则有（叠加）
AB 1
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2 1 2 BC 2
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桁架的应变能为
EAi2 EA 2 EA 1 2 1 2 1 1 2 1 V 1 2 li 2l 2 2 2l 2
即：
Vc WC d F
F1 0
（代表F-曲线与纵坐标轴间的面积）
F
F1

(b) dF
V W F d
0
1
V Vc F11
O
1

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另外，也可由余能密度vc计算余能V c：
其中，余能密度vc为： vc
Vc vc d V c
i 1 0
假设与第i个荷载相应的位移有一微小增量d i , 则应变能的变化为：
材料力学多媒体_孙艳
V d V d i i
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因仅与第i个荷载相应的位移有一微小增量,而与其 余各荷载相应的位移保持不变，因此，对于位移的微 小增量d i ，仅Fi作了外力功，外力功的变化为：
V d i 注意到上式与下式在数值上相等 d V i V 从而有： F i （卡氏第一定理 ） i
(a)
1 1
F1
解：设两杆的轴力为FN ，则两杆的伸长量均为：
FN 两杆伸长后的长度均为： l l l 1 EA
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FNl l EA
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l
(a)
1 1
l
F1
由图a的几何关系可知：

l l l
2
2
l l l l 1 1 l 2 l l l
B D
1
K 1/ n (n 1)
(a)
C
F1
(b)
O
1
解： 两杆轴力均为：
F1 FN 2 cos F1 两杆横截面上的应力为： F N 1 A 2 A cos
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由已知
K


1
0
n
余能密度为： vc 所以余能为
d K d
F2 T2 M2 N d x i l 2G I d x F l 2 EI d x F i l 2 EA Fi p i T T M M F N FN dx dx dx l EA l GI l EI Fi Fi Fi p
0
1
注意到此单元体的体积为单位值，从而此时的 应变能(数值上等于上式中的W) 为应变能密度:
v 0 d
1
1
(-曲线与横坐标轴 间的面积）
O 材料力学多媒体_孙艳 (c)

d
1
6
若取边长分别为dx、dy、dz 的单元体，则此 单元体的应变能为：
d V v d x d y d z
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例题1 2 3
9
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2. 余能 设图a为非线性弹性材料所制成的拉杆，拉杆的F- 曲线如图b 。 F
F1

(a)
(b)

O
dF
1

F
“余功Wc”定义为：
WC d F
F1 0
与余功相应的能称为余能Vc，余功Wc与余能Vc 在数值上相等。
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3

V F d
0
1
1
0
4 1 1 1 EA F1 1 EAd 3 4 l 4 l 3
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例 试计算图a 所示结构在荷载F1作用下的余能Vc 。 结构中两杆的长度均为l，横截面面积均为A。材料在 单轴拉伸时的应力一应变曲线如图b所示。
l
A
45
O
F B
1
A B B'
解： 设结点B的水平和铅垂位移分别为1和2， 先假设结点B只发生水平位移1 （图b）
则：
C
(a)
C
(b)
AB 1
2 BC 1 cos45 1 2
0
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同理，结点B只发生铅垂位移2（图c）
A B
2
B''
C
(c)
则： AB 0
A
F在d上所作微功为
1
0
dW = F d
1
0
F作的总功为： d W F d W
（F-曲线与横坐标轴间的面积）
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由能量守恒得应变能：
V W F d
0
1
(此为由外力功计算应变能的表达式）
类似，可得其余变形下的应变能：
梁受F而弯曲：
梁受 M e 而弯曲：
2.能量法的应用范围十分广泛： （1）线弹性体；非线性弹性体 （2）静定问题；超静定问题
（3）是有限单元法的重要基础
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§11.2 应变能余能
1.应变能 (1) 线弹性体的各基本变形形式下的应变能表达 式(参见上册)
F l 拉(压)杆: V＝W＝ 2 EA
2 N
Tl 圆轴扭转: V＝W＝ 2G I p
（代表图c中-与纵坐标轴间的面积）

1
0
d

1
d

O

(c)
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注意： •对线弹性材料，余能和应变能仅在数值上 相等，其概念和计算方法却截然不同。 •对非线性材料，则余能V c与应变能V 在数 值上不一定相等。 •余功、余能、余能密度都没有具体的物 理概念，仅是具有功和能的量纲而已。
V ＝ F d w
V ＝0 M e d

w 0

圆轴受 M x 而扭转： V ＝0 M x d
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若取各边长为单位长的单元体，则作用于上、下 表面上的力为: F = 11 = ＝ 1＝ 其伸长量为：
则作用于此单元体上的外力功为：
W d
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例题1 2 3
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§11－4 用能量法解超静定系统 ——力法（结构力学）
步骤： 1. 解除“多余约束”，代之以相应的反力； 超静定结构→静定结构 2. 列变形的几何相容方程——变形比较法； 3. 卡氏定理得出物理方程（力与位移关系）；

梁、刚架（忽略剪力FS，轴力FN的影响）
整个拉杆的应变能为：
V vd V vv d V
(此为由应变能密度计算应变能的表达式)
特别地，在拉杆整个体 积内vε 为常量
所以有
V vV v Al
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说明：线弹性体的v、V 可作为非线性体的v、 V 的 特例。由于线弹性的F与或与 成正比，则F－曲 线或 － 曲线与横坐标轴围成一个三角形，其面积 等于应变能V 和应变能密度v 。
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注意： 卡氏第一定理和余能定理既适合于线弹性体， 也适合于非线性弹性体，而卡氏第二定理 作 为余能定理的特例，仅适合于线弹性体。
所导出的位移是加力点沿加力方向的位移。
当所求位移处无相应广义力时，可在该处 “虚加”上广义力，将其看成已知外力，反 映在反力和内力方程中，待求过偏导后，再 令该“虚加”外力为0。 实际计算时，常采用以下更实用的形式：
应用卡氏第一定理得
V V 0 及 F 1 2
解得：
1 Fl EA
及
Fl （ 2 1 2 2） EA
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例 弯曲刚度为 EI的悬臂梁受三角形分布荷载如图所 示。梁的材料为线弹性体，且不计切应变对挠度的影 响。试用卡氏第二定理计算悬臂梁自由端的挠度。
1 2 3 n
Vc Wc 0F1 i d f i
i 1
n
假设第i个荷载Fi有一微小增量dFi ，而其余荷载均 保持不变，因此，由于Fi改变了dFi ，外力总余功的 相应改变量为： dWc i d Fi 余能的相应改变量为：
V c d Vc d Fi Fi
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注意： •卡氏第一定理既适合于线弹性体，也适合于非线 性弹性体。 •式中Fi及i分别为广义力、广义位移。
dW F i d i
•必须将V 写成给定位移的函数，才可求其变化率。
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2.卡氏第二定理 — 导出“位移”的定理
设有非线性弹性的梁， 梁内的余能为：
1 2 3 n
B
由于外力余功在数值上等于余能，得
d V c d Wc
解得：
V c i Fi
（称为“余能定理”）
特别： 对线弹性体，由于力与位移成正比，应 变能V 在数值上等于余能V c ， 此时上式变为：
V i （称为“卡氏第二定理”） Fi 式中的Fi 和i分别为广义力和广义位移。