经济数学基础作业2(电大)

经济数学基础作业2（积分学部分第1章不定积分——第2章定积分）知识要点：1．理解原函数与不定积分概念。

原函数的概念：若函数)(x F 的导数等于)(x f ，即)()(x f x F ='，则称函数)(x F 是)(x f 的原函数。

注意：（1）原函数不是唯一的。

若)(x F 是)(x f 的原函数，则c x F +)(都是)(x f 的原函数（其中c 是任意常数）。

（2）原函数的表示形式。

若)(x F 和)(x G 都是)(x f 的原函数，则c x F x G +=)()(（c 是常数）不定积分的概念：原函数的全体c x F +)(（其中c 是任意常数）称为)(x f 的不定积分，记为⎰x x f d )(=c x F +)(。

（3）知道不定积分与导数（微分）之间的关系不定积分与导数（微分）之间互为逆运算，即先积分，再求导，等于它本身；先求导，再积分，等于函数加上一个任意常数，即⎰')d )((x x f =)(x f ,c x f x x f +='⎰)(d )(2．了解定积分的概念，定积分的几何意义，知道奇偶函数在对称区间上的积分结果． 奇偶函数在对称区间上的定积分有以下结果： 若f x ()是奇函数，则有f x x aa()d -⎰=0若f x ()是偶函数，则有f x x f x x fx x aaaa()()()d d d --⎰⎰⎰==2203．知道无穷限积分的收敛概念，会求简单的无穷限积分。

4.熟练掌握积分的计算 不定积分和定积分的关系： 牛顿−−莱布尼兹公式：()d ()()()bba af x x F x F b F a ==-⎰常用的积分方法有： （1）运用积分基本公式直接进行积分； （2）第一换元积分法（凑微分法）；（3）分部积分法，不定分部积分公式：⎰⎰'-='dx x v x u x v x u dx x v x u )()()()()()( 或⎰⎰-=vdu uv udv主要掌握被积函数是以下类型的不定积分：①幂函数与指数函数相乘；⎰dx e x x n α ，令xn e x v x x u α='=)(,)(②幂函数与对数函数相乘；)1(,ln -≠⎰ααxdx x ，令αx x v x x u ='=)(,ln )(，③幂函数与正（余）弦函数相乘；⎰xdx x n αsin 或,cos ⎰xdx x n α令,)(nx x u =作业2解答 一．填空题 1．若c x x x f x++=⎰22d )(，则f （x ）=解：1 .因为若,)(d )(c x F x x f +=⎰则(())()F x c f x +'=因此22ln 2)22()(+='++=xxc x x f 2．='⎰x d )sinx ( 解：由不定积分和导数的关系：c x f x x f +='⎰)(d )(则c x x +='⎰sin d )sinx (。

3．,)(d )(c x F x x f +=⎰则=⎰--x e f e x xd )(解：因为,)(d )(c x F x x f +=⎰则)()(d )(x x x xe d ef x e f e----⎰⎰-==c e F x +--)(。

4．=+⎰edx x dx d 12)1ln( 解：因为定积分⎰+edx x 12)1ln(是常数，常数的导数为零，因此0)1ln(12=+⎰edx x dx d 5．若,11)(02⎰+=xdt tx p 则=')(x P解：因为)()()(a F x F dt t f xa -=⎰，则)()(x f x F ='，,1111)(022⎰⎰+-=+=xxdt tdt tx p 则211)(xx P +-='。

二．单项选择题1．下列函数中，（ ）是2sin x x 的原函数。

A.2c o s 21x B. 2cos 2x C. 2cos 2x - D. 2cos 21x -解：原函数的概念：若)()(x f x F ='，则称函数)(x F 是)(x f 的原函数。

A 是错误的。

因为 x x x 2s i n 21c o s 2122⋅-='⎪⎭⎫ ⎝⎛=2sin x x - 正确的选项是D.2．下列等式成立是（ ）A. )(c o s s i nx d x d x = B. )1(ln xd xdx = C. )2(2ln 12x xd dx =D.x d dx x=1 解：A 是错误的。

因为xdx dx x x d sin )(cos )(cos -='=；B 是错误的。

因为dx x dx xx d 21)1()1(-='=； C 是正确的。

因为dx dx dx d x x x x 22ln 22ln 1)2(2ln 1)2(2ln 1=⋅⋅='=； D 是错误的。

因为dx xdx x x d 21)(='=正确的选项是C 。

3．下列不定积分中，常用分步积分法计算的是（ ）A. dx x ⎰+)12cos( B. dx x x ⎰-21 C.⎰xdx x 2sin D.dx x x⎰+21解：常用分部积分法计算的积分有：⎰dx e x x n α ， )1(,ln -≠⎰ααxdx x ，⎰xdx xnαsin 或⎰xdx x n αcos 。

该题正确的选项是C4．下列定积分计算正确的是（ ）A.2211=⎰-dx x B. 15161=⎰-dxC.0sin 22=⎰-dx x ππ D. 0sin =⎰-ππxdx解：A 是错误的。

因为4)2(2221111=--==--⎰x dx xB 是错误的。

因为17)1(16161161=--==--⎰x dxC 是错误的。

因为函数x sin 是偶函数，因此dx x dx x ⎰⎰=-222sin 2sin πππ=220cos 2sin 2202=+=-=⎰ππxdx xD 是正确的。

因为函数x sin 是奇函数，因此0sin =⎰-ππxdx 。

5．下列无穷积分中收敛的是（ ）A. dx x ⎰+∞11B.⎰+∞121dx x C. dx e x⎰+∞D. ⎰+∞sin xdx5．解：A 是错误的。

因为)1ln (ln lim ln lim 1lim 1111-===+∞→+∞→+∞→+∞⎰⎰b x dx x dx x b bb bb 是发散的。

B 是正确的。

因为=⎰+∞121dx x 1)11(lim )1(lim 1lim 112=+-=-=+∞→+∞→+∞→⎰b x dx x b bb bbC 是错误的。

因为=⎰+∞dx e x)1(lim lim 0-=+∞→+∞→⎰bb bx b e dx e 是发散的。

D 是错误的。

因为⎰+∞0sin xdx =)1cos (lim sin lim+-=+∞→+∞→⎰b xdx b bb 是发散的。

正确的选项是B 。

三．解答题1计算下列不定积分（1）⎰x e x xd 3解： （1） ⎰x e x x d 3=⎰x ed )3(x=c e c ee +-=+13ln )3()3ln()3(x x（2）⎰+x xx d )1(2解： dx xx x x x x ⎰⎰++=+2221d )1( =dx x x x)2(232121⎰++-=c x x x +++25235234221（3）⎰+-x x x d 242 ca a dx a ba b a x xNaM a N Mann n +=-==⎰ln log log log,)()1(,11-≠++=+⎰ααααc x dx x解：⎰+-x x x d 242=⎰+x 2)d x ( =c x x ++2212（4）⎰x d 2x -11解：⎰x d 2x -11=⎰-)2-d(12x-1121x =c x +--21ln 21（5）⎰+x x d x 22解：⎰⎰++=+)x 2(d )x 2(21d 222122x x x =c x ++⋅232)2(3221 =c x ++232)2(31（6）⎰x x xd sin解：⎰x xx d sin =⎰x d x sin 2=c x +-cos 2（7）⎰x x d 2xsin解：2cos 2d 2x sin xd x x x ⎰⎰-==⎰+-x x x d 2x cos 22cos2 )21(21ln 1x d dx cx dx x --=+=⎰)2(21)1(,1))(()())(()()((,)()(21111x d xdx c x dx x cx F x d x f dx x x f c u F du u f +=-≠++=+=='+=+⎰⎰⎰⎰ααϕϕϕϕϕαα则设 x d dx xcx xdx 21cos sin =+-=⎰2cos 22sin,sin xd dx x xu xdx x vdxu uv dx v u nn-=='-='⎰⎰⎰令α=c x x x ++-2sin 42cos2 （8 ）⎰+x l 1)d n(x解：⎰+x l 1)d n(x =⎰++x)1(1)d n(x l =dx x xx x ⎰++-++11)1ln()1(=c x x x +-++)1ln()1(2．计算下列定积分（1）dx x ⎰--211解：dx x dx x dx x ⎰⎰⎰-+-=---211121111=dx x dx x ⎰⎰-+--2111)1()1(=212112)2()2(x x x x -+--=25)121(224)211(211=---+---- （2）⎰2121dx x ex解： ⎰2121dx x e x=x d e x1211⎰- e e ex +-=-=21211（3）dx xx e ⎰+31ln 11解：dx x x e ⎰+31ln 11=⎰++-3121)ln 1()ln 1(e x d x ⎰⎰⎰=-≠'-='xu xdx x vdxu uv dx v u ln )1(,ln 令αα⎩⎨⎧>-≤-=-+=⎰⎰⎰1,11,11)()()(x x x x x dxx f dx x f dx x f bccabax d dx x c e dx e x x 112-=+=⎰)ln 1(1111x d dx xc x dx x +=++=+⎰ααα=31ln 12e x+=1ln 12ln 123+-+e =2（4）⎰22cos πxdx x解：⎰22cos πxdx x =⎰22sin 21πx xd =⎰-20202sin 212sin 21ππxdx x x =20)2cos (2121sin 221πππx -⨯-⨯ =210cos 41cos 41-=-π（5）⎰exdx x 1ln解：（5）=⎰e xdx x 1ln )2(ln 12⎰ex xd=dx x x x x ee⎰⋅-121212ln 2 =ex e e 12241ln 2- 4141222+-=e e =41412+e（6）⎰-+4)1(dx xe xx d xdx xu xdx x vdxu uv dx v u nn2sin 212cos ,cos =='-='⎰⎰⎰令α2ln ),1(,ln 2x dxdx x u xdx x vdxu uv dx v u ==-≠'-='⎰⎰⎰令αα解：⎰-+40)1(dx xe x=⎰⎰-+4401dx xe dx x=⎰--4040xxdex=)(4404⎰----dx e xex x=)4(444x e e--+-=44455)1(44----=---e e exx nxn de dx e x u dx e x vdxu uv dx v u ----=='-='⎰⎰⎰令,α。