和频、差频、参量放大

第三章 光参量放大与振荡§3.1 引言1) 和频与差频过程比较 2) 新的频率产生§3.2 和频、差频和参量放大3.2.1 和频的产生在平面波近似下，根据光电场表示式()()1,t =e ..2i i i k z ti i E E c c ωω-+将光电场振幅由复数写成实数振幅形式，并假设平面波初始相位为零。

则由光电场实数振幅表示的三波相互作用耦合波方程：1*13212*231233123exp()exp()exp()eff eff eff d dE i E E i kz dz cn d dE i E E i kz dz cn d dE i E E i kz dz cn ωωω=-∆=-∆=∆ (3.2.1-1) SHGω12ω1SFGω1ω3ω2ωω12ω1ω1ω2ω3DFGω1ω3ω2ω1ω2ω3OPAω1ω3ω2OPOω3ω2ω1ω2ω3ω1ω1ω2ω3ωω图 1 三波相互作用过程，↓表示输入频率，↑表示产生的频率式中，312ωωω=+，相位失配量123k k k k ∆=+- 引入新的参量：1,2,3i iA i == (3.2.1-2)2021i i i A c I ωε= (3.2.1-3)*123*213312()()()exp()()()()exp()()()()exp()dA z i A z A z i kz dz dA z i A z A z i kz dz dA z i A z A z i kz dzκκκ=-∆=-∆=∆ (3.2.1-4) 1/2123123eff d c n n n ωωωκ⎛⎫= ⎪⎝⎭(3.2.1-5)假定频率为2ω的光场在二阶非线性相互作用下光束强度基本不改变， 并且相位失配量0=∆k ，耦合波方程为：*1331()()()()dA z ig A z dzdA z igA z dz== (3.2.1-6)式中： 2(0)g A κ= (3.2.1-7) 微分方程组转换为二次微分方程：()()()22133222332()()0dA z d A z ig g A z dz dz d A z g A z dz ==-+= (3.2.1-8)微分方程通解：()()312()cos sin A z c g z c g z =+ (3.2.1-9)式中1c 和2c 为任意常数。

在非线性材料的输入端，仅有1ω和2ω光，即()300A =，常数10c =。

将()()32sin A z c g z =带入微分方程31()()dA z igA z dz=，得()()21cos c g g z igA z =，由0z =处()()110A z A =得：()210gc iA g= (3.2.1-10) ()()()310sin gA z iA g z g= (3.2.1-11) ()()311()1()0cos dA z A z A g z ig dz== (3.2.1-12)()()()()()()()2222222130010cos0sin0A z A z A g z A g z A +=+= (3.2.1-13)上式说明在和频过程中，光子数守恒。

产生的和频光功率由功率最小的输入光功率决定。

和频光的光强为：()()()()()22330311110sin 0sin 2I z c A g z I g z ωεωω==(3.2.1-14)转换效率为： ()231sin g L ωηω=(3.2.1-15) 频率为1ω的输入光光强为：()()()()()221011110cos 0cos 2I z c A g z I g z εω==(3.2.1-16)如果泵浦光较小，在小信号近似下，I n t e n s i t yg z图 2 产生的和频光3ω光强及输入1ω光强与g z 关系()()()()22222222322232233123222231112312301232eff eff eff L d d L g L L A I c n n n c n n n c n n n ωχωωωωωωωηωωε≈=== (3.1.1-17)和频的实现589nm 1.06μm 和1.319μm 和频 0.355μm 1.064μm 和0.532μm3.2.2 差频的产生差频过程中，两个输入光的频率为1ω和3ω()31ωω>，产生的频率为231ωωω=-。

我们假定频率为3ω的光场强度远大于1ω光。

利用类似的和频平面波耦合波方程来处理差频过程。

在相位匹配条件下，耦合波方程为：*12()()dA z ig A z dz = (3.2.2-1) *21()()dA z igA z dz= (3.2.2-2) ()30g A κ= (3.2.2-3)得到2A 场的二阶微分方程：()()*221222()dA z d A z ig g A z dz dz== (3.2.2-4) ()22332()0d A z g A z dz -= (3.2.2-5) 其通解为：()()212()sinh cosh A z D g z D g z =+ (3.2.2-6)根据边界条件，在非线性介质的入射端处：()200A =，因此20D = 将()21()sinh A z D g z =带入*21()()dA z igA z dz=，可得()()*11cosh D g g z igA z = 由0z =处()10A z =，得()*110g D iA g= (3.2.2-7) 因此1A 场和2A 场的解为：()()()*110cosh A z A g z = (3.2.2-8)()()()*210sinh g A z iA g z g= (3.2.2-9) 写成光强形式：()()()2110cosh I z I g z = (3.2.2-10)()()()222110sinh I z I g z ωω=(3.2.2-11)3.2.3 光参量放大器在差频过程中，除了产生频率为角频率为2ω光场，角频率为1ω的光场还得以放大。

放大比为：()()()212220cosh A L g L A L Γ== (3.2.3-1)如果()1g L >>，信号光1ω会得到极大放大。

这一过程称参量放大。

产生的2ω光称闲频光。

当1g L <<，在相位匹配条件下，增益因子()()2221cosh exp 4g zz g z Γ=≈ (3.2.3-2)I n t e n s i t yg z图 3 差频产生光2ω和入射光1ω与增益g z 关系§3.3 光参量振荡器在在非线性二阶相互作用参量放大过程中，由于泵浦光与信号光在非线性介质中的相互作用，使信号光得以放大，同时空闲光也被产生和放大。

如果将非线性介质放在谐振中，并使这个谐振腔对信号光和闲频光共振，在参量放大的增益超过损耗时，信号光和闲频光同时产生振荡。

信号光和闲频光同时在谐振腔内共振的振荡器称双共振光参量振荡器(DRO)，仅对信号光和闲频光共振的光参量振荡器称单共振光参量振荡器(SRO)。

3.3.1 双共振OPO 产生的两个光场解相位匹配条件下0k ∆=，泵浦光场损耗很小条件下的耦合波方程为：*12()()dA z ig A z dz = (3.3.1-1) *21()()dA z igA z dz= (3.3.1-2) ()30g A κ= (3.3.1-3)在非线性介质的入射端处两个光电场为()100A ≠和()200A ≠。

简化成二阶其次微分方程：()22112()0d A z g A z dz-= (3.3.1-4) ()1A z 的通解为：()()()112cosh sinh A z D g z D g z =+ (3.3.1-5)由边界条件()()110,0z A z A ==，得()110D A = (3.3.1-6)PumpHigh reflectorOutput coupler χ(2)medium+z图 4 光参量振荡器基本结构图由()()()*12*122()()0sinh cosh ()0dA z ig A z dzA g g z D g g z igA z z =+== ()()**222*00g g D i A i A g g== (3.3.1-7)因此得：()()()()()*111*0cosh 0sinh g A z A g z iA g z g=+ (3.3.1-8) 同理可求得：()()()()()*2210cosh 0sinh g A z A g z iA g z g=+ (3.3.1-9) ()2A z 的共轭形式为：()()()()()***2210cosh 0sinh g A z A g z i A g z g=- (3.3.1-10)3.3.2 光参量振荡器的自洽条件为清楚起见，将角频率为1ω信号光场和角频率为2ω的闲频光场在谐振腔内z 处用矩阵形式描述：()()()121*2ik zik zA z e A z A z e -=(3.3.2-1)为简化公式推倒，我们将谐振腔处理成充满非线性介质，由Reference planez=0图 5 信号光和闲频光在腔内往返传输图在b 处的矩阵为 ()()()()1122**cosh sinh sinh cosh ik L ik Lb ik Lik L ge g L ie g L gA gie g L e g L g--=- (3.3.2-2)输出耦合镜对信号光和闲频光的复数反射率系数为1r 和2r ，矩阵为1*20c b r A A r=(3.3.2-3)返程光束沿着z -方向信号光和闲频光没有增益1200ik L d c ik Le A A e -=(3.3.2-4)如果左侧高反镜的反射率与右侧输出耦合镜的反射率相等，则1*200e d r A A r =(3.3.2-5)e d c b a A A A A A ==e a A M A()()()()111222*11***22cosh sinh 000000sinh cosh ik L ik L ik Lik L ik L ik L g e g L ie g z g r r e r r e g ie g z e g z g ---⎡⎤⎢⎥⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦-⎢⎥⎢⎥⎣⎦M()()()()()()()()()()1112221122*11***22222211**2222**22cosh sinh 00sinh cosh cosh sinh sinh cosh ik L ik L ik Lik L ik L ik L ik L ik Lik L ik Lg e g L ie g z g r re r r e g ie g z e g z g gr e g L ir e g z g g i r eg z r e g z g -----⎡⎤⎢⎥⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎣⎦M(3.3.2-6)由自洽条件要求=e a A A (3.3.2-7)或 =a a A M A (3.3.2-8)即 ()0=a M -I A ， (3.3.2-9)式中I 为单位矩阵。