基于外推公式的瀑布型多重网格法
半线性椭圆问题的瀑布型多网格解法
应用数学MA THEMA TICA APPL ICA TA2002,15(3):136～139半线性问题的瀑布型多重网格法Ξ周叔子,祝树金(湖南大学数学学院,湖南长沙410082)摘要:本文提出了求解半线性椭圆问题的一类新的瀑布型多重网格法,在网格层数固定的条件下证明了此法的最优阶收敛性.关键词:半线性椭圆问题;瀑布型多重网格法;收敛性中图分类号:O241.6 AMS(2000)主题分类:65N55文献标识码:A 文章编号:100129847(2002)0320136204多重网格法已被广泛用于求解边值问题,并被认为是最有效的算法之一.在此基础上,近年来出现了所谓瀑布型多重网格法,其优点是不做粗网格校正,从而结构十分简单,其缺点是在粗网格上需大量的磨光次数,但仍可十分有效地求解大型边值问题,因而受到人们重视.见[124]及其文献.用瀑布型多重网格法求解非线性椭圆问题,始于[5,6],其算法的构造基于许进超的两重网格法中的算法5.5(见[7]),即在粗网格上求解非线性问题,然后以粗网格上的解为初值在细网做简单迭代)为基础构造求解半线性椭圆问题的一类新的瀑布型多重网格法,并证明此算法具有最优收敛阶.考虑半线性椭圆问题:-Δu+f(x,u)=0,x∈Ω,(1)u=0,x∈5Ω,其中Ω为R2中的有界域,边界适当光肖,f(x,u)适当光滑.设(1)有唯一解u,且u∈H10(Ω)∩W2,2+ε(Ω),对某个ε>0成立.并设存在正数K,C1,当‖ω-u‖1,∞≤K时|f u(x,ω)|≤C1(2)问题(1)的弱形式为a(u,v)+(f(x,u),v)=0,Πv∈H10(Ω),(3)其中a(u,v)=( u, v),(・,・)为L2内积.用线性协调有限元法求解(3),并采用多重网格法.设T hj,j=0,1,…,J为嵌套的拟一致三角剖分,不妨设h j=h j-1/2,相应的线性协调有限元空间为V j,则V0<V1<V2<…<V J<H10(Ω).相应的有限元方程为:求V hj∈V j满足a(u hj,v)+(f(x,u hj),v)=0,Πv∈V j.(4)本文恒设网格层数J+1为常数,即网格层数固定,但h j可趋于0.本文中出现的常数C可能与Ξ收稿日期:2002203208基金项目:国家自然科学基金资助项目(10071017)作者简介:周叔子(19402),男,汉族,长沙市人,湖南大学数学系教授,1962年毕业于湖南大学数学专业,研究微分方程数值解.J有关,但与h J无关.由[7]可知有以下误差估计‖u-u hj‖1,p≤C2h j,当u∈W2,p(Ω),2≤p≤∞;(5)‖u-u hj‖0,p≤C2h2j,当u∈W2,p(Ω),2≤p≤∞;(6)‖u-u hj‖0,∞≤C2h2j|l nh j|,当u∈W2,∞(Ω).(7)我们的目的是求j=J时方程(4)之解,即U hJ.为此[7]提出了下述线性化算法.算法1第1步 求u0∈V0,使a(u0,v)+(f(x,u0),v)=0,Πv∈V0;(8) 第2步 对j=1,…,J,求u j∈V j,使a(u j,v)+(f(x,u j-1),v)=0,Πv∈V j;(9)上述第2步中每步求解一个线性方程组,可使用迭代法,设第j层上所用迭代算子为I j:I jω=S jω+g j,ω∈V j,记I j,mj =I m j j,S j,mj=S m j j.于是基于算法1可提出瀑布型多重网格法.算法2第1步 求u0∈V0,使a(u0,v)+(f(x,u0),v)=0,Πv∈V0;(10) 第2步 令u0,m=u0,对j=1,…,J,迭代求a( u j,v)+(f(x,u0j),v)=0,Πv∈V j,其中u0j=u j-1,mj-1,u j,mj=I j,mju0j.设迭代算子满足磨光性质(见[224]):‖S j,mjv‖a≤C3h-1j m-r j|v|0,Πv∈V j,(12)‖S j,mjv‖a≤‖v‖a,(13)其中|v|2a=( v, v),r为正数,随迭代算子而异.算法2的结果为u J,mJ,我们要证明误差当J固定时满足‖u hJ -u J,mJ‖a=O(h J),(14)即与‖u hJ-u‖a同阶,从而是最优阶.此即下述定.定理 设u∈W2,∞(Ω),则存在 h>0,当h0≤ h时成立‖u hj -u j,mj‖a≤Ch j,j=0,1,…,J,C4‖v‖a,Πv∈H01(Ω).证 对拟一致剖分,成立逆估计(见[8]):‖v‖1,∞≤C5h-1/2j‖v‖a,Πv∈V j.(15)由(5)式,存在 h>0,当h0≤ h时‖u-u hj‖1,∞≤K/4,CC5h1/2j≤K/2(16)显然u01=u0,m0=u0=u h,即j=0时定理结论为真.由(4)与(11)得a(u h1- u1,v)=(f(x,u01)-f(x,u h1),v)=(f u(x,u h1+θ(u01-u h1))(u01-u h1),v),0<θ<1.(17)而‖u h1+θ(u01-u h1)-u‖1,∞≤(1-θ)‖u h1-u‖1,∞+θ‖u h-u‖1,∞≤K/4,故(2)与(17)得‖u h1- u1‖2a≤C1‖u01-u h1‖0・‖u h1- u1‖0731第3期 周叔子等:半线性问题的瀑布型多重网格法≤C1C24‖u01-u h1‖a・‖u h1- u1‖a.从而‖u h1- u1‖a≤C1C24‖u01-u h1‖a.(18)另一方面,由I1,m1u1= u1及(13)可得‖ u1-u1,m1‖1=‖ u1-I1,m1u01‖a=‖S1,m1( u1-u01)‖a≤‖ u1-u01‖a≤‖ u1-u h1‖a+‖u h1-u01‖a≤(1+C1C24)‖u h1-u01‖a.由此及(5)推出‖u h1-u1,m1‖a≤C′‖u h1-u01‖a=C′‖u h1-u h‖a≤3C2C′h1.(19)由此可知j=1时定理结论为真,并由且(16)得‖u02-u‖1,∞=‖u1,m1-u‖1,∞≤‖u1,m1-u h1‖1,∞+‖u h1-u‖1,∞≤‖u1,m1-u h1‖a C5h-1/21+K/4≤K.在此基础上类似j=1时的论证可得‖u h2-u2,m2‖a≤3C2C′(1+2C′)h2,‖u03-u‖1,∞≤K.一般情形,用类似论证结合数学归纳法得到‖u hj -u j,mj‖≤3C2C′[1+2C′+…+(2C′)j-1]h j,‖u0j+1-u‖1,∞≤K.定理证毕.注 前述算法和定理容易推广到拟线性椭圆问题.下面我们给出算法2的数值试验例子.在粗网格(j=0)上用Newton迭代求解(10).停止准则为相邻两次迭代之差的无穷范数小于10-8.迭代算子取为对称G auss2Seidee迭代.m j 分别按以下两个公式选取(见[2]和[5]):m j=[mJ1/22β(J-j)]+1,(20)m j=[m(J-j)22j]+1, 当j≤J/2,[mJ2022β(J-j)]+1, 当j>J/2.(21)我们的试验中取m=1,β=1,J=3.试验在686个人机上进行.算例为:-Δu+u3=2π2sinπx sinπy+(sinπx sinπy)3,于Ωu=0,于5Ω,其中Ω=(0,1)×(0,1),真解为u=sinπx sinπy.h j分别取为2-6,2-7,2-8(规则网格),计算结果如下表,时间以秒计,误差为能量误差.(20)h j error time2-60.04714.28 2-70.032332.46 2-80.0212719.09 (21)h j error time2-60.06414.012-70.037131.802-80.0239714.42由上表看出,误差衰减比O(h J)略慢一些.在上例中,m j的两种选法(20)与(21)差别不831应 用 数 学 2002明显,因J =3太小.当J 较大时按(21)选取m j 所需工作量将明显小于(20).参考文献:[1] Deuflhard P.Cascadic conjugate gradient methods for clliptic partial differential equations[A ].Proceedings ofDDM 7[C].Providence :AMS ,1994,29～42.[2] Bornemann F and Deuflhard P.The cascadic multigrid method for elliptic probeems [J ].Numer.Math ,1996,75:135～152.[3] Shi Z C and Xu X J.A new cascadic multigrid[J ].Science in China (A ).2001,44:21～30.[4] Braess D ,Dahmen W.A cascadic multigrid algorithm for the Stokes equations[J ].Numer.Math ,1999,82:179～192.[5] Huang Y Q.Multilevel successive iteration methods for elli ptic problems[A ].Workshop on M G[C].湘潭:湘潭大学出版社,2000,31～40.[6] Timmermann G.A cascadic multigrid algorithm for semilinear elliptic problems[J ].Numer.Math ,2000,86:717～713.[7] Xu J.Two 2grid discretization techniques for linear and nonlinear PDEs[J ].SIAM J.Numer.Anal ,1996,33:1759～1777.[8] Brenner S C and Scott R.The Mathematical Theory of Finite Element Methods[M ].New Y ork :S pringer 2Verlag ,1996.A C ascadic Multigrid Method for Semilinear ProblemsZHOU S hu 2zi ,ZHU S hu 2ji n(School of M athem atics ,Hunan U niversity ,Hunan Changsha 410082)Abstract :We proposed a new cascadic multigrid method for solving semilinear elliptic probeems,proved the convergence of optimal order provided the level number of the grids is fixed.K ey w ords :Semilinear elliptic problem ;Cascadic multigrid method ;Convergence931第3期 周叔子等:半线性问题的瀑布型多重网格法。
南京师大学报(自然科学版)第30卷(2007年)总目次
一
陈兰荪 （ ，） ２ １ 曹进 德 （ ６ ２，）
方锦 暄 （ ，１ ２１）
莉
种 基于 变分 的网格运 动方 法及其 在边 界层 问题数 值 求解 中的应用 …… ……… 李 Ｈ 的映射 刻 画
征
王 双虎 （ ，５ ２１）
广义 Ｓ ｓ ｍａｈ一双积 Ｌ ｗ
… ……… …… …… ……… …… ……… 焦争鸣 王 永忠 （ ，２ ２２ ） 刘 网定 周 秀轻 （ ，７ ２２ ）
何 波 （ ，３ ２３ ）
删失 非线性 模型 的 中位 数 回归 …… …… …… ……… … ……… ……… … 王 海康
杨纪龙 （ ， ） ３２ ６
陈 兰荪 （ ，１ ３３ ） 的（２４ １ 一ＭＤ的完全 分类 （ 文 ） …… …… ……… 张 学斌 １ ，，）Ｐ 英 …
一
陆晓萍
王
桢 （ ６ ４，）
个具 有收 获和生 育脉 冲效应 的 Ｈ ｌｎ—ａｎｒ ｏｉｇＴ ｎｅ 捕食 者—— 食饵 系统分 析 （ 文 ） ｌ 英
类 Ｐ一能量泛 函径 向极小元 的 Ｃ 收敛 性 … …… ……… …… …… ……… …… 刘红艳
一
类退化椭 圆型 方程 Ｄｒ ｈｅ 问题 的解 的高 阶正 则性 … ……… …… …… ……… …… …… 何 ｉｅｌ ｉ ｔ
跃 （ ，８ １２ ）
具 有脉 冲效 应和 Ｈ ｌｎ ｏｌ ｇＩ 能性反应 的捕 食者— —食 饵 系统分 析 （ 文 ） …… 庞 国萍 ｉ Ｖ功 英 变 时滞神 经 网络 指数稳 定性 条件 … …… …… ……… …… …… ……… …… ……… 蒋秋浩
多重网格方法及其算法分析
多重网格方法及其算法分析多重网格方法（Multigrid Method）是一种用于求解偏微分方程数值解的高效算法。
它通过在多个网格层级上迭代求解，将计算时间大大缩短，并提高了求解结果的精度。
本文将对多重网格方法及其算法进行深入分析。
一、多重网格方法简介多重网格方法是一种求解线性或非线性偏微分方程数值解的方法。
其基本思想是通过在不同精度的网格上进行迭代求解，从而达到快速求解的目的。
多重网格方法拥有以下特点：1. 多层网格结构：多重网格方法通过构建多个层级的网格结构，从粗网格开始，逐渐向细网格逼近。
每个网格层级包含不同的网格点数量，用于近似原始偏微分方程的解。
2. 收缩-插值操作：在不同网格层级之间，通过收缩和插值操作，将解从粗网格传递到细网格，或者将残差从细网格传递到粗网格。
这样可以加速迭代求解，达到更高的求解精度。
3. 快速下降：多重网格方法利用了网格层级结构，每次迭代都能快速收敛至最细网格，然后再进行细致的求解。
这种快速下降的策略有效地减少了计算时间。
二、多重网格方法算法分析多重网格方法包含以下主要步骤：1. 初始化：选择适当的初始解，并构建多层网格结构。
2. 粗网格迭代：在粗网格上进行迭代求解，不断逼近精确解。
3. 输运操作：通过插值或收缩操作，将解从粗网格传递到细网格，或者将残差从细网格传递到粗网格。
4. 细网格迭代：在细网格上进行迭代求解，提高求解精度。
5. 重复操作：重复进行输运操作和细网格迭代，直到达到预定的收敛标准。
6. 输出结果：得到最终的数值解。
多重网格方法的核心在于输运操作和迭代求解。
输运操作通过插值和收缩操作，将解从一个网格层级传递到相邻的层级，实现解的传递和精度提升。
而迭代求解则在每个网格层级上进行局部的求解，通过逐步逼近真实解来提高数值解的精度。
三、多重网格方法的应用领域多重网格方法在科学计算和工程领域有着广泛的应用。
它可以用于求解各种偏微分方程，如椭圆方程、抛物方程和双曲方程等。
有限元方法超收敛性综述
有限元方法超收敛性综述专业方向计算数学学号082111026 姓名何果一、有限元方法简介有限元法的基本思想是将结构离散化，用有限个容易分析的单元来表示复杂的对象，单元之间通过有限个节点相互连接，然后根据变形协调条件综合求解。
由于单元的数目是有限的，节点的数目也是有限的，所以称为有限元法（Finite Element Method）。
在19世纪末及20世纪初，数学家瑞雷和里兹首先提出可对全定义域运用展开函数来表达其上的未知函数。
1915年，数学家伽辽金提出了选择展开函数中形函数的伽辽金法，该方法被广泛地用于有限元。
1943年，数学家库朗德第一次提出了可在定义域内分片地使用展开函数来表达其上的未知函数。
这实际上就是有限元的做法。
有限元方法是解偏微分方程数值解一中行之有效的数值计算方法，广泛应用与科学与工程计算各领域，它已经取得了巨大的成功。
冯康先生在1965年著名的论文《基于变分原理的差分格式》中第一次独立阐明了有限元方法的实施数学实质和理论基础，这是第一次系统的采用连续的工具特别是偏微分方程的工具来处理离散化的技术，更确切地说，有限元法就是为了对一些工程问题求得近似解的一种数值方法，从数学的角度来讲，有限元法是从变分原理或加权残数法出发，通过区域剖分和分片插值，通常是分片多项式插值，把偏微分方程的求解化为线性方程组的求解。
然而，直接从有限元解计算所得的导数在单元边界不连续且整体精度不高，网格加密呵有限元次数增加能适当改善精度，然而随着网格的加密和多项式次数的提高，有限元方法产生的线性代数方程组的阶将暗几何级数增长，但是计算机技术发展的速度总是赶不上有限元方法对它的这种需求。
因而怎样对有限元方法所得到得数值结果事后进行某种加工（这种加工工作量极小）来提高有限元解及其导数的精度是有限元研究的一项重要内容。
在这一方面前辈们已经做出的很多出色的工作。
二、有限元的超收敛性历史回顾和当前进展有限元的超收敛现象最早由工程师发现，早在1967年ZienkiewiczCheung 就在《The finite element in structural and continuum mechanics》中指出在计算在计算中发现线性有限元解得导数在某些特殊点上有特别高的精度。
三次插值在瀑布型多重网格法中的应用
ｔ ｒ ｅ ｏ ｄ ｒｉ ｔ ｒ ｏ ａ ｉ ｎ ａ ｄ ｃ ｎ ｔｕ ｔ ｅ ｃ ｓ ａ ｉ ｍｕ ｉ ｒｄ ｍｅ ｈ ｄ ｆ ｒｔ ｅ ｅ ｌ ｔ ｒ ｂ ｅ ．Ｎｕ ｒｃ ｌ ｘ ｅ — ｈ ｅ — ｒ ｅ ｅ ｐ ｌ ｔ ｎ ｏ ｓ ｒ ｃ ｎ ｗ ａ ｅ ｄ ｃ ｎ ｏ ａ ｈ ｇ ｉ ｔ ｏ ｏ ｈ ｌ ｐ ｉ ｐ ｏ ｌｍｓ ｉ ｃ ｍｅ ｉａ ｐ ｒ ｅ
Ａｂ ｔａ ｔ Ｉ ｔ ｒ ｏ ａ ｉｎ ｉ ｉ ｐ ｒａ ｔｉ ｈｉ ｒ ｔ ｏ ｓ ｓ ｒ ｃ ： ｎ ｅ ｐ ｌｔ ｓ ｍ ｏ ｔ ｎ ｎ ｍｕ ｇ ｉ ｍｅ ｈ ｄ ．Ｔｈ ｉｅ ｒｉ ｔ ｒ ｏ ａ ｉ ｎ ｉ ｓ ｅ ｅ ａ ｌ ｈ ｎ ｉｈ ｏ ｄ ｅ ｌ ａ ｎ ｅ ｐ ｌ ｔ ｕ ｅｉ ｇ ｎ ｒ ｌ ｔ ｅｏ ｅ ｗｈ ｃ ｎ ｏ ｎ ｓ ｙ
２０ 年 １ ０８ Ｏ月
三次插值在瀑布型 多重 网格 法中的应用
李 明 ， 李郴 良 ，匡前义 董晓亮。 ，
（． 林 电 ｑ科 技 大 学 数 学 与计 算科 学学 院 ， 西 桂 林 １桂 － 广 ５ １０ ； ４ ０ ４ ２ 北 方 民族 大 学 信 息 与 计 算科 学学 院 ， 夏 银 川 ７０ ２ ） ． 宁 ５ ０ １
一类非对称椭圆问题瀑布型多重网格法
摘
要
关键词
本文将瀑布型多重 丹格法用于求解非对称椭 圆边值问题 数 值 结 最 表 明 算 法 是 有教 的 善布 型多重 网格法 椭圆问题
，
ＣＡＳ ＣＡＤＥ Ｕ ＬＴＩ Ｍ ＧＲＩ Ｍ ＥＴＨ ＯＤ Ｄ ＦＯＲ Ｏ ＬＶＩ Ｓ ＮＧ
００ ．９ ０１ ．２ ０１ ．７ ０ ３ ．ｌ ０８ ． ５ ３ ０ ．２ １． １ １ ９
３１７Ｅ一 ３ ．１２ ８ ４０Ｅ一 ４ ． ７３ ３ １３Ｅ一 ４ ．３ ９ １ １２Ｅ一 ４ ． ３ ９ ５ １０Ｅ一 ５ ． ５ ４ ２ ３０Ｅ一 ５ ． ２１ ９ ３０Ｅ— ．４ ８ —６
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Ｙｉ ｇｕ ｉｎ Ｊｎ ｉｇ Ｚ ｎ ｎ ｊ ｎＪａ ｇ ｉｐｎ ｅ ｇ
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其中
是对称 问题 Ａ（ ，）＝ （ ）～ （； （ ∈ Ｖ 的 ｍ 次 基本 自然 科 学 基金 资 助 （０ ７ ０ ７ １０１１） 舒 适 教 授 推荐 收 稿 日期 ０ １ ｌ ２０ 年 Ｏ月 ２ ５日
维普资讯
８
敷 学 理 论 与 应用
第２ １卷
采 用 Ｂ ｒｍａ ｎ ２ ｏｅ ｕ ［ ］的选 取方 法 ， 即 ｍ， ［ ＝ ２ 一 ］＋ １
２ 数值结果 ．
ｆ １＜ 卢＜ ７ 一 １ 一 １ ２ …， 当 ＞ １时 ， ｄ４ ， ， Ｊ， ＝ １ Ⅱ — Ｊ， Ｊ Ｊ一 １ ２ … ＋ 当 Ｔ ， ， Ｊ＋ ｄ＝ １ ， 时 ＝ １ 叶 一 ，， ｌ ２ … ＋ ７ 一 ， Ｊ 当 ｄ＜ １ ． 时 ＋ ／ ２＋ “＝ ｓ （ ） 北ｏ （ ） ２ ｓ （ ｘ ＋ 一 １ １ ｍ ： １ 真解 为 ｓ （ ｘ ｉ ｎ ＋ ｎ ｓ ／ ＋ ｉ ￣ ） ａ ｎ ．， ， ｉ ｕ） ｎ
一类求解广义特征值问题的瀑布型多重网格法
一类求解广义特征值问题的瀑布型多重网格法白建军;胡晔【摘要】将满足Lipschiz条件的连续电磁场Maxwell方程组的广义特征值问题,利用有限元离散转化为线性方程组后,提出了一种新的基于并行保域逆迭代法的外推瀑布型多重网格法求解线性方程组的广义特征值问题.数值试验结果表明,该方法简单易行,与一般共轭梯度法作为磨光算子相比精度更高,有效地减少了运算时间,提高了运算效率.【期刊名称】《长江大学学报（自然版）理工卷》【年(卷),期】2013(010)012【总页数】3页(P1-3)【关键词】瀑布型多重网格法;广义特征值;外推方法;保域迭代法【作者】白建军;胡晔【作者单位】吕梁学院数学系,山西吕梁033000;吕梁学院数学系,山西吕梁033000【正文语种】中文【中图分类】O241.82笔者研究满足Lipschiz条件的常系数连续电磁场Maxwell方程组［1］，即求向量场u满足：式中，Ω∈R2为连通多项式域，∂Ω表示Ω∈R2的边界；n表示∂Ω的外法向单位向量。
通过有限元离散，最终将式（1）中特征值的计算转化为求解线性方程组的问题，对于大型矩阵计算问题，笔者以并行保域逆迭代法为光滑子，结合新外推方法提出一类求解广义特征值的方法。
1 有限元离散为了离散式（1），先将区域Ω作三角剖分。
根据变分原理［2－5］，由有限元逼近［4］将问题转化为：求并且：其中，p为拉格朗日乘子令和分别为V h和Qh的标准有限元基函数：定义：则式（2）和式（3）可导成A X＝λB X形式。
其中，A和B都是n×n实矩阵。
2 光滑过程并行保域逆迭代算法（PDS）周树荃［6－7］等提出并行保域逆迭代算法有效避免了漏根、迭代过程的不收敛等缺点，提高了解的精度。
算法1（对称不定矩阵LDL T分解在标准存储格式下的并行计算）由于矩阵A∈R n×n具有对称性，利用该算法求单位三角矩阵L＝（lij）和对角方阵D，使A＝LDL T成立。
多重网格法简介（MultiGrid）
多重⽹格法简介（MultiGrid）多重⽹格法是⼀种⽤于求解⽅程组的⽅法，可⽤于插值、解微分⽅程等。
从专业⾓度讲多重⽹格法实际上是⼀种多分辨率的算法，由于直接在⾼分辨率（⽤于求解的间隔⼩）上进⾏求解时对于低频部分收敛较慢，与间隔的平⽅成反⽐。
就想到先在低分辨率（间隔较⼤）上进⾏求解，因为此时，间隔⼩，数据量⼩，进⾏松弛时的时空耗费⼩，⽽且收敛快，⽽且⼀个很重要的优点是在低分辨率上对初值的敏感度显然要低于对⾼分辨率的初值的要求。
这⼀点是显⽽易见的，例如我们平时看⼀个很复杂的物体，在很远的地⽅，你可能就觉得它是⼀个点或⼀个球，但是在近处你就不能这么近似，或许发明多重⽹格法的⼈就是从这⼀基本⽣活常识发现的吧。
多重⽹格法可以直接在低分辨率上以⼀个随意的初值进⾏计算，然后再进⾏插值，提⾼其分辨率，再在更⾼分辨率进⾏计算；也可以现在⾼分辨率以随意初值进⾏计算，得到⼀个结果，再将其限制（插值）到低分辨率去，再在低分辨率上进⾏解算，最终再从低分辨率经插值计算达到⾼分辨率。
有关多重⽹格法的资料可以到这⾥下载：多重⽹格技术（multigrid solver）微分⽅程的误差分量可以分为两⼤类，⼀类是频率变化较缓慢的低频分量；另⼀类是频率⾼，摆动快的⾼频分量。
⼀般的迭代⽅法可以迅速地将摆动误差衰减，但对那些低频分量，迭代法的效果不是很显著。
⾼频分量和低频分量是相对的，与⽹格尺度有关，在细⽹格上被视为低频的分量，在粗⽹格上可能为⾼频分量。
多重⽹格⽅法作为⼀种快速计算⽅法，迭代求解由偏微分⽅程组离散以后组成的代数⽅程组，其基本原理在于⼀定的⽹格最容易消除波长与⽹格步长相对应的误差分量。
该⽅法采⽤不同尺度的⽹格，不同疏密的⽹格消除不同波长的误差分量，⾸先在细⽹格上采⽤迭代法，当收敛速度变缓慢时暗⽰误差已经光滑，则转移到较粗的⽹格上消除与该层⽹格上相对应的较易消除的那些误差分量，这样逐层进⾏下去直到消除各种误差分量，再逐层返回到细⽹格上。
一类非线性椭圆问题的瀑布型多重网格法
ｃ
ｃ ｓ ａ ｅ ｄ兰 １
１ 言 ．引
多重 网格法 产生 １６ ９ ０年 代 ， １ ７ 于 ９ ０年 代 末 以 来 获 得 迅 速 发 展 它 是 求 解 椭 圆 型 方 程 边 值 问题 的一种 有 救的迭 代解法 ． 为多重 网格 法 的一 类 —— 瀑布 型 多重 网格法 ， 优点 在于 不 作 其
祝 耐 金 周 叔子 （ 南大 学应 用数 学 系， 沙， １ ０ ２ 湖 长 ４ ０８ ）
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设 ・ ， ０ ｌ … ， 是 嵌 套 的 拟 一 致 三 角 剖 分 ， 应 的 线 性 协 调 有 限 元 空 间 为 ． 解 “ Ｊ＝ ， ， 相 弱
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虑 了拟线性 问题 ， 明 了最 优 收敛 阶， 证 保证 非线性 问题与 线性 问题 工作 量 相当 本 文 则 把 第 一 类算 法推广到 瀑布 型多重 网格法．
．
本 文其 余部 分 结构如下 ： ２节 陈述问题 及相关 算法 ； ３节列 出在 固定网络层 敷之 下一 第 第 维及二维 的数 值实 验结果 ； ４节 给 出一维 半线性 问题 关于 该算法 的收敛性结 要 第
， 一（ ； ，口 － （ ｚ， ） ） ， ）４ （
，ｊ
，
２２ 算 法 （ ． 瀑布 型 多重 网络算 法） ：
讲稿多重网格算法及平均现象的解释课件
05 总结与展望
CHAPTER
本课程内容的总结
01
02
03
04
介绍了多重网格算法的基本原 理和实现方法，包括网格生成 、离散化、迭代求解等步骤。
讲解了多重网格算法在解决流 体动力学、电磁学等领域中的
实际应用和优势。
探讨了多重网格算法的平均现 象及其在收敛速度和精度方面
的作用。
通过案例分析和实验验证，展 示了多重网格算法在实际问题
主题目的
通过本次课程，使学员了解多重网格算法的基本原理、平均现象的概念及其在 算法中的作用，掌握相关计算技巧，提高解决实际问题的能力。
课程目标
01
掌握多重网格算法的基 本原理和实现方法；
02
理解平均现象的概念、 性质及其在算法中的作 用；
03
学习如何应用多重网格 算法解决实际问题；
04
提高学员的数值计算能 力和科学素养。 Nhomakorabea平均现象的实例分析
通过具体例子解释平均现象
例如，一组学生的考试成绩分别为80分、90分、70分、85分、95分，那么这组数据的平均成绩为85 分，即 $overline{x} = frac{1}{5} (80 + 90 + 70 + 85 + 95) = 85$。这个平均成绩代表了这组数据 的集中趋势。
03 平均现象的解释
CHAPTER
平均现象的定义
简述平均现象的概念
平均现象是指在一组数据中，所有数据之和除以数据的个数得到的数值。这个数 值代表了这组数据的集中趋势，反映了一组数据的“平均水平”。
平均现象的数学模型
介绍平均现象的数学公式
平均数的数学模型为 $overline{x} = frac{1}{n} sum_{i=1}^{n} x_i$，其中 $n$ 是数据的个数，$x_i$ 是每一个数据， $overline{x}$ 是平均数。
一类新的瀑布型代数多重网格方法
（ ＣＭ Ｇ ）ｍｅ ｈ ｄ ａ ｄ ａｇ ｂ ａｃ ｍｕ ｔ ｒ ＡＭ Ｇ）ｍｅ ｈ ｄ Ｔｈ ｅ ｕ ｔｏ ｍｅ ｉｌ ｘ ｅ ｉ ｎ ｓ ｓ ｏ ｔ ｏ ｎ ｌｅ ｒ ｉ ｌｉ ｉ ｇ ｄ（ ｔ ｏ ． ｅ ｒ ｓ ｌ ｆＮｕ ｒ ｐ ｒｍｅ ｔ ｈ ｗ ａ ｅ
多 重 网格 （ ＭＧ） 方法 是 偏 微 分 方 程 问题 的数 值
法 ， 不需 要校正 步 ， 它 方法 也得 到 了进 一步 的完善 引 ． 本文 结 合 Ｃ ＭＧ法 和 ＡＭＧ 法 的思 想 ， 出一类 提 瀑 布型 代数 多重 网格 （ ＡＭＧ） ． Ｃ 法
维普资讯
广西科 学 Ｇｕ ｎ ｘ ｃ ｎ ｅ ０ ８ １ （ ） １ ２ ４ ａ ｇ ｉ ｉ ｃｓ ０ ， ５ ２ ：４ ￣１ ４ Ｓｅ ２
一
类 新 的 瀑 布 型 代 数 多 重 网 格 方 法
Ａ ｗ ｓ ａ ｉ ｅ ｒ ｉ ｕ ｇ ｉ ｅ ｈ ｄ Ｎｅ Ｃａ ｃ ｄ ｃ Ａｌ ｂ ａ ｃ Ｍ ｌ ｉ ｒｄ Ｍ ｔ ｏ ｇ ｔ
５ １ ０ ；２ 北 方 民族 大学 信息 与计算 科 ４ ０４ ．
（ ． ｃ ｏ ｌｏ ｎ ｏ ｍａ ｉｎ ａ ｄ Ｃｏ ｕ ａ ｉｎ Ｓ ｉｎ ｅ Ｇｕ ｌ ｉｅ ｓ ｙ ｏ ｅ ｔ ｏ ｉ Ｔｅ ｈ ｏ ｏ ｙ， １ Ｓ ｈ ｏ ｆ Ｉ ｆ ｒ ｔ ｎ ｍｐ ｔ ｔ ｃ ｃ ， ｉ ｎ Ｕｎ ｖ ｒ ｉ ｆ Ｅｌｃ ｒ ｎｃ ｏ ｏ ｅ ｉ ｔ ｃ ｎ ｌｇ
解二阶椭圆型变分不等式的瀑布型多重网格法
Ａ ｓ ｒ ｃ Ｉ ｈｓ ｐ ｐ ｒ ｗｅ ｐ ｏ ｏ ｅ ａ ｃ ｓ ａ ｅ ｍ ｕ ｔ ｒ ｔ ｏ ｏ ｏ ｖ ｎ ｌｉ ｔ ａ ｉ ｔ ｎ ｌｉ ｅ ｕ ｌ ｉ ｂ ｉ ａ ｔ ｎ ｔ ｉ ａ ｅ ， ｒ ｐ ｓ ａ ｃ ｄ ｌ ｇ ｌ ｍｅ ｈ ｄ ｆ ｒｓ ｌｉ ｇ ｅ ｌ ｉ ｖ ｒ ｉ ａ ｎ ｑ ａ ｉ ｅ ｉ ｄ ｐ ｃ ａ ｏ ｔｓ Ｎｕ ｒ ａ ｅ ｔ ｒ ｉｅ ｏ ｓ ｏ ｔ ａ ｈ ｌ ｏ ｉｈ ｉ ｆ ｃ ｉｅ ｍｅ ｉ ｌ ｓ ｓ ８ ｇ ｖ ｎ ｔ ｈ ｗ ｈ ｔｔ ｅ ａ ｇ ｒ ｔ ｍ ｓｅ ｆ ｔ － ｃ ｔ ｅ ｖ Ｋｅ ｗｏ ｄ Ｃａ ｃ ｄ ｃｍｕ ｇ ｉ ｔ ｏ ｅｌ ｔ ｒ ｂ ｅ ｙ ｒｓ ｓａ ｉ ｈｉ ｒ ｍｅ ｈ ｄ； ｔ ｐ ｉ ｐ ｏ ｌ ｍｓ ｄ ｉ ｅ
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ｍ ｌ 迭 数 ｌ网 ｌ最 网 数 ｌ 一 精 ， 代次 层 细 未知 度 ２ ｌ １ ， ，２ ｌ ４ ｌ ３ ９ ４ ３ ８ ８５， ６ ｌ ０ ０ ６ ．９ ０４ ２ Ｉ２， ８ ５ ，５ ５ ｌ １ ２ ２１ ， ， ２ ９ ６ ４３８ ６ ｌ ０ ０ １ ．４ ０６
１ ．问题 与 算 法
设 ０为 Ｒ 中 的 有 界 开 域 （ ＝ １ ２ ， 为 日 ０）中 的 闭 凸子 集 ： ＝ ｛ ５０） ｄ ， ）Ｋ （ 口∈ （ ：
于 ０｝其 中 ∈ Ｈ ０）为已知 函数 。 ， （ 且满足 ９ 舶≤ ０ 考 虑如 下变分 不等式 ： ， ｔ ． 求 ∈ Ｋ 使得
ｄ 一 ） （ 口一 ）Ｖ 口∈ Ｋ ， （， ≥ ，， ，
其中ｎ ・ ・ （ ， ）为双线 性型 ， ，为 已知 函数． 则我 们可 构造瀑 布型多重 网格法 ：
小波瀑布型多重网格法
Ｔｈｅ ｗａ ｖ ｅ ｌ ｅ ｔ ｃ ａ ｓ ｃ ａ ｄｉ ｃ ｍｕ ｌ ｔ ｉ ｇ ｒ ｉ ｄ ｍｅ ｔ ｈｏ ｄ
Ｈｕ Ｙｏ ｎｇｍ ｉ ｎｇ，Ｃａ ｉ Ｒｕｈｕ ａ， Ｉ Ａ Ｃｈｅ ｎｌ ｉ ａ ｎ ｇ
（ Ｓ ｃ ｈ ｏ ｏ ｌ ｏ ｆ Ｍａ ｔ ｈ ｅ ｍａ ｔ ｉ ｃ ｓ ａ ｎ ｄ Ｃｏ ｍｐ ｕ ｔ ａ ｔ ｉ ｏ ｎ ａ ｌ Ｓ ｃ ｉ ｅ ｎ ｃ ｅ ，Ｇｕ ｉ ｌ ｉ ｎ Ｕｎ ｉ ｖ ｅ ｒ ｓ ｉ ｔ ｙ ｏ ｆ Ｅｌ ｅ ｃ ｔ ｒ ｏ ｎ ｉ ｃ Ｔｅ ｃ ｈ ｎ ｏ ｌ ｏ ｇ ｙ。Ｇｕ ｉ ｌ ｉ ｎ ５ ４ １ ０ ０ ４，Ｃｈ ｉ ｎ ａ ）
第３ ４卷
第 ２期
桂 林 电 子 科 技 大 学 学 报
Ｊ ｏ ｕ ｒ ｎ ａ ｌ ｏ ｆ Ｇｕ ｉ ｌ ｉ ｎ Ｕｎ ｉ ｖ ｅ ｒ ｓ ｉ ｔ ｙ ｏ ｆ Ｅｌ ｅ ｃ ｔ ｒ ｏ ｎｉ ｃ Ｔｅ ｃ ｈ ｎ ｏ ｌ ｏ ｇ ｙ
ＶｏＬ ３ ４， ＮＯ． ２
Ａｂ ｓ ｔ ｒ ａ ｃ ｔ ： Ｉ ｎ ｏｒ ｄ ｅ ｒ ｔ Ｏ ｉ ｍ ｐｒ ｏ ｖｅ ｔ ｈｅ ｃ ａ ｌ ｃ ｕ ｌ ａ ｔ ｉ ｏｎ ａ ｃ ｃ ｕ ｒ ａ ｃ ｙ ｏ ｆ ｔ ｈ ｅ ｄｉ ｆ ｆ ｅ ｒ ｅ ｎｔ ｉ ａ ｌ ｅ ｑ ｕａ ｔ ｉ ｏｎ， ｔ ｈｅ ｆ ａ ｓ ｔ ｃ ｏ ｎｖｅ ｒ ｇ ｅ ｎｃ ｅ ｏ ｆ ｃ ａ ｓ ｃ ａ ｄｉ ｃ ｍｕ ｈｉ ｇｒ ｉ ｄ ｍｅ ｔ ｈｏ ｄ ａ ｎ ｄ ｔ ｈ ｅ ｐｒ ｏｐ ｅ ｒ ｔ ｉ ｅ ｓ ｏ ｆ ｗａ ｖ ｅ ｌ ｅ ｔ ｍｕ ｌ ｔ ｉ ｒ ｅｓ ｏｌ ｕｔ ｉ ｏｎ ａ ｎ ａ ｌ ｙｓ ｉ ｓ ａ ｒ ｅ Ｃｏ ｎｓ ｉ ｄ ｅ ｒ ｅ ｄ ． Ｂｙ ｃ ｈ ａ ｎｇ ｉ ｎ ｇ ｔ ｈ ｅ ｉ ｎｔ ｅ ｒ ｐｏｌ ａ ｔ ｉ ｏｎ ｉ ｎ ｔ ｈ ｅ ｔ ｒ ａ ｄｉ ｔ ｉ ｏ ｎａ ｌ ｃ ａｓ ｃ ａ ｄｉ ｃ ｍ ｕｌ ｔ ｉ ｇ ｒ ｉ ｄ ｍｅ ｔ ｈｏ ｄ，ａ ｎｅ ｗ ｃ ａ ｓ ｃ ａ ｄｉ ｃ ｍ ｕｌ ｔ ｉ ｇｒ ｉ ｄ ｍｅ ｔ ｈ ｏｄ ｉ ｓ ｐｒ ｅ ｓ ｅ ｎ ｔ ｅ ｄ． Ｔｈｅ ｎ ｕｍ ｅ ｒ ｉ ｃ ａ ｌ ｒ ｅ ｓ ｕｌ ｔ ｓ ｓ ｈ ｏｗ ｔ ｈａ ｔ ｔ ｈｉ ｓ Ｄｅ ｗ ｍｅ ｔ ｈ ｏｄ ｉ ｓ ｍ ｏｒ ｅ ｅ ｆ ｆ ｅ ｃ ｔ ｉ ｖ ｅ ｔ ｈ ａ ｎ ｔ ｈｅ ｔ ｒ ａ ｄｉ ｔ ｉ ｏ ｎ ａｌ ｃ ａ ｓ ｃ ａ ｄｉ ｃ ｍｕ ｌ ｔ ｉ ｇｒ ｉ ｄ ｆ ｏ ｒ ｔ ｈｅ ｐ ａ ｒ ｔ ｉ ａ ｌ ｄ ｉ ｆ ｆ ｅ ｒ ｅ ｎｔ ｉ ａ ｌ ｅ ｑｕ ａ ｔ ｉ ｏｎ．
讲稿多重网格算法及平均现象的解释
讲稿多重网格算法及平均现象的解释多重网格算法（Multigrid Algorithm）是一种用于解决偏微分方程数值解的迭代方法，其特点是通过在不同的网格层次上进行逐层求解来提高算法的效率。
而平均现象（Averaging Phenomenon）则是指在多重网格算法中，粗网格上的误差和精细网格上的误差之间能够通过一种平均的方式相互影响和传播，最终使得算法收敛速度加快。
多重网格算法首先将原始问题离散化为不同层次的网格，通常包括粗网格和细网格。
在每一层次上，算法通过迭代求解来逼近问题的解，然后将该解传递到相邻的层次上。
在粗网格上，由于离散化程度较低，计算量相对更小，因此可以高效地求解近似解。
而在细网格上，精度较高，可以更准确地求解。
通过在不同层次间多次迭代，最终得到问题的数值解。
在多重网格算法中，平均现象是使算法收敛速度加快的关键。
在每一次迭代中，粗网格上的解被传递到细网格上，而细网格上的误差则通过一种平均的方式传回到粗网格上。
这种误差传递和平均化的过程使得细网格上的误差被平滑和减少，同时将误差传播回粗网格上，从而进一步减小粗网格上的误差。
通过多次迭代，误差逐渐减小，最终达到问题的收敛。
平均现象可以通过以下两个方面来解释:1. 粗网格修正：在每一层次的求解过程中，细网格上的误差通过插值传递到粗网格上。
通常采用的插值技术是限制性平均（Restriction Average），即对于每个细网格上的误差点，通过计算其周围的粗网格节点值的平均来修正。
这样，细网格上的误差会通过平均操作在粗网格上逐渐减小。
2. 细网格修正：在每一层次的求解过程中，粗网格上的解通过插值传递到细网格上。
通常采用的插值技术是延拓平均（Prolongation Average），即对于每个粗网格上的解点，通过计算其周围的细网格节点值的平均来修正。
这样，粗网格上的解会通过平均操作在细网格上逐渐修正。
通过以上两种修正方式，多重网格算法中的平均现象得以实现。
Wilson元和Mortar型Wilson元的经济的瀑布型多重网格法的开题报告
Wilson元和Mortar型Wilson元的经济的瀑布型多重网格法的开题报告题目：Wilson元和Mortar型Wilson元的经济的瀑布型多重网格法背景与意义：在计算物理学中，求解偏微分方程是一个非常重要的问题，其中最重要的方程之一就是拉普拉斯方程。
研究拉普拉斯方程的求解方法可以为工程学、物理学、数学等领域提供有用的工具。
而瀑布型多重网格法是求解拉普拉斯方程的一种有效的方法。
瀑布型多重网格法是一种求解偏微分方程的迭代方法，其主要思想是利用网格逐渐加密的特点，通过多级网格的逼近来加速求解过程。
在瀑布型多重网格法中，每个网格被视为一个节点，节点之间有相互连接的关系，通过不断逐级求解来迭代求解各个节点的解。
Wilson元和Mortar型Wilson元是瀑布型多重网格法的两种常见的元素，主要用于处理非结构化网格的情况。
它们相较于传统的有限元方法具有更高的精度和效率。
本研究的目的是探究Wilson元和Mortar型Wilson元的经济的瀑布型多重网格法，研究其在解决实际问题中的应用和效果，为实际工程问题的计算提供参考和指导。
研究内容：1. 瀑布型多重网格法的理论概述与应用；2. Wilson元和Mortar型Wilson元的原理与特点；3. 经济的瀑布型多重网格法的算法流程；4. 经济的瀑布型多重网格法的实际应用；5. 实验与分析。
研究方法：1. 文献综述法：通过查阅相关文献，系统地了解瀑布型多重网格法、Wilson元和Mortar型Wilson元的理论和应用；2. 理论分析法：对瀑布型多重网格法的基本原理进行理论分析，对Wilson元和Mortar型Wilson元进行分析，并探究其在瀑布型多重网格法中的特点和优势；3. 算法设计法：根据理论和研究目的，设计经济的瀑布型多重网格法的算法流程；4. 实验分析法：通过实验验证经济的瀑布型多重网格法在解决实际问题中的效果，并与传统有限元方法进行对比分析。
预期成果：1. 得出Wilson元和Mortar型Wilson元的瀑布型多重网格法的优势和局限性；2. 设计实现经济的瀑布型多重网格法的算法流程；3. 通过实验验证经济的瀑布型多重网格法的效率和精度，并与传统有限元方法进行对比分析；4. 提出一些改进和优化的思路，为解决实际问题提供参考和建议。
矢量波动方程的新瀑布型多重网格方法
矢量波动方程的新瀑布型多重网格方法
陆康梅;李郴良;曹艳斌
【期刊名称】《云南民族大学学报（自然科学版）》
【年(卷),期】2011(020)004
【摘要】矢量有限元因能有效地避免伪解而被广泛用于模拟分析电磁问题,选取矢量有限元对电磁场矢量波动方程进行离散计算.基于本征有限元外推技术,将有限元外推技术推广应用到矢量波动方程本征问题,并结合瀑布型多重网格方法提出了一种基于矢量场本征问题的外推瀑布型多重网格方法.算例说明新方法是一种具有高精度的有效方法.
【总页数】5页(P267-271)
【作者】陆康梅;李郴良;曹艳斌
【作者单位】桂林电子科技大学数学与计算机科学学院,广西桂林541004;桂林电子科技大学数学与计算机科学学院,广西桂林541004;桂林电子科技大学数学与计算机科学学院,广西桂林541004
【正文语种】中文
【中图分类】O241.82
【相关文献】
1.求解椭圆型界面问题的新瀑布型多重网格法 [J], 贾学良;李郴良
2.求解椭圆型界面问题的经济的瀑布型多重网格方法 [J], 董白英;李郴良;陈耀庚
3.求解高次有限元方程的外推瀑布型多重网格法 [J], 李明;崔向照;赵金娥
4.求解二次Lagrangian有限元方程的瀑布型多重网格法 [J], 李明;李郴良
5.一类新的瀑布型代数多重网格方法 [J], 黄传勇;李郴良;董晓亮
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Mortar型旋转Q1元的瀑布型多重网格方法
Mortar型旋转Q1元的瀑布型多重网格方法黄佩奇;王锋;陈金如【期刊名称】《南京师大学报（自然科学版）》【年(卷),期】2007(030)004【摘要】In this paper, the cascadic multigrid method for mortar-type rotated Q1 element is discussed. It is proved that the cascadic conjugate gradinet method is optimal and the cascadic multigrid method with traditional iteration is nearly optimal. Numerical results confirm our theoretical analysis.%展现了mortar型旋转Q1元的瀑布型多重网格方法.证明了采用共轭梯度作为光滑子的瀑布型多重网格法是最优的,而采用其它传统迭代作光滑子的瀑布型多重网格法是拟最优的.并通过数值试验验证了我们的理论结果.【总页数】8页(P20-27)【作者】黄佩奇;王锋;陈金如【作者单位】南京林业大学应用数学系,江苏,南京,210037;南京师范大学数学与计算机科学学院,江苏,南京,210097;南京师范大学数学与计算机科学学院,江苏,南京,210097【正文语种】中文【中图分类】O242.21【相关文献】1.Mortar型旋转Q1元多重网格的网格转移算子 [J], 姜亚琴;徐为2.一类Mortar型旋转Q1元的多重网格方法 [J], 姜亚琴3.非对称不定问题Mortar型旋转Q_1元的多重网格方法 [J], 黄佩奇4.一种Mortar型旋转Q1元方法 [J], 姜亚琴5.Mortar型旋转Q1元的V循环多重网格 [J], 田蓓艺;姜亚琴;陈金如因版权原因，仅展示原文概要，查看原文内容请购买。
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第33卷第9期 西南大学学报(自然科学版) 2011年9月V o l .33 N o .9J o u r n a l o f S o u t h w e s tU n i v e r s i t y (N a t u r a l S c i e n c eE d i t i o n )S e p. 2011文章编号:16739868(2011)09002203基于外推公式的瀑布型多重网格法①李 明1, 李郴良2, 李 灿11.红河学院数学学院,云南蒙自661100;2.桂林电子科技大学数学与计算科学学院,广西桂林541004摘要:将新外推公式㊁经典外推公式和三次样条插值相结合,作为插值算子为细层提供较好的初始值,并构造了一种瀑布型多重网格法,数值实验表明,该算法效率更高.关 键 词:新外推公式;经典外推公式;三次样条;瀑布型多重网格法中图分类号:O 241.6文献标志码:A上个世纪90年代初,文献[1]提出了瀑布型多重网格(C MG )法.这种算法具有结构简单㊁计算效率高的优点.一般地,C MG 法采用自然延拓的方式(线性插值)得到下一层迭代的初始值,然后在该层上采用相应的迭代法.文献[2]通过构造一个较好的插值算子来得到下一层迭代的初始值,提高了收敛速度.文献[3-5]提出了新外推公式,并提出了新外推瀑布型多重网格法.基于文献[2-5]的思想,为了给细层提供精度更好的初始值,本文将新外推公式㊁经典外推公式和三次样条插值相结合,作为插值算子为细层提供较好的初始值,即在最粗层到次细层之间采用新外推公式和三次样条插值作为插值算子,为下一层提供初始值,而在次细层到最细层之间使用经典外推公式和三次样条插值,为最细层提供初始值,并构造了一种瀑布型多重网格法.数值实验表明,新算法的计算效率优于文献[3-5]中的算法,能更快求出有限元方程的高精度近似解.本文考虑如下一维椭圆型问题:-Δu +αu ᶄ+βu =f ,i n Ωu =p ,o n∂{Ω(1)其中:α,β,f ,p 为已知函数;Ω为一维有界凸区域.对问题(1)采用线性L ag r a n g e 有限元离散,设Zh j是区域Ω的有限元均匀剖分,h j =h 02j 为剖分步长.将剖分Z h j 中的单元取中点,产生细网格剖分Z h j +1.为了便于描述,用下标1,2, ,M 来表示网格层由细到粗.记网格Z h j对应的有限元方程为A j u j =F jj =1,2, ,M (2)其中:u j 中分量不对应Di r i c h l e t 边界的节点,M 表示粗细网格的层数.1 经典的外推公式和新外推公式文献[6]指出,要提高有限元解的精度,大致分为3种途径:采用高次元㊁加密网格㊁使用外推法.前两种方法都会导致节点数的增加,从而增加方程(2)的求解难度,比较好的做法是使用外推法.早在上个世纪70年代后期,陈传淼㊁林群等开始对外推法进行深入研究[6-8].这里简单介绍经典的外推公式和新外推①收稿日期:20100308基金项目:红河学院硕博项目(X J 1S 0925);广西科学研究与技术开发计划项目(桂科基0731018).作者简介:李 明(1983),男,湖南长沙人,讲师,硕士,主要从事偏微分方程数值解的研究.公式.假设已知Z h ,Z h /2网格上对应的有限元方程的高精度近似解如下Z h :{u h i ,u h i +1} Z h /2:{u h /2i ,u h /2i +1/2,u h /2i +1}利用这5个节点值,可以构造出Z h /2网格上更逼近有限元解的近似解.O E u h /2l =(4u h /2l -u hl )/3 l =i ,i +1O E u h /2i +1/2=u h /2i +1/2+12(u h i +u h i +1)-(u h /2i +u h /2i +1[])(3)近两年,陈传淼教授指出,用传统的外推值为瀑布型多重网格法中的细网格Z h /2提供初值过分精确,过于靠近问题真解,却和该层上的有限元解有一定误差,这需要使用多次迭代来磨光这种误差.基于这种考虑,文献[3-5]提出新外推公式,使得新的外推值更接近有限元解u h /4,具体公式如下:N E u h /2l =u h /2l +(u h /2l -u hl )/4 l =i ,i +1N E u h /2i +1/2=u h /2i +1/2+18(u h /2i -u h i +u h /2i +1-u hi +1)(4)由上式可求得Z h /2上的高精度近似解{N E u h /2i ,N E u h /2i +1/2,N E u h /2i +1}.这里O E u ,N E u 分别表示采用经典外推公式和新外推公式得到的近似解.2 基于外推公式的瀑布型多重网格法文献[3-5]结合新外推公式和二次插值作为插值算子,即先由Z h 上的{u h i ,u hi +1}和Z h /2上的{u h /2i ,u h /2i +1/2,u h /2i +1},采用新外推公式得到Z h /2上的更逼近于该层有限元解的近似解{N E u h /2i ,N E u h /2i +1/2,N E u h /2i +1},接着利用二次插值,由{N E u h /2i ,N E u h /2i +1/2,N E u h /2i +1}插值得到Z h /4上的初始值.不过,二次插值只能得到O (h3)的插值精度,因此还需要对细层上的数值解进行多次磨光,以弥补二次插值精度偏低的不足.本文设计的算法过程如下:算法1 改进的瀑布型多重网格(C C MG )法步骤1 最粗层上精确求解:u *M =A M \F M ;步骤2 次粗层上精确求解:u *M -1=A M -1\F M -1;步骤3 f o r j =M -2, ,2使用新外推:u ɡj +1=N E (u *j +1,u *j+2);使用三次样条插值得到第j 层上的初始值:u 0j =S ju ɡj +1,磨光:u *j =C G (u 0j );e n d步骤4 使用经典外推:u ɡ2=O E (u *2,u *3),使用三次样条插值得到第j 层上的初始值:u 01=S 1u ɡ2,磨光:u *1=C G (u 01).注:O E 为经典外推公式(见式(3)),N E 为新外推公式(见式(4)),S j 为第j 层上的三次样条插值算子,C G 为共轭梯度算子,磨光终止条件可取为相邻两次迭代值的2范数误差小于等于10-6.3 数值实验为了验证本文算法的有效性,给出如下数值实验.算例1[3,6]-u ᵡ(x )+u (x )=1,x ɪ(0,1),u (0)=u ᶄ(1)=0,其中,真解u =1-c o s h (1-x )/c o s h 1.对算例1,采用线性有限元一致网格离散.实验结果见表1,其中:M 表示多重网格法的重数,m e s h 表示最细层上的有限元单元数,E r r 1为数值解与问题真解之间的能量误差,磨光步中的数值从左到右对应粗层到细层上的磨光步数.32第9期 李 明,等:基于外推公式的瀑布型多重网格法表1 算例1的数值结果M m e s h 文献[5]中的算法E r r 1磨光步/步运行时间/s 算法1E r r 1磨光步/步运行时间/s 31281.8007e -00610.00132.2174e -00810.00102564.4658e -00710.00192.3886e -00910.00135121.1142e -00710.00222.7061e -01010.001510242.7849e -00810.00313.3525e -01110.002741281.9295e -0062,10.00281.4865e -0071,10.00222564.8049e -0071,10.00301.4061e -0081,10.00245121.1363e -0071,10.00361.3607e -0091,10.002510242.7982e -0081,10.00391.3740e -0101,10.003020486.9776e -0091,10.00531.7897e -0111,10.004151283.0350e -0063,2,10.00271.4406e -0061,1,10.00242567.0784e -0072,1,10.00311.3666e -0071,1,10.00305121.7976e -0071,1,10.00411.2854e -0081,1,10.003910243.3019e -0081,1,10.00651.2181e -0091,1,10.0061从表1可以看出,与文献[5]中的算法相比,本文设计的算法1具有计算时间短㊁计算精度高的优点.特别地,剖分每加密一次,计算精度也相应提高一个量级.由于本文设计的插值算子能给细层提供更好的初始值,所以各层上所需的磨光步较少,随着网格的加密,仅通过插值就能得到高精度近似解.因此,本文设计的算法1能更快更精确地求出问题(1)的数值解.参考文献:[1]B O R N E MA N N F ,D E U F HA R D P .T h eC a s c a d i c M u l t i g r i d M e t h o df o rE l l i pt i cP r o b l e m s [J ].N u m e r M a t h ,1996,42(9):917-924.[2] 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n i v e r s i t y ,M e n gz i Y u n n a n 661100,C h i n a ;2.S c h o o l o fM a t h e m a t i c sa n dC o m p u t a t i o n a l S c i e n c e ,G u i l i nU n i v e r s i t y o f E l e c t r o n i cT e c h n o l o g y ,G u i l i nG u a n gx i 541004,C h i n a A b s t r a c t :An e we x t r a p o l a t i o n f o r m u l a ,t h e c l a s s i c e x t r a p o l a t i o n f o r m u l a a n d c u b i c s p l i n e i n t e r p o l a t i o na r e c o m -b i n e d a s a n i n t e r p o l a t i o n o p e r a t o r t o p r o v i d e a b e t t e r i n i t i a l v a l u e o n r e f i n e d g r i d ,a n d a c a s c a d i cm u l t i gr i dm e t h o d i s d e s i g n e d i n t h i s p a p e r .T h e n u m e r i c a l e x pe r i m e n t r e s u l t s s h o wt h a t t h em e t h o d i sm o r e ef f i c i e n t .K e y wo r d s :n e we x t r a p o l a t i o n f o r m u l a ;c l a s s i c e x t r a p o l a t i o n f o r m u l a ;c u b i c s p l i n e ;c a s c a d i cm u l t i g r i dm e t h o d 责任编辑 张 栒42西南大学学报(自然科学版) h t t p ://x b b jb .s w u .c n 第33卷。