11三维对象表示2

入
出
两类表示法
• 边界表示法 （B－rep）
• 空间分区表示
8.21 八叉树
• 2维4叉树 2031
8.21 八叉树
• 占位表示，医学3维成像 体元(voxel)
8.23 分形几何（Fractal）
分形集: 任意小尺度下的比例细节
过程描述:用变换的迭代生成 自相似: 确定/近似/统计自相似
典型确定自相似分形集 Koch 曲线
Koch 曲线
分枝
分枝例
随机中点位移法
由平面多边形随机插值迭代生成。
Z
取中点在 边直线上
在中点上加一 个随机法向量
8.25 粒子系统
• W.T.Reeves 1983年提出 • 随机模型，它用大量的粒子图元 (Particle) 来描述景物。
• 最初引入是为了模拟火焰，火焰被看作是一个喷出许
旋转扫
广义扫
扫掠表示
扫掠表示
8.20 结构实体几何法 p390

将物体表示成一棵二叉树，称为CSG树
பைடு நூலகம்

叶节点----基本体素/几何变换 中间节点----正则集合运算/几何变换参数
T
n1
n2
x
体素及体素间的交、并、差运算
体素： 球和柱
交 并 差
球－柱
柱－球
How to? P279 Weiler-Atheton
– 端点切矢量P359 式8.44
P(t ) |t 0 P 1P 0 P(t ) |t 1 Pn Pn1
• 导数曲线
P(t ) n ( Pi 1 Pi ) BEZ i ,n 1 (t )
i 0
n 1
t [0,1]
– 凸包性
• 凸集 • 凹集 • 点集的凸包
0 t 1
• 三次Bé zier曲线的矩阵表示如下所示：
1 3 3 3 6 3 P (t ) t 3 t 2 t 1 3 3 0 0 0 1


1 0 0 0
P0 P 1 P2 P3
图示1
图示2
• Bezier曲线的拼接
i 0 2 3 (1 t )3 P0 3t (1 t ) 2 P 3 t ( 1 t ) P t P3 , 0 t 1 1 2 3
其中，
B0,3 (t ) (1 t )3 , B1,3 (t ) 3t (1 t )2 ,
B2,3 (t ) 3t 2 (1 t ) , B3,3 (t ) t 3 ,
8.8.1插值与逼近
8.8.4 样条描述
– 参数表示
x x(t ) y y (t ) z z (t )
• 参数的含义
t [ a, b]
– 时间，距离，角度，比例等等 – 规范参数区间[0，1] – 例子：直线段的参数表示
P P0 t ( P 1P 0)
采用参数多项式曲线的好处
– 表示最简单 – 理论和应用最成熟 – 代数/几何相关和无关的变量是分离的 – 易于控制曲线、曲面的形状。 – 规格化的参数变量的几何分量是有界的 – 易于产生有序点列有序网格点 – 易于用矢量和矩阵表示几何分量。
8.10 Bezier样条曲线 p365
• 1962年，法国雷诺汽车公司的P.E.Bé zier 构造了一种以逼近为基础的参数曲线和 曲面的设计方法。
三维对象表示-2
8.1 多面体 POLYGON
• • • • B-rep，用多边形表面围成实体 最普遍的三维造型方式 标准几何体 基本面片
8.4 二次曲面
• 球面 • 环面 • Mesh 生成
8.8 样条表示
• 自由曲线及曲面
• 希望用户提供不太多的数据（控制点）， 这些数据既对物体外形有很强的控制能 力，又能十分方便的被修改（交互式方 法）
• 用这种方法完成了一种称为UNISURF的 曲线和曲面设计系统，1972年，该系统 被投入了应用。
Bezier曲线公式
• Bezier曲线的定义
– n次多项式曲线P（t）称为n次Bezier曲线
P(t ) Pi BEZ i ,n (t )
n
t [0,1]
– 控制顶点 – 控制多边形 – 式8.37
i 0
Bezier曲线基函数
• Bezier基函数的定义
– 如下n次多项式称为n次Bezier基函数
BEZ i ,n (t ) C t (1 t )
i i n
n i
, t [0,1]
n! C i! (n i )!
i n
[(1t ) t ]n
– 式8.38
8.10.3 Bezier曲线的特性
• Bezier基函数的性质
– 正性
BEZ i ,n (t ) 0
– 权性 式8.46 p360
, t [0,1]
BEZ
i 0
n
i ,n
(t ) 1
, t [0,1]
Bezier曲线
– 对称性
BEZ i ,n (t ) BEZ n i ,n (1 t )
– 降阶公式 式8.42 p356
Q( s) Q j BEZ i ,n ( s)
n
P(t ) Pi BEZ i ,m (t )
i 0
m
j 0
8.19 扫掠表示 (Sweep) /扫描
p389
放样形体物体，沿路径sweep。 平移扫：垂直于二维集合进行扫过； 旋转扫：绕某一轴线旋转某一角度； 广义扫：二维几何集合沿一条空间曲线的集合扫过； 平移扫
– 包含这些点的最小凸集
• Bezier曲线位于其控制顶点的凸包之内
用Bezier 曲线绘制自由曲线 • • • • • 控制点 控制多边形 端点位置 端点切线 变更
8.10.5 三次Bé zier曲线 p361
当n=3时，Bé zier曲线如下所示：
P(t ) Pi Bi ,3 (t )
多粒子的火山。每个粒子都有一组随机取值的属性， 如起始位置、初速度、颜色及大小。
8.26 基于物理的方法
• 网络节点法：布料
弹簧网格
能量最小化
t [0,1]
采用参数多项式曲线表 示样条
x(t ) x0 x1 t ... xn t n y (t ) y0 y1 t ... yn t z (t ) z z t ... z t n 0 1 n
n
t [0,1]
BEZ i ,n (t ) (1 t ) BEZ i ,n 1 (t ) tBEZi 1,n 1 (t )
Bezier曲线
– 导数
BEZ 'i ,n (t ) n( BEZ i 1,n1 (t ) tBEZi ,n1 (t ))
P(t ) Pi BEZ i ,n (t )
i 0
n
t [0,1]
• Bezier曲线的性质
– 端点位置P359 式8.43
P(t ) |t 0 P0 P(t ) |t 1 Pn
i i BEZ i ,n (t ) Cn t (1 t ) ni
, t [0,1]
BEZ 'i ,n (t ) n( BEZ i 1,n1 (t ) tBEZi ,n1 (t ))