九年级数学上册综合滚动练习相似三角形的性质与判定课件新版北师大版
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4.7.1 相似三角形的性质(课件)2024-2025学年九年级数学上册北师大版)
特别提醒：
(1)注意“对应”二字，应用时要找准对应线段；
(2)相似比是有顺序的，不能颠倒线段的顺序.
例题欣赏
☞
例题&解析
例1.如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，矩形EFGH内接于△ABC，
且长边FG在BC上，AD与EH的交点为P，矩形相邻两边的比为1∶2.
若BC=30cm，AD=10cm， 求矩形EFGH的周长.
E
∴∠A′B′C′=∠ABC, ．
B
又AD、AD′分别为对应边的中线.
AB
BD
,
A' B ' B ' D '
AB
BC
A' B ' B 'C '
∴ △ABD∽△A′B′D′，
AD
k.
A'D'
C
D
A'
E'
B'
C'
D'
探索&交流
相似三角形对应高的比、对应角平分线的比、对应中线的比
都等于相似比．
AC
3
，BD=4cm，求B′D′的长.
第四章 图形的相似
4.7.1 相似三Байду номын сангаас形的性质
北师大版九年级数学上册
学习&目标
1.明确相似三角形中对应线段与相似比的关系.（重点）
2.能熟练运用相似三角形的性质解决实际问题．（难点）
情景&导入
问题1：△ABC与△A1B1C1相似吗？
A
B
A1
B1
△ABC∽ △A1B1C1
C
C1
相似三角形对应角相等、对应边成比例.
九年级数学上册18《相似形》相似三角形的性质及证明课件(新版)北京课改版
解： （2）∵EF为△ABD的中位线，
∴EF＝
1 BD，EF∥BD， 2
∴△AEF∽△ABD， ∴S△AEF：S△ABD=1：4
∴S△AEF：S四边形BDFE=1：3，
∵四边形BDFE的面积为6， ∴S△AEF=2， ∴S△ABD=S△AEF+S四边形BDFE=2+6=8
一天，小明与小芳讨论一个问题：已知，在平行四边形ABCD中，点E 在直线AD上，AE= AD，连接CE交BD于点F，则EF：FC的值是多少 ？小明说结果是2:3小芳说结果是4:3，你认为谁说的对呢，为什么？
B
H
C
E H′
F
相似三角形的对应高有什么关系？ △ABC ∽△DEF， ∠C= ∠F,AH ⊥ BC,DH’⊥ EF ∠AHC= ∠DH’F=90 °, △ACH∽△DFH’,AC:DF=AH:DH’=k
丨对应高、对应中线、对应角平分线关系 A D
B
M
C
E
M′
F
相似三角形的对应角平分线有什么关系？ △ABC ∽△DEF， ∠C= ∠F, ∠BAC= ∠EDF, AMDM’是角平分线 ∠MAC= ∠M’DF, △ACM∽△DFM’,AC:DF=AM:DM’=k
丨相似三角形的对应周长,对应面积关系 A D
B
C
E
F
相似三角形的对应周长有什么关系？ △ABC ∽△DEF， AB:DE= AC:DF=BC:EF=k,AB=kDE, AC=kDF,BC=kEF,(AB+AC+BC):(DE+DF+EF)=k
丨相似三角形的对应周长,对应面积关系 A D
B
H
C
E H′
1 3
△EFD∽△CFB
北师大版九年级数学上册相似三角形的性质 课件
ABBCCA ABBCCA
性质3
类似三角形面积的比都等于类似比的平 方。
推 理
△ABC∽△A'B'C', AB BC CA K
AB BC CA
分别作出△ABC与△A'B'C'的高AD和 A'D'
则 SABC
1 BCAD 2
1 KBCKAD
2
K²
SABC 1 BCAD 1 BCAD
2
2
三、例题精析
类似三角形对应高的比,对应角平分线 的比,对应中线的比都等于类似比。
∵△ABC∽△A′B′C′
∴
A B F DE
A/
C
B/ F‘ D/ E/
C/
性质2 类似三角形周长的比都等于类似比。
推 理
△ABC∽△A'B'C', AB BC CA K
AB BC CA
由合比性质可得： ABBCCA KABKBCKCAK
解：设 ED＝MN＝PN＝x
∵△APN∽△ABC
∴PBNC
AE AD
∴x 80 x
120 80
∴x＝48，∴这个正方形零件的边
长为48毫米．
【变式1-1】已知，△ABC∽A'B'C',AD 与A'D'是它们的对应角平分线，已知则 它们对应高的比为（ ）
【变式1-2】已知△ABC∽△A′B′C′, 在这两个三角形的一组对应中线中，如果 较短的中线为3cm，则较长的中线为（）
【巩固训练5】如图，在平行四边形 ABCD中，点E在边DC上，DE：EC＝3：1 ，连接AE交BD于点F，则△DEF的面积与 △DAF的面积之比为（ B ）
性质3
类似三角形面积的比都等于类似比的平 方。
推 理
△ABC∽△A'B'C', AB BC CA K
AB BC CA
分别作出△ABC与△A'B'C'的高AD和 A'D'
则 SABC
1 BCAD 2
1 KBCKAD
2
K²
SABC 1 BCAD 1 BCAD
2
2
三、例题精析
类似三角形对应高的比,对应角平分线 的比,对应中线的比都等于类似比。
∵△ABC∽△A′B′C′
∴
A B F DE
A/
C
B/ F‘ D/ E/
C/
性质2 类似三角形周长的比都等于类似比。
推 理
△ABC∽△A'B'C', AB BC CA K
AB BC CA
由合比性质可得： ABBCCA KABKBCKCAK
解：设 ED＝MN＝PN＝x
∵△APN∽△ABC
∴PBNC
AE AD
∴x 80 x
120 80
∴x＝48，∴这个正方形零件的边
长为48毫米．
【变式1-1】已知，△ABC∽A'B'C',AD 与A'D'是它们的对应角平分线，已知则 它们对应高的比为（ ）
【变式1-2】已知△ABC∽△A′B′C′, 在这两个三角形的一组对应中线中，如果 较短的中线为3cm，则较长的中线为（）
【巩固训练5】如图，在平行四边形 ABCD中，点E在边DC上，DE：EC＝3：1 ，连接AE交BD于点F，则△DEF的面积与 △DAF的面积之比为（ B ）
北师大版数学九年级上册综合滚动练习：相似三角形的性质与判定-课件
• Y. That's the secret of success. 人必须相信自己，这是成功的秘诀。
•
13、He who seize the right moment, is the right man.谁把握机遇，谁就心想事成。2021/9/252021/9/252021/9/252021/9/259/25/2021 •14、谁要是自己还没有发展培养和教育好，他就不能发展培养和教育别人。2021年9月25日星期六2021/9/252021/9/252021/9/25 •15、一年之计，莫如树谷；十年之计，莫如树木；终身之计，莫如树人。2021年9月2021/9/252021/9/252021/9/259/25/2021 •16、教学的目的是培养学生自己学习，自己研究，用自己的头脑来想，用自己的眼睛看，用自己的手来做这种精神。2021/9/252021/9/25September 25, 2021 •17、儿童是中心，教育的措施便围绕他们而组织起来。2021/9/252021/9/252021/9/252021/9/25
•9、要学生做的事，教职员躬亲共做；要学生学的知识，教职员躬亲共学；要学生守的规则，教职员躬亲共守。2021/9/252021/9/25Saturday, September 25, 2021 •10、阅读一切好书如同和过去最杰出的人谈话。2021/9/252021/9/252021/9/259/25/2021 1:12:20 PM •11、只有让学生不把全部时间都用在学习上，而留下许多自由支配的时间，他才能顺利地学习……（这）是教育过程的逻辑。2021/9/252021/9/252021/9/25Sep-2125-Sep-21 •12、要记住，你不仅是教课的教师，也是学生的教育者，生活的导师和道德的引路人。2021/9/252021/9/252021/9/25Saturday, September 25, 2021
•
13、He who seize the right moment, is the right man.谁把握机遇，谁就心想事成。2021/9/252021/9/252021/9/252021/9/259/25/2021 •14、谁要是自己还没有发展培养和教育好，他就不能发展培养和教育别人。2021年9月25日星期六2021/9/252021/9/252021/9/25 •15、一年之计，莫如树谷；十年之计，莫如树木；终身之计，莫如树人。2021年9月2021/9/252021/9/252021/9/259/25/2021 •16、教学的目的是培养学生自己学习，自己研究，用自己的头脑来想，用自己的眼睛看，用自己的手来做这种精神。2021/9/252021/9/25September 25, 2021 •17、儿童是中心，教育的措施便围绕他们而组织起来。2021/9/252021/9/252021/9/252021/9/25
•9、要学生做的事，教职员躬亲共做；要学生学的知识，教职员躬亲共学；要学生守的规则，教职员躬亲共守。2021/9/252021/9/25Saturday, September 25, 2021 •10、阅读一切好书如同和过去最杰出的人谈话。2021/9/252021/9/252021/9/259/25/2021 1:12:20 PM •11、只有让学生不把全部时间都用在学习上，而留下许多自由支配的时间，他才能顺利地学习……（这）是教育过程的逻辑。2021/9/252021/9/252021/9/25Sep-2125-Sep-21 •12、要记住，你不仅是教课的教师，也是学生的教育者，生活的导师和道德的引路人。2021/9/252021/9/252021/9/25Saturday, September 25, 2021
北师大版九年级数学上册 相似三角形的性质 第1课时 课件
（k >0）， 点 D，E 在 BC 边上，点 D′，E′ 在 B′C′ 边上 .
（1）
若∠BAD
1
=
3
∠BAC
，
∠B′A′D′
=
1 3
∠B′A′C′
，则
AD AD
等于多少？
图4
由“两角分别相等的两个三角形相似”，可知△ABD∽△A′B′D′，
于是
AD AD
=
AB AB
k
k
0.
探究新知
如图4，已知△ABC∽△A′B′C′ ，△ABC 与△A′B′C′ 的相似比为 k
点 S 在 AB 边上，BC = 60 cm，AD = 40 cm，四边形 PQRS 是正方形.
（1）△ASR 与△ABC 相似吗？为什么？
A
解：∵ 四边形 PQRS 是正方形，
S
ER
∴ RS∥BC. ∴ ∠ASR=∠B，∠ARS=∠C. ∴△ASR∽△ABC.
B
C
PD Q
图5
典例精讲
例 如图5，AD 是△ABC 的高，点 P，Q 在BC边上，点 R 在 AC 边上，
（k >0）， 点 D，E 在 BC 边上，点 D′，E′ 在 B′C′ 边上 .
（2）
若BE
=
1 3
BC
，
B′E′
=
1 3 B′C′
，则
AE AE
等于多少？
图4
由“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”，
可知△ABE∽△A′B′E′，于是
AE = AB k k 0.
AE AB
典例精讲
例 如图5，AD 是△ABC 的高，点 P，Q 在BC边上，点 R 在 AC 边上，
北师大版九年级数学上册4.7相似三角形的性质课件1 (共22张PPT)
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课堂练习(2)
6、如图，已知DE∥BC ，BD=3AD，S△ABC =48 ，求：△ADE的面积。
解：∵ DE∥BC ∴ ∠ADE=∠ABC, ∠AED=∠ACB ∴ △A DE ∽△ABC ∴ BD=3AD ∴ 相似比k=AD:AB=1:2
∴ S△ADE =1/4 S△ABC =12
如果边长扩大为原来的100倍，那么面积扩大为
原来的__1_0_0__0_0______倍；
如果面积扩大为原来的100倍，那么边长扩大为
原来的______1_0________倍。
4、△ABC∽△A′B′C′，AC: A′ C′=4:3。
〔1〕假设△ABC的周长为24cm，那么△A′B′C′的周
长为 18 cm；
边：对应边成比例
角：对应角相等 问：什么是相似比？ 相似比=对应边的比值=
相似三角形对应边上的高
有什么关系呢？
右图△A B C ， AD为 BC 边上的高。
A′
则:(1)利用方格把三角形扩大2倍，得
△A′B′C′，并作出B′C′边上的高A′ D′ 。 △A B C 与△A′B′C′的相似比为多少？AD
4.7相似三角形的性质
识别
特征 对应边上的高
课后小结
对应边上的中线
对应角的角平分线
周长 面积
课堂练习(1) (2)
相似三角形的识别
问：相似三角形的识别方法有哪些？
证三组对应 边成比例
证二组对 应角相等
证二组对应 边成比例， 且夹角相等
BACK
定理：平行于三角形一边的直线和其他两边或延
长线相交,所构成的三角形与原三角形相似
〔2〕与〔1〕的相似比＝____2__:1__________，
课堂练习(2)
6、如图，已知DE∥BC ，BD=3AD，S△ABC =48 ，求：△ADE的面积。
解：∵ DE∥BC ∴ ∠ADE=∠ABC, ∠AED=∠ACB ∴ △A DE ∽△ABC ∴ BD=3AD ∴ 相似比k=AD:AB=1:2
∴ S△ADE =1/4 S△ABC =12
如果边长扩大为原来的100倍，那么面积扩大为
原来的__1_0_0__0_0______倍；
如果面积扩大为原来的100倍，那么边长扩大为
原来的______1_0________倍。
4、△ABC∽△A′B′C′，AC: A′ C′=4:3。
〔1〕假设△ABC的周长为24cm，那么△A′B′C′的周
长为 18 cm；
边：对应边成比例
角：对应角相等 问：什么是相似比？ 相似比=对应边的比值=
相似三角形对应边上的高
有什么关系呢？
右图△A B C ， AD为 BC 边上的高。
A′
则:(1)利用方格把三角形扩大2倍，得
△A′B′C′，并作出B′C′边上的高A′ D′ 。 △A B C 与△A′B′C′的相似比为多少？AD
4.7相似三角形的性质
识别
特征 对应边上的高
课后小结
对应边上的中线
对应角的角平分线
周长 面积
课堂练习(1) (2)
相似三角形的识别
问：相似三角形的识别方法有哪些？
证三组对应 边成比例
证二组对 应角相等
证二组对应 边成比例， 且夹角相等
BACK
定理：平行于三角形一边的直线和其他两边或延
长线相交,所构成的三角形与原三角形相似
〔2〕与〔1〕的相似比＝____2__:1__________，
新北师大版九年级数学上册《相似三角形的性质(一)》精品课件
探究活动一： 探究相似三角形对应高的比.
• (3)如果CD=1.5cm，那么模型房的房梁 立柱有多高？
zxxkw
• (4)据此，你可以发现相似三角形怎样 的性质？
探究活动二： 类比探究相似三角形对应中线的比、 对应角平分线的比
• 如图：已知△ABC∽△A′B′C′，相
似比为k，AD平分∠BAC，A’D’平分 ∠B’A’C’；E、E’分别为BC、B’C’的中点。 试探究AD与 A’D‘的比值关系，AE与A’E’ 呢？
谢谢观赏
You made my day!
我们，还在路上……
• 在生活中，我们经常利用相似的知识解 决建筑类问题.如图，小王依据图纸上的 △ABC，以1：2的比例建造了模型房梁 △A’B’C’，CD和C’D’分别是它们的立柱。
探究活动一： 探究相似三角形对应高的比.
• (1)试写出△ABC与△A’B’C’的对应边之 间的关系，对应角之间的关系。
• (2)△ACD与△A’C’D’相似吗？为什么？ 如果相似，指出它们的相似比。
A A/
B
DE
C
B/ D/ E/
C/
相似三角形性质定理：
相似三角形对应高的比,对应角平分线 的比,对应中线的比都等于相似比。
∵△ABC∽△A′B′C′
∴ AB AC BC AF AD AE k A' B' A'C' B'C' A'F' A' D' A' E'
A A/
B F DE
C
B/ F‘ D/ E/
相似三角形对应角的n等分线的比,对应 边的n等分线的比都等于相似比。
三：学以致用
九年级数学上册图形的相似相似三角形判定定理的证明课件新版北师大版
4.5 相似三角形判定 定理的证明
回顾与复习
相似三角形的判定方法: 两角对应相等，两三角形相似.
三边对应成比例,两三角形相似. 两边对应成比例且夹角相等,两三角形 相似.
探究1 知识要点
两角对应相等，两三角形相似.
√ 角 A
角A
如果∠A =∠A ′，∠B =∠B ′，
那么，△ABC ∽△ A′B′C′.
证明：在线段A' B（' 或它的延长线
A'B'
A
B'C' A'C'
A'
上）截取A' D AB，过点D再作
DE ∥B'C'交A'C'交于点E，可得B
CD
E
A' DE ∽A' B'C '.
A'∴D DE A' E . A'B' B'C' A'C&又 AB BC AC , A' D AB， ∴ A' E AC .
边S A′
C′
A
B
C
画一画
任意画一个三角形，再画一个三 角形，使它的各边长都是原来三角 形各边长的k倍，度量这两个三角 形的对应角，它们相等吗？这两个 三角形相似吗？与同桌交流一下， 看看是否有同样的结论.
已知：在ABC和A' B'C'中，AB BC AC .
求证: △ ABC ∽△ A' B'C'.
A
A′
你能证明吗？
B
C B′
C′
可要仔细哟！
应用
已知:如图,∠ABD=∠C，AD=2, AC=8，求AB.
回顾与复习
相似三角形的判定方法: 两角对应相等，两三角形相似.
三边对应成比例,两三角形相似. 两边对应成比例且夹角相等,两三角形 相似.
探究1 知识要点
两角对应相等，两三角形相似.
√ 角 A
角A
如果∠A =∠A ′，∠B =∠B ′，
那么，△ABC ∽△ A′B′C′.
证明：在线段A' B（' 或它的延长线
A'B'
A
B'C' A'C'
A'
上）截取A' D AB，过点D再作
DE ∥B'C'交A'C'交于点E，可得B
CD
E
A' DE ∽A' B'C '.
A'∴D DE A' E . A'B' B'C' A'C&又 AB BC AC , A' D AB， ∴ A' E AC .
边S A′
C′
A
B
C
画一画
任意画一个三角形，再画一个三 角形，使它的各边长都是原来三角 形各边长的k倍，度量这两个三角 形的对应角，它们相等吗？这两个 三角形相似吗？与同桌交流一下， 看看是否有同样的结论.
已知：在ABC和A' B'C'中，AB BC AC .
求证: △ ABC ∽△ A' B'C'.
A
A′
你能证明吗？
B
C B′
C′
可要仔细哟！
应用
已知:如图,∠ABD=∠C，AD=2, AC=8，求AB.