《求二次函数的表达式》(8)用
九年级数学上册第二十二章《二次函数》测试卷-人教版(含答案)
九年级数学上册第二十二章《二次函数》测试卷-人教版（含答案）考试范围:全章综合测试 参考时间:120分钟 满分:120分一、选择题(每小题3分，共30分)1.对于函数y ＝5x 2，下列结论正确的是（ ）A . y 随x 的增大而增大B . 图象开口向下C .图象关于y 轴对称D .无论x 取何值，y 的值总是正的 【答案】C .详解：a ＝5＞0，开口向上，对称轴为y 轴，在y 轴左侧，y 随x 的增大而减小，在y 轴的右侧， y 随x 的增大而增大，当x ＝0时，y ＝0. 故A 错，B 错，C 对，D 错，∴答案选C . 2.二次函数y ＝x 2－4x 的图象的对称轴是（ ）A . x ＝4B . x ＝－4C . x ＝－2D . x ＝2 【答案】D .详解：a ＝1，b ＝－4，由对称轴公式，对称轴为x ＝－2ba＝2，故选D . 3.二次函数y ＝2(x ＋1)2－3的图象的顶点坐标是（ ）A . (1，3)B . (－1，3)C . (1，－3)D .(－1，－3) 【答案】D .详解：知识点：抛物线的顶点式为y ＝a (x －h )2＋k ，顶点坐标为(h ，k ).4.进入夏季后，某电器商场为减少库存，对电热取暖器连续进行两次降价. 若设平均每次降价的 百分率是x ，降价后的价格为y 元，原价为a 元，则y 与x 之间的函数关系式为（ ） A . y ＝2a (x －1) B . y ＝2a (1－x ) C . y ＝a (1－x 2) D . y ＝a (1－x )2 【答案】D .详解：第一次降价后的价格为a (1－x )元，第二次降价后的价格为a (1－x )2，故选D . 5.用配方法将函数y ＝x 2－2x ＋2写成y ＝a (x －h )2＋k 的形式是（ ）A . y ＝(x －1)2＋1B . y ＝(x －1)2－1C . y ＝(x －1)2－3D . y ＝(.x ＋1)2－1 【答案】A .详解：y ＝x 2－2x ＋2＝(x 2－2x ＋1)＋1＝(x －1)2＋1，故选A .6.把抛物线y ＝2x 2绕原点旋转180°，再向右平移1个单位长度，向下平移2个单位长度，所得 的抛物线的函数表达式为（ ）A . y ＝2(x －1)2－2B . y ＝2(x ＋1)2－2C . y ＝－2(x －1)2－2D . y ＝－2(.x ＋1)2－2 【答案】C .详解：原抛物线的顶点为(0，0)，旋转180°后，开口向下，顶点为(0，0)，两次平移后的 顶点为(1，－2)，故答案为y ＝－2(x －1)2－2.7. 在比赛中，某次羽毛球的运动路线可以看作是抛物线y＝－14x2＋bx＋c的一部分(如图)，其中出球点B离地面O点的距离是1m，球落地点A到O点的距离是4m，那么这条抛物线的解析式是（）A. y＝－14x2＋34x＋1 B. y＝－14x2＋34x－1C. y＝－14x2－34x＋1 D. y＝－14x2－34x－1【答案】A.详解：依题意，点B的坐标为(0，1)，点A的坐标为(4，0)，把A( 4，0)，B(0，1)代入y＝－14x2＋bx＋c，解得b＝34，c＝1，故选A.另法：由B(0，1)，可排除B、D，根据“左同右异”的规律，可排除C.8.抛物线y＝ax2－2ax＋c经过点A(2，4)，若其顶点在第四象限，则a的取值范围为（）A. a＞4B. 0＜a＜4C. a＞2D. 0＜a＜2【答案】A.详解：把A(2，4)代入，得c＝4，∴y＝ax2－2ax＋4＝a(x－1)2＋4－a，顶点为(1，4－a)，∵顶点在第四象限，∴4－a＜0，∴a＞4.9.飞机着陆后滑行的距离y(m)关于滑行时间t(s)的函数解析式是y＝60t－32t2，飞机着陆至停下来共滑行（）A. 20米B. 40米C. 400米D. 600米【答案】D.详解：配方得y＝－32(t－20)2＋600，∴当t＝20时，y取得最大值600，即飞机着陆后滑行600米才能停下来.10. 如图，抛物线y＝－2x2＋mx＋n与x轴交于A、B两点. 若线段AB的长度为4，则顶点C到x轴的距离为（）A. 6B. 7C. 8D. 9【答案】C.详解：令y＝0，得－2x2＋mx＋n＝0，解得x＝284m m n ±+.∴AB＝|x1－x2|＝282m n+=4，∴m2＋8n＝64.∴244ac ba-＝24(2)4(2)n m---＝288m n+＝8，故答案选C.二、填空题(每小题3分，共18分)11.抛物线y ＝2x 2－4的顶点坐标是___________. 【答案】(0，－4).详解：a ＝2，b ＝0，c ＝－4，开口向上，对称轴为y 轴，顶点为(0，－4).12. 若方程ax 2＋bx ＋c ＝0的解为x 1＝－2，x 2＝4，则二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的对称轴为______. 【答案】直线x ＝1. 详解：x ＝242-+＝1. 13.如图，抛物线y ＝a (x －2)2＋k (a 、k 为常数且a ≠0)与x 轴交于点A 、B 两点， 与y 轴交于点C ，过点C 作CD ∥x 轴与抛物线交于点D . 若点A 坐标为 (－2，0)，则OBCD的值为_________. 【答案】32.详解：抛物线的对称轴为x ＝2，C 在y 轴上，∴CD ＝4.又∵A (－2，0)，∴B (6，0)，∴OB ＝6. ∴6342OB CD ==. 14.如图，Rt △OAB 的顶点A (－2，4)在抛物线y ＝ax 2上，将Rt △OAB 向右 平移得到△O 1AB 1，平移后的O 1A 1与抛物线交于点P ，若P 为线段A 1O 1 的中点，则点P 的坐标为________. 【答案】P (2，2).详解：把A (－2，4)代入y ＝ax 2得a ＝1，∴y ＝x 2. ∵A (－2，4)，∴点A 1的纵坐标为4， ∵P 为O 1A 1的中点，∴点P 的纵坐标为2， 把y ＝2代入y ＝x 2，得x ＝±2. 取x ＝2，∴P (2，2).15.下列关于二次函数y ＝x 2－2mx ＋1(m 为常数)的结论： ①该函数的图象与函数y ＝－x 2＋2mx 的图象的对称轴相同； ②该函数的图象与x 轴有交点时，m ＞1；③该函数的图象的顶点在函数y ＝－x 2＋1的图象上；④点A (x 1，y 1)与点B (x 2，y 2)在该函数的图象上，若x 1＜x 2，x 1＋x 2＜2m ，则y 1＜y 2· 其中正确的结论是________________(填写序号). 【答案】①③.详解：对于①，根据对称轴公式，两抛物线对称轴均为x ＝m ，故①正确； 对于②，Δ＝b 2－4ac ＝4m 2－4≥0，∴m ≥1或m ≤－1，故②错； 对于③，y ＝x 2－2mx ＋1的顶点为(m ，－m 2＋1)，显然③正确； 对于④，抛物线的开口向上，对称轴为x ＝m ，∵x 1＋x 2＜2m ，∴122x x +＜m ，P O 1A 1B 1又∵x1＜x2，∴点A离对称轴的距离大于点B离对称轴的距离，∴y1＞y2，故④错；综上，正确的有①③.16.如图，抛物线y＝x2＋2x与直线y＝2x＋1交于A、B两点，与直线x＝2交于点D，将抛物线沿着射线AB方向平移25个单位. 在整个平移过程中，点D经过的路程为___________.【答案】738.详解：平移前，D(2，8)，∴直线AB的解析式为y＝2x ＋1，∴抛物线沿射线AB方程平移25个单位时，相当于抛物线向右平移了4个单位，向上平移了2个单位. ∵原抛物线顶点为M(－1，－1)，平移后的顶点为M′(3，1)，平移后的抛物线为y＝(x－3)2＋1，此时D′(2，2)，直线MM′的解析式为y＝12x－12，平移过程中，抛物线的顶点始终在y＝12x－12上，设顶点为(a，12a－12)，－1≤a≤3，抛物线的解析式为y＝(x－a)2＋12a－12，当x＝2时，y＝(2－a)2＋12a－12＝a2－72a＋72，即在平移过程中，抛物线与直线x＝2的交点的纵坐标为y＝a2－72a＋72，∵y＝a2－72a＋72＝(a－74)2＋716，∴当a＝74时，点D到达最低点，此时D(2，716)当a＝3时，y＝(x－3)2＋1，此时D(2，2)；观察图形，可知点D的运动路径为D(2，8)→D(2，716)→D(2，2)，路径长为(8－716)＋(2－716)＝738.三、解答题(共8题，共72分)17.(8分)通过配方，写出下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标.(1) y＝x2－4x＋6；(2) y＝－4x2＋4x.【答案】(1) y＝x2－4x＋6＝x2－4x＋4＋2＝(x－2)2＋2，开口向上，对称轴为x＝2，顶点坐标为(2，2).(2) y＝－4x2＋4x＝－4(x2－x)＝－4(x2－x＋14－14)＝－4(x－12)2＋1，yxM‘MBAD2O开口向下，对称轴为x ＝12，顶点坐标为(12，1).18.(8分)二次函数的最大值为4，其图象的对称轴为x ＝2，且过点(1，2)，求此函数的解析式. 【答案】∵函数的最大值为4，图象的对称轴为x ＝2， ∴可设函数的解析式为y ＝a (x －2)2＋4，把(1，2)代入，得：a (1－2)2＋4＝2，解得a ＝－2， ∴函数的解析式为y ＝－2(x －2)2＋4.19.(8分)二次函数y ＝x 2＋bx ＋c 图象上部分点的横坐标x 、纵坐标y 的对应值如下表： (1)求二次函数的表达式；(2)画出二次函数的示意图，结合函数图象， 直接写出y ＜0时自变量x 的取值范围. 【答案】(1) 把(0，3)，(1，0)代入y ＝x 2＋bx ＋c ， 得：310c b c =⎧⎨++=⎩，解得43b c =-⎧⎨=⎩，∴二次函数的表达式为y ＝x 2－4x ＋3；(2) 函数的图象如图所示，由图象，可知当1＜x ＜3时，y ＜0.20.(8分)二次函数的图象与直线y ＝x ＋m 交于x 轴上一点A (－1，0)， 图象的顶点为C (1，－4). (1)求这个二次函数的解析式；(2)若二次函数的图象与x 轴交于另一点B ，与直线 y ＝x ＋m 交于另一点D ，求△ABD 的面积. 【答案】(1)∵图象的顶点为C (1，－4)，可设抛物线的解析式为y ＝a (x －1)2－4， 把(－1，0)代入，得：4a －4＝0，∴a ＝1. ∴抛物线的解析式为y ＝(x －1)2－4， 即y ＝x 2－2x －3.(2)令y ＝0，得x 2－2x －3＝0，∴x 1＝－1，x 2＝3. ∴B (3，0). 把A (－1，0)代入y ＝x ＋m ，得m ＝1，∴y ＝x ＋1. 联立2123y x y x x =+⎧⎨=--⎩，解得1110x y =-⎧⎨=⎩，2245x y =⎧⎨=⎩，∴D (4，5). ∵A (－1，0)，B (3，0)，∴AB ＝4，x… 0 1 2 3 … y … 3 0 －1 0 …yx123O∴△ABD 的面积S ＝12×4×5＝10.21.(8分)如图，抛物线y ＝－12x 2＋52x －2与x 轴相交于A 、B 两点，与y 轴相交于点C . (1)求△ABC 各顶点的坐标及△ABC 的面积；(2)过点C 作CD ∥x 轴交抛物线于点D . 若点P 在线段AB 上以 每秒1个单位长度的速度由点A 向点B 运动，同时点Q 在线 段CD 上以每秒1.5个单位长度的速度由点D 向点C 运动，问： 经过几秒时，PQ ＝AC ?【答案】(1)令y ＝0，得－12x 2＋52x －2＝0，得x 1＝1，x 2＝4. ∴A (1，0)，B (4，0).令x ＝0，得y ＝－2，∴C (0，－2).△ABC 的面积为S ＝12AB ·OC ＝12×3×2＝3.(2) 设经过t 秒后，PQ ＝AC . 则AP ＝t ，P (1＋t ，0) 抛物线的对称轴为x ＝2.5，∵C (0，－2)，∴D (5，－2). DQ ＝1.5t ，∴CQ ＝5－1.5t ，∴Q (5－1.5t ，－2).过P 作PH ⊥CQ 于H ，则PH ＝OC ，∵PQ ＝AC ，∴HQ ＝OA ＝1. 即|(1＋t )－(5－1.5t )|＝1，化简得|2.5t －4|＝1，解得t ＝2或65.所以，经过2秒或65秒时，PQ ＝AC .22. (10分)如图，有一面长为a m 的墙，利用墙长和30m 的篱笆，围成中间隔有一道篱笆的长方形 花圃，设花圃的宽AB 为x m ，面积为S m 2. (1)当a ＝10时；①求S 与x 的关系式，并写出自变量x 的取值范围； ②如果要围成面积为48m 2的花圃，AB 的长是多少m ? (2)求长方形花圃的最大面积.【答案】(1) ①AB ＝CD ＝x ，BC ＝30－3x ， ∴S ＝x (30－3x )＝－3x 2＋30x ， 由0＜BC ≤a ，得0＜30－3x ≤10，∴203≤x ＜10. ② 令S ＝48，得－3x 2＋30x ＝48，即x 2－10x ＋16＝0，H30－3xxxx解得：x ＝8或2(舍)，∴AB 的长为8m . (2) S ＝－3x 2＋30x ＝－3(x －5)2＋75， ∵0＜30－3x ≤a ，∴10－3a≤x ＜10.∵抛物线开口向下，对称轴为x ＝5，1°当10－3a≤5时，即a ≥15，此时当x ＝5时，S 取得最大值75；2°当10－3a＞5，即0＜a ＜15，此时S 随x 的增大而减小，则当x ＝10－3a 时，S 的最大值为10a －13a 2.答：当a ≥15时，长方形花圃的最大面积为75m 2；当0＜a ＜15，长方形花圃的最大面积为(10a －13a 2)m 2.23.(10分)某小区内超市在“新冠肺炎”疫情期间，两周内标价为10元/斤的某种水果，经过两次 降价后的价格为8.1元/斤，并且两次降价的百分率相同. (1)求该种水果每次降价的百分率；(2)①从第一次降价的第1天算起，第x 天(x 为整数)的售价、销量及储存和损耗费用的 相关信息如表所示：已知该种水果的进价为4.1元/斤，设销售该水果第x (天)的利润为y (元)， 求y 与x (1≤x ＜15)之间的函数解析式，并求出第几天时销售利润最大.②在①的条件下，问这14天中有多少天的销售利润不低于330元，请直接写出结果. 【答案】(1) 设该种水果每次降价的百分率为x ，依题意，得： 10(1－x )2＝8.1，解得x ＝0.1或1.9(舍去). 答：该种水果每次降价的百分率为10%.(2) ① 当1≤x ＜9时，第一次降价后的价格为10(1－10%)＝9(元)， ∴y ＝(9－4.1)(80－3x )－(40＋3x )＝－17.7x ＋352，y 随x 的增大而减小，∴当x ＝1时，y 取得最大值为334.3(元)； 当9≤x ＜15时，第二次降价后的价格为8.1(元)，∴y ＝(8.1－4.1)(120－x )－(3x 2－64x ＋400)＝－3x 2＋60x ＋80＝－3(x －10)2＋380， 图象的开口向下，当x ＝10时，y 取得最大值为380(元)＞334.3(元).时间x (天) 1≤x ＜9 9≤x ＜15 售价(元/斤) 第1次降价后的价格第2次降价后的价格销量(斤) 80－3x 120－x 储存和损耗费用(元)40＋3x3x 2－64x ＋400综上，第10天时销售利润最大. ②7天.提示：当1≤x ＜9时，y ＝－17.7x ＋352≥330，解得x ≤220177， ∵x 为正整数，∴x ＝1；当9≤x ＜15时，y ＝－3(x －10)2＋380≥330，解得10－563≤x ≤10＋563， ∵x 为正整数，9≤x ＜15，∴x ＝9，10，11，12，13，14，共6天； 1＋6＝7，故一共有7天.24.(12分)直线y ＝kx ＋k ＋2与抛物线y ＝12x 2交于A 、B 两点(A 在B 的左侧). (1)直线AB 经过一个定点M ，直接写出M 点的坐标；(2)如图1，点C (－1，m )在抛物线上，若△ABC 的面积为3，求k 的值；(3)如图2，分别过A 、B 且与抛物线只有唯一公共点的两条直线交于点P ，求OP 的最小值. 【答案】(1) M (－1，2)；提示：y ＝k (x ＋1)＋2， 直线AB 过定点，令x ＋1＝0， 得y ＝2，∴定点为M (－1，2). (2) 过C 作CD ∥y 轴交AB 于D ，把C (－1，m )代入y ＝12x 2，得C (－1，12).把x ＝－1代入y ＝kx ＋k ＋2，得D (－1，2)， ∴CD ＝2－12＝32.联立2212y kx k y x =++⎧⎪⎨=⎪⎩，得x 2－2kx －(2k ＋4)＝0， 设点A 、B 的横坐标分别为a 、b ，则a 、b 为上述方程的根， ∴a ＋b ＝2k ，ab ＝－(2k ＋4).∵△ABC 的面积为3，由铅垂法，得12CD (b －a )＝3，即12×32(b －a )＝3，∴b －a ＝4. 两边平方，得(a ＋b )2－4ab ＝16，∴(2k )2＋4(2k ＋4)＝16， 整理，得：k 2＋2k ＝0，解得k ＝0或－2. (3) 设点A 、B 的横坐标分别为a 、b ，则a ≠b . 由(2)，a ＋b ＝2k ，ab ＝－(2k ＋4)，∴设直线P A 的解析式为y ＝px ＋q ，联立212y px qy x =+⎧⎪⎨=⎪⎩，得 x 2－2px －2q ＝0，D∵P A 与抛物线只有唯一公共点，∴上述方程有两个相等的实数根(x 1＝x 2＝a )， 由根与系数的关系，得a ＋a ＝2p ，a ·a ＝－2q ，∴p ＝a ，q ＝－12a 2.∴直线P A 的解析式为y ＝ax －12a 2.同理，直线PB 的解析式为y ＝bx －12b 2.联立221212y ax a y bx b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，解得x ＝2a b +＝k ，y ＝2ab ＝－(k ＋2). ∴P (k ，－k －2).∴OP 2＝k 2＋(－k －2)2＝2k 2＋4k ＋4＝2(k ＋1)2＋2， 当k ＝－1时，OP 2.。
2024中考备考热点05 二次函数的图象及简单应用(8大题型+满分技巧+限时分层检测)
热点05 二次函数的图象及简单应用中考数学中《二次函数的图象及简单应用》部分主要考向分为五类：一、二次函数图象与性质（每年1道，3~4分）二、二次函数图象与系数的关系（每年1题，3~4份）三、二次函数与一元二次方程（每年1~2道，4~8分）四、二次函数的简单应用（每年1题，6~10分）二次函数是初中数学三中函数中知识点和性质最多的一个函数，也是中考数学中的重点和难点，考简答题时经常在二次函数的几何背景下，和其他几何图形一起出成压轴题；也经常出应用题利用二次函数的增减性考察问题的最值。
此外，二次函数的性质、二次函数与系数的关系、二次函数上点的坐标特征也是中考中经常考到的考点，都需要大家准确记忆二次函数的对应考点。
只有熟悉掌握二次函数的一系列考点，才能在遇到对应问题时及时提取有用信息来应对。
考向一：二次函数图象与性质【题型1 二次函数的图象与性质】满分技巧1. 对于二次函数y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）的图象：形状：抛物线； 对称轴：直线ab x 2-=；顶点坐标：)442(2a b ac a b --，； 2、抛物线的增减性问题，由a 的正负和对称轴同时确定，单一的直接说y 随x 的增大而增大（或减小）是不对的，必须在确定a 的正负后，附加一定的自变量x 取值范围；3、当a＞0，抛物线开口向上，函数有最小值；当a＜0，抛物线开口向下，函数有最大值；而函数的最值都是定点坐标的纵坐标。
1．（2023•沈阳）二次函数y＝﹣（x+1）2+2图象的顶点所在的象限是（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．（2023•兰州）已知二次函数y＝﹣3（x﹣2）2﹣3，下列说法正确的是（）A．对称轴为直线x＝﹣2B．顶点坐标为（2，3）C．函数的最大值是﹣3D．函数的最小值是﹣33．（2023•陕西）在平面直角坐标系中，二次函数y＝x2+mx+m2﹣m（m为常数）的图象经过点（0，6），其对称轴在y轴左侧，则该二次函数有（）A．最大值5B．最大值C．最小值5D．最小值【题型2 二次函数图象上点的坐标特征】满分技巧牢记一句话，“点在图象上，点的坐标符合其对应解析式”，然后，和哪个几何图形结合，多想与之结合的几何图形的性质1．（2023•广东）如图，抛物线y＝ax2+c经过正方形OABC的三个顶点A，B，C，点B在y轴上，则ac的值为（）A．﹣1B．﹣2C．﹣3D．﹣42．若点P（m，n）在抛物线y＝ax2（a≠0）上，则下列各点在抛物线y＝a（x+1）2上的是（）A．（m，n+1）B．（m+1，n）C．（m，n﹣1）D．（m﹣1，n）3．（2023•十堰）已知点A（x1，y1）在直线y＝3x+19上，点B（x2，y2），C（x3，y3）在抛物线y＝x2+4x ﹣1上，若y1＝y2＝y3，x1＜x2＜x3，则x1+x2+x3的取值范围是（）A．﹣12＜x1+x2+x3＜﹣9B．﹣8＜x1+x2+x3＜﹣6C．﹣9＜x1+x2+x3＜0D．﹣6＜x1+x2+x3＜1【题型3 二次函数图象与几何变换】满分技巧1、二次函数的几何变化，多考察其平移规律，对应方法是：①将一般式转化为顶点式；②根据口诀“左加右减，上加下减”去变化。
九年级数学二次函数表达式常见类型专项练习附答案
求二次函数表达式的常见类型名师点金：求二次函数的表达式是解决二次函数问题的重要保证，在求解二次函数的表达式时一般选用待定系数法，但在具体题目中要根据不同条件，设出恰当的表达式，往往可以使解题过程简便．)由函数的基本形式求表达式方法1 利用一般式求二次函数表达式1．【2016·黔南州】如图，已知二次函数y ＝x 2＋bx ＋c 的图象与y 轴交于点C(0，－6)，与x 轴的一个交点是A(－2，0)． (1)求二次函数的表达式，并写出图象的顶点D 的坐标； (2)将二次函数的图象沿x 轴向左平移52个单位长度，当y<0时，求x 的取值范围．方法2 利用顶点法求二次函数表达式2．已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c ，当x ＝1时，有最大值8，其图象的形状、开口方向与抛物线y ＝－2x 2相同，则这个二次函数的表达式是( )A ．y ＝－2x 2－x ＋3B ．y ＝－2x 2＋4C ．y ＝－2x 2＋4x ＋8D ．y ＝－2x 2＋4x ＋63．已知某个二次函数的最大值是2，图象顶点在直线y ＝x ＋1上，并且图象经过点(3，－6)．求这个二次函数的表达式．方法3 利用交点式求二次函数表达式4．已知抛物线与x 轴交于A(1，0)，B(－4，0)两点，与y 轴交于点C ，且AB ＝BC ，求此抛物线对应的函数表达式．方法4 利用平移法求二次函数表达式5．【中考·绥化】把二次函数y ＝2x 2的图象向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，平移后抛物线对应的函数表达式是______________．6．已知y ＝x 2＋bx ＋c 的图象向右平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到的图象对应的函数表达式为y ＝x 2－2x －3.(1)b ＝________，c ＝________； (2)求原函数图象的顶点坐标；(3)求两个图象顶点之间的距离．方法5 利用对称轴法求二次函数表达式 7．如图，已知抛物线y ＝－x 2＋bx ＋c 的对称轴为直线x ＝1，且与x 轴的一个交点为(3，0)，那么它对应的函数表达式是________________．8．如图，抛物线与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于C 点，点A 的坐标为(2，0)，点C 的坐标为(0，3)，抛物线的对称轴是直线x ＝－12. (1)求抛物线对应的函数表达式；(2)M 是线段AB 上的任意一点，当△MBC 为等腰三角形时，求点M 的坐标．方法6 灵活运用方法求二次函数的表达式9．已知抛物线的顶点坐标为(－2，4)，且与x 轴的一个交点坐标为(1，0)，求抛物线对应的函数表达式．由函数图象中的信息求表达式10．如图是某个二次函数的图象，根据图象可知，该二次函数的表达式是()A．y＝x2－x－2B．y＝－12x2－12x＋2C．y＝－12x2－12x＋1D．y＝－x2＋x＋211．【中考·南京】某企业生产并销售某种产品，假设销售量与产量相等．如图中的折线ABD，线段CD分别表示该产品每千克生产成本y1(单位：元)，销售价y2(单位：元)与产量x(单位：kg)之间的函数关系．(1)请解释图中点D的横坐标、纵坐标的实际意义．(2)求线段AB所表示的y1与x之间的函数表达式．(3)当该产品产量为多少时，获得的利润最大？最大利润是多少？由表格信息求表达式12．若y＝ax2＋bx＋c，则由表格中信息可知y与x之间的函数关系式是()x －1 0 1ax2 1ax2＋bx＋c 8 3A.y＝x2－4x＋3B．y＝x2－3x＋4C．y＝x2－3x＋3 D．y＝x2－4x＋813．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的自变量x和函数值y的部分对应值如下表：x …－32－1－1212132…y …－54－2－94－2－5474…则该二次函数的表达式为______________．几何应用中求二次函数的表达式14．【2016·安顺】某校校园内有一个大正方形花坛，如图①所示，它由四个边长为3 m的小正方形组成，且每个小正方形的种植方案相同．其中的一个小正方形ABCD如图②所示，DG＝1 m，AE＝AF＝x m，在五边形EFBCG区域上种植花卉，则大正方形花坛种植花卉的面积y与x的函数图象大致是()(第14题)实际问题中求二次函数表达式15．在美化校园的活动中，某兴趣小组想借助如图所示的直角墙角(两墙足够长)，用28 m长的篱笆围成一个矩形花园ABCD(篱笆只围AB，BC两边)，设AB＝x m，花园的面积为S m2.(1)求S与x之间的函数表达式；(2)若在P处有一棵树与墙CD，AD的距离分别是15 m和6 m，要将这棵树围在花园内(含边界，不考虑树的粗细)，求花园面积的最大值．(第15题)答案1．解：(1)∵把C 点坐标(0，－6)代入二次函数的表达式得c ＝－6，把A 点坐标(－2，0)代入y ＝x 2＋bx －6得b ＝－1， ∴二次函数的表达式为y ＝x 2－x －6. 即y ＝()x －122－254. ∴图象的顶点D 的坐标为()12，－254.(2)将二次函数的图象沿x 轴向左平移52个单位长度所得图象对应的函数表达式为y ＝(x ＋2)2－254. 令y ＝0，得(x ＋2)2－254＝0， 解得x 1＝12，x 2＝－92.∵a>0，∴当y<0时，x 的取值范围是－92<x<12.2．D3．解：设二次函数图象的顶点坐标为(x ，2)，则2＝x ＋1，所以x ＝1，所以图象的顶点坐标为(1，2)．所以设二次函数的表达式为y ＝a(x －1)2＋2.将点(3，－6)的坐标代入上式，可得a ＝－2.所以该函数的表达式为y ＝－2(x －1)2＋2，即y ＝－2x 2＋4x.4．解：由A(1，0)，B(－4，0)可知AB ＝5，OB ＝4. 又∵BC ＝AB ，∴BC ＝5.在Rt △BCO 中，OC ＝BC 2－OB 2＝52－42＝3， ∴C 点的坐标为(0，3)或(0，－3)．设抛物线对应的函数表达式为y ＝a(x －1)(x ＋4)，将点(0，3)的坐标代入得3＝a(0－1)×(0＋4)，解得a ＝－34.将点(0，－3)的坐标代入得－3＝a(0－1)×(0＋4)，解得a ＝34.∴该抛物线对应的函数表达式为y ＝－34(x －1)(x ＋4)或y ＝34(x －1)(x ＋4)，即y ＝－34x 2－94x ＋3或y ＝34x 2＋94x －3.点拨：若给出抛物线与x 轴的交点坐标或对称轴及抛物线与x 轴的两交点间的距离，通常可设交点式求解． 5．y ＝2x 2＋4x 6．解：(1)2；0(2)原函数的表达式为y ＝x 2＋2x ＝(x ＋1)2－1.∴其图象的顶点坐标为(－1，－1)．(3)原函数图象的顶点为(－1，－1)，新函数图象的顶点为(1，－4)．由勾股定理易得两个顶点之间的距离为13. 7．y ＝－x 2＋2x ＋38．解：(1)设抛物线对应的函数表达式为y ＝a ()x ＋122＋k.把点(2，0)，(0，3)的坐标代入，得⎩⎪⎨⎪⎧254a ＋k ＝0，14a ＋k ＝3.解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－12，k ＝258.∴y ＝－12()x ＋122＋258， 即y ＝－12x 2－12x ＋3.(2)由y ＝0，得－12()x ＋122＋258＝0， 解得x 1＝2，x 2＝－3，∴B(－3，0)．①当CM ＝BM 时，∵BO ＝CO ＝3，即△BOC 是等腰三角形，∴当M 点在原点O 处时，△MBC 是等腰三角形． ∴M 点坐标为(0，0)．②当BC ＝BM 时，在Rt △BOC 中，BO ＝CO ＝3，由勾股定理得BC ＝OC 2＋OB 2＝32，∴BM ＝3 2. ∴M 点坐标为(32－3，0)．综上所述，点M 的坐标为(0，0)或(32－3，0)．9．解：方法一：设抛物线对应的函数表达式为y ＝ax 2＋bx ＋c ，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧－b2a＝－2，4ac －b 24a＝4，a ＋b ＋c ＝0.解得⎩⎨⎧a ＝－49，b ＝－169，c ＝209.∴抛物线对应的函数表达式为y ＝－49x 2－169x ＋209.方法二：设抛物线对应的函数表达式为y ＝a(x ＋2)2＋4，将点(1，0)的坐标代入得0＝a(1＋2)2＋4，解得a ＝－49.∴抛物线对应的函数表达式为y ＝－49(x ＋2)2＋4.即y ＝－49x 2－169x ＋209.方法三：∵抛物线的顶点坐标为(－2，4)，与x 轴的一个交点坐标为(1，0)，∴抛物线的对称轴为直线x ＝－2，与x 轴的另一个交点坐标为(－5，0)．设抛物线对应的函数表达式为y ＝a(x －1)(x ＋5)，将点(－2，4)的坐标代入得4＝a(－2－1)×(－2＋5)， 解得a ＝－49.∴抛物线对应的函数表达式为y ＝－49(x －1)(x ＋5)，即y ＝－49x 2－169x ＋209.点拨：本题分别运用了一般式、顶点式、交点式求二次函数表达式，求二次函数的表达式时要根据题目条件灵活选择方法，如本题中，第一种方法列式较复杂，且计算量大，第二、三种方法较简便，计算量小． 10．D11．解：(1)点D 的横坐标、纵坐标的实际意义：当产量为130 kg 时，该产品每千克生产成本与销售价相等，都为42元． (2)设线段AB 所表示的y 1与x 之间的函数表达式为y 1＝k 1x ＋b 1. 因为y 1＝k 1x ＋b 1的图象过点(0，60)与(90，42)， 所以⎩⎨⎧b 1＝60，90k 1＋b 1＝42.解方程组得⎩⎨⎧k 1＝－0.2，b 1＝60.所以所求函数表达式为y 1＝－0.2x ＋60(0≤x ≤90)．(3)设y 2与x 之间的函数表达式为y 2＝k 2x ＋b 2.因为y 2＝k 2x ＋b 2的图象过点(0，120)与(130，42)， 所以⎩⎨⎧b 2＝120，130k 2＋b 2＝42.解方程组得⎩⎨⎧k 2＝－0.6，b 2＝120.所以y 2与x 之间的函数表达式为y 2＝－0.6x ＋120(0≤x ≤130)． 设产量为x kg 时，获得的利润为W 元．当0≤x ≤90时，W ＝x[(－0.6x ＋120)－(－0.2x ＋60)]＝－0.4(x －75)2＋2 250.所以当x ＝75时，W 的值最大，最大值为2 250.当90<x ≤130时，W ＝x[(－0.6x ＋120)－42]＝－0.6(x －65)2＋2 535.当x ＝90时，W ＝－0.6×(90－65)2＋2 535＝2 160.由－0.6＜0知，当x ＞65时，W 随x 的增大而减小，所以90<x ≤130时，W<2 160.因此，当该产品产量为75 kg 时，获得的利润最大，最大利润是2 250元．12．A 13. y ＝x 2＋x －214．A 点拨：先求出△AEF 和△DEG 的面积，然后可得到五边形EFBCG 的面积，继而可得y 与x 的函数表达式．S △AEF ＝12AE ×AF ＝12x 2，S △DEG ＝12DG ×DE ＝12×1×(3－x)＝3－x 2， S五边形EFBCG＝S正方形ABCD－S △AEF －S △DEG ＝9－12x 2－3－x 2＝－12x 2＋12x ＋152， 则y ＝4×()－12x 2＋12x ＋152＝－2x 2＋2x ＋30. ∵0＜AE<AD ，∴0＜x<3. ∴y ＝－2x 2＋2x ＋30(0<x<3)． 故选A .15．解：(1)∵AB ＝x m ，∴BC ＝(28－x)m . 于是易得S ＝AB·BC ＝x(28－x)＝－x 2＋28x. 即S ＝－x 2＋28x(0＜x ＜28)． (2)由题意可知，⎩⎨⎧x ≥6，28－x ≥15.解得6≤x ≤13.由(1)知，S ＝－x 2＋28x ＝－(x －14)2＋196.易知当6≤x ≤13时，S 随x 的增大而增大，∴当x ＝13时，S 最大值＝195，即花园面积的最大值为195 m 2.。
求二次函数的解析式及二次函数的应用
求二次函数的解析式及二次函数的应用2014.6.8一、求二次函数的解析式：最常用的方法是待定系数法，根据题目的特点，选择恰当的形式，一般，有如下几种情况：（1）已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；（2）已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式；（3）已知抛物线与x轴的两个交点的横坐标，一般选用两点式；（4）已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式。
二、二次函数的应用：（1）应用二次函数解决实际问题的一般思路：理解题意；建立数学模型；解决题目提出的问题。
（2）应用二次函数求实际问题中的最值：即解二次函数最值应用题，设法把关于最值的实际问题转化为二次函数的最值问题，然后按求二次函数最值的方法求解。
求最值时，要注意求得答案要符合实际问题。
三、二次函数的三种表达形式：1、一般式：y=ax2+bx+c(a≠0,a、b、c为常数)，顶点坐标为[,]把三个点代入函数解析式得出一个三元一次方程组，就能解出a、b、c的值。
2、顶点式：y=a(x-h)2+k(a≠0,a、h、k为常数)，顶点坐标为对称轴为直线x=h，顶点的位置特征和图像的开口方向与函数y=ax2的图像相同，当x=h时，y最值=k。
有时题目会指出让你用配方法把一般式化成顶点式。
例：已知二次函数y的顶点(1,2)和另一任意点(3,10)，求y的解析式。
解：设y=a(x-1)2+2，把(3,10)代入上式，解得y=2(x-1)2+2。
注意：与点在平面直角坐标系中的平移不同，二次函数平移后的顶点式中，h>0时，h越大，图像的对称轴离y轴越远，且在x轴正方向上，不能因h前是负号就简单地认为是向左平移。
具体可分为下面几种情况：当h>0时，y=a(x-h)2的图象可由抛物线y=ax2向右平行移动h个单位得到；当h<0时，y=a(x-h)2的图象可由抛物线y=ax2向左平行移动|h|个单位得到；当h>0，k>0时，将抛物线y=ax2向右平行移动h个单位，再向上移动k个单位，就可以得到y=a(x-h)2+k的图象；当h>0,k<0时，将抛物线y=ax2向右平行移动h个单位，再向下移动|k|个单位可得到y=a(x-h)2+k的图象；当h<0,k>0时，将抛物线y=ax2向左平行移动|h|个单位，再向上移动k个单位可得到y=a(x-h)2+k的图象；当h<0，k<0时，将抛物线y=ax2向左平行移动|h|个单位，再向下移动|k|个单位可得到y=a(x-h)2+k 的图象。
2022年部分省地市中考《二次函数》压轴题
2022年部分省地市中考《二次函数》压轴题2022年湖南省各地市中考《二次函数》压轴题1.（2022年长沙中考）若关于x 的函数y ，当1122t x t -≤≤+时，函数y 的最大值为M ，最小值为N ，令函数2M Nh -=，我们不妨把函数h 称之为函数y 的“共同体函数”． （1）①若函数4044y x =，当1t =时，求函数y 的“共同体函数”h 的值；①若函数y kx b =+（0k ≠，k ，b 为常数），求函数y 的“共同体函数”h 的解析式；（2）若函数2y x=（1x ≥），求函数y 的“共同体函数”h 的最大值； （3）若函数24y x x k =-++，是否存在实数k ，使得函数y 的最大值等于函数y 的“共同体函数”h 的最小值．若存在，求出k 的值；若不存在，请说明理由。
2．（2022年湘潭中考）已知抛物线y ＝x 2+bx +c ．（1）如图①，若抛物线图象与x 轴交于点A （3，0），与y 轴交点B （0，﹣3），连接AB ． （Ⅰ）求该抛物线所表示的二次函数表达式；（Ⅱ）若点P 是抛物线上一动点（与点A 不重合），过点P 作PH ⊥x 轴于点H ，与线段AB 交于点M ，是否存在点P 使得点M 是线段PH 的三等分点？若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．（2）如图②，直线y ＝x +n 与y 轴交于点C ，同时与抛物线y ＝x 2+bx +c 交于点D （﹣3，0），以线段CD 为边作菱形CDFE ，使点F 落在x 轴的正半轴上，若该抛物线与线段CE 没有交点，求b 的取值范围．3．（2022年邵阳中考）如图，已知直线y ＝2x +2与抛物线y ＝ax 2+bx +c 相交于A ，B 两点，点A在x轴上，点B在y轴上，点C（3，0）在抛物线上．（1）求该抛物线的表达式．（2）正方形OPDE的顶点O为直角坐标系原点，顶点P在线段OC上，顶点E在y轴正半轴上，若△AOB与△DPC全等，求点P的坐标．（3）在条件（2）下，点Q是线段CD上的动点（点Q不与点D重合），将△PQD沿PQ 所在的直线翻折得到△PQD'，连接CD'，求线段CD'长度的最小值．4．（2022年娄底中考）如图，抛物线y＝x2﹣2x﹣6与x轴相交于点A、点B，与y轴相交于点C．（1）请直接写出点A，B，C的坐标；（2）点P（m，n）（0＜m＜6）在抛物线上，当m取何值时，△PBC的面积最大？并求出△PBC面积的最大值．（3）点F是抛物线上的动点，作FE∥AC交x轴于点E，是否存在点F，使得以A、C、E、F为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请写出所有符合条件的点F的坐标；若不存在，请说明理由．5．（2022年衡阳中考）如图，已知抛物线y＝x2﹣x﹣2交x轴于A、B两点，将该抛物线位于x轴下方的部分沿x轴翻折，其余部分不变，得到的新图象记为“图象W”，图象W交y 轴于点C．（1）写出图象W位于线段AB上方部分对应的函数关系式；（2）若直线y＝﹣x+b与图象W有三个交点，请结合图象，直接写出b的值；（3）P为x轴正半轴上一动点，过点P作PM∥y轴交直线BC于点M，交图象W于点N，是否存在这样的点P，使△CMN与△OBC相似？若存在，求出所有符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由．6．（2022年株洲中考）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a＞0）．（1）若a＝1，b＝3，且该二次函数的图象过点（1，1），求c的值；（2）如图所示，在平面直角坐标系xOy中，该二次函数的图象与x轴相交于不同的两点A（x1，0）、B（x2，0），其中x1＜0＜x2、|x1|＞|x2|，且该二次函数的图象的顶点在矩形ABFE的边EF上，其对称轴与x轴、BE分别交于点M、N，BE与y轴相交于点P，且满足tan∠ABE＝．①求关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0的根的判别式的值；②若NP＝2BP，令T＝c，求T的最小值．阅读材料：十六世纪的法国数学家弗朗索瓦•韦达发现了一元二次方程的根与系数之间的关系，可表述为“当判别式△≥0时，关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两个根x1、x2有如下关系：x1+x2＝，x1x2＝”．此关系通常被称为“韦达定理”．7.．（2022年怀化中考）如图一所示，在平面直角坐标中，抛物线y＝ax2+2x+c经过点A（﹣1，0）、B（3，0），与y轴交于点C，顶点为点D．在线段CB上方的抛物线上有一动点P，过点P作PE⊥BC于点E，作PF∥AB交BC于点F．（1）求抛物线和直线BC的函数表达式．（2）当△PEF的周长为最大值时，求点P的坐标和△PEF的周长．（3）若点G是抛物线上的一个动点，点M是抛物线对称轴上的一个动点，是否存在以C、B、G、M为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出点G的坐标，若不存在，请说明理由．8.（2022年张家界中考）如图，已知抛物线y=ax2+bx+3(a≠0)的图象与x轴交于A(1,0)，B(4,0)两点，与y轴交于点C，点D为抛物线的顶点．(1)求抛物线的函数表达式及点D的坐标；(2)若四边形BCEF为矩形，CE=3.点M以每秒1个单位的速度从点C沿CE向点E运动，同时点N以每秒2个单位的速度从点E沿EF向点F运动，一点到达终点，另一点随之停止．当以M、E、N为顶点的三角形与△BOC相似时，求运动时间t的值；(3)抛物线的对称轴与x轴交于点P，点G是点P关于点D的对称点，点Q是x轴下方抛物线图象)与抛物线只有一个公共点，且分别与线段上的动点．若过点Q的直线l：y=kx+m(|k|<94GA、GB相交于点H、K，求证：GH+GK为定值．2022年浙江省省各地市中考《二次函数》压轴题1.（2022年浙江省湖州中考）如图1，已知在平面直角坐标系xOy中，四边形OABC 是边长为3的正方形，其中顶点A，C分别在x轴的正半轴和y轴的正半轴上，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A，C两点，与x轴交于另一个点D.（1）①求点A，B，C的坐标；②求b，c的值.（2）若点P是边BC上的一个动点，连结AP，过点P作PM⊥AP，交y轴于点M（如图2所示），当点P在BC上运动时，点M也随之运动.设BP=m，CM=n，试用含m的代数式表示n，并求出n的最大值.2.（2022年浙江省丽水市中考）如图，已知点M（x1，y1），N（x2，y2）在二次函数y ＝a（x﹣2）2﹣1（a＞0）的图象上，且x2﹣x1＝3．（1）若二次函数的图象经过点（3，1）.①求这个二次函数的表达式；②若y1＝y2，求顶点到MN的距离；（2）当x1≤x≤x2时，二次函数的最大值与最小值的差为1，点M，N在对称轴的异侧，求a的取值范围.3.（2022年浙江省宁波市中考）为了落实劳动教育，某学校邀请农科院专家指导学生进行小番茄的种植，经过试验，其平均单株产量y千克与每平方米种植的株数x（2≤x≤8，且x为整数）构成一种函数关系，每平方米种植2株时，平均单株产量为4千克；以同样的栽培条件，每平方米种植的株数每增加1株，单株产量减少0.5千克.（1）求y关于x的函数表达式．（2）每平方米种植多少株时，能获得最大的产量？最大产量为多少千克？4.（2022年浙江省温州市中考）根据以下素材，探索完成任务．中有一座拱桥，．据调查，该河桥洞前面的桥为了安全，灯笼底部距离水面不小于；为了实效，相邻两盏灯笼悬挂为了美观，要求在符合条件处都挂上灯笼，且5.（2022年浙江嘉兴中考）已知抛物线L1：y＝a（x+1）2﹣4（a≠0）经过点A（1，0）．（1）求抛物线L1的函数表达式．（2）将抛物线L1向上平移m（m＞0）个单位得到抛物线L2．若抛物线L2的顶点关于坐标原点O的对称点在抛物线L1上，求m的值．（3）把抛物线L1向右平移n（n＞0）个单位得到抛物线L3，若点B（1，y1），C（3，y2）在抛物线L3上，且y1＞y2，求n的取值范围．6．（2022年浙江杭州中考）设二次函数y1＝2x2+bx+c（b，c是常数）的图象与x轴交于A，B两点．（1）若A，B两点的坐标分别为（1，0），（2，0），求函数y1的表达式及其图象的对称轴．（2）若函数y1的表达式可以写成y1＝2（x﹣h）2﹣2（h是常数）的形式，求b+c的最小值．（3）设一次函数y2＝x﹣m（m是常数），若函数y1的表达式还可以写成y1＝2（x﹣m）（x﹣m﹣2）的形式，当函数y＝y1﹣y2的图象经过点（x0，0）时，求x0﹣m的值．7.（2022年浙江金华中考）“八婺”菜场指导菜农生产和销售某种蔬菜，提供如下信息：①统计售价与需求量的数据，通过描点（图1），发现该蔬莱需求量y需求（吨）关于售价x（元/千克）的函数图象可以看成抛物线，其表达式为y需求＝ax2+c，部分对应值如下表：… 2.53 3.54…售价x（元/千克）…7.757.2 6.55 5.8…需求量y需求（吨）②该蔬莱供给量y供给（吨）关于售价x（元/千克）的函数表达式为y供给＝x﹣1，函数图象见图1．③1～7月份该蔬莱售价x售价（元/千克）、成本x成本（元/千克）关于月份t的函教表达式分别为x售价＝t+2，x成本＝t2﹣t+3，函数图象见图2．请解答下列问题：（1）求a，c的值．（2）根据图2，哪个月出售这种蔬菜每千克获利最大？并说明理由．（3）求该蔬菜供给量与需求量相等时的售价，以及按此价格出售获得的总利润．Array2022年山东省各地市中考《二次函数》压轴题1.（2022年山东省烟台市中考）如图，已知直线y＝x+4与x轴交于点A，与y轴交于点C，抛物线y＝ax2+bx+c经过A，C两点，且与x轴的另一个交点为B，对称轴为直线x＝﹣1．（1）求抛物线的表达式；（2）D是第二象限内抛物线上的动点，设点D的横坐标为m，求四边形ABCD面积S的最大值及此时D点的坐标；（3）若点P在抛物线对称轴上，是否存在点P，Q，使以点A，C，P，Q为顶点的四边形是以AC为对角线的菱形？若存在，请求出P，Q两点的坐标；若不存在，请说明理由．2.（2022年山东省威海市中考）探索发现（1）在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）与x轴交于点A（﹣3，0），B （1，0），写y轴交于点C，顶点为点D，连接AD．①如图1，直线DC交直线x＝1于点E，连接OE．求证：AD∥OE；②如图2，点P（2，﹣5）为抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）上一点，过点P作PG⊥x轴，垂足为点G．直线DP交直线x＝1于点H，连接HG．求证：AD∥HG；归纳概括（2）通过上述两种特殊情况的证明，你是否有所发现？请仿照（1）写出你的猜想，并在图3上画出草图．在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）与x轴交于点A（﹣3，0），B（1，0），顶点为点D．点M为该抛物线上一动点（不与点A，B，D重合），．3.（2022年山东省临沂市中考）第二十四届冬奥会在北京成功举办，我国选手在跳台滑雪项目中夺得金牌．在该项目中，运动员首先沿着跳台助滑道飞速下滑，然后在起跳点腾空，身体在空中飞行至着陆坡着陆，再滑行到停止区终止．本项目主要考核运动员的飞行距离和动作姿态，某数学兴趣小组对该项目中的数学问题进行了深入研究：如图为该兴趣小组绘制的赛道截面图，以停止区CD所在水平线为x轴，过起跳点A与x 轴垂直的直线为y轴，O为坐标原点，建立平面直角坐标系．着陆坡AC的坡角为30°，OA＝65m，某运动员在A处起跳腾空后，飞行至着陆坡的B处着陆，AB＝100m．在空中飞行过程中，运动员到x轴的距离y（m）与水平方向移动的距离x（m）具备二次函数关系，其解析式为y＝﹣x2+bx+c．（1）求b，c的值；（2）进一步研究发现，运动员在飞行过程中，其水平方向移动的距离x（m）与飞行时间t（s）具备一次函数关系，当运动员在起跳点腾空时，t＝0，x＝0；空中飞行5s后着陆．①求x关于t的函数解析式；②当t为何值时，运动员离着陆坡的竖直距离h最大，最大值是多少？4.（2022年山东省泰安市中考）若二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点A(−2,0)，B(0,−4)，其对称轴为直线x=1，与x轴的另一交点为C．(1)求二次函数的表达式；(2)若点M在直线AB上，且在第四象限，过点M作MN⊥x轴于点N．①若点N在线段OC上，且MN=3NC，求点M的坐标；②以MN为对角线作正方形MPNQ(点P在MN右侧)，当点P在抛物线上时，求点M的坐标．5.（2022年山东省聊城市中考）如图，在直角坐标系中，二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C（0，3），对称轴为直线x＝﹣1，顶点为点D．（1）求二次函数的表达式；（2）连接DA，DC，CB，CA，如图①所示，求证：∠DAC＝∠BCO；（3）如图②，延长DC交x轴于点M，平移二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象，使顶点D沿着射线DM方向平移到点D1且CD1＝2CD，得到新抛物线y1，y1交y轴于点N．如果在y1的对称轴和y1上分别取点P，Q，使以MN为一边，点M，N，P，Q为顶点的四边形是平行四边形，求此时点Q的坐标．6.（2022年山东省滨州中考）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2﹣2x﹣3与x轴相交于点A、B（点A在点B的左侧），与y轴相交于点C，连接AC、BC．（1）求线段AC的长；（2）若点P为该抛物线对称轴上的一个动点，当P A＝PC时，求点P的坐标；（3）若点M为该抛物线上的一个动点，当△BCM为直角三角形时，求点M的坐标．2022年四川省各地市中考《二次函数》压轴题1.（2022年四川省成都中考）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝kx﹣3（k≠0）与抛物线y＝﹣x2相交于A，B两点（点A在点B的左侧），点B关于y轴的对称点为B'．（1）当k＝2时，求A，B两点的坐标；（2）连接OA，OB，AB'，BB'，若△B'AB的面积与△OAB的面积相等，求k的值；（3）试探究直线AB'是否经过某一定点．若是，请求出该定点的坐标；若不是，请说明理由．2.（2022年四川省德阳中考）抛物线的解析式是y＝﹣x2+4x+a．直线y＝﹣x+2与x轴交于点M，与y轴交于点E，点F与直线上的点G（5，﹣3）关于x轴对称．（1）如图①，求射线MF的解析式；（2）在（1）的条件下，当抛物线与折线EMF有两个交点时，设两个交点的横坐标是x1，x2（x1＜x2），求x1+x2的值；（3）如图②，当抛物线经过点C（0，5）时，分别与x轴交于A，B两点，且点A在点B的左侧．在x轴上方的抛物线上有一动点P，设射线AP与直线y＝﹣x+2交于点N．求的最大值．3.（2022年四川省雅安市中考）已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象过点A（﹣1，0），B（3，0），且与y轴交于点C（0，﹣3）．（1）求此二次函数的表达式及图象顶点D的坐标；（2）在此抛物线的对称轴上是否存在点E，使△ACE为Rt△，若存在，试求点E的坐标，若不存在，请说明理由；（3）在平面直角坐标系中，存在点P，满足P A⊥PD，求线段PB的最小值．4.（2022年四川省南充市中考）抛物线y＝x2+bx+c与x轴分别交于点A，B（4，0），与y轴交于点C（0，﹣4）．（1）求抛物线的解析式．（2）如图1，▱BCPQ顶点P在抛物线上，如果▱BCPQ面积为某值时，符合条件的点P 有且只有三个，求点P的坐标．（3）如图2，点M在第二象限的抛物线上，点N在MO延长线上，OM＝2ON，连接BN 并延长到点D，使ND＝NB．MD交x轴于点E，∠DEB与∠DBE均为锐角，tan∠DEB ＝2tan∠DBE，求点M的坐标．5.（2022年四川省自贡市中考）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）．（1）若a＝﹣1，且函数图象经过（0，3），（2，﹣5）两点，求此二次函数的解析式，直接写出抛物线与x轴交点及顶点坐标；（2）在图①中画出（1）中函数的大致图象，并根据图象写出函数值y≥3时自变量x的取值范围；（3）若a+b+c＝0且a＞b＞c，一元二次方程ax2+bx+c＝0两根之差等于a﹣c，函数图象经过P（﹣c，y1），Q（1+3c，y2）两点，试比较y1、y2的大小．6.（2022年四川省遂宁市中考）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，其中点A的坐标为（﹣1，0），点C的坐标为（0，﹣3）．（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，E为△ABC边AB上的一动点，F为BC边上的一动点，D点坐标为（0，﹣2），求△DEF周长的最小值；（3）如图2，N为射线CB上的一点，M是抛物线上的一点，M、N均在第一象限内，B、N位于直线AM的同侧，若M到x轴的距离为d，△AMN面积为2d，当△AMN为等腰三角形时，求点N的坐标．经过A （﹣2，0），B （0，4）两点，直线x ＝3与x 轴交于点C ．（1）求a ，c 的值；（2）经过点O 的直线分别与线段AB ，直线x=3交于点D ，E ，且△BDO 与△OCE 的面积相等，求直线DE 的解析式；（3）P 是抛物线上位于第一象限的一个动点，在线段OC 和直线x=3上是否分别存在点F ，G ，使B ，F ，G ，P 为顶点的四边形是以BF 为一边的矩形？若存在，求出点F 的坐标；若不存在，请说明理由。
下册第二章第8课用待定系数法求二次函数表达式-北师大版九年级数学全一册课件
13. 如果抛物线y=x2-6x+c-2的顶点到x轴的距离是3，
那么c=（ C ）
A. 8
B. 14
C. 8或14
D. -8或-14
二级能力提升练
14. 抛物线的顶点为（1，-4），与y轴交于点（0，
-3），求该抛物线的函数表达式.
解：设抛物线的表达式为y＝a（x-1）2-4. 将（0，-3）代入y＝a（x-1）2-4， 得-3＝a（0-1）2-4. 解得a＝1. 所以抛物线的表达式为y＝（x-1）2-4＝x2-2x-3.
D.
-4
D.
与y=2（x-1）2+3形状相同的抛物线的函数表达式为（ ）
（例3）已知二次函数图象与x轴的两个交点坐标（-3，0），（2，0），且与y轴的交点坐标为（0，-6），求这个二次函数的解析式.
知识点2 顶点式法求二次函数的表达式
5. （例2）求顶点为M（-2，1），且图象经过原点的
二次函数函数表达式. ∴该二次函数表达式为y=（x-1）2-4=x2-2x-3.
设解析式为y=a（x+3）·（x-1），由图可得（0，3）是抛物线上的一点，把（0，3）代入解析式得3=-3a. 把x=-2代入，得y=5.
（1）求抛物线的函数表达式；
知识点2 顶点式法求二次函数的表达式
∴设函数表达式为y=a（x-1）2-4.
解得b＝-4，c＝-1.
-4
D.
二次函数的图象经过点（4，-3），且当x=3时，有最大值-1，求该二次函数的表达式.
所以抛物线的顶点坐标为（-2，4）.
设解析式为y=a（x+3）·（x-1），由图可得（0，3）是抛物线上的一点，把（0，3）代入解析式得3=-3a.
二次函数求表达式
二次函数求表达式一、常规的抛物线求解方法二次函数的表达式为y=ax^2+bx+c(a≠0),最常见的也是最容易明白的求解方法，就是题目中告诉抛物线经过三个任意点，这种类型的求解方法是根据抛物线的定义来求解。
把抛物线所经过的三点的横坐标和纵坐标依次带入表达式，组成三个三元一次方程，从而构成三元一次方程组，根据求解方程组的方法求出a,b,c的值。
在中考压轴题中，这种类型比较少，但是对于初步学习二次函数的学生来说，一定要理解这种表达式的求解方法，并且要在计算过程中保证不要算错，因此进行验算非常有必要。
二、根据顶点求解析式每个抛物线都有一个顶点，而且只有一个。
有些题目指出抛物线的顶点，怎么根据顶点来求抛物线表达式？首先要对抛物线基本表达式y=ax^2+bx+c进行分析，这个表达式中，它的顶点坐标是什么？通过化简，可得y=a(x+b/2a)-(b^2-4ac)/4a,通过这个解析式知道它的顶点是[-2a/b,-(b^2-4ac)/4a],在实际解题中，如果知道某个函数的顶点之后，我们把顶点坐标代入到顶点公式中，比较繁琐，因此可以设函数为y=a(x+h)^2+k,这个函数的顶点是（-h,k）这样可以使这个函数的求解变得简单，只要能够求出二次函数的系数，这个函数的解析式就可以求出。
已知某函数的顶点是A（1,2），它又过点（3,5），求它的解析式根据顶点是（1,2）可设y=a(x-1)^2+2,再把x=3,y=5代入可得4a+2=5,a=3/4再把a=3/4代入可以算出y=3/4(x-1)^2+2=3x^2/4-3x/2+11/4备注：当a>0时，函数顶点处是函数的最低点，具有最小值，而当a<0时，顶点处是最高点，具有最大值。
三、根据与坐标轴交点求解析式根据函数图像的性质可知，二次函数与x轴的交点有三种可能，分别是无交点，一个交点和两个交点，而题目中大多数情况下是有两个交点，如果知道两个交点的坐标，再知道另一个交点，就可以求出表达式。
求二次函数的表达式练习题(含答案)
二次函数的表达式一、选择题1.函数y =21x 2+2x +1写成y =a (x －h)2+k 的形式是=21(x －1)2+2 =21(x －1)2+21 =21(x －1)2－3 =21(x +2)2－1 2.抛物线y =－2x 2－x +1的顶点在第_____象限A.一B.二C.三D.四 3.不论m 取任何实数，抛物线y =a (x +m )2+m (a ≠0)的顶点都A.在y =x 直线上B.在直线y =－x 上C.在x 轴上D.在y 轴上4.任给一些不同的实数n ，得到不同的抛物线y =2x 2+n ，如当n =0，±2时，关于这些抛物线有以下结论：①开口方向都相同；②对称轴都相同；③形状都相同；④都有最低点，其中判断正确的个数是个 个 个 个 5.二次函数y =x 2+p x +q 中，若p+q=0，则它的图象必经过下列四点中A.(－1，1)B.(1，－1)C.(－1，－1)D.(1，1)图36.下列说法错误的是A.二次函数y =－2x 2中，当x =0时，y 有最大值是0B.二次函数y =4x 2中，当x >0时，y 随x 的增大而增大C.在三条抛物线y =2x 2，y =－，y =－x 2中，y =2x 2的图象开口最大，y =－x 2的图象开口最小D.不论a 是正数还是负数，抛物线y =ax 2(a ≠0)的顶点一定是坐标原点 7.已知二次函数y =x 2+(2k +1)x +k 2－1的最小值是0，则k 的值是A.43B.－43C.45D.－458.小颖在二次函数y =2x 2+4x +5的图象上，依横坐标找到三点(－1，y 1)，(21，y 2)， (－321，y 3)，则你认为y 1，y 2，y 3的大小关系应为>y 2>y 3 >y 3>y 1 >y 1>y 2 >y 2>y 1 二、填空题9.抛物线y =21(x +3)2的顶点坐标是______.10.将抛物线y =3x 2向上平移3个单位后，所得抛物线的顶点坐标是______.11.函数y =34x －2－3x 2有最_____值为_____.12.已知抛物线y =ax 2+bx +c 的图象顶点为(－2，3)，且过(－1，5)，则抛物线的表达式为______.13.二次函数y =mx 2+2x +m －4m 2的图象过原点，则此抛物线的顶点坐标是______. 三、解答题14.根据已知条件确定二次函数的表达式（1）图象的顶点为（2，3），且经过点（3，6）；（2）图象经过点（1，0），（3，0）和（0，9）；（3）图象经过点（1，0），（0，-3），且对称轴是直线x=2。
求解二次函数表达式四种形式（一般式、交点式、双根式、对称式）
求解二次函数表达式四种形式（一般式、交点式、双根式、对称式）一、一般式：y=ax2+bx+c(a、b、c为常数，且a≠0),适用于任给三点坐标求二次函数解析式问题.例1:若二次函数的图象经过点A(1,3)、B(2,-2)、C(-1,1),求二次函数的解析式.解：设二次函数的解析式为y=ax2+bx+c,列出三元方程组：3=a+b+c-2=4a+2b+C,1=a-b+c解得：a=-2b=1.c=4:.二次函数的解析式为y=-2x2+x+4.二、顶点式：y=a(x-h)2+k[二次函数的顶点为（h、k),a为常数，且a≠0],适用于给出顶点及另外一点坐标求二次函数解析式问题.例2:二次函数的顶点的坐标为（2,5),且过点（1,3),求二次函数的解析式.解：设二次函数的解析式为y=a(x-2)2+5,3=a(1-2)2+5,解得：a=-2.:.y=-2(x-2)2+5=-2x2+8x-3.:.二次函数的解析式为y=-2x2+8x-3三、双根式：y=a(x-x1)(x-x2)[二次函数过点A(x1,0),B(x2,0),a为常数，且a≠0】，适用于给出与x轴两交点及另外一点坐标求二次函数解析式问题.例3:抛物线与x轴交于A(-1,0)、B(3,0),且经过C(1,4),求抛物线的解析式.解：设抛物线的解析式为y=a(x+1)(x-3),4=a(1+1)(1-3),解得：a=-1:.二次函数的解析式为y=-x2+2x+3四、对称式：y=a(x-x1)(x-x2)[二次函数过点A(x1,0),B(x2,0),a为常数，且a≠0】,适用于给出纵坐标相同的两个点及另外一点坐标求二次函数解析式问题.例4:抛物线经过点A(0,3)、B(1,4)、C(2,3),求抛物线的解析式.解：设二次函数的解析式为y=a(x-2)(x-0)+3,4=a(1-2)(1-0)+3,解得：a=-1:.y=-(x-2)(x-0)+3=-x2+2x+3:.二次函数的解析式为y=-x2+2x+3。
人教版九年级数学第二十二章《二次函数》解答题专题复习 (34)(含解析)
第二十二章《二次函数》解答题专题复习 (34)一、解答题1．在平面直角坐标系中，已知抛物线y=ax 2－2x ＋c （a ，c 为常数）的顶点为P ，等腰直角三角形ABC 的顶点A 的坐标为（0，﹣1），C 的坐标为（﹣4，3），直角顶点B 在第二象限．（1）如图，若该抛物线过A ，B 两点，求该抛物线的函数表达式；（2）平移（1）中的抛物线，使顶点P 在直线AC 上滑动，且与AC 交于另一点Q ，判断线段PQ 的长度是否为定值？如果是，求出PQ 的长；如果不是，说明理由；（3）在（2）的条件下，若点M 在直线AC 下方，且为平移前（1）中的抛物线上的点，以M 、P 、Q 三点为顶点的三角形是等腰直角三角形，求出所有符合条件的点M 的坐标． 2．如图抛物线x 与轴交于()()A 1,0B 3,0-、两点与y 轴交于点()0,3C -设抛物线的顶点为点D ．（1）求该抛物线的解析式与顶点D 的坐标． （2）试判断BCD ∆的形状并说明理由．（3）坐标轴上是否存在点P 使得以P A C 、、为顶点的三角形与BCD ∆相似？若存在请直接写出点P 的坐标；若不存在请说明理由．3．已知抛物线2123y x x =--+与x 轴交于点A ，B 两点（A 在B 的左侧），与y 轴交于点C ．（1）直接写出点A ，B ，C 的坐标；（2）将抛物线1y 经过向下平移，使得到的抛物线与x 轴交于B ， B '两点（B '在B 的右侧），顶点D 的对应点D ，若90BD B ︒''∠=，求B '的坐标和抛物线2y 的解析式； （3）在（2）的条件下，若点Q 在x 轴上，则在抛物线1y 或2y 上是否存在点P ，使以,,,B C Q P '为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，求出所有符合条件的点P 的坐标；如果不存在，请说明理由．4．已知二次函数顶点坐标为（﹣1，4），且抛物线过点（2，﹣5），求二次函数解析式，并在平面直角坐标系中画出该函数的图象．5．已知二次函数y ＝﹣x 2+bx +c ，函数值y 与自变量x 之间的部分对应值如下表： x … ﹣4 ﹣1 0 1 … y…﹣2﹣1﹣2﹣7…（1）此二次函数图象的对称轴是直线，此函数图象与x 轴交点个数为 ． （2）求二次函数的函数表达式；（3）当﹣5＜x ＜﹣1时，请直接写出函数值y 的取值范围．6．如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC 的顶点A ，C 分别在x 轴，y 轴的正半轴上，且OA =4，OC =3，若抛物线经过O ，A 两点，且顶点在BC 边上，对称轴交BE 于点F ，点D ，E 的坐标分别为（3，0），（0，1）.（1）求抛物线的解析式； （2）猜想△EDB 的形状并加以证明. 7．如图，抛物线y=﹣8153(3)45x x m +-（其中m ＞0）与x 轴分别交于A ，B 两点（A 在B 的右侧），与y 轴交于点c ．（1）求△AOC 的周长，（用含m 的代数式表示）（2）若点P 为直线AC 上的一点，且点P 在第二象限，满足OP 2=PC•PA ，求tan ∠APO 的值及用含m 的代数式表示点P 的坐标；（3）在（2）的情况下，线段OP 与抛物线相交于点Q ，若点Q 恰好为OP 的中点，此时对于在抛物线上且介于点C 与抛物线顶点之间（含点C 与顶点）的任意一点M （x 0，y 0）总能使不等式n≤04323316x +及不等式2n ﹣20091343168x x ≥++恒成立，求n 的取值范围．8．已知关于x 函数y ＝(2﹣k)x 2﹣2x+k(1)若此函数的图象与坐标轴只有2个交点，求k 的值．(2)求证：关于x 的一元二次方程(2﹣k)x 2﹣2x+k ＝0必有一个根是1． 9．已知二次函数的解析式是223y x x =--.（1）在直角坐标系中，画出它的图象，求x 为何值时，函数值0y =；（2）当33x -<<时，观察图象直接写出函数值y 的取值范围.10．已知方程x 2ax a 40++-=2有两个不同的实数根，方程x 2ax k 0++=2也有两个不同的实数根，且其两根介于方程x 2ax a 40++-=2的两根之间，求k 的取值范围． 11．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋2经过点A (－1，0)和点B (4，0)，且与y 轴交于点C ，点D 的坐标为(2，0)，点P (m ，n )是该抛物线上的一个动点，连接CA ，CD ，PD ，PB .⑴求抛物线的解析式；⑵当△PDB 的面积等于△CAD 的面积时，求点P 的坐标；⑶当m ＞0，n ＞0时，过点P 作直线PE ⊥y 轴于点E 交直线BC 于点F ，过点F 作FG ⊥x 轴于点G ，连接EG ，请直接写出随着点P 的运动，线段EG 的最小值.12．（1）已知二次函数y=2ax +bx+1的图象经过点（1，3）和（3，﹣5），求a 、b 的值；（2）已知二次函数y=2x -+bx+c 的图象与x 轴的两个交点的横坐标分别为1和2．求这个二次函数的表达式．13．抛物线2y ax bx c =++的对称轴为直线2x =，且顶点在x 轴上，与y 轴的交点为A ，A 点的坐标为()0,1，点()2,1B 在抛物线的对称轴上，直线1y =-与直线2x =相交于点C ．（1）求该抛物线的函数表达式．（2）点P 是（1）中图象上的点，过点P 作x 轴的垂线与直线1y =-交于点D ．试判断PBD ∆是否为等腰三角形，并说明理由．（3）作PE BD ⊥于点E ，当点P 从横坐标2013处运动到横坐标2019处时，请求出点E 运动的路径长．14．一种商品售价为10元，一周可卖出50件．商场调查表明：这种商品如果每件涨价1元，每周要少卖5件，每件降价1元，每周要多卖5件， 已知该商品进价每件8元． （1）写出周利润y 与涨价x 之间的函数表达式； （2）如果要求保证利润为正值，请写出x 的取值范围； （3）问每件商品涨价多少，才能使每周得到的利润最多？15．如图1，抛物线y ＝ax 2－3ax －4a(a ＜0)，与x 轴交于A 、B 两点(A 在B 左边)，与y 轴交于C 点，且tan ∠CAO ＝2． (1)求抛物线的解析式；(2)D 为抛物线上一动点，且D 在B 、C 两点之间．若四边形ACDB 的面积为S ，求S 的最大值；(3)如图2，已知直线l ：y ＝kx ＋b(b≠0)与抛物线交于M 、N 两点，P 为BC 中点，Q 为线段MN的中点，若PQ∥y轴，求证：MN∥BC．16．如图，A(－1，0)，B(2，－3)两点在一次函数y＝－x＋m与二次函数y＝ax2＋bx－3的图象上．(1)求m的值和二次函数的表达式；(2)设二次函数的图象交y轴于点C，求△ABC的面积．17．某市在党中央实施“精准扶贫”政策的号召下，大力开展科技扶贫工作，帮助农民组建农副产品销售公司，某农副产品的年产量不超过100万件，该产品的生产费用y（万元）与年产量x（万件）之间的函数图象是顶点为原点的抛物线的一部分（如图①所示）；该产品的销售单价z（元/件）与年销售量x（万件）之间的函数图象是如图②所示的一条线段，生产出的产品都能在当年销售完，达到产销平衡，所获毛利润为w万元．（毛利润＝销售额﹣生产费用）（1）请直接写出y 与x 以及z 与x 之间的函数关系式；（2）求w 与x 之间的函数关系式；并求年产量多少万件时，所获毛利润最大？最大毛利润是多少？（3）由于受资金的影响，今年投入生产的费用不会超过360万元，今年最多可获得多少万元的毛利润？18．一个涵洞成抛物线形，它的截面如图，现测得：当水面宽AB=1.6 m 时，涵洞顶点与水面的距离为2.4 m ，离开水面1.5 m 处是涵洞宽ED ． （1）求抛物线的解析式； （2）求ED 的长.19．怡然美食店的A 、B 两种菜品，每份成本均为14元，售价分别为20元、18元，这两种菜品每天的营业额共为1120元，总利润为280元． （1）该店每天卖出这两种菜品共多少份；（2）该店为了增加利润，准备降低A 种菜品的售价，同时提高B 种菜品的售价，售卖时发现，A 种菜品售价每降0.5元可多卖1份；B 种菜品售价每提高0.5元就少卖1份，如果这两种菜品每天销售总份数不变，那么这两种菜品一天的总利润最多是多少． 20．已知二次函数解析式为()()2y x m x m =---，且该函数的顶点坐标为(),p q ．（1）求证：该函数图像与x 轴必有两个交点； （2）求q 的值；（3）若26x ≤≤时，函数有最小值为2，求m 的值．【答案与解析】一、解答题1．（1）y=1-2x2－2x-1．（2）PQ的长度是定值，为22（3）M1（﹣4，﹣1），M2（2，﹣7），M3（15-+，25--），M4（15--，25-+）（1）先求出点B的坐标，然后利用待定系数法求出抛物线的函数表达式；（2）首先求出直线AC的解析式及平移后的抛物线解析式，构成方程组，解方程组求出P、Q点的坐标，然后过点P作PE∥x轴，过点Q作QE∥y轴，根据图形结合坐标求出PQ 的长；（3）由△MPQ为等腰直角三角形，则可分为以下两种情况：①当PQ为直角边时，点M 到PQ的距离为22，此时，将直线AC向左平移4个单位后所得直线（y=-x-5）与抛物线的交点，即为所求的M点；②当PQ为斜边时：点M到PQ的距离为2，此时，将直线AC向左平移2个单位后所得直线（y=﹣x﹣3）与抛物线的交点，即为所求之M点．试题解析：解：（1）由题意，得点B的坐标为（4，-1）．∵抛物线过A（0，-1），B（4，-1）两点，∴1{116412cb c=--⨯++=-，解得：b=2，c=-1，∴抛物线的函数表达式为：y=12-x2+2x-1．（2）PQ的长度是定值，为22理由：∵A（0，﹣1），C（﹣4，3），∴直线AC的解析式为：y x1=--．设平移前抛物线的顶点为P 0，则由（1）可得P 0的坐标为（﹣2，1），且P 0在AC 上． ∵点P 在直线AC 上滑动， ∴可设P 点的坐标为（m ，-m-1） 则平移后抛物线的函数表达式为：21()12y x m m =---- 解方程组211()12y x y x m m =--⎧⎪⎨=----⎪⎩解得11{1x m y m ==--，222{3x m y m =-=--∴P （m ，-m-1），Q （m+2，-m-3）过点P 作PE ∥x 轴，过点Q 作QE ∥y 轴，则PE=(2)m m --=2，QE=1(3)m m -----=2， ∴PQ=0．（3）由△MPQ 为等腰直角三角形，则可分为以下两种情况：①当PQ 为直角边时：点M 到PQ的距离为PQ 的长），由A （0，﹣ 1），B （﹣4，﹣1），P 0（﹣2，1）可知，△ABP 0为等腰直角三角形，且BP 0⊥AC ，BP 0=B 作直线l 1∥AC ，交抛物线21y x 2x 12=---于点M ，则M 为符合条件的点．∴可设直线l 1的解析式为： y=﹣x+b 1． ∵B （-4，-1） ∴-1=-4-b 1，解得b 1=-5 ∴直线l 1的解析式为y=-x-5解方程组251212y x y x x =--⎧⎪⎨=---⎪⎩，解得251212y x y x x =--⎧⎪⎨=---⎪⎩，222{7x y ==- ∴M 1（-4，-1），M 2（2，-7）当PQ 为斜边时，MP=MQ=2，可求得点M 到PQ， 如图，取AB 的中点F ，则点F 的坐标为（-2，-1）由A （0，-1），F （-2，-1），P 0（-2，1）可知：△AFP 0为等腰三角形，且点F 到直线AC，过点F 作直线l 2∥AC ，交抛物线y=12-x 2+2x-1于点M ，则M 为符合条件的点． ∴可设直线l 2的解析式为：y=﹣x+b 2，∵F （﹣2，﹣1），∴﹣1=2+b 2，解得b 2=﹣3．∴直线l 2的解析式为：y=﹣x ﹣3．解方程组23{1212y x y x x =--=---，得：111{2x y =-+=-221{2x y =-=-+ ∴M 3（M 4（综上所述，所有符合条件的点M 的坐标为：M 1（﹣4，﹣1），M 2（2，﹣7），M 3（M 4（，2．（1）223y x x =--()1,4D -；（2）BCD ∆是直角三角形理由见解析；（3）存在()()12310,0,0,,9,03P P P ⎛⎫⎪⎝⎭．（1）已知了抛物线图象上的三点坐标可用待定系数法求出该抛物线的解析式进而可用配方法或公式法求得顶点D 的坐标．（2）根据B 、C 、D 的坐标可求得△BCD 三边的长然后判断这三条边的长是否符合勾股定理即可．（3）假设存在符合条件的P 点；首先连接AC 根据A 、C 的坐标及（2）题所得△BDC 三边的比例关系即可判断出点O 符合P 点的要求因此以P 、A 、C 为顶点的三角形也必与△COA 相似那么分别过A 、C 作线段AC 的垂线这两条垂线与坐标轴的交点也符合点P 点要求可根据相似三角形的性质（或射影定理）求得OP 的长也就得到了点P 的坐标．（1）设抛物线的解析式为2y ax bx c =++．由抛物线与y 轴交于点()0,3C-可知3c =-即抛物线的解析式为23y ax bx =+- 把()()A 1,0B 3,0-、代入309330a b a b --=⎧⎨+-=⎩解得1,2a b ==-∴抛物线的解析式为223y x x =-- ∴顶点D 的坐标为()1,4- （2）BCD ∆是直角三角形．过点D 分别作x 轴、y 轴的垂线垂足分别为E 、F 在Rt BOC △中3,3OB OC == ∴22218BC OB OC =+=在Rt CDF 中1,431DF CF OF OC ==-=-= ∴2222CD DF CF =+= 在RtBDE 中4,312DE BE OB OE ==-=-=∴22220BD DE BE =+= ∴222BC CD BD +=∴BCD ∆是直角三角形．（3）连接AC 根据两点的距离公式可得：2,32,25CD BC BD ===则有222CD CB BD +=可得Rt COA Rt BCD △∽△得符合条件的点为()0,0O ．过A 作1AP AC ⊥交y 轴正半轴于1P 可知1Rt CAP Rt COA Rt BCD △∽△∽△求得符合条件的点为110,3P ⎛⎫ ⎪⎝⎭过C 作2CP AC ⊥交x 轴正半轴于2P 可知2Rt P CA Rt COA Rt BCD △∽△∽△求得符合条件的点为()29,0P∴符合条件的点有三个：()()12310,0,0,,9,03P P P ⎛⎫ ⎪⎝⎭．【点睛】本题考查了抛物线的综合问题掌握抛物线的性质以及解法是解题的关键．3．（1）A （-3，0），B （1，0），（0，3）；（2）B '（3，0），y 2=-x 2+4x-3；（3）P 的坐标为（-2，3），（7，-3），（7，-3），（0，-3），（4，-3）． （1）令y=0，即可求出A ，B ，令x=0，即可求出C 的坐标；（2）设B '（t ，0），根据由题意得y 2由y 1平移所得，可设y 2的解析式为：y 2=-（x-1）（x-t ）=-x 2+（1+t ）x-t ，求出D '，判断出△BD 'B '是等腰直角三角形，可得y D '=12|BB '|，即可得到关于t 的方程，解出t 即可求出B '的坐标和y 2的解析式； （3）分①若Q 在B '右边，②若Q 在B '左边：当B 'Q 为边时和当B 'Q 为对角线时，这几种情况讨论即可．解：（1）由题意得抛物线2123y x x =--+与x 轴交于点A ，B 两点（A 在B 的左侧）与y 轴交于点C ，∴当y=0时，223=0x x --+ 即（x+3）（1-x ）=0 解得x 1=-3，x 2=1，。
北师版九年级数学下册_2.3确定二次函数的表达式
抛物线于点 H，则 yH＝－530×72＋6＝ 3.06>3.所以其中的一侧行车道能并排
行驶宽 2 m、高 3 m 的三辆卡车．
课堂小结
确定二次函数的 表达式
确定二次函 数的表达式
一般式 顶点式 交点式
关键 已知条件的 呈现方式
知2－练
感悟新知
知2－练
(3)拱桥下地平面是双向行车道(正中间是一条宽2 m 的隔 离带)，其中的一侧行车道能否并排行驶宽2 m、高3 m 的三辆卡车(卡车间的间隔忽略不计)？请说说你的理由.
感悟新知
解：能. 理由如下：
知2－练
如图所示，设 DE 是隔离带的宽，EG 是三辆卡车的宽
度和，则点 G 的坐标是(7，0)．过点 G 作 HG⊥AB，交
4-1. 一座拱桥的轮廓是抛物线型(如图所示)，拱高6 m，跨 度是20 m，相邻两支柱间的距离均为5 m.
感悟新知
知2－练
(1)将抛物线放在直角坐标系中，并根据所给数据求出抛物 线的函数表达式. 解：(答案不唯一)将抛物线放在 如图所示的直角坐标系中，根 据已知条件，知A，B，C三点 的坐标分别是(－10，0)，(10， 0)，(0，6)．
1
标－2∵为x)－分3+517别(.－x722＜为+172(01xx，4)2+.－则∴2xxl当=，)=Ax－0D=)，+7722D(Cx时12+4+，C－2Bxlx+=有，1(4最－－=－大177 值72xx22+(+，x22－x最x ))72大+，)(值+1(x432，－5 .
2
感悟新知
知2－练
得5a＝5，解得a＝1，
∴y＝x(x－4)＝x2－4x，
二次 函数表达式的三种求法
二次函数表达式的三种求法（一）知识内容：顶点式2y a x h k=-+(0()a)≠若已知图像的顶点坐标。
最值。
或对称中方程及顶点坐标的某些性质时用顶点式较简单.例题1若二次函数的顶点坐标（-1，-2），且过点（1,10）求解析式习题，已知二次函数的图像的最高点坐标（6,12）且图像经过点（8,0）求解析式例题2已知函数的顶点坐标(3,-2)且函数的图像与x轴的两交点距离为4，求次函数的解析式。
例题3已知二次函数的图像的与轴的交点A(-2，0) B(3,0)两点，且函数有最大值2，求次函数的解析式。
及顶点p和三角形APB的面积。
习题；1，二次函数当x=-2时，Y有最大值3，其图像过点（0，-1）求次函数的解析式。
2，已知二次函数的图像过点（-1,5），和（2，5）,并且最大值14，求次函数的解析式。
3，已知二次函数过点（-1,0），（3，0）且顶点到X 轴的距离为2，求次函数的解析式。
（二） 交点式，知识内容12()()y a x x x x =--(0≠a ) X1,X2分别是抛物线与X 轴两个交点的横坐标，已知抛物线与X 轴的两个交点的横坐标求次函数的解析式时。
用交点式。
例题1已知抛物线与X 轴的两个交点的横坐标-2和1且过点（2,8）求次函数的解析式。
例题2已知函数的顶点坐标(3,-2)且函数的图像与x 轴的两交点距离为4，求次函数的解析式。
习题1，已知函数的最小值是-3,并且图像与X 轴两交点坐标的横坐标分别是2和3，求次函数的解析式。
2，图像与x 轴交于点（2，0）(-1.0)且过点（0，-2）求次函数的解析式。
3已知抛物线与X 轴交于A （-1,0）B （1,0）并且经过点M （0,1）求次函数的解析式。
4已知抛物线经过(-2,0)（1，0）（2,8）三点，求次函数的解析式。
(三)，二次函数的一般式（三）一般式:2=++(0y ax bx ca)确定图像上三个点坐标代入，得到关于，≠a,b,c的方程。
待定系数法求二次函数的解析式—知识讲解(提高)
待定系数法求二次函数的解析式—知识讲解〔提高〕【学习目标】1. 能用待定系数法列方程组求二次函数的解析式；2. 经历探索由已知条件特点，灵活选择二次函数三种形式的过程，正确求出二次函数的解析式，二次函数三种形式是可以互相转化的．【要点梳理】要点一、用待定系数法求二次函数解析式 1.二次函数解析式常见有以下几种形式 ：(1)一般式：2y ax bx c =++(a ，b ，c 为常数，a ≠0)； (2)顶点式：2()y a x h k =-+(a ，h ，k 为常数，a ≠0)；(3)交点式：12()()y a x x x x =--(1x ，2x 为抛物线与x 轴交点的横坐标，a ≠0)． 2.确定二次函数解析式常用待定系数法，用待定系数法求二次函数解析式的步骤如下第一步，设：先设出二次函数的解析式，如2y ax bx c =++或2()y a x h k =-+，或12()()y a x x x x =--，其中a ≠0；第二步，代：根据题中所给条件，代入二次函数的解析式中，得到关于解析式中待定系数的方程(组)； 第三步，解：解此方程或方程组，求待定系数； 第四步，复原：将求出的待定系数复原到解析式中． 要点诠释：在设函数的解析式时，一定要根据题中所给条件选择合适的形式：①当已知抛物线上的三点坐标时，可设函数的解析式为2y ax bx c =++；②当已知抛物线的顶点坐标或对称轴或最大值、最小值时．可设函数的解析式为2()y a x h k =-+；③当已知抛物线与x 轴的两个交点(x 1，0)，(x 2，0)时，可设函数的解析式为12()()y a x x x x =--．【典型例题】类型一、用待定系数法求二次函数解析式1. 已知抛物线y ax bx c =++2经过A ，B ，C 三点，当x ≥0时，其图象如图1所示.求抛物线的解析式，写出顶点坐标.图1【答案与解析】设所求抛物线的解析式为y ax bx c =++2〔a ≠0〕. 由图象可知A ，B ，C 的坐标分别为〔0，2〕，〔4，0〕，〔5，-3〕.∴=++=++=-⎧⎨⎪⎩⎪c a b c a b c 216402553,,，解之，得a b c =-==⎧⎨⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪12322,,∴抛物线的解析式为y x x =-++123222 y x x x =--+=--+1232123225822()()∴该抛物线的顶点坐标为()32258，.【总结升华】这道题的一个特点是题中没有直接给出所求抛物线经过的点的坐标，需要从图象中获取信息.已知图象上三个点时，通常应用二次函数的一般式列方程求解析式.要特别注意：如果这道题是求“图象所表示的函数解析式”，那就必须加上自变量的取值范围x ≥0.2. 一条抛物线y x mx n =++142经过点()032，与()432，.求这条抛物线的解析式. 【答案与解析】抛物线y x mx n =++142经过点〔032,〕和(,)432， ∴这条抛物线的对称轴是直线x =2.设所求抛物线的解析式为y x h =-+1422().将点(,)032代入，得1402322()-+=h ，解得h =12. ∴这条抛物线的解析式为y x =-+142122()，即y x x =-+14322. 【总结升华】解析式中的a 值已经知道，只需求出m n ,的值。
人教版九年级上册用待定系数法求二次函数的解析式课件
一个二次函数，当自变量x＝0时，函数值y＝-1，当
x＝-2与
1 2
时，y＝0，求这个二次函数的解析式.
方法1：设y a( x 2)( x 1 ),再把x 0，y 1代入其中,
2
求出a的值.
两种方法的结果一
方法2：设y ax2 bx c，由“x 0时，y样一吗个1？更，两简x 种捷方？2与法12哪时，
那有什么难的？不就和 求一次函数表达式一样 的吗？
新知探究
我们知道，由两点（两点的连线不与坐标轴平行）的坐标可以确定一 次函数，即可以求出这个一次函数的解析式.对于二次函数，由几个点 的坐标可以确定二次函数？
已知一个二次函数的图象过点(-1,10)、(1,4)，求这个函 数的解析式.
解： 设所求的二次函数为y=ax2+bx+c.
由③-①可得：3a+3b=-3
a+b=-1
将a=2，b=-3代入①可得：2+3+c=10
∴解方程组得：a=2, b=-3, c=5.
a=2. c=5.
新知探究
例1 已知一个二次函数的图象过点(-1,10)、(1,4) 、(2,7)， 求这个函数的解析式.
解：设所求的二次函数为y=ax2+bx+c.
y 0”，列方程组求出a，b，c的值.
新知bx+c的图象与x轴交于A(1,0)， B(3,0)两点(两点的纵坐标都为0)，与y轴交于点C(0,3)， 求这个二次函数的解析式.
解: ∵图象与x轴交于A(1,0)，B(3,0) ∴设函数解析式为y＝a(x-1)(x-3) ∵图象过点C(0,3) ∴3=a(0-1)(0-3)，解得a=1. ∴二次函数解析式为y=(x-1)(x-3)=x2-4x+3
2020-2021学年华东师大版数学九年级下册 26.2.3 求二次函数的表达式 教案
6.2 二次函数y=ax2+bx+c的图象与性质3.求二次函数的表达式教学目标【知识技能】1.会利用待定系数法求二次函数表达式.2.学会利用二次函数解决实际问题.【数学思考与问题解决】在解决实际问题的过程中体会二次函数的应用.【情感态度】体会实际解决问题的方法，为下一步探索打基础，培养热爱数学、勇于探索的精神.【重点难点】重点：掌握二次函数的一般式、顶点式和交点式，并能根据实际情景选择适当的式子来求二次函数的表达式.难点：熟记、区别并能灵活运用三种表达式，能利用待定系数法求二次函数的表达式.教学过程一、情境引入如图，某建筑的屋顶设计成横截面为抛物线形(曲线AOB)的薄壳屋顶.它的拱宽AB为4m，拱高CO为0.8m.施工前要先制造建筑模板，怎样画出模板的轮廓线呢?(由此题引出新课——求二次函数的表达式)二、复习回顾根据下列条件，分别写出相应的函数表达式.1.y与x成正比，其图象过点P(2，1)；2.函数y=2kx+k的图象过点(2，-5)；3.一次函数的图象过点(1，2)、(-3，5).三、问题探究问题 解答上面的问题，运用了什么数学方法?运用这种数学方法的一般步骤是什么?说明：引导学生归纳用待定系数法确定一次函数表达式的一般步骤.【例1】 (教材第22页例7)一个二次函数的图象经过(0，1)、(2，4)、(3，10)三点，求这个二次函数的表达式.解:设所求二次函数的表达式为y=ax 2+bx+c ，由这个函数的图象经过(0，1)，可 4a+2b+1=4,得c=1.又由于其图象过(2，4)、(3，10)两点，可得9a+3b+1=10.解这个方程组，得a=23，b=-23. 因此，所求的二次函数的表达式为y=23x 2-23x+1. 说明：通常求二次函数的表达式，要列出三个方程；但如果一个二次函数的表达式只有一个或两个待定的系数，列出一个或两个方程即可，一般地，有几个待定的系数，就要列几个方程.此题是典型的根据三点坐标求其函数表达式，关键是：(1)熟悉待定系数法；(2)明确点在函数图象上时，点的坐标满足此函数的表达式；(3)会解简单的三元一次方程组.【例2】 (教材第22页例6)一个二次函数的图象经过点(0，1)，它的顶点坐标为(8，9)，求这个二次函数的表达式.分析：二次函数y=ax 2+bx+c(a ≠0)通过配方可得y=a(x-h)2+k 的形式称为顶点式，(h ，k)为抛物线的顶点坐标，因为这个二次函数的图象顶点坐标是(8，9)，因此，可以设函数的表达式为：y=a(x-8)2+9.由于二次函数的图象过点(0，1)，将(0，1)代入所设函数的表达式，即可求出a 的值.请同学们完成本例的解答.思考：将题目改为当x=8时，y 取最大值9，且图象过点(0，1)，你能求出这个二次函数的表达式吗?说明：当题目中的条件与顶点坐标、对称轴方程、最大值、最小值有关时，一般将表达式设为y=a(x-h)2+k的形式.四、巩固练习1.教材第23页练习第1题.2.已知抛物线的顶点是(2，-4)，它与y轴的交点的纵坐标为4，求抛物线的表达式.3.已知二次函数y=ax2+bx+c的图象经过A(0，1)，B(-1，0)，C(1，0)，那么此函数的表达式是 .如果y随x的增大而减少，那么自变量x的变化范围是______.4.已知抛物线的对称轴是直线x=2，且经过(3，1)和(0，-5)两点，求此抛物线的表达式.(用两种方法求解)五、拓展运用【例3】已知二次函数的图象与x轴交点的横坐标分别为2和3，与y轴交点的纵坐标是72，求这个二次函数的表达式.分析：本例中虽然没有直接给出图象上三个点的坐标，但根据坐标轴上点的坐标的特点可知，所求函数图象经过点(2，0)、(3，0)、(0，72)，从而可设一般式求解.学生独立完成.说明：(1)解题时，要注意挖掘题目中的隐含条件；(2)可视学生的实际情况介绍第三种解法：设二次函数的表达式为y=a(x-x1)(x-x2)=a(x-2)·(x-3)，其中x1、x2是图象与x轴交点的横坐标，把点(0，72)代入，即可求得a，从而求出表达式.【例4】解答情境引入中的问题.分析：为了画出符合要求的模板，通常要先建立适当的平面直角坐标系，再设出函数表达式，然后根据这个表达式画出图形.解：如题目中图所示，以AB的垂直平分线为y轴，以过点O的y轴的垂线为x 轴，建立平面直角坐标系.这时，屋顶的横截面所成抛物线的顶点在原点，对称轴是y轴，开口向下，所以可设它的函数表达式为：y=ax2(a<0).(1)因为y 轴垂直平分AB ，并交AB 于点C ，所以CB=2AB =2m ，又因为CO=0.8m ，所以点B 的坐标为(2，-0.8). 因为点B 在抛物线上，将它的坐标代入(1)，得-0.8=a ×22，所以a=-0.2. 因此，所求函数的表达式是y=-0.2x 2.请同学们根据这个函数的表达式，画出模板的轮廓线.思考：(1)能不能以A 点为原点，AB 所在直线为x 轴，过点A 的x 轴的垂线为y 轴，建立平直角坐标系?让学生了解建立平面直角坐标系的方法不是唯一的，以A 点为原点，AB 所在的直线为x 轴，过点A 的x 轴的垂线为y 轴，建立平面直角坐标系也是可行的.(2)若以A 点为原点，AB 所在直线为x 轴，过点A 的x 轴的垂线为y 轴，建立平面直角坐标系，你能求出其函数表达式吗?分析：按此方法建立平面直角坐标系，则A 点坐标为(0，0)，B 点坐标为(4，0)，OC 所在直线为抛物线的对称轴，所以有AC=CB ，AC=2m ，0点坐标为(2，0.8).即把问题转化为：已知抛物线过(0，0)、(4，0)、(2，0.8)三点，求这个二次函数的表达式.二次函数的一般形式是y=ax 2+bx+c ，求这个二次函数的表达式，跟以前学过求一次函数的表达式一样，关键是确定a 、b 、c ，已知三点在抛物线上，所以它们的坐标必须满足所求的函数表达式；可列出三个方程，解此方程组，求出三个待定系数.解：设所求的二次函数表达式为y=ax 2+bx+c.因为OC 所在直线为抛物线的对称轴，所以有AC=CB ，AC=2m ，拱高OC=0.8m ，所以O 点坐标为(2，0.8)，A 点坐标为(0，0)，B 点坐标为(4，0).由已知，函数的图象过(0，0)，可以得到c=0，又由于其图象过(2，0.8)、(4,0)， 4a+2b=0.8,可以得到16a+4b=0.解这个方程组，得a=-51，b=45.所以，所求的二次函数的表达式为y=-51x 2+54x. (3)请同学们根据这个函数的表达式，画出模板的轮廓线，其图象是否与前面所画图象相同?(4)比较这两种建立平面直角坐标系的方式，你认为哪种建立平面直角坐标系的方式能使解决问题变得更简便?为什么?(第一种建立平面直角坐标系的方式能使解决问题变得更简便，这是因为所设函数表达式中的待定系数少，所求出的函数表达式简单，相应地作图象也容易)六、本课小结1.本节课你有哪些收获?可引导学生总结：(1)二次函数表达式常用的有三种形式：①一般式：______(a ≠0)；②顶点式：______(a ≠0)；③交点式：______(a ≠0).(2)用待定系数法求函数表达式，应注意根据不同的条件选择合适的函数表达式形式，要让学生熟练掌握配方法，并由此确定二次函数的顶点、对称轴，并能结合图象分析二次函数的有关性质.①当已知抛物线上任意三点时，通常设为一般式y=ax 2+bx+c(a ≠0)形式；②当已知抛物线的顶点与抛物线上另一点时，通常设为顶点式y=a(x-h)2+k(a ≠0)形式；③当已知抛物线与x 轴的交点或交点横坐标时，通常设为交点式y=a(x-x 1)(x-x 2)(a ≠0).2.你还有什么疑惑?七、作业必做题1.教材习题26.2第4题.2.教材第23页练习第2题.3.教材习题26.2第5题.选做题4.已知二次函数y=ax 2+bx+c 的图象如图所示，求这个二次函数的表达式.5.二次函数y=ax 2+bx+c 与x 轴的两交点的横坐标是-21，23，与y 轴交点的纵坐标是-5，求这个二次函数的表达式. 6.如图是抛物线形拱桥，已知水位在AB 位置时，水面宽46米，水位上升3米就达到警戒线CD ，这时水面宽43米，若洪水到来时，水位以每小时0.25米的速度上升，求水过警戒线后几小时淹到拱桥顶.板书设计 求二次函数的表达式例1：一个二次函数的图象经过(0，1)、(2，4)、(3，10)三点，求这个二次函数的表达式.例2：一个二次函数图象经过点(0，1)，它的顶点坐标为(8，9)，求这个二次函数的表达式.例3：已知二次函数的图象与x 轴交点的横坐标分别为2和3，与y 轴交点的纵坐标为72，求这个二次函数的表达式.。
22.1.4求二次函数的表达式(教案)
一、教学内容
本节课选自人教版八年级下册第22章“二次函数”，章节22.1.4“求二次函数的表达式”。教学内容主要包括以下两个方面：
1.掌握利用三个点确定二次函数表达式的方法。
（1）根据三个点的坐标，列出三元一次方程组；
（2）求解方程组，得到二次函数的系数；
（3）根据系数，写出二次函数的一般式。
五、教学反思
在这节求二次函数表达式的课程中，我发现学生们对于利用三个点来确定二次函数表达式这一部分掌握得还不错，大多数同学能够理解并运用这个方法。然而，我也注意到在求解方程组的过程中，有一部分同学会感到困惑，尤其是三元一次方程组的求解。这让我意识到，我们需要在方程组的解法上多下一些功夫，加强个别辅导，确保学生能够熟练掌握。
3.重点难点解析：在讲授过程中，我会特别强调利用三个点列方程组和待定系数法这两个重点。对于难点部分，我会通过具体实例和逐步解析来帮助大家理解。
（三）实践活动（用时10分钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与二次函数相关的实际问题。
2.实验操作：为了加深理解，我们将进行一个简单的实验操作。比如，通过测量抛掷物体的高度来演示二次函数的基本原理。
四、教学流程
（一）导入新课（用时5分钟）
同学们，今天我们将要学习的是《求二次函数的表达式》这一章节。在开始之前，我想先问大家一个问题：“你们在日常生活中是否遇到过需要通过几个点来确定一条抛物线的情况？”（如投掷物体时的轨迹）这个问题与我们将要学习的内容密切相关。通过这个问题，我希望能够引起大家的兴趣和好奇心，让我们一同探索二次函数表达式的奥秘。
3.成果展示：每个小组将向全班展示他们的讨论成果和实验操作的结果。
（四）学生小组讨论（用时10分钟）
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练一练
已知：二次函数的图象的对称轴为直线x=–3，并 且函数有最大值为5，图象经过点 (–1,–3)，求这个 二次函数的表达式。
解：由题意可知，该二次函数的顶点的坐标是（－3，5）， 所以，设所求二次函数的表达式为y=a(x+3)² ＋5 又抛物线经过点（－1，－3），得 －3=a(－1+3)² ＋5 ∴ a=－2 因此，所求二次函数的表达式为y= –2(x+3)² ＋5 即y= –2x² –12x–13
R
M N
X
o
1 解:①C(３,０)或C(-1,0) 2 ②设：二次函数解析式为： y ax
a b c 2 当C(3,0)时 c 3 9a 3b c 0
a 0 解得： b 1 c 3
bx c(a 0)
∵a≠0∴当C（3，0）时二次函数不存在 当C(-1,0)时
设它的函数表达式为: y=ax²(a≠0)
AB AB 6 CB 3, OC 0.9 2 2 2 B(3,0.9)代入y ax 中,0.9 a 3 a 0.1因此这段抛物线对应的 二次 函数表示式为 y 0.1x (3 x 3)
2
图 26.2.6
（2010年海南省中考数学压轴题）
1、如图，在平面直角坐标系中，直线y=-x+3与x轴、y轴分别 交于点B、C；抛物线 y=-x2+bx+c 经过B、C两点，并与x轴 交于另一点A。 （1）求抛物线所对应的函数关系式； （2）设P（x,y)是（1）所得抛物线上的一个动点，过点P作直 线l⊥x 轴于点M，交直线BC于点N。 ①若点P在第一象限内，试问：线段PN的长度是否存在最大 值？若存在，求出它的最大值及此时x的值；若不存在，请说 明理由； ②求以BC为底边的等腰△BPC的面积。
a b c 2 c 3 a b c 0
解得：
a 2 b 1 c 3
2
∴二次函数解析式为
y 2 x
x3
活学活用 加深理解
1.某抛物线是将抛物线y=ax2 向右平移一个单位长度， 再向上平移一个单位长度得到的，且抛物线过点（3,3），求该抛物线表达式。 顶点坐标（1 ，1 ）设 y=a(x-1)2+1 2.已知二次函数的对称轴是直线x=1，图像上最低点P 的纵坐标为-8，图像还过点(-2,10)，求此函数的表达 式。 顶点坐标（ 1 ，-8 ）设y=a(x-1)2-8 3.已知二次函数的图象与x轴两交点间的距离为4，且当 x=1时，函数有最小值-4，求此表达式。 顶点坐标（1 ，-4 ）设y=a(x-1)2-4 4.某抛物线与x轴两交点的横坐标为2，6，且函数的最 大值为2，求函数的表达式。 顶点坐标（ 4，2 ）设y=a(x-4)2+2
（2010年海南省中考数学压轴题）
1、如图，在平面直角坐标系中，直线 y=-x+3与x轴、y轴 分别交于点B、C；抛物线 y=-x2+bx+c 经过B、C两点，并 与x轴交于另一点A。 （1）求抛物线所对应的函数关系式；
解：由题意可知，B点的坐标（3，0），C点 坐标为（0，3），代入 y=-x2+bx+c 得： 根据题意，得： 解得：a=2,c=3 因此，所求二次函数的关系式为： y=-x2+2x+3
解：设所求二次函数的表达式为 y=a（x-8）2-9. 因为它的图象过点（0,1）, 所以1=a（0-8）2+9.
9 a 64 9 64
解得
2 因此，所求二次函数的表达式为y （x - 8） 9
6
例3:已知抛物线与x轴两交点横坐标为1与3，且图象
过（0，-3）,求这个二次函数的表达式。
分析:已知抛物线与x轴两交点坐标（1，0）（3，0），可设 交点式y=a(x-x1)(x-x2) 解：由抛物线与x轴两交点横坐标为1，3， ∴设这个二次函数的表达式为y=a(x-1)(x-3), 又因图象过（0，-3）， 已知图象与轴的两个交 ∴ a(0-1)(0-3)=-3, 点坐标,一般采用设交点 ∴a=-1 式：y=a(x-x1)(x-x2),然后 化为一般式。 ∴ y=-(x-1)(x-3), 即y=-x2+4x-3 练习:已知抛物线与x轴两交点横坐标为-2，3且图象 过（4，-3）, 求这个二次函数的表达式。
已知图象的顶点坐标或对称轴，可 ∴y=a(x+ 1)²+16
又因函数图象过(3,0) ∴0=a(3+1)²+16 解得a=-1
设顶点式y=a(x-h)2+k,易求a值呦！
因此，所求二次函数的表达式为y=-(x+1)²+16
5
做一做: 一个二次函数的图象过点（ 0,1 ） , 它的顶点 坐标是（8,9）,求这个二次函数的表达式。
7
例4.已知二次函数y=ax2+bx+c的最大值是2，图象顶点在直线y=x+1
上，并且图象经过点（3，-6）。求这个二次函数的表达式。
分析：已知图象的最大值,其实是告知了顶点坐标的纵坐标；因顶 点又在一次函数的图象上，所以代入可求顶点的横坐标；这样再设 二次函数为顶点式，代入顶点坐标即可求二次函数的表达式. 解：∵二次函数的最大值是2 ∴抛物线的顶点纵坐标为2 又∵抛物线的顶点在直线y=x+1上 ∴ x+1＝2 即：x=1 ∴顶点坐标为（ 1 ， 2） 设所求二次函数的表达式为y=a(x-1)2+2 又∵图象经过点（3，-6） ∴-6=a (3-1)2+2 ∴a=-2 因此，所求二次函数的表达式为y=-2(x-1)2+2 即： y=-2x2+4x
10
练一练 已知：二次函数 的图象的顶点的坐标 是（1,4）,并且抛物 线与x轴的两个交点 的距离是4,求这个二 次函数的表达式。
-5
y
4
2
Ａ O
-2
B
5
x
x＝１
-4
11
谈谈你的收获
〔议一议〕
通过上述问题的解决,您能体会到求二次函数 （待定系数法） 表达式采用的一般方法是什么?
你能否总结出上述解题的一般步骤?
c 3
解这个方程组，得a= 0.5，b= – 2.5，c=3 因此，所求二次函数的表达式3
练一练
一个二次函数的图象过（0,1）、（2,4）、（3， 10）三点，求这个二次函数表达式.
解： 设所求二次函数的表达式为y=ax2+bx+c，
由这个函数的图象经过点（0，1），可得c=1. 又由于其图象经过（2，4）、（3，10）两点， 可得 3 3 4a 2b 1 4， a ，b . 2 2 解得
9a 3b 1 10.
因此，所求二次函数的表达式为
3 2 3 y x x 1. 2 2
4
例2:已知：二次函数的图象的顶点坐标为 (–1，16) 且过B(3，0) 求这个二次函数的表达式。
解：设所求二次函数的表达式为y=a(x-h)²+k. 因二次函数顶点坐标为(-1,16)
y轴的交点，且过（1，1），求抛物线的表达式. 分析：
3 ∵直线 y x 3 与x轴、y轴的交点为 2
（2，0），（0，3）则： 4a 2b c 0 c 3 a b c 1
拓广探索
例 已知：抛物线与坐标轴交于A,B,C三个点，其中 A的坐标为（-1，0），B的坐标为（3，0），并且 △ABC的面积是6，求这个二次函数的表达式。
｛3=c
0=-9+3b+c
【能力挑战】
1.已知平面直角坐标系两点A（1，2）B（0，3）点C在X 轴上，其横坐标满足方程 ( x 1) 2 4 2 2 ①求点C的坐标 ②若一个二次函数的图像经过A，B，C三点， 求这个二次函数表达式。 ２．二次函数y=x2+px+q 的图像与X轴正半轴交于 M,N两点，与Y轴正向交于R,且 OM∶MN∶OR=1∶2∶3( O为坐标原点) ,求二次函 Y 数表达式.
(2)当已知顶点坐标或最值时，设顶点式:
y ax h k
2
（3）过与x轴的两个交点和一普通点的二次函数表达式 设交点式:
y a( x x1 )(x x2 )(a 0)
确定二次函数的解析式时，应该根据条件的特点， 恰当地选用一种函数表达式。
14
拓广探索
3 y x 3 2 已知：抛物线y=ax +bx+c过直线 与x轴、 2
4
C
2
分析：由题意可知OC的长是3，所以 点C的坐标为（0，3)或（0，-3） o B
5
A
-2
当C（0，3）时， 二次函数的表达式为： y=-x² +2x+3
-5
4
2
-4
当C（0，-3）时，二次函数的表达式 为： -y=-x² +2x+3,即y=x² -2x-3
-2
-4
〔做一做〕
如图，某建筑的屋顶设计成横截面为抛物线 （曲 线AOB） 的薄壳屋顶．它的拱宽AB为6m，拱高CO为 0.9m． 试建立适当的直角坐标系,并写出这段抛物线所对应的二 次函数表达式? 解:以线段AB的中垂线为y轴,以过点o且 与y轴垂直的直线为x轴,建立直角坐标系
华东师大版《数学 ·九年级（下）》
26.2.3求二次函数的表达式
1
回味知识点：
目前接触的二次函数的表达式有哪些？
(1)一般式 y ax2 bx c(a 0) (2)顶点式 y a( x h) k (a 0)
2
顶点坐标（h，k）
* (3)交点式
y a( x x1 )(x x 2 )(a 0)