青岛版九年级上册数学《用二分法估计一元二次方程的根》
青岛版数学九年级上册《一元二次方程的知识结构》教学设计1
青岛版数学九年级上册《一元二次方程的知识结构》教学设计1一. 教材分析《一元二次方程的知识结构》是青岛版数学九年级上册的教学内容。
本节课的主要内容是一元二次方程的定义、解法、判别式以及应用。
一元二次方程是初中数学中的重要内容，也是高中数学的基础。
通过本节课的学习，学生能够理解一元二次方程的概念，掌握一元二次方程的解法，以及运用一元二次方程解决实际问题。
二. 学情分析九年级的学生已经学习过一元一次方程和二元一次方程，对方程的概念和解法有一定的了解。
但是，对于一元二次方程的概念和解法可能还不够清晰。
因此，在教学过程中，需要引导学生从一元一次方程和二元一次方程的基础上过渡到一元二次方程。
三. 教学目标1.知识与技能：学生能够理解一元二次方程的概念，掌握一元二次方程的解法，以及运用一元二次方程解决实际问题。
2.过程与方法：学生能够通过自主学习、合作交流的方式，探究一元二次方程的解法，培养学生的数学思维能力。
3.情感态度与价值观：学生能够体验到数学的乐趣，增强对数学学科的兴趣，培养学生的团队合作意识。
四. 教学重难点1.重点：一元二次方程的概念、解法以及应用。
2.难点：一元二次方程的解法以及判别式的运用。
五. 教学方法1.情境教学法：通过生活实例引入一元二次方程，激发学生的学习兴趣。
2.自主学习法：引导学生自主探究一元二次方程的解法，培养学生的自主学习能力。
3.合作交流法：学生分组讨论，共同解决问题，培养学生的团队合作意识。
4.案例教学法：通过典型例题的讲解，引导学生掌握一元二次方程的应用。
六. 教学准备1.教材：青岛版数学九年级上册。
2.教案：详细的教学设计。
3.课件：PPT课件，用于辅助教学。
4.练习题：针对本节课内容的练习题，用于巩固所学知识。
七. 教学过程1.导入（5分钟）利用生活实例引入一元二次方程，激发学生的学习兴趣。
例如，讲解一个实际问题：一个物体从静止开始做直线运动，加速度为常数，求物体在一段时间内的位移。
青岛版数学九年级上册《4.5 一元二次方程根的判别式》教学设计2
青岛版数学九年级上册《4.5 一元二次方程根的判别式》教学设计2一. 教材分析《4.5 一元二次方程根的判别式》是青岛版数学九年级上册的一节重要内容。
本节课主要学习一元二次方程的根的判别式，即“△”的值与方程根的关系。
教材通过实例引导学生探究“△”的值与方程根的情况之间的关系，从而总结出“△”的值的判别方法。
这部分内容是学生进一步学习二次函数、一元二次不等式的基础，对于学生理解数学知识的内在联系，提高解决问题的能力具有重要意义。
二. 学情分析九年级的学生已经学习过一元二次方程的基本知识，对于方程的解法、系数的关系等有一定的了解。
但学生在解决实际问题时，往往不能灵活运用所学知识。
因此，在教学过程中，教师需要帮助学生建立知识之间的联系，提高学生解决问题的能力。
三. 教学目标1.知识与技能：理解一元二次方程根的判别式“△”的定义，掌握“△”的值与方程根的情况之间的关系。
2.过程与方法：通过合作交流，探究“△”的值与方程根的情况之间的关系，培养学生的观察、分析、解决问题的能力。
3.情感态度与价值观：激发学生学习数学的兴趣，培养学生勇于探究、积极思考的科学精神。
四. 教学重难点1.重点：一元二次方程根的判别式“△”的定义及计算方法。
2.难点：理解“△”的值与方程根的情况之间的关系。
五. 教学方法1.情境教学法：通过实例引入课题，激发学生的学习兴趣。
2.合作学习法：引导学生分组讨论，共同探究“△”的值与方程根的情况之间的关系。
3.启发式教学法：教师提问，引导学生思考，从而引导学生总结出“△”的值的判别方法。
六. 教学准备1.课件：制作课件，展示“△”的值的判别方法。
2.实例：准备一些一元二次方程的实例，用于引导学生探究“△”的值与方程根的情况之间的关系。
七. 教学过程1.导入（5分钟）利用实例引入课题，提出问题：“为什么有些一元二次方程可以求出具体的解，而有些方程却无解或有两个解呢？”引导学生思考，激发学生的学习兴趣。
青岛版九年级上册数学《用二分法估计一元二次方程的根》
例 完成下列表格，并回答问题： （ 1）
x 2x2-1 0 －1 1 2 7
1
1 之间． 0 与_____ 由表可知方程2x2-1=0的解在_____
15
（2） x 2x2-1 0.5 －0.5 0.6 0.7 0.8 0.28 0.9
－ 0.28 － 0.02
0.62
0.7 0.8 之间． 由表可知方程2x2-1=0的解在_________ 与_________
44
大于36
这说明，在3和3.5之间有方程x2+7x=36的根．
7
取3和3.5的中间值3.3，重复以上过程，填写下表：
x
x2+7x
3
30
3.3
33.99
3.5
36.75
与36比较
小于36
小于36
大于36
这说明，在3.3和3.5之间有方程x2+7x=36的根．
8
同样地，再取3.3和3.5的中间值3.4，填写下表：
x 3.3 3.4 3.5
x2+7x
与36比较
33.99
小于36
35.36
小于36
36.75
大于36
这说明，在3.4和3.5之间有方程x2+7x=36的根．并 由此可知这个根பைடு நூலகம்十分位上的数字是4，即x=3.4…．
9
于是，便求出了方程x2+7x=36的根的精确到0.1的
近似值为x≈3.4或x≈3.5．
如当x=-12时，x2+7x=60＞36．所以在-12和0的之间还有原方程
的根，这个根是负根．
小莹的分析正确吗？你能求出原方程在-12和0之间的负根
青岛版九年级数学上册《一元二次方程根的判别式》评课稿
青岛版九年级数学上册《一元二次方程根的判别式》评课稿一、引言《一元二次方程根的判别式》作为青岛版九年级数学上册的一章内容，是初中数学中重要的一部分。
通过学习这个章节，学生可以掌握判别一元二次方程根的方法，进而解决实际问题。
本评课稿将对这一章节进行评价，并提出改进和完善的意见。
二、课程设计1. 教材分析本章节主要围绕一元二次方程根的判别式展开讲解，包括判别式的定义、判别式的计算方法以及判别式与方程根的关系等内容。
教材通过理论讲解和例题演练相结合的方式，帮助学生理解和掌握相关概念和方法。
2. 教学目标通过本节课的学习，学生应该能够： - 掌握一元二次方程根的判别式的概念和计算方法； - 理解判别式与方程根的关系； - 能够应用判别式解决实际问题。
3. 教学重点和难点本节课的教学重点是让学生掌握一元二次方程根的判别式的计算方法和应用技巧。
难点是判别式的概念和方程根的关系的理解。
4. 教学方法为了达到教学目标，本节课采用了以下教学方法： - 讲解法：通过对判别式的概念和计算方法进行详细讲解，帮助学生理解相关知识点； - 演示法：通过解析例题的方式，帮助学生了解判别式的应用方法； - 练习法：通过练习习题，加强学生对判别式的掌握和运用能力。
三、教学过程1. 知识讲解首先，我详细讲解了一元二次方程根的概念和判别式的定义。
一元二次方程的一般形式为ax2+bx+c=0，判别式为Δ=b2−4ac。
Δ的值可以判断方程的根的情况： - 当Δ>0时，方程有两个不相等的实根； - 当Δ=0时，方程有两个相等的实根；- 当Δ<0时，方程没有实根。
2. 例题演练我通过几个具体的例题，引导学生运用判别式来判断方程的根。
每个例题我都进行了详细解析，包括判别式的计算过程和根的情况，帮助学生理解判别式与方程根的关系。
3. 练习习题为了巩固和运用所学知识，我设计了一些练习习题，要求学生根据给定的一元二次方程，计算判别式并判断根的情况。
青岛版数学九年级上册4.5《一元二次方程根的判别式》说课稿
青岛版数学九年级上册4.5《一元二次方程根的判别式》说课稿一. 教材分析《一元二次方程根的判别式》是青岛版数学九年级上册4.5节的内容。
本节内容是在学生已经掌握了二次方程的解法的基础上进行讲解的，目的是让学生通过判别式来判断一元二次方程的根的情况。
教材通过引入判别式，引导学生通过数学归纳法来证明判别式的性质，从而让学生更深入地理解一元二次方程的根与判别式之间的关系。
二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的数学基础，对于二次方程的解法已经有了一定的了解。
但是，对于判别式的证明和根的情况的判断还需要进一步的引导和讲解。
因此，在教学过程中，我将会注重让学生通过自己的思考来发现和证明判别式的性质，提高他们的数学思维能力。
三. 说教学目标1.知识与技能：让学生理解一元二次方程的根的判别式，学会使用判别式来判断一元二次方程的根的情况。
2.过程与方法：通过学生的自主探究和合作交流，培养学生的数学思维能力和解决问题的能力。
3.情感态度与价值观：激发学生对数学的兴趣，培养学生的团队合作意识和积极的学习态度。
四. 说教学重难点1.教学重点：一元二次方程的根的判别式的定义和性质。
2.教学难点：判别式的证明和根的情况的判断。
五. 说教学方法与手段1.教学方法：采用问题驱动法，引导学生通过问题的解决来理解和掌握判别式的性质。
2.教学手段：使用多媒体课件和黑板来进行教学，通过图示和动画来帮助学生直观地理解判别式的性质。
六. 说教学过程1.导入：通过一个具体的一元二次方程的例子，让学生尝试判断其根的情况，引出判别式的概念。
2.新课讲解：讲解判别式的定义和性质，引导学生通过数学归纳法来证明判别式的性质。
3.课堂练习：让学生通过练习来巩固对判别式的理解和掌握。
4.总结：对判别式的性质进行总结，强调判别式在判断一元二次方程根的情况中的作用。
七. 说板书设计板书设计主要包括判别式的定义、判别式的性质和判别式与根的情况的关系。
通过板书，让学生能够清晰地理解和掌握判别式的性质。
九年级数学上册第4章一元二次方程4.5一元二次方程根的判别式教案1青岛版
一元二次方程根的判别式教学目标：1.感悟一元二次方程的根的判别式的产生过程。
2.能运用根的判别式判别方程根的情况和有关的推理论证。
3.会运用根的判别式求一元二次方程中系数的范围。
重点和难点重点:用一元二次方程根的判别式判别方程是否有实根和两个实根是否相等；难点:弄懂为什么可以用判别式判别一元二次方程根的情况；突破难点的关键在于结合平方根的性质理解求根公式。
教学准备教具准备：多媒体课件。
学生准备：复习一元二次方程的解法，预习本节内容。
教学流程一、创设情境，提出问题1.先用公式法解下列方程：（1） x2+4＝4x（2） x2+2x＝3（3） x2－x＋2＝0然后回答下列问题：你在求解过程中遇到什么问题？你是怎样处理所遇到的问题的？（待学生做完后，教师点评。
（1）x1 = x2 = 2 ；（2）x 1 = 1 ，x2 = -3 ；（3）无实数根。
）2、发现问题观察上面三个方程的根的情况，你有什么发现？（学生观察得出：三个方程的根的情况是不同的，其中（1）有两个相等的实数根，（2）有两个不相等的实数根，（3）没有实数根）3、提出问题教师引导学生思考上述方程根的情况不同的原因，尝试提出下列问题：一般的，对于一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)，何时有两个相等的实数根？何时有两个不相等的实数根？它何时没有实数根？（板书课题，出示学习目标）二、探究新知1、一元二次方程的根的判别式活动1 学生自学，初步感悟请学生带着下面的问题，自学第142页至143页例1，并注意分类讨论的思想方法的使用。
一般的，对于一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)，它何时有两个相等的实数根？何时有两个不相等的实数根？何时没有实数根？为什么说方程根的情况是由b2-4ac 决定的？教师巡视，并注意收集问题，为下一步集中释疑做准备。
活动2 合作交流，深入探究请学生结合自己的理解，就上述问题的答案在小组内进行讨论、探究，然后教师组织全班进行交流，关键让学生讲清每个结论的理由。
九年级数学上册第4章一元二次方程4.5一元二次方程根的判别式教案2新版青岛版
九年级数学上册第4章一元二次方程4.5一元二次方程根的判别式教案2新版青岛版一、教学内容分析“一元二次方程的根的判别式”从定理的推导到应用都比较简单，教材中都没有很明显的涉及，但是在中考中年年都要用到，在整个中学数学中占有重要的地位。
既可以根据它来判断一元二次方程的根的情况，又可以为今后研究不等式，二次三项式，二次函数，二次曲线等奠定基础，并且用它可以解决许多其它综合性问题。
通过这一节的学习，培养学生的探索精神和观察、分析、归纳的能力，以及逻辑思维能力、推理论证能力，并向学生渗透分类的数学思想，渗透数学的简洁美。
教学重点：根的判别式定理及逆定理的正确理解和运用 教学难点：根的判别式定理及逆定理的运用。
教学关键：对根的判别式定理及其逆定理使用条件的透彻理解。
二、学情分析学生已经学过一元二次方程的四种解法，并对24b ac -的作用已经有所了解，在此基础上来进一步研究24b ac -作用，它是前面知识的深化与总结。
从思想方法上来说，学生对分类讨论、归纳总结的数学思想已经有所接触。
所以可以通过让学生动手、动脑来培养学生探索精神和观察、分析、归纳的能力，以及逻辑思维能力、推理论证能力。
三、教学目标依据教学大纲和对教材的分析，以及结合学生已有的知识基础，本节课的教学目标是： 知识和技能：1、感悟一元二次方程的根的判别式的产生的过程；2、能运用根的判别式，判别方程根的情况和进行有关的推理论证；3、会运用根的判别式求一元二次方程中字母系数的取值范围； 过程和方法：1、培养学生的探索、创新精神；2、培养学生的逻辑思维能力以及推理论证能力。
情感态度价值观：1、向学生渗透分类的数学思想和数学的简洁美；2、加深师生间的交流，增进师生的情感；3、培养学生的协作精神。
四、教学策略：本着“以学生发展为本”的教育理念，同时也为了使学生都能积极地参与到课堂教学中，发挥学生的主观能动性，本节课主要采用了引导发现、讲练结合的教学方法，按照“实践——认识——实践”的认知规律设计，以增加学生参与教学过程的机会和体验获取知识过程的时间，从而有效地调动了学生学习数学的积极性。
青岛版九年级上册数学《一元二次方程根的判别式》PPT课件
4.7 一元二次方程的应用
重、难点
重点：熟练地应用一元二次方程解决实际问 题. 难点：从实际问题中建立一元二次方程的模 型.
某省农作物秸秆资源巨大，但合理使用量十分 有限，因此该省准备引进适用的新技术来提高秸秆 的合理使用率，若今年的使用率为40%，计划后年的 使用率达到90%，求这两年秸秆使用率的年平均增长 率（假定该省每年产生的秸秆总量不变）。
(40-2x)(28-2x)=364 原方程可以写成 x2-34x+189=0. 这里 a=1，b=-34，c=189， b2-4ac =(-34)2-4×1×189=(2×17)2-4×189
= 4(172-189)=4×(289-189)=400，
解得 x1=27，x2=7 ．
如果截去的小正方形的边长为27 cm，那么左下角和 右下角的两个小正方形的边长之和为54 cm，这超过了 矩形铁皮的长40 cm. 因此x1=27不合题意，应当舍去．
例2 某商店从厂家以每件21元的价格购进一批商品，若每 件商品的售价为x元，则可卖出(350-10x)件，但物价局 限定每件商品的售价不能超过进价的120%，若该商店计 划从这批商品中获取400元利润（不计其他成本），问需 要卖出多少件商品，此时的售价是多少？
分析：本问题中涉及的等量关系是： （售价-进价）×销售量=利润。
判断一元二次方程根的情况的方法： 利用根的判别式判断一元二次方程根的情况时，
要先把方程转化为一般形式ax2+bx+c=0(a≠0).
•b2 - 4ac > 0时,方程有两个不相等的实数根. •b2 - 4ac = 0时,方程有两个相等的实数根. •b2 - 4ac < 0时,方程无实数根.
九年级数学上册第4章一元二次方程4.1一元二次方程教案新版青岛版
一元二次方程
教学目标
1．经历运用“观察----检验”的方法探索一元二次方程解的过程,培养数感。
2．发展估算意识和能力,体会用“二分法”估计方程近似解的无限逼近的思想。
学习重点难点
重点：探索一元二次方程解的过程
难点：“二分法”估计方程近似解的无限逼近的思想。
教学过程
一、知识回顾
一元二次方程一般形式
二、自主探索
自学课本126-128页内容
三、合作探究
如何用列表法估算一元二次方程的解的取值范围？
步骤：
(1)列表：利用未知数的取值,分别计算 ax2＋bx＋c 的值,在表中找到使 ax2＋bx＋c 可能
等于 0 的未知数的大致取值范围；
(2)进一步在这个范围内取值,逐步缩小范围,直到所要求的精确度为止．
四、小试牛刀
1、根据关于 x 的一元二次方程 x2＋px＋q＝0,可列表如下：
则方程x2＋px＋q＝0 的一个根满足( )
A．根的整数部分是0,十分位是5
B．根的整数部分是0,十分位是8
C．根的整数部分是1,十分位是1
D．根的整数部分是1,十分位是2
2．下面是小明探索方程x2－3x－1＝0 的正数解的过程．
1
第一步：
2
五、小结
六、当堂检测
所以：________＜x ＜________.
第二步：所以：________＜x ＜________.
(1)请你帮小明填完空格,完成他没完成的部分； (2)通过以上探索,你能估计出 x 的整数部分为________,
十分位为________．。
青岛版初中数学九年级上册《一元二次方程根的判别式》参考ppt课件2
求出它的根.
当b2-4ac>0 或b2-4ac=0时,所求方程两根分别 具有什么特征？
当b2-4ac<0时, 根的情况？
8
一元二次方程ax2+bx+c=0 (a≠0)是否有实根，有 实根时两个实根是否相等，均取决于b2-4ac的值 的符号，因此把b2-4ac叫做一元二次方程
ax2+bx+c=0 的根的判别式，用△表示， 即△= b2-4ac.
12
1. 关于x的方程(a-5)x2－4x－1＝0有实数根，则a满足
（）
A．a≥1 B．a＞1且a≠5 C．a≥1且a≠5 D．a≠5
1
【解析】选A.当a-5=0时，有实数解x= 4 ，此时a=5;当
a 5 0
b2 4ac 16 4(a 5) 0
时，应满足
，解得a≥1，综上所述a≥1.
13
即 (x+
)b2 = 2a
b2 4ac 4a 2
5
∵4a2＞0
∴当b2-4ac≥0时, x + b =± b2 4ac
2a
2a
解得
x= b b2 4ac
2a
2a
即
x b b24ac 2a
x= b b2 4ac 叫做求根公式 2a
用求根公式解一元二次方程的方法叫做公式法.
6
解方程:x2+2x+5=0 方法1 a=1 , b=2 , c= 5 .
的根的判别式，用△表示， 即△= b2-4ac.
一元二次方程 ax2+bx+c=0
当△>0时有两个不相等的实根；当△=0时有两个相 等的实根；当△<0时没有实根.
15
九年级数学上册《估计一元二次方程的根》教案、教学设计
3.介绍估计一元二次方程根的步骤：
a.确定方程的系数a、b、c；
b.计算判别式，判断根的性质；
c.运用估计方法，确定根的范围；
d.根据需要，利用求根公式或其他方法求解具体的根。
（三）学生小组讨论
1.教师给出几个具有实际背景的一元二次方程，要求学生分组讨论，运用估计方法确定根的范围。
4.掌握利用因式分解、配方法求解一元二次方程，并能熟练运用到实际解题中。
（二）过程与方法
1.通过小组讨论、师生互动等方式，引导学生自主探究一元二次方程的根的求解方法，提高学生的合作能力和问题解决能力。
2.通过具体例题的分析与讲解，让学生掌握求解一元二次方程的步骤，培养学生的逻辑思维能力和运算能力。
3.引导学生运用估计方法，对一元二次方程的根进行快速判断，提高学生的观察力和直觉思维能力。
3.设计一道综合性的拓展题，要求学生结合本节课所学内容，解决一个稍微复杂的一元二次方程问题。此题目的目的是培养学生的逻辑思维能力和创新意识。
4.请学生总结估计一元二次方程根的方法和步骤，以书面形式提交。这有助于学生梳理所学知识，形成系统的知识体系。
5.鼓励学生在家中寻找一个与一元二次方程相关的实际问题，尝试将其转化为数学模型，并运用所学方法求解。下节课与同学分享自己的发现和收获。
在本章节的学习中，学生需要运用已学的知识，如一元二次方程的求解方法、判别式的应用等，结合估计方法，提高对一元二次方程根的判断和求解能力。因此，教师应关注学生的个体差异，针对不同水平的学生进行有针对性的指导，使他们在掌握知识的同时，提高解决问题的能力。
同时，九年级的学生正处于青春期，个性鲜明，思维活跃。在教学过程中，教师应关注学生的心理特点，创设有趣、富有挑战性的教学情境，激发学生的学习兴趣，引导学生主动参与课堂，发挥学生的主观能动性。通过师生互动、生生互动，培养学生的合作精神和团队意识，提高学生的综合素质。
青岛版数学九年级上册4.5《一元二次方程根的判别式》教学设计
青岛版数学九年级上册4.5《一元二次方程根的判别式》教学设计一. 教材分析《一元二次方程根的判别式》是青岛版数学九年级上册第四章第五节的内容。
本节内容是在学生学习了二次三项式因式分解，以及函数的性质的基础上，进一步研究一元二次方程的根的情况。
教材通过引入判别式Δ的概念，让学生理解并掌握一元二次方程根的性质，以及判断根的情况。
二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的数学基础，对于二次三项式因式分解和函数的性质有一定的了解。
但是，对于一元二次方程根的判别式的理解和应用还需要进一步的引导和培养。
在学生的学习过程中，需要通过具体的问题情境，引导学生主动探究，发现规律，从而达到对知识的理解和应用。
三. 教学目标1.知识与技能：理解一元二次方程根的判别式的概念，掌握其计算方法，能够运用判别式判断一元二次方程的根的情况。
2.过程与方法：通过自主学习、合作交流的方式，培养学生的探究能力和解决问题的能力。
3.情感态度价值观：激发学生对数学的兴趣，培养学生的团队合作意识和积极的学习态度。
四. 教学重难点1.重点：一元二次方程根的判别式的概念和计算方法。
2.难点：判别式的应用，以及判断一元二次方程的根的情况。
五. 教学方法采用问题驱动法、合作交流法、引导发现法等教学方法。
通过设置问题情境，引导学生主动探究，发现规律，从而达到对知识的理解和应用。
六. 教学准备1.教学PPT：制作相关的教学PPT，展示判别式的定义和性质，以及应用实例。
2.教学素材：准备一些典型的一元二次方程题目，用于学生的练习和巩固。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个具体的一元二次方程，引导学生思考如何判断这个方程的根的情况。
让学生回顾之前学习过的知识，为新课的学习做好铺垫。
2.呈现（15分钟）介绍一元二次方程根的判别式的定义和性质，通过PPT展示判别式的图形表示，让学生直观地理解判别式的意义。
同时，给出判别式的计算方法。
3.操练（10分钟）让学生独立完成一些典型的一元二次方程题目，运用判别式判断方程的根的情况。
青岛版九年级数学上册课件：4.2-一元二次方程根的判别式
=0
若已知一个一元二次方程的根的情况，是否能得到 判别式的值的符号呢？
当一元二次方程有两个不相等的实数根时，b2－4ac＞0 当一元二次方程有两个相等的实数根时，b2－4ac = 0 当一元二次方程没有实数根时，b2－4ac ＜ 0
概念巩固
1.方程3x2+2=4x的判别式b2-4ac= -8 ，
所以方程的根的情况是 方程无实.数根
解（1）∵b2-4ac=24-4×（-1）×（-6）=0 ∴该方程有两个相等的实数根
（2） 移项，得x2+4x-2=0 ∵b2-4ac=16-4×1×（-2）=16-（-8） =16+8=24＞0 ∴该方程有两个不相等的实数根
典型例题
例1不解方程，判断下列方程根的情况： （3）4x2+1=-3x （4）x2-2mx+4（m-1）=0
解：b2 4ac m 12 43m 3
m2 10m 37
m2 10m 52 52 37
m 52 12
∵不论m取任何实数，总有（m+5）2≥0 ∴b2-4ac=（m+5）2+12≥12＞0
∴不论m取任何实数，上述方程总有两个不相等的实数根
典型例题
例3：m为何值时，关于x的一元二次方程
尝试：
不解方程，你能判断下列方程根的情况吗？
⑴ x2＋2x－8 = 0 ⑵ x2 = 4x－4 ⑶ x2－3x =－3
答案：（1）有两个不相等的实数根； （2）有两个相等的实数根；
（3）没有实数根 你能得出什么结论？
可以发现b2－4ac的符号决定着方程的解。
概括总结
由此可以发现一元二次方程ax2＋bx＋c = 0 （a≠0）的根的情况可由b2－4ac来判定
青岛数学九年级上册《估算求一元二次方程的根(2)》课件
•1、书籍是朋友,虽然没有热情,但是非常忠实。2022年4月22日星期五2022/4/222022/4/222022/4/22 •2、科学的灵感，决不是坐等可以等来的。如果说，科学上的发现有什么偶然的机遇的话，那么这种‘偶然的机遇’只能给那些学有素养的人，给那些善于独 立思考的人，给那些具有锲而不舍的人。2022年4月2022/4/222022/4/222022/4/224/22/2022 •3、书籍—通过心灵观察世界的窗口.住宅里没有书,犹如房间里没有窗户。2022/4/222022/4/22April 22, 2022
由表2得到x的3<x<5. 3.再在实数3-5之间取一个中间值
至Байду номын сангаас，可得出x的大致范围3<x<4.
上面这种方法叫二分法. 我们可继续采用这种两边夹逐渐逼近的方法取值. 4.接着在实数3-4之间取一个中间值，x=3.5
此时，x的取值范围3<x<3.5.
一直这样做下去,x的值就越来越接近了……
验证：当X=0时，x2+ 7x = 0；当X=3时， x2+ 7x<36, 所以方程在0和3范围内不可能有根.
如果不考虑根的实际意义,你会估计这个方程其 他的根吗？
一长方形栅栏的周长是28cm，面积是45cm2 , 列方程，用刚才的方法估算该长方形栅栏的宽.
分析： 1.先设栅栏的宽为x，则栅栏的长可以表示为______， 找出题目的相等关系，列方程. 2.根据题目的实际意义，估算出x的取值.
1.估算一元二次方程的根： 列表；两边夹逐渐逼近
如图,一个直角三角形的三边都是整数,它的斜边长是 11cm,两条直角边的差为7cm,求两直角边的长.
九年级数学上册4.1一元二次方程方程根的估算素材青岛版(new)
方程根的估算通过估算的方法确定一元二次方程根的范围，是中考试题中的一个不很常见的类型．估算二次方程根的问题，多数以表格给出数据信息，根据表格信息确定根的范围．例1 根据下列表格中的对应值，判断方程ax2+bx+c=0（a≠0，a，b，c为常数）的一个解x的范围是（）A．5.31〈x〈5。
32 B．5。
32<x〈5。
33 C．5.33〈x<5.34 D．5.34<x<5。
35分析：本题是一道通过表格信息估算一元二次方程的解的范围的创新题，采用估算的方法估算方程ax2+bx+c=0(a≠0，a，b,c为常数)解的范围,就是求出使代数式ax2+bx+c的值在最大负数与最小正数之间的x的值．解:观察表格的数据变化可知ax2+bx+c最大负值为-0.03，其对应x的值为5。
32；最小正数值为0。
01，其对应x的值为5。
33，所以方程ax2+bx+c=0（a≠0,a，b，c为常数）一个解x的范围是5。
32〈x〈5。
33．故选B．评注：判断一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0，a，b，c为常数）的解的范围，实质是判断相应的二次函数y=ax2+bx+c(a≠0，a，b，c为常数)的图象与x轴交点的范围,正确理解二次函数与一元二次方程的关系是解决此类问题的关键．跟踪练习四：1．根据下列表格的对应值:判断方程ax2+bx+c＝０（a≠0，a,b，c为常数)一个解x的范围是（)A．2.8＜x＜2.88 B．2.9＜x＜2.91C．2.89＜x＜2.90 D．2.90 ＜x＜2。
922．方程x2—54=0的一个根可能在下列范围中的（）A．4、5之间B．6、7之间C．7、8之间D．9、10之间3．方程x2-3x—1=0的一个解x的范围可能是( ）A．0.30〈x<0.31 B．—0.30〈x<-0.20 C．-0。
31〈x〈—0。
30D．3。
50〈x〈3。
514．下列各数,适合方程a2=3a+3的一个近似值（精确到0.1)是（）A．3.6 B．3。
九年级数学上册 一元二次方程根的判别式 一元二次方程
一元二次方程根的判别式知识考点：理解一元二次方程根的判别式，并能根据方程的判别式判断一元二次方程根的情况。
精典例题：【例1】当m 取什么值时，关于x 的方程0)22()12(222=++++m x m x 。
（1）有两个相等实根； （2）有两个不相等的实根； （3）没有实根。
分析：用判别式△列出方程或不等式解题。
答案：（1）43-=m ；（2）43-<m ；（3）43->m【例2】求证：无论m 取何值，方程03)7(92=-++-m x m x 都有两个不相等的实根。
分析：列出△的代数式，证其恒大于零。
【例3】当m 为什么值时，关于x 的方程01)1(2)4(22=+++-x m x m 有实根。
分析：题设中的方程未指明是一元二次方程，还是一元一次方程，所以应分42-m ＝0和42-m ≠0两种情形讨论。
略解：当42-m ＝0即2±=m 时，)1(2+m ≠0，方程为一元一次方程，总有实根；当42-m ≠0即2±≠m 时，方程有根的条件是：△＝[]208)4(4)1(222+=--+m m m ≥0，解得m ≥25-∴当m ≥25-且2±≠m 时，方程有实根。
综上所述：当m ≥25-时，方程有实根。
探索与创新：【问题一】已知关于x 的方程01)12(22=+-+x k x k 有两个不相等的实数根1x 、2x ，问是否存在实数k ，使方程的两实数根互为相反数？如果存在，求出k 的值；如果不存在，请说明理由。
略解：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=--=+≥--=∆≠01204)12(022122k k x x k k k 化简得⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=≤≠214102k k k∴不存在。
【问题一】如图，某校广场有一段25米长的旧围栏，现打算利用该围栏的一部分（或全部）为一边，围成一块100平方米的长方形草坪（如图CDEF ，CD ＜CF ）已知整修旧围栏的价格是每米1.75元，建新围栏的价格是每米4.5元。
秋青岛版九年级上4.5一元二次方程根的判别式课件
解一元二次方程的方法： 直接开平方法 配方法
因式分解法
公式法
东平县初中数学
对于一元二次方程 ax2bxc0(a0)一定有解
吗？
用配方法变形上述方程得到：a(x b )2 b2 c ，
2a 4a
即 (x
一元二次方程的根的情况：
1.当 b24ac0时，方程有两个不相等的实数根 2.当 b24ac0时，方程有两个相等的实数根 3.当 b24ac0时，方程没有实数根 反过来： 1.当方程有两个不相等的实数根时，b24ac0 2.当方程有两个相等的实数根时， b24ac0 3.当方程没有实数根时，b24ac0
青岛版九年级第四章
4.5一元二次方程根的判别式
东平县初中数学
学习目标：
• 1.感悟一元二次方程的根的判别式的产生过 程。
• 2.能运用根的判别式判别方程根的情况和 有关的推理论证。
• 3.会运用根的判别式求一元二次方程中系 数的范围。
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一元二次方程的一般形式：
ax2bxc0(a0)
二次项系数 a，一次项系数b ，常数项c .
定方程的根的个数，用求根公式求出解。
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跟踪练习
1：求方程 x2 3 x 2 0 的最小根的倒数。
提示：可以先换元：令 t=|x|，转化为关于 t 的一 元二次方程，求 t，再求 x。
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跟踪练习
2：方程 x2 ax b 0 与 x2 bx a 0 只有一个相等的实数根， 求此根。
（1） 方程有两个不相等的实数根； （2） 有两个相等的实数根； （3） 没有实数根。 提示：先把方程变形：2mx2 (8m 1)x 8m 0 ，再看△。
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青岛版九年级上册数学《一元二次方程根的判别式》
《一元二次方程根的判别式》教案探究版一、教学目标知识与技能1．知道一元二次方程根的判别式的意义，能熟练地运用判别式判断一元二次方程根的情况．2．学会运用判别式求符合题意的字母的取值范围和进行有关的证明．过程与方法1．培养学生思维的严谨性、逻辑性和灵活性．2．培养学生的符号意识以及判断、分析和归纳能力，感悟分类的数学思想．情感、态度激发学生的学习热情，树立自信心、养成良好的学习习惯．二、教学重点、难点重点：不解方程判断方程根的情况．难点：运用判别式求与字母有关的问题．三、教学过程设计（一）复习引入通过前面的学习我们已经知道当b2-4ac≥0时，一元二次方程有两个实数根，那么当b2-4ac＜0时，一元二次方程根的情况是怎样的呢？这就是我们这节课要研究的内容之一．这节课我们将进一步研究b2-4ac＞0，b2-4ac=0，b2-4ac＜0三种情况下一元二次方程根的情况．设计意图：通过简单复习前面所学的知识引出本节课所学内容．（二）探究新知实验与探究（1）你会解方程x2+2x+5=0吗？试一试．师生活动：教师出示问题，先让学生独立完成本题，然后讲评．教师分析：因为22-4×1×5=-16＜0，所以无法用公式法解这个方程．解：移项，得x2+2x=-5．配方，得x2+2x+1=-5+1，即(x+1)2=-4．因为任何实数的平方都不可能是负数，所以任何实数都不会是原方程的根，即原方程没有实数根．（2）通过前面的学习我们知道，当b2-4ac≥0时，一元二次方程ax2+bx+c=0可以利用求根公式x =求出它的根． 你发现当b 2-4ac ＞0与b 2-4ac =0时，方程的两个根分别具有什么特征？b 2-4ac ＜0呢？ 师生活动：教师出示问题，学生思考、讨论，教师引导学生完成本题．解：当b 2-4ac ＞0是正数，是两个不相等的实数．因此，方程ax 2+bx +c =0有两个不相等的实根：1x =2x ．如果b 2-4ac =0，=0，这时方程ax 2+bx +c =0有两个相等的实根：x 1=x 2=2b a-． 如果b 2-4ac ＜0，将方程ax 2+bx +c =0配方后，得222424b b ac x a a -⎛⎫+= ⎪⎝⎭． 方程的右边由于分母4a 2＞0，所以2244b ac a -＜0，而22b x a ⎛⎫+ ⎪⎝⎭不可能是负数，这时方程ax 2+bx +c =0没有实根．由此可见，一元二次方程ax 2+bx +c =0是否有实根，有实根时两个实根是否相等，均取决于一个含有该方程各项系数的代数式b 2-4ac 的值的符号，因而把b 2-4ac 叫做一元二次方程ax 2+bx +c =0的根的判别式，通常用Δ表示，即Δ=b 2-4ac ．于是我们得到结论：一元二次方程ax 2+bx +c =0，当Δ＞0时，有两个不相等的实根；当Δ=0时，有两个相等的实根；当Δ＜0时，没有实根．上面结论的逆命题也是正确的．即如果一元二次方程ax 2+bx +c =0有两个不相等的实根，那么Δ＞0；如果有两个相等的实根，那么Δ=0；如果没有实根，那么Δ＜0．设计意图：通过学生亲自动手做题，然后观察、思考、讨论，发现规律，从而总结出判别一元二次方程根的情况的方法．（三）例题精讲例1 不解方程，判断下列方程根的情况：（1）2x 2+x -4=0；（2）4y 2+9=12y ；（3）5(t 2+1)-6t =0．师生活动：教师出示例题并分析、引导：如果一元二次方程不是一般形式，应先将其化为一般形式，然后再用判别式判别，学生完成本题．解：（1）这里a=2，b=1，c=-4．∵Δ=b2-4ac=12-4×2×(-4)=33＞0，∴方程有两个不相等的实根．（2）把原方程化为一般形式，得4y2-12y +9=0．这里a=4，b=-12，c=9．∵Δ=b2-4ac=(-12)2-4×4×9=0，∴原方程有两个相等的实根．（3）把原方程化为一般形式，得5t2-6t+5=0．这里a=5，b=-6，c=5．∵Δ=b2-4ac=(-6)2-4×5×5=-64＜0，∴原方程没有实根．例2 已知关于x的一元二次方程kx2-3x+1=0有两个不相等的实根．（1）求k的取值范围；（2）选择一个k的正整数值，并求出方程的根．师生活动：教师出示例题，学生尝试完成本题，教师提醒学生：本题中k应不等于0，最后教师给出规范的解题过程．解：（1）∵关于x的一元二次方程kx2-3x+1=0有两个不相等的实根，∴Δ=(-3)2-4k＞0，即9-4k＞0．解不等式，得k＜94．∵kx2-3x+1=0是一元二次方程，∴k≠0．故k的取值范围是k＜94且k≠0．（2）取不等式k＜94的一个正整数解k=2，则方程为2x2-3x+1=0．解这个方程，得x1=1，x2=12．例3 已知一元二次方程x2-(2k+1)x+k2+k=0．（1）求证：方程有两个不相等的实数根；（2）若△ABC的两边AB，AC的长是这个方程的两个实数根，第三边BC的长为5，当△ABC是等腰三角形时，求k的值．师生活动：教师出示例题，学生思考、讨论，教师引导学生完成解题过程．（1）证明：∵b2-4ac=[-(2k+1)]2-4(k2+k)=4k2+4k+1-4k2-4k=1＞0，∴方程有两个不相等的实数根．（2）解：∵方程有两个不相等的实数根，∴AB≠AC．∴要使△ABC是等腰三角形，则AB与AC其中一条边与BC的长相等，即方程必有一根为5．∴52-5(2k+1)+ k2+k=0．整理，得k2-9k+20=0．解得k1=4，k2=5．经检验k1=4，k2=5符合题意．即k的值为4或5．设计意图：让学生应用根的判别式来解决一些问题，培养学生分析问题、解决问题的能力．（四）挑战自我有一边长为3的等腰三角形，它的另两边长分别是关于x的方程x2-12x+k=0的两根．求k的值．参考答案解：当另两边长都为等腰三角形的腰长时，方程有两个相等的实根，所以Δ=0，即122-4k=0．解得k=36．此时方程为x2-12x+36=0．解得x1=x2=6．长为3，6，6的线段能组成等腰三角形．当3为等腰三角形的腰长时，则x=3是方程x2-12x+k=0的根．把x=3代入x2-12x+k=0，得9-36+k=0．解得k=27．所以方程为x2-12x+27=0．解得x1=3，x2=9．因为3+3＜9，所以长为3，3，9的线段不能组成三角形．所以k=27不符合要求．综上所述，k的值为36．设计意图：通过本环节让教师查看学生对刚刚学过的知识的掌握情况．（五）课堂练习1．不解方程，判别方程根的情况：（1）x2+3x-1=0，（2）x2-6x+5=0；（3）2y2-3y+4=0；（4）x2+5=．2．已知a，b，c为△ABC的三边长，且关于x的方程(x-a)(x-b)+(x-b)(x-c)+(x-c)(x-a)=0有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状．师生活动：教师先找几名学生板演，然后讲解出现的问题．参考答案1．解：（1）∵a=1，b=3，c=-1，b2-4ac=32-4×1×(-1)=9+4=13＞0，∴原方程有两个不相等的实数根．（2）∵a=1，b=-6，c=5，b2-4ac=(-6)2-4×1×5=36-20=16＞0，∴原方程有两个不相等的实数根．（3）∵a=2，b=-3，c=4，b2-4ac=(-3)2-4×2×4=9-32=-23＜0，∴原方程没有实数根．（4）移项，得x 2-+5=0．∵a =1，b=-c =5，b 2-4ac=2(--4×1×5=20-20=0，∴原方程有两个相等的实数根．2．解：将题中的方程整理，得．该方程的根的判别式=[-2(a +b +c )]2-4×3(ab +bc +ac )=4(a 2+b 2+c 2+2ab +2ac +2bc )-12(ab +bc +ac )=4(a 2+b 2+c 2-ab -ac -bc )=2[(a 2-2ab +b 2)+(b 2-2bc +c 2)+(a 2-2ac +c 2)]=2[(a -b )2+(b -c )2+(a -c )2]．因为方程有两个相等的实数根，所以(a -b )2+(b -c )2+(a -c )2=0．所以a -b =0，b -c =0，a -c =0，即a =b =c ．所以△ABC 为等边三角形．设计意图：通过本环节的学习，让学生巩固所学知识．（六）课堂小结这节课我们主要学习了：1．根的判别式的概念我们把式子b 2-4ac 叫做一元二次方程ax 2+bx+c =0(a ≠0)的根的判别式，通常用Δ表示，即Δ=b 2-4ac ．2．一元二次方程ax 2+bx +c =0(a ≠0)的根的情况：（1）当Δ＞0时，一元二次方程ax 2+bx+c =0(a ≠0)有两个不相等的实数根x 1=x 2（2）当Δ=0时，一元二次方程ax 2+bx+c =0(a ≠0)有两个相等的实数根122b x x a==-； （3）当Δ＜0时，一元二次方程ax 2+bx+c =0(a ≠0)无实数根．这三个结论反过来也是正确的．注意：在利用一元二次方程解决实际问题时，要检验所得的一元二次方程的解是不是实际问题的解．师生活动：教师引导学生归纳、总结本节课所学内容．设计意图：通过总结使学生梳理本节课所学内容，掌握本节课的核心内容． 232()0x a b c x ab bc ac -+++++=四、课堂检测设计1．已知k ≠1，一元二次方程(k -1)x 2+kx +1=0有实数根，则k 的取值范围是（ ）．A ．k ≠2B ．k ＞2C ．k ＜2且k ≠1D ．k ≠12．在一元二次方程中，若a 与c 异号，则方程（ ）．A ．有两个不相等的实数根B ．有两个相等的实数根C ．没有实数根D ．根的情况无法确定3．已知方程2x 2+mx +1=0的根的判别式的值是16，则m 的值为__________．4．已知关于x 的方程的根的判别式等于0，且是方程的根，则a +b 的值为__________．5．如果关于x 的一元二次方程没有实数根，试判断关于x 的方程的根的情况．参考答案1．D ．2．A ．3．±4．．解析：因为方程的根的判别式等于0，且是方程的根，所以该方程为，即．所以，．所以，．所以． 5．解：因为关于x 的一元二次方程没有实数根， 所以m ≠0，根的判别式4(m +2)2-4m (m +5)＜0，即(m +2)2-m (m +5)＜0．20(0)ax bx c a ++=≠2(2)20x a x a b -++-=12x =22(2)50mx m x m -+++=2(5)2(1)0m x m x m --++=138-2(2)20x a x a b -++-=12x =2102x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭2104x x -+=21a +=124a b -=1a =-58b =-513188a b +=--=-22(2)50mx m x m -+++=所以m ＞4．当m ≠5时，方程是一元二次方程， 根的判别式为4(m +1)2-4m (m -5)=4(7m +1)．因为m ＞4，所以4(7m +1)＞0．所以方程有两个不相等的实数根； 当m =5时，方程为-12x +5=0，方程只有一个实数根．2(5)2(1)0m x m x m --++=2(5)2(1)0m x m x m --++=。
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《用二分法估计一元二次方程的根》（第2课时）教案探究版
一、教学目标
知识与技能
1．会估算一个一元二次方程的根的近似值．
2．理解和掌握求一元二次方程的近似解的方法．
过程与方法
经历运用“观察—检验”的方法估计一元二次方程解的过程，培养数感，发展估算意识和能力．
情感、态度
体会运用“二分法”估计方程近似解的无限逼近思想．
二、教学重点、难点
重点：求一元二次方程的近似解．
难点：探索求一元二次方程近似解的过程．
三、教学过程设计
（一）复习引入
学习无理数时，我们曾利用有理数估计一个无理数的大致范围．实际上，当时我们已经解决了估计一个最简单的一元二次方程x2=m（m是一个大于0的有理数）的根的问题．对于一般的一元二次方程，如何估计它的根呢？这节课我们就来探究这个问题．设计意图：通过前面学过的知识引出本节课所学内容．
（二）探究新知
实验与探究
上节课我们在对问题“直角三角形斜边的长为11 cm，两条直角边的差为7 cm．如果要求出两条直角边的长，怎样根据问题中的数量关系列出方程？”的探究中，得到了一元二次方程x2+(x+7)2=11．你能估计出这个方程的根吗？
（1）要估计出方程x2+(x+7)2=11的根，可以先估计出方程根的一个大致范围．结合方程x2+(x+7)2=11的实际意义，你能说出适合方程x2+(x+7)2=11的x的一个大致范围吗？
师生活动：教师首先让学生思考第一个问题，然后再讨论问题（1），对于问题（1）教师可以多找几名学生代表回答．
答：因为较长直角边x+7小于斜边的长，因而x+7＜11，解得x＜4；又因为两直角边的
和大于斜边，因而x+(x+7)＞11，解得x＞2．所以可以估计x的范围是2＜x＜4．（2）怎样才能进一步缩小估计的范围呢？
师生活动：教师出示问题，学生思考、讨论，教师引导学生采用二分法估计．
答：将方程x2+(x+7)2=11化为x2+7x=36．利用二分法，取2和4的中间值3，分别计算当x=2，3，4时，方程x2+7x=36左边的代数式x2+7x的值，并比较它们的值与方程x2+7x=36右边的36的大小，填写下表：
这说明，在3和4之间有方程x2+7x=36的根．并由此可知，这个根的整数部分是3．取3和4的中间值3.5，借助计算器计算当x=3.5时，x2+7x的值，并比较它的值与36的大小，填写下表：
这说明，在3和3.5之间有方程x2+7x=36的根．
取3和3.5的中间值3.3，重复以上过程，填写下表：
这说明，在3.3和3.5之间有方程x2+7x=36的根．
同样地，再取3.3和3.5的中间值3.4，填写下表：
这说明，在3.4和3.5之间有方程x2+7x=36的根．并由此可知这个根的十分位上的数字是4，即x=3.4…．
于是，便求出了方程x2+7x=36的根的精确到0.1的近似值为x≈3.4或x≈3.5．
借助计算器继续做下去，可以陆续确定方程x2+7x=36的根的百分位、千分位上的数
字，…由于方程x2+7x=36的根就是方程x2+(x+7)2=11的根，这样就能用估计的方法求出方程x2+7x=36的根的精确到0.01，0.001，…的近似值．
（3）如果不考虑方程x2+7x=36的根的实际意义，你会估计方程x2+7x=36还有其他的根吗？与同学交流．
小莹是这样想的：
因为当x的值较大时，如x≥4时，方程的左边x2+7x＞36，所以原方程不可能有大于或等于4的根．
当0≤x≤3时，0≤x2+7x＜36，所以原方程在0和3范围内也不可能有根．这就是说，方程x2+7x=36有一个根在3和4之间，这个问题已在上面得到解决，并且不可能有其他的正根．
当x＜0时，x2是正数，7x是负数．当x的绝对值较大时，例如当x=-12时，x2+7x=60＞36．所以在-12和0的之间还有原方程的根，这个根是负根．
小莹的分析正确吗？你能求出原方程在-12和0之间的负根吗？试一试．
师生活动：教师出示问题，学生思考、讨论并完成本题．
解：小莹的分析正确．取x=-11，-10，-9，得
这说明在-11和-10之间有方程x2+7x=36的根，再取x=-10.5，得x2+7x=36.75，这说明在-10.5和-10之间有方程x2+7x=36的根，再取x=-10.3，得x2+7x=33.99，这说明在-10.5
和-10.3之间有方程x2+7x=36的根，再取x=-10.4，得x2+7x=35.36，这说明在-10.5和-10.4之间有方程x2+7x=36的根，所以可知此根的十分位上的数字是4，即x=-10.4…．设计意图：让学生体会用“二分法”估计方程近似解的无限逼近思想．
（三）例题精讲
例完成下列表格，并回答问题：
（1）
由表可知方程2x2-1=0的解在_________与__________之间．
（2）
由表可知方程2x2-1=0的解在_________与__________之间．
……
以此类推，求出方程2x2-1=0的近似解（精确到0.01）．
师生活动：教师出示问题，让学生独立完成本题，教师针对学生出现的问题讲解．解：（1）把x=0代入2x2-1，得2x2-1=-1．
把x=1代入2x2-1，得2x2-1=1．把x=2代入2x2-1，得2x2-1=7．
∴方程2x2-1=0的解在0和1之间．
（2）把x=0.5代入2x2-1，得2x2-1=-0.5，把x=0.6代入2x2-1，得2x2-1=-0.28，
把x=0.7代入2x2-1，得2x2-1=-0.02，把x=0.8代入2x2-1，得2x2-1=0.28，
把x=0.9代入2x2-1，得2x2-1=0.62．
∴方程2x2-1=0的解在0.7和0.8之间．
……
以此类推，可以得出方程2x2-1=0的近似解为0.71．
设计意图：让学生掌握用“二分法”估计方程的近似解．
（四）挑战自我
根据下列表格中的数据，判断方程ax2+bx+c=0(a≠0，a，b，c为常数)的一个解x的取值范围是（）．
A．6＜x＜6.17 B．6.17＜x＜6.18
C．6.18＜x＜6.19 D．6.19＜x＜6.20
参考答案
C．
设计意图：通过本环节让教师查看学生对刚刚学过的知识的掌握情况．
（五）课堂练习
1．估计方程x2+5x=7的根．
2．根据下表中的数据，估计方程x2+2x-10=0在-4.1和-4.6之间的精确到0.1的根的近似值是多少？
师生活动：教师找几名学生回答，讲解出现的问题．
参考答案
1．解：取x=1.1，1.2，得
所以在1.1和1.2之间有方程的根，所以x=1.1…．
又当x=1.15时，x2+5x=7.0725＞7，所以x≈1.1．
取x=-6.1，-6.2，得
所以在-6.2和-6.1之间有方程的根，所以x=-6.1…．
又当x=-6.15时，x2+5x=7.0725＞7，所以x≈-6.1．
综上所述，x1≈1.1，x2≈-6.1．
2．解：因为当x=-4.3时，x2+2x-10=-0.11＜0；当x=-4.4时，x2+2x-10=0.56＞0，所以原方程在-4.3和-4.4之间有一个根，且这个根更靠近-4.3．所以原方程在-4.1和-4.6之间的精确到0.1的根的近似值是-4.3，即x≈-4.3．
设计意图：通过本环节的学习，让学生巩固所学知识．
（六）课堂小结
这节课我们主要学习了：用列表取值法估算一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)根的取值范围（或近似值）的一般步骤：
（1）列表，并利用未知数的取值分别计算方程ax2+bx+c=0中代数式ax2+bx+c的值；
（2）在表格中找出使代数式ax2+bx+c的值可能等于0，且符合要求的未知数的取值范围；
（3）进一步在（2）中的范围内列表、计算、估计范围，直至找到符合题意要求的近似值．
对于实际问题中一元二次方程的根的估算，应先根据实际情况确定一元二次方程的根的大致取值范围，再通过具体代值计算，进行两边“夹逼”，将根的范围逐步缩小，逐步求得其根的近似值，这种探索一元二次方程的近似根的方法称为“二分法”．
师生活动：教师引导学生归纳、总结本节课所学内容．
设计意图：通过小结，使学生梳理本节课所学内容，掌握本节课的核心内容．
四、课堂检测设计
1．根据下列表格的对应值：
判断：方程ax2+bx+c=0(a，b，c为常数，a≠0)的一个解x的范围是（）．
A．3＜x＜3.23 B．3.23＜x＜3.24
C．3.24＜x＜3.25 D．3.25＜x＜3.26
2．根据关于x的一元二次方程x2+px+q=0，可列表如下：
则方程x2+px+q=0的正数解满足（）．
A．解的整数部分是0，十分位是5
B．解的整数部分是0，十分位是8
C．解的整数部分是1，十分位是1
D．解的整数部分是1，十分位是2
3．关于方程88(x-2)2=95的两根，下列判断正确的是（）．
A．一根小于1，另一根大于3 B．一根小于-2，另一根大于2
C．两根都小于0 D．两根都大于2
4．关于x的二次三项式ax2+bx+c，满足下表中的对应关系：
则一元二次方程ax2+bx+c=0的两个整数根分别是_________．
5．观察下表：
从表中你能得出方程5x2-24x+28=0的根是多少吗？如果能，写出方程的根；如果不能，请写出方程根的取值范围．
参考答案
1．C．2．C．3．A．
4．-3，2．
5．根据表格中的数据，知方程有一个根是x=2，另一个根x的取值范围是2.5＜x＜3．。