高中数学讲义 函数的对称性与周期性
高中数学函数的对称性与周期性讲义
高中数学函数的对称性与周期性讲义一、引例：若)(x f 是定义在R 上的函数，对于满足下例条件中，)(,x f r x ∈∀某一个，那么对于每个条件下的)(x f ，各具有哪些特殊性质？(1),)1()1(x f x f -=+ (4),)1()1(x f x f --=+ (7),)1()1(-=+x f x f(2),)2()(x f x f -= (5),)2()(x f x f --+ (8),)()2(x f x f =+(3),)3()1(x f x f -=+- (6),)2(4)(x f x f --= (9),)()1(x f x f -=+二、 函数的对称性1、轴对称)()()()2()()()()(]0[x f x f y x f x a f x f x a f x a f a x x f a =-⇔-=⇔-=+⇔=⊃=轴对称关于对称关于2、点对称 0)()()()()00()(]0[)()()2()()0,()(]0[2)()()2(2)(),()(=-+⇔--=⇔=-=+⇔--=⇔==-++⇔--=⇔x f x f x f x f x f a x a f x a f x a f x f a x f b bx a f x a f x a f b x f b a x f 对称，关于对称关于对称关于3、本质特征：【自变量】 为常数）（定义域）且a a x x D x x (2212,1=+∈∀ 【函数值】 a x x x x x f x f =→+=→→=对称轴对称轴轴对称性2)()(2121 ),)22,2(2)()(2121b a b x x b x f x f 对称中心（对称中心中心对称→+→→=+ 模型：对称关于2)()()(,b a x x f x b f x a f D x +=⇔-=+∈∀ 对称关于)0,2()()()(,b a x f x b f x a f D x +⇔--=+∈∀ 三，函数的周期性定义：设定义在D 上的函数,),(D x x f ∈∀对于都存在非零常数T ，使得)()(x f T x f =+则函数)(x f 为周期函数,T 为)(x f 的一个周期，【自变量】 D x x ∈∀21,（定义域）且T x x =-21（T 为非零常数）【函数值】 )(1)(1)()(1)()()()()(221212121x f x f x f x f x f x f x f x f x f -+=±=-==或或或 模型：函数)(x f 的周期为T )()(x f T x f =+⇔)()2()()()2(2x f T x f T x f x f T x f T x x =+-=+−−−→−-=+⇔+换成 )()2(1)()(1)2(2x f T x f T x f x f T x f T x x =+±=+−−−→−±=+⇔+换成)4(1)4(1)2()(1)(1)4(4T x f T x f T x f x f x f T x f T x x --++=+−−−→−-+=+⇔+换成 四，对称性与周期性，1，若b x a x x f ==和关于)(对称，则)(x f 是周期函数，一个周期为),(2b a -2，若)()0,)0,)(x f b a x f 对称，则和（关于（是周期函数，一个周期为)(2b a -， 3，若)()0,()(x f b a x x f 对称，则和关于=是周期函数，一个周期为)(4b a -例：（1），设函数),7(),2()2(),()(x f x f x f x f ++=-+∞-∞上满足在且在闭区间【0，7】上只有0)3()1(==f f ， （1），试判断函数)(x f y =的奇偶性，（2),试求方程0)(=x f 在闭区间][2005,2005-上的根的个数，并证明你的结论，（2),)(x f 是定义在R 上的以3为周期的奇函数，且 ,0)2(=f 则)(x f 在区间（0，6）内解得个数的最小值是（ ）A, 2 B, 3 C, 4 D, 5(3),若存在常数 ,0>p 使得函数)(),)(2()()()(x f r x p px f px f px f x f 则满足∈-== 的一个正周期为 （4），已知定义在R 上的函数)(x f 的图像关于（)0,43-成中心对称图形，且满足)2008()2()1(,2)0(,1)1(),23()(f f f f f x f x f +⋅⋅⋅++-==-+-=则的值为（ ） A , -2 B, 0 C, 1 D, 2（5），已知)(x f 是定义在R 上的函数，且满足,1)()(=-+x f x f 当][,)(,1,02x x f x =∈时现有四个命题：1，)(x f 是周期性函数，且周期为2，2，当][,2)(2,12x x x f x -=∈时， 3，)(x f 是偶函数， 4，,43)5.2004(=-f 其中正确命题的个数是，（ ）， A, 1 B, 2 C, 3 D, 4(6），已知函数()2006(,2005)0(),(1)(1)1()(==-+=+f f x f x f x f x f 则若满足 ）， （7），设)(x f 是定义在R 上的奇函数，且)(x f y =得图像关于直线1=x 对称，下列说法：1，);()2(x f x f =+ 2，)()4(x f x f -=+； 3，0)4()3()2()1(=+++f f f f ， 4，),()4(x f x f =+ 正确的是（ ）A, 1 2 3 , B,1 3 , C,3 4 , D, 2 3 4 ,(8),定义在R 上的函数][,)(1,1),()2()(3x x f x x f x f x f =-∈-=+时，且当满足 1，求][5,1)(在x f 上的表达是，2，若}{,,,)(1Φ≠∈>=A R x a x f x A 且求实数a 的取值范围，。
高三函数周期性和对称性知识点
高三函数周期性和对称性知识点在高三数学中，函数的周期性和对称性是一个重要的知识点。
了解和掌握函数的周期性和对称性可以帮助我们更加深入地理解和应用函数的性质。
本文将从周期函数、对称函数以及函数的应用等方面来介绍高三函数周期性和对称性的知识点。
一、周期函数周期函数是指在一定的区间内，函数的图像在某一特定规律下重复出现。
周期函数的特点是在一定的区间内有着相同的函数值。
常见的周期函数有正弦函数、余弦函数和正切函数等。
首先，我们来了解正弦函数和余弦函数。
正弦函数的图像是一条上下震荡的曲线，它的周期为2π。
也就是说，当自变量增加2π时，函数值会重新回到原来的值。
而余弦函数的图像也是一条上下震荡的曲线，它的周期也是2π。
正弦函数和余弦函数是非常常见的周期函数，在物理学、工程学等领域中有广泛的应用。
接下来，我们再来介绍一下正切函数。
正切函数的图像是一条摆动不定的曲线，它的周期为π。
也就是说，当自变量增加π时，函数值会重新回到原来的值。
正切函数相比于正弦函数和余弦函数而言，其周期要小一些。
二、对称函数对称函数是指函数的图像具有某种对称性质。
常见的对称函数有偶函数和奇函数。
偶函数是指函数的图像关于y轴对称。
也就是说，如果函数f(x)是一个偶函数，那么对于任意的x值，有f(-x) = f(x)成立。
一个简单的例子就是二次函数y = x^2，它的图像关于y轴对称。
奇函数是指函数的图像关于原点对称。
也就是说，如果函数f(x)是一个奇函数，那么对于任意的x值，有f(-x) = -f(x)成立。
一个简单的例子就是一次函数y = x，它的图像关于原点对称。
三、函数的应用周期性和对称性的函数在实际问题中有很广泛的应用。
例如，振动现象的描述常常使用正弦函数、余弦函数或正切函数。
另外，对称函数的特点也为问题的求解提供了方便。
以周期函数为例，我们来看一个具体的应用。
假设有一个正弦函数表示一个物体的振动情况，我们希望求出物体完成一次振动的时间。
函数周期性与对称性
函数周期性与对称性函数周期性和对称性是数学中重要的概念，它们在函数的图像以及数学建模中都起着关键的作用。
在本文中，我将详细介绍函数的周期性和对称性，并探讨它们在实际问题中的应用。
一、周期性周期性是指函数具有重复性质，在一定区间内的函数值是相同的或者是呈规律性变化的。
如果存在一个正数T，使得对于任意的x，有f(x+T)=f(x)，则称函数f具有周期T。
例如，正弦函数sin(x)是一个周期为2π的函数。
无论x取何值，sin(x+2π)的值与sin(x)的值相同。
同样地，余弦函数cos(x)也是一个周期为2π的函数。
周期性在物理学和工程学等领域中有广泛的应用。
例如，声音波动、机械振动和电信号的周期性都可以用周期函数进行建模。
通过分析周期性可以得到这些现象的规律和特性。
二、对称性对称性是指函数图像在某种变换下具有不变性。
常见的对称性有轴对称和中心对称两种。
1. 轴对称：如果对于函数f(x)，存在一个实数a，使得对于任意的x，有f(2a-x)=f(x)，则称函数f具有轴对称。
例如，抛物线函数y=x^2是一个关于y轴对称的函数。
对于任意的x，有x^2=(-x)^2，即函数值关于y轴对称。
2. 中心对称：如果对于函数f(x)，存在一个实数a，使得对于任意的x，有f(2a-x)=-f(x)，则称函数f具有中心对称。
例如，奇函数f(x)=sin(x)是一个关于原点对称的函数。
对于任意的x，有sin(-x)=-sin(x)，即函数值关于原点对称。
对称性在几何学、物理学和图像处理等领域中有重要的应用。
例如，通过分析图像的对称性，可以简化计算或者提取图像中的关键特征。
综上所述，函数周期性和对称性是数学中两个重要的概念。
周期性描述了函数重复规律的特性，对于模拟和分析周期性现象非常有用；而对称性则描述了函数图像在变换下不变的性质，对于建模和处理图像有重要应用。
通过理解和应用函数周期性和对称性，我们能更好地理解数学背后的规律，并将其用于实际问题的解决。
函数的对称性、周期性以及之间的关系
函数的对称性、周期性以及之间的关系对称性、奇偶性、周期性、单调性函数是中学数学教学的主线，是中学数学的核心内容，也是整个高中数学的基础．在研究函数图象的对称性时，一定要区分是一个图象自身的对称（称之为“自对称”），还是两个函数图象间的对称（称之为“互对称”）。
函数的对称性指的是函数的图象的对称性，通常包括点对称和直线对称，即中心对称和轴对称。
自对称一、函数的对称性关于函数图象的对称性，我们有这样两个命题。
命题1：如果函数y=f(x)的图像关于点M(m, n)对称，那么f (m +x) + f (m－x)=2n 即f(x)+f(2m-x)=2n命题2：如果函数y=f(x)的图像关于直线x=m对称，那么f (m +x) = f (m－x)即f (x) = f (2m－x)二、函数的奇偶性与对称性的联系命题1：函数y=f(x)的图像关于点M(0, 0)对称的充要条件是函数y= f (x)是奇函数，即f (x) + f (－x) = 0命题2：函数y=f(x)的图像关于点直线x=0对称的充要条件是函数y= f (x)是偶函数，即f (x) = f (－x)三、函数的周期性与对称性的联系包括点点对称、线线对称、点线对称的周期性命题：①若函数y = f (x) 图像同时关于点A (m ,c)和点B (n ,c)成中心对称（m ≠n），则y = f (x)是周期函数，且2| m－n|是其一个周期．②若函数y = f (x) 图像同时关于直线x = m 和直线x = n成轴对称（m≠n），则y = f (x)是周期函数，且2| m－n|是其一个周期．③若函数y = f (x)图像既关于点A (m ,c) 成中心对称又关于直线x =n成轴对称（m≠n），则y = f (x)是周期函数，且4| m－n|是其一个周期．（同为中心对称或同为轴对称乘2；一中心对称一轴对称乘4）四、函数的奇偶性、周期性和对称性的联系奇偶性只是特殊的点线对称。
高中数学讲义函数的对称性与周期性
微专题05函数的对称性与周期性一、基础知识（一）函数的对称性1、对定义域的要求：无论是轴对称还是中心对称，均要求函数的定义域要关于对称轴（或对称中心）对称2、轴对称的等价描述：（1）f a x f a x f x 关于x a 轴对称（当0a 时，恰好就是偶函数）（2）f axf bxf x关于2a bx轴对称在已知对称轴的情况下，构造形如f a xf b x 的等式只需注意两点，一是等式两侧f 前面的符号相同，且括号内x 前面的符号相反；二是,a b 的取值保证2a bx 为所给对称轴即可。
例如：f x 关于1x 轴对称2f xf x，或得到31f x f x 均可，只是在求函数值方面，一侧是f x 更为方便（3）f xa 是偶函数，则f x afxa ，进而可得到：f x 关于xa 轴对称。
①要注意偶函数是指自变量取相反数，函数值相等，所以在f x a 中，x 仅是括号中的一部分，偶函数只是指其中的x 取相反数时，函数值相等，即f xafxa ，要与以下的命题区分：若f x 是偶函数，则f x a f x a：f x 是偶函数中的x 占据整个括号，所以是指括号内取相反数，则函数值相等，所以有f xafx a ②本结论也可通过图像变换来理解，f x a 是偶函数，则f xa 关于0x轴对称，而f x 可视为f x a 平移了a 个单位（方向由a 的符号决定），所以f x 关于xa 对称。
3、中心对称的等价描述：（1）f a x f a x f x 关于,0a 轴对称（当0a 时，恰好就是奇函数）（2）f axf bxf x 关于,02a b轴对称在已知对称中心的情况下，构造形如f ax f b x 的等式同样需注意两点，一是等式两侧f 和x 前面的符号均相反；二是,a b 的取值保证2a b x为所给对称中心即可。
例如：f x 关于1,0中心对称2f x fx ，或得到35f x f x 均可，同样在求函数值方面，一侧是f x 更为方便（3）f x a 是奇函数，则f xafxa ，进而可得到：f x 关于,0a 轴对称。
高中数学函数图像的对称与周期性
高中数学函数图像的对称与周期性在高中数学中，函数图像的对称性和周期性是一个非常重要的概念。
对称性是指函数图像关于某个轴或点对称，而周期性是指函数在一定区间内以某个固定的周期重复。
一、对称性1. 关于y轴对称当一个函数图像关于y轴对称时，意味着对于函数中的任意一点(x, y)，点(-x, y)也在函数图像上。
这种对称性可以用来简化函数图像的绘制和分析。
例如，考虑函数y = x^2，它是一个二次函数，具有关于y轴对称的性质。
我们可以通过绘制函数图像的一部分，再利用对称性得到完整的图像。
2. 关于x轴对称当一个函数图像关于x轴对称时，意味着对于函数中的任意一点(x, y)，点(x, -y)也在函数图像上。
这种对称性也可以用来简化函数图像的绘制和分析。
例如，考虑函数y = sin(x)，它是一个正弦函数，具有关于x轴对称的性质。
我们可以通过绘制函数图像的一部分，再利用对称性得到完整的图像。
3. 关于原点对称当一个函数图像关于原点对称时，意味着对于函数中的任意一点(x, y)，点(-x, -y)也在函数图像上。
这种对称性同样可以用来简化函数图像的绘制和分析。
例如，考虑函数y = x^3，它是一个三次函数，具有关于原点对称的性质。
我们可以通过绘制函数图像的一部分，再利用对称性得到完整的图像。
二、周期性1. 周期函数周期函数是指在一定区间内以某个固定的周期重复的函数。
周期函数的图像具有一定的规律性，可以通过观察周期来简化函数图像的绘制和分析。
例如，考虑函数y = sin(x)，它是一个周期为2π的正弦函数。
我们可以通过绘制一个周期内的函数图像，再利用周期性得到完整的图像。
2. 非周期函数非周期函数是指在任意区间内不以固定周期重复的函数。
非周期函数的图像通常没有明显的规律性，需要通过其他方法进行分析和绘制。
例如，考虑函数y = x^2，它是一个非周期函数。
我们需要根据函数的性质和变化规律来绘制函数图像。
三、举一反三通过对函数图像的对称性和周期性的分析，我们可以得到一些解题技巧和方法。
函数的对称性和周期性
则 f (log2 20) 等于 ( )
A.
1 4
B.
−
1 4
C
.
1 5
D.
−
1 5
3∑. 已20知20定义在 R 上的函数 f (x) 满足 f (x + 1) = − f (x − 1), f (x + 2) = f (x − 2), f (1) = 1. 求 (4i − 3) = .
2 函数的周期性
3
3 函数对称性与周期性的结合
4
4 习题
5
1
1 函数的对称性
1.1 轴对称
最特殊的轴对称就是我们高中教材中讲的偶函数。 定义 1.1 如果对任意 x，都有 f (−x) = f (x)，则称函数 y = f (x) 为偶函数。 例如 y = cos x,y = x2 等函数都是偶函数。 下面看一般情况，若函数图象 y = f (x) 关于 x = a 对称，函数要满足什么性质？ 如图，设函数 y = f (x) 上任意一点 A(x, f (x)), 点 A 关于 x = a 的对称点为 A′(x′, f (x′))。
let) 函数没有最小正周期。
高考当中函数的周期性一般不会直接给出，以下是几种常见的形式。
3
性质 2.1 f (x + a) = − f (x),T = 2a.
证明. f (x + 2a) = − f (x + a) = f#43; a) =
f
1 (x)
,
T
=
2a.
证明.
注意：事实上，任何一个常数 kT ∈ Z, k 0 都是它的周期。周期函数 y = f (x) 的周期 T 是与 x 无关的非零常数，且周期函数不一定有最小正周期。 例如狄利克雷 (Dirichlet) 函数：
高中数学函数对称性和周期性小结
高中数学函数对称性和周期性小结一、函数对称性：1.f(a+x) = f(a-x) ==> f(x) 关于x=a对称2.f(a+x) = f(b-x) ==> f(x) 关于x=(a+b)/2 对称3.f(a+x) = -f(a-x) ==> f(x) 关于点（a，0）对称4.f(a+x) = -f(a-x) + 2b ==> f(x) 关于点（a，b）对称5.f(a+x) = -f(b-x) + c ==> f(x) 关于点[（a+b）/2 ，c/2] 对称6.y = f(x) 与y = f(-x) 关于x=0 对称7.y = f(x) 与y = -f(x) 关于y=0 对称8.y =f(x) 与y= -f(-x) 关于点(0,0) 对称例1：证明函数y = f(a+x) 与y = f(b-x) 关于x=(b-a)/2 对称。
【解析】求两个不同函数的对称轴，用设点和对称原理作解。
证明：假设任意一点P（m，n）在函数y = f(a+x) 上，令关于x=t 的对称点Q（2t – m，n），那么n =f(a+m) = f[ b – (2t – m)]∴b – 2t =a ，==> t = (b-a)/2 ，即证得对称轴为x=(b-a)/2 .例2：证明函数y = f(a - x) 与y = f(x – b) 关于x=(a + b)/2 对称。
证明：假设任意一点P（m，n）在函数y = f(a - x) 上，令关于x=t 的对称点Q（2t – m，n），那么n =f(a-m) = f[ (2t – m) – b]∴2t - b =a ，==> t = (a + b)/2 ，即证得对称轴为x=(a + b)/2 .二、函数的周期性令a , b 均不为零，若：1.函数y = f(x) 存在f(x)=f(x + a) ==> 函数最小正周期T=|a|2.函数y = f(x) 存在f(a + x) = f(b + x) ==> 函数最小正周期T=|b-a|3.函数y = f(x) 存在f(x) = -f(x + a) ==> 函数最小正周期T=|2a|4.函数y = f(x) 存在f(x + a) =1/f(x) ==> 函数最小正周期T=|2a|5.函数y = f(x) 存在f(x + a) = [f(x) + 1]/[1 – f(x)] ==> 函数最小正周期T=|4a|这里只对第2~5点进行解析。
高中函数对称性和周期性全解析
高中函数对称性和周期性全解析一、单个函数的对称性性质1：函数()y f x =满足()()f a x f b x +=-时，函数()y f x =的图象关于直线2a b x +=对称。
证明：在函数()y f x =上任取一点11(,)x y ，则11()y f x =，点11(,)x y 关于直线 2a b x +=的对称点11(,)a b x y +-，当1x a b x =+-时 11111()[()][()]()f a b x f a b x f b b x f x y +-=+-=--==故点11(,)a b x y +-也在函数()y f x =图象上。
由于点11(,)x y 是图象上任意一点，因此，函数的图象关于直线2a b x +=对称。
（注：特别地，a =b =0时，该函数为偶函数。
）性质2：函数()y f x =满足()()f a x f b x c ++-=时，函数()y f x =的图象关于点（2a b +，2c ）对称。
证明：在函数()y f x =上任取一点11(,)x y ，则11()y f x =，点11(,)x y 关于点 （2a b +，2c ）的对称点（1a b x +-，c －y 1），当1x a b x =+-时， 1111()[()]()f a b x c f b b x c f x c y +-=---=-=-即点（1a b x +-，c －y 1）在函数()y f x =的图象上。
由于点11(,)x y 为函数()y f x =图象上的任意一点可知函数()y f x =的图象关于点（2a b +，2c ）对称。
（注：当a =b =c =0时，函数为奇函数。
）性质3：函数()y f a x =+的图象与()y f b x =-的图象关于直线2b a x -=对称。
证明：在函数()y f a x =+上任取一点11(,)x y ，则11()y f a x =+，点11(,)x y 关于直线2b a x -=对称点（1b a x --，y 1）。
数学 - 函数的对称性与周期性
数学 - 函数的对称性与周期性函数是数学中的一个重要概念。
通过研究函数的对称性与周期性，我们能够更好地理解函数的性质和行为。
在本文中，我们将介绍函数的对称性和周期性的定义，并讨论一些常见的例子和性质。
函数的对称性在数学中，函数的对称性指的是函数图像关于某一条直线、某个点或者坐标轴对称。
常见的对称性包括：关于x轴对称、关于y轴对称、关于原点对称等。
关于x轴对称一个函数关于x轴对称，意味着函数图像可以在x轴上对称折叠，一半与另一半完全重合。
这意味着，对任意的x值，函数的值与对称轴上对应的函数值是相等的。
例如，函数 f(x) = x^2 就是关于x轴对称的。
对于任意的x值，f(x) = f(-x)。
函数图像可以在x轴上折叠，左右两部分完全重合。
关于y轴对称一个函数关于y轴对称，意味着函数图像可以在y轴上对称折叠，一半与另一半完全重合。
这意味着，对任意的x值，函数的值与对称轴上对应的函数值是相等的。
例如，函数f(x) = sin(x) 就是关于y轴对称的。
对于任意的x值，f(x) = f(-x)。
函数图像可以在y轴上折叠，左右两部分完全重合。
关于原点对称一个函数关于原点对称，意味着函数图像可以在原点上对称折叠，一半与另一半完全重合。
这意味着，对任意的x值，函数的值与对称轴上对应的函数值是相等的。
例如，函数 f(x) = x^3 就是关于原点对称的。
对于任意的x值，f(x) = -f(-x)。
函数图像可以在原点上折叠，左右两部分完全重合。
函数的周期性在数学中，函数的周期性是指函数在一定的水平间隔上重复。
函数图像上的一个完整周期，被定义为函数的最小正周期。
函数的周期性可以帮助我们理解函数的重复性和规律性。
正周期一个函数如果存在一个正数T，使得对于任意的x，有： f(x+T) = f(x)即函数在水平方向上以T为周期。
这里的T被称为函数的正周期。
例如，函数 f(x) = sin(x) 具有正周期2π。
对于任意的x，有sin(x+2π) = sin(x)。
高中高考数学 关于函数的对称性和周期性
，且存在一个定值 使得 f (x1) f (x2 ) +1
f (x2 ) − f (x1 )
a
f
(a)
= 1 ，则
f
(x) 的周期T
=
4|a
|
（6）若 f (x) 的图象关于 x = a, 且同时关于 x = b(a ≠ b) 对称，则T = 2 | a − b | .
证明： ，得证 f (x) = f (2a − x) = f (2b − (2a − x)) = f (x + 2b − 2a)
答： f (a + x) = f (b − x) 表示 f (x) 的对称轴为 x = a + b ； 2
而 表示 的周期为 f (a + x) = f (b + x) f (x)
T =| a − b | .
二．常见结论（注：此处T 专指最小正周期，且默认a ≠ 0） （1）若 f (x) 对定义域内的任意 x 都有 f (x + a) = − f (x) ，则T = 2 | a | .
推广：若 f (x) 对定义域内的任意 x 都有 f (x + a) = m − f (x) ，则T = 2 | a | .
证明：用 x + a 代替 f (x + a) = m − f (x) 中的 x ，得到 f (x + 2a) = m − f (x + a) ；
于是 ，得证 f (x + 2a) = m − f (x + a) = m − [m − f (x)] = f (x)
.
反函数结论（略）.
---1---
关于函数的周期性
一．周期函数的定义：函数 f (x) 在其定义域内，对任意的 x 都存在一个常数T ， (T ≠ 0) 使得 f (x + T) = f (x) 成立，则称函数 f (x) 是周期函数， T 叫做函数 f (x) 的一个周期.（注：以后T 专指最小正周期） 设T 是函数 f (x) 的一个周期，则 kT (k ∈ Z,k ≠ 0) 也是函数 f (x) 的周期.
高一数学函数的对称性和周期性精讲.pdf
反之亦然！
2
说明 2：用 x a 代替 x ，得到 f (x) f (b (x a)) f (a b x)
考察图像上的任一点
( x0 ,
f
(x0 ))
，其关于
x
a
2
b
的对称点为
(a
b
x0 ,
f
(x0 ))
因为 ，故点 也在图像上， f (x0) f (a b x0)
(a b x0, f (x0 )) (a b x0, f (a b x0 ))
其关于点 的对称点为 ，因为 ， (a b , c) 22
(a b x0,c f (x0 ))
c f (x0 ) f (a b x0 )
故点 也在图像上， (a b x0,c f (x0)) (a b x0, f (a b x0))
即函数 y f (x)的图象关于点 (a b , c ) 呈中心对称. 注：高一阶段，看了以上两种说明，还不如2不看2，请直接记住这个结论，能看出对称中心即可！
高一数学：关于函数的对称性
一．单个函数的对称性
1． f (a x) f (b x) 函数 y f (x)的图象关于 x a b 呈轴对称.（此为结论，请记住！）
2
说明 1：看图像，发现 a x 与b x 的中间值为 a x b x a b ，
2
2
且两个函数值 f (a x) f (b x) 相等，故函数 y f (x)的图象关于 x a b 呈轴对称.
2
2
且两个函数值 f (a x) f (b x) 互为相反数，
故函数 y f (x)的图象关于点 (a b ,0)呈中心对称. 反之亦然！ 2
说明 ：用 代替 ，得到 ，即 2 x a x
高中数学基础知识专题讲义30 周期性和对称性(学生版)
考点30 周期性和对称性一．函数的周期性 1.周期函数对于函数f (x )，如果存在一个非零常数T ，使得当x 取定义域内的任何值时，都有f (x ＋T )＝f (x )，那么就称函数f (x )为周期函数，称T 为这个函数的周期． 2.最小正周期如果在周期函数f (x )的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f (x )的最小正周期． 3．函数周期性常用结论 对f (x )定义域内任一自变量x ：(1)若f (x ＋a )＝－f (x )，则T ＝2a (a >0)． (2)若f (x ＋a )＝1f （x ），则T ＝2a (a >0)． (3)若f (x ＋a )＝－1f （x ），则T ＝2a (a >0)． 二．函数图象的对称性(1)若函数y ＝f (x ＋a )是偶函数，即f (a －x )＝f (a ＋x )，则函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝a 对称． (2)若对于R 上的任意x 都有f (2a －x )＝f (x )或f (－x )＝f (2a ＋x )，则y ＝f (x )的图象关于直线x ＝a 对称． (3)若函数y ＝f (x ＋b )是奇函数，即f (－x ＋b )＋f (x ＋b )＝0，则函数y ＝f (x )关于点(b ，0)中心对称．考向一 对称性【例1】（2021·广东揭阳市·高三一模）已知函数()f x 定义域为R ，满足()()2f x f x =-，且对任意121x x ≤<均有()()()12120x x f x f x -⋅-<⎡⎤⎣⎦成立，则满足()()2130f x f x ---≥的x 的取值范围是（ ） A ．(]2,2,3⎡⎫-∞-+∞⎪⎢⎣⎭B ．(]4,0,3⎡⎫-∞+∞⎪⎢⎣⎭知识理解考向分析C ．22,3⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D ．40,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦【举一反三】1（2021·浙江）已知函数2()f x x bx c =++，且(2)()f x f x +=-，则下列不等式中成立的是（ ）A ．(4)(0)(4)f f f -<<B ．(0)(4)(4)f f f <-<C ．(0)(4)(4)f f f <<-D ．(4)(0)(4)f f f <<-2.（2019·福建师大二附中）函数()y f x =在()0,2上是增函数，函数()2y f x =+是偶函数，则下列结论正确的是（ ） A ．()57122f f f ⎛⎫⎛⎫<<⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B ．()75122f f f ⎛⎫⎛⎫<<⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．()75122f f f ⎛⎫⎛⎫<<⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D ．()57122f f f ⎛⎫⎛⎫<<⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭考向二 周期性【例2】（2021·曲靖市第二中学）已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，(4)()f x f x -=，且(1)1f =，则(2019)(2020)f f +=（ ） A ．1- B ．0C ．1D ．2【举一反三】1．（2021·山东聊城市）已知定义在R 上的奇函数()f x 满足(2)()f x f x +=-，若()12f -=，则()2021f =（ ） A ．4-B ．2-C ．0D ．22．（2021·安徽合肥市·）已知()f x 是R 上的奇函数且(4)()f x f x +=，当(0,2)x ∈时，2()2f x x =，(2023)f =（ ）A ．2-B ．2C ．98-D ．983．（2021·江西南昌市）若()f x 在R 上是奇函数，且有()()4f x f x +=，当()0,2x ∈时，()22f x x =则()11f =（ ） A ．242B ．-242C ．2D ．-2考向三 函数性质的综合运用【例3】（2021·上海松江区）已知函数()y f x =是定义域为R 的奇函数，满足()()11f x f x -=+，若()11f =，则()()()()12350f f f f +++⋯+=__________．【举一反三】1．（2021·广东高考模拟）已知f(x)是定义在R 上的奇函数，满足f(1+x)=f(1−x)，且f(1)=a ，则f(2)+f(3)+f(4)=（ ） A ．0B ．−aC ．aD ．3a2．（2021·安徽亳州二中）定义在R 上的函数()f x 满足()(4)f x f x =-，()()0,f x f x -+=且(3)1f -=，则(2019)f =__________。
高中数学课件-函数的周期性与对称性
（2）试求方程f（x）＝0在闭区间
［－2005，2005］上的根的个数，并证 明你的结论.
课后练习 1，已知函数f(x)图象如图所示，则f(x)=( )
A, x2 2 | x | 1
B,x2-2|x|+1 C,|x2-1|
D, x2 2x 1
答案A
2、已知函数y=|x+1|-|x-2|画出其图象， 说明它关于哪个点对称（不必证明），并 指出函数的最值。
2、函数y f (x)满足f (a x) f (a x) 0
函数y f (x)的图像关于点 (a,0)对称.
3、函数y f (x)满足f (a x) f (b x) 0 函数y f (x)的图像关于点(a b ,0)对称. 2
4、函数y f (x)满足f (a x) f (b x) c 函数y f (x)的图像关于点( a b , c )对称. 22
3、已知定义在（-∞，+∞）上的奇函数 f(x)的图象关于x=1对称。⑴求f(0);⑵若 0≤x≤1时，f(x)=x,求x∈[-1,3]时，f(x)的解 析式
则 f (15.5） ———。
2.已知定义域为R的偶函数f(x)满足 f(-x+3) = f(x)，且f(1)= -1，则 f (5) + f (14) =__________.
3.定义在R上的偶函数f（x）满足f (x 1) f（x 1）， 当0 x 1时，f（x） x2，则y f（x）- log5x的零点的个数？
【例1】已知函数f（x）的定义域为R，则 判断下列命题:
①若f（x－2）是偶函数，则函数f（x）的 图象关于直线x＝2对称；
②若f（x+2）＝－f（x－2），则函数f（x） 的图象关于原点对称；
周期性与对称性(数学技巧点拨系列)讲义(教师版)
周期性与对称性【知识点讲解】1、周期性(1)如果()()f x a f x +=-(0a ≠),那么()f x 是周期函数,其中的一个周期2T a = (2)如果1()()f x a f x +=(0a ≠),那么()f x 是周期函数,其中的一个周期2T a =. (3)如果1()()f x a f x +=-(0a ≠),那么()f x 是周期函数,其中的一个周期2T a =. (4)如果()()f x a f x c ++=(0a ≠),那么()f x 是周期函数,其中的一个周期2T a =.(5)如果()()f x a f x b +=+(0,0a b ≠≠),那么()f x 是周期函数,其中的一个周期||T a b =-. (6)如果()()()f x f x a f x a =++-(0a ≠),那么()f x 是周期函数,其中的一个周期6T a =.2、对称性（包括奇偶性）(1)若函数y ＝f (x ＋a )是偶函数，即f (a ＋x )＝f (a －x )恒成立， 则y ＝f (x )的图象关于直线x ＝a 对称；(2)若函数y ＝f (x ＋a )是奇函数，即f (－x ＋a )＋f (x ＋a )＝0恒成立， 则函数y ＝f (x )关于点(a ，0)中心对称；（3）若函数有多重对称性，则该函数具有周期性且最小正周期为相邻对称轴距离的2倍，为相邻对称中心距离的2倍，为对称轴与其相邻对称中心距离的4倍． （4）若函数f (x )满足f (a ＋x )＝f (b －x )，则y ＝f (x )的图象关于直线x ＝a ＋b 2对称.（5）若函数f (x )满足f (a ＋x )＝－f (b －x )，则y ＝f (x )的图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 2，0对称. （6）若函数f (x )满足f (a ＋x )＋f (b －x )＝c ，则函数f (x )的图象关于点⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 2，c 2对称.（7）指数函数（易忽略点）()x n f x a m =+(01,0)a a mn >≠≠且的对称中心为(log ,)2man m.（还可以在数列求和中出现） 3、解题导语做此类问题要注意记住上面一些结论并善于利用。
(word完整版)第三课时 函数对称性和周期性
函数对称性一 知识点I 函数)(x f y =图象本身的对称性（自身对称)若()()f x a f x b +=±+，则()f x 具有周期性；若()()f a x f b x +=±-，则()f x 具有对称性：“内同表示周期性,内反表示对称性".1、)()(x b f x a f -=+ ⇔)(x f y =图象关于直线22)()(b a x b x a x +=-++=对称 推论1：)()(x a f x a f -=+ ⇔)(x f y =的图象关于直线a x =对称推论2、)2()(x a f x f -= ⇔)(x f y =的图象关于直线a x =对称推论3、)2()(x a f x f +=- ⇔)(x f y =的图象关于直线a x =对称2、c x b f x a f 2)()(=-++ ⇔)(x f y =的图象关于点),2(c b a +对称 推论1、b x a f x a f 2)()(=-++ ⇔)(x f y =的图象关于点),(b a 对称推论2、b x a f x f 2)2()(=-+ ⇔)(x f y =的图象关于点),(b a 对称推论3、b x a f x f 2)2()(=++- ⇔)(x f y =的图象关于点),(b a 对称II 两个函数的图象对称性（相互对称）（利用解析几何中的对称曲线轨迹方程理解）1、)(x f y =与)(x f y -=图象关于Y 轴对称2、)(x f y =与)(x f y --=图象关于原点对称函数3、函数)(x f y =与()y f x =-图象关于X 轴对称4、函数)(x f y =与其反函数1()y f x -=图象关于直线y x =对称5.函数)(x a f y +=与)(x b f y -=图象关于直线2a b x -=对称 推论1：函数)(x a f y +=与)(x a f y -=图象关于直线0=x 对称推论2:函数)(x f y =与)2(x a f y -= 图象关于直线a x =对称推论3：函数)(x f y -=与)2(x a f y +=图象关于直线a x -=对称1、定义在实数集上的奇函数)(x f 恒满足)1()1(x f x f -=+，且)0,1(-∈x 时, 512)(+=x x f ，则=)20(log 2f ________.2、已知函数)(x f y =满足0)2()(=-+x f x f ，则)(x f y =图象关于__________对称。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
微专题05 函数的对称性与周期性一、基础知识（一）函数的对称性1、对定义域的要求：无论是轴对称还是中心对称，均要求函数的定义域要关于对称轴（或对称中心）对称2、轴对称的等价描述：（1）()()f a x f a x -=+⇔()f x 关于x a =轴对称（当0a =时，恰好就是偶函数）（2）()()()f a x f b x f x -=+⇔关于2a b x +=轴对称 在已知对称轴的情况下，构造形如()()f a x f b x -=+的等式只需注意两点，一是等式两侧f 前面的符号相同，且括号内x 前面的符号相反；二是,a b 的取值保证2a b x +=为所给对称轴即可。
例如：()f x 关于1x =轴对称()()2f x f x ⇒=-，或得到()()31f x f x -=-+均可，只是在求函数值方面，一侧是()f x 更为方便（3）()f x a +是偶函数，则()()f x a f x a +=-+，进而可得到：()f x 关于x a =轴对称。
① 要注意偶函数是指自变量取相反数，函数值相等，所以在()f x a +中，x 仅是括号中的一部分，偶函数只是指其中的x 取相反数时，函数值相等，即()()f x a f x a +=-+，要与以下的命题区分：若()f x 是偶函数，则()()f x a f x a +=-+⎡⎤⎣⎦：()f x 是偶函数中的x 占据整个括号，所以是指括号内取相反数，则函数值相等，所以有()()f x a f x a +=-+⎡⎤⎣⎦② 本结论也可通过图像变换来理解，()f x a +是偶函数，则()f x a +关于0x =轴对称，而()f x 可视为()f x a +平移了a 个单位（方向由a 的符号决定），所以()f x 关于x a =对称。
3、中心对称的等价描述：（1）()()f a x f a x -=-+⇔()f x 关于(),0a 轴对称（当0a =时，恰好就是奇函数）（2）()()()f a x f b x f x -=-+⇔关于,02a b +⎛⎫ ⎪⎝⎭轴对称 在已知对称中心的情况下，构造形如()()f a x f b x -=-+的等式同样需注意两点，一是等式两侧f 和x 前面的符号均相反；二是,a b 的取值保证2a b x +=为所给对称中心即可。
例如：()f x 关于()1,0-中心对称()()2f x f x ⇒=---，或得到()()35f x f x -=--+均可，同样在求函数值方面，一侧是()f x 更为方便（3）()f x a +是奇函数，则()()f x a f x a +=--+，进而可得到：()f x 关于(),0a 轴对称。
① 要注意奇函数是指自变量取相反数，函数值相反，所以在()f x a +中，x 仅是括号中的一部分，奇函数只是指其中的x 取相反数时，函数值相反，即()()f x a f x a +=-+，要与以下的命题区分：若()f x 是奇函数，则()()f x a f x a +=--+⎡⎤⎣⎦：()f x 是奇函数中的x 占据整个括号，所以是指括号内取相反数，则函数值相反，所以有()()f x a f x a +=--+⎡⎤⎣⎦② 本结论也可通过图像变换来理解，()f x a +是奇函数，则()f x a +关于()0,0中心对称，而()f x 可视为()f x a +平移了a 个单位（方向由a 的符号决定），所以()f x 关于(),0a 对称。
4、对称性的作用：最突出的作用为“知一半而得全部”，即一旦函数具备对称性，则只需要分析一侧的性质，便可得到整个函数的性质，主要体现在以下几点：（1）可利用对称性求得某些点的函数值（2）在作图时可作出一侧图像，再利用对称性得到另一半图像（3）极值点关于对称轴（对称中心）对称（4）在轴对称函数中，关于对称轴对称的两个单调区间单调性相反；在中心对称函数中，关于对称中心对称的两个单调区间单调性相同（二）函数的周期性1、定义：设()f x 的定义域为D ，若对x D ∀∈，存在一个非零常数T ，有()()f x T f x +=，则称函数()f x 是一个周期函数，称T 为()f x 的一个周期2、周期性的理解：可理解为间隔为T 的自变量函数值相等3、若()f x 是一个周期函数，则()()f x T f x +=，那么()()()2f x T f x T f x +=+=，即2T 也是()f x 的一个周期，进而可得：()kT k Z ∈也是()f x 的一个周期4、最小正周期：正由第3条所说，()kT k Z ∈也是()f x 的一个周期，所以在某些周期函数中，往往寻找周期中最小的正数，即称为最小正周期。
然而并非所有的周期函数都有最小正周期，比如常值函数()f x C =5、函数周期性的判定：（1）()()f x a f x b +=+：可得()f x 为周期函数，其周期T b a =-（2）()()()f x a f x f x +=-⇒的周期2T a =分析：直接从等式入手无法得周期性，考虑等间距再构造一个等式：()()2f x a f x a +=-+ 所以有：()()()()()2f x a f x a f x f x +=-+=--=，即周期2T a =注：遇到此类问题，如果一个等式难以推断周期，那么可考虑等间距再列一个等式，进而通过两个等式看能否得出周期（3）()()()1f x a f x f x +=⇒的周期2T a = 分析：()()()()1121f x a f x f x a f x +===+ （4）()()f x f x a k ++=（k 为常数）()f x ⇒的周期2T a =分析：()()()(),2f x f x a k f x a f x a k ++=+++=，两式相减可得：()()2f x a f x +=（5）()()f x f x a k ⋅+=（k 为常数）()f x ⇒的周期2T a =（6）双对称出周期：若一个函数()f x 存在两个对称关系，则()f x 是一个周期函数，具体情况如下：（假设b a >）① 若()f x 的图像关于,x a x b ==轴对称，则()f x 是周期函数，周期()2T b a =- 分析：()f x 关于x a =轴对称()()2f x f a x ⇒-=+()f x 关于x b =轴对称()()2f x f b x ⇒-=+()()22f a x f b x ∴+=+ ()f x ∴的周期为()222T b a b a =-=-② 若()f x 的图像关于()(),0,,0a b 中心对称，则()f x 是周期函数，周期()2T b a =- ③ 若()f x 的图像关于x a =轴对称，且关于(),0b 中心对称，则()f x 是周期函数，周期()4T b a =-7、函数周期性的作用：简而言之“窥一斑而知全豹”，只要了解一个周期的性质，则得到整个函数的性质。
（1）函数值：可利用周期性将自变量大小进行调整，进而利用已知条件求值（2）图像：只要做出一个周期的函数图象，其余部分的图像可利用周期性进行“复制+粘贴”（3）单调区间：由于间隔()kT k Z ∈的函数图象相同，所以若()f x 在()(),a b b a T -≤上单调增（减），则()f x 在()(),a kT b kT k Z ++∈上单调增（减）（4）对称性：如果一个周期为T 的函数()f x 存在一条对称轴x a = （或对称中心），则()f x 存在无数条对称轴，其通式为()2kT x a k Z =+∈ 证明：()f x Q 关于x a =轴对称 ()()2f x f a x ∴=-函数()f x 的周期为T ()()f x kT f x ∴+=()()2f x kT f a x ∴+=- ()f x ∴关于2kT x a =+轴对称 注：其中（3）（4）在三角函数中应用广泛，可作为检验答案的方法二、典型例题：例1：设()f x 为定义在R 上的奇函数，(2)()f x f x +=-，当01x ≤≤时，()f x x =，则(7.5)f =__________思路：由(2)()f x f x +=-可得：()f x 的周期4T =，∴考虑将(7.5)f 用01x ≤≤中的函数值进行表示：()()(7.5) 3.50.5f f f ==-，此时周期性已经无法再进行调整，考虑利用奇偶性进行微调：()()10.50.52f f -=-=-，所以1(7.5)2f =- 答案：1(7.5)2f =- 例2：定义域为R 的函数()f x 满足()()22f x f x +=，当[)0,2x ∈时，()3212x f x -⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则52f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭（ ） A. 14 B. 18 C. 12- D. 14- 思路：由()()()()12222f x f x f x f x +=⇒=+，可类比函数的周期性，所以考虑将52x =-向[)0,2x ∈进行转化：33225111311122242424f f f -⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎢⎥-=-==⋅-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦答案：D小炼有话说：()f x 虽然不是周期函数，但函数值关系与周期性类似，可理解为：间隔2个单位的自变量，函数值呈2倍关系。
所以在思路上仍可沿用周期性的想法，将自变量向已知范围进行靠拢。
例3：定义在R 上的函数()f x 对任意x R ∈，都有()()()()112,214f x f x f f x -+==+，则()2016f 等于（ ） A. 14 B. 12 C. 13 D. 35思路：由()()()121f x f x f x -+=+及所求()2010f 可联想到周期性，所以考虑()()()()()()()()11121411211f x f x f x f x f x f x f x f x ---+++===-++++，所以()f x 是周期为4的周期函数，故()()20164f f =，而由已知可得()()()1234125f f f -==+，所以()320165f = 答案：D 例4（2009山东）：定义在R 上的函数()f x 满足()()()()2log 1,012,0x x f x f x f x x -≤⎧⎪=⎨--->⎪⎩，则()2009f 的值为（ ）A. 1-B. 0C. 1D. 2思路：所给()f x 的特点为0x <才有解析式能够求值，而0x >只能通过()()()12f x f x f x =---减少自变量的取值，由所求()2009f 可联想到判断()f x 是否具有周期性，0x >时，()()()12f x f x f x =---，则有()()()123f x f x f x -=---，两式相加可得：()()3f x f x =--，则()()()36f x f x f x =--=-，即()f x 在0x >时周期是6，故()()()200952f f f ==-，而()()()()()()()21001011f f f f f f f =-=---=-=答案：C小炼有话说：（1）本题的思路依然是将无解析式的自变量通过函数性质向含解析式的自变量靠拢，而2009x =数较大，所以考虑判断函数周期性。