第三章 控制系统的数学模型1

控制系统数学模型的具体形式
数学模型的形式
时间域
拉氏变换
复数域
频率域
微分方程
差分方程
拉氏反变换
传递函数 频率特性 脉冲 传递函数
状态方程
二、控制系统的时域数学模型
1. 连续时间系统的微分方程模型 自然科学和工程技术领域

建模依据
机械 系统
建模基础：牛顿运 动定律、胡克定律、 能量守恒定理

2
..
..

非线性模型的线性化

非线性模型线性化的基本方法
基本 思想
连续变化的非线性 特性函数线性化，可 用切线法（或小偏差 法），其实质是在一 个很小的范围内，将 非线性特性用一段直 线来代替。
基本 假设
在控制系统 整个调节过程 中，所有变量 与稳态值之间 只会产生足够 微小的偏差。
数学 工具
泰 勒 级 数
sin sin 0 (sin )' | 0
d d ml 2 c mg 0 dt dt
2
单摆运动的 线性化方程

倒立摆系统运动方程的线性化：
.. . .. . 2
( M m) x b x ml cos ml sin F (4)
根据牛顿运动定律，有：
ky
dy f dt
y
dy d y F ky f m 2 dt dt 2 d y dy m 2 f ky F dt dt 2 (mp fp k ) y F
微分算子
2
F
d p dt

电气系统 说明：电气系统三元件：电阻、电容、电感
电阻 R
电容 C
' '' F ky2 fy2 mg my2 (2)
（2）-（1），有
' '' F k ( y2 y1 ) f ( y2 y1' ) my2 (3)
证明（续）：如以外力作用前的平衡点作为位移零点，则
y2 y1 y
外力作用后位移点 弹力零点 位移零点
y y1 y2 (4)
1月
1.5
2月 3月 …
2 1.8 …
2
1.8
1.5 0 1 2 t
离散时间函数：若函数x(t)的自变量 t 仅在时间 轴的离散点上取值，则称x(t)为离散时间函数。

连续时间系统和离散时间系统
连续时间系统：若系统的输入输出都是连续时 间函数，且在其内部也未转换成离散时间函 数，则称此系统为连续时间系统。 离散时间系统：若系统的输入输出都是离散时 间函数，则称此系统为离散时间系统。

单变量非线性函数在平衡点附近线性化方法 设函数 y f ( x)在 （x0 , y0 )点连续可微，则将它 在该点附近用泰勒级数展开，得
Y
df dx x x0
y f ( x) f ( x0 ) f ( x0 )( x x0 )
'
y=f(x)
y0
1 '' f ( x0 )( x x0 ) 2 2!

从动态性能看，在相同形式输入的作用下，数学模型 相同而物理性质不同的系统其输出相似（相似系统）。 相似系统是控制理论中进行实验模拟的基础。

通常，系统微分方程的阶次等于系统中包含独立储能元 件，如惯性质量、弹性要素、电感、电容、液感、液容等 的个数，因为每增加一个独立储能元件，系统内部就多一 层能量（信息）的交换。
.. .. P ( I ml 2 ) mgl sin ml x cos
..
mg
(8)
N
6）综上，系统的两个运动方程为：
( M m) x b x ml cos ml sin F (4)
2
..
.
..
.
( I ml ) mgl sin ml x cos (8)


举例（第二组）

自然科学领域——物理学中的单摆 例3：建立单摆自由运动的方程
确定系统输入输出量：
θ
l v m
输入：无 输出：角度θ
划分环节，引入中间变量：
m
g
环节1：单摆
列写各环节的运动方程：
根据牛顿第二定律：
F ma
2
d d mg sin c ml 2 dt dt
写成标准形式：
单摆运动的 数学模型
d d ml 2 c mg sin 0 dt dt
2

工程技术领域——倒立摆
倒 立 摆 系 统
该系统由小车和安装在小车上的倒立摆构 成。倒立摆是不稳定的，如果没有适当的控制 力作用到它上面，它将随时可能向任何方向倾 倒。这里我们只考虑二维问题，即认为倒立摆 只在图所在的平面内运动。 若有合适的控制力 u 作用于小车上可使摆 杆维持直立不倒。这实际是一个空间起飞助推 器的姿态控制模型 ( 姿态控制问题的目的是要 把空间助推器保持在垂直位置)。
电气 系统
建模基础：欧姆定 理、基尔霍夫定律

建模步骤
确定系统输入输出量 划分环节
根据元件的工作原理和 在系统中的作用，确定各环 节的输入量和输出量，并根 据需要引进一些中间变量。
写出每一环节的输入输出关系式 消去中间变量 写成标准形式
右端输入，左端输出， 导数降幂排。

举例（第一组）

机械系统 说明：机械系统中以各种形式出现的物理现象， 都可简化为质量、弹簧、阻尼三个要素！！ 质量 M 弹簧 K 阻尼 B
根据微分的性质，有
' '' y ' y1' y2 , y '' y1'' y2 (5)
又因为y1，为常数，故
y1' 0, y1'' 0 (6)
将（4）、（5）、（6）式代入（3），整理后，得
F ky fy' my'' (3)
以外力作用前的静止（平衡）点作为位移零点，可以 消除重力的影响。
系统综合
目标 实现
第三章
认识世界
第四章
第六章
改造世界
控制 系统 的数 学模 型
一、概述
二、控制系统的时域模型
三、控制系统的复域模型
一、概述
1. 控制系统数学模型的基本概念 描述系统动态特性的数学方程， 用来表达一个系统内部各部分之间、 或系统与外部环境之间的关系。 实际上，它是由系统输入、输出变量及系统 参数组成的数学关系式，是描述系统、分析 系统、控制系统的工具。
例4：直线一级倒立摆系统
理想摆角
g 0
偏差 控制器根 据偏差决策

决策
电机
F 小车摆杆 实际摆角
系统

角位移传感器
φ F
结论：
需建立小车摆杆 系统的数学模型，找 到摆角φ和外力F之间 的关系！！
在忽略了空气阻力和各种摩擦之后，可将该系统抽象 为小车和匀质杆组成的系统，如下图： φ 摆杆与垂直向上方向的夹角 I 摆杆转动惯量 l 摆杆质心到转轴长度 m 摆杆质量 F 加在小车上的力
将参考坐标的原点移到系统或元件的平衡工 作点上，对于实际系统就是以正常工作状态为研 究系统运动的起始点，这时，系统所有的初始条 件均为零。

非线性函数线性化的关键 确定系统的平衡工作点！！

单摆自由运动方程的线性化
d 2 d ml 2 c mg sin 0 dt dt
系统平衡工作点为（0,0）
d P mg m 2 (l cos ) (5) dt
2
P
mg
N
P mg ml sin ml cos
2
..
.
.
(6)
4）摆杆对质心的力矩平衡方程：
I
..
I Pl sin Nl cos (7)
5 ）从 (3) 、 (6) 、 (7) 中消去 P 和 N ， 得到第二个运动方程：


3. 控制系统数学模型的形式 几个 A sin( 2ft)
连续时间函数： 若函数x(t)的自变量 t 在时间轴上连续取值， 称x(t)为连续时间函数。

离散时间函数
例：某电视机厂生产的电视机月统计数据如下表：
t=0
t=1 t=2 … Y(t)
时间
产量 Y ( t)
( I ml ) mgl sin ml x cos (8)
2
..
..
系统平衡工作点（F0, φ0）为（0,0）
在平衡工作点处非线性项 cos 线性化为：
cos cos 0 (cos )' | 0 1
在平衡工作点处非线性项 sin 线性化为：
M 小车质量 b 小车与导轨摩擦系数
x 小车位置
确定系统输入输出量：
输入：控制力F 输出：角度φ
划分环节，引入中间变量：
环节1：小车 环节2：摆杆
中间变量：小车位置x
列写各环节的运动方程：
1）分析小车水平方向所受合力，有：
F b x N M x
.
..
(1)
2）分析摆杆水平方向所受合力，有：
d N m 2 ( x l sin ) dt
2
(2)
N m x ml cos ml sin
2 .
..
..
(3)
( M .. m) x b x ml cos ml sin F (4) I 4）分析摆杆垂直方向的合力，有：