不等式限时训练二

不等式限时训练二

一、选择题(共8个小题，每小题5分，满分40分)

1．已知x ＞0，y ＞0，lg 2x ＋lg 8y

＝lg 4，则1x ＋13y

的最小值是( A )

A ．2

B ．2 2

C ．4

D ．2 3

解析：由lg2x

＋lg8y

＝lg4得xlg2＋3ylg2＝2lg2，即x ＋3y ＝2. 于是1x ＋13y ＝12(x ＋3y)·(1x ＋13y )＝12(2＋3y x ＋x 3y )≥1

2(2＋2

3y x ·x

3y

)＝2，当且仅当x ＝3y ＝1时取等号，故1x ＋1

3y

的最小值是2.

2．已知x>0，y>0，x ＋2y ＋2xy ＝8，则x ＋2y 的最小值是( B )

A ．3

B ．4 C.9

2

D.112

解析：依题意得(x ＋1)(2y ＋1)＝9， (x ＋1)＋(2y ＋1) ≥2x ＋12y ＋1＝6，x ＋2y ≥4，

即x ＋2y 的最小值是4.

3．设a ＞0，b ＞0，且不等式1a ＋1b ＋k

a ＋b

≥0恒成立，则实数k 的最小值等于(C)

A ．0

B ．4

C ．－4

D ．－2

解析：由1a ＋1b ＋k a ＋b ≥0得k ≥－

a ＋

b 2

ab

，而

a ＋

b 2

ab

＝b a ＋a

b

＋2≥4(a ＝b 时取等号)，所以－

a ＋

b 2

ab ≤－4，因此要使k ≥－

a ＋

b 2

ab

恒成立，应有k ≥－4，即实数k 的

最小值等于－4.

4．过定点P(1,2)的直线在x 轴与y 轴正半轴上的截距分别为a ，b ，则4a 2＋b 2

的最小值( B )

A ．8

B ．32

C ．45

D ．72

解析：因为a ＞0，b ＞0，1a ＋2

b

＝1，

所以(2a ＋b)·1＝(2a ＋b)(1a ＋2b )＝2＋2＋b a ＋4a

b

≥8，

当且仅当b a ＝4a b ，即2a ＝b ＝4时等号成立，所以(4a 2＋b 2)(1＋1)≥(2a ＋b)2

≥64.

所以4a 2＋b 2≥32，当且仅当2a 1＝b 1＝4时等号成立．所以(4a 2＋b 2

)min ＝32.

5．设f(x)＝|2－x 2

|，若0＜a ＜b 且f(a)＝f(b)，则a ＋b 的取值范围是(B )

A ．(0,2)

B ．(0,22)

C ．(0,4)

D ．(0，2)

解析：若0＜a ＜b ＜2，则有f(a)＞f(b)，与f(a)＝f(b)矛盾；若2＜a ＜b ，则有f(a)＜f(b)，与f(a)＝f(b)矛盾，故必有0＜a ＜2＜b ，因此由|2－a 2

|＝|2－b 2

|得2－a 2

＝b 2

－2，

∴a 2

＋b 2

＝4， 故a ＋b 2

≤

a 2

＋b

2

2

＝2(a ＝b 时取等号)，∴0＜a ＋b ＜2 2. 6．(2011·惠州模拟)若x 、y 、z 均为正实数，则xy ＋yz

x 2＋y 2＋z

2的最大值是( A )

A.2

2

B. 2 C ．2 2 D ．2 3

解析：∵x ，y ，z ∈(0，＋∞)，∴x 2＋y 2＋z 2＝x 2

＋12y 2＋12y 2＋z 2≥2

x 2

·12

y 2＋2

12

y 2·z 2＝2(xy ＋yz)，当且仅当x ＝z ＝

22y 时取等号，令u ＝xy ＋yz x 2＋y 2＋z 2，则xy ＋yz

x 2＋y 2＋z

2≤xy ＋yz 2xy ＋yz ＝

22，∴当且仅当x ＝z ＝22y 时，u 取得最大值2

2

. 7.设0a b <<，则下列不等式中正确的是 （B ）

（A ） 2a b a b +<<

<

（B ）2a b

a b +<<

（c ）2a b a b +<<<2

a b

a b +<<

< 【分析】根据不等式的性质，结合作差法，放缩法，基本不等式或特殊值法等进行比较．

（方法一）已知a b <和2

a b

+<，比较a 因为22()0a a a b -=-<，

所以a <

，同理由22()0b b b a -=->得b <；作差法：

022a b b a b +--

=>，所以2a b b +<，综上可得2

a b

a b +<<<；故选B ．（方法二）

取2a =，8b =4=，52a b +=，所以2a b

a b +<<<． 8．函数)(x f 的定义域为R ，2)1(=-f ，对任意R ∈x ，2)(>'x f ，则42)(+>x x f 的解集为 B

A ．（1-，1）

B ．（1-，+∞）

C ．（∞-，1-）

D ．（∞-，+∞）

二、填空题(共3小题，每小题5分，满分15分)

9．设f(x)＝1

a

x 2－bx ＋c ，不等式f(x)<0的解集是(－1,3)，若f(7＋|t|)>f(1＋t 2)，则实数t 的