【解析版】北京市朝阳区2013年中考数学一模试卷(解析版)
2013年北京市中考数学试题(解析版)
2013年北京市高级中等学校招生考试数学试卷 解析满分120分，考试时间120分钟一、选择题（本题共32分，每小题4分）下面各题均有四个选项，其中只有一个．．是符合题意的。
1. 在《关于促进城市南部地区加快发展第二阶段行动计划（2013-2015）》中，北京市提出了总计约3 960亿元的投资计划。
将3 960用科学计数法表示应为 A . 39.6×102 B . 3.96×103 C . 3.96×104 D . 3.96×104 答案：B解析：科学记数法的表示形式为a ×10n的形式，其中1≤|a |＜10，n 为整数，表示时关键要正确确定a 的值以及n 的值．3 960＝3.96×103 2. 43-的倒数是 A . 34 B . 43 C . 43- D . 34-答案：D解析：(0)a a ≠的倒数为1a ，所以，43-的倒数是34- 3. 在一个不透明的口袋中装有5个完全相同的小球，把它们分别标号为1，2，3，4，5，从中随机摸出一个小球，其标号大于2的概率为 A .51 B . 52 C . 53 D . 54答案：C解析：大于2的有3、4、5，共3个，故所求概率为534. 如图，直线a ，b 被直线c 所截，a ∥b ，∠1=∠2，若∠3=40°，则∠4等于A . 40°B . 50°C . 70°D . 80° 答案：C解析：∠1＝∠2＝12（180°－40°）＝70°，由两直线平行，内错相等，得 ∠4＝70°。
5. 如图，为估算某河的宽度，在河对岸边选定一个目标点A，在近岸取点B，C，D，使得AB⊥BC，CD⊥BC，点E在BC上，并且点A，E，D在同一条直线上。
若测得BE=20m，EC=10m，CD=20m，则河的宽度AB等于A. 60mB. 40mC. 30mD. 20m答案：B解析：由△EAB∽△EDC，得：CE CDBE AB=，即102020AB=，解得：AB＝406. 下列图形中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是答案：A解析：B既是轴对称图形，又是中心对称图形；C只是轴对称图形；D既不是轴对称图形也不是中心对称图形，只有A符合。
2013年北京市朝阳区初三一模数学试题及答案
北京市朝阳区2013年初中毕业考试数学试卷第Ⅰ卷（选择题32分）一、选择题（共8道小题，每小题4分，共32分）下列各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的．请用铅笔把“机读答题卡”上对应题目答案的相应字母处涂黑． 1. -7 的相反数是A ． 7B ．－7C ．71 D ．71-2.中国航空母舰“辽宁号”的满载排水量为67500吨。
将数67500用科学记数法表示为A ．0.675×105B ． 6. 75×104C ． 67.5×103D ． 675×1023.把4张形状、质地完全相同的卡片分别写上数字1，2，3，4，再将这些卡片放在一个不透明的盒子里，随机从中抽取1张卡片，则抽取的卡片上的数字为奇数的概率是A ．41 B ．31 C ．21 D ． 14.北京2013年3月的一周中每天最高气温如下：7， 13，15，16，15，17，19，则在这一周中，最高气温的众数和中位数分别是A ．15和15B ．15和16C ． 16和15D ．19和16 5. 如图，已知直线l 1//l 2，∠1=40°，则∠2的度数为A ．30°B ． 40°C ． 50°D ． 60° 6．如图，⊙O 的半径为5，AB 是弦，OC ⊥AB 于点C ，若OC=3，则AB 的长为A ． 3B ． 4C ． 6D ．87．二次函数21(1)32y x =-+的顶点在A．第一象限． B ．第二象限．C ．第象限D ．第象限．8．如图，矩形ABCD的两条对角线相交于点O，∠BOC=120°，AB=3，一动点P以1cm/s的速度延折线OB—BA运动，那么点P的运动时间x（s）与点C、O、P围成的三角形的面积y之间的函数图象为A B C D第Ⅱ卷（共68分）二．填空题（共5道小题，每小题4分，共20分）9. 若-2是方程062=+-mxx的一个根，则m= .10. 分解因式：2218m-=．11．侧面展开图是扇形的几何体是 .12．如图，菱形ABCD的一条对角线BD上一点O，到菱形一边AB的距离为2，那么点O到另外一边BC的距离为_________.13．若关于x的一元二次方程kx2-2x+1 = 0有两个实数根，则k的取值范围是.三．解答题（共9道小题，14题—20题每小题5分，21题6分，22题7分，共48 分）14．（本小题5分）计算：()1-)32(-45in2-82-1︒+s．解：15．（本小题5分）求不等式组()⎪⎩⎪⎨⎧≥-+>-12131325xxx的整数解.解：6如图所示，在△ABC 中，AD ⊥BC 于D ，BE ⊥AC 于E ，AD 与BE 相交于F ，且BF=AC. 求证：DF=DC. 证明：17．列方程或方程组解应用题（本小题5分）动物园的门票售价：成人票每张50元，儿童票每张30元. 某日动物园售出门票700张，共得29000元. 请问当日儿童票售出多少张？解：18．（本小题5分）某学校为了解该校七年级学生的身高情况，抽样调查了部分同学身高，将所得数据处理后，制成扇形统计图和频数分布直方图（部分）如下（每组只含最低值不含最高值，身高单位：cm ，测量时精确到1cm ）：（1）请根据所提供的信息补全频数分布直方图；（2）写出该样本中，七年级学生身高的中位数所在组的范围; ;（3）如果该校七年级共有500名学生，那么估计该校七年级身高在160cm 及160cm 以上的学生共有 人；（4）若该校所在区的七年级学生平均身高为155 cm ，请结合以上信息，对该校七年级学生的身高情况提出一个你的见解./cm165~170cm已知：一次函数2+=x y 与反比例函数xk y =相交于A 、B 两点且A 点的纵坐标为4.（1）求反比例函数的解析式； （2）求△AOB 的面积. 解：20．（本小题5分）如图，AB 为⊙O 的直径，BC 是弦，OE ⊥BC ，垂足为F ，且与⊙O 相交于点E ，连接CE 、AE ，延长OE 到点D ，使∠ODB=∠AEC. (1)求证：BD 是⊙O 的切线； (2)若cosD=54，BC=8,求AB 的长.(1)证明：(2)解：如图，抛物线c xy +-=243与x 轴分别交于点A 、B ，直线2343+-=x y 过点B ，与y 轴交于点E ，并与抛物线c x y +-=243相交于点C ．（1）求抛物线c xy +-=243的解析式；（2）直接写出点C 的坐标；（3）若点M 在线段A B 上以每秒1个单位长度的速度从点A 向点B 运动（不与点A 、B 重合），同时，点N 在射线B C 上以每秒2个单位长度的速度从点B 向点C 运动．设点M 的运动时间为t 秒，请写出M N B △的面积S 与t 的函数关系式，并求出点M 运动多少时间时，M N B △的面积最大，最大面积是多少？解：在矩形ABCD中，AD=4，M是AD的中点，点E是线段AB上一动点，连接EM并延长交线段CD的延长线于点F.（1）如图1，求证：ME=MF；（2）如图2，点G是线段BC上一点，连接GE、GF、GM，若△EGF是等腰直角三角形，∠EGF=90°，求AB的长；（3）如图3，点G是线段BC延长线上一点，连接GE、GF、GM，若△EGF是等边三角形，求AB 的长.北京市朝阳区2013年初中毕业考试数学试卷参考答案及评分标准一、选择题（共8道小题，每小题4分，共32分）二、填空题（共5道小题，每小题4分，共20分）9. －5 10. ）（3)3(2-+a a 11. 圆锥 12. 2 13. k ≤1且k ≠0三、解答题（共9道小题，14题—20题每小题5分，21题6分，22题7分，共48 分） 14．解：原式23222221-⨯-+=.…………………………………………………………………4分.212-=………………………………………………………………………………5分15．解： 523(1)132x x x ->+⎧⎪⎨-≥⎪⎩ ①1 ②解① 得 x ＞25. …………………………………………………………………………2分解② 得 x ≤4. ……………………………………………………………………………4分 原不等式组的整数解为3和4. ……………………………………………………………5分16. 证明：∵AD ⊥BC ，∴∠BDF ＝∠ADC ＝90°. ……………………………………………………………………1分 ∴∠A ＋∠C ＝90°.又∵BE ⊥AC ， ∴∠B ＋∠C ＝90°.∴∠B =∠A . …………………………………………………………………………………2分 又∵BF=AC ，…………………………………………………………………………………3分∴△BDF ≌△ADC . …………………………………………………………………………4分 ∴DF =DC . …………………………………………………………………………………5分17．解：设当日儿童票售出x 张，成人票售出y 张. ………………………………………………1分根据题意，得⎨⎧=+=+.290005030,700y x y x ……………………………………………………………………3分 解得⎩⎨⎧==.400,300y x …………………………………………………………………………………4分答：当日儿童票售出300张，成人票售出400张. ……………………………………………5分18. 解：（1）补图（图略）； …………………………………………………………………………2分（2）155—160；…………………………………………………………………………………3分 （3）160 ；………………………………………………………………………………………4分 （4）如：该校七年级多数学生的身高达到或者超过区平均身高. ………………………5分（说明：其他合理解答均可）19．（1）根据题意，得4= x+2，解得x =2.∴A （2，4）. 把A （2，4）代入xk y =，解得8=k . ∴xy 8=. …………………………………………2分（2）当0=y 时，02=+x ，2-=x .∴B （－2，0）. ………………………………………3分 ∴OB ＝2.如图，作AC ⊥x 轴于点C ，∵A （2，4），∴AC ＝4. ∴S △AOB ＝.421=⋅⋅AC OB …………………………5分20．（1）证明：∵∠D ＝∠AEC ，∠AEC ＝∠ABC ，∴∠D ＝∠ABC . ………………………………………………………………………1分 ∵OF ⊥BC ， ∴∠D +∠DBC ＝90°. ∴∠ ABC +∠DBC ＝90°.∴BD 是⊙O 的切线. ……………………………………………………………2分（2）解：如图，连接AC .∵ AB 是⊙O 的直径，∴∠ACB =90°．………………………………………3分 ∵∠ABC =∠D ． ∴cos ∠ABC= cos D =54．即B C A B=54，……………………………………………4分∵BC ＝8，∴AB =10． …………………………………………5分21．解：（1）由2343+-=x y ，当0=y 时，解得2=x . ∴B （2，0）.∵抛物线c x y +-=243经过点B （2，0），∴3=c .∴此抛物线的解析式为3432+-=x y .………………………………………………2分（2）C （1-，49）. ………………………………………………………………………3分（3） 如图，作ND ⊥x 轴于点D ，由2343+-=x y 得E （0，23）. ∴BE=25.由3432+-=x y 得A （－2，0）. ∴AB=4.由题意，得AM =t ，BM =4－t ，BN =2t . 由△BND ∽△BEO ，得BE BN OEDN =.∴56t DN =. ………………………………………4分∴△MNB 的面积S 56)4(2121t t ND BM ⋅-⋅=⋅⋅=.∴t t S 512532+-=.…………………………………5分 即512)2(532+--=t S ，自变量t 的取值范围是0＜t ＜4. t= 2时，512=最大S .…………………………………6分22. （1）证明：在矩形ABCD 中，∠A ＝∠FDM ＝90°.又∵AM ＝DM ，∠AME ＝∠DMF ， ∴△AME ≌△DMF .∴ME =MF . ………………………………………2分 （2）解：如图，过点G 作GH ⊥AD 于点H .∴四边形ABGH 是矩形.∵△EGF 是等腰直角三角形， 由（1）得，ME =MF ， ∴ME =MG ， ∠EMG ＝90°.∴∠AME +∠DMG ＝∠HGM +∠DMG= 90°. ∴∠AME ＝∠HGM . 又∵∠A ＝∠MHG ，∴△AME ≌△HGM . ……………………………3分 ∴AM=HG . ∴AB=HG=AM=21AD=2. ………………………4分（3）解：如图，过点G 作GH ⊥AD ，交AD 的延长线于点H .∴四边形ABGH 是矩形.∵△EGF 是等边三角形，∠MEG ＝60°， 由（1）得，ME =MF ， ∴∠EMG ＝90°.∴∠AME +∠HMG ＝∠AME +∠AEM = 90°. ∴∠AEM ＝∠HMG . 又∵∠A ＝∠AHG ，∴△AEM ∽△HGM . ……………………………5分 ∴EMMG AMGH =.∴tan ∠MEG=EMMG AMGH == tan 60°=3.又∵AM=21AD=2，∴AB=GH=23.…………………………………7分。
2013年北京市中考数学试卷及详细分析评论
2013年北京中考数学真题评析：难度有所下降
2013年中考报道学而思兰清2013-06-25 13:57
特点九、考察学生对于知识点的深入理解能力逐渐加大。
解答题第23题第三小问，重点考察直线与抛物线位置关系的深入理解，难度较大。
最后，笔者衷心祝愿2013年广大学子能取得优异的成绩，考入理想的高中。
同时祝愿决战2014中
考的新初三学员能倍加努力，在2014年中考中也能取得优异的成绩。
（学而思(微博)中考研究中心中考研究办公室兰清）
2013年北京中考数学试卷题型结构分布
摘要：2013年北京中考数学试卷题型结构分布
(一)试卷分数、考试时间
试卷满分为120分，考试时间为120分钟。
(二)试卷知识内容分布
数与代数约60分
空间与图形约46分
统计与概率约14分
(三)试卷试题难易程度分布
较易试题约60分
中等试题约36分
较难试题约24分
(四)试卷题型分布
选择题约32分
填空题约16分
解答题约72分。
2013年北京市朝阳区中考数学一模试卷及答案(word解析版)
北京市朝阳区2013年中考数学一模试卷一、选择题（共8道小题，每小题4分，共32分）下列各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的．请用铅笔把“机读答题卡”上对应题目答案的相应字母处涂黑．2．（4分）（2013•朝阳区一模）中国航空母舰“辽宁号”的满载排水量为67500吨．将数675003．（4分）（2013•朝阳区一模）把4张形状、质地完全相同的卡片分别写上数字1，2，3，4，再将这些卡片放在一个不透明的盒子里，随机从中抽取1张卡片，则抽取的卡片上的数字为B∴抽取的卡片上的数字为奇数的概率是=4．（4分）（2013•朝阳区一模）北京2013年3月的一周中每天最高气温如下：7，13，15，5．（4分）（2013•朝阳区一模）如图所示，直线l1∥l2，∠1=40°，则∠2为（）6．（4分）（2013•朝阳区一模）如图，⊙O的半径为5，AB为弦，OC⊥AB，垂足为C，若OC=3，则弦AB的长为（）==47．（4分）（2013•朝阳区一模）二次函数y=（x ﹣1）2+3的顶点在（ ）y=8．（4分）（2013•朝阳区一模）如图，矩形ABCD 的两条对角线相交于点O ，∠BOC=120°，AB=3，一动点P 以1cm/s 的速度延折线OB ﹣BA 运动，那么点P 的运动时间x （s ）与点C 、O 、P 围成的三角形的面积y 之间的函数图象为（ ）BAB=•=•二．填空题（共5道小题，每小题4分，共20分）9．（4分）（2013•朝阳区一模）如果2是方程x2﹣mx+6=0的一个根，那么m=5．10．（4分）（2013•朝阳区一模）因式分解：2x2﹣18=2（x+3）（x﹣3）．11．（4分）（2013•朝阳区一模）侧面展开图是矩形的简单几何体是圆柱，棱柱．12．（4分）（2013•朝阳区一模）如图所示，菱形ABCD的一条对角线BD上一点O到菱形一边AB的距离为3，那么O点到另外一边BC的距离为3．13．（4分）（2013•朝阳区一模）若关于x的一元二次方程kx2﹣2x+1=0有实数根，则k的取值范围是k≤1且k≠0．三．解答题（共9道小题，14题-20题每小题5分，21题6分，22题7分，共48分）14．（5分）（2013•朝阳区一模）计算：（1﹣）0+﹣2sin45°﹣（）﹣1．﹣×﹣=﹣15．（5分）（2013•朝阳区一模）求不等式组的整数解．则不等式组16．（5分）（2013•朝阳区一模）如图所示，在△ABC中，AD⊥BC于D，BE⊥AC于E，AD与BE相交于F，且BF=AC．求证：DF=DC．17．（5分）（2013•朝阳区一模）动物园的门票售价：成人票每张50元，儿童票每张30元．某日动物园售出门票700张，共得29000元．求成人票和儿童票各售出多少张．，解得18．（5分）（2013•朝阳区一模）某学校为了解该校七年级学生的身高情况，抽样调查了部分同学身高，将所得数据处理后，制成扇形统计图和频数分布直方图（部分）如下（每组只含最低值不含最高值，身高单位：cm，测量时精确到1cm）：（1）请根据所提供的信息补全频数分布直方图；（2）写出该样本中，七年级学生身高的中位数所在组的范围；155～160cm；（3）如果该校七年级共有500名学生，那么估计该校七年级身高在160cm及160cm以上的学生共有160人；（4）若该校所在区的七年级学生平均身高为155cm，请结合以上信息，对该校七年级学生的身高情况提出一个你的见解．19．（5分）（2013•朝阳区一模）已知：一次函数y=x+2与反比例函数y=相交于A、B两点且A点的纵坐标为4．（1）求反比例函数的解析式；（2）求△AOB的面积．y=得，y=组成方程组得，，，×4+20．（5分）（2013•朝阳区一模）如图，AB为⊙O的直径，BC是弦，OE⊥BC，垂足为F，且与⊙O相交于点E，连接CE、AE，延长OE到点D，使∠ODB=∠AEC．（1）求证：BD是⊙O的切线；（2）若cosD=，BC=8，求AB的长．都对BF=CF=ABC=，=521．（6分）（2013•朝阳区一模）如图，抛物线y=﹣x2+c与x轴分别交于点A、B，直线y=﹣x+过点B，与y轴交于点E，并与抛物线y=﹣x2+c相交于点C．（1）求抛物线y=﹣x2+c的解析式；（2）直接写出点C的坐标；（3）若点M在线段AB上以每秒1个单位长度的速度从点A向点B运动（不与点A、B 重合），同时，点N在射线BC上以每秒2个单位长度的速度从点B向点C运动．设点M 的运动时间为t秒，请写出△MNB的面积S与t的函数关系式，并求出点M运动多少时间时，△MNB的面积最大，最大面积是多少？=x+过点﹣）联立抛物线及直线解析式可得：或，，）BE==EBO=，EBO==（×t=t t=（（．﹣t最大面积是22．（7分）（2013•朝阳区一模）在矩形ABCD中，AD=4，M是AD的中点，点E是线段AB上一动点，连接EM并延长交线段CD的延长线于点F．（1）如图1，求证：ME=MF；（2）如图2，点G是线段BC上一点，连接GE、GF、GM，若△EGF是等腰直角三角形，∠EGF=90°，求AB的长；（3）如图3，点G是线段BC延长线上一点，连接GE、GF、GM，若△EGF是等边三角形，则AB=2．=cot60，== HG=AM=2=cot60===AM=2 AB=HG=2．。
2013北京朝阳高考一模数学理(含解析)
北京市朝阳区高三年级第一次综合练习数学学科测试（理工类）2013．4第一部分（选择题 共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．（1）i 为虚数单位，复数11i-的虚部是（ ）． A ．12B ．12-C ．1i 2-D ． 1i 2（2）已知集合{}23M x x =-<<，{}lg(2)0N x x =+≥，则MN =（ ）．A ． (2,)-+∞B ． (2,3)-C ． (2,1]--D ． [1,3)-（3）已知向量()()3,4,6,3OA OB =-=-，()2,1OC m m =+．若//AB OC ，则实数m 的值为（ ）． A ．3- B ．17- C ．35- D ．35（4）在极坐标系中，直线1cos 2ρθ=与曲线2cos ρθ=相交于,A B 两点, O 为极点，则AOB ∠的大小为（ ）．A ．3πB ．2πC ．32πD ．65π（5）在下列命题中，①“2απ=”是“sin 1α=”的充要条件； ②341()2x x+的展开式中的常数项为2；③设随机变量ξ～(0,1)N ,若(1)P p ξ≥=，则1(10)2P p ξ-<<=-． 其中所有正确命题的序号是（ ）． A ．② B ．③ C ．②③ D ．①③（6）某个长方体被一个平面所截，得到的几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为（ ）．A ． 4B ． 42C ． 62D ． 82222 １１ １ 正视图侧视图俯视图D B CO A （7）抛物线22y px =（p ＞0）的焦点为F ，已知点A ，B 为抛物线上的两个动点，且满足120AFB ∠=︒．过弦AB 的中点M 作抛物线准线的垂线MN ，垂足为N ，则||||MN AB 的最大值为（ ）． A ． 33 B ． 1 C ． 233D ． 2（8）已知函数*()21,f x x x =+∈N ．若*0,x n ∃∈N ，使000()(1)()63f x f x f x n +++++=成立，则称0(,)x n 为函数()f x 的一个“生成点”．函数()f x 的“生成点”共有（ ）．A ． 1个B ．2个C ．3个D ．4个第二部分（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在答题卡上．（9）在等比数列{}n a 中，32420a a a -=，则3a = ，{}n b 为等差数列，且33b a =，则数列{}n b 的前5项和等于 ．（10）在ABC ∆中， a ，b ，c 分别为角A ， B ，C 所对的边．已知角A 为锐角，且3sin b a B =,则tan A = ．（11）执行如图所示的程序框图，输出的结果S= ．（12）如图，圆O 是ABC ∆的外接圆，过点C 作圆O 的切线交BA 的延长线于点D ．若3CD =， 2AB AC ==，则线段AD 的长是 ；圆O 的半径是 ．（13）函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且满足 (2)()f x f x +=． 当[0,1]x ∈时，()2f x x =．若在区间[2,3]-上方程2()0ax a f x +-=恰有四个不相等的实数根，则实数a 的取值范围是 ．（14）在平面直角坐标系xOy 中，已知点A 是半圆2240x x y -+=（2≤x ≤4）上的一个动点，点C 在线段OA 的延长线上．当20OA OC ⋅=时，则点C 的纵坐标的取值范围是 ．开始 i=0 S=0 S=S+2i-1 i ≥6 输出S结束 是 i=i+2 否三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． （15）（本小题满分13分）已知函数231()sin sin 222x f x x ωω=-+（0ω>）的最小正周期为π． （Ⅰ）求ω的值及函数()f x 的单调递增区间； （Ⅱ）当[0,]2x π∈时，求函数()f x 的取值范围．（16）（本小题满分13分）盒子中装有四张大小形状均相同的卡片，卡片上分别标有数字1,01-，,2．称“从盒中随机抽取一张，记下卡片上的数字后并放回”为一次试验（设每次试验的结果互不影响）． （Ⅰ）在一次试验中，求卡片上的数字为正数的概率；（Ⅱ）在四次试验中，求至少有两次卡片上的数字都为正数的概率；（Ⅲ）在两次试验中，记卡片上的数字分别为ξη，，试求随机变量=X ξη⋅的分布列与数学期望EX ．PDABCFE（17）（本小题满分14分）如图，在四棱锥P ABCD -中，平面PAC ⊥平面ABCD ，且PA AC ⊥， 2PA AD ==．四边形ABCD 满足BC AD ，AB AD ⊥，1AB BC ==．点,E F 分别为侧棱,PB PC 上的点，且PE PFPB PCλ==． （Ⅰ）求证：EF 平面PAD ；（Ⅱ）当12λ=时，求异面直线BF 与CD 所成角的余弦值； （Ⅲ）是否存在实数λ，使得平面AFD ⊥平面PCD ？若存在，试求出λ的值；若不存在，请说明理由．（18）（本小题满分13分）已知函数2()(2)ln 22f x x a x a x a =-++++，其中2a ≤． （Ⅰ）求函数()f x 的单调区间；（Ⅱ）若函数()f x 在(]0,2上有且只有一个零点，求实数a 的取值范围．（19）（本小题满分14分）已知中心在原点，焦点在x轴上的椭圆C过点3(1,)2,离心率为32，点A为其右顶点．过点(10)B，作直线l与椭圆C相交于,E F两点，直线AE，AF与直线3x=分别交于点M，N．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）求EM FN⋅的取值范围．（20）（本小题满分13分）设1210(,,,)x x x τ=是数1,2,3,4,5,6,7,8,9,1的任意一个全排列，定义1011()|23|k k k S x x τ+==-∑，其中111x x =．（Ⅰ）若(10,9,8,7,6,5,4,3,2,1)τ=，求()S τ的值； （Ⅱ）求()S τ的最大值；（Ⅲ）求使()S τ达到最大值的所有排列τ的个数．北京市朝阳区高三年级第一次综合练习数学学科测试答案（理工类）2013．4一、选择题： 题号 （1） （2） （3） （4） （5） （6） （7） （8） 答案 ADACCDAB二、填空题： 题号 （9）（10）（11）（12） （13）（14）答案2，1024201,222(,)53[5,5]-（注：两空的填空，第一空3分，第二空2分） 三、解答题：（15）（本小题满分13分） 解：（Ⅰ）31cos 1()sin 222x f x x ωω-=-+ 31sin cos 22x x ωω=+ sin()6x ωπ=+． …………………………………………4分因为()f x 最小正周期为π，所以2ω=． ………………………………6分所以()sin(2)6f x x π=+． 由222262k x k ππππ-≤+≤π+，k ∈Z ，得36k x k πππ-≤≤π+． 所以函数()f x 的单调递增区间为[,36k k πππ-π+]，k ∈Z ． ………………8分（Ⅱ）因为[0,]2x π∈，所以72[,]666x πππ+∈， …………………………………10分 所以1sin(2)126x π-≤+≤． ………………………………………12分所以函数()f x 在[0,]2π上的取值范围是[1,12-]． ……………………………13分（16）（本小题满分13分）解：（Ⅰ）设事件A ：在一次试验中，卡片上的数字为正数，则 21()42P A ==． 答：在一次试验中，卡片上的数字为正数的概率是12．…………………………3分 （Ⅱ）设事件B ：在四次试验中，至少有两次卡片上的数字都为正数．由（Ⅰ）可知在一次试验中，卡片上的数字为正数的概率是12． 所以0041344111111()1[()()()]222216P B C C =-⋅+⋅=． 答：在四次试验中，至少有两次卡片上的数字都为正数的概率为1116．……………7分 （Ⅲ）由题意可知，ξη，的可能取值为1,01-，,2，所以随机变量X 的可能取值为2,101,--，，,24． 21(2)448P X=-==⨯； 21(1)448P X=-==⨯； 77(0)4416P X===⨯； 21(=1)448P X ==⨯； 21(=2)448P X ==⨯； 11(=4)4416P X ==⨯． 所以随机变量X 的分布列为X 2- 1- 0 1 2 4P 18 18 716 18 18 116所以1171111()2101881688164E X =-⨯-⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=24．……………………13分 （17）（本小题满分14分） 证明：（Ⅰ）由已知，PE PFPB PCλ==， 所以 EF BC ． 因为BC AD ，所以EFAD ．而EF ⊄平面PAD ，AD ⊂平面PAD ，所以EF平面PAD ． ……………………………………………………4分 （Ⅱ）因为平面ABCD ⊥平面PAC ，平面ABCD平面PAC AC =，且PA AC ⊥，所以PA ⊥平面ABCD ． 所以PA AB ⊥，PA AD ⊥．又因为AB AD ⊥，所以,,PA AB AD 两两垂直． ……………………………………………………5分如图所示，建立空间直角坐标系， 因为1AB BC ==，2PA AD ==， 所以()()0,0,01,0,0,A B ,()()()1,1,0,0,2,0,0,0,2C D P ．当12λ=时，F 为PC 中点， 所以11(,,1)22F ,所以11(,,1),(1,1,0)22BF CD =-=-．设异面直线BF 与CD 所成的角为θ，所以11|(,,1)(1,1,0)|322cos |cos ,|3111244BF CD θ-⋅-=〈〉==++⨯， 所以异面直线BF 与CD 所成角的余弦值为33．…………………………………9分 （Ⅲ）设000(,,)F x y z ，则000(,,2),(1,1,2)PF x y z PC =-=-． 由已知PF PC λ=，所以000(,,2)(1,1,2)x y z λ-=-，所以000,,22.x y z λλλ=⎧⎪=⎨⎪=-⎩ 所以(,,22)AF λλλ=-．设平面AFD 的一个法向量为1111(,,)x y z =n ，因为()0,2,0AD =,所以110,0.AF AD n n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 即1111(22)0,20.x y z y λλλ++-=⎧⎨=⎩ 令1z λ=，得1(22,0,)λλn =-．设平面PCD 的一个法向量为2222(,,)x y z =n ，因为()()0,2,2,1,1,0PD CD =-=-,所以220,0.PD CD n n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 即2222220,0. y z x y -=⎧⎨-+=⎩ 令21x =，则2(1,1,1)=n ．PDAB CFExyxz x若平面AFD ⊥平面PCD ，则120n n ⋅=，所以(22)0λλ-+=，解得23λ=． 所以当23λ=时，平面AFD ⊥平面PCD ．…………………………………………14分 （18）（本小题满分1 3分）解：函数定义域为{|0}x x >， 且(2)(1)'()2(2)a x a x f x x a x x--=-++=…………2分 ①当0a ≤，即02a≤时，令()0f x '<，得01x <<，函数()f x 的单调递减区间为(0,1)， 令()0f x '>，得1x >，函数()f x 的单调递增区间为(1,)+∞．②当012a <<，即02a <<时，令()0f x '>，得02ax <<或1x >， 函数()f x 的单调递增区间为(0,)2a，(1,)+∞．令()0f x '<，得12a x <<，函数()f x 的单调递减区间为(,1)2a．③当12a=，即2a =时，()0f x '≥恒成立，函数()f x 的单调递增区间为(0,)+∞． …7分（Ⅱ）①当0a ≤时，由（Ⅰ）可知，函数()f x 的单调递减区间为(0,1)，()f x 在(1,2]单调递增．所以()f x 在(0,2]上的最小值为(1)1f a =+，由于22422221121()2(1)10e e e e e e a a f =--+=--+>， 要使()f x 在(0,2]上有且只有一个零点，需满足(1)0f =或(1)0,(2)0,f f <⎧⎨<⎩解得1a =-或2ln 2a <-．②当02a <≤时，由（Ⅰ）可知，（ⅰ）当2a =时，函数()f x 在(0,2]上单调递增；且48414(e )20,(2)22ln 20e e f f -=--<=+>，所以()f x 在(]0,2上有且只有一个零点． （ⅱ）当02a <<时，函数()f x 在(,1)2a上单调递减，在(1,2]上单调递增；又因为(1)10f a =+>，所以当(,2]2ax ∈时，总有()0f x >．因为22-e 12a aa +<<+，所以22222222(e)e[e(2)](ln e22)0a a a a aaaaf a a a ++++----=-++++<．所以在区间(0,)2a 内必有零点．又因为()f x 在(0,)2a内单调递增，从而当02a <≤时，()f x 在(]0,2上有且只有一个零点．综上所述，02a <≤或2ln 2a <-或1a =-时，()f x 在(0,2]上有且只有一个零点． …………………………………………………………………………………………13分（19）（本小题满分14分）解：（Ⅰ）设椭圆的方程为()222210x y a b a b+=>>，依题意得22222,3,21314a b c c a a b ⎧=+⎪⎪⎪=⎨⎪⎪+=⎪⎩解得24a =，21b =． 所以椭圆C 的方程为2214x y +=． ………………………………………………4分（Ⅱ）显然点(2,0)A ．（1）当直线l 的斜率不存在时，不妨设点E 在x 轴上方，易得33(1,),(1,)22E F -，33(3,),(3,)22M N -，所以1EM FN ⋅=． …………………………………………6分（2）当直线l 的斜率存在时，由题意可设直线l 的方程为(1)y k x =-，显然0k =时，不符合题意．由22(1),440y k x x y =-⎧⎨+-=⎩得2222(41)8440k x k x k +-+-=． 设1122(,),(,)E x y F x y ,则22121222844,4141k k x x x x k k -+==++． 直线AE ，AF 的方程分别为：1212(2),(2)22y y y x y x x x =-=---， 令3x =，则1212(3,),(3,)22y yM N x x --． 所以1111(3)(3,)2y x EM x x -=--，2222(3)(3,)2y x FN x x -=--． ……………………10分所以11221212(3)(3)(3)(3)22y x y x EM FN x x x x --⋅=--+⋅--121212(3)(3)(1)(2)(2)y y x x x x =--+--2121212(1)(1)(3)(3)(1)(2)(2)x x x x k x x --=--+⋅--2121212121212()1[3()9][1]2()4x x x x x x x x k x x x x -++=-++⨯+⋅-++222222222222244814484141(39)(1)4484141244141k k k k k k k k k k k k k --+-++=-⋅+⋅+⋅-++-⋅+++ 22221653()(1)414k k k k+-=⋅++ 22216511164164k k k +==+++． ……………………………………………12分 因为20k >，所以21644k +>，所以22165511644k k +<<+，即5(1,)4EM FN ⋅∈． 综上所述，EM FN ⋅的取值范围是5[1,)4． ……………………………………14分（20）（本小题满分13分） 解：（Ⅰ）1011()|23|7654321012857kk k S xx τ+==-=+++++++++=∑． ……3分（Ⅱ）数10,9,8,7,6,5,4,3,2,1的2倍与3倍分别如下：20,18,16,14,12,10,8,6,4,2, 30,27,24,21,18,15,12,9,6,3其中较大的十个数之和与较小的十个数之和的差为20372131-=，所以()131S τ≤． 对于排列0(1,5,6,7,2,8,3,9,4,10)τ=，此时0()131S τ=，所以()S τ的最大值为131． ……………………………………………………………8分（Ⅲ）由于数1,2,3,4所产生的8个数都是较小的数，而数7,8,9,10所产生的8个数都是较大的数，所以使()S τ取最大值的排列中，必须保证数1,2,3,4互不相邻，数7,8,9,10也互不相邻；而数5和6既不能排在7,8,9,10之一的后面，又不能排在1,2,3,4之一的前面．设11x =，并参照下面的符号排列1△○□△○□△○□△○其中2,3,4任意填入3个□中，有6种不同的填法；7,8,9,10任意填入4个圆圈○中，共有24种不同的填法；5填入4个△之一中，有4种不同的填法；6填入4个△中，且当与5在同一个△时，既可以在5之前又可在5之后，共有5种不同的填法，所以当11x =时，使()S τ达到最大值的所有排列τ的个数为624452880⨯⨯⨯=，由轮换性知，使()S τ达到最大值的所有排列τ的个数为28800． ……………………………13分北京市朝阳区高三年级第一次综合练习 数学学科测试选填解析（理工类）一、选择题 1． 【答案】A 【解析】11i 1i 11i 1i (1i)(1i)222++===+--+，故虚部为12．2． 【答案】D【解析】lg(2)0211x x x +≥⇒+≥⇒≥-，故{}lg(2)0{|1}N x x x x =+≥⇔≥-．由数轴可知，{|13}M N x x =-≤<，故选D ．3． 【答案】A【解析】(3,1)AB OB OA =-=，//AB OC ，3(1)120m m ∴+-⨯=，3m ∴=-．故选择A ．4． 【答案】C【解析】将直线转化为直角坐标系中的方程为：12x =； 将曲线转化为直角方程为： 2222cos 2cos 2x y x ρθρρθ=⇔=⇔+=，即22(1)1x y -+=； 由图形知11'22OC O C =⇒=，在Rt 'ACO ∆中， 由1','12O C O A ==可得'3AO C π∠=，即2'3AO B π∠=，故23AOB π∠=，选择C ．5． 【答案】C 【解析】①若2απ=，则sin 1α=；若sin 1α=，则,2k k Z απ=+π∈；故“2απ=”是“sin 1α=”的充分不必要条件；②法一：3441241441()()22r r r r r rr x T C C x x---+==，令1240r -=，4r =，代入可得常数项为2；法二：由乘法法则知常数项为1个32x 和3个1x 相乘得到，故由排列组合原理知常数项为31341()22x C x=； ③由正态分布的对称性知，(1)P p ξ≤-=且1(0)2P ξ≤=，则1(10)2P p ξ-<<=-； 故选择C ．6． 【答案】D【解析】如图，由三视图将几何体还原为1111ABCD A B C D -，并补形为2222ABCD A B C D -；由三视图可知底面ABCD 为边长为2的正方形，13D D =，112A A C C ==，11B B =．那么几何体的体积可以通过111122221211212112()ABCD A B C D ABCD A B C D D B B C C D B B A A V V V V ----=-+计算，故选择D ．7． 【答案】A【解析】如图，过,A B 分别作抛物线准线的垂线，垂足分别为','A B ，由抛物线定义知，','A F A A B F B B ==，由梯形的中位线知11('')()22MN AA BB AF BF =+=+，所以||||2AF BF MN AB AB +=， 又由余弦定理222cos 2AF BF ABAFB AF BF+-∠=，知2222()AB AF BF AF BF AF BF AF BF =++=+-， 2223()()()24AF BFAF BF AF BF +≤+-=+，故23()A B A F B F≥+ 代入可知||13||233AF BF MN AB AB +=≤=，故选择A ．8． 【答案】B【解析】将()21f x x =+代入000()(1)()63f x f x f x n +++++=整理得， 0(1)[2(1)]63n x n +++=；由*0x N ∈知(1)n +，*02(1)x n N ++∈且02(1)2(1)n x n ≤+<++，故(1)|63n +，那么0132121n x n +=⎧⎨++=⎩或017219n x n +=⎧⎨++=⎩，解得029n x =⎧⎨=⎩或061n x =⎧⎨=⎩，即“生成点”有两个，为(1,6)和(9,2)，故选择B ．二、填空题 9． 【答案】2；10【解析】由等比中项可知，232432a a a a ==，则32a =；那么332b a ==，由等差中项性质可知，5123453510S b b b b b b =++++==．10．【答案】24【解析】由正弦定理知，sin 3sin sin B A B =，即1sin 3A =，故2tan 4A =．11．【答案】20【解析】1371120S =-+++=．12．【答案】1；2【解析】由切割线定理知，2()CD AD DB AD AD AB ==+，故1AD =；在CA D ∆中，知30o ACD ∠=，由弦切角定理及同弧所对圆周角等于圆心角一半知60o AOC ∠=，故AOC ∆为等边三角形，所以圆O 的半径为2．13．【答案】22(,)53【解析】由已知知，函数()y f x =周期为2，可画函数图像如图；()2(2)f x ax a a x =+=+有四个不等的实根，等价于()y f x =与(2)y a x =+有四个交点，而(2)y a x =+恒过定点(2,0)-，如图可知，则(2)y a x =+介于1l 与2l 之间，且取不到，那么斜率22(,)53a ∈14．【答案】[,]-55.【解析】解：设直线OA 方程为y kx =，由题可求出k 的取值范围为[,]-11，联立直线与圆的方程得(,)k A k k ++224411，设(,)C x kx ，又OA OC ⋅=20得x =5，故C 点纵坐标为[,]k ∈-555.。
北京市朝阳区2013届高考一模数学理试题(WORD解析版)
2013年北京市朝阳区高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1．（5分）（2013•朝阳区一模）i为虚数单位，复数的虚部是（）A．B．C．D．考点：复数的基本概念；复数代数形式的乘除运算．专题：计算题．分析：利用复数的除法法则，把分子、分母分别乘以分母的共轭复数即可得出．解答：解：复数==的虚部是．故选A．点评：熟练掌握复数的运算法则和共轭复数是解题的关键．2．（5分）（2013•朝阳区一模）已知集合M={x|﹣2＜x＜3}，N={x|lg（x+2）≥0}，则M∩N=（）A．（﹣2，+∞）B．（﹣2，3）C．（﹣2，﹣1]D．[﹣1，3）考点：交集及其运算．专题：函数的性质及应用．分析：解对数不等式可以求出集合N，进而根据集合交集及其运算，求出M∩N．解答：解：∵N={x|lg（x+2）≥0}=[﹣1，+∞），集合M={x|﹣2＜x＜3}，则M∩N=[﹣1，3）故选D．点评：本题考查的知识点是对数不等式的解法，集合的交集及其运算，其中解不等式求出集合N是解答本题的关键．3．（5分）（2013•朝阳区一模）已知向量，．若，则实数m的值为（）A．﹣3 B．C．D．考点：平行向量与共线向量；平面向量的坐标运算．专题：平面向量及应用．分析：先求得得==（3，1），再由，则这两个向量的坐标对应成比例，解方程求得实数m的值．解答：解：由题意可得==（3，1），若，则这两个向量的坐标对应成比例，即，解得m=﹣3，故选A．点评：本题主要考查两个向量共线的性质，两个向量坐标形式的运算，属于中档题．4．（5分）（2013•朝阳区一模）在极坐标系中，直线与曲线ρ=2cosθ相交于A，B两点，O为极点，则∠AOB的大小为（）A．B．C．D．考点：点的极坐标和直角坐标的互化．专题：直线与圆．分析：把极坐标方程化为直角坐标方程，求出AC，DC的值，可得∠AOC的值，从而得到∠AOB=2∠AOC 的值．解答：解：直线ρcosθ=即x=，曲线ρ=2cosθ即ρ2=2ρcosθ，即（x﹣1）2+y2=1，表示以C（1，0）为圆心，以1为半径的圆．如图．Rt△ADC中，∵cos∠ACO==，∴∠ACO=，在△AOC中，AC=OC，∴∠AOC=，∴∠AOB=2∠AOC=，故选C．点评：本题考查把极坐标方程化为直角坐标方程的方法，直线和圆的位置关系，求出∠ACO是解题的关键．5．（5分）（2013•朝阳区一模）在下列命题中，①“”是“sinα=1”的充要条件；②的展开式中的常数项为2；③设随机变量ξ～N（0，1），若P（ξ≥1）=p，则．其中所有正确命题的序号是（）A．②B．③C．②③D．①③考点：命题的真假判断与应用．专题：计算题．分析：①利用特殊值α=，判断出为假命题．②利用二项展开式的通项公式求出第r+1项，令x的指数为0得常数项．③根据随机变量ξ～N（0，1），正态曲线关于x=0对称，得到对称区间对应的概率相等，根据大于1的概率得到小于﹣1的概率，根据对称轴一侧的区间的概率是，得到结果．解答：解：①是假命题．α=，是能推得sinα=1，反之，sinα=1，α可以为或其他数值．②：的通项为T r+1=C（）r=2r﹣4C4r x12﹣4r令12﹣4r=0得r=3∴展开式的常数项为T4=C43=2；正确；③：∵随机变量ξ～N（0，1），∴正态曲线关于x=0对称，∵P（ξ≥1）=p，∴P（ξ＜﹣1）=p，∴P（﹣1＜ξ＜0）=﹣p，正确．故选C．点评：本题考查命题真假的判断，考查了充要条件、二项式定理、正态分布等知识．6．（5分）（2013•朝阳区一模）某个长方体被一个平面所截，得到的几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为（）A．4B．C．D．8考点：由三视图求面积、体积．专题：空间位置关系与距离．分析：三视图复原的几何体是长方体的三分之二，依据三视图的数据，得出长方体长、宽、高，即可求出几何体的体积．解答：解：三视图复原的几何体是长方体，长方体长、宽、高分别是：2，2，3，所以这个几何体的体积是2×2×3=12，长方体被一个平面所截，得到的几何体的是长方体的三分之二，如图所示，则这个几何体的体积为12×=8．故选D．点评：此题考查了由三视图判断几何体，考查三视图的读图能力，计算能力，空间想象能力，本题是基础题，常考题型．7．（5分）（2013•朝阳区一模）抛物线y2=2px（p＞0）的焦点为F，已知点A，B为抛物线上的两个动点，且满足∠AFB=120°．过弦AB的中点M作抛物线准线的垂线MN，垂足为N，则的最大值为（）A．B．1C．D．2考点：抛物线的简单性质．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：设|AF|=a，|BF|=b，连接AF、BF．由抛物线定义得2|MN|=a+b，由余弦定理可得|AB|2=（a+b）2﹣ab，进而根据基本不等式，求得|AB|的取值范围，从而得到本题答案．解答：解：设|AF|=a，|BF|=b，连接AF、BF由抛物线定义，得|AF|=|AQ|，|BF|=|BP|在梯形ABPQ中，2|MN|=|AQ|+|BP|=a+b．由余弦定理得，|AB|2=a2+b2﹣2abcos120°=a2+b2+ab配方得，|AB|2=（a+b）2﹣ab，又∵ab≤（）2，∴（a+b）2﹣ab≥（a+b）2﹣（a+b）2=（a+b）2得到|AB|≥（a+b）．所以≤=，即的最大值为．故选：A点评：本题在抛物线中，利用定义和余弦定理求的最大值，着重考查抛物线的定义和简单几何性质、基本不等式求最值和余弦定理的应用等知识，属于中档题．8．（5分）（2013•朝阳区一模）已知函数f（x）=2x+1，x∈N*．若，使f（x0）+f（x0+1）+…+f（x0+n）=63成立，则称（x0，n）为函数f（x）的一个“生成点”．函数f（x）的“生成点”共有（）A．1个B．2个C．3个D．4个考点：函数的值；数列的求和．专题：压轴题；新定义．分析：由f（x0）+f（x0+1）+…+f（x0+n）=63，得（2x0+1）+[2（x0+1）+1]+…+[2（x0+n）+1]=63，化简可得（n+1）（2x0+n+1）=63，由，得或，解出即可．解答：解：由f（x0）+f（x0+1）+…+f（x0+n）=63，得（2x0+1）+[2（x0+1）+1]+…+[2（x0+n）+1]=63所以2（n+1）x0+2（1+2+…n）+（n+1）=63，即（n+1）（2x0+n+1）=63，由，得或，解得或，所以函数f（x）的“生成点”为（1，6），（9，2）．故选B．点评：本题考查数列求和及函数求值，考查学生对问题的阅读理解能力解决问题的能力．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在答题卡上.9．（5分）（2013•朝阳区一模）在等比数列{a n}中，2a3﹣a2a4=0，则a3=2，{b n}为等差数列，且b3=a3，则数列{b n}的前5项和等于10．考点：等比数列的通项公式；等比数列的前n项和．专题：等差数列与等比数列．分析：由题意可得a2a4=，代入已知可解得a3=2，进而可得b3=a3=2，代入等差数列的求和公式可得S5==，计算即可．解答：解：由等比数列的性质可得a2a4=，代入可得2a3﹣=0，解得a3=2，或a3=0（舍去）；故b3=a3=2，由等差数列的求和公式和性质可得：数列{b n}的前5项和S5===5×2=10故答案为：2；10点评：本题考查等比数列和等差数列的性质和求和公式，属基础题．10．（5分）（2013•朝阳区一模）在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边．已知角A为锐角，且b=3asinB，则tanA=．考点：正弦定理．专题：解三角形．分析：由条件，利用正弦定理可得sinB=3sinAsinB，求得sinA的值，再由同角三角函数的基本关系求得tanA的值．解答：解：在△ABC中，角A为锐角，且b=3asinB，由正弦定理可得sinB=3sinAsinB，∵sinA≠0，故sinA=，∴cosA==tanA==，故答案为．点评：本题主要考查正弦定理，同角三角函数的基本关系，属于中档题．11．（5分）（2013•朝阳区一模）执行如图所示的程序框图，输出的结果S=20．考点：程序框图．分析：题目首先给累加变量S和循环变量i赋值，S=0，i=0．先执行一次运算S=S+2i﹣1，然后判断i≥6是否成立，不成立继续执行i=i+2，S=S+2i﹣1，成立时结束循环，输出S．解答：解：框图首先给累加变量S和循环变量i赋值，S=0，i=0．执行S=0+2×0﹣1=﹣1；判断0≥6不成立，执行i=0+2=2，S=﹣1+2×2﹣1=2；判断2≥6不成立，执行i=2+2=4，S=2+2×4﹣1=9；判断4≥6不成立，执行i=4+2=6，S=9+2×6﹣1=20；判断6≥6成立，跳出循环，输出S的值为20．故答案为20．点评：本题考查了程序框图，考查了直到型结构，直到型结构是先执行后判断，不满足条件执行循环，满足条件跳出循环，算法结束，是基础题．12．（5分）（2013•朝阳区一模）如图，圆O是△ABC的外接圆，过点C作圆O的切线交BA的延长线于点D．若，AB=AC=2，则线段AD的长是1；圆O的半径是2．考点：与圆有关的比例线段．专题：选作题．分析：①由切割线定理得CD2=DA•DB，即可得出DA；②由余弦定理可得∠DCA，利用弦切角定理可得∠ABC=∠DCA，再利用正弦定理得即可．解答：解：①∵CD是⊙O的切线，由切割线定理得CD2=DA•DB，CD=，DB=DA+AB=DA+2，∴，又DA＞0，解得DA=1．②在△ACD中，由余弦定理可得cos∠ACD===，∵0＜∠ACD＜π，∴．根据弦切角定理可得∠ABC=∠DCA=．由正弦定理可得==4，∴R=2．故答案分别为1，2．点评：熟练掌握切割线定理、弦切角定理、正弦定理、余弦定理是解题的关键．13．（5分）（2013•朝阳区一模）函数f（x）是定义在R上的偶函数，且满足f（x+2）=f（x）．当x∈[0，1]时，f（x）=2x．若在区间[﹣2，3]上方程ax+2a﹣f（x）=0恰有四个不相等的实数根，则实数a的取值范围是．考点：根的存在性及根的个数判断．专题：函数的性质及应用．分析：问题等价于在区间[﹣2，3]上函数f（x）与y=a（x+2）的图象有四个不同的交点，由函数的性质可作出它们的图象，由斜率公式可得边界，进而可得答案．解答：解：在区间[﹣2，3]上方程ax+2a﹣f（x）=0恰有四个不相等的实数根，等价于在区间[﹣2，3]上函数f（x）与y=a（x+2）的图象有四个不同的交点，由f（x+2）=f（x）可得函数的周期为2，且为偶函数，函数y=a（x+2）的图象为过定点（﹣2，0）且斜率为a的直线，作出它们的图象可得：由图图可知，当直线介于CB和CA之间符合题意，而由斜率公式可得k CB==，k CA==，故实数a的取值范围是：，故答案为：点评：不本题考查方程根的存在性及个数的判断，数形结合是解决问题的关键，属中档题．14．（5分）（2013•朝阳区一模）在平面直角坐标系xOy中，已知点A是半圆x2﹣4x+y2=0（2≤x≤4）上的一个动点，点C在线段OA的延长线上．当时，则点C的纵坐标的取值范围是[﹣5，5]．考点：平面向量数量积的运算．专题：压轴题；平面向量及应用．分析：设点C（a，b），由题意可得=λ，且λ＞0，当点A在点M（2，2）时，由=20，且a=b，解得b的值．当点A在点N（2，﹣2）时，由=20，且a=﹣b，解得b的值，从而求得C的纵坐标的取值范围．解答：解：半圆x2﹣4x+y2=0（2≤x≤4）即（x﹣2）2+y2=4 （2≤x≤4），设点C（a，b），由于与的方向相同，故=λ，且λ＞0，当点A在点M（2，2）时，=2a+2b=20，且a=b，解得b=5．当点A在点N（2，﹣2）时，=2a+（﹣2b）=20，且a=﹣b，解得b=﹣5．综上可得，则点C的纵坐标的取值范围是[﹣5，5]，故答案为[﹣5，5]．点评：本题主要考查两个向量共线的性质，两个向量坐标形式的运算，体现了数形结合与分类讨论的数学思想，属于中档题三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.15．（13分）（2013•朝阳区一模）已知函数（ω＞0）的最小正周期为π．（Ⅰ）求ω的值及函数f（x）的单调递增区间；（Ⅱ）当时，求函数f（x）的取值范围．考点：二倍角的余弦；两角和与差的正弦函数；二倍角的正弦；正弦函数的单调性．专题：三角函数的图像与性质．分析：（Ⅰ）利用两角和的正弦公式，二倍角公式化简函数f（x）的解析式为，由此求得它的最小正周期．令，求得x的范围，即可得到函数f（x）的单调递增区间．（Ⅱ）因为，根据正弦函数的定义域和值域求得函数f（x）的取值范围．解答：解：（Ⅰ）==．…（4分）因为f（x）最小正周期为π，所以ω=2．…（6分）所以．由，k∈Z，得．所以函数f（x）的单调递增区间为[]，k∈Z．…（8分）（Ⅱ）因为，所以，…（10分）所以．…（12分）所以函数f（x）在上的取值范围是[]．…（13分）点评：本题主要考查两角和的正弦公式，二倍角公式，正弦函数的单调性和周期性，正弦函数的定义域和值域，属于中档题．16．（13分）（2013•朝阳区一模）盒子中装有四张大小形状均相同的卡片，卡片上分别标有数字﹣1，0，1，2．称“从盒中随机抽取一张，记下卡片上的数字后并放回”为一次试验（设每次试验的结果互不影响）．（Ⅰ）在一次试验中，求卡片上的数字为正数的概率；（Ⅱ）在四次试验中，求至少有两次卡片上的数字都为正数的概率；（Ⅲ）在两次试验中，记卡片上的数字分别为ξ，η，试求随机变量X=ξ•η的分布列与数学期望EX．考点：离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差．专题：概率与统计．分析：（Ⅰ）根据古典概型概率计算公式求解：P（A）=；（Ⅱ）设事件B：在四次试验中，至少有两次卡片上的数字都为正数，则P（B）=1﹣P（），根据独立重复试验中某事件发生k次的概率计算公式即可求得；（Ⅲ）由题意可知ξ，η的可能取值为﹣1，0，1，2，从而随机变量X的可能取值为﹣2，﹣1，0，1，2，4．根据古典概型该类计算公式求得X取各值时的概率即可写出分布列，利用期望公式即可求得期望值；解答：解：（Ⅰ）设事件A：在一次试验中，卡片上的数字为正数，则．答：在一次试验中，卡片上的数字为正数的概率是．（Ⅱ）设事件B：在四次试验中，至少有两次卡片上的数字都为正数．由（Ⅰ）可知在一次试验中，卡片上的数字为正数的概率是．所以．答：在四次试验中，至少有两次卡片上的数字都为正数的概率为．（Ⅲ）由题意可知，ξ，η的可能取值为﹣1，0，1，2，所以随机变量X的可能取值为﹣2，﹣1，0，1，2，4．；；；；；．所以随机变量X的分布列为X ﹣2 ﹣1 0 1 2 4P所以．点评：本题考查离散型随机变量的分布列及期望，考查古典概型概率计算公式，考查学生对问题的阅读理解能力．17．（14分）（2013•朝阳区一模）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，平面PAC⊥平面ABCD，且PA⊥AC，PA=AD=2．四边形ABCD满足BC∥AD，AB⊥AD，AB=BC=1．点E，F分别为侧棱PB，PC上的点，且．（Ⅰ）求证：EF∥平面PAD；（Ⅱ）当时，求异面直线BF与CD所成角的余弦值；（Ⅲ）是否存在实数λ，使得平面AFD⊥平面PCD？若存在，试求出λ的值；若不存在，请说明理由．考点：直线与平面平行的判定；异面直线及其所成的角；平面与平面垂直的判定．专题：计算题；空间位置关系与距离；空间角．分析：（Ⅰ）由==λ可知，EF∥BC，依题意，可求得EF∥AD，再利用线面平行的判断定理即可证得结论；（Ⅱ）可证得PA，AB，AD两两垂直，以之为轴建立空间直角坐标系，可求得与的坐标，利用向量的数量积即可求得异面直线BF与CD所成角的余弦值；（Ⅲ）设F（x0，y0，z0），则=（x0，y0，z0﹣2），=（1，1，﹣2），由=λ，可求得F（λ，λ，2﹣2λ），再设出平面AFD的一个法向量为n1=（x1，y1，z1），平面PCD的一个法向量为n2=（x2，y2，z2），可求得这两个法向量的坐标，利用n1•n2=0，即可求得λ的值．解答：证明：（Ⅰ）由已知，==λ，所以EF∥BC．因为BC∥AD，所以EF∥AD．而EF⊄平面PAD，AD⊂平面PAD，所以EF∥平面PAD．…（4分）（Ⅱ）因为平面ABCD⊥平面PAC，平面ABCD∩平面PAC=AC，且PA⊥AC，所以PA⊥平面ABCD．所以PA⊥AB，PA⊥AD．又因为AB⊥AD，所以PA，AB，AD两两垂直．…（5分）如图所示，建立空间直角坐标系，因为AB=BC=1，PA=AD=2，所以A（0，0，0），B（1，0，0），C（1，1，0），D（0，2，0），P（0，0，2）．当λ=时，F为PC中点，所以F（，，1），所以=（﹣，，1），=（﹣1，1，0）．设异面直线BF与CD所成的角为θ，所以cosθ=|cos＜，＞|==，所以异面直线BF与CD所成角的余弦值为．…（9分）（Ⅲ）设F（x0，y0，z0），则=（x0，y0，z0﹣2），=（1，1，﹣2）．由已知=λ，所以（x0，y0，z0﹣2）=λ（1，1，﹣2），所以，∴=（λ，λ，2﹣2λ）．设平面AFD的一个法向量为n1=（x1，y1，z1），因为=（0，2，0），所以即，令z1=λ，得n1=（2λ﹣2，0，λ）．设平面PCD的一个法向量为n2=（x2，y2，z2），因为=（0，2，﹣2），=（﹣1，1，0），所以即令x2=1，则n2=（1，1，1）．若平面AFD⊥平面PCD，则n1•n2=0，所以（2λ﹣2）+λ=0，解得．所以当λ=时，平面AFD⊥平面PCD．…（14分）点评：本题考查直线与平面的平行，考查异面直线所成的角，考查面面垂直，突出考查空间直角坐标系在证明与计算中的应用．属于中档题．18．（13分）（2013•朝阳区一模）已知函数f（x）=x2﹣（a+2）x+alnx+2a+2，其中a≤2．（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）若函数f（x）在（0，2]上有且只有一个零点，求实数a的取值范围．考点：利用导数研究函数的单调性；函数的零点．专题：导数的综合应用．分析：（I）先求函数的定义域再求函数的导数，当导数大于0时函数单调递增，当导数小于0时单调递减．（II）此题考查的是函数的零点存在问题．在解答的过程当中要先结合函数f（x）在区间（0，2]内有且只有一个零点的条件，结合（I）中确定函数的增减区间，求出函数的极小值和极大值，再转化出不等关系，利用此不等关系即可获得问题的解答．解答：解：（I）函数定义域为x＞0，且f′（x）=2x﹣（a+2）+=…（2分）①当a≤0，即时，令f'（x）＜0，得0＜x＜1，函数f（x）的单调递减区间为（0，1），令f'（x）＞0，得x＞1，函数f（x）的单调递增区间为（1，+∞）．②当，即0＜a＜2时，令f'（x）＞0，得或x＞1，函数f（x）的单调递增区间为，（1，+∞）．令f'（x）＜0，得，函数f（x）的单调递减区间为．③当，即a=2时，f'（x）≥0恒成立，函数f（x）的单调递增区间为（0，+∞）．…（7分）（Ⅱ）①当a≤0时，由（Ⅰ）可知，函数f（x）的单调递减区间为（0，1），f（x）在（1，2]单调递增．所以f（x）在（0，2]上的最小值为f（1）=a+1，由于，要使f（x）在（0，2]上有且只有一个零点，需满足f（1）=0或解得a=﹣1或a＜﹣．②当0＜a≤2时，由（Ⅰ）可知，（ⅰ）当a=2时，函数f（x）在（0，2]上单调递增；且，所以f（x）在（0，2]上有且只有一个零点．（ⅱ）当0＜a＜2时，函数f（x）在上单调递减，在（1，2]上单调递增；又因为f（1）=a+1＞0，所以当时，总有f（x）＞0．因为e＜1＜a+2，所以f（e）=e[e﹣（a+2）]+（alne+2a+2）＜0．所以在区间（0，）内必有零点．又因为f（x）在（0，）内单调递增，从而当0＜a≤2时，f（x）在（0，2]上有且只有一个零点．综上所述，0＜a≤2或a＜﹣或a=﹣1时，f（x）在（0，2]上有且只有一个零点．…（13分）点评：此题考查的是利用导数研究函数的单调性，函数的零点存在问题．在解答的过程当中充分体现了等价转化的思想，以及零点定理的相关知识．值得同学们体会反思．19．（14分）（2013•朝阳区一模）已知中心在原点，焦点在x轴上的椭圆C过点，离心率为，点A为其右顶点．过点B（1，0）作直线l与椭圆C相交于E，F两点，直线AE，AF与直线x=3分别交于点M，N．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）求的取值范围．考平面向量数量积的运算；椭圆的标准方程．点：圆锥曲线的定义、性质与方程．专题：分析：（Ⅰ）设椭圆的方程为，依题意可得a、b、c的方程组，解之可得方程；（Ⅱ）由（Ⅰ）可知点A的坐标为（2，0）．（1）当直线l的斜率不存在时，不妨设点E在x轴上方，可得；（2）当直线l的斜率存在时，写直线的方程，联立方程组，消y并整理得（4k2+1）x2﹣8k2x+4k2﹣4=0．进而由根与系数的关系表示出向量的数量积为，由k 的范围可得其范围，综合可得．解答：解：（Ⅰ）由题意，设椭圆的方程为，依题意得解之可得a2=4，b2=1．所以椭圆C的方程为．…（4分）（Ⅱ）由（Ⅰ）可知点A的坐标为（2，0）．（1）当直线l的斜率不存在时，不妨设点E在x轴上方，易得，，所以．…（6分）（2）当直线l的斜率存在时，由题意可设直线l的方程为y=k（x﹣1），显然k=0时，不符合题意．由消y并整理得（4k2+1）x2﹣8k2x+4k2﹣4=0．设E（x1，y1），F（x2，y2），则．直线AE，AF的方程分别为：，令x=3，则．所以，．…（10分） 所以======．…（12分）因为k 2＞0，所以16k 2+4＞4，所以，即．综上所述，的取值范围是．…（14分）点评： 本题考查平面向量数量积的运算，涉及椭圆的标准方程，以及直线与椭圆的位置关系的应用，属中档题．20．（13分）（2013•朝阳区一模）设τ=（x 1，x 2，…，x 10）是数1，2，3，4，5，6，7，8，9，10的任意一个全排列，定义，其中x 11=x 1．（Ⅰ）若τ=（10，9，8，7，6，5，4，3，2，1），求S （τ）的值；（Ⅱ）求S （τ）的最大值；（Ⅲ）求使S （τ）达到最大值的所有排列τ的个数．考点： 排列及排列数公式；数列的求和．专题： 等差数列与等比数列；概率与统计．分析：（Ⅰ）依题意，τ=（x 1，x 2，…，x 10）=（10，9，8，7，6，5，4，3，2，1），代入S （τ）=|2x k﹣3x k+1|计算即可求得S（τ）的值；（Ⅱ）可求得数10，9，8，7，6，5，4，3，2，1的2倍与3倍，从而可求得其中较大的十个数之和与较小的十个数之和的差，从而可得S（τ）的最大值；（Ⅲ）利用数1，2，3，4所产生的8个数都是较小的数，而数7，8，9，10所产生的8个数都是较大的数，从而使S（τ）取最大值的排列中，必须保证数1，2，3，4互不相邻，数7，8，9，10也互不相邻；而数5和6既不能排在7，8，9，10之一的后面，又不能排在1，2，3，4之一的前面，利用排列组合知识即可求得答案．解答：解：（Ⅰ）∵τ=（10，9，8，7，6，5，4，3，2，1），x11=x1，依题意，S（τ）=|2x k﹣3x k+1|，∴S（T）=|2x k﹣3x k+1|=7+6+5+4+3+2+1+0+1+28=57，．…（3分）（Ⅱ）数10，9，8，7，6，5，4，3，2，1的2倍与3倍分别如下：20，18，16，14，12，10，8，6，4，2，30，27，24，21，18，15，12，9，6，3其中较大的十个数之和与较小的十个数之和的差为203﹣72=131，所以S（τ）≤131．对于排列τ0=（1，5，6，7，2，8，3，9，4，10），此时S（τ0）=131，所以S（τ）的最大值为131．…（8分）（Ⅲ）由于数1，2，3，4所产生的8个数都是较小的数，而数7，8，9，10所产生的8个数都是较大的数，所以使S（τ）取最大值的排列中，必须保证数1，2，3，4互不相邻，数7，8，9，10也互不相邻；而数5和6既不能排在7，8，9，10之一的后面，又不能排在1，2，3，4之一的前面．设x1=1，并参照下面的符号排列1△○□△○□△○□△○其中2，3，4任意填入3个□中，有6种不同的填法；7，8，9，10任意填入4个圆圈○中，共有24种不同的填法；5填入4个△之一中，有4种不同的填法；6填入4个△中，且当与5在同一个△时，既可以在5之前又可在5之后，共有5种不同的填法，所以当x1=1时，使S （τ）达到最大值的所有排列τ的个数为6×24×4×5=2880，由轮换性知，使S（τ）达到最大值的所有排列τ的个数为28800．…（13分）点评：本题考查排列及排列数公式，考查抽象思维与综合分析能力，考查运算能力，属于难题．。
2013北京中考数学一模24题
∠B 60 .
（1）点 E 到 BC 的距离为 设 EP x . ①点 N 在线段 AD 上时（如图 2） ， △P M N 若不存在，请说明理由. 的形状是否发生改变？若不变，求出 △PMN 的周长；若改变，请说明理由； ②当点 N 在线段 DC 上时（如图 3） ，是否存在点 P，使 △PMN 为等腰三角形？若存在，请求出所有满足要求的 x 的值； ； （2）点 P 为线段 EF 上的一个动点，过 P 作 PM EF 交 BC 于点 M，过 M 作 MN ∥ AB 交折线 ADC 于点 N，连结 PN，
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小马成群 4. （2013 东城区一模）问题 1：如图 1，在等腰梯形 ABCD 中，AD∥BC，AB=BC=CD，点 M，N 分别在 AD，CD 上， 若∠MBN=
1 ∠ABC，试探究线段 MN，AM，CN 有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想，不用证明； 2
问题 2：如图 2，在四边形 ABCD 中，AB=BC，∠ABC+∠ADC=180°，点 M，N 分别在 DA，CD 的延长线上，若 ∠MBN=
A 逆时针旋转 60 得到点 Q ,是否存在点 P ， 使得以 A 、C 、Q 、 D 为顶点的四边形是梯形，若存在,请指出点 P 的位置，并求出 PC 的长；若不存在，请说明理由．
A D B C
B P C A D
B1
图 24-1 图 24-2
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小马成群 12．(2013 顺义区一模)如图 1，将三角板放在正方形
m cos n sin ，直接写出∠APB 的度数．
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2013年北京中考数学真题卷含答案解析
2013年北京市高级中等学校招生考试数学试题（含答案全解全析）(满分120分,考试时间120分钟)第Ⅰ卷(选择题,共32分)一、选择题(本题共32分,每小题4分)下面各题均有四个选项,其中只有一个．．是符合题意的.1.在《关于促进城市南部地区加快发展第二阶段行动计划(2013~2015)》中,北京市提出了总计约3960亿元的投资计划.将3960用科学记数法表示应为()A.39.6×102B.3.96×103C.3.96×104D.0.396×1042.-34的倒数是()A.43B.34C.-34D.-433.在一个不透明的口袋中装有5个完全相同的小球,把它们分别标号为1,2,3,4,5,从中随机摸出一个小球,其标号大于2的概率为()A.15B.25C.35D.454.如图,直线a,b被直线c所截,a∥b,∠1=∠2,若∠3=40°,则∠4等于()A.40°B.50°C.70°D.80°5.如图,为估算某河的宽度,在河对岸边选定一个目标点A,在近岸取点B,C,D,使得AB⊥BC, CD⊥BC,点E在BC上,并且点A,E,D在同一条直线上.若测得BE=20m,EC=10m,CD=20m,则河的宽度AB等于()A.60mB.40mC.30mD.20m轴对称图形的是()6.下列图形中,是中心对称图形但不是．．7.某中学随机地调查了50名学生,了解他们一周在校的体育锻炼时间,结果如下表所示:时间(小时)5678人数1015205则这50名学生这一周在校的平均体育锻炼时间是()A.6.2小时B.6.4小时C.6.5小时D.7小时8.如图,点P是以O为圆心,AB为直径的半圆上的动点,AB=2.设弦AP的长为x,△APO的面积为y,则下列图象中,能表示y与x的函数关系的图象大致是()第Ⅱ卷(非选择题,共88分)二、填空题(本题共16分,每小题4分)9.分解因式:ab2-4ab+4a=.10.请写出一个开口向上,并且与y轴交于点(0,1)的抛物线的解析式,y=.11.如图,O是矩形ABCD的对角线AC的中点,M是AD的中点,若AB=5,AD=12,则四边形ABOM的周长为.12.如图,在平面直角坐标系xOy中,已知直线l:y=-x-1,双曲线y=1x.在l上取一点A1,过A1作x 轴的垂线交双曲线于点B1,过B1作y轴的垂线交l于点A2.请继续操作并探究:过A2作x轴的垂线交双曲线于点B2,过B2作y轴的垂线交l于点A3,…,这样依次得到l上的点A1,A2,A3,…,A n,….记点A n的横坐标为a n,若a1=2,则a2=,a2013=;若要将上述操作无限次地进行下去,则a1不能取．．．的值是.三、解答题(本题共30分,每小题5分)13.已知:如图,D是AC上一点,AB=DA,DE∥AB,∠B=∠DAE.求证:BC=AE.14.计算:(1-√3)0+|-√2|-2cos45°+(14)-1.15.解不等式组:{3x>x-2, x+13>2x.16.已知x2-4x-1=0,求代数式(2x-3)2-(x+y)(x-y)-y2的值.17.列方程或方程组解应用题:某园林队计划由6名工人对180平方米的区域进行绿化,由于施工时增加了2名工人,结果比计划提前3小时完成任务.若每人每小时绿化面积相同,求每人每小时的绿化面积.18.已知关于x的一元二次方程x2+2x+2k-4=0有两个不相等的实数根.(1)求k的取值范围;(2)若k为正整数,且该方程的根都是整数,求k的值.四、解答题(本题共20分,每小题5分)19.如图,在▱ABCD中,F是AD的中点,延长BC到点E,使CE=1BC,连结DE,CF.2(1)求证:四边形CEDF是平行四边形;(2)若AB=4,AD=6,∠B=60°,求DE的长.20.如图,AB是☉O的直径,PA,PC与☉O分别相切于点A,C,PC交AB的延长线于点D,DE⊥PO交PO的延长线于点E.(1)求证:∠EPD=∠EDO;,求OE的长.(2)若PC=6,tan∠PDA=3421.第九届中国国际园林博览会(园博会)已于2013年5月18日在北京开幕.以下是根据近几届园博会的相关数据绘制的统计图的一部分.第六届至第九届园博会园区陆地面积和水面面积统计图第九届园博会植物花园区各花园面积分布统计图(1)第九届园博会的植物花园区由五个花园组成,其中月季园面积为0.04平方千米,牡丹园面积为平方千米;(2)第九届园博会园区陆地面积是植物花园区总面积的18倍,水面面积是第七、八两届园博会的水面面积之和,请根据上述信息补全条形统计图,并标明相应数据;(3)小娜收集了几届园博会的相关信息(如下表),发现园博会园区周边设置的停车位数量与日均接待游客量和单日最多接待游客量中的某个量近似成正比例关系.根据小娜的发现,请估计,将于2015年举办的第十届园博会大约需要设置的停车位数量(直接写出结果,精确到百位).第七届至第十届园博会游客量与停车位数量统计表日均接待游客量(万人次) 单日最多接待游客量(万人次)停车位数量(个) 第七届 0.8 6 约3 000 第八届 2.3 8.2 约4 000 第九届 8(预计) 20(预计) 约10 500 第十届 1.9(预计)7.4(预计)约22.阅读下面材料:小明遇到这样一个问题:如图1,在边长为a(a>2)的正方形ABCD 各边上分别截取AE=BF=CG=DH=1,当∠AFQ=∠BGM=∠CHN=∠DEP=45°时,求正方形MNPQ 的面积.图1图2小明发现,分别延长QE,MF,NG,PH 交FA,GB,HC,ED 的延长线于点R,S,T,W,可得△RQF, △SMG,△TNH,△WPE 是四个全等的等腰直角三角形(如图2).请回答:(1)若将上述四个等腰直角三角形拼成一个新的正方形(无缝隙不重叠),则这个新正方形的边长为;(2)求正方形MNPQ的面积.参考小明思考问题的方法,解决问题:如图3,在等边△ABC各边上分别截取AD=BE=CF,再分别过点D,E,F作BC,AC,AB的垂线,得到等边△RPQ,若S△RPQ=√3,则AD的长为.3图3五、解答题(本题共22分,第23题7分,第24题7分,第25题8分)23.在平面直角坐标系xOy中,抛物线y=mx2-2mx-2(m≠0)与y轴交于点A,其对称轴与x轴交于点B.(1)求点A,B的坐标;(2)设直线l与直线AB关于该抛物线的对称轴对称,求直线l的解析式;(3)若该抛物线在-2<x<-1这一段位于直线l的上方,并且在2<x<3这一段位于直线AB的下方,求该抛物线的解析式.24.在△ABC中,AB=AC,∠BAC=α(0°<α<60°),将线段BC绕点B逆时针旋转60°得到线段BD.(1)如图1,直接写出∠ABD的大小(用含α的式子表示);(2)如图2,∠BCE=150°,∠ABE=60°,判断△ABE的形状并加以证明;(3)在(2)的条件下,连结DE,若∠DEC=45°,求α的值.25.对于平面直角坐标系xOy中的点P和☉C,给出如下定义:若☉C上存在两个点A,B,使得∠APB=60°,则称P为☉C的关联点.已知点D(12,12),E(0,-2),F(2√3,0).(1)当☉O的半径为1时,①在点D,E,F中,☉O的关联点是;②过点F作直线l交y轴正半轴于点G,使∠GFO=30°,若直线l上的点P(m,n)是☉O的关联点,求m的取值范围;(2)若线段EF上的所有点都是某个圆的关联点,求这个圆的半径r的取值范围.答案全解全析：1.B 3 960=3.96×103.故选B.2.D ∵(-34)×(-43)=1,∴-34的倒数是-43.故选D.3.C 5个小球中标号大于2的有三个,故摸出标号大于2的小球的概率是35.故选C.4.C ∵∠1+∠2+∠3=180°,∠3=40°,∴∠1+∠2=140°.∵∠1=∠2,∴∠1=70°. ∵a∥b,∴∠4=∠1=70°.故选C.5.B ∵∠ABE=∠ECD=90°,∠AEB=∠DEC,∴△ABE∽△DCE,∴AB DC =BE EC,∴AB 20=2010,∴AB=40 m.故选B.6.A A 项是中心对称图形,但不是轴对称图形. B 项既是中心对称图形,又是轴对称图形. C 项不是中心对称图形,是轴对称图形.D 项既不是中心对称图形,又不是轴对称图形.故选A. 7.B x =5×10+6×15+7×20+8×550=6.4(小时).故选B.8.A 考虑三个特殊点,当AP 的长为0或2时,不构成△APO;当AP 的长为1时,△APO 为边长是1的等边三角形,其面积为√34,因为14<√34<12,所以只有选项A 符合.故选A.评析 本题考查的是函数图象的变化规律,不仅考查了定性分析,还考查了定量分析,通过构造函数处理较困难,而通过寻找特殊点较容易处理.属中档题. 9.答案 a(b-2)2解析 ab 2-4ab+4a=a(b 2-4b+4)=a(b-2)2. 10.答案 x 2+1解析 抛物线即二次函数,则函数表达式应为y=ax 2+bx+c(a≠0).∵开口向上,∴a>0.∵与y 轴交于点(0,1),∴c=1.所以满足题设条件的一个抛物线的解析式为y=x 2+1,答案不唯一.11.答案 20解析 ∵AB=5,AD=12,∴AC=13,∴BO=6.5. ∵M 、O 分别为AD 、AC 的中点, CD=5,∴MO=2.5,AM=6,∴C 四边形ABOM =AM+MO+BO+AB=6+2.5+6.5+5=20. 12.答案 -32;-13;0,-1解析 根据题意可以得到点A 1(2,-3),点B 1(2,0.5),点A 2(-1.5,0.5),点B 2(-1.5,-23),点A 3(-13,-23),点B 3(-13,-3),点A 4(2,-3),所以A 1,A 2,A 3,…,A n ,…中,三个坐标为一个循环,A 2 013是一个循环中的最后一个,故它的横坐标与A 3的横坐标相同,为-13.当A 1的横坐标为a 1时,可以分别表示出点A 1(a 1,-a 1-1),点B 1(a 1,1a 1),点A 2(-1-1a 1,1a1),点B 2(-1-1a 1,-a 1a 1+1),点A 3(-1a1+1,-a 1a 1+1),点B 3(-1a 1+1,-a 1-1).因为操作要无限次地进行下去,所以每一个点都要有意义,即分母不为0,故a 1不能取的值是-1,0.评析 读懂题目中的操作方法是解决本题的关键,属中档题. 13.证明 ∵DE ∥AB, ∴∠BAC=∠ADE.在△ABC 和△DAE 中,{∠BAC =∠ADE ,AB =DA ,∠B =∠DAE ,∴△ABC≌△DAE. ∴BC=AE.14.解析 (1-√3)0+|-√2|-2cos 45°+(14)-1=1+√2-2×√22+4 =5.15.解析 {3x >x -2, ①x+13>2x .② 解不等式①,得x>-1.解不等式②,得x<15.∴不等式组的解集为-1<x<15. 16.解析 (2x-3)2-(x+y)(x-y)-y 2=4x 2-12x+9-(x 2-y 2)-y 2=3x 2-12x+9.∵x 2-4x-1=0,∴x 2-4x=1.∴原式=3(x 2-4x)+9=12.17.解析 设每人每小时的绿化面积是x 平方米.由题意得1806x -180(6+2)x =3.解得x=2.5.经检验,x=2.5是原方程的解,且符合题意.答:每人每小时的绿化面积是2.5平方米.18.解析 (1)由题意,得Δ=4-4(2k-4)>0.∴k<52. (2)∵k 为正整数,∴k=1,2.当k=1时,方程x 2+2x-2=0的根x=-1±√3不是整数;当k=2时,方程x 2+2x=0的根x 1=-2,x 2=0都是整数.综上所述,k=2.19.解析 (1)证明:∵四边形ABCD 是平行四边形,∴AD∥BC,AD=BC.∵F是AD的中点,AD.∴FD=12BC,∴FD=CE.∵CE=12∵FD∥CE,∴四边形CEDF是平行四边形.(2)如图,过点D作DG⊥CE于点G.∵四边形ABCD是平行四边形,∴AB∥CD,CD=AB=4,BC=AD=6.∴∠1=∠B=60°.在Rt△DGC中,∠DGC=90°,∴CG=CD·cos∠1=2,DG=CD·sin∠1=2√3.BC=3,∴GE=1.∵CE=12在Rt△DGE中,∠DGE=90°,∴DE=√DG2+GE2=√13.20.解析(1)证明:∵PA、PC与☉O分别相切于点A、C, ∴PA=PC,∠APO=∠EPD.∵AB是☉O的直径,∴PA⊥AB.∵DE⊥PO,∴∠A=∠E=90°.∵∠POA=∠DOE,∴∠APO=∠EDO.∴∠EPD=∠EDO.(2)连结OC,则OC⊥PD.在Rt△PAD中,∠A=90°,PA=PC=6,tan∠PDA=34, 可得AD=8,PD=10.∴CD=4.在Rt△OCD中,∠OCD=90°,CD=4,tan∠ODC=34, 可得OC=3,OD=5.在Rt△PCO中,由勾股定理得,PO=3√5.可证得Rt△DEO∽Rt△PCO.∴OEOC =ODOP,即OE3=3√5.∴OE=√5.21.解析(1)0.03.(2)补全条形统计图如下图.第六届至第九届园博会园区陆地面积和水面面积统计图(3)3 600,3 700,3 800,3 900其中之一.评析 处理本题的关键是看清扇形图和条形图之间的关系,再按照题目要求逐一解决.属中档题.22.解析 (1)a.(2)由(1)可知,由△RQF,△SMG,△TNH,△WPE 拼成的新正方形的面积与正方形ABCD 的面积相等.∴△RAE,△SBF,△TCG,△WDH 这四个全等的等腰直角三角形的面积之和等于正方形MNPQ 的面积.∵AE=BF=CG=DH=1,∴正方形MNPQ 的面积S=4×12×1×1=2.AD 的长为23.23.解析 (1)当x=0时,y=-2.∴点A 的坐标为(0,-2).将y=mx 2-2mx-2配方,得y=m(x-1)2-m-2.∴抛物线的对称轴为直线x=1.∴点B 的坐标为(1,0).(2)由题意得点A 关于直线x=1的对称点的坐标为(2,-2).设直线l 的解析式为y=kx+b.∵点(1,0)和(2,-2)在直线l 上,∴{0=k +b ,-2=2k +b .解得{k =-2,b =2.∴直线l 的解析式为y=-2x+2.(3)由题意可知,抛物线关于直线x=1对称,直线AB 和直线l 也关于直线x=1对称. ∵抛物线在2<x<3这一段位于直线AB 的下方,∴抛物线在-1<x<0这一段位于直线l的下方.又∵抛物线在-2<x<-1这一段位于直线l的上方,∴抛物线与直线l的一个交点的横坐标为-1.∴由直线l的解析式y=-2x+2可得这个点的坐标为(-1,4).∵抛物线y=mx2-2mx-2经过点(-1,4),∴m=2.∴所求抛物线的解析式为y=2x2-4x-2.评析本题考查了一次函数、二次函数的综合运用,充分考查了二次函数图象的对称性,有一定难度.24.解析(1)∠ABD=30°-1α.2(2)△ABE为等边三角形.证明:连结AD,CD.∵∠DBC=60°,BD=BC,∴△BDC是等边三角形,∴∠BDC=60°,BD=DC.又∵AB=AC,AD=AD,∴△ABD≌△ACD,∴∠ADB=∠ADC.∴∠ADB=150°.∵∠ABE=∠DBC=60°,∴∠ABD=∠EBC.又∵BD=BC,∠ADB=∠ECB=150°,∴△ABD≌△EBC.∴AB=EB.∴△ABE是等边三角形.(3)∵△BDC是等边三角形,∴∠BCD=60°.∴∠DCE=∠BCE-∠BCD=90°.又∵∠DEC=45°,∴CE=CD=BC.∴∠EBC=15°.,∴α=30°.∵∠EBC=∠ABD=30°-α2评析本题考查了全等三角形、等边三角形、等腰三角形的相关知识,正确地构造全等三角形是解决本题的关键.属中等偏难题.25.解析(1)①D,E.②当OP=2时,过点P向☉O作两条切线PA,PB(A,B为切点),则∠APB=60°.∴点P为☉O的关联点.事实上,当0≤OP≤2时,点P是☉O的关联点;当OP>2时,点P不是☉O的关联点.∵F(2√3,0),且∠GFO=30°,∴∠OGF=60°,OF=2√3,OG=2.如图,以O为圆心,OG为半径作圆,设该圆与l的另一个交点为M.当点P在线段GM上时,OP≤2,点P是☉O的关联点;当点P在线段GM的延长线或反向延长线上时,OP>2,点P不是☉O的关联点.连结OM,可知△GOM为等边三角形.过点M作MN⊥x轴于点N,可得∠MON=30°,ON=√3.∴0≤m≤√3.(2)设该圆圆心为C.根据②可得,若点P是☉C的关联点,则0≤PC≤2r.由题意知,点E,F都是☉C的关联点,∴EC≤2r,FC≤2r.∴EC+FC≤4r.又∵EC+FC≥EF(当点C在线段EF上时,等号成立),∴4r≥EF.∵E(0,-2),F(2√3,0),∴EF=4.∴r≥1.事实上,当点C是EF的中点时,对所有r≥1的☉C,线段EF上的所有点都是☉C的关联点. 综上所述,r≥1.评析本题定义了坐标系中圆的关联点,需要对圆的相关知识熟练掌握,并通过画图观察,找到临界状态,再逐一进行验证.本题充分考查了学生的综合能力,难度较大.。
2013北京中考数学一模12题
D
C
A(P)
B
12. （2013 东城区一模）在平面直角坐标系中，正方形 ABCD 的位置如右图所示，点 A 的坐标为（1，0） ，点 D 的坐标为 （0，2） ．延长 CB 交 x 轴于点 A1，作正方形 A1B1C1C；延长 C1B1 交 x 轴于点 A2，作正方形 A2B2C2C1，…按这样的规律 进行下去，第 2013 个正方形的面积为 ．
BOC
（用含 n 的式子表示） ．
初三数学
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小马成群 12．(2013 石景山区一模)将全体正整数排成一个三角形数阵： 按照以上排列的规律，第 5 行从左到右的第 3 个数为_______；第 n 行（ n ≥3）从左到右的第 3 个数为 ． （用含 1 2 4 7 8 5 3 6 9 10
第 1 个等式：a1 请解答下列问题： （1）按以上规律列出第 5 个等式：a5 = （2）求 a1 + a2 + a3 + a4 + … + a100 的值为 = .:学_科_网 ；
12．(2013 平谷区一模)如图 1、图 2、图 3，在 △ABC 中，分别以 形，正五边形， BE、CD 相交于点
AB、AC 为边，向 △ABC 外作正三角形，正四边 AB、AD 是以 AB 为边向 △ABC 外所作正 n 边形的一组邻边； AC、AE 是以 AC 为边向 △ABC 外所作正 n (n 为正整数)边形的一组邻边． BE、CD 的延长相交于点 O ．图 1 中
O ．如图
4， ；图 4 中 BOC
y C D B O A
12. （2013 海淀区一模）如图 1 所示，圆上均匀分布着 11 个点
x
2013年北京市中考真题 北京市数学真题解析版
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函数综合题 2013年北京市中考真题 【难易度】4
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分式方程 2013年北京市中考真题 【难易度】3
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二次函数 2013年北京市中考真题 【难易度】2
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三角形中位线、中点四边形
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因式分解 2013年北京市中考真题 【难易度】1
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一元二次方程 2013年北京市中考真题 【难易度】2
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全等三角形
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平行四边形 2013年北京市中考真题 【难易度】3
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【真题解析版】2013年北京市中考数学试卷及答案
北京市2013年中考数学试卷一、选择题（本题共32分，每小题4分。
下列各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的。
1．（4分）（2013•北京）在《关于促进城市南部地区加快发展第二阶段行动计划（2013﹣2015）》2．（4分）（2013•北京）﹣的倒数是（）B（﹣）的倒数是﹣．3．（4分）（2013•北京）在一个不透明的口袋中装有5个完全相同的小球，把它们分别标号B的概率是=4．（4分）（2013•北京）如图，直线a，b被直线c所截，a∥b，∠1=∠2，若∠3=40°，则∠4等于（）（=5．（4分）（2013•北京）如图，为估算某河的宽度，在河对岸选定一个目标点A，在近岸取点B，C，D，使得AB⊥BC，CD⊥BC，点E在BC上，并且点A，E，D在同一条直线上．若测得BE=20m，CE=10m，CD=20m，则河的宽度AB等于（）∴∴B7．（4分）（2013•北京）某中学随机地调查了50名学生，了解他们一周在校的体育锻炼时8．（4分）（2013•北京）如图，点P是以O为圆心，AB为直径的半圆上的动点，AB=2．设弦AP的长为x，△APO的面积为y，则下列图象中，能表示y与x的函数关系的图象大致是（）．．C．．AC=AP=x OC=x（AP===S=AP=二、填空题（本题共16分，每小题4分）9．（4分）（2013•北京）分解因式：ab2﹣4ab+4a=a（b﹣2）2．10．（4分）（2013•北京）请写出一个开口向上，并且与y轴交于点（0，1）的抛物线的解析式，y=x2+1（答案不唯一）．11．（4分）（2013•北京）如图，O是矩形ABCD的对角线AC的中点，M是AD的中点．若AB=5，AD=12，则四边形ABOM的周长为20．CD=AB=2.5=13AC=6.512．（4分）（2013•北京）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知直线l：y=﹣x﹣1，双曲线y=，在l上取一点A1，过A1作x轴的垂线交双曲线于点B1，过B1作y轴的垂线交l于点A2，请继续操作并探究：过A2作x轴的垂线交双曲线于点B2，过B2作y轴的垂线交l于点A3，…，这样依次得到l上的点A1，A2，A3，…，A n，…记点A n的横坐标为a n，若a1=2，则a2=﹣，a2013=﹣；若要将上述操作无限次地进行下去，则a1不可能取的值是0、﹣1．，，，，，﹣﹣﹣，，，﹣∵；、﹣；三、解答题（本题共30分，每小题5分）13．（5分）（2013•北京）已知：如图，D是AC上一点，AB=DA，DE∥AB，∠B=∠DAE．求证：BC=AE．14．（5分）（2013•北京）计算：（1﹣）0+|﹣|﹣2cos45°+（）﹣1．﹣×+415．（5分）（2013•北京）解不等式组：．，＜．16．（5分）（2013•北京）已知x2﹣4x﹣1=0，求代数式（2x﹣3）2﹣（x+y）（x﹣y）﹣y2的值．17．（5分）（2013•北京）列方程或方程组解应用题：某园林队计划由6名工人对180平方米的区域进行绿化，由于施工时增加了2名工人，结果比计划提前3小时完成任务，若每人每小时绿化面积相同，求每人每小时的绿化面积．18．（5分）（2013•北京）已知关于x的一元二次方程x2+2x+2k﹣4=0有两个不相等的实数根．（1）求k的取值范围；（2）若k为正整数，且该方程的根都是整数，求k的值．＜±四、解答题（本题共20分，每小题5分）19．（5分）（2013•北京）如图，在▱ABCD中，F是AD的中点，延长BC到点E，使CE=BC，连接DE，CF．（1）求证：四边形CEDF是平行四边形；（2）若AB=4，AD=6，∠B=60°，求DE的长．CE=BCDH=2AD=3=20．（5分）（2013•北京）如图AB是⊙O的直径，PA，PC与⊙O分别相切于点A，C，PC交AB的延长线于点D，DE⊥PO交PO的延长线于点E．（1）求证：∠EPD=∠EDO；（2）若PC=6，tan∠PDA=，求OE的长．，可求出PDA=，PDA=，∴21．（5分）（2013•北京）第九届中国国际园林博览会（园博会）已于2013年5月18日在北京开幕，以下是根据近几届园博会的相关数据绘制的统计图的一部分．（1）第九届园博会的植物花园区由五个花园组成，其中月季园面积为0.04平方千米，牡丹园面积为0.03平方千米；（2）第九届园博会会园区陆地面积是植物花园区总面积的18倍，水面面积是第七、八界园博会的水面面积之和，请根据上述信息补全条形统计图，并标明相应数据；（3）小娜收集了几届园博会的相关信息（如下表），发现园博会园区周边设置的停车位数量与日均接待游客量和单日最多接待游客量中的某个量近似成正比例关系．根据小娜的发现，请估计，将于2015年举办的第十届园博会大约需要设置的停车位数量（直接写出结果，精确到百位）．×=0.0322．（5分）（2013•北京）阅读下面材料：小明遇到这样一个问题：如图1，在边长为a（a＞2）的正方形ABCD各边上分别截取AE=BF=CG=DH=1，当∠AFQ=∠BGM=∠GHN=∠DEP=45°时，求正方形MNPQ的面积．小明发现，分别延长QE，MF，NG，PH交FA，GB，HC，ED的延长线于点R，S，T，W，可得△RQF，△SMG，△TNH，△WPE是四个全等的等腰直角三角形（如图2）请回答：（1）若将上述四个等腰直角三角形拼成一个新的正方形（无缝隙不重叠），则这个新正方形的边长为a2；（2）求正方形MNPQ的面积．（3）参考小明思考问题的方法，解决问题：如图3，在等边△ABC各边上分别截取AD=BE=CF，再分别过点D，E，F作BC，AC，AB的垂线，得到等边△RPQ．若S△RPQ=，则AD的长为．，则斜边上的高为aa a=×a××SF=a×=•a×a的面积为∴×或x=，即的长为．．五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分）23．（7分）（2013•北京）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=mx2﹣2mx﹣2（m≠0）与y 轴交于点A，其对称轴与x轴交于点B．（1）求点A，B的坐标；（2）设直线l与直线AB关于该抛物线的对称轴对称，求直线l的解析式；（3）若该抛物线在﹣2＜x＜﹣1这一段位于直线l的上方，并且在2＜x＜3这一段位于直线AB的下方，求该抛物线的解析式．﹣，24．（7分）（2013•北京）在△ABC中，AB=AC，∠BAC=α（0°＜α＜60°），将线段BC绕点B 逆时针旋转60°得到线段BD．（1）如图1，直接写出∠ABD的大小（用含α的式子表示）；（2）如图2，∠BCE=150°，∠ABE=60°，判断△ABE的形状并加以证明；（3）在（2）的条件下，连接DE，若∠DEC=45°，求α的值．αCAD=∠BAC=αBEC=﹣ACB=（﹣ααCAD=BAC=ααα（α25．（8分）（2013•北京）对于平面直角坐标系xOy中的点P和⊙C，给出如下的定义：若⊙C 上存在两个点A、B，使得∠APB=60°，则称P为⊙C的关联点．已知点D（，），E（0，﹣2），F（2，0）．（1）当⊙O的半径为1时，①在点D、E、F中，⊙O的关联点是D，E．②过点F作直线l交y轴正半轴于点G，使∠GFO=30°，若直线l上的点P（m，n）是⊙O的关联点，求m的取值范围；（2）若线段EF上的所有点都是某个圆的关联点，求这个圆的半径r的取值范围．EF=2（）PC=OGF==，OPH==，KF=2KN=。
北京市朝阳区2013届高考一模数学理试题(WORD解析版)
2013年北京市朝阳区高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1．（5分）（2013•朝阳区一模）i为虚数单位，复数的虚部是（）A．B．C．D．考点：复数的基本概念；复数代数形式的乘除运算．专题：计算题．分析：利用复数的除法法则，把分子、分母分别乘以分母的共轭复数即可得出．解答：解：复数==的虚部是．故选A．点评：熟练掌握复数的运算法则和共轭复数是解题的关键．2．（5分）（2013•朝阳区一模）已知集合M={x|﹣2＜x＜3}，N={x|lg（x+2）≥0}，则M∩N=（）A．（﹣2，+∞）B．（﹣2，3）C．（﹣2，﹣1]D．[﹣1，3）考点：交集及其运算．专题：函数的性质及应用．分析：解对数不等式可以求出集合N，进而根据集合交集及其运算，求出M∩N．解答：解：∵N={x|lg（x+2）≥0}=[﹣1，+∞），集合M={x|﹣2＜x＜3}，则M∩N=[﹣1，3）故选D．点评：本题考查的知识点是对数不等式的解法，集合的交集及其运算，其中解不等式求出集合N是解答本题的关键．3．（5分）（2013•朝阳区一模）已知向量，．若，则实数m的值为（）A．﹣3 B．C．D．考点：平行向量与共线向量；平面向量的坐标运算．专题：平面向量及应用．分析：先求得得==（3，1），再由，则这两个向量的坐标对应成比例，解方程求得实数m的值．解答：解：由题意可得==（3，1），若，则这两个向量的坐标对应成比例，即，解得m=﹣3，故选A．点评：本题主要考查两个向量共线的性质，两个向量坐标形式的运算，属于中档题．4．（5分）（2013•朝阳区一模）在极坐标系中，直线与曲线ρ=2cosθ相交于A，B两点，O为极点，则∠AOB的大小为（）A．B．C．D．考点：点的极坐标和直角坐标的互化．专题：直线与圆．分析：把极坐标方程化为直角坐标方程，求出AC，DC的值，可得∠AOC的值，从而得到∠AOB=2∠AOC 的值．解答：解：直线ρcosθ=即x=，曲线ρ=2cosθ即ρ2=2ρcosθ，即（x﹣1）2+y2=1，表示以C（1，0）为圆心，以1为半径的圆．如图．Rt△ADC中，∵cos∠ACO==，∴∠ACO=，在△AOC中，AC=OC，∴∠AOC=，∴∠AOB=2∠AOC=，故选C．点评：本题考查把极坐标方程化为直角坐标方程的方法，直线和圆的位置关系，求出∠ACO是解题的关键．5．（5分）（2013•朝阳区一模）在下列命题中，①“”是“sinα=1”的充要条件；②的展开式中的常数项为2；③设随机变量ξ～N（0，1），若P（ξ≥1）=p，则．其中所有正确命题的序号是（）A．②B．③C．②③D．①③考点：命题的真假判断与应用．专题：计算题．分析：①利用特殊值α=，判断出为假命题．②利用二项展开式的通项公式求出第r+1项，令x的指数为0得常数项．③根据随机变量ξ～N（0，1），正态曲线关于x=0对称，得到对称区间对应的概率相等，根据大于1的概率得到小于﹣1的概率，根据对称轴一侧的区间的概率是，得到结果．解答：解：①是假命题．α=，是能推得sinα=1，反之，sinα=1，α可以为或其他数值．②：的通项为T r+1=C（）r=2r﹣4C4r x12﹣4r令12﹣4r=0得r=3∴展开式的常数项为T4=C43=2；正确；③：∵随机变量ξ～N（0，1），∴正态曲线关于x=0对称，∵P（ξ≥1）=p，∴P（ξ＜﹣1）=p，∴P（﹣1＜ξ＜0）=﹣p，正确．故选C．点评：本题考查命题真假的判断，考查了充要条件、二项式定理、正态分布等知识．6．（5分）（2013•朝阳区一模）某个长方体被一个平面所截，得到的几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为（）A．4B．C．D．8考点：由三视图求面积、体积．专题：空间位置关系与距离．。
北京市朝阳区2013-2014学年度第一学期期中模拟监测初三数学试卷(附答案)
北京市朝阳区2013—2014学年度第一学期期中模拟监测初三数学试卷（考试时间120分钟 满分120分）学校 班级 姓名 考号 注意事项1. 本试卷共6页，共三道大题，满分120分，考试时间120分钟.2. 在试卷和答题卡上准确填写学校名称、班级、姓名和准考证号.3. 试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效.4. 考试结束，将本试卷、答题卡和草稿纸一并交回.一、选择题（共8个小题，每小题4分，共32分）下列各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的． 1．下列图形中，是中心对称图形的是A B C D2.点（2，-1）关于原点对称的点的坐标为A ．（2，1）B ．（-2，1）C ．（1，-2）D ．（-2，-1） 3.如图，⊙O 的半径为5，AB 为弦，半径OC ⊥AB ，垂足为点E ，若OE =3，则AB 的长是 A ．4 B ．6C ．8D ．10（第3题图） 4. 方程x x22=的解是A. 2=xB. 2=x C. 0x = D. 2=x 或0x =5. 如图，⊙O 的半径OC 垂直于弦AB ， D 是优弧AB 上的一点 （不与点A 、B 重合），若∠AOC =50°，则∠CDB 等于 A ．25° B ．30° C ．40° D．50°（第5题图）6. 若关于x 的一元二次方程013)1(22=-++-m x x m 有一根为0，则m 的值为 A ．1 B ．－1 C ．1或－1 D ．21 7.如图，⊙O 中，ABDC 是圆内接四边形，∠BOC=110°， 则∠BDC 的度数是A.110°B.70°C.55°D.125°（第7题图）BACODOE C BA8．如图，将边长为3cm 的正方形ABCD 绕点C 逆时针旋转30º 后得到正方形A ′B ′C D ′，那么图中阴影部分面积为A.3cm 2B.33cm 2C.92cm 2 D.63 cm 2（第8题图）二、填空题（共4个小题，每小题4分，共16分）9．已知关于x 的一元二次方程有一个根为0．请你写出一个符合条件的一元二次方程是 ．10. 如图，A 、B 、C 是⊙O 上的三点，∠BAC=30°，则∠BOC 的 大小是 .（第10题）11．如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，∠BAC=60°,若⊙O 的半径OC 为2，则弦BC 的长为 ．（第11题图） 12．如图，在平面直角坐标系中，已知点A(-4,0)，B(0,3)，对△AOB 连续作旋转变换，依次得到三角形(1)、(2)、(3)、(4)、…，则第（7）个三角形的直角顶点．．．．的坐标是 ；第（2011）个三角形的直角顶点．．．．的坐标是__________． 三、解答题（共13个小题，共72 分） 13. （本小题满分5分）解方程：3x 2+10x+5=014. （本小题满分5分）已知2514x x -=，求()()()212111x x x ---++的值.O C A B D /B /A /DCBA （第12题）15. （本小题满分5分）已知：如图，AB 为半圆的直径，O 为圆心，C 为半圆上一点， OE ⊥弦AC 于点D ，交⊙O 于点E. 若AC=8cm ，DE=2cm. 求OD 的长.16． （本小题满分5分）已知：如图5，在⊙O 中，弦AB CD 、交于点E ，AD CB =． 求证：AE CE =．17．（本小题满分5分）在平面直角坐标系xoy 中，已知ABC △三个顶点的坐标分别为()()()1,2,3,4,2,9.A B C ---⑴ 画出ABC △；⑵ 画出ABC △绕点A 顺时针旋转90后得到的11AB C △，并求出1CC 的长..18. （本小题满分5分）经过18个月的精心酝酿和290多万首都市民投票参与，2011年11月1日，“北京精神”表述语“爱国、创新、包容、厚德”正式向社会发布. 为了更好地宣传“北京精神”，小明同学参加了由街道组织的百姓宣讲小分队，利用周末时间到周边社区发放宣传材料. 第一周发放宣传材料300份，第三周发放宣传材料363份. 求发放宣传材料份数的周平均增长oxy11E D CB A O A B DO CE率.19. （本小题满分5分）已知关于x 的方程(k -2)x 2＋2(k -2)x ＋k ＋1=0有两个实数根. （1）求正整数k 的值；．（2）当k 取正整数时，求方程的根.20. （本小题满分5分）如图，AB 是⊙O 的直径，C 、D 两点在⊙O 上，若∠C ＝45°， （1）求∠ABD 的度数.（2）若∠CDB=30°,BC=3,求⊙O 的半径.21.如图，直线AB 与x 轴、y 轴分别相交于A 、B 两点，将直线AB 绕点O 逆时针旋转90°得到直线A 1B 1．（1）在图中画出直线A 1B 1． （2）求出直线A 1B 1函数解析式．-3-33O BA -2-21-1y x3-44221-122． 如图1，若将△AOB 绕点O 逆时针旋转180°得到△COD ，则△AOB ≌△COD ．此时，我们称△AOB 与△COD 为“8字全等型”．借助“8字全等型”我们可以解决一些图形的分割与拼接问题．例如：图2中，△ABC 是锐角三角形且AC ＞AB ，点E 为AC 中点，F 为BC 上一点且BF ≠FC （F 不与B 、C 重合），沿EF 将其剪开，得到的两块图形恰能拼成一个梯形．请分别按下列要求用直线将图2中的△ABC 重新进行分割，画出分割线及拼接后的图形． （1）在图3中将△ABC 沿分割线剪开，使得到的两块图形恰能拼成一个平行四边形； （2在图4中将△ABC 沿分割线剪开，使得到的三块图形恰能拼成一个矩形，且其中的两块为直角三角形；（3在图5中将△ABC 沿分割线剪开，使得到的三块图形恰能拼成一个矩形，且其中的一块为锐角三角形．23．已知关于x 的方程2(32)220mx m x m -+++= （1）求证：无论m 取任何实数时，方程恒有实数根.（2）若关于x 的方程2(32)220mx m x m -+++=的两个不等实数根均为正整数，且m 为整数，求m 的值.图1FE DCBA图2ABCDE F图3ABCDEF24．已知△ABC 和△ADE 是等腰直角三角形，∠ACB =∠ADE =90°，点F 为BE 中点，连结DF 、 CF .（1）如图1, 当点D 在AB 上，点E 在AC 上，请直接写出此时线段DF 、CF 的数量关系和位置关系（不用证明）；（2）如图2，在（1）的条件下将△ADE 绕点A 顺时针旋转45°时，请你判断此时（1）中的结论是否仍然成立，并证明你的判断；（3）如图3，在（1）的条件下将△ADE 绕点A 顺时针旋转90°时，若AD =1，AC =22，求此时线段CF 的长(直接写出结果).25．如图：点O 是等边△ABC 内一点，∠AOB=110°，∠BOC=α.将线段OC 绕点C 按顺时针方向旋转60°得到线段CD ，连接OD 、AD. (1) 求证：AD=BO（2） 当α=150°时，试判断△AOD 的形状，并说明理由；（3） 探究：当α为多少度时（直接写出答案），△AOD 是等腰三角形？2013～2014学年九年级第一学期期中考试 数学试卷参考答案及评分标准一、选择题（共8个小题，每小题4分，共32分）题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案CBCDABDBDACBO二、填空题（共4个小题，每小题4分，共16分）9. x 2=0(…本题多种情况) ；10. 60° ；11.；12. (24，0)；(8040，0)三、解答题（共13个小题，共72 分）13.（若用配方法，可按具体过程酌情给分）14.15. 解：∵OE ⊥弦AC ， ∴AD=21AC=4. …………………………1分 ∴OA 2=OD 2+AD 2……………………………..2分∴OA 2=(OA-2)2+16解得，OA=5. ………………………………4分 ∴OD=3 ………………………………5分 16. 解：由题意得{220,[2(2)]4(2)(1)0.k k k k -≠∆=---+≥ …………………1分由①得 2k ≠. ………………………………………………………2分 由②得 2k ≤. ………………………………………………………4分 ∴2k <. ∵k 为正整数，∴1k =. (5)17．解：⑴如图所示，ABC △即为所求.…1分 ⑵如图所示，11AB C △即为所求. …3分oxy 11A BCB C 11322123,10, 5......1=440 (2)1040510 (4)2631040510 (5263)a b c b ac b x a b x a ===-=-+∆-+-+===--∆----===解：△2222=231(21) 1......25 1......3514=141=15 (5)x x x x x x x x -+-+++=-+-=+解：原式∵∴原式5 (101)=cc18. （本小题满分5分）解：设发放宣传材料份数的周平均增长率为x ，由题意，有.363)1(3002=+x …………………………………………………………………3分 解得 1.01=x ，1.22-=x . …………………………………………………………4分 ∵1.2-=x <0，不符合题意，舍去，∴%101.0==x . ……………………………………………………………………5分 答：这两次发放材料数的平均增长率为10%.19. 解：（1）由题意得：k-2≠0①，△=[2（k-2）]2-4（k-2）（k+1）≥0②． ……1 由①得 k ≠2．由②得 k ≤2． ……2 ∴k ＜2．∵k 为正整数， ∴k=1． (3)（2）方程为－x 2－2x+2=0121313x x =-+=--解得， (5)20. 解：（1）∵弧BD ，∠C=45° ∴∠A=∠C=45° ……1 ∵AB 是⊙O 的直径 ∴∠ADB=90°∴∠ABD=45°……2 （2）连接AC∵AB 是⊙O 的直径 ∴∠ACB=90° ∵弧BC∴∠CAB=∠CDB=30°……3 ∵BC=3∴AB=6 ......4 ∴半径为3 (5)21.（1）2分（2）由题意可知，A 1(0，-1) B 1(-2，0) ……1 设直线A 1 B 1的解析式为 y = kx - 1 (k ≠0)12k =- (4)∴ 112y x =-- (5)22． （1）-3-33OB A-2-21-1yx3-44221-1………………………………………………1分（2）………………………………………………3分（3）………………………………………………5分23. （1）证明：①当m ＝0时，方程为 －2x + 2 = 0 ，x = 1，此一元一次方程有实根… 1 ②当m ≠0时，方程为一元二次方程（2）1211232(2)2222232(2)1 (4)21,1,2,24,0,3,1,1=2 (7)m m m x m m m m m x mx m m x x x x m m ++++===++-+===--==∵为整数，为整数，∴∴∵≠且为正整数∴或24． 解：（1）线段DF 、CF 之间的数量和位置关系分别是相等和垂直.…………1分（2）（1）中的结论仍然成立 ………2分证明： 如图，此时点D 落在AC 上，延长DF 交B C 于点G .∵ 90ADE ACB ∠=∠=︒， ∴ DE ∥BC .∴ ,DEF GBF EDF BGF ∠=∠∠=∠. 又∵ F 为BE 中点， ∴ EF=BF .∴ △DEF ≌△GBF . ………3分ABCDEFG 13321ABCA 1B 12222(32)22444(2)...2(2)0a m b m c m b ac m m m m ==-+=+∆=-=++=++∵≥∴此方程有实数根综上，无论m 为任何实数时，方程恒有实数根 (3)新世纪教育网 精品资料 版权所有@新世纪教育网-新世纪教育网 -- 中国最大型、最专业的中小学教育资源门户网站。
北京市中考数学一模试卷及答案(word解析版)
北京市龙文教育2013年中考数学一模试卷一、选择题（本题共32分，每小题4分）下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的．1．（4分）（2010•石景山区一模）据新华社报道：2010年我国粮食产量将达到540 000 000吨，用科学记数法表示这个粮食产量为（）吨A．54×107B．5.4×108C．54×108D．0.54×109考点：科学记数法—表示较大的数．专题：应用题．分析：在实际生活中，许多比较大的数，我们习惯上都用科学记数法表示，使书写、计算简便．将一个绝对值较大的数写成科学记数法a×10n的形式时，其中1≤|a|＜10，n为比整数位数少1的数．解答：解：确定a×10n（1≤|a|＜10，n为整数）中n的值是易错点，由于540 000 000有9位，所以可以确定n=9﹣1=8．所以540 000 000=5.4×108．故选B．点评：把一个数M记成a×10n（1≤|a|＜10，n为整数）的形式，这种记数的方法叫做科学记数法．规律：（1）当|a|≥1时，n的值为a的整数位数减1；（2）当|a|＜1时，n的值是第一个不是0的数字前0的个数，包括整数位上的0．2．（4分）若一个正多边形的一个内角是144°，则这个多边形的边数为（）A．12 B．11 C．10 D．9考点：多边形内角与外角．专题：计算题．分析：设这个正多边形的边数为n，根据n边形的内角和为（n﹣2）×180°得到（n﹣2）×180°=144°×n，然后解方程即可．解答：解：设这个正多边形的边数为n，∴（n﹣2）×180°=144°×n，∴n=10．故选C．点评：本题考查了多边形内角与外角：n边形的内角和为（n﹣2）×180°；n边形的外角和为360°．3．（4分）（2010•石景山区一模）已知：如图，在平行四边形ABCD中，AB=4，AD=7，∠ABC的平分线交AD于点E，交CD的延长线于点F，则DF的长为（）A．6B．5C．4D．3考点：平行四边形的性质．分析：平行四边形的对边相等且平行，利用平行四边形的性质以及平行线的基本性质求解．解答：解：∵平行四边形ABCD∴AB∥CD∴∠ABE=∠CFE∵∠ABC的平分线交AD于点E∴∠ABE=∠CBF∴∠CBF=∠CFB∴CF=CB=7∴DF=CF﹣CD=7﹣4=3故选D．点评：本题主要考查了平行四边形的性质，在平行四边形中，当出现角平分线时，一般可构造等腰三角形，进而利用等腰三角形的性质解题．4．（4分）如图，已知平行四边形ABCD中，AB=3，AD=2，∠B=150°，则平行四边形ABCD的面积为（）A．2B．3C．D．6考点：平行四边形的性质；含30度角的直角三角形．分析：由平行四边形的性质可得∠A=30°，过点D作AE⊥AB于点E，在Rt△ADE中可求出DE，继而求出平行四边形ABCD的面积．解答：解：∵四边形ABCD是平行四边形，∠B=150°，∴∠A=30°，过点D作AE⊥AB于点E，，在Rt△ADE中，可得DE=AD=1，则S四边形ABCD=AB×DE=3．故选B．点评：本题考查了平行四边形的性质，属于基础题，解答本题的关键是求出平行四边形ABCD的高，难度一般，5．（4分）抛掷两枚质地均匀的硬币，两枚硬币落地后，正面都朝上的概率是（）A．B．C．D．考点：列表法与树状图法．分析：首先利用列举法可得所有等可能的结果有：正正，正反，反正，反反，然后利用概率公式求解即可求得答案．解答：解：∵抛掷两枚质地均匀的硬币，两枚硬币落地后的所有等可能的结果有：正正，正反，反正，反反，∴正面都朝上的概率是：．故选C．点评：此题考查了列举法求概率的知识．此题比较简单，注意在利用列举法求解时，要做到不重不漏，注意概率=所求情况数与总情况数之比．6．（4分）（2010•无锡）某校七年级有13名同学参加百米竞赛，预赛成绩各不相同，要取前6名参加决赛，小梅已经知道了自己的成绩，她想知道自己能否进入决赛，还需要知道这13名同学成绩的（）A．中位数B．众数C．平均数D．极差考点：统计量的选择．专题：应用题；压轴题．分析：由于有13名同学参加百米竞赛，要取前6名参加决赛，故应考虑中位数的大小．解答：解：共有13名学生参加竞赛，取前6名，所以小梅需要知道自己的成绩是否进入前六．我们把所有同学的成绩按大小顺序排列，第7名学生的成绩是这组数据的中位数，所以小梅知道这组数据的中位数，才能知道自己是否进入决赛．故选A．点评：学会运用中位数的意义解决实际问题．7．（4分）由n个相同的小正方体堆成的几何体，其主视图、俯视图如图所示，则n的最大值是（）A．16 B．18 C．19 D．20考点：由三视图判断几何体．分析：根据主视图、俯视图是分别从物体正面和上面看，所得到的图形即可求出答案．解答：解：由俯视图知，最少有7个立方块，∵由正视图知在最左边前后两层每层3个立方体，中间3个每层2个立方体和最右边前两排每层3个立方体，∴n的最大值是：3×2+3×2+3×2=18，故选：B．点评：此题主要考查了由三视图判断几何体，同时也体现了对空间想象能力方面的考查．如果掌握口诀“俯视图打地基，正视图疯狂盖，左视图拆违章”就更容易得到答案．8．（4分）（2011•威海）如图，在正方形ABCD中，AB=3cm，动点M自A点出发沿AB方向以每秒1cm 的速度运动，同时动点N自A点出发沿折线AD﹣DC﹣CB以每秒3cm的速度运动，到达B点时运动同时停止．设△AMN的面积为y（cm2）．运动时间为x（秒），则下列图象中能大致反映y与x之间函数关系的是（）A．B．C．D．考点：动点问题的函数图象．专题：压轴题；动点型．分析：当点N在AD上时，易得S△AMN的关系式；当点N在CD上时，高不变，但底边在增大，所以S△AMN的面积关系式为一个一次函数；当N在BC上时，表示出S△AMN的关系式，根据开口方向判断出相应的图象即可．解答：解：当点N在AD上时，即0≤x≤1，S△AMN=×x×3x=x2，点N在CD上时，即1≤x≤2，S△AMN=×x×3=x，y随x的增大而增大，所以排除A、D；当N在BC上时，即2≤x≤3，S△AMN=×x×（9﹣3x）=﹣x2+x，开口方向向下．故选B．点评：考查动点问题的函数图象问题；根据自变量不同的取值范围得到相应的函数关系式是解决本题的关键．二、填空题（本题共16分，每小题4分）9．（4分）（2013•菏泽）分解因式：3a2﹣12ab+12b2=3（a﹣2b）2．考点：提公因式法与公式法的综合运用．分析：先提取公因式3，再对余下的多项式利用完全平方公式继续分解即可求得答案．解答：解：3a2﹣12ab+12b2=3（a2﹣4ab+4b2）=3（a﹣2b）2．故答案为：3（a﹣2b）2．点评：本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解的知识．一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，注意因式分解要彻底．10．（4分）点A（x1，y1）、B（x2，y2）在二次函数y=x2﹣2x﹣1的图象上，若x2＞x1＞1，则y1与y2的大小关系是y1＜y2．（用“＞”、“＜”、“=”填空）考点：二次函数图象上点的坐标特征．分析：先根据函数解析式确定出对称轴为直线x=1，再根据二次函数图象上的点，x＜1时，y随x的增大而减小解答．解答：解：∵y=x2﹣2x﹣1=（x﹣1）2﹣2，∴二次函数图象的对称轴为直线x=1，∵x2＞x1＞1，∴y1＜y2．故答案为：＜．点评：本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，主要利用了二次函数的增减性，求出对称轴解析式是解题的关键．11．（4分）（2010•石景山区一模）已知：如图，一个玻璃材质的长方体，其中AB=8，BC=4，BF=6，在顶点E处有一块爆米花残渣，一只蚂蚁从侧面BCSF的中心沿长方体表面爬行到点E，则此蚂蚁爬行的最短距离为．考点：平面展开-最短路径问题．分析：要求蚂蚁爬行的最短距离，需要将空间图形转化为平面图形，即将E、O（设面BCSF的中心为点O）所在的两个面展开，但展开图并非只有一种，而是有二种，需要利用“两点之间，线段最短”，来一一求出线段EO的长度，然后比较两种情况的结果，找出最短路径．解答：解：设面BCSF的中心为点O，根据题意，最短路径有下列两种情况：①如图1，沿SF把长方体的侧表面展开，蚂蚁爬行的最短距离==5．②沿BF把长方体的侧表面展开，蚂蚁爬行的最短距离==．∵5＞．故此蚂蚁爬行的最短距离为．点评：本题就是把长方体的侧面展开“化立体为平面”，用勾股定理解决．12．（4分）如图所示，在△ABC中，BC=6，E，F分别是AB，AC的中点，点P在射线EF上，BP交CE 于D，点Q在CE上且BQ平分∠CBP，设BP=y，PE=x．当CQ=CE时，y与x之间的函数关系式是y=﹣x+6；当CQ=CE（n为不小于2的常数）时，y与x之间的函数关系式是y=﹣x+6（n﹣1）．考点：相似三角形的判定与性质．专题：压轴题．分析：采用一般到特殊的方法．解答中首先给出一般性结论的证明，即当EQ=kCQ（k＞0）时，y与x满足的函数关系式为：y=6k﹣x；然后将该关系式应用到本题中求解．在解题过程中，充分利用了相似三角形比例线段之间的关系．另外，利用角平分线上的点到角两边的距离相等的性质得出了一个重要结论④，该结论在解题过程中发挥了重要作用．解答：解：如右图，过Q点作QM⊥BC于点M，作QN⊥BP于点N．设CQ=a，DE=b，BD=c，则DP=y﹣c；不妨设EQ=kCQ=ka（k＞0），则DQ=ka﹣b，CD=（k+1）a﹣b．∵BQ平分∠CBP，∴QM=QN．∴==，又∵=，∴=，即=①∵EP∥BC，∴=，即=②∵EP∥BC，∴=，即=③将①②③式联立，解得：y=6k﹣x ④当CQ=CE时，k=1，故y与x之间的函数关系式为：y=6﹣x；当CQ=CE（n为不小于2的常数）时，k=n﹣1，由④式可知，y与x之间的函数关系式为：y=6（n﹣1）﹣x．故答案为y=﹣x+6；y=﹣x+6（n﹣1）．点评：本题综合考查了相似三角形线段之间的比例关系、角平分线的性质等重要知识点，难度较大．在解题过程中，涉及到数目较多的线段和较为复杂的运算，注意不要出错．本题采用了从一般到特殊的解题思想，简化了解答过程；同学们亦可尝试从特殊到一般的解题思路，即当CQ=CE时，CQ=CE 时分别探究y与x的函数关系式，然后推广到当CQ=CE（n为不小于2的常数）时的一般情况．三、解答题（本题共30分，每小题5分）13．（5分）（2012•丰台区一模）计算：．考点：实数的运算；零指数幂；负整数指数幂；特殊角的三角函数值．专题：计算题．分析：根据负整数指数幂、零指数幂的意义和cos30°=得到原式=+2×+1﹣2，然后合并同类二次根式即可．解答：解：原式=+2×+1﹣2=++1﹣2=﹣．点评：本题考查了实数的运算：先进行乘方或开方运算，再进行乘除运算，然后进行实数的加减运算．也考查了负整数指数幂、零指数幂的意义以及特殊角的三角函数值．14．（5分）（2012•丰台区一模）解不等式组：．考点：解一元一次不等式组．专题：计算题．分析：先求出两个不等式的解集，再求其公共解．解答：解：，由①得x＞﹣2，由②得，5﹣2x+2＞1，解得x＜3，所以，原不等式组的解集为﹣2＜x＜3．点评：本题主要考查了一元一次不等式组解集的求法，其简便求法就是用口诀求解．求不等式组解集的口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）．15．（5分）（2012•丰台区一模）已知x2+3x﹣1=0，求代数式的值．考点：分式的化简求值．专题：计算题．分析：先把分子和分母因式分解得到原式=•﹣，然后约分后进行通分得到，再变形x2+3x﹣1=0得到x2+3x=1，最后整体代入计算即可．解答：解：原式=•﹣====，∵x2+3x﹣1=0，∴x2+3x=1，∴原式=﹣=﹣1．点评：本题考查了分式的化简求值：先进行分式的乘除运算（把分子或分母因式分解，约分），再进行分式的加减运算（即通分），然后把字母的值代入（或整体代入）进行计算．16．（5分）（2012•丰台区一模）已知：如图，AB∥CD，AB=CD，点E、F在线段AD上，且AF=DE．求证：BE=CF．考点：全等三角形的判定与性质．专题：证明题．分析：由于AF=DE，根据等式性质可得AE=DF，再根据AB∥CD，易得∠A=∠D，而AB=CD，根据SAS 可证△ABE≌△DCF，于是BE=CF．解答：证明：∵AF=DE，∴AF﹣EF=DE﹣EF，即AE=DF，∵AB∥CD，∴∠A=∠D，在△ABE和△DCF中，，∴△ABE≌△DCF，∴BE=CF．点评：本题考查了全等三角形的判定和性质，解题的关键是找出SAS的三个条件，证明△ABE≌△DCF．17．（5分）（2013•静海县一模）某采摘农场计划种植A、B两种草莓共6亩，根据表格信息，解答下列问题：A B项目品种年亩产（单位：千克）1200 200060 40采摘价格（单位：元/千克）（1）若该农场每年草莓全部被采摘的总收入为460000元，那么A、B两种草莓各种多少亩？（2）若要求种植A种草莓的亩数不少于种植B种草莓的一半，那么种植A种草莓多少亩时，可使该农场每年草莓全部被采摘的总收入最多？考点：一次函数的应用．分析：（1）根据等量关系：总收入=A地的亩数×年亩产量×采摘价格+B地的亩数×年亩产量×采摘价格，列方程求解．（2）这是一道只有一个函数关系式的求最值问题，根据题意确定自变量的取值范围，由函数y随x 的变化求出最大利润．解答：解：（1）设该农场种植A种草莓x亩，B种草莓（6﹣x）亩（1分）依题意，得：60×1200x+40×2000（6﹣x）=460000（2分）解得：x=2.5，则6﹣x=3.5（3分）（2）由x≥（6﹣x），解得x≥2设农场每年草莓全部被采摘的收入为y元，则：y=60×1200x+40×2000（6﹣x）=﹣8000x+480000（4分）∴当x=2时，y有最大值为464000（5分）答：（1）A种草莓种植2.5亩，B种草莓种植3.5亩（2）若种植A种草莓的亩数不少于种植B种草莓的一半，那么种植A种草莓2亩时，可使农场每年草莓全部被采摘的总收入最多．点评：本题考查的是用一次函数解决实际问题，此类题是近年中考中的热点问题．注意利用一次函数求最值时，关键是应用一次函数的性质；即由函数y随x的变化，结合自变量的取值范围确定最值．18．（5分）如图，梯形ABCD中，AD∥BC，∠A=90°，BC=2，∠ABD=15°，∠C=60°．（1）求∠BDC的度数；（2）求AB的长．考点：梯形；解直角三角形．专题：压轴题．分析：（1）由梯形ABCD中，AD∥BC，∠A=90°，∠C=60°，可求得∠ABC与∠ADC的度数，然后在Rt△ABD中，利用直角三角形的性质，求得∠ADB的度数，继而求得∠BDC的度数；（2）首先过点B作BE⊥CD于点E，DF⊥BC于点F，在Rt△BCE中，由BC=2，∠C=60°，利用三角函数的知识即可求得BE，CE的长，又由∠BDC=45°，求得CE的长，继而求得DF的长，又由AD∥BC，∠A=90°，DF⊥BC，求得AB=DF．解答：解：（1）∵梯形ABCD中，AD∥BC，∠A=90°，∠C=60°，∴∠ABC=90°，∠ADC=180°﹣∠C=120°．在Rt△ABD中，∵∠A=90°，∠ABD=15°，∴∠ADB=75°．∴∠BDC=∠ADC﹣∠ADB=45°．（2）过点B作BE⊥CD于点E，DF⊥BC于点F，在Rt△BCE中，∵BC=2，∠C=60°，∴BE=BC•sinC=，CE=BC•cosC=1．∵∠BDC=45°，∴DE=BE=．∴CD=DE+CE=+1．∵BC•DF=CD•BE，∴DF=．∵AD∥BC，∠A=90°，DF⊥BC，∴AB=DF=．点评：此题考查了直角梯形的性质、直角三角形的性质以及三角函数等知识．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．四、解答题（本题共20分，每小题5分）19．（5分）已知：如图，BD是半圆O的直径，A是BD延长线上的一点，BC⊥AE，交AE的延长线于点C，交半圆O于点E，且E为的中点．（1）求证：AC是半圆O的切线；（2）若AD=6，AE=6，求BC的长．考点：切线的判定；勾股定理；相似三角形的判定与性质．专题：几何综合题．分析：（1）要证AC是⊙O的切线，只要连接OE，再证DE⊥AC即可．（2）根据勾股定理和相似三角形的性质即可求出BC的长．解答：（1）证明：连接OE．∵E为的中点，∴=．∴∠OBE=∠CBE∵OE=OB，∴∠OEB=∠OBE∴∠OEB=∠CBE∴OE∥BC∵BC⊥AC，∴∠C=90°∴∠AEO=∠C=90°，即OE⊥AC又∵OE为半圆O的半径，∴AC是半圆O的切线．（2分）（2）解：设半圆O的半径为x∵OE⊥AC，∴（x+6）2﹣（6）2=x2∴x=3（3分）∴AB=AD+OD+OB=12∵OE∥BC，∴△AOE∽△ABC（4分）∴=即=∴BC=4．（5分）点评：本题考查了切线的判定．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．同时考查了勾股定理和相似三角形的性质．20．（5分）（2011•扬州）为了解某校九年级男生的体能情况，体育老师随机抽取部分男生进行引体向上测试，并对成绩进行了统计，绘制成图1和图2两幅尚不完整的统计图．（1）本次抽测的男生有50人，抽测成绩的众数是5次；（2）请你将图2的统计图补充完整；（3）若规定引体向上5次以上（含5次）为体能达标，则该校350名九年级男生中估计有多少人体能达标？考点：条形统计图；用样本估计总体；扇形统计图；众数．专题：压轴题；图表型．分析：（1）用4次的人数除以所占百分比即可得到总人数，人数最多的次数即为该组数据的众数；（2）用总人数减去其他各组的人数即可得到成绩为5次的人数；（3）用总人数乘以达标率即可得到达标人数．解答：解：（1）从条形统计图和扇形统计图可知，达到4次的占总人数的20%，∴总人数为：10÷20%=50人，众数为5次；（2）如图．（3）∵被调查的50人中有36人达标，∴350名九年级男生中估计有350×=252人．点评：题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体21．（5分）（2011•东城区一模）在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=k1x+b与反比例函数y=的图象交于A（1，6），B（a，3）两点．（1）求k1，k2的值；（2）如图，点D在x轴上，在梯形OBCD中，BC∥OD，OB=DC，过点C作CE⊥OD于点E，CE和反比例函数的图象交于点P，当梯形OBCD的面积为18时，求PE：PC的值．考点：反比例函数与一次函数的交点问题；待定系数法求反比例函数解析式；梯形．专题：常规题型．分析：（1）首先根据一次函数y=k1x+b与反比例函数y=的图象交于A（1，6），B（a，3）两点等条件，把A点坐标代入反比例函数的解析式中，求得k2的值，知道反比例函数的解析式后把B点代入求出a的值，最后求出一次函数解析式的k1的值，（2）设点P的坐标为（m，n），易得C（m，3），CE=3，BC=m﹣2，OD=m+2，利用梯形的面积是12列方程，可求得m的值，从而求得点P的坐标，根据线段的长度关系可知PC=2PE．解答：解：（1）∵一次函数y=k1x+b与反比例函数y=的图象交于A（1，6），B（a，3）两点，∴k2=6，又∵B（a，3）在反比例函数的图象上，即a=2，又知A（1，6），B（2，3）在一次函数的图象上，∴，解得k1=﹣3；（2）当S梯形OBCD=18时，PC=2PE．设点P的坐标为（m，n），∵BC∥OD，CE⊥OD，BO=CD，B（2，3），∴C（m，3），CE=3，BC=m﹣2，OD=m+2．∴S梯形OBCD=，即18=．∴m=6，又∵mn=6．∴n=1，即PE=CE．∴PC=2PE，∴PE：PC=1：2．点评：本题主要考查反比例函数与一次函数的交点问题的知识点，此题综合考查了反比例函数与一次函数的性质，此题难度稍大，综合性比较强，注意反比例函数上的点的特点和利用待定系数法求函数解析式的方法．要灵活的利用梯形的面积公式来求得相关的线段的长度，从而确定关键点的坐标是解22．（5分）（2012•朝阳区一模）阅读下面材料：问题：如图①，在△ABC中，D是BC边上的一点，若∠BAD=∠C=2∠DAC=45°，DC=2．求BD的长．小明同学的解题思路是：利用轴对称，把△ADC进行翻折，再经过推理、计算使问题得到解决．（1）请你回答：图中BD的长为2；（2）参考小明的思路，探究并解答问题：如图②，在△ABC中，D是BC边上的一点，若∠BAD=∠C=2∠DAC=30°，DC=2，求BD和AB的长．考点：翻折变换（折叠问题）；全等三角形的判定与性质；勾股定理．专题：压轴题．分析：（1）把△ADC沿AC翻折，得△AEC，连接DE，可得△ADC≌△AEC，又∠DCA=45°，即可得△CDE 是等腰直角三角形，利用勾股定理即可求出BD的长；（2）同理把△ADC沿AC翻折，得△AEC，连接DE，可得△ADC≌△AEC，又由∠BAD=∠C=2∠DAC=30°，DC=2，易证得△CDE为等边三角形，则DE的长，然后在AE上截取AF=AB，连接DF，可证得△ABD≌△AFD，即可得BD=DF，然后由角的关系，求得∠DFE=∠DEF=75°，根据等边对等角的性质，即可得BD=DE，即可求得BD的长；再作BG⊥AD 于点G，可得△BDG是等腰直角三角形，即可求得BG的长，又由∠BAD=30°，即可求得AB的长．解答：解：（1）把△ADC沿AC翻折，得△AEC，连接DE，∴△ADC≌△AEC，∴∠DCA=∠ECA，DC=EC，∠DAC=∠CAE，∵∠BAD=∠C=2∠DAC=45°，∠DAE=∠DAC+∠CAE=2∠DAC，∴∠ECD=∠ECA+∠DCA=90°，∠BAD=∠DAE，∴DE==2，∵∠ADB=∠DAC+∠ACD=22.5°+45°=67.5°，∴∠ADE=180°﹣∠ADB﹣∠EDC=180°﹣67.5°﹣45°=67.5°，∴∠ADB=∠ADE，在△BAD和△EAD中，∵，∴△BAD≌△EAD（ASA），∴BD=DE=2；…（2分）（2）把△ADC沿AC翻折，得△AEC，连接DE，∴△ADC≌△AEC，∴∠DAC=∠EAC，∠DCA=∠ECA，DC=EC，∵∠BAD=∠BCA=2∠DAC=30°，∴∠BAD=∠DAE=30°，∠DCE=60°，∴△CDE为等边三角形，…（3分）∵AD是公共边，∴△ABD≌△AFD，∴BD=DF，在△ABD中，∠ADB=∠DAC+∠DCA=45°，∴∠ADE=∠AED=75°，∠ABD=105°，∴∠AFD=105°，∴∠DFE=75°，∴∠DFE=∠DEF，∴DF=DE，∴BD=DC=2，…（4分）作BG⊥AD于点G，∴在Rt△BDG中，BG=BD•sin∠ADB=2×=，…（5分）∴在Rt△ABG中，AB=2BG=2．…（6分）故答案为：2．点评：此题考查了折叠的性质、等腰直角三角形的性质、等腰三角形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质等知识．此题综合性较强，难度较大，解题的关键是根据题意作出辅助线；注意数形结合思想的应用．五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分）23．（7分）已知，二次函数y=ax2+bx的图象如图所示．（1）若二次函数的对称轴方程为x=1，求二次函数的解析式；（2）已知一次函数y=kx+n，点P（m，0）是x轴上的一个动点．若在（1）的条件下，过点P垂直于x 轴的直线交这个一次函数的图象于点M，交二次函数y=ax2+bx的图象于点N．若只有当1＜m＜时，点M 位于点N的上方，求这个一次函数的解析式；（3）若一元二次方程ax2+bx+q=0有实数根，请你构造恰当的函数，根据图象直接写出q的最大值．考点：二次函数综合题．得出抛物线的解析式；（2）根据题意可判断出一次函数的图象与二次函数的图象交点的横坐标分别为1和，代入二次函数解析式可求出交点坐标，代入一次函数解析式可得出k与n的值，继而得出一次函数解析式．（3）先根据抛物线的开口向上可知a＞0，由顶点纵坐标为﹣3得出b与a关系，再根据一元二次方程ax2+bx+q=0有实数根可得到关于q的不等式，求出q的取值范围即可．解答：解：（1）由二次函数的图象可知：二次函数的顶点坐标为（1，﹣3），∵二次函数的对称轴方程为x=1，∴二次函数与x轴的交点坐标为（0，0），（2，0），于是得到方程组，解得：，故二次函数的解析式为y=3x2﹣6x．（2）由（1）得二次函数解析式为y=3x2﹣6x．依题意可知，一次函数的图象与二次函数的图象交点的横坐标分别为1和，由此可得交点坐标为（1，﹣3）和，将交点坐标分别代入一次函数解析式y=kx+n中，得，解得：，故一次函数的解析式为y=2x﹣5．（3）一元二次方程ax2+bx+q=0有实数根，可以理解为y=ax2+bx 和y=﹣q有交点，可见，﹣q≥﹣3，解得：q≤3，故q的最大值为3．点评：本题考查了二次函数与一次函数的综合，第一问是常见的问题，利用待定系数法可以解决，第二问的关键是确定交点的坐标，第三问的关键是数形结合，难度较大．24．（7分）（2011•海淀区一模）在Rt△ABC中，∠ACB=90°，tan∠BAC=．点D在边AC上（不与A，C 重合），连接BD，F为BD中点．（1）若过点D作DE⊥AB于E，连接CF、EF、CE，如图1．设CF=kEF，则k=1；（2）若将图1中的△ADE绕点A旋转，使得D、E、B三点共线，点F仍为BD中点，如图2所示．求证：BE﹣DE=2CF；（3）若BC=6，点D在边AC的三等分点处，将线段AD绕点A旋转，点F始终为BD中点，求线段CF考点：相似三角形的判定与性质；旋转的性质；锐角三角函数的定义．专题：计算题；压轴题．分析：（1）由F为BD中点，DE⊥AB，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，即可得到CF=EF；（2）过点C作CE的垂线交BD于点G，设BD与AC的交点为Q．由tan∠BAC=，得到．证明△BCG∽△ACE，得到．得到GB=DE，得到F是EG中点．于是，即可得到BE﹣DE=EG=2CF；（3）分类讨论：当AD=时，取AB的中点M，连接MF和CM，tan∠BAC=，且BC=6，计算出AC=12，AB=．M为AB中点，则CM=，FM==2．当且仅当M、F、C三点共线且M在线段CF上时CF最大，此时CF=CM+FM=；当AD=时，取AB的中点M，连接MF和CM，类似于情况1，可知CF的最大值为．即可得到线段CF长度的最大值．解答：解：（1）∵F为BD中点，DE⊥AB，∴CF=BD，EF=BD，∴CF=EF，∴k=1；故答案为1．（2）如图，过点C作CE的垂线交BD于点G，设BD与AC的交点为Q．由题意，tan∠BAC=，∴．∵D、E、B三点共线，∴AE⊥DB．∵∠BQC=∠AQD，∠ACB=90°，∴∠ECA=∠BCG．∴△BCG∽△ACE．∴∴GB=DE．∵F是BD中点，∴F是EG中点．在Rt△ECG中，，∴BE﹣DE=EG=2CF；（3）情况1：如图，当AD=时，取AB的中点M，连接MF和CM，∵∠ACB=90°，tan∠BAC=，且BC=6，∴AC=12，AB=．∵M为AB中点，∴CM=，∵AD=，∴AD=4．∵M为AB中点，F为BD中点，∴FM==2．如图：∴当且仅当M、F、C三点共线且M在线段CF上时CF最大，此时CF=CM+FM=．情况2：如图，当AD=时，取AB的中点M，连接MF和CM，类似于情况1，可知CF的最大值为．综合情况1与情况2，可知当点D在靠近点C的三等分点时，线段CF的长度取得最大值为．点评：本题考查了三角形相似的判定与性质．也考查了旋转的性质和三角函数的定义以及直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．25．（8分）如图，在平面直角坐标系xOy中，二次函数的图象与x轴交于A（﹣1，0）、B（3，0）两点，顶点为C．（1）求此二次函数解析式；（2）点D为点C关于x轴的对称点，过点A作直线l：交BD于点E，过点B作直线BK∥AD交直线l于K点．问：在四边形ABKD的内部是否存在点P，使得它到四边形ABKD四边的距离都相等？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；（3）在（2）的条件下，若M、N分别为直线AD和直线l上的两个动点，连结DN、NM、MK，求DN+NM+MK 和的最小值．考点：二次函数综合题．专题：压轴题．分析：（1）将点A、B两点的坐标代入y=x2+bx+c，运用待定系数法即可求出二次函数的解析式；（2）先用配方法求出抛物线的顶点C的坐标为（1，），根据关于x轴对称的两点横坐标相同，纵坐标互为相反数得出点D的坐标为（1，），运用待定系数法求得直线AD的解析式为y=x+，由BK∥AD，可设直线BK的解析式为y=x+m，将B（3，0）代入，得到直线BK 的解析式为y=x﹣3，联立直线l与直线BK的解析式，求得它们的交点K的坐标为（5，），易求AB=BK=KD=DA=4，则四边形ABKD是菱形，由菱形的中心到四边的距离相等，得出点P与点E重合时，即是满足题意的点，根据中点坐标公式求出E点坐标为（2，）；角平分线及轴对称的性质得出KF=KQ=PQ=2，则MB+MK的最小值是BP，即BP的长是DN+NM+MK的最小值，然后在Rt△BKP中，由勾股定理得出BP=8，即DN+NM+MK的最小值为8．解答：解：（1）∵二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于A（﹣1，0）、B（3，0）两点，∴，解得，∴二次函数解析式为y=x2﹣x﹣；（2）∵y=x2﹣x﹣=（x2﹣2x）﹣=（x﹣1）2﹣2，∴顶点C的坐标为（1，），∵点D为点C关于x轴的对称点，∴点D的坐标为（1，）．易求直线AD的解析式为y=x+，∵BK∥AD，∴可设直线BK的解析式为y=x+m，将B（3，0）代入，得3+m=0，解得m=﹣3，∴直线BK的解析式为y=x﹣3．由，解得，∴交点K的坐标为（5，）．∵A（﹣1，0）、B（3，0），K（5，），D（1，），∴AB=BK=KD=DA=4，∴四边形ABKD是菱形．∵菱形的中心到四边的距离相等，∴点P与点E重合时，即是满足题意的点，坐标为（2，）；（3）∵点D、B关于直线AK对称，∴DN+MN的最小值是MB．过K作KF⊥x轴于F点．过点K作直线AD的对称点P，连接KP，交直线AD于点Q，∴KP⊥AD．∵AK是∠DAB的角平分线，∴KF=KQ=PQ=2，∴MB+MK的最小值是BP．即BP的长是DN+NM+MK的最小值．∵BK∥AD，∴∠BKP=90°．在Rt△BKP中，由勾股定理得BP=8．∴DN+NM+MK的最小值为8．。
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北京市朝阳区2013年中考数学一模试卷
一、选择题（共8道小题，每小题4分，共32分）下列各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的．请用铅笔把“机读答题卡”上对应题目答案的相应字母处涂黑．
2．（4分）（2013•朝阳区一模）中国航空母舰“辽宁号”的满载排水量为67500吨．将数67500
3．（4分）（2013•朝阳区一模）把4张形状、质地完全相同的卡片分别写上数字1，2，3，4，再将这些卡片放在一个不透明的盒子里，随机从中抽取1张卡片，则抽取的卡片上的数字为
B
抽取的卡片上的数字为奇数的概率是=
4．（4分）（2013•朝阳区一模）北京2013年3月的一周中每天最高气温如下：7，13，15，
5．（4分）（2013•朝阳区一模）如图所示，直线l1∥l2，∠1=40°，则∠2为（）
6．（4分）（2013•朝阳区一模）如图，⊙O的半径为5，AB为弦，OC⊥AB，垂足为C，若OC=3，则弦AB的长为（）
==47．（4分）
（2013•朝阳区一模）二次函数y=（x ﹣1）2
+3的顶点在（ ）
y=
8．（4分）（2013•朝阳区一模）如图，矩形ABCD 的两条对角线相交于点O ，∠BOC=120°，AB=3，一动点P 以1cm/s 的速度延折线OB ﹣BA 运动，那么点P 的运动时间x （s ）与点C 、O 、P 围成的三角形的面积y 之间的函数图象为（ ）
B
=，
y=
=
•
二．填空题（共5道小题，每小题4分，共20分）
9．（4分）（2013•朝阳区一模）如果2是方程x2﹣mx+6=0的一个根，那么m=5．
10．（4分）（2013•朝阳区一模）因式分解：2x2﹣18=2（x+3）（x﹣3）．
11．（4分）（2013•朝阳区一模）侧面展开图是矩形的简单几何体是圆柱，棱柱．
12．（4分）（2013•朝阳区一模）如图所示，菱形ABCD的一条对角线BD上一点O到菱形一边AB的距离为3，那么O点到另外一边BC的距离为3．
13．（4分）（2013•朝阳区一模）若关于x的一元二次方程kx2﹣2x+1=0有实数根，则k的取值范围是k≤1且k≠0．
三．解答题（共9道小题，14题-20题每小题5分，21题6分，22题7分，共48分）14．（5分）（2013•朝阳区一模）计算：（1﹣）0+﹣2sin45°﹣（）﹣1．
﹣×﹣=﹣
15．（5分）（2013•朝阳区一模）求不等式组的整数解．则不等式组
16．（5分）（2013•朝阳区一模）如图所示，在△ABC中，AD⊥BC于D，BE⊥AC于E，AD 与BE相交于F，且BF=AC．
求证：DF=DC．
17．（5分）（2013•朝阳区一模）动物园的门票售价：成人票每张50元，儿童票每张30元．某日动物园售出门票700张，共得29000元．求成人票和儿童票各售出多少张．
，解得
18．（5分）（2013•朝阳区一模）某学校为了解该校七年级学生的身高情况，抽样调查了部分同学身高，将所得数据处理后，制成扇形统计图和频数分布直方图（部分）如下（每组只含最低值不含最高值，身高单位：cm，测量时精确到1cm）：
（1）请根据所提供的信息补全频数分布直方图；
（2）写出该样本中，七年级学生身高的中位数所在组的范围；155～160cm；
（3）如果该校七年级共有500名学生，那么估计该校七年级身高在160cm及160cm以上的学生共有160人；
（4）若该校所在区的七年级学生平均身高为155cm，请结合以上信息，对该校七年级学生的身高情况提出一个你的见解．
19．（5分）（2013•朝阳区一模）已知：一次函数y=x+2与反比例函数y=相交于A、B两
点且A点的纵坐标为4．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）求△AOB的面积．
y=
得，
y=
组成方程组得，
，，
××
20．（5分）（2013•朝阳区一模）如图，AB为⊙O的直径，BC是弦，OE⊥BC，垂足为F，且与⊙O相交于点E，连接CE、AE，延长OE到点D，使∠ODB=∠AEC．
（1）求证：BD是⊙O的切线；
（2）若cosD=，BC=8，求AB的长．
，
BF=CF=
ABC=，
ABC=
=5
21．（6分）（2013•朝阳区一模）如图，抛物线y=﹣x2+c与x轴分别交于点A、B，直线
y=﹣x+过点B，与y轴交于点E，并与抛物线y=﹣x2+c相交于点C．
（1）求抛物线y=﹣x2+c的解析式；
（2）直接写出点C的坐标；
（3）若点M在线段AB上以每秒1个单位长度的速度从点A向点B运动（不与点A、B
重合），同时，点N在射线BC上以每秒2个单位长度的速度从点B向点C运动．设点M 的运动时间为t秒，请写出△MNB的面积S与t的函数关系式，并求出点M运动多少时间时，△MNB的面积最大，最大面积是多少？
=
x+
﹣
）联立抛物线及直线解析式可得：
或，
，
）
=，
=，
t
=（×t=﹣t=（（
．
﹣t的面积最大，最大面积是
22．（7分）（2013•朝阳区一模）在矩形ABCD中，AD=4，M是AD的中点，点E是线段AB上一动点，连接EM并延长交线段CD的延长线于点F．
（1）如图1，求证：ME=MF；
（2）如图2，点G是线段BC上一点，连接GE、GF、GM，若△EGF是等腰直角三角形，∠EGF=90°，求AB的长；
（3）如图3，点G是线段BC延长线上一点，连接GE、GF、GM，若△EGF是等边三角形，则AB=2．
，
== AM=2，最后根据
∴，
∴=，
AM=2
．
．。