2018_2019学九年级数学下册第5章用二次函数解决问题5.5.2利用二次函数解决几何图形面积最值问题同步练习
九年级下册第5章二次函数5、4二次函数与一元二次方程第2课时利用函数图像求一元二次方程根的近似值教学
x2，不妨设x1<x2.先求在0和1之间的根
-2
-3
的近似值，利用计算器进行探索，列
-4
表如下：
-5 -6
-7
二次函数与x轴的交点与一元二次方程根的关系
y
x 0.1 … 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9
4
y＝x2-5x+3 3
y 2.51
…
0.75 0.36 -0.01 -0.36 -0.69
二次函数与x轴的交点与一元二次方程根的关系
练一练：下表是二次函数y=ax2+bx+c的自变量x与函数值y的对应值，
判断方程ax2+bx+c=0(a≠0，a，b，c为常数)的一个解x的范围
是( C )
x y=ax2+bx+c
… 6.17 6.18 6.19 6.20 … -0.03 -0.01 0.02 0.04
x
…
－1
0
1
3
…
y
…
－3
1
3
1
…
现给出下列说法：
①该函数图像开口向下；
②该函数图像的对称轴为过点(1，0)且平行于y轴的直线； ③当x＝2时，y＝3； ④方程ax2+bx+c＝－2的正根在3与4之间． 其中正确的说法为___①__③__④____．(只需写出序号)
CONTENTS
4
利用二次函数的图像求-元二次方 程根的近似值的一般步骤: 1.画出二次函数y=ax2 +bx+c的图像; 2.确定函数图像与x轴公共点的位置，看公共点的横坐标介于哪两个 数之间，初步估值；
3.在（2）的范围内，借助计算器并利用缩小范围逐次逼近的方法进 行取值计算；
新苏科版九年级数学下册《5章 二次函数 5.2 二次函数的图像和性质 y=ax^2+k、y=a(x+m)^2的图像》教案_27
学习目标：1.经历探索二次函数y=ax2+k(a≠0)，y=a(x-h)2(a≠0)的图象作法和性质的过程；2.能够理解函数y=ax2+k(a≠0)、y=a(x-h)2与y=ax2的图象的关系，知道a、h对二次函数的图象的影响；3.能正确说出函数y=ax2+k(a≠0)、y=a(x-h)2的图象的性质.教学过程：一、探索二次函数y=ax2+k(a≠0)的图象和性质。
(2)在下图的直角坐标系中，描点并画出函数2y x=和21y x=+的图象；2.思考：函数y=x2+1的图象与y=x2的图象有什么关系？（1）形状相同吗?（2）相同自变量的值所对应的两个函数值有何关系？（3）从点的位置看，函数y=x2+1的图象与函数y=x2的图象的位置有什么关系？3.归纳：图象向上移还是向下移,移多少个单位长度,有什么规律吗?函数y=ax2 (a≠0)和函数y=ax2+ k (a≠0)的图象形状，只是位置不同；当k >0时，函数y=ax2+ k的图象可由y=ax2的图象向平移个单位得到；当k〈0时，函数y=ax2+c的图象可由y=ax2的图象向平移个单位得到。
二、探索二次函数y=a(x-h)2(a≠0)的图象作法和性质：1.操作：在上图右边直角坐标系中，描点并画出函数y=(x+3)2的图象；2.思考：函数y=(x+3)2的图象与y=x2的图象有什么关系？（1）形状相同吗?（2）从表格中的数值看，函数y=(x+3)2的函数值与函数y=x2的函数值相等时，它们所对应的自变量的值有什么关系?（3）从点的位置看，函数y=(x+3)2的图象与函数y=x 2的图象的位置有什么关系？它是轴对称图形吗?它的对称轴和顶点坐标分别是什么?3.结论:函数y=(x+3)2的图象可以由函数y=x 2的图像沿x 轴向 平移 个单位长度得到,所以它是 ,这条抛物线的对称轴是 ，顶点坐标是 ,当x 时,y 随x 的增大而增大,当x 时,y 随x 的增大而减小.4.①抛物线y=-3(x-1)2可以看作是抛物线y=-3x 2沿x 轴 平移了 个单位;抛物线y=-3(x+1)2可以看作是抛物线y=-3x 2沿x 轴 平移了 个单位. ②图象向左平移还是向右平移,移多少个单位长度,有什么规律吗?三、例题：1.函数y=4x 2+5的图象可由y=4x 2的图象向 平移 个单位得到；y=4x 2-11的图象可由 y=4x 2的图象向 平移 个单位得到。
201X版九年级数学下册 第5章 二次函数 5.5 用二次函数解决问题(2)教案 (新版)苏科版
2019版九年级数学下册第5章二次函数 5.5 用二次函数解决问题（2）教案（新版）苏科版5.5 用二次函数解决问题（2）教学目标1．建立适当的将生活中呈抛物线建筑的有关问题数学化平面直角坐标系；2．体验由函数图像确定函数关系，进而解决有关实际问题的过程和方法．教学重点理解题意，建立适当的将生活中呈抛物线形建筑的有关问题数学化平面直角坐标系；教学难点体验由函数图像确定函数关系，进而解决有关实际问题的过程和方法．教学过程（教师）学生活动设计思路.问题一（1）河上有一座桥孔为抛物线形的拱桥，水面宽为6m时，水面离桥孔顶部3m．因降暴雨水位上升1m，此时水面宽为多少（精确到0.1m）？桥孔分析：解决这个实际问题，先要数学化——建立平面直角坐标系，将抛物线的桥孔看作一个二次函数的图像．（2）一艘装满防汛器材的船，露出水面部分的高为0.5m、宽为4m．当水位上升1m时，这艘船能从桥下通过吗？在老师的引导下思考：1．新建立的平面直角坐标系怎么用简练的语言表达？2．建立的方法有几种？哪种最简单？给学生一个现实的问题，激发学生学习数学的欲望．跟踪训练闻名中外的赵州桥是我国隋朝工匠发明并建造的一座扁平抛物线形石拱桥，石拱桥跨径36m，拱高约8m．试在恰当的平面直角坐标系中求出与该抛物线对应的二次函数解析式．积极思考，独立解答后互相讨论，由几位代表回答．建立模型．让学生解决相近的问题，容易让学生独立完成，树立学习信心．通过学生相互讨论使学生主动参与到学习活动中来，培养学生合作交流精神和发散思维能力，同时拓展学生的知识面．.练一练1．下图是泰州某河上一座古拱桥的截面图，拱桥桥洞上沿是抛物线形状，抛物线两端点与水面的距离都是1m，拱桥的跨度为10m，桥洞与水面的最大距离是5m，桥洞两侧壁上各有一盏距离水面4m的景观灯．若把拱桥的截面图放在平面直角坐标系中（如下图）．（1）求抛物线的解析式；（2）求两盏景观灯之间的水平距离．2．如图，某公路隧道横截面为抛物线，其最大高度为6米，底部宽度OM为12米．现以O点为原点，OM所在直线为x轴建立直角坐标系．(1)直接写出点M及抛物线顶点P的坐标；(2)求这条抛物线的解析式；(3)若要搭建一个矩形“支撑架”AD- DC- CB，使C、D点在抛1．独立解答后分组交流．2．全班交流．（1）解题过程中有什么困难，解决得如何？（2）通过解决这3个问题你有什么经验体会？三个问题有一定的难度，在独立解答结束后，为缓解学生紧张，调节学生心理，设计交流和谈心得的环节，让他们深度思考后在较轻松的氛围中归纳总结，畅所欲言，以提高课堂效率，保持对学习的热情．..A、B点在地面OM上，则这个“支撑架”总长的最大值是多少？.师生小结说说这节课主要的学习思路．总结用二次函数解决实际问题的一般思路，为以后解决类似问题打下伏笔．课后作业感谢您的支持，我们会努力把内容做得更好！.。
2018-2019学年度九年级数学下册 第5章 二次函数 专题训练(一)与二次函数图像有关的三种
专题训练(一) 与二次函数图像有关的三种常见题型► 题型一 根据系数的符号确定函数的图像1．如果在二次函数的表达式y ＝ax 2＋bx ＋c 中，a ＞0，b ＜0，c ＜0，那么这个二次函数的图像可能是( )图1－ZT －12．设a ，b 是常数，且a <0<b ，二次函数y ＝ax 2＋bx ＋a 2－5a －6的图像可能是( )图1－ZT －23．2018·德州如图1－ZT －3，函数y ＝ax 2－2x ＋1和y ＝ax －a (a 是常数，且a ≠0)在同一平面直角坐标系中的图像可能是( )图1－ZT －3► 题型二 根据某一函数的图像确定其他函数的图像4．已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图像如图1－ZT －4所示，则反比例函数y ＝bx与一次函数y ＝cx ＋a 在同一平面直角坐标系中的大致图像是( )图1－ZT －4图1－ZT －55．二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图像如图1－ZT －6所示，那么一次函数y ＝ax ＋b 的图像大致是( )图1－ZT－6图1－ZT－76．如果一次函数y＝ax＋b的图像经过第二、三、四象限，那么二次函数y＝ax2＋bx 的图像可能是( )图1－ZT－8►题型三根据函数图像确定系数及其代数式的符号7．如图1－ZT－9，在平面直角坐标系中，抛物线对应的函数表达式为y＝－2(x＋h)2＋k，则下列结论正确的是( )图1－ZT－9A．h＞0，k＞0 B．h＜0，k＞0C．h＜0，k＜0 D．h＞0，k＜08．二次函数y＝ax2＋bx＋c的图像如图1－ZT－10所示，则下列结论正确的是( )图1－ZT－10A．a<0，b<0，c>0 B．a＞0，b<0，c>0C．a<0，b＞0，c<0 D．a<0，b＞0，c>09．2018·上海黄浦区一模已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图像大致如图1－ZT－11所示，则下列关系式中成立的是( )图1－ZT－11A．a＞0 B．b＜0 C．c＜0 D．b＋2a＞010．二次函数y＝ax2＋bx＋c的图像如图1－ZT－12所示，下列结论错误的是( )图1－ZT－12A．b>2a B．abc<0C．b＋c>3a D．a<b11．二次函数y＝ax2＋bx＋c的图像的对称轴为直线x＝－1，与x轴的一个交点A在点(－3，0)和(－2，0)之间，其部分图像如图1－ZT－13所示，则有下列结论：①2a－b＝0；②a＋b＋c＜0；③点M(x1，y1)，N(x2，y2)在抛物线上，若x1＜x2，则y1≤y2.其中正确结论的个数是( )图1－ZT－13A．0 B．1 C．2 D．312．2018·威海二次函数y＝ax2＋bx＋c的图像如图1－ZT－14所示，下列结论错误的是( )图1－ZT－14A．abc＜0 B．a＋c＜bC．b2＋8a＞4ac D．2a＋b＞013．已知抛物线y＝ax2＋bx＋c如图1－ZT－15，则a________0；b________0；c ________0；a ＋b ＋c ________0；a －b ＋c ________0；2a －b ________0.(填“＞”“＜”或“＝”)图1－ZT －1514．已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图像如图1－ZT －16所示，则下列结论：①c ＝2；②abc ＞0；③当x ＝1时，y 取得最小值为a ＋b ＋c .其中正确的是________(把正确结论的序号都填上)．图1－ZT －16 15．2017·玉林已知抛物线：y ＝ax 2＋bx ＋c (a ＞0)经过A (－1，1)，B (2，4)两点，顶点坐标为(m ，n )，有下列结论：①b ＜1；②c ＜2；③0＜m ＜12；④n ≤1.则所有正确结论的序号是________．16．已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图像的对称轴是直线x ＝1，其图像的一部分如图1－ZT －17所示．对于下列说法：①abc ＜0；②当－1＜x ＜3时，y ＞0；③3a ＋c ＜0；④a －b ＋c ＜0.其中正确的是________(把正确说法的序号都填上)．图1－ZT －1717．已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图像如图1－ZT －18所示，直线x ＝32是该抛物线的对称轴．根据图中所提供的信息，请你写出有关a ，b ，c 的四条结论，并简单说明理由．图1－ZT－18详解详析1．[解析] C ∵a ＞0，b ＜0，c ＜0， ∴－b2a＞0，∴二次函数的图像开口向上，对称轴在y 轴的右侧，与y 轴的负半轴相交． 故选C .2．[解析] D ∵a ＜0，∴抛物线开口向下． 又∵b ＞0，∴抛物线的对称轴在y 轴的右边． 故选D .3．[解析] B 抛物线y ＝ax 2－2x ＋1过点(0，1)，对称轴为直线x ＝1a .当a ＞0时，选项A 与B 符合题意；此时直线y ＝ax －a 经过第一、三、四象限，故选项B 符合题意；当a ＜0时，选项D 不符合题意．4．[解析] B 根据二次函数图像与y 轴的交点可得c ＞0，根据抛物线开口向下可得a ＜0，由对称轴在y 轴右边可得a ，b 异号，故b ＞0，则反比例函数y ＝bx 的图像在第一、三象限，一次函数y ＝cx ＋a 的图像经过第一、三、四象限．故选B .[点评] 此题主要考查了二次函数图像、一次函数图像及反比例函数图像，关键是根据二次函数图像确定出系数a ，b ，c 的正负．5．[解析] A ∵二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图像开口向上， ∴a ＞0.∵二次函数图像的对称轴在y 轴的左侧， ∴b ＞0，∴一次函数y ＝ax ＋b 的图像经过第一、二、三象限． 故选A .6．[解析] C ∵一次函数y ＝ax ＋b 的图像经过第二、三、四象限，∴a ＜0，b ＜0，∴二次函数y ＝ax 2＋bx 的图像开口向下，对称轴为直线x ＝－b2a＜0，在y 轴左边．故选C .7．[解析] B ∵抛物线y ＝－2(x ＋h)2＋k 的顶点坐标为(－h ，k)，由题图可知，抛物线的顶点在第一象限，∴－h ＞0，k ＞0， ∴h<0，k>0.故选B .8．[解析] D ∵抛物线的开口向下，∴a ＜0. ∵抛物线的对称轴在y 轴右边，∴a ，b 异号，即 b ＞0.∵抛物线与y 轴的交点在y 轴的正半轴， ∴c>0.故选D .9．[解析] D ∵抛物线开口向下，对称轴在直线x ＝1的右边，与y 轴交于正半轴，∴a ＜0，－b2a ＞1，c ＞0，∴b ＞－2a ＞0， ∴b ＋2a ＞0. 故选D .10．[解析] D 因为抛物线开口向下，所以a<0.因为抛物线对称轴在y 轴左侧，直线x ＝－1的右侧，所以－1＜－b2a＜0，所以2a ＜b ＜0，故A 选项正确，不符合题意；因为抛物线与y 轴交于负半轴，所以c<0.因此abc<0，故B 选项正确，不符合题意；由题意可知，a －b ＋c>0.又因为b ＞2a ，所以a －b ＋c ＋2b>4a ，即b ＋c>3a ，故C 选项正确，不符合题意．D 选项错误，符合题意．11．[解析] C 二次函数图像的对称轴是直线x ＝－1，即－b2a ＝－1，则b ＝2a ，2a －b＝0，故①正确；因为函数图像的对称轴为直线x ＝－1，所以x ＝1和x ＝－3时的函数值相等． 因为x ＝－3时，函数图像上对应的点在x 轴下方，所以a ＋b ＋c ＜0，故②正确； y 1和y 2的大小无法判断，故③错误．故选C .12．[解析] D 由函数图像开口向下，得a ＜0；由函数图像与y 轴的交点在y 轴的正半轴上，得c ＞0；由对称轴在y 轴的右侧，得－b2a ＞0，所以b>0，所以abc ＜0，A 结论正确，不符合题意；当x ＝－1时，函数值为负值，即a －b ＋c ＜0，所以a ＋c ＜b ，B 结论正确，不符合题意；由图像知，顶点的纵坐标大于2，所以4ac －b24a >2.又因为a<0，所以4ac－b 2<8a ，所以b 2＋8a>4ac ，故C 正确，不符合题意；因为－b 2a ＜1，且a<0，所以－b ＞2a ，即2a ＋b ＜0，故D 结论错误．故选D .13．[答案] ＞ ＜ ＜ ＝ ＞ ＞ [解析] ∵抛物线开口向上，∴a ＞0.∵抛物线的对称轴为直线x ＝－b2a＞0，其中a ＞0，∴b ＜0.∵抛物线与y 轴的交点在x 轴下方， ∴c ＜0.∵点(1，0)是抛物线与x 轴的一个交点， ∴把x ＝1代入表达式，得a ＋b ＋c ＝0. 由a ＋b ＋c ＝0可得a ＋c ＝－b ， ∴a －b ＋c ＝－b －b ＝－2b ， 由b ＜0，得a －b ＋c ＞0. ∵a ＞0，b ＜0，∴2a －b ＞0. 14．[答案] ①[解析] 由题图可知，二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图像与y 轴的交点坐标是(0，2)．令x ＝0，则y ＝c ＝2，即c ＝2.故①正确；∵二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图像开口向下，对称轴在y 轴右侧， ∴a ＜0，b ＞0，∴abc ＜0.故②错误；∵x ＝0与x ＝2所对应的y 值都是2，即点(0，2)与点(2，2)关于对称轴对称， ∴该抛物线的对称轴是直线x ＝1. ∵抛物线的开口向下，∴当x ＝1时，y 取得最大值为a ＋b ＋c. 故③错误．15．[答案] ①②④[解析] ∵抛物线过点A(－1，1)，B(2，4)，∴⎩⎪⎨⎪⎧a －b ＋c ＝1，4a ＋2b ＋c ＝4， ∴b ＝－a ＋1，c ＝－2a ＋2. ∵a ＞0，∴b ＜1，c ＜2， ∴结论①②正确；∵抛物线的顶点坐标为(m ，n)， ∴m ＝－b 2a ＝－－a ＋12a ＝12－12a ，∴m ＜12，∴结论③不正确；∵抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c(a ＞0)经过A(－1，1)，顶点坐标为(m ，n)， ∴n ≤1，∴结论④正确．综上所述，正确的结论为①②④. 故答案为①②④. 16．[答案] ①③④[解析] 根据图像可得a ＜0，b ＞0，c ＞0， 则abc ＜0，故①正确；当－1＜x ＜3时，图像上有的点在x 轴的上方，有的点在x 轴的下方，故②错误； 根据图像知，该抛物线的对称轴是直线x ＝1，即－b2a ＝1，则b ＝－2a.那么当x ＝－1时，y ＝a －b ＋c ＝a ＋2a ＋c ＝3a ＋c ＜0，故③正确；当x ＝－1时，y ＝a －b ＋c 一定在x 轴的下方，因而a －b ＋c ＜0，故④正确． 17．解： 答案不唯一，如： ①∵抛物线开口向上，∴a ＞0；②∵图像与y 轴的交点在y 轴的正半轴上， ∴c ＞0；③∵抛物线的对称轴为直线x ＝－b2a＞0，∴a ，b 异号，即b ＜0；④当x ＝1时，y ＝a ＋b ＋c ＜0； ⑤当x ＝－1时，y ＝a －b ＋c ＞0.结论有a ＞0，c ＞0，b ＜0，a ＋b ＋c ＜0，a －b ＋c ＞0等．。
九下数学课件 利用二次函数解决抛物线形问题(课件)
数．为解题简便，以拋物线的顶点为原点，以抛物
线的对称轴为y轴建立直角坐标系(如图)．
知识点一 抛物线形建筑物问题
【例1】如图中是抛物线形拱桥，当拱顶离水面2 m时，水面宽4
m．水面下降1 m，水面宽度增加多少？
设这条抛物线表示的二次函数为y＝ax2.
1
由抛物线经过点(2，－2)，可得－2＝a×22，a＝－ .
2
1 2
这条抛物线表示的二次函数为y＝－ x .
2
当水面下降1 m时，水面的纵坐标为－3.请你根据上面的
函数解析式求出这时的水面宽度．
1 2
当y=-3时,- x =-3,解得x1= 6,x2=- 6(舍去).
2
所以当水面下降1 m时，水面宽度为 2 6 m.
1
当x=9时, y=(x-6)2+2.6=2.45>2.43,
60
所以球能过球网;
当y=0时, - 1 (x-6)2+2.6=0,
60
解得: x1=6+2 39>18, x2=6-2
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
39(舍去),故会出界.
知识点二 运动轨迹问题
(3)若球一定能越过球网,又不出边界.则h的取值范围 是多少?
(3)当球正好过点(18,0)时,抛物线y=a(x-6)2+h还过点(0,2), 代入解析式得
∴当h为10时，射程s有最大值，最大射程是20 cm.
知识点二 运动轨迹问题
(2)在侧面开两个小孔，这两个小孔离水面的竖直距离分别为a、b，要使两孔
射出水的射程相同，求a、b之间的关系式．
解：要使两孔射出水的射程相同，则有4a(20－a)＝4b·(20－b)，
新苏科版九年级数学下册第5章 二次函数《5.5用二次函数解决问题》优质课件
去年鱼塘里饲养鱼苗10千尾．平均每千尾鱼的产量为 1000kg．今年计划继续向鱼塘里投放鱼苗，预计每多投放鱼 苗1千尾，每千尾鱼的产量将减少50kg．今年应投放鱼苗多少 千尾，才能使总产量最大？最大总产量是多少？
归纳小结：
运用二次函数的性质求实际问题的最大值和最小值 的一般步骤 : 求出函数解析式和自变量的取值范围
练一练 下图是泰州某河上一座古拱桥的截面图，拱桥桥 洞上沿是抛物线形状，抛物线两端点与水面的距离都 是1m，拱桥的跨度为10m，桥洞与水面的最大距离是 5m，桥洞两侧壁上各有一盏距离水面4m的景观灯．若 把拱桥的截面图放在平面直角坐标系中（如下图）． （1）求抛物线的解析式； （2）求两盏景观灯之间的水平距离．
（3）请画出上述函数的大致图像．
Hale Waihona Puke 5.5 用二次函数解决问题（2）
问题3： 河上有一座桥孔为抛物线形的拱桥，水面宽为 6m时，水面离桥孔顶部3m．因降暴雨水位上升1m， 此时水面宽为多少（精确到0.1m）？
练一练
闻名中外的赵州桥是我国隋朝工匠发明并建 造的一座扁平抛物线形石拱桥，石拱桥跨径 37.02m，拱高约7.23m．试在恰当的平面直角坐 标系中求出与该抛物线对应的二次函数解析式．
5.5 用二次函数解决问题（1）
思考：
用 16 m 长的篱笆围成矩形的养兔场饲养小兔， 怎样围可使小兔的活动范围最大？
问题1：
某种粮大户去年种植优质水稻360亩，平均每亩收益440 元．他计划今年多承租若干亩稻田．预计原360亩稻田平均每 亩收益不变，新承租的稻田每增加1亩，其每亩平均收益比去 年每亩平均收益少2元．该种粮大户今年应多承租多少亩稻田， 才能使总收益最大？
练一练：
2.某商品的进价为每件40元．当售价为每件60元时， 每星期可卖出300件，现需降价处理，且经市场调查：每 降价1元每星期可多卖出20件．在确保盈利的前提下，解 答下列问题：
九年数学下册第五章二次函数55用二次函数解决问题课件新版苏科版
形储料场ABCD 的面积最大，为 24 3 m2．
方法点拨：
知1－讲
几何图形中求最值，常用的建立函数关系的方法：几何
图形中的最值问题，一般都是利用二次函数的最值求
解，根据几何图形建立二次函数关系是解题的关键.
一般在几何图形中建立函数关系有如下常用方法：
①面积法：利用几何图形面积公式建立函数关系.
②勾股法：利用勾股定理建立函数关系.
知1－讲
解题秘方：可用待定系数法来确定y与x之间的函数
关系式；
解：设y 与x 之间的函数关系式为y=kx+b.
由题意得 40k+b＝300， 55k＋b＝0.
解得 k＝－10， b＝700.
故y与x之间的函数关系式为y=－10x+700.
知1－讲
(2)如果规定每天漆器笔筒的销售量不低于240 件，当销售 单价为多少元时，每天获取的利润最大，最大利润是多 少？ 解题秘方：设每天的利润为w元，根据利润= 销售量× 单件的利润列式，然后将(1)中的函数关系 式代入，求出利润和销售单价之间的关系式， 最后根据其性质来判断出最大利润；
(－2ba，4ac4－a b2).
当－x2=ba
时，抛物线有最高(低)点，
4ac－b2
函数有最大(小)值为4a .
知1－讲
例 3 [月考·淮安] 一场篮球赛中，小明跳起投篮，已知 球出手时离地面 20米，与篮圈中心的水平距离为 9 8 米，当球出手后运行的水平距离为4 米时达到最 大高度4 米，设篮球运行的轨迹为抛物线，篮圈中 心距离地面3 米．
用二次函数解决问题
实际问题
图形面
积问题
利润问题 分类
数学 模型
转化
抛物线
九年级数学下册 第五章 第五节 用二次函数解决问题教
7．杂技团进行杂技表演，演员从跷跷板右端A处弹跳到人梯顶端的椅子B处，其身体（看成一点）的路线是抛物线 的一部分，如图。
2．正常水位时，抛物线形桥孔下的水面宽20m，水面上升3m达到该地警戒水位时，桥下水面宽10m。
⑴建立恰当的平面直角坐标系，把抛物线形的桥孔看作一个二次函数的图像，写出这个函数的表达式；
⑵如果水位以0.2m/h的速度持续上涨，那么达到警戒水位后，再过多长时间此桥孔将被淹没？
课后作业
1．如图所示，图1是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面在l处时，拱顶（拱桥洞的最高点）离水面2m，水面宽4m。若如图2建立平面直角坐标系，则抛物线的ห้องสมุดไป่ตู้析式为（ ）
⑵求这条抛物线的解析式；
⑶若要搭建一个矩形“支撑架”AD－DC－CB，使C、D点在抛物线上，A、B点在地面OM上，则这个“支撑架”总长的最大值是多少？
9．一座拱桥的轮廓是抛物线形（如图①所示），拱高6m，跨度20m，相邻两支柱间的距离均为5m。
(1)将抛物线放在所给的直角坐标系中（如图②所示），求抛物线的解析式；
⑴求演员弹跳离地面的最大高度；
⑵已知人梯高BC=3.4m，在一次表演中，若人梯到起跳点A的水平距离是4m，则这次表演是否成功？请说明理由。
8．如图，某公路隧道的横截面为抛物线，其最大高度为6m，底部宽度OM为12m。现以点O为原点，OM所在直线为x轴建立平面直角坐标系．
⑴直接写出点M及抛物线顶点P的坐标；
A． B． C． D．
九年级数学下册 第5章 二次函数 5.5 用二次函数解决实际问题(2)
2021/12/11
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5.5 用二次函数(hánshù)解决问题（2）
作业 (zuòyè)
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内容(nèiróng)总结
5.5 用二次函数解决问题（2）。5.5 用二次函数解决问题（2）。成的窗框(chuānɡ kuànɡ)的透光面 积最大
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5.5 用二次函数(hánshù)解决问题（2）
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5.5 用二次函数(hánshù)解决问题（2）
拓展 延 (tuò zhǎn) 伸
用一根12m长的铝合金型材，制作一个 上部是半圆，下部是矩形的窗框(chuānɡ ， kuànɡ) 当矩形的长和宽分别为多少时，才能使窗 户的透光面积最大(精确到0.1m，不计铝
5.5 用二次函数(hánshù)解决问题（2）
2021/12/11
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5.5 用二次函数(hánshù)解决问题（2）
问题 2 (wèntí)
用20 m长的铝合金型材做一个(yī ɡè) 形状如图所示的矩形窗框．应做 成高、宽各为多少时，才能使做
成的窗框的透光面积最大？
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No
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12/11/2021
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2018_2019学年度九年级数学下册5.5.4利用二次函数解决抛物线形拱桥问题同步练习
第 4 课时利用二次函数解决抛物线形拱桥问题知|识|目|标1．通过对抛物线形的拱桥有关问题的分析，会建立合适的平面直角坐标系解决抛物线形拱桥的有关实际问题．2．通过对抛物线形的隧道有关问题的分析，会建立合适的平面直角坐标系解决抛物线形隧道的有关实际问题．目标一会利用二次函数解决拱桥问题例 1 教材问题 3 针对训练如图5－5－ 7，一座抛物线形拱桥架在一条河流上，这座拱桥下的水面离桥孔顶部 3 m 时，水面宽AB为6 m.(1)以拱桥的顶点为原点建立平面直角坐标系，求该抛物线相应的函数表达式；4(2) 连续几天的暴雨，使水位暴涨，测量知桥孔顶部到水面的距离为 3 m，此时水面宽CD为多少？图 5－ 5－7【归纳总结】解决抛物线形拱桥问题的步骤(1)建立合适的平面直角坐标系；(2)依据题意，求出函数表达式；(3)根据要求解决问题．目标二会利用二次函数解决隧道问题例 2 教材补充例题如图5－ 5－ 8 所示，一条内设双向道隧道的截面由抛物线AED和矩形构成，矩形的长为 8 m，宽为 2 m ，以所在的直线为x 轴，线段的垂ABCD BC AB BC BC直平分线为 y 轴，建立平面直角坐标系，y 轴是抛物线的对称轴，顶点 E 到坐标原点 O的距离为 6 m.(1)求抛物线相应的函数表达式；(2)一辆货运卡车高 4 m，宽 2.4 m ，它能通过该隧道吗？图 5－ 5－8【归纳总结】解决能否通过隧道问题的关键点车辆通过隧道问题一般情况是以抛物线的对称轴为车辆的对称轴进行解答．(1) 当已知宽度时，将宽度转化为相应的自变量代入到二次函数表达式中，求出高度( 函数值 ) ．若求得的高度小于车辆的高度，则车辆不能通过；若求得的高度大于车辆的高度，则车辆能通过．(2)当已知高度时，可以将车辆的高度 ( 函数值 ) 代入到二次函数表达式中，求解一元二次方程，得到两个根，若两个根之间的差的绝对值大于车辆的宽度，则车辆能通过；若两个根之间的差的绝对值小于车辆的宽度，则车辆不能通过．知识点一建立适当坐标系，用二次函数知识解决抛物线形拱桥的实际问题此类问题往往以桥拱最高点为坐标原点，以水平线为x 轴，铅垂线为 y 轴，建立平面直角坐标系，然后根据题意确定坐标系内特殊点的坐标，从而确定二次函数表达式，再根据实际问题求出相应的二次函数中的问题，注意要检验结果．知识点二建立适当坐标系，用二次函数知识解决抛物线形建筑物中的实际问题日常生活中常见的抛物线形建筑物，如抛物线形大门、抛物线形隧道、抛物线形大棚等．建立的坐标系不同，得出的二次函数表达式也不同，但实际求得的结果是一致的．应注意选择便于解决问题的坐标系．你知道吗？平时我们在跳绳时，绳甩到最高处的形状可近似地看作抛物线．如图5－ 5 －9 所示，甩绳的甲、乙两名学生拿绳的手之间的距离为 4 m，距地面均为 1 m，学生丁、丙分别站在与甲拿绳的手水平距离为 2.5 m ， 1 m 处，绳子在甩到最高处时刚好通过他们的头顶，已知学生丁的身高是 1.625 m ，求学生丙的身高．图 5－ 5－9解：由抛物线的对称性可知，丙的身高与丁的身高相同，为 1.625 m.上述解答正确吗？若不正确，请说明理由，并写出正确的解答过程．详解详析【目标突破】例 1解：(1)如图所示．∵这座拱桥下的水面离桥孔顶部 3 m时，水面宽AB为 6 m，∴B(3，－ 3) ．设抛物线相应的函数表达式为 y＝ ax2，则－ 3＝ 9a，1解得 a＝－，31 2故该抛物线相应的函数表达式为y＝－3x .4(2)由题意可得出 y＝－3，4 1 2则－3＝－3x ，解得 x1＝ 2， x2＝－ 2.故此时水面宽CD为4 .m[ 备选例题 ] 如图，河上有一座抛物线形桥洞，已知桥下的水面离桥拱顶部3 m时，水面宽 AB为 6 m，当水位上升0.5 m时：(1)求水面的宽度 CD为多少米．(2)有一艘游船，它的左右两边缘最宽处有一个长方体形状的遮阳棚，此船正对着桥洞在上述河流中航行．①若游船宽 ( 指船的最大宽度) 为2 m，从水面到棚顶的高度为 1.8m，则这艘游船能否从桥洞下通过？②若从水面到棚顶的高度为7m的游船能从桥洞下通过，则这艘游船的宽度最大是多少4米？解： (1) 设抛物线形桥洞相应的函数表达式为∵点 A(3 ， 0) 和 E(0 ， 3) 在函数图像上，y＝ ax2＋ c.1∴9a＋ c＝ 0，解得 a＝－3，c＝3，c＝3，1∴y＝－ x2＋ 3.3由题意可知，点 C 和点 D的纵坐标为0.5 ，1 2∴－3x ＋3＝ 0.5 ，30－ 30解得 x1＝2，x2＝2，3030∴ CD＝2 ＋2＝30(m)．即水面的宽度CD为30 m.88(2)①当 x＝ 1 时， y＝3，∵3－ 0.5>1.8 ，∴这艘游船能从桥洞下通过．791293 3②当 y＝4＋ 0.5 ＝4时，－3x ＋ 3＝4，解得 x1＝2， x2＝－2.∴这艘游船的宽度最大是 3 m.例 2 [ 解析 ] 根据题意确定点的坐标，即可求出函数表达式，然后根据车宽求出最大高度，或根据车高求允许通过的车辆宽度．解： (1) 由题意知 E(0 ， 6) ， A( － 4， 2) ．设抛物线所对应的函数表达式为y＝ax2＋ 6.2将 x＝－ 4， y＝2 代入上式，得2＝( － 4) a＋ 6，1解得a＝－ 4.1 2∴抛物线所对应的函数表达式为y＝－4x ＋ 6.1 2(2) 当 x＝ 2.4 时， y＝－4× 2.4 ＋ 6＝4.56 ＞ 4.∴高 4 ，宽 2.4 的货运卡车能通过该隧道．m m【总结反思】[ 反思 ] 不正确．错误地认为丙、丁是“对称的”．实际上，抛物线是轴对称图形，其对称轴是甲、乙两名学生的手所连线段的垂直平分线，如图所示．但丙、丁并不关于抛物线的对称轴对称．正解：建立如图所示的平面直角坐标系．2将 (2 ，1) ， (0.5 ， 1.625) 代入 y ＝ ax 2＋ k ，1＝ 4a ＋ k ， 得1.625 ＝ 0.25a ＋ k ，1 a ＝－，6解得5 k ＝ 3，∴ y ＝－ x 2＋ 5.631当 x ＝－ 1 时， y ＝ 1.5.故学生丙的身高为1.5 m .。
九年级数学下册 第5章 二次函数 5.5 用二次函数解决问题
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练习２.为了节省材料，某水产养殖户利用水库的岸堤
（岸堤足够长）为一边(yībiān)，用总长为８０ｍ的围网在水库 中围成了如图所示的①②③三块矩形区域，
而且这三块矩形区域的面积相等。
x 设ＢＣ的长度为 ｍ，
矩形(jǔxíng)区域ＡＢＣＤ的面积为ｙm
2
．
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刻画现实世界的一个有效的数学模型，。(2)当x取何值时，花园面积最大，。（岸堤足够长）为一边，用总长为８０ ｍ的围网在水库。１ｃｍ／ｓ的速度移动，点Ｑ从点Ｂ开始沿边ＢＣ向。Ｐ、Ｑ分别从Ａ、Ｂ同时出发，。若存在， 请求出相应的ｘ值，。例２. 如图，在Rt△ABC中，。当点Q到达点C时，P、Q两点同时停止运动。的长度叫△ABC的。 最大
体验用二次函数解决几何图形最值问题
已知：小明用长为16米的绳子去围一个矩形，
问：怎样围才能(cáinéng)使其面积最大，
最大面积为多少？
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二．例题(lìtí)解析
例１.某居民小区要在一块一边(yībiān)靠墙（墙长为 15m）的空地上修建一个矩形花园ABCD， 花园的一边靠墙，另三边用
Image
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新方法： SABC
1 2
ah
，
即三角形面积等于
水平宽与铅垂高乘积(chéngjī)的一半。
解决下列(xiàliè)问题：
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(1)如图，已知抛物线经过点A(-4，0),B(0，-4), C(2，0)三点(sān 。 diǎn) 求抛物线的解析式；
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九年级数学下册 第5章 二次函数 5.5 用二次函数解决实际问题(2)素材
素材——何时获得最大利润理解过程：从题目来看，“何时获得最大利润”似乎是商家才应该考虑的问题．但是你知道吗?这正是我们研究的二次函数的范畴．因为二次函数化为顶点式后，很容易求出最大或最小值．而何时获得最大利润就是当自变量取何值时，函数值取最大值的问题．因此如何把实际问题转化为数学问题，从而把数学知识运用于实践,这才是我们学习数学的目的.某商店经营T恤衫,已知成批购进时单价是2．5元．根据市场调查，销售量与销售单价满足如下关系：在一段时间内，单价是13．5元时，销售量是500件,而单价每降低1元，就可以多售出200件．请你帮助分析,销售单价是多少时，可以获利最多?没销售单价为x（x≤13．5）元，那么（1）销售量可以表示为；(2)销售额可以表示为;（3）所获利润可以表示为;（4）当销售单价是元时,可以获得最大利润，最大利润是．[师]从题目的内容来看好像是商家应考虑的问题：有关利润问题．不过，这也为我们以后就业做了准备，今天我们就不妨来做一回商家．从问题来看就是求最值问题，而最值问题是二次函数中的问题．因此我们应该先分析题意列出函数关系式．获利就是指利润，总利润应为每件T恤衫的利润(售价一进价)乘以T恤衫的数量，设销售单价为x元，则降低了(13．5-x)元，每降低1元,可多售出200件，降低了（13．5-x）元,则可多售出200（13．5—x）件，因此共售出500+200（13．5—x)件，若所获利润用y(元）表示，则y＝(x—2．5)［500+200(13．5—x)]．(1)销售量可以表示为500+200（13．5—x ）=3200-200x ．（2）销售额可以表示为x （3200-200x)=3200x —200x 2．（3）所获利润可以表示为(3200x-200x 2）-2．5(3200—200x ）＝—200x 2+3700x —8000．（4)设总利润为y 元，则y ＝-200x 2+3700x —8000=—200（x —218225)4372 . ∵-200＜0∴抛物线有最高点，函数有最大值．当x ＝437＝9．25元时，y 最大= 218225=9112.5元.即当销售单价是9．25元时，可以获得最大利润,最大利润是9112．5元．理解结论:（1）在如何求最大利润问题时，要先用含有自变量的代数式把利润的函数表达出来，然后将所写出的二次函数表达式变形，用顶点式表示出来.（2）提示注意：A 。
新苏科版九年级数学下册《5章二次函数5.5用二次函数解决问题》教案_26
《5.5用二次函数解决问题（1）》-教学设计一、教学内容分析用二次函数解决问题是在二次函数性质的基础上对所学知识的实际应用，主要是实际问题中最大值和最小值的应用，本节课主要从学生熟悉的利润问题入手，引导学生从数学的角度研究一些现实的信息，激发学生从数学的角度发现和提出问题、分析和解决问题的兴趣和欲望，并积累用函数观点解决问题的经验。
二、学情分析用二次函数解决实际问题对学生的能力要求很高，要求学生能将实际问题中的变量关系寻找到位，并且设出自变量，建立函数关系式，从而利用二次函数的性质求出最大值或最小值。
学生对于二次函数内部求最值很熟悉，但是把它放到实际问题中去，对学生的建模能力要求比较高，学生初学，能力还没有达到这样的层次，所以课上的引导与方法指导十分重要，如何寻找主动变化的量，进而建立函数关系式是解决问题的关键所在。
三、教学目标1.能根据实际问题中变量之间的关系，确定二次函数的表达式.2.能用二次函数的有关知识解决实际问题的最大值（小）值.3.通过用二次函数表述数量变化及其关系的过程，体会二次函数是刻画现实世界数量关系的有效数学模型，在解决问题的过程中，感悟数学具有抽象、严谨和应用广泛的特点，体会数学的价值.四、教学重难点重点：从实际问题中抽象出二次函数的模型，并利用二次函数的性质求最大值（或最小值）.难点：如何寻找自变量并设未知数是难点.五、教学准备多媒体课件，学案，文具。
六、教学过程教学环节教学内容师生活动设计意图情景引入销售比赛：进价为每千克2元的水果如果按每千克10元销售，每天可销售200千克。
小A:我把售价降低，多卖就能多赚钱了.小B:我提高售价，这样所得的利润肯定高.小C:我得用数学知识好好算算，将价格定为多少才能获得最大利润?3位学生表演此情境通过本情境的引入激发学生探究新知的欲望。
回顾旧知1.二次函数y=2(x-3)2+5的顶点坐标是，当x= 时，y有最值是 .2.二次函数y=-2x2+8x+9的顶点坐标是，当x= 时，y有最值是，当-3≤x≤1时，y的最大值为 .总结：二次函数求最值的方法。
九年级数学下册 第5章 二次函数 5.5 用二次函数解决实际问题(3)素材
二次函数帮你定价利用二次函数知识可以解决商品销售中的最优化问题，用以确定商品价格．解商品销售问题时,要明确关系式：商品销售利润＝每件商品利润×销售件数．这是建立二次函数关系式的依据．请看例题．例1 （2007年贵阳市）某水果批发商销售每箱进价为40元的苹果，物价部门规定每箱售价不得高于55元，市场调查发现，若每箱以50元的价格调查，平均每天销售90箱，价格每提高1元，平均每天少销售3箱．（1）求平均每天销售量y （箱)与销售价x （元/箱）之间的函数关系式．（2）求该批发商平均每天的销售利润w （元）与销售价x （元/箱）之间的函数关系式．(3）当每箱苹果的销售价为多少元时，可以获得最大利润？最大利润是多少？分析：解题时，要注意条件“每箱售价不得高于55元"对x 的限制作用．解：（1）依题意,903(50)y x =--，化简得：3240y x =-+．（2)平均每天的销售利润w （元）应等于每箱的利润（售价－进价）与售出的箱数的乘积所以有． 2(40)(3240)33609600w x x x x =--+=-+-．（3)233609600w x x =-+- 0a <,∴抛物线开口向下．当602bx a =-=时，w有最大值，由题意“物价部门规定每箱售价不56wx得高于55元"所以x≤55， 又60x <，w 随x 的增大而增大(如右图） ．∴当55x =元时，w 的最大值为1125元．∴当每箱苹果的销售价为55元时，可以获得1125元的最大利润．例2 （2007年潍坊市)蔬菜基地种植某种蔬菜，由市场行情分析知，1月份至6月份这种蔬菜的上市时间x （月份)与市场售价p (元/千克）的关系如下表：x （月份)满足一个函数关系,这个函数的图象是抛物线的一段（如图）． （1)写出上表中表示的市场售价p （元/千克）关于上市时间x （月份）的函数关系式；（2）若图中抛物线过ABC ，，点，写出抛物线对应的函数关系式；（3）由以上信息分析，哪个月上市出售这种蔬菜每千克的收益最大？最大值为多少？(收益＝市场售价－种植成本）分析：关于上市时间x （月份)解：(1)数关系．设p k x b =+，把(1,10.5）,（2，9）代入，得10.592.k b k b =+⎧⎨=+⎩，解得3212.k b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩，所以3122p x =-+．（2）2211(6)231144y x x x =-+=-+（3)设收益为M ，则2231131231112442M p y x x x x x ⎛⎫=-=-+--+=-++ ⎪⎝⎭，323124x =-=⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭时,2134113423.251444M ⎛⎫⎛⎫-⨯- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭===⎛⎫- ⎪⎝⎭最大,即3月上市出售这种蔬菜每千克收益最大，最大受益为3.25元．。
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第2课时利用二次函数解决几何图形面积最值问题
知|识|目|标
经历利用二次函数的有关性质解决实际问题的过程，会利用二次函数解决几何面积的最值问题．
目标会利用二次函数解决面积最值问题
例1 教材补充例题将一根长为100 cm的铁丝围成一个矩形框，要想使铁丝框的面积最大，应怎样围？
【归纳总结】应用二次函数解决面积最大(小)值问题的步骤
(1)分析题中的变量与常量．
(2)根据几何图形的面积公式建立函数模型．
(3)结合函数图像及性质，考虑实际问题中自变量的取值范围，求出面积的最大(小)值．
例2 教材“复习巩固”第15题针对训练如图5－5－2，在矩形ABCD中，AB＝6 cm，BC ＝12 cm，点P从点A出发沿AB边向点B以1 cm/s的速度运动，同时，点Q从点B出发沿BC边向点C以2 cm/s的速度运动，P，Q两点在分别到达B，C两点后就停止运动，设经过t s时，△PBQ的面积为S cm2.
(1)求S与t之间的函数表达式(不需要写出自变量的取值范围)；
(2)当t取何值时，S的值最大？最大值是多少？
图5－5－2
【归纳总结】几何问题中应用二次函数时的三个注意点
(1)点在线段上的取值范围．
(2)顶点的横坐标、纵坐标必须符合实际意义．
(3)自变量和函数值的单位．
知识点建立函数模型，解决图形中的最值问题
利用二次函数解决几何图形面积最值问题的一般步骤：
(1)列：分析几何图形的特点，设出自变量x ，根据题中两个变量之间的关系列出二次函数表达式；
(2)求：利用公式法或配方法求出其最大(小)值；
(3)写：结合相关问题写出结果．
如图5－5－3，利用一面墙，其他三边用80 m 长的篱笆围一块矩形场地，墙长为30 m ，求围成矩形场地的最大面积．
图5－5－3
解：设矩形场地的面积为S m 2，所围矩形ABCD 的边BC 为x m.
由题意，得S ＝x ·12(80－x )＝－12(x －40)2＋800，
∴当x ＝40时，S 最大＝800，符合题意，
∴当所围矩形ABCD 的边BC 为40 m 时，矩形场地的面积最大，最大面积为800 m 2. 你认为上述解答有问题吗？若有问题，请说明理由，并给出正确的解答过程．
详解详析
【目标突破】
例1 解：设矩形框的一边长为x cm ，则与其相邻的另一边长为(50－x)cm ，矩形的面
积是y cm 2，那么y ＝(50－x)x ＝－x 2＋50x ＝－(x －25)2＋625.
∵a ＝－1＜0，∴当x ＝25时，y 有最大值，
则50－x ＝50－25＝25，
即要使铁丝框的面积最大，应将其围成边长为25 cm 的正方形．
[备选例题] 某校在基地参加社会实践活动中，带队老师考问学生：基地计划新建一个矩形的生物园地，一边靠旧墙(墙足够长)，另外三边用总长69米的不锈钢栅栏围成，与墙平行的一边留一个宽为3米的出入口，如图所示，如何设计才能使园地的面积最大？下面是两名学生争议的情境：
请根据上面的信息，解决问题：
(1)设AB ＝x 米(x ＞0)，试用含x 的代数式表示BC 的长；
(2)请你判断谁的说法正确，为什么？
解：(1)由AB ＝x 米，可得BC ＝69＋3－2x ＝(72－2x)米．
(2)小英的说法正确．理由：
矩形面积S ＝x(72－2x)＝－2(x －18)2＋648.
∵72－2x ＞0，∴x ＜36，∴0＜x ＜36，
∴当x ＝18时，S 取得最大值，
此时x ≠72－2x ，
∴面积最大时的图形不是正方形．
例2 解：(1)经过t s 时，AP ＝t cm ，故PB ＝(6－t)cm ，BQ ＝2t cm ，
故S ＝12
·(6－t)·2t ＝－t 2＋6t. (2)∵S ＝－t 2＋6t ＝－(t －3)2
＋9，
∴当t ＝3时，S 的值最大，最大值为9.
【总结反思】
[反思] 上述解答有问题，解答有关二次函数的实际问题时未考虑自变量的取值范围，墙长30 m ＜40 m ，故x ＝40时矩形ABCD 的面积最大是不正确的．
正解：设矩形场地的面积为S m 2，所围矩形ABCD 的边BC 长为x m ．由题意，得
S ＝x·12(80－x)＝－12
(x －40)2＋800. 因为墙长为30 m ，所以0<x ≤30.
又因为当x ＜40时，S 随x 的增大而增大，
所以当x ＝30时，S 取得符合实际意义的最大值，此时S ＝750.故围成矩形场地的最大
面积为750 m 2.。