2.3.2两个平面垂直的判定OK (公开课用)

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高中数学人教A版必修二：2.3.2平面与平面垂直的判定课件

P
C
A
•O
B
练习1：如图：在Rt△ABC中，∠B=900 ， P为△ABC所在平面外一点，PA⊥平面 ABC，问：四面体PABC中有几个直角三角形？并证明之.
P
答案：四个面
A
都是直角三角
形
C B
练习2.如图，A是BCD所在平面外一点，AB AD， ABC ADC 90，E是BD的中点，求证：平面AEC 平面ABD
如果一个平面经过了另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直。
已知：AB⊥β，AB α
∪
求证：α⊥β.
α
A
证明：设α∩β=CD,则B∈CD.
∪
∵AB⊥β，CD β，∴AB⊥CD.
C β
B E
D 在平面β内过B点作直线BE⊥CD，则 ∠ABE就是二面角α--CD--β的平面角，
∪
∵AB⊥β，BE β，
A
B
D
E
C
作业
教材P69 练习 P73习题 A组1、2
O
O
B
B
10
二面角的平面角的定义、范围及作法
1、二面角的平面角：
以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面上分别引
垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的
平面角。
AOB=?= AOB
O l
A
B
注一同无量等:个，关的（（角角那，，12定））的么只一理二二两这与个：面面边两二二如角角分个面面果的是别角角角一平用平相的的个面它行等张平角角的，。角面的与平并）大角两点面且小多边的角方有大和位来向关，另置度相。就
l
l
5
上述变化过程中图形在变化，形成的 “角度”的大小如何来确定？

高中数学(人教A版)必修二 2.3.2 两个平面垂直的判定课件

B
C 是⊙ O AB 是⊙O 的直径，例1:已知PA 平面ABC ，平面PAC．平面PBC 上的任一点，求证：
例 2：已知A是⊿BCD所在平面外一点，AB=AD， AB⊥AC，AD⊥AC，E为BD中点，求证：（1）面AEC⊥面ABD，（2）面AEC⊥面BCD。
A 证：（1）∵ AB⊥AC，AD⊥AC， AB=AD，AC=AC， ∴⊿ABC≌⊿ADC， ∴BC=DC，又∵ E为BD中点，B ∴AE⊥BD，CE⊥BD， E ∴BD⊥面AEC，又 BD 面ABD，
D1
C1 A1
B1
D
C
A
B
例题2
• 已知在一个60°的二面角的棱上有两点A、 B，AC、BD分别是在这个二面角度两个面内，且垂直于AB的线段，又知AB＝4cm， AC＝6cm，BD＝8cm，求CD的长。
C A D B
ι
p
α
β
A B B
pββBp Nhomakorabeaα
A
ι
ι
O
α
A
6. 二面角的计算
1、找到或作出二面角的平面角
2、证明此角符合定义,为所求的角 3、计算此角的大小
一“作”二“证”三“计算”
16
7.面面垂直的定义：
一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说两个平面互相垂直
8. 面面垂直的判定定理一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直.
∴面AEC⊥面ABD，
C
D
（2）∵ BD⊥面AEC，又 BD 面CBD， ∴面AEC⊥面BCD。
二、例题 1.在棱长为a的正方体ABCD—A1B1C1D1中，
求:（1）面A1ABB1与面ABCD所成角的大小；

人教A版必修22.3.2平面与平面垂直的判定课件

题型一
题型二
题型一
二面角的定义
【例1】如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,找出二面角D1-BC-D的
平面角.
解:在正方体ABCD-A1B1C1D1中,BC⊥CD,BC⊥CC1,CD∩CC1=C,所
以BC⊥平面D1C.
又D1C⊂平面D1C,所以BC⊥D1C,
所以∠D1CD是二面角D1-BC-D的平面角.
1
2
【做一做1-1】在二面角α-l-β的棱l上任选一点O,若∠AOB是二面
角α-l-β的平面角,则必须具有的条件是 (
)
A.AO⊥BO,AO⊂α,BO⊂β
B.AO⊥l,BO⊥l
C.AB⊥l,AO⊂α,BO⊂β
D.AO⊥l,BO⊥l,且AO⊂α,BO⊂β
解析:根据二面角的平面角的定义可知选D项.
答案:D
语言
符号
语言
作用
l⊥α,l⊂β⇒α⊥β
判断两个平面垂直
1
2
名师点拨平面与平面垂直的判定定理告知我们,可以通过直线
与平面垂直来证明平面与平面垂直.通常我们将其记为:线面垂直,
则面面垂直.因此处理面面垂直问题(即空间问题)转化为处理线面
垂直问题,并进一步转化为处理线线垂直问题(即平面问题)来解决.
1
题型一
题型二
(方法二)如图,取AB的中点O,连接OD,OC.
则有OD⊥AB,OC⊥AB,
即∠COD是二面角C-AB-D的平面角.
2
AC=a,则 OC=OD= 2 a.
设
因为CD=AD=AC,
所以CD=a,所以CD2=OC2+OD2.
所以△COD是直角三角形,即∠COD=90°.

高一数学必修二课件2.3.2平面与平面垂直的判定

P
C
A
•O
证明：∵在圆o中AB为直径， ∴AC⊥BC，又∵PA⊥面ABC, ∴PA⊥BC， ∴BC ⊥平面PAC, ∴平面PAC⊥平面PBC。 B
高考链接
1.（2008 湖南）如图所示，四棱锥
P ABCD
的底面面
， A是B边C长D为1的菱形，∠BCD=60°，E是CD的中点，PA⊥底
ABCD PA 3
)
√
2. 填空： 1）过平面α的一条垂线可作个________平面与平面α垂无直数。 2）过一点可作_____个平面无与数已知平面垂直。 3）过平面α的一条斜线，可作____个平面与平面α垂直一。
4）过平面α的一条平行线可作____个平面与α垂直。一
3. 选择：
1）给出下列四个命题：
①垂直于同一个平面的两个平面平行；
A
B
5．在二面角α-l-β的一个面α内有一条直线AB，若AB与棱l的夹角为45°， AB与平面β所成的角为30°，则此二面角的大小是多少？
如图，过A点作AO⊥β于O，在α内作AC垂直棱于C，连OB、OC，则 ∠ABC=45°，∠ABO=30°，∠ACO就是所求二面角的平面角。
α A
B
βO
C
设AB=a,则AC=
CD
两个平面互相垂直
平面角是直角的二面角叫做直二面角。
若两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直。
记作: α β
思考
如何检测所砌的墙面和地面是否垂直？
可以用铅垂判断所在直线是否与地面垂直。
平面和平面垂直的判定定理
如果一个平面过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直。
②垂直于同一条直线的两个平面平行；

2.3.2平面与平面垂直的判定(张用)

请问哪些平面是互相垂直的,为什么?
AB 面BCD 面ABC 面BCD AB 面BCD 面ABD 面BCD CD 面ABC 面ABC 面ACD
B D A
C
探究：如图所示：在Rt△ABC中，∠ABC=900 ,P 为△ABC所在平面外一点，PA⊥平面ABC，你能发现哪些平面互相垂直，为什么？
∠D1CD D1 A1 B1 C1
45°
D
C B
A
1、在300二面角的一个面内有一点A，它到另一个面的距离是10cm，求它到棱的距离。
解：如图所示，过点A作AH⊥β，垂足为H，由题意AH=10cm. 过点H作HO⊥EF，垂足为O，连OA，则OA⊥EF，OA就是点A到棱EF的距离。所以∠AOH就是二面角 α-EF-β 的一个平面角， ∠AOH=300，OA=20cm.
C
寻找二面角的平面角
在正方体ABCD-A’B’C’D’中，找出下列二面角的平面角：
（1）二面角D’-AB-D和A’-AB-D；（2）二面角C’-BD-C和C’-BD-A. D’ C’ A’ B’ D A B
C
在正方体ABCD-A’B’C’D’中，找出下列二面角的平面角：
（1）二面角D’-AB-D和A’-AB-D；（2）二面角C’-BD-C和C’-BD-A. D’ C’ A’ B’ D A O B

l
O
A
下列说法中正确的是
(
)
①两个相交平面组成的图形叫做二面角②异面直线a，
b分别和一个二面角的两个面垂直，则a，b形成的角
与这个二面角的平面角相等或互补。③二面角的平面角是从棱上一点出发，分别在两个面内作射线所成角的最小角④二面角的大小与其平面角的顶点在棱上的位置没有关系。

9.示范教案(2.3.2 平面与平面垂直的判定)

2.3.2 平面与平面垂直的判定整体设计教学分析在空间平面与平面之间的位置关系中，垂直是一种非常重要的位置关系，它不仅应用较多，而且是空间问题平面化的典范.空间中平面与平面垂直的定义是通过二面角给出的，二面角是高考中的重点和难点.使学生掌握两个平面互相垂直的判定，提高学生空间想象能力，提高等价转化思想渗透的意识，进一步提高学生分析问题、解决问题的能力；使学生学会多角度分析、思考问题，培养学生的创新精神.三维目标1.探究平面与平面垂直的判定定理，二面角的定义及应用，培养学生的归纳能力.2.掌握平面与平面垂直的判定定理的应用，培养学生的空间想象能力.3.引导学生总结求二面角的方法,培养学生归纳问题的能力.重点难点教学重点:平面与平面垂直判定.教学难点:平面与平面垂直判定和求二面角.课时安排1课时教学过程复习两平面的位置关系：（1）如果两个平面没有公共点，则两平面平行⇔若α∩β=∅,则α∥β.（2）如果两个平面有一条公共直线，则两平面相交⇔若α∩β=AB,则α与β相交.两平面平行与相交的图形表示如图1.图1导入新课思路1.(情境导入)为了解决实际问题，人们需要研究两个平面所成的角.修筑水坝时，为了使水坝坚固耐用必须使水坝面与水平面成适当的角度；发射人造地球卫星时，使卫星轨道平面与地球赤道平面成一定的角度.为此，我们引入二面角的概念，研究两个平面所成的角.思路2.(直接导入)前边举过门和墙所在平面的关系，随着门的开启，其所在平面与墙所在平面的相交程度在变，怎样描述这种变化呢？今天我们一起来探究两个平面所成角问题.推进新课新知探究提出问题①二面角的有关概念、画法及表示方法.②二面角的平面角的概念.③两个平面垂直的定义.④用三种语言描述平面与平面垂直的判定定理，并给出证明.⑤应用面面垂直的判定定理难点在哪里？讨论结果：①二面角的有关概念.二面角的定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角.这条直线叫二面角的棱，这两个半平面叫二面角的面.二面角常用直立式和平卧式两种画法：如图2（教师和学生共同动手）.直立式：平卧式：(1) (2)图2二面角的表示方法：如图3中，棱为AB，面为α、β的二面角，记作二面角α-AB-β.有时为了方便也可在α、β内（棱以外的半平面部分）分别取点P、Q，将这个二面角记作二面角P-AB-Q.图3如果棱为l，则这个二面角记作αlβ或PlQ.②二面角的平面角的概念.如图4,在二面角αlβ的棱上任取点O，以O为垂足，在半平面α和β内分别作垂直于棱的射线OA和OB，则射线OA和OB组成∠AOB.图4再取棱上另一点O′，在α和β内分别作l的垂线O′A′和O′B′，则它们组成角∠A′O′B′.因为OA∥O′A′,OB∥O′B′，所以∠AOB及∠A′O′B′的两边分别平行且方向相同,即∠AOB=∠A′O′B′.从上述结论说明了：按照上述方法作出的角的大小，与角的顶点在棱上的位置无关.由此结果引出二面角的平面角概念：以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角.图中的∠AOB,∠A′O′B′都是二面角αlβ的平面角.③直二面角的定义.二面角的大小可以用它的平面角来度量，二面角的平面角是多少度，就说二面角是多少度.平面角是直角的二面角叫做直二面角.教室的墙面与地面，一个正方体中每相邻的两个面、课桌的侧面与地面都是互相垂直的.两个平面互相垂直的概念和平面几何里两条直线互相垂直的概念相类似，也是用它们所成的角为直角来定义，二面角既可以为锐角，也可以为钝角，特殊情形又可以为直角.两个平面互相垂直的定义可表述为：如果两个相交平面所成的二面角为直二面角，那么这两个平面互相垂直.直二面角的画法：如图5.图5④两个平面垂直的判定定理.如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直.两个平面垂直的判定定理符号表述为：⎭⎬⎫⊂⊥αβAB AB ⇒α⊥β.两个平面垂直的判定定理图形表述为：如图6.图6证明如下：已知AB ⊥β，AB∩β=B ，AB ⊂α. 求证：α⊥β.分析：要证α⊥β,需证α和β构成的二面角是直二面角，而要证明一个二面角是直二面角，需找到其中一个平面角，并证明这个二面角的平面角是直角. 证明：设α∩β=CD ，则由AB ⊂α,知AB 、CD 共面. ∵AB ⊥β，CD ⊂β,∴AB ⊥CD ，垂足为点B. 在平面β内过点B 作直线BE ⊥CD, 则∠ABE 是二面角αCDβ的平面角.又AB ⊥BE ，即二面角αCDβ是直二面角, ∴α⊥β.⑤应用面面垂直的判定定理难点在于：在一个平面内找到另一个平面的垂线,即要证面面垂直转化为证线线垂直. 应用示例思路1例1 如图7,⊙O 在平面α内，AB 是⊙O 的直径，PA ⊥α，C 为圆周上不同于A 、B 的任意一点.图7求证：平面PAC ⊥平面PBC.证明：设⊙O 所在平面为α,由已知条件，PA ⊥α,BC ⊂α,∴PA ⊥BC. ∵C 为圆周上不同于A 、B 的任意一点,AB 是⊙O 的直径, ∴BC ⊥AC.又∵PA 与AC 是△PAC 所在平面内的两条相交直线， ∴BC ⊥平面PAC.∵BC ⊂平面PBC,∴平面PAC ⊥平面PBC. 变式训练如图8，把等腰Rt △ABC 沿斜边AB 旋转至△ABD 的位置，使CD=AC ，图8（1）求证：平面ABD ⊥平面ABC ；（2）求二面角CBDA 的余弦值. （1）证明：由题设,知AD=CD=BD,作DO ⊥平面ABC ，O 为垂足，则OA=OB=OC. ∴O 是△ABC 的外心，即AB 的中点. ∴O ∈AB ，即O ∈平面ABD. ∴OD ⊂平面ABD.∴平面ABD ⊥平面ABC.（2）解:取BD 的中点E ，连接CE 、OE 、OC, ∵△BCD 为正三角形，∴CE ⊥BD.又△BOD 为等腰直角三角形,∴OE ⊥BD. ∴∠OEC 为二面角CBDA 的平面角. 同（1）可证OC ⊥平面ABD.∴OC ⊥OE.∴△COE 为直角三角形. 设BC=a ，则CE=a 23，OE=a 21，∴cos ∠OEC=33=CE OE . 点评：欲证面面垂直关键在于在一个平面内找到另一个平面的垂线.例2 如图9所示，河堤斜面与水平面所成二面角为60°，堤面上有一条直道CD ，它与堤角的水平线AB 的夹角为30°，沿这条直道从堤脚向上行走到10 m 时人升高了多少？（精确到0.1 m ）图9解：取CD 上一点E ，设CE=10 m ，过点E 作直线AB 所在的水平面的垂线EG ，垂足为G ，则线段EG 的长就是所求的高度.在河堤斜面内，作EF ⊥AB ，垂足为F ，并连接FG ,则FG ⊥AB,即∠EFG 就是河堤斜面与水平面ABG 所成二面角的平面角, ∠EFG=60°,由此,得EG=EFsin60°=CEsin30°sin60°=10×2352321=⨯≈4.3（m ）. 答：沿直道行走到10 m 时人升高约4.3 m. 变式训练已知二面角αABβ等于45°，CD ⊂α，D ∈AB ，∠CDB=45°. 求CD 与平面β所成的角.解：如图10，作CO ⊥β交β于点O ，连接DO ，则∠CDO 为DC 与β所成的角.图10过点O 作OE ⊥AB 于E ，连接CE ，则CE ⊥AB. ∴∠CEO 为二面角αABβ的平面角，即∠CEO=45°. 设CD=a,则CE=a 22,∵CO ⊥OE ，OC=OE ， ∴CO=a 21.∵CO ⊥DO,∴sin ∠CDO=21=CD CO . ∴∠CDO=30°,即DC 与β成30°角.点评：二面角是本节的另一个重点，作二面角的平面角最常用的方法是：在一个半平面α内找一点C ，作另一个半平面β的垂线，垂足为O,然后通过垂足O 作棱AB 的垂线，垂足为E,连接AE,则∠CEO 为二面角α-AB-β的平面角.这一过程要求学生熟记.思路2例1 如图11，ABCD 是菱形，PA ⊥平面ABCD ，PA=AD=2，∠BAD=60°.图11（1）求证：平面PBD ⊥平面PAC ；（2）求点A 到平面PBD 的距离；（3）求二面角APBD 的余弦值.（1）证明：设AC 与BD 交于点O ，连接PO, ∵底面ABCD 是菱形,∴BD ⊥AC.∵PA ⊥底面ABCD,BD ⊂平面ABCD,∴的PA ⊥BD. 又PA∩AC=A,∴BD ⊥平面PAC.又∵BD ⊂平面PBD,∴平面PBD ⊥平面PAC.(2)解：作AE ⊥PO 于点E,∵平面PBD ⊥平面PAC,∴AE ⊥平面PBD. ∴AE 为点A 到平面PBD 的距离.在△PAO 中,PA=2,AO=2·cos30°=3,∠PAO=90°, ∵PO=722=+AO PA ,∴AE=7212732==∙PO AO PA .∴点A 到平面PBD 的距离为7212.（3）解：作AF ⊥PB 于点F,连接EF, ∵AE ⊥平面PBD,∴AE ⊥PB. ∴PB ⊥平面AEF,PB ⊥EF.∴∠AFE 为二面角APBD 的平面角. 在Rt △AEF 中,AE=7212,AF=2, ∴sin ∠AFE=742=AF AE ,cos ∠AFE=77)742(12=-. ∴二面角APBD 的余弦值为77. 变式训练如图12，PA ⊥矩形ABCD 所在平面，M 、N 分别是AB 、PC 的中点. （1）求证：MN ∥平面PAD ；（2）求证：MN ⊥CD ；（3）若二面角PDCA=45°，求证：MN ⊥平面PDC.图12 图13证明：如图13所示,（1）取PD 的中点Q ，连接AQ 、NQ,则QN21DC,AM 21DC, ∴QN AM.∴四边形AMNQ 是平行四边形.∴MN ∥AQ.又∵MN ⊄平面PAD,AQ ⊂平面PAD,∴MN ∥平面PAD. （2）∵PA ⊥平面ABCD ，∴PA ⊥CD.又∵CD ⊥AD,PA∩AD=A,∴CD ⊥平面PAD. 又∵AQ ⊂平面PAD,∴CD ⊥AQ. 又∵AQ ∥MN,∴MN ⊥CD.（3）由（2）知，CD ⊥平面PAD, ∴CD ⊥AD,CD ⊥PD.∴∠PDA 是二面角PDCA 的平面角.∴∠PDA=45°. 又∵PA ⊥平面ABCD,∴PA ⊥AD.∴AQ ⊥PD. 又∵MN ∥AQ,∴MN ⊥CD.又∵MN ⊥PD,∴MN ⊥平面PDC.例2 如图14,已知直四棱柱ABCD —A 1B 1C 1D 1的底面是菱形，且∠DAB=60°,AD=AA 1，F 为棱BB 1的中点，M 为线段AC 1的中点.图14（1）求证：直线MF ∥平面ABCD ；（2）求证：平面AFC 1⊥平面ACC 1A 1；（3）求平面AFC 1与平面ABCD 所成二面角的大小. （1）证明：延长C 1F 交CB 的延长线于点N ，连接AN. ∵F 是BB 1的中点，∴F 为C 1N 的中点，B 为CN 的中点. 又M 是线段AC 1的中点，故MF ∥AN. 又∵MF ⊄平面ABCD,AN ⊂平面ABCD, ∴MF ∥平面ABCD.（2）证明：连接BD ，由直四棱柱ABCD —A 1B 1C 1D 1,可知AA 1⊥平面ABCD, 又∵BD ⊂平面ABCD ，∴A 1A ⊥BD. ∵四边形ABCD 为菱形，∴AC ⊥BD.又∵AC∩A 1A=A,AC 、A 1A ⊂平面ACC 1A 1, ∴BD ⊥平面ACC 1A 1.在四边形DANB 中，DA ∥BN 且DA=BN ， ∴四边形DANB 为平行四边形. 故NA ∥BD ，∴NA ⊥平面ACC 1A 1. 又∵NA ⊂平面AFC 1,∴平面AFC 1⊥平面ACC 1A 1.（3）解：由（2）,知BD ⊥平面ACC 1A 1，又AC 1⊂平面ACC 1A 1，∴BD ⊥AC 1. ∵BD ∥NA ，∴AC 1⊥NA.又由BD ⊥AC,可知NA ⊥AC ，∴∠C 1AC 就是平面AFC 1与平面ABCD 所成二面角的平面角或补角. 在Rt △C 1AC 中，tan ∠C 1AC=311=CA C C ，故∠C 1AC=30°. ∴平面AFC 1与平面ABCD 所成二面角的大小为30°或150°.变式训练如图15所示，在四棱锥S —ABCD 中，底面ABCD 是矩形，侧面SDC ⊥底面ABCD ，且AB=2，SC=SD=2.图15（1）求证：平面SAD ⊥平面SBC ；（2）设BC=x ，BD 与平面SBC 所成的角为α，求sinα的取值范围.（1）证明：在△SDC 中，∵SC=SD=2，CD=AB=2,∴∠DSC=90°,即DS ⊥SC.∵底面ABCD 是矩形,∴BC ⊥CD.又∵平面SDC ⊥平面ABCD,∴BC ⊥面SDC. ∴DS ⊥BC.∴DS ⊥平面SBC.∵DS ⊂平面SAD,∴平面SAD ⊥平面SBC.（2）解：由（1）,知DS ⊥平面SBC,∴SB 是DB 在平面SBC 上的射影. ∴∠DBS 就是BD 与平面SBC 所成的角，即∠DBS=α. 那么sinα=DBDS. ∵BC=x,CD=2⇒DB=24x +,∴sinα=242x+.由0＜x ＜+∞,得0＜sinα＜22. 知能训练课本本节练习. 拓展提升如图16，在四棱锥P —ABCD 中，侧面PAD 是正三角形，且与底面ABCD 垂直，底面ABCD 是边长为2的菱形，∠BAD=60°，N 是PB 中点，过A 、D 、N 三点的平面交PC 于M ，E 为AD 的中点.图16（1）求证：EN ∥平面PCD ；（2）求证：平面PBC ⊥平面ADMN ；（3）求平面PAB 与平面ABCD 所成二面角的正切值. (1)证明：∵AD ∥BC,BC ⊂面PBC,AD ⊄面PBC, ∴AD ∥面PBC.又面ADN∩面PBC=MN, ∴AD ∥MN.∴MN ∥BC. ∴点M 为PC 的中点.∴MN21BC. 又E 为AD 的中点，∴四边形DENM 为平行四边形. ∴EN ∥DM.∴EN ∥面PDC.（2）证明：连接PE 、BE,∵四边形ABCD 为边长为2的菱形，且∠BAD=60°, ∴BE ⊥AD.又∵PE ⊥AD,∴AD ⊥面PBE.∴AD ⊥PB. 又∵PA=AB 且N 为PB 的中点, ∴AN ⊥PB.∴PB ⊥面ADMN. ∴平面PBC ⊥平面ADMN.（3）解：作EF ⊥AB ，连接PF ，∵PE ⊥平面ABCD,∴AB ⊥PF. ∴∠PFE 就是平面PAB 与平面ABCD 所成二面角的平面角. 又在Rt △AEB 中，BE=3，AE=1，AB=2,∴EF=23. 又∵PE=3,∴tan ∠PFE=233 EFPE=2,即平面PAB 与平面ABCD 所成的二面角的正切值为2. 课堂小结知识总结：利用面面垂直的判定定理找出平面的垂线，然后解决证明垂直问题、平行问题、求角问题、求距离问题等.思想方法总结：转化思想，即把面面关系转化为线面关系，把空间问题转化为平面问题. 作业课本习题2.3 A 组1、2、3.设计感想线面关系是线线关系和面面关系的桥梁和纽带，空间中直线与平面垂直的性质定理不仅是由线面关系转化为线线关系，而且将垂直关系转化为平行关系，因此直线与平面垂直的性质定理在立体几何中有着特殊的地位和作用，因此它是高考考查的重点.本节不仅选用了大量经典好题，还选用了大量的2007高考模拟题，相信能够帮助大家解决立体几何中的重点难点问题.。

高中数学 2.3.2平面与平面垂直的判定精品教案新人教A版必修2

（一）教学目标1．知识与技能（1）使学生正确理解和掌握“二面角”、“二面角的平面角”及“直二面角”、“两个平面互相垂直”的概念；（2）使学生掌握两个平面垂直的判定定理及其简单的应用；（3）使学生理会“类比归纳”思想在教学问题解决上的作用.2．过程与方法（1）通过实例让学生直观感知“二面角”概念的形成过程；（2）类比已学知识，归纳“二面角”的度量方法及两个平面垂直的判定定理.3．情态、态度与价值观通过揭示概念的形成、发展和应有和过程，使学生理会教学存在于观实生活周围，从中激发学生积极思维，培养学生的观察、分析、解决问题能力.（二）教学重点、难点重点：平面与平面垂直的判定；难点：如何度量二面角的大小.（三）教学方法实物观察、类比归纳、语言表达，讲练结合.教学过程教学内容师生互动设计意图新课导入问题1：平面几何中“角”是怎样定义的？问题2：在立体几何中，“异面直线所成的角”、“直线和平面所成的角”又是怎样定义的？它们有什么共同的特征？学生自由发言，教师小结，并投影两个平面所成角的实际例子：公路上的表面与水平面，打开的门与门椎所在平面等，怎样定义两个平面所成的角呢？复习巩固，以旧导新探索新知一、二面角1．二面角（1）半平面平面内的一条直线把平面分成两部分，这两部分通常称为半平面.（2）二面角从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角（dihedral angle）.这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面.（3）二面角的求法与画法棱为AB、面分别为α、β的二面角记作二面角教师结合二面角模型，类比以上几个问题，归纳出二面角的概念及记法表示（可将角与二面角从图形、定义、构成、表示进行列表对比）.师生共同实验(折纸)思考二面角的大小与哪一个角的大小相同？这个角的边与二面角的棱有什么关系？生：过二面角棱上一点O在二面角的面上分别作射线与二面角的棱垂直，得到的角与二面角大小相等.师：改变O的位置，这个角的大小变不变.生：由等角定理知不变.通过模型教学，培养学生几何直观能力，通过类比教学，加深学生对知识的理解.通过实验，培养学生学习兴趣和探索意识，加深对知识的理解与掌握.ABαβ--. 有时为了方便，也可在,αβ内(棱以外的半平面部分)分别取点P 、Q ，将这个二面角记作二面角P – AB – Q .如果棱记作l ，那么这个二面角记作二面角l αβ--或P –l – Q .2．二面角的平面角如图（1）在二面角c αβ--的棱l 上任取一点O ，以点O 为垂足，在半平面α和β内分别作垂直于棱l 的射线OA 和OB ，则射线OA 和OB 构成的∠AOB 叫做二面角的平面角.（2）二面角的平面角的大小与O 点位置无关.（3）二面角的平面角的范围是[0，180°]（4）平面角为直角的二面角叫做直二面角.探索新知二、平面与平面垂直1．平面与平面垂直的定义，记法与画法.一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直.两个互相垂直的平面通常画成此图的样子，此时，把直立平面的竖边画成与水平平面的横边垂直.平面α与β垂直，记作α⊥β.2．两个平面互相垂直的判定定理，一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直.学生自学，教师点拔一下注意事项.师：以教室的门为例，由于门框木柱与地面垂直，那么经过木柱的门无论转到什么位置都有门面垂直于地面，即αβ⊥，请同学给出面面垂直的判定定理.培养学生自学能力,通过实验，培养学生观察能力，归纳能力，语言表达能力.典例分析例3 如图，AB是⊙O的直径，PA垂直于⊙O所在的平面，C是圆周上不同于A、B的任意一点，求证：平面PAC⊥平面PBC.证明：设⊙O所在平面为α，由已知条件，PA⊥α，BC在α内，所以PA⊥BC.因为点C是圆周上不同于A、B的任意一点，AB是⊙O的直径，所以，∠BCA是直角，即BC⊥AC.又因为PA与AC是△PAC所在平面内的两条直线.所以BC⊥平面PAC.又因为BC在平面PBC内，所以，平面PAC⊥平面PBC.师：平面与平面垂直的判定方法有面面垂直的定义和面面垂直的判定定理，而本题二面角A –PC–B的平面角不好找，故应选择判定定理，而应用判定定理正面面垂直的关键是在其中一个平面内找(作)一条直线与另一平面垂直，在已有图形中BC符合解题要求，为什么？学生分析，教师板书巩固所学知识，培养学生观察能力，空间想象能力，书写表达能力.随堂练习1．如图，正方形SG1G2G3中，E，F分别是G1G2，G2G3的中点，D是EF的中点，现在沿SE，SF及EF把这个正方形折成一个四面体，使G1，G2，G3三点重合，重合后的点记为G，则在四面体S –EFG中必有（ A ）A．SG⊥EFG所在平面B．SD⊥EFG所在平面C．GF⊥SEF所在平面D．GD⊥SEF所在平面2．如图，已知AB⊥平面BCD，BC⊥CD，你能发现哪些平面互相垂直，为什么？学生独立完成巩固知识提升能力答：面ABC⊥面BCD 面ABD⊥面BCD面ACD⊥面ABC.归纳总结1．二面角的定义画法与记法.2．二面角的平面角定义与范围.3．面面垂直的判定方法.4．转化思想.学生总结、教师补充完善回顾、反思、归纳知训提高自我整合知识的能力课后作业2.3 第二课时习案学生独立完成固化知识提升能力备选例题例1 如图，平面角为锐角的二面角EFαβ--，A∈EF，AGα⊂，∠GAE = 45°若AG 与β所成角为30°，求二面角EFαβ--的平面角.【分析】首先在图形中作出有关的量，AG与β所成的角(过G到β的垂线段GH，连AH，∠GAH = 30°)，二面角EFαβ--的平面角，注意在作平面角是要试图与GAH建立联系，抓住GH⊥β这一特殊条件，作HB⊥EF，连接GB，利用相关关系即可解决问题.【解析】作GH⊥β于H，作HB⊥EF于B，连结GB，则CB⊥EF，∠GBH是二面角的平面角.又∠GAH是AG与β所成的角，设AG = a，则21,2GB a GH a==，2sinGHGBHGB∠==.所以∠GBH = 45°反思研究：本题的成功之处在于作图时注意建立各量之间的有效联系.例2 如图所示，四边形ABCD是平行四边形，直线SC⊥平面ABCD，E是S A的中点，求证：平面EDB⊥平面ABCD．【分析】要证面面垂直，需证线面垂直．这里需要寻找已知条件“SC⊥平面ABCD”与需证结论“平面EDB⊥平面ABCD”之间的桥梁．【证明】连结AC、BD，交点为F，连结EF，∴EF是△SAC的中位线，∴EF∥SC．∵SC⊥平面ABCD，∴EF⊥平面ABCD．又EF⊂平面BDE，BSC∴平面BDE ⊥平面ABCD ．【评析】将面面垂直转化为线面垂直是证明此类题的关键．例3 如图，四棱锥P – ABCD 的底面是边长为a 的正方形，PB ⊥面ABCD ．证明无论四棱锥的高怎样变化，面PAD 与面PCD 所成的二面角恒大于90°．【分析】由△PAD ≌ △PCD ，可利用定义法构造二面角的平面角，证明所成角的余弦值恒小于零即可．【解析】不论棱锥的高怎样变化，棱锥侧面PAD 与PCD 恒为全等三角形．作AE ⊥DP ,垂足为E ，连接EC ，则△ADE ≌△CDE ．∴AE = CE ，∠CED = 90°．故∠CEA 是面PAD 与面PCD 所成的二面角的平面角．设AC 与BD 相交于点O ．连接EO ，则EO ⊥AC ．∴2a OA AE AD a =<<=，在△AEC 中，222(2)cos 2AE EC OA AEC AE EC+-∠=⋅ =(2)(2)0AE OA AE OA +-<，∴∠AEC ＞ 90°．所以面PAD 与面PCD 所成的二面角恒大于90°．【评析】求二面角的大小应注意作（找）、证、求、答．。

课件11：2.3.2 平面与平面垂直的判定

课堂探究类型一平面与平面垂直的判定例1 如图，已知∠BSC＝90°，∠BSA＝∠CSA＝60°，又SA＝SB＝SC，求证：平面ABC⊥平面SBC.
课堂探究
证明：证法一：利用定义证明． ∵∠BSA＝∠CSA＝60°，SA＝SB＝SC， ∴△ASB 和△ASC 是等边三角形，则有 SA＝SB＝SC＝AB＝AC，令其值为 a，则△ABC 和△SBC 为共底边 BC 的等腰三角形．
素养提升 1．对二面角的平面角的三点说明 (1)二面角的平面角可以表示二面角的大小，二面角的平面角是多少度，就说这个二面角是多少度． (2)构成二面角的平面角的三要素：“棱上”“面内”“垂直”．二面角的平面角的大小是唯一确定的，与棱上点的位置无关，解题时可以把平面角的顶点选在有利于解题的特殊位置上．
跟踪训练 1 如图，四边形ABCD是正方形，O是正方形的中心，PO⊥底面ABCD，E是PC的中点．
求证：(1)PA∥平面BDE； (2)平面PAC⊥平面BDE.
证明：(1)连接OE，AC，则O是AC的中点，又E是PC的中点，所以OE∥AP，又因为OE⊂平面BDE，PA⊄平面BDE.所以PA∥平面BDE. (2)因为PO⊥底面ABCD，所以PO⊥BD，又因为AC⊥BD，且AC∩PO＝O，所以BD⊥平面PAC，而BD⊂平面BDE，所以平面PAC⊥平面BDE.
课堂探究
如图，取 BC 的中点 D，连接 AD，SD，
则 AD⊥BC，SD⊥BC，
∴∠ADS 为二面角 A－BC－S 的平面角．在 Rt△BSC 中，
∵SB＝SC＝a，∴SD＝
22a，BD＝B2C＝
2 2 a.
课堂探究
在
Rt△ABD
中，AD＝
2 2 a.

高中数学必修二2.3.2平面与平面垂直的判定课件

两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直。两个平面互相垂直通常画成：直立平面的竖边画成与水平平面的横边垂直。平面α与β垂直，记作：α⊥β。
11/4/2024
三、新知建构，交流展示
β
a
A
b
α
(1)除了定义之外,如何判定两个平面互相垂直呢? (2)你能举出日常生活中平面与平面垂直的例子?
11/4/2024
一个平面过另一个平面的垂线，则这两
个平面垂直.
β
a
符号:
A α
a a 面
简记：线面垂直，则面面垂直
线线垂直
11/4/2024
线面垂直
面面垂直
1.过平面α的一条垂线可作__无__数_个平面
与平面α垂直.
2.过一点可作_无__数__个平面与已知平面垂
直.
3.过平面α的一条斜线，可作__一__个平
11/4/2024
思考:在二面角α-l-β的棱上取一点 O，过点O分别在二面角的两个面内任作两条射线OA，OB，能否用∠AOB 来刻画二面角的张开程度？
β
B
O
lA
α
11/4/2024
思考:在上图中如何调整OA、OB的位置，使∠AOB被二面角α-l-β唯一确定？这个角的大小是否与顶点O在棱上的位置有关？
11/4/2024
三、新知建构，交流展示
正解:∵PA⊥平面 ABCD,CD⊂ 平面 ABCD, ∴CD⊥PA,又 CD⊥AD,且 PA∩AD=A, ∴CD⊥平面 PAD.又 PD⊂ 平面 PAD, ∴CD⊥PD, ∴∠PDA 是二面角 P-CD-A 的平面角. 在 Rt△PAD 中,PA⊥AD,PA=2AD,
β

公开课——面面垂直的判定

结论归纳
平面与平面垂直的判定定理：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直. 符号语言: β a α
A
a a
线线垂直线面垂直
简记：线面垂直，则面面垂直
面面垂直
应用提升
例1、如图，AB是圆O的直径，PA垂 Nhomakorabea于圆O所在的平面，C是圆周上不同于A,B 的任意一点，求证：平面PAC 平面PBC.
P

C

A

O

B
演练巩固
正方体ABCD-A1B1C1D1中求证: 面AAC 1 1C 面A 1BD
A1 D1 B1 C1
D
C
A
B
回顾总结
1、证明面面垂直的方法
• 定义法：若两个面所成的二面角是直二面角，那么这两个面垂直。作法：作出两面构成的二面角的平面角，计算其为90° • 判定定理法：线面垂直面面垂直作法：在其中一个平面内找出另一个平面的垂线。 2、类比、转化的数学思想
复习回顾
1、线面垂直的判定定理如果一条直线和一个平面内的两条相交直线垂直，那么这条直线垂直于这个平面。
2、二面角的平面角
以二面角的棱上任一点为端点，在两个面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角
面面垂直的定义：
一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直. 图形表示 β α
必修二立体几何2.3.2
平面与平面垂直的判定
学习目标：
1、能说出两个平面互相垂直的定义;通过直观感知，能归纳出两个平面垂直的判定定理。 2、能用符号语言表达定理，并能应用定理解决相关问题。 3、能说出直线与平面垂直、平面与平面垂直之间的相互联系，体会类比、转化的数学思想。

教学设计4：2.3.2 平面与平面垂直的判定

2.3.2平面与平面垂直的判定【课标要求】1．了解二面角，理解二面角的平面角．2．理解平面垂直的定义3．掌握平面与平面垂直的判定定理.【核心扫描】1．平面与平面垂直的判定．(重点)2．二面角的计算．(难点)【新知探究】新知导学1．二面角(1)定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形．这条直线叫二面角的棱，两个半平面叫二面角的面．(2)画法：(3)记法：二面角αlβ或PlQ或PABQ.(4)二面角的平面角：如图：二面角αlβ若有(i)O∈l；(ii)OA⊂α，OB⊂β；(iii)OA⊥l，OB⊥l，则二面角αlβ的平面角是∠AOB.(5)二面角的度量：二面角的大小可以用它的平面角来度量，二面角的平面角是多少度，就说这个二面角是多少度．当平面角为直角时，这个二面角叫做直二面角．温馨提示：(1)一般情况下二面角的平面角既不是顶点在棱上两边分别在二面角的两个面内两线所成角的最大角，也不是最小角．(2)当二面角为0°时，二面角的两个半平面重合当二面角为180°时，二面角的两个半平面合起来是整个平面．2．两个平面互相垂直(1)定义：两个相交平面，所成的二面角是直二面角．(2)画法：通常把直立平面的竖边画成与水平面的横边垂直．(3)记作：α⊥β.温馨提示(1)两个平面垂直，出现四个直二面角．(2)三个平面两两垂直，出现八个直二面角．3．两平面垂直的判定定理自然语言：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直．图形语言：如图．符号语言：b⊥α，b⊂β⇒α⊥β.温馨提示(1)该定理可简记为“线面垂直，则面面垂直”．(2)定理的关键词是“过另一面的垂线”，所以应用的关键是在平面内寻找另一个面的垂线．(3)线、面之间的垂直关系存在如下转化特征：线线垂直⇒线面垂直⇒面面垂直，这体现了立体几何问题求解的转化思想，应用时要灵活把握．互动探究探究点1 一个二面角的平面角有几个，这些平面角有什么关系？提示由于在二面角的棱上取点不同，其平面角有无限多个，这些平面角都相等．探究点2一个角的顶点在二面角棱上，两边分别在二面角的面上，且这个角等于90°，二面角的两个面一定垂直吗？提示不一定．当这个角的两边都垂直于棱时，二面角的两面垂直，否则不一定垂直．探究点3 (1)过平面α的垂线l，可作几个平面垂直于α？(2)已知a∥b，且a⊥α，过a、b与α垂直的平面有几个？提示(1)无数多个；(2)有且只有一个．【题型探究】类型一二面角及其平面角的理解【例1】下列命题中：①两个相交平面组成的图形叫做二面角；②异面直线a，b分别和一个二面角的两个面垂直，则a，b组成的角与这个二面角的平面角相等或互补；③二面角的平面角是从棱上一点出发，分别在两个面内作射线所成的角的最小角；④二面角的大小与其平面角的顶点在棱上的位置没有关系．其中正确的是()．A．①③B．②④C．③④D．①②[思路探索]利用二面角、平面角的定义判断．解析由二面角的定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，所以①不对，实质上它共有四个二面角；由a，b分别垂直于两个面，则a，b都垂直于二面角的棱，故②正确；③中所作的射线不一定垂直于二面角的棱，故③不对；由定义知④正确．故选B.答案B[规律方法](1)要注意区别二面角与两相交平面所成的角并不一致．(2)要注意二面角的平面角与顶点在棱上且角两边分别在二面角面上的角的联系与区别．(3)可利用实物模型，作图帮助判断．【活学活用1】若一个二面角的两个半平面分别垂直于另一个二面角的两个半平面，那么这两个二面角()．A．相等B．互补C．相等或互补D．关系无法确定解析如图所示，平面EFDG⊥平面ABC，当平面HDG绕DG转动时，平面HDG始终与平面BCD垂直，所以两个二面角的大小关系不确定，因为二面角HDGF的大小不确定．答案D类型二面面垂直的判定与证明【例2】如图所示，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，E 、F 是线段AB 上的两点，且DE ⊥AB ，CF ⊥AB ，AB ＝12，AD ＝5，BC ＝42，DE ＝4.现将△ADE ，△CFB 分别沿DE ，CF 折起，使A ，B 两点重合于点G ，得到多面体CDEFG .(1)求证：平面DEG ⊥平面CFG ；(2)求多面体CDEFG 的体积．[思路探索] 由条件易证出CF ⊥平面EFG 从而EG ⊥CF ，通过所给数据，计算验证△EFG 三边，利用勾股定理得出EG ⊥GF 是关键．(1)证明因为DE ⊥EF ，CF ⊥EF ，所以四边形CDEF 为矩形．由GD ＝5，DE ＝4，得GE ＝GD 2－DE 2＝3.由GC ＝42，CF ＝4，得FG ＝GC 2－CF 2＝4，所以EF ＝5.在△EFG 中，有EF 2＝GE 2＋FG 2，所以EG ⊥GF .又因为CF ⊥EF ，CF ⊥FG ，所以CF ⊥平面EFG .所以CF ⊥EG ，又CF ∩GF ＝F ，所以EG ⊥平面CFG .又EG ⊂平面DEG ，所以平面DEG ⊥平面CFG .(2)解如图，在平面EGF 中，过点G 作GH ⊥EF 于点H ，则GH ＝EG ·GF EF ＝125.因为平面CDEF ⊥平面EFG ，所以GH ⊥平面CDEF ，所以V 多面体CDEFG ＝13S 矩形CDEF ·GH ＝16. [规律方法] (1)本例体现线线垂直、线面垂直、面面垂直间的相互转化，结合数据运用勾股定理是证线线的常用方法．(2)运用面面垂直的判定定理，关键选准一个平面内哪条线容易证出与另一个平面平行．【活学活用2】如图，在三棱柱ABC A 1B 1C 1中，侧棱垂直底面，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ＝12AA 1，D 是棱AA 1的中点．(1)证明：平面BDC 1⊥平面BDC ；(2)平面BDC 1分此棱柱为两部分，求这两部分体积的比．(1)证明由题设知BC ⊥CC 1，BC ⊥AC ，CC 1∩AC ＝C ，所以BC ⊥平面ACC 1A 1.又DC 1⊂平面ACC 1A 1，所以DC 1⊥BC .由题设知∠A 1DC 1＝∠ADC ＝45°，所以∠CDC 1＝90°，即DC 1⊥DC .又DC ∩BC ＝C ，所以DC 1⊥平面BDC .又DC 1⊂平面BDC 1，故平面BDC 1⊥平面BDC .(2)解设棱锥B DACC 1的体积为V 1，AC ＝1.由题意得V 1＝13×1＋22×1×1＝12. 又三棱柱ABC A 1B 1C 1的体积V ＝1，所以(V －V 1)∶V 1＝1∶1.故平面BDC 1分此棱柱所得两部分体积的比为1∶1.类型三求二面角【例3】已知Rt △ABC ，斜边BC ⊂α，点A ∉α，AO ⊥α，O 为垂足，∠ABO ＝30°，∠ACO ＝45°，求二面角A BC O 的大小．[思路探索] 按“一作、二证、三计算”的步骤解答．解如图，在平面α内，过O 作OD ⊥BC ，垂足为D ，连接AD .∵AO ⊥α，BC ⊂α，∴AO ⊥BC .又∵AO ∩OD ＝O ，∴BC ⊥平面AOD .而AD ⊂平面AOD ，∴AD ⊥BC .∴∠ADO 是二面角A BC O 的平面角．由AO ⊥α，OB ⊂α，OC ⊂α，知AO ⊥OB ，AO ⊥OC .又∠ABO ＝30°，∠ACO ＝45°，∴设AO ＝a ，则AC ＝2a ，AB ＝2a .在Rt △ABC 中，∠BAC ＝90°，∴BC ＝AC 2＋AB 2＝6a ，∴AD ＝AB ·AC BC ＝2a ·2a 6a＝233a . 在Rt △AOD 中，sin ∠ADO ＝AO AD ＝a 233a ＝32. ∴∠ADO ＝60°.即二面角A BC O 的大小是60°.[规律方法] 直接法求二面角的步骤是“一作(平面角)、二证(证明是平面角)、三计算(在Rt △中进行)”，有三种方法(1)定义法：在二面角的棱上找一点，在两个半平面内过该点分别作垂直于棱的射线．(2)垂面法：过棱上一点作与棱垂直的平面，该平面与二面角的两个半平面形成交线，这两条射线(交线)所成的角，即为二面角的平面角．(3)垂线法：利用线面垂直的性质来寻找二面角的平面角，是最常用也是最有效的一种方法．【活学活用3】如图所示，在△ABC 中，AB ⊥BC ，SA ⊥平面ABC ，DE 垂直平分SC ，且分别交AC ，SC 于点D ，E ，又SA ＝AB ，SB ＝BC ，求二面角E BD C 的大小．解 ∵E 为SC 中点，且SB ＝BC .∴BE ⊥SC .又DE ⊥SC .BE ∩DE ＝E .∴SC ⊥平面BDE .∴BD ⊥SC ，又SA ⊥平面ABC .可得SA ⊥BD .SC ∩SA ＝S .∴BD ⊥平面SAC ，从而BD ⊥AC ，BD ⊥DE .∴∠EDC 为二面角E BD C 的平面角．设SA ＝AB ＝1，△ABC 中AB ⊥BC ，∴SB ＝BC ＝2，AC ＝3，∴SC ＝2.在Rt △SAC 中，∠DCS ＝30°，∴∠EDC ＝60°，即二面角E BD C 为60°.易错辨析因面面垂直理解不深刻导致的错误【示例】设ABCDA1B1C1D1为长方体，且底面ABCD为正方形，试问：截面ACB1与对角面BDD1B1垂直吗？[错解]如图所示，设AC∩BD＝O，则平面ACB1∩平面BDD1B1＝B1O，∵B1O是底面的斜线，∴截面AB1C与底面倾斜，从而截面AB1C不可能与对角面BDD1B1垂直．[错因分析]错解从B1O倾斜于底面，就断定截面AB1C不可能与对角面垂直，这是没有根据的，犯了主观臆断的错误．[正解]∵ABCD是正方形，∴AC⊥BD∵BB1⊥底面ABCD，∴AC⊥B1B又∵BD∩BB1＝B，AC⊄平面BDD1B，∴AC⊥平面BDD1B，∵AC⊂截面ACB1，∴截面ACB1⊥对角面BDD1B1.[防范措施]要掌握面面垂直的判定方法、如定义法、判定定理、常用结论等，进行推理论证面面垂直，不可主观臆断．【课堂达标】1．对于直线m，n和平面α，β，能得出α⊥β的一个条件是()．A．m⊥n，m∥α，n∥βB．m⊥n，α∩β＝m，n⊂αC．m∥n，n⊥β，m⊂αD．m∥n，m⊥α，n⊥β解析∵n⊥β，m∥n，∴m⊥β，又m⊂α，由面面垂直的判定理，∴α⊥β.答案C2．如图所示，在三棱锥PABC中，P A⊥平面ABC，∠BAC＝90°，则二面角BP AC的大小为()．A．90° B．60°C．45° D．30°解析∵P A⊥平面ABC，BA，CA⊂平面ABC，∴BA ⊥P A ，CA ⊥P A ，因此，∠BAC 即为二面角B P A C 的平面角．又∠BAC ＝90°，故选A.答案 A3．如图，在正方体ABCDA 1B 1C 1D 1中，截面C 1D 1AB 与底面ABCD 所成二面角C 1ABC 的大小为________．解析 ∵AB ⊥BC ，AB ⊥BC 1，∴∠C 1BC 为二面角C 1ABC 的平面角，大小为45°. 答案 45°4．在边长为1的菱形ABCD 中，∠ABC ＝60°，把菱形沿对角线AC 折起，使折起后BD ＝32，则二面角B AC D 的余弦值为________．解析如图所示，由二面角的定义知∠BOD 即为二面角的平面角．∵DO ＝OB ＝BD ＝32，∴∠BOD ＝60°. 答案 60° 5．如图，在底面为直角梯形的四棱锥P ABCD 中，AD ∥BC ，∠ABC ＝90°，P A ⊥平面ABCD ，AC ∩BD ＝E ，AD ＝2，AB ＝23，BC ＝6.求证：平面PBD ⊥平面P AC .证明 ∵P A ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，∴BD ⊥P A .又tan ∠ABD ＝AD AB ＝33，tan ∠BAC ＝BC AB＝3， ∴∠ABD ＝30°，∠BAC ＝60°，∴∠AEB ＝90°，即BD ⊥AC .又P A ∩AC ＝A ，∴BD ⊥平面P AC .∵BD ⊂平面PBD ，平面PBD ⊥平面P AC .【课堂小结】1．证明两个平面垂直的主要途径：(1)利用面面垂直的定义；(2)面面垂直的判定定理，即如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直．2．证明两个平面垂直，通常是通过证明线线垂直→线面垂直→面面垂直来实现的，因此，在关于垂直问题的论证中要注意线线垂直、线面垂直、面面垂直的相互转化．每一垂直的判定都是从某一垂直开始转向另一垂直，最终达到目的．3．下面的结论，有助于判断面面垂直：(1)m∥n，m⊥α，n⊂β⇒α⊥β；(2)m⊥α，n⊥β，m⊥n⇒α⊥β；(3)α∥β，γ⊥α⇒γ⊥β.。

课件10：2.3.2 平面与平面垂直的判定

所以二面角 B－PC－D 的平面角的度数为 120°.
规律方法 1.求二面角大小的步骤：
简称为“一作二证三求”．作平面角时，一定要注意顶点的选择．
2．作二面角的平面角的方法：方法一：(定义法)在二面角的棱上找一个特殊点，在两个半平面内分别作垂直于棱的射线．如图所示，∠AOB为二面角α－a－β的平面角．
(2) 解：∵PA⊥PC，且 PA⊥PB， ∴∠BPC 是二面角 D－AP－C 的平面角．由(1)知 BC⊥平面 PAC，则 BC⊥PC， ∴sin∠BPC＝BPCB＝25.
(3) 解：∵D 为 AB 的中点，M 为 PB 的中点，∴DM 12PA，且 DM＝5 3，由(1)知 PA⊥平面 PBC，∴DM⊥平面 PBC， ∵S△BCM＝12S△PBC＝2 21， ∴VM－BCD＝VD－BCM＝13×5 3×2 21＝10 7.
在 Rt△PAB 中，由 AB＝2，PA＝1，得 PB＝ 5.
3 因为 Rt△BNM∽Rt△BAP，所以M1N＝ 25，
故 MN＝3105.
又在 Rt△CNM 中，CN＝
530，故
cos∠CNM＝
6 4.
所以二面角
C－PB－A
的余弦值为
6 4.
学科核心素养直观想象能力与转化思想的应用——折叠问题折叠问题，即由平面图形经过折叠成为立体图形，在立体图形中解决有关问题．解题过程中，一定要抓住折叠前后的变量与不变量，画出平面图形和空间直观图，对比分析找出其数量关系和位置关系．
4.如图，在四棱锥 P－ABCD 中，若 PA⊥平面 ABCD 且 ABCD 是菱形．求证：平面 PAC⊥平面 PBD. 证明：∵PA⊥平面 ABCD，BD⊂平面 ABCD， ∴BD⊥PA. ∵ABCD 是菱形，∴BD⊥AC. 又 PA∩AC＝A，∴BD⊥平面 PAC. 又∵BD⊂平面 PBD， ∴平面 PBD⊥平面 PAC.

2.3.2平面与平面垂直的判定

2.3.2平面与平面垂直的判定一．教学目标知识与技能：体会二面角的概念与度量；归纳两个平面垂直的判定定理；应用判定定理证明一些空间位置关系的简单命题．过程与方法：通过二面角的概念的探索过程，渗透类比迁移的思想；通过归纳两个平面垂直的判定定理内容，提高学生抽象概括能力；通过运用定理的过程，提高学生类比化归能力，培养学生降低空间维数的化归与转化的数学思想．情感态度与价值观:直观感知，操作确认数学定理，通过揭示概念的形成、发展和应用过程，使学生理会教学存在于观实生活周围，从中激发学生积极思维，培养学生的观察、分析、解决问题能力.二．重点与难点教学重点：两个平面垂直的判定定理及应用；教学难点：二面角角的概念及度量方法，两个平面垂直的判定定理的归纳概括。

三．教学过程二面角定义问题1：直线与直线相交成一定的角，那么平面与平面相交是否也成一定角？利用课本“修筑水坝、发射人造卫星”两个实例，实际是两个平面相交，它们的相对位置可由两个平面所成的“角”确定.问题2: 阅读教科书第68页，类比初中所学角的概念，归纳二面角的概念.从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫二面角，这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面.问题3：举出实际生活中一些二面角的例子.问题4：如何表示二面角？二面角的度量问题1：我们常说“把门开得大些”，是指哪个角大些，我们应该怎样刻画二面角的大小？回忆定义两条异面直线所成角的做法得到启发，能否用“平面角”来度量“二面角”?引导学生动手操作------翻开教科书成二面角形状,观察书页底部边沿所成的平面角随着翻动幅度的改变(二面角)而改变的情况.引导学生进分析书页底部边沿所成的平面角的特点.一是平面角的顶点在棱上；二是平面角的两边分别在二面角的两个平面内；三是两边分别垂直于棱。

问题2:对于确定的二面角而言,满足上述特点的平面角有多少个?请在二面角模型上任意作两个平面角, 平面角的大小与顶点在棱上的位置有无关系? 平面角与顶点在棱上的位置无关，只与二面角的张角大小有关。

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l l
β
l α
A
面面垂直
例1.设AB是圆O的直径 , PA垂直于圆 O所在平面 , C是圆周上的任意点。求证: 平面PAC 平面PBC
P
线线垂直
C
A
O
线面垂直
B
面面垂直
证明: 设已知⊙O平面为α PA 面 , BC 面
PA BC 又 AB为圆的直径 AC BC PA BC AC BC PA AC A PA 面PAC
3.二面角的平面角
以二面角的棱上任一点为端点,在两个面内分别作垂直于棱的两条射线,这两条射线所成的角叫做二面角的平面角注意：二面角的平面角的三个特征:
1.点在棱上
B
O
2.线在面内
3.与棱垂直
平面角是直角的二面角叫做直二面角
A A O B
∠AOB=90°
l
二面角的范围 [0°,180°]

AC 面PAC BC 面PAC BC 面PBC
面PAC 面PBC
探究已知 AB 面 BCD , BC CD 请问哪些平面互相垂直的,为什么?
AB 面BCD 面ABC 面BCD AB 面BCD 面ABD 面BCD CD 面ABC 面ABC 面ACD
4.在正方体ABCD-A′B′C′D′中，找出二面角C′-BD-C的平面角.
D’
C’
A’
B’ D
C O B
A
二面角C′-BD-A的平面角呢？
5．在空间四边形ABCD中,若AB=BC, AD=CD,E为对角线AC的中点. 求证:平面ABC⊥平面BDE
A
E B D
C
课堂小结
从一条直线引出的两个半平面所组成的图形叫做二面角。二面角的平面角用来度量二面角的大小。
二面角的平面角是用来度量二面角的大小，平面角是多少度，就说这个二面角是多少度。
D
A
B
C

A
D

C
B
上图是正方体ABCD-A‘B’C‘D’, 二面角 CD 度数为45°
两平面互相垂直

l
B A

O
如果两个平面相交, 且其所成的二面角是直二面角，那么我们称这两个平面相互垂直. 记作：

画法：
如何检测所砌的墙面和地面是否垂直？
1、定义法找二面角的平面角说明该平面角是直角
除了定义之外，还有什么办法吗?
可以用铅垂线判断所在直线是否与地面垂直。
面面垂直的判定方法：
2、判定定理
一个平面过另一个平面的一条垂线，则这两个平面垂直.
符号表示
（线面垂直面面垂直）
线线垂直
线面垂直
2. 填空：
无数平面 1）过平面α的一条垂线可作个____ 与平面α垂直。无数个平面与已知平面垂 2）过一点可作_____ 直。 1 个平面 3）过平面α的一条斜线，可作___ 与平面α垂直。
1 个平面 4）过平面α的一条平行线可作___ 与α垂直。
3. 选择：
1）给出下列四个命题： ①垂直于同一个平面的两个平面平行； ②垂直于同一条直线的两个平面平行； ③垂直于同一个平面的两条直线平行； ④垂直于同一条直线的两条直线平行。其中正确的命题的个数是（ B ） A．1 B．2 C．3 D．4 2）给出下列四个命题：（其中a，b表直线，α，β，γ表平面） ①若a⊥b，a∥α，则b⊥α； ②若a∥α，α⊥β，则a⊥β； ③若β∥γ，α∥γ，则α⊥β； ④若α⊥β，a⊥β，则a∥α 其中不正确的命题的个数是（ D） A．1 B．2 C．3 D．4

l
B

A
O
平面角是直角的二面角叫做直二面角。
面面垂直的判定方法：
1、定义法找二面角的平面角 2、判定定理
一个平面过另一个平面的一条垂线，则这两个平面垂直.
符号表示
说明该平面角是直角
（线面垂直面面垂直）
l l
β l α A
探究：已知：ABCD为正方形，SD⊥平面AC，
思考：书本展开时形成的“角度”的大小如何来确定？用什么来衡量？

思考1:如图,能否用∠AOB来刻画二面角的张开程度？ β β O l B α l O A α
B
Байду номын сангаас
A
思考2:在上图中如何调整OA、OB的位置，使∠AOB被二面角α -l-β 唯一确定？思考3:这个角的大小是否与顶点O在棱上的位置有关？思考4:上面所作的角叫做二面角的平面角，你能给二面角的平面角下个定义吗？
B C D A
随堂练习 1. 判断： 1）如果平面α内有一条直线垂直于平面β 内的一条直线，则α⊥β（ ×） 2）如果平面α内有一条直线垂直于平面β 内的两条直线，则α⊥β（ ×） 3）如果平面α内的一条直线垂直于平面β 内的两条相交直线, 则α⊥β（√ ） 4）若m⊥α，m β，则α⊥β( √ )
mα nα m∩n=B l ⊥α l⊥m l⊥n 线线垂直线面垂直
l

B m
n A
二、新知建构
问题：在实际生活中，有许多问题要涉及到两个平面相交所成的角的情形，
A B
D
C

你还能举出类似这些角的一些例子吗？
资料一:沙发
资料二:室内一景
资料三:水库一角.
想一想
这些角有何特点，该如何表示呢？
问：图中所示的7个平面中，共有多少对互相垂直的平面？
1.平面SAD⊥平面ABCD
2.平面SBD⊥平面ABCD
3.平面SCD⊥平面ABCD
S
4.平面SAD⊥平面SCD
5.平面SBC⊥平面SCD 6.平面SAB⊥平面SAD 7.平面SAC⊥平面SBD
A
D
O B
C
2.3.2 平面与平面垂直的判定
学习目标
了解二面角及其平面角的概念，并会求二面角的大小理解并掌握两个平面垂直的判定定理，并能解决有关面面垂直的问题。
重、难点
两个平面垂直判定定理的应用
1.线面垂直定义： 2.线面垂直判定定理: 一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直.
1、半平面：一个平面内的一条直线，把这个平面分成两部分，其中的每一部分都叫做半平面．
D E C
A
F
B
2、二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角．这条直线叫做二面角的棱．这两个半平面叫做二面角的面．
A A

l
l 记为：二面角α-l -β 或者

B

B

二面角α-AB-β