关于牙膏销售量的数学模型课程设计
数学建模作业8
数学建模作业8（1）为了大致地分析y 与1x 和2x 的关系，首先利用表一的数据分别作出y 对1x 和2x 的散点图y 与x1的关系 程序代码：x1=[-0.05 0.25 0.60 0 0.25 0.20 0.15 0.05 -0.15 0.15 0.20 0.10 0.40 0.45 0.35 0.30 0.50 0.50 0.40 -0.05 -0.05 -0.10 0.20 0.10 0.50 0.60 -0.05 0 0.05 0.55];y=[7.38 8.51 9.52 7.50 9.33 8.28 8.75 7.87 7.10 8.00 7.89 8.15 9.10 8.86 8.90 8.87 9.26 9.00 8.75 7.95 7.65 7.27 8.00 8.50 8.75 9.21 8.27 7.67 7.93 9.26];A=polyfit(x1,y,1) y1=polyval(A,x1); plot(x1,y1,x1,y,'go')y 与x2的关系x2=[5.50 6.75 7.25 5.50 7.00 6.50 6.75 5.25 5.25 6.00 6.50 6.25 7.00 6.90 6.80 6.80 7.10 7.00 6.80 6.50 6.25 6.00 6.50 7.00 6.80 6.80 6.50 5.75 5.80 6.80];y=[7.38 8.51 9.52 7.50 9.33 8.28 8.75 7.87 7.10 8.00 7.89 8.15 9.10 8.86 8.90 8.87 9.26 9.00 8.75 7.95 7.65 7.27 8.00 8.50 8.75 9.21 8.27 7.67 7.93 9.26];A=polyfit(x2,y,2) x3=5.25:0.05:7.25; y2=polyval(A,x3); plot(x2,y,'go',x3,y2)图1 y 对x1的散点图 图2 y 与x2的散点图从图1 可以发现，随着1x 的增加，y 的值有比较明显的线性增长趋势，图中的直线是用线性模型 011y x ββε=++ （1）拟合的（其中ε是随机误差），而在图2中，当2x 增大时，y 有向上弯曲增长的趋势，图中的曲线是用二次函数模型 201122y x x βββε=+++ （2） 拟合的。
云南白药牙膏营销策划案
一、云南白药牙膏市场营销环境分析（一）宏观环境分析近五年是中国经济平稳快速增长、波动较小的时期。
从2002年底开始，中国经济进入了上升的通道。
2003年至今，我国经济的增长持续保持在10%或略高于10%的增速，总体来说经济运行平稳，没有较大的起伏。
2007年中国经济增长速度达到11.4%，是近几年来的最高的水平，但随着社会总需求的强劲自发扩张的势头稍微减弱，消费稳定增长、投资增速回落加上进出口增速放缓。
未来经济增速加速上升的趋势不大，预计稳中回落。
而人均可支配收入的提高和恩格尔系数的下降也表明消费者有条件去追求高品质的、健康的生活，这对牙膏市场来说无疑是一个巨大的挑战，也是一个重新建立市场地位的时机。
（二）微观环境分析1、中国牙膏市场平稳增长随着中国经济的快速发展，人民物质文化水平的提高，中国牙膏市场一直呈现稳步的增长。
有关统计数据显示，2003年中国牙膏行业实现销售收入72.51亿元，2004年中国口腔清洁用品市场规模达到70个亿，2005年中国牙膏产量达到64亿支，销售额达到近80亿元，2006年牙膏产量达74亿支。
2008年，全行业共生产牙膏73.89亿标准支（65g），实现产值175亿元。
2008年第四季度以来，受国际金融危机的影响，全行业55个规模以上企业一度出现负增长。
有关数据统计显示，2009年全国牙膏零售总额为100.5亿。
2、中国牙膏市场潜力巨大中国城市居民有三分之一人群没有良好的刷牙习惯（即未能每日早晚两次刷牙）；而在广大农村地区，约有57%的人不刷牙，农村目标消费群人口基数在5亿以上。
因此市场潜力非常巨大。
3、现有牙膏产品多以防蛀、美白、口气清新等功能为主通过对现有产品的分析，传统牙膏解决的大多是牙齿的问题，即注重防蛀、清洁和美白的作用，很少关注口腔健康问题。
然而，中国90%的成年人都有不同程度的口腔问题。
大量研究表明随着饮食习惯的改变（麻、辣、烫）和工作压力的增大，口腔溃疡、牙龈肿痛、出血、萎缩等口腔问题正快速蔓延。
牙膏销售问题
b,bint,stats
3）对模型进行改进，确定回归模型系数，求解出教程中模型（5）；
Matlab程序：
x1=[-0.05 0.25 0.60 0 0.25 0.20 0.15 0.05 -0.15 0.15 0.20 0.10 0.40 0.45 0.35 0.30 0.50 0.50 0.40 -0.05 -0.05 -0.10 0.20 0.10 0.50 0.60 -0.05 0 0.05 0.55]';
表2模型（3）的计算结果
参数
参数估计值
参数置信区间
17.3244
[5.7282，28.9206]
1.3070
[0.6829，19311]
-3.6956
[-7.4989,0.1077]
0.3486
[0.0379,0.6594]
=0.9054 F=82.9409 p<0.0001 =0.0490
结果分析：表2显示， =0.9054指因变量y（销售量）的90.54%可由模型确定，F值远远超过F检验的临界值，p远小于 ，因而模型（3）从整体来看时可用的。
佛山科学技术学院
上机报告
课程名称数学建模
上机项目牙膏销售问题
专业班级
一、问题提出
根据牙膏销售量与价格、广告费等表格1中的数据，建立三个模型，要求：
1）画出散点图：y对x1的散点图1；y对x2的散点图2；
2）确定回归模型系数，求解出教程中模型（3）；
3）对模型进行改进，确定回归模型系数，求解出教程中模型（5）；
x1=[-0.05 0.25 0.60 0 0.25 0.20 0.15 0.05 -0.15 0.15 0.20 0.10 0.40 0.45 0.35 0.30 0.50 0.50 0.40 -0.05 -0.05 -0.10 0.20 0.10 0.50 0.60 -0.05 0 0.05 0.55];
统计模型在数学建模的应用
对因变量的影响是否显著.
• 模型改进, 如增添二次项、交互项等. • 对因变量进行预测.
2 软件开发人员的薪金
建立模型研究薪金与资历、管理责任、教育程度的关系 . 分析人事策略的合理性，作为新聘用人员薪金的参考. 46名软件开发人员的档案资料
编 号 01 02 03 04 薪金 13876 11608 18701 11283 资 历 1 1 1 1 管 理 1 0 1 0 教 育 1 3 3 2 编 号 42 43 44 45 46 薪金 27837 18838 17483 19207 19346 资 历 16 16 16 17 20 管 理 1 0 0 0 0 教 育 2 2 1 2 1
销售 周期 1 2
29 30
3.80 3.70
3.85 4.25
5.80 6.80
0.05 0.55
7.93 9.26
基本模型
y ~公司牙膏销售量 x1~其他厂家与本公司价格差 x2~公司广告费用
y 10
9.5 9 8.5 8 7.5 7 -0.2 0 0.2 0.4 0.6
e 与资历x1的关系
2000 1000
2000 1000 0 -1000
0
-1000
-2000
0
5
10
15
20
-2000
1
2
3
4
5
6
残差大概分成3个水平, 6种管理—教育组合混在 一起，未正确反映.
残差全为正,或全为负,管 理—教育组合处理不当. 应在模型中增加管理x2与 教育x3, x4的交互项 .
1 牙膏的销售量
问 题
建立牙膏销售量与价格、广告投入之间的模型; 预测在不同价格和广告费用下的牙膏销售量. 收集了30个销售周期本公司牙膏销售量、价格、 广告费用，及同期其他厂家同类牙膏的平均售价 .
数学建模第10章
价格差 x1=0.3
x2 7.5357
ˆ y
ˆ y
x1 0.1
10.5 10 9.5 9 8.5
ˆ y
价格优势会使销售量增加
加大广告投入使销售量增加 （ x2大于6百万元） 价格差较小时增加 的速率更大
x1=0.3
x1=0.1
8 7.5 5 6 7 8
x2
价格差较小时更需要靠广告 来吸引顾客的眼球
ˆ y
x1 0.3
x1 0.1
x1 0.3
ˆ x ˆ x ˆ x2 ˆ xx ˆ 0 y 1 1 2 2 3 2 4 1 2
2 30 .2267 7.7558 x 2 0.6712 x 2
2 32.4535 8.0513 x 2 0.6712 x 2
参数
0 1 2 3 4
两模型销售量预测比较
控制价格差x1=0.2元，投入广告费x2=6.5百万元
2 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ y 0 1x1 2 x2 3 x2
ˆ 8.2933 (百万支) y
区间 [7.8230，8.7636]
2 ˆ ˆ ˆ ˆ xx ˆ 0 1x1 2 x2 3 x2 y 4 1 2
第十章
统计回归模型
10.1 牙膏的销售量 10.2 软件开发人员的薪金
数学建模的基本方法
机理分析
测试分析
由于客观事物内部规律的复杂及人们认识程度的限制, 无法分析实际对象内在的因果关系，建立合乎机理规 律的数学模型。 通过对数据的统计分析，找出与数据拟合最好的模型 回归模型是用统计分析方法建立的最常用的一类模型 • 不涉及回归分析的数学原理和方法 • 通过实例讨论如何选择不同类型的模型 • 对软件得到的结果进行分析，对模型进行改进
云南白药牙膏营销策划案
一、云南白药牙膏市场营销环境分析（一）宏观环境分析近五年是中国经济平稳快速增长、波动较小的时期。
从2002年底开始，中国经济进入了上升的通道。
2003年至今，我国经济的增长持续保持在10%或略高于10%的增速，总体来说经济运行平稳，没有较大的起伏。
2007年中国经济增长速度达到11.4%，是近几年来的最高的水平，但随着社会总需求的强劲自发扩张的势头稍微减弱，消费稳定增长、投资增速回落加上进出口增速放缓。
未来经济增速加速上升的趋势不大，预计稳中回落。
而人均可支配收入的提高和恩格尔系数的下降也表明消费者有条件去追求高品质的、健康的生活，这对牙膏市场来说无疑是一个巨大的挑战，也是一个重新建立市场地位的时机。
（二）微观环境分析1、中国牙膏市场平稳增长随着中国经济的快速发展，人民物质文化水平的提高，中国牙膏市场一直呈现稳步的增长。
有关统计数据显示，2003年中国牙膏行业实现销售收入72.51亿元，2004年中国口腔清洁用品市场规模达到70个亿，2005年中国牙膏产量达到64亿支，销售额达到近80亿元，2006年牙膏产量达74亿支。
2008年，全行业共生产牙膏73.89亿标准支（65g），实现产值175亿元。
2008年第四季度以来，受国际金融危机的影响，全行业55个规模以上企业一度出现负增长。
有关数据统计显示，2009年全国牙膏零售总额为100.5亿。
2、中国牙膏市场潜力巨大中国城市居民有三分之一人群没有良好的刷牙习惯（即未能每日早晚两次刷牙）；而在广大农村地区，约有57%的人不刷牙，农村目标消费群人口基数在5亿以上。
因此市场潜力非常巨大。
3、现有牙膏产品多以防蛀、美白、口气清新等功能为主通过对现有产品的分析，传统牙膏解决的大多是牙齿的问题，即注重防蛀、清洁和美白的作用，很少关注口腔健康问题。
然而，中国90%的成年人都有不同程度的口腔问题。
大量研究表明随着饮食习惯的改变（麻、辣、烫）和工作压力的增大，口腔溃疡、牙龈肿痛、出血、萎缩等口腔问题正快速蔓延。
数学模型_牙膏的销售量
yˆ 略有增加
预测区间长度更短
两模型yˆ 与x1,x2关系的比较
y ˆˆ0ˆ1x 1ˆ2x2ˆ3x2 2 y ˆ0 ˆ 1 x 1 ˆ2 x 2 ˆ3 x 2 2 ˆ4 x 1 x 2
yˆ
yˆ
9
9
8.5
x2=6.5 8.5
8
8
7.5 -0.2
y~被解释变量（因变量）
y 10
9.5
x1, x2~解释变量(回归变量, 自变量) 9 8.5
0, 1 , 2 , 3 ~回归系数
8
7.5
~随机误差（均值为零的
正态分布随机变量）
7 5
5.5
6
6.5
x 7
7.5
2
y01x22x2 2
模型求解 MATLAB 统计工具箱
y01 x 12 x 23 x 2 2由数据 y,x1,x2估计
销售量 (百万支)
7.38
2
3.75
4.00
6.75
0.25
8.51
29
3.80
3.85
5.80
0.05
7.93
30
3.70
4.25
6.80
0.55
9.26
基本模型
y 10
9.5
y ~公司牙膏销售量
9
x1~其它厂家与本公司价格差
8.5 8
x2~公司广告费用
7.5 7
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
y01 x 12 x 23 x 2 2 y01x1x1
[b,bint,r,rint,stats]=regress(y,x,alpha)
数学建模举例
10.1牙膏的销售量某大型牙膏制造企业为了更好地拓展产品市场，有效地管理库存，公司董事会要求销售部门根据市场调查，找出公司生产的牙膏销售量与销售价格、广告投入等之间的关系，从而预测出在不同价格和广告费用下的销售量。
为此，销售部的研究人员收集了过去30个销售周期（每个销售周期为4周）公司生产的牙膏的销售量、销售价格、投入的广告费用，以及同期其它厂家生产的同类牙膏的市场平均销售价格，见表1-1（其中价格差指其它厂家平均价格与公司销售价格之差）。
试根据这些数据建立一个数学模型，分析牙膏销售量与其它因素的关系，为制订价格策略和广告投入策略提供数量依据表1-1牙膏销售量与销售价格、广告费用等数据一、问题重述根据过去30个销售周期（每个销售周期为4周）公司生产的牙膏的销售量、销售价格、投入的广告费用，以及同期其它厂家生产的同类牙膏的市场平均销售价格，见表1-1。
根据这些数据建立一个数学模型，分析牙膏销售量与其它因素的关系，为制订价格策略和广告投入策略提供数量依据二、问题分析由于牙膏是生活必需品，对大多属顾客来说，在购买同类产品的牙膏是更多地会在意不同品牌之间的价格差异，而不是它们的价格本身。
因此，在研究各个因素对销量的影响时，用价格差代替公司销售价格和其他厂家平均价格更为合适。
三、模型假设1.画出牙膏销售量与价格差，公司投入的广告费用的散点图2.由散点图确定两个函数模型，再由这两个函数模型解出回归模型3.对模型进行改进，添加新的条件确定更好的回归模型系数，得到新的回归模型4.对模型进一步改进，确定最终的模型四、符号约定牙膏销售量为y，其他厂家平均价格和公司销售价格之差（价格差）为x1，公司投入的广告费用为x2，其他厂家平均价格和公司销售价格分别为x3和x4,x1=x3-x4。
基于上面的分析，我们仅利用1x和2x来建立y的预测模型。
五、模型的建立和求解1.基本模型利用表1-1的数据用matlab作出y与x1的散点图（图1-1），y与x2的散点图（图1-2）代码如下：x1=[-0.05 0.25 0.6 0 0.25 0.2 0.15 0.05 -0.15 0.15 0.2 0.1 0.4 0.45 0.35 0.3 0.5 0.5 0.4 -0.05 -0.05 -0.1 0.2 0.1 0.5 0.6 -0.05 0 0.05 0.55];x2=[5.5 6.75 7.25 5.5 7 6.5 6.75 5.25 5.25 6 6.5 6.25 7 6.9 6.8 6.8 7.1 7 6.8 6.5 6.25 6 6.5 7 6.8 6.86.5 5.75 5.8 6.8];y=[7.38 8.51 9.52 7.5 9.33 8.28 8.75 7.87 7.1 8 7.89 8.15 9.1 8.86 8.9 8.87 9.26 9 8.75 7.95 7.657.27 8 8.5 8.75 9.21 8.27 7.67 7.93 9.26];A1=polyfit(x1,y,1);yy1=polyval(A1,x1);A2=polyfit(x2,y,2);x5=5:0.05:7.25;yy2=polyval(A2,x5);subplot(1,2,1);plot(x1,y,'o',x1,yy1);title('图1 y对x1的散点图');subplot(1,2,2);plot(x2,y,'o',x5,yy2);title('图2 y对x2的散点图');图（1-1）与图（1-2）从图1可以发现，随着1x 的增加，y 的值有比较明显的线性增长趋势，图中的直线是用线性模型：011y x ββε=++（1）拟合的（其中ε是随机误差）。
关于牙膏销售量的数学模型课程设计(知识学习)
统计12-1 李本恩一、 课题名称：牙膏销售量的影响因素 二、 课题条件参考文献：：《MATLAB 从入门到精通》 三、 设计任务本文从收集有关牙膏的销售量开始，从牙膏销售量和价格、广告投入之间的关系出发，分别通过对这三个方面的深入研究从而制定出各自的最佳方案，最后再综合这 三个主要因素，进一步深入并细化，从而求得最优解。
四、论文内容摘要内容 ：本文从收集有关牙膏的销售量开始，从牙膏销售量和价格、广告投入之间的关系出发，分别通过对这三个方面的深入研究从而制定出各自的最佳方案， 最后再综合这三个主要因素，进一步深入并细化，从而求得最优解。
模块Ⅰ中，我们假设在x 1和x 2对y 的影响独立 ，从而得到了方程εββββ++++=22322110x x x y模块Ⅱ中，我们假设x 1和x 2对y 的影响有交互作用，进一步得到新的方程20112232412y x x x x x βββββε=+++++关键词：线性回归模型 相关系数问题重述：某大型牙膏制造企业为了更好的拓展产品市场，有效地管理 库存，公司董事会要求销售部门根据市场调查，找出公司生产 的牙膏销售量价格，广告投入等之间的关系，从而预测出在不 同价格和广告费用下的销售量。
为此，销售部的研究人员收集 了过去30个销售周期（每个销售周期为4周）公司生产的牙 膏销量，销售价格，投入的广告费用，以及同期其他厂家生产 的同类牙膏的平均销售价格，见表1。
试根据这些数据建立一 个数学模型，分析牙膏销售量与其他因素的关系，为制定价格 策略和广告投入策略提供数据依据。
销售 周期 公司销售价格（元） 其他厂家平均价格（元） 广告费用（百万元） 价格差 （元） 销售量 （百万支）1 2 33.85 3.75 3.703.804.00 4.305.506.757.25-0.05 0.25 0.607.38 8.51 9.524 5 6 7 8 9101112131415161718192021222324252627282930 3.703.603.603.603.803.803.853.903.903.703.753.753.803.703.803.703.803.803.753.703.553.603.653.703.753.803.703.703.853.803.753.853.654.004.104.004.104.204.104.104.204.304.103.753.753.653.903.654.104.253.653.753.854.255.507.006.506.755.255.256.006.506.257.006.906.806.807.107.006.806.506.256.006.507.006.806.806.505.755.806.800.250.200.150.05-0.150.150.200.100.400.450.350.300.500.500.40-0.05-0.05-0.100.200.100.500.60-0.050.050.557.509.338.288.757.877.108.007.898.159.108.868.908.879.269.008.757.957.657.278.008.508.759.218.277.677.939.26（其中价格差指其他厂家平均价格与公司销售价格之差）1.实验设计方案1) 前期分析：由于牙膏是生活必需品，对大多数顾客来说，在购买同类产品的牙膏时更多的会在意不同品牌之间的价格差异，而不是它们的价格本身。
数学建模牙膏模型
Stats~ 检验统计量 R2,F, p
2 结果分析 y 0 1 x1 2 x2 3 x2
参数
参数估计值 置信区间 0 17.3244 [5.7282 28.9206] 1 1.3070 [0.6829 1.9311 ] 2 -3.6956 [-7.4989 0.1077 ] 3 0.3486 [0.0379 0.6594 ] R2=0.9054 F=82.9409 p=0.0000
9
ˆ y
9
ˆ y
8.5
x2=6.5
0 0.2 0.4 0.6
8.5
8
87.5 -0.2x17.5 -0.2
0
0.2
0.4
0.6
x1
10 9.5 9 8.5 8 7.5 5
ˆ y
10.5 10
ˆ y
x1=0.2
6 7 8
9.5 9 8.5
x2
8
5
6
7
8
x2
交互作用影响的讨论
价格差 x1=0.1
ˆ y
参数
2 y 0 1 x1 2 x2 3 x2 4 x1 x2
参数估计值 置信区间 0 17.3244 [5.7282 28.9206] 1 1.3070 [0.6829 1.9311 ] 2 -3.6956 [-7.4989 0.1077 ] 3 0.3486 [0.0379 0.6594 ] R2=0.9054 F=82.9409 p=0.0000 参数估计值 置信区间 29.1133 [13.7013 44.5252] 11.1342 [1.9778 20.2906 ] -7.6080 [-12.6932 -2.5228 ] 0.6712 [0.2538 1.0887 ] -1.4777 [-2.8518 -0.1037 ] R2=0.9209 F=72.7771 p=0.0000
牙膏销售量的分析
牙膏销售量的分析摘要牙膏销售量会受到销售价格,广告投入等因素的影响,预测在不同价格和广告投入费用下牙膏的销量，对牙膏制造企业更好地拓展产品市场,有效地管理库存有十分重要的意义。
本文通过牙膏销售量与价格和投入的广告费用的散点图，得到两个函数模型，然后由函数模型解出回归模型，并不断的对回归模型进行改进，添加新的条件，最终确定出合适的回归模型，能够对牙膏销售量起到很好的预测作用。
关键词：回归模型；MATLAB；相关系数；置信区间；检验统计量；预测模型一、问题重述某大型牙膏制造企业为了更好地拓展产品市场,有效地管理库存，公司董事会要求销售部门根据市场调查,找出公司牙膏销售量与销售价格,广告投入等之间的关系,从而预测在不同价格和广告投入费用下的销量。
为此,销售部门的研究人员收集了过去30个销售周期(每个周期为4周)公司生产的牙膏的销售量,销售价格和广告费用,以及同期其他厂家生产的同类牙膏的市场平均价格，见表1（其中价格差指其它厂家平均价格与公司销售价格之差）。
试根据这些数据建立一个数学模型, 分析牙膏销售量与其它因素的关系,为制定价格策略和广告投入策略提供数量依据。
表1牙膏销售量与销售价格、广告费用等数据销售周期公司销售价格(元)其他厂家平均价格(元)价格差(元)广告费用(百万元)销售量(百万支)1 3.85 3.80 -0.05 5.5 7.382 3.75 4.00 0.25 6.75 8.513 3.70 4.30 0.60 7.25 9.524 3.60 3.70 0.00 5.50 7.505 3.60 3.85 0.25 7.00 9.336 3.6 3.80 0.20 6.50 8.287 3.6 3.75 0.15 6.75 8.758 3.8 3.85 0.05 5.25 7.879 3.8 3.65 -0.15 5.25 7.1010 3.85 4.00 0.15 6.00 8.0011 3.90 4.10 0.20 6.50 7.8912 3.90 4.00 0.10 6.25 8.1513 3.70 4.10 0.40 7.00 9.1014 3.75 4.20 0.45 6.90 8.86销售周期公司销售价格(元)其他厂家平均价格(元)价格差(元)广告费用(百万元)销售量(百万支)15 3.75 4.10 0.35 6.80 8.9016 3.80 4.10 0.30 6.80 8.8717 3.70 4.20 0.50 7.10 9.2618 3.80 4.30 0.50 7.00 9.0019 3.70 4.10 0.40 6.80 8.7520 3.80 3.75 -0.05 6.50 7.9521 3.80 3.75 -0.05 6.25 7.6522 3.75 3.65 -0.10 6.00 7.2723 3.70 3.90 0.20 6.50 8.0024 3.55 3.65 0.10 7.00 8.5025 3.60 4.10 0.50 6.80 8.7526 3.70 4.25 0.60 6.80 9.2127 3.75 3.65 -0.05 6.50 8.2728 3.75 3.75 0.00 5.75 7.6729 3.80 3.85 0.05 5.80 7.9330 3.70 4.25 0.55 6.80 9.26二、问题分析牙膏是我们生活必需品，对大多数顾客来说，在购买同类产品的牙膏时更多地会在意不同品牌中间的价格差异，而不是他们的价格本身，因此在研究各个因素对销售量的影响时,用价格差代替公司销售价格更为合适，为了预测在不同广告投入下牙膏的销售量，可以对销售量进行回归分析。
牙膏销售量问题的微分方程模型
㊀㊀㊀１３９㊀数学学习与研究㊀２０２１ １牙膏销售量问题的微分方程模型牙膏销售量问题的微分方程模型Һ王智峰㊀陈传军㊀孙丰云㊀（烟台大学数学与信息科学学院，山东㊀烟台㊀２６４００５）㊀㊀ʌ摘要ɔ针对牙膏销售量问题，本文改进了回归分析模型，建立了微分方程模型进行销售量的预测，最后给出了灵敏度分析和稳定性分析．ʌ关键词ɔ牙膏销售量；微分方程模型；回归分析模型ʌ基金项目ɔ高等学校大学数学教学研究与发展中心资助（Ｎｏ．ＣＭＣ２０１９０４０８），烟台大学教学改革研究项目资助（Ｎｏ．ｊｙｘｍ２０１９０４１），山东省高等教育本科教改项目（Ｎｏ．Ｚ２０１８Ｓ０４９）一㊁引㊀言在姜启源㊁谢金星㊁叶俊编著的‘数学建模“（第４版）［１］的第十章中，提出了牙膏销售量问题．已知的数据包括三部分：某厂家的价格与其他厂家的价格差，广告投入，牙膏销售量．问题要求建立预测牙膏销售量的数学模型．书中针对已知数据进行分析，如图１，图２所示，销售量和价格差呈线性关系，销售量与广告费用呈二次函数关系．图１㊀销售量与价格差散点图（线性关系）图２㊀销售量与广告费用散点图（二次函数关系）基于以上的数据分析，书中建立了销售量ｙ与价格差ｘ１㊁广告费用ｘ２之间的多元线性回归分析模型为：ｙ＝β０＋β１ｘ１＋β２ｘ２＋β３ｘ２２＋ε．（１）其中βｉ，ｉ＝０， ，３是回归系数．利用数学软件ＭＡＴＬＡＢ［２］或ＳＰＳＳ［３］，结合已有的数据可以估计出回归系数，得到预测销售量的回归分析模型为：ｙ＝１７．３＋１．３ｘ１－３．７ｘ２＋０．３ｘ２２．（２）分析模型（２）可知：随着ｘ２增大，销售量ｙ会越来越大．当ｘ２趋于无穷时，销售量ｙ也趋于无穷．这个显然不符合实际情况，因为销售量会受市场影响，最终会达到市场饱和状态，而不会趋于无穷．二㊁模型改进随着广告费用ｘ２的增加，销售量ｙ会达到市场饱和量，这个变化趋势与人口预测问题中的阻滞增长模型相似，因此，我们使用微分方程模型来研究这个问题．以广告费用ｘ２为自变量，价格差ｘ１为已知的变量，销售量为因变量，结合阻滞增长模型，建立如下微分方程模型：ｄｙｄｘ２＝（ａ＋ｂｘ１）ｙ１－ｙｙｍ()，ｙ（０，５．５）＝７．５．ìîíïïï（３）其中ｙｍ代表市场饱和量，ａ，ｂ是待定系数．根据已知的数据，结合ＭＡＴＬＡＢ［２］软件可以得到待定系数ａ，ｂ以及市场饱和量ｙｍ的估计值，因此，销售量ｙ与价格差ｘ１㊁广告费用ｘ２之间的关系式如下：ｙ＝１４９．２ｅ（ｘ２（０．０３＋０．３１ｘ１））１９．９＋１５ｅ（ｘ２（０．０３＋０．３１ｘ１））－１５．（４）其中ｙｍ＝９．９５．利用牙膏销售量模型的解析解表达式（４）式，结合已知的价格差ｘ１㊁广告费用ｘ２的数据，对销售量ｙ进行预测．在图３中，代表已有的销售量数据，曲线代表将已有的价格差㊁广告费用的数据代入表达式（４）中后，计算出来的销售量的预测值．由图３可知，微分方程模型可以很好地描述销售量的变化趋势，并能刻画出销售量随着时间. All Rights Reserved.㊀㊀㊀㊀㊀１４０数学学习与研究㊀２０２１ １周期变化的情况．图３㊀改进后模型的预测图三㊁模型检验在使用模型解决问题之前，需要对模型进行检验分析．微分方程模型（３）的检验主要包括稳定性分析和灵敏度分析两个方面．首先我们根据定性分析［４］方法给出稳定性分析．微分方程模型（３）的右端项不显含自变量ｘ２，因此，模型（３）属于一维自治系统，我们使用自治系统的稳定性原理进行分析．我们记右端项为Ｆ（ｙ）＝（ａ＋ｂｘ１）ｙ１－ｙｙｍ()．（５）令Ｆ（ｙ）＝０，可得两个平衡点为：ｙ１＝ｙｍ或ｙ２＝０．现分析右端项的一阶导数在两个平衡点处的符号：（１）当ｘ１＜－ｃｋ＝－０．０９，Ｆᶄ（０）＝ａ＋ｂｘ１＜０．（２）当ｘ１＞－ｃｋ＝－０．０９，Ｆᶄ（ｙｍ）＝－（ａ＋ｂｘ１）＜０．结合稳定性原理可知：当价格差大于－０．０９时，销售量随着广告费用的增加，最终会稳定在市场饱和值ｙｍ．如果价格差小于－０．０９，即比别的厂家价格高很多的时候，虽然广告费用不断增加，但是，最终的销售量仍然会趋于０．这个结论是比较符合市场规律的，说明本文建立的微分方程模型可以很好地刻画实际情况，也克服了回归分析模型销售量随着广告费用增加而趋于无穷的弊端．然后，我们结合微分方程的解析解（４）式，进行关于价格差ｘ１的灵敏度分析，如图４所示．图４㊀价格差的灵敏度分析在图４中，我们取不同的价格差ｘ１＝［０，０．１，０．２，０．３，０．４，０．５，０．６］，画出牙膏销售量ｙ随着广告费用ｘ２的变化曲线．当价格差一定时，随着广告费用ｘ２的增加，销售量会逐渐趋于稳定，到达饱和值ｙｍ．当广告费用投入比较少时，价格越实惠，销售量就越大．当广告费用比较大的时候，价格差的作用就比较小了，销售量会更快达到饱和值ｙｍ．这个结论也是符合市场规律的．四㊁结㊀论结合牙膏销售量㊁价格差㊁广告费三组数据，本文分析了回归分析模型的不足之处．本文根据牙膏销售量最终会趋于市场饱和量的市场规律，建立了基于阻滞增长模型的微分方程模型，使用已有的三组数据对模型中的未知参数进行了点估计，得到牙膏销售量的预测模型．本文最后对模型进行了稳定性分析和灵敏度分析，得到模型是符合市场客观规律的结论．ʌ参考文献ɔ［１］姜启源，谢金星，叶俊．数学模型：第４版［Ｍ］．北京：高等教育出版社，２０１１．［２］司守奎，孙兆亮．数学建模算法与应用：第２版［Ｍ］．北京：国防工业出版社，２０１５．［３］周静．ＳＰＳＳ在数学建模中的应用实例［Ｊ］．天津职业院校联合学报，２０１２，１４（１１）：９３－９６．［４］赵静，但琦．数学建模与数学实验：第４版［Ｍ］．北京：高等教育出版社，２０１４．. All Rights Reserved.。
牙膏生产与销售模型 数学建模
牙膏生产与销售模型问题描述某大型牙膏制造企业主要生产A、B两种型号的普通牙膏，企业为了更好的拓展产品市场，使企业获利最大。
公司董事会要求销售部门根据市场调查，找出A、B两种牙膏销售量与销售价格等之间的关系，从而预测出不同价格下的销售量，以制定一个合理的生产计划，使得公司所获总利润最大。
为此，销售部的研究人员收集了过去15个周期（每个月为一个周期）公司生产的两种牙膏的销售量、销售价格，见下表。
请你建立数学模型回答下列问题：1．做出两种牙膏的销售价格和他们的销售量的散点图，并确立两种牙膏的销售价格和销售量之间的关系式。
2．已知工厂的生产能力有限，两种牌号的牙膏在一个周期内的产量之和不可能超过12（百万支），且由于生产流水线的限制可知，牙膏A在一个周期内的产量不能超过牙膏B的产量的2两倍，牙膏A的成本为2.75元，牙膏B的成本为3.50元，试为该公司制定一个生产计划使得公司获利最大。
3．若生产A、B两种牙膏的原料是一样的，只是加工流程和工艺不同，但是每订购一次原料的订购费用为600，生产一支牙膏所需原料（或一支牙膏）每天的储存费为0.01元，试确定企业的订货周期及订货量。
模型假设（1）以上数据均是在没有发生任何大幅度影响销售量的情况（如：金融危机、群众抵制等）下收集的。
（2）以上数据客观有效。
（3）设牙膏A的价格为X1，牙膏B的价格为X2，牙膏A一个周期的销售量为y1，牙膏B一个周期的销售量为y2，设公司利润为W。
一个订货周期的总成本为s.订货周期为T，订货量为r.模型建立(1) 根据以上数据，我们可以做出如下关系图：由MATLAB统计软件的命令求得>>x1=[3.50, 3.70, 3.60, 3.65, 3.80, 3.75, 3.55, 3.85, 4.20, 3.95, 4.00, 3.90, 4.10, 4.15, 4.05]’;>>x1=[ones(16,1)x];>>y=[9.59, 9.10, 9.26, 9.21, 8.90, 9.00, 9.27, 8.86, 7.65, 8.50, 8.27, 8.75, 7.93, 7.67,7.95]’;>>[b,bint,r,rint,stats]=regress(y,x)b=bint=stats=于是得到回归方程为牙膏A的价格与销售量之间的关系为：牙膏B的价格与销售量之间的关系为：（2） W= y1(x1-2.75)+y2(x2-3.5); 且y1+y2≤12；y1≤2y2，我们可以通过lingo软件求解，并作出图像。
shuxuejianmo10
中学：x3=1, x4=0 ； 大学：x3=0, x4=1； 更高：x3=0, x4=0
资历每加一年薪金的增长是常数； 管理、教育、资历之间无交互作用 线性回归模型
y a0 a1 x1 a2 x2 a3 x3 a4 x4
a0, a1, …, a4是待估计的回归系数，是随机误差
10.1 牙膏的销售量
问 题
建立牙膏销售量与价格、广告投入之间的模型 预测在不同价格和广告费用下的牙膏销售量 收集了30个销售周期本公司牙膏销售量、价格、 广告费用，及同期其它厂家同类牙膏的平均售价
本公司价 格(元) 3.85 3.75 其它厂家 价格(元) 3.80 4.00 广告费用 (百万元) 5.50 6.75 价格差 （元） -0.05 0.25 销售量 (百万支) 7.38 8.51
9
ˆ y
9
ˆ y
8.5
x2=6.5
0 0.2 0.4 0.6
8.5
8
8
7.5 -0.2
x1
7.5 -0.2
0
0.2
0.4
0.6
x1
10 9.5 9 8.5 8 7.5 5
ˆ y
10.5 10
ˆ y
x1=0.2
6 7 8
9.5 9 8.5
x2
8
5
6
7
8
x2
交互作用影响的讨论
价格差 x1=0.1
ˆ y
Stats~ 检验统计量 R2,F, p
2 结果分析 y 0 1 x1 2 x2 3 x2
参数
参数估计值 置信区间 0 17.3244 [5.7282 28.9206] 1 1.3070 [0.6829 1.9311 ] 2 -3.6956 [-7.4989 0.1077 ] 3 0.3486 [0.0379 0.6594 ] R2=0.9054 F=82.9409 p=0.0000
关于牙膏销售量的数学模型课程设计
统计12-1 李本恩一、 课题名称：牙膏销售量的影响因素 二、 课题条件参考文献：：《MATLAB 从入门到精通》 三、 设计任务本文从收集有关牙膏的销售量开始，从牙膏销售量和价格、广告投入之间的关系出发，分别通过对这三个方面的深入研究从而制定出各自的最佳方案，最后再综合这 三个主要因素，进一步深入并细化，从而求得最优解。
四、论文内容摘要内容 ：本文从收集有关牙膏的销售量开始，从牙膏销售量和价格、广告投入之间的关系出发，分别通过对这三个方面的深入研究从而制定出各自的最佳方案， 最后再综合这三个主要因素，进一步深入并细化，从而求得最优解。
模块Ⅰ中，我们假设在x 1和x 2对y 的影响独立 ，从而得到了方程εββββ++++=22322110x x x y模块Ⅱ中，我们假设x 1和x 2对y 的影响有交互作用，进一步得到新的方程20112232412y x x x x x βββββε=+++++关键词：线性回归模型 相关系数问题重述：某大型牙膏制造企业为了更好的拓展产品市场，有效地管理 库存，公司董事会要求销售部门根据市场调查，找出公司生产 的牙膏销售量价格，广告投入等之间的关系，从而预测出在不 同价格和广告费用下的销售量。
为此，销售部的研究人员收集 了过去30个销售周期（每个销售周期为4周）公司生产的牙 膏销量，销售价格，投入的广告费用，以及同期其他厂家生产 的同类牙膏的平均销售价格，见表1。
试根据这些数据建立一 个数学模型，分析牙膏销售量与其他因素的关系，为制定价格 策略和广告投入策略提供数据依据。
销售 周期 公司销售价格（元） 其他厂家平均价格（元） 广告费用（百万元） 价格差 （元） 销售量 （百万支）1 2 3 43.85 3.75 3.70 3.703.804.00 4.30 3.705.506.757.25 5.50-0.05 0.25 0.60 07.38 8.51 9.52 7.505 6 7 8 91011121314151617181920212223242526272829303.603.603.603.803.803.853.903.903.703.753.753.803.703.803.703.803.803.753.703.553.603.653.703.753.803.703.853.803.753.853.654.004.104.004.104.204.104.104.204.304.103.753.753.653.903.654.104.253.653.753.854.257.006.506.755.255.256.006.506.257.006.906.806.807.107.006.806.506.256.006.507.006.806.806.505.755.806.800.250.200.150.05-0.150.150.200.100.400.450.350.300.500.500.40-0.05-0.05-0.100.200.100.500.60-0.050.050.559.338.288.757.877.108.007.898.159.108.868.908.879.269.008.757.957.657.278.008.508.759.218.277.677.939.26 表1 牙膏销售量与销售价格，广告费用等数据（其中价格差指其他厂家平均价格与公司销售价格之差）1.实验设计方案1) 前期分析：由于牙膏是生活必需品，对大多数顾客来说，在购买同类产品的牙膏时更多的会在意不同品牌之间的价格差异，而不是它们的价格本身。
回归模型牙膏销售量
Mo del
B Std . Erro rBe ta
t
1
(Co nsta nt2)9.113 7.4 83
3.8 90
广 告 费 用-（ 7.6 百 08 万2.元 4 6） 9 -6.387-3.081
பைடு நூலகம்
价 格 差 （1元 1.1 ）34 4.4 46 3.7 17 2.5 04
Sig L.ower BUopupnedr Bound .00 1 13.701 44.525 .00 5-12 .693 -2.523 .01 9 1.9 78 20.291
1.107 1.519
.190
.729
a.Dependent Var iable: 销 售 量 （ 百 万 支 ）
Sig. .001 .037 .006 .004 .066 .473
Estimates:系统默认值。选择此项系统输出：回归系数B，B的标准差，标准 回归系数Beta，B的t值及其双尾检验的p值。
begin data. 创建新变量：广告费用与价格差的乘积 剔除成对数据中含有一个缺失值的个案数据 命令及格式见文件：牙膏的销售量. 每个个案值的预测上限和下限 检验是否存在序列相关的统计量 3、analyze-descriptive statistics-explore 剔除成对数据中含有一个缺失值的个案数据
b .De pe nd en t Vari ab le: 销 售 量 （ 百 万 支 ）
Co e ffic ieants
Un stand ardSizta ed ndar dized Co efficie nC tso efficie nts 95% Co nfide nce In terva l for
数学模型_牙膏的销售量
完全二次多项式模型 2 2 y 0 1 x1 2 x2 3 x1 x2 4 x1 5 x2
MATLAB中有命令rstool直接求解
ˆ y
10 9.5 9 8.5 8 7.5 0 0.2 0.4 5.5 6 6.5 7
x1
x2
ˆ ( ˆ , ˆ , ˆ , ˆ , ˆ , ˆ) 从输出 Export 可得 0 1 2 3 4 5
ˆ y
x1 0.3
x1 0.1
x1 0.3
ˆ x ˆ x ˆ x2 ˆ xx ˆ 0 y 1 1 2 2 3 2 4 1 2
2 30 .2267 7.7558 x 2 0.6712 x 2
2 32.4535 8.0513 x 2 0.6712 x 2
9
ˆ y
9
ˆ y
8.5
x2=6.5
0 0.2 0.4 0.6
8.5
8
8
7.5 -0.2
x1
7.5 -0.2
0
0.2
0.4
0.6
x1
10 9.5 9 8.5 8 7.5 5
ˆ y
10.5 10
ˆ y
x1=0.2
6 7 8
9.5 9 8.5
x2
8
5
6
7
8
x2
交互作用影响的讨论
价格差 x1=0.1
ˆ y
价格差 x1=0.3
x2 7.5357
ˆ y
ˆ y
x1 0.1
10.5 10 9.5 9 8.5
ˆ y
价格优势会使销售量增加
加大广告投入使销售量增加 （ x2大于6百万元） 价格差较小时增加 的速率更大
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统计12-1 李本恩一、 课题名称：牙膏销售量的影响因素 二、 课题条件参考文献：：《MATLAB 从入门到精通》 三、 设计任务本文从收集有关牙膏的销售量开始，从牙膏销售量和价格、广告投入之间的关系出发，分别通过对这三个方面的深入研究从而制定出各自的最佳方案，最后再综合这 三个主要因素，进一步深入并细化，从而求得最优解。
四、论文内容摘要内容 ：本文从收集有关牙膏的销售量开始，从牙膏销售量和价格、广告投入之间的关系出发，分别通过对这三个方面的深入研究从而制定出各自的最佳方案， 最后再综合这三个主要因素，进一步深入并细化，从而求得最优解。
模块Ⅰ中，我们假设在x 1和x 2对y 的影响独立 ，从而得到了方程εββββ++++=22322110x x x y模块Ⅱ中，我们假设x 1和x 2对y 的影响有交互作用，进一步得到新的方程20112232412y x x x x x βββββε=+++++关键词：线性回归模型 相关系数问题重述：某大型牙膏制造企业为了更好的拓展产品市场，有效地管理 库存，公司董事会要求销售部门根据市场调查，找出公司生产 的牙膏销售量价格，广告投入等之间的关系，从而预测出在不 同价格和广告费用下的销售量。
为此，销售部的研究人员收集 了过去30个销售周期（每个销售周期为4周）公司生产的牙 膏销量，销售价格，投入的广告费用，以及同期其他厂家生产 的同类牙膏的平均销售价格，见表1。
试根据这些数据建立一 个数学模型，分析牙膏销售量与其他因素的关系，为制定价格 策略和广告投入策略提供数据依据。
销售 周期 公司销售价格（元） 其他厂家平均价格（元） 广告费用（百万元） 价格差 （元） 销售量 （百万支）1 2 3 43.85 3.75 3.70 3.703.804.00 4.30 3.705.506.757.25 5.50-0.05 0.25 0.60 07.38 8.51 9.52 7.505 6 7 8 91011121314151617181920212223242526272829303.603.603.603.803.803.853.903.903.703.753.753.803.703.803.703.803.803.753.703.553.603.653.703.753.803.703.853.803.753.853.654.004.104.004.104.204.104.104.204.304.103.753.753.653.903.654.104.253.653.753.854.257.006.506.755.255.256.006.506.257.006.906.806.807.107.006.806.506.256.006.507.006.806.806.505.755.806.800.250.200.150.05-0.150.150.200.100.400.450.350.300.500.500.40-0.05-0.05-0.100.200.100.500.60-0.050.050.559.338.288.757.877.108.007.898.159.108.868.908.879.269.008.757.957.657.278.008.508.759.218.277.677.939.26 表1 牙膏销售量与销售价格，广告费用等数据（其中价格差指其他厂家平均价格与公司销售价格之差）1.实验设计方案1) 前期分析：由于牙膏是生活必需品，对大多数顾客来说，在购买同类产品的牙膏时更多的会在意不同品牌之间的价格差异，而不是它们的价格本身。
因此，在研究各个因素对销售量的影响时，用价格差代替公司销售价格和其他厂家平均价格更为合适。
记牙膏销售量为y，其他厂家平均价格与公司销售价格之差（价格差）为x1公司投入的广告费用为x 2 ,其他厂家平均价格与公司销售价格分别为x 3和x 4 ，x 1=x 3-x 4。
基于上面的分析，我们尽利用x 1和x 2来建立y 的预测模型。
2) 模型假设：1 在一定时期内假设市场总需求量没有太大的变化。
2 同类产品在一定时期内价格无明显变化。
3 通过调节本公司的价格调整都能够达到理想的价格差 3) 建立模型：εββββ++++=22322110x x x y4) 编写程序：[b,bint,r,rint,stats]=regress(y,x,alpha)5) 对结果进行分析，讨论诸如：结果的合理性、正确性，算法的收敛性，模型的适用性和通用性，算法效率与误差等。
2.基本模型为了大致分析y 与1x 和2x 的关系，首先利用散点图观察销售量y 与价格差1x 及y 与广告投入量2x 之间的关系。
y 与1x 的关系： y 与2x 的关系：图1 y 对1x 散点图（1） 图2 y 对2x 的散点图从图（1）发现，随着1x 增加，y 的值有明显的线性增加趋势，图中直线用线性模型011y x ββε=++ (1)拟合的（其中ε是随机误差）在图2 中，当2x 增大时，y 有向上弯曲增加的趋势，图中的曲线用二次函数模型：εβββ+++=223220x x y （2） 拟合。
综上分析，结合模型(1)和(2)建立如下回归模型20112232y x x x ββββε=++++ （3）其中，y 是建立的模型，我们用=∧y 22322110x x x ββββ+++对y 进行估计，其中3210,,,ββββ是我们待估计的参数。
3.模型求解利用MATLAB 统计工具箱中的命令regress 求解，使用格式为： [b,bint,r,rint,stats]=regress(y,x,alpha)得到模型(3)的回归系数的估计值及其置信区间（置信水平05.0=α）、检验统计量P F R ,,2，S 2的结果见下表2 参数参数估计 参数置信区间 0β 17.3244 [5.7282 28.9206] 1β1.3070 [0.6829 1.9311] 2β -3.6956 [-7.4989 0.1077] 3β0.3486[0.0379 0.6594]2R =0.9054 F =82.9409 p <0.0001 S 2=0.0490表 2 4.结果分析由表中的数据显示，2R =0.9054指因变量的y 的90.54%可由模型确定，F 值远远超过F 检验的临界值，p 远远小于α，因而模型（3）可用。
表2的回归系数给出了模型（3）中0β，1β，2β，3β的估计值0β∧=17.3244，1β∧=1.3070，2β∧=-3.6956，3β∧=0.3486。
检查它们的置信区间发现，只有2β的置信区间包含零点（但区间右端点距零点很近），表明回归变量2x （对因变量y 的影响）不是太显著的，但由于22x 是显著的，我们仍将变量2x 保留在模型中。
5.销售量预测经回归系数的估计值代入模型（3），即可预测公司未来某个销售周期牙膏的销售量y ，将预测值记为y ∧，得到模型（3）的预测方程：y ∧=20123122x x x ββββ∧∧∧∧+++ （4） 只需知道该销售周期的价格差1x 和投入的广告费用2x ，就可以计算预测值y ∧。
公司无法直接确定价格差1x ，只能制定公司的牙膏销售价格4x ，但是其它厂家的平均价格一般可以通过根据市场情况及原材料的价格变化等估计。
模型中用价格差做为回归变量的好处在于公司可以更灵活地来预测产品的销售量或市场需求量，因为其它厂家的平均价格不是公司所能控制的。
预测时只要调整公司的牙膏销售价格达到设定的回归变量价格差1x 的值。
回归模型的一个重要应用是，对于给定的回归变量的取值，可以以一定的置信度预测因变量的取值范围，即预测区间。
6.模型改进模型（3）中回归变量1x ，2x 对因变量y 的影响是相互独立的，即牙膏销售量y 的均值和广告费用2x 的二次关系由回归系数2β，3β确定，而不依赖与价格差1x ，同样，y 的均值与1x 的线性关系由回归系数1β确定，不依赖于2x 。
根据经验可参想，1x 和2x 之间的交互作用会对y 有影响，简单的用1x ，2x 的乘积代表他们的交互作用，将模型（3）增加一项，得到：20112232412y x x x x x βββββε=+++++ （5）在这个模型中，y 的均值与2x 的二次关系为22232412x x x x βββ++，由系数2β，3β，4β确定，并依赖与价格差1x 。
下面让我们用表1的数据估计模型（5）的系数。
利用MATLAB 的统计工具箱得到的结果见表3.验统计量P F R ,,2，S 2的结果见下表1 参数参数估计 参数置信区间 0β 29.1133 [13.7013 44.5252] 1β11.1342 [1.9778 20.2906] 2β -7.6080 [-12.6932 -2.5228] 3β0．6712 [0.2538 1.0887] β4-1.4777[-2.8518 -0.1037]2R =0.9209 F =72.7771 p <0.0001 S 2=0.0.0426表 3表3与表2的结果相比，R 2有所提高，说明模型（5）比模型（3）有所改进，相信模型（5）更符合实际。
用模型（5）对公司的牙膏销售量做预测，仍设在某个销售周期中，维持产品的价格差X1=0.2元，并投入X2=6.5百万元的广告费用，则该周期牙膏销售量y 的估计值为=∧y ∧β0 + ∧β1x 1 +∧β2x 2+∧β3x 22+∧β4x 1x 2 =29.1133 + 11.134 ×0.2 –7.608×6.5 + 0.6712 ×6.52 -1.4777 ×0.2 ×6.5 =8.3253百万支，置信度为95%的预测空间为[7.8953,8.7592]，与模型（3）的结果相比，∧y 略有增加，而预测区间长度短些。
在保持广告费用x 2=6.5百万元不变的条件下，分别对模型（3）和（5）中牙膏销售量的均值∧y 与价格差x 1的关系作图，见图3和图4图3 模型（3）∧y 与x 1 的关系 图4 模型（5）∧y 与x 1 的关系 在保持价格差x 1=0.2元不变的条件下，分别对模型（3）和（5）中牙膏销售量的均值∧y 与广告费用x 2的关系作图，见图5和图6图5 模型（3）∧y 与2x 的关系 图6 模型（5）∧y 与2x 的关系可以看出，交互作用项1x 2x 加入模型，对∧y 与1x 的关系稍有影响，而∧y 与2x 的关系有较大变化，当2x < 6时∧y 出现下降，2x > 6以后∧y 上升则快得多。
进一步讨论： 为了解1x 和2x 之间的相互作用，考察模型（5）的预测方程 ∧y =29.1133+11.13421x -7.60802x +0.67122x 2 -1.47771x 2x （6） 如果取价格差1x =0.1元，代入（6）可得∧y1x =0.1 =30.2267 -7.75582x +0.67122x 2（7）再取1x =0.3元，代入（6）可得∧y1x =0.3 =32.4536 -8.05132x +0.67122x 2（8）它们均为2x 的二次函数，其图形见图7，且∧y1x =0.3 -∧y1x =0.1= 2.2269-0.29552x （9）由（9）式可得，当2x < 7.5360时，总有 ∧y1x =0.3 >∧y1x =0.1,即若广告费用不超过大约7.5百万元，价格差定在0.3元时的销售量，比价格差定在0.1元的大 ，也就是说，这时的价格优势会使销售量增加。