【小初高学习】2019高三一轮总复习文科数学课时跟踪检测：选修4-5-1绝对值不等式 Word版含解
2019版高考数学文科 课标版一轮复习考点突破训练：选修4-5 不等式选讲含最新模拟题 含答案 精品
选修4-5不等式选讲考点1不等式的性质1.已知a,b,c均为正数,证明: a2+b2+c2+(++)2≥6, 并确定a,b,c为何值时,等号成立.考点2绝对值不等式2.设函数f(x)=|x-1|+|x-2|.(1)解不等式f(x)>2;(2)求函数g(x)=ln f(x)的值域.3.已知函数f(x)=2|x+a|-|x-1|(a>0).(1)若函数f(x)与x轴围成的三角形的面积的最小值为4,求实数a的取值范围;(2)若对任意的x∈R都有f(x)+2≥0,求实数a的取值范围.4.已知m>1,且关于x的不等式m-|x-2|≥1的解集为[0,4].(1)求m的值;(2)若a,b均为正实数,且满足a+b=m,求a2+b2的最小值.5.设函数f(x)=-+-的最大值为M.(1)求实数M的值;(2)求关于x的不等式|x-|+|x+2|≤M的解集.6.已知函数f(x)=|x+a|+|x-2|.(1)当a=-3时,求不等式f(x)≥3的解集;(2)若f(x)≤|x-4|的解集包含[1,2],求实数a的取值范围.考点3证明不等式的基本方法7.已知a>0,b>0,求证:+≥+.8.已知a,b,c均为正实数.求证:(1)(a+b)(ab+c2)≥4abc;(2)若a+b+c=3,则+≤3.答案1.解法一因为a,b,c均为正数,所以a2+b2+c2≥3(abc)①,因为++≥3(abc)-,所以(++)2≥9(abc)-②.故a2+b2+c2+(++)2≥3(abc)+9(abc)-.又3(abc)+9(abc)-≥2=6③,所以原不等式成立.当且仅当a=b=c时,①式和②式等号成立.当且仅当3(abc)=9(abc)-时,③式等号成立,即当a=b=c=时,原式等号成立.解法二因为a,b,c均为正数,由基本不等式得a2+b2≥2ab,b2+c2≥2bc,c2+a2≥2ac,所以a2+b2+c2≥ab+bc+ac①.同理,++≥++②.故a2+b2+c2+(++)2=a2+b2+c2++++++≥ab+bc+ac+++≥6③.所以原不等式成立.当且仅当a=b=c时,①式和②式等号成立,当且仅当(ab)2=(bc)2=(ac)2=3时,③式等号成立.即当且仅当a=b=c=时,原不等式等号成立.2.(1)由题意知f(x)=|x-1|+|x-2|=-,, ,, -,当x<1时,由f(x)>2,得3-2x>2,解得x<,所以x<;当1≤x≤2时,f(x)>2无解;当x>2时,由f(x)>2,得2x-3>2,解得x>,所以x>.综上,不等式f(x)>2的解集为(-∞,)∪(,+∞).(2)因为f(x)=|x-1|+|x-2|,则f(x)≥1,又函数y=ln x在其定义域内为增函数.所以函数g(x)=ln f(x)的值域为[0,+∞).3.(1)由题意可得f(x)=---, -,-, -,,画出函数f(x)的图象,如图D 1所示,图D 1函数f(x)与x轴围成的三角形为△ABC,易求得A(-2a-1,0),B(-,0),C(-a,-a-1).所以S△ABC=[--(-2a-1)]×|-a-1|=(a+1)2≥4(a>0),解得a≥-1.(2)由图D 1可知,f(x)min=f(-a)=-a-1.对任意的x∈R都有f(x)+2≥0,即f(x)min+2≥0,即-a-1+2≥0,解得a≤1,又a>0,所以实数a的取值范围为(0,1].4.(1)∵m>1,不等式m-|x-2|≥1可化为|x-2|≤m-1, ∴1-m≤x-2≤m-1,即3-m≤x≤m+1.∵不等式m-|x-2|≥1的解集为[0,4],∴-,,即m=3.(2)由(1)知a+b=3,解法一(利用基本不等式)∵(a+b)2=a2+b2+2ab≤(a2+b2)+(a2+b2)=2(a2+b2),∴a2+b2≥,∴a2+b2的最小值为.解法二(消元法求二次函数的最值)∵a+b=3,∴b=3-a,∴a2+b2=a2+(3-a)2=2a2-6a+9=2(-)+≥,∴a2+b2的最小值为.5.(1)f(x)=-+-≤2(-)(-)=3,当且仅当x=时等号成立.故函数f(x)的最大值M=3.(2)由(1)知M=3.由绝对值三角不等式可得|x-|+|x+2|≥|(x-)-(x+2)|=3.所以不等式|x-|+|x+2|≤3的解集就是方程|x-|+|x+2|=3的解.由绝对值的几何意义得,当且仅当-2x≤,|x-|+|x+2|=3,所以不等式|x-2|≤M的解集为{x|-2≤x≤.6.(1)当a=-3时,f(x)≥3⇔|x-3|+|x-2|≥3⇔ ,-或,或,-,解得x≤1或x≥4.故当a=-3时,不等式f(x)≥3的解集为{x|x≤1或x≥4}.(2)由题意可得f(x)≤|x-4|在区间[1,2]上恒成立⇔|x+a|+2-x≤4-x在区间[1,2]上恒成立⇔-2-x≤a≤2-x在区间[1,2]上恒成立⇔-3≤a ≤0,即实数a 的取值范围是[-3,0].7.解法一 (作差比较法)因为a>0,b>0,所以 + -( + )= ) ) ) = )( -≥0,所以 +≥ + . 解法二 (作商比较法)因为a>0,b>0,所以= ) ) ( )= )( )( )== - ) ≥1,所以 +≥ + . 8.(1)要证(a+b )(ab+c 2)≥4abc ,可证a 2b+ac 2+ab 2+bc 2-4abc ≥0,需证b (a 2+c 2-2ac )+a (c 2+b 2-2bc )≥0, 即证b (a-c )2+a (c-b )2≥0,当且仅当a=b=c 时,取等号, 由已知,上式显然成立,故不等式(a+b )(ab+c 2)≥4abc 成立.(2)因为a ,b ,c 均为正实数,由不等式的性质知· ≤ = ,当且仅当a+1=2时,取等号,· ≤ = ,当且仅当b+1=2时,取等号, · ≤ = ,当且仅当c+1=2时,取等号,以上三式相加,得 ( )≤=6,所以 + + ≤3 ,当且仅当a=b=c=1时,取等号.。
2019-2020学年高中数学人教A版选修4-5课时跟踪检测(四) 绝对值三角不等式 Word版含解析
课时跟踪检测(四) 绝对值三角不等式1．对于|a|－|b|≤|a＋b|≤|a|＋|b|，下列结论正确的是( )A．当a，b异号时，左边等号成立B．当a，b同号时，右边等号成立C．当a＋b＝0时，两边等号均成立D．当a＋b>0时，右边等号成立；当a＋b<0时，左边等号成立解析：选B当a，b异号且|a|>|b|时左边等号才成立，A不正确，显然B正确；当a＋b＝0时，右边等号不成立，C不正确，D显然不正确．2．不等式|a＋b||a|＋|b|<1成立的充要条件是( )A．a，b都不为零B．ab<0C．ab为非负数D．a，b中至少有一个不为零解析：选B原不等式即为|a＋b|<|a|＋|b|⇔a2＋b2＋2ab<a2＋b2＋2|ab|⇔ab<0.3．已知a，b，c∈R，且a>b>c，则有( )A．|a|>|b|>|c| B．|ab|>|bc|C．|a＋b|>|b＋c| D．|a－c|>|a－b|解析：选D∵a，b，c∈R，且a>b>c，令a＝2，b＝1，c＝－6.∴|a|＝2，|b|＝1，|c|＝6，|b|<|a|<|c|，故排除A.又|ab|＝2，|bc|＝6，|ab|<|bc|，故排除B.又|a＋b|＝3，|b＋c|＝5，|a＋b|<|b＋c|，排除C.而|a－c|＝|2－(－6)|＝8，|a－b|＝1，∴|a－c|>|a－b|.4．设|a|<1，|b|<1，则|a＋b|＋|a－b|与2的大小关系是( )A．|a＋b|＋|a－b|>2B．|a＋b|＋|a－b|<2C．|a＋b|＋|a－b|＝2D．不可能比较大小解析：选B当(a＋b)(a－b)≥0时，|a＋b|＋|a－b|＝|(a＋b)＋(a－b)|＝2|a|<2.当(a＋b)(a－b)<0时，|a＋b|＋|a－b|＝|(a＋b)－(a－b)|＝2|b|<2.5．(陕西高考)若存在实数x使|x－a|＋|x－1|≤3成立，则实数a的取值范围是________．解析：|x－a|＋|x－1|≥|a－1|，则只需要|a－1|≤3，解得－2≤a≤4.答案：[－2,4]6．设a，b∈R，|a－b|＞2，则关于实数x的不等式|x－a|＋|x－b|＞2的解集是________．解析：∵|x－a|＋|x－b|＝|a－x|＋|x－b|≥|(a－x)＋(x－b)|＝|a－b|＞2，∴|x－a|＋|x－b|＞2对x∈R恒成立，故解集为(－∞，＋∞)．答案：(－∞，＋∞)7．下列四个不等式：①log x 10＋lg x ≥2(x >1)；②|a －b |<|a |＋|b |；③⎪⎪⎪⎪⎪⎪b a ＋a b ≥2(ab ≠0)； ④|x －1|＋|x －2|≥1.其中恒成立的是______(把你认为正确的序号都填上)． 解析：log x 10＋lg x ＝1lg x＋lg x ≥2，①正确；ab ≤0时，|a －b |＝|a |＋|b |，②不正确； ∵ab ≠0时，b a 与a b 同号， ∴⎪⎪⎪⎪⎪⎪b a ＋a b ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪b a ＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪a b ≥2，③正确； 由|x －1|＋|x －2|的几何意义知|x －1|＋|x －2|≥1恒成立，④正确． 综上可知①③④正确．答案：①③④8．已知x ，y ∈R ，且|x ＋y |≤16，|x －y |≤14，求证：|x ＋5y |≤1. 证明：|x ＋5y |＝|3(x ＋y )－2(x －y )|.由绝对值不等式的性质，得|x ＋5y |＝|3(x ＋y )－2(x －y )|≤|3(x ＋y )|＋|2(x －y )|＝3|x ＋y |＋2|x －y |≤3×16＋2×14＝1，即|x ＋5y |≤1. 9．设f (x )＝x 2－x ＋b ，|x －a |<1，求证：|f (x )－f (a )|<2(|a |＋1)．证明：∵f (x )－f (a )＝x 2－x －a 2＋a ＝(x －a )(x ＋a －1)，|f (x )－f (a )|＝|(x －a )(x ＋a －1)|＝|x －a ||x ＋a －1|<|x ＋a －1|＝|(x －a )＋2a －1|≤|x －a |＋|2a －1|≤|x －a |＋2|a |＋1<2|a |＋2＝2(|a |＋1)，∴|f (x )－f (a )|<2(|a |＋1)．10．设函数y ＝|x －4|＋|x －3|.求：(1)y 的最小值；(2)使y <a 有解的a 的取值范围；(3)使y ≥a 恒成立的a 的最大值．解：(1)y＝|x－4|＋|x－3|＝|x－4|＋|3－x|≥|(x－4)＋(3－x)|＝1，∴y min＝1.(2)由(1)知y≥1，要使y<a有解，∴a>1，即a的取值范围为(1，＋∞)．(3)要使y≥a恒成立，只要y的最小值1≥a即可，∴a max＝1.。
2019高三一轮总复习文科数学课时跟踪检测：选修4-4-1坐标系 Word版含解析
[课 时 跟 踪 检 测][基 础 达 标]1．在同一平面直角坐标系中，经过伸缩变换⎩⎨⎧x ′＝5x ，y ′＝3y 后，曲线C 变为曲线x ′2＋y ′2＝1，则曲线C 的方程为( )A ．25x 2＋9y 2＝1B ．9x 2＋25y 2＝1C ．25x ＋9y ＝1D.x 225＋y 29＝1解析：∵经过伸缩交换⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝5xy ′＝3y 后，曲线C 变为x ′2＋y ′2＝1，∴(5x )2＋(3y )2＝1，∴25x 2＋9y 2＝1.答案：A2．极坐标方程ρ＝cos θ化为直角坐标方程为( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122＋y 2＝14 B ．x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋122＝14C ．x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －122＝14D.⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋y 2＝14 解析：由ρ＝cos θ，得ρ2＝ρcos θ，∴x 2＋y 2＝x .选D. 答案：D3．在极坐标系中，极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π6的点到极点和极轴的距离分别为( )A ．1,1B ．1,2C ．2,1D ．2,2解析：点(ρ，θ)到极点和极轴的距离分别为ρ，ρ|sin θ|，所以点⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π6到极点和极轴的距离分别为2,2sin π6＝1.答案：C4．(2017届皖北协作区联考)在极坐标系中，直线ρ(3cos θ－sin θ)＝2与圆ρ＝4sin θ的交点的极坐标为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π6 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π3 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫4，π6 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫4，π3 解析：ρ(3cos θ－sin θ)＝2化为直角坐标方程：3x －y ＝2，即y ＝3x －2.ρ＝4sin θ可化为x 2＋y 2＝4y ，把y ＝3x －2代入x 2＋y 2＝4y ，得4x 2－83x ＋12＝0，即x 2－23x ＋3＝0，所以x ＝3，y ＝1.所以直线与圆的交点坐标为(3，1)，化为极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π6，故选A.答案：A5．在极坐标系中，与圆ρ＝4sin θ相切的一条直线的方程是( ) A ．ρsin θ＝2 B ．ρcos θ＝2 C ．ρcos θ＝4D ．ρcos θ＝－4解析：解法一：圆的极坐标方程ρ＝4sin θ，即ρ2＝4ρsin θ，所以直角坐标方程为x 2＋y 2－4y ＝0.选项A ，直线ρsin θ＝2的直角坐标方程为y ＝2，代入圆的方程，得x 2＝4，∴x ＝±2，不符合题意；选项B ，直线ρcos θ＝2的直角坐标方程为x ＝2，代入圆的方程，得(y －2)2＝0，∴y ＝2，符合题意．同理，C 、D 都不符合题意．解法二：如图，⊙C 的极坐标方程为ρ＝4sin θ，CO ⊥Ox ，OA 为直径，|OA |＝4，直线l 和圆相切，l 交极轴于点B (2,0)，点P (ρ，θ)为l 上任意一点，则有cos θ＝|OB ||OP |＝2ρ，得ρcos θ＝2.答案：B6．在极坐标系中，曲线ρ2－6ρcos θ－2ρsin θ＋6＝0与极轴交于A ，B 两点，则A ，B 两点间的距离等于( )A. 3 B ．2 3 C ．215D ．4解析：化极坐标方程为直角坐标方程得x 2＋y 2－6x －2y ＋6＝0，易知此曲线是圆心为(3,1)，半径为2的圆，如图所示．可计算|AB |＝2 3.答案：B7．(2017届广东肇庆一模)已知曲线C 的极坐标方程为ρ＝2(0≤θ<2π)，曲线C 在点⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π4处的切线为l ，以极点为坐标原点，以极轴为x 轴的正半轴建立直角坐标系，则l 的直角坐标方程为________________．解析：根据极坐标与直角坐标的转化公式可以得到曲线ρ＝2⇒x 2＋y 2＝4，点⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π4⇒(2，2)．因为点(2，2)在圆x 2＋y 2 ＝4上，故圆在点(2，2)处的切线方程为2x ＋2y ＝4⇒x ＋y －22＝0，故填x ＋y －22＝0.答案：x ＋y －22＝08．(2017届河北冀州月考)直线2ρcos θ＝1与圆ρ＝2cos θ相交的弦长为________________．解析：直线的方程为2x ＝1，圆的方程为x 2＋y 2－2x ＝0，圆心为(1,0)，半径r ＝1，圆心到直线的距离为d ＝|2－1|22＋0＝12.设所求的弦长为l ，则12＝⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫l 22，解得l ＝ 3.答案： 39．(2018届南京模拟)已知直线l ：ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝4和圆C ：ρ＝2k cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4(k ≠0)，若直线l 上的点到圆C 上的点的最小距离等于2.求实数k 的值并求圆心C 的直角坐标．解：圆C 的极坐标方程可化为ρ＝2k cos θ－2k sin θ， 即ρ2＝2kρcos θ－2kρsin θ，所以圆C 的直角坐标方程为x 2＋y 2－2kx ＋2ky ＝0， 即⎝⎛⎭⎪⎫x －22k 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋22k 2＝k 2，所以圆心C 的直角坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫22k ，－22k .直线l 的极坐标方程可化为ρsin θ·22－ρcos θ·22＝4， 所以直线l 的直角坐标方程为x －y ＋42＝0， 所以⎪⎪⎪⎪⎪⎪22k ＋22k ＋422－|k |＝2.即|k ＋4|＝2＋|k |，两边平方，得|k |＝2k ＋3，所以⎩⎨⎧ k >0，k ＝2k ＋3或⎩⎨⎧k <0，－k ＝2k ＋3. 解得k ＝－1，故圆心C 的直角坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－22，22.10．(2017届唐山模拟)已知圆C ：x 2＋y 2＝4，直线l ：x ＋y ＝2.以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系．(1)将圆C 和直线l 的方程化为极坐标方程；(2)P 是l 上的点，射线OP 交圆C 于点R ，又点Q 在OP 上且满足|OQ |·|OP |＝|OR |2，当点P 在l 上移动时，求点Q 轨迹的极坐标方程．解：(1)将x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入圆C 和直线l 的直角坐标方程得其极坐标方程为C ：ρ＝2；l ：ρ(cos θ＋sin θ)＝2.(2)设P ，Q ，R 的极坐标分别为(ρ1，θ)，(ρ，θ)，(ρ2，θ)， 则由|OQ |·|OP |＝|OR |2得ρρ1 ＝ρ22.又ρ2＝2，ρ1＝2cos θ＋sin θ，所以2ρcos θ＋sin θ＝4，故点Q 轨迹的极坐标方程为ρ＝2(cos θ＋sin θ)(ρ≠0)．[能 力 提 升]1．(2018届陕西宝鸡金台区期中)在极坐标系中，设圆C 1：ρ＝4cos θ与直线l ：θ＝π4(ρ∈R )交于A ，B 两点．(1)求以AB 为直径的圆C 2的极坐标方程；(2)在圆C 1上任取一点M ，在圆C 2上任取一点N ，求|MN |的最大值． 解：(1)以极点为坐标原点，极轴为x 轴的正半轴，建立直角坐标系，圆C 1：ρ＝4cos θ化为ρ2＝4ρcos θ，所以圆C 1的直角坐标方程为x 2＋y 2－4x ＝0，直线l 的直角坐标方程为y ＝x .由⎩⎨⎧ x 2＋y 2－4x ＝0，y ＝x ，解得⎩⎨⎧ x ＝0，y ＝0或⎩⎨⎧x ＝2，y ＝2，∴A (0,0)，B (2,2)，从而圆C 2的直角坐标方程为(x －1)2＋(y －1)2＝2，即x 2＋y 2＝2x ＋2y .将其化为极坐标方程为ρ2＝2ρcos θ＋2ρsin θ，即ρ＝2cos θ＋2sin θ. (2)∵C 1(2,0)，r 1＝2，C 2(1,1)，r 2＝2，∴|MN |max ＝|C 1C 2|＋r 1＋r 2＝2＋2＋2＝2＋2 2.2．(2017届成都模拟)在直角坐标系xOy 中，半圆C 的直角坐标方程为(x －1)2＋y 2＝1(0≤y ≤1)．以O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．(1)求C 的极坐标方程；(2)直线l 的极坐标方程是ρ(sin θ＋3cos θ)＝53，射线OM ：θ＝π3与半圆C 的交点为O ，P ，与直线l 的交点为Q ，求线段PQ 的长．解：(1)由x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，所以半圆C 的极坐标方程是ρ＝2cos θ，θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2. (2)设(ρ1，θ1)为点P 的极坐标，则有⎩⎪⎨⎪⎧ρ1＝2cos θ1，θ1＝π3，解得⎩⎪⎨⎪⎧ ρ1＝1，θ1＝π3，设(ρ2，θ2)为点Q 的极坐标，则有⎩⎪⎨⎪⎧ρ2(sin θ2＋3cos θ2)＝53，θ2＝π3，解得⎩⎪⎨⎪⎧ρ2＝5，θ2＝π3，由于θ1＝θ2，所以|PQ |＝|ρ1－ρ2|＝4，所以线段PQ 的长为4.3．(2016年全国卷Ⅰ)在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎨⎧x ＝a cos t ，y ＝1＋a sin t(t 为参数，a >0)．在以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 2：ρ＝4cos θ.(1)说明C 1是哪一种曲线，并将C 1的方程化为极坐标方程；(2)直线C 3的极坐标方程为θ＝a 0，其中a 0满足tan a 0＝2，若曲线C 1与C 2的公共点都在C 3上，求a .解：(1)消去参数t 得到C 1的普通方程为x 2＋(y －1)2＝a 2，则C 1是以(0,1)为圆心，a 为半径的圆．将x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入C 1的普通方程中，得到C 1的极坐标方程为ρ2－2ρsin θ＋1－a 2＝0.(2)曲线C 1，C 2的公共点的极坐标满足方程组⎩⎨⎧ρ2－2ρsin θ＋1－a 2＝0，ρ＝4cos θ. 若ρ≠0，由方程组得16cos 2θ－8sin θcos θ＋1－a 2＝0， 由已知tan θ＝2，可得16cos 2θ－8sin θcos θ＝0， 从而1－a 2＝0，解得a ＝－1(舍去)或a ＝1.当a ＝1时，极点也为C 1，C 2的公共点，且在C 3上． 所以a ＝1.4．(2017届广州五校联考)在极坐标系中，圆C 是以点C ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，－π6为圆心，2为半径的圆．(1)求圆C 的极坐标方程；(2)求圆C 被直线l ：θ＝－5π12(ρ∈R )所截得的弦长． 解：(1)设所求圆上任意一点M (ρ，θ)，如图：在Rt △OAM 中，∠OMA ＝π2， ∠AOM ＝2π－θ－π6，|OA |＝4.因为cos ∠AOM ＝|OM ||OA |， 所以|OM |＝|OA |·cos ∠AOM ， 即ρ＝4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π－θ－π6＝4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π6，验证可知，极点O 与A ⎝ ⎛⎭⎪⎫4，－π6的极坐标也满足方程，故ρ＝4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π6为所求．(2)设l ：θ＝－5π12(ρ∈R )交圆C 于点P ，在Rt △OAP 中，∠OP A ＝π2，易得∠AOP ＝π4，所以|OP |＝|OA |cos ∠AOP ＝2 2.。
【高考汇编】2019届高三一轮文科数学：课时跟踪检测 汇编295页(含答案解析)
2019届高三一轮文科数学：课时跟踪检测汇编目录2019高三一轮总复习文科数学课时跟踪检测：1-1集合Word版含解析2019高三一轮总复习文科数学课时跟踪检测：1-2命题及其关系、充分条件与必要条件Word版含解析2019高三一轮总复习文科数学课时跟踪检测：1-3简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词Word版含解析2019高三一轮总复习文科数学课时跟踪检测：3-1任意角和弧度制及任意角的三角函数Word版含解析2019高三一轮总复习文科数学课时跟踪检测：3-2同角三角函数的基本关系与诱导公式Word版含解析2019高三一轮总复习文科数学课时跟踪检测：3-3三角函数的图象与性质Word版含解析2019高三一轮总复习文科数学课时跟踪检测：3-4函数y＝Asin（ωx＋φ）的图象及三角函数模型的简单应用Word版含解析2019高三一轮总复习文科数学课时跟踪检测：3-5三角恒等变换Word版含解析2019高三一轮总复习文科数学课时跟踪检测：3-6正弦定理和余弦定理Word版含解析2019高三一轮总复习文科数学课时跟踪检测：3-7正弦定理和余弦定理的应用Word版含解析2019高三一轮总复习文科数学课时跟踪检测：4-1平面向量的概念及其线性运算Word版含解析2019高三一轮总复习文科数学课时跟踪检测：4-2平面向量的基本定理及坐标表示Word版含解析2019高三一轮总复习文科数学课时跟踪检测：4-3平面向量的数量积与平面向量应用举例Word版含解析2019高三一轮总复习文科数学课时跟踪检测：4-4数系的扩充与复数的引入Word版含解析2019高三一轮总复习文科数学课时跟踪检测：5-1数列的概念与简单表示法Word版含解析2019高三一轮总复习文科数学课时跟踪检测：5-2等差数列及其前n项和Word版含解析2019高三一轮总复习文科数学课时跟踪检测：5-3等比数列及其前n项和Word版含解析2019高三一轮总复习文科数学课时跟踪检测：5-4数列求和Word版含解析2019高三一轮总复习文科数学课时跟踪检测：6-1不等关系与不等式Word版含解析2019高三一轮总复习文科数学课时跟踪检测：6-2一元二次不等式及其解法Word版含解析2019高三一轮总复习文科数学课时跟踪检测：6-3二元一次不等式（组）及其简单的线性规划问题Word 版含解析2019高三一轮总复习文科数学课时跟踪检测：6-4基本不等式Word版含解析2019高三一轮总复习文科数学课时跟踪检测：6-5合情推理与演绎推理Word版含解析2019高三一轮总复习文科数学课时跟踪检测：6-6直接证明与间接证明Word版含解析2019高三一轮总复习文科数学课时跟踪检测：7-1空间几何体的结构特征及三视图与直观图Word版含解析2019高三一轮总复习文科数学课时跟踪检测：7-2空间几何体的表面积与体积Word版含解析2019高三一轮总复习文科数学课时跟踪检测：7-3空间点、线、面之间的位置关系Word版含解析2019高三一轮总复习文科数学课时跟踪检测：7-4直线、平面平行的判定及性质Word版含解析2019高三一轮总复习文科数学课时跟踪检测：7-5直线、平面垂直的判定及性质Word版含解析2019高三一轮总复习文科数学课时跟踪检测：8-1直线的倾斜角与斜率、直线的方程Word版含解析2019高三一轮总复习文科数学课时跟踪检测：8-2两条直线的位置关系Word版含解析2019高三一轮总复习文科数学课时跟踪检测：8-3圆的方程Word版含解析2019高三一轮总复习文科数学课时跟踪检测：8-4直线与圆、圆与圆的位置关系Word版含解析2019高三一轮总复习文科数学课时跟踪检测：8-5椭圆Word版含解析2019高三一轮总复习文科数学课时跟踪检测：8-6双曲线Word版含解析2019高三一轮总复习文科数学课时跟踪检测：8-7抛物线Word版含解析2019高三一轮总复习文科数学课时跟踪检测：8-8圆锥曲线的综合问题Word版含解析2019高三一轮总复习文科数学课时跟踪检测：9-1随机事件的概率Word版含解析2019高三一轮总复习文科数学课时跟踪检测：9-2古典概型Word版含解析2019高三一轮总复习文科数学课时跟踪检测：9-3几何概型Word版含解析2019高三一轮总复习文科数学课时跟踪检测：10-1算法初步Word版含解析2019高三一轮总复习文科数学课时跟踪检测：10-2随机抽样Word版含解析2019高三一轮总复习文科数学课时跟踪检测：10-3用样本估计总体Word版含解析2019高三一轮总复习文科数学课时跟踪检测：10-4变量间的相关关系、统计案例Word版含解析2019高三一轮总复习文科数学课时跟踪检测：选修4-4-1坐标系Word版含解析2019高三一轮总复习文科数学课时跟踪检测：选修4-4-2参数方程Word版含解析2019高三一轮总复习文科数学课时跟踪检测：选修4-5-1绝对值不等式Word版含解析2019高三一轮总复习文科数学课时跟踪检测：选修4-5-2不等式的证明Word版含解析[课 时 跟 踪 检 测] [基 础 达 标]1．(2017届河北石家庄二模)设集合M ＝{－1,1}，N ＝{x |x 2－x <6}，则下列结论正确的是( ) A ．N ⊆M B ．M ∩N ＝∅ C ．M ⊆ND ．M ∩N ＝R解析：M ＝{－1,1}，N ＝{x |x 2－x <6}＝{x |－2<x <3}，则M ⊆N ，故选C. 答案：C2．(2018届安徽六安质检)集合A ＝{x |x －2<0}，B ＝{x |x <a }，若A ∩B ＝A ，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－∞，－2] B ．[－2，＋∞) C ．(－∞，2]D ．[2，＋∞)解析：由题意，得A ＝{x |x <2}．又因为A ∩B ＝A ，所以A ⊆B .又因为B ＝{x |x <a }，所以a ≥2，故选D. 答案：D3．(2017届河北唐山二模)集合M ＝{2，log 3a }，N ＝{a ，b }，若M ∩N ＝{1}，则M ∪N ＝( ) A ．{0,1,2} B ．{0,1,3} C ．{0,2,3}D ．{1,2,3}解析：因为M ∩N ＝{1}，所以log 3a ＝1，即a ＝3，所以b ＝1，即M ＝{2,1}，N ＝{3,1}，所以M ∪N ＝{1,2,3}，故选D.答案：D4．(2017届四川泸州一模)已知集合A ＝{x |－2<x <3}，B ＝{x |log 2x >1}，则A ∩(∁R B )＝( ) A ．(－2,2] B ．(－2,1] C ．(0,3)D ．(1,3)解析：∵集合B ＝{x |log 2x >1}＝(2，＋∞)，∴∁R B ＝(－∞，2]．∵集合A ＝{x |－2<x <3}＝(－2,3)，∴A ∩(∁R B )＝(－2，2]，故选A.答案：A5．已知集合A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪x ∈Z ，且32－x ∈Z ，则集合A 中的元素个数为( ) A ．2 B ．3 C ．4D ．5解析：∵32－x ∈Z ，∴2－x 的取值有－3，－1,1,3.又∵x ∈Z ，∴x 值分别为5,3,1，－1，故集合A 中的元素个数为4.答案：C6．(2018届邯郸质检)已知全集U ＝R ，集合A ＝{x |x 2>4}，B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫ x ⎪⎪⎪x ＋3x －1 ≤0，则(∁U A )∩B 等于( ) A ．{x |－2≤x <1}B ．{x |－3≤x <2}C ．{x |－2≤x <2}D ．{x |－3≤x ≤2}解析：∵全集U ＝R ，集合A ＝{x |x 2>4}＝{x |x >2或x <－2}，B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫ x ⎪⎪⎪x ＋3x －1 ≤0＝{x |－3≤x <1}，∴∁U A ＝{x |－2≤x ≤2}，∴(∁U A )∩B ＝{x |－2≤x <1}． 故选A. 答案：A7．(2017届江西南昌模拟)已知集合M ＝{x |x 2－4x <0}，N ＝{x |m <x <5}，若M ∩N ＝{x |3<x <n }，则m ＋n 等于( )A ．9B ．8C ．7D ．6解析：由x 2－4x <0得0<x <4，所以M ＝{x |0<x <4}．又因为N ＝{x |m <x <5}，M ∩N ＝{x |3<x <n }，所以m ＝3，n ＝4，则m ＋n ＝7.答案：C8．设全集为R ，集合A ＝{x |x 2－9<0}，B ＝{x |－1<x ≤5}，则A ∩(∁R B )＝________. 解析：由题意知，A ＝{x |x 2－9<0}＝{x |－3<x <3}， ∵B ＝{x |－1<x ≤5}，∴∁R B ＝{x |x ≤－1或x >5}．∴A ∩(∁R B )＝{x |－3<x <3}∩{x |x ≤－1或x >5}＝{x |－3<x ≤－1}． 答案：{x |－3<x ≤－1}9．(2017届福建泉州二模)已知全集U ＝R ，集合A ＝{x |x 2－x －2＝0}，B ＝{x |mx ＋1＝0}，B ∩(∁U A )＝∅，则m ＝________.解析：∵B ∩(∁U A )＝∅，∴B ⊆A .∵A ＝{－1,2}，∴根据题意知B ＝∅或{－1}或{2}．若B ＝∅，则m ＝0；若B ＝{－1}，则m ＝1；若B ＝{2}，则m ＝－12.答案：0或1或－1210．已知集合A ＝{x |4≤2x ≤16}，B ＝[a ，b ]，若A ⊆B ，则实数a －b 的取值范围是________． 解析：集合A ＝{x |4≤2x ≤16}＝{x |22≤2x ≤24}＝{x |2≤x ≤4}＝[2,4]，因为A ⊆B ，所以a ≤2，b ≥4，所以a －b ≤2－4＝－2，即实数a －b 的取值范围是(－∞，－2]．答案：(－∞，－2]11．已知集合A ＝{x |x 2－2x －3≤0}，B ＝{x |x 2－2mx ＋m 2－4≤0，x ∈R ，m ∈R }． (1)若A ∩B ＝[0,3]，求实数m 的值； (2)若A ⊆∁R B ，求实数m 的取值范围．解：由已知得A ＝{x |－1≤x ≤3}，B ＝{x |m －2≤x ≤m ＋2}．(1)因为A ∩B ＝[0,3]，所以⎩⎪⎨⎪⎧m －2＝0，m ＋2≥3.所以m ＝2.(2)∁R B ＝{x |x <m －2或x >m ＋2}，因为A ⊆∁R B ， 所以m －2>3或m ＋2<－1，即m >5或m <－3.因此实数m 的取值范围是(－∞，－3)∪(5，＋∞)． 12．设集合A ＝{x |(x －2m ＋1)(x －m ＋2)<0}，B ＝{x |1≤x ＋1≤4}． (1)若m ＝1，求A ∩B ；(2)若A ∩B ＝A ，求实数m 的取值集合． 解：集合B ＝{x |0≤x ≤3}．(1)若m ＝1，则A ＝{x |－1<x <1}，则A ∩B ＝{x |0≤x <1}． (2)∵A ∩B ＝A ，∴A ⊆B .当A ＝∅即m ＝－1时，A ∩B ＝A ； 当A ≠∅即m ≠－1时，(ⅰ)当m <－1时，A ＝(2m －1，m －2)，要使得A ⊆B ，只要⎩⎪⎨⎪⎧ 2m －1≥0，m －2≤3，⇒12≤m ≤5，所以m 的值不存在．(ⅱ)当m >－1时，A ＝(m －2,2m －1)，要使得A ⊆B ，只要⎩⎪⎨⎪⎧m －2≥0，2m －1≤3，⇒m ＝2.综上，m 的取值集合是{－1,2}．13．设集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪132≤2－x≤4，B ＝{x |x 2＋2mx －3m 2<0}(m >0)． (1) 若m ＝2，求A ∩B ；(2) 若B ⊆A ，求实数m 的取值范围．解：集合A ＝{x |－2≤x ≤5}，因为m >0，所以B ＝(－3m ，m )． (1)m ＝2时，B ＝{x |－6<x <2}，所以A ∩B ＝{x |－2≤x ＜2}． (2)要使B ⊆A ，只要⎩⎪⎨⎪⎧－3m ≥－2，m ≤5⇒m ≤23，所以0＜m ≤23，综上，知m 的取值范围是0<m ≤23.[能 力 提 升]1．(2018届河南开封月考)设全集U ＝R ，A ＝{x |2x (x－2)<1}，B ＝{x |y ＝ln(1－x )}，则图中阴影部分表示的集合为( )A ．{x |x ≥1}B ．{x |1≤x <2}C ．{x |0<x ≤1}D ．{x |x ≤1}解析：易知A ＝{x |2x (x－2)<1}＝{x |x (x －2)<0}＝{x |0<x <2}，B ＝{x |y ＝ln(1－x )}＝{x |1－x >0}＝{x |x <1}，则∁U B ＝{x |x ≥1}，阴影部分表示的集合为A ∩(∁U B )＝{x |1≤x <2}．答案：B2．(2017届辽宁大连三模)已知集合A ＝{(x ，y )|y ＝lg x }，B ＝{(x ，y )|x ＝a }，若A ∩B ＝∅，则实数a 的取值范围是( )A ．a <1B ．a ≤1C ．a <0D ．a ≤0解析：因为y ＝lg x 的定义域为{x |x >0}，依题意知，对数函数y ＝lg x 的图象与直线x ＝a 没有交点，所以a ≤0.答案：D3．(2017届山东潍坊模拟)已知全集U ＝{a 1，a 2，a 3，a 4}，集合A 是集合U 的恰有两个元素的子集，且满足下列三个条件：①若a 1∈A ，则a 2∈A ；②若a 3∉A ，则a 2∉A ；③若a 3∈A ，则a 4∉A .则集合A ＝________.(用列举法表示)解析：(1)若a 1∈A ，由①可知a 2∈A ，又A 中只有两个元素，所以a 3∉A ，此时与②矛盾，所以a 1∉A .(2)若a 2∈A ，那么由②可得a 3∈A ，此时a 4∉A ，满足题设条件，所以{a 2，a 3}是一个满足条件的A .(3)若a 2∉A ，由于集合A 中只有两个元素，那么集合A 只可能是{a 3，a 4}，而这与③矛盾．故集合A ＝{a 2，a 3}．答案：{a 2，a 3}4．已知集合A ＝{x |1<x <3}，集合B ＝{x |2m <x <1－m }． (1)当m ＝－1时，求A ∪B ； (2)若A ⊆B ，求实数m 的取值范围； (3)若A ∩B ＝∅，求实数m 的取值范围． 解：(1)当m ＝－1时，B ＝{x |－2<x <2}， 则A ∪B ＝{x |－2<x <3}． (2)由A ⊆B 知⎩⎪⎨⎪⎧1－m >2m ，2m ≤1，1－m ≥3，解得m ≤－2，即实数m 的取值范围为(－∞，－2]． (3)由A ∩B ＝∅，得①若2m ≥1－m ，即m ≥13时，B ＝∅，符合题意；②若2m <1－m ，即m <13时，需⎩⎪⎨⎪⎧m <13，1－m ≤1或⎩⎪⎨⎪⎧m <13，2m ≥3，得0≤m <13或∅，即0≤m <13.综上知m ≥0，即实数m 的取值范围为[0，＋∞)．[课 时 跟 踪 检 测][基 础 达 标]1．(2018届邯郸质检)“x >3”是“1x <13”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分又不必要条件解析：“x >3”⇒“1x <13”；反之不成立，例如取x ＝－1.因此“x >3”是“1x <13”的充分不必要条件．故选A.答案：A2．已知集合A ＝{1，m 2＋1}，B ＝{2,4}，则“m ＝3”是“A ∩B ＝{4}”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：若A ∩B ＝{4}，则m 2＋1＝4，∴m ＝±3，故“m ＝3”是“A ∩B ＝{4}”的充分不必要条件． 答案：A3．(2017届山东重点中学模拟)已知命题p ：“正数a 的平方不等于0”，命题q ：“若a 不是正数，则它的平方等于0”，则q 是p 的( )A ．逆命题B ．否命题C ．逆否命题D ．否定解析：命题p ：“正数a 的平方不等于0”写成“若a 是正数，则它的平方不等于0”，从而q 是p 的否命题．答案：B4．命题p ：“若x 2<1，则x <1”的逆命题为q ，则p 与q 的真假性为( ) A ．p 真q 真 B ．p 真q 假 C ．p 假q 真D ．p 假q 假解析：q ：若x <1，则x 2<1.令x ＝－2，∴x 2＝4，∴q 假． ∵p ：x 2<1，则－1<x <1，∴p 真，故选B. 答案：B5．(2018届鹤壁模拟)已知命题p ：∃x 0∈R ，使tan x 0＝1，命题q ：∀x ∈R ，x 2>0，下面结论正确的是( ) A ．命题“p ∧q ”是真命题 B ．命题“p ∧綈q ”是假命题 C ．命题“綈p ∧q ”是真命题 D ．命题“綈p ∧綈q ”是假命题解析：因为tan45°＝1，所以p ：∃x 0∈R ，使tan x 0＝1是真命题，所以綈p 是假命题．因为x ＝0，x 2＝0，所以命题q ：∀x ∈R ，x 2>0是假命题，所以綈q 是真命题，所以p ∧q 是假命题，綈p ∧q 是假命题，綈p ∧綈q 是假命题，故选择D.答案：D6.(2017届江西新余调研)设p ：∀x ∈R ，x 2－4x ＋m >0；q ：函数f (x )＝－13x 3＋2x 2－mx －1在R 上是减函数，则p 是q 的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：若p 为真，则Δ＝16－4m <0，解得m >4；若q 为真，则f ′(x )＝－x 2＋4x －m ≤0在R 上恒成立，则Δ＝16－4m ≤0，解得m ≥4，所以p 是q 的充分不必要条件．答案：A7．(2018届河北唐山二模)已知a ，b 为实数，则“a 3<b 3”是“2a <2b ”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件解析：由于函数y ＝x 3，y ＝2x 在R 上单调递增，所以a 3<b 3⇔a <b ⇔2a <2b ，即“a 3<b 3”是“2a <2b ”的充要条件．答案：C8．(2017届河南三市调研)若x ，y ∈R ，则x >y 的一个充分不必要条件是( ) A ．|x |>|y | B ．x 2>y 2 C.x >yD ．x 3>y 3解析：由|x |>|y |，x 2>y 2未必能推出x >y ，排除A 、B ；由x >y 可推出x >y ，反之，未必成立，而x 3>y 3是x >y 的充要条件，故选C.答案：C9．(2017届浙江宁波一模)若“x >1”是“不等式2x >a －x 成立”的必要而不充分条件，则实数a 的取值范围是( )A ．a >3B ．a <3C ．a >4D ．a <4解析：若2x >a －x ，即2x ＋x >a .设f (x )＝2x ＋x ，则函数f (x )为增函数．由题意知“2x ＋x >a 成立，即f (x )>a 成立”能得到“x >1”，反之不成立．因为当x >1时，f (x )>3，所以a >3.答案：A10．(2018届河北唐山月考)已知命题p ：x 2＋2x －3>0；命题q ：x >a ，且綈q 的一个充分不必要条件是綈p ，则a 的取值范围是________．解析：p ：由x 2＋2x －3>0，得x <－3或x >1.由綈q 的一个充分不必要条件是綈p ，可知綈p 是綈q 的充分不必要条件，等价于q 是p 的充分不必要条件．又q ：x >a ，故a ≥1.答案：[1，＋∞)11．(2017届河南濮阳第二次检测)若“m >a ”是“函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫13x ＋m －13的图象不过第三象限”的必要不充分条件，则实数a 能取的最大整数为________．解析：由于f (0)＝m ＋23，因为函数y ＝f (x )的图象不过第三象限，所以m ＋23≥0，即m ≥－23.由于“m >a ”是“m ≥－23”的必要不充分条件，因此a <－23，故实数a 能取的最大整数为－1.答案：－112．已知集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫y ⎪⎪y ＝x 2－32x ＋1，x ∈⎣⎡⎦⎤34，2，B ＝{x |x ＋m 2≥1}．若“x ∈A ”是“x ∈B ”的充分条件，求实数m 的取值范围．解：y ＝x 2－32x ＋1＝⎝⎛⎭⎫x －342＋716， ∵x ∈⎣⎡⎦⎤34，2，∴716≤y ≤2，∴A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫y ⎪⎪716≤y ≤2. 由x ＋m 2≥1，得x ≥1－m 2，∴B ＝{x |x ≥1－m 2}．∵“x ∈A ”是“x ∈B ”的充分条件，∴A ⊆B ，∴1－m 2≤716，解得m ≥34或m ≤－34，故实数m 的取值范围是⎝⎛⎦⎤－∞，－34∪⎣⎡⎭⎫34，＋∞. 13．(2018届江西九江地区高三七校联考)命题p ：∀x ∈R ，ax 2＋ax －1<0，命题q ：3a －1＋1<0.(1)若“p 或q ”为假命题，求实数a 的取值范围；(2)若“綈q ”是“a ∈[m ，m ＋1]”的必要不充分条件，求实数m 的取值范围． 解：(1)关于命题p ：∀x ∈R ，ax 2＋ax －1<0， a >0时，显然不成立，a ＝0时成立，a <0时只需Δ＝a 2＋4a <0即可，解得－4<a <0， 故p 为真时，a ∈(－4,0]；关于命题q ：3a －1＋1<0，解得－2<a <1，命题“p 或q ”为假命题，即p ，q 均为假命题， 则a ≤－4或a ≥1.(2)綈q ：a ≤－2或a ≥1，所以m ＋1≤－2或m ≥1， 所以m ≤－3或m ≥1.14．已知P ＝{x |x 2－8x －20≤0}，非空集合S ＝{x |1－m ≤x ≤1＋m }．求： (1)若x ∈P 是x ∈S 的必要条件，求m 的取值范围； (2)是否存在实数m ，使x ∈P 是x ∈S 的充要条件；(3)若綈p 是綈S 的必要不充分条件，求实数m 的取值范围． 解：(1)由x 2－8x －20≤0得－2≤x ≤10， ∴P ＝{x |－2≤x ≤10}，由x ∈P 是x ∈S 的必要条件，知S ⊆P ， 则⎩⎪⎨⎪⎧1－m ≤1＋m ，1－m ≥－2，1＋m ≤10，∴0≤m ≤3.所以当0≤m ≤3时，x ∈P 是x ∈S 的必要条件． (2)若x ∈P 是x ∈S 的充要条件，则P ＝S .∴⎩⎪⎨⎪⎧ 1－m ＝－2，1＋m ＝10，∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＝3，m ＝9.即不存在实数m ，使x ∈P 是x ∈S 的充要条件，(3)P ＝{x |－2≤x ≤10}，∵綈P 是綈S 的必要不充分条件， ∴P ⇒S 且SP ，∴[－2,10][1－m,1＋m ]，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 1－m ≤－2，1＋m >10或⎩⎪⎨⎪⎧1－m <－2，1＋m ≥10.∴m ≥9，即m 的取值范围是[9，＋∞)． [能 力 提 升]1．(2017届济南模拟)若a ＝log 2x ，b ＝2x ，则“a >b ”是“x >1”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解析：函数a ＝log 2x ，b ＝2x的图象如图所示，由图象可知，若a >b ，则x >2，即x >1成立，反之，若x >1，当x ＝32时，a <b .答案：A2．若命题“ax 2－2ax －3>0不成立”是真命题，则实数a 的取值范围是________．解析：由题意知ax 2－2ax －3≤0恒成立，当a ＝0时，－3≤0成立；当a ≠0时，得⎩⎪⎨⎪⎧a <0，Δ＝4a 2＋12a ≤0， 解得－3≤a <0，故－3≤a ≤0. 答案：[－3,0]3．已知α：x ≥a ，β：|x －1|<1.若α是β的必要不充分条件，则实数a 的取值范围为________． 解析：α：x ≥a ，可看作集合A ＝{x |x ≥a }，∵β：|x －1|<1，∴0<x <2，∴β可看作集合B ＝{x |0<x <2}． 又∵α是β的必要不充分条件，∴B A ，∴a ≤0. 答案：(－∞，0]4．已知命题p ：|x －2|<a (a >0)，命题q ：|x 2－4|<1，若p 是q 的充分不必要条件，求实数a 的取值范围． 解：由题意p ：|x －2|<a ⇔2－a <x <2＋a ，q ：|x 2－4|<1⇔－1<x 2－4<1⇔3<x 2<5⇔－5<x <－3或3<x < 5. 又由题意知p 是q 的充分不必要条件，所以有⎩⎨⎧－5≤2－a ，2＋a ≤－3，a >0，①或⎩⎨⎧3≤2－a ，2＋a ≤5，a >0，②由①得a 无解；由②解得0<a ≤2－ 3.[课 时 跟 踪 检 测][基 础 达 标]1．已知命题p ：∀x ∈R,2x <3x ，命题q ：∃x ∈R ，x 2＝2－x ，若命题(綈p )∧q 为真命题，则x 的值为( ) A ．1 B ．－1 C ．2D ．－2解析：∵綈p ：∃x 0∈R,2x 0≥3x 0，要使(綈p )∧q 为真，∴綈p 与q 同时为真．由2x ≥3x 得⎝⎛⎭⎫23x≥1，∴x ≤0. 由x 2＝2－x 得x 2＋x －2＝0，∴x ＝1或x ＝－2，又x ≤0，∴x ＝－2. 答案：D2．已知命题p ：若x >y ，则－x <－y ；命题q ：若x >y ，则x 2>y 2.在命题①p ∧q ；②p ∨q ；③p ∧(綈q )；④(綈p )∨q 中，真命题是( )A ．①③B ．①④C ．②③D ．②④解析：由不等式的性质可知，命题p 是真命题，命题q 为假命题，故①p ∧q 为假命题；②p ∨q 为真命题；③綈q 为真命题，则p ∧(綈q )为真命题；④綈p 为假命题，则(綈p )∨q 为假命题，故选C答案：C3．设命题p ：∃n ∈N ，n 2>2n ，则綈p 为( ) A ．∀n ∈N ，n 2>2n B ．∃n ∈N ，n 2≤2n C ．∀n ∈N ，n 2≤2nD ．∃n ∈N ，n 2＝2n解析：因为特称命题的否定是全称命题，所以綈p ：∀n ∈N ，n 2≤2n . 答案：C4．(2017届湖北荆州一模)命题“自然数的平方大于零”的否定是( ) A ．∃x ∈Z ，x 2≤0 B ．∀x ∈N ，x 2≤0 C ．∃x ∈N ，x 2≤0D ．∃x ∈N ，x 2＜0解析：因为全称命题的否定是特称命题，所以命题“自然数的平方大于零”的否定是：∃x ∈N ，x 2≤0.故选C.答案：C5．命题p ：若a <b ，则ac 2<bc 2；命题q ：∃x 0>0，使得x 0－1－ln x 0＝0，则下列命题为真命题的是( ) A ．p ∧qB ．p ∨(綈q )C ．(綈p )∧qD ．(綈p )∧(綈q )解析：命题p ：若a <b ，则ac 2<bc 2，c ＝0时不成立，因此是假命题； 命题q ：取x 0＝1，满足x 0－1－ln x 0＝0，因此是真命题； 则为真命题的是(綈p )∧q ，故选C.答案：C6．(2017届河北唐山质检)命题p ：若sin x >sin y ，则x >y ；命题q ：x 2＋y 2≥2xy .下列命题为假命题的是( ) A ．p 或q B ．p 且q C ．qD ．綈p解析：取x ＝π3，y ＝5π6，可知命题p 不正确；由(x －y )2≥0恒成立，可知命题q 正确，故綈p 为真命题，p 或q 是真命题，p 且q 是假命题，故选B.答案：B7．(2018届河北衡水中学调研)已知命题p ：方程x 2－2ax －1＝0有两个实数根；命题q ：函数f (x )＝x ＋4x的最小值为4.给出下列命题：①p ∧q ；②p ∨q ；③p ∧(綈q )；④(綈p )∨(綈q )．则其中真命题的个数为( ) A ．1 B ．2C ．3D ．4解析：由于Δ＝4a 2＋4>0，所以方程x 2－2ax －1＝0有上实数根，即命题p 是真命题；当x <0时，f (x )＝x ＋4x的值为负值，故命题q 为假命题，所以p ∨q ，p ∨(綈q )，(綈p )∨(綈q )是真命题，故选C.答案：C8．(2017届辽宁大连二模)命题p ：“∃x 0∈⎣⎡⎦⎤0，π4，sin2x 0＋cos2x 0>a ”是假命题，则实数a 的取值范围是( )A ．a <1B ．a < 2C ．a ≥1D ．a ≥ 2解析：依题意，命题p 的否定綈p ：“∀x ∈⎣⎡⎦⎤0，π4，sin2x ＋cos2x ≤a ”应为真命题，即∀x ∈⎣⎡⎦⎤0，π4，sin2x ＋cos2x ≤a 恒成立，而sin2x ＋cos2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4∈[1， 2 ]，所以实数a 的取值范围是a ≥ 2. 答案：D9．命题“∀x ∈R ，∃n ∈N *，使得n ≥x 2”的否定形式是( ) A ．∀x ∈R ，∃n ∈N *，使得n <x 2 B ．∀x ∈R ，∀n ∈N *，使得n <x 2 C ．∃x 0∈R ，∃n ∈N *，使得n <x 20 D ．∃x 0∈R ，∀n ∈N *，使得n <x 20解析：原命题是全称命题，条件为“∀x ∈R ”，结论为“∃n ∈N *，使得n ≥x 20”，其否定形式为特称命题，条件中改量词，并否定结论，只有D 选项符合．答案：D10．已知命题p ：方程x 2－mx ＋1＝0有实数解，命题q ：x 2－2x ＋m >0对任意x 恒成立．若命题q ∨(p ∧q )真、綈p 真，则实数m 的取值范围是________．解析：由于綈p 真，所以p 假，则p ∧q 假，又q ∨(p ∧q )真，故q 真，即命题p 假、q 真． 当命题p 假时，即方程x 2－mx ＋1＝0无实数解，此时m 2－4<0，解得－2<m <2；当命题q 真时，4－4m <0，解得m >1. 所以实数m 的取值范围是1<m <2. 答案：(1,2)11．(2017届山东青岛模拟)已知命题p ：∃x 0∈R ，使tan x 0＝1；命题q ：x 2－3x ＋2<0的解集是{x |1<x <2}，现有以下结论：①命题“p 且q ”是真命题；②命题“p 且綈q ”是假命题；③命题“綈p 或q ”是真命题；④命题“綈p 或綈q ”是假命题．其中正确结论的序号为________．(写出所有正确结论的序号)解析：当x 0＝π4时，tan x 0＝1，所以命题p 为真；不等式x 2－3x ＋2<0的解集是{x |1<x <2}，所以命题q也为真，故命题“p 且q ”是真命题，①正确；命题“p 且綈q ”是假命题，②正确；命题“綈p 或q ”是真命题，③正确；命题“綈p 或綈q ”是假命题，④正确．答案：①②③④12．(2018届山东潍坊质检)已知命题p ：∀x >0,2ax －ln x ≥0.若命题p 的否定是真命题，则实数a 的取值范围是________．解析：命题p 的否定是：∃x 0>0,2ax 0－ln x 0<0，即不等式2ax －ln x <0有解．而不等式2ax －ln x <0可化为2a <ln x x ，令g (x )＝ln x x ，则g ′(x )＝1－ln x x 2，可得g (x )在x ＝e 处取得最大值1e ，因此要使不等式2a <ln xx 有解，只需2a <1e ，即a <12e.答案：⎝⎛⎭⎫－∞，12e 13．(2017届湖北百所重点校高三联考)已知函数f ()x ＝log 0.3()4x －1的定义域为A ，m >0，函数g ()x ＝4x－1()0<x ≤m 的值域为B .(1)当m ＝1时，求()∁R A ∩B ；(2)是否存在实数m ，使得A ＝B ？若存在，求出m 的值；若不存在，请说明理由．解：(1)由⎩⎪⎨⎪⎧4x －1>0，log 0.3(4x －1)≥0，解得14<x ≤12，即A ＝⎝⎛⎦⎤14，12. 当m ＝1时，因为0<x ≤1，所以14<4x －1≤1，即B ＝⎝⎛⎦⎤14，1，所以(∁R A )∩B ＝⎝⎛⎦⎤12，1. (2)因为B ＝⎝⎛⎦⎤14，4m －1，若存在实数m ，使A ＝B ，则必有4m －1＝12，解得m ＝12， 故存在实数m ＝12，使得A ＝B .14．已知命题p ：∃x 0∈[0,2]，log 2(x ＋2)<2m ；命题q ：关于x 的方程3x 2－2x ＋m 2＝0有两个相异实数根．(1)若(綈p )∧q 为真命题，求实数m 的取值范围；(2)若p ∨q 为真命题，p ∧q 为假命题，求实数m 的取值范围．解：对于命题p ：f (x )＝log 2(x ＋2)，则f (x )在[0,2]上是增函数，故当x ∈[0,2]时，f (x )的最小值为f (0)＝1，若p 为真命题，则2m >1，∴m >12.对于命题里q ，Δ＝4－12m 2>0即m 2<13时，方程3x 2－2x ＋m 2＝0有两相异实数根，∴－33<m <33.(1)若(綈p )∧q 为真，则实数m 满足⎩⎨⎧m ≤12，－33<m <33，故－33<m ≤12， 即实数m 的取值范围为⎝⎛⎦⎤－32，12. (2)若p ∨q 为真命题，p ∧q 为假命题，则p 、q 一真一假，若p 真q 假，则实数m 满足⎩⎨⎧m >12，m ≤－33或m ≥33，即m ≥33； 若p 假q 真，则实数m 满足⎩⎨⎧m ≤12，－33<m <33，即－33<m ≤12. 综上所述，实数m 的取值范围为⎝⎛⎦⎤－33，12∪⎣⎡⎭⎫33，＋∞.15．已知m ∈R ，命题p ：对∀x ∈[0,1]，不等式2x －2≥m 2－3m 恒成立；命题q ：∃x ∈[－1,1]，使得m ≤ax 成立．(1)若p 为真命题，求m 的取值范围；(2)当a ＝1时，若p ∧q 为假，p ∨q 为真，求m 的取值范围． 解：(1)设y ＝2x －2，则y ＝2x －2在[0,1]上单调递增， ∴y min ＝－2.∵对任意x ∈[0,1]，不等式2x －2≥m 2－3m 恒成立，∴m 2－3m ≤－2，即m 2－3m ＋2≤0，解得1≤m ≤2. ∴m 的取值范围为[1,2]．(2)a ＝1时，y ＝2x 在区间[－1,1]上单调递增，∴y max ＝2. ∵存在x ∈[－1,1]，使得m ≤ax 成立，∴m ≤1. ∵p ∧q 假，p ∨q 为真，∴p 与q 一真一假，①当p 真q 假时，可得⎩⎪⎨⎪⎧1≤m ≤2，m >1，解得1＜m ≤2；②当p 假q 真时，可得⎩⎪⎨⎪⎧m <1或m >2，m ≤1，解得m <1.综上可得1＜m ≤2或m ＜1.∴实数m 的取值范围是(－∞，1)∪(1,2]．[能 力 提 升]1．(2017届江西南昌二模)命题“∀x >0，xx －1>0”的否定是( )A ．∃x 0<0，x 0x 0－1≤0 B ．∃x 0>0,0≤x 0≤1C ．∀x >0，xx －1≤0D ．∀x <0,0≤x ≤1解析：命题“∀x >0，x x －1>0”的否定是“∃x 0>0，x 0x 0－1≤0或x 0＝1”，即“∃x 0>0,0≤x 0≤1”，故选B.答案：B2．(2018届山东临沂调研)下列命题中，真命题是( ) A ．存在x 0∈R ，sin 2x 02＋cos 2x 02＝12B ．任意x ∈(0，π)，sin x >cos xC ．任意x ∈(0，＋∞)，x 2＋1>xD ．存在x 0∈R ，x 20＋x 0＝－1解析：对于A 选项，∀x ∈R ，sin 2x 2＋cos 2x 2＝1，故A 为假命题；对于B 选项，存在x ＝π6，sin x ＝12，cos x＝32，sin x <cos x ，故B 为假命题；对于C 选项，x 2＋1－x ＝⎝⎛⎭⎫x －122＋34>0恒成立，C 为真命题；对于D 选项，x 2＋x ＋1＝⎝⎛⎭⎫x ＋122＋34>0恒成立，不存在x 0∈R ，使x 20＋x 0＝－1成立，故D 为假命题． 答案：C3．(2017届湖北百校联考)已知命题p ：对任意x ∈(0，＋∞)，log 4x <log 8x ；命题q ：存在x 0∈R ，使得tan x 0＝1－3x 0，则下列命题为真命题的是( )A ．p ∧qB ．(綈p )∧(綈q )C ．p ∧(綈q )D ．(綈p )∧q解析：当x ＝1时，log 4x ＝log 8x ，所以命题p 是假命题；函数y ＝tan x 的图象与y ＝1－3x 的图象有无数个交点，所以存在x 0∈R ，使得tan x 0＝1－3x 0，即命题q 是真命题，故(綈p )∧q 是真命题，选D.答案：D4．(2017届河南安阳模拟)已知命题p：∃m∈R，m＋1≤0，命题q：∀x∈R，x2＋mx＋1>0恒成立，若p∧q为假命题，则实数m的取值范围为________．解析：命题p是真命题时，m≤－1，命题q是真命题时，Δ＝m2－4<0，解得－2<m<2，所以p∧q是真命题时，－2<m≤－1.答案：{m|m≤－2或m>－1}[课 时 跟 踪 检 测][基 础 达 标]1．与9π4的终边相同的角的表达式中正确的是( )A ．π＋45°(k ∈Z )B ．k ·360°＋94π(k ∈Z )C ．k ·360°－315°(k ∈Z )D ．k π＋5π4(k ∈Z )解析：与9π4的终边相同的角可以写成2k π＋9π4(k ∈Z )且角度制与弧度制不能混用，所以只有答案C 正确．答案：C2．若α是第三象限角，则下列各式中不成立的是( ) A ．sin α＋cos α<0 B ．tan α－sin α<0 C ．cos α－tan α<0D ．tan αsin α<0解析：在第三象限，sin α<0，cos α<0，tan α>0，则可排除A 、C 、D 三项． 答案：B3．已知角α的终边经过点P (－4a,3a )(a <0)，则2sin α＋cos α的值为( ) A ．－25B.25 C ．0D.25或－25解析：因为x ＝－4a ，y ＝3a ，a <0，所以r ＝－5a ，所以sin α＝－35，cos α＝45，2sin α＋cos α＝2×⎝⎛⎭⎫－35＋45＝－25.故选A. 答案：A4．sin1，cos1，tan1的大小关系是( ) A ．sin1<cos1<tan1 B ．tan1<sin1<cos1 C ．cos1<tan1<sin1D ．cos1<sin1<tan1解析：如图，单位圆中∠MOP ＝1 rad>π4 rad.因为OM <22<MP <AT ，所以cos1<sin1<tan1.故选D.答案：D5．将表的分针拨快10分钟，则分针旋转过程中形成的角的弧度数是( )A.π3B.π6 C ．－π3D ．－π6解析：将表的分针拨快应按顺时针方向旋转，为负角．故A 、B 不正确；又因为拨快10分钟，故应转过的角为圆周角的16，即为－16×2π＝－π3.答案：C6．已知角α终边上一点P 的坐标是(2sin2，－2cos2)，则sin α等于( ) A ．sin2 B ．－sin2 C ．cos2D ．－cos2解析：因为r ＝(2sin2)2＋(－2cos )2＝2，由任意角三角函数的定义得sin α＝yr ＝－cos2.答案：D7．集合⎩⎨⎧⎭⎬⎫αk π＋π4≤α≤k π＋π2，k ∈Z 中的角所表示的范围(阴影部分)是( )解析：当k ＝2n (n ∈Z )时，2n π＋π4≤α≤2n π＋π2，此时α表示的范围与π4≤α≤π2表示的范围一样；当k ＝2n ＋1(n ∈Z )时，2n π＋π＋π4≤α≤2n π＋π＋π2，此时α表示的范围与π＋π4≤α≤π＋π2表示的范围一样．答案：C8．已知点A 的坐标为(43，1)，将OA 绕坐标原点O 逆时针旋转π3至OB ，则点B 的纵坐标为( )A.332B.532C.112D.132解析：设OA 的倾斜角为α，B (m ，n )(m ＞0，n ＞0)，则OB 的倾斜角为π3＋α.因为A (43，1)，所以tan α＝143，tan ⎝⎛⎭⎫π3＋α＝n m ， n m ＝3＋1431－3×143＝1333，即m 2＝27169n 2， 因为m 2＋n 2＝(43)2＋12＝49，所以n 2＋27169n 2＝49，所以n ＝132或n ＝－132(舍去)，所以点B 的纵坐标为132.答案：D9．某扇形是从一个圆中剪下的一部分，半径等于圆半径的23，面积等于圆面积的527，则扇形的弧长与圆周长之比为________．解析：设圆的半径为r ，则扇形的半径为2r 3，记扇形的圆心角为α，则12α⎝⎛⎭⎫2r 32πr 2＝527，∴α＝5π6. ∴扇形的弧长与圆周长之比为l c ＝5π6·23r 2πr ＝518.答案：51810．在(0,2π)内，使sin x >cos x 成立的x 的取值范围为____________．解析：如图所示，找出在(0,2π)内，使sin x ＝cos x 的x 值，sin π4＝cos π4＝22，sin 5π4＝cos 5π4＝－22，根据三角函数线的变化规律标出满足题中条件的角x ∈⎝⎛⎭⎫π4，5π4.答案：⎝⎛⎭⎫π4，5π411．已知扇形AOB 的圆心角为120°，半径为6. (1)求AB ；(2)求这个扇形所含的弓形的面积．解：(1)∵120°＝23π rad ，∴AB ＝23π×6＝4π.(2)S 弓＝S 扇－S △AOB ＝12×6×4π－12×63×3 ＝12π－9 3.12．若角α的终边在直线3x ＋4y ＝0上，求sin α＋cos α的值． 解：在角α的终边上任取一点P (4t ，－3t )(t ≠0)， 则|OP |＝(4t )2＋(－3t )2＝5|t |，当t >0时，sin α＝y r ＝－3t 5t ＝－35，cos α＝x r ＝4t 5t ＝45，sin α＋cos α＝15；当t <0时，sin α＝y r ＝－3t －5t ＝35，cos α＝x r ＝4t －5t ＝－45，sin α＋cos α＝－15.综上得sin α＋cos α的值为±15.13．已知α为第四象限角，cos α＝1213，求sin α，tan α的值．解：∵α为第四象限角，∴sin α＝－1－cos 2α＝－513.∴tan α＝sin αcos α＝－512.[能 力 提 升]1．已知角α＝2k π－π5(k ∈Z )，若角θ与角α的终边相同，则y ＝sin θ|sin θ|＋cos θ|cos θ|＋tan θ|tan θ|的值为( )A ．1B ．－1C ．3D ．－3解析：由α＝2k π－π5(k ∈Z )及终边相同的概念知，角α的终边在第四象限，又角θ与角α的终边相同，所以角θ是第四象限角，所以sin θ<0，cos θ>0，tan θ<0.所以y ＝－1＋1－1＝－1. 答案：B2．已知sin α<0，tan α>0. (1)求α角的集合； (2)求α2角终边所在的象限；(3)试判断tan α2sin α2cos α2的符号．解：(1)由sin α<0，知α在第三、四象限或y 轴的负半轴上； 由tan α>0，知α在第一、三象限，故α角在第三象限； 其集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫α2k π＋π<α<2k π＋3π2，k ∈Z .(2)由2k π＋π<α<2k π＋3π2，k ∈Z ，得k π＋π2<α2<k π＋3π4，k ∈Z ，故α2角终边在第二、四象限． (3)当α2角在第二象限时，tan α2<0，sin α2>0，cos α2<0，所以tan α2sin α2cos α2取正号；当α2在第四象限时，tan α2<0，sin α2<0，cos α2>0， 所以tan α2sin α2cos α2也取正号．因此，tan α2sin α2cos α2取正号．[课 时 跟 踪 检 测][基 础 达 标]1．tan ⎝⎛⎭⎫－233π的值为( ) A.3 B ．－ 3 C.33D ．－33解析：tan ⎝⎛⎭⎫－233π＝tan ⎝⎛⎭⎫－8π＋π3＝tan π3＝ 3. 答案：A2．已知sin(π＋θ)＝－3cos(2π－θ)，|θ|<π2，则θ等于( )A ．－π6B ．－π3C.π6D.π3解析：因为sin(π＋θ)＝－3cos(2π－θ)， 所以－sin θ＝－3cos θ，所以tan θ＝ 3. 因为|θ|<π2，所以θ＝π3.答案：D3．已知tan(α－π)＝34，且α∈⎝⎛⎭⎫π2，3π2，则sin ⎝⎛⎭⎫α＋π2＝( ) A.45 B ．－45C.35D ．－35解析：因为tan(α－π)＝34，所以tan α＝34.又因为α∈⎝⎛⎭⎫π2，3π2，所以α为第三象限的角， ∴sin ⎝⎛⎭⎫α＋π2＝cos α＝－45. 答案：B4．已知sin ⎝⎛⎭⎫α－π4＝13，则cos ⎝⎛⎭⎫π4＋α＝( ) A.223B ．－223C.13D ．－13解析：cos ⎝⎛⎭⎫π4＋α＝sin ⎣⎡⎦⎤π2－⎝⎛⎭⎫π4＋α＝sin π4－α＝－sin ⎝⎛⎭⎫α－π4＝－13. 答案：D5．已知f (x )＝a sin(πx ＋α)＋b cos(πx ＋β)＋4，若f (2 016)＝5，则f (2 017)的值是( ) A ．2 B ．3 C ．4D ．5解析：∵f (2 016)＝5，∴a sin(2 016π＋α)＋b cos(2 016π＋β)＋4＝5，即a sin α＋b cos β＝1.∴f (2 017)＝a sin(2 017π＋α)＋b cos(2 017π＋β)＋4＝－a sin α－b cos β＋4＝－1＋4＝3.答案：B6．已知sin α＋3cos α＋1＝0，则tan α的值为( ) A.43或34 B ．－34或－43C.34或－43D ．－43或不存在解析：由sin α＝－3cos α－1，可得(－3cos α－1)2＋cos 2α＝1，即5cos 2α＋3cos α＝0，解得cos α＝－35或cos α＝0，当cos α＝0时，tan α的值不存在；当cos α＝－35时，sin α＝－3cos α－1＝45，tan θ＝sin αcos α＝－43，故选D.答案：D7．已知sin(3π－α)＝－2sin ⎝⎛⎭⎫π2＋α，则sin αcos α＝________. 解析：∵sin(3π－α)＝－2sin ⎝⎛⎭⎫π2＋α， ∴sin α＝－2cos α，∴tan α＝－2，∴sin αcos α＝sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝tan αtan 2α＋1＝－2(－2)2＋1＝－25. 答案：－258．已知向量a ＝(sin θ，－2)与b ＝(1，cos θ)互相垂直，其中θ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，则cos θ＝________. 解析：∵a ⊥b ，∴a ·b ＝sin θ－2cos θ＝0，即sin θ＝2cos θ. 又∵sin 2θ＋cos 2θ＝1，∴4cos 2θ＋cos 2θ＝1，即cos 2θ＝15，又∵θ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，∴cos θ＝55. 答案：559．sin 4π3·cos 5π6·tan ⎝⎛⎭⎫－4π3的值是________．解析：原式＝sin ⎝⎛⎭⎫π＋π3·cos ⎝⎛⎭⎫π－π6·tan －π－π3＝⎝⎛⎭⎫－sin π3·⎝⎛⎭⎫－cos π6·⎝⎛⎭⎫－tan π3＝⎝⎛⎭⎫－32×⎝⎛⎭⎫－32×(－3)＝－334.答案：－33410．已知sin(3π＋α)＝2sin ⎝⎛⎭⎫3π2＋α，求下列各式的值： (1)sin α－4cos α5sin α＋2cos α； (2)sin 2α＋sin2α.解：由已知得，sin α＝2cos α. (1)原式＝2cos α－4cos α5×2cos α＋2cos α＝－16.(2)原式＝sin 2α＋2sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝sin 2α＋sin 2αsin 2α＋14sin 2α＝85.11．已知α为第三象限角，f (α)＝sin ⎝⎛⎭⎫α－π2·cos ⎝⎛⎭⎫3π2＋α·tan (π－α)tan (－α－π)·sin (－α－π).(1)化简f (α)；(2)若cos ⎝⎛⎭⎫α－3π2＝15，求f (α)的值． 解：(1)f (α)＝sin ⎝⎛⎭⎫α－π2·cos ⎝⎛⎭⎫3π2＋α·tan (π－α)tan (－α－π)·sin (－α－π)＝(－cos α)·sin α·(－tan α)(－tan α)·sin α＝－cos α.(2)因为cos ⎝⎛⎭⎫α－3π2＝15，所以－sin α＝15， 从而sin α＝－15.又α为第三象限角，所以cos α＝－1－sin 2α＝－265，所以f (α)＝－cos α＝265.12．已知△ABC 中，sin A ＋cos A ＝15.(1)求sin A cos A 的值；(2)判断△ABC 是锐角三角形还是钝角三角形； (3)求tan A 的值．解：(1)因为sin A ＋cos A ＝15，①所以两边平方得1＋2sin A cos A ＝125，所以sin A cos A ＝－1225.(2)由sin A cos A ＝－1225<0，且0<A <π，可知cos A <0，所以A 为钝角，所以△ABC 是钝角三角形．(3)因为(sin A －cos A )2＝1－2sin A cos A ＝1＋2425＝4925，又sin A >0，cos A <0，所以sin A －cos A >0， 所以sin A －cos A ＝75，②所以由①②可得sin A ＝45，cos A ＝－35，所以tan A ＝sin A cos A ＝45－35＝－43.[能 力 提 升]1．sin 21°＋sin 22°＋…＋sin 290°＝________.解析：sin 21°＋sin 22°＋…＋sin 290°＝sin 21°＋sin 22°＋…＋sin 244°＋sin 245°＋cos 244°＋cos 243°＋…＋cos 21°＋sin 290°＝(sin 21°＋cos 21°)＋(sin 22°＋cos 22°)＋…＋(sin 244°＋cos 244°)＋sin 245°＋cos 290°＝44＋12＋1＝912. 答案：9122．已知f (x )＝cos 2(n π＋x )·sin 2(n π－x )cos 2[(2n ＋1)π－x ](n ∈Z )．(1)化简f (x )的表达式； (2)求f ⎝⎛⎭⎫π2 018＋f ⎝⎛⎭⎫504π1 009的值．解：(1)当n 为偶数，即n ＝2k (k ∈Z )时， f (x )＝cos 2(2k π＋x )·sin 2(2k π－x )cos 2[(2×2k ＋1)π－x ]＝cos 2x ·sin 2(－x )cos 2(π－x )＝cos 2x ·(－sin x )2(－cos x )2＝sin 2x ； 当n 为奇数，即n ＝2k ＋1(k ∈Z )时， f (x )＝cos 2[(2k ＋1)π＋x ]·sin 2[(2k ＋1)π－x ]cos 2{[2×(2k ＋1)＋1]π－x }＝cos 2[2k π＋(π＋x )]·sin 2[2k π＋(π－x )]cos 2[2×(2k ＋1)π＋(π－x )]＝cos 2(π＋x )·sin 2(π－x )cos 2(π－x )＝(－cos x )2sin 2x (－cos x )2＝sin 2x ， 综上得f (x )＝sin 2x .(2)由(1)得f ⎝⎛⎭⎫π2 018＋f ⎝⎛⎭⎫504π1 009 ＝sin 2π2 018＋sin 21 008π2 018＝sin 2π2 018＋sin 2⎝⎛⎭⎫π2－π2 018 ＝sin 2π2 018＋cos 2π2 018＝1.[课 时 跟 踪 检 测][基 础 达 标]1．y ＝|cos x |的一个单调增区间是( ) A.⎣⎡⎦⎤－π2，π2 B ．[0，π] C.⎣⎡⎦⎤π，3π2 D.⎣⎡⎦⎤3π2，2π 解析：将y ＝cos x 的图象位于x 轴下方的图象做关于x 轴的对称，x 轴上方(或x 轴上)的图象不变，即得y ＝|cos x |的图象(如图)．故选D.答案：D2．设偶函数f (x )的部分图象如图所示，△KML 为等腰直角三角形，∠KML ＝90°，KL ＝1，则f ⎝⎛⎭⎫16的值为( )A ．－34 B ．－14 C ．－12 D.34解析：由题意知，点M 到x 轴的距离是12，根据题意可设f (x )＝12cos ωx ，又由题图知12·2πω＝1，所以ω＝π，所以f (x )＝12cosπx ，故f ⎝⎛⎭⎫16＝12cos π6＝34. 答案：D3．关于函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫2x －π3，下列说法正确的是( ) A ．是奇函数B ．在区间⎝⎛⎭⎫0，π3上单调递减 C.⎝⎛⎭⎫π6，0为其图象的一个对称中心 D ．最小正周期为π解析：函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫2x －π3是非奇非偶函数，A 错；在区间⎝⎛⎭⎫0，π3上单调递增，B 错；最小正周期为π2，D 错；由2x －π3＝k π2，k ∈Z ，得x ＝k π4＋π6，当k ＝0时，x ＝π6，所以它的图象关于⎝⎛⎭⎫π6，0对称，故选C. 答案：C4．(2017届河南中原名校模拟)已知函数f (x )＝sin(2x ＋φ)，其中0<φ<2π，若f (x )≤⎪⎪⎪⎪f ⎝⎛⎭⎫π6对x ∈R 恒成立，且f ⎝⎛⎭⎫π2>f (π)，则φ等于( )A.π6 B.5π6 C.7π6D.11π6解析：若f (x )≤⎪⎪⎪⎪f ⎝⎛⎭⎫π6对x ∈R 恒成立，则f ⎝⎛⎭⎫π6等于函数的最大值或最小值，即2×π6＋φ＝k π＋π2，k ∈Z ，则φ＝k π＋π6，k ∈Z ，又f ⎝⎛⎭⎫π2>f (π)，即sin φ<0，又0<φ<2π，所以π<φ<2π.所以当k ＝1时，此时φ＝7π6，满足条件．答案：C5．已知ω>0，函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π4在⎝⎛⎭⎫π2，π上单调递减，则ω的取值范围是( ) A.⎣⎡⎦⎤12，54 B.⎣⎡⎦⎤12，34 C.⎣⎡⎦⎤0，12 D ．(0,2]解析：由π2<x <π，ω>0得π2ω＋π4<ωx ＋π4<πω＋π4，由题意结合选项知⎝⎛⎭⎫π2ω＋π4，πω＋π4⊆⎣⎡⎦⎤π2，3π2，所以⎩⎨⎧π2ω＋π4≥π2，πω＋π4≤3π2，所以12≤ω≤54.答案：A6．函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)(ω>0)对任意x 都有f ⎝⎛⎭⎫π6＋x ＝f ⎝⎛⎭⎫π6－x ，则f ⎝⎛⎭⎫π6的值为( ) A ．2或0 B ．－2或2 C ．0D ．－2或0解析：因为函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)对任意x 都有f ⎝⎛⎭⎫π6＋x ＝f ⎝⎛⎭⎫π6－x ，所以该函数图象关于直线x ＝π6对称，因为在对称轴处对应的函数值为最大值或最小值，所以选B.答案：B7．如果函数y ＝3cos(2x ＋φ)的图象关于点⎝⎛⎭⎫4π3，0对称，那么|φ|的最小值为( ) A.π6 B.π4 C.π3D.π2。
2019届高三数学一轮文科课时跟踪检测(48份附答案)
2019届高三数学一轮文科课时跟踪检测（48份附答案）[课时跟踪检测][基础达标]．设集合＝{－1,1}，N＝{x|x2－x1}，则A∩＝A．D．解析：∵集合B＝{x|log2x>1}＝，∴∁RB＝，∴A∩＝A．2B．3c．4D．5解析：∵32－x∈Z，∴2－x的取值有－3，－1,1,3.又∵x∈Z，∴x值分别为5,3,1，－1，故集合A中的元素个数为4.答案：c．已知全集U＝R，集合A＝{x|x2>4}，B＝xx＋3x－1≤0∁UA B等于A．{x|－2≤x4}＝{x|x>2或x5}．∴A∩＝{x|－35}＝{x|－3＋2}，因为A⊆∁RB，所以－2>3或＋25或－1时，A＝，要使得A⊆B，只要－2≥0，2－1≤3，⇒＝2.综上，的取值集合是{－1,2}．3．设集合A＝x132≤2－x≤4，B＝{x|x2＋2x－320，所以B＝．＝2时，B＝{x|－60}＝{x|x0}，依题意知，对数函数y ＝lgx的图象与直线x＝a没有交点，所以a≤0.答案：D．已知全集U＝{a1，a2，a3，a4}，集合A是集合U的恰有两个元素的子集，且满足下列三个条件：①若a1∈A，则a2∈A；②若a3∉A，则a2∉A；③若a3∈A，则a4∉A.则集合A＝________.解析：若a1∈A，由①可知a2∈A，又A中只有两个元素，所以a3∉A，此时与②矛盾，所以a1∉A.若a2∈A，那么由②可得a3∈A，此时a4∉A，满足题设条件，所以{a2，a3}是一个满足条件的A.若a2∉A，由于集合A中只有两个元素，那么集合A只可能是{a3，a4}，而这与③矛盾．故集合A＝{a2，a3}．答案：{a2，a3}．已知集合A＝{x|12，2≤1，1－≥3，解得≤－2，即实数的取值范围为由A∩B＝∅，得①若2≥1－，即≥13时，B＝∅，符合题意；②若2<1－，即<13时，需<13，1－≤1或<13，2≥3，得0≤<13或∅，即0≤<13.综上知≥0，即实数的取值范围为[0，＋∞)．。
2014届高三人教A版数学(文)一轮复习课时作业选修4-5-1绝对值不等式 Word版含答案]
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A．|a＋b|≤3 B．|a＋b|≥3
C．|a－b|≤3 D．|a－b|≥3
答案：D
6．已知命题p：∀x∈R，|x＋2|＋|x－1|≥m，命题q：∃x∈R，x2－2mx＋m2＋m－3＝0，那么，“命题p为真命题”是“命题q为真命题”的()
所以|2x＋1|－|x－4|＞2的解集为(－∞，－7)∪.
(2)由函数y＝|2x＋1|－|x－4|的图象可知，当x＝－时，y＝|2x＋1|－|x－4|取得最小值－.
11．已知函数f(x)＝|2x－a|＋a.
(1)若不等式f(x)≤6的解集为{x|－2≤x≤3}，求实数a的值；
(2)在(1)的条件下，若存在实数n使得f(n)≤m－f(－n)成立，求实数m的取值范围．
解析：(1)由|2x－a|＋a≤6，得|2x－a|≤6－a，
∴a－6≤2x－a≤6－a，即a－3≤x≤3，∴a－3＝－2，
∴a＝1.
(2)由(1)知f(x)＝|2x－1|＋1.
令φ(n)＝f(n)＋f(－n)，
则φ(n)＝|2n－1|＋|2n＋1|＋2＝
答案：(－∞，2)
9．已知x，y，z均为正数，＋＋＝1，则＋＋的最小值是__________．
答案：1
三、解答题
10．设函数f(x)＝|2x－1|－|x－4|.
(1)解不等式f(x)＞2；
(2)求函数y＝f(x)的最小值．
解析：(1)令y＝|2x＋1|－|x－4|，
则y＝，
作出函数y＝|2x＋1|－|x－4|的图象，它与直线y＝2的交点为(－7,2)和.
一、选择题
1．函数y＝|x－4|＋|x－6|的最小值为()
2019高三一轮总复习文科数学课时跟踪检测：选修4-4-1坐标系 含解析 精品
[课 时 跟 踪 检 测][基 础 达 标]1．在同一平面直角坐标系中，经过伸缩变换⎩⎨⎧x ′＝5x ，y ′＝3y 后，曲线C 变为曲线x ′2＋y ′2＝1，则曲线C 的方程为( )A ．25x 2＋9y 2＝1B ．9x 2＋25y 2＝1C ．25x ＋9y ＝1D.x 225＋y 29＝1解析：∵经过伸缩交换⎩⎨⎧x ′＝5xy ′＝3y 后，曲线C 变为x ′2＋y ′2＝1，∴(5x )2＋(3y )2＝1，∴25x 2＋9y 2＝1.答案：A2．极坐标方程ρ＝cos θ化为直角坐标方程为( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122＋y 2＝14 B ．x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋122＝14C ．x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －122＝14D.⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋y 2＝14 解析：由ρ＝cos θ，得ρ2＝ρcos θ，∴x 2＋y 2＝x .选D. 答案：D3．在极坐标系中，极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π6的点到极点和极轴的距离分别为( ) A ．1,1 B ．1,2 C ．2,1D ．2,2解析：点(ρ，θ)到极点和极轴的距离分别为ρ，ρ|sin θ|，所以点⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π6到极点和极轴的距离分别为2,2sin π6＝1.答案：C4．(2017届皖北协作区联考)在极坐标系中，直线ρ(3cos θ－sin θ)＝2与圆ρ＝4sin θ的交点的极坐标为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π6 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π3C.⎝ ⎛⎭⎪⎫4，π6 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫4，π3 解析：ρ(3cos θ－sin θ)＝2化为直角坐标方程：3x －y ＝2，即y ＝3x －2.ρ＝4sin θ可化为x 2＋y 2＝4y ，把y ＝3x －2代入x 2＋y 2＝4y ，得4x 2－83x ＋12＝0，即x 2－23x ＋3＝0，所以x ＝3，y ＝1.所以直线与圆的交点坐标为(3，1)，化为极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π6，故选A.答案：A5．在极坐标系中，与圆ρ＝4sin θ相切的一条直线的方程是( ) A ．ρsin θ＝2 B ．ρcos θ＝2 C ．ρcos θ＝4D ．ρcos θ＝－4解析：解法一：圆的极坐标方程ρ＝4sin θ，即ρ2＝4ρsin θ，所以直角坐标方程为x 2＋y 2－4y ＝0.选项A ，直线ρsin θ＝2的直角坐标方程为y ＝2，代入圆的方程，得x 2＝4，∴x ＝±2，不符合题意；选项B ，直线ρcos θ＝2的直角坐标方程为x ＝2，代入圆的方程，得(y －2)2＝0，∴y ＝2，符合题意．同理，C 、D 都不符合题意．解法二：如图，⊙C 的极坐标方程为ρ＝4sin θ，CO ⊥Ox ，OA 为直径，|OA |＝4，直线l 和圆相切，l 交极轴于点B (2,0)，点P (ρ，θ)为l 上任意一点，则有cos θ＝|OB ||OP |＝2ρ，得ρcos θ＝2.答案：B6．在极坐标系中，曲线ρ2－6ρcos θ－2ρsin θ＋6＝0与极轴交于A ，B 两点，则A ，B 两点间的距离等于( )A. 3 B ．2 3 C ．215D ．4解析：化极坐标方程为直角坐标方程得x 2＋y 2－6x －2y ＋6＝0，易知此曲线是圆心为(3,1)，半径为2的圆，如图所示．可计算|AB |＝2 3.答案：B7．(2017届广东肇庆一模)已知曲线C 的极坐标方程为ρ＝2(0≤θ<2π)，曲线C 在点⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π4处的切线为l ，以极点为坐标原点，以极轴为x 轴的正半轴建立直角坐标系，则l 的直角坐标方程为________________．解析：根据极坐标与直角坐标的转化公式可以得到曲线ρ＝2⇒x 2＋y 2＝4，点⎝⎛⎭⎪⎫2，π4⇒(2，2)．因为点(2，2)在圆x 2＋y 2 ＝4上，故圆在点(2，2)处的切线方程为2x ＋2y ＝4⇒x ＋y －22＝0，故填x ＋y －22＝0.答案：x ＋y －22＝08．(2017届河北冀州月考)直线2ρcos θ＝1与圆ρ＝2cos θ相交的弦长为________________．解析：直线的方程为2x ＝1，圆的方程为x 2＋y 2－2x ＝0，圆心为(1,0)，半径r ＝1，圆心到直线的距离为d ＝|2－1|22＋0＝12.设所求的弦长为l ，则12＝⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫l 22，解得l ＝ 3.答案： 39．(2018届南京模拟)已知直线l ：ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝4和圆C ：ρ＝2k cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4(k ≠0)，若直线l 上的点到圆C 上的点的最小距离等于2.求实数k 的值并求圆心C 的直角坐标．解：圆C 的极坐标方程可化为ρ＝2k cos θ－2k sin θ， 即ρ2＝2kρcos θ－2kρsin θ，所以圆C 的直角坐标方程为x 2＋y 2－2kx ＋2ky ＝0， 即⎝⎛⎭⎪⎫x －22k 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋22k 2＝k 2，所以圆心C 的直角坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫22k ，－22k .直线l 的极坐标方程可化为ρsin θ·22－ρcos θ·22＝4， 所以直线l 的直角坐标方程为x －y ＋42＝0， 所以⎪⎪⎪⎪⎪⎪22k ＋22k ＋422－|k |＝2.即|k ＋4|＝2＋|k |，两边平方，得|k |＝2k ＋3，所以⎩⎨⎧ k >0，k ＝2k ＋3或⎩⎨⎧k <0，－k ＝2k ＋3.解得k ＝－1，故圆心C 的直角坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－22，22.10．(2017届唐山模拟)已知圆C ：x 2＋y 2＝4，直线l ：x ＋y ＝2.以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系．(1)将圆C 和直线l 的方程化为极坐标方程；(2)P 是l 上的点，射线OP 交圆C 于点R ，又点Q 在OP 上且满足|OQ |·|OP |＝|OR |2，当点P 在l 上移动时，求点Q 轨迹的极坐标方程．解：(1)将x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入圆C 和直线l 的直角坐标方程得其极坐标方程为C ：ρ＝2；l ：ρ(cos θ＋sin θ)＝2.(2)设P ，Q ，R 的极坐标分别为(ρ1，θ)，(ρ，θ)，(ρ2，θ)， 则由|OQ |·|OP |＝|OR |2得ρρ1 ＝ρ22.又ρ2＝2，ρ1＝2cos θ＋sin θ，所以2ρcos θ＋sin θ＝4，故点Q 轨迹的极坐标方程为ρ＝2(cos θ＋sin θ)(ρ≠0)．[能 力 提 升]1．(2018届陕西宝鸡金台区期中)在极坐标系中，设圆C 1：ρ＝4cos θ与直线l ：θ＝π4(ρ∈R )交于A ，B 两点．(1)求以AB 为直径的圆C 2的极坐标方程；(2)在圆C 1上任取一点M ，在圆C 2上任取一点N ，求|MN |的最大值． 解：(1)以极点为坐标原点，极轴为x 轴的正半轴，建立直角坐标系，圆C 1：ρ＝4cos θ化为ρ2＝4ρcos θ，所以圆C 1的直角坐标方程为x 2＋y 2－4x ＝0，直线l 的直角坐标方程为y ＝x .由⎩⎨⎧ x 2＋y 2－4x ＝0，y ＝x ，解得⎩⎨⎧ x ＝0，y ＝0或⎩⎨⎧x ＝2，y ＝2，∴A (0,0)，B (2,2)，从而圆C 2的直角坐标方程为(x －1)2＋(y －1)2＝2，即x 2＋y 2＝2x ＋2y .将其化为极坐标方程为ρ2＝2ρcos θ＋2ρsin θ，即ρ＝2cos θ＋2sin θ. (2)∵C 1(2,0)，r 1＝2，C 2(1,1)，r 2＝2，∴|MN |max ＝|C 1C 2|＋r 1＋r 2＝2＋2＋2＝2＋2 2.2．(2017届成都模拟)在直角坐标系xOy 中，半圆C 的直角坐标方程为(x －1)2＋y 2＝1(0≤y ≤1)．以O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．(1)求C 的极坐标方程；(2)直线l 的极坐标方程是ρ(sin θ＋3cos θ)＝53，射线OM ：θ＝π3与半圆C 的交点为O ，P ，与直线l 的交点为Q ，求线段PQ 的长．解：(1)由x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，所以半圆C 的极坐标方程是ρ＝2cos θ，θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2. (2)设(ρ1，θ1)为点P 的极坐标，则有⎩⎪⎨⎪⎧ρ1＝2cos θ1，θ1＝π3，解得⎩⎪⎨⎪⎧ ρ1＝1，θ1＝π3，设(ρ2，θ2)为点Q 的极坐标，则有⎩⎪⎨⎪⎧ρ2(sin θ2＋3cos θ2)＝53，θ2＝π3，解得⎩⎪⎨⎪⎧ρ2＝5，θ2＝π3，由于θ1＝θ2，所以|PQ |＝|ρ1－ρ2|＝4，所以线段PQ 的长为4.3．(2016年全国卷Ⅰ)在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎨⎧x ＝a cos t ，y ＝1＋a sin t(t 为参数，a >0)．在以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 2：ρ＝4cos θ.(1)说明C 1是哪一种曲线，并将C 1的方程化为极坐标方程；(2)直线C 3的极坐标方程为θ＝a 0，其中a 0满足tan a 0＝2，若曲线C 1与C 2的公共点都在C 3上，求a .解：(1)消去参数t 得到C 1的普通方程为x 2＋(y －1)2＝a 2，则C 1是以(0,1)为圆心，a 为半径的圆．将x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入C 1的普通方程中，得到C 1的极坐标方程为ρ2－2ρsin θ＋1－a 2＝0.(2)曲线C 1，C 2的公共点的极坐标满足方程组⎩⎨⎧ρ2－2ρsin θ＋1－a 2＝0，ρ＝4cos θ.若ρ≠0，由方程组得16cos 2θ－8sin θcos θ＋1－a 2＝0， 由已知tan θ＝2，可得16cos 2θ－8sin θcos θ＝0， 从而1－a 2＝0，解得a ＝－1(舍去)或a ＝1.当a ＝1时，极点也为C 1，C 2的公共点，且在C 3上． 所以a ＝1.4．(2017届广州五校联考)在极坐标系中，圆C 是以点C ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，－π6为圆心，2为半径的圆．(1)求圆C 的极坐标方程；(2)求圆C 被直线l ：θ＝－5π12(ρ∈R )所截得的弦长． 解：(1)设所求圆上任意一点M (ρ，θ)，如图：在Rt △OAM 中，∠OMA ＝π2， ∠AOM ＝2π－θ－π6，|OA |＝4. 因为cos ∠AOM ＝|OM ||OA |， 所以|OM |＝|OA |·cos ∠AOM ， 即ρ＝4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π－θ－π6＝4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π6，验证可知，极点O 与A ⎝ ⎛⎭⎪⎫4，－π6的极坐标也满足方程，故ρ＝4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π6为所求．(2)设l：θ＝－5π12(ρ∈R)交圆C于点P，在Rt△OAP中，∠OP A＝π2，易得∠AOP＝π4，所以|OP|＝|OA|cos∠AOP＝2 2.。
2019届高三数学(文)一轮复习课时跟踪训练：选修4-4坐标系与参数方程课时跟踪训练61Word版含解析
课时跟踪训练(六十一)
[基础巩固]
1．(2016·全国卷Ⅲ)在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为x ＝3cos α，
y ＝sin α，(α为参数)．以坐标原点为极点，以x 轴的正半轴为极
轴，建立极坐标系，曲线
C 2的极坐标方程为ρsin θ＋π4＝2 2. (1)写出C 1的普通方程和C 2的直角坐标方程；
(2)设点P 在C 1上，点Q 在C 2上，求|PQ|的最小值及此时P 的直角坐标．
[解]
(1)C 1的普通方程为x 23＋y 2＝1.C 2的直角坐标方程为x ＋y －4＝0.
(2)由题意，可设点P 的坐标为(3cos α，sin α)．因为C 2是直线，所以|PQ|的最小值即为P 到C 2的距离d(α)的最小值，d(α)＝|3cos α＋sin α－4|2
＝2sin α＋π3－2. ∴当sin α＋π3＝1时，d 的最小值为
2，此时α＝π6＋2k π，k ∈Z ，∴P 点坐标为32，12
. 2．(2016·全国卷Ⅰ)在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为x ＝acos t ，
y ＝1＋asint (t 为参数，a>0)．在以坐标原点为极点，x 轴正半轴为
极轴的极坐标系中，曲线
C 2：ρ＝4cos θ. (1)说明C 1是哪一种曲线，并将C 1的方程化为极坐标方程；
(2)直线C 3的极坐标方程为θ＝α0，其中α0满足tan α0＝2，若曲。
2019版高考数学(文科)一轮设计：选修4-5教师用书(含答案)
第1讲绝对值不等式最新考纲 1.理解绝对值的几何意义，并了解下列不等式成立的几何意义及取等号的条件：|a＋b|≤|a|＋|b|(a，b∈R)；|a－b|≤|a－c|＋|c－b|(a，b∈R)；2.会利用绝对值的几何意义求解以下类型的不等式：|ax＋b|≤c；|ax＋b|≥c；|x－c|＋|x－b|≥a.知识梳理1.绝对值不等式的解法(1)含绝对值的不等式|x|<a与|x|>a的解集不等式a>0a＝0a<0|x|<a (－a，a)∅∅|x|>a (－∞，－a)∪(a，＋∞)(－∞，0)∪(0，＋∞)R(2)|ax＋b|≤c (c>0)和|ax＋b|≥c (c>0)型不等式的解法①|ax＋b|≤c⇔－c≤ax＋b≤c；②|ax＋b|≥c⇔ax＋b≥c或ax＋b≤－c；(3)|x－a|＋|x－b|≥c(c＞0)和|x－a|＋|x－b|≤c(c＞0)型不等式的解法①利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；②利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；③通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想.2.含有绝对值的不等式的性质(1)如果a，b是实数，则|a|－|b|≤|a±b|≤|a|＋|b|，当且仅当ab≥0时，等号成立.(2)如果a，b，c是实数，那么|a－c|≤|a－b|＋|b－c|，当且仅当(a－b)(b－c)≥0时，等号成立.诊断自测1.判断正误(在括号内打“√”或“×”) (1)若|x |＞c 的解集为R ，则c ≤0.( ) (2)不等式|x －1|＋|x ＋2|＜2的解集为∅.( )(3)对|a ＋b |≥|a |－|b |当且仅当a ＞b ＞0时等号成立.( ) (4)对|a |－|b |≤|a －b |当且仅当|a |≥|b |时等号成立.( ) (5)对|a －b |≤|a |＋|b |当且仅当ab ≤0时等号成立.( ) 答案 (1)× (2)√ (3)× (4)× (5)√2.若函数f (x )＝|x ＋1|＋|2x ＋a |的最小值为3，则实数a 的值为( ) A.5或8 B.－1或5 C.－1或－4D.－4或8解析 分类讨论：当a ≤2时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－3x －1－a ，x <－1，－x ＋1－a ，－1≤x ≤－a2，3x ＋1＋a ，x >－a2，显然，x ＝－a 2时，f (x )min ＝a2＋1－a ＝3，∴a ＝－4，当a >2时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－3x －1－a ，x <－a2，x －1＋a ，－a 2≤x ≤－1，3x ＋1＋a ，x >－1，显然x ＝－a 2时，f (x )min ＝－a2－1＋a ＝3，∴a ＝8. 答案 D3.(2019·山东卷)不等式|x －1|－|x －5|<2的解集为________. 解析 ①当x ≤1时，原不等式可化为1－x －(5－x )<2， ∴－4<2，不等式恒成立，∴x ≤1.②当1<x <5时，原不等式可化为x －1－(5－x )<2， ∴x <4，∴1<x <4，③当x ≥5时，原不等式可化为x －1－(x －5)<2，该不等式不成立. 综上，原不等式的解集为(－∞，4).答案 (－∞，4)4.若不等式|kx －4|≤2的解集为{x |1≤x ≤3}，则实数k ＝________. 解析 ∵|kx －4|≤2，∴－2≤kx －4≤2，∴2≤kx ≤6. ∵不等式的解集为{x |1≤x ≤3}，∴k ＝2. 答案 25.若不等式|2x －1|＋|x ＋2|≥a 2＋12a ＋2对任意实数x 恒成立，则实数a 的取值范围为________.解析 设y ＝|2x －1|＋|x ＋2|＝⎩⎪⎨⎪⎧－3x －1，x ＜－2，－x ＋3，－2≤x <12，3x ＋1，x ≥12，当x ＜－2时，y ＝－3x －1＞5； 当－2≤x ＜12时，5≥y ＝－x ＋3＞52；当x ≥12时，y ＝3x ＋1≥52，故函数y ＝|2x －1|＋|x ＋2|的最小值为52.因为不等式|2x －1|＋|x ＋2|≥a 2＋12a ＋2对任意实数x 恒成立，所以52≥a 2＋12a ＋2.解不等式52≥a 2＋12a ＋2，得－1≤a ≤12，故实数a 的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，12. 答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，12考点一 含绝对值不等式的解法 【例1】 解不等式|x －1|＋|x ＋2|≥5.解 法一 如图，设数轴上与－2，1对应的点分别是A ，B ，则不等式的解就是数轴上到A ，B 两点的距离之和不小于5的点所对应的实数.显然，区间[－2，1]不是不等式的解集.把A 向左移动一个单位到点A 1，此时A 1A ＋A 1B ＝1＋4＝5.把点B 向右移动一个单位到点B 1，此时B 1A ＋B 1B ＝5，故原不等式的解集为(－∞，－3]∪[2，＋∞).法二 原不等式|x －1|＋|x ＋2|≥5⇔⎩⎨⎧x ≤－2，－（x －1）－（x ＋2）≥5或⎩⎨⎧－2＜x ＜1，－（x －1）＋x ＋2≥5或⎩⎨⎧x ≥1，x －1＋x ＋2≥5，解得x ≥2或x ≤－3， ∴原不等式的解集为(－∞，－3]∪[2，＋∞).法三 将原不等式转化为|x －1|＋|x ＋2|－5≥0. 令f (x )＝|x －1|＋|x ＋2|－5，则f (x )＝⎩⎨⎧－2x －6，x ≤－2，－2，－2＜x ＜1，2x －4，x ≥1.作出函数的图象，如图所示.由图象可知，当x ∈(－∞，－3]∪[2，＋∞)时，y ≥0， ∴原不等式的解集为(－∞，－3]∪[2，＋∞).规律方法 形如|x －a |＋|x －b |≥c (或≤c )型的不等式主要有三种解法：(1)分段讨论法，利用绝对值号内式子对应方程的根，将数轴分为(－∞，a ]，(a ，b ]，(b ， ＋∞)(此处设a ＜b )三个部分，在每个部分上去掉绝对值号分别列出对应的不等式求解，然后取各个不等式解集的并集；(2)几何法，利用|x －a |＋|x －b |＞c (c ＞0)的几何意义：数轴上到点x 1＝a 和x 2＝b 的距离之和大于c 的全体；(3)图象法：作出函数y 1＝|x －a |＋|x －b |和y 2＝c 的图象，结合图象求解. 【训练1】 (2019·全国Ⅰ卷)已知函数f (x )＝|x ＋1|－|2x －3|.(1)在图中画出y ＝f (x )的图象； (2)求不等式|f (x )|>1的解集.解(1)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －4，x ≤－1，3x －2，－1<x ≤ 32，－x ＋4，x >32，y ＝f (x )的图象如图所示.(2)由f (x )的表达式及图象，当f (x )＝1时，可得x ＝1或x ＝3；当f (x )＝－1时，可得x ＝13或x ＝5，故f (x )>1的解集为{x |1<x <3}；f (x )<－1的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x <13或x >5. 所以|f (x )|>1的解集为⎩⎨⎧x |x <13或}1<x <3或x >5.考点二 含参数的绝对值不等式问题【例2】 (1)对任意x ，y ∈R ，求|x －1|＋|x |＋|y －1|＋|y ＋1|的最小值； (2)对于实数x ，y ，若|x －1|≤1，|y －2|≤1，求|x －2y ＋1|的最大值. 解 (1)∵x ，y ∈R ，∴|x －1|＋|x |≥|(x －1)－x |＝1， ∴|y －1|＋|y ＋1|≥|(y －1)－(y ＋1)|＝2， ∴|x －1|＋|x |＋|y －1|＋|y ＋1|≥1＋2＝3. ∴|x －1|＋|x |＋|y －1|＋|y ＋1|的最小值为3.(2)|x －2y ＋1|＝|(x －1)－2(y －1)|≤|x －1|＋|2(y －2)＋2|≤1＋2|y －2|＋2≤5，即|x －2y ＋1|的最大值为5.规律方法 求含绝对值的函数最值时，常用的方法有三种：(1)利用绝对值的几何意义；(2)利用绝对值三角不等式，即|a |＋|b |≥|a ±b |≥|a |－|b |；(3)利用零点分区间法.【训练2】 (1)若关于x 的不等式|2 014－x |＋|2 015－x |≤d 有解，求实数d 的取值范围；(2)不等式⎪⎪⎪⎪⎪⎪x ＋1x ≥|a －2|＋sin y 对一切非零实数x ，y 均成立，求实数a 的取值范围.解 (1)∵|2 014－x |＋|2 015－x |≥|2 014－x －2 015＋x |＝1， ∴关于x 的不等式|2 014－x |＋|2 015－x |≤d 有解时，d ≥1. (2)∵x ＋1x ∈(－∞，－2]∪[2，＋∞)， ∴⎪⎪⎪⎪⎪⎪x ＋1x ∈[2，＋∞)，其最小值为2. 又∵sin y 的最大值为1，故不等式⎪⎪⎪⎪⎪⎪x ＋1x ≥|a －2|＋sin y 恒成立时，有|a －2|≤1，解得a ∈[1，3]. 考点三 含绝对值的不等式的应用【例3】 (2019·全国Ⅲ卷)已知函数f (x )＝|2x －a |＋a . (1)当a ＝2时，求不等式f (x )≤6的解集；(2)设函数g (x )＝|2x －1|.当x ∈R 时，f (x )＋g (x )≥3，求实数a 的取值范围. 解 (1)当a ＝2时，f (x )＝|2x －2|＋2. 解不等式|2x －2|＋2≤6得－1≤x ≤3. 因此f (x )≤6的解集为{x |－1≤x ≤3}. (2)当x ∈R 时，f (x )＋g (x )＝|2x －a |＋a ＋|1－2x |≥|2x －a ＋1－2x |＋a ＝|1－a |＋a ，当x ＝12时等号成立，所以当x ∈R 时，f (x )＋g (x )≥3等价于|1－a |＋a ≥3.① 当a ≤1时，①等价于1－a ＋a ≥3，无解. 当a >1时，①等价于a －1＋a ≥3，解得a ≥2. 所以实数a 的取值范围是[2，＋∞).规律方法 (1)解决与绝对值有关的综合问题的关键是去掉绝对值，化为分段函数来解决.(2)数形结合是解决与绝对值有关的综合问题的常用方法. 【训练3】 (2019·全国Ⅰ卷)已知函数f (x )＝|x ＋1|－2|x －a |，a >0.(1)当a ＝1时，求不等式f (x )>1的解集；(2)若f (x )的图象与x 轴围成的三角形面积大于6，求实数a 的取值范围. 解 (1)当a ＝1时，f (x )>1化为|x ＋1|－2|x －1|－1>0. 当x ≤－1时，不等式化为x －4>0，无解； 当－1<x <1时，不等式化为3x －2>0， 解得23<x <1；当x ≥1时，不等式化为－x ＋2>0，解得1≤x <2. 所以f (x )>1的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪23<x <2. (2)由题设可得，f (x )＝⎩⎨⎧x －1－2a ，x <－1，3x ＋1－2a ，－1≤x ≤a ，－x ＋1＋2a ，x >a .所以函数f (x )的图象与x 轴围成的三角形的三个顶点分别为A ⎝ ⎛⎭⎪⎫2a －13，0，B (2a ＋1，0)，C (a ，a ＋1)， △ABC 的面积为23(a ＋1)2. 由题设得23(a ＋1)2>6，故a >2.所以实数a 的取值范围为(2，＋∞).[思想方法]1.绝对值不等式的三种常用解法：零点分段法，数形结合法，构造函数法.2.不等式恒成立问题、存在性问题都可以转化为最值问题解决. [易错防范]1.可以利用绝对值三角不等式定理|a |－|b |≤|a ±b |≤|a |＋|b |求函数最值，要注意其中等号成立的条件.2.掌握分类讨论的标准，做到不重不漏.(建议用时：60分钟)1.设函数f (x )＝|2x ＋1|－|x －4|. (1)解不等式f (x )＞2； (2)求函数y ＝f (x )的最小值.解 (1)法一 令2x ＋1＝0，x －4＝0分别得x ＝－12，x ＝4. 原不等式可化为：⎩⎪⎨⎪⎧x ＜－12，－x －5＞2或⎩⎪⎨⎪⎧－12≤x ＜4，3x －3＞2或⎩⎨⎧x ≥4，x ＋5＞2.即⎩⎪⎨⎪⎧x ＜－12，x ＜－7或⎩⎪⎨⎪⎧－12≤x ＜4，x ＞53或⎩⎨⎧x ≥4，x ＞－3，∴x ＜－7或x ＞53.∴原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ＜－7或x ＞53.法二 f (x )＝|2x ＋1|－|x －4|＝⎩⎪⎨⎪⎧－x －5 ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＜－123x －3 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12≤x ＜4x ＋5 （x ≥4）画出f (x )的图象，如图所示.求得y ＝2与f (x )图象的交点为(－7，2)，⎝ ⎛⎭⎪⎫53，2.由图象知f (x )＞2的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ＜－7或x ＞53.(2)由(1)的法二图象知：当x ＝－12时，知：f (x )min ＝－92.2.(2019·长沙一模)设α，β，γ均为实数.(1)证明：|cos(α＋β)|≤|cos α|＋|sin β|，|sin(α＋β)|≤|cos α|＋|cos β|； (2)若α＋β＋γ＝0，证明：|cos α|＋|cos β|＋|cos γ|≥1.证明 (1)|cos(α＋β)|＝|cos αcos β－sin αsin β|≤ |cos αcos β|＋|sin αsin β|≤|cos α|＋|sin β|； |sin(α＋β)|＝|sin αcos β＋cos αsin β|≤|sin αcos β|＋ |cos αsin β|≤|cos α|＋|cos β|.(2)由(1)知，|cos[α＋(β＋γ)]|≤|cos α|＋|sin(β＋γ)|≤|cos α|＋|cos β|＋|cos γ|， 而α＋β＋γ＝0，故|cos α|＋|cos β|＋|cos γ|≥1. 3.(2019·镇江模拟)已知a 和b 是任意非零实数. (1)求|2a ＋b |＋|2a －b ||a |的最小值；(2)若不等式|2a ＋b |＋|2a －b |≥|a |(|2＋x |＋|2－x |)恒成立，求实数x 的取值范围. 解 (1)∵|2a ＋b |＋（2a －b ）|a |≥|2a ＋b ＋2a －b ||a |＝|4a ||a |＝4，∴|2a ＋b |＋|2a －b ||a |的最小值为4.(2)若不等式|2a ＋b |＋|2a －b |≥|a |(|2＋x |＋|2－x |)恒成立，即|2＋x |＋|2－x |≤|2a ＋b |＋|2a －b ||a |恒成立，故|2＋x |＋|2－x |≤⎝ ⎛⎭⎪⎫|2a ＋b |＋|2a －b ||a |min.由(1)可知，|2a ＋b |＋|2a －b ||a |的最小值为4.∴x 的取值范围即为不等式|2＋x |＋|2－x |≤4的解集. 解不等式得－2≤x ≤2.故实数x 的取值范围为[－2，2].4.(2019·广州二测)已知函数f (x )＝log 2(|x ＋1|＋|x －2|－a ). (1)当a ＝7时，求函数f (x )的定义域；(2)若关于x 的不等式f (x )≥3的解集是R ，求实数a 的最大值. 解 (1)由题设知|x ＋1|＋|x －2|＞7，①当x ＞2时，得x ＋1＋x －2＞7，解得x ＞4. ②当－1≤x ≤2时，得x ＋1＋2－x ＞7，无解. ③当x ＜－1时，得－x －1－x ＋2＞7，解得x ＜－3. ∴函数f (x )的定义域为(－∞，－3)∪(4，＋∞). (2)不等式f (x )≥3，即|x ＋1|＋|x －2|≥a ＋8， ∵当x ∈R 时，恒有|x ＋1|＋|x －2|≥|(x ＋1)－(x －2)|＝3， 又不等式|x ＋1|＋|x －2|≥a ＋8的解集是R ， ∴a ＋8≤3，即a ≤－5， ∴a 的最大值为－5.5.设函数f (x )＝2|x －1|＋x －1，g (x )＝16x 2－8x ＋1.记f (x )≤1的解集为M ，g (x )≤4的解集为N . (1)求M ；(2)当x ∈(M ∩N )时，证明：x 2f (x )＋x [f (x )]2≤14. (1)解 f (x )＝⎩⎨⎧3x －3，x ∈[1，＋∞），1－x ，x ∈（－∞，1）当x ≥1时，由f (x )＝3x －3≤1， 得x ≤43，故1≤x ≤43；当x <1时，由f (x )＝1－x ≤1得x ≥0，故0≤x <1. 所以f (x )≤1的解集为M ＝{x |0≤x ≤43}.(2)证明 由g (x )＝16x 2－8x ＋1≤4得16⎝ ⎛⎭⎪⎫x －142≤4，解得－14≤x ≤34.因此N ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－14≤x ≤34，故M ∩N ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |0≤x ≤34.当x ∈(M ∩N )时，f (x )＝1－x ，于是x 2f (x )＋x ·[f (x )]2＝xf (x )[x ＋f (x )]＝x ·f (x )＝x (1－x )＝14－⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122≤14.6.(2019·郑州模拟)已知函数f (x )＝|2x －a |＋|2x ＋3|，g (x )＝|x －1|＋2. (1)解不等式：|g (x )|＜5；(2)若对任意的x 1∈R ，都有x 2∈R ，使得f (x 1)＝g (x 2)成立，求实数a 的取值范围. 解 (1)由||x －1|＋2|＜5，得－5＜|x －1|＋2＜5， 所以－7＜|x －1|＜3， 解不等式得－2＜x ＜4，所以原不等式的解集是{x |－2＜x ＜4}.(2)因为对任意的x1∈R，都有x2∈R，使得f(x1)＝g(x2)成立，所以{y|y＝f(x)}⊆{y|y＝g(x)}，又f(x)＝|2x－a|＋|2x＋3|≥|2x－a－(2x＋3)|＝|a＋3|，g(x)＝|x－1|＋2≥2，所以|a＋3|≥2，解得a≥－1或a≤－5，所以实数a的取值范围是{a|a≥－1或a≤－5}.第2讲不等式的证明最新考纲通过一些简单问题了解证明不等式的基本方法：比较法、综合法、分析法.知识梳理1.不等式的证明方法证明不等式常用的方法有比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法等.(1)比较法①求差比较法知道a>b⇔a－b>0，a<b⇔a－b<0，因此要证明a>b，只要证明a－b>0即可，这种方法称为求差比较法.②求商比较法由a>b>0⇔ab>1且a>0，b>0，因此当a>0，b>0时要证明a>b，只要证明ab>1即可，这种方法称为求商比较法.(2)分析法从待证不等式出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直到将待证不等式归结为一个已成立的不等式(已知条件、定理等).这种证法称为分析法，即“执果索因”的证明方法.(3)综合法从已知条件出发，利用不等式的有关性质或定理，经过推理论证，推导出所要证明的不等式成立，即“由因寻果”的方法，这种证明不等式的方法称为综合法.(4)反证法的证明步骤第一步：作出与所证不等式相反的假设；第二步：从条件和假设出发，应用正确的推理方法，推出矛盾的结论，否定假设，从而证明原不等式成立. 2.几个常用基本不等式 (1)柯西不等式：①柯西不等式的代数形式：设a ，b ，c ，d 都是实数，则(a 2＋b 2)(c 2＋d 2)≥(ac ＋bd )2(当且仅当ad ＝bc 时，等号成立).②柯西不等式的向量形式：设α，β是两个向量，则|α||β|≥|α·β|，当且仅当β是零向量，或存在实数k ，使α＝k β时，等号成立.③柯西不等式的三角不等式：设x 1，y 1，x 2，y 2，x 3，y 3∈R ， 则（x 1－x 2）2＋（y 1－y 2）2＋（x 2－x 3）2＋（y 2－y 3）2 ≥（x 1－x 3）2＋（y 1－y 3）2.④柯西不等式的一般形式：设a 1，a 2，a 3，…，a n ，b 1，b 2，b 3，…，b n 是实数，则(a 21＋a 22＋…＋a 2n )(b 21＋b 22＋…＋b 2n )≥(a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n b n )2，当且仅当b i ＝0(i＝1，2，…，n )或存在一个数k ，使得a i ＝kb i (i ＝1，2，…，n )时，等号成立. (2)算术—几何平均不等式若a 1，a 2，…，a n 为正数，则a 1＋a 2＋…＋a n n≥a 1＝a 2＝…＝a n 时，等号成立.诊 断 自 测1.判断正误(在括号内打“√”或“×”)(1)用反证法证明命题“a ，b ，c 全为0”时假设为“a ，b ，c 全不为0”.( ) (2)若实数x ，y 适合不等式xy ＞1，x ＋y ＞－2，则x ＞0，y ＞0.( ) 答案 (1)× (2)√2.(2019·泰安模拟)若a ＞b ＞1，x ＝a ＋1a ，y ＝b ＋1b ，则x 与y 的大小关系是( ) A.x ＞yB.x ＜yC.x ≥yD.x ≤y解析 x －y ＝a ＋1a －⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋1b ＝a －b ＋b －a ab ＝（a －b ）（ab －1）ab .由a ＞b ＞1得ab＞1，a －b ＞0，所以（a －b ）（ab －1）ab ＞0，即x －y ＞0，所以x ＞y .答案 A3.(2019·聊城模拟)下列四个不等式：①log x 10＋lg x ≥2(x ＞1)；②|a －b |＜|a |＋|b |；③⎪⎪⎪⎪⎪⎪b a ＋a b ≥2(ab ≠0)；④|x －1|＋|x －2|≥1，其中恒成立的个数是( )A.1B.2C.3D.4解析 log x 10＋lg x ＝1lg x ＋lg x ≥2(x ＞1)，①正确. ab ≤0时，|a －b |＝|a |＋|b |，②不正确； 因为ab ≠0，b a 与ab 同号，所以⎪⎪⎪⎪⎪⎪b a ＋a b ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪b a ＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪a b ≥2，③正确；由|x －1|＋|x －2|的几何意义知， |x －1|＋|x －2|≥1恒成立，④也正确， 综上①③④正确. 答案 C4.设a ，b ，m ，n ∈R ，且a 2＋b 2＝5，ma ＋nb ＝5，则m 2＋n 2的最小值为________.解析 由柯西不等式得(ma ＋nb )2≤(m 2＋n 2)(a 2＋b 2)，即m 2＋n 2≥5，∴m 2＋n 2≥5，∴所求最小值为 5. 答案55.(2019·全国Ⅱ卷)已知函数f (x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －12＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪x ＋12，M 为不等式f (x )<2的解集.(1)求M ；(2)证明：当a ，b ∈M 时，|a ＋b |<|1＋ab |.(1)解 f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x ，x ≤－12，1，－12<x <12，2x ，x ≥12.当x ≤－12时，由f (x )<2得－2x <2，解得x >－1；当－12<x <12时，f (x )<2成立；当x ≥12时，由f (x )<2得2x <2，解得x <1. 所以f (x )<2的解集M ＝{x |－1<x <1}.(2)证明 由(1)知，当a ，b ∈M 时，－1<a <1，－1<b <1， 从而(a ＋b )2－(1＋ab )2＝a 2＋b 2－a 2b 2－1＝(a 2－1)(1－b 2)<0， 即(a ＋b )2<(1＋ab )2，因此|a ＋b |<|1＋ab |.考点一 用分析法证明不等式【例1】 设a ，b ，c ＞0，且ab ＋bc ＋ca ＝1. 求证：(1)a ＋b ＋c ≥3； (2)a bc ＋b ac ＋cab ≥ 3(a ＋b ＋c ).证明 (1)要证a ＋b ＋c ≥ 3， 由于a ，b ，c ＞0，因此只需证明(a ＋b ＋c )2≥3.即证：a 2＋b 2＋c 2＋2(ab ＋bc ＋ca )≥3， 而ab ＋bc ＋ca ＝1，故需证明：a 2＋b 2＋c 2＋2(ab ＋bc ＋ca )≥3(ab ＋bc ＋ca ). 即证：a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋bc ＋ca .而这可以由ab ＋bc ＋ca ≤a 2＋b 22＋b 2＋c 22＋c 2＋a 22＝a 2＋b 2＋c 2(当且仅当a ＝b ＝c 时等号成立)证得. ∴原不等式成立. (2)a bc ＋b ac ＋c ab ＝a ＋b ＋c abc .由于(1)中已证a ＋b ＋c ≥ 3. 因此要证原不等式成立， 只需证明1abc≥ a ＋b ＋c .即证a bc ＋b ac ＋c ab ≤1， 即证a bc ＋b ac ＋c ab ≤ab ＋bc ＋ca .规律方法 当所证明的不等式不能使用比较法，且和重要不等式、基本不等式没有直接联系，较难发现条件和结论之间的关系时，可用分析法来寻找证明途径，使用分析法证明的关键是推理的每一步必须可逆. 【训练1】 (2019·宜昌一中月考)已知函数f (x )＝|x －1|. (1)解不等式f (x －1)＋f (x ＋3)≥6；(2)若|a |＜1，|b |＜1，且a ≠0，求证：f (ab )＞|a |f ⎝ ⎛⎭⎪⎫b a .解 (1)由题意，知原不等式等价为|x －2|＋|x ＋2|≥6， 令g (x )＝|x －2|＋|x ＋2|，则g (x )＝⎩⎨⎧－2x ，x ≤－2，4，－2＜x ＜2，2x ，x ≥2.当x ≤－2时，由－2x ≥6，得x ≤－3； 当－2＜x ＜2时，4≥6不成立，此时无解； 当x ≥2时，由2x ≥6，得x ≥3.综上，不等式的解集是(－∞，－3]∪[3，＋∞). (2)证明 要证f (ab )＞|a |f ⎝ ⎛⎭⎪⎫b a ，只需证|ab －1|＞|b －a |， 只需证(ab －1)2＞(b －a )2.而(ab －1)2－(b －a )2＝a 2b 2－a 2－b 2＋1＝(a 2－1)·(b 2－1)＞0，从而原不等式成立. 考点二 用综合法证明不等式【例2】 已知a ＞0，b ＞0，a ＋b ＝1，求证： (1)1a ＋1b ＋1ab ≥8； (2)⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1b ≥9. 证明 (1)∵a ＋b ＝1，a ＞0，b ＞0， ∴1a ＋1b ＋1ab ＝1a ＋1b ＋a ＋b ab ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b a ＋a ＋b b ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫b a ＋a b ＋4≥4 b a ×a b ＋4＝8. ∴1a ＋1b ＋1ab ≥8(当且仅当a ＝b ＝12时等号成立).(2)∵⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1b ＝1a ＋1b ＋1ab ＋1，由(1)知1a ＋1b ＋1ab ≥8.∴⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1b ≥9. 规律方法 (1)综合法证明不等式，要着力分析已知与求证之间，不等式的左右两端之间的差异与联系.合理进行转换，恰当选择已知不等式，这是证明的关键. (2)在用综合法证明不等式时，不等式的性质和基本不等式是最常用的.在运用这些性质时，要注意性质成立的前提条件.【训练2】 (2019·重庆适应性测试)设a ，b ，c ∈R ＋且a ＋b ＋c ＝1. (1)求证：2ab ＋bc ＋ca ＋c 22≤12；(2)求证：a 2＋c 2b ＋b 2＋a 2c ＋c 2＋b 2a ≥2.证明 (1)因为1＝(a ＋b ＋c )2＝a 2＋b 2＋c 2＋2ab ＋2bc ＋2ca ≥4ab ＋2bc ＋2ca ＋c 2，所以2ab ＋bc ＋ca ＋c 22＝12(4ab ＋2bc ＋2ca ＋c 2)≤12.(2)因为a 2＋c 2b ≥2ac b ，b 2＋a 2c ≥2ab c ，c 2＋b 2a ≥2bca ，所以a 2＋c 2b ＋b 2＋a 2c ＋c 2＋b 2a ≥⎝ ⎛⎭⎪⎫ac b ＋ab c ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫ab c ＋bc a ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫ac b ＋bc a ＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫c b ＋b c ＋b ⎝ ⎛⎭⎪⎫a c ＋c a ＋c ⎝ ⎛⎭⎪⎫a b ＋b a ≥2a ＋2b ＋2c ＝2. 考点三 柯西不等式的应用 【例3】 已知x ，y ，z 均为实数.(1)若x ＋y ＋z ＝1，求证：3x ＋1＋3y ＋2＋3z ＋3≤33； (2)若x ＋2y ＋3z ＝6，求x 2＋y 2＋z 2的最小值.(1)证明 因为(3x ＋1＋3y ＋2＋3z ＋3)2≤(12＋12＋12)(3x ＋1＋3y ＋2＋3z ＋3)＝27.所以3x ＋1＋3y ＋2＋3z ＋3≤3 3.当且仅当x ＝23，y ＝13，z ＝0时取等号.(2)解 因为6＝x ＋2y ＋3z ≤x 2＋y 2＋z 2·1＋4＋9， 所以x 2＋y 2＋z 2≥187，当且仅当x ＝y 2＝z 3即x ＝37，y ＝67，z ＝97时，x 2＋y 2＋z 2有最小值187.规律方法 (1)使用柯西不等式证明的关键是恰当变形，化为符合它的结构形式，当一个式子与柯西不等式的左边或右边具有一致形式时，就可使用柯西不等式进行证明.(2)利用柯西不等式求最值的一般结构为：(a 21＋a 22＋…＋a 2n )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 21＋1a 22＋…＋1a 2n ≥(1＋1＋…＋1)2＝n 2.在使用柯西不等式时，要注意右边常数且应注意等号成立的条件.【训练3】 已知大于1的正数x ，y ，z 满足x ＋y ＋z ＝3 3.求证：x 2x ＋2y ＋3z ＋y 2y ＋2z ＋3x ＋z 2z ＋2x ＋3y≥32.证明 由柯西不等式及题意得，⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2x ＋2y ＋3z ＋y 2y ＋2z ＋3x ＋z 2z ＋2x ＋3y ·[(x ＋2y ＋3z )＋(y ＋2z ＋3x )＋(z ＋2x ＋3y )]≥(x ＋y ＋z )2＝27.又(x ＋2y ＋3z )＋(y ＋2z ＋3x )＋(z ＋2x ＋3y )＝ 6(x ＋y ＋z )＝183，∴x 2x ＋2y ＋3z ＋y 2y ＋2z ＋3x ＋z 2z ＋2x ＋3y ≥27183＝32， 当且仅当x ＝y ＝z ＝3时，等号成立.[思想方法]证明不等式的方法和技巧：(1)如果已知条件与待证明的结论直接联系不明显，可考虑用分析法；如果待证的命题以“至少”“至多”等方式给出或否定性命题、唯一性命题，则考虑用反证法；如果待证不等式与自然数有关，则考虑用数学归纳法等.(2)在必要的情况下，可能还需要使用换元法、构造法等技巧简化对问题的表述和证明.尤其是对含绝对值不等式的解法或证明，其简化的在本思路是去绝对值号，转化为常见的不等式(组)求解.多以绝对值的几何意义或“找零点、分区间、逐个解、并起来”为简化策略，而绝对值三角不等式，往往作为不等式放缩的依据.[易错防范]1.在使用基本不等式时，等号成立的条件是一直要注意的事情，特别是连续使用时，要求分析每次使用时等号是否成立.2.柯西不等式使用的关键是出现其结构形式，也要注意等号成立的条件.(建议用时：60分钟)1.设不等式|2x－1|＜1的解集为M.(1)求集合M；(2)若a，b∈M，试比较ab＋1与a＋b的大小.解(1)由|2x－1|＜1得－1＜2x－1＜1，解得0＜x＜1.所以M＝{x|0＜x＜1}.(2)由(1)和a，b∈M可知0＜a＜1，0＜b＜1，所以(ab＋1)－(a＋b)＝(a－1)(b－1)＞0.故ab＋1＞a＋b.2.已知a，b，c均为正实数，且互不相等，且abc＝1，求证：a＋b＋c＜1a＋1b＋1c.证明法一∵a，b，c均为正实数，且互不相等，且abc＝1，∴a＋b＋c＝1bc＋1ca＋1ab＜1b＋1c2＋1c＋1a2＋1a＋1b2＝1a＋1b＋1c.∴a＋b＋c＜1a＋1b＋1c.法二∵1a＋1b≥21ab＝2c；1b ＋1c ≥21bc ＝2a ；1c ＋1a ≥21ac ＝2b .∴以上三式相加，得1a ＋1b ＋1c ≥ a ＋b ＋c .又∵a ，b ，c 互不相等，∴1a ＋1b ＋1c ＞a ＋b ＋c . 法三 ∵a ，b ，c 是不等正数，且abc ＝1，∴1a ＋1b ＋1c ＝bc ＋ca ＋ab ＝bc ＋ca 2＋ca ＋ab 2＋ab ＋bc 2＞abc 2＋a 2bc ＋ab 2c ＝a ＋b ＋c .∴a ＋b ＋c ＜1a ＋1b ＋1c .3.(2019·衡阳二联)已知函数f (x )＝|x －3|.(1)若不等式f (x －1)＋f (x )＜a 的解集为空集，求实数a 的取值范围； (2)若|a |＜1，|b |＜3，且a ≠0，判断f （ab ）|a |与f⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 的大小，并说明理由. 解 (1)因为f (x －1)＋f (x )＝|x －4|＋|x －3|≥|x －4＋3－x |＝1， 不等式f (x －1)＋f (x )＜a 的解集为空集， 则1≥a 即可，所以实数a 的取值范围是(－∞，1]. (2)f （ab ）|a |＞f ⎝ ⎛⎭⎪⎫b a .证明：要证f （ab ）|a |＞f ⎝ ⎛⎭⎪⎫b a ，只需证|ab －3|＞|b －3a |， 即证(ab －3)2＞(b －3a )2，又(ab －3)2－(b －3a )2＝a 2b 2－9a 2－b 2＋9＝(a 2－1)(b 2－9). 因为|a |＜1，|b |＜3，所以(ab －3)2＞(b －3a )2成立， 所以原不等式成立.4.(2019·陕西卷)已知关于x 的不等式|x ＋a |＜b 的解集为{x |2＜x ＜4}. (1)求实数a ，b 的值； (2)求at ＋12＋bt 的最大值.解 (1)由|x ＋a |＜b ，得－b －a ＜x ＜b －a ，则⎩⎨⎧－b －a ＝2，b －a ＝4，解得⎩⎨⎧a ＝－3，b ＝1. (2)－3t ＋12＋t ＝34－t ＋t≤[（3）2＋12][（（4－t ））2＋（t ）2] ＝24－t ＋t ＝4， 当且仅当4－t 3＝t1，即t ＝1时等号成立， 故(－3t ＋12＋t )max ＝4.5.(2019·全国Ⅱ卷)设a ，b ，c ，d 均为正数，且a ＋b ＝c ＋d .证明： (1)若ab ＞cd ，则a ＋b ＞c ＋d ；(2)a ＋b ＞c ＋d 是|a －b |＜|c －d |的充要条件.证明 (1)因为(a ＋b )2＝a ＋b ＋2ab ，(c ＋d )2＝c ＋d ＋2cd ，由题设a ＋b ＝c ＋d ，ab ＞cd 得(a ＋b )2＞(c ＋d )2.因此a ＋b ＞c ＋d . (2)①若|a －b |＜|c －d |， 则(a －b )2＜(c －d )2,即(a ＋b )2－4ab ＜(c ＋d )2－4cd . 因为a ＋b ＝c ＋d ，所以ab ＞cd . 由(1)得a ＋b ＞c ＋d . ②若a ＋b ＞c ＋d ， 则(a ＋b )2＞(c ＋d )2， 即a ＋b ＋2ab ＞c ＋d ＋2cd . 因为a ＋b ＝c ＋d ，所以ab ＞cd ，于是(a －b )2＝(a ＋b )2－4ab ＜(c ＋d )2－4cd ＝(c －d )2. 因此|a －b |＜|c －d |.综上，a ＋b ＞c ＋d 是|a －b |＜|c －d |的充要条件.6.已知a，b，c均为正实数.求证：(1)(a＋b)(ab＋c2)≥4abc；(2)若a＋b＋c＝3，则a＋1＋b＋1＋c＋1≤3 2.证明(1)要证(a＋b)(ab＋c2)≥4abc，可证a2b＋ac2＋ab2＋bc2－4abc≥0，需证b(a2＋c2－2ac)＋a(c2＋b2－2bc)≥0，即证b(a－c)2＋a(c－b)2≥0，当且仅当a＝b＝c时，取等号，由已知，上式显然成立，故不等式(a＋b)(ab＋c2)≥4abc成立.(2)因为a，b，c均为正实数，由不等式的性质知a＋1·2≤a＋1＋22＝a＋32，当且仅当a＋1＝2时，取等号，b＋1·2≤b＋1＋22＝b＋32，当且仅当b＋1＝2时，取等号，c＋1·2≤c＋1＋22＝c＋32，当且仅当c＋1＝2时，取等号，以上三式相加，得2(a＋1＋b＋1＋c＋1)≤a＋b＋c＋92＝6，所以a＋1＋b＋1＋c＋1≤32，当且仅当a＝b＝c＝1时，取等号.。
2019届高三数学(文)一轮复习课时跟踪训练：选修4-5不等式选讲课时跟踪训练62Word版含解析
对称，
又 f(x)≥4 的解集为
x|x≤12或x≥92
19 ，则 2＋2＝ a＋ 3，即
a＝2.
(2)解法一：不等式 f(x)＋|x－3|≥1 恒成立，即 |x－a|＋ 2|x－3|≥1 恒成立．
当 x≤a 时，－3x＋a＋5≥0 恒成立，得－ 3a＋a＋5≥0，解得 a≤25； 当 a<x≤3 时，－x－a＋5≥0 恒成立，得－ 3－a＋5≥0，解得 a≤2； 当 x≥3 时， 3x－a－7≥0 恒成立，得 9－a－7≥0，解得 a≤2. 综上， a≤2. 解法二：不等式 f(x)＋|x－ 3|≥1 恒成立，即 |x－a|＋|x－3|≥－|x
－3|＋1 恒成立，
由图象 (图略 )可知 f(x)＝|x－a|＋|x－3|在 x＝3 处取得最小值 3－
a，
而－ |x－3|＋1 在 x＝3 处取得最大值 1，故 3－a≥1，得 a≤2.
5．(2017 ·湖北四地七校联盟 )已知不等式 2|x－3|＋|x－4|<2a.
(1)若 a＝1，求不等式的解集；
(2)设 f(x)＝2|x－3|＋|x－4|，则
3x－ 10， x≥4， f(x)＝ x－2，3<x<4，
10－3x， x≤3.
作出函数 f(x)的图象，如图所示． 由图象可知， f(x)≥1，
∴ 2a>1，a>12，即 a 的取值范围为 12，＋ ∞ . [能力提升 ]
6．(2017 ·广西桂林市、百色市、崇左市一联 )设函数 f(x)＝|x＋1|.
而 |x＋ 1|－|x－ 2|－x2＋x≤|x|＋1＋|x|－ 2－x2＋ |x|＝－
3 |x|－2
2＋
5 4
≤ 54，
且当
高中数学人教A版选修4-5课时跟踪检测(五) 绝对值不等式的解法 Word版含解析
课时跟踪检测(五)绝对值不等式的解法．不等式＋>的解集是( )．{－<<}．{<－或>}．{－≤<}．{<－或≥}解析：选＋>，则＋>或＋<－，因此<－或>.．满足不等式＋＋＋<的所有实数解的集合是( )．(－) ．(－)．(－)解析：选＋＋＋表示数轴上一点到－，－两点的距离和，根据－，－之间的距离为，可得到－，－距离和为的点是－.因此＋＋＋<解集是(－)．．不等式≤－<的解集为( )∪∪∪∪解析：选由≤－<，得≤－<或－<－≤－，因此－<≤或≤<.．若关于的不等式－＋＋＞的解集为，则实数的取值范围是( )．(－∞，－)∪(，＋∞)．(－∞，－)∪(，＋∞)．[－]．(－)解析：选由题意知，不等式－＋＋＞恒成立，即函数()＝－＋＋的最小值大于，根据绝对值不等式的性质可得－＋＋≥(－)－(＋)＝＋，故只要满足＋＞即可，所以＋＞或＋＜－，解得＞或＜－，故实数的取值范围是(－∞，－)∪(，＋∞)．．不等式＋≥的解集是．解析：∵不等式两边是非负实数，∴不等式两边可以平方，两边平方，得(＋)≥，∴＋＋≥，即≥－，∴原不等式的解集为{≥－}．答案：{≥－}．不等式－－<的解集是．解析：原不等式等价于－<＋⇔－－<－<＋⇔⇔<<.答案：{<<}．已知函数()＝＋＋－－－，若函数()的图象恒在轴上方，则实数的取值范围为．解析：因为＋＋－≥＋－(－)＝，所以()的最小值为－－.由题意，得－＜，解得－<<.答案：(－)．解不等式：－＋<－.解：原不等式⇔(－＋)<(－)⇔[(－＋)＋(－)][(－＋)－(－)]<⇔(＋＋)(－＋)<⇔－＋<(因为＋＋恒大于)⇔<<.所以原不等式的解集是{<<}．．解关于的不等式－<－(∈)．解：若－<，即≤，则－<－恒不成立，此时，原不等式无解；若－>，即>，则－(－)<－<－，所以－<<.综上所述：当≤时，原不等式的解集为∅；当>时，原不等式的解集为{－<<}．．已知函数()＝－＋＋，()＝＋.()当＝－时，求不等式()＜()的解集；()设＞－，且当∈时，()≤()，求的取值范围．解：()当＝－时，不等式()＜()化为－＋－－－＜.设函数＝－＋－－－，则＝(\\(－，＜()，,－－，()≤≤，－，＞.))其图象如图所示．从图象可知，当且仅当∈()时，＜，所以原不等式的解集是{＜＜}．()当∈时，()＝＋.不等式()≤()化为＋≤＋，所以≥－对∈都成立．故－≥－，即≤.从而的取值范围是.。
2019高三一轮总复习文科数学课时跟踪检测：选修4-5-1绝对值不等式
[课 时 跟 踪 检 测][基 础 达 标]1．(2017届浙江模拟)不等式|2x －1|≤5的解集为( )A ．(－∞，－2]B ．(2,3]C ．[3，＋∞)D ．[－2,3]解析：不等式|2x －1|≤5，即－5≤2x －1<5，求得－2≤x ≤3，故选D. 答案：D2．(2018届淄博模拟)函数f (x )＝|x ＋2 017|－|x －2 016|的最大值为( )A ．－1B ．1C ．4 033D ．－4 033解析：∵f (x )＝|x ＋2 017|－|x －2 016|≤|x ＋2 017－x ＋2 016|＝4 033，∴函数f (x )＝|x ＋2 017|－|x －2 016|的最大值为4 033，故选C.答案：C3．(2018届河西区模拟)若存在实数x ，使|x －a |＋|x －1|≤3成立，则实数a 的取值范围是( )A ．[－2,1]B ．[－2,2] C. [－2,3] D. [－2,4]解析：由|x －a |＋|x －1|≥|(x －a )－(x －1)|＝|a －1|，不等式|x －a |＋|x －1|≤3有解，可得|a －1|≤3，即－3≤a －1≤3，求得－2≤a ≤4，故选D.答案：D4．(2018届和平区模拟)若不等式|x －1|＋|x ＋m |≤4的解集非空，则实数m 的取值范围是( )A ．[－5，－3]B ．[－3,5]C ．[－5,3]D ．[3,5]解析：∵不等式|x －1|＋|x ＋m |≤4的解集非空，|x －1|＋|x ＋m |≥|1＋m |， ∴|1＋m |≤4，∴－4≤m ＋1≤4，解得－5≤m ≤3，故选C.答案：C5．(2017届河西区三模)若关于x 的不等式|ax －2|<3的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ －53<x <13，则a ＝( )A ．－2B ．2C ．3D ．－3解析：由|ax －2|<3，得－3<ax －2<3，故－1<ax <5，由于不等式的解集是⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ －53<x <13，故a ＝－3，故选D.答案：D6．(2017届赣州期末)若函数f (x )＝|x ＋1|＋|x ＋a |的最小值为3，则实数a 的值为( )A ．4B ．2C ．2或－4D ．4或－2解析：∵函数f (x )＝|x ＋1|＋|x ＋a |≥|(x ＋1)－(x ＋a )|＝|a －1|的最小值为3，∴|a －1|＝3，解得a ＝4或a ＝－2，故选D.答案：D7．(2017届滨州一模)不等式|x ＋1|－|x －2|>1的解集为________．解析：①当x >2时，不等式|x ＋1|－|x －2|>1可化为x ＋1－x ＋2>1，恒成立； ②当－1≤x ≤2时，原不等式可化为x ＋1＋x －2>1，解得x >1，∴1<x ≤2；③当x <－1时，原不等式可化为－x －1＋x －2>1，无解．综上可知原不等式的解集为(1，＋∞)．答案：(1，＋∞)8．(2017届德州二模)关于x 的不等式|x －2|＋|x －8|≥a 在R 上恒成立，则a 的最大值为________．解析：由绝对值的性质得f (x )＝|x －2|＋|x －8|≥|(x －2)－(x －8)|＝6，所以f (x )最小值为6，从而6≥a ，解得a ≤6，因此a 的最大值为6.答案：69．(2017届乐山一摸)已知函数f (x )＝|2x －1|－|x ＋2|.(1)求不等式f (x )>0的解集；(2)若存在x 0∈R ，使得f (x 0)＋2a 2<4a ，求实数a 的取值范围．解：(1)函数f (x )＝|2x －1|－|x ＋2|＝⎩⎪⎨⎪⎧ －x ＋3，x <－2，－3x －1，－2≤x ≤12，x －3，x >12，令f (x )＝0，解得x ＝－13或x ＝3. ∴f (x )>0的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫xx <－13，或x >3. (2)若存在x 0∈R ，使得f (x 0)＋2a 2<4a ，即f (x 0)<4a －2a 2有解，由(1)可得f (x )的最小值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝－3×12－1＝－52，故－52<4a －2a 2，解得－12<a <52.10．(2017届西安一模)已知函数f (x )＝|2x －1|，x ∈R .(1)解不等式f (x )<x ＋1；(2)若对于x ，y ∈R ，有|x －y －1|≤13，|2y ＋1|≤16，求证：f (x )<1.解：(1)不等式f (x )<x ＋1，等价于|2x －1|<x ＋1，即－x －1<2x －1<x ＋1， 解得0<x <2，故不等式f (x )<x ＋1的解集为(0,2)．(2)∵|x －y －1|≤13，|2y ＋1|≤16，∴f (x )＝|2x －1|＝|2(x －y －1)＋(2y ＋1)|≤|2(x －y －1)|＋|(2y ＋1)|≤2×13＋16<1.[能 力 提 升]1．已知|2x －3|≤1的解集为[m ，n ]．(1)求m ＋n 的值；(2)若|x －a |<m ，求证：|x |<|a |＋1.解：(1)不等式|2x －3|≤1可化为－1≤2x －3≤1，解得1≤x ≤2，所以m ＝1，n ＝2，m ＋n ＝3.(2)证明：若|x －a |<1，则|x |＝|x －a ＋a |≤|x －a |＋|a |<|a |＋1.即|x |<|a |＋1.2．(2017届合肥质检)已知函数f (x )＝|x －4|＋|x －a |(a ∈R )的最小值为a .(1)求实数a 的值；(2)解不等式f (x )≤5.解：(1)f (x )＝|x －4|＋|x －a |≥|a －4|＝a ，从而解得a ＝2.(2)由(1)知，f (x )＝|x －4|＋|x －2|＝⎩⎨⎧ －2x ＋6，x ≤2，2，2<x ≤4.2x －6，x >4.当x ≤2时，令－2x ＋6≤5，得12≤x ≤2；当2<x ≤4时，显然不等式成立，当x >4时，令2x －6≤5，得 4<x ≤112.故不等式f (x )≤5的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ 12≤x ≤112. 3．(2017届西安质检)设函数f (x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －52＋|x －a |，a ∈R . (1)求证：当a ＝－12时，不等式ln f (x )>1成立；(2)关于x 的不等式f (x )≥a 在R 上恒成立，求实数a 的最大值．解：(1)证明：由f (x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －52＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪x ＋12＝ ⎩⎪⎨⎪⎧ －2x ＋2，x <－12，3，－12≤x ≤52，2x －2，x >52，画出草图，分析可得函数f (x )的最小值为3，从而f (x )≥3>e ， 所以ln f (x )>1成立．(2)由绝对值不等式的性质得f (x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －52＋|x －a |≥⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎝ ⎛⎭⎪⎫x －52－(x －a )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪a －52，所以f (x )的最小值为⎪⎪⎪⎪⎪⎪52－a ， 从而⎪⎪⎪⎪⎪⎪52－a ≥a ，解得a ≤54. 因此a 的最大值为54.4．(2018届铁东区模拟)已知函数f (x )＝|2x ＋1|－|x －1|.(1)求不等式f (x )<2的解集；(2)若关于x 的不等式f (x )≤a －a 22有解，求a 的取值范围． 解：(1)函数f (x )＝|2x ＋1|－|x －1|＝⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋2，x ≥1，3x ，－12<x <1，－x －2，x ≤－12.当x ≥1时，不等式化为x ＋2<2，解得x <0，可得x ∈∅；当－12<x <1时，不等式化为3x <2，解得x <23，可得－12<x <23；当x ≤－12时，不等式化为－x －2<2，解得x >－4，可得－4<x ≤－12；综上可得，原不等式的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－4，23. (2)关于x 的不等式f (x )≤a －a 22有解，即为f (x )min ≤a －a 22，由x ≥1时，x ＋2≥3，－12<x <1时，－32<3x <3，x ≤12时，－x －2≥－32，可得f (x )min ＝－32.即有a －a 22≥－32，解得－1≤a ≤3，所以a 的取值范围为[－1,3]．。
2019高三一轮总复习文科数学课时跟踪检测：选修4-4-2参数方程
[课 时 跟 踪 检 测][基 础 达 标]1．直线⎩⎨⎧x ＝1＋t sin70°，y ＝2＋t cos70°(t 为参数)的倾斜角为( )A ．70°B ．20°C ．160°D ．110°解析：将直线参数方程化为标准形式⎩⎨⎧x ＝1＋t cos20°，y ＝2＋t sin20°(t 为参数)，则倾斜角为20°，故选B.答案：B2．若直线的参数方程为⎩⎨⎧x ＝1＋2t ，y ＝2－3t (t 为参数)，则直线的斜率为( )A.23 B ．－23 C.32D ．－32解析：⎩⎨⎧x ＝1＋2t ，y ＝2－3t ，得3x ＋2y －7＝0，则直线的斜率为－32.答案：D3．下列参数方程与方程y 2＝x 表示同一曲线的是( ) A.⎩⎨⎧x ＝t ，y ＝t 2(t 为参数) B.⎩⎨⎧x ＝sin 2t ，y ＝sin t(t 为参数) C.⎩⎨⎧x ＝t ，y ＝|t | (t 为参数) D.⎩⎨⎧x ＝1－cos2t 1＋cos2t ，y ＝tan t(t 为参数)解析：对于A ，消去t 后所得方程为x 2＝y ，不符合y 2＝x ；对于B ，消去t 后所得方程为y 2＝x ，但要求0≤x ≤1，也不符合y 2＝x ；对于C ，消去t 得方程为y 2＝|x |，且要求y ≥0，x ∈R ，也不符合y 2＝x ；对于D ，x ＝1－cos2t 1＋cos2t ＝2sin 2t2cos 2t＝tan 2t ＝y 2，符合y 2＝x .故选D.答案：D4．与参数方程为⎩⎨⎧x ＝t ，y ＝21－t (t 为参数)等价的普通方程为( )A ．x 2＋y 24＝1B ．x 2＋y24＝1(0≤x ≤1)C ．x 2＋y 24＝1(0≤y ≤2)D ．x 2＋y 24＝1(0≤x ≤1,0≤y ≤2)解析：∵x 2＝t ，y 24＝1－t ＝1－x 2，∴x 2＋y 24＝1，而t ≥0，0≤1－t ≤1，得0≤y ≤2. 答案：D5．参数方程⎩⎨⎧x ＝－3＋2cos θ，y ＝4＋2sin θ(θ为参数)表示的曲线上的点到坐标轴的最近距离为( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：参数方程⎩⎨⎧x ＝－3＋2cos θ，y ＝4＋2sin θ(θ为参数)表示的曲线的普通方程为(x ＋3)2＋(y －4)2＝4，这是圆心为(－3,4)，半径为2的圆，故圆上的点到坐标轴的最近距离为1.答案：A6．(2017届北京朝阳二模)在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝t ，y ＝4＋t(t 为参数)．以原点O 为极点，以x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ＝42·sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4，则直线l 和曲线C 的公共点有( )A ．0个B ．1个C ．2个D ．无数个解析：直线l ：⎩⎨⎧x ＝t ，y ＝4＋t (t 为参数)化为普通方程得x －y ＋4＝0；曲线C ：ρ＝42sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4化成普通方程得(x －2)2＋(y －2)2＝8，∴圆心C (2,2)到直线l 的距离为d ＝|2－2＋4|2＝22＝r .∴直线l 与圆C 只有一个公共点，故选B. 答案：B7．(2015年湖北卷)在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知直线l 的极坐标方程为ρ(sin θ－3cos θ)＝0，曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t －1t ，y ＝t ＋1t(t 为参数)，l 与C 相交于A ，B 两点，则|AB |＝________.解析：因为ρ(sin θ－3cos θ)＝0，所以ρsin θ＝3ρcos θ，所以y ＝3x .由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t －1t ，y ＝t ＋1t消去t 得y 2－x 2＝4.由⎩⎨⎧y ＝3x ，y 2－x 2＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝22，y ＝322或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－22，y ＝－322，不妨令A ⎝ ⎛⎭⎪⎫22，－322，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－22，－322，由两点间的距离公式得|AB |＝ ⎝ ⎛⎭⎪⎫22＋222＋⎝ ⎛⎭⎪⎫322＋3222＝2 5.答案：2 58．(2017届人大附中模拟)已知直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2－t ，y ＝1＋3t (t 为参数)，圆C 的极坐标方程为ρ＋2sin θ＝0，若在圆C 上存在一点P ，使得点P 到直线l 的距离最小，则点P 的直角坐标为________．解析：由已知得直线l 的普通方程为y ＝－3x ＋1＋23，圆C 的直角坐标方程为x 2＋(y ＋1)2＝1，在圆C 上任取一点P (cos α，－1＋sin α)(α∈[0,2π))，则点P 到直线l 的距离为d ＝|3cos α＋sin α－2－23|1＋3＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3－2－232＝2＋23－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π32.∴当α＝π6时，d min ＝3，此时P ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，－12答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫32，－129．(2017届贵州适应性考试)在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，半圆C 的极坐标方程为ρ＝4cos θ，θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2.(1)求C 的参数方程；(2)若半圆C 与圆D ：(x －5)2＋(y －3)2＝m (m 是常数，m >0)相切，试求切点的直角坐标．解：(1)C 的普通方程为(x －2)2＋y 2＝4(0≤y ≤2)，则C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2＋2cos t ，y ＝2sin t(t 为参数，0≤t ≤π)． (2)C ，D 的圆心坐标分别为(2,0)，(5，3)， 于是直线CD 的斜率k ＝3－05－2＝33. 由于切点必在两个圆心的连线上， 故切点对应的参数t 满足tan t ＝33，t ＝π6， 所以，切点的直角坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋2cos π6，2sin π6， 即(2＋3，1)．10．(2017届湖北八校联考)已知曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝6cos θ，y ＝4sin θ(θ为参数)，在同一平面直角坐标系中，将曲线C 上的点按坐标变换⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝13x ，y ′＝14y 得到曲线C ′.(1)求曲线C ′的普通方程；(2)若点A 在曲线C ′上，点D (1,3)．当点A 在曲线C ′上运动时，求AD 中点P 的轨迹方程．解：(1)将⎩⎨⎧x ＝6cos θ，y ＝4sin θ代入⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝13x ，y ′＝14y ，得曲线C ′的参数方程为⎩⎨⎧x ′＝2cos θ，y ′＝sin θ，∴曲线C ′的普通方程为x 24＋y 2＝1. (2)设点P (x ，y )，A (x 0，y 0)，又D (1,3)，且AD 的中点为P ，∴⎩⎨⎧x 0＝2x －1，y 0＝2y －3.又点A 在曲线C ′上，∴代入C ′的普通方程x 24＋y 2＝1， 得(2x －1)2＋4(2y －3)2＝4，∴动点P 的轨迹方程为(2x －1)2＋4(2y －3)2＝4.[能 力 提 升]1．(2018届湖南长沙质检)在平面直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 1的极坐标方程为ρ2－4ρcos θ＋3＝0，θ∈[0,2π)．(1)求C 1的直角坐标方程；(2)曲线C 2的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t cos π6，y ＝t sin π6(t 为参数)．求C 1与C 2的公共点的极坐标．解：(1)将⎩⎨⎧ρ2＝x 2＋y 2，ρcos θ＝x代入ρ2－4ρcos θ＋3＝0，得(x －2)2＋y 2 ＝1.(2)由题设可知，C 2是过坐标原点，倾斜角为π6的直线， 因此C 2的极坐标方程为θ＝π6或θ＝7π6，(ρ>0)， 将θ＝π6代入C 1得ρ2－23ρ＋3＝0，解得ρ＝3；将θ＝7π6代入C 1得ρ2＋23ρ＋3＝0，解得ρ＝－3，不合题意． 故C 1与C 2的公共点的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫3，π6.2．(2017届湖南长沙质检)在直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝3＋2cos θ，y ＝－4＋2sin θ(θ为参数)． (1)以原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求圆C 的极坐标方程； (2)已知A (－2,0)，B (0,2)，圆C 上任意一点M (x ，y )，求△ABM 面积的最大值．解：(1)圆C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝3＋2cos θ，y ＝－4＋2sin θ(θ为参数)，所以普通方程为(x －3)2＋(y ＋4)2＝4.由x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，可得(ρcos θ－3)2＋(ρsin θ＋4)2 ＝4， 化简可得圆C 的极坐标方程为ρ2－6ρcos θ＋8ρsin θ＋21＝0.(2)点M (x ，y )到直线AB ：x －y ＋2＝0的距离为d ＝|x －y ＋2|2＝|2cos θ－2sin θ＋9|2，△ABM 的面积S ＝12×|AB |×d ＝|2cos θ－2sin θ＋9|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－θ＋9，所以△ABM 面积的最大值为9＋2 2.3．在直角坐标系xOy ，直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝t －1，y ＝t ＋2(t 为参数)．在以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 的极坐标方程为ρ＝31＋2cos 2θ.(1)直接写出直线l 的普通方程、曲线C 的直角坐标方程； (2)设曲线C 上的点到直线l 的距离为d ，求d 的取值范围． 解：(1)直线l 的普通方程为x －y ＋3＝0. 曲线C 的直角坐标方程为3x 2＋y 2＝3.(2)∵曲线C 的直角坐标方程为3x 2＋y 2＝3，即x 2＋y23＝1，∴曲线C 上的任一点的坐标可表示为(cos α，3sin α)． ∴d ＝|cos α－3sin α＋3|2＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＋32＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＋32. ∴d 的最小值为12＝22，d 的最大值为52＝522. ∴22≤d ≤522，即d 的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤22，522. 4．(2018届河南六市一联)在平面直角坐标系中，直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝1＋t ，y ＝t －3(t 为参数)，在以直角坐标系的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 的极坐标方程为ρ＝2cos θsin 2θ.(1)求曲线C 的直角坐标方程和直线l 的普通方程； (2)若直线l 与曲线C 相交于A ，B 两点，求△AOB 的面积．解：(1)由曲线C 的极坐标方程ρ＝2cos θsin 2θ，得ρ2sin 2θ＝2ρcos θ，所以曲线C 的直角坐标方程是y 2＝2x .由直线l 的参数方程⎩⎨⎧x ＝1＋t ，y ＝t －3得t ＝3＋y ，代入x ＝1＋t 中，消去t 得x－y －4＝0，所以直线l 的普通方程为x －y －4＝0.(2)将直线l 的参数方程代入曲线C 的直角坐标方程y 2＝2x ，得t 2－8t ＋7＝0， 设A ，B 两点对应的参数分别为t 1，t 2， 则t 1＋t 2＝8，t 1t 2＝7，所以|AB|＝2|t1－t2|＝2×(t1＋t2)2－4t1t2＝6 2.且原点到直线AB的距离d＝|－4|2＝22，∴S△AOB ＝12×|AB|×d＝12×62×22＝12.。
[推荐学习]2019高三一轮总复习文科数学课时跟踪检测：选修4-5-2不等式的证明 Word版含解析
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[课 时 跟 踪 检 测][基 础 达 标]1．如果x >0，比较(x －1)2与(x ＋1)2的大小．解：(x －1)2－(x ＋1)2＝[(x －1)＋(x ＋1)][(x －1)－(x ＋1)]＝－4x . 因为x >0，所以x >0，所以－4x <0，所以(x －1)2<(x ＋1)2.2．设不等式|2x －1|<1的解集为M .(1)求集合M ；(2)若a ，b ∈M ，试比较ab ＋1与a ＋b 的大小．解：(1)由|2x －1|<1，得－1<2x －1<1，解得0<x <1.所以M ＝{x |0<x <1}．(2)由(1)和a ，b ∈M 可知，0<a <1,0<b <1，所以(ab ＋1)－(a ＋b )＝(a －1)(b －1)>0.故ab ＋1>a ＋b .3．(2017届重庆第一次适应性测试)设a ，b ，c ∈R ＋，且a ＋b ＋c ＝1.(1)求证：2ab ＋bc ＋ca ＋c 22≤12；(2)求证：a 2＋c 2b ＋b 2＋a 2c ＋c 2＋b 2a ≥2.证明：(1)因为1＝(a ＋b ＋c )2＝a 2＋b 2＋c 2＋2ab ＋2bc ＋2ca ≥4ab ＋2bc ＋2ca ＋c 2，所以2ab ＋bc ＋ca ＋c 22＝12(4ab ＋2bc ＋2ca ＋c 2)≤12.(2)因为a 2＋c 2b ≥2ac b ，b 2＋a 2c ≥2ab c ，c 2＋b 2a ≥2bc a ，所以a 2＋c 2b ＋b 2＋a 2c ＋c 2＋b 2a ≥⎝ ⎛⎭⎪⎫ac b ＋ab c ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫ab c ＋bc a ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫ac b ＋bc a ＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫c b ＋b c ＋b ⎝ ⎛⎭⎪⎫a c ＋c a ＋c ⎝ ⎛⎭⎪⎫a b ＋b a ≥2a ＋2b ＋2c ＝2. 4．若a >0，b >0，且1a ＋1b ＝ab .(1)求a 3＋b 3的最小值；(2)是否存在a ，b ，使得2a ＋3b ＝6？并说明理由．解：(1)由ab ＝1a ＋1b ≥2ab， 得ab ≥2，且当a ＝b ＝2时等号成立．故a 3＋b 3≥2a 3b 3≥42，且当a ＝b ＝2时等号成立．所以a 3＋b 3的最小值为4 2.(2)由(1)知，2a ＋3b ≥26ab ≥4 3.由于43>6，从而不存在a ，b ，使得2a ＋3b ＝6.5．已知定义在R 上的函数f (x )＝|x ＋1|＋|x －2|的最小值为a .(1)求a 的值；(2)若p ，q ，r 是正实数，且满足p ＋q ＋r ＝a ，求证：p 2＋q 2＋r 2≥3. 解：(1)因为|x ＋1|＋|x －2|≥|(x ＋1)－(x －2)|＝3，当且仅当－1≤x ≤2时，等号成立，所以f (x )的最小值等于3，即a ＝3.(2)证明：由(1)知p ＋q ＋r ＝3，又因为p ，q ，r 是正实数，所以(p 2＋q 2＋r 2)(12＋12＋12)≥(p ×1＋q ×1＋r ×1)2＝(p ＋q ＋r )2＝9，即p 2＋q 2＋r 2≥3.[能 力 提 升]1．设函数f (x )＝|x －a |.(1)当a ＝2时，解不等式f (x )≥7－|x －1|；(2)若f (x )≤1的解集为[0,2]，1m ＋12n ＝a (m >0，n >0)，求证：m ＋4n ≥22＋3.解：(1)当a ＝2时，不等式为|x －2|＋|x －1|≥7，∴⎩⎨⎧ x <1，2－x ＋1－x ≥7或⎩⎨⎧ 1≤x ≤2，2－x ＋x －1≥7或⎩⎨⎧x >2，x －2＋x －1≥7，解得x ≤－2或x ≥5，∴不等式的解集为(－∞，－2]∪[5，＋∞)．(2)证明：f (x )≤1，即|x －a |≤1，解得a －1≤x ≤a ＋1，而f (x )≤1的解集是[0,2]，∴⎩⎨⎧a －1＝0，a ＋1＝2，解得a ＝1，∴1m ＋12n ＝1(m >0，n >0)， ∴m ＋4n ＝(m ＋4n )⎝ ⎛⎭⎪⎫1m ＋12n ＝3＋4n m ＋m 2n ≥22＋3(当且仅当m ＝22n ＝1＋2时取等号)．2．已知函数f (x )＝|x －1|.(1)解不等式f (2x )＋f (x ＋4)≥8；(2)若|a |<1，|b |<1，a ≠0，求证：f (ab )|a |>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫b a . 解：(1)f (2x )＋f (x ＋4)＝|2x －1|＋|x ＋3|＝ ⎩⎪⎨⎪⎧ －3x －2，x <－3，－x ＋4，－3≤x <12，3x ＋2，x ≥12，当x <－3时，由－3x －2≥8，解得x ≤－103；当－3≤x <12时，－x ＋4≥8无解；当x ≥12时，由3x ＋2≥8，解得x ≥2.所以不等式f (2x )＋f (x ＋4)≥8的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ x ≤－103或x ≥2. (2)证明：f (ab )|a |>f ⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 等价于f (ab )>|a |f ⎝ ⎛⎭⎪⎫b a ， 即|ab －1|>|a －b |.因为|a |<1，|b |<1，所以|ab －1|2－|a －b |2＝(a 2b 2－2ab ＋1)－(a 2－2ab ＋b 2)＝(a 2－1)(b 2－1)>0，所以|ab －1|>|a －b |.故所证不等式成立．3．(2017届东湖区校级月考)设f (x )＝|x －3|＋|x －4|.(1)解不等式f (x )≤2；(2)已知实数x 、y 、z 满足2x 2＋3y 2＋6z 2＝a (a >0)，且x ＋y ＋z 的最大值是1，求a 的值．解：(1)当x <3时，不等式化为－x ＋3－x ＋4≤2，∴x ≥2.5，∴2.5≤x <3；当3≤x ≤4时，不等式化为x －3－x ＋4≤2，成立；当x >4时，不等式化为x －3＋x －4≤2，∴x <4.5，∴4<x ≤4.5.综上所述，不等式的解集为{x |2.5≤x ≤4.5}；(2)由柯西不等式 [(2x )2＋(3y )2＋(6z )2]·⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫132＋⎝ ⎛⎭⎪⎫162≥122x ＋13·3y ＋16·6z 2＝(x ＋y ＋z )2，因为2x 2＋3y 2＋6z 2＝a (a >0)，所以a ≥(x ＋y ＋z ) 2，因为x ＋y ＋z 的最大值是1，所以a ＝1，当2x ＝3y ＝6z 时，x ＋y ＋z 取最大值，所以a ＝1.。
2019高三一轮总复习文科数学课时跟踪检测：5-4数列求和
[课 时 跟 踪 检 测] [基 础 达 标]1．已知等比数列{a n }的各项均为正数，a 1＝1，公比为q ；等差数列{b n }中，b 1＝3，且{b n }的前n 项和为S n ，a 3＋S 3＝27，q ＝.S 2a 2(1)求{a n }与{b n }的通项公式；(2)设数列{c n }满足c n ＝，求{c n }的前n 项和T n .32Sn 解：(1)设数列{b n }的公差为d ，∵a 3＋S 3＝27，q ＝，S 2a 2∴q 2＋3d ＝18,6＋d ＝q 2，联立方程可求得q ＝3，d ＝3，∴a n ＝3n －1，b n ＝3n .(2)由题意得，S n ＝，c n ＝＝××＝－，n (3＋3n )232Sn 32231n (n ＋1)1n 1n ＋1∴T n ＝1－＋－＋－＋…＋－＝1－＝.12121313141n 1n ＋11n ＋1nn ＋12．(2017届广州综合测试)已知数列{a n }是等比数列，a 2＝4，a 3＋2是a 2和a 4的等差中项．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝2log 2a n －1，求数列{a n b n }的前n 项和T n .解：(1)设数列{a n }的公比为q ，因为a 2＝4，所以a 3＝4q ，a 4＝4q 2.因为a 3＋2是a 2和a 4的等差中项，所以2(a 3＋2)＝a 2＋a 4，即2(4q ＋2)＝4＋4q 2，化简得q 2－2q ＝0，因为公比q ≠0，所以q ＝2，所以a n ＝a 2q n －2＝4×2n －2＝2n (n ∈N *)．(2)因为a n ＝2n ，所以 b n ＝2log 2a n －1＝2n －1，所以a n b n ＝(2n －1)2n ，则T n ＝1×2＋3×22＋5×23＋…＋(2n －3)2n －1＋(2n －1)2n ，①2T n ＝1×22＋3×23＋5×24＋…＋(2n －3)2n ＋(2n －1)·2n ＋1，②由①－②得，－T n ＝2＋2×22＋2×23＋…＋2×2n －(2n －1)2n ＋1＝2＋2×－(2n －1)2n ＋1＝－6－(2n －3)2n ＋1，4(1－2n －1)1－2所以T n ＝6＋(2n －3)2n ＋1.3．S n 为数列{a n }的前n 项和．已知a n >0，a ＋2a n ＝4S n ＋3.2n (1)求{a n }的通项公式；(2)设b n ＝，求数列{b n }的前n 项和．1anan ＋1解：(1)由a ＋2a n ＝4S n ＋3，①2n 可知a ＋2a n ＋1＝4S n ＋1＋3，②2n ＋1②－①，得a －a ＋2(a n ＋1－a n )＝4a n ＋1，2n ＋12n 即2(a n ＋1＋a n )＝a －a ＝(a n ＋1＋a n )(a n ＋1－a n )．2n ＋12n 由a n >0，得a n ＋1－a n ＝2.又a ＋2a 1＝4a 1＋3，解得a 1＝－1(舍去)或a 1＝3.21所以{a n }是首项为3，公差为2的等差数列，通项公式为a n ＝2n ＋1.(2)由a n ＝2n ＋1可知b n ＝＝＝.1anan ＋11(2n ＋1)(2n ＋3)12(12n ＋1－12n ＋3)设数列{b n }的前n 项和为T n ，则T n＝b 1＋b 2＋…＋b n＝＋＋…＋＝.12(13－15)(15－17)(12n ＋1－12n ＋3)n3(2n ＋3)4．(2018届湖南八校联考)已知数列{a n }与{b n }满足a n ＋1－a n ＝2(b n ＋1－b n )(n ∈N *)．(1)若a 1＝1，b n ＝3n ＋5，求数列{a n }的通项公式；(2)若a 1＝6，b n ＝2n (n ∈N *)且λa n >2n ＋n ＋2λ对一切 n ∈N *恒成立，求实数λ的取值范围．解：(1)因为a n ＋1－a n ＝2(b n ＋1－b n )，b n ＝3n ＋5，所以a n ＋1－a n ＝2(b n ＋1－b n )＝2(3n ＋8－3n －5)＝6，所以{a n }是等差数列，首项为a 1＝1，公差为6，即a n ＝6n －5.(2)因为b n ＝2n ，所以a n ＋1－a n ＝2(2n ＋1－2n )＝2n ＋1，当n ≥2时，a n ＝(a n －a n －1)＋(a n －1－a n －2)＋…＋(a 2－a 1)＋a 1＝2n ＋2n －1＋…＋22＋6＝2n ＋1＋2，当n ＝1时，a 1＝6，符合上式，所以a n ＝2n ＋1＋2，由λa n >2n ＋n ＋2λ得λ>＝＋.2n ＋n2n ＋112n2n ＋1因为－＝≤0，n ＋12n ＋2n2n ＋11－n 2n ＋2所以当n ＝1,2时，取最大值，2n ＋n2n ＋134故λ的取值范围为.(34，＋∞)[能 力 提 升]1．已知数列{a n }的首项为a 1＝1，前n 项和为S n ，且数列是公差为2{Snn }的等差数列．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若b n ＝(－1)n a n ，求数列{b n }的前n 项和T n .解：(1)由已知得＝1＋(n －1)×2＝2n －1，所以S n ＝2n 2－n ，Snn 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n 2－n －[2(n －1)2－(n －1)]＝4n －3.a 1＝1＝4×1－3，所以a n ＝4n －3，n ∈N *.(2)由(1)可得b n ＝(－1)n a n ＝(－1)n (4n －3)．当n 为偶数时，T n ＝(－1＋5)＋(－9＋13)＋…＋[－(4n －7)＋(4n －3)]＝4×＝2n ；n2当n 为奇数时，n ＋1为偶数，T n ＝T n ＋1－b n ＋1＝2(n ＋1)－(4n ＋1)＝－2n ＋1，综上，T n ＝Error!2．在数列{a n }中，已知a n >1，a 1＝1＋，且a n ＋1－a n ＝，32an ＋1＋an －2记b n ＝(a n －1)2，n ∈N *.(1)求数列{b n }的通项公式；(2)设数列{b n }的前n 项和为S n ，证明：≤＋＋＋…＋<.131S 11S 21S 31Sn 34解：(1)因为a n ＋1－a n ＝，2an ＋1＋an －2所以a －a －2a n ＋1＋2a n ＝2，2n ＋12n 即(a n ＋1－1)2－(a n －1)2＝2.又b n ＝(a n －1)2，n ∈N *，所以b n ＋1－b n ＝2，数列{b n }是以b 1＝(1＋－1)2＝3为首项，2为公差的3等差数列，故b n ＝2n ＋1，n ∈N *.(2)证明：由(1)得，S n ＝＝n (n ＋2)，n (3＋2n ＋1)2所以＝＝，n ∈N *，1Sn 1n (n ＋2)12(1n－1n ＋2)所以＋＋＋…＋＝1－＋－＋－＋…＋－＝1S 11S 21S 31Sn 1213121413151n 1n ＋212＝－<.(32－1n ＋1－1n ＋2)3412(1n ＋1＋1n ＋2)34记T n ＝＋＋＋…＋，1S 11S 21S 31Sn 因为>0，n ∈N *，所以T n 单调递增，故T n ≥T 1＝＝，1Sn 1S 113综上，≤＋＋＋…＋＜.131S 11S 21S 31Sn 343．已知各项均为正数的数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足a ＋a n ＝2S n .2n (1)求数列{a n }的通项公式；(2)求证：<＋＋…＋<.Sn2S 1S 2Sn Sn ＋1－12解：(1)因为当n ∈N *时，a ＋a n ＝2S n ，2n 故当n >1时，a ＋a n －1＝2S n －1，2n －1两式相减得，a －a ＋a n －a n －1＝2S n －2S n －1＝2a n ，2n 2n －1即(a n ＋a n －1)(a n －a n －1)＝a n ＋a n －1.因为a n >0，所以a n ＋a n －1>0，所以当n >1时，a n －a n －1＝1.又当n ＝1时，a ＋a 1＝2S 1＝2a 1，得a 1＝1，21所以数列{a n }是以1为首项，1为公差的等差数列，所以a n ＝n .(2)证明：由(1)及等差数列的前 n 项和公式知S n ＝，所以＝n (n ＋1)2Sn >＝，n (n ＋1)2n 22n2＋＋…＋>＋＋…＋＝＝ .S 1S 2Sn 1222n21＋2＋…＋n2Sn 2＝<＝，Sn n (n ＋1)2(n ＋1)22n ＋12＋＋…＋<＋＋…＋＝－＝S 1S 2Sn 2232n ＋121＋2＋…＋(n ＋1)212，Sn ＋1－12<＋＋…＋<.Sn2S 1S 2Sn Sn ＋1－12。
2019高三一轮总复习文科数学课时跟踪检测：3-4函数y=Asin(ωx+φ)的图象及三角函数模型的简单应用
[课 时 跟 踪 检 测] [基 础 达 标]1．函数f (x )＝tan ωx (ω>0)的图象的相邻两支截直线y ＝2所得线段长为，π2则f 的值是( )(π6)A ．－ B. C ．1 D.3333解析：由题意可知该函数的周期为，π2所以＝，ω＝2，f (x )＝tan2x ，πωπ2所以f ＝tan ＝.(π6)π33答案：D2．(2017届洛阳统考)已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)的部(A >0，ω>0，|φ|<π2)分图象如图所示，则f (x )的解析式是( )A ．f (x )＝sin(3x ＋π3)B ．f (x )＝sin(2x ＋π3)C ．f (x )＝sin(x ＋π3)D ．f (x )＝sin(2x ＋π6)解析：由图象可知A ＝1，＝－＝，所以T ＝π，所以ω＝＝2，故T45π12π6π42πT排除A 、C ，把x ＝代入检验知，选项D 符合题意．π6答案：D3．(2017届太原模拟)已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)的最小正周(ω>0，|φ|<π2)期是π，若将f (x )的图象向右平移个单位后得到的图象关于原点对称，则函数π3f (x )的图象( )A ．关于直线x ＝对称B ．关于直线x ＝对称π125π12C ．关于点对称D ．关于点对称(π12，0)(5π12，0)解析：因为f (x )的最小正周期为π，所以＝π，ω＝2，所以f (x )的图象向2πω右平移个单位后得到g (x )＝sin＝sin 的图象，由g (x )的π3[2(x －π3)＋φ](2x －2π3＋φ)图象关于原点对称知，φ－π＝k π，即φ＝π＋k π，k ∈Z ，因为|φ|<，所以2323π2φ＝－，即f (x )＝sin，由2x －＝＋k π，得x ＝＋，k ∈Z ，故选B.π3(2x －π3)π3π25π12k π2答案：B4．(2018届贵州省适应性考试)将函数f (x )＝sin的图象向左平移φ(2x ＋π6)个单位长度，所得的图象关于y 轴对称，则φ＝( )(0<φ≤π2)A. B. π6π4C.D.π3π2解析：将函数f (x )＝sin的图象向左平移φ个单位长度，(2x ＋π6)(0<φ≤π2)得到的图象所对应的函数解析式为y ＝sin＝sin，由题知，[2(x ＋φ)＋π6](2x ＋2φ＋π6)该函数是偶函数，则2φ＋＝k π＋，k ∈Z ，即φ＝＋，k ∈Z ，又0<φ≤，π6π2k π2π6π2所以φ＝.π6答案：A5．函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)(x ∈R )的部分图象如图所示，如果(ω>0，|φ|<π2)x 1，x 2∈，且f (x 1)＝f (x 2)，则f (x 1＋x 2)＝( )(－π6，π3)A. B.1232C.D ．122解析：由图可知，＝－＝，则T ＝π，ω＝2，T2π3(－π6)π2又∵＝，∴f (x )的图象过点，－π6＋π32π12(π12，1)即sin＝1，得φ＝，∴f (x )＝sin .(2×π12＋φ)π3(2x ＋π3)而x 1＋x 2＝－＋＝，π6π3π6∴f (x 1＋x 2)＝f ＝sin＝sin ＝.(π6)(2×π6＋π3)2π332答案：B6．为了得到函数y ＝sin(2x ＋1)的图象，只需把函数y ＝sin2x 的图象上所有的点( )A ．向左平移个单位长度12B ．向右平移个单位长度12C ．向左平移1个单位长度D ．向右平移1个单位长度解析：y ＝sin(2x ＋1)＝sin ，所以需要把y ＝sin2x 图象上所有点向[2(x ＋12)]左平移个单位长度即可得到y ＝sin(2x ＋1)的图象，故选A.12答案：A7．(2018届杭州学军中学)已知函数y ＝sin(ωx ＋φ)ω>0,0<φ≤，且此函数π2的图象如图所示，则点P (ω，φ)的坐标是( )A. B.(2，π2)(2，π4)C.D.(4，π2)(4，π4)解析：∵T ＝2＝π，∴ω＝2.∵2×＋φ＝π，∴φ＝，∴选B.(7π8－3π8)3π8π4答案：B8．若函数f (x )＝sin (ω>0)的最小正周期为，则f ＝________.3(ωx －π3)π2(π3)解析：由f (x )＝sin(ω>0)的最小正周期为，得ω＝4.所以3(ωx －π3)π2f ＝sin＝0.(π3)3(4×π3－π3)答案：09．已知函数f (x )＝3sin (ω>0)和g (x )＝3cos(2x ＋φ)的图象完全相同，(ωx －π6)若x ∈，则f (x )的值域是________．[0，π2]解析：f (x )＝3sin＝3cos ＝3cos ，易知ω＝2，(ωx －π6)[π2－(ωx －π6)](ωx －2π3)则f (x )＝3sin ，(2x －π6)∵x ∈，∴－≤2x －≤，∴－≤f (x )≤3.[0，π2]π6π65π632答案：[－32，3]10．已知角φ的终边经过点P (－4,3)，函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)(ω>0)的图象的相邻两条对称轴之间的距离等于，则f 的值为________．π2(π4)解析：由角φ的终边经过点P (－4,3)，可得cos φ＝－，45根据函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)(ω>0)的图象的相邻两条对称轴之间的距离等于，π2可得周期为＝2×，解得ω＝2，2πωπ2∴f (x )＝sin(2x ＋φ)，∴f ＝sin ＝cos φ＝－.(π4)(π2＋φ)45答案：－4511．(2017届福州模拟)已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)，x ∈R (其中A >0，ω>0,0<φ<)的图象与x 轴的交点中，相邻两个交点之间的距离为，且图π2π2象上一个最低点为M .(2π3，－2)(1)求f (x )的解析式；(2)当x ∈时，求f (x )的值域．[π12，π2]解：(1)由最低点为M ，得A ＝2.(2π3，－2)由x 轴上相邻两个交点之间的距离为，得＝，即T ＝π，所以ω＝＝π2T2π22πT ＝2.2ππ由点M 在图象上，得2sin ＝－2，(2π3，－2)(2×2π3＋φ)即sin ＝－1，故＋φ＝2k π－(k ∈Z )．(4π3＋φ)4π3π2所以φ＝2k π－(k ∈Z )．11π6又φ∈，所以φ＝.故f (x )＝2sin.(0，π2)π6(2x ＋π6)(2)因为x ∈，所以2x ＋∈.[π12，π2]π6[π3，7π6]当2x ＋＝，即x ＝时，f (x )取得最大值2；π6π2π6当2x ＋＝，即x ＝时，f (x )取得最小值－1.π67π6π2故f (x )的值域为[－1,2]．12．函数f (x )＝cos(πx ＋φ)的部分图象如图所示：(0<φ<π2)(1)求φ及图中x 0的值；(2)设g (x )＝f (x )＋f ，求函数g (x )在区间上的最大值和最小值．(x ＋13)[－12，13]解：(1)由题图得f (0)＝，所以cos φ＝，3232因为0<φ<，故φ＝.π2π6由于f (x )的最小正周期等于2，所以由题图可知1<x 0<2，故<πx 0＋<，7π6π613π6由f (x 0)＝得cos＝，32(πx 0＋π6)32所以πx 0＋＝π，x 0＝.π611653(2)因为f＝cos ＝(x ＋13)[π(x ＋13)＋π6]cosπx ＋＝－sinπx ，π2所以g (x )＝f (x )＋f＝cos －sinπx ＝cosπx cos －sinπx sin －sinπx ＝cosπx －sinπx ＝(x ＋13)(πx ＋π6)π6π63232sin .3(π6－πx )当x ∈时，－≤－πx ≤.[－12，13]π6π62π3所以－≤sin ≤1，12(π6－πx )故－πx ＝，即x ＝－时，g (x )取得最大值；π6π2133当－πx ＝－，即x ＝时，g (x )取得最小值－.π6π61332[能 力 提 升]1．(2018届湖北百所重点学校联考)若函数f (x )＝sin(2x ＋φ)的图2(|φ|<π2)象关于直线x ＝对称，且当x 1，x 2∈，x 1≠x 2时，f (x 1)＝f (x 2)，则π12(－17π12，－2π3)f (x 1＋x 2)等于( )A. B.222C.D.6224解析：由题设可得f ＝±，即sin ＝±1，故＋φ＝k π＋，k ∈Z ，(π12)2(π6＋φ)π6π2又|φ|<，所以φ＝，因此f (x )＝sin.由题设可知，函数f (x )＝sin π2π32(2x ＋π3)2的对称轴为x ＝k π＋，k ∈Z ，当k ＝－1时，(2x ＋π3)π12x ＝－∈，所以x 1＋x 2＝2×＝－，所以f (x 1＋x 2)＝f 11π12(－17π12，－2π3)(－11π12)11π6＝，故选C.(－11π6)62答案：C2．已知函数f (x )＝cos ，其中x ∈，若f (x )的值域是，(3x ＋π3)[π6，m ][－1，－32]则m 的取值范围是________．解析：画出函数图象，由x ∈，可知≤3x ＋≤3m ＋，[π6，m]5π6π3π3因为f ＝cos ＝－且f ＝cosπ＝－1，(π6)5π632(2π9)要使f (x )的值域是，[－1，－32]只要≤m ≤，即m 的取值范围是.2π95π18[2π9，5π18]答案：[2π9，5π18]3．设函数f (x )＝sin 2ωx ＋2sin ωx ·cos ωx －cos 2ωx ＋λ(x ∈R )的图象关于直线3x ＝π对称．其中ω，λ为常数，且ω∈.(12，1)(1)求函数f (x )的最小正周期；(2)若y ＝f (x )的图象经过点，求函数f (x )的值域．(π4，0)解：(1)因为f (x )＝sin 2ωx －cos 2ωx ＋2sin ωx ·cos ωx ＋λ＝－cos2ωx ＋sin2ωx ＋λ＝2sin2ωx －33π6＋λ，由直线x ＝π是y ＝f (x )图象的一条对称轴，可得sin＝±1，(2ωπ－π6)所以2ωπ－＝k π＋(k ∈Z )，即ω＝＋(k ∈Z )，π6π2k 213又ω∈，所以k ＝1，故ω＝.(12，1)56∴f (x )＝2sin ＋λ.(53x －π6)所以f (x )的最小正周期是.6π5(2)由y ＝f (x )的图象过点，得f ＝0，(π4，0)(π4)即λ＝－2sin＝－2sin ＝－，即λ＝－.(56×π2－π6)π422故f (x )＝2sin －，(53x －π6)2函数f (x )的值域为[－2－，2－ ]．22。
高考数学一轮复习 选修4-5 不等式选讲课时跟踪检测 理 新人教A版-新人教A版高三选修4-5数学试
选修4－5 不等式选讲A 级·基础过关 |固根基|1.(2020届某某摸底)已知函数f (x )＝|x ＋a |＋|x －2|. (1)当a ＝－4时，求不等式f (x )≥6的解集；(2)若f (x )≤|x －3|的解集包含[0，1]，某某数a 的取值X 围． 解：(1)当a ＝－4时，f (x )≥6，即|x －4|＋|x －2|≥6，即⎩⎪⎨⎪⎧x ≤2，4－x ＋2－x ≥6或⎩⎪⎨⎪⎧2＜x ＜4，4－x ＋x －2≥6或⎩⎪⎨⎪⎧x ≥4，x －4＋x －2≥6， 解得x ≤0或x ≥6，所以原不等式的解集为(－∞，0]∪[6，＋∞)．(2)f (x )≤|x －3|的解集包含[0，1]等价于f (x )≤|x －3|在[0，1]上恒成立，即|x ＋a |＋2－x ≤3－x 在[0，1]上恒成立，即－1－x ≤a ≤1－x 在[0，1]上恒成立，所以－1≤a ≤0，即实数a 的取值X 围为[－1，0]．2．(2020届某某调研)设a ，b ，c 均为正数，a ＋b ＋c ＝1，证明： (1)ab ＋bc ＋ac ≤13；(2)c 2a ＋b 2c ＋a 2b≥1.证明：(1)由a 2＋b 2≥2ab ，b 2＋c 2≥2bc ，c 2＋a 2≥2ac 得a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋bc ＋ac . 由题设得(a ＋b ＋c )2＝1，即a 2＋b 2＋c 2＋2ab ＋2ac ＋2bc ＝1， ∴3(ab ＋bc ＋ac )≤1，即ab ＋bc ＋ac ≤13.(2)∵a 2b ＋b ≥2a ，b 2c ＋c ≥2b ，c 2a ＋a ≥2c ，∴c 2a ＋b 2c ＋a 2b ＋(a ＋b ＋c )≥2(a ＋b ＋c )， 即a 2b ＋b 2c ＋c 2a ≥a ＋b ＋c ， 即a 2b ＋b 2c ＋c 2a≥1. 3．(2019届某某市第一次质量预测)已知函数f (x )＝|3x －2a |＋|2x －2|(a ∈R )． (1)当a ＝12时，解不等式f (x )>6；(2)若对任意x ∈R ，不等式f (x )＋3x >4＋|2x －2|都成立，求a 的取值X 围．解：(1)当a ＝12时，不等式f (x )>6可化为|3x －1|＋|2x －2|>6，当x <13时，不等式化简为1－3x ＋2－2x >6，∴x <－35；当13≤x ≤1时，不等式化简为3x －1＋2－2x >6， ∴无解；当x >1时，不等式化简为3x －1＋2x －2>6，∴x >95.综上所述，不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x <－35或x >95.(2)不等式f (x )＋3x >4＋|2x －2|可化为|3x －2a |＋3x >4， 令g (x )＝|3x －2a |＋3x ＝⎩⎪⎨⎪⎧6x －2a ，x ≥2a3，2a ，x <2a3，∴函数g (x )的最小值为2a . 根据题意可得，2a >4，即a >2， ∴a 的取值X 围为(2，＋∞)．4．(2019届某某某某、某某、某某三市联考)已知函数f (x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －12＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪x ＋12，M 为不等式f (x )<2的解集．(1)求M ；(2)证明：当a ，b ∈M 时，|a ＋b |<|1＋ab |.解：(1)当x <－12时，不等式f (x )<2可化为12－x －x －12<2，解得x >－1，∴－1<x <－12；当－12≤x ≤12时，不等式f (x )<2可化为12－x ＋x ＋12＝1<2，此时不等式恒成立，∴－12≤x≤12； 当x >12时，不等式f (x )<2可化为－12＋x ＋x ＋12<2，解得x <1，∴12<x <1.综上可得M ＝{x |－1<x <1}． (2)证明：当a ，b ∈M 时， (a 2－1)(b 2－1)>0， 即a 2b 2＋1>a 2＋b 2，即a 2b 2＋1＋2ab >a 2＋b 2＋2ab ， 即(ab ＋1)2>(a ＋b )2， 即|a ＋b |<|1＋ab |.B 级·素养提升 |练能力|5.(2019年全国卷Ⅲ)设x ，y ，z ∈R ，且x ＋y ＋z ＝1. (1)求(x －1)2＋(y ＋1)2＋(z ＋1)2的最小值；(2)若(x －2)2＋(y －1)2＋(z －a )2≥13成立，证明：a ≤－3或a ≥－1.解：(1)由于[(x －1)＋(y ＋1)＋(z ＋1)]2＝(x －1)2＋(y ＋1)2＋(z ＋1)2＋2[(x －1)(y ＋1)＋(y ＋1)(z ＋1)＋(z ＋1)(x －1)] ≤3[(x －1)2＋(y ＋1)2＋(z ＋1)2]，故由已知得，(x －1)2＋(y ＋1)2＋(z ＋1)2≥43，当且仅当x ＝53，y ＝－13，z ＝－13时等号成立．所以(x －1)2＋(y ＋1)2＋(z ＋1)2的最小值为43.(2)证明：由于[(x －2)＋(y －1)＋(z －a )]2＝(x －2)2＋(y －1)2＋(z －a )2＋2[(x －2)(y －1)＋(y －1)(z －a )＋(z －a )(x －2)] ≤3[(x －2)2＋(y －1)2＋(z －a )2]，故由已知得(x －2)2＋(y －1)2＋(z －a )2≥（2＋a ）23，当且仅当x ＝4－a 3，y ＝1－a3，z ＝2a －23时等号成立． 因此(x －2)2＋(y －1)2＋(z －a )2的最小值为（2＋a ）23.由题设知（2＋a ）23≥13，解得a ≤－3或a ≥－1.6．(2019届某某某某二模)已知函数f (x )＝x ＋1＋|3－x |，x ≥－1. (1)求不等式f (x )≤6的解集；(2)若f (x )的最小值为n ，正数a ，b 满足2nab ＝a ＋2b ，求证：2a ＋b ≥98.解：(1)根据题意，若f (x )≤6，则有⎩⎪⎨⎪⎧－1≤x <3，x ＋1＋3－x ≤6或⎩⎪⎨⎪⎧x ≥3，x ＋1＋（x －3）≤6， 解得－1≤x ≤4，故原不等式的解集为{x |－1≤x ≤4}．(2)证明：函数f (x )＝x ＋1＋|3－x |＝⎩⎪⎨⎪⎧4，－1≤x <3，2x －2，x ≥3，分析可得f (x )的最小值为4，即n ＝4， 则正数a ，b 满足8ab ＝a ＋2b ，即1b ＋2a＝8，∴2a ＋b ＝18⎝ ⎛⎭⎪⎫1b ＋2a (2a ＋b )＝18⎝ ⎛⎭⎪⎫2a b ＋2b a ＋5≥18⎝⎛⎭⎪⎫5＋22a b ·2b a ＝98，当且仅当a ＝b ＝38时，取等号，即2a ＋b ≥98.7．(2019届某某某某二模)已知函数f (x )＝|x ＋1|－|1－x |，g (x )＝|x ＋a 2|＋|x －b 2|，其中a ，b 均为正实数，且a ＋b ＝2.(1)求不等式f (x )≥1的解集； (2)当x ∈R 时，求证f (x )≤g (x )．解：(1)f (x )＝|x ＋1|－|1－x |＝⎩⎪⎨⎪⎧－2，x ≤－1，2x ，－1<x <1，2，x ≥1.①当x ≤－1时，f (x )＝－2<1，不等式f (x )≥1无解； ②当－1<x <1时，f (x )＝2x ≥1，解得12≤x <1；③当x ≥1时，f (x )＝2≥1恒成立．综上所述，不等式f (x )≥1的解集为⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞. (2)证明：当x ∈R 时，f (x )＝|x ＋1|－|1－x |≤|x ＋1＋1－x |＝2，g (x )＝|x ＋a 2|＋|x －b 2|≥|x ＋a 2－(x －b 2)|＝|a 2＋b 2|＝a 2＋b 2.而a 2＋b 2＝(a ＋b )2－2ab ≥(a ＋b )2－2×⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22＝（a ＋b ）22＝2，当且仅当a ＝b 时，等号成立，即a 2＋b 2≥2，因此f (x )≤2≤a 2＋b 2≤g (x )， 即f (x )≤g (x )．8．(2020届某某调研)已知f (x )＝|x ＋1|＋|ax －a ＋1|. (1)当a ＝1时，求不等式f (x )≥3的解集；(2)若x ≥1时，不等式f (x )≥x ＋2恒成立，某某数a 的取值X 围． 解：(1)当a ＝1时，不等式f (x )≥3，即|x ＋1|＋|x |≥3. 当x ＜－1时，－x －1－x ≥3，解得x ≤－2，所以x ≤－2； 当－1≤x ＜0时，x ＋1－x ≥3，无解；当x ≥0时，x ＋1＋x ≥3，解得x ≥1，所以x ≥1.综上，不等式f(x)≥3的解集为(－∞，－2]∪[1，＋∞)．(2)解法一：当x≥1时，不等式f(x)≥x＋2，即|ax－a＋1|≥1.令g(x)＝a(x－1)＋1，则g(x)的图象为一条过定点(1，1)且斜率为a的直线，数形结合可知，当a≥0时，|ax－a＋1|≥1在[1，＋∞)上恒成立．所以，所求a的取值X围为[0，＋∞)．解法二：当x≥1时，不等式f(x)≥x＋2，即|ax－a＋1|≥1.所以ax－a＋1≤－1或ax－a＋1≥1，即a(x－1)≤－2或a(x－1)≥0.当x≥1时，∀a∈R，不等式a(x－1)≤－2不恒成立；当x≥1时，为使不等式a(x－1)≥0恒成立，则a≥0.所以，所求a的取值X围为[0，＋∞)．。
2019届高考数学(理)大一轮课时跟踪检测【37】绝对值不等式【选修4-5】(含答案)
课时跟踪检测(三十七) 绝对值不等式(选修4－5)第Ⅰ组：全员必做题 1．如果|x －a|<ε2，|y －a|<ε2，则一定有( ) A ．|x －y|<ε B ．|x －y|>ε C ．|x －y|<ε2D ．|x －y|>ε22．不等式2<|x ＋1|<4的解集为( ) A ．(1,3) B ．(－5，－3)∪(0,3) C ．(－5,0)D ．(－5，－3)∪(1,3)3．(2018·哈尔滨模拟)不等式|x ＋1|>|2x －3|－2的解集为( ) A ．(－∞，－6) B ．(－6,0) C ．(0,6)D ．(6，＋∞)4．不等式|x ＋3|＋|x －1|≥a 2－3a 对任意实数x 恒成立，则实数a 的取值范围为( ) A ．[－1,4]B ．(－∞，－2]∪[5，＋∞)C ．(－∞，－1]∪[4，＋∞)D ．[－2,5]5．已知不等式|a －2x|>x －1，对任意x ∈[0,2]恒成立，则a 的取值范围为( ) A ．(－∞，1)∪(5，＋∞) B ．(－∞，2)∪(5，＋∞) C ．(1,5)D ．(2,5)6．若关于x 的不等式|ax ＋2|<6的解集为(－1,2)，则实数a 的值为________． 7．(2018·青岛一模)不等式|2x ＋1|－|x －4|>2的解集是________．8．(2018·西安检测)已知函数f(x)＝|x －2|，g(x)＝－|x ＋3|＋m.若函数f(x)的图象恒在函数g(x)图象的上方，则m 的取值范围为________．9．(2018·福建高考)设不等式|x －2|<a(a ∈N *)的解集为A ，且32∈A ，12∉A.(1)求a 的值；(2)求函数f(x)＝|x ＋a|＋|x －2|的最小值． 10．(2018·郑州模拟)已知函数f(x)＝|x －a|.(1)若不等式f(x)≤3的解集为{x|－1≤x≤5}，求实数a 的值；(2)在(1)的条件下，若f(x)＋f(x ＋5)≥m 对一切实数x 恒成立，求实数m 的取值范围． 第Ⅱ组：重点选做题1．(2018·广州一模)若关于x 的不等式|x －1|＋|x ＋m|>3的解集为R ，则实数m 的取值范围是________． 2．(2018·湖北八校联考)若不等式|x ＋1|－|x －4|≥a＋4a ，对任意的x ∈R 恒成立，则实数a 的取值范围是________．答 案第Ⅰ组：全员必做题1．选A |x －y|＝|(x －a)＋(a －y)|≤|x－a|＋|y －a|<ε，即|x －y|<ε. 2．选D ∵2<|x ＋1|<4， ∴2<x ＋1<4或－4<x ＋1<－2， ∴1<x<3或－5<x<－3. 3．选C 原不等式等价于①⎩⎪⎨⎪⎧x≤－1，－＋－－－2或②⎩⎪⎨⎪⎧－1<x<32，x ＋1>－－－2或③⎩⎪⎨⎪⎧x≥32，x ＋1>2x －3－2.不等式组①的解集为∅，不等式组②的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，32，不等式组③的解集为⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，6，因此原不等式的解集为(0,6)．4．选 A 由绝对值的几何意义易知：|x ＋3|＋|x －1|的最小值为4，所以不等式|x ＋3|＋|x －1|≥a 2－3a 对任意实数x 恒成立，只需a 2－3a≤4，解得－1≤a≤4.5．选B 当0≤x<1时，不等式|a －2x|>x －1对a ∈R 恒成立；当1≤x≤2时，不等式|a －2x|>x －1，即a －2x<1－x 或a －2x>x －1，x>a －1或3x<1＋a ，由题意得1>a －1或6<1＋a ，a<2或a>5；综上所述，则a 的取值范围为(－∞，2)∪(5，＋∞)．6．解析：由题意可知，－1和2都是|ax ＋2|＝6的根，所以|－a ＋2|＝6且|2a ＋2|＝6，解得a ＝－4. 答案：－47．解析：原不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧x≤－12，－＋＋－，或⎩⎪⎨⎪⎧－12<x≤4，＋＋－，或⎩⎪⎨⎪⎧x>4，＋－－，解得x ∈(－∞，－7)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫53，＋∞.答案：(－∞，－7)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫53，＋∞8．解析：函数f(x)的图象恒在函数g(x)图象的上方，即为|x －2|>－|x ＋3|＋m 对任意实数x 恒成立，即|x －2|＋|x ＋3|>m 恒成立．因为对任意实数x 恒有|x －2|＋|x ＋3|≥|(x－2)－(x ＋3)|＝5，所以m<5，即m 的取值范围是(－∞，5)．答案：(－∞，5)9．解：(1)因为32∈A ，且12∉A ，所以⎪⎪⎪⎪⎪⎪32－2<a ， 且⎪⎪⎪⎪⎪⎪12－2≥a，解得12<a≤32.又因为a ∈N *，所以a ＝1.(2)因为|x ＋1|＋|x －2|≥|(x＋1)－(x －2)|＝3，当且仅当(x ＋1)(x －2)≤0，即－1≤x≤2时取到等号． 所以f(x)的最小值为3.10．解：(1)由f(x)≤3得，|x －a|≤3，解得a －3≤x≤a＋3. 又已知不等式f(x)≤3的解集为{x|－1≤x≤5}，所以⎩⎪⎨⎪⎧a －3＝－1，a ＋3＝5，解得a ＝2.(2)当a ＝2时，f(x)＝|x －2|，设g(x)＝f(x)＋f(x ＋5)， 于是g(x)＝|x －2|＋|x ＋3|＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x －1，x<－3，5，－3≤x≤2，2x ＋1，x>2，所以当x<－3时，g(x)>5；当－3≤x≤2时，g(x)＝5；当x>2时，g(x)>5. 综上可得，g(x)的最小值为5.从而若f(x)＋f(x ＋5)≥m，即g(x)≥m 对一切实数x 恒成立，则m 的取值范围为(－∞，5]． 第Ⅱ组：重点选做题1．解析：由题意知，不等式|x －1|＋|x ＋m|>3恒成立，即函数f(x)＝|x －1|＋|x ＋m|的最小值大于3，根据不等式的性质可得|x －1|＋|x ＋m|≥|(x－1)－(x ＋m)|＝|m ＋1|，故只要满足|m ＋1|>3即可，所以m ＋1>3或m ＋1<－3，解得m 的取值范围是(－∞，－4)∪(2，＋∞)．答案：(－∞，－4)∪(2，＋∞)2．解析：只要函数f(x)＝|x ＋1|－|x －4|的最小值不小于a ＋4a 即可．由于||x ＋1|－|x －4||≤|(x＋1)－(x －4)|＝5，所以－5≤|x＋1|－|x －4|≤5，故只要－5≥a＋4a 即可．当a>0时，将不等式－5≥a＋4a 整理，得a 2＋5a ＋4≤0，无解；当a<0时，将不等式－5≥a＋4a 整理，得a 2＋5a ＋4≥0，则有a≤－4或－1≤a<0.综上可知，实数a 的取值范围是(－∞，－4]∪[－1,0)．答案：(－∞，－4]∪[－1,0)。
高三一轮总复习文科数学课时跟踪检测选修4-4-2参数方程Word版含解析-
[课 时 跟 踪 检 测][基 础 达 标]1．直线⎩⎨⎧x ＝1＋t sin70°，y ＝2＋t cos70°(t 为参数)的倾斜角为( )A ．70°B ．20°C ．160°D ．110°解析：将直线参数方程化为标准形式⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋t cos20°，y ＝2＋t sin20°(t 为参数)，则倾斜角为20°，故选B.答案：B2．若直线的参数方程为⎩⎨⎧x ＝1＋2t ，y ＝2－3t (t 为参数)，则直线的斜率为( )A.23 B ．－23 C.32D ．－32解析：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋2t ，y ＝2－3t ，得3x ＋2y －7＝0，则直线的斜率为－32.答案：D3．下列参数方程与方程y 2＝x 表示同一曲线的是( ) A.⎩⎨⎧x ＝t ，y ＝t 2(t 为参数) B.⎩⎨⎧x ＝sin 2t ，y ＝sin t(t 为参数) C.⎩⎨⎧x ＝t ，y ＝|t | (t 为参数)D.⎩⎨⎧x ＝1－cos2t 1＋cos2t ，y ＝tan t(t 为参数)解析：对于A ，消去t 后所得方程为x 2＝y ，不符合y 2＝x ；对于B ，消去t 后所得方程为y 2＝x ，但要求0≤x ≤1，也不符合y 2＝x ；对于C ，消去t 得方程为y 2＝|x |，且要求y ≥0，x ∈R ，也不符合y 2＝x ；对于D ，x ＝1－cos2t1＋cos2t＝2sin 2t2cos 2t ＝tan 2t ＝y 2，符合y 2＝x .故选D.答案：D4．与参数方程为⎩⎨⎧x ＝t ，y ＝21－t (t 为参数)等价的普通方程为( )A ．x 2＋y 24＝1B ．x 2＋y 24＝1(0≤x ≤1)C ．x 2＋y 24＝1(0≤y ≤2)D ．x 2＋y 24＝1(0≤x ≤1,0≤y ≤2)解析：∵x 2＝t ，y 24＝1－t ＝1－x 2，∴x 2＋y 24＝1，而t ≥0，0≤1－t ≤1，得0≤y ≤2.答案：D5．参数方程⎩⎨⎧x ＝－3＋2cos θ，y ＝4＋2sin θ(θ为参数)表示的曲线上的点到坐标轴的最近距离为( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3＋2cos θ，y ＝4＋2sin θ(θ为参数)表示的曲线的普通方程为(x＋3)2＋(y －4)2＝4，这是圆心为(－3,4)，半径为2的圆，故圆上的点到坐标轴的最近距离为1.答案：A6．(2017届北京朝阳二模)在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝t ，y ＝4＋t(t 为参数)．以原点O 为极点，以x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ＝42·sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4，则直线l 和曲线C 的公共点有( )A ．0个B ．1个C ．2个D ．无数个解析：直线l ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ，y ＝4＋t (t 为参数)化为普通方程得x －y ＋4＝0；曲线C ：ρ＝42sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4化成普通方程得(x －2)2＋(y －2)2＝8，∴圆心C (2,2)到直线l 的距离为d ＝|2－2＋4|2＝22＝r .∴直线l 与圆C 只有一个公共点，故选B.答案：B7．(2015年湖北卷)在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知直线l 的极坐标方程为ρ(sin θ－3cos θ)＝0，曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t －1t ，y ＝t ＋1t(t 为参数)，l 与C 相交于A ，B 两点，则|AB |＝________.解析：因为ρ(sin θ－3cos θ)＝0，所以ρsin θ＝3ρcos θ，所以y ＝3x .由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t －1t ，y ＝t ＋1t消去t 得y 2－x 2＝4.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝3x ，y 2－x 2＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝22，y ＝322或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－22，y ＝－322，不妨令A ⎝ ⎛⎭⎪⎫22，－322，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－22，－322，由两点间的距离公式得|AB |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫22＋222＋⎝ ⎛⎭⎪⎫322＋3222＝2 5.答案：2 58．(2017届人大附中模拟)已知直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2－t ，y ＝1＋3t (t 为参数)，圆C 的极坐标方程为ρ＋2sin θ＝0，若在圆C 上存在一点P ，使得点P 到直线l 的距离最小，则点P 的直角坐标为________．解析：由已知得直线l 的普通方程为y ＝－3x ＋1＋23，圆C 的直角坐标方程为x 2＋(y ＋1)2＝1，在圆C 上任取一点P (cos α，－1＋sin α)(α∈[0,2π))，则点P 到直线l 的距离为d ＝|3cos α＋sin α－2－23|1＋3＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3－2－232＝2＋23－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π32.∴当α＝π6时，d min ＝3，此时P ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，－12答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫32，－129．(2017届贵州适应性考试)在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，半圆C 的极坐标方程为ρ＝4cos θ，θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2.(1)求C 的参数方程；(2)若半圆C 与圆D ：(x －5)2＋(y －3)2＝m (m 是常数，m >0)相切，试求切点的直角坐标．解：(1)C 的普通方程为(x －2)2＋y 2＝4(0≤y ≤2)，则C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2＋2cos t ，y ＝2sin t(t 为参数，0≤t ≤π)． (2)C ，D 的圆心坐标分别为(2,0)，(5，3)， 于是直线CD 的斜率k ＝3－05－2＝33.由于切点必在两个圆心的连线上， 故切点对应的参数t 满足tan t ＝33，t ＝π6， 所以，切点的直角坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋2cos π6，2sin π6，即(2＋3，1)．10．(2017届湖北八校联考)已知曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝6cos θ，y ＝4sin θ(θ为参数)，在同一平面直角坐标系中，将曲线C 上的点按坐标变换⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝13x ，y ′＝14y 得到曲线C ′.(1)求曲线C ′的普通方程；(2)若点A 在曲线C ′上，点D (1,3)．当点A 在曲线C ′上运动时，求AD 中点P 的轨迹方程．解：(1)将⎩⎨⎧x ＝6cos θ，y ＝4sin θ代入⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝13x ，y ′＝14y ，得曲线C ′的参数方程为⎩⎨⎧x ′＝2cos θ，y ′＝sin θ，∴曲线C ′的普通方程为x 24＋y 2＝1. (2)设点P (x ，y )，A (x 0，y 0)，又D (1,3)，且AD 的中点为P ，∴⎩⎨⎧x 0＝2x －1，y 0＝2y －3.又点A 在曲线C ′上，∴代入C ′的普通方程x 24＋y 2＝1，得(2x －1)2＋4(2y －3)2＝4，∴动点P 的轨迹方程为(2x －1)2＋4(2y －3)2＝4.[能 力 提 升]1．(2018届湖南长沙质检)在平面直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 1的极坐标方程为ρ2－4ρcos θ＋3＝0，θ∈[0,2π)．(1)求C 1的直角坐标方程；(2)曲线C 2的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t cos π6，y ＝t sin π6(t 为参数)．求C 1与C 2的公共点的极坐标．解：(1)将⎩⎨⎧ρ2＝x 2＋y 2，ρcos θ＝x代入ρ2－4ρcos θ＋3＝0，得(x －2)2＋y 2 ＝1.(2)由题设可知，C 2是过坐标原点，倾斜角为π6的直线， 因此C 2的极坐标方程为θ＝π6或θ＝7π6，(ρ>0)， 将θ＝π6代入C 1得ρ2－23ρ＋3＝0，解得ρ＝3；将θ＝7π6代入C 1得ρ2＋23ρ＋3＝0，解得ρ＝－3，不合题意． 故C 1与C 2的公共点的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫3，π6.2．(2017届湖南长沙质检)在直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝3＋2cos θ，y ＝－4＋2sin θ(θ为参数)． (1)以原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求圆C 的极坐标方程； (2)已知A (－2,0)，B (0,2)，圆C 上任意一点M (x ，y )，求△ABM 面积的最大值．解：(1)圆C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝3＋2cos θ，y ＝－4＋2sin θ(θ为参数)，所以普通方程为(x －3)2＋(y ＋4)2＝4.由x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，可得(ρcos θ－3)2＋(ρsin θ＋4)2 ＝4， 化简可得圆C 的极坐标方程为ρ2－6ρcos θ＋8ρsin θ＋21＝0.(2)点M (x ，y )到直线AB ：x －y ＋2＝0的距离为d ＝|x －y ＋2|2＝|2cos θ－2sin θ＋9|2，△ABM 的面积S ＝12×|AB |×d ＝|2cos θ－2sin θ＋9|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪22sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－θ＋9，所以△ABM 面积的最大值为9＋2 2.3．在直角坐标系xOy ，直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝t －1，y ＝t ＋2(t 为参数)．在以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 的极坐标方程为ρ＝31＋2cos 2θ.(1)直接写出直线l 的普通方程、曲线C 的直角坐标方程； (2)设曲线C 上的点到直线l 的距离为d ，求d 的取值范围． 解：(1)直线l 的普通方程为x －y ＋3＝0. 曲线C 的直角坐标方程为3x 2＋y 2＝3.(2)∵曲线C 的直角坐标方程为3x 2＋y 2＝3，即x 2＋y 23＝1，∴曲线C 上的任一点的坐标可表示为(cos α，3sin α)． ∴d ＝|cos α－3sin α＋3|2＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＋32＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＋32. ∴d 的最小值为12＝22，d 的最大值为52＝522.∴22≤d ≤522，即d 的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤22，522. 4．(2018届河南六市一联)在平面直角坐标系中，直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝1＋t ，y ＝t －3(t 为参数)，在以直角坐标系的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 的极坐标方程为ρ＝2cos θsin 2θ.(1)求曲线C 的直角坐标方程和直线l 的普通方程；(2)若直线l 与曲线C 相交于A ，B 两点，求△AOB 的面积．解：(1)由曲线C 的极坐标方程ρ＝2cos θsin 2θ，得ρ2sin 2θ＝2ρcos θ，所以曲线C 的直角坐标方程是y 2＝2x .由直线l 的参数方程⎩⎨⎧x ＝1＋t ，y ＝t －3得t ＝3＋y ，代入x ＝1＋t 中，消去t 得x－y －4＝0，所以直线l 的普通方程为x －y －4＝0.(2)将直线l 的参数方程代入曲线C 的直角坐标方程y 2＝2x ，得t 2－8t ＋7＝0， 设A ，B 两点对应的参数分别为t 1，t 2， 则t 1＋t 2＝8，t 1t 2＝7，所以|AB |＝2|t 1－t 2|＝2×(t 1＋t 2)2－4t 1t 2＝6 2. 且原点到直线AB 的距离d ＝|－4|2＝22， ∴S △AOB ＝12×|AB |×d ＝12×62×22＝12.。
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[课时跟踪检测]
[基础达标]
1．(2017届浙江模拟)不等式|2x－1|≤5的解集为()
A．(－∞，－2] B．(2,3]
C．[3，＋∞) D．[－2,3]
解析：不等式|2x－1|≤5，即－5≤2x－1<5，求得－2≤x≤3，故选D.
答案：D
2．(2018届淄博模拟)函数f(x)＝|x＋2 017|－|x－2 016|的最大值为() A．－1 B．1
C．4 033 D．－4 033
解析：∵f(x)＝|x＋2 017|－|x－2 016|≤|x＋2 017－x＋2 016|＝4 033，∴函数f(x)＝|x＋2 017|－|x－2 016|的最大值为4 033，故选C.
答案：C
3．(2018届河西区模拟)若存在实数x，使|x－a|＋|x－1|≤3成立，则实数a 的取值范围是()
A．[－2,1] B．[－2,2]
C. [－2,3]
D. [－2,4]
解析：由|x－a|＋|x－1|≥|(x－a)－(x－1)|＝|a－1|，不等式|x－a|＋|x－1|≤3有解，可得|a－1|≤3，即－3≤a－1≤3，求得－2≤a≤4，故选D.
答案：D
4．(2018届和平区模拟)若不等式|x－1|＋|x＋m|≤4的解集非空，则实数m 的取值范围是()
A．[－5，－3] B．[－3,5]
C．[－5,3] D．[3,5]
解析：∵不等式|x－1|＋|x＋m|≤4的解集非空，|x－1|＋|x＋m|≥|1＋m|，
∴|1＋m|≤4，∴－4≤m＋1≤4，解得－5≤m≤3，故选C.
答案：C
5．(2017届河西区三模)若关于x 的不等式|ax －2|<3
的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭
⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ －53<x <13，则a ＝( )
A ．－2
B ．2
C ．3
D ．－3 解析：由|ax －2|<3，得－3<ax －2<3，故－1<ax <5，
由于不等式的解集是⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ －53<x <13，故a ＝－3，故选D.
答案：D
6．(2017届赣州期末)若函数f (x )＝|x ＋1|＋|x ＋a |的最小值为3，则实数a 的值为( )
A ．4
B ．2
C ．2或－4
D ．4或－2
解析：∵函数f (x )＝|x ＋1|＋|x ＋a |≥|(x ＋1)－(x ＋a )|＝|a －1|的最小值为3，∴|a －1|＝3，解得a ＝4或a ＝－2，故选D.
答案：D
7．(2017届滨州一模)不等式|x ＋1|－|x －2|>1的解集为________．
解析：①当x >2时，不等式|x ＋1|－|x －2|>1可化为x ＋1－x ＋2>1，恒成立； ②当－1≤x ≤2时，原不等式可化为x ＋1＋x －2>1，
解得x >1，∴1<x ≤2；
③当x <－1时，原不等式可化为－x －1＋x －2>1，无解．
综上可知原不等式的解集为(1，＋∞)．
答案：(1，＋∞)
8．(2017届德州二模)关于x 的不等式|x －2|＋|x －8|≥a 在R 上恒成立，则a 的最大值为________．
解析：由绝对值的性质得f (x )＝|x －2|＋|x －8|≥|(x －2)－(x －8)|＝6，所以f (x )最小值为6，从而6≥a ，解得a ≤6，因此a 的最大值为6.
答案：6
9．(2017届乐山一摸)已知函数f (x )＝|2x －1|－|x ＋2|.
(1)求不等式f (x )>0的解集；
(2)若存在x 0∈R ，使得f (x 0)＋2a 2<4a ，求实数a 的取值范围． 解：(1)函数f (x )＝|2x －1|－|x ＋2|＝
⎩⎪⎨⎪⎧ －x ＋3，x <－2，－3x －1，－2≤x ≤12，x －3，x >12
，令f (x )＝0，解得x ＝－13或x ＝3. ∴f (x )>0的解集为⎩⎨⎧⎭
⎬⎫xx <－13，或x >3. (2)若存在x 0∈R ，使得f (x 0)＋2a 2<4a ，即f (x 0)<4a －2a 2有解，
由(1)可得f (x )的最小值为f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫12＝－3×12－1＝－52，故－52<4a －2a 2，解得－12<a <52.
10．(2017届西安一模)已知函数f (x )＝|2x －1|，x ∈R .
(1)解不等式f (x )<x ＋1；
(2)若对于x ，y ∈R ，有|x －y －1|≤13，|2y ＋1|≤16，求证：f (x )<1.
解：(1)不等式f (x )<x ＋1，等价于|2x －1|<x ＋1，即－x －1<2x －1<x ＋1， 解得0<x <2，故不等式f (x )<x ＋1的解集为(0,2)．
(2)∵|x －y －1|≤13，|2y ＋1|≤16，
∴f (x )＝|2x －1|＝|2(x －y －1)＋(2y ＋1)|≤|2(x －y －1)|＋|(2y ＋1)|≤2×13＋16<1.
[能 力 提 升]
1．已知|2x －3|≤1的解集为[m ，n ]．
(1)求m ＋n 的值；
(2)若|x －a |<m ，求证：|x |<|a |＋1.
解：(1)不等式|2x －3|≤1可化为－1≤2x －3≤1，
解得1≤x ≤2，所以m ＝1，n ＝2，m ＋n ＝3.
(2)证明：若|x －a |<1，则|x |＝|x －a ＋a |≤|x －a |＋|a |<|a |＋1.即|x |<|a |＋1.
2．(2017届合肥质检)已知函数f (x )＝|x －4|＋|x －a |(a ∈R )的最小值为a .
(1)求实数a 的值；
(2)解不等式f (x )≤5.
解：(1)f (x )＝|x －4|＋|x －a |≥|a －4|＝a ，
从而解得a ＝
2.
(2)由(1)知，f (x )＝|x －4|＋|x －2|＝⎩⎨⎧ －2x ＋6，x ≤2，
2，2<x ≤4.
2x －6，x >4.
当x ≤2时，令－2x ＋6≤5，得12≤x ≤2；
当2<x ≤4时，显然不等式成立，
当x >4时，令2x －6≤5，得 4<x ≤112.
故不等式f (x )≤5的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭
⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ 12≤x ≤112. 3．(2017届西安质检)设函数f (x )＝⎪⎪⎪⎪
⎪⎪x －52＋|x －a |，a ∈R . (1)求证：当a ＝－12时，不等式ln f (x )>1成立；
(2)关于x 的不等式f (x )≥a 在R 上恒成立，求实数a 的最大值．
解：(1)证明：由f (x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －52＋⎪⎪⎪⎪
⎪⎪x ＋12＝ ⎩⎪⎨⎪⎧ －2x ＋2，x <－12，3，－12≤x ≤52，
2x －2，x >52，
画出草图，分析可得函数f (x )的最小值为3，从而
f (x )≥3>e ，
所以ln f (x )>1成立．
(2)由绝对值不等式的性质得f (x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －52＋|x －a |≥⎪⎪⎪⎪
⎪⎪⎝ ⎛⎭⎪⎫x －52－(x －a )＝⎪⎪⎪⎪
⎪⎪a －52， 所以f (x )的最小值为⎪⎪⎪⎪
⎪⎪52－a ， 从而⎪⎪⎪⎪
⎪⎪52－a ≥a ，解得a ≤54. 因此a 的最大值为54.
4．(2018届铁东区模拟)已知函数f (x )＝|2x ＋1|－|x －1|.
(1)求不等式f (x )<2的解集；
(2)若关于x 的不等式f (x )≤a －a 22有解，求a 的取值范围． 解：(1)函数f (x )＝|2x ＋1|－|x －1|＝
⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋2，x ≥1，3x ，－12<x <1，－x －2，x ≤－12.
当x ≥1时，不等式化为x ＋2<2，解得x <0，可得x ∈∅；
当－12<x <1时，不等式化为3x <2，解得x <23，可得－12<x <23；
当x ≤－12时，不等式化为－x －2<2，解得x >－4，可得－4<x ≤－12；
综上可得，原不等式的解集为⎝ ⎛⎭
⎪⎫－4，23. (2)关于x 的不等式f (x )≤a －a 22有解，即为f (x )min ≤a －a 22，
由x ≥1时，x ＋2≥3，－12<x <1时，－32<3x <3，
x ≤12时，－x －2≥－32，可得f (x )min ＝－32.
即有a －a 22≥－32，解得－1≤a ≤3，
所以a的取值范围为[－1,3]．。