第二章 晶体结构2.3

2.3 群和群表示 1 群论基础 群的定义凡是满足下面几个条件的元素结合或操作集合均称为群，常用G 表示。

如果12,,A A ⋅⋅⋅等表示群G 中所包含的元素或操作，即, 1,2,i A G i ∈=⋅⋅⋅，或集合{}i A 必须满足下述条件：(1) 群中任何一对操作或元素i A 与j A 的乘积k A 是唯一的和单值的，k A 仍是集合中的一个操作或元素，, i j k A A A i j i j ==≠或 。

(2.3.1)(2) 群中的元素集合一定要包含不变元素 (或操作)，常以E 表示，E G ∈，E 具有下列特性：i i i EA A E A ==， (2.3.2)其中i A G ∈是群G 中的任何一个元素。

(3) 任何三个元素 (或操作) 的乘积满足组合定则()()ijki j k A A AA A A = (2.3.3)(4) 如果群中包含元素i A ，也一定包含i A 的逆元素1i A -，11i i i i A A A A E --==。

(2.3.4)条件 (1) 所得的乘积k A 与i A 及j A 的次序有关，i j k A A A =意味着j A ，i A 依次作用的结果与k A 作用结果相同，如果i j j i A A A A =，则元素i A 与j A 是对易的。

在一般情况下，群中的任何两个元素i A 与j A 不一定对易。

如果群G 的元素 (或操作) 的个数是有限的，这个群称为有限群。

有限群的基本性质(1) 群阶 有限群中各不相同元素的数目称为群阶，用g 表示。

(2) 乘积表 常用乘积表来记述群中所有元素 (或操作) 之间的乘积，表2.3.1给出了一个六阶群的乘积表。

可以看出，表中的每一行及每一列中，各元素只出现一次。

(3) 元素的阶 如果i A G ∈，则满足i A E α=的最小正整数α称为元素i A 的阶。

在表2.3.1所示的六阶群中，由于222123A A A E ===，所以，123,,A A A 都是二阶的元素；3345A A E ==，45,A A 都是三阶的元素。

(4) 共轭元素 如果,,i j A A X 都是群G 的元素，则i A G ∈，j A G ∈，X G ∈，如果1i j XA X A -=，则元素iA 称为j A 的共轭元素。

共轭的元素有相同的阶。

(4) 类 群中彼此共轭的元素组成类。

仍以表2.4.1所示的六阶群为例，根据乘积表，可得到下面的结果：111144, EA E A EA E A --==1111111415, A A A A A A A A --==1121232425, A A A A A A A A --==1131323435, A A A A A A A A --==1141424444, A A A A A A A A --==1151535454, A A A A A A A A --==因此，在这个六阶群中，123,,A A A 组成一类，45,A A 组成另一类，不变元素E 则自成一类，可表示成{}{}12123345, ,,, ,C E C A A A C A A === (2.3.5)同类的元素有相同的阶。

如果在群G 的元素集合中能找到某一部分元素，则称为子集合H ，用符号H G ⊂来表示，而且子集合H 的元素组成群，则H 称为G 的子群。

如果子集合H 是G 的子群，H 的元素只有满足下面的两个条件：(1) H 中的任何两个元素的乘积仍在H 之中； (2) H 中的每一个元素的逆元素仍在H 之中。

以表2.4.1的六阶群为例，子集合{}{}{}123,,,E A E A E A 、、及{}45,,E A A 都是G 的子群。

可以按照类的定义将子群的元素分类，容易证明子群{}45,,E A A 中的三个元素各成一类，而在群G 中{}45,A A 是同类的，由此可知在群G 中同属一类的元素，在子群H 中不一定再属同一类。

陪集设子群H G ⊂，H 的元素集合是{}12,,,E B B ⋅⋅⋅如有N G ∈，但不在H 中，则集合{}12,,,NE NB NB ⋅⋅⋅称为元素N 所产生的子群H 的左陪集，而集合{}12,,,EN B N B N ⋅⋅⋅称为元素N 所产生的子群H 的右陪集。

内积陪集中的元素互不相同，也不同于子群的元素；同一个子群的两个右陪集 (或左陪集) 的元素完全相同，或完全不同；子群H 的阶h 是群G 阶g 的因子，整数l g h =称为子群的指数。

如果群G 中有两组元素集合{},,X Y ⋅⋅⋅，{}',',X Y ⋅⋅⋅{}{}{},,',',',',',',X Y X Y XX XY YX YY ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅⋅⋅ (2.3.6)称为两个集合的内积 (又名正常乘积)。

在上式右方的集合中只取不同的元素。

表2.4.1的六阶群中{}12,A A 和{}35,A A 的内积为{}{}{}12355341,,,,,A A A A A A A A ⋅=。

共轭子群设子群1H G ⊂，{}112,,H E B B =。

如X G ∈，取121H XH X -=，即元素集合{}11112,,XEX XB X XB X ---，那么2H 也是G 的子群，并称之为G 中1H 的共轭子群。

表2.4.1的六阶群中子群{}11,E A H =和子群{}22,E A H =是共轭子群。

不变子群如果对于所有在G 中的元素X ，元素集合1XHX -与H 相同，则H 称为不变子群，又名自轭子群或正则子群。

可以证明表2.4.1的六阶群的子群{}45,,E A A 即不变子群。

不变子群的左陪集与右陪集相等，如表 2.4.1的六阶群中不变子群{}45,,E A A 的右陪集{}{}14151132,,,,EA A A A A A A A =和左陪集{}{}11415123,,,,A E A A A A A A A =是完全相同的；不变子群的两个左陪集的内乘积也是一个左陪集；不变子群与其任何陪集的内乘积仍是该陪集本身。

商群如将不变子群N H 及其所有不同的陪集12,N N H X H X ⋅⋅⋅等都看作元素，则这些元素也构成群，而元素之间的乘积则相应地为陪集之间的内乘积。

这一元素集合{}1,,N N H H X ⋅⋅⋅称为商群。

由于1N N N lG H H X H X =++⋅⋅⋅+，故常以N G H 表示商群。

在表2.3.1的六阶群的情况下，{}45,,N H E A A =为不变子群，取1X A =，{}1123,,N N H A A A A C =≡，NH 和N C 就是商群的元素，N N G H C =+。

此商群的乘积表为商群具有下列性质：(1) 商群的不变元素即不变子群；(2) 如商群中有N H U ，也必有1N H U -，上例中1111, N N A A H U H U --==； (3) 商群的阶等于不变子群的指数；(4) 商群的元素包含不变子群及其所有的不同陪集。

如有G 和'G 两个群，二者的元素集合分别为{}121,,,,g G E A A A -=⋅⋅⋅{}121',',',,'g G E A A A -=⋅⋅⋅二者的阶相同，而且在乘积表中元素之间保持一一对应关系，例如在G 中有i j k A A A =，则在'G 中有'''i j k A A A =。

具有以上性质的两个群是同构群。

同态群如果群G 的阶g 不等于群'G 的阶'g ，设'g g <且群G 中的某个元素和群'G 中的几个元素相对应，则称群G 和'G 为同态群。

核群'G 中与G 的不变元素对应的元素集合是'G 的不变子群，又称为'G 同态于G 的核。

常用K 表示。

商群'G K 与G 同构。

2 群的矩阵表示如果有一些n 维的方矩阵12,,,g D D D ⋅⋅⋅，其中包括单位矩阵1D ，1D I =，则()1ij ij ij D I δ==。

某个矩阵的行列式0k D ≠，矩阵之间彼此的乘积关系与群G 的元素23,,,E A A ⋅⋅⋅等一一对应，这样的一组矩阵称为矩阵群，这个矩阵群与群G 同构。

群G 中的不变元素和矩阵中的单位矩阵相对应，与逆元素相对应的矩阵就是与该元素相对应的矩阵的逆矩阵。

既然这个矩阵群与群G 同构，就可以代表群G 的性质，该矩阵群就是群G 的矩阵表示，或简称为群G 的表示。

么正矩阵群如果1,DD D D *++-≡= ，则根据矩阵的性质，这样的矩阵称为么正矩阵。

如果矩阵群中的每一个矩阵都是么正矩阵，则它们组成的群称为么正矩阵群。

么正表示定理 (Maschke 定理) 任何有限群G 的任何一类等价非么正表示，都可以通过相似变换变到么正表示。

即即表示矩阵为么正矩阵。

可约表示和不可约表示一个群表示矩阵的维数等于所选的表示空间的维数。

对于二维以上的表示矩阵，有可能找到一个么正矩阵，将其化成分块对角矩阵，从而得到一些维数较低的表示矩阵，这就是将一个高维矩阵进行约化。

若一个群{},,,,G E A B C =⋅⋅⋅，有一个维数为n 的矩阵表示()()()(){},,,,D D E D A D B D C =⋅⋅⋅。

对每一个群元来说，若能找到同一个么正矩阵，对D 作相似变换，将D 化成分块对角型矩阵，则表示是可约的；若被约化后的对应的小方块中维数较低的矩阵，不能再找到一个统一的么正矩阵进一步分块对角化，则说此表示完全被约化。

完全约化后的分块矩阵，可能有一些是相同的或等价的，都视作相同的分块矩阵。

我们称那些不能再约化且不相同的表示为不等价不可约表示。

表示矩阵的约化可用矩阵或公式形式表示为()()()()()()()()12,s D A D A D A D B D A ⎛⎫ ⎪ ⎪==⋅⋅⋅ ⎪ ⎪⎪⎝⎭ (2.3.7)或 ()()()()1212i i 1i ss s D a D a D a D a D ==⊕⊕⋅⋅⋅⊕=∑ (2.3.8)式中()()()()()()()i i i i ,,,D DE D B D C =⋅⋅⋅。

i a 是()i D和等价于()iD 的小方块矩阵出现的次数。

于是D 被分解成各个不可约表示的直和。

符号⊕表示直和。

若有阶数为m 的方矩阵ij A A ⎡⎤=⎣⎦和阶数为n 的方矩阵ij B B ⎡⎤=⎣⎦，则它们的直和是阶数为m n +的方矩阵。

11111111210000m m mm n n nn A A A A A C A B B B B B B ⋅⋅⋅⎛⎫ ⎪⋅⋅⋅ ⎪ ⎪⋅⋅⋅⎡⎤=⊕== ⎪⎢⎥⋅⋅⋅⎣⎦ ⎪⎪⋅⋅⋅ ⎪ ⎪⋅⋅⋅⎝⎭ (2.3.9) 这里，10和20分别是m n ⨯阶和n m ⨯阶零矩阵。