(完整word)高中数学平面向量知识点总结及常见题型,推荐文档
高中数学平面向量知识点归纳总结
高中数学平面向量知识点归纳总结
1. 平面向量的定义
平面向量是具有大小和方向的有序数对，可以用箭头表示。
常
用字母表示向量，如a、b等。
向量的大小可以用模表示，记作|a|。
2. 平面向量的运算
2.1 向量的加法
向量的加法是指将两个向量按照相同的方向连接起来，得到一
个新的向量。
加法满足交换律和结合律。
2.2 向量的减法
向量的减法是指将两个向量相加的相反向量相加，得到一个新
的向量。
2.3 向量的数量积
向量的数量积（点积）是指两个向量相乘后的数量，用点表示，记作a · b。
数量积满足交换律和分配律。
2.4 向量的向量积
向量的向量积（叉积）是指两个向量相乘后的向量，用叉表示，记作a × b。
3. 平面向量的性质
3.1 平行向量
如果两个向量的方向相同或相反，则它们是平行向量。
平行向
量的数量积等于两个向量的模的乘积。
3.2 垂直向量
如果两个向量的数量积为0，则它们是垂直向量。
垂直向量的
点积为0。
3.3 向量的模
向量的模表示向量的大小，可以使用勾股定理求解。
4. 平面向量的应用
平面向量在几何中有广泛的应用，可以用来表示平移、旋转和
线段的位置关系等。
在物理学中，平面向量可以用来表示力的大小
和方向。
以上是关于高中数学平面向量的基本知识点归纳总结。
希望能够对你的学习和理解有所帮助！。
高考平面向量知识点总结
高考平面向量知识点总结高考平面向量的知识点总结如下：1. 平面向量的定义：平面上的向量是有大小和方向的有向线段，可以用有向线段的终点与起点之间的位移来表示。
2. 平面向量的表示：平面向量可以用坐标表示，形如AB→=(x2-x1, y2-y1)。
3. 平面向量的基本运算：a) 向量的加法：将两个向量的相应分量相加，得到一个新的向量。
b) 向量的减法：将两个向量的相应分量相减，得到一个新的向量。
c) 向量的数乘：将向量的每一个分量都乘以一个标量，得到一个新的向量。
d) 向量的数量积：将两个向量的相应分量相乘，再将这些乘积相加，得到一个标量。
e) 向量的模长：向量的模长等于对应坐标差的平方和的平方根。
4. 平面向量的运算规律：a) 加法的交换律：A+B=B+Ab) 加法的结合律：(A+B)+C = A+(B+C)c) 数乘的结合律：k(A+B) = kA+kBd) 数乘的分配律：(k+l)A = kA + lA5. 平面向量共线与平行：若向量a与向量b线性相关，则称向量a 与向量b共线；若向量a与向量b既共线又同向或反向，则称向量a与向量b平行。
6. 平面向量的数量积与夹角关系：a) 两个向量共线时，它们的数量积等于它们的模长的乘积。
b) 两个向量平行时，它们的数量积等于它们的模长的乘积乘以它们的夹角余弦值。
7. 平面向量的坐标表示与几何应用：a) 两个向量的坐标之间的关系：可以根据向量与坐标之间的关系，求解所有给出的向量的坐标。
b) 利用向量的坐标表示进行运算：可以通过向量的坐标表示来进行向量的加法、减法、数量积等运算。
c) 利用向量的几何应用：可以用向量的几何性质解决平面几何问题，如求线段的垂直平分线等。
这些是高考平面向量的基本知识点，掌握了这些知识点可以帮助理解和解决与平面向量相关的问题。
高中平面向量知识点详细归纳总结(附带练习)
向量的概念一、高考要求：理解有向线段及向量的有关概念,掌握求向量和与差的三角形法则和平行四边形法则,掌握向量加法的交换律和结合律.二、知识要点：1. 有向线段:具有方向的线段叫做有向线段,在有向线段的终点处画上箭头表示它的方向.以A 为始点,B 为终点的有向线段记作AB ,注意:始点一定要写在前面,已知AB ,线段AB 的长度叫做有向线段AB 的长(或模),AB 的长度记作AB ||.有向线段包含三个要素:始点、方向和长度.2. 向量:具有大小和方向的量叫做向量,只有大小和方向的向量叫做自由向量.在本章中说到向量,如不特别说明,指的都是自由向量.一个向量可用有向线段来表示,有向线段的长度表示向量的大小,有向线段的方向表示向量的方向.用有向线段AB 表示向量时,我们就说向量AB .另外,在印刷时常用黑体小写字母a 、b 、c 、…等表示向量;手写时可写作带箭头的小写字母a 、b 、c 、…等.与向量有关的概念有:(1) 相等向量:同向且等长的有向线段表示同一向量或相等的向量.向量a 和b 同向且等长,即a 和b 相等,记作a =b .(2) 零向量:长度等于零的向量叫做零向量,记作0.零向量的方向不确定.(3) 位置向量:任给一定点O 和向量a ,过点O 作有向线段OA a =,则点A 相对于点O 的位置被向量a 所唯一确定,这时向量a 又常叫做点A 相对于点O 的位置向量.(4) 相反向量:与向量a 等长且方向相反的向量叫做向量a 的相反向量,记作a -.显然,()0a a +-=.(5) 单位向量:长度等于1的向量,叫做单位向量,记作e .与向量a 同方向的单位向量通常记作0a ,容易看出:0a a a =│ │. (6) 共线向量(平行向量):如果表示一些向量的有向线段所在的直线互相平行或重合,即这些向量的方向相同或相反,则称这些向量为共线向量(或平行向量).向量a 平行于向量b ,记作a ∥b .零向量与任一个向量共线(平行).三、典型例题：例:在四边形ABCD 中,如果AB DC =且AB BC =│ │ │ │ ,那么四边形ABCD 是哪种四边形? 四、归纳小结：1. 用位置向量可确定一点相对于另一点的位置,这是用向量研究几何的依据.2. 共线向量(平行向量)可能有下列情况: (1)有一个为零向量;(2)两个都为零向量;(3)方向相同,模相等(即相等向量);(4)方向相同,模不等;(5)方向相反,模相等;(6)方向相反,模不等.五、基础知识训练：（一）选择题：1. 下列命题中: (1)向量只含有大小和方向两个要素. (2)只有大小和方向而无特定的位置的向量叫自由向量. (3)同向且等长的有向线段表示同一向量或相等的向量. (4)点A 相对于点B 的位置向量是BA . 正确的个数是( )A.1个B.2个C.3个D.4个2. 设O 是正△ABC 的中心,则向量,,AO OB OC 是( )A.有相同起点的向量B.平行向量C.模相等的向量D.相等向量3. a b =的充要条件是( )A.a b =│ │ │ │ B.a b =│ │ │ │ 且a b ∥ []l C.a b ∥ D.a b =│ │ │ │ 且a 与b 同向 4. AA BB ''=是四边形ABB A ''是平行四边形的( )A.充分条件B.必要条件C.充要条件D.既非充分又非必要条件5. 依据下列条件,能判断四边形ABCD 是菱形的是( )A.AD BC =B.AD BC ∥且AB CD ∥C.AB DC =且AB AD =│ │ │ │ D.AB DC =且AD BC = 6. 下列关于零向量的说法中,错误的是( )A.零向量没有方向B.零向量的长度为0C.零向量与任一向量平行D.零向量的方向任意7. 设与已知向量a 等长且方向相反的向量为b ,则它们的和向量a b +等于( )A.0B.0C.2aD.2b（二）填空题：8. 下列说法中: (1)AB 与BA 的长度相等 (2)长度不等且方向相反的两个向量不一定共线 (3)两个有共同起点且相等的向量,终点必相同(4)长度相等的两个向量必共线。
高中数学平面向量知识点总结
高中数学平面向量知识点总结一、平面向量的基本概念1. 定义：平面向量是有大小和方向的量，可以用有序实数对表示。
2. 表示法：通常用小写字母加箭头表示，如 $\vec{a}$。
3. 相等：两个向量大小相等且方向相同时，这两个向量相等。
4. 零向量：大小为零的向量，没有特定方向。
二、平面向量的运算1. 加法：- 规则：平行四边形法则或三角形法则。
- 交换律：$\vec{a} + \vec{b} = \vec{b} + \vec{a}$。
- 结合律：$(\vec{a} + \vec{b}) + \vec{c} = \vec{a} + (\vec{b} + \vec{c})$。
2. 减法：- 规则：与加法类似，但方向相反。
- 逆向量：$\vec{a} - \vec{a} = \vec{0}$。
3. 数乘：- 定义：向量与实数相乘。
- 规则：$k\vec{a} = \vec{a}$ 的长度变为 $|k|$ 倍，方向与$k$ 的符号一致。
- 分配律：$(k + l)\vec{a} = k\vec{a} + l\vec{a}$。
- 结合律：$k(\vec{a} + \vec{b}) = k\vec{a} + k\vec{b}$。
三、平面向量的坐标表示1. 坐标表示：$\vec{a} = (x, y)$，其中 $x$ 和 $y$ 是向量在坐标轴上的分量。
2. 几何意义：$x$ 分量表示向量在 $x$ 轴上的长度，$y$ 分量表示向量在 $y$ 轴上的长度。
3. 坐标运算：- 加法：$(x_1, y_1) + (x_2, y_2) = (x_1 + x_2, y_1 + y_2)$。
- 减法：$(x_1, y_1) - (x_2, y_2) = (x_1 - x_2, y_1 - y_2)$。
- 数乘：$k(x, y) = (kx, ky)$。
四、平面向量的模与单位向量1. 模（长度）：- 定义：向量从原点到其终点的距离。
(完整版)高三一轮复习平面向量知识点整理,推荐文档
（答： 2 2 ）；
（3）已知作用在点
A(1,1)
的三个力
F1
(3, 4), F2
(2, 5), F3
(3,1)
，则合力
F F1 F2 F3 的终点坐标是
（答：（9,1））
4⑴、实向数量数与乘向运量算a：的积是一个向量的运算叫做向量的数乘，记作 a ．
①
a
a
；
②当
0
时，
a
的方向与
（答：2）；
（2）已知 a (1,1),b (4, x) ， u a 2b ， v 2a b ，且 u // v ，则 x＝______
6、向量垂直： a b a b 0 | a b || a b | x1x2 y1 y2 0 .
（答：4）；
【例题】(1)已知 OA (1, 2),OB (3, m) ，若 OA OB ，则 m
1、已知向量 a = 2，4，，b = 11 ．若向量 b (a + b) ，则实数 的值是
．
2、若向量
a，b
的夹角为
60
，
a
b
1，则 aA a b
．
3、在平面直角坐标系中，正方形 OABC 的对角线 OB 的两端点分别为 O(0，0) ， B(1，1) ，
则 ABAAC
．
三、解答题：
1、已知 ΔABC 三个顶点的直角坐标分别为 A(3，4)、B(0，0)、C( c ，0)．
(1)若 ABAAC 0 ，求 c 的值；
(2)若 c 5 ，求 sin∠A 的值
2、在 △ABC 中，角 A，B， C 的对边分别为 a，b，，c tan C 3 7 ．
（1）求 cos C ；
(完整版)高中平面向量知识点总结.doc
r
uuur
r
uuur
r
,则∠AOB=
（0
0
180
0
）叫做向
29、已知两个非零向量a与b，作OA=a,
OB=b
r
r
量a与b的夹角
rr
r
?
r
x x
y y
b
2
2
cos =cos a,b
a
=
1
1
r
r
2
2
x2
22
（可用此公式求两向量夹角）
a ? b
x1
y1
y2
当x1x2
y1y2< 0，?（
??
2
，π];
当x1x2
则把有序数对（x，y）叫做向量a的坐标。
（2）坐标表示
在向量a的直角坐标中，x叫做a在x轴上的坐标，y叫做a在y轴上的坐标，a=（x，y）
叫做向量的坐标表示。
（3）在向量的直角坐标中，
i=（1,0）j=（0,1）
0=（0,0）
r
r
x2, y2
20、若a
x1, y1,b
和实数 λ
rr
x2, y1
y2
（1）a bx1
L1：A1x+B1y+C1=0
与直线L2：A2x+B2y+C2=0
的夹角，则只要求与两直线平
行的向量的夹角， 再取这两个向量的夹角或补角，
即与直线L1
、
2
分别平行的向量
1
，
L
m=（A
??·??
??·??+??·??
1
2
2
=︱??︱·︱??︱
(word完整版)平面向量知识点及方法总结总结,推荐文档
平面向量知识点小结及常用解题方法一、平面向量两个定理1.平面向量的基本定理2.共线向量定理。
二、平面向量的数量积1.向量b r 在向量a r上的投影：||cos b θr ，它是一个实数，但不一定大于0.2.a b ⋅r r 的几何意义：数量积a b ⋅r r 等于a r 的模||a r 与b r 在a r上的投影的积.三坐标运算：设11(,)a x y =r，22(,)b x y =r ，则（1）向量的加减法运算：1212(,)a b x x y y +=++r r ，1212(,)a b x x y y -=--rr .（2）实数与向量的积：1111(,)(,)a x y x y λλλλ==r.（3）若11(,)A x y ，22(,)B x y ，则2121(,)AB x x y y =--u u u r，即一个向量的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点坐标减去起点坐标.（4）平面向量数量积：1212a b x x y y ⋅=+rr .（5）向量的模：2222||||a a x y a ==+⇔=r r r四、向量平行(共线)的充要条件221212//(0)()(||||)0a b a b b a b a b x y y x λ⇔=≠⇔⋅=⇔-=r r r r r r r r r r . 五、向量垂直的充要条件12120||||0a b a b a b a b x x y y ⊥⇔⋅=⇔+=-⇔+=r r r rr r r r .六．1122(,),(,)cos ,a x y b x y a b ===r rr r p f 七、向量中一些常用的结论1.三角形重心公式在ABC △中，若11(,)A x y ，22(,)B x y ，33(,)C x y ，则重心坐标为123123(,)33x x x y y y G ++++.2.三角形“三心”的向量表示（1）0GA GB GC G ++=⇔u u u r u u u r u u u r r为△ABC 的重心.（2）PA PB PB PC PC PA P ⋅=⋅=⋅⇔u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r为△ABC 的垂心.（3）||||||0AB PC BC PA CA PB P ++=⇔u u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u u r u u u r为△ABC 的内心；3. 向量,,PA PB PC u u u r u u u r u u u r中三终点,,A B C 共线⇔存在实数,αβ，使得PA PB PC αβ=+u u u r u u u r u u u r且1αβ+=． 4. 在ABC △中若D 为BC 边中点则1()2AD AB AC =+u u u ru u ur u u u r5.与AB u u u r共线的单位向量是||AB AB ±u u u r u u u r七．向量问题中常用的方法（一）基本结论的应用1.设点M 是线段BC 的中点，点A 在直线BC 外，216,BC AB AC AB AC =∣+∣=∣-∣,u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r则AM ∣∣=u u u u r（A ）8 （B ）4 （C ） 2 （D ）12.已知ABC ∆和点M 满足0MA MB MC --→--→--→+=+.若存在实数m 使得AB AC AM m --→--→--→+=成立，则m= A ．2 B ．3 C ．4 D ．53. 设a r 、b r 都是非零向量，下列四个条件中，能使||||a ba b =r rr r 成立的条件是（ ）A 、a b =-r rB 、//a b r rC 、2a b =r rD 、//a b r r 且||||a b =r r4. 已知点()()1,3,4,1,A B AB -u u u r则与向量同方向的单位向量为____________5.平面向量(1,2)a =r ，(4,2)b =r，c ma b =+r r r （m R ∈），且c r 与a r 的夹角等于c r 与b r 的夹角，则m =（ ）A 、2- B 、1- C 、1 D 、26. ABC ∆中13AN NC =u u u r u u u r ,P 是BN 上一点若211AP AC mAB =+u u u r u u u r u u u r则m=__________7.o 为ABC ∆平面内一点，若222222oA BC oB CA oC AB +=+=+u u r u u u r u u r u u u r u u u r u u u r 则o 是ABC ∆____心8. （2017课标I 理）已知向量b a ,的夹角为1,2,600==b a ，则=+b a 2 . （二）利用投影定义9. 如图，在ΔABC 中，AD AB ⊥，3BC =u u u r BD u u u r ，1AD =u u ur ，则AC AD ⋅u u u r u u u r = （A ）23 （B ）32（C ）33（D310. 已知点()1,1A -.()1,2B .()2,1C --.()3,4D ,则向量AB u u u r 在CD u u ur 方向上的投影为A ．322B ．3152C ．322-D ．3152-11设0,P ABC ∆是边AB 上一定点,满足AB B P 410=,且对于边AB 上任一点P ,恒有C P B P PC PB 00•≥•则A ．090=∠ABC B ．090=∠BAC C ．AC AB =D ．BC AC =（二）利用坐标法12. 已知直角梯形ABCD 中，AD //BC ,090ADC ∠=,2,1AD BC ==,P 是腰DC 上的动点，则3PA PB+u u u r u u u r 的最小值为____________.13．（2017课标II 理）已知ABC ∆是边长为2的等边三角形，P 为平面ABC 内一点，()PA PB PC ⋅+u u u r u u u r u u u r的最小值是（ ）2.-A23.-B 34.-C 1.-D （三）向量问题基底化 14.在边长为1的正三角形ABC 中, 设2,3,BC BD CA CE ==u u u v u u u u vu u u v u u u v 则AD BE ⋅=u u u v u u u v____________．15. （2017天津理）在ABC ∆中，60A =︒∠，3AB =，2AC =.若2BD DC =u u u r u u u r，()AE AC AB λλ∈=-R u u u r u u u r u u u r ，且4AD AE ⋅=-u u u r u u u r，则λ的值为___________.16.见上第11题（四）数形结合代数问题几何化，几何问题代数化例题 1. ABC ∆中13AN NC =u u u r u u u r ,P 是BN 上一点若211AP AC mAB =+u u u r u u u r u u u r则m=__________ 2. （2017课标I 理）已知向量b a ,的夹角为1,2,600==b a ，则=+b a 23、如图，在ΔABC 中，AD AB ⊥，3BC =u u u r BD u u u r ，1AD =u u ur ，则AC AD ⋅u u u r u u u r = （A ）23 （B ）32（C ）33（D317.设向量a ，b ，c 满足a =b =1，a b g =12-，,a c b c --=060，则c 的最大值等于A ．2B ．3C ．2D ．118.若a ，b ，c 均为单位向量，且0=⋅b a ，0)()(≤-⋅-c b c a ，则||c b a -+的最大值为（A ）12-（B ）1（C ）2（D ）219.已知,a b 是单位向量,0a b =g .若向量c 满足1,c a b c --=则的取值范围是A ．2-1,2+1⎡⎤⎣⎦， B ．2-1,2+2⎡⎤⎣⎦， C ．1,2+1⎡⎤⎣⎦， D ．1,2+2⎡⎤⎣⎦， 20.已知两个非零向量a ，b 满足|a +b |=|a -b |，则下面结论正确的是(A) a ∥b (B) a ⊥b (C) (D)a +b =a -b （五）向量与解三角形21．在△ABC 中，AB=2，AC=3，AB BC u u u r u u u rg = 1则___BC =.22.已知平面向量,,(0,0)αβαβ≠≠u r u r u r u r r r 满足,,(0,0)αβαβ≠≠u r u r u r u r r r 01,-120βαβαα=u r u r u r u r r 与夹角，求取值范围_______23.锐角三角形ABC 中0,30oA oB oC A ===u u r u u r u u u r 若cos cos ..2sin sin B C AB AC moA m C B+=u u u r u u u r u u r 求。
高中平面向量知识点总结
高中平面向量知识点总结一、平面向量的定义与性质1. 平面向量的定义平面向量是具有大小和方向的几何对象，通常用有向线段来表示，记作AB→，其中A、B 为起点和终点。
2. 平面向量的性质（1）平面向量相等的充分必要条件是它们的大小相等，方向相同。
（2）平面向量相加的几何意义：平面向量A+B的几何意义是以B为起点，在A的方向上作另一有向线段，则A+B的终点是以A、B的起点为起点、终点的有向线段。
（3）平面向量乘以实数的几何意义：实数k是负数时，它对平面向量的作用是对此向量作方向相反或绝对值为|k|倍的拉伸；k为正数时，它对平面向量的作用是对此向量作方向相同或绝对值为k倍的拉伸；k=0时，作用是得到一个零向量。
二、平面向量的基本运算1. 平面向量的加法平面向量A(a1, a2)、B(b1, b2)相加的结果是C(c1, c2)，其中c1=a1+b1，c2=a2+b2。
2. 平面向量的减法平面向量A(a1, a2)、B(b1, b2)相减的结果是C(c1, c2)，其中c1=a1-b1，c2=a2-b2。
3. 平面向量的数量积平面向量A(a1, a2)、B(b1, b2)的数量积是a1b1+a2b2，它是一个标量（实数）。
4. 平面向量的数量积的性质（1）交换律：A·B = B·A（2）分配律：A·(B+C) = A·B + A·C（3）A·A = |A|^2，其中|A|为向量A的模。
（4）若向量A与向量B夹角为θ，则A·B = |A||B|cosθ5. 平面向量的夹角若向量A、B夹角为θ，则A·B = |A||B|cosθ三、平面向量的应用1. 向量的共线性与共面性两个向量共线的充分必要条件是它们的方向相同或相反；三个向量共面的充分必要条件是它们的线性相关。
2. 向量的投影向量A在向量B上的投影是A在B方向上的长度，记作proj_BA = |A|cosθ，其中θ为A 与B的夹角。
(word完整版)高中数学平面向量知识点总结及常见题型,推荐文档
平面向量一. 向量的根本看法与根本运算1向量的看法：①向量：既有大小又有方向的量向量一般用 a, b ,c 来表示，或用有向线段的起点与终uuur uuuryj ( x, y) 向点的大写字母表示，如： AB几何表示法AB ，a；坐标表示法 a xiuuur即向量的大小，记作｜ a ｜量的大小即向量的模〔长度〕，记作 | AB |向量不能够比较大小，但向量的模能够比较大小．②零向量：长度为0 的向量，记为0，其方向是任意的，0与任意向量平行零向量 a ＝0r r｜ a ｜＝0由于 0的方向是任意的，且规定0 平行于任何向量，故在有关向量平行〔共线〕的问题中务必看清楚可否有“非零向量〞这个条件．〔注意与 0 的差异〕③单位向量：模为 1 个单位长度的向量向量a0为单位向量｜a0｜＝ 1④平行向量〔共线向量〕：方向相同或相反的非零向量任意一组平行向量都能够移到同素来线上方向相同或相反的向量，称为平行向量记作 a ∥ b 由于向量能够进行任意的平移( 即自由向量 ) ，平行向量总能够平移到同素来线上，故平行向量也称为共线向量⑤相等向量：长度相等且方向相同的向量相等向量经过平移后总能够重合，记为a b 大小相等，方向相同 (x1 , y1 ) (x2 , y2 )x1x2 y1y22向量加法求两个向量和的运算叫做向量的加法uuur r uuur r r uuur uuur uuur设 AB a, BC b ，那么a+b=AB BC=AC〔1〕0 a a 0 a ；〔2〕向量加法满足交换律与结合律；向量加法有“三角形法那么〞与“平行四边形法那么〞：（1〕用平行四边形法那么时，两个向量是要共始点的，和向量是始点与向量的始点重合的那条对角线，而差向量是另一条对角线，方向是从减向量指向被减向量（2〕三角形法那么的特点是“首尾相接〞，由第一个向量的起点指向最后一个向量的终点的有向线段就表示这些向量的和；差向量是从减向量的终点指向被减向量的终点当两个向量的起点公共时，用平行四边形法那么；当两向量是首尾连接时，用三角形法那么．向量加法的三角形法那么可实行至多个向量相加：1uuur uuur uuurL uuur uuur uuurAB BC CD PQ QR AR ，但这时必定“首尾相连〞．3 向量的减法①相反向量：与 a 长度相等、方向相反的向量，叫做 a 的相反向量记作 a ,零向量的相反向量仍是零向量关于相反向量有：〔 i 〕( a) = a； (ii) a +( a )=( a )+ a = 0 ；(iii) 假设a、b是互为相反向量，那么a = b , b = a , a + b = 0②向量减法：向量 a 加上b的相反向量叫做 a 与b的差，记作： a b a ( b) 求两个向量差的运算，叫做向量的减法③作图法： a b 能够表示为从 b 的终点指向a的终点的向量〔 a 、b有共同起点〕4实数与向量的积：①实数λ与向量 a 的积是一个向量，记作λ a ，它的长度与方向规定以下：〔Ⅰ〕a a ；〔Ⅱ〕当0 时，λa的方向与a的方向相同；当0 时，λa的方向与a的方向相反；当0 时， a 0，方向是任意的②数乘向量满足交换律、结合律与分配律5两个向量共线定理：向量 b 与非零向量a共线有且只有一个实数，使得b= a6平面向量的根本定理：若是 e1 , e2是一个平面内的两个不共线向量，那么对这一平面内的任向来量 a ，有且只有一对实数1 , 2 使：a1e1 2 e2，其中不共线的向量e1 , e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底7特别注意 :（1〕向量的加法与减法是互逆运算（2〕相等向量与平行向量有差异，向量平行是向量相等的必要条件（3〕向量平行与直线平行有差异，直线平行不包括共线〔即重合〕，而向量平行那么包括共线〔重合〕的情况（4〕向量的坐标与表示该向量的有向线条的始点、终点的详尽地址没关，只与其相对地址有关2二. 平面向量的坐标表示1 平面向量的坐标表示：在直角坐标系中，分别取与r rx 轴、 y 轴方向相同的两个单位向量 i , j 作为基底 由平面向量的根本定理知，该平面内的任向来量r r r rr 是一一 a 可表示成 a xi yj ，由于 a 与数对 (x,y) r r r对应的，因此把 (x,y) 叫做向量 a 的坐标，记作 a =(x,y) ，其中 x 叫作 a 在 x 轴上的坐标， y叫做在 y 轴上的坐标(1) 相等的向量坐标相同，坐标相同的向量是相等的向量(2) 向量的坐标与表示该向量的有向线段的始点、终点的详尽地址没关，只与其相对位置有关2 平面向量的坐标运算：(1) r x 1, y 1 rx 2 , y 2 r rx 1 x 2 , y 1 y 2 假设 a,b ，那么a b 假设 A x 1 ,y 1, B x 2 , y 2 uuur (2) ，那么 AB x 2 x 1, y 2 y 1 (3) r =(x,y) ，那么 r x, y)假设aa =((4) rx 1, y 1 rx 2 , y 2 r rx 1 y 2 x 2 y 1 0假设 a,b，那么 a // b(5) rx 1, y 1 r x 2 , y 2 r rx 1 x 2y 1 y 2假设 a,b ，那么 a brry 1 y 2 0假设a b ，那么 x 1 x 23 向量的运算向量的加减法，数与向量的乘积，向量的数量〔内积〕及其各运算的坐标表示和性质运 算 几何方法坐标方法 运算性质种类向 1 平行四边形法那么 r ra b b a量2 三角形法那么a b (x 1 x 2, y 1 y 2)的 (a b) c a (b c)加法uuur uuur uuurAB BC AC向 三角形法那么rra b a ( b )量a b (x 1 x 2,y 1 y 2)的 uuur uuur 减AB BA法uuur uuur uuurOB OA AB 3向a 是一个向量 ,a( x, y)( a)()a 量 满足 :的>0 时 ,a 与 a 同()aaa 乘 向 ;法<0 时 ,a 与 a 异( ab )ab向 ;=0 时,a = 0a ∥b a b向 a ?b 是一个数rrx 1x 2 y 1 y 2 a ? bb ? a量 a?b的a0 或 b 0时 ,???数( a) b a ( b)(a b)量 a?b =0 (ab) ?c a?cb ?c积a0 且 b 0 时 ,a 2 | a |2 , | a | x 2 y 2a?b | || |cos ,| a ? b | | a || b |a b a b三．平面向量的数量积1 两个向量的数量积：两个非零向量 rrr rr rrra 与b ，它们的夹角为，那么 a · b =︱ a ︱·︱ b ︱cos叫做 a 与 b 的数量积〔或内积〕r r规定 0 arr rr r2=a b向量的投影： ︱ b ︱ cosr∈ R ，称为向量 b 在 a 方向上的投影投影的绝对值称| a |为射影3r r r r r数量积的几何意义： a · b 等于 a 的长度与 b 在 a 方向上的投影的乘积4 向量的模与平方的关系：r r r 2 r 2a a a | a |5 乘法公式成立：r r r r r 2 r 2r 2 r 2a b a b a b ab ；r r 2 r 2 r r r 2 r 2r r r 2ab a2a b ba 2a bb6 平面向量数量积的运算律：4①交换律成立： r rr r a bb a②对实数的结合律成立：r r r r r r Ra ba b a b③分配律成立：r r r r r r r rr r a b ca cb c ca b特别注意：〔 1〕结合律不成立：r r r r r r；a b ca b cr r r rr r〔2〕消去律不成立 a b a c 不能够获取b cr rr r r r 〔3〕 a b =0 不能够获取 a =0 或 b=07 两个向量的数量积的坐标运算：rrr ry 1 y 2两个向量 a( x 1 , y 1 ), b( x 2 , y 2 ) ，那么 a · b =x 1 x 28 向量的夹角：r r uuur r uuur r已 知 两 个 非 零 向 量 a 与 b ， 作 OA = a , OB = b , 那么 ∠AOB=〔 0 01800〕叫做向量 r ra 与b 的夹角r rr r x 1x 2 y 1 y 2cos = cosa ?ba,b r r = 22x 2 22a ? bx 1 y 1 y 2当且仅当两个非零向量rr 0 r r 0ra 与b 同方向时， θ=0 ，当且仅当 a 与 b 反方向时θ =180 ，同时 0与其他任何非零向量之间不谈夹角这一问题rrr r r r9 垂直：若是 a 与 b 的夹角为 90 那么称 a 与b 垂直，记作 a ⊥ b10 两个非零向量垂直的充要条件 ：a ⊥ba·b＝ Ox 1x 2y 1 y 2 0 平面向量数量积的性质题型 1. 根本看法判断正误 ：（ 1〕共线向量就是在同一条直线上的向量.（ 2〕假设两个向量不相等，那么它们的终点不能能是同一点.（ 3〕与向量共线的单位向量是唯一的.〔4〕四边形 ABCD 是平行四边形的条件是uuur uuurAB CD .uuur uuur〔5〕假设 AB CD ，那么 A 、 B 、 C 、 D 四点构成平行四边形 .〔6 〕由于向量就是有向线段，因此数轴是向量.〔7 r rr r r r〕假设 a 与 b 共b 与 c 共线，那么 a 与 c 共线 .线，〔8r r r r〕假设 mamb ，那么a b .5rr n .〔9〕假设mana ，那么mr rr r〔10〕假设 a 与 b 不共线，那么a 与b 都不是零向量 . r r r r r r〔11〕假设 a b | a | | b | ，那么 a / /b .r r r r r r〔12〕假设 |a b | | a b | ，那么 a b .题型 2. 向量的加减运算1. rrr r.设 a 表示“向东走 8km 〞 ,b 表示“向北走 6km 〞 , 那么 |ab |2.uuur uuur uuur uuur uuuur. 化简 (AB MB ) (BO BC ) OMuuur uuur3 uuur3. |OA|5, |OB|, 那么 | AB |的最大值和最小值分别为、 .4.uuur uuur uuuruuur r uuurr uuuruuurAC 为 AB 与 AD 的和向量，且 AC a, BDb ，那么 AB， AD5.uuur3 uuur uuuruuuruuuruuur点 C 在线段 AB 上，且 ACAB ,那么ACBC ， ABBC .5题型 3. 向量的数乘运算1.r r r rr r rrr 计算：〔 1〕 3(a b) 2( a b)〔 2〕 2(2 a 5b 3c)3( 2a3b2.rr3,8) ，那么 r1r.a (1, 4),b (3ab题型 4.2作图法球向量的和r rr 1 rr3r向量 a,b ，如以以下图，请做出向量3a2 b 和2ab .r2arb题型 5. 依照图形由向量求未知向量1. 在 ABC 中， D 是 BC 的中点，请用向量uuur uuur uuurAB ，AC 表示 AD . 2.uuur r uuurr uuur uuur 在平行四边形 ABCD 中， ACa, BD b ，求 AB 和 AD ..r2c )题型 6. 向量的坐标运算uuur (4,5) A(2,3) ，那么点 B 的坐标是1. AB， .uuur( 3, 5) ， P(3,7) ，那么点 Q 的坐标是2. PQ.r r r4) , 那么合力的坐标为.3. 假设物体受三个力 F 1 (1,2) , F 2 ( 2,3),F 3 ( 1,6rr(5, 2) r r r r r r4. a( 3,4) ， b，求 a b ， a b ， 3a 2b .ruuur5. A(1,2), B(3,2) , 向量2, x 3y 2) 与 AB 相等，求 x, y 的值 .a (x6. uuur uuur uuur (uuur . AB (2,3) ， BC (m, n) ， CD 1,4) ，那么DA7. O 是坐标原点， A(2,1),B( 4,8)uuur uuur r uuur，且 AB 3BC 0 ，求 OC 的坐标 .题型 7. 判断两个向量可否作为一组基底ur uur1. e 1 ,e 2 是平面内的一组基底，判断以下每组向量可否能构成一组基底：ur uur ur uur uruuruurururuuruururuur uur urA.e 1 e 2和e 1e 2B.3e 1 2e 2 和4e 2 6e 1 C.e 1 3e 2和e 23e 1 D.e 2和e 2e 12.r(3,4) ，能与 r〕aa 构成基底的是〔A. (3,4)B.(4,3) C.(3,4)D. (1,4)5 55 5553题型 8. 结合三角函数求向量坐标uuur1. O 是坐标原点，点uuur2 ， xOAA 在第二象限， | OA | 150o ，求 OA 的坐标 . 2.uuur 4 3 xOA uuurO 是原点，点 A 在第一象限， | OA | ， 60o ，求 OA 的坐标 .题型 9. 求数量积rr 4 r r 的夹角为 60 or rr r r 1. | a | 3,| b | ，且 a 与 b ，求〔 1〕 a b ，〔 2〕 a ( a b) ，r 1 r r r r r r〔3〕 ( a 2 b) b ，〔 4〕 (2 a b ) (a 3b ) .r(2, r ( 8,10) r r r rrr r2. a 6), b ，求〔 1〕 | a |,| b | ，〔2〕 a b ，〔 3〕 a (2 a b ) ，r r r r〔4〕 (2 a b ) (a 3b ) .题型 10. 求向量的夹角71. rrr r12 r r | a |8,| b | 3 ， a b ，求 a 与 b 的夹角 .2. rr( 2 3, 2) r r a( 3,1), b ，求 a 与 b 的夹角 .3. A(1,0) ， B(0,1) ， C (2,5)，求 cos BAC .题型 11. 求向量的模rrr r or r r r 1. | a |3,| b | 4 ，且 a 与 b 的夹角为 60 ，求〔 1〕 | a b | ，〔 2〕 | 2a 3b |.rr( 8,10) r r r r r 1 r2. a(2, 6), b，求〔 1〕 | a |,| b | ，〔5〕 | a b | ，〔 6〕 | a 2 b |.r r2 r r3 rr3. | a | 1，|b | ， | 3a 2b |，求 | 3a b | .r r r 题型 12. 求单位向量a【与 a 平行的单位向量： e r】| a |1. r(12,5) 平行的单位向量是.与 a2. r1) 平行的单位向量是.与 m( 1,2题型 13. 向量的平行与垂直rr1. rrr r a(6,2) ， b (3,m) ，当 m 为何值时，〔 1〕 a / /b ？〔 2〕 a b ？rrr r r r垂直？2. a (1,2) ， b( 3,2) ，〔 1〕 k 为何值时，向量 ka b 与 a 3b 〔2〕 k 为何值时，向量 r r r rka b 与 a 3b 平行？rr r r r rr r rr3. a 是非零向量，a b a c ，且 bc ，求证： a (b c) .题型 14. 三点共线问题 1. A(0,2) ， B(2, 2) ， C (3, 4) ，求证： A, B,C 三点共线 .8uuur2r r uuur r r uuur r r2.设AB2(a5b), BC2a8b,CD3(a b) ，求证：A、B、D三点共线.3.uuur r r uuur r r uuur r r. AB a2b, BC5a6b, CD7a2b ，那么必然共线的三点是4. A(1,3)， B(8,1) ，假设点 C (2a1,a2) 在直线 AB 上，求 a 的值.5.已知四个点的坐标 O(0,0) ， A(3, 4) ， B( 1,2) ， C (1,1) ，是否存在常数 t ，使uuur uuur uuurOA tOB OC 成立？题型 15. 判断多边形的形状1.uuur r uuur r uuur uuur.假设AB3e， CD5e ，且| AD | | BC |,那么四边形的形状是2. A(1,0) ， B(4,3)， C(2,4) ， D (0, 2) ，证明四边形ABCD 是梯形.3. A( 2,1)，B(6,3) ， C (0,5) ，求证：ABC 是直角三角形.4.在平面直角坐标系内，三角形 . uuur uuur uuur(1,3) ,求证：ABC 是等腰直角OA( 1,8), OB( 4,1),OC题型 16. 平面向量的综合应用1.r r r r r ra(1,0) ， b(2,1) ，当k为何值时，向量ka b 与 a3b 平行？2.r( 3,r r r ra5) ，且a b ，| b | 2 ，求b的坐标.3.r r r r r ra与 b 同向， b(1,2) ，那么ab10，求 a 的坐标.3.r r(3,1)r(5,4)r r r a(1,2) ， b， c，那么 c a b .9rr(3,4) r(5,0) ，请将用向量 rrr4. a(5,10) ， b ， ca, b 表示向量 c .rrrrm 的范围；5. a(m,3) ， b(2, 1) ，〔 1〕假设 a 与 b 的夹角为钝角，求rr（ 2〕假设 a 与 b 的夹角为锐角，求 m 的范围 .rr( 3,m) r r r r6. a(6,2) ， b，当 m 为何值时，〔 1〕 a 与 b 的夹角为钝角？〔 2〕 a 与 b的夹角为锐角？7. 梯形ABCD 的极点坐标分别为 A( 1,2) ， B(3, 4) ， D (2,1) ，且 AB / / DC ，AB 2CD ，求点 C 的坐标 .8. 平行四边形ABCD 的三个极点的坐标分别为A(2,1) ， B( 1,3) ，C (3, 4) ，求第四个极点 D 的坐标.9. 一航船以 5km/h 的速度向垂直于对岸方向行驶，航船实质航行方向与水流方向成 30o 角，求水流速度与船的实质速度 .10. ABC 三个极点的坐标分别为A(3, 4) ， B(0,0) ， C (c,0) ，uuur uuur〔1〕假设 AB AC 0 ，求 c 的值；〔 2〕假设 c5 ，求 sin A 的值 .【备用】1. rr r r r r r r | a |3,| b | 4,| a b | 5，求 | a b |和向量 a, b 的夹角 .2. rr r ur r r r rr r r urx a b ， y 2a b ，且 | a | | b | 1， ab ，求 x, y 的夹角的余弦 .1. rr2,r r r r.a(1,3),b (1) ，那么 (3a 2b) (2a 5b)rr (2, r r r r4. 两向量 a(3, 4), b 1) ，求当 a xb 与 a b 垂直时的 x 的值 . 5.rr (2, r r的范围 .两向量 a(1,3), b ) ， a 与b 的夹角 为锐角，求10rr r r的取值范围 .变式： 假设a( , 2), b ( 3,5) ， a 与 b 的夹角 为钝角，求选择、填空题的特别方法：1. 代入考据法r r(1, r( 1, 2) r例：向量 a (1,1),b1),c ，那么c 〔〕A.1 r3 r1 r3 rC.3 r1rD.3 r1 rab B.a bab ab222222 222. 消除法uuur例： M 是 ABC 的重心，那么以下向量与AB 共线的是〔〕uuuur uuur uuur uuuur uuur uuur uuur uuur uuuur uuuur uuuur A. AM MB BC B. 3AM AC C. AB BC AC D. AM BM CM11。
平面向量知识点总结(精华)
平面向量一、向量的基本概念1.向量的概念2.零向量：3.单位向量：长度为一个单位长度的向量（与AB 共线的单位向量是||AB AB ±）；4.相等向量：长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量，相等向量有传递性；5.平行向量（也叫共线向量）：方向相同或相反的非零向量a 、b 叫做平行向量，记作：a ∥b ， 规定：零向量和任何向量平行.注：①相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等；②两个向量平行与与两条直线平行是不同的两个概念：两个向量平行包含两个向量共线，但两条直线平行不包含两条直线重合；③平行向量无传递性！（因为有0)； ④三点A B C 、、共线 AB AC ⇔、共线.6.相反向量：长度相等方向相反的向量叫做相反向量.a 的相反向量记作a -.二、向量的表示方法1.几何表示：2.符号表示：3.坐标表示三、平面向量的基本定理定理 设12,e e 同一平面内的一组基底向量，a 是该平面内任一向量，则存在唯一实数对12(,)λλ，使1122a e e λλ=+.（1）定理核心：1122a λe λe =+；（2）从左向右看，是对向量a 的分解，且表达式唯一；反之，是对向量a 的合成.（3）向量的正交分解：当21e e ⊥时，就说1122a λe λe =+为对向量a 的正交分解． 举例3 （1）下列向量组中，能作为平面内所有向量基底的是 BA.1(0,0)e =，2(1,2)e =- B.1(1,2)e =-，2(5,7)e = C.1(3,5)e =，2(6,10)e = D.1(2,3)e =-，213,24e⎛⎫=- ⎪⎝⎭（2）已知,AD BE 分别是ABC △的边BC ，AC上的中线,且AD a=，BE b =,则BC 可用向量,a b 表示为 . 结果：2433a b +. （3）已知ABC △中，点D 在BC 边上，且2CD DB =，CD rAB sAC =+，则r s +=的值是 . 结果：0.四、实数与向量的积实数λ与向量a 的积是一个向量，记作a λ，它的长度和方向规定如下：（1）模：||||||a a λλ=⋅；（2）方向：当0λ>时，a λ的方向与a 的方向相同，当0λ<时，a λ的方向与a 的方向相反，当0λ=时，0a λ=，注意：0a λ≠.五、平面向量的数量积1.两个向量的夹角：对于非零向量a ，b ，作OA a =，OB b =，则把(0)AOB θθπ∠=≤≤称为向量a ，b 的夹角.当0θ=时，a ，b 同向；当θπ=时，a ，b 反向；当2πθ=时，a ，b 垂直.2.平面向量的数量积：如果两个非零向量a ，b ，它们的夹角为θ，我们把数量||||cos a b θ叫做a 与b 的数量积（或内积或点积），记作：a b ⋅，即||||cos a b a b θ⋅=⋅.规定：零向量与任一向量的数量积是0.注：数量积是一个实数，不再是一个向量.举例4 （1）ABC △中，||3AB =，||4AC =，||5BC =，则AB BC ⋅=_________. 结果：9-.（2）已知11,2a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，10,2b ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，c a kb =+，d a b =-，c 与d 的夹角为4π，则k = ____. 结果：1. （3）已知||2a =，||5b =，3a b ⋅=-，则||a b +=____.（4）已知,a b 是两个非零向量，且||||||a b a b ==-，则a 与a b +的夹角为____. 结果：30. 3.向量b 在向量a 上的投影：||cos b θ，它是一个实数，但不一定大于0.举例5 已知||3a =，||5b =，且12a b ⋅=，则向量a 在向量b 上的投影为______. 结果：125. 4.a b ⋅的几何意义：数量积a b ⋅等于a 的模||a 与b 在a 上的投影的积. 5.向量数量积的性质：设两个非零向量a ，b ，其夹角为θ，则： （1）0a b a b ⊥⇔⋅=；（2）当a 、b 同向时，||||a b a b ⋅=⋅，特别地，222||||a a a a a a =⋅=⇔=； ||||a b a b ⋅=⋅是a 、b 同向的充要分条件；当a 、b 反向时，||||a b a b ⋅=-⋅，||||a b a b ⋅=-⋅是a 、b 反向的充要分条件；当θ为锐角时，0a b ⋅>，且a 、b 不同向，0a b ⋅>是θ为锐角的必要不充分条件； 当θ为钝角时，0a b ⋅<，且a 、b 不反向；0a b ⋅<是θ为钝角的必要不充分条件. （3）非零向量a ，b 夹角θ的计算公式：cos ||||a b a b θ⋅=；④||||a b a b ⋅≤.举例 6 （1）已知(,2)a λλ=，(3,2)b λ=，如果a 与b 的夹角为锐角，则λ的取值范围是______. 结果：43λ<-或0λ>且13λ≠；（2）已知OFQ △的面积为S ，且1OF FQ ⋅=，若12S <，则OF ，FQ 夹角θ的取值范围是_________. 结果：,43ππ⎛⎫⎪⎝⎭； （3）已知(cos ,sin )a x x =，(cos ,sin )b y y =，且满足||3||ka b a kb +=-（其中0k >）.①用k 表示a b ⋅；②求a b ⋅的最小值，并求此时a 与b 的夹角θ的大小. 结果：①21(0)4k a b k k+⋅=>；②最小值为12，60θ=. 六、向量的运算1.几何运算 （1）向量加法运算法则：①平行四边形法则；②三角形法则.运算形式：若AB a =，BC b =，则向量AC 叫做a 与b 的和，即a b AB BC AC +=+=； 作图：略.注：平行四边形法则只适用于不共线的向量. （2）向量的减法运算法则：三角形法则.运算形式：若AB a =，AC b =，则a b AB AC CA -=-=，即由减向量的终点指向被减向量的终点.作图：略.注：减向量与被减向量的起点相同. 举例7 （1）化简：①AB BC CD ++= ；②AB AD DC --= ；③()()AB CD AC BD ---= . 结果：①AD ；②CB ；③0；（2）若正方形ABCD 的边长为1，AB a =，BC b =，AC c =，则||a b c ++= . 结果： （3）若O 是ABC △所在平面内一点，且满足2OB OC OB OC OA -=+-，则ABC △的形状为. 结果：直角三角形；（4）若D 为ABC △的边BC 的中点，ABC △所在平面内有一点P ，满足0PA BP CP ++=，设||||AP PD λ=，则λ的值为 . 结果：2；（5）若点O 是ABC △的外心，且0O A O B CO ++=，则ABC △的内角C 为 . 结果：120. 2.坐标运算：设11(,)a x y =，22(,)b x y =，则（1）向量的加减法运算：1212(,)a b x x y y +=++，1212(,)a b x x y y -=--.举例8 （1）已知点(2,3)A ，(5,4)B ，(7,10)C ，若()AP AB AC λλ=+∈R ，则当λ=____时，点P 在第一、三象限的角平分线上. 结果：12； （2）已知(2,3)A ，(1,4)B ，且1(sin ,cos )2AB x y =，,(,)22x y ππ∈-，则x y += .结果：6π或2π-； （3）已知作用在点(1,1)A 的三个力1(3,4)F =，2(2,5)F =-，3(3,1)F =，则合力123F F F F =++的终点坐标是 . 结果：(9,1).（2）实数与向量的积：1111(,)(,)a x y x y λλλλ==.（3）若11(,)A x y ，22(,)B x y ，则2121(,)AB x x y y =--，即一个向量的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点坐标减去起点坐标.举例9 设(2,3)A ，(1,5)B -，且13AC AB =，3AD AB =，则,C D 的坐标分别是__________. 结果：11(1,),(7,9)3-. （4）平面向量数量积：1212a b x x y y ⋅=+.举例10 已知向量(sin ,cos )a x x =，(sin ,sin )b x x =，(1,0)c =-. （1）若3x π=，求向量a 、c 的夹角； （2）若3[,]84x ππ∈-，函数()f x a b λ=⋅的最大值为12，求λ的值.结果：（1）150；（2）12或1.（5）向量的模：222222||||a a x y a x y ==+⇔=+.举例11 已知,a b 均为单位向量，它们的夹角为60，那么|3|a b +=＝ .结果：（6）两点间的距离：若11(,)A x y ，22(,)B x y ，则||AB 举例12 如图，在平面斜坐标系xOy 中，60xOy ∠=一点P 关于斜坐标系的斜坐标是这样定义的：若12OP xe ye =+其中12,e e 分别为与x 轴、y 轴同方向的单位向量，则P 点斜坐标为(,)x y . （1）若点P 的斜坐标为(2,2)-，求P 到O 的距离||PO ；（2）求以O 为圆心，1为半径的圆在斜坐标系xOy 中的方程. 结果：（1）2；（2）2210x y xy ++-=. 七、向量的运算律1.交换律：a b b a +=+，()()a a λμλμ=，a b b a ⋅=⋅；2.结合律：()a b c a b c ++=++，()a b c a b c --=-+，()()()a b a b a b λλλ=⋅=⋅；3.分配律：()a a a λμλμ+=+，()a b a b λλλ+=+，()a b c a c b c +⋅=⋅+⋅.举例13 给出下列命题：① ()a b c a b a c ⋅-=⋅-⋅；② ()()a b c a b c ⋅⋅=⋅⋅；③ 222()||2||||||a b a a b b -=-+； ④ 若0a b ⋅=，则0a =或0b =；⑤若a b c b ⋅=⋅则a c =；⑥22||a a =；⑦2a b b a a⋅=；⑧222()a b a b ⋅=⋅；⑨222()2a b a a b b -=-⋅+.其中正确的是 . 结果：①⑥⑨. 说明：（1）向量运算和实数运算有类似的地方也有区别：对于一个向量等式，可以移项，两边平方、两边同乘以一个实数，两边同时取模，两边同乘以一个向量，但不能两边同除以一个向量，即两边不能约去一个向量，切记两向量不能相除(相约)；（2）向量的“乘法”不满足结合律，即()()a b c a b c ⋅⋅≠⋅⋅，为什么？ 八、向量平行(共线)的充要条件221212//()(||||)0a b a b a b a b x y y x λ⇔⇔⋅=⇔-=.60举例14 (1)若向量(,1)a x =，(4,)b x =，当x =_____时，a 与b 共线且方向相同. 结果：2.（2）已知(1,1)a =，(4,)b x =，2u a b =+，2v a b =+，且//u v ，则x = . 结果：4. （3）设(,12)PA k =，(4,5)PB =，(10,)PC k =，则k = _____时，,,A B C 共线. 结果：2-或11. 九、向量垂直的充要条件12120||||0a b a b a b a b x x y y ⊥⇔⋅=⇔+=-⇔+=.特别地||||||||ABAC AB AC AB AC AB AC ⎛⎫⎛⎫+⊥- ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 举例15 (1)已知(1,2)OA =-，(3,)OB m =，若O A O B ⊥，则m = .结果：32m =； （2）以原点O 和(4,2)A 为两个顶点作等腰直角三角形OAB ，90B ∠=︒，则点B 的坐标是 .结果：(1,3)或（3，－1））；（3）已知(,)n a b =向量n m ⊥，且||||n m =，则m =的坐标是 .结果：(,)b a -或(,)b a -. 十、线段的定比分点1.定义：设点P 是直线12P P 上异于1P 、2P 的任意一点，若存在一个实数λ ，使12PP PP λ=，则实数λ叫做点P 分有向线段12P P 所成的比λ，P 点叫做有向线段12P P 的以定比为λ的定比分点.2.λ的符号与分点P 的位置之间的关系（1）P 内分线段12P P ，即点P 在线段12P P 上0λ⇔>；（2）P 外分线段12P P 时，①点P 在线段12P P 的延长线上1λ⇔<-，②点P 在线段12P P 的反向延长线上10λ⇔-<<.注：若点P 分有向线段12P P 所成的比为λ，则点P 分有向线段21P P 所成的比为1λ.举例16 若点P 分AB 所成的比为34，则A 分BP 所成的比为 . 结果：73-. 3.线段的定比分点坐标公式：设111(,)P x y ，222(,)P x y ，点(,)P x y 分有向线段12P P 所成的比为λ，则定比分点坐标公式为1212,1(1).1x x x y y y λλλλλ+⎧=⎪⎪+≠-⎨+⎪=⎪+⎩. 特别地，当1λ=时，就得到线段12P P 的中点坐标公式1212,2.2x x x y y y +⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩说明：（1）在使用定比分点的坐标公式时，应明确(,)x y ，11(,)x y 、22(,)x y 的意义，即分别为分点，起点，终点的坐标.（2）在具体计算时应根据题设条件，灵活地确定起点，分点和终点，并根据这些点确定对应的定比λ.举例17 （1）若(3,2)M --，(6,1)N -，且13MP MN =-，则点P 的坐标为 . 结果：7(6,)3--； （2）已知(,0)A a ，(3,2)B a +，直线12y ax =与线段AB 交于M ，且2AM MB =，则a = . 结果：２或4-. 十一、平移公式如果点(,)P x y 按向量(,)a h k =平移至(,)P x y ''，则,.x x h y y k '=+⎧⎨'=+⎩；曲线(,)0f x y =按向量(,)a h k =平移得曲线(,)0f x h y k --=.举例18 （1）按向量a 把(2,3)-平移到(1,2)-，则按向量a 把点(7,2)-平移到点______. 结果：(8,3)-；（2）函数sin2y x =的图象按向量a 平移后，所得函数的解析式是cos21y x =+，则a =________. 结果：(,1)4π-. 十二、向量中一些常用的结论1.一个封闭图形首尾连接而成的向量和为零向量，要注意运用；2.模的性质：||||||||||a b a b a b -≤+≤+.（1）右边等号成立条件： a b 、同向或 a b 、中有0||||||a b a b ⇔+=+； （2）左边等号成立条件： a b 、反向或 a b 、中有0||||||a b a b ⇔-=+；（3）当 a b 、不共线||||||||||a b a b a b ⇔-<+<+. 3.三角形重心公式在ABC △中，若11(,)A x y ，22(,)B x y ，33(,)C x y ，则其重心的坐标为123123(,)33x x x y y y G ++++.举例19 若ABC △的三边的中点分别为(2,1)A 、(3,4)B -、(1,1)C --，则ABC △的重心的坐标为 .结果：24,33⎛⎫- ⎪⎝⎭. 5.三角形“三心”的向量表示（1）1()3PG PA PB PC G =++⇔为△ABC 的重心，特别地0PA PB PC G ++=⇔为△ABC 的重心. （2）PA PB PB PC PC PA P ⋅=⋅=⋅⇔为△ABC 的垂心.（3）||||||0AB PC BC PA CA PB P ++=⇔为△ABC 的内心；向量(0)||||AB AC AB AC λλ⎛⎫+≠ ⎪ ⎪⎝⎭所在直线过△ABC 的内心.6.点P 分有向线段12P P 所成的比λ向量形式设点P 分有向线段12P P 所成的比为λ，若M 为平面内的任一点，则121MP MP MP λλ+=+，特别地P 为有向线段12P P 的中点122MP MP MP +⇔=.7. 向量,,PA PB PC 中三终点,,A B C 共线⇔存在实数,αβ，使得PA PB PC αβ=+且1αβ+=．举例20 平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已知两点(3,1)A ，(1,3)B -，若点C 满足12OC OA OB λλ=+,其中12,λλ∈R 且121λλ+=,则点C 的轨迹是 . 结果：直线AB .知识应用1.（2018•卷Ⅰ）在中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则( )A. B. C. D.2.（2018•浙江）已知a ， b ， e 是平面向量，e 是单位向量．若非零向量a 与e 的夹角为 ，向量b 满足b 2−4e ·b +3=0，则|a −b |的最小值是（ ）A. −1B. +1C. 2D. 2−3.如图，在平面四边形ABCD中，，，，. 若点E为边CD上的动点，则的最小值为（）A. B. C. D.4.（2018•卷Ⅱ）已知向量，满足=1, ⋅=−1 ，则·(2-)=（）A.4B.3C.2D.05.过点()0,2-且斜率为的直线与抛物线：交于，两点，若的焦点为，则（）A. B. C. D.6.已知，且，则向量在方向上的投影为（）A. B. C. D.7.抛物线的焦点为 ,过点的直线交抛物线于、两点，点为轴正半轴上任意一点，则（）A. B. C. D.AAABDCB8.已知向量，，则________．9.（2018•江苏）在平面直角坐标系中，为直线上在第一象限内的点，以为直径的圆与直线交于另一点，若,则点的横坐标为________ 310.（2018•卷Ⅲ）已知向量，，，若，则________。
(完整版)平面向量重要基础知识点
平面向量重要知识点1、向量有关概念：(1) 向量的概念：既有大小又有方向的量，向量是可以平移的，(2)零向量：长度为0 的向量叫零向量，记作：0，注意零向量的方向是任意的；uuu单位向量：长度为一个单位长度的向量叫做单位向量 (与AB 共线的单位向量是 相等向量：长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量，相等向量有传递性; 平行向量(也叫共线向量)：方向相同或相反 的非零向量a 、b 叫做平行向量，记作：a // b ，规定零向量和任何向量平行。
提醒平行向量 无传递性！(因为有0)2.平面向量的基本定理：如果e i 和e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对该平面内的任4、平面向量的数量积： (1)两个向量的夹角：(2) 平面向量的数量积：规定：零向量与任一向量的数量积是 0注意数量积是一个实数，不再是一个向量。
(3) b 在a 上的投影为|b|cos ，它是一个实数，但不一定大于 0。
(4) a ?b 的几何意义：数量积a?b 等于a 的模与b 在a 上的投影的积。
(5)向量数量积的性质：设两个非零向量a ，b ，其夹角为，则:r r rb a?b 0 ；(3) uuuAB ).uuu)， |AB|一向量a ，有且只有一对实数12，使 a= 1^ + 2 62。
3、实数与向量的积：实数 与向量a 的积是一个向量，记作 a :当>0时，a 的方向与a 的方向相同，当 <0时,a 的方向与a 的方向相反②当「2 r r 特别地，a a?aa ，b 同向时，a ?b =拧 ；当a 与b 反向时,;当为锐角时，a?b > 0,且a、b不同向，ab 0是为锐角的必要非充分a ? b5、向量的运算：(1)几何运算：掌握三角形发展或者平行四边形法则, (2)坐标运算：设 a (x 1, y 1),b (x 2, y 2)，贝U:7、向量平行(共线)的充要条件 8、8.线段的定比分点：(1)定比分点的概念：设点P 是直线P 1P 2上异于P i 、P 2的任意一点，若存在一个实数的定比分点;X L 1(知道怎样推出来的吗)* y 2 19.向量平移平面向量章节复习题r f r r条件；当 为钝角时，a ?b < 0,且a 、b 不反向,r ra b 0是为钝角的必要非充分条件； ③非零向量a ， b 夹角的计算公式：cos④ ia?bi |；|£|。
(新)高中数学平面向量知识点总结(供参考)
平面向量知识点总结第一部分：向量的概念与加减运算，向量与实数的积的运算。
一．向量的概念：1． 向量：向量是既有大小又有方向的量叫向量。
2． 向量的表示方法： （1）几何表示法：点—射线 有向线段——具有一定方向的线段 有向线段的三要素：起点、方向、长度 记作（注意起讫） （2）字母表示法：可表示为3.模的概念：向量的大小——长度称为向量的模。
记作：|| 模是可以比较大小的4.两个特殊的向量：1︒零向量——长度（模）为0的向量，记作。
的方向是任意的。
注意与0的区别2︒单位向量——长度（模）为1个单位长度的向量叫做单位向量。
二．向量间的关系：1．平行向量：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量。
记作：∥∥ 规定：与任一向量平行2． 相等向量：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量。
记作：= 规定：=任两相等的非零向量都可用一有向线段表示，与起点无关。
3． 共线向量：任一组平行向量都可移到同一条直线上 ， 所以平行向量也叫共线向量。
三．向量的加法：1．定义：求两个向量的和的运算，叫做向量的加法。
注意：；两个向量的和仍旧是向量（简称和向量） 2．三角形法则：强调： a bca +b AA ABB BC C a +ba +b aa b b ba a1︒“向量平移”（自由向量）：使前一个向量的终点为后一个向量的起点2︒可以推广到n 个向量连加 3︒a a a =+=+004︒不共线向量都可以采用这种法则——三角形法则 3.加法的交换律和平行四边形法则1︒向量加法的平行四边形法则（三角形法则）： 2︒向量加法的交换律：+=+3︒向量加法的结合律：(+) +=+ (+)4.向量加法作图：两个向量相加的和向量，箭头是由始向量始端指向终向量末端。
四．向量的减法：1.用“相反向量”定义向量的减法1︒“相反向量”的定义：与a 长度相同、方向相反的向量。
记作 -a 2︒规定：零向量的相反向量仍是零向量。
-(-a ) = a任一向量与它的相反向量的和是零向量。
高考平面向量知识点总结
高考平面向量知识点总结一、向量定义和表示方法在平面上，向量由大小和方向两部分组成。
通常使用箭头AB表示向量，其中A为向量的起点，B为终点。
向量的大小可以用模长表示，通常用符号 ||AB|| 表示，也可以用绝对值表示，即 |AB|。
二、向量的基本运算1. 向量的加法：向量的加法满足交换律和结合律，即：AB + BC = AC。
2. 向量的减法：向量的减法可以通过向量的加法来表示，即：AB – BC = AB + (-BC)。
3. 向量的数量积：向量的数量积也称为点积，表示为 AB · BC，结果是一个实数。
计算方式为：AB · BC = |AB| × |BC| × cosθ，其中θ为 AB 和 BC 的夹角。
4. 向量的夹角：两个非零向量的夹角的余弦值可以通过向量的数量积来计算。
5. 向量的共线性判定：如果两个向量的夹角为 0°或者 180°，则称这两个向量共线。
6. 向量的平行判定：如果两个非零向量的夹角为 0°或者 180°，则称这两个向量平行。
三、平面向量的性质和定理1. 平行四边形定理：平行四边形的对角线互相平分。
2. 矩形的对角线性质：矩形的对角线相等且互相垂直。
3. 平面向量组线性相关的判定：如果存在不全为零的实数 k1、k2、…、kn，使得 a1 + a2 + … + an = 0，则称向量组 A = {a1, a2, …, an} 线性相关。
4. 平面向量组线性无关的判定：如果向量组 A = {a1, a2, …, an}线性相关的充分必要条件是不存在不全为零的实数k1、k2、…、kn，使得 k1a1 + k2a2 + … + knan = 0。
四、平面向量的坐标表示和计算平面向量可以用坐标表示，通常用大写字母表示向量，如 A(x1, y1) 和 B(x2, y2)。
平面向量的坐标表示可以进行加法、减法和数量积等运算。
高中数学必修4平面向量知识点总结.doc
高中数学必修4平面向量知识点总结高中数学必修4平面向量知识点坐标表示法平面向量的坐标表示：在直角坐标系中，分别取与x轴、y 轴方向相同的两个单位向量作为基底。
由平面向量的基本定理知，该平面内的任一向量可表示成，由于与数对(x,y)是一一对应的，因此把(x,y)叫做向量的坐标，记作=(x,y)，其中x叫作在x 轴上的坐标，y叫做在y轴上的坐标。
来表示平面内的各个方向在数学中，我们通常用点表示位置，用射线表示方向.在平面内，从任一点出发的所有射线，可以分别用向量的表示向量常用一条有向线段来表示，有向线段的长度表示向量的大小，箭头所指的方向表示向量的方向.向量也可用字母a①、b、c等表示，或用表示向量的有向线段的起点和终点字母表示.向量的大小，也就是向量的长度(或称模)，记作|a|长度为0的向量叫做零向量，记作0.长度等于1个单位长度的向量，叫做单位向量.方向相同或相反的非零向量叫做平行向量.向量a、b、c平行，记作a∥b∥c.0向量长度为零，是起点与终点重合的向量，其方向不确定，我们规定0与任一向量平行.长度相等且方向相同的向量叫做相等向量.向量a与b相等，记作a=b.零向量与零向量相等.任意两个相等的非零向量，都可用同一条有向线段来表示，并且与有向线段的起点无关.向量的运算1、向量的加法：AB+BC=AC设a=(x,y) b=(x ,y )则a+b=(x+x ,y+y )向量的加法满足平行四边形法则和三角形法则。
向量加法的性质：交换律：a+b=b+a结合律：(a+b)+c=a+(b+c)a+0=0+a=a2、向量的减法AB-AC=CBa-b=(x-x ,y-y )若a//b则a=eb则xy`-x`y=0若a垂直b则ab=0则xx`+yy`=03、向量的乘法设a=(x,y) b=(x ,y )a b(点积)=x x +y y =|a| |b|*cos夹角4、向量有关概念：(1)向量的概念：既有大小又有方向的量，注意向量和数量的区别。
(完整word)高中数学必修4平面向量知识点总结与典型例题归纳,推荐文档
平面向量【基本概念与公式】【任何时候写向量时都要带箭头】1. 向量：既有大小又有方向的量。
记作： AB 或 a 。
2. 向量的模：向量的大小（或长度），记作： | AB | 或| a | 。
3. 单位向量：长度为 1 的向量。
若 e 是单位向量，则| e |= 1。
4. 零向量：长度为 0 的向量。
记作： 0 。
【0 方向是任意的，且与任意向量平行】5. 平行向量（共线向量）：方向相同或相反的向量。
6. 相等向量：长度和方向都相同的向量。
7. 相反向量：长度相等，方向相反的向量。
AB = -BA 。
8. 三角形法则：AB + BC = AC ； AB + BC + CD + DE = AE ； AB - AC = CB （指向被减数）9. 平行四边形法则：以 a , b 为临边的平行四边形的两条对角线分别为 a + b ， a - b 。
10.共线定理： a = b ⇔ a / /b 。
当> 0 时， a 与b 同向；当< 0 时， a 与b 反向。
11. 基底：任意不共线的两个向量称为一组基底。
2 2 12. 向量的模：若 a = (x , y ) ，则| a |= ， a =| a | ， | a + b |=a ⋅b 13. 数量积与夹角公式： a ⋅ b =| a | ⋅ | b | cos ；cos = ⋅ | a | |b |14.平行与垂直： a / /b ⇔ a = b ⇔ x 1 y 2 = x 2 y 1 ； a ⊥ b ⇔ a ⋅ b = 0 ⇔ x 1 x 2 + y 1 y 2 = 0题型 1.基本概念判断正误： （1） 共线向量就是在同一条直线上的向量。
（2） 若两个向量不相等，则它们的终点不可能是同一点。
（3） 与已知向量共线的单位向量是唯一的。
（4）四边形 ABCD 是平行四边形的条件是AB = CD 。
（5） 若 AB = CD ，则 A 、B 、C 、D 四点构成平行四边形。
(完整word版)平面向量知识点总结(2),推荐文档
平面向量知识点小结一、向量的基本概念1. 向量的概念：既有大小又有方向的量，注意向量和数量的区别•向量常用有向线段来表示•注意：不能说向量就是有向线段，为什么？提示：向量可以平移•uiur r举例1已知A(1,2) , B(4,2)，则把向量AB按向量5 ( 1,3)平移后得到的向量是________________ . 结果：(3,0)r2. 零向量：长度为0的向量叫零向量，记作：0，规定：零向量的方向是任意的；LUU uuu AB3. 单位向量：长度为一个单位长度的向量叫做单位向量(与AB共线的单位向量是-UUt)；I AB|4. 相等向量：长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量，相等向量有传递性；r 5.平行向量(也叫共线向量)：方向相同或相反的非零向量a、b叫做平行向量，记作：a // b，规定：零向量和任何向量平行.注：①相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等；②两个向量平行与与两条直线平行是不同的两个概念：两个向量平行包含两个向量共线，但两条直线平行不包含两条直线重合；③平行向量无传递性！(因为有0)；, ,, uuur uur ,,④三点A、B、C共线AB、AC共线.6.相反向量：长度相等方向相反的向量叫做相反向量.5的相反向量记作 a .举例2如下列命题：(1) 若|a | | b|，则5 b .(2 )两个向量相等的充要条件是它们的起点相同，终点相同.uur uuu(3 )若AB DC，贝U ABCD是平行四边形.uuu uu u(4 )若ABCD是平行四边形，则AB DC .(5)若 a b，b c，则 a c.(6 )若a//b，b//C则a//c .其中正确的是 _. 结果：(4)( 5)二、向量的表示方法1. 几何表示：用带箭头的有向线段表示，如AB，注意起点在前，终点在后；r2. 符号表示：用一个小写的英文字母来表示，如a，b，c等；r r3. 坐标表示：在平面内建立直角坐标系，以与X轴、y轴方向相同的两个单位向量r , r为基底，则平面内的任一向量£可表示为a xi「yj (x, y)，称(x, y)为向量a的坐标，a (x, y)叫做向量a的坐标表示.结论：如果向量的起点在原点，那么向量的坐标与向量的终点坐标相同三、平面向量的基本定理定理设右,2同一平面内的一组基底向量，a是该平面内任一向量，则存在唯一实数对(1,2)，使 a 仏.(1)定理核心：a也诂2；(2)从左向右看，是对向量a的分解，且表达式唯一；反之，是对向量a的合成.(3)向量的正交分解：当& 时，就说a洛为对向量a的正交分解.举例3 (1)若 a (1,1)，b (1, 1)，c ( 1,2)，则 c . 结果：la -b .2 2(2)下列向量组中，能作为平面内所有向量基底的是Br r r r r r r r 1 3A. e (0,0)，e2 (1, 2)B. e’( 1,2)，色(5,7)C. e (3,5)，e? (6,10)D. q (2, 3) , q -,-2 4uiur uur uiir r uiu r uuu r r(3)已知AD, BE分别是△ ABC的边BC，AC上的中线，且AD a，BE b ,则BC可用向量a,b表示为. 结果:2a 4b.3 3uiur uuu uur uuu uur(4)已知△ ABC中，点D在BC边上，且CD 2DB，CD rAB sAC，贝U r s 的值是. 结果：0.四、实数与向量的积实数与向量a的积是一个向量，记作a，它的长度和方向规定如下：(1)模:| ai | | iai；(2)方向：当0时，a的方向与a的方向相同，当0时，a的方向与a的方向相反，当 0时，a 0，注意：a 0.五、平面向量的数量积r r uuu r uuu r1.两个向量的夹角：对于非零向量a ，b ，作OA a ，OB b ，则把 AOB （0 为向量a ，b 的夹角. 规定：零向量与任一向量的数量积是 注：数量积是一个实数，不再是一个向量.», uiur unr举例 4（ 1） △ABC 中，|AB| 3， | AC | 4，r i ri rr r r r r r r（2） 已知 a 1,1 ， b 0, - ， c a kb ， dab ， c 与 d 的夹角为 _，则 k ________________________ . 结果：1.2 2 4r r r（3） _____________________________________________ 已知靑|2， |b| 5，a b 3，则 |a b| . 结果：J23.（4） ____________________________________________________________________ 已知a,b 是两个非零向量，且iaiibi 〔a bi ，则a 与a b 的夹角为 .结果：3o o .3. 向量b 在向量a 上的投影：|b|cos ，它是一个实数，但不一定大于 0.r r r r r r12举例5已知|a| 3，|b| 5，且a b 12，则向量a 在向量b 上的投影为 ___________________ .结果：t .54. a b 的几何意义：数量积a b 等于a 的模洛|与b 在a 上的投影的积.（2） 已知△ OFQ 的面积为S ，且OF FQ 1，若1 S 色，则OF ，FQ 夹角 的取值范围是______________________ . 结果：_，一224 3（3） 已知 a （cosx,sinx ） ， b （cosy,sin y ），且满足 | ka b | :3靑 kb | （其中 k 0 ）. ①用k 表示a b ；②求a b 的最小值，并求此时a 与b 的夹角 的大小.结果：①a b k 1（k 0）；②最小值为-，4k260o .六、向量的运算1 .几何运算1）向量加法运算法则：①平行四边形法则；②三角形法则运算形式：若AB a ，BC b ，则向量AUC 叫做a 与b 的和，即a b AUU BC AC ； 作图：略.注：平行四边形法则只适用于不共线的向量.当 o 时，a ， b 同向；当 时，a ， b 2.平面向量的数量积：如果两个非零向量a ， 叫做a与b 的数量积（或内积或点积），记作：a反向rb；当 2时，a ， b 垂直. 它们的夹角为 ，我们把数量| a II b I cosr r 即 a b i a 11 b i cos .0.uuu uiur uiur|BC| 5，贝U AB BC ____________ .5.向量数量积的性质：设两个非零向量a ，b ， （1） a b a b o ；（2） 当a 、b 同向时，a b |<S| |b|，特别地， r r ra b i a 11 b i 是a 、b 同向的充要分条件； 当a 、b 反向时，ab ia 〔ibi ， aS 当为锐角时，a b o ，且a 、b 不同向，a b 当为钝角时，a b o ，且a 、b 不反向；a b（3） 非零向量a ， b 夹角 的计算公式：cos其夹角为，则： a 2 a a 甘〔a 〔 •厝；i b |是a 、b 反向的充要分条件；0是为锐角的必要不充分条件 0是 r ra b r |a||b|为钝角的 r b ra④必要不充分条件诂応|.举例6 （ i 已知a （ ,2）b （3 ,2），如果a 与b 的夹角为锐角，则的取值范围是_______ .结果:0且(2)向量的减法运算法则：三角形法则.亠 LUU r uiu r运算形式：若AB a ，AC b ， 的终点.作图：略.注：减向量与被减向量的起点相同. uui uuu uiir举例7(1)化简：①AB BC CDuur r②CB :③0 ;uur r(2 )若正方形ABCD 的边长为1， AB a ， (3) 若O 是厶ABC 所在平面内一点，且满足结果：2;线上. 结果：1;2uuu(2)已知 A(2,3)， B(1,4)，且 1AB (sinx,cosy)，x, y (,)，则 x y . 结果：_ 或 ；2 2 2 ---------------------------------------------------------------------------- 6 2(3) ______________________________________________________________________________________ 已知作用在点A(1,1)的三个力F l (3,4)，F 2 (2, 5)，F 3 (3,1)，则合力肖胃胃胃的终点坐标是 _________________________________________________ __ 结果：(9,1).(2) 实数与向量的积：a (X 1, y 1) ( x, y).(3) 若A(x ,, y 1)， B(x 2, y 2)，则AB (x 2>1, y 2 y 1)，即一个向量的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点坐标减去起点坐标uur 1 uu unr uuur 11举例 9 设 A(2,3)， B( 1,5)，且 AC 1 AB ， AD 3AB ，则 C,D 的坐标分别是 ____________________ . 结果：(1,22),( 7,9).3 3(4)平面向量数量积：a b 朋2 y 〃2.举例 10 已知向量 a (sinx,cosx)，b (sin x,sin x)， c ( 1,0).(1)若x，求向量a 、c 的夹角；33r r11(2 )若x ［菁，才］，函数f(x) a b 的最大值为1，求 的值.结果：(1)150。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
平面向量一.向量的基本概念与基本运算1向量的概念：①向量：既有大小又有方向的量向量一般用……来表示，或用有向线段的起点与终c b a,,，；坐标表示法AB a 向量的大小即向量的模（长度），记作||即向量的大小，记作｜｜AB a向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小．②零向量：长度为0的向量，记为，其方向是任意的，与任意向量平行零向量＝0 0 a 0⇔｜｜＝0 由于的方向是任意的，且规定平行于任何向量，故在有关向量平行（共线）a0 0 的问题中务必看清楚是否有“非零向量”这个条件．（注意与0的区别）③单位向量：模为1个单位长度的向量向量为单位向量｜｜＝10a ⇔0a④平行向量（共线向量）：任意一组平行向量都可以移到同一直线上方向相同或相反的向量，称为平行向量记作∥a (即自由向量)，平行向量总可以平移到同一直线上，故平行向量也称为共线向量⑤相等向量：长度相等且方向相同的向量相等向量经过平移后总可以重合，记为2向量加法设，则+==,AB a BC b == a b AB BC +（1）；（2）向量加法满足交换律与结合律；a a a=+=+00向量加法有“三角形法则”与“平行四边形法则”：（1）用平行四边形法则时，两个已知向量是要共始点的，和向量是始点与已知向量的始点重合的那条对角线，而差向量是另一条对角线，方向是从减向量指向被减向量（2） 三角形法则的特点是“首尾相接”，由第一个向量的起点指向最后一个向量的终点的有向线段就表示这些向量的和；差向量是从减向量的终点指向被减向量的终点当两个向量的起点公共时，用平行四边形法则；当两向量是首尾连接时，用三角形法则．向量加法的三角形法则可推广至多个向量相加：，但这时必须“首尾相连”．AB BC CD PQ QR AR +++++=3向量的减法① 相反向量：与长度相等、方向相反的向量，叫做的相反向量a a 记作,零向量的相反向量仍是零向量a-关于相反向量有： （i ）=； (ii) +()=()+=；)(a --aa a -a -a 0 (iii)若、是互为相反向量，则=,=,+=a ba b -b a -a b ②向量减法：向量加上的相反向量叫做与的差，a b a b求两个向量差的运算，叫做向量的减法③作图法：可以表示为从的终点指向的终点的向量（、有共同起点）b a -b a a b4实数与向量的积：①实数λ与向量的积是一个向量，记作λ，它的长度与方向规定如下：a a（Ⅰ）；a a⋅=λλ（Ⅱ）当时，λ的方向与的方向相同；当时，λ的方向与的方0>λa a 0<λa a向相反；当时，，方向是任意的0=λ0=a λ②数乘向量满足交换律、结合律与分配律5两个向量共线定理：向量与非零向量共线有且只有一个实数，使得=b a⇔λb 6平面向量的基本定理：如果是一个平面内的两个不共线向量，那么对这一平面内的任一向量，有且21,e ea只有一对实数使：，其中不共线的向量叫做表示这一平面内21,λλ2211e e a λλ+=21,e e所有向量的一组基底7 特别注意:（1）向量的加法与减法是互逆运算（2）相等向量与平行向量有区别，向量平行是向量相等的必要条件（3）向量平行与直线平行有区别，直线平行不包括共线（即重合），而向量平行则包括共（4）向量的坐标与表示该向量的有向线条的始点、终点的具体位置无关，只与其相对位置有关二.平面向量的坐标表示1平面向量的坐标表示：在直角坐标系中，分别取与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量作为基底由平面,i j向量的基本定理知，该平面内的任一向量可表示成，由于与数对(x,y)是a a xi yj =+a 一一对应的，因此把(x,y)叫做向量的坐标，记作=(x,y)，其中x 叫作在x 轴上的a a a坐标，y 叫做在y 轴上的坐标(1)相等的向量坐标相同，坐标相同的向量是相等的向量(2)向量的坐标与表示该向量的有向线段的始点、终点的具体位置无关，只与其相对位置有关2平面向量的坐标运算：(1)若，则()()1122,,,a x y b x y == ()1212,a b x x y y ±=±±(2)若，则()()2211,,,y x B y x A ()2121,AB x x y y =--(3)若=(x,y)，则=(x, y)a λaλλ(4)若，则()()1122,,,a x y b x y == 1221//0a b x y x y ⇔-=(5)若，则()()1122,,,a x y b x y ==1212a b x x y y ⋅=⋅+⋅ 若，则a b ⊥2121=⋅+⋅y y x x 3向量的运算向量的加减法，数与向量的乘积，向量的数量（内积）及其各运算的坐标表示和性质三．平面向量的数量积1两个向量的数量积：已知两个非零向量与，它们的夹角为，则·=︱︱·︱︱cos 叫做与a b θa b a b θa的数量积（或内积） b 2向量的投影：︱︱cos =∈R，称为向量在方向上的投影投影的绝对b θ||a ba ⋅b a 值称为射影3数量积的几何意义：·等于的长度与在方向上的投影的乘积a b ab a 4向量的模与平方的关系：5乘法公式成立：；()()2222a b a b a b a b +⋅-=-=- ()2222a b a a b b±=±⋅+ 222a a b b=±⋅+ 6平面向量数量积的运算律：①交换律成立：a b b a⋅=⋅②对实数的结合律成立：()()()()a b a b a b R λλλλ⋅=⋅=⋅∈③分配律成立：()a b c a c b c ±⋅=⋅±⋅ ()c a b =⋅±特别注意：（1）结合律不成立：；()()a b c a b c ⋅⋅≠⋅⋅ （2）消去律不成立不能得到a b a c⋅=⋅b c =⋅（3）=0不能得到=或=a b ⋅a 0b 7两个向量的数量积的坐标运算：已知两个向量，则·=1122(,),(,)a x y b x y ==a b 8向量的夹角：已知两个非零向量与，作=,=,则∠AOB= （a bOA a OB bθ）叫做向量与的夹角1800≤≤θa bcos =θ当且仅当两个非零向量与同方向时，θ=00，当且仅当与反方向时θ=1800，同时a b a b 与其它任何非零向量之间不谈夹角这一问题9垂直：如果与的夹角为900则称与垂直，记作⊥a b a b a两个非零向量垂直的充要条件：⊥·＝a b ⇔a b题型1.基本概念判断正误：（1）共线向量就是在同一条直线上的向量.（2）若两个向量不相等，则它们的终点不可能是同一点.（3）与已知向量共线的单位向量是唯一的.（4）四边形ABCD 是平行四边形的条件是.AB CD =（5）若，则A 、B 、C 、D 四点构成平行四边形.AB CD =（6）因为向量就是有向线段，所以数轴是向量.（7）若与共线， 与共线，则与共线.a b b c a c（8）若，则.ma mb = a b =（9）若，则.ma na =m n =（10）若与不共线，则与都不是零向量.a b a b（11）若，则.||||a b a b ⋅=⋅//a b （12）若，则.||||a b a b +=-a b ⊥ 题型2.向量的加减运算1.设表示“向东走8km”, 表示“向北走6km”,则 .a b ||a b += 2.化简 .()()AB MB BO BC OM ++++=3.已知,,则的最大值和最小值分别为 、 .||5OA = ||3OB = ||AB4.已知的和向量，且，则 ， .AC AB AD 为与,AC a BD b == AB = AD = 5.已知点C 在线段AB 上，且,则 ， .35AC AB = AC = BC AB =BC 题型3.向量的数乘运算1.计算：（1） （2）3()2()a b a b +-+= 2(253)3(232)a b c a b c +---+-=2.已知，则 .(1,4),(3,8)a b =-=-132a b -= 题型4.作图法球向量的和已知向量，如下图，请做出向量和.,a b132a b + 322a b -题型5.根据图形由已知向量求未知向量1.已知在中，是的中点，请用向量表示.ABC ∆D BC AB AC ，AD2.在平行四边形中，已知，求.ABCD ,AC a BD b ==AB AD 和题型6.向量的坐标运算1.已知，，则点的坐标是 .(4,5)AB =(2,3)A B2.已知，，则点的坐标是 .(3,5)PQ =--(3,7)P Q 3.若物体受三个力,,,则合力的坐标为 .1(1,2)F = 2(2,3)F =- 3(1,4)F =--4.已知，，求，，.(3,4)a =-(5,2)b = a b + a b - 32a b - 5.已知,向量与相等，求的值.(1,2),(3,2)A B (2,32)a x x y =+--AB ,x y 6.已知，，，则 .(2,3)AB = (,)BC m n = (1,4)CD =-DA = 7.已知是坐标原点，，且，求的坐标.O (2,1),(4,8)A B --30AB BC += OC题型7.判断两个向量能否作为一组基底1.已知是平面内的一组基底，判断下列每组向量是否能构成一组基底：12,e eA. B. C. D.1212e e e e +- 和1221326e e e e -- 和4122133e e e e +- 和221e e e - 和2.已知，能与构成基底的是（ ）(3,4)a = aA. B. C. D.34(,)5543(,)5534(,)55--4(1,)3--题型8.结合三角函数求向量坐标1.已知是坐标原点，点在第二象限，，，求的坐标.O A ||2OA = 150xOA ∠=OA 2.已知是原点，点在第一象限，，，求的坐标.O A 60xOA ∠=OA 题型9.求数量积1.已知，且与的夹角为，求（1），（2），||3,||4a b == a b 60a b ⋅ ()a a b ⋅+ （3），（4）.1()2a b b -⋅ (2)(3)a b a b -⋅+ 2.已知，求（1），（2），（3），(2,6),(8,10)a b =-=- ||,||a b a b ⋅ (2)a a b ⋅+（4）.(2)(3)a b a b -⋅+题型10.求向量的夹角1.已知，，求与的夹角.||8,||3a b ==12a b ⋅= a b 2.，求与的夹角.a b 3.已知，，，求.(1,0)A (0,1)B (2,5)C cos BAC ∠题型11.求向量的模1.已知，且与的夹角为，求（1），（2）.||3,||4a b == a b 60||a b + |23|a b - 2.已知，求（1），（5），（6）.(2,6),(8,10)a b =-=- ||,||a b ||a b + 1||2a b - 3.已知，，求.||1||2a b == ，|32|3a b -= |3|a b +题型12.求单位向量 【与平行的单位向量：】a ||ae a =±1.与平行的单位向量是 .(12,5)a =2.与平行的单位向量是 .1(1,)2m =-题型13.向量的平行与垂直1.已知，，当为何值时，（1）？（2）？(6,2)a =(3,)b m =- m //a b a b ⊥ 2.已知，，（1）为何值时，向量与垂直？(1,2)a =(3,2)b =- k ka b + 3a b - （2）为何值时，向量与平行？k ka b + 3a b -3.已知是非零向量，，且，求证：.a ab ac ⋅=⋅ b c ≠ ()a b c ⊥-题型14.三点共线问题1.已知，，，求证：三点共线.(0,2)A -(2,2)B (3,4)C ,,A B C 2.，求证：三点共线.A B D 、、3.已知，则一定共线的三点是 .2,56,72AB a b BC a b CD a b =+=-+=-4.已知，，若点在直线上，求的值.(1,3)A -(8,1)B -(21,2)C a a -+AB a 5.已知四个点的坐标，，，，是否存在常数，使(0,0)O (3,4)A (1,2)B -(1,1)C t 成立？OA tOB OC +=题型15.判断多边形的形状1.若，，且,则四边形的形状是 .3AB e = 5CD e =- ||||AD BC =2.已知，，，，证明四边形是梯形.(1,0)A (4,3)B (2,4)C (0,2)D ABCD 3.已知，，，求证：是直角三角形.(2,1)A -(6,3)B -(0,5)C ABC ∆4.在平面直角坐标系内，,求证：是等腰直(1,8),(4,1),(1,3)OA OB OC =-=-=ABC ∆角三角形.题型16.平面向量的综合应用1.已知，，当为何值时，向量与平行？(1,0)a =(2,1)b = k ka b - 3a b + 2.，且，，求的坐标.a b ⊥ ||2b = b 3.已知同向，，则，求的坐标.a b 与(1,2)b =10a b ⋅= a 3.已知，，，则 .(1,2)a = (3,1)b = (5,4)c =c = a + b 4.已知，，，请将用向量表示向量.(5,10)a = (3,4)b =-- (5,0)c =,a b c 5.已知，，（1）若与的夹角为钝角，求的范围；(,3)a m =(2,1)b =- a b m （2）若与的夹角为锐角，求的范围.a bm 6.已知，，当为何值时，（1）与的夹角为钝角？（2）与(6,2)a =(3,)b m =- m a b a 的夹角为锐角？b7.已知梯形的顶点坐标分别为，，，且，ABCD (1,2)A -(3,4)B (2,1)D //AB DC ，求点的坐标.2AB CD =C 8.已知平行四边形的三个顶点的坐标分别为，，，求第四ABCD (2,1)A (1,3)B -(3,4)C 个顶点的坐标.D 9.一航船以5km/h 的速度向垂直于对岸方向行驶，航船实际航行方向与水流方向成角，30求水流速度与船的实际速度.10.已知三个顶点的坐标分别为，，，ABC ∆(3,4)A (0,0)B (,0)C c （1）若，求的值；（2）若，求的值.0AB AC ⋅=c 5c =sin A 【备用】1.已知，求和向量的夹角.||3,||4,||5a b a b ==+= ||a b - ,a b112.已知，，且，，求的夹角的余弦.x a b =+ 2y a b =+ ||||1a b == a b ⊥ ,x y 1.已知，则 .(1,3),(2,1)a b ==-- (32)(25)a b a b +⋅-= 4.已知两向量，求当垂直时的x 的值.(3,4),(2,1)a b ==- a xb a b +- 与5.已知两向量，的夹角为锐角，求的范围.(1,3),(2,)a b λ== a b 与θλ变式：若，的夹角为钝角，求的取值范围.(,2),(3,5)a b λ==- a b 与θλ选择、填空题的特殊方法：1.代入验证法例：已知向量，则（ ）(1,1),(1,1),(1,2)a b c ==-=-- c = A. B. C. D.1322a b -- 1322a b -+ 3122a b - 3122a b -+ 2.排除法例：已知M 是的重心，则下列向量与共线的是（ ）ABC ∆AB A. B. C. D.AM MB BC ++ 3AM AC + AB BC AC ++ AM BM CM++。