1.1 集合的概念与运算 练出高分(含答案解析)
高考数学专项： 集合的概念(习题作业)解析版
1.1集合的概念一、单选题1．集合{3213,Z}x x x 用列举法表示为（）A ．{2,1,0,1,2}B ．{1,0,1,2}C ．{0,1}D ．{1}【答案】C【分析】直接求出集合中的元素即可.【详解】 {3213,Z}{12,Z}0,1x x x x x x .故选：C.2．给出下列关系：①12ÎR ；R ；③3 N ；④3Q ．其中正确的个数为（）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】C【分析】结合数的分类判断即可.【详解】12①正确，②错误；33 ，为自然数及有理数，正确.故选：C.3．若 1,20,0A ,，则集合A 中的元素个数是（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】B【分析】根据定义直接得到答案.【详解】 1,20,0A ,中的元素个数是2故选：B4．设集合 21,3M m m ，若3M ，则实数m =（）A ．0B ．1C ．0或1D ．0或1【答案】C【分析】根据元素与集合的关系，分别讨论213 m 和33m 两种情况，求解m 并检验集合的互异性，可得到答案.【详解】设集合 21,3M m m ，若3M ，3M ∵，213m 或33m ，当213 m 时，1m ，此时 3,4M ；当33m 时，0m ，此时 3,1M ；所以1m 或0.故选：C5．定义集合 *,,A B z z xy x A y B ∣，设集合 1,0,1A ， 1,1,3B ，则*A B 中元素的个数为（）A ．4B ．5C ．6D ．7【答案】B【分析】根据集合的新定义求得*A B ，从而确定正确答案.【详解】因为 1,0,1A ， 1,1,3B ，所以 *3,1,0,1,3A B ，故*A B 中元素的个数为5.故选：B.6．已知集合 A x x ，a a 与集合A 的关系是（）A ．a AB ．a AC ．a AD ． a A【答案】A【分析】对a 210a ，从而得到a a A .【详解】∵a∴225510a，∴a ，∴a A .故选：A7．已知集合 4,,2A x y ，22,,1B x y ，若A B ，则实数x 的取值集合为（）A ．{1,0,2}B ．{2,2}C ．1,0,2 D ．{2,1,2}【答案】B【分析】根据集合元素的唯一性分类讨论即可.【详解】因为A B ，所以2A .当2x 时，21y y ，得13y ；当22y 时，则2x .故实数x 的取值集合为 2,2 .故选：B8．已知21,2,1m m ，则实数m 等于（）A ．2B ．－1C ．2或－1D ．4【答案】C【分析】根据两集合相等列出方程，解方程，检验后得到答案.【详解】由已知得，22m m ，解得2m 或－1，经检验符合题意．故选：C.9．已知集合{3,2,0,1,2,3,7},{,}A B xx A x A ∣，则B （）A ．{0,1,7}B ．{1,7}C ．{0,2,3}D ．{0,1,2,3,7}【答案】B【分析】根据集合的描述法及元素与集合的关系求解.【详解】因为{3,2,0,1,2,3,7}A ，{,}B xx A x A ∣，所以{1,7}B .故选：B.10．集合 ,,A a b c 中的三个元素分别表示某一个三角形的三边长度，那么这个三角形一定不是（）A ．等腰三角形B ．锐角三角形C ．直角三角形D ．钝角三角形【答案】A【分析】根据集合中元素的互异性可得答案.【详解】根据集合中元素的互异性得,,a b b c a c ，故三角形一定不是等腰三角形.故选：A.11．已知集合 0,1,2,3,4,5,{(,)|,,}A B x y x A y A x y A ，则集合B 中所含元素个数为（）A ．20B ．21C ．22D ．23【答案】B【分析】根据x y 的值分类讨论，即可求出集合B 中所含元素个数．【详解】当0x y 时，有(0,0),(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(5,5)，6个元素；当1x y 时，有(1,0),(2,1),(3,2),(4,3),(5,4)，5个元素；当2x y 时，有(2,0),(3,1),(4,2),(5,3)，4个元素；当3x y 时，有(3,0),(4,1),(5,2)，3个元素；当4x y 时，有(4,0),(5,1)，2个元素；当5x y 时，有(5,0)，1个元素，综上，一共有21个元素．故选：B ．12．若集合 220222,10,,2n mn n A m n m nZ N ，则集合A 的元素个数为（）A ．4044B ．4046C ．22021D ．22022【答案】B【分析】由已知可得 2023202221=25n n m ，对n 是偶数和奇数进行分类讨论，对n 的A 的元素的个数.【详解】由题意， 2023202221=25n n m ，若n 为偶数，21n m 为奇数，若20232n ，则2022202320225212152n m m Z ，以此类推，202325n ，2023225n ，L ，2023202225n ，共2023个n ，每个n 对应一个m Z ；同理，若n 为奇数，21n m 为偶数，此时05n 、15、L 、20225，共2023个n ，每个n 对应一个m Z .于是，共有4046个n ，每一个n 对应一个m 满足题意.故选：B.二、多选题13．下列各组对象能构成集合的是（）A ．全体较高的学生B ．所有素数C ．2021年高考数学难题D ．所有正方形【答案】BD【分析】AC 不满足集合的确定性，BD 满足集合的确定性.【详解】A 选项中“比较高”标准不明确，不符合确定性，不能构成集合，A 错误；B 选项，所有素数满足确定性，能构成集合，B 正确；C 选项，“难题”的标准不明确，不符合确定性，不能构成集合，C 错误；D 选项，所有正方形满足确定性，能构成集合，D 正确故选：BD14．以下命题中正确的是（）A ．所有正数组成的集合可表示为0x x B ．大于2020小于2023的整数组成的集合为 20202023x x C ．全部三角形组成的集合可以写成{全部三角形}D ．N 中的元素比N 中的元素只多一个元素0，它们都是无限集【答案】AD【分析】由集合的概念和集合的表示方法，即可得到答案.【详解】正数均大于0，故所有正数的集合应表示为{|0}x x ，故A 正确；大于2020小于2023的整数组成的集合应表示为{Z |20202023}x x 或{2021,2022}，故B 不正确；全部三角形组成的集合应表示为{三角形}或{|x x 是三角形}，故C 不正确；N 为自然数集，N 为正整数集，故N 中的元素比N 中的元素只多一个元素0，它们都是无限集，故D 正确.故选：AD.15．已知集合M 中的元素x满足x a ，其中a ，Z b ，则下列选项中属于集合M 的是（）A ．0BC ．211D ．1【答案】ACD【分析】根据集合M 中的元素x 的性质即可判断.【详解】当0a b ==时，0x ，所以0M ，A 正确；当1,1a b 时，1x M ，C 正确；当1,3a b 时，1x M ，D 正确；因为Z a ，Z b ，故x a M ，B 错误.故选：ACD16．在整数集Z 中，被6除所得余数为k 的所有整数组成一个“类集”，其中{0,1,2,3,4,5}k ，记为[]k ，即[]{|6,Z}k x x n k n ，以下判断不正确的是（）A ．2022[2]B ．13[1]C ．若[0]a b ，则整数,a b 一定不属于同一类集D ．若[0]a b ，则整数,a b 一定属于同一类集【答案】ABC【分析】由“类集”的定义对选项逐一判断即可得出答案．【详解】对于A ，202263370 ∵，2022[0] ，故A 不正确；对于B ， 13635 ∵，13[5] ，故B 不正确；对于C ，若[0]a b ，则整数,a b 可能属于同一类集，比如3[3]a ，9[3]b ，则12[0]a b ，故C 不正确；对于D ，若 0a b ，则a b 被6除所得余数为0，则整数,a b 被6除所得余数相同，故整数,a b 属于同一类集，故D 正确，故选：ABC ．17．下列说法中，正确的是（）A的近似值的全体构成集合B ．自然数集N 中最小的元素是0C ．在数集Z 中，若a Z ，则a Z D ．一个集合中可以有两个相同的元素【答案】BC【分析】根据集合的定义以及集合元素的性质逐一判断，即可得到结果.【详解】对于A A 错误；对于B ，由自然数的定义可得B 正确；对于C ，若a Z ，则a Z ，故C 正确；对于D ，由集合的互异性可知，一个集合中不可以有两个相同的元素，故D 错误.故选:BC18．已知集合20,,32A m m m ，且2A ，则实数m 的取值不可以为（）A ．2B ．3C ．0D ．2【答案】ACD【分析】根据2A 可得出2m 或2322m m ，解出m 的值，然后对集合A 中的元素是否满足互异性进行检验，综合可得结果.【详解】因为集合20,,32A m m m ，且2A ，则2m 或2322m m ，解得0,2,3m .当0m 时，集合A 中的元素不满足互异性；当2m 时，2320m m ，集合A 中的元素不满足互异性；当3m 时， 0,3,2A ，合乎题意.综上所述，3m .故选：ACD.19．设集合23,2,4A x x x ，且5A ，则x 的值可以为（）A ．3B ．1 C ．5D ．3【答案】BC【分析】根据元素与集合的关系运算求解，注意检验，保证集合的互异性.【详解】∵5A ，则有：若25x ，则3x ，此时249123x x ，不符合题意，故舍去；若245x x ，则=1x 或5x ，当=1x 时， 3,1,5A ，符合题意；当5x 时， 3,7,5A ，符合题意；综上所述：=1x 或5x .故选：BC.20．下列说法错误的是（）A ．在直角坐标平面内，第一､三象限的点的集合为,0x y xy B|2|0y 的解集为 2,2 C ．集合 ,1x y y x 与1x y x 是相等的D ．若Z 11A x x ，则0.5A 【答案】BCD【分析】根据集合的定义依次判断即可求解.【详解】对于A ，因为0xy ，所以00x y 或00x y，所以集合为,0x y xy 表示直角坐标平面内第一､三象限的点的集合，故A 正确；对于B |2|0y 的解集为2,2 ，故B 错误；对于C ，集合,1x y y x 表示直线1y x 上的点，集合1x y x 表示函数1y x 的定义域，所以集合 ,1x y y x 与1x y x 不相等，故C 错误；对于D ，Z 111,0,1A x x ，所以0.5A ，故D 错误.故选：BCD.21．若对任意x A ，1A x，则称A 为“影子关系”集合，下列集合为“影子关系”集合的是（）A ． 1,1B ．1,22C ．21x x D ．0x x 【答案】ABD【分析】根据“影子关系”集合的定义逐项分析即可.【详解】根据“影子关系”集合的定义，可知 1,1 ，1,22， 0x x 为“影子关系”集合，由21x x ，得 1x x 或 1x ，当2x 时，2112x x ，故不是“影子关系”集合．故选：ABD 22．关于x 的方程241x k x x x x的解集中只含有一个元素，则k 的可能取值是（）A ．4B ．0C ．1D ．5【答案】ABD【分析】由方程有意义可得0x 且1x ，并将方程化为240x x k ；根据方程解集中仅含有一个元素可分成三种情况，由此可解得k 所有可能的值.【详解】由已知方程得：2100x x x，解得：0x 且1x ；由241x k x x x x得：240x x k ；若241x k x x x x的解集中只有一个元素，则有以下三种情况：①方程240x x k 有且仅有一个不为0和1的解，1640k ，解得：4k ，此时240x x k 的解为2x ，满足题意；②方程240x x k 有两个不等实根，其中一个根为0，另一根不为1；由0400k 得：=0k ，240x x ，此时方程另一根为4x ，满足题意；③方程240x x k 有两个不等实根，其中一个根为1，另一根不为0；由1410k 得：5k ，2450x x ，此时方程另一根为5x ，满足题意；综上所述：4k 或0或5.故选：ABD三、填空题23．已知集合22,33A a a ，且1A ，则实数a 的值为____________.【答案】1 或2【分析】根据元素与集合的关系求解.【详解】因为1A ，22,33A a a ，所以2331a a ，解得1a 或2a ，故答案为：1 或224．用列举法表示集合 4|M x x N N ___________．【答案】0,1,2,3,4【分析】根据题意可得x N 且04x ，再分别令0,1,2,3,4x 进行判断即可．【详解】由题意可得x N 且04x ，当0x 时，44x 当1x 时，43x ，符合题意；当2x 时，42x ，符合题意；当3x 时，41x ，符合题意；当4x 时，40x ，符合题意，综上， 4|0,1,2,3,4M x x N N ．故答案为： 0,1,2,3,4．25．已知 (1,2)(,)230x y x ay ，则a 的值为______．【答案】12/0.5【分析】根据元素与集合的关系，把点坐标代入直线方程运算即可求得a 的值．【详解】因为 (1,2)(,)230x y x ay ，所以2230a ，解得：12a ，故答案为：12．26．设集合6ZN 2A x x，则用列举法表示集合A 为______.【答案】{1,0,1,4}【分析】根据自然数集N 与整数集Z 的概念分析集合A 中的元素即可.【详解】要使6N 2x ，则2x 可取1,2,3,6，又Z x ，则x 可取1,0,1,4 ，故答案为： 1,0,1,4 .四、解答题27．含有三个实数的集合2,,b A a a a，若0A 且1A ，求20222022a b 的值.【答案】1【分析】利用集合中元素的互异性可求解.【详解】由0A ,可知0a ，故20a ，所以0,ba解得=0b ，又1A 可得21a 或=1a ，当=1a 时21a ，与集合中元素的互异性矛盾，所以21a 且1a ，所以1a ，故1a ，=0b ，所以202220221a b .28．已知集合 2{|10}A x x p x q ， 2{|111}B x x p x q x ，当 2A 时，求集合B ．【答案】{3B 【分析】根据集合和元素的关系解出,p q 的值，代入 2111x p x q x ，解一元二次方程即可.【详解】因为 2A ，所以 222120140p q p q ，解得34p q ，代入 2111x p x q x 得 213141x x x ，整理得2670x x ，解得3x所以{3B .29．已知集合2{|320,R,R}A x ax x x a .(1)若A 是空集，求a 的取值范围；(2)若A 中只有一个元素，求a 的值，并求集合A ；(3)若A 中至多有一个元素，求a 的取值范围【答案】(1)9,8(2)a 的值为0或98，当0a 时23A ，当98a 时43A (3)9{0},8【分析】（1）A 是空集，则方程为二次方程，且方程无实根；（2）A 中只有一个元素，则方程为一次方程，或方程为二次方程且方程有两个相同的根；（3）A 中至多有一个元素，则方程为一次方程，或方程为二次方程且至多一个实根.【详解】（1）A 是空集，0a 且Δ0 ，980a ，解得98a，a 的取值范围为：98（，）；（2）当0a 时，集合2{|320}3A x x，当0a 时，Δ0 ，980a ，解得98a ，此时集合43A，综上所求，a 的值为0或98，当0a 时，集合23A ，当98a 时，集合43A；（3）由12（），（）可知，当A 中至多有一个元素时，98a 或0a ，a 的取值范围为： 90[8 ）.30．已知集合2R |1210A x a x x ，a 为实数.(1)若集合A 是空集，求实数a 的取值范围；(2)若集合A 是单元素集，求实数a 的值；(3)若集合A 中元素个数为偶数，求实数a 的取值范围.【答案】(1)2a a (2)1a 或2a .(3){|2a a 且1}a 【分析】（1）若集合A 是空集，要满足二次方程 21210a x x 无解；（2）若集合A 是单元素集，则方程 21210a x x 为一次方程或二次方程Δ0 ；（3）若集合A 中元素个数为偶数，则A 中有0个或2个元素，二次方程21210a x x 无解或两不相同的解.【详解】（1）若集合A 是空集，则 210Δ2410a a，解得2a .故实数a 的取值范围为 2a a .（2）若集合A 是单元素集，则①当10a 时，即1a 时，1{R |210}{}2A x x ，满足题意；②当10a ，即1a 时， 2Δ2410a ，解得2a ，此时2|2101A x x x R .综上所述，1a 或2a .（3）若集合A 中元素个数为偶数，则A 中有0个或2个元素.当A 中有0个元素时，由(1)知2a ；当A 中有2个元素时，210,Δ(2)4(1)0a a 解得2a 且1a .综上所述，实数a 的取值范围为{|2a a 且1}a .。
第1课 集合的概念及运算(经典例题练习、附答案)
第1课 集合的概念及运算◇考纲解读理解集合、子集、补集、交集、交集的概念．了解空集和全集的意义．了解属于、包含、相等关系的意义．掌握有关的术语和符号，并会用它们正确表示一些简单的集合.◇知识梳理1.集合的基本概念：(1)一般地，我们把研究对象统称为_________,把一些元素组成的总体叫做________.(2)集合中的元素具有的三个特性是:____________、____________、___________.(3)集合有三种表示方法: 、 、 .还可以用区间来表示集合.(4)集合中元素与集合的关系分为______与______两种，分别用_____和_______来表示.(5)表示实数集的符号是_____;表示正实数集的符号是______;表示有理数集的符号是____; 表示整数集的符号是_____;表示自然数集的符号是_____;表示正整数集的符号是_____.2.集合间的关系:（1）若集合A 中的任何一个元素都是集合B 的元素，则称集合A 是集合B 的__ _,记作_ _.（2）对于两个集合A,B,若___________且___________,则称集合A=B.（3）如果集合A B ⊆,但存在元素x B ∈且x A ∉,我们称集合A 是集合B 的__________,记作___________.（4）___________________叫空集,记作______,并规定:空集是任何集合的_______.3.集合的基本运算:（1）A B =_______________________.（2）A B =_______________________.（3）若已知全集U,集合A U ⊆,则U C A =________________.4.有限集的元素个数若有限集A 有n 个元素，则A 的子集有_____个，真子集有_____，非空子集有_____个， 非空真子集有_____ 个．◇基础训练1. (2008韶关一模)设{}{}(,)46,(,)38A x y y x B x y y x ==-+==-，则AB =（ ） {}{}{}{}.(2,1).(2,2).(3,1).(4,2).A BCD ----2. (2007韶关二模)设全集{}，，，，，，，7654321=U ，{}16A x x x N *=≤≤∈，，则U C A=（ ）A .φB .{}7C .{}654321，，，，， D .{}7654321，，，，，， 3.（2007广州一模）如图1所示，U 是全集，A B 、是U 的子集，则阴影部分所表示的集合是（ ） A. A B B. )A C (B UC. A BD. )B C (A U4.(2008深圳一模)设全集{0,1,2,3,4}U =，集合{0,1,2}A =，集合{2,3}B =，则()U A B =（ ）A ．∅B ．{1,2,3,4}C ．{0,1,2,3,4}D ．{2,3,4}◇典型例题例1． (2007佛山一模) 设全集为 R ，A =}01|{<xx ，则=A C R ( )． A ．}01|{>x x B .｛x | x ＞0｝ C .｛x | x 0≥｝ D . }01|{≥xx变式：集合{|10}A x ax =-=,{}2|320B x x x =-+=,且A B B =,求实数a 的值.例2．已知{}{}22240,2(1)10A x x x B x x a x a =+==+++-=，其中a R ∈， 如果A ∩B=B ，求实数a 的取值范围。
高中数学必修一人教A版1.1 集合的概念练习(含答案及解析)(19)
1.1 集合的概念一、单选题1．已知集合{}240A x x =-=∣，则集合A 的所有子集的个数是（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4答案：D解析：可用列举法列出所有子集即可. 详解：集合{}{}2402,2A xx =-==-∣， 则集合A 的子集有∅、{}2、{}2,2-、{}2-. 集合A 的所有子集的个数为4. 故选：D.2．下列各组中的M 、P 表示同一集合的个数是（ ） ①{}3,1M =-，{(3,1)}P =-； ②{(3,1)}M =，{(1,3)}P =；③{}21M yy x ==-∣，{}1P t t =∣ ④{}21M yy x ==-∣，{}2(,)1P x y y x ==-∣. A ．0 B ．1 C ．2 D ．3答案：B解析：利用集合相等的概念判断. 详解：在①中，}1{3M =-，是数集，{(3,1)}P =-是点集，二者不是同一集合，故①错误； 在②中，{(3,1)}M =，{(1,3)}P =表示的不是同一个点，故②错误；在③中，{}21[1,)M yy x ==-=-∞∣，{1}[1,)P t t ===-+∞∣，二者表示同一集合，故③正确； 在④中，{}21M yy x ==-∣表示数集，{}2(,)1P x y y x ==-∣表示点集，故④错误. 故选：B.3．已知集合{}1,3,4,5,8A ＝，{}2,3,5,6,8B ＝ ，若{}|,C x x A x B =∈∉，则集合C =（ ） A ．{}1,2,4,6 B ．{}3,5,8C ．{}1,4D ．{}2,6答案：C解析：根据x A ∈且x B ∉先确定出C 中的元素，则C 可确定出. 详解：因为x A ∈且x B ∉，且仅有1,1,4,4A B A B ∈∉∈∉，所以C 中有元素：1,4， 所以{}1,4C =， 故选：C.4．设集合{}1,2,4A =，{}240B x x x m =-+=．若{}1A B ⋂=，则B = ( )A ．{}1,3-B ．{}1,0C ．{}1,3D ．{}1,5答案：C 详解：∵ 集合{}124A =，，，{}2|40B x x x m =-+=，{}1A B = ∴1x =是方程240x x m -+=的解，即140m -+= ∴3m =∴{}{}{}22|40|43013B x x x m x x x =-+==-+==，，故选C5．已知集合A=y|y=|x|﹣1，x∈R}，B=x|x≥2}，则下列结论正确的是 A ．﹣3∈A B ．3∉BC ．A∩B=BD ．A∪B=B答案：C 详解：试题分析：集合{}|1A y y =≥-A B B B A ∴⊆∴⋂= 考点：集合间的关系6．下列几组对象可以构成集合的是（ ） A ．充分接近π的实数的全体 B ．善良的人C ．世界著名的科学家D ．某单位所有身高在1.7m 以上的人答案：D解析：研究是否能组成集合，只需观察描述的对象没有一个明确的标准，再逐一检验即可． 详解：解：选项A ，B ，C 所描述的对象没有一个明确的标准，故不能构成一个集合， 选项D 的标准唯一，故能组成集合． 故选：D ． 点睛：本题考查了集合的概念，属于基础题．7．已知集合 A={}2|20,1,x x x a A a -+≥∉且则实数的取值范围是A ．(],1-∞B ．[)1,+∞C ．(),1-∞D ．[)0,+∞答案：C 详解：本题考查了集合与元素的关系． 解：解得：8．已知集合A ＝x∈N|x<6}，则下列关系式不成立的是（ ） A ．0∈A B ．1.5∉A C ．－1∉A D ．6∈A答案：D解析：根据集合的定义求解出集合A ，进而逐项验证答案即可. 详解：∵A＝x∈N|x<6}，A ∴0,1,2,3,4,5}， ∴6∉A ，选项ABC 不符合题意，选项D 符合题意 故选：D.9．已知集合22{(,)|1}A x y x y =+=，{(,)|}B x y y x ==，则A B 中元素的个数为（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．3答案：C 解析：联立221y xx y =⎧⎨+=⎩，解方程组，即可求出221x y +=与y x =的交点个数，即A B 中元素的个数. 详解：联立221y x x y =⎧⎨+=⎩，解得22x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩22x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩即221x y +=与y x =相交于两点22⎝⎭，22⎛ ⎝⎭， 故A B 中有两个元素. 故选：C ．点睛：本题考查集合的元素个数，考查学生的计算求解能力，属于基础题. 二、填空题1．已知关于x 的不等式2x x a +-≤2的解集为P ，若1P ∉，则实数a 的取值范围为________.答案：1(,1]2-解析：先根据1P ∈得不等式解得范围，再根据其补集得结果. 详解：若1P ∈，则12210111a a a a ++∴≥∴>--≤2或12a ≤- 因为1P ∉，所以112a -<≤ 故答案为：1(,1]2- 点睛：本题考查根据元素与集合关系求参数，考查基本分析求解能力，属基础题.2．设集合{}{}222221234512345,,,,,,,,,A a a a a a B a a a a a ==，其中12345,,,,a a a a a 是五个不同的正整数，{}123451414,,,10a a a a a A B a a a a <<<<⋂=+=，若A B 中所有元素的和为246，则满足条件的集合A 的个数为________ 答案：2解析：由题意可得211a a =，所以141,9a a ==，分类讨论当33a =和23a =时情况，即可得出结果.详解：由题意可得211a a =，所以141,9a a ==.由于B 中有9，因此A 中有3.若33a =，则22a =，于是2255551+23914981+246146a a a a +++++++=⇒+=，无正整数解. 若23a =，则2222353533551+3+91981246152+++++++=⇒+++=a a a a a a a a ，212+12=156>152，所以51011a ≤≤，当510a =时，36a =； 当511a =时，34a =；因此满足条件的A 共有2个，分别为{}{}1,3,4,9,11,1,3,6,9,10 故答案为：23．若不等式34x b -<的解集中的整数有且仅有5,6，则b 的取值范围是______.答案：[]16,17解析：先求得不等式34x b -<的解集4433b bx -++<<，根据不等式34x b -<的解集中的整数有且仅有5,6，得出不等式组44534673b b -+⎧≤<⎪⎪⎨+⎪<≤⎪⎩，即可求解，得到答案.详解：由题意，不等式34x b -<，即434x b -<-<，解得4433b bx -++<<， 要使得不等式34x b -<的解集中的整数有且仅有5,6，则满足44534673b b -+⎧≤<⎪⎪⎨+⎪<≤⎪⎩，解得1617b ≤≤，即实数b 的取值范围是[]16,17.故答案为[]16,17. 点睛：本题主要考查了绝对值不等式的求解，以及集合的应用，其中解答中正确求解绝对值不等式，根据题设条件得到不等式组是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.4．三角形的周长为31，三边a ，b ，c 均为整数，且a b c ≤≤，则满足条件的三元数组(,,)a b c 的个数为______.答案：24解析：根据三角形三边关系、周长为31，a b c ≤≤可求得313132c ≤<且max 10a =，采用列举法列举出所有可能的结果，从而得到三元数组的个数. 详解：由三角形三边关系及周长可得：31a b c a b c a c b++=⎧⎪+>⎨⎪>-⎩312c ⇒<又a b c ≤≤ 331c ∴≥，331a ≤，即313c ≥，313a ≤ 313132c ∴≤<，所以c 所有可能的取值为：11,12,13,14,15且max 10a = ①当11c =时，1010a b =⎧⎨=⎩或911a b =⎧⎨=⎩②当12c =时，910a b =⎧⎨=⎩或811a b =⎧⎨=⎩或712a b =⎧⎨=⎩③当13c =时，99a b =⎧⎨=⎩或810a b =⎧⎨=⎩或711a b =⎧⎨=⎩或612a b =⎧⎨=⎩或513a b =⎧⎨=⎩④当14c =时，89a b =⎧⎨=⎩或710a b =⎧⎨=⎩或611a b =⎧⎨=⎩或512a b =⎧⎨=⎩或413a b =⎧⎨=⎩或314a b =⎧⎨=⎩⑤当15c =时，88a b =⎧⎨=⎩或79a b =⎧⎨=⎩或610a b =⎧⎨=⎩或511a b =⎧⎨=⎩或412a b =⎧⎨=⎩或313a b =⎧⎨=⎩或214a b =⎧⎨=⎩或115a b =⎧⎨=⎩则三元数组(),,a b c 共有：2356824++++=个 本题正确结果：24 点睛：本题考查三角形三边关系，解题关键是能够得到边长的取值范围，然后根据分类计数原理，采用列举的方法求得结果.5．已知集合()()21|,}0{x x x x a x R --+=∈中的所有元素之和为1，则实数a 的取值范围为__________．答案：{}1,04⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭解析：首先确定集合中包含元素1；分别在20x x a -+=无实根、有两个相等实根和有两个不等实根三种情况下，讨论元素之和是否为1，综合可求得结果. 详解：令10x -=，解得：1x =①若20x x a -+=无实根，即140a ∆=-<，解得：14a > 此时集合只有一个元素1，满足题意②若20x x a -+=有两个相等实根，即140a ∆=-=，解得：14a =2104x x ∴-+=，解得：12x = ∴集合为11,2⎧⎫⎨⎬⎩⎭，不满足元素之和为1③若20x x a -+=有两个不等实根，即140a ∆=->，解得：14a < 设此时方程20x x a -+=的两根为12,x x ，则121x x =+ 若11x ≠，21x ≠，此时集合为{}121,,x x ，不满足元素之和为1若11x =，则20x =，此时集合为{}1,0，满足元素之和为1 120a x x ∴==综上所述：{}1,04a ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭故答案为：{}1,04⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭点睛：本题考查根据集合中元素的个数求解参数范围的问题，易错点是忽略集合中元素的互异性，在20x x a -+=有两个不等实根的情况下，忽略其中一个根为1的情况，造成求解错误. 三、解答题1．已知集合(){}*12|,,,,,1,2,,(2)n n i S X X x x x x N i n n ==∈=≥．对于()12,,,n A a a a =，()12,,,n n B b b b S =∈，定义()1122,,,n n AB b a b a b a =---；()12,,,n a a a λ()12,,,()n a a a λλλλ=∈R ；A与B 之间的距离为11221(,)ni i i d A B a b a b a b ==-=-+-++∑n n a b -．（1）当5n =时，设(1,2,1,2,5)A =，(2,4,2,1,3)B =，求(,)d A B ；（2）证明：若,,n A B C S ∈，且0λ∃>，使AB BC λ=，则(,)(,)(,)d A B d B C d A C +=； （3）记20(1,1,,1)I S =∈，若20,A B S ∈，且(,)(,)13d I A d I B ==，求(,)d A B 的最大值．答案：（1）(,)7d A B =（2）证明见解析（3）26解析：（1）当5n =时，由51(,)i i i d A B a b ==-∑直接求解即可；（2）设()12,,,n A a a a =，()12,,,n B b b b =，()12,,,n C c c c =，则由题意可得存在0λ>，使得()i i i i b a c b λ-=-，其中1,2,,i n =，得出 i i b a -与i i c b -同为非负数或同为负数，再计算(,)(,)d A B d B C +化简即可证明；（3）设(1,2,320),,,i i b a i -=中有m (20)m ≤项为非负数，20m -项负数，不妨设1,2,3,,i m =时，0i i b a -；1,2,,20i m m =++时，0i i b a -<，利用(,)(,)13d I A d I B ==，得出20201123iii i a b ====∑∑，整理()()2012121(,)2im ii m d A B a bb b b a a a ==-=+++-+++⎡⎤⎣⎦∑求出12m a a a m ++⋯+，12313n b b b b m +++⋯+≤+，即可得出(,)d A B 的最大值. 详解：（1）当5n =时，由51(,)i i i d A B a b ==-∑得(,)|12||24||12||21||53|7d A B =-+-+-+-+-=所以(,)7d A B =（2）设()12,,,n A a a a =，()12,,,n B b b b =，()12,,,n C c c c = 因为0λ∃>，使AB BC λ=所以0λ∃>，使得()()11221122,,,,,,n n n n b a b a b a c a c a c a λ---=--- 即存在0λ>，使得()i i i i b a c b λ-=-，其中1,2,,i n = 所以i i b a -与i i c b -同为非负数或同为负数所以11(,)(,)n ni i i i i i d A B d B C a b b c ==+=-+-∑∑()1n i i i i i b a c b ==-+-∑1(,)ni i i c a d A C ==-=∑（3）012(,)i i i d A B a b ==-∑设(1,2,320),,,i i b a i -=中有m (20)m ≤项为非负数，20m -项负数 不妨设1,2,3,,i m =时，0i i b a -；1,2,,20i m m =++时，0i i b a -<(,)(,)13d I A d I B ==()()20201111i i i i a b ==∴-=-∑∑整理得到20201123i i i i a b ====∑∑201(,)i i i d A B b a ==-∑()()()()21212201220i m m m m m m b b b a a a a a a b b b ++++=+++-++⋯+++++-+++⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦()()12122m m b b b a a a =+++-+++⎡⎤⎣⎦()()12312201220n m m b b b b b b b b b b +++++⋯+=++⋯+-+++()2320113m m ≤--⨯=+ 1220(20)120m m b b b m m +++++-⨯=-12m a a a m ++⋯+()()12312201220n m m b b b b b b b b b b ++∴+++⋯+=++⋯+-+++()2320113m m ≤--⨯=+ (,)2(13)26d A B m m ∴+-=故(,)d A B 的最大值为26 点睛：本题主要考查了集合新定义有关证明，属于较难题. 2．求方程22x x -=答案：{1,3}-解析：令22,0x x y y -=，求解关于y 的一元二次方程，再反求x 即可. 详解：令22,0x x y y -=，则原方程化为y =两边平方，整理得2230y y --=， 即(3)(1)0y y -+=． 解得,y y ==-1231，由0y 知1y ≠-，所以3y =， 即223x x -=， 解得3x =或1x =-．经检验，原方程的解集为{1,3}-． 点睛：本题考查利用换元法求解带根式的方程，属中档题；注意检验. 3．用描述法表示下列集合，并思考能否用列举法表示该集合 （1）所有能被3整除的自然数（2）不等式²230x x +-<的解集 （3）²230x x +-=的解集答案：答案见解析．解析：根据集合的表示法求解． 详解：（1）{|3,}x x n n N =∈，集合中元素个数无穷，不能用列举法表示； （2）2230x x +-<，即(1)(3)0x x -+<，31x -<<，集合为{|31}x x -<<，集合中元素有无数个，不能用列举法表示； （3）集合可表示为2{|230}x x x +-=，列举法表示为{3,1}-．。
考点01 集合的概念与运算(解析版)
考点01 集合的概念与运算1、了解集合的含义，体会元素与集合的关系。
2、了解集合之间包含关系与相等关系，能识别给定集合的子集，了解集合的全集与空集的含义。
3、理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集，会求给定集合的补集，集合部分内容无论是全国范围内还是在江苏或者新高考地区都属于容易题，是送分题。
纵观这几年各地区的真题考查知识点主要涉及集合的运算，即子集、交集、并集和补集之间的运算，往往与不等式结合，特别要注意与不等式结合是要借助于数轴。
1、集合与函数、方程以及不等式的集合是近几年江苏高考即模拟的热点，因此要注意各个模块知识点的融汇贯通。
考题的难度一般不是太大，就需要学生要细心答题。
2、在高考复习中要注意一下几点：①把握元素与集合、集合与集合之间的关系，明确集合，对集合中的元素进行分析，能化简的一定要化简。
②复习中要准确掌握集合语言、图形语言，突出等价转化思想，同时要掌握空集与全集以及特殊集合的关系。
③注意借助于图形关系表示集合基本关系的能力，渗透数形结合的思想。
解决含义参数问题时，要注意检验结合集合元素的互异性。
五年高考真题1、（2020年新高考全国一卷）1.设集合A={x|1≤x≤3}，B={x|2<x<4}，则A∪B=（）A. {x|2<x≤3}B. {x|2≤x≤3}C. {x|1≤x<4}D. {x|1<x<4}【答案】C【解析】故选：C2、（2020年新课标一卷）2.设集合A={x|x2–4≤0}，B={x|2x+a≤0}，且A∩B={x|–2≤x≤1}，则a=（）A. –4B. –2C. 2D. 4【答案】B【解析】求解二次不等式可得：，求解一次不等式可得：.由于，故：，解得：.故选：B.3、（2020年新课标二卷）1.已知集合U={−2，−1，0，1，2，3}，A={−1，0，1}，B={1，2}，则（）A. {−2，3}B. {−2，2，3}C. {−2，−1，0，3}D. {−2，−1，0，2，3}【答案】A【解析】由题意可得：，则.A故选：4、（2020年新课标三卷）.已知集合，，则A∩B中元素的个数为（）A. 2B. 3C. 4D. 5【答案】B【解析】由题意，，故中元素的个数为3.故选：B5、（2020年天津卷）.设全集，集合，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由题意结合补集的定义可知：，则.故选：C.6、（2020年江苏卷）已知集合，则_____.【答案】【解析】∵,∴故答案为：.7、（2020年浙江卷）.已知集合P=，，则P Q=（）A. B.C. D.【答案】B【解析】故选：B8、（2019年高考全国Ⅰ卷理数）已知集合，则=A．B．C．D．【答案】C【解析】由题意得，则．故选C．9、（2019年高考全国Ⅱ卷理数）设集合A={x|x2–5x+6>0}，B={x|x–1<0}，则A∩B=A．(–∞，1) B．(–2，1)C．(–3，–1) D．(3，+∞)【答案】A【解析】由题意得，或，，则．故选A．10、（2019年高考全国Ⅲ卷理数）已知集合，则A．B．C．D．【答案】A【解析】∵∴，∴，又，∴.故选A．11、（2019年高考天津理数）设集合，则A．B．C．D．【答案】D【解析】因为，所以.故选D.12、（2019年高考浙江）已知全集，集合，，则=A．B．C．D．【答案】A【解析】∵，∴.故选A.13、(2018·高考全国卷Ⅰ)已知集合A＝{x|x2－x－2>0}，则∁R A＝()A．{x|－1<x<2} B．{x|－1≤x≤2}C．{x|x<－1}∪{x|x>2} D．{x|x≤－1}∪{x|x≥2}【答案】B【解析】方法一：A＝{x|(x－2)(x＋1)>0}＝{x|x<－1或x>2}，所以∁R A＝{x|－1≤x≤2}，故选B。
高中数学必修一人教A版1.1 集合的概念练习(含答案及解析)(66)
1.1 集合的概念一、单选题1．已知集合{}*2A x N x =∈<，若a A ∈，则a 可能是（ ）A ．-2B ．0C ．1D ．2答案：C 解析：先化简集合A ，再根据a A ∈求解.详解： 集合{}{}*21A x N x =∈<=，因为a A ∈，所以a 可能是1故选：C2．已知集合{1,2,1}A a =-，2{0,3,1}B a =+，若{2}A B =，则实数a 的值为A ．1±B ．1-C ．1D ．0答案：B详解：因为{}2A B ⋂=，则a 2＋1＝2，即a ＝±1. 但当a ＝1时，A ＝1，2，0}，此时{}0,2A B =，不合题意，舍去，所以a ＝－1，故选B.3．下列各组中的M 、P 表示同一集合的是①{}3,1M =-，(){}3,1P =-；②(){}3,1M =，(){}1,3P =； ③{}21M y y x ==-，{}21P t t x ==-； ④{}21M y y x ==-，(){}2,1P x y y x ==-. A ．①B ．②C ．③D ．④答案：C 解析：对四组集合逐一分析，可选出答案.详解：对于①，集合M 表示数集，集合P 表示点集，两个集合研究的对象不相同，故不是同一个集合；对于②，两个集合中元素对应的坐标不相同，故不是同一个集合；对于③，两个集合表示同一集合.对于④，集合M 研究对象是函数值，集合P 研究对象是点的坐标，故不是同一个集合. 故选：C.点睛：本题考查相同集合的判断，属于基础题.4．若22{1,1,1}a a ∈++，则a =（ ）A ．2B ．1或－1C ．1D ．－1答案：D解析：分别令212a +=，12a +=，求出a 值，代入检验．详解：当212a +=时，1a =±，当1a =时，2112a a +=+=，不满足互异性，舍去，当1a =-时，集合为{1,2,0}，满足； 当12a +=时，1a =，不满足互异性，舍去.综上1a =-．故选：D ．点睛：本题考查集合的定义，掌握集合元素的性质是解题关键．求解集合中的参数值，一般要进行检验，检验是否符合元素的互异性．如有其他运算也要满足运算的结论．5．已知集合A ＝y|y 2﹣y ﹣2≤0，y∈Z}，则A ＝（ ）A ．y|﹣1≤y≤2}B ．y|y≤﹣1或y≥2}C ．﹣1，0，1，2}D ．﹣2，﹣1，0，1}答案：C解析：解一元二次不等式即可得结果.详解：解不等式得{}2=20,{|}=1,0,1,2A y y y y Z --≤∈-， 故选：C.点睛：本题主要考查了一元二次不等式的解法，集合的表示，属于基础题.6．已知集合2{|210,,}A x ax x a x =++=∈∈R R 只有一个元素，则a 的值为 （ ）A ．0B ．1C ．0或1D ．—1答案：C详解：因为集合2{|210,,}A x ax x a x =++=∈∈R R 只有一个元素，所以0a =或200240a a a ≠⎧∴=⎨-=⎩或1a =，选C.7．设非空数集M 同时满足条件：①M 中不含元素－1，0，1；②若a∈M，则11a a +-∈M.则下列结论正确的是（ ）A ．集合M 中至多有2个元素B ．集合M 中至多有3个元素C ．集合M 中有且仅有4个元素D ．集合M 中至少有4个元素答案：D解析：由若a∈M，则11a a +-∈M，依次计算可求出集合M 中的元素 详解：因为a∈M，11a a +-∈M， 所以111111aa a a++-+--＝－1a ∈M， 所以1111a a +---＝11a a -+∈M， 又因为11111a a a a -++--+＝a ，所以集合M 中必同时含有a ，－1a ，11a a +-，11a a -+这4个元素， 由a 的不确定性可知，集合M 中至少有4个元素．故选：D 8．对于非空数集M ，定义()f M 表示该集合中所有元素的和.给定集合{2,3,4,5}S =，定义集合(){},T f A A S A =⊆≠∅，则集合T 的元素的个数为（ ）A ．11B ．12C ．13D ．14答案：B解析：分别考虑集合A 为单元素集、双元素集、三元素集、四元素集，然后分别计算出()f A 的取值，由此确定出集合T 中的元素的个数.详解：当集合A 为单元素集时，可取{}{}{}{}2,3,4,5，此时()f A 可取2,3,4,5；当集合A 为双元素集时，可取{}{}{}{}{}{}2,3,2,4,2,5,3,4,3,5,4,5，此时()f A 可取5,6,7,8,9； 当集合A 为三元素集时，可取{}{}{}{}2,3,4,2,3,5,2,4,5,3,4,5，此时()f A 可取9,10,11,12， 当集合A 为四元素集时，可取{}2,3,4,5，此时()f A 可取14，综上可知()f A 可取2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,14，共12个值，所以T 的元素个数为12，故选：B.点睛：本题考查集合中的新定义问题，对学生的理解与分析问题的能力要求较高，难度较难.解答新定义的集合问题，首先要明确集合中表示元素的含义，其次才是解答问题.9．已知集合A ＝x|x<a}，B ＝x|x 2－3x ＋2<0}，若A∩B＝B ，则实数a 的取值范围是（ ）A ．a<1B ．a≤1C ．a>2D ．a≥2答案：D解析：解一元二次不等式得到集合B ，由A∩B＝B 可得B ⊆A ，结合数轴可得答案. 详解：集合B ＝x|x 2－3x ＋2<0}＝x|1<x<2}，由A∩B＝B 可得B ⊆A ，作出数轴如图,可知a≥2.故选：D点睛：本题考查由集合的包含关系求参数问题，属于基础题.二、填空题1．已知集合{}221,(1),33A m m m m =+--+，若1A ∈，则2021m =__________.答案：1解析：分别令三个元素为1，求m 后，验证互异性，即可求解.详解：依题意，分别令11m +=，得0m =，此时()211m -=，不满足互异性；当()211m -=，得0m =或2m =，检验后，都不满足互异性；当2331m m -+=，解得：1m =或2m =，经检验，1m =，成立，所以20211=m .故答案为：12．若}{221x x ∈+，，则x 的值为__________.答案：2-或1解析：利用元素与集合关系得22=+x x ，再结合元素互异性求解即可详解：}{221x x ∈+，，故22=1+x x x ∴=或-2 经检验满足互异性故填2-或1点睛：本题考查元素与集合的关系，注意互异性的检验，是基础题3．若2∈–2x ，x 2–x}，则x=___________．答案：2解析：利用元素2和集合之间的关系，求值。
高中数学必修一人教A版1.1 集合的概念-单选专项练习(含答案及解析)(38)
1.1 集合的概念1．,{}1P a =，若21a P +∈，则a 可取的值有A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个答案：C解析：由21a P +∈得到211a +=或21a a +=，解出a 的值后分别代入集合P 进行验证即可得到答案.详解：由,{}1P a =，21a P +∈，得：211a +=或21a a +=，若211a +=，解得0a =，此时{0,1}P =；若21a a +=，解得1a =-，此时,1{}1P =-；.综上，a 可取的值有2个.故选：C.点睛：本题主要考查集合中元素的特征，属于基础题.2．集合A 中有三个元素2，3，4，集合B 中有三个元素2，4，6，若x∈A 且x ∉B ，则x 等于（ ）A ．2B ．3C ．4D ．6答案：B解析：根据题意得到集合A 中的元素3不在集合B 中，即可得到答案.详解：集合A 中的元素3不在集合B 中，且仅有这个元素符合题意．故选：B3．已知集合{}3,M x x n n ==∈Z ，{}31,N x x n n ==+∈Z ，{}31,P x x n n ==-∈Z ，且a M ∈，N b ∈，c P ∈，若d a b c =-+，则． A ．d M ∈B ．d N ∈C ．d P ∈D ．d M ∈且d N ∈答案：B 解析：设3,31,31a k b y c m ==+=-，得到()32d k y m =-+-，结合集合的表示，即可求解，得到答案．详解：由题意，设3a k =，k ∈Z ，31b y =+，y ∈Z ，31c m =-，m ∈Z ，则()()3313132d k y m k y m =-++-=-+-，令t k y m =-+，则t ∈Z ，且()32331311d t t t =-=-+=-+，t ∈Z ，则d N ∈，故选B ．点睛：本题主要考查了集合的表示方法及其应用，其中解答中根据集合的元素形式，合理运算，结合集合表示方法求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题．4．下列集合中表示同一集合的是（ ）A ．{(3,2)}M =，{(2,3)}N =B ．{4,5}M =，{5,4}N =C ．{}(,)1M x y x y =+=，{}1N y x y =+=D ．{1,2}M =，{(1,2)}N =答案：B解析：根据集合的元素是否相同判断即可．详解：解：A 两个集合的元素不相同，点的坐标不同，B 两个集合的元素相同，C 中M 的元素为点，N 的元素为数，D 中M 的元素为点，N 的元素为数，故A ，C ，D 都不对．故选：B ．5．设a ，R b ∈，集合 {}10b a b a b a ⎧⎫+=⎨⎬⎩⎭，，，，，则 b a -=（ ）A ．1B ．1-C ．2D ．2-答案：C解析：根据集合相等得到0a b += 或 0a =，再由分母不为零，即可得到0a ≠，从而得到=-a b ，1b a=-，即可求出a 、b ． 详解：解：{}1,,0,,b a b a b a⎧⎫+=⎨⎬⎩⎭，注意到后面集合中有元素 0， 由于集合相等的意义得 0a b += 或 0a =．0b a≠，0a ∴≠，0a b ∴+=，即 =-a b ，1b a=-， 1b ∴=，1a =-，2b a ∴-=． 故选：C6．在“①高一数学课本中的难题；②所有的正三角形； ③方程220x +=的实数解”中，能够表示成集合的是A ．②B ．③C ．②③D ．①②③答案：C解析： 高一数学中的难题的标准不确定，因而构不成集合，而正三角形标准明确，能构成集合，方程x 2－2＝0的解也是确定的，能构成集合，故选C.点睛：集合元素的特性：确定性、互异性、无序性．对于一个元素，其要么属于集合，要么不属于这个集合，二者选一，不可不选.对于集合中任意两个元素，它们必不相等.7．已知{}22(,)1,,A x y x y x Z y Z =+≤∈∈，{}(,)3,3,,B x y x y x Z y Z =≤≤∈∈.定义集合{}12121122(,)(,),(,),A B x x y y x y A x y B ⊕=++∈∈，则A B ⊕的元素个数n 满足（ ）A ．77n =B ．49n ≤C ．64n =D ．81n ≥答案：A 解析：先理解题意，然后分①当11x =±,10y =时,②当10x =,11y =±时, ③当10x =,10y =时,三种情况讨论即可.详解：解:由{}22(,)1,,A x y x y x Z y Z =+≤∈∈，{}(,)3,3,,B x y x y x Z y Z =≤≤∈∈,①当11x =±,10y =时, 124,3,2,1,0,1,2,3,4x x +=----,123,2,1,0,1,2,3y y +=---,此时A B ⊕的元素个数为9763⨯=个,②当10x =,11y =±时, 123,2,1,0,1,2,3x x +=---,124,3,2,1,0,1,2,3,4y y +=----,这种情况和第①种情况除124,4y y +=-外均相同,故新增7214⨯=个,③当10x =,10y =时, 123,2,1,0,1,2,3x x +=---,123,2,1,0,1,2,3y y +=---,这种情况与前面重复,新增0个,综合①②③可得:A B ⊕的元素个数为6314077++=个,故选:A.点睛：本题考查了元素与集合关系的判断，重点考查了计数原理的应用，属中档题.8．有下列各组对象：①接近于0的数的全体；②比较小的正整数的全体；③平面上到点O 的距离等于1的点的全体；④直角三角形的全体.其中能构成集合的个数是（ ）A ．2B ．3C ．4D ．5答案：A解析：根据集合的确定性进行判断.详解：①不能构成集合，“接近”的概念模糊，无明确标准；②不能构成集合，“比较小”也是不明确的，多小算小没明确标准；③④均可构成集合，因为任取一个元素是否是此集合的元素有明确的标准可依.故选：A点睛：本题考查集合元素的确定性，属于基础题.9．下列集合的表示法正确的是（ ）A ．第二、四象限内的点集可表示为（x ，y ）|xy≤0，x∈R，y∈R}B ．不等式x ﹣1＜4的解集为x ＜5}C ．整数集可表示为全体整数}D ．实数集可表示为R答案：D解析：根据集合的定义和集合的表示方法可得选项.详解：解：对于A ，第二、四象限内的点集可表示为（x ，y ）|xy ＜0，x∈R，y∈R}，故A 错误； 对于B ，其中缺少代表元素及竖线，故B 错误；对于C ，其中应去掉“全体”，故C 错误；对于D ，实数集可表示为R ，故D 正确．故选：D ．10．若a 是R 中的元素，但不是Q 中的元素，则a 可以是（ ）A ．3.14B ．－5C ．37 D答案：D解析：首项R 代表实数集，Q 代表有理数集，对四个数判断是无理数即可.详解：由题意知a 是实数，但不是有理数，故a 应为无理数，故a .故选：D点睛：本题主要考查了元素与集合的关系，涉及了专用数集符号，属于基础题.11．设集合{}21,M xx x ==∈R ∣，则集合M 的非空真子集的个数为（ ） A ．0B ．1C ．2D ．4答案：C 解析：写出集合M 的非空真子集即可.详解：由题知{1,1}M =-，所以集合M 的非空真子集为{1},{1}-所以个数为2个，故选：C.12．在下列选项中，能正确表示集合{2,0,2}A =-和{}220B xx x =+=∣关系的是 A ．A B =B ．A B ⊇C ．A B ⊆D ．A B =∅答案：B 解析：由题意，求解一元二次方程220x x +=，可得 {2,0}B =-，即可判断集合A 和B 的关系． 详解：由题意，解方程220x x +=，得：0x =或2x =-，∴ {2,0}B =-，又{2,0,2}A =-所以B A ⊆，故选：B ．点睛：本题考查了集合的包含关系判断及应用，其中解答中正确求解集合B 是解答本题的关键，着重考查了推理与运算能力，属于简单题．13．下面对集合1,5,9,13,17}用描述法表示，其中正确的一个是( )A ．x|x 是小于18的正奇数}B ．x|x ＝4k ＋1，k∈Z，k<5}C ．x|x ＝4t －3，t∈N，t<5}D ．x|x ＝4s －3，s∈N *，s<6}答案：D详解：集合中的元素除以4余1，故可以用41(04,)k k k Z +≤≤∈或43(15,)k k k Z -≤≤∈来表示，故选D.14．设{}|21,A x x n n Z ==+∈，则下列正确的是A ．A ∅∈B ．2∈∅C ．3A ∈D ．{}2A ∈答案：C详解：试题分析：集合A 表示的是奇数集，故选C ．考点：描述法表示集合及元素与集合的关系．15．下列四个结论中，正确的是（ ）A ．{}00=B ．{}00∈C ．{}00⊆D ．0=∅答案：B解析：根据元素与集合的关系判断．详解：元素与集合之间不能用“＝”和“⊆”表示它们之间的关系．A ，C ，D 均错，只有B 是正确．故选：B ．点睛：本题考查元素与集合的关系，属于简单题．16．下列表示实数集合的是（ ）A ．RB ．QC ．ZD ．N答案：A解析：由五种常用数集的符号，可直接得出结果.详解：表示实数集合的是R .故选：A17．集合{}2|--6=0M x x x =，则以下错误的是（ ）A ．－2∈MB ．3∈MC ．M =－2，3}D ．M ＝－2，3答案：D解析：解一元二次方程，得到方程的解集，再逐个判断.详解：{}{}2|60=2,3M x x x =--=-，2M ∴-∈，且3M ∈.∴A 、B 、C 正确，D 项集合的表示方法错误.故选：D.18．集合*63A x N Z x ⎧⎫=∈∈⎨⎬-⎩⎭，用列举法可以表示为（ ）A ．{}1,2,4,9B ．{}1,2,4,5,6,9C ．{}6,3,2,1,3,6----D ．{}6,3,2,1,2,3,6----答案：B 解析：根据63Z x ∈-且*x ∈N 确定出所有x 的可取值，然后用列举法表示集合即可.详解： 因为63Z x ∈-且*x ∈N ，所以x 的可取值有：1,2,4,5,6,9，所以列举法表示集合为：{}1,2,4,5,6,9，故选：B.19．设{}25A x x =≤≤，{}23B x a x a =≤≤+，若A B ⊆，则实数a 的取值范围是（）A ．()()1,22,3⋃B ．(],1-∞C ．[)23，D ．ϕ答案：D解析：利用集合间的包含关系列出不等式组，求解即可.详解： 解：{}25A x x =≤≤，{}23B x a x a =≤≤+且A B ⊆，232235a a a a ≤+⎧⎪∴≤⎨⎪+≥⎩，此不等式组无解.故选：D.20．设非空集合P ，Q 满足P Q P =，则( )A ．x Q ∀∈，有x P ∈B ．x Q ∀∉，有x P ∉C ．0x Q ∃∉，使得0x P ∈D ．0x P ∃∈，使得0x P ∉答案：B 解析：根据交集运算结果判定集合关系，再结合Venn 图判断元素与集合的关系即可． 详解：解：P Q P =，P Q ∴⊆A ∴错误；B 正确；C 错误；D 错误．故选：B ．点睛：本题考查命题真假的判断，考查子集的关系，属于基础题．。
高中数学必修一人教A版1.1 集合的概念-单选专项练习(含答案及解析)(25)
1.1 集合的概念1．集合M ＝x|x 2－x －6＝0}，则以下正确的是( )A ．－2}∈MB ．－2⊆MC ．－3∈MD ．3∈M答案：D解析：∵集合{}2|60M x x x =--= ∴集合{}2,3M =-∴2M -∈，3M ∈故选D.2．给定{}1,2,3,4,5,6,7,8S =对于x S ∈,如果11x S x S +∉-∉,,那么x 是S 的一个“好元素”，由S 的3个元素构成的所有集合中，不含“好元素”的集合共有个A ．6个B ．12个C ．9个D ．5个答案：A解析：要不含“好元素”，说明这三个数必须连在一起，列举可得．详解：解：要不含“好元素”，说明这三个数必须连在一起（要是不连在一起，分开的那个数就是“好元素”）故不含“好元素”的集合共有1，2，3}，2，3，4}，3，4，5}，4，5，6}，5，6，7}，6，7，8}共6种可能故选A ．点睛：本题考查新定义，读懂新定义并列举是解决问题的关键，属基础题．3．设集合{}A 4,8=，则集合A 的子集个数是A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个答案：D解析：对于集合A 的子集个数，由于A 中元素个数较少，故可以直接枚举出每个子集，或者根据知识点：若集合中有n 个元素，则子集的个数为2n ，进行求解．详解：集合A 中元素的个数为2，故子集的个数为22=4 个．分别为∅，{}4，{}8和{}48，．故选D ． 点睛：本题考查知识点：若集合中有n 个元素，则子集的个数为2n ，非空子集有21n -个，非空真子集有22n -个．4．设集合{}1,0,1,2A =-，{}1,2B =，{},,C x x ab a A b B ==∈∈，则集合C 中元素的个数为（ ）A ．5B ．6C ．7D ．8答案：B解析：分别在集合,A B 中取,a b ，由此可求得x 所有可能的取值，进而得到结果.详解：当1a =-，1b =时，1ab =-；当1a =-，2b =时，2ab =-；当0a =，1b =或2时，0ab =；当1a =，1b =时，1ab =；当1a =，2b =或2a =，1b =时，2ab =；当2a =，2b =时，4ab =；{}2,1,0,1,2,4C ∴=--，故C 中元素的个数为6个. 故选：B.5．若1{0,}a ∈，则实数a =（ ）A ．1-B ．0C ．1D ．0或1答案：C解析：根据集合的确定性，互异性，即可求得答案.详解：因为1{0,}a ∈，根据集合性质可得：1a =.故选：C6．下列叙述正确的是（ ）A ．集合x|x<3，x∈N}中只有两个元素B ．x|x 2－2x ＋1＝0}＝1}C ．整数集可表示为Z}D ．有理数集表示为x|x 为有理数集}答案：B解析：根据集合与元素的关系，以及集合的表示方法，判断选项.详解：A.集合中元素有0，1，2，错；B.{}{}22101x x x -+==，正确；C.整数集表示为Z ，错；D.有理数集表示为x|x 为有理数}，错.故选：B.7．下列元素的全体不能组成集合的是（ ）A ．中国古代四大发明B ．地球上的小河流C ．方程210x -=的实数解D ．周长为10的三角形答案：B解析：根据集合元素的确定性，即可得答案；详解：地球上的小河流没有一个明确的标准，∴无法构成集合， 故选：B.8．用d （A ）表示集合A 中的元素个数，若集合A=0，1}，B=x|（x 2-ax ）（x 2-ax+1）=0}，且|d （A ）-d （B ）|=1．设实数a 的所有可能取值构成集合M ，则d （M ）=（ ）A ．3B ．2C ．1D ．4答案：A解析：根据题设条件，可判断出d （B ）的值为1或3，然后研究（x 2﹣ax ）（x 2﹣ax+1）＝0的根的情况，分类讨论出a 可能的取值．详解：解：由题意，|d （A ）-d （B ）|=1，d （A ）=2，可得d （B ）的值为1或3若d （B ）=1，则x 2-ax=0仅有一根，必为0，此时a=0，则x 2-ax+1=x 2+1=0无根，符合题意 若d （B ）=3，则x 2-ax=0有一根，必为0，此时a=0，则x 2-ax+1=x 2+1=0无根，不合题意 故x 2-ax=0有二根，一根是0，另一根是a ，所以x 2-ax+1=0必仅有一根，所以△=a 2-4=0，解得a=±2此时x 2-ax+1=0为1或-1，符合题意综上实数a 的所有可能取值构成集合M=0，-2，2}，故d （M ）=3．故选：A ．点睛：本题考查方程的根的个数的判断以及集合中元素个数，综合性较强，考查了分类讨论的思想及一元二次方程根的个数的研究方法，难度中等．9．下列式子表示正确的有（ ）Q ；②N Z =；③Q R ⊆；④Q π∉A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个答案：C解析：根据集合,,,N Z Q R 的意义即可做出判断.详解：因为集合Z 中有负数，N 中没有负数，所以②错误；③Q R ⊆正确；因为π是无理数，所以④正确，故选C.点睛：本题考查常用数集及其关系，属基础题.10．若{}2213,1,1a a a -∈---，则a=（ ）A ．1-B ．0C ．1D ．0或1答案：C 解析：根据元素与集合的关系，分类讨论，根据所等到的方程，解方程，最后符合集合元素的互异性即可.详解：因为{}2213,1,1a a a -∈---，所以有211a a --=-或211a -=-.当211a a --=-时，解得0a =或1a =，当0a =时，2211a a a --=-，不符合集合元素的互异性，故舍去，所以1a =.当211a -=-时，解得0a =，由上可知舍去，综上：1a =.故选：C点睛：本题考查已知集合的元素求参数问题，考查了集合元素的互异性，属于基础题.11．已知集合M =2|1x x =}，N =|1x ax =}，若N M ⊆，则实数a 等于（ ）A ．1B ．1-C ．±1D ．±1或0答案：D解析：先求出集合M =2|1x x =}=﹣1，1}，当a=0时，N=∅，成立；当a≠0时，N=1a }，由N M ⊆得11a =-或1a =1．由此能求出实数a 的取值集合． 详解：∵集合M =2|1x x =}=﹣1，1}，N =|1x ax =}，N M ⊆，∴当a=0时，N=∅，成立；当a≠0时，N=1a }，∵N M ⊆，∴11a=-或1a =1．解得a=﹣1或a=1， 综上，实数a 的取值集合为1，﹣1，0}．故选：D ．点睛：易错点点睛：本题考查实数的取值范围的求法，考查子集、不等式性质等基础知识，容易漏考虑N =∅的情况.12．已知集合(){}223A x y x y x Z y Z =+≤∈∈，，，，则A 中元素的个数为（ ） A ．9B ．8C ．5D ．4答案：A 解析：根据枚举法，确定圆及其内部整点个数.详解：223x y +≤23,x ∴≤x Z ∈1,0,1x ∴=-当1x =-时，1,0,1y =-；当0x =时，1,0,1y =-；当1x =时，1,0,1y =-；所以共有9个，故选：A.点睛：本题考查集合与元素关系，点与圆位置关系，考查学生对概念理解与识别.13．下列四个关系中，正确的是A ．{},a a b ∈B ．{}{},a a b ∈C ．{}a a ∉D ．{},a a b ∉答案：A解析：根据集合与元素的关系和集合与集合的关系可以选出正确答案.详解： 元素a 与集合{}{}a a b 、，是属于关系，故A 对，C 、D 错误，而{}{},a a b 、之间是包含关系，所以B 错误，故本题选A.点睛：本题考查了元素与集合之间以及集合与集合之间的关系，掌握属于关系和包含关系是解题的关键.14．下列关系中正确的是（ ）A ．0∈∅B QC ．0N ∈D ．{}1(0,1)∈答案：C解析：根据空集是不含有任何元素的集合，得到A B 不正确； 由元素与集合的关系，得到D 不正确，即可求解.详解：由题意，A 中，空集是不含有任何元素的集合，所以不正确；Q 不正确；根据元素与集合的关系，{}1(0,1)∈不正确，又由0是自然数，所以0N ∈，故选C.点睛：本题主要考查了元素与集合的关系，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.15．已知集合{}{}{}0,2,3,4,5,7,1,2,3,4,6,|,A B C x x A x B ===∈∉，则C 的元素的个数为A ．2B ．3C ．4D ．5答案：B详解：试题分析：由题意可知{}{}|,0,5,7C x x A x B =∈∉=，即集合C 中有三个元素，故选B. 考点：集合的表示及运算.16．方程组3231x y x y +=⎧⎨-=⎩的解的集合是（ ） A ．x=2，y=1}B ．2，1}C ．(2，1)}D ．∅答案：C 解析：先解方程组，再利用列举法表示.详解：方程组3231x y x y +=⎧⎨-=⎩，解得21x y =⎧⎨=⎩， 所以方程组的解的集合是(2，1)}，故选：C点睛：本题主要考查集合的表示，属于基础题.17．已知集合(){}22,|2,,A x y x y x y =+≤∈∈N N ，则A 中元素的个数为（ ）A ．4B ．9C ．8D ．6答案：A 解析：根据题中条件，分别讨论0x =和1x =两种情况，即可得出结果.详解：因为222x y +≤，x N ∈，y ∈N ，当0x =时，0y =，1；当1x =时，0y =，1，所以共有4个元素，故选：A.点睛：本题主要考查判断集合中元素的个数，属于基础题型.18．如果集合中的元素是三角形的边长，那么这个三角形一定不可能是（ ）A ．直角三角形B ．锐角三角形C ．钝角三角形D ．等腰三角形答案：D解析：由集合元素的互异性可得解.详解：根据集合元素的互异性可知，该三角形一定不可能是等腰三角形.故选：D.19．若集合{}2|(2)210A x k x kx =+++=有且仅有1个真子集，则实数k 的值是（ ）. A ．2-B ．1-或2C ．1-或2±D ．1-或2-答案：C 解析：集合A 中有且只有1个真子集，等价为集合A 只有一个元素，然后分20k +=、20k +≠两种情况讨论即可.详解：集合2{|(2)210}A x k x kx =+++=有且仅有1个真子集，∴集合A 只有一个元素．若20k +=，即2k =-时，方程等价为410x -+=，解得14x =，满足条件．若20k +≠，即2k ≠-时，则方程满足△0=，即244(2)0k k -+=，220k k ∴--=，解得2k =或1k =-． 综上：2k =-或2k =或1k =-．故选：C20．下列各组对象不能构成集合的是( )A ．拥有手机的人B ．某校高一(1)班成绩优秀的学生C ．所有有理数D ．小于π的正整数答案：B解析：根据集合元素的“确定性”，可知B 项中的对象不符合集合的定义，而其它各项都有明确的定义，符合集合元素的特征，由此可得正确选项．详解：对于A ，“拥有手机的人”其中的对象是明确的，能构成集合；对于B ，“成绩优秀的学生”其中对象是不明确的，不能构成集合；对于C ，“所有有理数”其中对象是明确的，能构成集合；对于D ，“小于π的正整数”其中对象是明确的，能构成集合.故选：B.点睛：本题考查了集合的定义和集合元素的性质等知识，属于基础题.。
高中数学必修一人教A版1.1 集合的概念练习(含答案及解析)(3)
1.1 集合的概念一、单选题1．若{}12,1a -∈+，则a =（ ）A ．1-B ．0C ．1D ．2-答案：D解析：由{}12,1a -∈+，列出方程可求得a 的值．详解：{}12,1,11a a -∈+∴+=-，解得2a =- 故选：D2．已知{}232,2a a ∈++，则实数a 的值为（ ）A ．1或1-B ．1C ．1-D ．1-或0答案：C 解析：分类讨论，解出a ，根据集合中元素的互异性进行验证可得解.详解：当23a +=时，得1a =，此时223a +=，不满集合中元素的互异性，不合题意；当223a +=时，得1a =±，若1a =，则23a +=，不满集合中元素的互异性，不合题意；若1a =-，则21a +=，满足{}232,2a a ∈++.故选：C点睛：易错点点睛：求出a 后，不对集合中元素的互异性进行验证导致错误.3．已知集合{}6,8,9A =，则（ ）A ．6A ∈B ．7A ∈C ．8A ∉D ．9A ∉答案：A解析：根据元素与集合的关系，求解即可.详解：集合{}6,8,9A =∴6A ∈，7A ∉，8A ∈，9A ∈ 故选：A点睛：本题考查元素与集合的关系，属于容易题.4．设集合{}|2A x x =<，则A ．2A ∈B ．0A ∉C ．3A ∉D ．3A ∈答案：D解析：根据集合的定义判断．详解：集合A 是由小于2的实数组成，0和3都小于，应该属于A ，2不小于2，不属于A ． 故选：D.点睛：本题考查集合的定义，考查元素与集合的关系，属于基础题．5．已知集合{0,1,2}A =，那么（ ）A ．0A ⊆B ．0A ∈C ．{1}A ∈D ．{}0,1,2A答案：B解析：根据元素和集合间，以及集合与集合间的关系即可判断.详解：集合{0,1,2}A =，0A ∴∈，故A 错误，B 正确；又{1}A ⊆，∴C 错误；而{}0,1,2A =，D ∴错误.故选：B .点睛：本题主要考查的是元素和集合间，集合和集合间的关系，考查的是学生的理解能力，和解决问题的能力，是基础题.6．已知集合{}2310A x ax x =-+=至多有一个元素，则实数a 的取值范围是 A ．9[,)4+∞B ．{}9(,]04-∞C ．{}9[,)04+∞D ．[0,)+∞答案：C 解析：通过讨论当0a =时，当0a ≠时，结合二次函数的性质求出实数a 的取值范围. 详解：当0a =时，可得310x -+=，解得13x =，符合题意；当0a ≠时，要使集合{}2310A x ax x =-+=至多一个元素，则940a ∆=-≤，即94a ≥. 综上所述，实数a 的取值范围为{}9[,)04+∞.故选：C.点睛：本题考查的知识点是元素与集合关系的判断，解题时要认真审题，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地进行等价转化，注意二次项的系数为字母时，一定讨论系数为0时的情况．7．已知非零实数,,a b c ，则代数式a b c a b c ++表示的所有的值的集合是（ ） A ．{3}B ．{3}-C ．{3,3}-D ．{3,3,1,1}--答案：D解析：根据绝对值的定义分类讨论，按,,a b c 中正负数分类．详解：当0x >时，1=x x ，当0x <时，1=-x x ， 因此，若,,a b c 都为正数，则a b c a b c ++3=； 若,,a b c 两正一负，则a b c a b c ++1=； 若,,a b c 一正两负，则a b c a b c ++1=-； 若,,a b c 都为负数，则a b c a b c++3=-. 所以代数式a b c a b c ++表示的所有的值的集合是{3,3,1,1}--.故选：D ．点睛：本题考查绝对值的定义，对于含多个绝对值的式子，根据绝对值的定义分类讨论去绝对值符号后可得结论．8．定义集合运算：(){},,A B z z x x y x A y B ==-∈∈※︳，设集合 {}1,2A =，{}2,3B =，则集合 A B ※ 的所有元素个数为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．5答案：B解析：求出集合 A B ※ 的所有元素，即得解.详解：当1,2x y ==时，1(12)1z =⨯-=-；当1,3x y ==时，1(13)2z =⨯-=-；当2,2x y ==时，2(22)0z =⨯-=；当2,3x y ==时，2(23)2z =⨯-=-.所以集合 A B ※ 的共有3个元素.故选：B点睛：本题主要考查集合的新定义，考查集合的元素的互异性，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.9．方程组326x y x y -=⎧⎨+=⎩的解构成的集合为（ ） A ．{}3,0x y ==B ．(){}3,0C ．{}3,0D ．{}0,3答案：B 解析：解方程组,可得方程组的解,再表示成集合即可.详解：因为方程组326x y x y -=⎧⎨+=⎩ 解方程可得30x y =⎧⎨=⎩表示成集合形式为(){}3,0故选:B点睛：本题考查了方程解的集合表示形式,注意要写成点坐标,属于基础题.二、多选题1．当一个非空数集G 满足“如果,a b G ∈,则,,a b a b ab G +-∈,且0b ≠时,a G b ∈”时,我们称G 就是一个数域,以下关于数域的说法:①0是任何数域的元素;②若数域G 有非零元素,则2019G ∈;③集合{}|2,P x x k k Z ==∈是一个数域;④有理数集是一个数域;⑤任何一个有限数域的元素个数必为奇数.其中正确的选项有A ．①②B ．②③C ．③④D ．④⑤答案：AD解析：利用已知条件中数域的定义判断各命题的真假，题目给出了对两个实数的四种运算，要满足对四种运算的封闭，只有一一验证.详解：①当a b =时，由数域的定义可知，若,a b G ∈，则有a b G -∈，即0G ∈，故①是真命题;②当0a b =≠时，由数域的定义可知，若,a b G ∈，则有a G b ∈，即1G ∈，若1G ∈，则112G +=∈，则213G +=∈，则120182019G +=∈，故②是真命题；③当2,4a b ==时，12a G b =∉，故③是假命题；④若,a b Q ∈，则,,a b a b ab Q +-∈，且0b ≠时,a Qb ∈，故④是真命题； ⑤0G ∈，当b G ∈且0b ≠时，则b G -∈，因此只要这个数不为0就一定成对出现，所以有限数域的元素个数必为奇数，所以⑤是真命题.故选：AD .点睛：本题考查学生对新定义题型的理解和把握能力，理解数域的定义是解决该题的关键，题目着重考查学生的构造性思维，一定要读懂题目再入手，没有一个条件是多余的，是难题.2．下列表示正确的是（ ）A ．0∈NB ．27∈ZC ．3-∉ZD ．π∉Q E.13∈Q答案：ADE解析：由数集的定义依次判断选项即可详解：对于A,0是自然数,则0∈N ,故A 正确；对于B,27不是整数,则27∉Z ,故B 错误； 对于C,3-是整数,则3-∈Z ,故C 错误；对于D,π是无理数,则π∉Q ,故D 正确；对于E,13是有理数,则13∈Q ,故E 正确故选ADE点睛：本题考查数集的定义,属于基础题3．已知集合A 含有两个元素3a -和21a -，若3A -∈，则实数a 的值可以为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．1-答案：AD解析：根据题意分类讨论元素的值，注意检验集合元素的互异性.详解：因为集合A 含有两个元素3a -和21a -，且3A -∈.所以当33a -=-，即0a =时，集合A 元素为1,3--，符合题意；当21=3a --，即1a =-时，集合A 元素为4,3--，符合题意.故实数a 的值可以为0,1-.故选:AD4．若集合{}2|320A x R ax x =∈-+=中只有一个元素，则a 的取值可以是（ ） A ．92B ．98C ．0D ．1答案：BC 解析：根据实数a 的正负性，结合一元二次根的判别式进行求解即可.详解：当0a =时，{}2|3203A x R x ⎧⎫=∈-+==⎨⎬⎩⎭，符合题意； 当0a ≠时，2(3)80a ∆=--=，即98a =，故选：BC.5．下列各组对象能构成集合的是（ ）A ．拥有手机的人B ．2020年高考数学难题C ．所有有理数D ．小于π的正整数答案：ACD解析：根据集合元素的性质可判断.详解：根据集合的概念，可知集合中元素的确定性，可得选项A 、C 、D 中的元素都是确定的，故选项A 、C 、D 能构成集合，但B 选项中“难题”的标准不明确，不符合确定性，不能构成集合．故选：ACD.三、填空题1．我国古代数学名著《孙子算经》中有如下问题:“今有三女，长女五日一归，中女四日一归，小女三日一归，问三女何时相会？”则此三女前三次相会经过的天数用集合表示为____.答案：{}60,120,180解析：根据三女相会经过的天数是5，4，3的公倍数求解.详解：因为三女相会经过的天数是5，4，3的公倍数，且它们的最小公倍数为60，所以三女前三次相会经过的天数用集合表示为{}60,120,180.故答案为：{}60,120,180.2．实数集{}23,,2x x x -中的元素x 应满足的条件是____________．答案：103x x x ≠-≠≠且且详解：试题分析：集合中的元素必须满足互异性，即一个集合中不能出现相同的元素.因此，x 须满足223{232x x x x x x≠-≠-≠解之得：3x ≠且1x ≠-且0x ≠考点：集合中元素的互异性.3．已知集合2{|280}A x N x x =∈--<，则A 中所有元素之和为________.答案：6解析：由题意，求得集合{|24}A x N x =∈-<<，利用列举法表示集合，即可得到答案. 详解：由题意，集合2{|280}A x N x x =∈--<，即{|24}{0,1,2,3}A x N x =∈-<<=，所以集合的元素之和为01236+++=故答案为6.点睛：本题主要考查了集合的表示方法，其中解答中正确求解集合A ，合理利用列举表示是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.4．若集合{}240,A x x x k x R =++=∈中只有一个元素，则实数k 的值为_______．答案：4解析：∵240x x k ++=由唯一的实根，∴164k 0=-=，解得：4k =故答案为：45．集合*{|06,}A x x x N =≤≤∈,可以用列举法表示为___________；答案：{1,2,3,4,5,6}解析：根据N *是正整数集合,结合不等式06x ≤≤直接用列举法表示即可.详解：{}*{|06,}1,2,3,4,5,6A x x x N =≤≤∈=.故答案为：{1,2,3,4,5,6}点睛：本题考查了用列举法表示集合.知道N *表示正整数集合是解题的关键.四、解答题1．用适当的方法表示下列集合：（1）方程组2314328x y x y -=⎧⎨+=⎩，的解集； （2）方程2210x x -+=的实数根组成的集合；（3）平面直角坐标系内所有第二象限的点组成的集合；（4）二次函数2210y x x =+-的图象上所有点的纵坐标组成的集合.答案：（1）{(4,2)}-；（2）{1}；（3）{(,)0x x y x <且0}y >；（4）{}2|210y y x x =+-.解析：（1）解方程组，用列举法表示解集即可；（2）求解方程2210x x -+=的实数根，用列举法方式即可；（3）由第二象限的点，横坐标，纵坐标与0的关系，用描述法表示即可；（4）用描述法表示即可.详解：（1）解方程组2314328x y x y -=⎧⎨+=⎩，，得42x y =⎧⎨=-⎩，，故解集可用列举法表示为{(4,2)}-. （2）方程2210x x -+=的实数根为1，因此可用列举法表示为{1}.（3）集合的代表元素是点，可用描述法表示为{(,)0x x y x <且0}y >.（4）二次函数2210y x x =+-的图象上所有点的纵坐标组成的集合中，代表元素为y ，故可用描述法表示为{}2|210y y x x =+-.点睛：本题主要考查了用列举法和描述法表示集合，属于基础题.2．已知集合A含有两个元素a和a2，若1∈A，求实数a的值.答案：a＝－1.详解：试题分析：本题中已知集合A中有两个元素且1∈A，据集合中元素的特点需分a＝1和a2＝1两种情况，最后注意集合中元素的互异性，进行验证.试题解析：若1∈A，则a＝1或a2＝1，即a＝±1.当a＝1时，集合A有重复元素，∴a≠1；当a＝－1时，集合A含有两个元素1，－1，符合互异性.∴a=-1.点睛：利用元素的性质求参数的方法，已知一个元素属于集合，求集合中所含的参数值．具体解法：(1)确定性的运用：利用集合中元素的确定性解出参数的所有可能值．(2)互异性的运用：根据集合中元素的互异性对集合中元素进行检验．3．用另一种方法表示下列集合：（1）（x，y）|2x+3y=12，x，y∈N}；（2）0，1，4，9，16，25，36，49}；（3）平面直角坐标系中第二象限内的点}．答案：（1）（3，2），（6，0），（0,4）} （2）x|x=n2，n∈N，0≤n≤7} （3）（x，y）|x＜0，y＞0}．解析：（1）直接利用集合的列举法，写出结果即可．（2）直接利用集合的描述法，写出结果即可（3）根据第二象限的坐标范围，写出结果即可详解：（1）（x，y）|2x+3y=12，x，y∈N}=（3，2），（6，0），（0,4）}；（2）0，1，4，9，16，25，36，49}=x|x=n2，n∈N，0≤n≤7}；（3）平面直角坐标系中第二象限内的点}=（x，y）|x＜0，y＞0}．点睛：本题考查集合的表示方法，基本知识的应用．。
集合的概念与运算例题及答案
1 集合的概念与运算（一）目标： 1.理解集合、子集的概念，能利用集合中元素的性质解决问题2.理解交集、并集、全集、补集的概念，掌握集合的运算性质，3.能利用数轴或文氏图进行集合的运算,掌握集合问题的常规处理方法．重点： 1.集合中元素的3个性质，集合的3种表示方法，集合语言、集合思想的运用;2.交集、并集、补集的求法，集合语言、集合思想的运用．基本知识点：知识点1、集合的概念（1）集合：某些指定的对象集在一起就形成一个集合（简称集）（2）元素：集合中每个对象叫做这个集合的元素知识点2、常用数集及记法（1）非负整数集（自然数集）：全体非负整数的集合记作N ，{}Λ,2,1,0=N（2）正整数集：非负整数集内排除0的集记作N *或N + {}Λ,3,2,1*=N （3）整数集：全体整数的集合记作Z , {}Λ，，，210±±=Z（4）有理数集：全体有理数的集合记作Q , {}整数与分数=Q（5）实数集：全体实数的集合记作R {}数数轴上所有点所对应的=R注：（1）自然数集与非负整数集是相同的，也就是说，自然数集包括数0（2）非负整数集内排除0的集记作N *或N + Q 、Z 、R 等其它数集内排除0的集，也是这样表示，例如，整数集内排除0的集，表示成Z *知识点3、元素与集合关系（隶属）（1）属于：如果a 是集合A 的元素，就说a 属于A ，记作a ∈A（2）不属于：如果a 不是集合A 的元素，就说a 不属于A ，记作A a ∉注意：“∈”的开口方向，不能把a ∈A 颠倒过来写知识点4、集合中元素的特性（1）确定性：按照明确的判断标准给定一个元素或者在这个集合里，或者不在，不能模棱两可（2）互异性：集合中的元素没有重复（3）无序性：集合中的元素没有一定的顺序（通常用正常的顺序写出）知识点5、集合与元素的表示：集合通常用大写的拉丁字母表示，如A 、B 、C 、P 、Q ……元素通常用小写的拉丁字母表示，如a 、b 、c 、p 、q ……例题精析1：1、下列各组对象能确定一个集合吗？（1）所有很大的实数 （不确定）（2）好心的人 （不确定）（3）1，2，2，3，4，5．（有重复）2、设a,b 是非零实数，那么b ba a+可能取的值组成集合的元素是_-2,0,2__3、由实数x,－x,｜x ｜,332,x x -所组成的集合，最多含（ A ）（A ）2个元素 （B ）3个元素 （C ）4个元素 （D ）5个元素4、设集合G 中的元素是所有形如a ＋b 2（a ∈Z, b ∈Z ）的数，求证：(1) 当x ∈N 时, x ∈G;(2) 若x ∈G ，y ∈G ，则x ＋y ∈G ，而x1不一定属于集合G 证明(1)：在a ＋b 2（a ∈Z, b ∈Z ）中，令a=x ∈N,b=0,则x= x ＋0*2= a ＋b 2∈G,即x ∈G证明(2)：∵x ∈G ，y ∈G ，∴x= a ＋b 2（a ∈Z, b ∈Z ）,y= c ＋d 2（c ∈Z, d ∈Z ）∴x+y=( a ＋b 2)+( c ＋d 2)=(a+c)+(b+d)2∵a ∈Z, b ∈Z,c ∈Z, d ∈Z∴(a+c) ∈Z, (b+d) ∈Z∴x+y =(a+c)+(b+d)2 ∈G ，又∵211b a x +=＝2222222b a b b a a --+- 且22222,2b a b b a a ---不一定都是整数， ∴211b a x +=＝2222222b a b b a a --+-不一定属于集合G知识点6、集合的表示方法：（1）列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内表示集合例如，由方程012=-x 的所有解组成的集合，可以表示为{-1，1}注：（1）有些集合亦可如下表示：从51到100的所有整数组成的集合：{51，52，53， (100)所有正奇数组成的集合：{1，3，5，7，…}（2）a 与{a}不同：a 表示一个元素，{a}表示一个集合，该集合只有一个元素（2）描述法：用确定的条件表示某些对象是否属于这个集合，并把这个条件写在大括号内表示集合的方法格式：{x ∈A| P （x ）}含义：在集合A 中满足条件P （x ）的x 的集合例如，不等式23>-x 的解集可以表示为：}23|{>-∈x R x 或}23|{>-x x所有直角三角形的集合可以表示为：}|{是直角三角形x x注：（1）在不致混淆的情况下，可以省去竖线及左边部分如：{直角三角形}；{大于104的实数}（2）错误表示法：{实数集}；{全体实数}（3）、文氏图：用一条封闭的曲线的内部来表示一个集合的方法思考：何时用列举法？何时用描述法？⑴有些集合的公共属性不明显，难以概括，不便用描述法表示，只能用列举法如：集合},5,23,{2232y x x y x x +-+⑵有些集合的元素不能无遗漏地一一列举出来，或者不便于、不需要一一列举出来，常用描述法 如：集合}1|),{(2+=x y y x ；集合{1000以内的质数}例 集合}1|),{(2+=x y y x 与集合}1|{2+=x y y 是同一个集合吗？答：不是因为集合}1|),{(2+=x y y x 是抛物线12+=x y 上所有的点构成的集合，集合}1|{2+=x y y =}1|{≥y y 是函数12+=x y 的所有函数值构成的数集例题精析2：1、用描述法表示下列集合①{1，4，7，10，13} }5,23|{≤∈-=n N n n x x 且②{-2，-4，-6，-8，-10} }5,2|{≤∈-=n N n n x x 且2、用列举法表示下列集合①{x ∈N|x 是15的约数} {1，3，5，15}②{（x ，y ）|x ∈{1，2}，y ∈{1，2}}{（1，1），（1，2），（2，1）（2，2）}注：防止把{（1，2）}写成{1，2}或{x=1，y=2}③⎩⎨⎧=-=+}422|),{(y x y x y x )}32,38{(- ④},)1(|{N n x x n ∈-= {-1，1}⑤},,1623|),{(N y N x y x y x ∈∈=+ {（0，8）（2，5），（4，2）}⑥}4,|),{(的正整数约数分别是y x y x{（1，1），（1，2），（1，4）（2，1），（2，2），（2，4），（4，1），（4，2），（4，4）}3、关于x 的方程ax ＋b=0，当a,b 满足条件____时，解集是有限集；当a,b 满足条件_____时，解集是无限集4、用描述法表示下列集合：(1) { 1, 5, 25, 125, 625 }= ;(2) { 0,±21, ±52, ±103, ±174, ……}= 巩固提升：1、数集{}21,,x x x -中元素x 所满足的条件是 2、已知{}23,21,1A a a a =--+，其中a R ∈， ⑴若3A -∈，求实数a 的值；⑵当a 为何值时，集合A 的表示不正确。
数学必修一1.1.1集合概念章节练习(有答案)
1.1.1集合的含义与表示1已知集合M={3,m+1},且4∈M,则实数m等于( ).A.4B.3C.2D.12已知M={0,x-1},则实数x满足的条件是( ).A.x≠0B.x≠1C.x=0或1D.x≠0且x≠13用描述法表示方程x<-x-3的解集为.4集合A={x∈N|2x2-x-1=0}用列举法表示为.5选择适当的方法表示下列集合:(1)绝对值不大于3的整数组成的集合;(2)二次函数y=-3x2+2x+4的函数值组成的集合;(3)一次函数y=x+6图象上所有点组成的集合.1下列关系正确的是( ).A.0∈NB.1∉RC.π∈QD.-3∉Z2集合{(x,y)|y=2x-1}表示( ).A.方程y=2x-1B.点(x,y)C.平面直角坐标系中的所有点组成的集合D.函数y=2x-1图象上的所有点组成的集合3已知集合M中的元素a,b,c是△ABC的三边长,则△ABC一定不( ).A.锐角三角形B.钝角三角形C.直角三角形D.等腰三角形4.2010年10月31日,为期6个月的上海世博会落幕.本次世博会的主题是:城市,让生活更美好.副主题是:城市多元文化的融合;城市经济的繁荣;城市科技的创新;城市社区的重塑;城市和乡村的互动.共有189个国家、57个国际组织参展上海世博会.设上海世博会的展馆组成的集合为M,上海世博会的志愿者组成的集合为Q,下列表示集合M 和Q正确的是( ).A.M={x|x是上海世博会展馆},Q={x|x是志愿者}B.M={x|x是世博会展馆},Q={x|x是上海世博会的志愿者}C.M={x|x是世博会展馆},Q={x|x是志愿者}D.M={x|x是上海世博会展馆},Q={x|x是上海世博会的志愿者5设集合A=,若x1∈A,x2∈A,则必有( ).A.x1+x2∈AB.x1x2∈AC.x1-x2∈AD.∈A6集合{x∈N|2x-5<0}中所有元素的和为.8集合A={x|x2-2x+m=0}含有两个元素,则实数m满足的条件是.9用适当的方法表示下列集合:(1)不超过10的非负偶数组成的集合;(2)大于10的所有自然数组成的集合.10(能力拔高题)若集合A={x|x=3n+1,n∈Z},B={x|x=3n+2,n∈Z},M={x|x=6n+3,n∈Z}.若m∈M,问是否存在a∈A,b∈B,使m=a+b?1解析:∵4∈M,∴m+1=4.∴m=3.答案:B2解析:由题意得x-1≠0,则x≠1.答案:B3答案:{x|x<-x-3}4解析:解方程2x2-x-1=0,得x=1或x=-.又因为x∈N,则A={1}.答案:{1}5解:(1)绝对值不大于3的整数是-3,-2,-1,0,1,2,3,共有7个,则用列举法表示为{-3,-2,-1,0,1,2,3}.(2)二次函数y=-3x2+2x+4的函数值有无数个,用描述法表示为{y|y=-3x2+2x+4}.(3)一次函数y=x+6图象上有无数个点,用描述法表示为{(x,y)|y=x+6}.1.答案:A2.答案:D3.解析:∵a∈M,b∈M,c∈M,∴a,b,c互不相等.∴△ABC一定不是等腰三角形.答案:D4.解析:A项中,集合Q中的元素是志愿者,没有指明是上海世博会的志愿者,所以A项不正确;B项中,集合M是世博会展馆,没有指明是上海世博会展馆,所以B项不正确;同理,C项也不正确;很明显D项正确.答案:D5.解析:如果元素具有(n∈N)的形式,则这个元素属于集合A.由于x1∈A,x2∈A,可设x1=(m∈N),x2=(k∈N).又x1x2=·=,m+k∈N,∴x1x2∈A,故B项正确;取x1=,x2=,可验证A项、C项、D项是错误的.答案:B6解析:{x∈N|2x-5<0}=={0,1,2},0+1+2=3.答案:38解析:集合A是关于x的一元二次方程x2-2x+m=0的解集,∵A中含有两个元素,∴Δ=4-4m>0,∴m<1.答案:m<19.解:(1)不超过10的非负偶数有0,2,4,6,8,10,共6个,故可用列举法表示为{0,2,4,6,8,10}.(2)大于10的所有自然数有无数个,故可用描述法表示为{x|x>10,x∈N}.10(能力拔高题)解:设m=6k+3=(3k+1)+(3k+2)(k∈Z),令a=3k+1,b=3k+2,则m=a+b.∵k∈Z,∴a∈A,b∈B.故若m∈M,一定存在a∈A,b∈B,使m=a+b成立.。
高中数学必修一人教A版1.1 集合的概念-单选专项练习(含答案及解析)(20)
1.1 集合的概念1．已知集合{},A xx a π==∣a 与集合A 的关系是（ ）. A ．a A ∈B ．a A ∉C ．a A =D ．{}a A ∈答案：B解析：比较a =π的大小关系，得到答案. 详解：1.732≈ 3.146≈π，∴a A ∉. 故选：B.点睛：本题考查了元素与集合的关系，属于基础题.2．设P 是一数集，且至少含有两个数，若对任意,a b P ∈，都有a b +、-a b 、ab 、a P b ∈（除数0b ≠），则称P 是一个数域，例如有理数集Q 是数域，数集{,}F a a b Q =+∈也是数域，则下列命题：① 整数集是数域；② 若有理数集Q M ⊆，则数集M 必为数域；③ 数域必为无限集；④ 存在无穷多个数域；其中正确的命题的序号（ ）A ．①②④B ．②③④C ．③④D ．②④ 答案：C解析：根据题中定义，结合特殊值法逐一判断即可.详解：①例如a=1，b=2，除法为12Z ∉不满足条件，故①不正确；②若MM ，则集合M 就不是数域，②不正确；③因为数域中的元素可以任意取两个，进行连续的四则运算，可产生无数个元素，所以数域必为无限集，③正确；④因为任意两个数，即可产生一个数域，故数域有无穷多个，④正确；故选择：C ．3．已知{}22,25,12A a a a =-+其3A -∈，则由a 的值构成的集合是（ ）A ．∅B ．31,2⎧⎫--⎨⎬⎩⎭C ．{}-1D ．32⎧⎫-⎨⎬⎩⎭答案：D解析：分23a -=-，2253a a +=-讨论，求出a ，再带入集合{}22,25,12A a a a =-+看是否满足互异性即可.详解：解：3A -∈，当23a -=-，即1a =-时，{}3,3,12A =--，集合中有相同元素，舍去；当2253a a +=-，即1a =-（舍）或32a =-时，7,3,122A ⎧⎫=--⎨⎬⎩⎭，符合， 故由a 的值构成的集合是32⎧⎫-⎨⎬⎩⎭.故选：D点睛：本题考查元素与集合的关系，以及集合元素的互异性，注意带入验证，是基础题.4．已知集合A ＝a ，|a|，a －2}，若2∈A，则实数a 的值为（ ）A ．－2B ．2C ．4D ．2或4答案：A解析：根据元素和集合的关系以及集合元素的互异性确定正确选项.详解：依题意2A ∈，若2a =，则2=a ，不满足集合元素的互异性，所以2a ≠； 若2=a ，则2a =-或2a =（舍去），此时{}2,2,4A =--，符合题意；若22a -=，则4a =，而4a=，不满足集合元素的互异性，所以4a ≠. 综上所述，a 的值为2-.故选：A点睛：本小题主要考查元素与集合的关系，考查集合元素的互异性，属于基础题.5．下列说法不正确的是（ ）A ．*0∈NB ．0∈NC ．0.1∉ZD ．2∈Q答案：A解析：根据元素与集合的关系以及常见数集的符号表示即可得出选项.详解：*N 为正整数集，则*0∉N ，故A 不正确；N 为自然数集，则0∈N ，故B 正确；Z 为整数集，则0.1∉Z ，故C 正确；Q 为有理数集，则2∈Q ，故D 正确；故选：A点睛：本题考查了常见数集的符号表示，需熟记符号所表示的数集，属于基础题.6．下列各组对象能构成集合的是（ ）A ．新冠肺炎死亡率低的国家B ．19世纪中国平均气温较高的年份C ．一组对边平行的四边形D ．x 的近似值答案：C解析：根据集合的定义判断即可.详解：只要一组对边平行的四边形都在选项C 这个全体中，那么C 中所有对象能构成一个集合，而选项A 、B 、D 都没有明确的判定标准判定某个个体是否在全体中.故选：C.点睛：本题考查集合的概念及判断，属于简单题.7．已知集合2{|680,}M x ax x a =-+=∈R ，若M 中只有一个元素，则a 的值是（ ）A ．0B ．98C ．0或98D ．98-答案：C解析：当0a =时,方程只有一个实数根；当0a ≠时,0∆=,求解即可详解：当0a =时,方程268680ax x x -+=-+=只有一个实数根,满足题意；当0a ≠时,由题意得()22(6)320648a a -∆=--⋅==-,解98a = 故选：C点睛：本题考查由元素的个数求参数,考查分类讨论思想8．设集合{}1A x x =≥，{}12B x x =-<<，则A B =（ ）A ．{}1x x >-B ．{}1x x ≥C ．{}11x x -<<D ．{}12x x ≤<答案：D解析：由题意结合交集的定义可得结果.详解：由交集的定义结合题意可得：{}|12A B x x =≤<.故选：D.9．设集合{}{},,1,2,4a b ab =，则a b +=（ ）A ．2B ． 3C ．5D ．6答案：C解析：根据集合的互异性，进行分类讨论，然后求解即可详解：①当1a =时, {}{}1,,1,2,4b b =,则24b b =⎧⎪⎨=⎪⎩或42b b =⎧⎪⎨=⎪⎩， 当24b b =⎧⎪⎨=⎪⎩时，该方程组无解，当42b b =⎧⎪⎨=⎪⎩时，解得4b = ②当1b =时，{,1,}{1,2,4}a a =，则24a a =⎧⎪⎨=⎪⎩或42a a =⎧⎪⎨=⎪⎩. 当24a a =⎧⎪⎨=⎪⎩时，该方程组无解，当42a a =⎧⎪⎨=⎪⎩时，解得4a = ③当1ab =，即1ab =时，显然0a ≠，则1b a =，此时1,,1{1,2,4}a a ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭， 当214a a =⎧⎪⎨=⎪⎩时，该方程组无解，当412a a=⎧⎪⎨=⎪⎩时，该方程组无解. 综上所述，1a =，4b =或4a =，1b =，故5a b +=故选：C点睛：本题考查集合的互异性，考查学生的分类思想，属于基础题10．下面有四个命题：（1）集合N 中最小的数是1；（2）若a -不属于N ，则属于N ；（3）若则的最小值为2；（4）的解可表示为； 其中正确命题的个数为A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个 答案：A详解： （1）最小的数应该是0，（2）反例：0.5N -∉，但0.5N ∉，（3）当0,1,1a b a b ==+=,（4）元素的互异性11．已知a R ∈，b R ∈，若集合{}2,,1,,0ba a ab a ⎧⎫=+⎨⎬⎩⎭，则20192019a b +的值为（ ） A ．2-B ．1-C ．1D ．2答案：B 解析：本题可根据{}2,,1,,0b a a a b a ⎧⎫=+⎨⎬⎩⎭得出201b a a a b a ⎧=⎪⎪=+⎨⎪=⎪⎩，然后通过计算以及元素的互异性得出a 、b 的值，即可得出结果.详解： 因为{}2,,1,,0b a a a b a ⎧⎫=+⎨⎬⎩⎭， 所以201b a a a b a ⎧=⎪⎪=+⎨⎪=⎪⎩，解得01b a =⎧⎨=⎩或01b a =⎧⎨=-⎩， 当1a =时，不满足集合元素的互异性，故1a =-，0b =，()2019201920192019101a b +=-+=-，故选：B.点睛：易错点睛：通过集合相等求参数时，要注意求出参数后，检验集合中的元素是否满足互异性，考查计算能力，是中档题.12．已知集合{}13A x R x =∈<<，则下列关系正确的是（ ）A ．1A ∈B ．2A ∉C ．3A ∈D ．4A ∉答案：D解析：根据元素与集合的关系可得答案.详解： 因为集合{}13A x R x =∈<<，所以1A ∉，2A ∈，3A ∉，4A ∉故选：D点睛：本题考查的是元素与集合的关系，较简单.13．设{1,0,1,2}U =-，集合2{|1,}A x x x U =<∈，则U A （ ）A ．{0,1,2}B ．{1,1,2}-C ．{1,0,2}-D ．{1,0,1}-答案：B解析：先求出集合A ，根据补集运算，即可求出U A .详解：由21x < 得： 11x -<<，又x U ∈，所以{}0A = ，因此{}1,1,2U A =- .故选：B.点睛：本题主要考查了集合的补集运算，属于基础题.14．已知集合{0,1,2}A =，那么（ ）A ．0A ⊆B ．0A ∈C ．{1}A ∈D ．{}0,1,2A答案：B解析：根据元素和集合间，以及集合与集合间的关系即可判断.详解：集合{0,1,2}A =，0A ∴∈，故A 错误，B 正确；又{1}A ⊆，∴C 错误；而{}0,1,2A =，D ∴错误.故选：B .点睛：本题主要考查的是元素和集合间，集合和集合间的关系，考查的是学生的理解能力，和解决问题的能力，是基础题.15．已知集合 {}1,2,3,4,5A =，{}1,2,3B =，{}|,C z z xy x A y B ==∈∈且，则集合C 中的元素个数为A ．15B ．13C ．11D ．12答案：C解析：根据题意，确定,x y 的可能取值；再确定z xy =能取的所有值，即可得出结果. 详解：因为{}1,2,3,4,5A =，{}1,2,3B =，{}|,C z z xy x A y B ==∈∈且，所以x 能取的值为1,2,3,4,5；y 能取的值为1,2,3，因此z xy =能取的值为1,2,3,4,5,6,8,9,10,12,15，共11个，所以集合C 中的元素个数为11.故选C点睛：本题主要考查集合中元素的个数，由列举法列举出所有元素即可，属于基础题型.16．下列集合符号运用不正确的是( )A ．2Z ∈B ．}{}{1,2,31,2⊆C ．{}12⋂∅=∅，D ．N R R ⋃=答案：B解析：根据集合知识,逐项分析,即可求得答案.详解：对于A,由2Z ∈,故A 正确;对于B,因为}{}{1,21,2,3⊆,故B 错误;对于C,因为{}12⋂∅=∅，,故C 正确; 对于D,因为N R R ⋃=,故D 正确.故选:B.点睛：解题关键是掌握集合的基础知识,考查了分析能力,属于基础题.17．集合{|,M m m N =∈且8}m N -∈，则m 的个数是（ ）A ．6B ．7C ．8D ．9答案：D解析：根据条件m N ∈，且8m N -∈，确定集合的元素m ．详解：m 是自然数，8m -也是自然数，故m 可以是{}0,1,2,3,4,5,6,7,8，N 代表的是自然数集．{}0,1,2,3N =，集合中有0．故选：D ．点睛：本题主要考查集合元素的确定，是基础题．18．用列举法表示集合{}|5x N x ∈<正确的是A ．{}1,2,3,4B ．{}1,2,3,4,5C ．{}0,1,2,3,4D ．{}0,1,2,3,4,5答案：C解析：根据列举法的定义，即可选出答案．详解： {}|5x N x ∈<表示小于5的自然数构成的集合，则为{}0,1,2,3,4故选C点睛：本题考查集合的列举法，属于基础题．19．下列叙述正确的是（ ）．A ．方程2210x x -+=的根构成的集合为{}1,1-B ．{}22401030x x R x x R x ⎧⎫+>⎧∈+==∈⎨⎨⎬+<⎩⎩⎭C ．集合(){,5M x y x y =+=且}20x y -=表示的集合是{}2,3D ．集合{}1,2,3与集合{}3,2,1是不同的集合答案：B解析：解出2210x x -+=、520x y x y +=⎧⎨-=⎩可判断AC 的正误，由集合的无序性可得D 的正误，{}22401030x x R x x Rx ⎧⎫+>⎧∈+==∈=∅⎨⎨⎬+<⎩⎩⎭，可得B 的正误. 详解：方程2210x x -+=的根为1x =，故A 错误；{}22401030x x R x x Rx ⎧⎫+>⎧∈+==∈=∅⎨⎨⎬+<⎩⎩⎭，故B 正确； 由520x y x y +=⎧⎨-=⎩可解得53103x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，故C 错误； 集合{}1,2,3与集合{}3,2,1是相同的集合，故D 错误故选：B20．方程组31x y x y +=⎧⎨-=⎩的解集为（ ）A ．x ＝2，y ＝1}B ．21x y ⎧⎫=⎧⎨⎨⎬=⎩⎩⎭C ．2，1}D ．（2，1）}答案：D 解析：利用“消元法”即可得出．详解：31x y x y +=⎧⎨-=⎩①②， ①+②可得：2x ＝4，解得x ＝2，把x ＝2代入①可得2+y ＝3，解得y ＝1．∴方程组31x y x y +=⎧⎨-=⎩的解集为（2，1）}， 故选D ．点睛：本题考查了方程组的解法、“消元法”，考查了计算能力，属于基础题．。
专题1.1 集合(解析版)
专题1.1集合一、集合的概念和表示【思维导图】【考点总结】一、集合的含义1、元素与集合的概念(1)元素：一般地，把研究对象统称为元素，常用小写的拉丁字母a，b，c，…表示．(2)集合：一些元素组成的总体，简称集，常用大写拉丁字母A，B，C，…表示．(3)集合相等：指构成两个集合的元素是一样的．(4)集合中元素的特性：确定性、互异性和无序性．2、元素与集合的关系3(1)列举法：①定义：把集合的元素一一列举出来，并用花括号“{}”括起来表示集合的方法叫做列举法；②形式：A＝{a1，a2，a3，…，a n}．(2)描述法：①定义：用集合所含元素的共同特征表示集合的方法称为描述法；②写法：在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值(或变化)范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征．二、集合间的基本关系【思维导图】【考点总结】一、子集的相关概念(1)Venn 图①定义：在数学中，经常用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图称为Venn 图，这种表示集合的方法叫做图示法．②适用范围：元素个数较少的集合．③使用方法：把元素写在封闭曲线的内部．(2)子集、真子集、集合相等的概念①子集的概念文字语言符号语言图形语言集合A 中任意一个元素都是集合B 中的元素，就说这两个集合有包含关系，称集合A 是集合B 的子集A ⊆B (或B ⊇A )②集合相等如果集合A 是集合B 的子集(A ⊆B )，且集合B 是集合A 的子集(B ⊆A )，此时，集合A 与集合B 中的元素是一样的，因此，集合A 与集合B 相等，记作A ＝B .③真子集的概念定义符号表示图形表示真子集如果集合A ⊆B ，但存在元素x ∈B ，且x ∉A ，称集合A 是集合B 的真子集AB (或BA )④空集定义：不含任何元素的集合叫做空集．用符号表示为：∅.规定：空集是任何集合的子集．二、集合间关系的性质(1)任何一个集合都是它本身的子集，即A ⊆A .(2)对于集合A ，B ，C ，①若A ⊆B ，且B ⊆C ，则A ⊆C ；②若AB 且BC ，则AC .③若A B 且A ≠B ，则AB .三、集合的基本运算【思维导图】【考点总结】一、并集、交集1、并集(1)文字语言：由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合，称为集合A与B的并集．(2)符号语言：A∪B＝{x|x∈A或x∈B}．(3)图形语言：如图所示．2、交集(1)文字语言：由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合，称为A与B的交集．(2)符号语言：A∩B＝{x|x∈A且x∈B}．(3)图形语言：如图所示．二、补集及综合应用补集的概念(1)全集：①定义：如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集．②记法：全集通常记作U .(2)补集文字语言对于一个集合A ，由全集U 中不属于集合A 的所有元素组成的集合称为集合A 相对于全集U 的补集，记作∁U A 符号语言∁U A ＝{x |x ∈U 且x ∉A }图形语言【常用结论】1．三种集合运用的性质(1)并集的性质：A ∪∅＝A ；A ∪A ＝A ；A ∪B ＝B ∪A ；A ∪B ＝A ⇔B ⊆A .(2)交集的性质：A ∩∅＝∅；A ∩A ＝A ；A ∩B ＝B ∩A ；A ∩B ＝A ⇔A ⊆B .(3)补集的性质：A ∪(∁U A )＝U ；A ∩(∁U A )＝∅；∁U (∁U A )＝A ；∁U (A ∩B )＝(∁U A )∪(∁U B )；∁U (A ∪B )＝(∁U A )∩(∁U B )．2．集合基本关系的四个结论(1)空集是任意一个集合的子集，是任意一个非空集合的真子集．(2)任何一个集合是它本身的子集，即A ⊆A .空集只有一个子集，即它本身．(3)集合的子集和真子集具有传递性：若A ⊆B ，B ⊆C ，则A ⊆C ；若A B 且BC ，则AC .(4)含有n 个元素的集合有2n 个子集，有2n －1个非空子集，有2n －1个真子集，有2n－2个非空真子集．1．若全集{0,1,2,3,4,5}U =，集合{0,1,2},{2,3,4}A B ==，则()UA B =ð（）A ．{0,1}B ．{1,2,3}C ．{0}D ．{0,1,2,5}【答案】D【解析】由题得{0,1,5}U B =ð，又{0,1,2}A =，所以(){0,1,2,5}=UA B ð.故选：D.2．设13{|}{|}34M x m x m N x n x n =≤≤+=-≤≤，都是{|01}x x ≤≤的子集，如果b a -叫做集合{|}x a x b ≤≤的长度，则集合M N ⋂的长度的最小值是（）A ．13B ．14C ．16D ．112【答案】D【解析】由题意1013m m ≤≤+≤，即203m ≤≤，3014n n ≤-≤≤，即314n ≤≤，由于M 的长度是13，N 的长度是34，13133412+=，13111212-=，所以M N ⋂长度不小于112．则首先有01m n =⎧⎨=⎩或113304m n ⎧+=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，当01m n =⎧⎨=⎩时，11{|}43MN x x =≤≤，M N ⋂的长度为1113412-=，当113304m n ⎧+=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩时，23,34m n ==，则23{|}34MN x x =≤≤，M N ⋂的长度是3214312-=．故选：D ．3．已知集合{P =正奇数}和集合{|}M x x a b a P b P ==⊕∈∈，，，若M P ⊆，则M 中的运算“⊕”是（）A ．加法B ．除法C ．乘法D ．减法【答案】C【解析】若3,1a b ==，则4a b +=P ∉，2a b P -=∉，13b P a =∉，因此排除ABD ．故选：C ．4．下面有四个命题：（1）集合N 中最小的数是1；（2）0是自然数；（3）{}123，，是不大于3的自然数组成的集合；（4）N,N a b ∈∈，则a b +不小于2．其中正确的命题的个数是（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】A【解析】对于（1），集合N 中最小的数是0，故错误，对于（2），0是自然数，故正确，对于（3），不大于3的自然数还包括0，故错误，对于（4），当1,0a b ==，则2a b +<，故错误，故选：A5．已知集合|,Z 44k M x x k ππ⎧⎫==+∈⎨⎬⎩⎭，集合,Z 84k N x x k ππ⎧⎫==-∈⎨⎬⎩⎭，则M N =（）A ．∅B ．MC ．ND ．Z【答案】B【解析】由题意，()21|Z 8k M x x k π⎧⎫+==∈⎨⎬⎩⎭，()2,Z 8k N x x k π⎧⎫-⎪⎪==∈⎨⎬⎪⎪⎩⎭，因为()()21,Z k k +∈表示所有偶数，()2Z k k -∈能表示所有整数，故M N M⋂=故选：B6．以实数x x x -，，）个元素．A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】C【解析】解：当0x >时，||0,0x x x =>=-<，此时集合中共有2个元素；当0x =时，||0x x x =-==，此时集合中共有1个元素；当0x <时，||0x x -==，0x <，此时集合中共有2个元素；综上所述，以实数x x x -，，2个元素.故选：C.7．已知集合(){}10A x x x =-=，{}21B x x ==，则A B ⋃=（）A ．{}1,0,1-B ．{}1,0C ．{}1,1-D ．{}1【答案】A由已知得{}0,1A =，{}1,1B =-，则{}1,0,1A B =-U .故选：A.8．设集合{}2,M x x n n ==∈Z ，{}21,N x x n n ==+∈Z ，{}4,P x x n n ==∈Z ，则（）A ．M P ÜB ．P MÜC ．N P ⋂≠∅D ．MN ≠∅【答案】B【解析】因为{}2M x x n n ==∈Z ，，{}21N x x n n ==+∈Z ，，{}4P x x n n ==∈Z ，，所以M P P M N P MN ≠=∅=∅，，，Ü.故选：B9．已知集合11{|,N}{|,N}623n M x x m m N x x n ==+∈==-∈，，则,M N 的关系为（）A ．M N =B ．N M ÖC ．M N ÜD ．N M⊆【答案】C【解析】解：因为321{|,N}6m M x x m ⋅+==∈，32311{|,N}66n n N x x n --+===∈，所以M N Ü.故选：C ．10．集合{|32,Z}M x x k k ==-∈，{|31,Z}P y y n n ==+∈，{|61,Z}S z z m m ==+∈之间的关系是（）A ．S 真包含于P 真包含于MB ．S P =真包含于MC ．S 真包含于P M =D ．M P =真包含于S【答案】C【解析】解：{|32,Z}M x x k k ==-∈，{|31,Z}P y y n n ==+∈，{|61,Z}S y y m m ==+∈，{}8,5,2,1,4,7,10,13,16M ∴=⋯---⋯，{}8,5,2,1,4,7,10,13,16P =⋯---⋯，{}1,7,13,19,25,S =⋯⋯，S ∴真包含于P M =，故选：C ．11．已知6{N |N}6M x x=∈∈-，则集合M 的子集的个数是（）A ．8B ．16C ．32D ．64【答案】B 【解析】解：因为6N 6x∈-，所以61,2,3,6x -=，又N x ∈，所以0,3,4,5x =，所以集合{}0,3,4,5M =，所以集合M 的子集个数为4216=个．故选：B ．12．设,A B 是两个集合，有下列四个结论：①若A B Ø，则对任意x A ∈，有x B ∉；②若A B Ø，则集合A 中的元素个数多于集合B 中的元素个数；③若A B Ø，则B A Ø；④若A B Ø，则一定存在x A ∈，有x B ∉．其中正确结论的个数为（）A ．4B ．3C ．2D ．1【答案】D【解析】解：对于①，不一定，比如{}{}1,2,4,1,2,3A B ==，故①错误；②若A B Ø，不一定，比如{}{}1,2,4,1,2,3,5,6A B ==，故②错误；③若B A Ü，则A B Ø，但B A Ø不成立，故③错误；④若A B Ø，则一定存在x A ∈，有x B ∉，故④正确．所以正确结论的个数为1个，故选：D.13．设全集{}2,1,1,2U =--，集合{}1,2A =-，{}2320B x x x =-+=，则()U B A =ð（）A ．{}1B ．{}2-C ．{}2,1-D ．∅【答案】B 【解析】{}{}23201,2B x x x =-+==，集合{}1,2A =-，所以{}1,1,2A B ⋃=-，全集{}2,1,1,2U =--，(){}2U A B =-ð．故选：B14．若全集{}1,2,3,4,5,6U =，集合{}2,3,4A =，{}1,3,5B =，则()UA B =ð（）A ．{}1,2,3,4,5B ．{}3,5C ．{}2,4D ．{}2,3,4,5,6【答案】C【解析】由题意，{}U 2,4,6B =ð，故(){}U2,4A B =ð故选：C15．以下六个写法中：①{}{}00,1,2∈；②{}1,2∅⊆；③{}0∅∈；④{}{}0,1,22,0,1=；⑤0∈∅；正确的个数有（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】B【解析】对于①：是集合与集合的关系，应该是{}{}00,1,2⊆，∴①不对；对于②：空集是任何集合的子集，{}1,2∅⊆，∴②对；对于③：∅是一个集合，是集合与集合的关系，{}0∅⊆，∴③不对；对于④：根据集合的无序性可知{}{}0,1,22,0,1=，∴④对；对于⑤：∅是空集，表示没有任何元素，应该是0∉∅，∴⑤不对；正确的是：②④．故选：B ．16．已知集合(][),23,A =-∞-+∞，则()R Z=A ð（）A ．{}1,0,1,2,3-B ．{}1,0,1,2-C ．{}2,1,0,1,2,3--D ．{}2,1,0,1,2--【答案】B【解析】因为(][),23,A =-∞-+∞，所以()R =2,3A -ð，所以()(){}R Z 2,3Z 1,0,1,2A =-=-ð.故选：B.17．集合{}0,1,2,4,8A =，{}2xB x A =∈，将集合A ，B 分别用如图中的两个圆表示，则圆中阴影部分表示的集合中元素个数恰好为2的是（）A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】解：∵{}0,1,2,4,8A =，{}2xB x A =∈，∴{}0,1,2,3B =，则{}0,1,2A B =，{}0,1,2,3,4,8A B =，选项A 中阴影部分表示的集合为A B ，即{}0,1,2，故A 错误；选项B 中阴影部分表示的集合由属于A 但不属于B 的元素构成，即{}R 4,8A B =ð，故B 正确；选项C 中阴影部分表示的集合由属于B 但不属于A 的元素构成，即{}R 3B A =ð，有1个元素，故C 错误；选项D 中阴影部分表示的集合由属于A B 但不属于A B 的元素构成，即{}3,4,8，故D 错误．18．如图，已知集合A={-8，1}，B={-8，-5，0，1，3}，则Venn 图中阴影部分表示的集合为（）A ．{-5，0，3}B ．{-5，1，3}C ．{0，3}D ．{1，3}【答案】A 因为集合A={-8，1}，B={-8，-5，0，1，3}，Venn 图中阴影部分表示的集合为∁BA={-5，0，3}．故选：A.19．设全集{}*5U x N x =∈≤，集合{}1,2M =，{}2,3,4N =，则图中阴影部分表示的集合是（）A ．{}2B ．{}3,4C ．{}2,3D ．{}2,3,4【答案】B 【解析】解：由Venn 图中阴影部分可知对应集合为N ()UM ð全集*{|5}{1U x N x =∈≤=，2，3，4，5}，集合{1M =，2}，{2N =，3，4}，U M ð={}3,4,5，N ()UM ð={}3,4．故选：B ．20．设全集U =R ，集合{}2A x x =>，{}06B x x =<≤，则集合()U A B =ð（）A ．{}02x x <<B ．{}02x x ≤<C ．{}02x x <≤D ．{}02x x ≤≤【解析】【分析】{}2A x x =>,{}2U A x x ∴=≤ð,而{}06B x x =<≤(){}02U A B x x ∴⋂=<≤ð.故选：C.。
高中数学必修一人教A版1.1 集合的概念练习(含答案及解析)(2)
1.1 集合的概念一、单选题1．下列结论正确的是（ ） A ．2Q 3∈ B ．3-∉ZC ．1}{}1,3∈D }⊆答案：A解析：利用常见数集的符号以及元素与集合、集合与集合之间的关系即可得出结果. 详解：因为23是有理数，所以23Q ∈，故A 正确；3-∈Z ，{}{}11,3⊆}，故B 、C 、D 选项都是错误的.故选：A2．设A ＝y|y ＝﹣1+x ﹣2x 2}，若m∈A，则必有（ ） A ．m∈正有理数} B ．m∈负有理数} C ．m∈正实数} D ．m∈负实数}答案：D解析：求出函数212y x x =-+-的值域，就是集合A ，进而可判断结果 详解：解：因为22177122()488y x x x =-+-=---≤-，所以78A y y ⎧⎫=≤-⎨⎬⎩⎭；∴若m∈A，则m ＜0，所以m∈负实数}. 故选：D.3．设数集M 同时满足条件①M 中不含元素1,0,1-，②若a M ∈，则11aM a+∈-. 则下列结论正确的是A ．集合M 中至多有2个元素；B ．集合M 中至多有3个元素；C ．集合M 中至少有4个元素；D ．集合M 中有无穷多个元素. 答案：C 详解：由题意，若a M ∈，则11aM a +∈-，则1111111a a M a a a ++-=-∈+--，111111a a M a a--=∈++，则11211211a a a a M a a -++==∈--+，若11a a a +=-，则21a =-，无解，同理可证明这四个元素中，任意两个元素不相等，故集合M 中至少有4个元素．4．设集合{}2A x x =>，则（ ） A ．3A ∉ BA C ．2A ∈ D ．0A ∈答案：B解析：根据元素与集合的关系判断即可. 详解：{}2A x x =>，3A ∴∈A ，2A ∉，0A ∉.故选：B. 点睛：本题考查元素与集合关系的判断，考查推理能力，属于基础题. 5．设集合{}|2A x x =≤，则下列四个关系中正确的是（ ） A ．1A ∈ B ．1A ∉C ．{}1A ∈D ．1A ⊆答案：A解析：根据描述法表示集合的含义，可得1是集合中的元素，即可得到结论. 详解：由题意知，集合{}|2A x x =≤表示所有不大于2的实数组成的集合， 所有，1是集合中的元素，故1A ∈. 故选：A. 点睛：本题考查元素与集合的关系，属于基础题.6．设,,a b c 为实数，22()()(),()(1)(1)f x x a x bx c g x ax cx bx =+++=+++．记集合{}{}|()0,,|()0,S x f x x R T x g x x R ==∈==∈．若|S |、||T 分别为集合,S T 的元素个数，则下列结论不可能的是（ ） A ．||1S =且||0T = B ．||1S =且||1T = C ．||2S =且||2T = D ．||2S =且||3T =答案：D解析：运用特殊值法，结合一元二次方程根的判别式进行判断即可. 详解：方程20x bx c ++=的判别式为：24b c -，当0c ≠时，方程210cx bx ++=的判别式为：24b c -，选项A ：当0a b c ===时，3(),()1f x x g x ==，显然||1S =且||0T =，故本选项结论有可能成立； 选项B ：当1,2a c b ===时，33()(1),()(1)f x x g x x =+=+，显然||1S =且||1T =，故本选项结论有可能成立；选项C ：当1,1,2a c b =-==时，22()(1)(1),()(1)(1)f x x x g x x x =-+=--+， 显然||2S =且||2T =，故本选项结论有可能成立；选项D ：因为||3T =，所以0c ≠且0a ≠且240b c ->且211()()10c b a a-+-+≠， 因此有0c ≠且0a ≠且240b c ->且2ab a c ≠+，此时方程20x bx c ++=有两个不相等的实根，因为2()0a a b c --+≠，所以a -不是方程20x bx c ++=的实根，因此||3S =，所以本选项不可能成立，故选：D 点睛：方法点睛：运用特殊值法是解决此类问题常见的方法. 7．设集合{}A 4,8=，则集合A 的子集个数是 A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个答案：D解析：对于集合A 的子集个数，由于A 中元素个数较少，故可以直接枚举出每个子集，或者根据知识点：若集合中有n 个元素，则子集的个数为2n ，进行求解． 详解：集合A 中元素的个数为2，故子集的个数为22=4 个．分别为∅，{}4，{}8和{}48，．故选D ． 点睛：本题考查知识点：若集合中有n 个元素，则子集的个数为2n ，非空子集有21n -个，非空真子集有22n -个．8．集合{}1,3,5,7,9描述法表示为（ ） A ．|x x 是不大于9的非负奇数} B ．{}|19x x ≤≤ C ．{|9,}x x x N ≤∈ D ．{}|09,x x x Z ≤≤∈答案：A解析：利用集合的表示法直接求解． 详解：解：在A 中，{|x x 是不大于9的非负奇数}，表示的是集合{1，3，5，7，9}，故A 正确； 在B 中，{|19}x x ，表示的集合是19x 的实数集，都B 错误；在C 中，{|9x x ，}x N ∈，表示的集合是{0，1，2，3，4，5，6，7，8，9}，故C 错误； 在D 中，{|09}x Z x ∈，表示的集合是{0，1，2，3，4，5，6，7，8，9}，故D 错误．故选：A ． 点睛：本题考查集合的表示法的应用，解题时要认真审题，注意集合定义的合理运用，属于基础题．9．给出下列4个关系式0.3∉Q ，0∈N*，0∈0}.其中正确的个数是（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4答案：B解析：对四个选项一一验证即可. 详解：正确，0.3∉Q 错误，0∈N *错误，0∈0}正确，正确的有2个，故选B.二、多选题1．已知集合{|1}A x ax ==，{0B =，1，2}，若A B ⊆，则实数a 可以为（ ） A ．12 B ．1C ．0D ．以上选项都不对答案：ABC解析：由子集定义得A =∅或{1}A =或{2}A =，从而1a 不存在，11a =，12a=，由此能求出实数a ．详解：解：集合{|1}A x ax ==，{0B =，1，2}，A B ⊆，A ∴=∅或{1}A =或{2}A =，∴1a不存在，11a =，12a=，解得1a =，或1a =，或12a =． 故选：ABC ． 点睛：本题主要考查集合的包含关系，属于基础题．2．（多选）已知集合{}A x x x =≤∈R ，a =b = ） A ．a A ∈ B ．a A ∉C ．b A ∈D ．b A ∉答案：BC解析：根据集合A 的表示元素范围确定a b 、与集合A 的关系. 详解：>a A ∉，由b A ∈，故选BC. 点睛：本题考查集合与元素的关系，难度较易.集合与元素的关系只有两种：属于和不属于. 3．(多选)设集合M ＝x|x ＝2m ＋1，m∈Z }，P ＝y|y ＝2m ，m∈Z }，若x 0∈M，y 0∈P，a ＝x 0＋y 0，b ＝x 0y 0，则（ ） A ．a∈M B ．a∈P C ．b∈M D ．b∈P答案：AD解析：利用整数的运算性质，根据集合M,N 中元素的性质判定a ,b 的性质，进而判定a,b 与M,N 的关系，即可作出判定. 详解：设x 0＝2m ＋1，y 0＝2n ，m ，n∈Z ， 则a =x 0＋y 0＝2m ＋1＋2n ＝2(m ＋n)＋1, ∵m+n∈Z ,∴a∈M，b=x 0y 0＝2n(2m ＋1)＝2(2mn ＋n), ∵2mn+n∈Z ,∴b∈P， 即a∈M，b∈P， 故选：AD.4．下列表述正确的是（ ）A ．27Z ∈ B ．0N ∈ C ．-3∉Z D ．27Q ∈答案：BD解析：根据常见数集的符号表示逐一判断即可. 详解：Z 表示整数集，故A 不正确、C 不正确；N 表示自然数集，故B 正确；Q 表示有理数集，故D 正确.故选：BD5．由实数x ，x -，||x ） A ．1个 B ．2个C ．3个D ．4个答案：AB解析：按照0x >、0x =、0x <分类，即可得解. 详解：当0x >时，||0x x =>，0x =-<，此时集合共有2个元素；当0x =时，||0x x x ==-==，此时集合共有1个元素；当0x <时，||0x x -==，0x <，此时集合共有2个元素； 综上所述，此集合有1个或2个元素. 故选：AB. 点睛：本题考查了集合元素个数的求解，考查了分类讨论思想，属于基础题. 三、填空题1．设P ，Q 为两个非空实数集合，P 中含有0，2，5三个元素，Q 中含有1，2，6三个元素，定义集合P+Q 中的元素是a+b ，其中a∈P，b∈Q，则P+Q 中元素的个数是_____. 答案：8解析：从P 中任取一个数，再从Q 中任取一个数相加有9种可能，把相同的去掉即得． 详解：若a ∈P，b∈Q，则a+b 的取值分别为1，2，3，4，6，7，8，11，则组成的集合P+Q 中有8个元素. 故答案为：8． 点睛：本题考查集合的新运算，根据新定义确定新运算集合中的元素，方法是列举法，但要注意集合元素的互异性，否则易出错．2．已知集合{0,1}A =，{0,1,2,3}B =，则A B 中的元素个数为________. 答案：4解析：首先根据集合中并集的定义求出A B ，然后即可求出并集中元素的个数. 详解：因为{0,1}A =，{0,1,2,3}B = 所以0,1,3}2,{A B = 则A B 中的元素个数为4. 故答案为：4 点睛：本题考查集合中并集的运算以及求集合元素的个数，属于基础题. 3．规定⊕与⊗是两个运算符号，其运算法则如下，对任意实数a b、有:a b ab ⊗=,22()1a b b a b ⊕=++.若22a b -<<<且,,a b Z ∈)22|(A x x a b b a b ⊕⎧⎫+=⊗⎨⎩=⎬⎭,则用列举法表示集合A =__________．答案：1,12⎧⎫-⎨⎬⎩⎭解析：根据所定义运算可知22122a b x ab ++=+，根据,a b 取值范围可分别在1a =-和0a =两种情况下确定b 的取值，进而求得x 的不同取值，得到所求集合. 详解：由题意得：2212,02a b A x x ab b ⎧⎫++==+≠⎨⎬⎩⎭22a b -<<<且,a b Z ∈∴当1a =-时，1b =，此时x =12-；当0a =时，1b =，此时1x = ∴集合1,12A ⎧⎫=-⎨⎬⎩⎭故答案为1,12⎧⎫-⎨⎬⎩⎭点睛：本题考查列举法表示集合、集合中的新定义运算问题，关键是能够充分理解所定义运算所表示的含义，通过分类讨论求得集合中的元素.4．已知集合{}2320A x ax x =-+=，若A 中至少有一个元素，则a 的取值范围是______；答案：98a ≤解析：根据A 中至少有一个元素，转化为方程至少含有一个根进行求解． 详解：解：若A 中至少有一个元素，则方程2320ax x -+=至少有一个解． 当0a =时，方程2320ax x -+=等价为320x -+=，即23x =，满足条件． 当0a ≠，判别式980a∆=-，解得98a ≤且0a ≠． 综上所述，a 的取值范围为98a ≤，即9,8a ⎛⎤∈-∞ ⎥⎝⎦故答案为：9,8⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦点睛：本题主要考查元素和集合之间关系的应用，利用一元二次方程根与判别式之间的关系是解决本题的关键，属于基础题． 5．设*6N ,2A x x Z x ⎧⎫=∈∈⎨⎬-⎩⎭，用列举法表示A=____________.答案：{}4,1,0,1-- 解析：62x-为正整数且x 也为整数,可知2x -能够被6整除，逐个正因数计算即可． 详解： 由题意得,*6N ,2x Z x ∈∈-,故62x -为6的正因数,所以61,2,3,62x=-,故26,3,2,1x -=,故4,1,0,1x =--,列举法得出答案{}4,1,0,1--.故答案为{}4,1,0,1--. 点睛：本题主要考查对因数的理解以及集合中的常用集合表示,N 表示自然数,*N 表示正自然数,即正整数.Z 表示整数. 四、解答题1．称正整数集合 A=a 1，a 2，…，a n }（1≤a 1＜a 2＜…＜a n ，n≥2）具有性质 P ：如果对任意的i ，j （1≤i≤j≤n），i j a a 与j ia a 两数中至少有一个属于A.（1）分别判断集合1，3，6}与1，3，4，12}是否具有性质 P ；（2）设正整数集合 A=a 1，a 2，…，a n }（1≤a 1＜a 2＜…＜a n ，n≥2）具有性质 P.证明：对任意1≤i≤n（i∈N *），a i 都是a n 的因数； （3）求a n =30时n 的最大值.答案：（1）1，3，6}不具有，1，3，4，12}具有；（2）证明见解析；（3）8 解析：(1)根据性质P ；对任意的i ，j （1≤i≤j≤n），a i a j 与a a j i两数中至少有一个属于A ，验证两集合集1，3，6}与1，3，4，12}中的任何两个元素的积、商是否为该集合中的元素；(2)运用反证法，结合A 具有性质P ，即可得证;(3)运用30的质因数分解，结合组合的知识，即可得到n 的最大值. 详解：（1）由于3×6与63均不属于数集1，3，6}，∴数集1，3，6} 不具有性质P ； 由于1×3，1×4，1×12，3×4，123，124都属于数集1，2，3，6}， ∴数集1，3，4，12} 具有性质P.（2）证明：设正整数集合 A=a 1，a 2，…，a n }（1≤a 1＜a 2＜…＜a n ，n≥2）具有性质 P ， 即有对任意的i ，j （1≤i≤j≤n），i j a a 与j ia a 两数中至少有一个属于A.运用反证法证明.假设存在一个数a i 不是a n 的因数，即有a i a n 与i n a a 或nia a ，都不属于A ，这与条件A 具有性质P 矛盾.故假设不成立.则对任意1≤i≤n（i∈N *），a i 都是a n 的因数； （3）由（2）可知，i a 均为n 30a =的因数，由于30=2×3×5，由组合的知识可知2，3，5都有选与不选2种可能. 共有2×2×2=8种，即n 的最大值为8. 点睛：本题考查新定义的理解和运用，考查推理能力，以及反证法的运用，组合知识的运用，属于中档题.2．已知集合{|A x x =为小于6的正整数}，{|B x x =为小于10的素数}，集合{|C x x 为24和36的正公因数}．（1）试用列举法表示集合{|M x x A =∈且}x C ∈； （2）试用列举法表示集合{|N x x B =∈且}x C ∉．答案：(1) {1,2,3,4}；（2）{5,7}.解析：（1）求出集合,,A B C ，则M A C =⋂，即可求出M ； （2）根据集合N 中元素的特征，即可写出N . 详解：由题意{}1,2,3,4,5A =，{}2,3,5,7B =，{}1,2,3,4,6,12C =. （1）{}1,2,3,4M A C =⋂=. （2）.{|M x x B =∈且}x C ∉{}5,7N ∴= 点睛：本题考查集合的表示法和集合的运算，属于基础题.3．已知集合M=2，a ，b}，N=2a ，2，b 2}且M=N ．求a 、b 的值．答案：110,1,42a b a b ====或 详解：因为M=N ，所以根据集合元素的互异性，可知222{{2a a a b b b b a====或,解出a,b 值再验证是否满足互异性的要求.由M ＝N 及集合元素的互异性得：22{a ab b ==或22{a bb a ==解上面的方程组得，01{a b ==或00{a b ==或1412{a b == 再根据集合中元素的互异性得，01{a b ==或1412{a b ==。
高中数学必修一人教A版1.1 集合的概念练习(含答案及解析)(26)
1.1 集合的概念一、单选题1．若集合{}210b a a a b a ⎧⎫=+⎨⎬⎩⎭，，，，，则20212020a b +的值为（ ） A ．0B ．1C ．1-D ．1±答案：C 解析：由集合相等和集合中元素的互异性，可得出结果.详解：由题意可知0a ≠，0,0∴=∴=b b a，21a ∴=且1a ≠，1a ∴=-2021202020212020(1)01+=-+=-a b 故选：C2．若x A ∈，则1A x ∈，就称A 是伙伴关系集合，集合111,0,,,1,2,3,432M ⎧⎫=-⎨⎬⎩⎭的所有非空子集中，具有伙伴关系的集合的个数为A ．15B ．16C ．82D ．52答案：A解析：首先确定具有伙伴集合的元素有1,1-，“3和13”，“2和12”等四种可能，它们组成的非空子集的个数为即为所求.详解：根据伙伴关系集合的概念可知：－1和1本身也具备这种运算，这样所求集合即由－1,1,3和13，2和12这“四大”元素所组成的集合的非空子集．所以满足条件的集合的个数为24－1＝15.故选A.点睛：本小题主要考查新定义概念的理解，考查集合子集的个数以及非空子集的个数，属于基础题.3．设集合{123}n S n =，，，，，n X S ⊆，把X 的所有元素的乘积称为X 的容量（若X 中只有一个元素，则该元素的数值即为它的容量，规定空集的容量为0）.若X 的容量是奇（偶）数，则称X 为n S 的奇（偶）子集，若3n =，则n S 的所有偶子集的容量之和为A ．6B ．8C ．12D ．16答案：D由题意可知：当3n =时，集合{}1,2,3n S =∴n S 所有的偶子集为：∅，{}2，{}1,2，{}2,3，{}1,2,3∴当3n =时，集合n S 所有的偶子集的容量之和为0226616故选D点睛：本题考查的是集合的子集和新定义的综合问题．在解答过程当中充分体现了新定义问题的规律、列举的方法还有问题转化的思想，解答本题的关键是正确理解奇、偶子集与容量的概念．4．已知集合{}2320,A x ax x x R =-+=∈.若集合A 中至多有一个元素，则实数a 的取值范围是（ ）A ．98a ≥B ．908a a ≥=或C ．908a a >=或D ．908a a <=或答案：B解析：因集合A 是方程2320ax x -+=的解集，欲使集合2{|320}A x ax x =-+=至多有一个元素，只须此方程有两个相等的实数根或没有实数根，或只有一个实根，下面对a 进行讨论求解即可．详解： 解：集合2{|320}A x ax x =-+=至多有一个元素，分类讨论：①当0a =时，{|320}A x x =-+=只有一个元素，符合题意；②当0a ≠时，要2{|320}A x ax x =-+=至多有一个元素，则必须方程：2320ax x -+=有两个相等的实数根或没有实数根，∴0∆，得：980a -，98a ∴， 综上所述：98a或0a =． 故选：B ．点睛： 本小题主要元素与集合关系的判断、不等式的解法等基础知识，考查运算求解能力，考查分类讨论、化归与转化思想．属于基础题．5．设集合{}1A x x =≥，{}12B x x =-<<，则A B =（ ）A ．{}1x x >-B ．{}1x x ≥C ．{}11x x -<<D ．{}12x x ≤<解析：由题意结合交集的定义可得结果.详解：由交集的定义结合题意可得：{}|12A B x x =≤<.故选：D.6．若集合A =}{1x ax ≥是包含-2的无限集，则a 的取值范围是（ ）A ．12a >-B ．12a ≥-C ．12a <-D ．12a ≤-答案：D解析：将2-代入1ax ≥可解得.详解：因为集合A=}{1x ax ≥是包含-2的无限集,所以2A -∈, 所以21a -≥,所以12a ≤-.此时集合{|2}A x x =≤-满足题意.故选D .点睛：本题考查了元素与集合的关系,属于基础题.7．已知a 、b 、c 为实数，2()()()f x x a x bx c =+++，2()(1)(1)g x ax cx bx =+++，记集合{|()0,}S x f x x ==∈R ，{|()0,}T x g x x ==∈R ，则下列命题为真命题的是（ ） A ．若集合S 的元素个数为2，则集合T 的元素个数也一定为2B ．若集合T 的元素个数为2，则集合S 的元素个数也一定为2C ．若集合S 的元素个数为3，则集合T 的元素个数也一定为3D ．若集合T 的元素个数为3，则集合S 的元素个数也一定为3答案：D解析：利用一元二次方程根的判别式,结合函数的表达式,先考虑当集合S 的元素个数分别为2、3时, 集合T 的元素个数情况；再考虑当集合T 的元素个数分别为2、3时, 集合S 的元素个数情况,最后选出正确答案.详解：选项A ：当0,2,1a b c ===时2()(21)00,1f x x x x x =++=⇒=-，集合S 的元素个数为2，此时2()2101g x x x x =++=⇒=-,集合T 的元素个数为1,故本选项说法错误；选项B ：当0,3,2a b c ===时21()2310,12g x x x x =++=⇒=--,集合T 的元素个数为2,此时2()(32)00,2,1f x x x x x =++=⇒=--，集合S 的元素个数为3，故本选项说法错误；选项C ：当0,3,2a b c ===时2()(32)00,2,1f x x x x x =++=⇒=--，集合S 的元素个数为3，此时21()2310,12g x x x x =++=⇒=--,集合T 的元素个数为2,故本选项说法错误； 选项D ：若集合T 的元素个数为3，方程2()(1)(1)0g x ax cx bx =+++=有三个不等实根,则有22220000404010a a c c b c b cc b a ab c aa ≠⎧≠⎧⎪≠⎪⎪≠⎪⎪⇒->⎨⎨>⎪⎪⎪⎪-+≠-+≠⎩⎪⎩,在该条件下方程2()()()0f x x a x bx c =+++=一定有x a =-这一个根，且x a =-不是20x bx c ++=的根，又24bc >，所以20x bx c ++=有两个不等于a -的根，即集合S 的元素个数也一定为3.故选：D点睛：本题考查了通过方程根的情况求参数问题,考查了分类讨论思想.8．若S 是由“我和我的祖国”中的所有字组成的集合，则S 中元素个数是（ ）A ．4B ．5C ．6D ．7答案：B解析：两个”我”字只算一个.详解：根据集合中元素的互异性,可得S 中元素个数是5.故选B.点睛：本题考查了集合中元素的互异性,属于基础题.9．已知{}222,(1),33A a a a a =++++，若1A ∈，则实数a 构成的集合B 的元素个数是（ ） A ．0B ．1C ．2D ．3答案：B 解析：让集合A 中每个元素等于1，求得a ，检验符号集合中元素的互异性，得a 的值，从而可得结论．详解：①21a +=⇒1a =-，∴2(1)0a +=，2331a a ++=，则{}1,0,1A =，不可以，②2(1)1a +=⇒0a =，∴22a +=，2333a a ++=，则{}2,1,3A =，可以，或2a =-，∴20a +=，2331a a ++=，则{}0,1,1A =，不可以，③2331a a ++=⇒1a =-，21a +=，2(1)0a +=，则{}1,0,1A =，不可以，或2a =-，∴20a +=，2(1)1a +=，则{}0,1,1A =，不可以，∴{0}B =，故选：B ．点睛：本题考查集合的概念，掌握集合元素的互异性是解题关键．二、填空题1．集合2{|440,}P x ax x x =++=∈R 中只含有1个元素，则实数a 的取值是________答案：0或1解析：分0a =和0a ≠两种情况讨论求得.详解：当0a =时，方程为440x +=，解得1x =-，此时{}1P =-，满足题意；当0a ≠时，则24440a ∆=-⨯=，解得1a =，此时{}2P =-，满足题意，0a ∴=或1.故答案为：0或1.点睛：易错点睛：本题考查根据集合元素的个数求参数，注意需要讨论0a =的情况，这是往往容易漏掉的地方.2．用列举法表示集合62A Z x N x *⎧⎫=∈∈⎨⎬-⎩⎭∣＝_________.答案：{}6,6,3,2,1- 解析：根据6,2*∈∈-x N Z x ，采用列举法求解. 详解： 因为6,2*∈∈-x N Z x ， 当1x =时 ，662=--x ， 当3x =时 ，662x =-， 当4x =时 ，632x =-， 当5x =时 ，622x =-， 当8x =时 ，612x =-，所以集合{}6,6,3,2,1=-A故答案为：{}6,6,3,2,1-点睛：本题主要考查集合的表示方法以及列举法的应用，属于基础题.3．已知集合{|20}P x ax b x =+-+=是一个无限集,则实数a,b 的值分别是__________；答案：1,2a b ==-解析：根据题意可知：20ax b x +-+=有无穷多个实数解,根据方程特征可以求出实数a,b 的值.详解：因为{|20}P x ax b x =+-+=是一个无限集,所以方程20ax b x +-+=有无穷多实数解, 于是有20(1)210ax b x x a b a +-+=⇒-=--⇒-=且20b --=,因此解得1,2a b ==-.故答案为：1,2a b ==-点睛：本题考查了集合是无限集求参数问题,掌握形如方程ax b =有无穷实数解的充要条件是解题的关键.4．已知集合{}|60A x x a =+>,若1A ∈，则实数a 的取值范围为__________．答案：()6,-+∞解析：将1x =代入不等式即可求得a 的范围.详解：1A ∈ 60a ∴+>，解得：6a >- a ∴的取值范围为()6,-+∞故答案为：()6,-+∞点睛：本题考查根据元素与集合关系求解参数范围问题，属于基础题.5．若{|,,}M x x b a Z b Z ==∈∈，则下列结论中正确结论的序号是______（写出所有正确结论的序号）M ； ②Z M ⊆； ③若1x ，2x M ∈，则12x x M +∈； ④若1x ，2x M ∈且20x ≠，则12x M x ∈； ⑤x M ∈，*n N ∈，则n x M ∈；答案：①②③⑤解析：根据集合的描述法，找到集合中元素的特征性质，逐一判断. 详解：3M=+正确，②当,,x b a Z b Z=∈∈中0a=时，b Z∈，所以Z M⊆正确，③若1x，2x M∈，不妨设12,x b x d==则12(,,,x a c b d a c Z b d Zx=+++∈+∈+所以12x x M+∈正确，④若1x，2x M∈且2x≠，则12xMx∈不正确，例如122,3x x==，则1223xMx=∉，⑤x M∈，*n N∈，则n x M∈；设x b=，,a b Z∈则222()()22x b b a b==++222a b Z+∈,2ab Z∈所以2x M∈，依次类推，nx M∈正确.故答案为：①②③⑤点睛：本题主要考查了集合的描述法，元素与集合的关系，属于中档题.三、解答题1．已知集合{}23,21,A a a a=--，若－2∈A，求实数a的值答案：12-解析：通过2-是集合A的元素，直接利用32a-=-与212a-=-，求出a的值，验证集合A中元素不重复即可．详解：∵{}23,21,A a a a=--，2A-∈∴32a-=-或212a-=-，解得1a=或12a=-.当1a=时，{}2,1,1A=-不满足集合的互异性；当12a=-时，71,2,24A⎧⎫=--⎨⎬⎩⎭满足条件.综上所述，实数a的值为12-.点睛：本题考查集合与元素之间的关系，考查集合中元素的特性，考查计算能力．2．已知集合{}|25A x x=≤≤，{}|21B x m x m=-+<<，全集为R．（1）若3m=，求A B⋃和()R A B⋂；（2）若=A B A ⋂，求m 的取值范围．答案：（1）{}|52x x -<<； （2）{}5m m .解析：（1）将3m =代入，利用集合并集、补集和交集的定义，即可求得答案.（2）由A B A ⋂=得A B ⊆，利用集合包含建立不等式，即可求得参数m 的取值范围． 详解：解：（1）∵3m =， ∴{}|53B x x =-<<,又∵{}|25A x x =≤≤∴{}|25R C A x x x =或 ，{}|55A B x x ⋃=-<≤ ， ∴()R C A B ⋂={}|52x x -<< .(2) ∵=A B A ⋂ ∴A B ⊆由不等式的性质，得212125m m m m -+<⎧⎪-+<⎨⎪>⎩，解得5m >， ∴m 的取值范围{}5m m .点睛：本题考查一元一次不等式组解法，考查并集、交集和补集的运算与性质，考查基本知识掌握的准确程度.3．设集合A=x|x+1≤0或x ﹣4≥0}，B=x|2a≤x≤a+2}（1）若A∩B=B，求实数a 的取值范围．（2）若A B φ⋂≠，求实数a 的取值范围．答案：（1）3a ≤-或2a ≥；（2）2a =或12a ≤-.详解：试题分析：（1）若A B φ⋂≠，共包含两种情况，一是B 为空集，—是B 不为空集，但B 与A 无公共元素，由此我们可以构造关于a 的不等式组，解不等式组即可得到实数a 的取值范围；（2）若A B B =，则可分为三种情况，一是B 为空集，二是B 满足A 中10x +≤，三是B 满足A 中40x -≥；构造关于a 的不等式组，解不等式组即可到实数a 的取值范围.试题解析：（1）,A B B B A ⋂=∴⊆，有三种情况：①22,321a a a a ≤+⎧∴≤-⎨+≤-⎩；②22,224a a a a ≤+⎧∴=⎨≥⎩；③ ,22,2B a a a =∅∴>+∴>，综上，a 的取值范围为3a ≤-或2a ≥， （2）22,24a a A B a φ≤+⎧⋂≠∴⎨+≥⎩或222,212a a a a a ≤+≤⎧⎧∴⎨⎨≤-≥⎩⎩或212a a ≤⎧⎪⎨≤-⎪⎩，综上所述：结论为2a =或12a ≤-. 【方法点睛】本题主要考查集合的基本运算、分类讨论思想.属于难题.分类讨论思想解决高中数学问题的一种重要思想方法，是中学数学四种重要的数学思想之一，尤其在解决含参数问题发挥着奇特功效，大大提高了解题能力与速度.运用这种方法的关键是将题设条件研究透，这样才能快速找准突破点. 充分利用分类讨论思想方法能够使问题条理清晰，进而顺利解答，希望同学们能够熟练掌握并应用与解题当中.。
高中数学必修一人教A版1.1 集合的概念练习(含答案及解析)(74)
1.1 集合的概念一、单选题1．集合{}210A x x =-=，{}10B x bx =-=，若()B A B ⊆，则符合条件的实数b 的值组成的集合为（ ）A ．{}1,0,1-B ．{}1,1-C ．{}1,2,0D ．{}1,1,2-答案：A解析：()B A B ⊆等价于B A ⊆，讨论0b =， 0b ≠两种情况即可得解.详解：()B A B ⊆等价于B A ⊆， 若0b =，则B =∅，符合题意；若0b ≠，则1b B ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭， 因为{}{}2101,1A x x =-==-， 所以111b b =⇒=或111b b=-⇒=-，综上，符合条件的实数b 的值组成的集合为{}1,0,1-，故选：A.2．对于集合A ，B ，若一个集合为另一个集合的子集时，则称这两个集合A ，B 之间构成“全食”；当集合A B ⋂≠∅，且互不为对方子集时，则称集合A ､B 之间构成“偏食”.对于集合{}2,1,2A =-，{}21,0B x ax a ==≥，若集合A ，B 构成“全食”或构成“偏食”，则a 的取值集合为（ ）A ．14⎧⎫⎨⎬⎩⎭B ．11,4⎧⎫⎨⎬⎩⎭C ．10,1,4⎧⎫⎨⎬⎩⎭D ．110,1,,42⎧⎫⎨⎬⎩⎭答案：C解析：结合新定义，按照0a =、0a >分类，即可得解.详解：当0a =时，{}201B x x ===∅，B A ⊆，符合题意； 当0a >时，{}21B x ax⎧===⎨⎩，若集合A ，B 2=，解得14a =； 当集合A ､B 1=，解得1a =； 所以a 的取值集合为10,1,4⎧⎫⎨⎬⎩⎭.故选：C.3．下列说法正确的是AQB QC ZD R答案：B解析：因为Q Q ，故A 错误，B 正确；在C Z （整数集），故C错误；在D ,故D 错误．故选B ．4．已知集合{0}A xx a =-≤∣，若2A ∈，则a 的取值范围为（ ） A ．(,4]-∞B ．(,2]-∞C ．[2,)+∞D ．[4,)+∞答案：C 解析：根据元素与集合之间的关系可得结果.详解：∵2∈A，∴2﹣a≤0；∴a≥2，∴a 的取值范围为[2，+∞）.故选：C.点睛：本题考查了元素与集合之间的关系，属于基础题.5．集合A =一条边长为1，一个角为40︒的等腰三角形}中元素有（ ）A ．2个B ．3个C ．4个D ．无数个答案：C解析：考虑已知角度为底角或顶角，已知边为腰或者底，得到答案.详解：当顶角为40︒时，若边长为1的边为腰，有1个等腰三角形，若边长为1的边为底，有1个等腰三角形；当底角为40︒时，若边长为1的边为腰，有1个等腰三角形，若边长为1的边为底，有1个等腰三角形；故共有4个元素.故选：C .点睛：本题考查了集合的元素个数，漏解是容易发生的错误.6．设集合{}0,1,2A =,则集合{}|,B x y x A y A =-∈∈中元素的个数是A ．1B ．3C ．5D ．9答案：C详解：∵A=0，1，2}，B=x ﹣y|x∈A，y∈A}，∴当x=0，y 分别取0，1，2时，x ﹣y 的值分别为0，﹣1，﹣2；当x=1，y 分别取0，1，2时，x ﹣y 的值分别为1，0，﹣1；当x=2，y 分别取0，1，2时，x ﹣y 的值分别为2，1，0；∴B=﹣2，﹣1，0，1，2}，∴集合B=x ﹣y|x∈A，y∈A}中元素的个数是5个．故选C ．7．设集合A=1，2，3}，B=4，5}，C=x+y|x∈A，y∈B}，则C 中元素的个数为（） A ．3 B ．4 C ．5 D ．6答案：B解析：直接求出集合C 即可.详解：集合A=1，2，3}，B=4，5}，C=x+y|x∈A，y∈B}，所以C=5，6，7,8}.即C 中元素的个数为4.故选：B.8．下列选项能组成集合的是（ ）A ．兴趣广泛的同学B ．个子较高的男生C ．英文26个字母D ．非常大的数答案：C解析：根据集合中元素的确定性,逐项分析可得.详解：对于A ,兴趣广泛的标准不明确,不能组成集合;对于B ,个子较高的标准不明确,不能组成集合;对于C ,英文26个字母能组成集合;对于D ,非常大的标准不明确,不能组成集合.故选C .点睛：本题考查了集合中元素的确定性,属于基础题.9．若{(2,2),(2,2)}A =-，则集合A 中元素的个数是（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个答案：B解析：集合A 是点集，即可得出集合的元素，从而得解；详解：解：因为{}(2,2),(2,2)A =-，集合A 中有()2,2-、()2,2两个元素；故选：B二、填空题1．2|,,51n x x n N n n -⎧⎫=∈⎨⎬+⎩⎭用列举法表示为_________. 答案：11212,,0,,,2452⎧⎫--⎨⎬⎩⎭ 解析：将0,1,2,3,4,5n =代入21n n -+，求出集合的元素，并用列举法表示出来. 详解：将0,1,2,3,4,5n =代入21n n -+，得11212,,0,,,2452--， 故2|,,51n x x n N n n -⎧⎫=∈⎨⎬+⎩⎭用列举法表示为11212,,0,,,2452⎧⎫--⎨⎬⎩⎭. 故答案为：11212,,0,,,2452⎧⎫--⎨⎬⎩⎭点睛：本题考查了对集合描述法的理解，列举法表示集合，属于基础题.2．如果{},1A x =，则x 的取值范围是_____________．答案：x ∈R 且1x ≠，解析：利用集合的互异性即可求解.详解：由{},1A x =，则x ∈R 且1x ≠，故答案为：x ∈R 且1x ≠，3．若集合{}2320A x R ax x =∈-+=中只有一个元素，则a 等于________答案：0或98解析：分0a =和0a ≠两种情况讨论，结合已知条件可得出关于实数a 的等式，综合可得出实数a 的值.详解：若集合A 中只有一个元素，则方程2320ax x -+=只有一个实根或有两个相等实根． 当0a =时，原方程即为320x -+=，解得23x =，符合题意；当0a ≠时，由980a ∆=-=，解得98a =.综上所述，a 的值为0或98.故答案为：0或98.4．设P 、Q 为两个非空实数集合，定义集合P+Q ＝x|x ＝a+b ，a∈P，b∈Q}，若P ＝0，2，5}，Q ＝1，2，6}，则P+Q 中元素的个数是____．答案：8解析：先确定a ，b 的取值，再求两者之和，由元素的互异性，和相等的算一个，可求出答案．详解：解：∵a∈P，b∈Q，∴a 可以为0，2，5三个数，b 可以为1，2，6三个数，∴x＝0+1＝1，x ＝0+2＝2，x ＝0+6＝6，x ＝2+1＝3，x ＝2+2＝4，x ＝2+6＝8，x ＝5+1＝6，x ＝5+2＝7，x ＝5+6＝11，∴P+Q＝x|x ＝a+b ，a∈P，b∈Q}＝1，2，3，4，6，7，8，11}，有8个元素．故答案为8．5．已知集合{}{}1,2,31,A B m ==，，若3m A -∈，则非零实数m 的数值是______．答案：2详解：由题，若32,m -= 则1,m = 此时B 集合不符合元素互异性，故1;m ≠若31,m -=则2,m =符合题意；若33,m -=则0,m =不符合题意.故答案为2三、解答题1．已知集合{}222,(1),33A a a a a =++++，且1A ∈，求实数a 值．答案：0a =解析：让集合中每个元素等于1，求出a 值，然后检验是否符合互异性即可得．详解：∵1A ∈，∴若21a +=，则1a =-，此时2331a a ++=，不合题意；若2(1)1a +=，则0a =或2a =-，2a =-时，2331a a ++=，不合题意，0a =时，{2,1,3}A =，满足题意；若2331a a ++=，则1a =-或2a =-，由以上分析均为合题意．综上0a =．点睛：本题考查集合的概念，在求集合的参数值时，需进行检验，主要是检验元素的互异性，如果涉及到集合的运算，还需检验集合运算的结果是否符合题意．2．已知3A -∈,A 中含有的元素有23,21,1a a a --+，求a 的值.答案：0a =和1a =-解析：根据3A -∈，得到33a -=-或213a -=-，结合集合中元素的互异性，即可求解. 详解：由3A -∈且211a +≥，可得33a -=-或213a -=-，当33a -=-时，可得0a =；当213a -=-时，可得1a =-，经检验0a =和1a =-都符合题意.所以0a =和1a =-.3．已知集合(){}(){}12,,...,1,11,2,...,,,n n i n A x x x x i n x y A =∈-=∈1212{,,...,},{,,...,}n n x x x x y y y y ==，其中(),{1,1}1,2,...,i i x y i n ∈-=，定义1122....n n x y x y x y x y =+++.若0x y =，则称x 与y 正交（1）若{1,1,1,1}x =，写出4A 中与x 正交的所有元素（2）令{},n B x y x y A =∈.若m B ∈，证明：m n +为偶数答案：（1）()1,1,1,1--，()1,1,1,1--，()1,1,1,1--，()1,1,1,1--，()1,1,1,1--，()1,1,1,1--；（2）证明见解析解析：（1）根据新定义直接写出答案即可.（2）首先根据题意分别表示出m ，n ，即可证明m n +为偶数.详解：（1）4A 中与x 正交的所有元素为()1,1,1,1--，()1,1,1,1--，()1,1,1,1--，()1,1,1,1--，()1,1,1,1--，()1,1,1,1--.（2）对于m B ∈，存在()12,,,…=n x x x x ，{}1,1∈-i x()12,,,…=n y y y y ，{}1,1∈-i y ，使得=xy m .令1,0,i i i i i x y x y λ=⎧=⎨≠⎩，1λ==∑n i i k . 当=i i x y 时，1i i x y =，当≠i i x y 时，1=-i i x y ，所以()12===--=-∑ni i i x y x y k n k k n .所以22+=-+=m n k n n k 为偶数.点睛：本题主要考查集合新定义问题，考查学生分析问题的能力，属于难题.。
高中数学必修一人教A版1.1 集合的概念练习(含答案及解析)(44)
1.1 集合的概念一、单选题1．已知集合{}1,2A =，集合{},B a b =，若A B = ，则a b=（ ） A ．12 B ．2 C ．1或2D ．12或2答案：D解析：由两集合相等可得结合B 中元素，结合集合中元素的无序性，分两种情况进行讨论，从而可选出正确答案. 详解：解：因为A B =，所以B 中元素为1,2,当1a =时2b =，此时12a b=， 当2a =时1b =，此时2a b=, 故选：D.2．设{}25A x x =≤≤，{}23B x a x a =≤≤+，若A B ⊆，则实数a 的取值范围是（ ） A ．()()1,22,3⋃ B ．(],1-∞ C ．[)23， D ．ϕ答案：D解析：利用集合间的包含关系列出不等式组，求解即可. 详解：解：{}25A x x =≤≤，{}23B x a x a =≤≤+且A B ⊆，232235a a a a ≤+⎧⎪∴≤⎨⎪+≥⎩， 此不等式组无解. 故选：D.3．已知集合{}1,2,3,4,5A =，(){},|,,B x y x A y A x y A =∈∈+∈，则集合B 中所含元素的个数为（ ） A ．4 B ．6C ．8D ．10答案：D解析：根据题中条件，由列举法列举出集合B 中所含元素，即可得出结果.因为集合{}1,2,3,4,5A =，所以(){}()()()()()()()()()(){},|,,1,1,1,2,1,3,1,4,2,1,2,2,2,3,3,1,3,2,4,1B x y x A y A x y A =∈∈+∈=共含有10个元素. 故选：D.4．在整数集Z 中，被5除所得余数为k 的所有整数组成的一个集合称为“类”，记为[]k ，即[]{}5k n k n Z =+∈，0k =、1、2、3、4，给出如下四个结论：①[]20133∈；②[]22-∈；②[][][][][]01234Z =⋃⋃⋃⋃；④若整数a 、b 属于同一“类”，则“[]0a b -∈”，其中正确结论的个数为（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4答案：C解析：根据“类”的定义对上述五个结论的正误进行判断. 详解：对于①，201354023=⨯+，[]20133∴∈，结论①正确； 对于②，253-=-+，[]23∴-∈，结论②错误；对于③，对于任意一个整数，它除以5的余数可能是0、1、2、3、4，[][][][][]01234Z ∴=，结论③正确；对于④，整数a 、b 属于同一“类”，设a 、[]b k ∈，0k =、1、2、3、4，则存在m 、n Z ∈，使得5a m k =+，5b n k =+，()()()[]5550a b m k n k m n ∴-=+-+=-∈，结论④正确.故选C.点睛：本题考查集合中的新定义，在判断命题的正误时应充分结合题中定义来理解，考查推理能力，属于中等题.5．若a∈1，a 2﹣2a+2}，则实数a 的值为（ ） A ．1 B ．2C ．0D ．1 或2答案：B解析：根据a∈1，a 2﹣2a+2}，则由a ＝1或a ＝a 2﹣2a+2，集合元素的互异性求解. 详解：因为a ∈1，a 2﹣2a+2}， 则：a ＝1或a ＝a 2﹣2a+2，当a ＝1时：a 2﹣2a+2＝1，与集合元素的互异性矛盾，舍去； 当a≠1时：a ＝a 2﹣2a+2，解得：a ＝1（舍去）或a ＝2； 故选：B ．本题主要考查集合元素的互异性，属于基础题.6．设{1,0,1,2}U =-，集合2{|1,}A x x x U =<∈，则U A （ ） A ．{0,1,2} B ．{1,1,2}- C ．{1,0,2}- D ．{1,0,1}-答案：B解析：先求出集合A ，根据补集运算，即可求出U A . 详解：由21x < 得： 11x -<<，又x U ∈，所以{}0A = ，因此{}1,1,2U A =- . 故选：B. 点睛：本题主要考查了集合的补集运算，属于基础题. 7．集合{(,)|0,,}x y xy x R y R ∈∈是指（ ） A ．第二象限内的所有点B ．第四象限内的所有点C ．第二象限和第四象限内的所有点D ．不在第一、第三象限内的所有点答案：D解析：根据0xy ≤可得00x y ≤⎧⎨≥⎩或0x y ≥⎧⎨≤⎩，再分析点的集合即可.详解：因为0xy ≤，故00x y ≤⎧⎨≥⎩或00x y ≥⎧⎨≤⎩，故集合{(,)|0,,}x y xy x R y R ∈∈是指第二、四象限中的点，以及在,x y 轴上的点，即不在第一、第三象限内的所有点. 故选：D 点睛：本题主要考查了集合中的元素的理解、象限的理解与辨析.属于基础题.8．已知集合 A =1,2,3, 4,5, 6},{|,,,}b T x x a b A a b a==∈>，则集合T 中元素的个数为 A ．9 B ．10 C ．11 D ．12答案：C解析：先阅读题意，再写出集合T 即可. 详解：解：由集合 A =1,2,3, 4,5, 6},{|,,,}bT x x a b A a b a ==∈>，则11213123415,,,,,,,,,,23344555566T ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭，则集合T 中元素的个数为11， 故选C. 点睛：本题考查了元素与集合的关系，重点考查了阅读能力，属基础题. 9．直线2y x =与3y x的交点组成的集合是（ ）A ．{}3,6B ．36,C ．3,6x y ==D ．(){}3,6答案：D 解析：联立23y xy x =⎧⎨=+⎩，可求出两直线的交点，进而可选出答案.详解： 联立23y x y x =⎧⎨=+⎩，解得36x y =⎧⎨=⎩，即()3,6.故直线2y x =与3y x的交点组成的集合是(){}3,6. 故选：D. 点睛：本题考查集合元素的辨析，直线与直线的交点是有序实数对，属于基础题. 二、填空题1．若集合{}2|210A x ax x =-+=至多有一个元素，则实数a 的取值集合是______.答案：{|1a a ≥或}0a =解析：对方程进行分类讨论，结合一元一次方程、一元二次方程的解的性质求解即可. 详解：当0a =时，12A ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭，符合题意； 当0440a a ≠⎧⎨∆=-≤⎩时，1a ≥，此时方程2210ax x -+=至多有一个解，即集合A 至多有一个元素；∴1a ≥，或0a =，即实数a 的取值集合是{|1a a ≥或}0a =. 故答案为：{|1a a ≥或}0a =. 点睛：本题考查了已知集合元素的个数求参数问题，考查了分类讨论思想，考查了数学运算能力. 2．集合是单元素集合，则实数=_______．答案：0或2或18解析：试题分析：由题意可知方程2(6)20ax a x +-+=中，当0a =时16203x x -+=∴=，满足要求；当0a ≠时需满足0∆=()264202,18a a a ∴--⨯=∴=，所以实数为0或2或18 考点：方程的根的判定与集合元素 3．用符号“∈”或“∉”填空（1）0______N 5N 16N答案：∈∉∈解析：0516. 详解：0516N N N ∈.故答案为：;;∈∉∈4．满足{}1234,,,M a a a a ⊆，且{}{}12312,,,M a a a a a =的集合M 为______．（只需要写出一个满足条件的集合即可）答案：12{,}a a解析：由交集的结果可知123,,a M a M a M ∈∈∉，结合已知条件即可的集合M. 详解：由题意知：123,,a M a M a M ∈∈∉，又{}1234,,,M a a a a ⊆， ∴当4a M ∉时，12{,}M a a =；当4a M ∈时，124{,,}M a a a =. ∴集合M 为可以为12{,}a a 或124{,,}a a a . 故答案为：12{,}a a . 点睛：本题考查了元素与集合的关系，由交集的结果判断元素与集合关系确定集合，属于简单题. 5．用列举法表示集合2|,,103m m N m N m -⎧⎫∈∈≤=⎨⎬⎩⎭_______.答案：{}2,5,8解析：由,10m N m ∈≤得0,1,2,,10m =，依次把m 值代入23m -，若23m N -∈成立，则得到的m 值为集合中的元素. 详解：由,10m N m ∈≤得0,1,2,,10m =，当2m =时，2203N -=∈，当5m =时，5213N -=∈，当8m =时，8223N -=∈， 所以2|,,103m m N m N m -⎧⎫∈∈≤=⎨⎬⎩⎭{}2,5,8. 故答案为{}2,5,8. 点睛：本题考查集合描述法的元素具有的性质、集合列举法表示，考查对集合概念的理解和基本运算求解能力. 三、解答题1．已知集合{|1A x x =≤-或}5x ≥，{}22B x a x a =≤≤+. （1）若1a =-，求A B 和A B ； （2）若A B B =，求实数a 的取值范围.答案：（1）{}21x x -≤≤-，{|1x x ≤或}5x ≥；（2）(](),32,-∞-⋃+∞.解析：（1）先求出集合B ，再求A B 和A B 得解；（2）由题得B A ⊆，再对集合B 分两种情况讨论得解. 详解：（1）若1a =-，则{}21B x x =-≤≤，{}21A B x x ∴⋂=-≤≤-，{|1A B x x ⋃=≤或}5x ≥.（2）A B B =，B A ∴⊆. ①若B =∅，则22a a >+，2a ∴>；②若B ≠∅，则2,21a a ⎧⎨+-⎩或2,25,a a ⎧⎨≥⎩3a ∴≤-. 综上，实数a 的取值范围为(](),32,-∞-⋃+∞. 点睛：本题主要考查集合的交集、补集运算，考查根据集合的关系求参数的范围，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力. 2．设k ∈R ，求方程组123y kx y kx =+⎧⎨=+⎩的解集．答案：当0k ≠时，解集为2,1k⎧⎫⎛⎫--⎨⎬ ⎪⎝⎭⎩⎭；当0k =时，解集为∅．解析：两式作差得到2kx =-，再对0k ≠与0k =分两种情况讨论，即可得解； 详解：解：因为123y kx y kx =+⎧⎨=+⎩两式相减，得到2kx =-， 当0k ≠时，2x k=-，代入方程组中的第一式，得到1y =-，此时，原方程组的解集为2,1k ⎧⎫⎛⎫--⎨⎬ ⎪⎝⎭⎩⎭． 当0k =时，方程2kx =-，无解，从而原方程组无解，其解集为∅． 3．已知集合{,,2}A a b =，2{2,,2}B b a =，若A B =，求实数a ，b 的值.答案：01a b =⎧⎨=⎩或1412a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩.解析：利用集合相等的定义列出方程组，再结合集合中元素的互异性质能求出实数a ，b 的值． 详解：解：由已知A B =，得22a ab b =⎧⎨=⎩（1）或22a b b a ⎧=⎨=⎩.（2） 解（1）得00a b =⎧⎨=⎩或01a b =⎧⎨=⎩，解（2）得00a b =⎧⎨=⎩或1412a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，又由集合中元素的互异性得01a b =⎧⎨=⎩或1412a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩.点睛：本题考查集合相等的的定义，同时要注意集合中元素的互异性.。
高中数学必修一人教A版1.1 集合的概念练习(含答案及解析)(35)
1.1 集合的概念一、单选题1．已知集合{}0,2A =，{}10B x ax =+=，若B A ⊆，则由实数a 的所有可能的取值组成的集合为（ ） A ．12⎧⎫⎨⎬⎩⎭B ．12⎧⎫-⎨⎬⎩⎭C ．10,2⎧⎫⎨⎬⎩⎭D ．10,2⎧⎫-⎨⎬⎩⎭答案：D解析：根据子集的定义，结合方程10ax +=的解的情况进行求解即可. 详解：当0a =时，方程10ax +=没有实数根，故B =∅，显然符合B A ⊆， 当0a ≠时，由110ax x a+=⇒=-，显然0x ≠，因此要想B A ⊆，只有1122a a-=⇒=-，因此实数a 的所有可能的取值组成的集合为10,2⎧⎫-⎨⎬⎩⎭. 故选：D2．已知集合{}3,M x x n n Z ==∈，{}31,N x x n n Z ==+∈，{}31,P x x n n ==-∈Z 且a M ∈，N b ∈，c P ∈，记d a b c =+-，则（ ）A ．()d M P ∈⋃B ．d M ∈C ．d N ∈D ．d P ∈答案：D解析：写出,,a b c 的表达形式，计算出d ，确定d 的形式，可得其所属集合． 详解：由题意设13a k =，231b k =+，331c k =-，（123,,k k k Z ∈），则1231233()23(1)1d a b c k k k k k k =+-=+-+=+-+-，而1231k k k Z +-+∈， ∴d P ∈． 故选：D ．3．对于任意两个正整数m 、n ，定义某种运算“※”，法则如下：当m 、n 都是正奇数时，m ※n =m n +；当m 、n 不全为正奇数时，m ※n =mn .则在此定义下，集合{}**(,)|16,,M a b a b a N b N ※==∈∈中的元素个数是A ．7B ．11C ．13D ．14答案：C详解：试题分析：从定义出发，抓住m、n的奇偶性对16实行分拆是解决本题的关键，当m、n同奇=+将16分拆两个同奇数的和，有时，根据m※n m n+=+=+=+=+=+=+=+，共有8对；当m、n不全为奇数时，根据1153135117997115133151m※n mn=将16分拆两个不全为奇数的积，再算其组数即可，此时有⨯=⨯=⨯=⨯=⨯，共5对.116284482161∴共有8513+=个，故选C.考点：考查分析问题的能力以及集合中元素的性质.4．对于任意两个正整数m，n，定义某种运算“※”如下：当m，n都为正偶数或正奇数时，m※n＝m＋n；当m，n中一个为正偶数，另一个为正奇数时，m※n＝mn，则在此定义下，集合M＝(a，b)|a※b＝16}中的元素个数是( )A．18 B．17 C．16 D．15答案：B解析：根据已知条件，a，b都是正偶数时, 这种情况下集合M有7个元素；a，b都为正奇数时, 这种情况下集合M有8个元素；当a=1，b=16，或a=16，b=1时,则满足ab=16，即构成集合M有2个元素，所以集合M有17个元素．详解：（1）a，b都是正偶数时：a从2，4，6，8，10，12，14，16任取一个有8种取法，而对应的b有一种取法；∴（a，b）有7种取法，即这种情况下集合M有7个元素；（2）a，b都为正奇数时：a从1，3，5，7，9，11，13，15任取一个有8种取法，而对应的b有一种取法；∴（a，b）有8种取法，即这种情况下集合M有8个元素；（3）当m=16，n=1，和m=1，n=16，即这种情况下集合M有两个元素；∴集合M的元素个数是7+8+2=17．故答案为：B．点睛：考查描述法表示集合，元素与集合的关系，以及对新概念的运用能力．5．设集合A＝﹣1,0,1}，B＝（x,y）|x∈A，y∈A}，则B中所含元素的个数为（）A．3 B．6 C．9 D．12答案：C解析：根据集合B的定义，写出其中的元素，即可求得.详解：根据集合B 的定义，容易知，集合B 中的元素为()()()1,1,1,0,1,1----()()()()()()0,1,0,0,0,1,1,1,1,0,1,1--合计9个元素， 故选：C. 点睛：本题考查对集合的理解，以及集合元素的求解，属基础题. 6．若元素{}21,a a ∈，则实数a 的值为（ ）．A ．1-B ．1,1-C ．1,0-D ．0,1答案：A解析：根据元素与集合的关系及集合中元素的互异性,列出关于实数a 的方程,解方程并进行取舍即可. 详解：因为元素{}21,a a ∈,所以当21a =,即1a =±时,若1a =,此时集合为{}1,1,不符合集合中元素的互异性,故1a =不符合题意; 若1a =-,此时集合为{}1,1-符合题意; 综上可知,实数a 的值为1-. 故选:A 点睛：本题考查元素与集合的关系及集合中元素的互异性;利用集合中元素的互异性对实数a 进行取舍是本题的易错点;属于基础题、常考题型.7．设集合A=x|x 2–4≤0}，B=x|2x+a≤0}，且A∩B =x|–2≤x≤1}，则a=（ ） A ．–4 B ．–2 C ．2 D ．4答案：B解析：由题意首先求得集合A,B ，然后结合交集的结果得到关于a 的方程，求解方程即可确定实数a 的值. 详解：求解二次不等式240x -≤可得：{}2|2A x x -=≤≤， 求解一次不等式20x a +≤可得：|2a B x x ⎧⎫=≤-⎨⎬⎩⎭.由于{}|21A B x x ⋂=-≤≤，故：12a -=，解得：2a =-. 故选：B. 点睛：本题主要考查交集的运算，不等式的解法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 8．已知集合{|14,}A x x x Z =-≤<∈，则集合A 中元素的个数为（ ） A ．3 B ．4 C ．5 D ．6答案：C解析：根据x 满足的不等式列举出x 的可能值，然后用列举法写出集合A ，即可得到集合A 中元素的个数. 详解：因为14,x x Z -≤<∈，所以x 可取1,0,1,2,3-， 所以{}1,0,1,2,3A =-，所以集合A 中元素的个数为5. 故选：C. 点睛：本题考查用列举法求集合中元素的个数，难度较易.9．已知,a b ∈R ，若{}2,,1,,0b a a a b a ⎧⎫=+⎨⎬⎩⎭，则20192019a b +的值为( )A ．1B ．0C ．1-D ．±1答案：C解析：根据{}2,,1,,0b a a a b a ⎧⎫=+⎨⎬⎩⎭可得出0b a =,即0b =,整理后分别讨论21a a a⎧=⎨=⎩或21a a a =⎧⎨=⎩,根据元素的互异性可得1a =-, 0b =,代入20192019a b +计算即可 详解：ba,0a ∴≠ {}2,,1,,0b a a a ba ⎧⎫=+⎨⎬⎩⎭ 0ba∴=,即0b =, {}{}2,0,1,,0a a a ∴=∴当21a a a⎧=⎨=⎩时,1a =-或1a =,当1a =时,即得集合{}1,0,1,不符合元素的互异性,故舍去,当21a a a=⎧⎨=⎩时,1a =，即得集合{}1,0,1,不符合元素的互异性,故舍去, 综上,1a =-, 0b =()2019201920192019101a b ∴+=-+=-，故选C 点睛：本题考查列举法表示集合,集合相等的定义,集合元素的互异性 二、填空题1．已知集合{}2,(R)A x x x =∈，若1A ∈，则x =___________.答案：1-解析：根据元素与集合之间的关系以及集合的特征即可求解. 详解：{}2,(R)A x x x =∈，1A ∈，则1x =或21x =， 解得1x =或1x =-，当1x =时，集合A 中有两个相同元素，（舍去）， 所以1x =-. 故答案为：1-2．定义集合运算：{}|,,A B z z xy x A y B ⊗==∈∈，设，，则集合A B ⊗的所有元素之和为______________．答案：54解析：试题分析：由新定义运算可知集合A B ⊗中所有的元素是由集合，中的元素的乘积得到的，所有元素依次为0,4,5,8,10,12,15，求和得54 考点：新定义集合问题3．方程组221x y x ⎧=⎨=⎩的解集中元素的个数为_________.答案：2解析：先求出x ，再代入求y 即可求解 详解：解方程得，1x =±，当1x =-时，21y =-不成立； 当1x =时，21y =，所以，1y =±；所以方程组的解为1111x y =⎧⎨=⎩或2211x y =⎧⎨=-⎩，有2组解 故答案为：24．用列举法表示集合{}220,x x x x R -=∈为__________________.答案：{}0,2解析：解出集合中的方程，然后用列举法表示出来. 详解：解：{}{}220,0,2x x x x R -=∈=，故答案为{}0,2. 点睛：本题考查集合的表示，列举法，是基础题.5．任意两个正整数x 、y ，定义某种运算⊗：()()x y x y x y x y x y +⎧⊗=⎨⨯⎩与奇偶相同与奇偶不同，则集合{(,)|6,,}M x y x y x y =⊗=∈*N 中元素的个数是________答案：9解析：根据正整数的奇偶,讨论x y 、的不同取值情况:若一奇一偶,则取6xy =;若都是奇数或都是偶数,则取6x y +=,列举出所有可能即可. 详解：集合{(,)|6,,}M x y x y x y =⊗=∈*N若x y 、一奇一偶,则取6xy =,此时所有个数为16x y =⎧⎨=⎩,23x y =⎧⎨=⎩,32x y =⎧⎨=⎩,61x y =⎧⎨=⎩,此时(),x y 共有4个; 若x y 、都是偶数,则取6x y +=,此时所有个数为24x y =⎧⎨=⎩,42x y =⎧⎨=⎩,此时共(),x y 有2个; 若x y 、都是奇数,则取6x y +=,此时所有个数为15x y =⎧⎨=⎩,33x y =⎧⎨=⎩, 51x y =⎧⎨=⎩此时(),x y 共有3个; 综上可知,满足条件的元素共有9个. 故答案为:9 点睛：本题考查了新定义运算与集合的综合应用,注意分析题意并正确理解新定义是解决此类问题的关键,属于中档题. 三、解答题1．已知集合A 有三个元素：a －3，2a －1，a 2＋1，集合B 也有三个元素：0，1，x.（1）若－3∈A，求a 的值； （2）若x 2∈B，求实数x 的值； （3）是否存在实数a ，x ，使A ＝B ．答案：（1）a ＝0或－1；（2）x ＝－1；（3）不存在.解析：（1）若3A -∈，则33a -=-或213a -=-，再结合集合中元素的互异性，能求出a 的值． （2）当x 取0，1，1-时，都有2x B ∈，集合中的元素都有互异性，由此能求出实数x 的值． （3）210a +≠，若30a -=，则3a =，{0A =，5，10}B ≠，若210a -=，则12a =，{0A =，52-，5}4B ≠，由此求出不存在实数a ，x ，使A B =． 详解：解：（1）集合A 中有三个元素：3a -，21a -，21a +，3A -∈，33a ∴-=-或213a -=-，解得0a =或1a =-，当0a =时，{3A =-，1-，1}，成立； 当1a =-时，{4A =-，3-，2}，成立．a ∴的值为0或1-．（2）集合B 中也有三个元素：0，1，x ．2x B ∈， 当x 取0，1，1-时，都有2x B ∈，集合中的元素都有互异性，0x ∴≠，1x ≠-，1x ∴=-．∴实数x 的值为1-．（3）210a +≠，若30a -=，则3a =，{0A =，5，10}B ≠， 若210a -=，则12a =，{0A =，52-，5}4B ≠，∴不存在实数a ，x ，使A B =．点睛：本题主要考查元素与集合的关系、集合相等的定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2．已知集合{|A x x m ==+2231,,}m n m n -=∈Z . （1）证明：若x A ∈，则1x x+是偶数；（2）设a A ∈，且14a <<，求实数a 的值；（3）设c AA ；并求满足22(2c ≤的c 的值.答案：（1）证明见解析；（2）23）证明见解析，7c =+解析：（1）根据x A ∈,将x m =+1x x+化简,结合2231,,m n m n -=∈Z 即可证明. （2）根据题意,设a m =+结合（1）并分类讨论即可求得m 的值, 代入2231m n -=求得n 的值,讨论并舍去不符合要求的n 的值,即可得实数a 的值; （3）根据题意,设3,cm n,并结合2231m n -=即可证明;化简不等式,结合（2）可知,在()1,4范围内的值只能是22=即可求得c 的值. 详解：（1）证明: 若x A ∈,则x m =+所以1m x x =++m =+m +=因为2231m n -=所以原式2m m m =+- 因为m ∈Z 所以2m ∈偶数 原式得证（2）因为a A ∈,且14a << 则1114a<<,所以5154a a<+<设a m =+2231,,m n m n -=∈Z 由（1）可知12a m a+=,即5254m << 所以1m =或2m =当1m =时,代入2231m n -=可得0n =此时1a m =+=,不满足14a <<,所以1m =不成立当2m =时,代入2231m n -=解得1n =±,若1n =-,则2a =不满足14a <<,所以1n =-不成立;若1n =,则2a =满足14a <<综上,可知2a =（3）证明:因为cA ,所以可设3,cm n 且2231,,m n m n -=∈Z2m +=()(232m n n m =-+-代入223m n -()()222332m n n m =---⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦222224129344m mn n n mn m ⎡⎤=-+--+⎣⎦2231m n =-=A 成立,原式得证对于22(2c ≤,不等式同时除以212≤由（2）可知, 在14a <<范围内, 2a =2=即(227c ==+点睛：本题考查了元素与集合的关系,根据定义判断元素的特征,综合性和创新性强,需要很好的理解能力,属于难题.3．设A 表示集合2,3，a 2＋2a －3)，B 表示集合|a ＋3|,2}，若5∈A，且5∉B ，求实数a 的值．答案：-4解析：通过5∈A，且5∉B 将条件列出，求出a 的值即可． 详解：∵5∈A，且5∉B ，∴223535a a a ⎧+-=⎪⎨+≠⎪⎩，即4228a a a a =-=⎧⎨≠≠-⎩或且，解得a ＝－4.点睛：本题考查元素与集合的关系的应用，基本知识的考查．。
高中数学必修一人教A版1.1 集合的概念-单选专项练习(含答案及解析)(12)
1.1 集合的概念1．由实数x ，x -，x 所组成的集合，最多含有（ ）A ．2个元素B ．3个元素C ．4个元素D ．5个元素答案：A解析：分0x =、0x >、0x <三种情况讨论，即可得答案.详解：x ，x =-， 当0x =时，它们均为0；当0x >时，它们分别为x ，－x ，x ，x ，－x ；当0x <时，它们分别为x ，－x ，－x ，－x ，－x.通过以上分析，它们最多表示两个不同的数，故此集合中元素最多含有2个．故选：A点睛：本题主要考查了集合元素的互异性，涉及根式的化简，属于基础题.2．已知{}{},14||A x x a B x x =<=<<，若R A B ⊆，则实数a 的取值范围为（ ）A ．{}|1a a <B ．{}4|a a ≤C ．{}|1a a ≤D ．{}|1a a ≥答案：C解析：由题知|1{R B x x =≤或}4x ≥，在结合集合关系即可得答案.详解：因为{}{},14||A x x a B x x =<=<<，所以|1{R B x x =≤或}4x ≥，因为R A B ⊆，所以1a ≤.故实数a 的取值范围为{}|1a a ≤故选：C3．已知集合{}1,2A =，{},,B x x a b a A b A ==-∈∈，则集合B 中元素个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4答案：C解析：由集合B 的描述知{1,2}a ∈、{1,2}b ∈，可求出x a b =-，即得集合B 的元素个数. 详解：解：由题意知：{1,2}a ∈，{1,2}b ∈，{}{}|,,0,1,1B x x a b a A b A ==-∈∈=-，∴集合B 中元素个数为3.故选：C.4．若正实数x ，y ，z ，w 构成集合A ，以A 中四个元素为边长的四边形可能是（ ）A ．梯形B ．平行四边形C ．菱形D ．矩形答案：A解析：根据集合中元素的互异性判断对应四边形的形状.详解：由于集合中的元素具有互异性，所以正实数互不相等.结合平行四边形、菱形、矩形均有相等的边，而梯形的四条边可以不相等，可知以A 中四个元素为边长的四边形可能是梯形，故选A.点睛：本题考查集合中元素的特性：互异性，难度较易.互异性：集合中的任意两个元素不相同.5．用列举法表示集合{}23,x x x *-<∈N 为． A ．{}0,1,2,3,4B ．{}1,2,3,4C ．{}0,1,2,3,4,5D ．{}1,2,3,4,5答案：B 解析：由23,x x *-<∈N ，解得1,2,3,4x =，再根据集合的表示方法，即可求解，得到答案．详解：由题意，因为23x -<，解得5x <，又由x *∈N ，所以1,2,3,4x =， 所以{}{}23,1,2,3,4x x x *-<∈=N ． 故选B ．点睛：本题主要考查了集合的表示方法，其中解答中熟记集合的表示方法，准确运算与改写是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．6．已知集合{}1,0,1,2A =-，{}12B x x =-<<，则A B =（ ）A ．{}1,0,1-B ．{}0,1C ．{}1,1,2-D ．{}1,2答案：B解析：直接根据交集的定义计算可得；详解：解：∵{}1,0,1,2A =-，{}12B x x =-<<，∴{}0,1A B =，故选：B.7．已知集合{}2|ln 1A x N x =∈<，则A =（ ）A ．1|x x e e ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭B ．{}1C ．{}2D ．{}1,2答案：D解析：通过解不等式2ln 1x <，可得：1ln 1x -<< ，所以1x e e <<，再结合x ∈N ，即可得解. 详解：由2ln 1x <，可得：1ln 1x -<< ，所以1x e e <<，又因为：x ∈N ，所以{}1,2A =，故选：D点睛：本题考查了求集合元素，考查了对数不等式的计算，需注意描述对象的取值范围，属于基础题.8．下面四个命题正确的个数是（ ）.①集合*N 中最小的数是1；②若*N a -∈，则*N a ∈；③若**N ,N a b ∈∈，则a b +的最小值是2；④296+=x x 的解集是{}3,3.A ．0B ．1C ．2D ．3答案：C解析：由*N 是正整数集可判断①②③，根据集合中元素的互异性知④错误.详解：*N 是正整数集，最小的正整数是1，故①正确； 当0a <时，*a N -∈，但*a N ∉，故②错误；若*a N ∈，则a 的最小值为1.又*b N ∈，则b 的最小值为1，当a 和b 都取最小值时，a b +取最小值2，故③正确；由集合中元素的互异性知④错误.故选：C点睛：本题考查常用数集、集合中元素的性质，属于基础题.9．集合(){}**,|4,,x y x y x N y N +=∈∈用列举法可表示为（ ）A ．{}1,2,3,4B ．()(){}1,3,2,2C ．()(){}3,1,2,2D ．()()(){}1,3,2,2,3,1答案：D解析：根据集合中的元素的特性，求得x 的范围，取逐次取x 的合适的值，得到对应的y 的值，然后组成对应的有序数对(x,y),由所有的这些有序数对列举写在大括号内，即为集合的列举法表示.详解：由y∈N *,所以y≥1，又 x+y=4,得x≤3,又x∈N *，所以x=1,2,3，对应y 的值依次为3,2,1,有序数对（x,y ）的值分别为(1,3),(2,2),(3,1),题中集合用列举法表示为(1,3),(2,2),(3,1)}，故选：D.点睛：本题考查集合的描述法转化为列举法表示，属基础题.注意题中所给集合的代表元素为（x,y ） ．10．把集合2|450{}x x x --=用列举法表示为（ ）A ．{|1,5}x x x =-=B ．{|15}x x x =-=或C ．2{450}x x --=D ．{-1,5}答案：D解析：先解一元二次方程2450x x --=的根，然后直接利用列举法表示集合.详解：解方程2450x x --=得1x =-或5x =，因此集合2|450{}x x x --=用列举法表示为{1,5}-. 故选：D.点睛：本题考查了一元二次方程的求解和集合列举法的应用，属于基础题.11．若用列举法表示集合27(,)2y x A x y x y ⎧⎫-=⎧⎪⎪=⎨⎨⎬+=⎩⎪⎪⎩⎭，则下列表示正确的是（ ） A ．{1,3}x y =-=B ．{(-1,3)}C ．{3,-1}D ．{-1,3}答案：B 解析：由题意知，集合A 代表点集，解方程组即可求解.详解：由272y x x y -=⎧⎨+=⎩可得13x y =-⎧⎨=⎩， 用列举法表示为：{(-1,3)}，故选：B.12．下列说法正确的是A NB ．1N -∈C ．12N ∈D ．9N ∈答案：D解析：由题意，AB 中，10-<，C 中，12不是自然数，可判定A 、B 、C 都不正确，即可得到答案.详解：由题意，对于AN 不正确；对于B 中，10-<，所以1N -∈不正确；对于C 中，12不是自然数，所以12N ∈不正确； 故选D.点睛：本题主要考查了常见数集的表示问题，以及元素与集合的关系，其中解答中熟记常见数集的表示形式，以及元素与集合的关系是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.13．关于集合下列正确的是A ．0N ∉B ．R ∅∈C ．*0N ∉D ．12Z ∈答案：C详解：0∉N 错误，R ∅∈错误，0∉N *正确，12∈Z 错误，故选C.14．以下五个关系：{}{},,a b b a ⊆，{}0∅∈，0∈∅，{}{}0∅⊆，{}0∅，其中正确的个数是A ．1B ．2C ．3D ．4答案：B解析：∅是集合，0是元素，注意集合与集合、元素的关系表示符号.详解： {}{},,a b b a 、是相等的集合，具有子集关系，故正确；∅与{}0是集合与集合的关系，不能使用∈符号，故错误；0与∅是元素与集合的关系，但是∅中不包含元素0，故错误；{}∅表示集合中包含的元素也是集合，且是∅，而{}0表示集合中包含的是元素是数字0，两者之间没有关系，故错误；根据空集是任何非空集合的真子集，故正确.正确的有2个.故选B.点睛：本题考查元素与集合、集合与集合的关系判断，难度较易.注意空集是任何非空集合的真子集.15．若集合(){},,,|04,04,04,,,p q r s p s q s r s p q r s E =≤<≤≤<≤≤<≤∈N 且，(){}F ,,,|04,04,,,t u v w t u v w t u v w 且=≤<≤≤<≤∈N ，用()card X 表示集合X 中的元素个数，则()()card card F E +=A ．50B ．100C ．150D ．200答案：D详解： 当4s =时，p ，q ，r 都是取0，1，2，3中的一个，有44464⨯⨯=种，当3s =时，p ，q ，r 都是取0，1，2中的一个，有33327⨯⨯=种，当2s =时，p ，q ，r 都是取0，1中的一个，有2228⨯⨯=种，当1s =时，p ，q ，r 都取0，有1种，所以()card 642781100E =+++=，当0t =时，u 取1，2，3，4中的一个，有4种，当1t =时，u 取2，3，4中的一个，有3种，当2t =时，u 取3，4中的一个，有2种，当3t =时，u 取4，有1种，所以t 、u 的取值有123410+++=种，同理，v 、w 的取值也有10种，所以()card F 1010100=⨯=，所以()()card card F 100100200E +=+=，故选D ．考点：推理与证明．16．已知集合且，则实数的值为 A ．3B ．2C ．0或3D ．0,2,3均可答案：A详解：试题分析：由题意可知2m =或2322m m -+=，集合集合元素的互异性可知3m =考点：元素集合的关系17．设，，则的元素个数是 A ．5B ．4C ．3D ．无数个 答案：C详解： 试题分析：依题意有，代入得到，故有个元素. 考点：绝对值不等式，元素与集合的关系.【易错点晴】集合的三要素是：确定性、互异性和无序性.研究一个集合，我们首先要看清楚它的研究对象，是定义域还是值域，是实数还是点的坐标还是其它的一些元素，这是很关键的一步.第二步常常是解一元二次不等式，我们首先用十字相乘法分解因式，求得不等式的解集.在解分式不等式的过程中，要注意分母不能为零.元素与集合之间是属于和不属于的关系，集合与集合间有包含关系. 在求交集时注意区间端点的取舍. 熟练画数轴来解交集、并集和补集的题目.18．下列所给对象能构成集合的是（ ）A ．2020年全国I 卷数学试题的所有难题B ．比较接近2的全体正数C ．未来世界的高科技产品D ．所有整数答案：D解析：选项,,A B C 的对象都具有不确定性，选项D 的对象具有确定性，即可判断得解. 详解：选项,,A B C 的对象都具有不确定性，所以它们的对象不能构成集合；而选项D 的对象具有确定性，能构成集合.故选：D点睛：本题主要考查集合元素的性质，意在考查学生对该知识的理解掌握水平.19．已知集合{}1,2,3,,4A a A =∈，则a =（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4答案：D解析：由元素与集合的关系即可求解.详解：{}A a A=∈,1,2,3,,4a∴=4故选：D20．下列关系中，正确的有（）Q① 1A．1个B．2个C．3个D．4个答案：C解析：根据元素与集合之间的关系判断可得答案.详解：1|－3|＝3是非负整数，|. 2因此，①②③正确，④错误.故选：C.点睛：本题考查了元素与集合之间的关系，考查了几个特殊的数集，属于基础题.。
高中数学必修一人教A版1.1 集合的概念-单选专项练习(含答案及解析)(44)
1.1 集合的概念1．已知{|450}A x x =->，则有（ ）A ．3A ∈B ．1A ∈C ．0A ∈D ．1A -∉答案：C解析：首先求出集合A ，再根据元素与集合的关系得出结论；详解：解：{|450}A x x =->4|5A x x ⎧⎫∴=<⎨⎬⎩⎭ 0A ∴∈，1A -∈，1A ∉，3A ∉故选：C点睛：本题考查元素与集合的关系，属于基础题.2．已知集合A=(x ，y)|x 2+y 2≤3，x∈Z，y∈Z}，则A 中元素的个数为（ ）A ．9B ．8C ．5D ．4答案：A解析：根据x ，y 满足的关系式求得x ，y 的可能值，从而求得集合元素个数.详解：由x 2+y 2≤3知，33,33x y -. 又x∈Z，y∈Z，所以x∈-1，0，1}，y∈-1，0，1}，易知，x 与y 的任意组合均满足条件，所以A 中元素的个数为339⨯=，故选：A.3．方程23211x y x y -=⎧⎨+=⎩的解集是． A ．{}5,1B ．{}1,5C ．(){}5,1D ．(){}1,5答案：C 解析：解方程组求得,x y ，利用点集表示出解集.详解：由23211x y x y -=⎧⎨+=⎩得：51x y =⎧⎨=⎩ ∴解集为：(){}5,1 本题正确选项：C点睛：本题考查利用集合表示方程组的解集，属于基础题.4．设集合{}3M x x ≥＝，m =A ．{}m M ∈B ．{}{}m M ⊆C ．{}m M ∈D ．m M ∈答案：D解析：m =, {}3M x x ≥＝是集合,且m ={}3M x x ≥＝,故应该用元素与集合之间的关系.详解：3成立所以m ={}3M x x ≥＝ ,所以m M ∈故选D.点睛：本题主要考查元素与集合的关系.5．设{4,5,6}A =，{1,2,3}B =，则集合{|,,}C x x m n m A n B ==-∈∈中的所有元素之和为（ ）A ．15B ．14C ．27D ．14-答案：A解析：由C ＝x|x ＝m ﹣n ，m∈A，n∈B}，A ＝4，5，6}，B ＝1，2，3}，先求出C ，然后再求集合C 中的所有元素之和．详解：∵C＝x|x ＝m ﹣n ，m∈A，n∈B}，A ＝4，5，6}，B ＝1，2，3}，∴C＝1，2，3，4，5}，∴集合 C 中的所有元素之和＝1+2+3+4+5＝15．故选：A ．点睛：本题考查元素与集合的关系的判断，解题时要认真审题，注意新定义的合理运用．6．下列各组对象可构成一个集合的是（ ）A ．与0非常接近的数B ．我校爱跑步且身材好的女生C ．我国的山川名流D ．到定直线距离等于定长的所有点的集合答案：D解析：根据集合元素的确定性逐一判断即可.详解：根据集合元素的确定性，ABC 均不符合，只有D 符合，故选：D.点睛：本题考查集合元素的确定性，是基础题.7．下列各组中的两个集合表示同一个集合的是（ ）A ．{}M π=，{3.1415926}N =B ．{0,1}M =，{(0,1)}N =C ．2{|1}M x x =∈=R ，{0,1}N =D ．*{|11}M x x =∈-<≤N ，{1}N =答案：D解析：判断两个集合为同一集合即判断集合中的元素是否一致,由此依次判断选项即可 详解：A 选项,集合M 中元素为无理数,集合N 中元素为有理数,故M 与N 不是同一个集合；B 选项,集合M 中元素为实数,集合N 中元素为有序数对,故M 与N 不是同一个集合；C 选项,集合M 中元素为1-,1,集合N 中元素为0,1,故M 与N 不是同一个集合；D 选项,集合M 中的元素为1,故M 与N 是同一个集合故选：D点睛：本题考查同一集合问题,考查描述法、列举法表示集合,属于基础题8．已知集合{}220A x ax x a =-+=中至多含有一个元素，则实数a 的取值范围（ ）A ．[]1,1-B ．[1,)(,1]+∞-∞-C ．[]{}1,10-D ．{}[)1,,10(]+∞-∞-答案：D解析：将问题转化为方程220ax x a -+=至多只有一个根，对a 分0a =和0a ≠两种情况讨论，即可求解．详解：解：由题意，原问题转化为方程220ax x a -+=至多只有一个根，当0a =时，方程为20x -=，解得0x =，此时方程只有一个实数根，符合题意；当0a ≠时，方程220ax x a -+=为一元二次方程，所以2440a ∆=-≤，解得1a ≤-或1a ≥．综上，实数a 的取值范围为{}(][,11),0-∞-+∞．故选：D ．9．下列集合中表示同一集合的是（ ）A ．{}{}2560,3|2,M x x x N =-+==B ．{}(){}1,2,1,2M N ==C ．{|{|M x y N y y ==D ．(){}(){}2,3,3,2M N ==答案：A解析：由A 选项：.由{}2{|560}3,2M x x x =-+==；B 选项：N 为点集，M 为数集；C 选项：{}{}|,10|M x x N y y =≥=≥；D 选项：集合,M N 中的元素是不同的点，可得选项.详解：A 选项：.由{}2{|560}3,2M x x x =-+==，M N ∴=；B 选项：N 为点集，M 为数集，集合中元素不同，M N ∴≠；C 选项：{}{}|,10|M x x N y y =≥=≥，M N ∴≠；D 选项：集合,M N 中的元素是不同的点，M N . 故选：A.点睛：本题考查判断集合是否是同一集合，明确集合中的元素是解决问题的关键，属于基础题.10．已知{}|330A x N x =∈->，则下列成立的是（ ）A ．1A ∈B ．0A ∈C ．1A -∈D ．0.5A ∈答案：B解析：集合{}|330A x N x =∈->＝0}，即可得出结论．详解：集合{}|330A x N x =∈->＝ x N ∈ |x ＜1}＝0}， 则0∈A，故选：B ．点睛：本题考查集合的含义与表示，考查了元素与集合的关系，比较基础．11．已知{}2320A x x x =-+=，{}1B x ax ==，若B A ⊆，则实数a 取值的集合为（ ）A ．10,1,2⎧⎫⎨⎬⎩⎭B ．11,2⎧⎫⎨⎬⎩⎭C ．10,2,2⎧⎫⎨⎬⎩⎭D ．12,2⎧⎫-⎨⎬⎩⎭答案：A解析：先化简集合A ，根据集合的包含关系，分别讨论B =∅和B ≠∅两种情况，分别求解，即可得出结果.详解： 因为{}()(){}{}23201201,2A x x x x x x =-+==--==，又{}1B x ax ==，当B =∅时，方程1ax =无解，则0a =，此时满足B A ⊆；当B ≠∅时，0a ≠，此时{}11B x ax a ⎧⎫===⎨⎬⎩⎭，为使B A ⊆，只需11a =或12a =， 解得1a =或12a =，综上，实数a 取值的集合为10,1,2⎧⎫⎨⎬⎩⎭.故选：A.12．已知集合U =R ，2{|5}A x Z x =∈<，(){}220B x x x =->，则图中阴影部分表示的集合为A ．{}2B ．{}1,2C ．{}0,2D ．{}0,1,2答案：C解析：先求出集合A=-2，-1，0，1，2}，B=x|x ＜2，且x≠0}，从而C U B=x|x≥2或x=0}，由此能求出图中阴影部分表示的集合A∩（C U B ）．详解：图中阴影部分表示的集合为()U C B A ⋂．∵2{|5}A x Z x =∈<，(){}220B x x x =->，∴[]2,1,0,1,2A =--，()(),00,2B =-∞⋃，∴(){}0,2U C B A ⋂=．故选C ．点睛：在解题时，需要清楚元素与集合的关系以及集合间的关系，能使用Venn 图表达集合的关系及运算．13．若集合A 具有以下性质：(Ⅰ)0∈A,1∈A；(Ⅱ)若x∈A，y∈A，则x －y∈A，且x≠0时，∈A．则称集合A 是“好集”．下列命题正确的个数是( )(1)集合B ＝－1,0,1}是“好集”；(2)有理数集Q 是“好集”；(3)设集合A 是“好集”，若x∈A，y∈A，则x ＋y∈A．A ．0B ．1C ．2D ．3答案：C 解析：逐一判断给定的3个集合，是否满足“好集”的定义，最后综合讨论结果，可得答案. 详解：(1)集合B 不是“好集”，假设集合B 是“好集”，因为当－1∈B,1∈B，－1－1＝－2∉B ，这与－2∈B 矛盾．(2)有理数集Q 是“好集”，因为0∈Q,1∈Q，对任意的x∈Q，y∈Q，有x －y∈Q，且x≠0时，∈Q，所以有理数集Q 是“好集”．(3)因为集合A 是“好集”，所以0∈A，若x∈A，y∈A，则0－y∈A，即－y∈A，所以x －(－y)∈A，即x ＋y∈A.点睛：本题以新定义的形式考查了元素与集合关系的判断，同时考查了运算求解的能力.14．一次函数y x 2=+ 和y 2x 8=-+的交点组成的集合是A ．{}24，B ．{}x 2,y 4==C ．()2,4D ．(){},|2y 4x y x ==且答案：D解析：先联立方程组成方程组，求得方程组的解，从而可得交点坐标，进而用集合表示即可．详解：由题意，联立方程组可得228y x y x =+⎧⎨=-+⎩，解得4y =， 2x = ∴一次函数2y x =+与28y x =-+的图象的交点为()2,4∴组成的集合是(){},|2y 4x y x ==且故选D ．点睛：本题以函数图象交点为载体，考查集合概念的理解15．用列举法表示集合2{(,)|}y x x y y x ⎧=⎨=-⎩，正确的是 A ．(1,1)-，(0,0)B ．{(1,1),(0,0)}-C ．{10,1}x y =-=或或0D ．{1,0,1}-答案：B 解析：解方程组解得x ，再根据集合的表示方法，列举即可得到答案．详解：解方程组2y x y x ⎧=⎨=-⎩，可得11x y =-⎧⎨=⎩或00x y =⎧⎨=⎩ 故答案为()(){}1,1,0,0-故选B点睛：本题主要考查了集合的方法，属于基础题，注意点集的表示方法．16．若1∈x，x 2}，则x=（ ）A ．1B ．1-C ．0或1D ．0或1或1-答案：B解析：根据元素与集合关系分类讨论，再验证互异性得结果详解：根据题意，若1∈x，x 2}，则必有x=1或x 2=1，进而分类讨论：①、当x=1时，x 2=1，不符合集合中元素的互异性，舍去，②、当x 2=1，解可得x=-1或x=1（舍），当x=-1时，x 2=1，符合题意，综合可得，x=-1，故选B ．点睛：本题考查元素与集合关系以及集合中元素互异性，考查基本分析求解能力，属基础题.17．下列说法中正确的是（ ）A ．班上爱好足球的同学，可以组成集合B ．方程x （x ﹣2）2＝0的解集是2，0，2}C ．集合1，2，3，4}是有限集D ．集合x|x 2+5x+6＝0}与集合x 2+5x+6＝0}是含有相同元素的集合答案：C解析：根据构成集合中对象的确定性判断A ，由集合中元素的互异性判断B ，根据集合有限集的定义判断C ，分析集合中元素判断D.详解：班上爱好足球的同学是不确定的，所以构不成集合，选项A 不正确；方程x （x ﹣2）2＝0的所有解的集合可表示为2，0，2}，由集合中元素的互异性知，选项B 不正确；集合1，2，3，4}中有4个元素，所以集合1，2，3，4}是有限集，选项C 正确；集合x 2+5x+6＝0}是列举法，表示一个方程的集合，x|x2+5x+6＝0}表示的是方程的解集，是两个不同的集合，选项D 不正确．故选：C ．18．设A 是整数集的一个非空子集，对于k∈A，如果1k A -∉且1k A +∉，那么称k 是集合A 的一个“好元素”．给定集合S ＝1，2，3，4，5，6，7，8}，由S 的3个元素构成的所有集合中，不含“好元素”的集合共有（ ）A ．2个B ．4个C ．6个D ．8个答案：C解析：根据“好元素”的定义用列举法列举出满足条件的所有集合，即可得到答案. 详解：根据“好元素”定义，可知由S 中的3个元素构成的集合中，不含“好元素”，则这3个元素一定是相连的3个数，所以不含“好元素”的集合共有{}1,2,3，{}2,3,4，{}3,4,5，{}4,5,6，{}5,6,7，{}6,7,8，共6个. 故选：C .19．设集合A=1,0,1,2 ，{}|,2B x x A x A =∈-∈ 则B 的子集个数为（ ）A ．2B ．4C ．8D ．16答案：C解析：逐一判断集合A 中的元素是否在集合B 中来确定集合B ，再写出集合B 的所有子集，即得结果.详解：依题意，1x A =-∈时，23x A -=∉，故1B -∉；0x A =∈时，22x A -=∈，故0B ∈； 1x A =∈时，21x A -=∈，故1B ∈；2x A =∈时，20x A -=∈，故2B ∈；故{}0,1,2B =，有3个元素，其子集为：{}{}{}{}{}{}{},0,1,2,0,1,0,2,1,2,0,1,2∅，共8个. 故选：C.20．i 是虚数单位，若集合S ={}1,0,1-，则（ ）A ．10i S ∈B ．13i S ∈C ．15i S ∈D ．2i∈3答案：A解析：利用虚数单位的性质化简选项中的复数,判断是否属于集合S即可. 详解：根据虚数单位的运算规律可知，10=-1i S∈，13i i S=∉，153i=i=-i S∉，那么22ii=-S∉，故选A.点睛：本题主要是考查了元素与集合关系，以及虚数单位性质的运用，属于基础题.。
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§1.1 集合的概念与运算
A组专项基础训练
(时间：35分钟，满分：57分)
一、选择题(每小题5分，共20分)
1．(2012·广东)设集合U＝{1,2,3,4,5,6}，M＝{1,2,4}，则∁U M等于() A．U B．{1,3,5} C．{3,5,6} D．{2,4,6}
答案 C
解析∵U＝{1,2,3,4,5,6}，M＝{1,2,4}，∴∁U M＝{3,5,6}．
2．(2011·课标全国)已知集合M＝{0,1,2,3,4}，N＝{1,3,5}，P＝M∩N，则P的子集共有() A．2个B．4个C．6个D．8个
答案 B
解析∵M＝{0,1,2,3,4}，N＝{1,3,5}，∴M∩N＝{1,3}．
∴M∩N的子集共有22＝4个．
3．(2012·山东)已知全集U＝{0,1,2,3,4}，集合A＝{1,2,3}，B＝{2,4}，则(∁U A)∪B为() A．{1,2,4} B．{2,3,4}
C．{0,2,4} D．{0,2,3,4}
答案 C
解析∵∁U A＝{0,4}，B＝{2,4}，∴(∁U A)∪B＝{0,2,4}．
4．已知集合M＝{x|
x
x－1
≥0，x∈R}，N＝{y|y＝3x2＋1，x∈R}，则M∩N等于()
A．∅B．{x|x≥1} C．{x|x>1} D．{x|x≥1或x<0} 答案 C
解析 由x
x －1≥0，得⎩
⎪⎨⎪⎧
x ≠1，x (x －1)≥0，
∴x >1或x ≤0，∴M ＝{x |x >1或x ≤0}，N ＝{y |y ≥1}， M ∩N ＝{x |x >1}．
二、填空题(每小题5分，共15分)
5． 已知集合A ＝{1,3，a }，B ＝{1，a 2－a ＋1}，且B ⊆A ，则a ＝__________.
答案 －1或2
解析 由a 2－a ＋1＝3，得a ＝－1或a ＝2，经检验符合．由a 2－a ＋1＝a ，得a ＝1，由于集合中不能有相同元素，所以舍去．故a ＝－1或2.
6． 已知集合A ＝{(0,1)，(1,1)，(－1，2)}，B ＝{(x ，y )|x ＋y －1＝0，x ，y ∈Z }，则A ∩B ＝
_________.
答案 {(0,1)，(－1,2)}
解析 A 、B 都表示点集，A ∩B 即是由A 中在直线x ＋y －1＝0上的所有点组成的集合，代入验证即可．
7． (2012·天津)已知集合A ＝{x ∈R ||x ＋2|<3}，集合B ＝{x ∈R |(x －m )(x －2)<0}，且A ∩B ＝
(－1，n )，则m ＝________，n ＝________. 答案 －1 1
解析 A ＝{x |－5<x <1}，因为A ∩B ＝{x |－1<x <n }， B ＝{x |(x －m )(x －2)<0}，所以m ＝－1，n ＝1. 三、解答题(共22分)
8． (10分)已知集合A ＝{x |x 2－2x －3≤0}，B ＝{x |x 2－2mx ＋m 2－4≤0，x ∈R ，m ∈R }．
(1)若A ∩B ＝[0,3]，求实数m 的值； (2)若A ⊆∁R B ，求实数m 的取值范围． 解 由已知得A ＝{x |－1≤x ≤3}， B ＝{x |m －2≤x ≤m ＋2}．
(1)∵A ∩B ＝[0,3]，∴⎩
⎪⎨⎪
⎧
m －2＝0，m ＋2≥3. ∴m ＝2.
(2)∁R B ＝{x |x <m －2或x >m ＋2}，∵A ⊆∁R B ， ∴m －2>3或m ＋2<－1，即m >5或m <－3.
9． (12分)设符号@是数集A 中的一种运算：如果对于任意的x ，y ∈A ，都有x @y ＝xy ∈A ，
则称运算@对集合A 是封闭的．设A ＝{x |x ＝m ＋2n ，m 、n ∈Z }，判断A 对通常的实数的乘法运算是否封闭？
解 设x ＝m 1＋2n 1，y ＝m 2＋2n 2，那么xy ＝(m 1＋2n 1)×(m 2＋2n 2)＝(m 1n 2＋m 2n 1)2＋m 1m 2＋2n 1n 2.
令m ＝m 1m 2＋2n 1n 2，n ＝m 1n 2＋m 2n 1，则xy ＝m ＋2n ， 由于m 1，n 1，m 2，n 2∈R ，所以m ，n ∈R . 故A 对通常的实数的乘法运算是封闭的．
B 组 专项能力提升
(时间：25分钟，满分：43分)
一、选择题(每小题5分，共15分)
1． (2012·湖北)已知集合A ＝{x |x 2－3x ＋2＝0，x ∈R }，B ＝{x |0<x <5，x ∈N }，则满足条件
A ⊆C ⊆
B 的集合
C 的个数为
( )
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4 答案 D
解析 用列举法表示集合A ，B ，根据集合关系求出集合C 的个数． 由x 2－3x ＋2＝0得x ＝1或x ＝2，∴A ＝{1,2}．
由题意知B ＝{1,2,3,4}，∴满足条件的C 可为{1,2}，{1,2,3}，{1,2,4}，{1,2,3,4}． 2． (2011·安徽)设集合A ＝{1,2,3,4,5,6}，B ＝{4,5,6,7,8}，则满足S ⊆A 且S ∩B ≠∅的集合S
的个数是
( )
A ．57
B ．56
C ．49
D ．8 答案 B
解析 由S ⊆A 知S 是A 的子集，又∵A ＝{1,2,3,4,5,6}，∴满足条件S ⊆A 的S 共有26＝64(种)可能．又∵S ∩B ≠∅，B ＝{4,5,6,7,8}，∴S 中必含4,5,6中至少一个元素，而在满足S ⊆A 的所有子集S 中，不含4,5,6的子集共有23＝8(种)，∴满足题意的集合S 的可能个数为64－8＝56.
3． (2011·湖北)已知U ＝{y |y ＝log 2x ，x >1}，P ＝{y |y ＝1x
，x >2}，则∁U P 等于
( )
A.⎣⎡⎭⎫12，＋∞
B.⎝⎛⎭
⎫0，1
2 C ．(0，＋∞)
D ．(－∞，0]∪⎣⎡⎭⎫12，＋∞
答案 A
解析 ∵U ＝{y |y ＝log 2x ，x >1}＝{y |y >0}， P ＝{y |y ＝1x ，x >2}＝{y |0<y <1
2}，
∴∁U P ＝{y |y ≥1
2}＝⎣⎡⎭⎫12
，＋∞.
二、填空题(每小题5分，共15分)
4． (2012·陕西改编)集合M ＝{x |lg x >0}，N ＝{x |x 2≤4}，则M ∩N ＝____________.
答案 (1,2]
解析 M ＝{x |lg x >0}＝{x |x >1}， N ＝{x |x 2≤4}＝{x |－2≤x ≤2}，
∴M ∩N ＝{x |x >1}∩{x |－2≤x ≤2}＝{x |1<x ≤2}．
5． 已知M ＝{(x ，y )|y －3x －2＝a ＋1}，N ＝{(x ，y )|(a 2－1)x ＋(a －1)y ＝15}，若M ∩N ＝∅，则a
的值为____________．
答案 1，－1，5
2
，－4
解析 集合M 表示挖去点(2,3)的直线，集合N 表示一条直线，因此由M ∩N ＝∅知，点(2,3)在集合N 所表示的直线上或两直线平行，由此求得a 的值为1，－1，5
2
，－4.
6． 设A ＝{x ||x |≤3}，B ＝{y |y ＝－x 2＋t }，若A ∩B ＝∅，则实数t 的取值范围是__________．
答案 (－∞，－3)
解析 A ＝{x |－3≤x ≤3}，B ＝{y |y ≤t }， 由A ∩B ＝∅知，t <－3. 三、解答题
7． (13分)已知集合A ＝{y |y 2－(a 2＋a ＋1)y ＋a (a 2＋1)>0}，B ＝{y |y ＝12x 2－x ＋5
2
，0≤x ≤3}．
(1)若A ∩B ＝∅，求a 的取值范围；
(2)当a 取使不等式x 2＋1≥ax 恒成立的a 的最小值时，求(∁R A )∩B . 解 A ＝{y |y <a 或y >a 2＋1}，B ＝{y |2≤y ≤4}．
(1)当A ∩B ＝∅时，⎩
⎪⎨⎪⎧
a 2
＋1≥4，
a ≤2，
∴3≤a ≤2或a ≤－ 3.
(2)由x 2＋1≥ax ，得x 2－ax ＋1≥0， 依题意Δ＝a 2－4≤0，∴－2≤a ≤2. ∴a 的最小值为－2.
当a ＝－2时，A ＝{y |y <－2或y >5}．
∴∁R A ＝{y |－2≤y ≤5}，∴(∁R A )∩B ＝{y |2≤y ≤4}．。