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湖北省高二联考(数学)

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湖北省黄冈市普通高中2024-2025学年高二上学期期中阶段性联考数学试题含答案

湖北省黄冈市普通高中2024-2025学年高二上学期期中阶段性联考数学试题含答案

湖北省黄冈市普通高中2024-2025学年高二上学期期中阶段性联考数学试题（答案在最后）本试卷共4页，19题.全卷满分150分.考试用时120分钟注意事项：1.答题前，先将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.3.非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.4.考试结束后，请将答题卡上交.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.在空间直角坐标系Oxyz 中，点(1,2,10)P -关于Oxy 平面的对称点为（）A.(1,2,10)--B.(1,2,10)-C.(2,1,10)--D.(1,2,10)--【答案】A 【解析】【分析】根据平面对称的特征求解.【详解】(1,2,10)P -关于平面Oxy 的对称点的特征为,x y 坐标不变，z 取相反数，故所求坐标为(1,2,10)P --.故选：A.2.若直线1:(1)210l m x y +++=与直线2:210l x y -+=平行，则m 的值为（）A.2±B.2C.2- D.5-【答案】C 【解析】【分析】由两线平行的判定列方程求参数.【详解】由题设1212121m m +=≠⇒=--.故选：C3.近几年7月，武汉持续高温，市气象局将发布高温橙色预警信号（高温橙色预警标准为24小时内最高气温将升至37摄氏度以上），在今后的3天中，每一天最高气温37摄氏度以上的概率是12.某人用计算机生成了10组随机数，结果如下：726127821763314245521986402862若用0，1，2，3，4表示高温橙色预警，用5，6，7，8，9表示非高温橙色预警，依据该模拟实验，则今后的3天中恰有2天发布高温橙色预警信号的概率估计是（）A.15B.310C.12 D.25【答案】D 【解析】【分析】根据0，1，2，3，4表示高温橙色预警，在10组随机数中列出3天中恰有2天发布高温橙色预警的随机数，根据古典概型的公式计算即可得解.【详解】3天中恰有2天发布高温橙色预警包括的随机数有：127，821，245，521共4个，所以今后的3天中恰有2天发布高温橙色预警信号的概率估计是42105=.故选：D.4.某饮料生产企业推出了一种有一定中奖机会的新饮料.甲、乙、丙三名同学都购买了这种饮料，设事件A 为“甲、乙、丙三名同学都中奖”，则与A 互为对立事件的是（）A.甲、乙、丙恰有两人中奖B.甲、乙、丙都不中奖C.甲、乙、丙至少有一人不中奖D.甲、乙、丙至多有一人不中奖【答案】C 【解析】【分析】根据题设及对立事件的定义写出A 事件的对立事件即可.【详解】事件“甲、乙、丙三名同学都中奖”的对立事件是“甲、乙、丙三名同学至少有一人不中奖”.故选：C5.已知点(2,1),(3,)A B m -，若[1]m ∈--，则直线AB 的倾斜角的取值范围为（）A.π3π,34⎡⎤⎢⎥⎣⎦B.π3π0,,π34⎡⎤⎡⎫⋃⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭C.π2π0,,π43⎡⎤⎡⎫⋃⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭D.ππ3π,,π324⎡⎫⎡⎫⋃⎪⎪⎢⎢⎣⎭⎣⎭【答案】B 【解析】【分析】利用两点式求斜率，结合参数范围有[AB k ∈-，根据斜率与倾斜角关系确定倾斜角范围.【详解】由题设11[32AB m k m +==+∈--，则直线AB 的倾斜角的取值范围为π3π0,,π34⎡⎤⎡⎫⋃⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭.故选：B6.如图所示，在平行六面体ABCD A B C D -''''中，1,1,3,AD AB AA BAD '===∠=90,60BAA DAA ︒''︒∠=∠=，则BD '的长为（）A.B.C.D.5【答案】B 【解析】【分析】利用空间向量加减的几何意义得到BD AA AD AB ''=+-，应用向量数量积的运算律求长度.【详解】由题设BD BB B D AA BD AA AD AB ''''''=+=+=+-，所以22222()222BD AA AD AB AA AD AB AA AD AA AB AD AB'''''=+-=+++⋅-⋅-⋅91133011=+++--=，所以BD '=.故选：B7.已知实数x ，y 满足22280x y x +--=，则22x y +的取值范围是（）A.[4,10]B.[8,10]C.[4,16]D.[8,16]【答案】C 【解析】【分析】由方程确定圆心和半径，进而得到圆上点到原点距离范围，根据22x y +表示圆上点到原点距离的平方求范围.【详解】将22280x y x +--=化为22(1)9x y -+=，即圆心为(1,0)，半径为3，由22x y +表示圆上点到原点距离的平方，而圆心(1,0)到原点的距离为1，又()0,0在圆内，所以圆上点到原点距离范围为[2,4]，故22x y +的取值范围是[4,16].故选：C8.如图，边长为4的正方形ABCD 沿对角线AC 折叠，使14AD BC ⋅=，则三棱锥D ABC -的体积为（）A. B.C.273D.4143【答案】D 【解析】【分析】由题设得,OB AC OD AC ⊥⊥且()()AD BC AO OD BO OC ⋅=+⋅+，结合已知条件求得3cos 4BOD ∠=-，再利用棱锥体积公式求体积.【详解】若O 为正方形的中心，由题设知,OB AC OD AC ⊥⊥，所以()()14AD BC AO OD BO OC ⋅=+⋅+=，且OA OC OB OD ====，所以14AO BO AO OC OD BO OD OC ⋅+⋅+⋅+⋅= ，即14AO OC OD BO ⋅+⋅=，所以88cos(π)14BOD +-∠=，则3cos 4BOD ∠=-，则7sin 4BOD ∠=，所以三棱锥D ABC -的体积为11414sin 323OD BOD AB BC ⨯⨯∠⨯⨯⨯=.故选：D二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分.部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知直线:20l kx y -+=和圆22:(3)(4)16M x y -+-=，则下列选项正确的是（）A.直线l 恒过点(0,2)B.直线l 与圆M 相交C.圆M 与圆22:1C x y +=有三条公切线D.直线l 被圆M 截得的最短弦长为【答案】ABC 【解析】【分析】根据定点的特征即可求解A;根据定点在圆内判断B;判断圆与圆的位置关系确定公切线条件判断C;根据垂直时即可结合圆的弦长公式求解D.【详解】对于A ，由直线的方程:20l kx y -+=，当0x =时，2y =，可知直线恒经过定点(0,2)P ，故A 正确；对于B ，因为直线恒经过定点(0,2)，且22(03)(24)16-+-<，定点在圆内，所以直线l 与圆M 相交，故B 正确；对于C ，由圆的方程22:(3)(4)16M x y -+-=，可得圆心()3,4M ，半径14r =，又由直线:20l kx y -+=，圆22:1C x y +=，圆心()0,0C ，半径21r =，此时541CM ===+，所以圆M 与圆相外切，有三条公切线，故C 正确；对于D ，由PM ==，根据圆的性质，可得当直线l 和直线PM 垂直时，此时截得的弦长最短，最短弦长为=，故D 错误，故选：ABC.10.柜子里有3双不同的鞋子，从中随机地取出2只，下列计算结果正确的是（）A.“取出的鞋成双”的概率等于25B.“取出的鞋都是左鞋”的概率等于15C.“取出的鞋都是左鞋或都是右鞋”的概率等于25D.“取出的鞋一只是左鞋，一只是右鞋，但不成双”的概率等于12【答案】BC 【解析】【分析】用列举法列出事件的样本空间，即可直接对选项进行判断.【详解】记3双不同的鞋子按左右为121212,,,,,a a b b c c ，随机取2只的样本空间为()()()()(){1211121112,,,,,,,,,a a a b a b a c a c ()()2122,,,,a b a b ()()()()()()()()}2122121112212212,,,,,,,,,,,,,,,a c a c b b b c b c b c b c c c ，共15种，则“取出的鞋成双”的概率等于31155=，A 错；“取出的鞋都是左鞋”的概率等于31155=，B 正确；“取出的鞋都是左鞋或都是右鞋”的概率等于62155=，C 正确；“取出的鞋一只是左鞋，一只是右鞋，但不成双”的概率等于62155=，D 错.故选：BC11.如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，点O 为线段BD 的中点，且点P 满足1BP BC BB λμ=+，则下列说法正确的是（）A.若0,1λμ==，则1//D P 平面1A BDB.若11,2λμ==，则⊥PO 平面1A BD C.若12λμ==，则P 到平面1A BD 3D.若1,01λμ=≤≤时，直线DP 与平面1A BD 所成角为θ，则36sin ,33θ∈⎣⎦【答案】ABD 【解析】【分析】根据各项参数确定P 的位置，分别应用线面平行的判定定理判断A ；线面垂直的判定定理判断B ；由P 到平面1A BD 的距离，即为1C 到平面1A BD 的距离的一半，几何法求点面距离判断C ；应用向量法求线面角，进而求范围判断D.【详解】A ：1BP BB =，即1,P B 重合，故1D P 即为11D B ，又11//D B DB ，即1//D P DB ，由1D P ⊄面1A BD ，DB ⊂面1A BD ，则1//D P 面1A BD ，对；B ：112BP BC BB =+，易知P 为1C C 的中点，此时1CP =，且2OC OD ==所以3,5OP PD ==222OP OD PD +=，即OP OD ⊥，根据正方体的结构特征，易得11//DA CB ，若E 为BC 的中点，则1//PE C B ，又11CB C B ⊥，则1CB PE ⊥，显然OE ⊥面11BCC B ，1CB ⊂面11BCC B ，则1OE CB ⊥，由PE OE E = 且在面POE 内，则1CB ⊥面POE ，OP ⊂面POE ，则1CB OP ⊥，所以1DA OP ⊥，又1DA OD D = 都在面1A BD 内，则OP ⊥面1A BD ，对；C ：11122BP BC BB =+，即P 是面11BCC B 的中心，易知P 到平面1A BD 的距离，即为1C 到平面1A BD 的距离的一半，根据正方体的结构特征，11C A BD -为正四面体，且棱长为22，所以1C 到平面1A BD 22238(22)(22)83233-⨯⨯=-=所以P 到平面1A BD 的距离为23，错；D ：1BP BC BB μ=+，则P 在线段1CC 上运动，如图构建空间直角坐标系，所以1(2,0,2),(2,2,0),(0,2,)A B P t ，且02t ≤≤，故(0,2,)DP t =，令面1A BD 的一个法向量为(,,)m x y z =，且()()12,0,2,2,2,0DA DB == ，所以1220220m DA x z m DB x y ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩，令1x =-，则(1,1,1)m =- ，故2||2sin ||||34m DP m DP tθ⋅==⨯+ ，令2[2,4]x t =+∈，则2t x =-，所以2211sin 841113138()42x x x θ==⨯-+⨯-+111[,42x ∈，故36sin ,33θ∈，对.故选：ABD【点睛】关键点点睛：根据各项参数值确定对应P 点的位置为关键.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.经过(0,2),(1,4)A B -两点的直线的方向向量为(1,)k ，则k 的值为______.【答案】2-【解析】【分析】利用两点式求斜率，结合斜率与方向向量的关系列方程求参数.【详解】由题设422101kk -=⇒=---.故答案为：2-13.已知空间向量(4,7,),(0,5,2),(2,6,)a m b c n ==-=，若,,a b c 共面，则mn 的最小值为__.【答案】12-##0.5-【解析】【分析】先利用题给条件求得,m n 之间的关系，再利用二次函数即可求得mn 的最小值.【详解】空间向量(4,7,),(0,5,2),(2,6,)a m b c n ==-=，若,,a b c 共面，则可令(,R)a b c λμλμ=+∈，则427562m n μλμλμ=⎧⎪=-+⎨⎪=+⎩，解之得2122m n μλ=⎧⎪=⎨⎪=+⎩则2(22)22mn n n n n =+=+二次函数222y x x =+的最小值为12-，则222mn n n =+的最小值为12-.故答案为：12-14.由1,2,3,,2024 这2024个正整数构成集合A ，先从集合A 中随机取一个数a ，取出后把a 放回集合A ，然后再从集合A 中随机取出一个数b ，则12a b >的概率为___.【答案】34##0.75【解析】【分析】利用古典概型即可求得12a b >的概率.【详解】12a b >即2b a <，当1a =时，b 可以取1，有211⨯-种取法；当2a =时，b 可以取1，2，3，有221⨯-种取法；当3a =时，b 可以取1，2，3，4，5，有231⨯-种取法；当1012a =时，b 可以取1，2，3，L ,2023，有210121⨯-种取法；当10132024a ≤≤时，b 可以取1，2，3，L ,2024，有2024种取法；()()()211221210121101220241220242024a P b ⨯-+⨯-++⨯-+⨯⎛⎫>=⎪⨯⎝⎭ 759310124==故答案为：34四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出相应文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知ABC 的顶点(1,3)A ，边AB 上的中线CM 所在直线方程为10x y +-=，边AC 上的高BH 所在直线方程为21y x =+.（1）求顶点C 的坐标；（2）求直线BC 的方程.【答案】（1）()5,6-（2）74110x y ++=【解析】【分析】（1）根据直线垂直和点在线上，解设坐标，联立方程组即可求解；（2）结合（1）先求H 点坐标可得H 与A 重合，再利用AB 中点M 在直线10x y +-=上，即可求出B 点坐标，进而得出直线BC 的方程.【小问1详解】由题知，BH AC ⊥，C 在直线CM 上，设(),C m n ，则321110n m m n -⎧⨯=-⎪-⎨⎪+-=⎩，解得56m n =-⎧⎨=⎩，即点C 坐标为()5,6-.【小问2详解】设()00,B x y ，则000013102221x y y x ++⎧+-=⎪⎨⎪=+⎩，解得0011x y =-⎧⎨=-⎩，即()1,1B --，所以直线BC 的方程为()()()()611151y x ----=+---，即74110x y ++=.16.如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面,//,,ABCD AD BC AB BC E ⊥为PD 的中点.（1）若CD AC ⊥，证明：EA EC =；（2）若224,1AD PA BC AB ====，求平面ACE 和平面ECD 的夹角θ的余弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）79.【解析】【分析】（1）由线面垂直的判定及性质定理证PA AD ⊥、CD PC ⊥，结合直角三角形性质即可证结论；（2）构建合适的空间直角坐标系，应用向量法求面面角的余弦值.【小问1详解】由PA ⊥平面ABCD ，,CD AD ⊂平面ABCD ，则PA CD ⊥，PA AD ⊥，而CD AC ⊥，PA AC A = 且都在面PAC 内，则CD ⊥面PAC ，由PC ⊂面PAC ，则CD PC ⊥，即,△△PAD PCD 均为直角三角形，且PD 为斜边，由E 为PD 的中点，故12AE CE PD ==，得证.【小问2详解】由题意，易知ABCD 为直角梯形，且AB BC ⊥，//AD BC ，且PA ⊥平面ABCD ，以A 为原点，建立如下图示空间直角坐标系，则(1,2,0),(0,4,0),(0,0,2),(0,2,1)C D P E ，所以(0,2,1),(1,2,0),(1,0,1),(1,2,0)AE AC CE CD ===-=- ，若(,,),(,,)m x y z n a b c == 分别是面ACE 、面ECD 的法向量，则2020m AE y z m AC x y ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩ ，令1y =-，则(2,1,2)m =- ，且020n CE a c n CD a b ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩ ，令1b =，则(2,1,2)n = ，所以7cos ,9m n m n m n ⋅== ，故平面ACE 和平面ECD 的夹角余弦值为79.17.某中学根据学生的兴趣爱好，分别创建了“绘画”、“书法”、“诗词”三个兴趣小组，据统计新生通过考核选拔进入这三个兴趣小组成功与否相互独立.2024年某新生入学，假设他通过考核选拔进入该校的“绘画”、“书法”、“诗词”三个兴趣小组的概率依次为12m n 、、，已知三个兴趣小组他都能进入的概率为124，至少进入一个兴趣小组的概率为34，且m n <.（1）求m 与n 的值；（2）该校根据兴趣小组活动安排情况，对进入“绘画”兴趣小组的同学增加校本选修学分1分，对进入“书法”兴趣小组的同学增加校本选修学分2分，对进入“诗词”兴趣小组的同学增加校本选修学分3分.求该同学在兴趣小组方面获得校本选修学分分数不低于4分的概率.【答案】（1）1143m n ==，（2）14【解析】【分析】（1）由于进入这三个兴趣小组成功与否相互独立，利用相互独立事件同时发生的概率乘法公式来列出方程求解.（2）分析该同学在兴趣小组方面获得校本选修学分分数不低于4分的情形有三种，即分数为4分，5分，6分，然后进行相互独立事件同时发生的概率乘法计算，再用分类事件加法原理求解即可.【小问1详解】由题意得：()()1122413111124mn m n m n ⎧=⎪⎪⎪⎛⎫----=⎨ ⎪⎝⎭⎪⎪<⎪⎩，解得：1413m n ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩；【小问2详解】设该同学在兴趣小组方面获得校本选修学分的分数为X ，则()11114143212P X ⎛⎫==⨯-⨯= ⎪⎝⎭，()1111514328P X ⎛⎫==-⨯⨯= ⎪⎝⎭，()1111643224P X ==⨯⨯=，所以()11114128244P X ≥=++=.即该同学在兴趣小组方面获得校本选修学分分数不低于4分的概率为14.18.如图，四棱台1111ABCD A B C D -中，上、下底面均是正方形，且侧面是全等的等腰梯形，1124,,AB A B E F ==分别为DC ，BC 的中点，上下底面中心的连线1O O 垂直于上下底面，且1O O 与侧棱所在直线所成的角为45︒.（1）求证：1//B D 平面1C EF ；（2）求点1D 到平面1C EF 的距离；（3）在线段1BD 上是否存在点M ，使得直线1A M 与平面1C EF 所成的角为45︒，若存在，求出线段BM 的长；若不存在，请说明理由.【答案】（1）证明见解析；（2；（3）5或.【解析】【分析】（1）建立空间直角坐标系，设平面1C EF 的一个法向量为(,,)n x y z = ，判断10BD n ⋅= 即可；（2）应用向量法求1D 到平面1C EF 的距离即可；（3）假设在1BD 上存在点M ，且1(3,3,)MB D B λλλ== ，01λ≤≤，结合线面角正弦值列方程，求参数即可；【小问1详解】由题设，得四棱台为正四棱台，可建立如图所示空间直角坐标系，故111(4,4,0),(0,2,0),(2,4,0)A B D C E F ，所以11(2,2,0),(3,3,EF EC D B === ，若平面1C EF 的一个法向量为(,,)n x y z =，则12200n EF x y n EC x y ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=++=⎪⎩ ，令1x =，则(1,1,0)n =- ，显然10BD n ⋅= ，而1⊄BD 面1C EF ，所以1//BD 面1C EF ；【小问2详解】由（1）知：11(0,2,0)D C =uuuu r ，所以1D 到平面1C EF的距离为11||||n D C n ⋅== 【小问3详解】假设在1BD 上存在点M，且1(3,3,)MB D B λλλ== ，01λ≤≤，则1111(1,3,(3,3,)(13,33A M A B MB A B D B λλλλλ=-=-=-=--，直线1A M 与平面1C EF 所成的角为45︒，故11||2||||n A M n A M ⋅= ，所以22(13)11(1)4λλ-+-=，即2572(52)(1)0λλλλ-+=--=，可得2=5λ或1λ=，2=5λ时，66(,,55MB =，则455BM ==，1λ=时，(3,3,MB =，则BM ==，综上，BM 长为455或19.已知动点M 与两个定点(1,1),(1,4)A B --的距离的比为12，记动点M 的轨迹为曲线Γ.（1）求曲线Γ的方程，并说明其形状；（2）已知(1,0)D -，过直线5x =上的动点(5,)P p 分别作曲线Γ的两条切线PQ ，(,PR Q R 为切点），连接PD 交QR 于点N ，（ⅰ）证明：直线QR 过定点，并求该定点坐标；（ⅱ）是否存在点P ，使ADN △的面积最大？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由.【答案】（1）22(1)4x y ++=，以(1,0)-为圆心，半径为2的圆；（2）（ⅰ）证明见解析，定点为1(,0)3-；（ⅱ）存在，(5,0)P .【解析】【分析】（1）根据已知及两点距离公式有2222(1)(1)1(1)(4)4x y x y ++-=++-，整理即可得曲线方程；（2）（ⅰ）根据题设知,R Q 在以PD 为直径的圆上，并写出对应方程，结合,R Q 在22(1)4x y ++=上，即可求直线RQ ，进而确定定点坐标；（ⅱ）根据（ⅰ），若定点为1(,0)3T -，易知N 在以DT 为直径的圆上，根据圆的性质判断ADN △面积最大时N 的位置，即可确定P 的坐标.【小问1详解】设(,)M x y ，则22||1||4MA MB =，即2222(1)(1)1(1)(4)4x y x y ++-=++-，所以2223(1)4(1)(4)x y y ++-=-，整理得22(1)4x y ++=.【小问2详解】（ⅰ）由题设，易知,,,P R D Q 四点共圆，即,R Q 在以PD 为直径的圆上，而,P D 的中点坐标为(2,2p ，||PD =以PD 为直径的圆为222(2)()924p p x y -+-=+，又,R Q 在22(1)4x y ++=上，即RQ 为两圆的公共弦，两圆方程作差，得直线RQ 为620x py ++=，显然该直线恒过定点1(,0)3T -，得证.（ⅱ）存在，(5,0)P ，理由如下：由（i ）及题设，易知N 在以DT 为直径的圆上，即2(,0)3-为圆心、半径为13，且AD x ⊥轴，则|1AD =|，且2(,0)3-到直线AD 的距离为13，故N 到直线AD 的最大距离为23，所以，当N 与1(,0)3T -重合时，ADN △面积最大，此时(5,0)P .。

湖北省武汉市部分重点中学2024-2025学年高二上学期期中联考数学试题(含答案)

湖北省武汉市部分重点中学2024-2025学年高二上学期期中联考数学试题(含答案)

武汉市部分重点中学2024-2025学年度上学期期中联考高二数学试卷本试卷共4页，19题．满分150分．考试用时120分钟．考试时间：2024年11月12日下午14：00—16：00祝考试顺利★注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码贴在答题卡上的指定位置．2，选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．3．非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．4．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交．一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题所给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．直线在轴上的截距为（ ）A ．B ．2C ．D ．2．已知直线绕点逆时针旋转，得到直线，则不过第__________象限．A ．四B ．三C ．二D ．一3．已知某种设备在一年内需要维修的概率为0.2．用计算器进行模拟实验产生1~5之间的随机数，当出现随机数1时，表示一年内需要维修，其概率为0.2，由于有3台设备，所以每3个随机数为一组，代表3台设备一年内需要维修的情况，现产生20组随机数如下：412451312531224344151254424142435414135432123233314232353442据此估计一年内这3台设备都不需要维修的概率为（ ）A ．0.4B ．0.45C ．0.5D ．0.554．已知事件A ，B 互斥，它们都不发生的概率为，且，则（ ）A ．B ．C ．D ．5．现有一段底面周长为厘米和高为15厘米的圆柱形水管，AB 是圆柱的母线，两只蚂蚁分别在水管内壁爬行，一只从A 点沿上底部圆弧顺时针方向爬行厘米后再向下爬行5厘米到达P 点，另一只从B320x y --=y 2-2323-1:1l y x =-(0,1)-512π2l 2l 13()3()P A P B =()P B =1613235612π2π沿下底部圆弧逆时针方向爬行厘米后再向上爬行4厘米爬行到达Q 点，则此时线段PQ 长（单位：厘米）为（ ）A ．B ．12C ．D ．6．概率论起源于博弈游戏17世纪，曾有一个“赌金分配”的问题：博弈水平相当的甲、乙两人进行博弈游戏，每局比赛都能分出胜负，没有平局．双方约定：各出赌金210枚金币，先赢3局者可获得全部赎金．但比赛中途因故终止了，此时甲赢了2局，乙赢了1局，问这420枚金币的赌金该如何分配？数学家费马和帕斯卡都用了现在称之为“概率”的知识，合理地给出了赌金分配方案．该分配方案是（ ）A ．甲315枚，乙105枚B ．甲280枚，乙140枚C ．甲210枚，乙210枚D ．甲336枚，乙84枚7．在平面直角坐标系中，点的坐标为，圆，点为轴上一动点．现由点向点发射一道粗细不计的光线，光线经轴反射后与圆有交点，则的取值范围为（ ）A ．B ．C ．D ．8．如图所示，四面体的体积为V ，点M 为棱BC 的中点，点E ，F 分别为线段DM 的三等分点，点N 为线段AF 的中点，过点N 的平面与棱AB ，AC ，AD 分别交于O ，P ，Q ，设四面体的体积为，则的最小值为（ ）A ．B ．C ．D ．二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分）9．给出下列命题，其中是真命题的是（ ）2πP 50,2⎛⎫ ⎪⎝⎭22121:10504C x x y y -+-+=(,0)T t x P T x C t 1527,88⎡⎤⎢⎥⎣⎦710,43⎡⎤⎢⎥⎣⎦727,48⎡⎤⎢⎥⎣⎦1510,83⎡⎤⎢⎥⎣⎦ABCD αAOPQ V 'V V'1418116127A ．已知是空间的一个基底，若，则也是空间的一个基底B ．平面经过三点，，，向量是平面的法向量，则C ．若，则是锐角D ．若对空间中任意一点，有，则M ，A ，B ，C 四点不共面10．下列命题正确的是（ ）A ．设A ，B 是两个随机事件，且，，若，则A ，B 是相互独立事件B ．若，，则事件A ，B 相互独立与A ，B 互斥有可能同时成立C ．若三个事件A ，B ，C 两两相互独立，则满足D ．若事件A ，B 相互独立，，，则11．平面内到两个定点A ，B 的距离比值为一定值的点的轨迹是一个圆，此圆被称为阿波罗尼斯圆，俗称“阿氏圆”．已知平面内点，，动点满足，记点的轨迹为，则下列命题正确的是（ ）A ．点的轨迹的方程是B ．过点的直线被点的轨迹所截得的弦的长度的最小值是1C ．直线与点的轨迹相离D ．已知点，点是直线上的动点，过点作点的轨迹的两条切线，切点为C ，D ，则四边形面积的最小值是3三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）12．同时扡掷两颗质地均匀的骰子，则两颗骰子出现的点数之和为6的概率为__________．13．已知曲线与直线有两个相异的交点，那么实数的取值范围是__________．14．在空间直角坐标系中，，，，，，P 为所确定的平面内一点，设的最大值是以为自变量的函数，记作．若，则{,,}a b c 23m a c =+ ,,}a b m 〈α(2,1,0)A (1,3,1)B -(2,2,1)C -(1,,)n u t =α2u t +=0a b ⋅> ,a b <>O 111362OM OA OB OC =++1()2P A =1()3P B =1()6P AB =()0P A >()0P B >()()()()P ABC P A P B P C =()0.4P A =()0.2P B =()0.44P AB AB = (1)λλ≠P (2,0)A (6,0)B P ||1||3PA PB =P τP τ2230x y x +-=(1,1)N P τ220x y -+=P τ3,02E ⎛⎫⎪⎝⎭M :270l x -+=M P τECMD 1y =+y x b =+b (0,0,0)O (0,,3)A a (3,0,)B a (,3,0)C a 33,3,2D ⎛⎫ ⎪⎝⎭ABC △||PO PD -a ()f a 03a <<()f a的最小值为__________．四、解答题（本大题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）15．（本题满分13分）“体育强则中国强，国运兴则体育兴”．为备战2025年杭州举办的国际射联射击世界杯，某射击训练队制订了如下考核方案：每一次射击中10环、中8环或9环、中6环或7环、其他情况，分别评定为A ，B ，C ，D 四个等级，各等级依次奖励6分、4分、2分、0分．假设评定为等级A ，B ，C的概率分别是，，．（1）若某射击选手射击一次，求其得分低于4分的概率；（2）若某射击选手射击两次，且两次射击互不影响，求这两次射击得分之和为8分的概率．16．（本题满分15分）已知的顶点，边AB 上的中线CD 所在直线方程为，边AC 上的高线BE 所在直线方程为．（1）求边BC 所在直线的方程；（2）求的面积．17．（本题满分15分）如图所示，已知斜三棱柱中，，，，在上和BC 上分别有一点和且，，其中．（1）求证：，，共面；（2）若，且，设为侧棱上靠近点的三等分点，求直线与平面所成角的正弦值．18．（本题满分17分）已知在平面直角坐标系中，，，平面内动点满足．（1）求点的轨迹方程；（2）点轨迹记为曲线，若曲线与轴的交点为M ，N 两点，Q 为直线上的动点，直线121418ABC △(4,2)A 7250x y +-=40x y +-=BCD △111ABC A B C -AB a = AC b = 1AA c =1AC M N AM k AC = BN k BC =01k ≤≤MN a c||||||2a b c ===13AB =160BAC BB C ∠=∠=︒P 1BB 1B 1PC 11ACC A xOy (1,0)A -(7,0)B -P ||2||PB PA =P P C C x :17l x =MQ ，NQ 与曲线C 的另一个交点分别为E ，F ，求|EF|的最小值．19．（本题满分17分）对于三维向量，定义“F 变换”：，其中，，，．记，．（1）若，求及；（2）证明：对于任意，必存在，使得经过次F 变换后，有；（3）已知，，将再经过次F 变换后，最小，求的最小值．武汉市部分重点中学2024-2025学年度上学期期中联考高二数学试卷参考答案与评分细则题号1234567891011答案ADCDBA DCABADACD12．13．1415．解：（1）设事件A ，B ，C ，D 分别表示“被评定为等级A ，B ，C ，D ”．由题意得，事件A ，B ，C ，D 两两互斥，所以．所以．因此其得分低于4分的概率为；（2）设事件，，，表示"第i 次被评定为等级A ，B ，C ，D ，．（2）设事件，，，表示“”第i 次被评定为等级A ，B ，C ，D ，．则“两次射击得分之和为8分”为事件，且事件，，互斥，，，所以两次射击得分之和为8分的概率．()(),,,,N,0,1,2,k k k k k k k a x y z x y z k =∈= ()1F k k a a +=1k k k x x y +=-1k k k y y z +=-1k k k z z x +=-k k k k a x y z = k k k k a x y z =++0(2,3,1)a =2a 2a 0a *k ∈N 0a k 0k a = 1(,2,)()a p q q p =≥ 12024a = 1am m a m 5361)+1111()12488P D =---=111()()()884P C D P C P D =+=+= 14i A i B i C i D i 1,2=i A i B i C i D i 1,2=()()()121221B B AC A C 12B B 12AC21A C ()121114416P B B =⨯=()()12211112816P AC P A C ==⨯=()()()()()()121221*********2161616P P B B AC A C P B B P ACP A C ⎡⎤==++=+⨯=⎣⎦16．解：（1）因为，所以设直线AC 的方程为：，将代入得，所以直线AC 的方程为：，联立AC ，CD 所在直线方程：，解得，设，因为为AB 的中点，所以，因为在直线BE 上，在CD 上，所以，，解得，，所以，，所以BC 所在直线的方程为：，即．（2）由（1）知点到直线BC 的距离为：，又，所以．17．（1）证明：因为，，所以．由共面向量定理可知，，，共面．（2）取BC 的中点为，在中，，由余弦定理可得，所以，依题意，均为正三角形，所以，，又，平面，平面，AC BE ⊥0x y m -+=(4,2)A 2m =-20x y --=207250x y x y --=⎧⎨+-=⎩(1,1)C -()00,B x y D 0042,22x y D ++⎛⎫⎪⎝⎭()00,B x y D 0040x y +-=0042725022x y ++⨯+⨯-=06x =-010y =(6,10)B -10(1)11617BC k --==---111(1)7y x +=--11740x y +-=(1,6)D -d ==||BC ==12722BCD S ==△1AM k AC kb kc ==+()(1)AN AB BN a k BC a k a b k a kb =+=+=+-+=-+(1)(1)MN AN AM k a kb kb kc k a kc =-=-+--=-- MN a cO 1AOB △1AO B O ==13AB =11cos 2AOB ∠==-12π3AOB ∠=ABC △1B BC △BC AO ⊥1BC B O ⊥1B O AO O = 1B O ⊂1B AO AO ⊂1B AO所以平面，因为平面，所以平面平面，所以在平面内作，则平面，以OA ，OC ，Oz 所在直线为轴、轴、轴建立空间直角坐标系如图所示：则，，，，，设是平面的一个法向量，，，则，即，取得，依题意可知，则．设直线与平面所成角为，则．故直线与平面所成角的正弦值为．18．解：（1）设动点坐标，因为动点满足，且，，化简可得，，即，BC ⊥1AOB BC ⊂ABC 1AOB ⊥ABC 1AOB Oz OA ⊥Oz ⊥ABC x y z 132B ⎛⎫ ⎪⎝⎭(0,1,0)B -A (0,1,0)C 132C ⎛⎫⎪⎝⎭132A ⎫⎪⎭(,,)n x y z =11ACC A (AC =132AC ⎛⎫= ⎪⎝⎭ 100n AC n AC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 03202y x y z ⎧+=⎪⎨++=⎪⎩1z =(3,1)n =- 123BP BB =11112323713,,323232C P C B BP C B BB ⎫⎛⎫⎫=+=+=--+⨯=--⎪ ⎪⎪⎭⎝⎭⎭ 1PC 11ACC A θ1119sin cos ,13||n C PC P n n C Pθ⋅====⋅ 1PC 11ACC A 913(,)P x y P ||2||PB PA =(1,0)A -(7,0)B -=222150x y x +--=22(1)16x y -+=所以点的轨迹方程为．（2）曲线中，令，可得，解得或，可知，，当直线EF 为斜率为0时，即为直径，长度为8，当直线EF 为斜率不为0时，设EF 的直线方程为，，，联立消去可得：，化简可得；由韦达定理可得，因为，，，，所以EM ，FN 的斜率为，，又点在曲线上，所以，可得，所以，所以EM ，FN 的方程为，，令可得，化简可得；，又，在直线上，可得，，所以，P 22(1)16x y -+=22:(1)16C x y -+=0y =2(1)16x -=3x =-5x =(3,0)M -(5,0)N ||||EK FK +x ny t =+()11,E x y ()22,F x y 22(1)16x ny t x y =+⎧⎨-+=⎩x 22(1)16ny t y +-+=()2212(1)(3)(5)0n y t ny t t ++-++-=1221222(1)1(3)(5)1t n y y n t t y y n -⎧+=⎪⎪+⎨+-⎪=⎪+⎩()11,E x y ()22,F x y (3,0)M -(5,0)N 113EM y k x =+225FN y k x =-()11,E x y C ()2211116x y -+=()()()22111116135y x x x =--=+-111153EM y x k x y -==+115(3)x y x y -=+22(5)5yy x x =--17x =()1212205125Q x y y y x -==-()()121235550y y x x +--=()11,E x y ()22,F x y x ny t =+11x ny t =+22x ny t =+()()121235550y y ny t ny t ++-+-=化简可得；，又，代入可得，化简可得，，，所以或，当时EF 为，必过，不合题意，当时EF 为，必过，又为圆的弦长，所以当直径MN 时弦长最小，此时半径，圆心到直线EF 的距离为，综上，的最小值．19．解：（1）因为，，，所以，，（2）设假设对，，则，，均不为0；所以，即，因为，，所以，与矛盾，所以假设不正确；综上，对于任意，经过若干次F 变换后，必存在，使得．（3）设，因为，所以有或，当时，可得，三式相加得()()221212535(5)5(5)0n y y n t y y t ++-++-=1221222(1)1(3)(5)1t n y y n t t y y n -⎧+=⎪⎪+⎨+-⎪=⎪+⎩()2222(3)(5)2(1)535(5)5(5)011t t t n n n t t n n +--++-+-=++()()222253(3)(5)10(5)(1)5(5)10n t t n t t t n ++-+--+-+=()222222(5)3951510105525250t t n t n n n t n t t n -++++-++--=(5)(816)0t t --=2t =5t =5t =5x ny =+(5,0)2t =2x ny =+(2,0)||EF EF ⊥||EF 4r =211-=||8EF ===<||EF 0(2,3,1)a = 1(1,2,1)a = 2(1,1,0)a =21100a =⨯⨯= 21102a =++={}max ,,(0,1,2)k k k k M x y z k == N k ∀∈10k a +≠1k x +1k y +1k z +12k k M M ++>123M M M >>> *(1,2)k M k ∈=N 112321121M M M M M M +≥+≥+≥≥++ 121M M +≤-120M M +>0aK N *∈0K a = ()0000,,a x y z = 1(,2,)()a p q q p =≥000x y z ≤≤000x y z ≥≥000x y z ≥≥0000002p x y y z q z x=-⎧⎪=-⎨⎪-=-⎩2q p -=又因为，可得，；当时，也可得，，所以；设的三个分量为这三个数，当时，的三个分量为，2，m 这三个数，所以；当时，的三个分量为2，2，4，则的三个分量为0，2，2，的三个分量为2，0，2，所以；所以，由，可得，；因为，所以任意的三个分量始终为偶数，且都有一个分量等于2，所以的三个分量只能是2，2，4三个数，的三个分量只能是0，2，2三个数，所以当时，；当时，，所以的最小值为505．12024a =1010p =1012q =000x y z ≤≤1010p =1012q =1(1010,2,1012)a =k a()*2,,2m m m +∈N 2m >1k a +2m -14k k a a +=- 2m =k a 1k a + 2k a +124k k a a ++=== 12024a = 5058a = 5064a =1(1010,2,1012)a = k a505a 506a505m <18m a +≥ 505m ≥14m a +=m。

湖北省新高考联考协作体2024-2025学年高二上学期开学考试数学试题

湖北省新高考联考协作体2024-2025学年高二上学期开学考试数学试题

湖北省新高考联考协作体2024-2025学年高二上学期开学考试数学试题一、单选题1．孝感市某高中有学生1200人，其中高一年级有学生400人，高二年级有学生600人，现采用分层随机抽样的方法抽取120人进行问卷调查，则被抽到的高二年级学生人数比高一年级学生人数多（ ）A ．20B ．30C ．40D ．502．已知复数z 满足：()i 12i 34z +=-，则复数z 的虚部为（ ）A ．2iB ．-2C ．2D ．2i -3．已知()()2,0,2,2a b ==r r ，则a r 在b r 上的投影向量为（ ）A ．)B ．()1,1C ．()2,1D ．()2,24．已知圆锥的侧面积为2π，圆锥的侧面展开图是一个圆心角为π3的扇形，则该圆锥的底面圆半径为（ ）AB C D 5．掷两枚质地均匀的骰子，设A =“第一枚出现小于4的点”，B =“第二枚出现大于3的点”，则A 与B 的关系为（ ）A ．互斥B ．互为对立C ．相互独立D ．相等6．在三棱锥S ABC -中，三个侧面与底面ABC 所成的角均相等，顶点S 在ABC V 内的射影为O ，则O 是ABC V 的（ ）A ．垂心B ．重心C ．内心D ．外心7．如图，一块矿石晶体的形状为四棱柱1111ABCD A B C D -，底面ABCD 是正方形，13,3CC CD ==，且1160C CB C CD ∠=∠=o ，则向量1AC u u u r 的模长为（ ）A B ．34 C ．52 D ．8．已知单位向量,a b r r 满足0a b b -+⋅=r r r ，则()2ta b t +∈R r r 的最小值为（ ）AB C D二、多选题9．关于非零向量,a b r r ，下列命题中正确的是（ ）A ．若a b =r r ，则a b =r r .B ．若a b =-r r ，则a r ∥b r .C ．若a b >r r ，则a b >r r .D ．若,a b b c ==r r r r ，则a c =r r .10．如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，点P 在线段11C D 上运动，则下列选项中正确的是（ ）A ．APB ．平面1BB P ⊥平面1111DC B A .C ．若P 是11CD 的中点，则二面角11P B B C --D ．若114D P =，则直线1B P 与1BD 11．在信道内传输0，1信号，信号的传输相互独立．发送0时，收到1的概率为(01)αα<<，收到0的概率为1α-；发送1时，收到0的概率为(01)ββ<<，收到1的概率为1β-. 考虑两种传输方案：单次传输和三次传输．单次传输是指每个信号只发送1次，三次传输 是指每个信号重复发送3次．收到的信号需要译码，译码规则如下：单次传输时，收到的信号即为译码；三次传输时，收到的信号中出现次数多的即为译码（例如，若依次收到1，0，1，则译码为1）.A ．采用单次传输方案，若依次发送1，0，1，则依次收到l ，0，1的概率为2(1)(1)αβ--B ．采用三次传输方案，若发送1，则依次收到1，0，1的概率为2(1)ββ-C ．采用三次传输方案，若发送1，则译码为1的概率为23(1)(1)βββ-+-D ．当00.5α<<时，若发送0，则采用三次传输方案译码为0的概率大于采用单次传输方案译码为0的概率三、填空题12．已知a ∈R ，若复数()()2344i Z a a a =----为纯虚数，则复数1i Z a a =-+在复平面内对应的点位于第象限.13．三棱锥D ABC -中，DA ⊥平面,,ABC AB BC DA AB BC ⊥=外接球体积等于.14．在ABC V 中，π,432A BC BA CA CB =⋅=⋅u u u r u u u r u u u r u u u r ，则ABC V 中最小角的余弦值为.四、解答题15．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，15,6,,AB AC BB BC D E ====分别是1AA 和1B C 的中点.(1)求证：DE ⊥平面11BCC B ；(2)求三棱锥E BCD -的体积.16．已知2,4,a b a b ==+=r r r r (1)若()()22a kb ka b -⊥+r r r r ，求实数k 的值； (2)求a r 与36a b +r r 的夹角的余弦值.17．在ABC V 中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知()12cos c a B =+.(1)若π3B =，求角C 的大小； (2)若ABC V 为锐角三角形，求b a的取值范围. 18．如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面,ABCD E 为PD 的中点，AD ∥,91,2,0BC BAD PA AB BC AD ∠=====o .(1)求证：CE ∥平面PAB ；(2)求证：平面PAC ⊥平面PDC ；(3)求直线EC 与平面PAC 所成角的正弦值.19．A 校和B 校是孝感市两所著名的高中，为了相互学习和交流，现随机抽取2000名A 校学生和2000名B 校学生参加一场知识问答竞赛，得到的竞赛成绩全部位于区间[)40,100中，现分别对两校学生的成绩作统计分析：对A 校学生的成绩经分析后发现，可将其分成组距为10，组数为6，作频率分布直方图，且频率分布直方图中的Y Y ⎛⎫= ⎪⎝⎭频率组距满足函数关系()10.12,130.18,46n k n Y k n n -⎧⨯≤≤⎪=⎨-≤≤⎪⎩（n 为组数序号，n ∈Z ）；关于B 校学生成绩的频率分布直方图如下图所示（纵轴为频率组距），假定每组组内数据都是均匀分布的.(1)求k 的值；(2)若B 校准备给前100名的学生奖励，应该奖励多少分以上的学生？(3)现在设置一个标准t 来判定某一学生是属于A 校还是B 校，将成绩小于t 的学生判为B 校，大于t 的学生判为A 校，将A 校学生误判为B 校学生的概率称为误判率A ，将B 校学生误判为A 校学生的概率称为误判率B ，误判率A 与误判率B 之和称作总误判率，记为()f t .若[)50,70t ∈，求总误判率()f t 的最小值，以及此时t 的值.。

2023-2024学年湖北省新高考联考协作体高二上学期期末考试数学试卷+答案解析

2023-2024学年湖北省新高考联考协作体高二上学期期末考试数学试卷+答案解析

2023-2024学年湖北省新高考联考协作体高二上学期期末考试数学试卷❖一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.抛物线的焦点坐标为()A.B.C.D.2.若等比数列的第2项和第6项分别为3和12，则的第4项为()A.4B.C.6D.3.两条平行直线与间的距离为()A. B.1C.D.4.假设，，且A 与B 相互独立，则()A.B.C.D.5.已知空间向量，则B 点到直线AC 的距离为()A. B.C.D.6.过内一点的2023条弦的弦长恰好可以构成一个公差为的等差数列，则公差d 的最大值为()A.B.C.D.7.已知椭圆，过右焦点F 作直线与椭圆C 交于A 、B 两点，以AB 为直径画圆，则该圆与直线的位置关系为()A.相交B.相切C.相离D.不确定8.如图，在空间直角坐标系中，正四棱柱的底面边长为4，高为2，O 为上底面中心，E ，F ，G 分别为棱AD 、AB 、的中点.若平面OEF 与平面OBG 的交线为l ，则l 的方向向量可以是()A. B. C. D.二、多选题：本题共4小题，共20分。

在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。

9.若数列的前n项和为，则下列命题正确的是()A.数列为等差数列B.数列为单调递增数列C.数列为单调递增数列D.数列为等差数列10.已知点和，过P点的两条直线分别与相切于A，B两点，则以下命题正确的是()A.B.C.P、A、Q、B均在圆上D.A，B所在直线方程为11.在棱长为2的正方体中，点P满足，、，则()A.当时，点P到平面的距离为B.当时，点P到平面的距离为C.当时，存在点P，使得D.当时，存在点P，使得平面PCD12.已知双曲线的左、右焦点分别为，，双曲线C上两点A，B关于坐标原点对称，点P为双曲线C右支上一动点，记直线PA，PB的斜率分别为，，若，则下列说法正确的是()A.B.若，则的面积为C.若，则的内切圆半径为D.以为直径的圆与圆相切三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2023-2024学年湖北省部分高中联考协作体高二(上)期中数学试卷【答案版】

2023-2024学年湖北省部分高中联考协作体高二(上)期中数学试卷【答案版】

2023-2024学年湖北省部分高中联考协作体高二（上）期中数学试卷一、选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

)1．空间任意四个点A 、B 、C 、D ，则DA →+CD →−CB →等于（ ） A ．DB →B ．AC →C ．AB →D ．BA →2．已知空间向量a →=(1，2，−3)，则向量a →在坐标平面Oxy 上的投影向量是（ ） A ．（0，2，3）B ．（0，2，﹣3）C ．（1，2，0）D ．（1，2，﹣3）3．若{a →，b →，c →}构成空间的一个基底，则下列向量共面的是（ ） A ．2a →−b →，a →+b →−c →，7a →+5b →+3c →B ．2a →+b →，a →+b →+c →，7a →+5b →+3c →C ．2a →+b →，a →+b →+c →，6a →+2b →+4c →D ．2a →−b →，a →+b →−c →，6a →+4b →+2c →4．一入射光线经过点M （2，6），被直线l ：x ﹣y +3＝0反射，反射光线经过点N （﹣3，4），则反射光线所在直线方程为（ ） A ．2x ﹣y +13＝0B ．6x ﹣y +22＝0C ．x ﹣3y +15＝0D ．x ﹣6y +27＝05．已知直线l 1：（3+m ）x +4y ＝5﹣3m ，l 2：2x +（5+m ）y ＝8平行，则实数m 的值为（ ） A ．﹣7 B ．﹣1C ．﹣1或﹣7D ．1336．已知椭圆x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）的一条弦所在的直线方程是x ﹣y +5＝0，弦的中点坐标是M （﹣4，1），则椭圆的离心率是（ ） A ．12B ．√22C ．√32D ．√557．已知F 是椭圆C ：x 23+y 22=1的右焦点，P 为椭圆C 上一点，A （1，2√2），则|P A |+|PF |的最大值为（ ） A ．4+√2B ．4√2C ．4+√3D ．4√38．已知空间中三个点A （1，1，0）、B （0，1，1），C （0，3，0）组成一个三角形，分别在线段AB 、AC ，BC 上取D 、E 、F 三点，当△DEF 周长最小时，直线CD 与直线BE 的交点坐标为（ ） A ．（23，2，23）B ．（49，119，49）C ．（79，2，79）D ．（59，139，59）二、选择题(本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

湖北五市州2024年高二下学期期末联考数学试题+答案

湖北五市州2024年高二下学期期末联考数学试题+答案

2024年湖北省五市州高二期末联考数学试卷注意事项：1.答题前，先将自己的姓名､准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试卷､草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.3.非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷､草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.4.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交.一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.某质点的位移y （单位：m ）与时间t （单位：s ）满足函数关系式22y t t =+，当1t =时，该质点的瞬时速度为（ ） A.4 B.3 C.2 D.12.下列等式不正确的是（ ） A.281010C C = B.6!23!= C.56566A A = D.333663A C A =⋅ 3.根据分类变量x 与y 的成对样本数据，计算得到28.988χ=.依据0.001α=的独立性检验，正确的结论为（ ）（附：0.01 6.635x =，0.0057.879x =，0.00110.828x =） A.变量x 与y 不独立B.变量x 与y 不独立，这个结论犯错误的概率不超过0.001C.变量x 与y 独立D.变量x 与y 独立，这个结论犯错误的概率不超过0.0014.函数2ln ()x f x x=的图象大致为（ ）A. B.C. D.5.甲､乙､丙､丁､戊共5名同学参加100米比赛，决出第1名到第5名的名次.比赛结束后甲说：“我不是第1名”，乙说：“我不是第5名”.根据以上信息，这5人的名次排列情况种数为（ ） A.72 B.78 C.96 D.1206.随着我国铁路的发展，列车的正点率有了显著的提高.据统计，途经某车站的只有和谐号和复兴号列车，且和谐号列车的列次为复兴号列车的列次的3倍，和谐号列车的正点率为0.98，复兴号列车的正点率为0.99，则一列车能正点到达该车站的概率为（ ） A.0.9825 B.0.9833 C.0.9867 D.0.98757.设随机变量()2~0,2X N ，随机变量()2~0,3Y N .则（ ）A.(2)(2)P X P Y ≤−=≤− B.(3)(3)P X P Y ≥>≤− C.(2)(3)P X P Y ≤−=≥ D.()()11P X P Y ≤<≤ 8.已知定义在R 上的函数()f x ()f x ′，对于任意的实数x 都有2()e ()x f x f x =−，且0x >时，()()f x f x ′>.若(1)e f a =，(ln 2)2f b =，13ln 3c f=，则a ，b ，c 的大小关系是（ ） A.a c b >> B.a b c >> C.c a b >> D.c b a >>二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.在成对数据的统计分析中，下列说法正确的是（ ）A.经验回归直线ˆˆˆybx a =+过点(,)x y B.残差平方和越小，回归模型的拟合效果越好C.若样本相关系数r 越大，则成对样本数据的线性相关程度越强D.在回归方程ˆ28y x =+中，当解释变量x 每增加1个单位时，预报变量ˆy 平均增加2个单位10.设函数11()1ln (0)f x x x a a ax=−+−≠ ，则（ ） A.当0a <时，()f x 有两个极值点 B.当0a <时，()1f x >C.当01a <<时，()f x 在(0,1)上单调递增D.当01a <<时，()f x x ≤恒成立11.“杨辉三角”是中国古代数学文化的瑰宝，最早出现在南宋数学家杨辉1261年所著《详解九章算法》中.“杨辉三角”中三角形数的排列规律如图所示，它的第(1)n n ≥行的各项从左往右依次是二项式()n a b +展开式中各项的二项式系数.下列结论正确的是（ ）A.333345610C C C C 330++++=B.第2024行中从左往右第1013个数是该行中所有数字中最大的C.记第n 行的第i 个数为i a ，则1134n i n ii a+==∑D.记第2行第3个数字为1b ，第3行第3个数字为2b ，…，第1n +行的第3个数字为n b ，则1211121n nb b b n +++=+ 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知随机变量~(10,0.2)X B ，则(21)D X +=__________. 13.已知曲线sin y x x =在点ππ,22处的切线与二次函数2(23)1y ax a x =+−+的图象只有一个公共点，则实数a 的值为__________.14，甲､乙､丙三人玩“剪刀､石头､布”的游戏.游戏规则为：剪刀赢布，布赢石头，石头赢剪刀.每一局游戏甲､乙､丙同时出“剪刀､石头､布”中的一种手势，且相互独立.在一局游戏中某人赢1个人得1分，赢2个人得3分，其他情况得0分.设一局游戏后3人总得分为ξ，则随机变量ξ的数学期望()E ξ的值为__________.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.（13分）已知2nx + 的展开式中各二项式系数的和为64. （1）求展开式中的常数项； （2）求展开式中各项系数的和；（3）若把展开式中所有的项重新排成一列，求有理项互不相邻的概率. 16.（15分）已知函数32()69(,)f x ax bx x a b =+−+∈R 在1x =处有极小值4. （1）求()f x 的解析式； （2）求()f x 在[1,2]−上的值域. 17.（15分）某乡村企业希望通过技术革新增加产品收益，根据市场调研，技术革新投入经费x （单位：万元）和增加收益y （单位：万元）的数据如下表：为了进一步了解技术革新投入经费对增加收益的影响，通过对表中数据进行分析，分别提出了两个回归模型：①ˆˆˆy nx m =+，②ˆˆyc =. （1）根据以上数据，计算模型①中y 与x 的相关系数r （结果精确到0.01）；（2）若0.95||1r ≤≤，则选择模型①；否则选择模型②.根据（1）的结果，试建立增加收益y 关于技术革新投入经费x 的回归模型，并预测16x =时y 的值（结果精确到0.01）.附：（i ）回归直线ˆˆˆybx a =+的斜率､截距的最小二乘估计以及相关系数分别为： ()()()112211ˆnni i iii i n n i ii i x x y y x y nx ybx xxnx===−−−=−−∑∑∑∑，ˆˆa y bx=−，nx x y y r −−=（ii ）参考数据：设i v =54.18≈171.35≈， 2.78v ≈，()5211.33i i v v =−≈∑，()()5129.91iii v v y y =−−≈∑.18.（17分）在统计学的实际应用中，除了中位数外，常用的分位数还有第25百分位数（即下四分位数）与第75百分位数（即上四分位数）.四分位数常应用于绘制统计学中的箱型图，即把所有数值由小到大排列，并分成四等份，处于三个分割点的数值就是四分位数，箱型图中“箱体”的下底边对应的数据为下四分位数，上底边对应的数据为上四分位数，中间的线对应的数据为中位数，如图1所示.已知A ，B 两个班级的人数相同，在一次测试中两个班级的成绩箱型图如图2所示.（1）估计A ，B 两个班级平均分较高的是哪个班级？（直接给出结论即可，不必说明理由）（2）据统计，两个班级中高于140分的共8人，其中A 班3人，B 班5人，从中抽取3人作学习经验分享，设这3人中来自B 班的人数为X ，求X 的分布列和数学期望.（3）在两个班级中随机抽取一名学生，若该生的分数大于120分，求该生来自A 班和B 班的概率分别是多少？ 19.（17分）已知1a >，函数()f xax a =+，()e x g x =. （1）证明：方程()()f x g x =有两个解；（2）设（1）中方程的两个解为()1212,x x x x <，直线()12x m x m x =<<与曲线()y g x =交于点A ，直线()y f m =与曲线()y g x =交于点B ，证明：存在唯一的实数m ，使得曲线()y f x =上的点(,())C m f m 与A ，B 两点构成等腰直角三角形.高二参考答案与评分标准选择题：题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案ABCDBACCABDBCDBD8.解：令()(),e xf xg x =对于任意的实数x 都有()()()()2e e ex x xf x f x f x f x −−=∴=−， 即()()(),g x g x g x −=∴为偶函数；()()()()1,ln2,ln3ln3a g b g c g g ===−=；又当0x >时，()()()()(),0,exf x f x f x f xg x ′∴−=>′>′当0x >时，()g x 为增函数；又ln21ln3<<，()()()ln31ln2g g g ∴>>，即c a b >>，故选：C.11.解：由11C C C m m m nn n −++=可得33334333343334561044561055610C C C C C C C C C 1C C C C 1+++=++++−=++++− 4334671011C C C 1C 1329+++−− ，故A 错误；第2024行是偶数，中间一项最大，即10122023C ，也就是第2024行中第1013个数，故B 正确； 第n 行的第i 个数为1C i i n a −=，所以1021321133C 3C 3C 3C 3(13)34n i n n n n in n n n i a++==++++=+=×∑ ，故C 错误；由题意知()2122212231111111222C ,C C C 12231n n n n b b b b n n ++=++…+=++…+=++…+×××+11111212231n n =−+−+…+− + 122111n n n=−= ++ .故D 正确. 填空题：12.6.4 13.1或4 14.7314.解析：()()()()2111333333333C C C C A 311511570;2;30233933399393P P P E ξξξξ+==========×+×+×= ξ0 2 3解答题：15.解：（1） 二项式系数之和为264n =，解得6,n =.()3362166220,1,2,,6rr r r r r r T C C x r x −−+ =⋅=⋅=，令3302r −=解得2r =， 则常数项为360T =. （2）令1x =则展开式中各项系数的和为66(12)3729+==.（3）由（1）可知()3321620,1,2,,6r rrr T C xr −+=⋅=，令332r −∈Z 则0,2,4,6r =即展开式中有理项有4项.设事件A =“有理项互不相邻”，()434377135A A P A A ⋅==. 16.解：（1）函数()()3269,f x ax bx x a b =+−+∈R ，则()2326f x ax bx ′=+−()()13260134f a b f a b +− =++= ′，解得43a b = =−. 当43a b ==−时，令()212660f x x x =−−=′，解得121,12x x =−=. 则()()1,,0,2x f x f x ∞ ∈−−′>单调递增；()()1,1,0,2x f x f x ∈−< ′单调递减；()1,x ∞∈+，()()0,f x f x ′>单调递增.1x =是极小值点.故()324369f x x x x =−−+.（2）由（1）知()[]324369,1,2f x x x x x =−−+∈−，则()11,,2x f x∈−−单调递增；1,12x∈−，()f x 单调递减；()()1,2,x f x ∈单调递增.当1x =时，函数()f x 取得极小值()14f =.当12x =−时，函数()f x 取得极大值14324f −= 而()()18,217f f −==.故()f x 的值域[]4,17.17.解：（1）模型①中，相关系数r.1600.93171.35≈，（2）因为0.930.95r =<，所以选择模型②， 令i v =y 关于v 的线性回归方程，由于()()()5152129.91ˆ22.491.33iii i i v v y y dv v ==−−=≈−∑∑， ˆˆ4822.49 2.7814.52cy dv =−=−×≈−， 所以y 关于v 的线性回归方程为2ˆ14.522.49y v =−+，即2ˆ14.5y =−+当16x =时，14.5275.44ˆy =−+=（万元） 答：若投入经费16万元，收益约为75.44万元. 18.（1）B 班（2）()3338C 10C 56P X ===； ()213538C C 151C 56P X === ()123538C C 152;C 28P X ===()3538C 53C 28P X === ()115155150123565628288E X =×+×+×+×=.（3）设事件M =“该同学来自A 班”，事件N =“该同学来分数高于120分”1111(),(),(),()2242P M P M P N M P N M ====∣∣ 所以()()()()()()()P N P MN P MN P N M P M P N M P M =+=⋅+⋅∣∣1111342228×+×= ()()()()()()11142338P NM P M P MN P M N P N P N ×⋅====∣∣11()()()222()3()()38P MN P NM P M P M N P N P N ×⋅====∣∣.则该同学来自A 班的概率为13，来自B 班的概率为23. 19.【解析】（1）()()e xf xg x a =⇔+=，设()e xh x ax a =−−， 则()e ,xh x a =−′令()0h x ′=，得ln x a =，所以()h x 在(),ln a ∞−单调递减，在()ln ,a ∞+单调递增，所以()min ()ln ln ln 0h x h a a a a a a a ==−−=−<， 又()110eh −=>，且ln 0a >，所以存在()11,ln x a ∈−使得()10h x =. 又当0x >时，e xx >，则2e 2x x >，所以2e 4xx >， 所以()()()()2211e 111444xx x x h x ax a a x a x x a −− =−−>−+>−+=+−， 所以()410h a +>，且ln 41a a a <<+，所以存在()2ln ,41x a a ∈+使得()20h x =. 所以()h x 有两个零点，故()()f x g x =有两个解.（2）设()()()()(),e,,,ln ,mA m C m am aB am a am a +++，若()(),C m f m 与,A B 构成等腰直角三角形，则BC CA =，即证明关于m 的方程()ln e m am a m am a +−=+−在()12,x x 仅有一解.由()ln e mam a m am a +−=+−得()()()()e ln 10,1,mH m am a a m a m ∞=++−+−=∈−+，()()211e 1,e 1(1)m m H m a H m m m ′+−−′−+′=+，则()H m ′′在()1,∞−+单调递增，. 又()00H ′′=，所以()H m ′在()1,0−单调递减，在()0,∞+单调递增，又()010H a =−<′， 因为()010h a =−<，所以由（1）知121041x x a −<<<<+而()1111e 11x H x a x ′+−−+，又11e 1x a x =+， 所以()()1111111111111e 1e 1e e 1011111x x x x x x x H x x x x x x ′−=+−−=−=>+++++()()2222222222222e 1e 1e e 1011111x x x x x x x H x x x x x x ′−=+−−=−=>+++++ 所以存在()()1122,0,0,m x m x ∈∈，使得()()120Hm H m ′==′， 所以()H m 在()11,x m 单调递增，在()12,m m 单调递减，在()22,m x 单调递增， 因为()11111e e 0xxH x x x =+−−=，同理()20H x =，又()01ln 0H a a =−+<，所以()()120,0H m H m ><，所以()ln e mam a m am a +−=+−在()12,x x 仅有一解，原命题得证.。

2024-2025学年湖北重点学校高二数学上学期9月联考试卷附答案解析

2024-2025学年湖北重点学校高二数学上学期9月联考试卷附答案解析

2024-2025学年湖北重点学校高二数学上学期9月联考试卷时长：120分钟满分：150分一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分､在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知复数()()1i 2i m ++在复平面内对应的点位于第二象限，则实数m 的取值范围为（）A.(),2-∞ B.()2,+∞ C.(),2-∞- D.()2,2-2.平行六面体1111ABCD A B C D -中，O 为11A C 与11B D 的交点，设1,,AB a AD b AA c === ，用,,a b c表示BO，则（）A.12BO a b c=-+ B.12BO a b c=+- C.12BO a b c =-++ D.1122BO a b c=-++ 3.被誉为“湖北乌镇，荆门丽江”的莫愁村，位于湖北省钟祥市.高高的塔楼，是整个莫愁村最高的建筑，登楼远跳，可将全村风景尽收眼底.塔楼的主体为砖石砌成的正四棱台，如图所示，上底面正方形的边长约为8米，下底面正方形的边长约为12米，高约为15米，则塔楼主体的体积（单位：立方米）约为（）A .2400B.1520C.1530D.24104.某同学参加学校组织的化学竞赛，比赛分为笔试和实验操作测试，该同学参加这两项测试的结果相互不受影响.若该同学在笔试中结果为优秀的概率为34，在实验操作中结果为优秀的概率为23，则该同学在这次测试中仅有一项测试结果为优秀的概率为（）A.712B.12 C.512D.135.已知()()()1231,9,1,,3,2,0,2,1n n m n =-=-=，若{}123,,n n n 不能构成空间的一个基底，则m =（）A.3B.1C.5D.76.设ABC V 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且222a b ab c ++=，若角C 的内角平分线2CM =，则AC CB ⋅的最小值为（）A.8B.4C.16D.127.抛掷一红一绿两颗质地均匀的六面体骰子，记录骰子朝上面的点数，若用x 表示红色骰子的点数，用y 表示绿色骰子的点数，用(),x y 表示一次试验结果，设事件:8E x y +=；事件F ：至少有一颗点数为5；事件:4G x >；事件:4H y ≤.则下列说法正确的是（）A.事件E 与事件F 为互斥事件B.事件F 与事件G 为互斥事件C.事件E 与事件G 相互独立D.事件G 与事件H 相互独立8.现有一段底面周长为12π厘米和高为12厘米的圆柱形水管，AB 是圆柱的母线，两只蜗牛分别在水管内壁爬行，一只从A 点沿上底部圆弧顺时针方向爬行π厘米后再向下爬行3厘米到达P 点，另一只从B 沿下底部圆弧逆时针方向爬行π厘米后再向上爬行3厘米爬行到达Q 点，则此时线段PQ 长（单位：厘米）为（）A.B. C.6 D.12二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.有一组样本数据12,,,n x x x ，其平均数､中位数､标准差､极差分别记为1111,,,a b c d .由这组数据得到新样本数据12,,,n y y y ，其中()220241,2,,i i y x i n =-= ，其平均数､中位数､标准差､极差分别记为2222,,,a b c d ，则（）A.2122024a a =- B.21b b = C.212c c = D.212d d =10.设,,Ox Oy Oz 是空间内正方向两两夹角为60o的三条数轴，向量123,,e e e分别与x 轴､y 轴.z 轴方向同向的单位向量，若空间向量a 满足()123,,a xe ye ze x y z =++∈R ，则有序实数组(),,x y z 称为向量a在斜60o 坐标系Oxyz （O 为坐标原点），记作(),,a x y z =，则下列说法正确的有（）A.已知()1,2,3a =，则5= a B.已知()()1,2,1,2,4,2a b =-=-- ，则向量a∥b C.已知()()3,1,2,1,3,0a b =-= ，则0a b ⋅=D.已知()()()1,0,0,0,1,0,0,0,1OA OB OC === ，则三棱锥O ABC -的外接球体积8V =11.在圆锥PO 中，PO 为高，AB ，母线长为2，点C 为PA 的中点，圆锥底面上点M 在以AO 为直径的圆上（不含A O ､两点），点H 在PM 上，且PA OH ⊥，当点M 运动时，则（）A.三棱锥M PAO -的外接球体积为定值B.直线CH 与直线PA 不可能垂直C.直线OA 与平面PAM 所成的角可能为60oD.2AH HO +<三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知3i 1-是关于x 的实系数方程2320x px q ++=的一个根，则实数p 的值为__________.13.已知向量,a b 满足()2,1,2a b a b ==+= ，则cos ,a b =______.14.ABC V 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c 222sin 2a b cC a b b----=，且ABC V 的面积为()34a b c ++，则2a b +的最小值为______.四､解答题：本题共5小题，第15小题13分，第16､17小题15分，第18､19小题17分，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.ABC V 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知()2cos cos 0c b A a B --=（1）求A ；（2）若点M 在BC 上，且满足,2BM MC AM ==，求ABC V 面积的最大值.16.某地区有小学生9000人，初中生8600人，高中生4400人，教育局组织网络“防溺水”网络知识问答，现用分层抽样的方法从中抽取220名学生，对其成绩进行统计分析，得到如下图所示的频率分布直方图所示的频率分布直方图.（1）根据频率分布直方图，估计该地区所有学生中知识问答成绩的平均数和众数；（2）成绩位列前10%的学生平台会生成“防溺水达人”优秀证书，试估计获得“防溺水达人”的成绩至少为多少分；（3）已知落在60,70内的平均成绩为67，方差是9，落在[)60,80内的平均成绩是73，方差是29，求落在[)70,80内的平均成绩和方差.（附：设两组数据的样本量､样本平均数和样本方差分别为：221122,,;,,m x s n x s .记两组数据总体的样本平均数为w ，则总体样本方差()()222221122m n s s x w s x w m n m n ⎡⎤⎡⎤=+-++-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦++）17.如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，11,2AD AA AB ===，点E 在棱AB 上移动.（1）当点E 在棱AB 的中点时，求平面1D EC 与平面1DCD 所成的夹角的余弦值；（2）当AE 为何值时，直线1A D 与平面1D EC 所成角的正弦值最小，并求出最小值.18.甲､乙､丙三人玩“剪刀､石头､布”游戏（剪刀赢布，布赢石头，石头赢剪刀），规定每局中：①三人出现同一种手势，每人各得1分；②三人出现两种手势，赢者得2分，输者负1分；③三人出现三种手势均得0分.当有人累计得3分及以上时，游戏结束，得分最高者获胜，已知三人之间及每局游戏互不受影响.（1）求甲在一局中得2分的概率1P ；（2）求游戏经过两局后甲恰得3分且为唯一获胜者的概率2P ；（3）求游戏经过两局就结束的概率3P .19.在空间直角坐标系O xyz -中，己知向量(),,u a b c = ，点()0000,,P x y z .若直线l 以u为方向向量且经过点0P ，则直线l 的标准式方程可表示为()0000x x y y z z abc a b c---==≠；若平面α以u为法向量且经过点0P ，则平面α的点法式方程表示为()()()0000a x x b y y c z z -+-+-=.（1）已知直线l 的标准式方程为112x z-==，平面1α50y z +-+=，求直线l 与平面1α所成角的余弦值；（2）已知平面2α的点法式方程可表示为2320x y z ++-=，平面外一点()1,2,1P ，点P 到平面2α的距离；（3）（i ）若集合{(,,)|||||2,||1}M x y z x y z =+≤≤，记集合M 中所有点构成的几何体为S ，求几何体S 的体积；（ii ）若集合(){,,|2,2,2}N x y z x y y z z x =+≤+≤+≤.记集合N 中所有点构成的几何体为T ，求几何体T 相邻两个面（有公共棱）所成二面角的大小.1.B【分析】化简得()()1i 2i (2)(2)i m m m ++=-++，根据题意列出不等式组求解即可.【详解】解：因为()()1i 2i (2)(2)i m m m ++=-++，又因为此复数在第二象限，所以2020m m -<⎧⎨+>⎩，解得2m >.故选：B.2.D【分析】由平行六面体的性质和空间向量的线性运算即可求解；【详解】如图：由平行六面体的性质可得()()11111111122222BO BB B O AA BD AA AD AB c b a a b c =+=+=+-=+-=-++，故选：D.3.B【分析】根据题意，利用棱台的体积公式，准确运算，即可求解.【详解】由题意，正四棱台的上底面边长约为8米，下底面边长约为12米，高约为15米，可得正四棱台的上底面面积为64平方米，下底面面积为144平方米，则塔楼主体的体积约为1(641441515203V =++⨯=立方米.故选：B.4.C【分析】根据独立事件的概率公式与互斥事件的概率加法公式可求概率.【详解】根据题意可得该同学在这次测试中仅有一项测试结果为优秀的概率为：12315434312⨯+⨯=．5.B【分析】直接利用基底的定义和共面向量求出结果.【详解】若{}123,,n n n不能构成空间的一个基底，123,,n n n ∴共面，∴存在,λμ，使123n n n λμ=+，即1093212m λλμλμ-=+⎧⎪=-+⎨⎪=+⎩，解得131m λμ=-⎧⎪=⎨⎪=⎩，故选：B .6.A【分析】先根据222a b ab c ++=，结合余弦定理求C ，再根据ABC ACM BCM S S S =+ ，结合面积公式得到2()ab b a =+≥，进而求出ab 的最小值，再根据数量积定义求AC CB ⋅.【详解】因为222a b ab c ++=，所以2221cos 22a b c C ab +-==-，所以2π3C =，由ABC ACM BCM S S S =+ ，所以12π1π1πsin sin sin 232323ab b CM a CM =⋅⋅+⋅⋅，化简得到22ab b a =+，所以2()ab b a =+≥，则16ab ≥，当且仅当4a b ==时，等号成立，所以π1cos 832AC CB AC CB ab ⋅=⋅=≥ ，所以AC CB ⋅的最小值为8.故选：A ．7.D【分析】分别写出事件E 、F 、G 、H 所包含的基本事件，根据互斥事件的定义判断A ，B ；根据独立事件的定义判断C ，D.【详解】解：由题意可知{(2,6),(3,5),(4,4),(5,3),(6,2)}E =；{(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6),(1,5),(2,5),(3,5),(4,5),(6,5)}F =；{(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6),(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6)}G =；{(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),H =(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(6,1),(6,2),(6,3),(6,4)}；对于A ，因为()(){}3,5,5,3E F ⋂=，所以事件E 与事件F 不是互斥事件，故错误；对于B ，因为(5,1),(5,2),(5,3),(}){5,4),(5,5,(5,6),(6,5)G F ⋂=，所以事件G 与事件F 不是互斥事件，故错误；对于C ，因为{(5,3),(6,2)}E G ⋂=，5121(),()36363P E P G ===，21()()()3618P E G P E P G ⋂==≠，所以事件E 与事件G 不相互独立，故错误；对于D ，因为{(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(6,1),(6,2),(6,3),(6,4)}G H ⋂=，242121(),()363363P H P G ====，82()()()369P H G P H P G ⋂===，所以事件E 与事件G 相互独立，故正确.故选：D.8.A【分析】根据已知条件建系结合弧长得出角及点的坐标，最后应用空间向量两点间距离计算.【详解】应用圆柱的特征取上下底面的圆心1,,OO BO 为,z y 轴，再过O 作OB 的垂线为x 轴，如图建系，过Q 向圆O 作垂线垂足为1Q ，1πBQ =，设圆O 半径为,2π12πr r =，所以6r =，所以111π6π,6BQ BOQ BOQ =∠⨯=∠=，则()()13,,3,Q Q --，同理，过P 向圆O 作垂线垂足为，则()()13,,3,P P ----，所以PQ ==.故选：A.9.ACD【分析】根据新旧数据间样本的数字特征的关系对选项进行分析，从而确定正确答案.【详解】依题意，平均数2122024a a =-，中位数2122024b b =-，标准差212c c =，极差212d d =，所以ACD 选项正确，B 选项错误.故选：ACD 10.AB【分析】先明确1231e e e === ，12132312e e e e e e ⋅=⋅=⋅= .根据()22a a = 求a，判断A 的真假；根据2b a =-判断B 的真假；计算a b ⋅ 判断C 的真假；判断三棱锥O ABC -的形状，求其外接球半径及体积，判断D 的真假.【详解】由题意：1231e e e === ，12132312e e e e e e ⋅=⋅=⋅= .对A ：因为12323a e e e =++ ⇒()2212323a e e e =++ 222123121323494612e e e e e e e e e =+++⋅+⋅+⋅ 149236=+++++25=，所以5a =.故A 正确；对B ：因为1232a e e e =-++ ，123242b e e e =-- ，所以2b a =-，所以//a b .故B 正确；对C ：12332a e e e =-+ ，123b e e =+，因为()()12312323a b e e e e e ⋅=-+⋅+ 22112122132339326e e e e e e e e e e =+⋅-⋅-+⋅+⋅ 91331322=+--++8=0≠，故C 错误；对D ：由题意，三棱锥O ABC -是边长为1的正四面体.如图：过O 作OE ⊥平面ABC ，垂足为E ，则E 在ABC V 的中线AD 上，且:2:1AE ED =，因为ABC S =!，32AD =，所以33AE =，63OE ==.设正四面体O ABC -外接球球心为G ，则点G 在OE 上，且G 亦为正四面体O ABC -内切球球心，设GO R =，GE r =.则22313R r R r ⎧+=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩⇒4=R ，所以正四面体O ABC -外接球的体积为：34π3V R=34ππ38R ==.故D 错误.故选：AB 11.AD 【解析】【分析】由条件结合线面垂直判定定理证明AM ⊥平面POM ，由此证明AM PM ⊥，再证明点C 为三棱锥M PAO -的外接球球心，判断A ，证明PA ⊥平面OHC ，由此证明PA CH ⊥，判断B ；证明OH ⊥平面PAM ，由此可得OAH ∠为直线OA 与平面PAM 所成的角，解三角形求其正弦，判断C ，证明OH AH ⊥，解三角形求AH HO +，结合基本不等式求其范围，判断D.【详解】连接,,,,,OM AM AH OC CM CH ，对于A ，易知⊥PO 平面AMB ，AM⊂平面AMB ，所以AM PO ⊥，因为点M 在以AO 为直径的圆上（不含A 、O ），所以AM OM ⊥，OM PO O = ，OM ⊂平面POM ，PO ⊂平面POM ，所以AM ⊥平面POM ，又PM⊂平面POM ，所以AM PM ⊥，又PO AO ⊥，C 为PA 的中点，2PA =，所以1CO CA CP CM ====，所以点C 为三棱锥M PAO -的外接球的球心，所以三棱锥M PAO -的外接球的半径为=1，所以三棱锥M PAO -的外接球体积为定值，A 正确；由已知，PO AO ⊥，2PA =，AO =所以PO AO==所以POA 为等腰三角形，连接OC ，又C 为PA 的中点，故PA OC ⊥，又PA OH ⊥，OH OC O ⋂=，OH ⊂平面OHC ，OC ⊂平面OHC ，则PA ⊥平面OHC ，又CH ⊂平面OHC ，所以PA CH ⊥，故B 错误．因为AM ⊥平面POM ，又OH ⊂平面POM ，所以AM OH ⊥，又PA OH ⊥，PA AM A = ，AM⊂平面PAM ，PA ⊂平面PAM ，则OH ⊥平面PAM ，所以OA 在平面PAM 上的射影为AH ，所以OAH ∠为直线OA 与平面PAM 所成的角，设OM x=，则PM =OH PM OM PO ⋅=⋅，所以OH =，所以sin OHOAH OA∠==，令60OAH ∠=2=，解得x =，即OM =，与OM OA <矛盾，C 错误；对于D 中，因为OH ⊥平面PAM ，AH ⊂平面PAM ，所以OHAH ⊥，又OH=OA =，所以AH ==，所以xAH HO ++==，0x <<由基本不等式可得22222x x ⎛⎫++< ⎪ ⎪⎝⎭，即x +<，所以2AH HO +<，D 正确.故选：AD【点睛】关键点点睛：解决多面体的外接球问题的关键在于由条件确定其外接球的球心的位置，由此确定外接球的半径.12.3【分析】将3i 1-代入方程2320x px q ++=求解即可.【详解】3i 1-代入方程2320x px q ++=，得()()233i 123i 10p q -+-+=，化简得()()242618i 0p q p --++-=，故24206180p q p --+=⎧⎨-=⎩，解得330p q =⎧⎨=⎩，故填：313.18##0.125【分析】先利用坐标运算求解23a b += ，根据数量积的运算律结合模的公式列式求得14a b ⋅= ，从而利用数量积的定义求解即可.【详解】因为()2a b += ，所以23a b +=，又2,1a b ==，所以23a b +=，所以14a b ⋅= ，所以1cos ,8a b a b a b ⋅==⋅.故答案为：1814.6+【分析】根据三角恒等变换以及余弦定理可得π3C =，即可利用面积可得()222230a t a t -++-=有根，即可利用判别式求解.222sin 2a b c C a b b----=可得2222sin 22C ba b a b c --=--，即222s 22c i o n s ab C C ba a b c ==-+-，由于0ab ≠cos 1C C -=π1sin 62C ⎛⎫⇒-= ⎪⎝⎭，由于()0,πC ∈，故ππ5π,666C ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，因此ππ66C -=，故π3C =，2222221cos 22a b c C a b c ab ab +-==⇒+-=，ABC V 的面积为()34a b c ++，故()31sin 42a b c ab C a b c ab ++=⇒++=，由于2c ab a b a b b =-->-⇒>，2c ab a b b a a =-->-⇒>，故26a b +>，将c ab a b =--代入222a b c ab +-=可得()222a b ab a b ab +---=，化简得()32ab a b +=+，将其代入()32ab a b +=+，且可得()222230a t a t -++-=，则()()2Δ448230t t t =++--≥，解得6t ≥+，或06t <≤-故最小值为6+.故答案为：6+【点睛】关键点点睛：由()32ab a b +=+可得()222230a t a t -++-=有实数根，利用判别式求解.15.（1）π3（2）433【分析】（1）利用正弦定理、三角恒等变换，结合三角形内角的取值范围、特殊角的三角函数值求解即可；（2）利用向量的线性运算、余弦定理、基本不等式、三角形面积公式即可求解.【小问1详解】()2cos cos 0c b A a B --= ，由正弦定理得()2sin sin cos sin cos 0C B A A B --=，2sin cos (sin cos cos sin )0C A B A B A ∴-+=，2sin cos sin()0C A A B ∴-+=，2sin cos sin C A C ∴=，()0,πC ∈ ，sin 0C ∴≠，1cos 2A ∴=，()0,πA ∈ ，π3A ∴=.【小问2详解】BM MC = ，1()2AM AB AC ∴=+ ，2221(2)4AM AB AB AC AC ∴=+⋅+ ，又2AM =，221π4(2cos 43c b bc ∴=++⋅，221623c b bc bc bc bc ∴=++≥+=，163bc ∴≤，当且仅当3b c ==时，等号成立，ABC ∴ 的面积1116sin 22323S bc A =≤⨯⨯=，即ABC V 面积的最大值为433.16.（1）平均数为71，众数为75.（2）88.（3）平均数为76，方差为12.【解析】【分析】（1）在频率分布直方图中，平均数等于每组的组中值乘以每组的频率之和；众数是最高矩形横坐标的中点，据此求解.（2）依题意可知题目所求是第90％分位数，先判断第90％分位数落在哪个区间再求解即可；（3）先求出每组的比例，再根据分层随机抽样的平均数及方差求解即可.【小问1详解】一至六组的频率分别为0.10,0.15,0.15,0.30,0.25,0.05，平均数450.10550.15650.15750.30850.25950.0571=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=.由图可知，众数为75.以样本估计总体，该地区所有学生中知识问答成绩的平均数为71分，众数为75分.【小问2详解】前4组的频率之和为0.100.150.150.300.700.90+++=<，前5组的频率之和为0.700.250.950.90+=>，第90%分位数落在第5组,设为x ，则()0.70800.0250.90x +-⨯=，解得88x =.“防溺水达人”的成绩至少为88分.【小问3详解】[60,70)的频率为0.15，[70,80)的频率为0.30，所以[60,70)的频率与[60,80)的频率之比为0.1510.150.303=+[)70,80的频率与[)60,80的频率之比为0.3020.150.303=+设[)70,80内的平均成绩和方差分别为222x s ，依题意有212736733x =⨯+⨯，解得276,x =()222212299(6773)767333s ⎡⎤⎡⎤=⨯+-+⨯+-⎣⎦⎣⎦，解得2212s =，所以[)70,80内的平均成绩为76，方差为12.17.1）66（2）当2AE =时，直线1A D 与平面1D EC所成角的正弦值最小，最小值为5【解析】【分析】（1）以D 为坐标原点，1,,DA DC DD 所在直线为坐标轴建立空间直角坐标系，求得平面1D EC 的一个法向量，平面1DCD 的一个法向量，利用向量法可求平面1D EC 与平面1DCD 所成的夹角的余弦值；（2）设AE m =，可求得平面1D EC 的一个法向量，直线的方向向量1DA，利用向量法可得sin θ=.【小问1详解】以D 为坐标原点，1,,DA DC DD所在直线为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系，当点E 在棱AB 的中点时，则1(0,0,1),(1,1,0),(0,2,0),(0,0,0),(1,0,0)E C D A D ，则1(1,1,1),(1,1,0),(1,0,0)ED EC DA =--=-=，设平面1D EC 的一个法向量为(,,)n x y z =，则1·0·0n ED x y z n EC x y ⎧=--+=⎪⎨=-+=⎪⎩ ，令1x =，则1,2y z ==，所以平面1D EC 的一个法向量为(1,1,2)n =，又平面1DCD 的一个法向量为(1,0,0)DA =，所以·cos ,6·DA n DA n DA n===，所以平面1D EC 与平面1DCD所成的夹角的余弦值为6；【小问2详解】设AE m =，则11(0,0,1),(1,,0),(0,2,0),(0,0,0),(1,0,1)E m C D A D ，则11(1,,1),(1,2,0),(02),(1,0,1)ED m EC m m DA =--=--≤≤=，设平面1D EC 的一个法向量为(,,)n x y z =，则1·0·(2)0n ED x my z n EC x m y ⎧=--+=⎪⎨=-+-=⎪⎩ ，令1y =，则2,2x m z =-=，所以平面1D EC 的一个法向量为(2,1,2)n m =-，设直线1A D 与平面1D EC 所成的角为θ，则11||sin ||||n DA n DA θ=== 令4[2,4]m t -=∈，则sin θ====，当2t =时，sin θ取得最小值，最小值为5.18.（1）13（2）281（3）49【分析】（1）根据题意可画出树状图，得到甲得2分情况有9种，从而可求解；（2）游戏经过两局后甲恰得3分且为唯一获胜者的情况有2种：①第一局甲得2分，第二局甲得1分，则第一局乙丙得负一分，第二局得1分，②第一局甲得1分，第二局甲得2分，则第一局乙丙得1分，第二局乙丙得负1分，然后求出每种情况的概率从而可求解；（3）游戏经过两局就结束总共有4种情况：①仅1人得3分，②有2人得分为3分，③仅1人得4分，④有2人分别得4分，然后求出每种情况的概率从而可求解.【小问1详解】根据题意，画出树状图，如图：所以每局中共有27种情况，其中甲在一局中得2分的情况有（出手势顺序按甲乙丙）：（剪刀、剪刀、布）、（剪刀、布、剪刀）、（剪刀、布、布）、（石头、石头、剪刀）、（石头、剪刀、石头）、（石头、剪刀、剪刀）、（布、布、石头）、（布、石头、布）、（布、石头、石头）、一共有9种情况，所以甲在一局中得2分的概率191 273P==.【小问2详解】游戏经过两局后甲恰得3分且为唯一获胜者的情况有2种：①第一局甲得2分，第二局甲得1分：则乙第一局得负1分，第二局得1分；则丙第一局得负1分，第二局得1分；由（1）中树状图可知满足情况有：第一局：（剪刀、布、布）、（石头、剪刀、剪刀）、（布、石头、石头）、第二局：（剪刀、剪刀、剪刀）、（布、布、布）、（石头、石头、石头）此时概率为331272781⨯=种情况，②第一局甲得1分，第二局甲得2分，则第一局乙丙得1分，第二局乙丙得负1分，则乙第一局得1分，第二局得负1分；则丙第一局得1分，第二局得负1分；由（1）中树状图可知满足情况有：第一局：（剪刀、剪刀、剪刀）、（布、布、布）、（石头、石头、石头）第二局：（剪刀、布、布）、（石头、剪刀、剪刀）、（布、石头、石头）、此时概率为331272781⨯=，综上所述：游戏经过两局后甲恰得3分且为唯一获胜者的概率2112818181P =+=.【小问3详解】游戏经过两局就结束总共有4种情况：①仅1人得3分，记事件为A ，则()2238127P A =⨯=；②有2人得分为3分，记事件为B ，()33232272727P B ⎛⎫=⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭③仅1人得4分，记事件C ：一人得4分，另两人各负2分：3313272727⎛⎫⨯⨯=⎪⎝⎭，一人得4分，一人得负2分，一人得1分：334322272727⎡⎤⎛⎫⨯⨯⨯⨯= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，一人得4分，另两人各1分：33232272727⎛⎫⨯⨯⨯=⎪⎝⎭，()142727272727P C =++=；④有2人分别得4分，记为事件D ：则()3313272727P D ⎛⎫=⨯⨯=⎪⎝⎭综上所述：游戏经过两局就结束的概率322714272727279P =+++=.19.（1）10（2）2（3）（i ）16；（ii ）2π3【分析】（1）利用题中概念分别计算出直线方向向量与平面法向量，然后利用线面角与直线方向向量和平面法向量所成角的关系计算即可；（2）先计算平面法向量，找到平面上一点A 然后利用向量的投影计算即可；（3）（i ）先建立等式，然后画出所表示的面，计算所围成的图形的面积即可；（ii ）因为是一个完全对称的图形，只需计算第一卦限内相邻面的二面角，我们需要画出第一卦限内图像，得到其二面角为钝角；【小问1详解】由题可知，直线l的一个方向向量坐标为()1,2m = ，平面1α的一个法向量为)1n =- ，设直线l 与平面1α所成角为β，则有·10sin 10m n m n β===，所以cos 10β=，直线l 与平面1α所成角的余弦值为10.【小问2详解】由题可知平面2α的法向量为()22,3,1n =，且过点()0,0,2A ，因为()1,2,1P ,所以()1,2,1AP =-，所以点P 到平面2α的距离为22·2n AP n ==.【小问3详解】（i ）建立空间直角坐标系，先分别画平面2,0,02,0,02,0,02,0,011x y x y x y x y x y x y x y x y z z +=>>⎧⎪-=><⎪⎪-+=⎨--=<<⎪⎪=⎪=-⎩，然后得到几何体S为21几何体S是底面边长为的正方形，高为2的长方体，故几何体S的体积为216=，（ii ）由（i ）可知，(){,,|2,2,2}N x y z x y y z z x =+≤+≤+≤的图像是一个完全对称的图像，所以我们只需讨论第一卦限的相邻两个平面的二面角即可，此时0,0,0x y z >>>，得{}(,,)2,2,2,0,0,0N x y z x y y z z x x y z =+≤+≤+≤>>>，画出第一卦限图像，显然其二面角为钝角，计算平面2,2x y y z +=+=得二面角，所以两个平面的法向量分别为()()231,1,0,0,1,1n n == ，所以其二面角的余弦值为2323·12n n n n -=- ，所以二面角为2π3【点睛】思路点睛：我们需要按照解析式画出平面，在空间中三点确定一个平面，可以直接找三个点即可，找到的点，最好是三个平面的交点，一般直接建立方程求解即可.。

湖北省部分高中联考协作体2023-2024学年高二上学期期中联考数学试题含解析

湖北省部分高中联考协作体2023-2024学年高二上学期期中联考数学试题含解析

2023年秋季湖北省部分高中联考协作体期中考试高二数学试卷（答案在最后）考试时间：2023年11月17日8:00—10:00试卷满分：150分注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的学校、考号、班级、姓名等填写在答题卡上．2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，答在试题卷、草稿纸上无效．3．填空题和解答题的作答：用0.5毫米黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内，答在试题卷、草稿纸上无效．4．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，将试题卷和答题卡一并交回．第Ⅰ卷选择题（共60分）一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1.空间任意四个点A ，B ，C ，D ，则DA CD CB +-等于（）A.DBB.ABC.ACD.BA【答案】D 【解析】【分析】利用空间向量加法的三角形法则和向量减法的定义即可求出答案.【详解】易知，()BD BD BA DA CD CB DA CD CB DA DA +-=+-=+=+= .故选：D.2.已知空间向量()1,2,3a =- ，则向量a在坐标平面Oxy 上的投影向量是（）A.()0,2,3 B.()0,2,3-C.()1,2,0 D.()1,2,3-【答案】C 【解析】【分析】根据投影向量的定义即可得出正确的答案.【详解】根据空间中点的坐标确定方法知，空间中点(1,2,3)a =-在坐标平面Oxy 上的投影坐标，,x y 轴上坐标不变，z 轴上坐标变为0．所以空间向量(1,2,3)a =-在坐标平面Oxy 上的投影向量是：(1,2,0)故选：C.3.若{},,a b c构成空间的一个基底，则下列向量共面的是（）A.2a b - ，a b c +-，753a b c ++ B.2a b + ，a b c ++ ，753a b c ++ C.2a b + ，a b c ++，624a b c ++ D.2a b - ，a b c +-，642a b c++ 【答案】B 【解析】【分析】根据空间向量基本定理以及空间基底逐一判断四个选项的正误即可得正确选项.【详解】解：对于A ，设()()()()75322a b c a b a b c a b c λμλμμλμ++=-++-=++--，所以2753λμμλμ+=⎧⎪-=⎨⎪-=⎩，此方程组无解，所以2a b - ，a b c +- ，753a b c ++ 不共面；对于B ，因为()()223753a b a b c a b c ++++=++ ，所以2a b + ，a b c ++ ，753a b c ++ 共面；对于C ，设()()()()26+++242++a b c a b a b c a b c λμλμμλμ+++=+=+，所以2+6+24λμμλμ=⎧⎪=⎨⎪=⎩，此方程组无解，所以2a b + ，a b c ++ ，624a b c ++ 不共面；对于D ，设()()()()64222a b c a b a b c a b c λμλμμλμ++=-++-=++--，所以2642λμμλμ+=⎧⎪-=⎨⎪-=⎩，此方程组无解，所以2a b - ，a b c +- ，642a b c ++ 不共面；故选：B4.一入射光线经过点(2,6)M ，被直线l ：30x y -+=反射，反射光线经过点(3,4)N -，则反射光线所在直线方程为（）A.2130x y -+=B.6220x y -+=C.3150x y -+=D.6270x y -+=【答案】D 【解析】【分析】求得点(2,6)M 关于直线l ：30x y -+=的对称点M '的坐标，可得M N '的方程，即反射光线所在直线方程.【详解】解：因为点(2,6)M 关于l ：30x y -+=的对称点为(3,5)M '，所以反射光线M N '的方程为6270x y -+=.故选：D .5.已知直线()()12:3453,:258l m x y m l x m y ++=-++=平行，则实数m 的值为A.7- B.1- C.1-或7- D.133【答案】A 【解析】【分析】对x，y 的系数分类讨论，利用两条直线平行的充要条件即可判断出．【详解】当m=﹣3时，两条直线分别化为：2y=7，x +y=4，此时两条直线不平行；当m=﹣5时，两条直线分别化为：x﹣2y=10，x=4，此时两条直线不平行；当m ≠﹣3，﹣5时，两条直线分别化为：y=34m +-x+534m -，y=25x m -++85m+，∵两条直线平行，∴3245m m +-=-+，534m -≠85m+，解得m=﹣7．综上可得：m=﹣7．故选：A ．【点睛】本题考查了分类讨论、两条直线平行的充要条件，属于基础题．6.已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的一条弦所在的直线方程是50,x y -+=弦的中点坐标是()4,1,M -则椭圆的离心率是A.12B.2C.2D.5【答案】C 【解析】【详解】设直线与椭圆交点为1122(,),(,)A x y B x y ，分别代入椭圆方程，由点差法可知22,M M b y x a k =-代入k=1,M(-4,1),解得2213,42b e a ===，选C.7.已知F 是椭圆22:132x y C +=的右焦点，P 为椭圆C 上一点，(A 为椭圆外一点，则PA PF +的最大值为（）A.4+B.C.4D.【答案】D 【解析】【分析】设椭圆C 的左焦点为()1,0F '-，由已知条件推导出PA PF PA PF +=+'，当点P 在AF '的延长线上时，得PA PF +的最大值．【详解】解： 点F 为椭圆22:132x yC +=的右焦点，()1,0F ∴，点P 为椭圆C 上任意一点，点A 的坐标为(A ，点A 在椭圆外，设椭圆C 的左焦点为()1,0F '-，PA PF PA PF ∴+=+-'，PA PF =+-'，PA PF AF '-'= P 在AF '的延长线上时取等号，PA PF ∴+则PA PF +的最大值为．故选：D ．8.已知空间中三个点()()()1,1,00,1,10,3,0A B C 、、组成一个三角形，分别在线段AB AC BC 、、上取D E F 、、三点，当DEF 周长最小时，直线CD 与直线BE 的交点坐标为（）A .22,2,33⎛⎫ ⎪⎝⎭ B.4114,,999⎛⎫⎪⎝⎭C.77,2,99⎛⎫⎪⎝⎭ D.5135,,999⎛⎫⎪⎝⎭【答案】B 【解析】【分析】当DEF 为三角形ABC 的垂足三角形时候周长最小，此时CD 与BE 的交点即为三角形ABC 的垂心.【详解】如图所示：先固定D 不动，分别作D 关于AC 和BC 的对称点12,D D ，连接12D D ，设12D D 分别与AC 和BC 交于点EF ，利用几何关系可知CD 与BE 的交点即为三角形ABC 的垂心O ，从而,BO AC AO BC ⊥⊥ ，即0,0BO AC AO BC ⋅=⋅=，不妨设垂心(),,O x y z ，坐标原点为()0,0,0G ，则()()()(),1,1,1,2,0,1,1,,0,2,1BO x y z AC AO x y z BC =--=-=--=-，所以有()()210210x y y z ⎧-+-=⎪⎨--=⎪⎩，即垂心O 的坐标满足()21x z y ==-,又,,,A B C O 四点共面，从而由四点共面的充要条件可知，()(),,1x y z GO GA GB GC λμλμ==++-- ()()()()()1,1,00,1,110,3,0,322,λμλμλλμμ=++--=--，从而()23x z y ++=，结合()21x z y ==-，解得()114,2199y x z y ===-=.故选：B.【点睛】关键点点睛：解决问题的关键是分析出当DEF 周长最小时，CD 与BE 的交点即为三角形ABC 的垂心，再求垂心时，除了利用垂直转换为数量积为0以外，还要注意四点共面的充要条件的应用，否则只能算出比例.二、选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）9.下列说法正确的有（）．A.直线32y ax a =-+过定点()3,2B.过点()2,1-且斜率为)12y x +=-C.斜率为2-，在y 轴上的截距为3的直线方程为23y x =-±D.经过点()1,1且在x 轴和y 轴上截距相等的直线方程为20x y +-=【答案】AB 【解析】【分析】求出直线过的定点判断A ；写出直线的点斜式方程判断B ；求出直线斜截式方程判断C ；求出直线方程判断D 作答.【详解】对于A ，直线(3)2y a x =-+恒过定点()3,2，A 正确；对于B ，过点()2,1-且斜率为的直线的点斜式方程为)(1)2y x --=-，B 正确；对于C ，斜率为2-，在y 轴上的截距为3的直线方程为23y x =-+，C 错误；对于D ，经过点()1,1且在x 轴和y 轴上截距相等的直线过原点时，方程为y x =，当该直线不过原点时，方程为20x y +-=，D 错误.故选：AB10.如图，棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F 分别为1DD ，1BB 的中点，则（）A.直线1FC 与底面ABCD 所成的角为30°B.平面1AB E 与底面ABCD 夹角的余弦值为23C.直线1FC 与直线AE 的距离为305D.直线1FC 与平面1AB E 的距离为13【答案】BCD 【解析】【分析】以点D 为坐标原点，建立空间直角坐标系，利用向量法分别求出线面角，面面角，平行线间距离及线面距离.【详解】如图所示，以点D 为坐标原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，1DD 为z 轴，则()1,0,0A ，()11,0,1A ，()11,1,1B ，()10,1,1C ，10,0,2E ⎛⎫ ⎪⎝⎭，11,1,2F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，A 选项：111,0,2FC ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ ，平面ABCD 的法向量()10,0,1AA = ，设直线1FC 与底面ABCD 所成的角为θ，则1111111,52sin cos ,5514FC AA FC AA FC AA θ===⋅⨯，∴直线1FC 与底面ABCD 所成的角不为30°，故A 错误；B 选项：()10,1,1AB = ，11,0,2AE ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ ，设平面1AB E 的法向量(),,n x y z = ，则1=+=01=+=02n AB y z n AE x z ⎧⋅⎪⎨⋅-⎪⎩，令=2z ，则()1,2,2n =- 设平面1AB E 与底面ABCD 的夹角为α，则11122cos =cos ,===133AA n AA n AA n⋅α⋅⨯，∴平面1AB E 与底面ABCD 夹角的余弦值为23，故B 正确；C 选项，()1,1,0FE =--，直线1FC 与直线AE的距离为：5d FE =，故C 正确；D 选项，1//FC AE ，AE ⊂平面1AB E ，1FC ⊄平面1AB E ，又10,1,2AF ⎛⎫= ⎪⎝⎭ ，平面1AB E 的法向量()1,2,2n =-，∴直线1FC 与平面1AB E 的距离为：13AF nh n⋅==，故D 正确；故选：BCD.11.已知圆221:20x y x O +-=和圆222:240O x y x y ++-=的交点为A ，B ，则下列结论中正确的是（）A.公共弦AB 所在的直线方程为0x y -=B.线段AB 的中垂线方程为10x y +-=C.公共弦AB 的长为2D.若P 为圆1O 上的一个动点，则三角形PAB【答案】AB【解析】【分析】先找到圆1O 和圆2O 的圆心和半径，判断两圆的位置关系，确定两圆是否相交.再对两圆作差得到公共弦的直线方程，即可判断A ；线段AB 的中垂线方程为两圆心的连线方程，可判断B ；圆心()11,0O 到直线AB 的距离，再代入弦长公式即可得到C 选项；假设P 的坐标，计算PA ，PB 的长度相加，然后根据式子的特点判断最大值即可判断D 选项.【详解】圆1O 的圆心()1,0，11r =和圆2O 的圆心()1,2-，25r =.则圆心距为124422O O =+=，125151O O -<<+，所以两圆相交.两圆方程相减可得公共弦AB 所在直线的方程为0x y -=，故A 正确；线段AB 的中垂线即为直线12O O ，由()()121,0,1,2O O -，得直线12O O 的方程为10x y +-=，故B 正确；圆心()11,0O 到直线AB 的距离为1222=，则弦长222122AB ⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭，故C 错误；由于AB 的长度和对角P 的角度固定属于定边定角问题：当PA PB =时，三角形的周长最大，此时222212222PA PB ⎛⎫⎛⎫==++=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则周长的最大值为：2222++，即8422++，故D 错误.故选：AB ．12.给定两个不共线的空间向量a 与b ，定义叉乘运算：a b ⨯ ．规定：①a b ⨯ 为同时与a ，b垂直的向量；②a ，b ，a b ⨯ 三个向量构成右手系（如图1）；③sin a b ab a b ⨯=〈〉，．如图2，在长方体1111ABCD A B C D -中，124AB AD AA ===，，则下列结论正确的是（）A.1AB AD AA ⨯=B.AB AD AD AB⨯=⨯ C.111()AB AD AA AB AA AD AA +⨯=⨯+⨯D.11111()ABCD A B C D V AB AD CC -=⨯⋅【答案】ACD 【解析】【分析】根据新定义空间向量的叉乘运算依次判断选项即可.【详解】在长方体1111ABCD A B C D -中，AB =AD =2，14AA=，A ：1AA 同时与AB AD，垂直，sin =22sin 904AB AD AB AD AB AD ︒⨯=⨯⨯= ，，又因为1=4AA ，所以AB AD ⨯= 1AA ，且AB AD ，，1AA构成右手系，故1=AB AD AA ⨯成立，故A 正确；B ：根据a b a b ⨯，，三个向量构成右手系，可知1=AB AD AA ⨯ ，1=-AD AB AA ⨯ ，则AB AD ⨯≠ AD AB ⨯，故B 错误；C ：11()4sin 90AB AD AA AC AA ︒+⨯=⨯== ，且1AC AA ⨯ 与DB 同向共线，124sin 908AB AA ︒⨯=⨯= ，且1AB AA ⨯ 与DA 同向共线，又124sin 908AD AA ︒⨯=⨯= ，且1AD AA ⨯ 与AB 同向共线，即1AD AA ⨯ 与DC 同向共线，所以11AB AA AD AA ⨯+⨯= ，且11AB AA AD AA ⨯+⨯ 与DB同向共线，所以1()AB AD AA +⨯= 11AB AA AD AA ⨯+⨯，故C 正确；D ：长方体1111ABCD A B C D -的体积22416V =创=，2111()416AB AD CC AA CC ⨯⋅=⋅== ，所以1111ABCD A B C D V -=1()AB AD CC ⨯⋅ ，故D 正确.故选：ACD第Ⅱ卷非选择题（共90分）三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.若直线l 的一个方向向量是(d =，则直线l 的倾斜角是________．【答案】π3【解析】【分析】根据直线的方向向量可得直线的斜率，然后可求直线的倾斜角.【详解】因为直线l 的方向向量为(d = π3.故答案为：π3.14.已知圆2221:(0)C x y m m +=>与圆222:24200C x y x y +---=恰有两条公切线，则实数m 的取值范围______.【答案】(5-+【解析】【分析】根据两圆相交，列出不等关系，即可求得结果.【详解】由2224200x y x y +---=，即22(1)(2)25x y -+-=，可知圆2C 的圆心为(1,2)，半径为5；因为圆1C 与圆2C 恰有两条公切线，所以圆1C 与圆2C 相交，则12|5|||5m C C m -<<+，∵12||C C ==解得：55m -<<+m 的取值范围是(5+.故答案为：(5+.15.已知1F ，2F 是椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的两个焦点，P 为C 上一点，且1260F PF ︒∠=，12||5||PF PF =，则C 的离心率为______．【答案】6【解析】【分析】利用椭圆的定义结合已知条件可得15||3PF a =，2||3a PF =，再在12PF F △中利用余弦定理列方程可求出椭圆的离心率.【详解】解：因为12||5||PF PF =，由椭圆的定义可得12||||2PF PF a +=，可得15||3PF a =，2||3a PF =，在12PF F △中，由余弦定理可得：22212121212||||||2||||cos F F PF PF PF PF F PF =+-⋅∠，而1260F PF ︒∠=，即22225514299332a a a c a =+-⨯⨯，可得22712c a =，可得离心率6c e a ==，故答案为：616.我国著名数学家华罗庚说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微．”事实上，很多代数问题可以转化为几何问题加以解决．如：若实数,x y 满足228130x y x +-+=，则x y +的最小值为______，______．【答案】①.4-②.613+【解析】【分析】利用直线和圆的位置关系可得x y +的最小值，把转化为点(),x y到直线10x +-=的距离与它到()1,0A 距离比值的2倍，结合图形可得答案.【详解】由228130x y x +-+=得()2243x y -+=，令x y t +=，则直线x y t +=与圆()2243x y -+=有公共点，所以圆心到直线x y t +=的距离为d =≤44t ≤≤+所以x y +的最小值为4-2=可以看作点(),x y 到直线10x +-=的距离与它到()1,0A 距离比值的2倍，设过点()1,0A 的直线与圆相切于点(),Px y取到最大值.设直线方程为()1y k x =-，由()()22143y k x x y ⎧=-⎪⎨-+=⎪⎩，得()()2222182130k x k x k +-+++=，()()()22228241130k k k ∆=+-++=，解得2k =±，结合图形可知2k =，把2k =代入联立后的方程可得切点(P ，代入可得613+.故答案为：413+.【点睛】关键点点睛：本题求解的关键是把目标式转化为点(),x y到直线10x +-=的距离与它到()1,0A 距离比值的2倍，数形结合可得答案.四、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）17.求分别满足下列条件的直线l 的一般式方程．（1）斜率是34，且与两坐标轴围成的三角形的面积是6；（2）经过点()4,3-，且在两坐标轴上的截距的绝对值相等．【答案】（1）34120x y -±=（2）10x y +-=或70x y --=或340x y +=【解析】【分析】（1）设出直线方程，得到与两坐标轴的交点坐标，根据面积列出方程，求出答案；（2）分截距为0和截距不为0两种情况，设出直线方程，待定系数法求出直线方程.【小问1详解】设直线l 的方程为34y x b =+．令0x =，得y b =．令0y =，得43x b =-，14623b b ⎛⎫∴⋅-= ⎪⎝⎭，解得3b =±．∴直线l 的方程为334y x =±，化为一般式为34120x y -±=．【小问2详解】设直线l 在x 轴、y 轴上的截距分别为,a b ．当0,0a b ≠≠时，直线l 的方程为1x y a b +=． 直线过点()4,3-，431a b∴-=，又a b = ，故431a b a b⎧-=⎪⎨⎪=±⎩，解得11a b =⎧⎨=⎩或77a b =⎧⎨=-⎩∴直线l 的方程为10x y +-=或70x y --=；当0a b ==时，设直线方程为y kx =，直线l 过原点且过点()4,3-，故43k =-，解得34k =-，∴直线l 的方程为34y x =-．综上所述，直线l 的方程为10x y +-=或70x y --=或340x y +=．18.已知以点(1,2)A -为圆心的圆与______，过点(2,0)B -的动直线l 与圆A 相交于M ，N 两点.从①直线270x y ++=相切；②圆22(3)20x y -+=关于直线210x y --=对称；③圆22(3)(2)5x y -+-=的公这3个条件中任选一个，补充在上面问题的横线上并回答下列问题.（1）求圆A 的方程;（2）当||MN =时，求直线l 的方程.【答案】（1）22(1)(2)20x y ++-=；（2）3460x y -+=，或2x =-.【解析】【分析】（1）选①：根据圆的切线性质进行求解即可；选②：根据圆与圆的对称性进行求解即可；选③：根据两圆公切线的性质进行求解即可.（2）利用圆的垂径定理，结合点到直线距离公式进行求解即可.【小问1详解】选①：因为圆A 与直线270x y ++=相切，所以圆A=，因此圆A 的方程为22(1)(2)20x y ++-=；选②：因为圆A 与圆22(3)20x y -+=关于直线210x y --=对称，所以两个圆的半径相等，因此圆A的半径为所以圆A 的方程为22(1)(2)20x y ++-=；选③：设圆22(3)(2)5x y -+-=的圆心为(3,2)P ，两圆的一条公切线为m两圆的圆心与两圆的一条公切线示意图如下：设圆A 的半径r ，因此有：222(r r -+=⇒=，所以圆A 的方程为22(1)(2)20x y ++-=；【小问2详解】三种选择圆A 的方程都是22(1)(2)20x y ++-=，当过点(2,0)B -的动直线l 不存在斜率时，直线方程为2x =-，把2x =-代入22(1)(2)20x y ++-=中，得2y =±，显然2(2+-=，符合题意，当过点(2,0)B -的动直线l 存在斜率时，设为k ，直线方程为(2)20y k x kx y k =+⇒-+=，圆心到该直=因为||MN =2213(2024k +⨯=⇒=，即方程为：3460x y -+=综上所述：直线l 的方程为3460x y -+=，或2x =-.19.如图，四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是矩形，PA ⊥平面ABCD ，2PA AD ==，BD =.（1）求证：BD ⊥平面PAC ；（2）求二面角P CD B --余弦值的大小；（3）求点C 到平面PBD 的距离．【答案】（1）证明见解析（2）22（3）233【解析】【分析】（1）如图建立空间直角坐标系，求出点的坐标，即可得到0AP BD ⋅= ，0AC BD ⋅=，从而得证；（2）（3）利用空间向量法计算可得.【小问1详解】证明：建立如图所示的直角坐标系，则()0,0,0A 、()0,2,0D 、()002P ,,．在Rt BAD 中，2AD =，22BD =，∴222AB BD AD =-=．∴()2,0,0B 、(2,2,0)C ，∴()0,0,2AP = ，(2,2,0)AC =uuu r ，()2,2,0BD =-uu u r ，∵0AP BD ⋅= ，0AC BD ⋅=，即BD AP ⊥，BD AC ⊥，又AP AC A ⋂=，,AP AC ⊂平面PAC ，∴BD ⊥平面PAC ；【小问2详解】由（1）得()0,2,2PD =- ，()2,0,0CD =- ．设平面PCD 的法向量为(),,n x y z = ，则00PD n CD n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ，即22020y z x -=⎧⎨-=⎩，故平面PCD 的法向量可取为()0,1,1n = ，∵PA ⊥平面ABCD ，∴()0,0,2AP = 为平面ABCD 的一个法向量．设二面角P CD B --的大小为θ，由图易得θ为锐角，依题意可得2cos 2n AP n AP θ⋅==⋅ ，即二面角P CD B --余弦值为22．【小问3详解】由（1）得()2,0,2PB =- ，()0,2,2PD =- ，设平面PBD 的法向量为(),,m a b c = ，则220220PB m a c PD m b c ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=-=⎪⎩ ，∴a b c ==，故可取为()1,1,1m = ．∵()2,2,2PC =- ，∴C 到平面PBD的距离为3m PC d m⋅== .20.已知三棱锥-P ABC （如图①）的平面展开图（如图②）中，四边形ABCD为边长为ABE 和BCF △均为正三角形.（1）证明：平面PAC ⊥平面ABC ；（2）棱PA 上是否存在一点M ，使平面PBC 与平面BCM所成角的余弦值为3，若存在，求出PM PA 的值；若不存在，请说明理由.【答案】（1）证明见解析（2）存在，13PM PA =【解析】【分析】（1）设AC 的中点为O ，连接BO ，PO ，则PO ⊥AC ，在△POB 中利用勾股定理逆定理可得PO ⊥OB ，然后由线面垂直的判定定理可证得PO ⊥平面ABC ，再利用面面垂直的判定定理可得结论，（2）由题意可得,,OC OB OP 两两垂直，所以以O 为原点，,,OC OB OP 所在的直线分别为,,x y z 建立空间直角坐标系，设,[0,1]PM PA λλ=∈ ，表示出点M ，再由平面PBC 与平面BCM 所成角的余弦值为223可求出λ的值.【小问1详解】设AC 的中点为O ，连接BO ，PO ．由题意得，PA PB PC ===，PO ＝AO ＝BO ＝CO ＝2．∵在△PAC 中，PA ＝PC ，O 为AC 的中点，∴PO ⊥AC ，∵在△POB 中，PO ＝2，OB ＝2，PB =PO 2+OB 2＝PB 2，∴PO ⊥OB∵AC ∩OB ＝O ，AC ，OB ⊂平面ABC ，∴PO ⊥平面ABC ，∵PO ⊂平面PAC ，∴平面PAC ⊥平面ABC【小问2详解】由PO ⊥平面ABC ，,OB OC ⊂平面ABC ，OB ⊥AC ，∴PO ⊥OB ，PO ⊥OC ，∴以O 为原点，,,OC OB OP 所在的直线分别为,,x y z 建立空间直角坐标系，如图所示，则O （0,0,0），C （2,0,0），B （0,2,0），A （-2,0,0），P （0,0,2），设,[0,1]PM PA λλ=∈ ，则(1)(2,0,22)OM OA OP λλλλ=+-=-- ，∴()2,0,22M λλ--,(22,0,22),(2,2,0)MC BC λλ=+-=- ,设平面BCM 的法向量为(,,)m x y z = ，则(22)(22)0220m MC x z m BC x y λλ⎧⋅=++-=⎪⎨⋅=-=⎪⎩ ，令1x λ=-，则(1,1,1)m λλλ=--+ ，设PBC 的法向量为(,,)n a b c =，因为(0,2,2),(2,0,2)PB PC =-=- ，所以220220n PB b c n PC a c ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=-=⎪⎩ ，令1c =，则(1,1,1)n = 设平面PBC 与平面BCM 所成角为θ，由图可知θ为锐角，则cos cos ,3m n m n m nθ⋅=== ，化简得221230λλ+-=，解得13λ=或37λ=-（舍去）∴存在点M 使平面PBC 与平面BCM 所成角的余弦值为3，且13PM PA =.21.平面直角坐标系内有两点()()4,00,4A B ，存在点P 使得APB ∠恒为45︒．（1）求P 点轨迹方程；（2）若P 点在第三象限，连接PA 交y 轴于点D ，连PB 交x 轴于点C ，四边形ABCD 面积是否为定值，若是请求出定值，若不是请说明理由．【答案】（1）2216x y +=（0x <或0y <）（2）是定值16【解析】【分析】（1）根据题中条件可直接得到点P 的轨迹，根据轨迹类型即可写出方程；（2）设(),P m n ，可求得直线,PA PB 的方程，继而求得点,C D 的坐标，则可求得||,||AC BD ,再利用12ABCD S AC BD =⨯⨯ 计算即可.【小问1详解】145,902APB AOB APB AOB ∴∠=︒∠=︒⇒∠=∠且AB =，定弦定角轨迹为圆，故点P 在以原点为圆心，4为半径的圆上，但P 点应在优弧AB 上，则P 点的轨迹方程为2216x y +=（0x <或0y <）【小问2详解】为定值，证明如下：设(),P m n （0m <或0n <）则4PB n k m -=4:4PB n l y x m -=+4,04m C n -⎛⎫ ⎪-⎝⎭444444m m AC n n -⎛⎫=-=+ ⎪--⎝⎭4PA nk m =-():044PA n l y x m -=--40,4n D m -⎛⎫ ⎪-⎝⎭444444n n BD m m -⎛⎫=-=+ ⎪--⎝⎭()()()22841144448224444ABCD m n m n mn m n S AC BD n m m n ⎡⎤+-++⎛⎫⎛⎫⎣⎦=⨯⨯=++=+ ⎪⎪----⎝⎭⎝⎭ 且2216m n +=则16.ABCD S = 22.生活中，椭圆有很多光学性质，如从椭圆的一个焦点出发的光线射到椭圆镜面后反射，反射光线经过另一个焦点.现椭圆C 的焦点在y 轴上，中心在坐标原点，从下焦点1F 射出的光线经过椭圆镜面反射到上焦点2F ，这束光线的总长度为43e 22<.（1）求椭圆C 的标准方程；（2）若从椭圆C 中心O 出发的两束光线OM 、ON ，分别穿过椭圆上的A 、B 点后射到直线4y =上的M 、N 两点，若AB 连线过椭圆的上焦点2F ，试问，直线BM 与直线AN 能交于一定点吗？若能，求出此定点：若不能，请说明理由.【答案】（1）22143y x +=（2）能，定点为（0，85）【解析】【分析】（1）由条件列方程求,,a b c 可得椭圆方程；（2）联立方程组，利用设而不求法结论完成证明.【小问1详解】由已知可设椭圆方程为22221(0)y x a b a b+=>>，则24a =，122c b ⨯⨯=，222a b c =+又2e <所以21a b c ===，，故椭圆C 的标准方程为22143y x +=【小问2详解】设AB 方程为1y kx =+，由221431y x y kx ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，得22(34)690k x kx ++-=，222(6)36(34)1441440k k k ∆=++=+>设()()1122A x y B x y ，，，，则121222693434k x x x x k k --+==++，..由对称性知，若定点存在，则直线BM 与直线AN 交于y 轴上的定点，由114y y x x y ⎧=⎪⎨⎪=⎩得1144x M y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，则直线BM 方程为211121444()4y x y x x y x y --=--，令0x =，则122114(4)44x y y x y x -=+-()()112211414114x x kx x kx x ⎡⎤-+=+⎢+-⎢⎥⎣⎦112211234(14x kx x x x kx x -=+-+2121124()4x x x x kx x -=-+又12123()2x x kx x +=，则21212112214()4()83554()()22x x x x y x x x x x x --===-++-，所以，直线BM 过定点（0，85），同理直线AN 也过定点8(0,5.则点（0，85）即为所求点.【点睛】解决直线与椭圆的综合问题时，要注意：(1)注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件；。

湖北省荆州市部分学校2024-2025学年高二上学期10月联考数学试题含答案

湖北省荆州市部分学校2024-2025学年高二上学期10月联考数学试题含答案

2024年湖北部分名校高二10月联考高二数学试卷（答案在最后）考试时间：2024年10月10日下午15:00-17:00试卷满分：150分注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.3．非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知()1i 13iz +=+，则复数z 的虚部为（）A.1B.1- C.iD.2【答案】B 【解析】【分析】根据除法运算求得2i z =+，即可得复数z 的虚部.【详解】由题意可得：()()()()13i 1i 13i 42i2i 1i 1i 1i 2z +-++====+++-，所以2i z =-的虚部为1-.故选：B.2.一组数据23，11，14，31，16，17，19，27的上四分位数是（）A.14B.15C.23D.25【答案】D 【解析】【分析】根据上四分位数的概念求值即可.【详解】把数据按从小到大的顺序排列：11，14，16，17，19，23，27，31.因为3864⨯=，∴上四分位数是2327252+=.故选：D3.我国古代数学经典著作《九章算术》中记载了一个“圆材埋壁”的问题：“今有圆材埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何?”现有一类似问题：不确定大小的圆柱形木材，部分埋在墙壁中，其截面如图所示．用锯去锯这木材，若锯口深4CD =-锯道AB =则图中弧 ACB与弦AB 围成的弓形的面积为（）A.4πB.8C.4π8-D.8π8-【答案】C 【解析】【分析】根据弓形的面积等于扇形的面积减去三角形的面积，结合扇形的面积公式即可得解.【详解】由题意4AD BD OD OC CD OA ===-=-+，在Rt AOD 中，222AD OD OA +=，即(2284OA OA +-+=，解得4OA =，故OD =π2AOB ∠=，因此221π1444π8222AOB AOB S S S =-=⨯⨯-⨯=-弓形扇形△.故选：C.4.已知πcos 410θ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，π0,2θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则sin 23πθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭（）A.410+ B.310+ C.410- D.310-【答案】A 【解析】【分析】以π4θ+为整体，利用诱导公式结合倍角公式求sin 2,cos 2θθ，结合两角和差公式运算求解.【详解】因为π0,2θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则θ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭ππ3π,444，且πcos 410θ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，可得πsin 410⎛⎫+==⎪⎝⎭θ，则2ππππ4sin 2sin 2cos 212cos 42445⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-=-+=-+= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦θθθθ，πππππ3cos 2cos 2sin 22sin cos 424445⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-=+=++=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦θθθθθ，所以π14sin 2sin 2232210+⎛⎫-=-= ⎪⎝⎭θθθ，故选：A.5.平行六面体1111ABCD A B C D -的底面ABCD 是边长为2的正方形，且1160A AD A AB ∠=∠=︒，13AA =，M 为11A C ，11B D 的交点，则线段BM 的长为（）A.3B.C.D.【答案】C 【解析】【分析】根据空间向量的线性运算可得11122BM AA AD AB =+-，进而结合数量积运算求模长.【详解】由题意可知：()11111111111112222BM BB B D BB A D A B AA AD =+=+-=+-uuu r uuu r uuuu r uuu r uuuu r uuu u r uuu r uuu r uu u r，则2222211111111122442BM AA AD AB AA AD AB AA AD AA AD AB AD⎛⎫=+-=+++⋅-⋅-⋅ ⎪⎝⎭uuu r uuu r uuu r uu u r uuu r uuu r uu u r uuu r uuu r uuu r uuu r uu u r uuu r11911323201122=+++⨯⨯-⨯⨯-=，所以BM =uuu r故选：C.6.如图，一个正八面体，八个面分别标以数字1到8，任意抛掷一次这个正八面体，观察它与地面接触的面上的数字，得到样本空间为{1,2,3,4,5,6,7,8}Ω=，记事件A =“得到的点数为奇数”，记事件B =“得到的点数不大于4”，记事件C =“得到的点数为质数”，则下列说法正确的是（）A.事件B 与C 互斥B.()58P A B ⋃=C.()()()()P ABC P A P B P C =D.,,A B C 两两相互独立【答案】C 【解析】【分析】对于A ：根据互斥事件的概念分析判断；对于BC ：先求A B ，ABC ，结合古典概型分析判断；对于D ：根据独立事件改了乘法公式可知事件A 与C 不相互独立.【详解】由题意得，事件A 的样本点为{}1,3,5,7，事件B 的样本点为{}1,2,3,4，事件C 的样本点为{}2,3,5,7，对于选项A ：事件B 与C 共有样本点2，3，所以不互斥，故A 错误；对于选项B ：A B 事件样本点n S ，所以()6384P A B ⋃==，故B 错误；对于选项D ：因为()4182P A ==，()12P C =，且AC 事件样本点{}3,5,7，则()38P AC =，可得()()()P AC P A P C ≠，所以事件A 与C 不相互独立，故D 错误；对于选项C ：因为ABC 事件样本点{}3，可得()18P ABC =，所以()()()()P ABC P A P B P C =，故C 正确.故选：C.7.若某圆台有内切球（与圆台的上下底面及每条母线均相切的球），且母线与底面所成角的正弦值为2，则此圆台与其内切球的表面积之比为（）A.43B.2C.136D.73【答案】C 【解析】【分析】根据圆台的内切球的性质以及线面夹角可得213r r =，且14BC r =，以及内切球O的半径r =，再结合圆台和球的面积公式运算求解.【详解】设上底面半径为1r ，下底面半径为2r ，如图，取圆台的轴截面，作CM AB ⊥，垂足为M，设内切球O 与梯形两腰分别切于点,E F ，可知12=+BC r r ，21BM r r =-，由题意可知：母线与底面所成角为π3B ∠=，则211212r r BM BC r r -==+，可得213r r =，即14BC r =，12BM r =，可得1CM =，可知内切球O的半径1r =，可得()222111111π9ππ3426πS r r r r r r =+++⨯=圆台，)22114π12πS r =⨯=球，所以212126π1312π6S r S r ==台球.故选：C.8.在ABC V 中，2BC =，π3BAC ∠=，O 是ABC V 的外心，则OA BC BA CA ⋅+⋅ 的最大值为（）A.2B.103C.113D.4【答案】B【解析】【分析】根据题意结合向量运算可得22OA BC BA CA c ⋅+⋅=-+uu r uu u r uu r uu r，利用正弦定理求边c 的最大值即可.【详解】设角,,A B C 所对的边分别为a ，b ，c ，因为O 是ABC V 的外心，记BC 中点为D ，则有OD BC ⊥，即0OD BC ⋅=，可得()OA BC BA CA OD DB BA BC BA CA⋅+⋅=++⋅+⋅uu r uu u r uu r uu r uuu r uu u r uu r uu u r uu r uu rDB BC BA BC BA CA=⋅+⋅+⋅uu u r uu u r uu r uu u r uu r uu r 222122BC BA c =-+=-+，在ABC V中，由正弦定理可得：sin sin 2c a C BAC ===∠则c C =≤sin 1C =，即π2C =时，等号成立，所以OA BC BA CA ⋅+⋅的最大值为21023-+=.故选：B.二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.下列说法正确的是（）A.“1a =-”是“直线210a x y -+=与直20x ay --=互相垂直”的充要条件B.“2a =-”是“直线220ax y a ++=与直线()110x a y +++=互相平行”的充要条件C.直线sin 20x y α++=的倾斜角θ的取值范围是π3π0,,π44⎡⎤⎡⎫⋃⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭D.若点()1,0A ，()0,2B ，直线l 过点()2,1P 且与线段AB 相交，则l 的斜率k 的取值范围是112k -≤≤【答案】BCD 【解析】【分析】对于A ：根据直线垂直结合充分、必要条件分析判断；对于B ：由题意可得[]tan sin 1,1k θα==-∈-，进而可得倾斜角的范围；对于C ：根据直线平行结合充分、必要条件分析判断；对于D ：根据图形结合斜率公式分析求解.【详解】对于选项A ：当1a =-时，直线10x y -+=与直线20x y +-=斜率分别为1，1-，斜率之积为1-，故两直线相互垂直，即充分性成立；若“直线210a x y -+=与直线20x ay --=互相垂直”，则20a a +=，故0a =或1a =-，所以得不到1a =-，即必要性不成立，故A 错误；对于选项B ：由直线平行得()212a a a a ⎧+=⎨≠⎩，解得2a =-，所以“2a =-”是“直线220ax y a ++=与直线()110x a y +++=互相平行”的充要条件，故B 正确；对于选项C ：直线的倾斜角为θ，则[]tan sin 1,1k θα==-∈-，因为0πθ≤<，所以π3π0,,π44θ⎡⎤⎡⎫∈⋃⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭，故C 正确；对于选项D ：如图所示：可得12PB k =-，1PA k =，结合图象知112k -≤≤，故D 正确；故选：BCD.10.已知函数()cos f x x =，()sin g x x =，下列说法正确的是（）A.函数()()()m x f x g x =⋅在π,π2⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减B.函数()()()m x f x g x =⋅的最小正周期为2πC.函数()()()n x f x g x =+的值域为⎡-⎣D.函数()()()n x f x g x =+的一条对称轴为π4x =【答案】BC 【解析】【分析】根据三角恒等变换、三角函数的单调性、周期性、值域、对称性等知识对选项进行分析，从而确定正确答案.【详解】A 选项，当π,π2x ⎛⎫∈⎪⎝⎭时，()sin g x x =，()1sin cos sin 22m x x x x ==，此时()2π,2πx ∈，而sin y x =在()π,2π上不单调，故A 错误；B 选项，函数()()()()2πcos 2πsin 2πcos sin m x x x x x m x +=+⋅+==，而()sin cos ,2π2ππsin cos ,2ππ2π2πx x k x k m x x x k x k ≤≤+⎧=⎨-+<<+⎩1sin 2,2π2ππ,Z 21sin 2,2ππ2π2π,Z 2x k x k k x k x k k ⎧≤≤+∈⎪⎪=⎨⎪-+<<+∈⎪⎩，所以()m x 的最小正周期为2π，故B 正确；C 选项，当[]()2π,2ππZ x k k k ∈+∈时，()ππ5π2π+,2πZ 444x k k k ⎡⎤+∈+∈⎢⎥⎣⎦，πsin 42x ⎛⎫ ⎪⎡⎤+∈-⎢⎥⎣⎝⎦⎭，所以()πcos sin 1,4⎛⎫⎡=+=+∈- ⎪⎣⎝⎭n x x x x ，当()()2ππ,2π2πZ x k k k ∈++∈时，()π5π9π2π,2πZ 444x k k k ⎛⎫+∈++∈ ⎪⎝⎭，πcos ,142x ⎛⎤⎛⎫+∈- ⎥ ⎪ ⎝⎭⎝⎦，所以()(πcos sin 1,4⎛⎫=-=+∈- ⎪⎝⎭n x x x x ，综上，函数()()()n x f x g x =+的值域为⎡-⎣，故C 正确；D 选项，因为1π3ππ2444⎛⎫⨯-+= ⎪⎝⎭，πππcos sin 444⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭n ，3π3π3πcos sin 0444n ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，所以π4x =不是()n x 的一条对称轴.故选：BC11.在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，E 、F 、G 、H 分别为棱AD 、AB 、BC 、11B C 的中点，则下列结论正确的有（）A.三棱锥E FGH -的外接球的表面积为πB.过点E ，F ，H 作正方体的截面，则截面面积为334C.若P 为线段11B D 上一动点(包括端点)，则直线1PA 与平面1A BD 所成角的正弦值的范围为,33⎣⎦D.若Q 为线段CD 上一动点(包括端点)，过点1A ，G ，Q 的平面分别交1BB ，1DD 于M ，N ，则BM DN +的范围是1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】BCD 【解析】【分析】对于A ：由条件确定三棱锥的外接球的球心位置，求出球的半径，由此可得结论；对于B ：分析可知截面为EFKHLJ ，其截面正六边形，即可得面积；对于C ：根据体积关系求得点P 到平面1A BD 的距离h ，可得1sin hPA =θ，进而分析范围；对于D ：根据平面性质作截面，设CQ CD λλ==，结合平面几何性质分析求解即可.【详解】对于选项A ：由题意可得：,12EF FG EG GH ====，且GH ⊥平面ABCD ，则222EF FG EG +=，即π2EFG ∠=，可知三角形EFG 外接圆的半径为1122r EG ==，所以三棱锥E FGH -的外接球的球心为EH 的中点，可得三棱锥E FGH -的外接球的半径为2R ==，所以其表面积为24π2πR =，故A 错误；对于选项B ：取1111,,BB C D DD 的中点分别为,,K L J ，可知过点E ，F ，H 作正方体的截面为EFKHLJ ，其截面正六边形，边长为2所以其面积为122336sin 602224S =⨯⨯⨯︒=，故B 正确；对于选项C ：设点P 到平面1A BD 的距离为h ，由正方体的性质可得：//BD 11B D ，11B D 不在平面1A BD 内，BD ⊂平面1A BD ，则11//B D 平面1A BD ，当点P 在线段11B D 上运动时，则点P 到平面1A BD 的距离即为点1D 到平面1A BD 的距离，由11D A BD -的体积可得111111132322h ⨯⨯⨯⨯=⨯⨯，解得h ，设直线1PA 与平面1A BD 所成角θ，则11sin h PA =θ，若P 为11B D 的中点时，111PA B D ⊥，()111min122PA B D ==；当点P 为线段11B D 的端点时，()1max 1PA =；即112PA ≤≤，所以1sin ,33h PA θ=∈⎣⎦，故C 正确；对于选项D ：设,QG AB S QG AD T ==I I ，可知平面1A GQ 即为平面1A ST ，则1111,A S BB M AT DD N ==I I，可得1122BG CG BC ===，设CQ CD λλ==，当01λ<<时，由相似三角形知识可得：11BM λλ=+，11211112DN λλλλλλ--==-++，即1BM λλ=+，11DN λλ-=+，且当0λ=或1λ=时，也符合1BM λλ=+，11DN λλ-=+；则11111BM DN λλλλλ-+=+=+++，且01λ≤≤，可得11,112BM DN λ⎡⎤+=∈⎢⎥+⎣⎦，所以BMDN +的取值范围是1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦，D 正确.故选：BCD.【点睛】方法点睛：1、对于三棱锥体积的求解可采用等体积法求解，通过选择合适的底面来求几何体体积的一种方法，多用来解决锥体的体积，特别时三棱锥的体积.2、对于线面角的计算问题可以通过根据直线与平面所成角的定义，结合垂线段与斜线段的长度比求得线面角的正弦值；3、对于球的组合体问题：如果是内切球，球心到切点的距离相等且为半径；如果是外接球，球心到接点的距离相等且为半径.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知()2,1A ，()4,3B 两点到直线10x ay -+=的距离相等，则a =__________．【答案】1或2【解析】【分析】根据题意利用点到直线的距离公式列式求解即可.=353a a -=-，可得353a a -=-或353a a -=-，解得1a =或2a =.故答案为：1或2.13.在空间直角坐标系中已知()1,2,1A ，()1,0,2B ，()1,1,4C -，CD 为三角形ABC 边AB 上的高，则CD =__________．【答案】3【解析】【分析】应用空间向量法求点到直线距离.【详解】()2,1,3AC =-- ，()0,2,1AB =-，则AC =AC AB AD AB⋅=== ，所以3CD ===，故答案为：314.对任意两个非零的平面向量a 和b，定义：22a b a b a b⋅⊕=+，2a b a b b⋅=，若平面向量a ，b满足0a b >> ，且a b ⊕ 和a b 都在集合|,044n n n ⎧⎫∈<≤⎨⎬⎩⎭Z 中，则a b ⊕= __________，cos ,a b =__________．【答案】①.14##0.25②.8或3【解析】【分析】设a 与b 的夹角为θ，分析可得cos 2a b θ⊕< ，进而可得14a b ⊕= ，且1cos θ2>，分析可得1cos 2a b >>θr r e ，即可得34a b = 或1，结合向量夹角公式运算求解.【详解】设a 与b的夹角为θ，因为a b ⊕ 和a b 都在集合|,044n n n ⎧⎫∈<≤⎨⎬⎩⎭Z 中，所以其取值可能为113,,,1424⎧⎫⎨⎬⎩⎭，因为0a b >> ，则222a b a b +> ，可得22cos cos 22a b a ba b a b a bθθ⋅⊕=<=+，因为cos 1θ≤，即cos 122θ≤，可得12a b ⊕< ，所以14a b ⊕= ；又因为cos 2a b θ⊕< ，即cos 124θ>，解得1cos θ2>，因为0a b >>，可得22cos cos 1cos 2a b a a b a b b b b θθθ⋅===>>，即34a b = 或1，当14a b ⊕= 且34a b = 时，即2214a b a b ⋅=+r r r r 且234a b b⋅=r rr ，可得23,4a b b a ⋅==r r r r，所以2234cos ,8a b b a b b a ⋅===⋅r r r r r r r r ；当14a b ⊕= 且1a b =时，即2214a b a b ⋅=+r r r r 且21a b b⋅=r rr ，可得2,a b b a ⋅==r r r r r，所以22cos ,3b a b a a b b ⋅===⋅r rr r r r r r ；综上所述：32cos ,8a b =或33.故答案：14；8或3.四、解答题：本题共5个小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.在ABC V 中，角,,A B C 的对边分别为a ，b ，c ，已知3sin cos 3a C Cb =+.（1）求角B ；（2）若D 是ABC V 边AC 上的一点，且满足BA BD BD BCBA BC⋅⋅=，9425a c +=，求BD 的最大值．【答案】（1）π3B =（2【解析】【分析】（1）根据题意可得3sin cos 3a b C b C =+，利用正弦定理结合三角恒等变换可得tan B =，即可得结果；（2）根据题意结合向量夹角公式可得π6ABD CBD ∠==，利用面积关系可得311BD a c=+，利用乘“1”法结合基本不等式运算求解.【小问1详解】因为3cos 3a C C b =+，即3sin cos 3a b C b C =+，由正弦定理可得sin sin sin cos 3A B C B C =+，且()sin sin sin cos cos sin A B C B C B C =+=+，即sin cos cos sin sin sin sin cos 3B C B C B C B C +=+，可得cos sin sin sin 3B C B C =，且()0,πC ∈，则sin 0C ≠，可得tan B =，又因为0πB <<，所以π3B =.【小问2详解】因为BA BD BD BCBA BC ⋅⋅=，即BA BD BD BC BA BD BC BD⋅⋅= ，可得cos cos ABD CBD ∠=∠，即ABD CBD ∠=∠，可知BD 平分ABC ∠，则π6ABD CBD ∠==，因为ABC ABD BCD S S S =+△△△，即131111222222ac BD a BD c ⨯=⨯⨯+⨯⨯，整理可得311BD a c=+，又因为9425a c +=，则()11114919413131252525c a a c BD a c a c ⎛⎛⎫⎛⎫=++=++≥+= ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝，当且仅当49c aa c=，即53a =，52c =时取等号，可得BD ≤，所以BD 16.已知ABC V 的顶点()1,1A ，边AC 上的高BH 所在直线的方程为80-+=x y ，边AB 上的中线CM 所在直线的方程为53100x y --=．（1）求直线AC 的方程；（2）求ABC V 的面积．【答案】（1）20x y +-=（2）24【解析】【分析】（1）根据两直线垂直，求直线方程.（2）先确定B 、C 点的坐标，可求线段AC 的长度，利用点到直线的距离求点B 到直线AC 的距离，即三角形的高，就可以求出三角形的面积.【小问1详解】由于边AC 上的高BH 所在直线方程为80-+=x y ，所以设直线AC 的方程为0x y c ++=，由于点()1,1A 在直线AC 上，即110c ++=，解得2c =-，所以直线AC 的方程为20x y +-=.【小问2详解】由于点C 既满足直线53100x y --=的方程，又满足20x y +-=的方程，所以5310020x y x y --=⎧⎨+-=⎩，解得2x y =⎧⎨=⎩，故()2,0C ，所以AC ==设(),B a b ，由于点B 满足直线80-+=x y ，故80a b -+=，设AB 的中点坐标为11,22a b ++⎛⎫⎪⎝⎭，满足53100x y --=，所以115310022a b ++⨯-⨯-=，整理得53180a b --=，所以8053180a b a b -+=⎧⎨--=⎩，解得2129a b =⎧⎨=⎩，所以()21,29B ，则点()21,29B 到直线20x y +-=的距离d ==，故112422ABC S AC d =⨯⨯==△.17.某中学举行了一次“数学文化知识竞赛”，高二年级学生参加了这次竞赛.为了了解本次竞赛成绩情况，从中抽取了部分学生的成绩x 作为样本进行统计.将成绩进行整理后，分为五组（5060x ≤<，6070x ≤<，7080x ≤<，8090x ≤<，90100x ≤≤），其中第1组的频数的平方为第2组和第4组频数的积.请根据下面尚未完成的频率分布直方图（如图所示）解决下列问题：（1）若根据这次成绩，年级准备淘汰60%的同学，仅留40%的同学进入下一轮竞赛，请问晋级分数线划为多少合理？（2）从样本数据在8090x ≤<，90100x ≤<两个小组内的同学中，用分层抽样的方法抽取6名同学，再从这6名同学中随机选出2人，求选出的两人恰好来自不同小组的概率．（3）某老师在此次竞赛成绩中抽取了10名学生的分数：12310,,,,x x x x ，已知这10个分数的平均数90x =，标准差5s =，若剔除其中的96和84两个分数，求剩余8个分数的平均数与方差．【答案】（1）73分合理（2）815（3）22.25【解析】【分析】（1）由题意知可得，20.160.8a =计算可求得a ；根据小长方形的面积和为1求得b ，利用频率分布直方图计算第60百分位数即可；（2）利用分层抽样可得两层应分别抽取4人和2人，分别记为a ，b ，c ，d 和A ，B ，列出所有基本事件，根据古典概型计算即可得出结果；（3）根据平均数和方差的计算公式求解即可.【小问1详解】由第1组的频数的平方为第2组和第4组频数的积可知，20.160.8a =，解得0.032a =，又()0.0080.0160.0320.04101b ++++⨯=，解得0.004b =，所以0.032a =，0.004b =，成绩落在[)50,70内的频率为：0.160.320.48+=，落在[)50,80内的频率为：0.160.320.400.88++=，设第60百分位数为m ，则()700.040.60.48m -=-，解得73m =，所以晋级分数线划为73分合理；【小问2详解】由图可知，按分层抽样法，两层应分别抽取4人和2人，分别记为a ，b ，c ，d 和A ，B ，则所有的抽样有：()Ω,,,,,,,,,,,,,,AB Aa Ab Ac Ad Ba Bb Bc Bd ab ac ad bc bd cd =，共15个样本点，A =“抽到的两位同学来自不同小组”，则{},,,,,,,A Aa Ab Ac Ad Ba Bb Bc Bd =共8个样本点，所以()815P A =.【小问3详解】因为90x =，所以12101090900x x x +++=⨯= ，所以()2222221210190510s x x x =+++-= ，所以222121081250x x x +++= ，剔除其中的96和84两个分数，设剩余8个数为1x ，2x ，3x ，…，8x ，平均数与标准差分别为0x ，0s ，则剩余8个分数的平均数：1238090096849088x x x x x ++++--=== ，方差：()()22222222012811908125096849022.2588s x x x =+++-=---= 18.在ABC V 中，90C ∠=︒，3BC =，6AC =，D ，E 分别是AC ，AB 上的点，满足DE BC ∥，且DE 经过ABC V 的重心．将ADE V 沿DE 折起到1A DE △的位置，使1A C CD ⊥，存在动点M 使()110A M A D λλ=>如图所示．（1）求证：1A C ⊥平面BCDE ；（2）当12λ=时，求二面角C MB E --的正弦值；（3）设直线BM 与平面1A BE 所成线面角为θ，求sin θ的最大值．【答案】（1）证明见解析（2）20（3）148【解析】【分析】（1）先证DE ⊥平面1A CD ，可得1DE A C ⊥，进而可得1A C ⊥平面BCDE ；（2）建系标点，分别求平面BMC 、平面BME 的法向量，利用空间向量求二面角；（3）根据题意可得()2,3,BM λ=-和平面1A BE 的法向量，利用空间向量求线面夹角.【小问1详解】因为90C ∠=︒，则AC BC ⊥，且DE BC ∥，可得AC DE ⊥，将ADE V 沿DE 折起到1A DE △的位置，始终有1DE A D ⊥，DECD ⊥，因为1A D CD D = ，1A D ，CD ⊂平面1A CD ，所以DE ⊥平面1ACD ，由1A C ⊂平面1A CD ，可得1DE A C ⊥，且1A C CD ⊥，CD DE D = ，CD ，DE ⊂平面BCDE ，所以1A C ⊥平面BCDE .【小问2详解】由（1）可知，1AC ，CD ，CB 两两垂直，翻折前，因为DE 经过ABC V 的重心，且DE BC ∥，所以2AD CD =，所以2CD =，4=AD ，223DE BC ==，翻折后14A D =，由勾股定理得1AC ===以C 为原点，直线CD ，CB ，1CA 分别为x ，y ，z轴建立空间直角坐标系，则()0,0,0C，(10,0,A ，()2,0,0D，(M ，()0,3,0B ，()2,2,0E ，可得(CM =，(1,3,MB =- ，()2,1,0BE =-，设平面BMC 的法向量 =1,1,1，则11111030m CM x m MB x y ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=-+-=⎪⎩ ，令11z =，则110x y==，可得()m =，设平面BME 的法向量 =2,2,2，则222223020n MB x y n BE x y ⎧⋅=-+-=⎪⎨⋅=-=⎪⎩，令21x =，则222,y z ==，可得1,n ⎛= ⎝，可得10cos ,20m nm n m n⋅====⋅，且[],0,πm n ∈，则sin ,20m n ===，所以二面角C MB E --的正弦值为39020.【小问3详解】由（2）可知(10,3,BA =- ，()2,1,0BE =-，(12,0,A D =- 设平面1A BE 的法向量()333,,p x y z =，则133333020p BA y p BE x y ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-=⎪⎩，令31x =，则331,y z ==，可得(1,p =，且((()110,3,2,0,2,3,BM BA A D λλλ=+=-+-=-，因为直线BM 与平面1A BE 线面角为θ，则sin cos ,p BM p BM p BM θ⋅==⋅8=当且仅当74λ=时，等号成立，所以sin θ的最大值为148.19.对于一组向量123,,,n a a a a （*n ∈N 且3n ≥），令123n n S a a a a =++++ ，如果存在{}()1,2,3,,m a m n ∈ ，使得m n m a S a ≥- ，那么称m a，是该向量组的“H 向量”．（1）设()()*,n a x n n n =+∈N ，若3a 是向量组1a ，2a ，3a 的“H 向量”，求实数x 的取值范围；（2）若()*ππcos ,sin 22n n n a n ⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭N ，向量组1a ，2a ，3a ， ，11a 是否存在“H 向量”？若存在求出所有的“H 向量”，若不存在说明理由；（3）已知1a ，2a ，3a 均是向量组1a ，2a ，3a 的“H 向量”，其中1x a ⎫=⎪⎭，2x a -⎫=⎪⎭，求证：222123a a a ++ 可以写成一个关于e x 的二次多项式与一个关于e x -的二次多项式的乘积．【答案】（1）[]2,0-（2）存在“H 向量”，分别为2a ，6a ，10a （3）证明见解析【解析】【分析】（1）根据题意分析可得312a a a ≥+ ，结合模长公式列式求解即可；（2）根据题意可得1n a = ，4n n a a +=uuu r u u r ，结合111m s a -= 可得π1cos 22m ≤-，即可分析证明；（3）根据题意分析可得1230a a a ++=，3x x a -⎛⎫= ⎪⎝⎭，结合模长公式分析证明即可.【小问1详解】由题意可得：33312a S a a a ≥-=+ ，因为(),n a x n n =+ ，则()()()121,2,223,3a a x x x x +=+++=+ ，()33,3a x =+ ，则22312a a a ≥+ ，即()()2239239x x ++≥++，整理得()360x x +≤，解得20x -≤≤，所以实数x 的取值范围为[]2,0-.【小问2详解】存在，理由如下：假设存在“H 向量”m a ，因为ππcos ,sin 122n n n a ⎛⎫== ⎪⎝⎭，且444ππcos π,sin πcos ,sin 2222n n n n n n a a +++⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ，则由题意，只需要使得111m S a -= ，又因为()()()()()12340,11,00,11,00,0a a a a +++=+-+-+= ，则()11123111231,0S a a a a a a a =++++=++=- ，可得11ππ1cos ,sin 22m m m S a ⎛⎫-=--- ⎪⎝⎭，由ππ1cos ,sin 122m m ⎛⎫--≤ ⎪⎝⎭1≤，整理得π22cos 12m +≤，解得π1cos 22m ≤-，又因为{}*|11m x m ∈∈≤N ，即2m =，6，10满足上式，所以存在“H 向量”，分别为2a ，6a ，10 a 满足题意；【小问3详解】由题意得：123a a a ≥+ ，22123a a a ≥+ ，即()22123a a a ≥+ ，222123232a a a a a ≥++⋅ ，同理222213132a a a a a ≥++⋅ ，222312122a a a a a ≥++⋅ ，三式相加并化简得：2221231213230222a a a a a a a a a ≥+++⋅+⋅+⋅，即()21230a a a ++≤ ，1230a a a ++≤ ，所以1230a a a ++= ，由1230a a a ++=，可得3x x a -⎛⎫= ⎪⎝⎭，可得()()222222222123e e e e e e 1e e 2222222x x x x x x x x a a a ----+++=++=++++ ()()()222e e 1e e 1e e 1e e 1x x x x x x x x ----=++=+-=+++-()()2211e 1e 1e e 1e e 1e e x x x x x x x x ----⎛⎫⎛⎫=+++-=++-+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，所以222123a a a ++ 可以写成一个关于e x 的二次多项式与一个关于e x -的二次多项式的乘积.【点睛】方法点睛：新定义题型的特点是通过给出一个新概念，或约定一种新运算，或给出几个新模型来创设全新的问题情景，要求考生在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的.遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决.。

湖北高二名校联考数学参考答案

湖北高二名校联考数学参考答案

2023年春“湖北省部分重点中学三月智学联合检测”高二三月联考数学参考答案题号123456789101112答案ADBCACBDACDBDBCDABD1．A ．2．D ．由71274...721S a a a a =+++==，则43a =，∴公差4212a ad -==-.3．B.焦点在y 轴正半轴上，故焦点坐标10,16⎛⎫⎪⎝⎭.4．C ．先分析函数()f x 有两个零点，再探讨函数()f x 的单调性与极值情况即可判断.5．A ．6．C.对称涂色.7．B ．转化为直线y x =与曲线()ln f x x =上的点的距离最小值d m ≥，利用导数的几何意义求()f x 上斜率为1的切线上切点坐标，再应用点线距离公式求最小距离，即可得m 的范围.8．D ．根据题意写出直线方程，与双曲线方程联立，运用韦达定理与223AF F B =构建出关于a 、b 、c 的齐次方程，根据离心率公式即可解得.9．ACD.当13m =时,直线l 为490x y ++=,设点(,94)P t t --,圆22:4C x y +=的圆心()0,0C ,半径为2r =,∴两圆的公共弦的方程为4940tx ty y -+++=整理得(4)940y x t y -++=,即40940y x y -=⎧⎨+=⎩,解之可得.10．BD.11．BCD.12．ABD.对于A 、B ，根据函数()ln xf x x=的单调性，即可判断；对于C ，构造函数()(e+)(e ),(0,e)g t f t f t t =--∈，判断其单调性，结合1221ln ln =x x x x ，()()12f x f x =即可判断；对于D ，将()()12f x f x =展开整理得12121212(),ln ln ln ln ()m x x x x x x x m x +=+-=-，然后采用分析法的思想，推出1121222(1)ln 1x x x x x x ->+，构造函数2(1)(1)ln u t t t t --=+，求其最小值即可判断.13．2.根据数列的递推公式，确定数列的前几项，由此确定数列的周期，再求2023a .14．45.建立空间直角坐标系，用向量法求解异面直线1AB 与1CD 所成角的余弦值.15．52π.16．2e .不等式221e ln ln (0)2x kx x x k k -+≥+>变形为：())22e lne )lnxx +≥+，所以2ln y x x =+在()0,∞+单调递增，故e x≥，变形得到2e x k x ⎛⎫≥ ⎪⎝⎭，构造()e xg x x =，0x >，则()()2e 1x x g x x -'=，当1x >时，()0g x '>，当01x <<时，()0g x '<，故()e xg x x =在1x =处取得极小值，也是最小值，可知mine e x x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，故2e k ≤，k 的最大值为2e .17．(1)30;...................5分(2)70....................10分18．（1）当2n ≥时，11111122222n n n n n n a T T a a T --==-=-，1122n n T T-∴=-，即12n n T T --=，又当1n =时，11111112a T a a -==，得113T a ==，∴数列{}n T 是以3为首项，2为公差的等差数列；...................5分（2）由（1）得21n T n =+，则()()()()()11111212342123n nn n b n n n n -+-⎛⎫==+ ⎪++++⎝⎭，()()1111111111143557792123n n n S n n ⎡⎤∴=--++--+⋯+-+-⎢⎥++⎣⎦()()1111111432381212n nn n ⎡⎤=-+-=--⎢⎥++⎣⎦....................12分19．（1）当1a =时，()1x f x xe x =-+，则()()'11xf x x e =+-.当(),0x ∈-∞时，因为11x +<，且01x e <<，所以()11xx e +<，所以()()'110xf x x e =+-<，()f x 单调递减.当()0,x ∈+∞时，因为11x +>，且e 1x >，所以()11x x e +>，所以()()'110xf x x e =+->，()f x 单调递增.所以当1a =时，()f x 的单调递减区间为(),0∞-，单调递增区间为()0,∞+....................5分（2）()ln f x a x ≥恒成立等价于()ln 00xxe ax a a x x -+->≥恒成立，令()()ln 0xh x xe ax a a x x =-+->，则()min 0h x ≥.①当0a =时，()xh x xe =>0在区间()0,∞+上恒成立，符合题意；②当0a >时，()()()()1'11x x xa a h x x e a x e x x x xe a x +⎛⎫⎛⎫⋅=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝-⎭=+-=+-，令()x g x xe a =-，'()(1)x g x x e =+，即()g x 在()0,∞+上单调递增，(0)0,()(1)0a a g a g a ae a a e =-<=-=->，则存在0(0,)x a ∈，使得000()00xg x x e a =⇒-=，此时00xx e a =，即00ln ln x x a +=，则当()00,x x ∈时，()'0h x <，()h x 单调递减；当()0,x x ∈+∞时，()'0h x >，()h x 单调递增.所以()()()00000min ln 2ln xh x x e a x a h x a x a a ==-++=-.令()min 0h x ≥，得2ln 0a a a -≥.因为0a >，所以20a e <≤.综上，实数a 的取值范围为20,e ⎡⎤⎣⎦....................12分20．（1）连结PO ．因为点P 为圆锥的顶点，所以PO ⊥平面ABC ．分别取AC ，BC 的中点M ，N ，连接PM ，OM ，PN ，ON ，则在圆O 中，OM AC ⊥．由PO ⊥平面ABC ，得PO AC ⊥．又PO OM O = ，故AC ⊥平面PMO ，所以AC PM ⊥．所以∠=PMO α．同理，∠=PNO β．于是22222222111tan tan 2⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+=== ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭OM ON OC OC OP OP OP AP OA αβ．...................6分（2）因为tan 3tan βα=，即3,OP OPON OM=所以3,OM ON =即3,BC AC =222,23,2AC BC AB BC AC +=∴== ．在圆O 中，CA CB ⊥，以点C 为坐标原点，CA 所在直线为x 轴，CB 所在直线为y 轴，过C 且垂直于平面ABC 的直线为z 轴建立空间直角坐标系C xyz -．则(0,0,0)C ，(2,0,0)A ，(0,23,0)B ．又因为PO ⊥平面ABC ，所以OP//z 轴，从而(1,3,22)P ．则(2,0,0)CA =，(0,23,0)= CB ，(1,3,22)=CP ．设平面PAC 的法向量为(,,)m x y z = ，则00m CA m CP ⎧⋅=⎨⋅=⎩ ，即203220x x y z =⎧⎪⎨++=⎪⎩，不妨取22y =，则0x =，3z =-，此时(0,22,3)m =-．设平面PBC的法向量为(,,)n m n t = ，则00n CB n CP ⎧⋅=⎨⋅=⎩ ，即2303220n m n t ⎧=⎪⎨++=⎪⎩不妨取22m =，则0n =，1t =-，此时(22,0,1)n =- ．所以333cos ,33||||113m n m n m n ⋅<>==⋅⨯．所以二面角A PC B --的正弦值为46633．...................12分21．（1）证明：椭圆22132x y +=，可知223,2a b ==，2321c =-=由AC BD ⊥，知点00(,)P x y 在以线段12F F 为直径的圆上，故22001x y +=,所以222200001132222x y x y +≤+=<....................4分（2）①当直线BD 的斜率k 存在且0k ≠时，则直线BD 的方程为(1)y k x =+，联立22(1)132y k x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y 得，2222(32)6360k x k x k +++-=设11(,)B x y ,22(,)D x y ，则2122632k x x k +=-+，21223632k x x k -=+由弦长公式得12|BD x x =-由AC BD ⊥，垂足为P ，知AC 的斜率为1k -，可知2211||132k AC k⎫+⎪⎝⎭=⨯+则四边形ABCD的面积22222222111)41)24(1)223223(32)(23)k k k S BD AC k k k k +++=⋅⋅=⨯⨯=++++2222224(1)9625(32)(23)4k k k +≥=⎡⎤+++⎣⎦，当且仅当223223k k +=+，即21k =时，等号成立.②当直线BD 的斜率不存在或斜率0k =时，此时四边形ABCD 的面积2211222422b S BD AC a b a=⋅⋅=⋅⋅==.故四边形ABCD 的面积的最小值为9625...................12分22．（1）()e 2xf x a '=-，由于()00f =，故()010e 21202f a a a '=-=-=⇒=，当12a =时，()e 10xf x x =--≥恒成立，此时令()e 10x f x '=->，故()e 1xf x x =--在0x =处取得极小值，也是最小值，且()()0min 0=e 010f f x =--=，故()0f x ≥对x ∈R 恒成立；当12a >时，()1e 21e x x f x ax x =-<---，则()0010e 0f -<-=，显然不合要求，舍去当12a <时，令()e 20x f x a '=->，解得：ln 2x a >，令()e 20x f x a '=-<，解得：ln 2x a <，其中ln20a <，则()e 21xf x ax =--在(),ln 2a -∞上单调递减，在()ln 2+a ∞，上单调递增，又()00f =，故当()ln 2,0x a ∈时，()0f x <，不合题意，舍去；综上：实数a 取值集合为12⎧⎫⎨⎬⎩⎭....................5分（2）设()sin 0g x x x =-≥，()()1cos 0,g x x g x =≥'-在[)0,x ∈+∞上单调递增，所以()min ()00g x g ==.所以11sin 11n n k k n n ++⎛⎫⎛⎫< ⎪⎪++⎝⎭⎝⎭，*N ,N k n *∈∈，则11112sin sin sin 111n n n n n n n +++⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪⎪+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭11112111n n n n n n n +++⎛⎫⎛⎫⎛⎫<+++ ⎪ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭故只需证明：111112311111e 1n n n n n n n n n ++++⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++<⎪⎪ ⎪++++-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭即可由（1）可知，()e 10xf x x =--≥，则1e x x +≤，()11(1)en xn x ++∴+≤，令()11,2,3,,1k x k n n +==+ ，则()11e 1,2,3,,1en kn k k n n ++⎛⎫<=⋯ ⎪+⎝⎭，()11112311231e ee e1111en n n n nn n n n n n +++++⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴++++<++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭()()11111e 1e 1e e 1e e1ee e 1e 1e 1n n n n n +++---=⋅==<----，11111231sin sin sin sin 1111e 1n n n n n n n n n ++++⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴++++<⎪⎪⎪⎪++++-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭....................12分。

湖北省新高考联考协作体2024年高二9月起点考试 数学试题(含答案)

湖北省新高考联考协作体2024年高二9月起点考试 数学试题(含答案)

2024年高二9月起点考试高二数学试卷命题学校：安陆一中命题教师：审题学校：安陆一中考试时间：2024年9月5日下午14：30~16：30试卷满分：150分注意事项：1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.3.非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.孝感市某高中有学生1200人，其中高一年级有学生400人，高二年级有学生600人，现采用分层随机抽样的方法抽取120人进行问卷调查，则被抽到的高二年级学生人数比高一年级学生人数多()A .20B .30C .40D .502.已知复数z 满足：(12)34i z i +=-，则复数的虚部为()A .2iB .2-C .2D .2i-3.已知()2,0a →=，)2,2(=→b ，则a →在b →上的投影向量为()A .)B .()1,1C .()2,1D .()2,24.已知圆锥的侧面积为2π，圆锥的侧面展开图是一个圆心角为3π的扇形，则该圆锥的底面圆半径为()A .33B .233C D .4335.掷两枚质地均匀的骰子，设A=“第一枚出现小于4的点”，B=“第二枚出现大于3的点”，则A 与B 的关系为()A .互斥B .互为对立C .相互独立D .相等6.在三棱锥S ABC -中，三个侧面与底面ABC 所成的角均相等，顶点S 在ABC △内的射影为O ，则O 是ABC △的()A .垂心B .重心C .内心D .外心7.如图，一块矿石晶体的形状为四棱柱1111ABCD A B C D -，底面ABCD是正方形，31=CC ，3CD =，且1160C CB C CD ∠=∠=︒，则向量1A C的模长为()AB .34C .52D .538.已知单位向量a ，b满足0a b b -+⋅= ，则→→+b a t 2(t R ∈)的最小值为()A .3B .3C .3D .23二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.关于向量a ，b，下列命题中正确的是()A .若a b =，则a b = ．B .若a b =- ，则a b ∥．C .若a b >，则a b > ．D .若→→→→==c b b a ,，则→→=c a ．10.如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，点P 在线段11C D 上运动，则下列选项中正确的是()A .AP ．B ．平面1BB P ⊥平面1111A BCD ．C .若P 是11CD 的中点，则二面角11P B B C --的余弦值为255．D ．若114D P =，则直线1B P 与1BD 所成角的余弦值为．11.在一种数字通讯中，信号是由数字0和1的序列组成的。

2024-2025学年湖北省“问津教育联合体”高二9月联考数学试卷(含答案)

2024-2025学年湖北省“问津教育联合体”高二9月联考数学试卷(含答案)

2024-2025学年湖北省“问津教育联合体”高二9月联考数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.点M(3,−2,1)关于平面yOz 对称点的坐标是( )A. (−3,2,1)B. (−3,2,−1)C. (−3,−2,−1)D. (−3,−2,1)2.从小到大排列的数据1，2，3，x ，4，5，6，7，8，y ，9，10的下四分位数为( )A. 3B. 3+x2C. 8D. 8+y23.设m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中正确的是( )A. 若m ⊥n ，m ⊥α，则n//α B. 若m//n ，m ⊥α，则n ⊥αC. 若m//α，m//β，则α//βD. “直线a ，b 不相交”是“直线a ，b 为异面直线”的充分不必要条件4.在下列条件中，点M 与A ，B ，C 三点一定共面的是( )A.B. OM =15OA +13OB +12OCC. OM =OA −OB −OCD. OM +OA +OB +OC =05.现利用随机数表法从编号为00，01，02，⋯，18，19的20支水笔中随机选取6支，选取方法是从下列随机数表第1行的第9个数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的水笔编号小于10的概率为( )95226000 49840128 66175168 39682927 43772366 2709662392580956 43890890 06482834 59741458 29778149 64608925A. 16B. 13C. 12D. 236.某校科技社利用3D 打印技术制作实心模型.如图，该模型的上部分是半球，下部分是圆台.其中半球的体积V 为144πcm 3，圆台的上底面半径及高均是下底面半径的一半.打印所用原料密度ρ为1.6g/cm 3，不考虑打印损耗，制作该模型所需原料的质量m 约为( )(1.6π≈5，m =ρV)A. 3240g B. 1665g C. 1035gD. 315g7.正方体ABCD−A 1B 1C 1D 1中，E 为AB 中点，则直线A 1E ，C 1D 所成角的正弦值为( )A.33B. 12C. 31010D.15158.在直三棱柱ABC−A 1B 1C 1中，∠BAC =90∘且BB 1=4，已知该三棱柱的体积为23，且该三棱柱的外接球表面积为20π，若将此三棱柱掏空(保留表面，不计厚度)后放入一个球，则该球的最大半径为( )A.3−12B.5−12C.32D. 1二、多选题：本题共3小题，共18分。

湖北省新高考联考协作体2024-2025学年高二上学期10月联考数学试卷(含答案)

湖北省新高考联考协作体2024-2025学年高二上学期10月联考数学试卷(含答案)

2024-2025学年湖北省“新高考联考协作体”高二10月联考数学试卷❖一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知(1+i )z =1+3i ，则复数z 的虚部为( )A. 1B. ―1C. iD. 22.一组数据23，11，14，31，16，17，19，27的上四分位数是( )A. 14B. 15C. 23D. 253.我国古代数学经典著作《九章算术》中记载了一个“圆材埋壁”的问题：“今有圆材埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何?”现有一类似问题：不确定大小的圆柱形木材，部分埋在墙壁中，其截面如图所示.用锯去锯这木材，若锯口深CD =4―2 2，锯道AB =4 2，则图中弧ACB 与弦AB 围成的弓形的面积为( )A. 4πB. 8C. 4π―8D. 8π―84.已知cos(θ+π4)=― 1010，θ∈(0,π2)，则sin(2θ―π3)=( )A. 4+3310B. 3+4310C. 4―3310D. 3―43105.平行六面体ABCD ―A 1B 1C 1D 1的底面ABCD 是边长为2的正方形，且∠A 1AD =∠A 1AB =60∘，AA 1=3，M 为A 1C 1，B 1D 1的交点，则线段BM 的长为( )A. 3B.10 C.11 D. 236.如图，一个正八面体，八个面分别标以数字1到8，任意抛掷一次这个正八面体，观察它与地面接触的面上的数字，得到样本空间为Ω={1,2,3,4,5,6,7,8}，记事件A =“得到的点数为奇数”，记事件B =“得到的点数不大于4”，记事件C =“得到的点数为质数”，则下列说法正确的是( )A. 事件B 与C 互斥B. P (A ∪B )=58C. P (ABC )=P (A )P (B )P (C )D. A ，B ，C 两两相互独立7.若某圆台有内切球(与圆台的上下底面及每条母线均相切的球)，且母线与底面所成角的正弦值为32，则此圆台与其内切球的表面积之比为( )A. 43B. 2C. 136D. 738.在△ABC 中，BC =2，∠BAC =π3，O 是△ABC 的外心，则OA ⋅BC +BA ⋅CA 的最大值为( )A. 2B. 103C. 113D. 4二、多选题：本题共3小题，共18分。

湖北省2023-2024学年高二上学期9月联考数学试题含解析

湖北省2023-2024学年高二上学期9月联考数学试题含解析

三校九月联考高二数学试卷（答案在最后）注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合{}2560A x x x =-->，{}45B x x =-<≤，则A B ⋃=（）A.{}46x x -<< B.{}16x x -<< C.{|5x x ≤或6}x > D.{}41x x -<<-【答案】C 【解析】【分析】求出集合A ，根据集合的并集运算即可求得答案.【详解】由题意得{}2560{6A x x x x x =-->=或1}x <-，而{}45B x x =-<≤，故{|5A B x x =≤ 或6}x >，故选：C 2.复数5i 2-的共轭复数的虚部是（）A.1-B.1C.i- D.i【答案】B 【解析】【分析】根据复数的除法运算求得5i 2-的结果，即可得其共轭复数，即可得答案.【详解】由题意得55(2i)2i i 25--==---，故复数5i 2-的共轭复数为2i -+，其虚部为1，故选：B3.甲、乙两套设备生产的同类型产品共3200件，现采用分层抽样的方法从中抽取一个样本容量为80的样本进行质量检测．若样本中有45件产品由甲设备生产，则乙设备生产的产品总数为（）A.1100件B.1200件C.1400件D.1600件【答案】C 【解析】【分析】由题意求出样本中乙设备生产的产品的占比，即可求得乙设备生产的产品总数.【详解】由题意可知样本中有45件产品由甲设备生产，则有35件产品由乙设备生产，故乙设备生产的产品所占比例为3578016=，则乙设备生产的产品总数为73200140016⨯=（件），故选：C4.已知向量||2a = ，||1b = ，且|2|a b - ，则b 在a方向上的投影向量为（）A.14a B.14a- C.18aD.18a- 【答案】D 【解析】【分析】根据向量的线性运算可得222|2|4410a b a a b b -=-⋅+= ，可求得12a b ⋅=- ，即可利用投影向量得出答案.【详解】∵||2a = ，||1b =，且|2|a b - ，∵222|2|4410a b a a b b -=-⋅+= ，∴44410a b -⋅+= ，12a b ⋅=- ，∴b 在a 方向上的投影向量为21||cos ,||8||||||||||a ab a a b b a b b a a a a b a a ⋅⋅<>=⋅==-，故选：D ．5.已知函数()y f x =是偶函数，(2)y f x =-在[0,2]是单调减函数，则（）A.(1)(2)(0)f f f -<<B.(1)(0)(2)f f f -<<C.(0)(1)(2)f f f <-<D.(2)(1)(0)f f f <-<【答案】C 【解析】【分析】先根据()2y f x =-在[]0,2是单调减函数，转化出()y f x =的一个单调区间，再结合偶函数关于y 轴对称得[]02，上的单调性，结合函数图像即可求得答案【详解】()2y f x =- 在[]0,2是单调减函数，令2t x =-，则[]20t ，∈-，即()f t 在[]20-，上是减函数()y f x ∴=在[]20-，上是减函数函数()y f x =是偶函数，()y f x ∴=在[]02，上是增函数()()11f f -= ,则()()()012f f f <-<故选C【点睛】本题是函数奇偶性和单调性的综合应用，先求出函数的单调区间，然后结合奇偶性进行判定大小，较为基础．6.已知0.302a =.，0.20.3b =，0.3log 0.2c =，则（）A.a b c << B.c a b<< C.c b a<< D.b a c<<【答案】A 【解析】【分析】利用指数函数以及幂函数的单调性比较,a b 大小，根据对数函数的单调性判断c 的范围，即可得答案.【详解】由于0.2x y =在R 上单调递减，故0.30.2020.21a =<<.，而0.2y x =在R 上单调递增，故20.02.10.230.b >>=，即1a b <<；由于0.3log y x =在(0,)+∞上单调递减，故0.30.3log 0.2log 0.31c =>=，故a b c <<，故选：A7.被誉为“中国现代数学之父”的著名数学家华罗庚先生倡导的“0.618优选法”在生产和科研实践中得到了非常广泛的应用，0.618就是黄金分割比512t -=的近视值.有一个内角为36o 的等腰三角形中，较短边与较长边之比为黄金比.则sin126= （）A.B.12C.14- D.14+【答案】D 【解析】【分析】根据题中条件，讨论等腰三角形顶角为36o 与底角为36o 两种情况，利用正弦定理，以及三角恒等变换对应的公式，即可得出结果.【详解】若该等腰三角形的顶角为36o，则底角为36180722-=o oo ，因此，由正弦定理可得：较短边与较长边之比为sin 361sin 722-=o o ，即sin 3612sin 3636cos 2-=o o o，所以1cos364+=，因此cos 1sin126364+==o o ；若该等腰三角形的底角为36o ，则顶角为361802108-⨯=o o o ，因此，由正弦定理可得：较短边与较长边之比为sin 361sin1082=o o ，即sin 361cos182=o o，则2sin18181cos18cos 2-=o o o，所以1sin184-=o ，因此21sin126361cos 2sin 184=+==-o o o.综上，1sin1264+=o .故选：D.【点睛】关键点点睛：求解本题的关键在于正弦定理，结合题中条件，先表示出较短边与较长边之比，进而可利用三角恒等变换化简求解.8.如图，△ABC 是边长为3的等边三角形，D 在线段BC 上，且2B D D C = ，E 为线段AD 上一点，若ABE 与ACD 的面积相等，则BE AC ⋅的值为（）A.14B.14-C.34D.34-【答案】D 【解析】【分析】由题可得E 为AD 的中点，建立坐标系利用坐标法即得.【详解】∵D 在线段BC 上，且2B D D C =，∴12ACD ABD S S = ，又E 为线段AD 上一点，若ABE 与ACD 的面积相等，∴12ABEABD S S =△△，E 为AD的中点，如图建立平面直角坐标系，则()()()370,0,,2,0,3,0,24B A D C E ⎛⎛⎝⎝，∴73,,42BE AC ⎛⎛==- ⎝⎝ ，∴733333342424BE AC =⨯-=-⋅ .故选：D.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.已知函数π()tan 23f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭，则下列说法正确的是（）A.()f x 为奇函数B.()f x 在区间π7π,1212⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增C.()f x 图象的一个对称中心为π,012⎛⎫⎪⎝⎭D.()f x 的最小正周期为π【答案】C 【解析】【分析】根据正切函数的定义域、对称中心、周期、单调性逐项判断即可得解.【详解】因为π()tan 23f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭，所以ππ2π32x k +≠+，解得ππ212k x ≠+，Z k ∈即函数的定义域不关于原点对称，所以()f x 不是奇函数，故A 错误；当π12x =时，ππ232x +=，此时()f x 无意义，故()f x 在区间π7π,1212⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增不正确，故B 错误；当π12x =时，ππ232x +=，正切函数无意义，故π,012⎛⎫⎪⎝⎭为函数的一个对称中心，故C 正确；因为πππππ()tan 2()tan(2π)tan 2()22333f x x x x f x ⎡⎤⎛⎫+=++=++=+= ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭，故π2是函数的一个周期，故D 错误.故选：C10.已知正实数a ，b 满足111a b+=，则下列不等式恒成立的是（）A.49a b +>B.4ab ≥ C.228a b +≤ D.221112a b +≥【答案】BD 【解析】【分析】利用条件将4a b +化为)((14)1a ab b++，展开后结合基本不等式可判断A ；直接利用基本不等式判断B ；举反例判断C ；将2211a b+化为22(11b a a b +-，l 由基本不等式即可判断D.【详解】由题意正实数a ，b 满足111a b+=，故1144(4)()559b a a b a b a b a b +=++=++≥+=，当且仅当4b aa b=，结合111a b +=，即33,2a b ==时取等号，A 错误；由111a b +=可得111a b =+≥，即4ab ≥，当且仅当11a b=，结合111a b +=，即2a b ==时取等号，B 正确；取44,3a b ==满足111a b +=，但228a b +>，C 错误；由于111a b+=，4ab ≥，故22211221(11421a b ab a b +=≥-=+-，当且仅当11a b=，结合111a b +=，即2a b ==时取等号，D 正确，故选：BD11.在一次党建活动中，甲､乙､丙､丁四个兴趣小组举行党史知识竞赛，每个小组各派10名同学参赛，记录每名同学失分（均为整数）情况，若该组每名同学失分都不超过7分，则该组为“优秀小组”，已知甲､乙､丙､丁四个小组成员失分数据信息如下，则一定为“优秀小组”的是（）A.甲组中位数为2，极差为5B.乙组平均数为2，众数为2C.丙组平均数为1，方差大于0D.丁组平均数为2，方差为3【答案】AD 【解析】【分析】结合中位数，平均数，众数，方差，极差的定义，分析判断每个选项.【详解】对A ，因为中位数为2，极差为5，故最大值小于等于7，故A 正确；对B ，如失分数据分别为0,0,0,2,2,2,2,2,2,8，则满足平均数为2，众数为2，但不满足每名同学失分都不超过7分，故B 错误；对C ，如失分数据分别为0,0,0,0,0,0,0,0,1,9，则满足平均数为1，方差大于0，但不满足每名同学失分都不超过7分，故C 错误；对D ，利用反证法，假设有一同学失分超过7分，则方差大于21(82) 3.6310⨯-=>，与题设矛盾，故每名同学失分都不超过7分．故D 正确．故选：AD.12.已知()1f x x =+，()22x g x a +=+，若对任意[]13,4x ∈，存在[]23,1x ∈-，使()()12f x g x ≥，则实数a 的取值可以是（）A.1- B.2C.3D.4【答案】ABC 【解析】【分析】结合函数单调性求得()(),f x g x 的最小值，由题意可推出()min min ()f x g x ≥，故得到相应不等式，求出a 的范围，即可求得答案.【详解】由题意[]3,4x ∈时，()1[4,5]f x x =+∈，即()min 4f x =；而()2222,222,2x x x a x g x a a x ++--⎧+≥-=+=⎨+<-⎩，故()g x 在[]3,2--上单调递减，在[]2,1-上单调递增，所以()min (2)1g x g a =-=+，由于对任意[]13,4x ∈，存在[]23,1x ∈-，使()()12f x g x ≥，过()min min ()f x g x ≥，即41,3a a ≥+∴≤，结合选项，故实数a 的取值可以是1,2,3-，故选：ABC三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡中的横线上．13.平面α的法向量为()1,1,2n =-，()2,0,1AB =- ，那么直线AB 与平面α的关系是_____．【答案】AB α∥或AB α⊂【解析】【分析】计算平面α的法向量和AB的数量积，即可判断,B n A 的关系，进而判断直线AB 与平面α的关系.【详解】由题意知()1,1,2n =-，()2,0,1AB =- ，则()(),10,2,0112(1)021,2(1)n AB ⋅-=⨯+-⨯+=⋅=-⨯-，故n AB ⊥，则AB α∥或AB α⊂，故答案为：AB α∥或AB α⊂14.一位射击运动员在一次射击测试中射靶7次，命中的环数依次如下：7，8，10，9，8，8，6，则该组数据的上四分位数是____________．【答案】9【解析】【分析】将数据从小到大排列，根据百分位数的概念，即可求得答案.【详解】将7，8，10，9，8，8，6从小到大排列为：6，7，8，8，8，9，10，由于775% 5.25⨯=，故该组数据的上四分位数为第6个数9，故答案为：915.已知函数(),142,12x a x f x a x x ⎧>⎪=⎨⎛⎫-+≤ ⎪⎪⎝⎭⎩是R 上的增函数，则实数a 的取值范围是_____________.【答案】[)4,8【解析】【分析】根据分段函数定义，利用一次函数和指数函数单调性，限定端点处的取值列出不等式组即可解出a 的取值范围.【详解】函数(),142,12x a x f x a x x ⎧>⎪=⎨⎛⎫-+≤ ⎪⎪⎝⎭⎩是R 上的增函数，所以14024122a a a a ⎧⎪>⎪⎪->⎨⎪⎪⎛⎫≥-⨯+ ⎪⎪⎝⎭⎩，解得48a ≤<.故答案为：[4,8)16.现有一个底面边长为，侧棱长为的正三棱锥框架，其各顶点都在球1O 的球面上，将一个圆气球2O 放在此框架内，再向气球内充气，当圆气球恰好与此正三棱锥各棱都相切时停止充气，此时球2O 的表面积为____________．【答案】(44π-【解析】【分析】求出正棱锥的高，由题意知球2O 为正三棱锥的棱切球，确定球心位置，列方程求出球的半径，即可求得答案.【详解】设此正三棱锥框架为-P ABC ，球1O 的半径为R ，球2O 的半径为r ，ABC 的外接圆圆心为O ，连接,PO AO ，延长AO 交BC 于N ，因为圆气球恰好与正三棱锥各棱都相切，设球2O 与棱,PA BC 相切于,M N ，则321332123,,3AN AO AN ON AN =⨯=====，由题意知PO ⊥底面ABC ，AO ⊂底面ABC ，故PO AO ⊥，又22PA =，故22842PO PA AO =-=-=，在2Rt OO N 中，221,122OO r r =-<<在2Rt PMO 中，由于2PO AO ==,则2ππ,44APO MPO ∠=∴∠=，则22,2PM MO r PO r ===，由22PO PO OO =+，可得2221r r =+-，解得223r =，（23r =+舍），故球2O 的表面积为((224π4π23446πr =⨯=-，故答案为：(446π-【点睛】关键点睛：解答本题的关键是求出球2O 的半径，解答时要发挥空间想象，确定球2O 的球心大致位置，进而根据等量关系列出方程，求得半径，即可求解答案.四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.如图所示，四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面为平行四边形，以顶点A 为端点的三条棱长都为1，且两两夹角为60 ．（1）求1AC 的长；（2）求1DA 与AC 夹角的正弦值．【答案】（16（2）36【解析】【分析】（1）记1 ,,AB a AD b AA c === ，根据空间向量的运算表示出1AC c a b =++，根据向量模的计算即可得答案；（2）求出空间向量1,DA AC的数量积和它们的模长，根据空间向量的夹角的计算，即可求得答案.【小问1详解】记1 ,,AB a AD b AA c === ，则π||||||1,,,3,a b c a b b c a c ===〉==〈〉〉=〈〈 ，所以12a b b c a c ⋅=⋅=⋅= ，由于1AC c a b =++ ，故222221()222AC a b c a b c a b a c b c =++=+++⋅+⋅+⋅ 11111126222⎛⎫=+++⨯++= ⎪⎝⎭，故1||6AC =，即1AC 的长为6；【小问2详解】由于11,DA AA AD c b AC AB AD a b =-=-=+=+ ，所以21()()DA AC c b a b c a c b b a b⋅=-⋅+=⋅+⋅-⋅- 111112222=+--=-，221||()1111,()1113DA c b AC a b =-=+-==+=++= ，故11112cos ,6||||DA AC DA AC DA AC -⋅〈〉==- ，由于1DA 与AC 夹角的范围为π(0,]2，故1DA 与AC夹角的余弦值为6.18.我国上是世界严重缺水的国家，城市缺水问题较为突出，某市政府为了鼓励居民节约用水，计划在本市试行居民生活用水定额管理，即确定一个合理的居民月用水量标准x （吨），用水量不超过x 的部分按平价收费，超过x 的部分按议价收费，为了了解全市民月用水量的分布情况，通过抽样，获得了100位居民某年的月用水量（单位：吨），将数据按照[0,0.5),[0.5,1),...,[4,4.5]分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图．（1）求直方图中a 的值；（2）已知该市有80万居民，估计全市居民中月均用水量不低于3吨的人数，并说明理由；（3）若该市政府希望使85%的居民每月的用水量不超过标准x （吨），估计x 的值，并说明理由．【答案】（Ⅰ）0.30a =；（Ⅱ）96000人；(Ⅲ)估计月用水量标准为2.9吨时，85%的居民每月的用水量不超过标准.【解析】【详解】试题分析：（Ⅰ）利用频率分布直方图中的矩形面积的和为1求a 的值；（Ⅱ）首先计算月均用水量大于等于3吨的频率，80万乘以频率就是所求的人数；（Ⅲ）首先大体估计x 的区间，再计算区间[]0,x 的频率和为0.85时，求解x 的值.试题解析：（Ⅰ）由频率分布直方图，可得()0.080.160.400.520.120.080.040.51a a ++++++++⨯=，解得0.30a =.（Ⅱ）由频率分布直方图可知，100位居民每人月用水量不低于3吨的人数为()0.120.080.040.50.12++⨯=，由以上样本频率分布，可以估计全市80万居民中月均用水量不低于3吨的人数为8000000.1296000⨯=.(Ⅲ) 前6组的频率之和为()0.080.160.300.400.520.300.50.880.85+++++⨯=>，而前5组的频率之和为()0.080.160.300.400.520.50.730.85++++⨯=<，2.53x ∴≤<由()0.3 2.50.850.73x ⨯-=-，解得 2.9x =，因此，估计月用水量标准为2.9吨时，85%的居民每月的用水量不超过标准.19.甲、乙两人组成“红队”参加猜谜语活动，每轮活动由甲、乙各猜一个谜语，已知甲每轮猜对的概率为34，乙每轮猜对的概率为12，在每轮活动中，甲和乙猜对与否互不影响，各轮结果也互不影响．求“红队”在两轮活动中猜对3个谜语的概率．【答案】38【解析】【分析】两轮活动中猜对3个谜语相当于事件“甲猜对1个、乙猜对2个”和事件“乙猜对1个、甲猜对2个”的和事件，根据互斥事件以及独立事件的概率公式，即可求得答案.【详解】设12,A A 分别表示甲两轮猜对1个和2个谜语的事件，12,B B 分别表示甲两轮猜对1个和2个谜语的事件，则()()212313392,448416P A P A ⎛⎫=⨯⨯=== ⎪⎝⎭，()()2121111122,2224P P B B ⎛⎫=⨯⨯=== ⎪⎝⎭，设A 表示“红队”在两轮活动中猜对3个谜语，则()()1221A A B A B =⋃，且1221,A B A B 互斥，故()()()()()()()12211221P A P A B P A B P A P B P A P B =+=+31913841628=⨯+⨯=，故“红队”在两轮活动中猜对3个谜语的概率为38.20.如图，在三棱锥V ABC -中，VC ⊥底面ABC ，AC BC ⊥，D 是AB 的中点，且AC BC a ==，π02VDC θθ⎛⎫∠=<< ⎪⎝⎭．（1）求证：平面VAB ⊥平面VCD ；（2）试确定角θ的值，使得直线BC 与平面VAB 所成的角的为π6．【答案】（1）证明见解析；（2）4πθ=【解析】【分析】(1)建立空间坐标系,先证明线面垂直,再证明面面垂直,即先证AB CD ⊥,AB VD ⊥可证出AB ⊥平面VCD ，最后证出平面VAB ⊥平面VCD ;(2)先求出平面VAB 的法向量,再根据线面角公式表示出和θ相关的式子,最后根据θ的范围求解.【小问1详解】证明：以CA 、CB 、CV 所在的直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，则有(0,0,0)C ，(,0,0)A a ，(0,,0)B a ，,,022a a D ⎛⎫⎪⎝⎭，0,0,tan 2V a θ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭.于是,,tan 222a a VD a θ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭ ，,,022a a CD ⎛⎫= ⎪⎝⎭ ，(,,0)AB a a =- ，从而2211(,,0),,0002222a a AB CD a a a a ⎛⎫⋅=-⋅=-++= ⎪⎝⎭，即AB CD ⊥.同理22211(,,0),,tan 0022222a a AB VD a a a θ⎛⎫⋅=-⋅-=-++= ⎪ ⎪⎝⎭，即AB VD ⊥.又CD VD D = ,所以AB ⊥平面VCD ，又AB ⊂平面VAB ，∴平面VAB ⊥平面VCD .【小问2详解】解：设直线BC 与平面VAB 所成角为ϕ，平面VAB 的一个法向量为(,,)n x y z =，则由0,0,n AB n VD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩得0,tan 0,222ax ay a a x y az θ-+=⎧⎪⎨+-=⎪⎩可取tan ,tan ,122n θθ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭ ，又(0,,0)BC a =- ，于是2tan ||2sin sin 2||||a n BC n BC θϕθ⋅⋅=== ，当6πϕ=时，sin sin62πϕθ==，解得，sin 2θ=，又因为π02VDC θθ⎛⎫∠=<< ⎪⎝⎭，所以，4πθ=.21.已知幂函数()()23122233p p f x p p x--=-+满足()()24f f <．（1）求函数()f x 的解析式；（2）若函数()()3h x n f x =-+，是否存在实数a ，b （a b <），使函数()h x 在[],a b 上的值域为[],a b ？若存在，求出实数n 的取值范围，若不存在，请说明理由．【答案】（1）()12f x x =（2）9(,2]4--【解析】【分析】（1）根据函数为幂函数求得参数p 的值，结合单调性即可求得函数解析式；（2）假设存在实数a ，b （a b <），使函数()h x 在[],a b 上的值域为[],a b ，根据函数单调性可得相应关(3)(3)a b =+-+，整理化简后可得1n a a ==+-，利用换元法结合二次函数性质即可求得n 的范围，即可得出结论.【小问1详解】由()()23122233p p f x p p x--=-+是幂函数，可得2331p p -+=，解得1p =或2p =；当1p =时，()1f x x -=在(0,)+∞上单调递减，不满足()()24f f <；当2p =时，()12f x x =在(0,)+∞上单调递增，满足()()24f f <，故()12f x x =．【小问2详解】由题意知()()3h x n f x n =-+=-，则()h x 在定义域[3,)-+∞上单调递减，若实数a ，b （a b <），使函数()h x 在[],a b 上的值域为[],a b ，则()()h a n b h b n a⎧=-=⎪⎨==⎪⎩(3)(3)a b a b =-=+-+，=，0≠1=1=-，将该式代入()h b n a ==，得1n a a =+=+-，令t =，由a b <1<=-12<，故1[0,)2t ∈，所以2219224n t t t ⎛⎫=--=-- ⎪⎝⎭，由于21924y t ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭在1[0,2上单调递减，所以924n -<≤-，故存在实数a ，b （a b <），使函数()h x 在[],a b 上的值域为[],a b ，此时实数n 的取值范围为9(,2]4--.【点睛】难点点睛：解答本题的难点在于第二问的探究问题，解答时要能根据函数的单调性得出,a b 之间的关系式，从而推出n 关于,a b 的关系式，换元后转化为二次函数问题，即可得出结论.22.已知函数()sin()0,||,24f x x x ππωϕωϕ⎛⎫=+>≤=- ⎪⎝⎭为()f x 的零点，4x π=为()f x 图象的对称轴．（1）若()f x 在[0,2]π内有且仅有6个零点，求()f x ；（2）若()f x 在5,1836ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调，求ω的最大值．【答案】（1）()sin 34f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭；（2）9.【解析】【分析】（1）根据()f x 的零点和对称中心确定出T 的取值情况，再根据()f x 在[]0,2π上的零点个数确定出57222T Tπ≤<，由此确定出T 的取值，结合2T πω=求解出ω的取值，再根据04f π⎛⎫-= ⎪⎝⎭以及ϕ的范围确定出ϕ的取值，由此求解出()f x 的解析式；（2）先根据()f x 在5,1836ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调确定出T 的范围，由此确定出ω的可取值，再对ω从大到小进行分析，由此确定出ω的最大值.【详解】（1）因为4x π=-是()f x 的零点，4x π=为()f x 图象的对称轴，所以()21444n T n N ππ+⎛⎫--=⋅∈ ⎪⎝⎭，所以()()221n T n N π=+∈，因为()f x 在[]0,2π内有且仅有6个零点，分析正弦函数函数图象可知：6个零点对应的最短区间长度为52T ，最长的区间长度小于72T ，所以57222T T π≤<，所以()5721,22T T n T n N ≤+<∈，所以5721,22n n N ≤+<∈，所以1n =，所以223T ππω==，所以3ω=，所以()()sin 3f x x ϕ=+，代入4x π=-，所以3sin 044f ππϕ⎛⎫⎛⎫-=-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以3,4k k Z πϕπ-=∈，所以3,4k k Z πϕπ=+∈，又因为||2πϕ≤，所以1,4k πϕ=-=-，所以()sin 34f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭；（2）因为()f x 在5,1836ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调，所以536182T ππ-≤，即53618πππω-≤，所以12ω≤，又由（1）可知()()221n T n N π=+∈，所以221,n n N Tπω==+∈，所以{}1,3,5,7,9,11ω∈，当11ω=时，11sin 044f ππϕ⎛⎫⎛⎫-=-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以111,4k k Z πϕπ=+∈，所以13,4k πϕ=-=-，所以此时()sin 114f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，因为5,1836ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以132311,43618x πππ⎛⎫⎛⎫-∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，又因为sin y t =在1323,3618t ππ⎛⎫∈⎪⎝⎭时显然不单调所以()f x 在5,1836ππ⎛⎫⎪⎝⎭上不单调，不符合；当9ω=时，9sin 044f ππϕ⎛⎫⎛⎫-=-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以29,4k k Z πϕπ=+∈，所以22,4k πϕ=-=，所以此时()sin 94f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，因为5,1836ππ⎛⎫⎪⎝⎭，所以339,442x πππ⎛⎫⎛⎫+∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，又因为sin y t =在33,42t ππ⎛⎫∈⎪⎝⎭时显然单调递减，所以()f x 在5,1836ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，符合；综上可知，ω的最大值为9.【点睛】思路点睛：求解动态的三角函数()()sin f x A x =+ωϕ涉及ω的取值范围问题的常见突破点：（1）结论突破：任意对称轴（对称中心）之间的距离为()*2nTn N ∈，任意对称轴与对称中心之间的距离为()*214n T n N -∈；（2）运算突破：已知()()sin f x A x =+ωϕ在区间(),a b 内单调，则有2Tb a -≤且()()22,k k a k Z b k Z πππϕπϕωω--+-≤∈≤∈；已知()()sin f x A x =+ωϕ在区间(),a b 内没有零点，则有2Tb a -≤且()()()1,k k a k Z b k Z πϕπϕωω+--≤∈≤∈.。

湖北省部分高中2023-2024学年高二上学期9月联考数学试题含解析

湖北省部分高中2023-2024学年高二上学期9月联考数学试题含解析

湖北省部分高中高二九月联考数学试题（答案在最后）★祝考试顺利★一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知直线12:2210,:430l x y l x ny +-=++=，3610l mx y +-=：，若12l l //且13l l ⊥，则m n +的值为（）A.10-B.10C.2- D.2【答案】C 【解析】【分析】由两直线的平行与垂直求得,n m 值后可得结论.【详解】由题意43221n =≠-,4n =，2120m +=，6m =-，所以2m n +=-．故选：C ．2.“幸福感指数”是指某个人主观地评价他对自己目前生活状态的满意程度的指标，常用区间[]0,10内的一个数来表示，该数越接近10表示满意度越高．现随机抽取10位某市居民，他们的幸福感指数为3，4，5，5，6，7，7，8，9，10，则这组数据的第80百分位数是（）A.7.5B.8C.8.5D.9【答案】C 【解析】【分析】先计算80%分位数的位置，再求出这个数即可.【详解】由题意，这10个人的幸福指数已经从小到大排列，因为80%108⨯=，所以这10个人的80%分位数为898.52+=.故选：C.3.已知三棱锥O ABC -中，点M 为棱OA 的中点，点G 为ABC 的重心，设OA a = ，OB b = ，OC c =，则向量MG =（）A.111633a b c-++ B.111633a b c --C.111633a b c ++D.111633a b c-+-【答案】A 【解析】【分析】利用空间向量的加、减运算即可求解.【详解】由题意知111333OG a b c =++ ，12OM a =，则111633MG OG OM a b c =-=-++ ，故选：A4.从装有2个红球、4个白球的袋子中任意摸出2个球，事件A =“至少有1个红球”，事件B =“至多有1个白球”，则（）A.()()P A P B < B.()()P A P B =C.()()()P A B P A P B =+ D.()()1P A P B +=【答案】B 【解析】【分析】由古典概型的概率公式求出()(),P A P B ，即可得到答案【详解】记2个红球分别为a ，b ，4个白球分别为,,,A B C D ，则从袋子中任意摸出2个球的所有情况为：ab ，aA ，aB ，aC ，aD ，bA ，bB ，bC ，bD ，AB ，AC ，AD ，BC ，BD ，CD ，共15种，其中事件A =“至少有1个红球”包括：ab ，aA ，aB ，aC ，aD ，bA ，bB ，bC ，bD ，共9种，事件B =“至多有1个白球”包括：ab ，aA ，aB ，aC ，aD ，bA ，bB ，bC ，bD ，共9种，故()93155P A ==，()93155P B ==()()P A P B ∴=，故选：B5.数学家欧拉1765年在其所著的《三角形几何学》一书中提出：任意三角形的外心、重心、垂心在同一条直线上，后人称这条直线为欧拉线．已知ABC 的顶点分别为()3,1A ，()4,2B ，()2,3C ，则ABC 的欧拉线方程为（）A.50x y +-=B.50x y ++=C.10x y --=D.270x y +-=【答案】A 【解析】【分析】求出重心坐标，求出AB 边上高和AC 边上高所在直线方程，联立两直线可得垂心坐标，即可求出欧拉线方程.【详解】由题可知，ABC 的重心为()3,2G ，可得直线AB 的斜率为12134-=-，则AB 边上高所在的直线斜率为1-，则方程为()32y x -=--，即50x y +-=，直线AC 的斜率为31223-=--，则AC 边上高所在的直线斜率为12，则方程为()1242y x -=-，即20x y -=，联立方程5020x y x y +-=⎧⎨-=⎩，解得10353x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即ABC 的垂心为105,33H ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则直线GH 斜率为52311033-=--，则可得直线GH 方程为()23y x -=--，故ABC 的欧拉线方程为50x y +-=.故选：A.6.一个透明密闭的正方体容器中恰好盛有该容器一半容积的水，任意转动这个正方体容器，则水面在容器中形成的所有可能的形状是（）①三角形②非正方形的菱形③五边形④正方形⑤正六边形A.②④B.③④⑤C.②④⑤D.①②③④⑤【答案】C 【解析】【分析】正方体容器中盛有一半容积的水，无论怎样转动，其水面总是过正方体的中心，从而将问题转化为过正方体中心，作正方体的截面问题.【详解】因为正方体容器中盛有一半容积的水，无论怎样转动，其水面总是过正方体的中心，过正方体一面上一边的中点和此边外的顶点以及正方体的中心作一截面，其截面形状为菱形，且不为正方形，所以②是正确的；过正方体一面上相对两边的中点以及正方体的中心作一截面，得截面形状为正方形，所以④是正确的；过正方体的一个面相邻两边的中点以及正方体的中心作一截面，得截面形状为正六边形，所以⑤是正确的；过正方体的中心的平面截正方体得到的截面，且该截面将正方体的体积平分，显然截面不能是三角形和五边形；故选：C.7.定义空间两个向量的一种运算sin ,a b a b a b ⊗=⋅，则关于空间向量上述运算的以下结论中恒成立的有（）A.()()a b a b λλ⊗=⊗ B.()()a b c a b c⊗⊗=⊗⊗ C.()()()a b c a c b c +⊗=⊗+⊗ D.若()11,a x y =r ，()22,b x y =r，则1221a b x y x y ⊗=-【答案】D 【解析】【分析】A ．按λ的正负分类讨论可得，B ．由新定义的意义判断，C ．可举反例说明进行判断，D ．与平面向量的数量积进行联系，用数量积求出两向量夹角的余弦值，转化为正弦值，代入计算可判断．【详解】A ．()sin ,a b a b a b λλλ⊗=<>，0λ>时，,,a b a b λ<>=<>，()sin ,()a b a b a b a b λλλ⊗=<>=⊗ ，0λ=时，()()0,0a b a b λλ⊗=⊗=，成立，0λ<时，,,a b a b λπ<>=-<>，sin ,sin(,)sin ,a b a b a b λπ<>=-<>=<>()sin ,()a b a b a b a b λλλ⊗=-<>=-⊗ ，综上，A 不恒成立；B ．a b ⊗是一个实数，()a b c ⊗⊗ 无意义，B 不成立；C ．若(0,1),(1,0)a b == ，(1,1)c = ，则(1,1)a b +=，,0a b c <+>=，()sin 000a b c a b c +⊗=+== ，,,,44a cbc ππ<>=<>= ，()()1sin 1sin 244a cbc ππ⊗+⊗=+= ，()()()a b c a c b c +⊗≠⊗+⊗，C 错误；D ．若()11,a x y =r ，()22,b x y =r，则a =，b =cos ,a b <>=，sin ,a b <>=== ，所以1221sin ,a b a b a b x y x y ⊗=<>=-，成立．故选：D ．【点睛】本题考查向量的新定义运算，解题关键是理解新定义，并能运用新定义求解．解题方法一种方法是直接利用新定义的意义判断求解，另一种方法是把新定义与向量的数量积进行联系，把新定义中的sin ,a b <>用cos ,a b <> ，而余弦可由数量积进行计算．8.八卦文化是中华文化的精髓，襄阳市古隆中景区建有一巨型八卦图（图1），其轮廓分别为正八边形ABCDEFGH 和圆O （图2），其中正八边形的中心是点O ，鱼眼（黑白两点）,P Q 是圆O 半径的中点，且关于点O 对称,若OA =，圆O 的半径为6，当太极图转动（即圆面O 及其内部点绕点O 转动）时，PA QC ⋅的最小值为（）A.39-B.48-C.57-D.60-【答案】C 【解析】【分析】根据题意，利用向量的线性运算，化简得到9PA QC OP CA ⋅=-+⋅，结合,[0,π]OP CA ∈ ，进而求得PA QC ⋅取得最小值，得到答案.【详解】由题意，点,P Q 是圆O 半径的中点，且关于点O 对称，设,P Q 的位置，如图所示，在八卦图中，知,OA OC OQ OP ⊥=-,又由3,16OA OP OQ AC ====，则由()()PA QC OA OP OC OQ OA OC OP OQ OP OC OA OQ ⋅=-⋅-=⋅+⋅-⋅-⋅09()99316cos ,OP OA OC OP CA OP CA =-+⋅-=-+⋅=-+⨯，当八卦图转动（即圆面O 及其内部点绕O 转动）时，,[0,π]OP CA ∈，当,πOP CA = 时，PA QC ⋅取得最小值，最小值为9316cos π57-+⨯=-.故选：C.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.下列说法正确的有（）A.若直线y kx b =+经过第一、二、四象限，则(),k b 在第二象限.B.直线230kx y k --+=不过定点.C.过点()2,1-，且斜率为3-的直线的点斜式方程为)132y x +=-.D.斜率为2-，且在y 轴上的截距为3的直线方程为23y x =-±.【答案】AC 【解析】【分析】根据直线方程的相关定义一一判定即可.【详解】对于A 项，若直线y kx b =+经过第一、二、四象限，则0,0k b <>，即(),k b 在第二象限正确；对于B 项，直线方程230kx y k --+=可化为()23k x y -=-，易知2x =时3y =，故该直线过定点()2,3，B 错误；对于C 项，由点斜式方程的定义可知其正确；对于D 项，由斜截式方程的定义可知斜率为2-，且在y 轴上的截距为3的直线方程为23y x =-+，即D 错误.故选：AC10.在ABC 中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且1,3π==a A ，则（）A.2sin b a B= B.sin sin B b A =C.ABC 周长的最大值为3 D.AB AC ⋅uu u r uuu r的最大值为12【答案】BCD 【解析】【分析】对于AB ，利用正弦定理判断即可，对于C ，利用余弦定理结合基本不等式可判断，对于D ，由选项C 可知221b c bc +-=，结合基本不等式可得1bc ，从而可求出AB AC ⋅uu u r uuu r的最大值【详解】对于A ，因为3A π=，所以由正弦定理得sin sin 3a bB π=，所以sin 3b a B =，所以A 错误.对于B ，因为1a =，所以由正弦定理得1sin sin bA B =，所以sin sin B b A =，所以B 正确.对于C ，根据余弦定理得2222211cos 222b c a b c A bc bc +-+-===，所以221b c bc +-=，即2()31b c bc +-=，所以2()b c +222131()3()24b c bc b c b c +⎛⎫-=+-=+ ⎪⎝⎭，所以2b c + ，当且仅当1b c ==时，等号成立，所以13b c ++≤，所以C 正确.对于D ，由选项C 可知221b c bc +-=，所以2212b c bc bc +=+ ，则1bc ，当且仅当1b c ==时，等号成立.11cos 22AB AC bc A bc ⋅== ，所以D 正确.故选：BCD11.一个质地均匀的正四面体木块的四个面上分别标有数字1，2，3，4，连续抛掷这个正四面体木块两次，记事件A 为“第一次向下的数字为2或3”，事件B 为“两次向下的数字之和为奇数”，事件C 为“两次能看见的所有面向上的数字之和不小于15”，则下列结论正确的是（）A.事件A 与事件B 相互独立B .事件A 与事件B 互斥C.()34P A B ⋃=D.()5C 8P =【答案】ACD 【解析】【分析】对于A 、B ：根据古典概型求()()(),,P A P B P AB ，结合独立事件和互斥事件分析判断；对于C ：根据事件的运算求解；对于D ：根据古典概型运算求解.【详解】由题意可知：第一次向下的数字为1，2，3，4，共4个基本事件，则()2142P A ==，设(),a b 为连续抛掷这个正四面体木块两次向下的数字组合，其中a 为第一次向下的数字，b 为第二次向下的数字，则有()()()()()()()()()()()()()()()()1,1,1,2,1,3,1,4,2,1,2,2,2,3,2,4,3,1,3,2,3,3,3,4,4,1,4,2,4,3,4,4，共16个基本事件，可知事件B 包含()()()()()()()()1,2,1,4,2,1,2,3,3,2,3,4,4,1,4,3，共8个基本事件，则()81162P B ==，事件AB 包含()()()()2,1,2,3,3,2,3,4，共4个基本事件，则()41164P AB ==，可知()()()104P A P B P AB ==≠，所以事件A 与事件B 相互独立，且事件A 与事件B 不互斥，故A 正确，B 错误；因为()()()()11132244P A B P A P B P AB =+-=+-= ，故C 正确；事件C 等价于为“两次向下的数字之和小于等于5”，包含()()()()()()()()()()1,1,1,2,1,3,1,4,2,1,2,2,2,3,3,1,3,2,4,1，共10个基本事件，则()105168P C ==，故D 正确；故选：ACD.12.如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，1AB =，点M 在正方体内部及表面上运动，下列说法正确的是（）A.若M 为棱1CC 的中点，则直线1AC ∥平面BDMB.若M 在线段1BC 上运动，则1CM MD +的最小值为2+C.当M 与1D 重合时，以M 为球心，2为半径的球与侧面11BB C C 的交线长为π4D.若M 在线段1BD 上运动，则M 到直线1CC 的最短距离为1【答案】AC 【解析】【分析】对于A ：作AC BD ，交点O ，连接OM ，可证1AC OM ，进而得到1AC ∥平面BDM ；对于B ：展开11BC D △与1BCC 到同一平面上，由两点间直线段最短，结合余弦定理运算求解；对于C ：1D 在侧面11BB C C 上的射影为1C ，确定交线为以1C 为圆心的圆弧，结合弧长公式即可求解；对于D ：根据垂直关系分析可知直线1BD 与直线1CC 的距离为OC ，当M 为1BD 中点，E 为1CC 中点时，可得ME OC =，即能找出此点恰在1BD 上.【详解】对于选项A ：作AC BD ，交点O ，连接OM ，因为O 为AC 中点，M 为棱1CC 的中点，则1AC ∥OM ，且OM ⊂平面BDM ，1AC ⊄平面BDM ，所以1AC ∥平面BDM ，故A 正确；对于选项B ：展开11BC D △与1BCC 到同一平面上如图：可知11CM MD CD +≥=B 错误；对于选项C ：M 与1D 重合时，在侧面11BB C C 上的射影为1C ，故交线是以1C 为圆心的一段圆弧（14个圆），且圆半径12r ==，故圆弧长1π2π44r =⨯=，故C 正确；对于选项D ：取BD 的中点O ，则OC BD ⊥，因为1DD ⊥平面ABCD ，OC ⊂平面ABCD ，则1OC DD ⊥，且1BD DD D = ，1,BD DD ⊂平面11BDD B ，所以OC ⊥平面11BDD B ，由1BD ⊂平面11BDD B ，则1OC BD ⊥，又因为1DD ∥1CC ，则1OC CC ⊥，所以直线1BD 与直线1CC 的距离为OC ，当M 为1BD 中点，E 为1CC 中点时，则OM ∥1DD ，且112OM DD =，且CE ∥1DD ，且112CE DD =，可得OM ∥CE ，且OM CE =，可知OCEM 为平行四边形，则ME ∥OC ，且ME OC =，所以ME 为M 到直线1CC 最短距离2，选项D 错误.故选：AC.三、填空题：本題共4小题，每小题5分，共20分.13.已知直线l 的一方向向量为.则直线l 的倾斜角为___.【答案】60 ##3π【解析】【分析】根据直线斜率公式结合已知直线的方向向量可以直接求出直线的斜率，进而根据斜率求解倾斜角.【详解】解：因为直线l 的一方向向量为，所以直线l 的斜率为k =，设直线l 的倾斜角θ，则[)0,θπ∈，所以tan θ=，即60θ= .故答案为：6014.已知(2,1,3),(1,4,2),(3,5,)a b c λ=-=-=- ，若,,a b c 三向量共面，则实数λ=_____.【答案】1-【解析】【分析】由题意结合向量基本定理得到方程组，求解方程组即可确定λ的值.【详解】由题意可知，存在实数,m n 满足：c ma nb =+ ，据此可得方程组：325432m n m n m n λ-=-⎧⎪=-+⎨⎪=+⎩，求解方程组可得：111m n λ=-⎧⎪=⎨⎪=-⎩.故答案为1-．【点睛】本题主要考查空间向量基本定理，方程的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.15.某校高二年级有男生400人和女生600人，为分析期末物理调研测试成绩，按照男女比例通过分层随机抽样的方法取到一个样本，样本中男生的平均成绩为80分，方差为10，女生的平均成绩为60分，方差为20，由此可以估计该校高二年级期末物理调研测试成绩的方差为_____________.【答案】112【解析】【分析】根据分层抽样的性质，利用平均数以及方差的计算，建立方程，可得答案.【详解】由400:6002:3=，不妨设样本由男生2人和女生3人组成.由题设：()121802x x +=，()222121280102x x ⎡⎤+-⨯=⎣⎦，解得12160x x +=，()222122*********x x +=+=；()1231603y y y ++=，()22221231360203y y y ⎡⎤++-⨯=⎣⎦解得123180y y y ++=，()22221233602010860y y y ++=+=；所以样本的平均分()1160180685x =+=，样本的方差()22112820108605681125s ⎡⎤=+-⨯=⎣⎦.故答案为：112.16.《九章算术》卷五《商功》中描述几何体“阳马”为“底面为矩形，一棱垂直于底面的四棱锥”，现有阳马P ABCD -（如图），PA ⊥平面ABCD ，2PA AB ==，6AD =，点E ，F 分别在AB ，BC 上，当空间四边形PEFD 的周长最小时，三棱锥P ADF -外接球的表面积为____________.【答案】44π【解析】【分析】把,AP PB 剪开，使得P AB '△与矩形ABCD 在同一个平面内.延长DC 到M ，使得CM DC =，则四点P '，E ，F ，M 在同一条直线上时，PE EF FD ++取得最小值，即空间四边形PEFD 的周长取得最小值.可得142CF P D '==，2BF =.设AFD △的外心为1O ，外接圆的半径为r ，则2sin 45DF r ︒=，利用勾股定理进而得出结论.【详解】如图所示，把,AP PB 剪开，使得P AB '△与矩形ABCD 在同一个平面内.延长DC 到M ，使得CM DC =，则四点P '，E ，F ，M 在同一条直线上时，PE EF FD ++取得最小值，即空间四边形PEFD 的周长取得最小值.在P MD '△中，C 是MD 的中点，又CF P D '∥，得142CF P D '==，2BF =.设AFD △的外心为1O ，外接圆的半径为r ，由2AB BF ==得45FAD ∠= ，2222425DF CF CD =+=+,则252210sin 45DF r ===︒，即10r =设三棱锥P ADF -外接球的半径为R ，球心为O ，连接1OO ，则1112=122OO PA ==⨯，则22221111R OO r ++===.所以三棱锥P ADF -外接球的表面积等于24π44πR =.故答案为：44π.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.17.（1）求经过点()2,1A ，且在x 轴上的截距和y 轴上的截距相等的直线的方程．（2）己知ABC 的顶点()2,1A ，AB 边上的中线CM 所在的直线方程为210x y +-=，AC 边上的高BH 所在直线方程为0x y -=，求直线BC 的方程；【答案】（1）30x y +-=；（2）670x y ++=【解析】【分析】（1）根据已知条件及直线的截距式方程即可求解；（2）利用中点坐标公式及点在直线上，结合直线垂直斜率的关系及两直线相交求交点的方法，再利用直线的两点式方程即可求解.【详解】（1）设直线在,x y 轴上的截距分别为,a b ，当0a b ==时，直线经过原点，则直线斜率101202k -==-，∴直线方程为12y x =，即20x y -=；当0a b =≠时，可设直线方程为x y a +=，则213a =+=，∴直线方程为30x y +-=；（2）由题意知：点B 在直线0x y -=上，则可设(),B m m ，AB ∴中点为21,22m m ++⎛⎫⎪⎝⎭，2121022m m ++∴⨯+-=，解得：1m =-，()1,1B ∴--BH AC ⊥ ，1AC k ∴=-，∴直线AC 方程为：()12y x -=--，即30x y +-=，由30210x y x y +-=⎧⎨+-=⎩得：25x y =-⎧⎨=⎩，即()2,5C -；∴直线BC 的方程为：115121y x ++=+-+，即670x y ++=；18.在ABC 中，,,a b c 分别为内角A ，B ，C 的对边，()cos 2cos 0a C b c A ++=．（1）求A ；（2）若D 是线段BC 的中点，且72AD =，5AC =，求ABC 的面积．【答案】（1）2π3A =（2）【解析】【分析】（1）根据题意利用正弦定理结合三角恒等变换运算求解即可；（2）法一：取AC 中点E ，连接DE ，在ADE V 中，利用余弦定理可得4DE =，进而可得AB ，再利用面积公式运算求解；法二：根据中线的向量关系可得2AD AB AC =+ ，结合数量积可得AB ，再利用面积公式运算求解.【小问1详解】因为()cos 2cos 0a C b c A ++=，根据正弦定理边角互化得sin cos 2sin cos sin c s 0o A C B A C A ++=，整理得()sin 2sin cos 0A C B A ++=，即sin 2sin cos 0B B A +=，因为()0,πB ∈，则sin 0B ≠，可得1cos 2A =-，且()0,πA ∈，所以2π3A =.【小问2详解】法一：如图，取AC 中点E ，连接DE ，因为D 是线段BC 的中点，所以1//,2DE AB DE AB =，又因为2π3BAC ∠=，72AD =，5AC =，在ADE V 中，π57,,322AED AE AD ∠===，由余弦定理2222cos AD AE DE AE DE AED =+-⋅∠，即249255124422DE DE =+-⨯⨯⨯，整理得220DE DE -5-12=，解得4DE =或32DE =-（舍去），可得28AB DE ==，所以ABC 的面积为113sin 85222S AB AC A =⋅⋅=⨯⨯⨯=；法二：因为D 是线段BC 的中点，则2AD AB AC =+ ，可得22242AD AB AB AC AC =+⋅+uuu r uu u r uuu r ，即24914252542AB AB ⎛⎫⨯=+⨯⨯-+ ⎪⎝⎭，可得25240AB AB --=，解得8AB =或3AB =-（舍去），所以ABC 的面积为113sin 85222S AB AC A =⋅⋅=⨯⨯⨯=.19.已知函数2()1f x ax bx =--，集合{1,2,3,4},{2,4,6,8}P Q ==，若分别从集合P ，Q 中随机抽取一个数a 和b ，构成数对(,)a b ．（1）记事件A 为“函数()f x 的单调递增区间为[)1,+∞”，求事件A 的概率；（2）记事件B 为“方程()2f x =有4个根”，求事件B 的概率．【答案】（1）14（2）1116【解析】【分析】（1）列举样本空间所有的样本点，依题意有2b a =，列举满足条件的样本点，根据古典概型概率公式计算；（2）依题意有24b a >，列出所有符合条件的样本点，根据古典概型概率公式计算.【小问1详解】由题知{1,2,3,4},{2,4,6,8}a b ∈∈，所以，数对(,)a b 的可能取值为：(1,2),(1,4),(1,6),(1,8),(2,2),(2,4),(2,6),(2,8),(3,2),(3,4),(3,6),(3,8),(4,2),(4,4),(4,6),(4,8)共16对．若函数()f x 的单调递增区间为[1,)+∞，则函数()f x 的对称轴为12==b x a，即2b a =所以，满足条件的基本事件有：(1,2),(2,4),(3,6),(4,8)，共4对，所以，事件A 的概率为41()164P A ==【小问2详解】因为0a >，二次函数开口向上，所以，方程|()|2f x =有4个根，即为()2f x =和()2f x =-各有2个根，所以，二次函数2()1f x ax bx =--的最小值小于2-．所以2424a b a--<-，即24b a >，满足条件的基本事件有：(1,4),(1,6),(1,8),(2,4),(2,6),(2,8),(3,4),(3,6),(3,8),(4,6),(4,8)，共11对，所以，事件B 的概率11()16P B =．20.如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是边长为2的正方形，侧面PAD 为等腰直角三角形，且π2PAD ∠=，点F 为棱PC 上的点，平面ADF 与棱PB 交于点E ．（1）求证：//EF AD ；（2）若PB FD ⊥，AE =PAD ⊥平面ABCD ．【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析【解析】【分析】（1）先证得//AD 平面PBC ，然后利用线面平行的性质定理来证得//EF AD .（2）通过证明AP ⊥平面ABCD 来证得平面PAD ⊥平面ABCD ．【小问1详解】因为底面ABCD 是正方形，所以//AD BC ，BC ⊂平面PBC ，AD ⊄平面PBC ，所以//AD 平面PBC ，又因为平面ADF 与PB 交于点E ，AD ⊂平面ADFE ，平面PBC ⋂平面ADFE EF =，所以//EF AD ．【小问2详解】侧面PAD 为等腰直角三角形，且π2PAD ∠=，即2PA AD ==，PA AD ⊥，因为AD AB ⊥，PA AB A = ，且两直线在平面PAB 内，可得AD ⊥平面PAB ，因为PB ⊂平面PAB ，则AD PB ⊥．又因为PB FD ⊥，AD FD D = ，且两直线在平面ADFE 内，则PB ⊥平面ADFE ，因为AE ⊂平面ADFE ，则PB AE ⊥，因为PA AB =，所以PAB 为等腰三角形，所以点E 为PB 的中点.又因为AE =，所以PAB 为等腰直角三角形，因为,,AD AP AB AP AD AB A AD AB ⊥⊥=⊂，，I 平面ABCD ，所以AP ⊥平面ABCD ，因为AP ⊂平面APD ，所以面APD ⊥平面ABCD .21.“难度系数”反映试题的难易程度，难度系数越大，题目得分率越高，难度也就越小，“难度系数”的计算公式为1Y L W=-，其中L 为难度系数，Y 为样本平均失分，W 为试卷总分（一般为100分或150分）．某校高二年级的老师命制了某专题共5套测试卷（总分150分），用于对该校高二年级480名学生进行每周测试，测试前根据自己对学生的了解，预估了每套试卷的难度系数，如下表所示：试卷序号i12345考前预估难度系数i L 0.70.640.60.60.55测试后，随机抽取了50名学生的数据进行统计，结果如下：试卷序号i12345平均分/分10299939387（1）根据试卷2的预估难度系数估计这480名学生第2套试卷的平均分；（2）试卷的预估难度系数和实测难度系数之间会有偏差，设i L '为第i 套试卷的实测难度系数，并定义统计量()()()2221221i n n S L I L L L L n ⎡⎤'''=-+-++-⎣⎦ ，若0.001S <，则认为试卷的难度系数预估合理，否则认为不合理．以样本平均分估计总体平均分，试检验这5套试卷难度系数的预估是否合理．（3）聪聪与明明是学习上的好伙伴，两人商定以同时解答上述试卷易错题进行“智力竞赛”，规则如下：双方轮换选题，每人每次只选1道题，先正确解答者记1分，否则计0分，先多得2分者为胜方.若在此次竞赛中，聪聪选题时聪聪得分的概率为23，明明选题时聪聪得分的概率为12，各题的结果相互独立，二人约定从0:0计分并由聪聪先选题，求聪聪3:1获胜的概率.【答案】（1）96分；（2）预估合理（3）16【解析】【分析】（1）根据考前预估难度系数即可求出平均分；（2）计算出各试卷难度系数，求出统计量，即可预估这5套试卷难度系数的预估是否合理；（3）根据规则即可求出聪聪3:1获胜的概率.【小问1详解】由题意，由试卷2的难度系数0.641150Y =-，解得平均失分：54Y =，∴这480名学生第2套试卷的平均分为1505496-=分；【小问2详解】由题意及（1）得，115010210.68150L -=-=，21509910.66150L -=-=，31509310.62150L -=-=，41509310.62150L -=-=，51508710.58150L -=-=，则()()()()()2222210.680.70.660.640.620.60.620.60.580.555S ⎡⎤=-+-+-+-+-⎣⎦0.00050.001=<，∴这5套试卷难度系数的预估合理【小问3详解】由题意及（1）（2）得，聪聪先答对第一题：12121132329P =⨯⨯⨯=聪聪没先答对第一题：211211323218P =⨯⨯⨯=∴聪聪3:1获胜的概率聪聪3:1获胜的概率：1216P P P =+=22.如图，菱形ABCD 的边长为2，60BAD ∠=︒，E 为AB 的中点．将ADE V 沿DE 折起，使A 到达A '，连接A B '，A C '，得到四棱锥A BCDE '-．（1）证明：DE A B '⊥；（2）当二面角A DE B '--的平面角在π2π,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦内变化时，求直线A C '与平面A DE ¢所成角的正弦值的取值范围．【答案】（1）证明见解析（2）3031]10-【解析】【分析】（1）通过证明面面垂直，即可得出结论；（2）求出A C ' 平面A DE ¢的法向量n，得出直线A C '与平面A DE ¢所成角的余弦值表达式，进而求出正弦值的取值范围.【小问1详解】由题意证明如下，在菱形ABCD 中，E 为AB 的中点，60BAD ∠=︒，∴DE AB ⊥，在翻折过程中，恒有DE A E ⊥'，DE BE ⊥，又A E BE E '⋂=，,A E BE '⊂平面A BE '，∴DE ⊥平面A BE '，而A B '⊂平面A BE '，∴DE A B'⊥【小问2详解】由题意及（1）得，'∠A EB 为二面角A DE B '--的平面角，记其为θ，则π2π,33θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，以EB 的方向为x 轴的正方向，ED 的方向为y 轴的正方向建立空间直角坐标系，如图所示，则()0,0,0E ，()cos ,0,sin A θθ'，()3,0D ，()3,0C ，()cos ,0,sin EA θθ'= ，()3,0ED = ，设平面A DE ¢的法向量(),,n x y z = ，则0EA n ED n '⋅=⋅= ，得cos sin 0,30,x z θθ+=⎧⎪=令sin x θ=，得()sin ,0,cos n θθ=- ，()2cos 3,sin A C θθ'=-- ，则22sin sin 1cos ,84cos 2cos 2cos 1cos A C n A C n A C n θθθθ'⋅'==---'- ，令2cos t θ=-，π2π,33θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，得35,22t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦23cos ,44233113344A C n t t t t t t t ⎛⎫'==-++-- ⎪⎝⎭-+-⎛⎫-++ ⎪⎝⎭ ，当且仅当3t =时，等号成立，设直线A C '与平面A DE ¢所成角为α，则sin cos ,A C n α'= ，故直线A C '与平面A DE ¢31，当32t =时，2cos ,2A C n '= ，当52t =时，30cos ,10A C n '= ∵302102<，∴直线A C '与平面A DE ¢所成角的正弦值的范围为3031]10-【点睛】关键点睛：本题第二问的关键是利用空间向量法得到关于线面角正弦值的表达式，设()cos ,0,sin A θθ'，则得到cos ,A C n '= ，再结合换元法和基本不等式求出其最大值，再代入端点得到其最小值，从而得到正弦值范围.。

湖北省九师联盟2023-2024学年高二下学期6月联考数学试题含答案

湖北省九师联盟2023-2024学年高二下学期6月联考数学试题含答案

高二数学（答案在最后）考生注意：1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟.2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚.3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区城内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷､草稿纸上作答无效.4.本卷命题范围：高考范围.一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合()(){}{}130,1,0,1,2,3A x x x B =--=-∣ ，则A B ⋂=（）A.{}1,0,3- B.{}1,0,1,3- C.{}1,2,3 D.{}2,32.已知i 为虚数单位，z 为复数，则下列命题正确的是（）A.若210z +=，则i z =B.若z 的实部为0，则z 是纯虚数C.若2i z =+，则z 的虚部是iD.若232i z z +=-，则z =3.已知两个单位向量12,e e 的夹角为120 ，则()11223e e e ⋅+=（）A.12B.1C.32D.724.已知函数()()22232ln f x f x x x -'=+（()f x '是()f x 的导函数），则()2f '=（）A.1B.-2C.11D.-115.已知数列{}n a 的前n 项和123n n S r -=⨯+（r 为常数），则“23r =-”是“{}n a 为等比数列”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件6.某陶瓷厂上釉车间有A B ､两条生产线，现随机对这两条生产线所生产的产品进行抽检，抽检A 生产线的产品的概率为23，抽检B 生产线的产品的概率为13.经过大量数据分析得A 生产线的次品率为12%，如果本次抽检得到的产品为次品的概率为10%，据此估计B 生产线的次品率为（）A.9%B.8.67%C.8%D.6%7.设函数()πsin 23f x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭，若120x x <，且()()12f x f x =，则21x x -的取值范围为（）A.π,12∞⎛⎫+⎪⎝⎭B.π,6∞⎛⎫+⎪⎝⎭ C.π,3∞⎛⎫+⎪⎝⎭D.π,2∞⎛⎫+⎪⎝⎭8.如图，已知双曲线2222:1(0,0)x y E a b a b-=>>的右焦点为F ，过原点的直线l 与E 交于,A B 两点，A 在第一象限，延长AF 交E 于多一点C ，若BF AC ⊥且4AC AF =，则E 的离心率为（）A.2B.3C.2D.3二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.下列函数中，在定义域内既为奇函数，又为增函数的是（）A.()13f x x= B.()()2f x x x =+C.()e 1e 1x xf x -=+ D.())lnf x x=-10.在平面直角坐标系xOy 中，F 为抛物线2:4C y x =的焦点，()3,1Q ，过F 的直线l 与C 在第一象限交于点A ，则（）A.Q 到直线lB.若,O Q 到直线l 的距离相等，则l 的倾斜角为π4C.AQ AF +的最小值是2+D.当A 在直线OQ 的上方时，OAQ 面积的最大值为9211.如图，在棱长均为2的正三棱柱111ABC A B C -中，M 是棱BC 的中点，1(01)CN CC λλ=<，过点1B作平面α与直线AN 垂直，过点B 作平面β与平面AMN 平行，则（）A.当12λ=时，α截正三棱柱111ABC A B C -所得截面的面积为2B.当1λ=时，α截正三棱柱111ABC A B C -所得截面的面积为2C.若β截正三棱柱111ABC A B C -所得截面为三角形，则λ的取值范围为10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦D.若1,12λ⎛⎫∈⎪⎝⎭，则β截正三棱柱111ABC A B C -所得截面为四边形三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知2π,π,8sin 3cos 2ααα⎛⎫∈=⎪⎝⎭，则tan α=__________.13.已知随机变量()4,12,()(),X N P X a P X b n a b ~>=<=+，则nx ⎛+ ⎝的展开式中含2x 项的系数为__________.14.定义函数[](),,,,,,a b a x a f x x a x b b x b <⎧⎪=⎨⎪>⎩，已知函数()[]()()[]()21,23,4g x f x f x -=-，则()g x 的值域为__________；若函数()()12h x g x kx k =-+-恰有3个零点，则实数k 的取值范围为__________.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.（本小题满分13分）为了解甲､乙两所学校高二年级学生在2023~2024学年度第二学期期末考试中的物理成绩情况，采用随机抽样方法从两所学校各抽取50名学生的物理成绩，并作出了频数分布统计表如下：分组[)0,20[)20,40[)40,60[)60,80[]80,100甲校频数34181510乙校频数26121812（1）分别估计甲校物理成绩的75%分位数（精确到0.1）和乙校物理成绩的平均分（同一组中的数据用该区间的中点值代表）：（2）根据以上统计数据完成2×2列联表（成绩不低于60分的视为及格），并依据0.10α=的独立性检验，判断两所学校的物理成绩的及格率是否存在差异.甲校乙校合计及格不及格合计参考公式：()()()()22()n ad bc a b c d a c b d χ-=++++，其中n a b c d =+++.参考数据：α0.100.050.010x α2.7063.8416.63516.（本小题满分15分）已知数列{}n a 满足：12120242,1,2024n n n a a a a a ++=+==.（1）求n a ；（2）证明：()2111116331n k k a =<+∑ .17.（本小题满分15分）如图，三棱锥S ABC -的底面ABC 是边长为2的等边三角形，点S 在底面ABC 内的射影为ABC 的垂心.（1）证明：SA BC ⊥；（2）设(01)AP AS λλ=<< ，若SB BC =，则当λ取何值时，直线PB 与平面ASC 所成角的正弦值最大？18.（本小題满分17分）已知函数()()32,f x ax x bx a b =++∈R 在1x =和3x =-处取得极值.（1）求,a b ；（2）()31,e 233xx f x x c ∀∈-+-R ，求整数c 的最大值.19.（本小题满分17分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为12，左､右焦点分別为12,F F ，直线1:2l y kx =+是C 与圆2216:5O x y +=的一条公切线.（1）求C 的方程；（2）已知过1F 的直线2l 交C 于,M N 两点，交y 轴于P 点，11,PM MF PN NF λμ==，若22OMN OMF ONF S mS S λ=- （22,,OMN OMF ONF S S S 分别表示22,,OMN OMF ONF 的面积），733μ-- ，求实数m 的取值范围.高二数学参考答案､提示及评分细则1.C 因为{}13A xx =∣ ，所以{}1,2,3A B ⋂=.故选C.2.D若210z +=，则i z=±，故A 错误；实部为0的复数可能虚部也为0，从而是实数，故B 错误；复数2i z =+的虚部是1，故C 错误；设()i ,z a b a b =+∈R ，则i z a b =-，所以23i 32i z z a b +=-=-，即1,2a b ==，所以z ==D 正确.故选D.3.A()221121121232321311cos1202e e e e e e ⋅+=+⋅=⨯+⨯⨯⨯=.故选A.4.D因为()()22232ln f x f x x x -'=+，所以()()2226f x f x x+'=-'，令2x =，得()()222121f f +'=-'，解得()211f '=-.故选D.5.C 当1n =时，112a S r ==+，当2n 时，()1221232343n n n n n n a S S r r ----=-=⨯+-⨯+=⨯，{}n a 为等比数列12122433a r r -⇔=+=⨯⇔=-，故“23r =-”是“{}n a 为等比数列”的充要条件.故选C.6.D设事件N 为“抽检得到的产品为次品，事件12,M M 分别表示抽检A B ､两条生产线的产品，则()10.12P N M =∣，设()2P N M p =∣，所以()()()()()1122210.120.133P N P N M P M P N M P M p =+=⨯+⨯=∣∣，解得0.06p =.故选D.7.B 法1：令ππ2π32x k -=+，得()5πππ,,sin 21223k x k f x x ⎛⎫=+∈=- ⎪⎝⎭Z 的图象离y 轴最近的一条对称轴为直线π12x =-，因为()()1212,0f x f x x x =<，令21x x >，根据图象，若120x x <，且()()12f x f x =，则21π6x x ->.故选B.法2：()πsin 23f x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭的图象可由sin2y x =的图象向右平移π6个单位长度得到，其最小正周期2ππ2T ==，画出()y f x =的图象（如图）.因为120x x <，考虑临界状态120x x =，而()π30sin 32f ⎛⎫=-=-⎪⎝⎭，若()()0f t f =，显然离0最近的t 满足ππ06322t -+=，解得π6t =-.若12,x x 满足题意，显然21π6x x ->.故选B.8.A设E 的左焦点为,F AF m '=，连接,,AF CF BF '''，则3,2,23,2FC m AF a m CF a m FF c '''==+=+=，因为BF AC ⊥，由双曲线的对称性知四边形FAF B '为矩形.在Rt AF C ' 中，由222||AF AC F C '+'=，得222(2)(4)(23)a m m a m ++=+，化简得m a =.在Rt AF F ' 中，由222||AF AF F F '+'=，得222(3)(2)a a c +=，化简得2252c a =，即离心率2e =.故选A.9.AC 对于A ()13,f x x ==()f x 在R 上既为奇函数，又为增函数，故A 正确；对于B ，因为()()11f f -≠-，所以()f x 不为奇函数，故B 错误；对于()()e 11e C,e 11e x xx xf x f x -----===-++，所以()f x 为奇函数，又()e 121e 1e 1x x xf x -==-++，可见()f x 为增函数，故C 正确；对于()())D,ln f x f x x -+=++)lnln10x -==，即()()(),f x f x f x -=-为奇函数，又())()()1ln100,f f f x =<=在R 上不可能为增函数，故D 错误.故选AC.10.AD对于A ，当l FQ ⊥时，Q 到直线l 的距离取得最大值，且最大距离为FQ =A 正确；对于B ，设l 的方程为1x ty =+，若,O Q 到直线l=，解得1t =或3t =，故B 错误；由题意知，C 的准线为直线1x =-，焦点()1,0F ，过点,A Q 作C 的准线的垂线，垂足分别为,A Q ''，则AQ AF AQ AA A Q Q Q +'=+'' （当且仅当,,Q A Q '共线时取等号），故AQ AF +的最小值是点Q 到C 的准线的距离，即为4，故C 错误；对于D ，当点A 到直线OQ 的距离取得最大值时，OAQ 的面积有最大值，此时抛物线C 在A 处的切线与直线OQ 平行.由y =得y '=，13=，解得9x =，所以()9,6,A A 到直线OQ的距离d =，所以OAQ面积的最大值为119222OQ d ⋅⋅=⨯，故D 正确.故选AD.11.ABD对于A ，当12λ=时，取11A C 中点D ，连接11,,B D B C CD ，如图1.因为11tan tan 2CAN C CD ∠∠==，所以11π,2CAN C CD C CD CNA CAN CNA ∠∠∠∠∠∠=+=+=，所以AN CD ⊥.易证1B D ⊥平面11ACC A ，因为AN ⊂平面11ACC A ，所以1B D AN ⊥，又11,,B D CD D B D CD ⋂=⊂平面1B CD ，所以AN ⊥平面11111,222B CD B CD S B D CD =⋅==，故A正确；对于B ，当1λ=时，取11A C 的中点1,D CC 的中点E ，连接11,,B D DE B E ，如图2，由A 选项知1B D AN ⊥，因为四边形11ACC A 为正方形，所以AN DE ⊥，则1B DE为所求截面，其面积为122=，故B 正确；对于C ，取11B C 的中点F ，连接11,,A F A B BF ，当1λ=时，如图3，易知BF ∥1,MN A F ∥AM ，故平面β截正三棱柱111ABC A B C -所得截面为1A BF ，故C错误；对于D ，若G 为1CC 中点，当N 在1GC 上（不含端点）时，即1,12λ⎛⎫∈⎪⎝⎭，作出平面β截正三棱柱111ABC A B C -所得截面如图4所示，N 从下到上的过程中，截面为四边形，故D 正确.故选ABD.12.24-由28sin 3cos αα=，得28sin 33sin αα=-，解得1sin 3α=或sin 3α=-（舍），又因为π,π2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以cos 3α==-，所以sin tan cos 4ααα==-.13.358因为()4,12X N ~，且()()P X a P X b >=<，所以248n a b =+=⨯=，则8x ⎛+ ⎝展开式中的第1r +项为38821881C C 2rrrr r r r T x x --+⎛⎫== ⎪⎝⎭，令3822r -=，解得4r =，故8x ⎛+ ⎝展开式中含2x 项的系数为448135C 28⎛⎫=⎪⎝⎭14.[]3,1-（2分）()14,10,2⎛⎫--⋃ ⎪⎝⎭（3分）根据定义知()g x =[]()()[]()()221,23,42,1,3,12,1,23,4,34,0,4,x x x f x f x g x x x x x --<-⎧⎪--⎪⎪-=<<⎨⎪-⎪>⎪⎩ 的图象如图所示，显然()g x 的值域为[]3,1-.由()0h x =，得()()21g x k x =+-，因为()h x 恰有3个零点，所以()g x 的图象与直线()21y k x =+-恰有3个不同的交点，易求得图中123,,l l l 所对应的k值分别为1,42--，所以实数k的取值范围为()14,10,2⎛⎫--⋃ ⎪⎝⎭.15.解：（1）甲校物理成绩的前三组人数频率为34180.550++=，甲校物理成绩的前四组人数频率为3418150.850+++=，所以甲校物理成绩的75%分位数位于[)60,80内.法1：设甲校物理成绩的75%分位数为x ，则()()600.80.50.50.7520x -⨯-+=，解得76.7x ≈，所以甲校物理成绩的75%分位数估计值为76.7分.法2：甲校物理成绩的75%分位数为0.750.5602076.70.80.5-+⨯≈-.乙校物理成绩的平均分估计值为()110230650127018901262.850⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=.（2）22⨯列联表如下：甲校乙校合计及格253055不及格252045合计5050100零假设0H ：甲､乙两所学校的物理成绩的及格率没有差异，220.10100(25202530)100 1.010 2.7064555505099x χ⨯-⨯==≈<=⨯⨯⨯，依据0.10α=的独立性检验，没有充分证据推断0H 不成立，因此可以认为0H 成立，即认为甲､乙两所学校的物理成绩的及格率没有差异16.（1）解：因为122n n n a a a ++=+，所以数列{}n a 为等差数列，公差20241120241a a d -==-，所以()111n a n n =+-⨯=.（2）证明：令21(31)n b n =+，因为0n b >，且1116b =，所以2221111(31)(321)(31)16n ++++⨯++ ；因为()()211111(31)323133231n n n n n ⎛⎫<=⨯- ⎪+-+-+⎝⎭，所以()21111111113447323131n i k n n a =⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫<⨯-+-++- ⎪ ⎪ ⎢⎥-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭+⎣⎦∑ 111331n ⎛⎫=⨯- ⎪+⎝⎭，因为*n ∈N ，所以1031n >+，故11113313n ⎛⎫⨯-< ⎪+⎝⎭.综上，()2111116331n i k a =<+∑ .17.（1）证明：设点S 在底面ABC 内的射影为O ，连接AO 并延长交BC 于E ，因为ABC 为等边三角形且O 为ABC 的重心，所以E 为BC 的中点，且AE BC ⊥，因为SO ⊥平面ABC ，所以SO BC ⊥，因为,SO AE ⊂平面,SAE SO AE O ⋂=，所以BC ⊥平面SAE ，所以SA BC ⊥.（2）解：连接SE ，由BC ⊥平面SAE ，则BC SE ⊥，又E 为BC 的中点，则SB SC =.又SB BC =，所以2SB SC BC ===.以OA 所在直线为x 轴，过O 且平行于BC 的直线为y 轴，OS 所在直线为z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则333,0,0,,1,0,,1,0333A B C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫--- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，60,0,3S ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭()236,0,,3,1,033AS AC ⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭ 因为AP AS λ= ，所以()23261,0,33P λλ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，所以363,1,33PB λλ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，设平面ASC 的法向量为(),,n x y z = ，则0,0,n SA n AC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 即()320,330,x x y ⎧-=⎪⎨⎪-=⎩取1z =，则得)2,6,1n = ，所以22266cos ,13232633312433n PB n PB n PB λλλ⋅==⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-+++- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ，所以当12λ=时，max 2|cos ,|3n PB = .故当12λ=时，直线PB 与平面ASC 所成角的正弦值最大.18.解：（1）()232f x ax x b =++'，因为函数()32f x ax x bx =++在1x =和3x =-处取得极值，所以()()()22131210,33(3)230,f a b f a b ⎧=⨯+⨯+=⎪⎨-=⨯-+⨯-+=⎪'⎩'即32,276,a b a b +=-⎧⎨+=⎩解得1,33.a b ⎧=⎪⎨⎪=-⎩而当1,33a b ==-时，()()()22313f x x x x x =+-=-+'，当3x <-时，()0f x '>；当31x -<<时，()0f x '<；当1x >时，()0f x '>，所以()f x 在(),3∞--和()1,∞+上单调递增，在()3,1-上单调递减，所以3x =-和1x =分别是()f x 的极大值点､极小值点，故1,33a b ⎧=⎪⎨⎪=-⎩满足题意.（2）由题意，2e 332x x x c +-+ 恒成立.设()2e 33x g x x x =+-+，则()e 23xg x x =+-'，显然()e 23xg x x =+-'在R 上单调递增.又()120,1e 102g g ''⎛⎫=-<=->⎪⎝⎭，所以存在唯一的01,12x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使得()00g x '=，即00e 230x x +-=，所以00e 32x x =-.当()0,x x ∞∈-时，()()0,g x g x '<单调递减；当()0,x x ∞∈+时，()()0,g x g x '>单调递增，所以()02222min 00000000051()e 3332335624x g x g x x x x x x x x x ⎛⎫==+-+=-+-+=-+=-- ⎪⎝⎭，当01,12x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，200152564x x <-+<，所以()01151,28g x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，由题意知()012c g x ，且c ∈Z ，所以整数c 的最大值为1.19.解：（1）因为直线1:2l y kx =+是圆2216:5O x y +=的一条切线，=214k =，因为C的离心率12e a ==，所以2243a b =，由22222,314y kx x y b b =+⎧⎪⎨+=⎪⎩可得()()22234161640k x kx b +++-=，因为直线1:2l y kx =+是椭圆C 的一条切线，所以()()222Δ(16)4341640k kb =-+-=，结合214k =，解得23b =，所以C 的方程为22143x y +=.（2）设()()1122,,,M x y N x y ，显然2l 的斜率存在且不为0，设2l 的方程为()1y t x =+，令0,x y t ==，则()0,P t ，则()()11111,,1,PM x y t MF x y =-=--- ，由1PM MF λ= 得()()1111,1,x y t x y λ-=---，解得11t y λ=-，同理21t y μ=-.由()221,431x y y t x ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩得2236490y y t t ⎛⎫+--= ⎪⎝⎭，则212122269,4343t t y y y y t t -+==++，()1212128223t y y t t y y y y λμ++=+-=-=-.不妨设()21212121110,1,1222OUN OWF y y S y y y y S >>=⨯⨯-=-=⨯⨯21122111,1222ONF y y S y y ==⨯⨯=- ，代入22OMN OMF ONF S mS S λ=- ，有()1212111222y y my y λ-=+，则1212y y my y λ-=+，由121,1t t y y λμ=-=-，得212111,,51113y t t y y y λλλμμλ++====-++++.解得()2214(1)159111553333y m y λλλλλ+⎛⎫=-+=+=-+++ ⎪⎝⎭++，因为733μ-- ，所以541,233λμ⎡⎤+=--∈⎢⎥⎣⎦.设53z λ=+，则4,23z ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，令()4193h z z z=-++，则()24109h z z -'=->，故()h z 在4,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，则()min max 4417(),()2339h z h h z h ⎛⎫==== ⎪⎝⎭，则()h z 的值域为417,39⎡⎤⎢⎥⎣⎦，则m 的取值范围为417,39⎡⎤⎢⎥⎣⎦.。

湖北省问津教育联合体2024-2025学年高二上学期10月联考数学试卷

湖北省问津教育联合体2024-2025学年高二上学期10月联考数学试卷

湖北省问津教育联合体2024-2025学年高二上学期10月联考数学试卷一、单选题1．若直线:10l x my ++=的倾斜角为5π6，则实数m 值为（ ）AB ．CD ．2．已知直线1:10l x y -+=，2:210l x y --=，则过1l 和2l 的交点且与直线3450x y +-=垂直的直线方程为（ ） A ．3410x y --= B ．3410x y -+= C ．4310x y --=D ．4310x y -+=3．已知()()()1231,9,1,,3,2,0,2,1n n m n =-=-=u r u u r u u r，若{}123,,n n n u r u u r u u r 不能构成空间的一个基底，则m =（ ）A ．3B ．1C ．5D ．74．已知事件A B 、，如果A 与B 互斥，那么()1P AB p =；如果A 与B 相互独立，且()()0.6,0.7P A P B ==，那么()2P A B p +=，则12,p p 分别为（ ）A ．120,0.9p p ==B ．120.42,0.9p p ==C ．120,0.72p p ==D ．120.42,0.45p p ==5．如图，平面ABCD ⊥平面ABEF ，四边形ABEF 为正方形，四边形ABCD 为菱形，60DAB ∠=︒，则直线,AC FB 所成角的余弦值为（ ）A B C D 6．在一个袋子中装有分别标注1，2，3，4，5，6的6个小球，这些小球除标注的数字外完全相同，现从中随机取出2个小球，则取出标注的数字之差的绝对值为2或4的小球的概率是（ ） A ．110B ．310 C ．25D ．147．如图所示，一个组合体的上面部分是一个高为0.5m 长方体，下面部分是一个正四棱锥，公共面是边长为1m 的正方形，已知该组合体的体积为32m 3，则其表面积为（ ）A ．(22mB ．(23mC ．(22mD ．(23m8．已知点(),P a b 与点()1,0Q 在直线2310x y -+=的两侧，给出下列命题： ①2310a b -+>；②当0a ≠时，ba 有最小值，无最大值；③存在正实数m m >恒成立； ④当0a >且0a ≠，0b >时，1b a -的取值范围是12,,33⎛⎫⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．其中正确的命题是（ ） A ．①②B ．②③C ．②④D ．③④二、多选题9．下图为2024年中国大学生使用APP 偏好及目的统计图，根据统计图，下列关于2024年中国大学生使用APP 的结论正确的是（ ）A ．超过14的大学生更爱使用购物类APPB ．超过半数的大学生使用APP 是为了学习与生活需要C ．使用APP 偏好情况中7个占比数字的极差是23%D ．APP 使用目的中6个占比数字的40%分位数是34.3%10．设R k ∈，过定点A 的动直线10l x ky +=：与过定点B 的动直线230l kx y k -+-=：交于点P ，则下列说法正确的有（ ）A ．22||16PA PB +=B ．三角形P AB 面积的最大值为52C ．11PA PB +≥D ．P11．在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，P ，E ，F 分别为棱11,,AA CC BC 的中点，O 为侧面正方形11AA B B 的中心，则下列结论正确的是（ ）A ．直线//AC 平面PEFB ．直线PF 与平面POEC ．三棱锥O PEF -的体积为23D ．三棱锥P BCE -的外接球表面积为9π三、填空题12．已知直线l 的倾斜角为α，3sin 5α=，且这条直线l 经过点()5,3P ，则直线l 的一般式方程为.13．甲､乙两队进行篮球决赛，采取七场四胜制（当一队赢得四场胜利时该队获胜，比赛结束），根据以往比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”，设甲队主场取胜的概率为0.8，客场取胜的概率为0.5，且各场比赛结果相互独立，则甲队以4：1获胜的概率是．14．正方体1111ABCD A B C D -中，点E 是1AA 的中点，点F 为正方形11AA B B 内一动点，且//CF 平面1DEC ，若异面直线CF 与11A D 所成角为θ，则cos θ的最小值为.四、解答题15．已知三角形ABC 的顶点()4,3C ，边AC 上的高BH 所在直线方程为250x y --=，点()1,2-是边AB 的中点.(1)求边AC 所在直线的方程； (2)求点B 的坐标.16．如图，在四棱锥P ABCD -中，平面PAD ⊥平面ABCD ，PA PD ⊥，PA PD =，AB AD ⊥，1AB =，2AD =，AC CD =(1)求证：PD ⊥平面PAB ．(2)在棱PA 上是否存在点M ，使得//BM 平面PCD ？若存在，求AMAP的值；若不存在，说明理由．17．甲、乙、丙三位重剑爱好者决定进行一场比赛，每局两人对战，没有平局，已知每局比赛甲赢乙的概率为13，甲赢丙的概率为14，丙赢乙的概率为1.5因为甲是最弱的，所以让他决定第一局的两个比赛者(甲可以选定自己比赛，也可以选定另外两个人比赛)，每局获胜者与此局未比赛的人进行下一局的比赛，在比赛中某人首先获胜两局就成为整个比赛的冠军，比赛结束.(1)若甲指定第一局由乙丙对战，求“只进行三局甲就成为冠军”的概率；(2)请帮助甲进行第一局的决策(甲乙、甲丙或乙丙比赛)，使得甲最终获得冠军的概率最大.18．已知三棱锥(P ABC -如图一)的平面展开图(如图二)中，四边形ABCD 为正方形，ABE V 和BCF V 均为正三角形，在三棱锥P ABC -中：(1)证明：平面PAC ⊥平面ABC ；(2)若点M 在棱PC 上运动，当直线BM 与平面PAC 所成的角最大时，求平面PAB 和平面MAB 夹角的余弦值.19．已知()()()4,80,012,0A B C ，，，直线20.l kx y k -+-=： (1)证明直线l 经过某一定点，并求此定点坐标；(2)若直线l 等分三角形ABC 的面积，求直线l 的一般式方程；(3)若()12P ，，李老师站在点P 用激光笔照出一束光线，依次由(BC 反射点为)K 、(AC 反射点为)I 反射后，光斑落在P 点，求入射光线PK 的直线一般式方程.。

湖北新高考联考协作体2024年高二下学期7月期末考试数学试题+答案

湖北新高考联考协作体2024年高二下学期7月期末考试数学试题+答案

数学试卷本试卷共4页，19题，全卷满分150分，考试用时120分钟.注意事项：1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.3.非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域内均无效.4.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.集合}043|{2≤--=x x x A ，集合}4|{2x y y B -==，则=B A （）A.[]2,1- B.[]1,4- C.[]1,0 D.[]2,02.已知函数()x f 在],[b a 的图象是连续不断的，则“0)()(<⋅b f a f ”是“)(x f 在()b a ,上有零点”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件3.已知函数()x f y =的导函数()x f '的图象如图所示，则函数()x f y =的极大值点有（）A.0个B.1个C.2个D.3个4.空间向量)1,0,1(=a 在)1,1,0(=b 上的投影向量为（）A.)21,0,21( B.22,0,22(C.)21,21,0( D.)22,22,0(5.等比数列}{n a 的前n 项积为n T ，5129=T ，则73a a +的最小值是（）A.2B.22 C.4D.246.设P 为椭圆13422=+y x 上一动点，1F 、2F 分别为椭圆的左、右焦点，已知点)1,1(D ，则||||1PD PF +的最小值为（）A.2B.3C.4D.57.从数字0、1、2、3、4中选四个组成没有重复数字且比2024大的四位数有（）A.52个B.64个C.66个D.70个8.已知855e >，313=a ，415=b ，ee c 1=，则c b a 、、的大小关系是（）A.cb a << B.bc a << C.ca b << D.ba c <<二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.下列说法中正确的是（）A.若随机变量)31,10(~B X ，则20)13(=-X D B.若随机变量),(~2σμN X ，当μ不变时，σ越小，该正态分布对应的正态密度曲线越矮胖C.回归分析中，样本决定系数2R 越大，残差平方和越小，模型拟合效果越好D.在独立性检验中，当αχx ≥2（αx 为α的临界值）时，推断零假设0H 不成立10.定义在R 上的非常数函数)(x f 的导函数为)('x f ，若)2(+x f 为偶函数且3)2()(=++x f x f .则下列说法中一定正确的是（）A.)(x f 的图象关于直线2=x 对称B.6是函数)(x f 的一个周期C.23)1(=f D.)('x f 的图象关于直线3=x 对称11.已知不等式1ln -≤x x 对任意),0(+∞∈x 恒成立，则下列不等式中一定成立的是（）A.xx 11ln -≥ B.e C C C <+++066516606666 C.2025ln 20241211>+++D.2025ln 202513121>+++ 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.某中学举办女子排球赛，高二年级A 班与B 班进行比赛，每局比赛A 班获胜概率为52，每场比赛结果相互独立.若比赛采用三局两胜制（先赢两局者获胜），则A 班获胜的概率是____________.13.已知函数||)(2ax x x f -=在]23,21[上单调递增，则实数a 的取值范围是____________.14.过点),0(t 有且只有一条直线与曲线xe xy =相切，则实数t 的取值范围是____________.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.（本小题13分）已知在()nn nx a x a a x +++=- 1021的展开式中，所有项的二项式系数之和为512.（1）求n 的值，并求展开式的所有项的系数和；（2）求展开式中系数绝对值最大的项.（系数用数字表示）随着“特种兵旅行”在网络的爆火，某市文旅局准备在本市的景区推出旅游一卡通(也称旅游年卡).为了更科学的制定一卡通的有关条例，市文旅局随机调查了2023年到本市景区旅游的1000名游客的年旅游消费支出，其旅游消费支出(单位：百元)近似服从正态分布),(2σμN ，其中8.11=μ，2.3=σ.（1）若2023年到本市景区旅游游客为500万人，试估计2023年有多少游客（单位：万）在本市的年旅游消费支出不低于1500元；（2）现将游客来源分为“当地游客”和“外地游客”.若从这1000名游客中随机抽取1人，抽到外地游客的概率为52.规定游客的消费支出不低于1400元为三星客户，否则为一星客户.请根据已知条件完成下面的22⨯列联表，并依据小概率值01.0=α的独立性检验，能否认为“客户星级”与“游客来源”有关联？参考数据：若随机变量),(~2σμN X ，则6827.0)(≈+≤≤-σμσμX P ，9545.0)22(≈+≤≤-σμσμX P ，9973.0)33(≈+≤≤-σμσμX P ；参考公式：))()()(()(22d b c a d c b a bc ad n ++++-=χ，其中d c b a n +++=．17.（本小题15分）已知函数x a xa x x f ln 1)(---=.（1）判断)(x f 的单调性；（2）若()x f 的极大值为3-，求实数a 的值.游客来源客户星级合计三星客户一星客户当地游客外地游客100合计3001000α0.100.050.010.001x α2.7063.8416.63510.828某中学即将迎来百年校庆，校方准备组织校史知识竞猜比赛.比赛规则如下：比赛分成三轮，每轮比赛没有通过的学生直接淘汰，通过的学生可以领取奖品结束比赛，也可以放弃本轮奖品继续下一轮比赛，三轮都通过的学生可获得奖品——纪念版手办.已知学生每轮通过的概率都为21，通过第一轮比赛后领取奖品结束比赛的概率为31，通过第二轮比赛后领取奖品结束比赛的概率为21.（1）求学生小杰获得奖品的概率；（2）已知学生小杰获得奖品，求他至少通过两轮比赛的概率；（3）求学生小杰通过的比赛轮数X 的分布列与数学期望.19.（本小题17分）已知)(x f 是定义在],[b a 上的函数，*N n ∈∀，将区间],[b a 划分为任意n 个互不相交的小区间，将分点按从小到大记作),,1,0(n i x i =，其中a x =0，b x n =.若存在一个常数0>M ，使得M xf x f ni i i≤-∑=-11|)()(|恒成立，称函数)(x f 为],[b a 上的有界变差函数.（1）证明：若)(x f 是定义在]1,1[-的单调递增函数，则)(x f 为]1,1[-上的有界变差函数；（2）判断2)(x x f =在]1,1[-上是否为有界变差函数？请说明理由；（3）判断⎪⎩⎪⎨⎧=>=0,00,cos )(x x xx x f π在[]1,0上是否为有界变差函数？请说明理由.。

湖北省新高考联考协作体(八市)2023-2024学年高二下学期期末考试+数学答案

湖北省新高考联考协作体(八市)2023-2024学年高二下学期期末考试+数学答案

湖北省2024年春季高二期末考试数学本试卷共4页，19题.全卷满分150分.考试用时120分钟，★祝考试顺利★注意事项：1.答题前，先将自己的姓名､准考证号､考场号､座位号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试卷､草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效3.非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷､草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.4.考试结束后，请将答题卡上交.一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.【1题答案】【答案】D【2题答案】【答案】C【3题答案】【答案】A【4题答案】【答案】C【5题答案】【答案】C【6题答案】【答案】B【7题答案】【答案】D【8题答案】【答案】B二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.【9题答案】【答案】ACD【10题答案】【答案】ACD【11题答案】【答案】ABC三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.【12题答案】【答案】44125##0.352【13题答案】【答案】[)1,3,2⎛⎤-∞⋃+∞ ⎥⎝⎦【14题答案】【答案】{}24,0e ∞⎛⎫+⋃ ⎪⎝⎭四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.【15题答案】【答案】（1）9，1-；（2）第七项65376x .【16题答案】【答案】（1）79.325万（2）表格见解析，能认为【17题答案】【答案】（1）答案见解析（2）5【18题答案】【答案】（1）724（2）37（3）分布列见解析，17 24.【19题答案】【答案】（1）证明见解析（2）()2f x x=是定义在[]1,1-上的有界变差函数，理由见解析（3）不是有界变差函数，理由见解析。

湖北省重点高中2022-2023学年高二上学期期末联考数学试题及答案(含解析)

湖北省重点高中2022-2023学年高二上学期期末联考数学试题及答案(含解析)

湖北省重点高中2022年秋季高二年级期末联考数学试题一､单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）1.数列{}n a 满足111,31n na a a +==-，则2021a =（ ） A.12-B.23C.52D.32.直线cos 20x α++=的倾斜角的范围是（ ） A.50,,66πππ⎡⎤⎡⎫⋃⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭ B.50,6π⎡⎤⎢⎥⎣⎦C.5,,6226ππππ⎡⎫⎛⎤⋃⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦D.5,66ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦3.与双曲线2214x y -=有相同的焦点，且短半轴长为 ）A.2214520y x +=B.2218580y x +=C.2212520x y +=D.2212520y x += 4.等比数列{}n a 的各项均为实数，其前n 项和为n S ，已知366314,4S S ==，则5a =（ ） A.2 B.12 C.4 D.145.已知点F 为抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点，过点F 且倾斜角为60的直线交抛物线C 于,A B 两点，若3FA FB ⋅=，则p =（ ）A.12 B.1 C.32D.2 6.若,M N 为圆22:(2)(2)1C x y -+-=上任意两点，P 为直线3440x y +-=上一个动点，则MPN ∠的最大值是（ ）A.45B.60C.90D.120 7.在平面直角坐标系中，定义x y +称为点(),P x y 的“δ和”，其中O 为坐标原点，对于下列结论：（1）“δ和”为1的点(),P x y 的轨迹围成的图形面积为2；（2）设P 是直线240x y --=上任意一点，则点(),P x y 的“δ和”的最小值为2；（3）设P 是直线0ax y b -+=上任意一点，则使得“δ和”最小的点有无数个”的充要条件是1a =；（4）设P 是椭圆2212y x +=上任意一点，则“δ和”的.其中正确的结论序号为（ ） A.（1）（2）（3） B.（1）（2）（4） C.（1）（3）（4） D.（2）（3）（4） 8.若数列{}{},n n a b 的通项公式分别是20152014(1)(1),2n n n n a a b n++-=-=+，且n n a b <对任意*n N ∈恒成立，则实数a 的取值范围是（ ）A.11,2⎡⎫-⎪⎢⎣⎭ B.31,2⎡⎫-⎪⎢⎣⎭C.12,2⎡⎫-⎪⎢⎣⎭D.32,2⎡⎫-⎪⎢⎣⎭ 二､多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）9.分别抛掷两枚质地均匀的硬币，设事件A =“第一枚正面朝上”，事件B =“第二枚正面朝上”，则下列结论正确的是（ ） A.()12P A =B.()14P AB = C.事件A 与B 互斥 D.事件A 与B 相互独立10.关于等差数列和等比数列，下列四个选项中不正确的有（ ）A.若数列{}n a 的前n 项和2n S an bn c =++（,,a b c 为常数）则数列{}n a 为等差数列B.若数列{}n a 的前n 项和122n n S +=-，则数列{}n a 为等差数列C.数列{}n a 是等差数列，n S 为前n 项和，则232,,,n n n n n S S S S S --仍为等差数列D.数列{}n a 是等比数列，n S 为前n 项和，则232,,,n n n n n S S S S S --仍为等比数列；11.已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2,M 为1DD 的中点，N 为平面ABCD 内一动点，则下列命题正确的有（ ）A.若2MN =，则MN 的中点的轨迹所围成图形的面积为πB.若MN 与平面ABCD 所成的角为3π，则N 的轨迹为圆C.若N 到直线1BB 与直线DC 的距离相等，则N 的轨迹为抛物线D.若1D N 与AB 所成的角为3π，则N 的轨迹为双曲线12.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左，右焦点分别是12,F F ，其中122F F c =.直线l 过左焦点1F 与椭圆交于,A B 两点，则下列说法中正确的有（ ） A.若存在2ABF ，则2ABF 的周长为4a B.若AB 的中点为M ，则22OMb k k a⋅=C.若2123AF AF c ⋅=，则椭圆的离心率的取值范围是512⎤⎥⎣⎦ D.若AB 的最小值为3c ，则椭圆的离心率13e =三､填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.设点M 在直线10x y +-=上，M 与y 轴相切，且经过点()2,2-，则M 的半径为__________.14.如果一个数列从第2项起，每一项与它前一项的和除以与它前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做“和差等比数列”.已知{}n a 是“和差等比数列”，122,3a a ==，则使得不等式10n a >的n 的最小值是__________.15.已知圆22(2)9x y -+=与x 轴的交点分别为双曲线2222:1(0,0)x yC a b a b-=>>的顶点和焦点，设12,F F 分别为双曲线C 的左，右焦点，P 为C 右支上任意一点，则21224PF PF +的取值范围为__________.16.在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，P 是线段1BCC 上的点，过1A 的平面α与直线PD 垂直，当P 在线段1BC 上运动时，平面α截正方体1111ABCD A B C D -所得截面面积的最小值是__________.四､解答题（本大题共6小题，共70分）17.已知线段AB 的端点()4,3B ，端点A 在圆22:(1)4C x y ++=上运动. （1）点M 在线段AB 上，且13AM AB =，求点M 的轨迹方程； （2）若直线()2y k x =-与点M 的轨迹相交，求实数k 的取值范围.18.甲､乙两人加工一批标准直径为50mm 的钢球共1500个，其中甲加工了600个，乙加工了900个.现分别从甲､乙两人加工的钢球中各抽取50个进行误差检测，其结果如下：（1）估计这批钢球中直径误差不超过0.1mm ±的钢球的个数；（2）以甲､乙各自加工的钢球的总数为依据按分层抽样的方法从直径误差为0.2mm -的钢球中抽取5个，再从这5个钢球中随机抽取2个，求这2个钢球都是乙加工的概率； （3）你认为甲､乙两人谁加工的钢球更符合标准？并说明理由. 19.已知双曲线C 的焦点()2,0F 和离心率e =. （1）求双曲线C 的方程；（2）若直线:l y kx =+C 恒有两个不同的交点A 和B ，且2OA OB >⋅，求k 的取值范围.20.已知正项数列{}n a 的前n 项和n S ，满足()*22Nn n S a n =-∈，数列{}nb 的前n 项积为n !.()!123n n =⨯⨯⨯⨯（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）令n n n c a b =，求数列21n n n c c c ++⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和.21.图1是直角梯形,,90ABCD AB CD D ∠=∥，四边形ABCE 是边长为2的菱形，并且60BCE ∠=，以BE 为折痕将BCE 折起，使点C 到达1C 的位置，且16AC =.（1）求证：平面1BC E ⊥平面ABED .（2）在棱1DC 上是否存在点P ，使得点P 到平面1ABC 15？若存在，求出直线EP 与平面1ABC 所成角的正弦值；若不存在，请说明理由.22.已知椭圆22122:1(0)x y C a b a b+=>>的离心率为13,1,22P ⎛⎫ ⎪⎝⎭为椭圆上一点，,A B 为椭圆上不同两点，O 为坐标原点， （1）求椭圆C 的方程；（2）线段AB 的中点为M ，当AOB 面积取最大值时，是否存在两定点,G H ，使GM HM+为定值？若存在，求出这个定值；若不存在，请说明理由.参考答案：1.B【详解】由题可知，132112,113n n a a a a +===--，得214111,3,32213a a a a =-====-，∴数列{}n a 是以3为周期的周期数列，∴202123673212a a a +⨯===-.故选：B. 2.A 【解析】 【解答】解：设直线的倾斜角为θ，则tan θ=，又1cos 1α-，所以3tan 33θ-， 又0θπ<，所以50,,66ππθπ⎡⎤⎡⎫∈⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭故选A 3.D4.解：根据题意，设等比数列{}n a 的公比为q ， 若314S =，6634S =，则1q ≠， 则有616363313(1)1911(1)181a q S q q q a q S q q ---===+=---，解可得12q =，又由314S =，即312317144S a a a a =++==，解可得18a =，则451118162a a q ==⨯=，故选：B . 5.C【详解】由题意知,0,2p F AB ⎛⎫ ⎪⎝⎭的方程为)2p y x -，代入C 的方程，得2233504p x px -+=， 设()()1122,,,A x y B x y ，则212125,34p p x x x x +==；因为12,22p pFA x FB x =+=+，且3FA FB ⋅=， 所以12322p p x x ⎛⎫⎛⎫++= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，整理得()21212342p px x x x +++=， 所以22534234p p p p +⋅+=，结合0p >，解得32p =. 故选：C 6.B 【详解】如图，,PA PB 为两切线，P 为直线3440x y +-=上一个点， 所以MPN APB ∠∠≤当,PM PN 为两切线是取等号； 又2APB APC ∠=∠，故只需求()max sin APC ∠，1sin AC APC PC PC ∠==，又()min 2232424234PC d ⨯+⨯-===+， ()max 1ππsin ,,.263APC APC APB ∠=∴∠=∴∠= 故选：B 7.B【解析】（1）当1x y +=时，点(,)P x y 的轨迹如图，其面积为2，正确；（2）P 是直线240x y --=上的一点，24y x ∴=-，24x y x x ∴+=+-43,0,4,02,34,2,x x x x x x -≤⎧⎪=-<<⎨⎪-≥⎩可知，0x ≤，02x <<时递减，2x ≥时递增，故x y +的最小值在2x =时取得，min ()2x y +=，正确；（3）同（2），x y x ax b +=++，可知当1a =±时，都满足，“δ和”最小的点有无数个，故错误；（4）可设椭圆参数方程为cos ,,x y θθ=⎧⎪⎨=⎪⎩cos x y θθ∴+=+，. 故选：B. 8.C【详解】试题分析：当,1,2n n n a a b n =-=+为奇数时，由已知n n a b <，所以12a n-<+，12a a n ⎛⎫>-+ ⎪⎝⎭即，因为恒成立所以max 12a n ⎡⎤⎛⎫>-+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，所以2a ≥-，当n 为偶数时，1,2n n a a b n ==-，由已知n n a b <，所以12a n <-，所以12n -的最小值是当2n =时，13222-=，所以32a <，所以322a -≤<. 考点：数列的函数性质 9.ABD【详解】对于AB ，抛掷两枚质地均匀的硬币，所有基本事件有{正，正}，{正，反}，{反，正}，{反，反}，其中满足事件A 的有{正，正}，{正，反}两种情况，事件A 和事件B 同时发生的情况有且仅有{正，正}一种情况， ()2142P A ∴==，()14P AB =，A 正确，B 正确； 事件A 与事件B 可以同时发生，∴事件A 与事件B 不互斥，C 错误； 事件A 的发生不影响事件B 的发生，∴事件A 与事件B 相互独立，D 正确. 故选：AB D. 10.ABD【解析】根据题意，结合等差､等比数列的性质依次分析选项，综合即可得的答案. 【详解】根据题意，依次分析选项：对于A ，若数列{}n a 的前n 项和2n S an bn c =++，若0c =，由等差数列的性质可得数列{}n a 为等差数列， 若0c ≠，则数列{}n a 从第二项起为等差数列，故A 不正确；对于B ，若数列{}n a 的前n 项和122n n S +=-，可得1422a =-=，2218224a S S =-=--=，33216268a S S =-=--=， 则1a ，2a ，3a 成等比数列，则数列{}n a 不为等差数列，故B 不正确；对于C ，数列{}n a 是等差数列，n S 为前n 项和，则n S ，2n n S S -，32n n S S -，⋯，即为12n a a a ++⋯+，12n n a a ++⋯+，213n n a a ++⋯+，⋯，即为22322n n n n n n n S S S S S S S n d --=---=为常数，仍为等差数列，故C 正确；对于D ，数列{}n a 是等比数列，n S 为前n 项和，则n S ，2n n S S -，32n n S S -，⋯不一定为等比数列， 比如公比1q =-，n 为偶数，n S ，2n n S S -，32n n S S -，⋯，均为0，不为等比数列.故D 不正确. 故选：ABD . 11.BCD【详解】对于A ，设MN 中点为H ，DM 中点为Q ，连接HQ ，则//HQ DN ，且12=HQ DN ， 如图，若2MN =，则所以222413=-=-=DN MN DM ，3DN =，则32=HQ ，所以点H 的轨迹是以Q 为圆心，半径为32的圆，面积23ππ4==S r ，故A 错误；对于B ，tan DM MND DN ∠=，π3MND ∠=，则3πtan 3==DM DN N 的轨迹是以D 为圆心，半3B 正确； 对于C ，点N 到直线1BB 的距离为BN ，所以点N 到定点B 和直线DC 的距离相等，且B 点不在直线DC 上，由抛物线定义可知，N 的轨迹是抛物线，故C 正确；对于D ，如图，以DA ､DC ､1DD 所在直线分别为x 轴､y 轴､z 轴，建立空间直角坐标系，设(),,0N x y ，()10,0,2D ，()2,0,0A ，()2,2,0B ，所以()1,,2D N x y =-，()0,2,0AB =，122121cos60242⋅===++⨯D N AB y D N ABx y ， 化简得2234y x -=，即221443y x -=，所以N 的轨迹为双曲线，故D 正确；故选：BC D. 12.AC【详解】对A ，根据椭圆的定义2ABF △的周长为1122|||||||4|AF BF A a F BF +++=，故A 正确；对B ，设()()1122,,,A x y B x y ，则1212,22x x y y M ++⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以1212y y k x x -=-，1212OM y y k x x +=+， 由()()()()22112222222121212122222212122222101x y y y y y x x y y b a b a b x x x x a x y a b ⎧+=⎪+---⎪⇒+=⇒=-⎨+-⎪+=⎪⎩，即22OM b k k a ⋅=-，故B 错误； 对C ，()()22211121111,,AF AF c x y c x y x y c ⋅=----+-=-，根据2221121x y b a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭2222222121222[2,]c AF AF a x a c a c a c +-∈--⋅=，则2222251232c a c c a c e a ⎡⎤-≤≤-⇒=∈⎢⎥⎣⎦，故C 正确；对D ，容易知道，AB 的最小值为通径长度22b a ，所以223b c a=，整理为()2222323b ac a c ac =⇒-=，即222320c ac a +-=，两边同时除以2a ，得22320e e +-=，解得：12e =，或2e =-（舍），所以椭圆的离心率12e =，故D 错误. 故选：A C.13.1或5##5或1【详解】由点M 在直线10x y +-=上，设(),1M a a -.又M 与y 轴相切，且经过点()2,2-，∴半径22(2)(12)r a a a ==++--，且a<0. 解得1a =-或5a =-.则M 的半径为1或5. 故答案为：1或5 14.5 【详解】依题意，2121551a a a a +==-， 323323353a a a a a a ++==--，解得392a =， 44343492592a a a a a a ++==--，解得4548a =， 5545455485548a a a a a a ++==--，解得53241032a =>， 所以使得不等式10n a >的n 的最小值是5.故答案为：515．91,5⎛⎤ ⎥⎝⎦【解析】22(2)9x y -+=与x 轴交点的坐标分别为()1,0-，()5,0， 故1a =，5c =，因为P 为C 右支上任意一点，根据双曲线的定义有1222PF PF a -==，即122PF PF =+令2[4,)t PF =∈+∞，则22212222(2)44414444PF t t t t t PF t t+++===+++++， 因为4t t +在[4,)+∞上为增函数，所以44454t t +≥+=， 所以44(0,]45t t ∈+，所以491(1,]45t t +∈+，即21224PF PF +9(1,]5∈. 16.17.（1）()22216139x y ⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭ （2）【详解】（1）解；设点()00,A x y ､(),M x y ，由题意可得13AM AB =，即()()0000143133x x x y y y ⎧-=-⎪⎪⎨⎪-=-⎪⎩，可得003223322x x y y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩， 因为点A 在圆C 上，所以，()220014x y ++=，即2233314222x y ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 化简可得()22216139x y ⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭， 故点M 的轨迹方程为()22216139x y ⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭. （2）k <18.（1）()2N n n a n *=∈（2）前n 项和为()()112N 12n n n *--∈+⋅ 【详解】（1）由题意：()22,N n n S a n *=-∈①， 当1n =时，可得12a =，当2n ≥时，()11222,N n n S a n n *--=-≥∈②， 由①-②得：()122,N n n a a n n *-=≥∈，由n a 为正项数列，得{}n a 是首项为2，公比为2的等比数列.因此可得()1222N n n n a n -*=⋅=∈（2）由于数列{}n b 的前n 项的乘积为!n ，当1n =时，得11b =；当2n ≥时，得()()*!2,N 1!n n b n n n n ==≥∈-；11b =符合通项，故得()*N n b n n =∈.由（1）可知：2n n n n c a b n ==⋅， ()()()2211122114212212n n n n n n n n n c c c n n n n +++++⎛⎫+⋅==- ⎪ ⎪⋅⋅⋅+⋅⋅+⎝⎭， 令n T 为21n n n c c c ++⋅的前n 项和， ()()122334111111111114212222232324221212n n n n T n n n +-⎛⎫=-+-+-+⋅⋅⋅+-=- ⎪ ⎪⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅+⋅+⋅⎝⎭. 19.（1）；（2）（，1） 20.（1）1062；（2）310； （3）乙更符合标准，理由见解析.【详解】（1）由题意知，加工直径误差不超过0.1±mm 的钢球中，甲：3360039650⨯=个，乙：3790066650⨯=个， 所以这批钢球中直径误差不超过0.1±mm 的钢球一共有3966661062+=个；（2）甲､乙加工钢球的总数之比为600:9002:3=，所以抽取的5个钢球中，甲占2个，记为A ，B ，，乙占3个，记为a ，b ，c ，从5个钢球中抽取的2个钢球的基本事件有：,,,,,,,.,AB Aa Ab Ac Ba Bb Bc ab ac bc ，共十个， 则全是乙加个的基本事件为：.,ab ac bc ，共3个；所以所求概率为310P =； （3）乙加工的钢球更符合标准.理由：甲､乙各加工的50个钢球中直径误差为0mm 的个数：甲有20个，乙有24个，2024<；甲生产的钢球中误差达到0.3±的个数较多.21.（1）证明见解析（2）存在，155【详解】（1）如图所示：在图1中，连接AC ，交BE 于O ，因为四边形ABCE 是边长为2的菱形，并且60BCE ∠=︒，所以AC BE ⊥，且OA OC ==在图2中，相交直线OA ，1OC 均与BE 垂直，所以1AOC ∠是二面角1A BE C --的平面角，因为1AC 22211OA OC AC +=，1OA OC ⊥，所以平面1BG E ⊥平面ABED ；（2）由（1）知，分别以OA ，OB ，1OC 为x ，y ，z 轴建立如图2所示的空间直角坐标系，则3,02D ⎫-⎪⎪⎝⎭，(1C，)A ，()0,1,0B ，()0,1,0E -，132DC ⎛= ⎝，3,02AD ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭，()AB =-，(1AC =-，()1,0AE =--. 设1DP DC λ=，[]0,1λ∈，则133,22AP AD DP AD DC λλ⎛⎫=++=-+ ⎪ ⎪=⎝⎭. 设平面1ABC 的法向量为(),,n x y z =，则100AB n AC n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即00y ⎧+=⎪⎨=⎪⎩，取()1,3,1n=， 因为点P 到平面1ABC所以23AP nd n -⋅===12λ=， 则34AP ⎛=- ⎝⎭，所以3144EP AP AE ⎛=-= ⎝⎭. 设直线EP 与平面1ABC 所成的角为θ，所以直线EP 与平面1ABC 所成角的正弦值为15sin cos ,5EP nEP n EP n θ⋅===⋅.22.（1）22143x y +=；（2）存在；GMHM +=. 【解析】（1）由12e =，可设2,a t c t ==，则,b =方程化为2222143x y t t+= 又点31,2P ⎛⎫ ⎪⎝⎭在椭圆上，则22914143t t +=，解得1t =因此椭圆C 的方程为22143x y +=. ()2当直线AB 的斜率存在时，设AB 直线的方程为y kx m =+ 联立直线AB 和椭圆C 的方程消去y 得，()2234120x x m ++-= 化简得：()2223484120k x kmx m +++-=21111222AOB S m x x m m =⋅-==△22223434m m k k==++== 当221342m k =+时，S 22234m k =+ 又()1212122286,23434km m x x y y k x x m k k -+=+=++=++，则1212,22x x y y M ++⎛⎫ ⎪⎝⎭ 即2243,3434km m M k k -⎛⎫ ⎪++⎝⎭令22434334km x k km y k -⎧=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩，则221322x y += 因此平面内存在两点,G H使得GM HM +=. 当直线AB 的斜率不存在时，设()2cos Aθθ，则()2cos ,Bθθcos 2AOB S θθθ==△，即当4πθ=此时AB中点M 的坐标为0)，满足方程221322x y +=即GM HM +=.。

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新洲一中、红安一中、麻城一中三校协作体2009年3月月考高二3月月考数 学 试 题命题: 新洲一中 王吉良 满分150分 时间120分钟一、选择题（共10小题，每小题5分，共50分）1、ABCD 是一个四面体，在四个面中最多有几个是直角三角形（ ）A 、1B 、2C 、3D 、42、设 ，m ，n 均为直线，其中m ，n 在平面α内，“ ⊥α”是“ ⊥m 且 ⊥n ”的（ ）A 、充分不必要条件B 、必要不充分条件C 、充分必要条件D 、既不充分也不必要条件 3、已知m 、n 是不重合的直线，α、β是不重合的平面，有下列命题：①若m ⊂α、n ∥β，则m ∥n ②若m ∥α、n ∥β，则α∥β ③若α∩β=n 、m ∥n ，则m ∥α且m ∥β ④若m ⊥α、m ⊥β，则α∥β 其中真命题的个数是（ ）A 、0B 、1C 、2D 、3 4、在正三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，若AB=2，AA 1=1，则点A 到平面A 1BC 的距离为（ ）A 、43 B 、23 C 、433 D 、35、一条直线与平面所成的角为θ（20πθ〈〈），则此直线与这个平面内任意一条直线所成的角中最大角是（ ）A 、2πB 、πC 、θπ-D 、θ 6、下列各图是正方体或正四面体，P 、Q 、R 、S 分别是所在棱的中点，这四个点中不共面的一个图是（ ）7、椭圆13422=+y x 的长轴为A 1A 2，短轴为B 1B 2，将坐标平面沿y 轴折成一个二面角，使左端点A 1在平面B 1A 2B 2上的射影恰好是该椭圆的右焦点，则此二面角的大小为（ ）A 、6π B 、4π C 、3π D 、125π 8、对于任意的直线 与平面α,在平面α内必有直线m,使得直线m 与直线 ( )A 、垂直B 、平行C 、相交D 、互为异面直线9、如图是正方体的平面展开图，在这个正方体中，①BM 与ED 平行；②CN 与BE 是异面直线；③CN 与BM 成60°角；④DM 与BN 垂直.以上四个命题中，不正确．．．命题的序号是（ ）A 、①②③B 、①②C 、③④D 、①②④10、△ABC 的AB 边在平面α内，C 在平面α外，AC 和BC 分别与面α成30°和45°的角，且平面ABC 与平面α成60°的二面角，那么sin ∠ACB 的值为（ ）A 、1B 、31C 、322 D 、1或31新洲一中、红安一中、麻城一中三校协作体3月份月考高二3月月考数 学 答 卷一、选择题答案填在表中二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分）11、正方体的一条对角线与正方体的棱可以组成 对异面直线.12、把边长为a 的正方形ABCD 沿对角线BD 折起，使A 、C 的距离等于a ，则异面直线AC 和BD 的距离为 .13、两个棱长均为a 的正三棱锥底面重合构成一个六面体，两个棱长均为a 的正四棱锥底面重合构成一个八面体.（1）（文科做）六面体与八面体的体积之比为 （2）（理科做）六面体与八面体的内切球的半径之比为14、已知平面α∥平面β，P 是平面α、β外的一点，过P 点的两条直线PA 、PB 分别交平面α于A 、B ，交平面β于C 、D ，且PA=6，AC=9，15、如图，设平面α∩β=EF ，AB ⊥α、CD ⊥α若增加一个条件，就能推出BD ⊥EF ，现有：①AC ⊥β②AC 与α、β所成的角相等；③AC 与CD 在β内的射 影在同一条直线上；④AC ∥EF.那么上述几个条件中 能成为增加条件的是 （填上你认为正确 的所有答案序号）三、解答题：（共6小题，共75分）解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.16、（本小题满分12分）已知：三个平面两两相交，有三条交线，且其中两条交线交于一点.求证：这三条交线交于一点.17、（本小题满分12分）如图，P 为平行四边形ABCD 所在平面外一点，M 、N 分别为AB 、PC 的中点，平面PAD ∩平面PBC=直线 .（1）求证：BC ∥ ；（2）试判断MN 与平面PAD 是否平行？并证明你的结论.18、（本小题满分12分）如图，已知空间四边形PABC 中，PA ⊥平面ABC ，AN ⊥BC 于N ，且PA=1，AN=BN=CN=2（1）求证：PB ⊥AC ； （2）求点A 到平面PBC 的距离.BPCAN19、（本小题满分12分）如图（1）在直角梯形ABCP 中，BC ∥AP ，AB ⊥BC ，CD ⊥AP ，AD=DC=PD=2，E 、F 、G 分别是PC 、PD 、BC 的中点，现将△PDC 沿CD 折起，使平面PDC ⊥平面ABCD 如图（2）（1）求二面角G-EF-D 的大小；（2）在线段PB 上确定一点Q ，使PC ⊥平面ADQ ，并给出证明过程.20、（本小题满分13分）如图，在棱长为1的正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，E 是BC 的中点，平面B 1ED 交A 1D 1于F ，（1）指出F 在A 1D 1上的位置，并说明理由；（2）求直线A 1C 与DE 所成的角的余弦值；（3）设P 为侧面BCC 1B 1上的动点，且AP=332，试指出动点P 的轨迹，并求出其轨迹所表示的曲线的长度.B C(1)ABC DPEF G(2)F CD 1 B 1E21、（本小题满分14分）如图，长方体AC 1中，AB=2，BC=AA 1=1，E 、F 、G 分别为棱DD 1、D 1C 1、BC 的中点，（1）试在底面A 1B 1C 1D 1上找一点H ，使EH ∥平面FGB 1；（2）求四面体EFGB 1的体积.A BC 1D 1 F C ED GB 1A 12a新洲一中、红安一中、麻城一中三校协作体2009年3月月考高二数学答案二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分）11、正方体的一条对角线与正方体的棱可以组成 6 对异面直线.12、把边长为a 的正方形ABCD 沿对角线BD 折起，使A 、C 的距离等于a ，则异面直线AC 和BD 的距离为 . 13、两个棱长均为a 的正三棱锥底面重合构成一个六面体，两个棱长均为a 的正四棱锥底面重合构成一个八面体.（1）（文科做）六面体与八面体的体积之比为 1:2 （2）（理科做）六面体与八面体的内切球的半径之比为 2:314、已知平面α∥平面β，P 是平面α、β外的一点，过P 点的两条直线PAC 、PBD 分别交平面α于A 、B ，交平面β于C 、D ，且PA=6，AC=9，AB=8，则CD 的长为20或415、如图，设平面α∩β=EF ，AB ⊥α、CD ⊥α垂足分别为B 、D ， 若增加一个条件，就能推出BD ⊥EF ，现有：①AC ⊥β；②AC 与α、β所成的角相等；③AC 与CD 在β内的射 影在同一条直线上；④AC ∥EF.那么上述几个条件中 能成为增加条件的是 ① ③ （填上你认为正确 的所有答案序号）三、解答题：（共6小题，共75分）解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 16、（本小题满分12分）已知：三个平面两两相交，有三条交线，且其中两条交线交于一点.求证：这三条交线交于一点.已知：（如图）α∩β=a ，β∩r=b ，r ∩α=c ，a ∩b=A 求证：a 、b 、c 交于一 点 证明：α∩β=aE FB DCAA ∈αa ∩b=A A∈a17、（本小题满分12分）PC 的中点，平面PAD ∩平面PBC=（1）求证：BC ∥ ；（2）试判断MN 与平面PAD （1）证明：由已知 AD 平面PAD BC// （2）平行延长CM ，DA 交于Q ，连接PQ ∴MN//PQ ∴MN//平面PAD （两小题各6分）18、（本小题满分12分）如图，已知空间四边形PABC 中，PA ⊥平面ABC ，AN ⊥BC 于N ，且PA=1，AN=BN=CN=2（1）求证：PB ⊥AC ； （2）求点A 到平面PBC 的距离.（1）略（2）由体积变换可求得A 到平面PBC 的距离为36 （两小题各6分）CBPCA N同理可证 A ∈r19、（本小题满分12分）如图（1）在直角梯形ABCP 中，BC ∥AP ，AB ⊥BC ，CD ⊥AP ，AD=DC=PD=2，E 、F 、G 分别是PC 、PD 、BC 的中点，现将△PDC 沿CD 折起，使平面PDC ⊥平面ABCD 如图（2）（1）求二面角G-EF-D 的大小；（2）在线段PB 上确定一点Q ，使PC ⊥平面ADQ（1）解：设平面FEG 交于AD 于H 点易知 H 为AD 的中点，∠DFH 为二面角G-EF-D 的 平面角，可求得∠DFH=45°（2）取PB 的中点Q ，易证PC ⊥平面ADEQ （两小题各6分）20、（本小题满分13分）如图，在棱长为1的正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，E 是BC 的中点，平面B 1ED 交A 1D 1于F ，（1）指出F 在A 1D 1上的位置，并说明理由；（2）求直线A 1C 与DE 所成的角的余弦值；（3）设P 为侧面BCC 1B 1上的动点，且AP= ，试指出动点P 的轨迹，并求出其轨迹所表示的曲线的长度. （1）略，F 为A 1D 1的中点（2）建立空间直角坐标系可求得其余弦值为1515（3）由AP 2=AB 2+BP2BP 2=31 BP=33∴P 点轨迹为以B 为圆心，33为半径的圆，在侧面BCC 1B 1内的部分，即圆的41的一段弧，其长度L=41×2ππ6333=⨯[（1）（2）两小题各4分，第（3）小题5分] 21、（本小题满分14分）如图，长方体AC 1中，AB=2，BC=AA 1=1，E 、F 、G 分别为棱DD 1、D 1C 1、BC 的中点，（1）试在底面A 1B 1C 1D 1上找一点H ，使EH ∥平面FGB 1；B C(1)CD 1 B 1E(2)332（2）求四面体EFGB 1的体积（1）解：取AD 的中点M 连A 1M ，MG易知A 1M ∥B 1G取A 1D 1的中点N ， 易知DN ∥A 1M再取ND 1的中点H ，易证HE ∥DN ，所以HE ∥B 1G 故EH ∥平面FGB 1所以H 为A 1D 1的四等分点，且HD 1=41 （2）V E-B 1FG =V H —B 1FG =V G-HB 1F=31·S △HFB 1·AA 1 =2458531=⨯ （每小题7分）BC 1C A 1。

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