初二数学期末专题复习之几何部分——菱形(学生版)
初二数学菱形
初二数学菱形性质：1.菱形具有平行四边形所有的性质。
（特有的性质）2.菱形的四边都相等。
3.菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角。
4.菱形既是轴对称图形也是中心对称图形。
5.菱形的面积公式=底×高；另一种是两条对角线乘积的一半（即四个小直角三角形面积之和）.实际上，任何一个对角线互相垂直的四边形的面积都是两条对角线乘积的一半。
判定：1.定义:有一组邻边相等的平行四边形是菱形。
2.对角线互相垂直的平行四边形是菱形。
3.四边都相等的四边形是菱形。
中点四边形1.矩形四边中点的连线组成一个菱形。
2.菱形四边中点的连线组成一个矩形。
（本质）1.对角线相等的四边形四边中点的连线组成一个菱形。
2.对角线垂直的四边形四边中点的连线组成一个矩形。
例题1.如图，四边形ABCD是菱形，CE⊥AB交AB的延长线于点E，CF⊥AD交AD的延长线于点F，求证：DF=BE．2、如图所示，在△ABC中，CD是∠ACB的平分线，DE∥AC，DF∥BC，四边形DECF是菱形吗?试说明理由．3.如图，已知菱形ABCD，AB=AC，E、F分别是BC、AD的中点，连接AE、CF．（1）证明：四边形AECF是矩形；（2）若AB=8，求菱形的面积．4.如图，在菱形ABCD中，AC，BD相交于点O，延长AB至点E，使BE＝AB，连接CE.(1)求证：四边形BECD是平行四边形；(2)若∠E＝60°，AC＝43，求菱形ABCD的面积．5.如图所示，菱形ABCD中，E、F分别是BC、CD上的点，∠B＝∠EAF＝60°，∠BAE＝18°．求∠CEF的度数．6.如图，△ABC中，∠ACB=60°，分别以△ABC的两边向形外作等边△BCE、等边△ACF，过A作AM∥FC交BC于点M，连接EM．求证：（1）四边形AMCF是菱形；（2）△ACB≌△MCE．7.如图,菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，且AC＝8，BD＝6，过点O作OH⊥AB，垂足为H，则点O到边AB的距离OH＝．8.如图所示，已知菱形ABCD 中E 在BC 上，且AB=AE ，∠BAE=12∠EAD ，AE 交BD 于M ，试说明BE=AM9.如图所示，在△ABC 中，∠BAC ＝90°，AD ⊥BC 于点D ，CE 平分∠ACD ，交AD 于点G ，交AB 于点E ，EF ⊥BC 于点F ． 求证：四边形AEFG 是菱形．10.如图，在△ABC 中，∠ABC=90°，BD 为AC 的中线，过点C 作CE ⊥BD 于点E ，过点A 作BD 的平行线，交CE 的延长线于点F ，在AF 的延长线上截取FG=BD ，连接BG 、DF ．（1）求证：BD=DF ；（2）求证：四边形BDFG 为菱形；（3）若AG=13，CF=6，求四边形BDFG 的周长．3421M E DCB A11.如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝120°，E是AB边的中点，P是AC边上一动点，PB＋PE的最小值是2，求AB的值．12.菱形具有而矩形不一定具有的性质是（）．A．对边相等 B．对角相等 C．对角线互相垂直 D．对角线相等13.下列说法不正确的是（）．A．菱形的对角线互相垂直 B．菱形的对角线平分各内角C．菱形的对角线相等 D．菱形的对角线交点到各边等距离14.菱形的两邻角之比为1：2，如果它的较短对角线为3cm，则它的周长为（）． A．8cm B．9cm C．12cm D．15cm15.如图，在菱形ABCD中，AC、BD是对角线，若∠BAC＝50°，则∠ABC等于（）A．40° B．50° C．80° D．100°16.如图，已知菱形ABCD，其顶点A、B在数轴上对应的数分别为－4和1，则BC ＝_____.17.如图，菱形ABCD的周长为8cm，高AE长为cm，则对角线AC长和BD长之比为 .18.如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC的顶点B的坐标为（8，4），则C点的坐标为_______.19.如图，菱形ABCD的边长是2cm，E是AB中点，且DE⊥AB，则菱形ABCD的面积为______2cm.20. 如图，在等边三角形ABC中，BC=6cm，射线AG∥BC，点E从点A出发沿射线AG以lcm/s的速度运动，同时点F从点B出发沿线射BC以2cm/s的速度运动，设运动时间为t（s）．（1）连接EF，当EF经过AC边的中点D时，求证：△ADE≌△CDF；（2）当t为多少时，四边形ACFE是菱形．答案1.证明：连接AC，∵四边形ABCD是菱形，∴AC平分∠DAE，CD=BC，∵CE⊥AB，CF⊥AD，∴CE=FC，∠CFD=∠CEB=90°．在Rt△CDF与Rt△CBE中，，∴Rt△CDF≌Rt△CBE（HL），∴DF=BE．2.解：四边形DECF是菱形，理由如下：∵ DE∥AC，DF∥BC∴四边形DECF是平行四边形．∵ CD平分∠ACB，∴∠1＝∠2∵ DF∥BC，∴∠2＝∠3，∴∠1＝∠3．∴ CF＝DF，∴四边形DECF是菱形．3.（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AB=BC，又∵AB=AC，∴△ABC是等边三角形，∵E是BC的中点，∴AE⊥BC（等腰三角形三线合一），∴∠1=90°，∵E、F分别是BC、AD的中点，∴AF=12ADEC=12 BC，∵四边形ABCD是菱形，∴AD∥BC且AD=BC，∴AF∥EC且AF=EC，∴四边形AECF是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形），又∵∠1=90°，∴四边形AECF是矩形（有一个角是直角的平行四边形是矩形）；（2）在Rt△ABE中，AE=2284=43，S菱形ABCD=43×8＝3234.（1)证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝CD，AB∥CD，又∵BE＝AB，∴BE＝CD，BE∥CD，∴四边形BECD是平行四边形(2)解：∵四边形BECD是平行四边形，∴DB∥CE，∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，∴AC⊥CE.在Rt△ACE中，∵∠E＝60°，AC＝43，∴CE＝ACtanE＝433＝4，∵四边形BECD是平行四边形，∴BD＝CE＝4，∴S菱形ABCD＝12AC·BD＝12×43×4＝8 35.解：连接AC．∵四边形ABCD是菱形，∴ AB＝BC，∠ACB＝∠ACF．又∵∠B＝60°，∴△ABC是等边三角形．∴∠BAC＝∠ACB＝60°，AB＝AC．∴∠ACF＝∠B＝60°．又∵∠EAF＝∠BAC＝60°∴∠BAE＝∠CAF．∴△ABE≌△ACF．∴ AE＝AF．∴△AEF为等边三角形．∴∠AEF＝60°．又∵∠AEF＋∠CEF＝∠B＋∠BAE，∠BAE＝18°，∴∠CEF＝18°．6.证明：（1）∵△ACF是等边三角形，∴∠FAC=∠ACF=60°，AC=CF=AF，∵∠ACB=60°，∴∠ACB=∠FAC，∴AF∥BC，∵AM∥FC，∴四边形AMCF是平行四边形，∵AM∥FC，∠ACB=∠ACF=60°，∴∠AMC=60°，又∵∠ACB=60°，∴△AMC是等边三角形，∴AM=MC，∴四边形AMCF是菱形；（2）∵△BCE是等边三角形，∴BC=EC，在△ABC和△MEC中∵，∴△ABC≌△MEC（SAS）．7.2.48.解：∵AB=AE∴∠ABE=∠AEB=∠EAD∵∠BAE=12∠EAD∴∠EAD=2∠BAE∴5∠BAE=180°∠BAE=36°∠ABE=∠AEB=∠EAD=72°∵菱形ABCD∴∠ABD=∠DBC=72°÷2=36°=∠BAE 即：∠ABD=∠BAE AM =BM9.证明：∵ CE平分∠ACB，∠BAC＝90°，EF⊥BC，∴ AE＝EF，∠1＋∠3＝90°，∠4＋∠2＝90°．∵∠1＝∠2，∴∠3＝∠4．∵ EF⊥BC，AD⊥BC，∴ EF∥AD．∴∠4＝∠5．∴∠3＝∠5．∴ AE＝AG．∴ EF AG．∴四边形AEFG是平行四边形．又∵ AE＝AG，∴四边形AEFG是菱形10.证明：∵∠ABC=90°，BD为AC的中线，∴BD=AC，∵AG∥BD，BD=FG，∴四边形BGFD是平行四边形，∵CF⊥BD，∴CF⊥AG，又∵点D是AC中点，∴DF=AC，∴BD=DF；（2）证明：∵BD=DF，∴四边形BGFD是菱形，（3）解：设GF=x，则AF=13﹣x，AC=2x，∵在Rt△ACF中，∠CFA=90°，∴AF2+CF2=AC2，即（13﹣x）2+62=（2x）2，解得：x=5，∴四边形BDFG的周长=4GF=20．11.解：∵∠ABC＝120°∴∠BCD＝∠BAD＝60°；∵菱形ABCD中，AB＝AD∴△ABD是等边三角形；又∵E是AB边的中点，B关于AC的对称点是D ，DE ⊥AB连接DE ，DE与AC交于P ，PB＝PD ；DE的长就是PB＋PE的最小值2；12.C13.C14.C15.C16.517.1：；【解析】如图，设AC ，BD 相较于点O ，∵菱形ABCD 的周长为8cm ，∴AB=BC=2cm ，∵高AE 长为cm ，∴BE==1（cm ），∴CE=BE=1cm ，∴AC=AB=2cm ，∵OA=1cm ，AC ⊥BD ，∴OB==（cm ），∴BD=2OB=2cm ，∴AC ：BD=1：．18.（3,4）；【解析】过B 点作BD ⊥OA 于D ，过C 点作CE ⊥OA 于E ，BD ＝4，OA ＝，AD＝8－，，解得，所以OE ＝AD ＝8－5＝3，C点坐标为（3,4）.19.220.证明：∵AG ∥BC ，∴∠EAD=∠DCF ，∠AED=∠DFC ，∵D 为AC 的中点，∴AD=CD ，在△ADE 和△CDF 中，，∴△ADE ≌△CDF （AAS ）；（2）解：①若四边形ACFE 是菱形，则有CF=AC=AE=6，则此时的时间t=6÷1=6（s ）．x x ()22284x x =-+5x =。
菱形专题复习
菱形专题复习
我们在这份文档中将复菱形专题。
菱形专题在几何学中占有重
要地位，因此了解其特征和性质对我们的研究和应用都非常有帮助。
菱形的定义
菱形是一个有四条边的几何图形，其特点是：
- 四条边都相等的长度
- 相邻边之间夹角为直角
菱形的性质
菱形有一些独特的性质，我们来逐一探讨：
1. 对角线
菱形的对角线具有以下性质：
- 对角线相等：菱形的两条对角线长度相等。
- 对角线互相垂直：菱形的两条对角线互相垂直，即两条对角线之间的夹角为直角。
2. 内角和外角
菱形的内角和外角具有以下性质：
- 内角：菱形的内角都是直角（90度）。
- 外角：菱形的外角都是锐角（小于90度）。
3. 对称性
菱形具有对称性：
- 轴对称：菱形关于任意一条对角线都是轴对称图形。
菱形的应用
菱形的性质使其在现实生活和工程中有广泛的应用，以下是一些例子：
- 结构设计：菱形的稳定性和对称性使其成为建筑和桥梁设计中常用的形状。
- 标志设计：许多标志和徽标使用菱形来表达特定的意义和形象。
- 钻石饰品：钻石是一种形成菱形晶体结构的珍贵宝石。
总结
本文档回顾了菱形的定义、性质和应用。
了解菱形的特点和用途对我们的研究和实际应用都非常重要。
希望这份复资料对你有所帮助。
> 注：本文中的内容资料均为普遍公认的几何学知识，无法提供具体的引用来源。
如果需要引用，请参考相关几何学教材和学术文献。
八年级数学《菱形》知识总结及经典例题
八年级数学《菱形》知识总结及经典例题学习目标1．掌握菱形的概念．2．理解菱形的性质及识别方法．3．能利用菱形的性质及识别方法，解决一些问题．学法指导把平行四边形、矩形、菱形的性质及识别方法对照起来学习，了解它们的相同点和不同点．基础知识讲解1．菱形的定义四条边都相等的平行四边形（或一组邻边相等的平行四边形）叫做菱形．由菱形的定义可知，菱形是一种特殊的平行四边形，菱形的定义包含两个条件，①是平行四边形，②邻边相等，这两个条件缺一不可．2．菱形的性质（1）它具有平行四边形的一切性质（2）它除具有平行四边形的性质外，还具有自己的特殊性质．①菱形的四条边都相等．②菱形的对角线互相垂直平分，而且每条对角线平分一组对角．③菱形是轴对称图形，对称轴是两条对角线所在的直线．④菱形的对角线分菱形为4个全等的直角三角形．3．菱形的识别方法菱形的识别方法，除用定义来识别外，还有其它的识别方法，用定义来识别是最基本的识别方法．其它的识别方法有①四条边都相等的四边形，也为菱形．②对角线互相垂直的平行四边形，也是菱形，运用这个识别方法必须符合两个条件，一是对角线互相垂直，二是平行四边形．4．菱形的面积计算由菱形的对角线把菱形分成4个全等的直角三角形，可得出，菱形的面积=4×S Rt △. 设对角线长分别为a ，b ．则菱形的面积=4×21×（22b a ）=21ab ，即菱形的面积等于对角线乘积的一半．5．菱形的性质及识别方法的作用利用它们可以证明线段相等、垂直、平分、平行等关系．证明角相等，平分等关系，证明一个四边形为菱形和进行有关的计算．重点难点重点：菱形的性质，识别方法及其在生活、生产中的应用．难点：运用菱形的性质及识别方法，灵活地解答一些问题．易错误区分析运用菱形的定义时易忽略，邻边相等的平行四边形中的平行四边形这个条件． 例1．判断下列说法对不对（1）邻边相等的四边形为菱形．（ ）（2）两边相等的平行四边形为菱形．（ ）错误分析：（1）中应为邻边相等的平行四边形．（2）中是指邻边相等而不是两边相等． 错解：（1）（√） （2）（×）正解：（2）（×） （2）（×）运用菱形的识别方法“对角线”互相垂直且平分的平行四边形中有时忽略垂直或者平分，有时忽略平行四边形这些条件．由于本节的性质判别方法较多，利用本节解题时易犯推理不严密的错误．例2．如图在菱形ABCD 中，E ，F 分别是BC ，CD 的中点连结AE ，AF.求证：AE ＝AF错误分析：本题证明错在BE ＝DF ，因为并未证明BC ＝CD ，推理不严格错证：∵菱形ABCD ，∴AB ＝CD ，∠B ＝∠D又∵E ，F 分别为BC ，CD 的中点，∴BE ＝DF∴△ABE ≌△ADF ∴AE ＝AF正证：∵菱形ABCD ∵AB ＝AD ，∠B ＝∠D ， ∴21BC=21CD 又∵EF 分别为BC ，CD 的中点 ∴BE ＝DF ，∴△ABE ≌△ADF ∴AE ＝AF典型例题例l ．已知，如图所示，菱形ABCD 中，E ，F 分别是BC 、CD 上的一点，∠D=∠EAF=∠AEF ＝60°.∠BAE ＝18°，求∠CEF 的度数．分析：要求∠CEF 的度数，可先求∠AEB 的度数，而要求∠AEB 的度数则必须求∠B 的度数，这一点则可由菱形是特殊的平行四边形可得到.另外，由∠D ＝60°．如连结AC 得等边△ABC 与△ACD ，从而△ABE ≌△ACF ，有AE ＝AF ，则△AEF 为等边三角形，再由外角等于不相邻的两个内角和，可求∠CEF解法一：因为菱形是特殊的平行四边形．所∠B ＝∠D ＝60°.因为∠BAE ＝18°，∠AEB+∠B+∠BAE ＝180°所以∠AEB+60°+18°＝180°.即∠AEB=180°-60°-18°＝102°．又∠AEF ＝60°，∠AEB+∠AEF+∠CEF ＝180°所以∠CEF ＝180°-60°-102°＝18°解法二：连结AC ∴四边形ABCD 为菱形，∴∠B ＝∠D ＝60°，AB ＝BC ＝CD ＝AD ．∴△ABC 和△CDA 为等边三角形 ∴AB ＝AC ，∠B ＝∠ACD ＝∠BAC ＝60°∵∠EAF ＝60° ∴△BAE=∠CAF ∴△ABE ≌△ACF ∴AE ＝AF又∵∠EAF ＝60° ∴△EAF 为等边三角形 ∴∠AEF ＝60°∵∠AEC=∠B+∠BAE=∠AEF+∠CEF∴60°+18°＝60°+∠CEF ∴∠CEF ＝18°解法三：利用辅助线把菱形转化为三角形来解答，这是一种常用的作辅助线的方法．例2．已知：如图，△ABC 中，∠BAC ＝90°，AD ⊥BC 于点D ，BE 平分∠ABC ，交AD 于点M ，AN 平分∠DAC ，交BC 于点N.求证：四边形AMNE 是菱形．分析：要证AMNE 是菱形，可以根据定义，证得它是平行四边形，并且有一组邻边相等，也可以根据判定定理，证它四边相等；或证两条对角线互相垂直平分，注意到AN 是∠DAC 的平分线，只要证AM ＝AE ，则AN 垂直平分ME ，若证AN ⊥ME ，则再由BE 平分∠ABN 易知BE 也垂直平分AN ，即AN 与ME 互相垂直平分，故有AM ＝MN ＝NE ＝AE ，即AMNE 是菱形，此为证法一．显然，在上述证法中，证得BE 垂直平分AN 后，可得AM ＝MN ，所以∠MNA ＝∠MAN ＝∠NAE ，所以MN AE ，则AMNE 是平行四边形，又AM ＝MN 所以AMNE 是菱形．证法一：因为∠BAC ＝90°，AD ⊥BC ，所以∠BAD ＝∠C因为BE 平分∠ABC ，所以∠ABE ＝∠EBC ．因为∠AME ＝∠BAD+∠ABE ＝∠C+∠EBC ＝∠AEM ，所以AM ＝AE ，又因为AN 平分∠DAC ，所以AM ＝MN ，所以AM ＝MN ＝NE ＝AE ．所以AMNE 是菱形．证法二：同上，若证AN 垂直平分ME ，再证BE 垂直平分AN ，则AM ＝MN ，所以∠MNA=∠MNA=∠NAE.所以MN AE ．所以AMNE 是平行四边形，由AM ＝MN 得AMNE 是菱形．例3．已知：如图菱形ABCD 中，DE ⊥AB 于点E ，且OA ＝DE ，边长AD ＝8，求菱形ABCD 的面积．分析：由菱形的对角线互相垂直知OA 是△ABD 的边BD 上的高，又由DE ⊥AB ，OA ＝DE ，易知△AOD ≌△DEA 从而知△ABD 是等边三角形，从而菱形ABCD 面积可求．解：在菱形ABCD 中，因为AC ⊥BD ，所以△AOD 是直角三角形，因为DE ⊥AB ，所以△AED 是直角三角形．在Rt △AOD 和Rt △AED 中，因为AD ＝AD ，DE ＝OA ，所以Rt △AOD ≌Rt △DEA ．所以∠ADO ＝∠DAE ，因为ABCD 为菱形，所以∠ADO ＝∠ABO ，所以△ABD 是等边三角形．因为AD ＝8，DE ⊥AB ，所以AE ＝21AD ＝4，在Rt △AED 中，DE ＝22AE AD =43.从而S 菱形ABCD ＝AB ·DE ＝8×43=323注意：题中是将菱形的面积按一般的平行四边形面积公式计算的，当然也可以求出对角线AC ，BD 的长，按S 菱形ABCD =21AC ·BD 来计算，但后者较繁复． 例4．已知：如图，□ABCD 中，AD ＝2AB ，将CD 向两边分别延长到E ，F 使CD ＝CE ＝DF. 求证：AE ⊥BF分析：注意□ABCD 中，AD ＝2AB 这一特殊条件，因此□ABCD 能分成两个菱形．从而可以通过菱形的对角线互相垂直来证明．证明：设AE 交BC 于点G ，BF 交AD 于点H ，连结GH.因为AB ∥DF ，所以∠F=∠ABH ， ∠FDH=∠BAH.又因为AB ＝CD ＝DF ，所以△ABH ≌△DFH.所以AH ＝HD=21AD=AB.所以BC AH ，BG=AB ．则四边形ABGH 是菱形，所以AE ⊥BF.例5．如图所示，AD 是△ABC 的角平分线，EF 垂直平分AD ，分别交AB 于E ，交AC 于F ，则四边形AEDF 是菱形吗？请说明理由．分析：由已知判断△AOF 和△DOF 是关于直线EF 成轴对称图形，再由轴对称的特征，得到∠OAF ＝∠ODF ，再结合已知得到∠ODF ＝∠OAE ，从而判断DF ∥AE ，得到AEDF 是平行四边形，进一步推出对角线互相垂直平分，得到AEDF 是菱形。
人教版数学八年级下册菱形(基础)知识讲解
菱形（基础）【学习目标】1. 理解菱形的概念.2. 掌握菱形的性质定理及判定定理．【要点梳理】要点一、菱形的定义有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.要点诠释：菱形的定义的两个要素：①是平行四边形.②有一组邻边相等.即菱形是一个平行四边形，然后增加一对邻边相等这个特殊条件.要点二、菱形的性质菱形除了具有平行四边形的一切性质外，还有一些特殊性质：1.菱形的四条边都相等；2.菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角.3.菱形也是轴对称图形，有两条对称轴（对角线所在的直线），对称轴的交点就是对称中心. 要点诠释：（1）菱形是特殊的平行四边形，是中心对称图形，过中心的任意直线可将菱形分成完全全等的两部分.（2）菱形的面积有两种计算方法：一种是平行四边形的面积公式：底×高；另一种是两条对角线乘积的一半（即四个小直角三角形面积之和）.实际上，任何一个对角线互相垂直的四边形的面积都是两条对角线乘积的一半.（3）菱形可以用来证明线段相等，角相等，直线平行，垂直及有关计算问题.要点三、菱形的判定菱形的判定方法有三种：1.定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形.2.对角线互相垂直的平行四边形是菱形.3.四条边相等的四边形是菱形.要点诠释：前两种方法都是在平行四边形的基础上外加一个条件来判定菱形，后一种方法是在四边形的基础上加上四条边相等.【典型例题】类型一、菱形的性质1、（2016•广安）如图，四边形ABCD是菱形，CE⊥AB交AB的延长线于点E，CF ⊥AD交AD的延长线于点F，求证：DF=BE．【思路点拨】连接AC，根据菱形的性质可得AC平分∠DAE，CD=BC，再根据角平分线的性质可得CE=FC，然后利用HL证明Rt△CDF≌Rt△CBE，即可得出DF=BE．【答案与解析】证明：连接AC，∵四边形ABCD 是菱形，∴AC 平分∠DAE ，CD=BC ，∵CE ⊥AB ，CF ⊥AD ，∴CE=FC ，∠CFD=∠CEB=90°．在Rt △CDF 与Rt △CBE 中，，∴Rt △CDF ≌Rt △CBE （HL ），∴DF=BE ．【总结升华】此题考查了菱形的性质，角平分线的性质，关键是掌握菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．同时考查了全等三角形的判定与性质．举一反三：【变式1】（2015•温州模拟）如图，在菱形ABCD 中，点E 是AB 上的一点，连接DE 交AC 于点O ，连接BO ，且∠AED=50°，则∠CBO= 度．【答案】50；解：在菱形ABCD 中，AB ∥CD ，∴∠CDO=∠AED=50°，CD=CB ，∠BCO=∠DCO ，∴在△BCO 和△DCO 中，，∴△BCO ≌△DCO （SAS ），∴∠CBO=∠CDO=50°．【高清课堂 特殊的平行四边形（菱形） 例1】【变式2】菱形ABCD 中，∠A ∶∠B ＝1∶5，若周长为8，则此菱形的高等于( )．A.21B.4C.1D.2【答案】C ；提示：由题意，∠A＝30°，边长为2，菱形的高等于12×2＝1.类型二、菱形的判定2、如图所示，在△ABC中，CD是∠ACB的平分线，DE∥AC，DF∥BC，四边形DECF是菱形吗?试说明理由．【思路点拨】由菱形的定义去判定图形，由DE∥AC，DF∥BC知四边形DECF是平行四边形，再由∠1＝∠2＝∠3得到邻边相等即可．【答案与解析】解：四边形DECF是菱形，理由如下：∵ DE∥AC，DF∥BC∴四边形DECF是平行四边形．∵ CD平分∠ACB，∴∠1＝∠2∵ DF∥BC，∴∠2＝∠3，∴∠1＝∠3．∴ CF＝DF，∴四边形DECF是菱形．【总结升华】在用菱形的定义判定一个四边形是菱形时，首先判定这个四边形是平行四边形，再由一对邻边相等来判定它是菱形．举一反三：【变式】如图所示，AD是△ABC的角平分线，EF垂直平分AD，分别交AB于E，交AC于F，则四边形AEDF是菱形吗?请说明理由．【答案】解：四边形AEDF是菱形，理由如下：∵ EF垂直平分AD，∴△AOF与△DOF关于直线EF成轴对称．∴∠ODF＝∠OAF，又∵ AD平分∠BAC，即∠OAF＝∠OAE，∴∠ODF＝∠OAE．∴ AE∥DF，同理可得：DE∥AF．∴四边形AEDF是平行四边形，∴ EO＝OF又∵Y AEDF的对角线AD、EF互相垂直平分．∴Y AEDF是菱形．3、如图所示，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于点D，CE平分∠ACD，交AD于点G，交AB于点E，EF⊥BC于点F．求证：四边形AEFG是菱形．【思路点拨】由角平分线性质易知AE＝EF，欲证四边形AEFG是菱形，只要再证四边形AEFG是平行四边形或AG＝GF＝AE即可．【答案与解析】证明：方法一：∵ CE平分∠ACB，∠BAC＝90°，EF⊥BC，∴ AE＝EF，∠1＋∠3＝90°，∠4＋∠2＝90°．∵∠1＝∠2，∴∠3＝∠4．∵ EF⊥BC，AD⊥BC，∴ EF∥AD．∴∠4＝∠5．∴∠3＝∠5．∴ AE＝AG．∴ EF AG．∴四边形AEFG是平行四边形．又∵ AE＝AG，∴四边形AEFG是菱形．方法二：∵ CE平分∠ACB，∠BAC＝90°，EF⊥BC，∴ AE＝EF，∠1＋∠3＝90°，∠4＋∠2＝90°．∴∠3＝∠4．∵ EF⊥BC，AD⊥BC，∴ EF∥AD．∴∠4＝∠5．∴∠3＝∠5．∴ AE＝AG．在△AEG和△FEG中，AE＝EF，∠3＝∠4，EG＝EG，∴△AEG≌△FEG．∴ AG＝FG．∴ AE＝EF＝FG＝AG．∴四边形AEFG是菱形．【总结升华】判定一个四边形是菱形，关键是把已知条件转化成判定方法所需要的条件．举一反三：【变式】如图所示，在Y ABCD中，E、F分别为边AB、CD的中点，BD是对角线，过A点作AG∥DB交CB的延长线于点G．(1)求证：DE∥BF；(2)若∠G＝90°，求证四边形DEBF是菱形．【答案】证明：(1)Y ABCD中，AB∥CD，AB＝CD ∵ E、F分别为AB、CD的中点∴ DF＝12DC，BE＝12AB∴ DF∥BE．DF＝BE∴四边形DEBF为平行四边形∴ DE∥BF(2)证明：∵ AG∥BD∴∠G＝∠DBC＝90°∴△DBC为直角三角形又∵ F为边CD的中点．∴ BF＝12DC＝DF又∵四边形DEBF为平行四边形∴四边形DEBF是菱形类型三、菱形的应用4、如图所示，是一种长0.3m，宽0.2m的矩形瓷砖，E、F、G、H分别为矩形四边BC、CD、DA、AB的中点，阴影部分为淡黄色花纹，中间部分为白色，现有一面长4.2 m，宽2.8m的墙壁准备贴如图所示规格的瓷砖．试问：(1)这面墙最少要贴这种瓷砖多少块?(2)全部贴满后，这面墙壁会出现多少个面积相同的菱形?【答案与解析】解：墙壁长4.2m，宽2.8m，矩形瓷砖长0.3m，宽0.2m，4.2÷0.3＝14，2.8÷0.2＝14，则可知矩形瓷砖横排14块，竖排14块可毫无空隙地贴满墙面．(1)则至少需要这种瓷砖14×14＝196(块)．(2)每块瓷砖中间有一个白色菱形，则共有196个白色的菱形，它的面积等于瓷砖面积的一半．另外在同一个顶点处的瓷砖能够拼成一个淡黄色花纹的菱形，它的面积也等于瓷砖面积的一半，有花纹的菱形横排有13个，竖排也有13个，则一共有淡黄色花纹菱形13×13＝169个，面积相等的菱形一共有196＋169＝365(个)．【总结升华】菱形可以看作是由直角三角形组成的，因而铺满墙面后，要计算空白菱形的个数和阴影菱形的个数．将相同的图形拼在一起，在顶点周围的几个图形也能拼成一定的图案，不要忽略周围图形的拼接．。
初二数学期末专题复习之几何部分——菱形(学生版)
初二数学期末专题复习之——菱形一、知识点梳理（一）四边形的相关概念1、四边形在同一平面内，由不在同一直线上的四条线段首尾顺次相接的图形叫做四边形。
2、凸四边形把四边形的任一边向两方延长，如果其他个边都在延长所得直线的同一旁，这样的四边形叫做凸四边形。
3、对角线在四边形中，连接不相邻两个顶点的线段叫做四边形的对角线。
4、四边形的不稳定性三角形的三边如果确定后，它的形状、大小就确定了，这是三角形的稳定性。
但是四边形的四边确定后，它的形状不能确定，这就是四边形所具有的不稳定性，它在生产、生活方面有着广泛的应用。
5、四边形的内角和定理及外角和定理四边形的内角和定理：四边形的内角和等于360°。
四边形的外角和定理：四边形的外角和等于360°。
推论：多边形的内角和定理： n 边形的内角和等于(n 2)180°；多边形的外角和定理：任意多边形的外角和等于360°。
6、多边形的对角线条数的计算公式设多边形的边数为 n，则多边形的对角线条数为n(n3) 。
2（二）平行四边形1、平行四边形的概念两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。
平行四边形用符号“□ABCD”表示，如平行四边形ABCD记作“□ABCD”，读作“平行四边形 ABCD”。
2、平行四边形的性质（1）平行四边形的邻角互补，对角相等。
（2）平行四边形的对边平行且相等。
推论：夹在两条平行线间的平行线段相等。
（3）平行四边形的对角线互相平分。
（4）若一直线过平行四边形两对角线的交点，则这条直线被一组对边截下的线段以对角线的交点为中点，并且这两条直线二等分此平行四边形的面积。
（5）中心对称图形，对称中心是对角线的交点。
3、平行四边形的判定（1）定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形（2）定理 1：两组对角分别相等的四边形是平行四边形（3）定理 2：两组对边分别相等的四边形是平行四边形（4）定理 3：对角线互相平分的四边形是平行四边形（5）定理 4：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形4、两条平行线的距离两条平行线中，一条直线上的任意一点到另一条直线的距离，叫做这两条平行线的距离。
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菱形【知识梳理】1.定义: 有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形（菱形是平行四边形: 一组邻边相等）2.性质: （1）边: 四条边都相等；（2）角: 对角相等、邻角互补；（3）对角线: 对角线互相垂直平分且每条对角线平分每组对角；（4）对称性：既是轴对称图形又是中心对称图形.3.菱形的判定方法:一组邻边相等的平行四边形是菱形对角线互相垂直平分的平行四边形是菱形对角线互相垂直平分的四边形是菱形四条边都相等的四边形是菱形4.识别菱形的常用方法（1）先说明四边形ABCD为平行四边形, 再说明平行四边形ABCD的任一组邻边相等.（2）先说明四边形ABCD为平行四边形, 再说明对角线互相垂直．（3）说明四边形ABCD的四条相等.5、面积:设菱形ABCD的一边长为a, 高为h, 则S菱形=ah；若菱形的两对角线的长分别为a,b, 则S菱形=ab【经典题】一、选择题1.(201.广东省珠海市.边长为3 cm的菱形的周长是.. )A.6 cmB.9 cmC.12 cmD.15 cm3.(201.贵州省毕节地区.如图所示, 菱形ABCD 中, 对角线AC.BD 相交于点O, H 为AD 边的中点, 菱形ABCD 的周长为28, 则OH 的长等于. ）A.3.5B.4C.7D.14B C（第8题图）4.(201.湖南省长沙市.如图, 已知菱形ABCD 的边长等于2, ∠DAB=60°,则对角线BD 的长....)A. 1B.C. 2D. 25.(201.江苏省徐州市.若顺次连接四边形的各边中点所得的四边形是菱形, 则该四边形一定是矩形 B.等腰梯形C.对角线相等的四边形D.对角线互相垂直的四边形6.(201.山东省枣庄市.如图, 菱形ABCD的边长为4, 过点A.C作对角线AC的垂线, 分别交CB和AD的延长线于点E, F,AE=3, 则四边形AECF的周长为.. ）A. 22B. 18C. 14D. 117.(201.浙江省宁波市.菱形的两条对角线长分别是6和8, 则此菱形的边长...... .. ）A.1.......B........C.......D.58.(201.黑龙江省农垦牡丹江管理局.如图, 在菱形ABCD中, E是AB边上一点, 且∠A=∠EDF=60°, 有下列结论: ①AE=BF；②△DEF是等边三角形；③△BEF是等腰三角形；④∠ADE=∠BEF, 其中结论正确的个数是（）A. 3B. 4C. 1D. 29.(201.上海市.如图, 已知AC.BD是菱形ABCD的对角线, 那么下列结论一定正确的是.. ）.(A)△ABD与△ABC的周长相等；(B)△ABD与△ABC的周长相等；(C)菱形的周长等于两条对角线之和的两倍；(D)菱形的面积等于两条对角线之积的两倍.10.(201.浙江省台州市.如图, 菱形ABCD的对角线AC=4cm, 把它沿着对角线AC方向平移1cm得到菱形EFGH, 则图中阴影部分图形的面积与四边形EMCN的面积之比为（）A．4：3 B．3：2 C．14: 9 D．17: 9二、填空题11.(201.吉林省长春市.如图, 在边长为3的菱形ABCD中, 点E在边CD上, 点F为BE延长线与AD延长线的交点. 若DE=1, 则DF的长为.. .12.(201.福建省莆田市.如图, 菱形ABCD的边长为4, ∠BAD=120°, 点E是AB的中点, 点F是AC上的一动点, 则EF+BF的最小值是2 ．13.(201.甘肃省陇南市.如图, 四边形ABCD是菱形, O是两条对角线的交点, 过O点的三条直线将菱形分成阴影和空白部分. 当菱形的两条对角线的长分别为6和8时, 则阴影部分的面积为12.14.(201.甘肃省兰州市.如果菱形的两条对角线的长为a 和b, 且a, b 满足（a ﹣1）2+=0, 那么菱形的面积等于 _________ .15.(201.湖北省十堰市.如图, 在△ABC 中, 点D 是BC 的中点, 点E 、F 分别在线段AD 及其延长线上, 且DE=DF, 给出下列条件: ①BE ⊥EC ；②BF ∥CE ；③AB=AC ；从中选择一个条件使四边形BECF 是菱形, 你认为这个条件.... （只填写序号）DAB C F E16.(201.江苏省宿迁市.如图, 在平面直角坐标系xOy 中, 若菱形ABCD 的顶点A, B 的坐标分别为(－3, 0), (2,0), 点D 在y 轴上, 则点C 的坐标......17.(201.辽宁省大连市.如图, 菱形ABCD 中, AC.BD 相交于点O, 若∠BCO=55°, 则∠ADO=. .18.(201.四川省宜宾市.菱形的周长为20cm, 两个相邻的内角的度数之比为l ∶2, 则较长的对角线长度是cm.19.(201.四川省凉山州.顺次连接矩形四边中点所形成的四边形... , 学校的一块菱形花圃两对角线的长分别是6m 和8m, 则这个花圃的面积......20.(201.四川省泸州市.一个平行四边形的一条边长为3, 两条对角线的长分别为4和, 则它的面积...... .21.(201.福建省漳州市.若菱形的周长为20cm, 则它的边长是 cm ．22.(201.重庆市A 卷.如图, 菱形ABCD 中, ∠A=60°, BD=7, 则菱形ABCD 的周长为________.CAB23.(201.辽宁省锦州市.菱形ABCD 的边长为2, ,E 是AD 边中点, 点P 是对角线BD 上的动点, 当AP+PE 的值最小时, PC 的长是__________.24.(201.山东省淄博市.已知□ABCD, 对角线AC, BD 相交于点O, 请你添加一个适当的条件, 使□ABCD 成为一个菱形. 你添加的条件........三、证明题25.(201.福建省厦门市.如图6, 在四边形ABCD.., AD ∥BC, AM ⊥BC, 垂足为M, AN ⊥DC, 垂足为N. 若∠BAD ＝∠BCD, AM ＝AN, 求证四边形ABCD 是菱形.B D(第15题图)图626.(201.贵州省贵阳市.如图, 在Rt △ABC 中, ∠ACB=90°, D.E 分别为AB, AC 边上的中点, 连接DE, 将△ADE 绕点E 旋转180°得到△CFE, 连接AF, CD.（1）求证: 四边形ADCF 是菱形；（5分）（2）若BC =8, AC =6, 求四边形ABCF 的周长．（5分）27.(201.江苏省淮安市.如图, 在三角形ABC 中, AD 平分∠BAC, 将△ABC 折叠, 使点A 与点D 重合, 展开后折痕分别交AB.AC 于点E 、F, 连接DE 、DF.求证: 四边形AEDF 是菱形.28.(201.四川省乐山市.如图, 在△ABC 中, AB=AC, 四边形ADEF 是菱形, 求证: BE=CE.29.(201.湖南省张家界市.如图, 在四边形ABCD 中, AB ＝AD, CB ＝CD, AC 与BD 相交于O 点, OC=OA, 若E 是CD 上任意一点, 连结BE 交AC 于点F, 连结DF.（1）证明: △CBF ≌△CDF ；（2）若AC=2, BD=2,求四边形ABCD 的周长；（3）请你添加一个条件, 使得∠EFD ＝∠BAD, 并予以证明.第18题图 E D C A四、猜想、探究题30.(201.四川省攀枝花市.如图, 两个连接在一起的菱形的边长都是1cm, 一只电子甲虫, 从点A开始按ABCDAEFGAB…的顺序沿菱形的边循环爬行, 当电子甲虫爬行2014cm时停下, 则它停的位置是（）A．点F B．点E C．点A D．点C。
初中菱形知识点总结
初中菱形知识点总结一、菱形的定义菱形是指四条边长度相等的四边形，在数学中常用字母表示。
如图1所示，四边形ABCD 是一个菱形，其中AB=BC=CD=DA。
菱形的性质1. 对角线互相垂直平分：菱形的两条对角线互相垂直且平分对方。
如下图所示，对角线AC和BD相交于点O，且AO=OC=BO=OD。
2. 对角线相等：菱形的两条对角线相等。
在菱形ABCD中，AC=BD。
3. 对角线的交点到顶点的距离相等：菱形的对角线的交点到顶点的距离相等。
即AO=OC=OB=OD。
4. 内角性质：菱形的内角相等，且为90°。
即角A=角B=角C=角D=90°。
5. 边长性质：菱形的四条边长度相等。
二、菱形的周长和面积1. 周长：菱形的周长等于其四条边的长度之和。
即周长=AB+BC+CD+DA=4×边长。
2. 面积：菱形的面积等于对角线之积的一半。
即面积=½×对角线1×对角线2。
三、菱形的解题技巧1. 判断菱形的判定条件：判断一个四边形是否为菱形，可利用其对角线是否相等和垂直平分来判断。
若两条对角线相等且互相垂直平分，即可确定这个四边形为菱形。
2. 计算菱形的周长和面积：计算周长时，直接将四条边的长度相加即可。
计算面积时，可利用对角线之积的一半来求解。
四、菱形的应用菱形在日常生活和数学教学中都有广泛的应用。
在建筑、绘画、工艺制作等方面，均能看到菱形的身影。
而在数学教学中，菱形常被用来练习计算周长、面积，或者用来解决各类几何问题。
结语菱形是初中几何学中重要的概念之一，理解和掌握菱形的性质及计算方法对于学生的数学学习至关重要。
除了记住菱形的定义和性质外，还要学会运用菱形解决与菱形相关的数学问题。
希望通过本文的总结，读者能够对菱形有更深入的了解，从而更好地掌握和运用菱形知识。
八年级菱形知识点总结
八年级菱形知识点总结在初中数学中，菱形是一种常见的图形，学生需要掌握它的性质和用法。
本文将总结八年级菱形的知识点，包括面积、周长、对角线、中线等方面，希望对初中数学学习有所帮助。
一、菱形的定义和性质菱形是四边形的一种，它有如下性质：1. 四条边相等，即AB=BC=CD=DA，其中AB代表菱形上的任意一条边；2. 对角线互相垂直，且相互平分，即AC⊥BD并且AC=BD；3. 对角线的中点连线互相垂直，即AE⊥BF，CE⊥DF，其中E 和F分别是AC和BD的中点；4. 菱形内角和为360度，即∠ABC+∠BCD+∠CDA+∠DAB=360度。
二、菱形的周长和面积1. 周长由于菱形的四条边相等，因此它的周长可以用任意一条边a来表示，即P=4a。
2. 面积菱形面积的公式是S=(d1×d2)/2，其中d1和d2分别是对角线长，可以使用勾股定理计算，即d1²=d²+a²/4，d2²=d²+b²/4。
其中a和b分别是菱形两边的长度，d是菱形的对角线长度。
三、菱形的对角线和中线1. 对角线的长度由于菱形的对角线互相平分，因此可以用勾股定理求出对角线的长度，即d=√(a²+b²)。
2. 对角线的中点连线菱形的对角线的中点连线被称为菱形的中线，分别用e和f表示，它们互相垂直，长度相等。
中线长度的公式为e=f=√(a²+b²)/2。
四、菱形的应用1. 建筑设计在建筑设计中，常常需要设计菱形形状的窗户和门，因为这样可以在视觉上改变建筑物的形状。
2. 拼贴艺术拼贴艺术是一种非常受欢迎的艺术形式，它可以使用各种材料进行创作，包括彩纸、糊纸、墙纸等。
在拼贴艺术中，菱形形状也经常被使用。
3. 数学应用菱形在数学中有着广泛的应用，包括概率、统计、几何等方面。
例如，在概率计算中，会使用菱形图来表示事件的可能性。
在统计学中，会使用菱形图来表示一组数据的分布情况。
八年级菱形的知识点
八年级菱形的知识点菱形作为初中数学中的一个常见图形，在八年级学习中也有很大的地位。
菱形具有以下特点：四条边相等、对角线相等并且互相平分，内角和为360度。
除此之外，菱形还有很多特性需要深入掌握，下面就来详细介绍八年级菱形的知识点。
1. 菱形的面积菱形面积的计算方法有两种，一种是S=1/2×d1×d2（d1和d2分别是两条对角线），另一种是S=a^2/2（a代表菱形的边长）。
以上两个公式得出的结果是一致的，如何选择运用则取决于问题形式。
2. 菱形的周长计算菱形周长的公式为C=4a（a代表菱形的边长），很容易推出。
3. 菱形的对角线菱形的对角线即两个相互平分的相邻角的线段。
计算菱形两条对角线的长度也有两种方法，第一种是利用勾股定理（其实就是特殊的直角三角形）d1^2=d2^2+a^2，代入另一式d1+d2=2a即可，另一种是使用三角形的正弦定理和余弦定理，但相比较而言使用勾股定理更为简单。
4. 菱形的对角线垂直菱形的对角线互相垂直，也就是说每条对角线的端点就构成了一个直角。
这个性质可以通过利用正方形的定理进行证明，或者使用菱形内部的四个全等直角三角形也可以证明。
5. 菱形内接圆与正方形一样，菱形也可以内切一个圆。
该圆的半径即菱形的半对角线a/2。
它的周长（即菱形的周长）可以使用公式C=2πr=4πa/2=2πa进行计算。
6. 连接菱形中心的中心线由于菱形内部存在四个全等直角三角形，所以将菱形内部的四个角分别连接三角形的重心，可以得到一个正方形。
而菱形中心连接对面的点，所得的线段则是这个正方形的对角线，该线段也被称之为菱形的中心线。
总结以上就是八年级菱形的知识点，需要注意的是，菱形作为一个简单但常见的图形，还有很多相关定理和性质，需要在实际问题运用中逐步掌握。
最后，希望大家能够通过不断的练习和思考来更好地掌握和应用菱形的相关知识。
八年级菱形知识点大全
八年级菱形知识点大全八年级是初中阶段非常重要的一个学习阶段，而其中最重要的课程莫过于数学。
在八年级数学学习当中，菱形的相关知识点便是一个非常重要的学习部分。
下面，我们将为大家总结八年级菱形的相关知识点，帮助大家深刻理解和掌握这一知识点。
一、菱形的基础概念：菱形是一个四边形，其四条边两两相等，而对角线互相垂直；同时，菱形内部的角度也必须是直角。
在菱形中，两条对角线互相垂直，分别被称为菱形的“长对角线”和“短对角线”。
二、菱形的面积计算：菱形的面积可以通过以下公式进行计算：面积 = 对角线1 ×对角线2 ÷2。
即，菱形的面积等于长对角线和短对角线的乘积再除以2。
例如，如果一个菱形的长对角线为6cm，短对角线为4cm，则它的面积为6 × 4 ÷ 2 = 12平方厘米。
三、菱形的周长计算：菱形的周长可以通过以下公式进行计算：周长= 4 ×边长。
即，菱形的周长等于它的四条边的长度之和。
例如，如果一个菱形的边长为3cm，则它的周长为4 × 3 = 12cm。
四、菱形的对角线角度计算：当我们知道了一个菱形的长对角线和短对角线的长度时，就可以很方便地计算出菱形内部角度的大小了。
此时，我们可以通过以下公式进行计算：cosθ = （长对角线 ÷2）÷（短对角线 ÷2）。
其中，θ表示的意义是长对角线与短对角线之间的夹角。
五、菱形的性质：菱形的性质有很多，以下是其中几个比较重要的性质：1、菱形内角度相等，任意两个相邻的内角之和都为180度；2、菱形对角线相互垂直；3、菱形的每一条对角线将其分成两个全等的三角形；4、菱形的面积是以长对角线和短对角线为底和高构成的直角三角形的一半。
六、菱形的图形变换：在数学学习中，我们经常会遇到一些图形变换的问题。
而对于菱形这一图形来说，常见的图形变换有以下几种：1、平移：平移就是将一个图形沿着平面上的某一条直线移动一定的距离，使它的位置发生改变。
八年级菱形知识点
八年级菱形知识点在初中数学课程中，菱形也被称为矩形，是一种常见的图形。
菱形结构简单，但在数学中应用广泛，因此掌握这种图形非常重要。
本文将介绍八年级学生会遇到的菱形知识点，包括定义、性质、角度和公式等。
定义和性质菱形是一个有四个边和四个角的图形。
它有两条对角线，每一条都穿过图形中心，分成两个相等的三角形。
每个角都是90度，因为两个相等的三角形组成了一个正方形。
由于对角线相等，菱形有很多特殊的性质。
例如，每两个相邻角的和是180度，而每一对对角线的夹角是90度。
角度在菱形中，有两类重要的角度：内角和外角。
内角是指两个相邻角之间的角度，而外角则是指一个角在菱形外围的角度。
根据菱形的性质，内角加起来等于360度。
这意味着相邻角之间的角度相等，都是90度。
而外角是内角的补角。
因此，菱形的每个外角都是270度。
在菱形中，也有两类特殊的角度：邻边角和对角线角。
邻边角是指一个角和相邻的边之间的角度，而对角线角是指两个相交对角线之间的角度。
由于菱形的特殊性质，邻边角是90度，而对角线角则是180度。
公式菱形有许多公式，其中最常用的是面积公式和周长公式。
菱形的面积可以使用公式A=1/2*d1*d2来计算，其中d1和d2是对角线的长度。
菱形的周长可以使用公式P=4l来计算，其中l是菱形的每个边的长度。
应用菱形在日常生活中也会被用到。
例如，我们经常看到由菱形铺成的路面或者瓷砖地板。
此外，菱形在工程和建筑中也经常用作结构或者设计元素，如方格吊顶的装修、各种卫生间墙面的瓷砖形态等。
在数学领域中，菱形在因式分解、二次方程以及立体几何中都有广泛的应用。
结论菱形是一种基础的图形，它在数学教育中具有重要的地位。
八年级学生需要对菱形的定义、性质、角度和公式有基本的掌握。
此外，了解菱形在日常生活和工程领域中的应用也是有益的。
掌握菱形知识点，不仅可以提高数学成绩，还可以帮助我们更好地理解和应用这种图形。
人教版八年级数学下册第十八章《18.2.2菱形(复习)》优课件
You made my day!
我们，还在路上……
四边形
菱形
平行四边形
矩形与菱形的性质和判定比较：
性质 判定
矩形
菱形
1、四个角都是直角； 1、四条边都相等；
2、对角线相等；
2、对角线互相垂直且 平分一组对角；
1、有一个角是直角的 1、有一组邻边相等的
平行四边形；
平行四边形；
2、三个角是直角的四 2、四条边都相等的四
边形；
边形；
3、对角线相等 的平行 3、对角线互相垂直的
D
A
┐
O
C
B
5. 如图，在△ABC中，D、E为BC边上的两
点，BD=DE=EC，G、F分别是AB、AC上
的点，若四边形DEFG是菱形，它的对角线
DF与EG相交于点O。
A
求证：四边形
AGOF是矩形。
G
F
O
B
C
D
E
6.已知：如图，菱形ABCD中，CE⊥
AB，交AB延长线于E， CF⊥AD，交AD
延长线于F。
18.2.2 菱形（复习）
菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形
平行四边形
一组邻边相等
菱形
菱形的两组对边平行
边 菱形的四条边相等
菱
形 的 性
角 菱形的两组对角分别相等 菱形的邻角互补
质
对角线
菱形的 两条对角线互相平分
菱形的两条对角线互相垂直平分，
每一条对角线平分一组对角。
判定回顾
四条边都相等
请你猜测CE与
CF的大小关系，
F
并证明你的猜想。
D
C
A BE
初二数学八年级下菱形复习
数学八年级下《菱形》复习一、知识回顾1．菱形的性质：菱形 图形性质 1．对边 且四条边都 ；2．对角；3．对角线 且每条对角线 ；面积2、 判定菱形的方法：①有一组邻边 的 是菱形；②对角线 的平行四边形是菱形；③四边都相等的 是菱形；二、知识学习（一）填空题1、如图，把一个长方形的纸片对折两次，然后剪下一个角，为了得到一个锐角为60°的菱形，剪口与折痕所成的角a 的度数应为______________2、如图，在菱形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O ，AC=8，BD=6，OE ⊥BC ，垂足为点E ，则OE=____________3、如图，四边形ABCD 是菱形，∠DAB=50°，对角线AC ，BD 相交于点O ，DH ⊥AB 于H ，连接OH ，则∠DHO=__________4、如图，在菱形ABCD 中，AB=4cm ，∠ADC=120°，点E 、F 同时由A 、C 两点出发，分别沿AB 、CB 方向向点B 匀速移动（到点B 为止），点E 的速度为1cm/s ，点F 的速度为2cm/s ，经过t 秒△DEF 为等边三角形，则t 的值为_______________5、如图，在边长为2的菱形ABCD 中，∠A=60°，M 是AD 边的中点，N 是AB 边上的一动点，将△AMN 沿MN 所在直线翻折得到△A′MN ，连接A′C ，则A′C 长度的最小值是__________6、如图，在菱形ABCD 中，点E 是AB 上的一点，连接DE 交AC 于点O ，连接BO ，且∠AED=50°，则∠CBO=___________度（二）选择题1、如图，菱形ABCD 中，BE ⊥AD ，BF ⊥CD ，F 、F 为垂足，AE=ED ，则∠EBF 等于（ ）2、如图，把菱形ABCD 沿AH 折叠，使B 点落在BC 上的E 点处，若∠B=70°，则∠EDC 的大小为（ ）A ．10°B ．15°C ．20°D ．30°A ．75°B ．60°C ．50°D ．45°3、如图，在菱形ABCD中，AC=6cm，BD=8cm，则菱形AB边上的高CE的长是（）4、如图，在菱形ABCD中，AB=2，∠BAD=60°，E是AB的中点，P是对角线AC上的一个动点，则PE+PB的最小值为（）5、如图，正△AEF的边长与菱形ABCD的边长相等，点E、F分别在BC、CD上，则∠B的度数是（）A．70°B．75°C．80°D．95°（三）解答题1、如图，在△ABC中，∠ABC=90°，BD为AC的中线，过点C作CE⊥BD于点E，过点A作BD的平行线，交CE的延长线于点F，在AF的延长线上截取FG=BD，连接BG、DF．（1）求证：BD=DF；（2）求证：四边形BDFG为菱形；（3）若AG=13，CF=6，求四边形BDFG的周长．2、如图，四边形ABCD中，BD垂直平分AC，垂足为点F，E为四边形ABCD外一点，且∠ADE=∠BAD，AE⊥AC（1）求证：四边形ABDE是平行四边形；（2）如果DA平分∠BDE，AB=5，AD=6，求AC的长．3、如图，△ABC中，∠BCA=90°，CD是边AB上的中线，分别过点C，D作BA和BC的平行线，两线交于点E，且DE交AC于点O，连接AE．（1）求证：四边形ADCE是菱形；（2）若∠B=60°，BC=6，求四边形ADCE的面积4、如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D、E分别为AB，AC边上的中点，连接DE，将△ADE 绕点E旋转180°得到△CFE，连接AF，AC．（1）求证：四边形ADCF是菱形；（2）若BC=8，AC=6，求四边形ABCF的周长．5、如图，在四边形ABCD中，AB=AD，CB=CD，E是CD上一点，BE交AC于F，连接DF．（1）证明：∠BAC=∠DAC，∠AFD=∠CFE．（2）若AB∥CD，试证明四边形ABCD是菱形；（3）在（2）的条件下，试确定E点的位置，使得∠EFD=∠BCD，并说明理由．6、如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，BE=2DE，过点C作CF∥BE交DE 的延长线于F．（1）求证：四边形BCFE是菱形；（2）若CE=4，∠BCF=120°，求菱形BCFE的面积．课后习题1、如图，四边形ABCD中，AB∥CD，AC平分∠BAD，CE∥AD交AB于E．（1）求证：四边形AECD是菱形；（2）若点E是AB的中点，试判断△ABC的形状，并说明理由2、如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D为AB的中点，且AE∥CD，CE∥AB．（1）证明：四边形ADCE是菱形；（2）若∠B=60°，BC=6，求菱形ADCE的高．（计算结果保留根号）3、如图，已知点E，F分别是▱ABCD的边BC，AD上的中点，且∠BAC=90°．（1）求证：四边形AECF是菱形；（2）若∠B=30°，BC=10，求菱形AECF面积．。
人教版八年级(下)菱形复习
人教版八年级（下）菱形复习1. 如图，在菱形ABCD 中，∠A =110°，E ，F 分别是边AB 和BC 的中点，EP ⊥CD 于点P ，则∠FPC =（ ） A ．35° B ．45° C ．50° D ．55°2. 如图，将一个长为10cm ，宽为8cm 的矩形纸片对折两次后，沿所得矩形两邻边中点的连线（虚线）剪下，再打开，得到的菱形的面积为（ ）A ．210cmB ．220cmC ．240cmD ．280cm3.如图将矩形纸片ABCD 按如图所示的方式折叠，得到菱形AECF ．若AB ＝3，则BC 的长为 （ ）。
A ．1 B ．2 C ．2 D ．34.如图，菱形ABCD 中，∠B ＝60°，AB ＝2，E 、F 分别是BC 、CD 的中点，连接AE 、EF 、AF ，则△AEF 的周长为（ ）A ．32 B ．33 C ．34 D ．35.如图，菱形ABCD 的对角线长分别为b a 、，以菱形ABCD 各边的中点为顶点作矩形A 1B 1C 1D 1，然后再以矩形A 1B 1C 1D 1的中点为顶点作菱形A 2B 2C 2D 2，……，如此下去，得到四边形A 2011B 2011C 2011D 2011的面积用含 b a 、的代数式表示为 ．6．如图，菱形ABCD 的两条对角线分别长6和8，点P 是对角线AC 上的一个动点，点M 、N 分别是边AB 、BC 的中点，则PM +PN 的最小值是_____________．7.如图，在正方形纸片ABCD 中，对角线AC BD ，交于点O ，折叠正方形纸片ABCD ，使AD 落在BD 上，点A 恰好与BD 上的点F 重合，展开后，折痕DE 分别交AB AC ，于点E G ，，连结GF ．下列结论：①112.5AGD ∠=o；②AD=2AE ；③AGD OGD S S =△△；④四边形AEFG 是菱形；⑤2BE OG =．则其中正确结论的序号是 ．8. 如图，在ABC △中，点D 、E 、F 分别在边AB 、BC 、CA 上，且DE CA ∥，DF BA ∥．下列四种说法：①四边形AEDF 是平行四边形；②如果90BAC ∠=o，那么四边形AEDF 是矩形；③如果AD 平分BAC ∠，那么四边形AEDF 是菱形；④如果AD BC ⊥且AB AC =，那么四边形AEDF 是菱形. 其中，正确的有 ①②③④ .（只填写序号）9．如图，四边形ABCD的对角线AC、BD互相垂直，则下列条件能判定四边形ABCD为菱形的是（）A．BA＝BC B．AC、BD互相平分C．AC＝BD D．AB∥CD10. 如图，将三角形纸片ABC沿DE折叠，使点A落在BC边上的点F处，且DE∥BC，下列结论中，一定正确的个数是①△BDF是等腰三角形②DE＝12 BC③四边形ADFE是菱形④2BDF FEC A∠+∠=∠A．1 B．2 C．3 D．411.已知：如图，C是线段BD上一点，△ABC和△ECD都是等边三角形，R、F、G、H分别是四边形ABDE各边的中点，求证：四边形RFGH是菱形。
2024八年级数学下册专项讲与练专题18.17 菱形(知识梳理与考点分类讲解)
专题18.17 菱形（知识梳理与考点分类讲解）【知识点一】菱形的定义有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.特别提醒：菱形是特殊的平行四边形，不能错误地认为有一组邻边相等的四边形就是菱形.【知识点二】菱形的性质定理性质符号语言菱形的四条边都相等∵四边形ABCD为菱形∴AB=BC=CD=AD菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对边.∵四边形ABCD为菱形∴AC⊥BD，AC平分∠BAD,CA 平分∠BCD，DB平分∠ADC.特别提醒：1.菱形具有平行四边形的一切性质.2.菱形的两条对角线分菱形为四个全等的直角三角形.【知识点三】菱形的判定定理判定定理符号语言四条边都相等的四边形是菱形在平行四边形ABCD中，∵AB=BC=CD=AD，∴四边形ABCD为菱形对角线互相垂直的平行四边形是菱形∵四边形ABCD为平行四边形且AC⊥BD，∴四边形ABCD为菱形一组邻边相等的平行四边形是菱形∵平行四边形ABCD是平行四边形又∵AB=BC∴四边形ABCD是菱形特别提醒：证明一个四边形是菱形，一般情况下，先证明他是一个平行四边形，然后要么证明“一组邻边相等”，要么证明“对角线互相垂直”.若要直接证明一个四边形是菱形，则只要证明“四条边相等”即可.【知识点五】菱形的对称性1.菱形是轴对称图形，两条对角线所在的直线都是它的对称轴.2.菱形是中心对称图形，对角线的交点是他的对称中心.特别提醒：1.对角线互相垂直平分的四边形是菱形2.对角线平分一组内角的平行四边形是菱形.【知识点五】菱形的面积公式1.公式1：文字语言：菱形的面积=底X高符号语言：S=ah2.公式2：文字语言：菱形的面积=两条对角线长的乘积的一半.符号语言：S=12ab特别提醒：对角线互相垂直的任意四边形的面积等于两条对角线长的乘积的一半.【考点目录】【菱形性质与判定的理解】【考点1】菱形性质的理解；【菱形性质定理】【考点2】利用菱形性质证明与求值【菱形判定定理】【考点3】利用菱形判定定理证明与求值【菱形性质定理与判定定理】【考点4】利用菱形性质定理和判定定理证明与求值【菱形性质与判定的理解】【考点1】菱形性质的理解；【例1】（2024上·河南郑州·九年级统考期末）如图，在ABCV的角平分线．V中，AD是ABC（1）请用圆规和无刻度的直尺作AD 的垂直平分线，分别交AB ，AC 于点M ，N ；（保留作图痕迹，不写作法）（2）连接DM ，DN ，试判断四边形AMDN 的形状，并证明．【答案】（1）见分析；（2）四边形AMDN 是菱形，证明见分析【分析】本题考查作图-基本作图，线段的垂直平分线，菱形的判定等知识，解题的关键是理解题意，正确作出图形．（1）根据要求作出图形；（2）结论：四边形AMDN 是菱形．证明四边相等可得结论．解：（1）图形如图所示：（2）结论：四边形AMDN 是菱形．理由：设MN 交AD 于点O ．MN Q 垂直平分线段AD ，MA MD \=，NA DN =，AD Q 平分BAC Ð，OAM OAN \Ð=Ð，90OAM AMO Ð+Ð=°Q ，90OAN ANO Ð+Ð=°，AMO ANO \Ð=Ð，AM AN DM DN \===，\四边形AMDN 是菱形．【变式1】（2024下·广东深圳·九年级深圳中学校考开学考试）在平行四边形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O ．下列说法不能使平行四边形ABCD 为菱形的是（ ）A ．AC BD ^B ．AB BC =C ．AC BD =D ．DAC BACÐ=Ð【答案】C【分析】本题考查了菱形的判定、平行四边形的性质，熟练掌握菱形的判定方法是解题关键．根据菱形的判定、平行四边形的性质逐项判断即可得．解：如图所示，A 、由对角线互相垂直的平行四边形是菱形可知，添加AC BD ^能判定ABCD Y 是菱形，则此项不符合题意；B 、由邻边相等的平行四边形是菱形可知，添加AB BC =能判定ABCD Y 是菱形，则此项不符合题意；C 、由对角线相等的平行四边形是矩形可知，添加AC BD =能判定ABCD Y 是矩形，不能判定ABCD Y 是菱形，则此项符合题意；D 、Q 四边形ABCD 是平行四边形，CD AB \∥，DCA BAC \Ð=Ð，∵DAC BAC Ð=Ð∴DAC DCA Ð=Ð∴AD CD=∴平行四边形ABCD 是菱形，即添加DAC BAC Ð=Ð能判定ABCD Y 是菱形，则此项不符合题意．故选：C ．【变式2】（2024上·山东烟台·八年级统考期末）如图，在菱形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，点E 在线段BO 上，连接AE ，若2AB BE =，DAE DEA Ð=Ð，1EO =，则线段AE 的长为．【答案】【分析】设BE x =，根据菱形性质可得到 2AB AD CD x ===，进而得到1=12OE x =，解得x 值，根据勾股定理即可求得AE 值．本题考查菱形的性质结合勾股定理的应用，熟练掌握菱形性质是解题的关键．解：设BE x =，∵四边形ABCD 是菱形，∴ 2AB AD CD x ===，∵DAE DEA Ð=Ð，∴==2DE AD x ,∴3BD x =，∴32OB OD x ==，∴31122OE OB BE x x x =-=-==，∴2x =，∴42AB BE ==，，3OB OD ==，∴OA ==，∴AE ==故答案为：【菱形性质定理】【考点2】利用菱形性质证明与求值【例2】（2024上·陕西咸阳·九年级统考期末）如图，在ABCD Y 中，两条对角线交于点O ，且AC 平分BAD Ð．（1）求证：四边形ABCD 是菱形；（2）若3OA =，4OD =，求四边形ABCD 的周长．【答案】（1）见分析；（2）20【分析】本题考查了平行四边形的性质，菱形的判定与性质，熟练掌握菱形的判定与性质是解答本题的关键．=，再利用“一组邻边相等的平行四边形（1）根据平行四边形的性质和角平分线的定义可推得AD CD是菱形”即可证明；^，然后利用勾股定理可求得AD的长，最后利用“菱形的（2）根据“菱形的对角线互相垂直”知AC BD四边相等”即可得到答案．解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，\∥，AB CD\Ð=Ð，BAC DCAQ平分BADACÐ，\Ð=Ð，BAC DACDCA DAC\Ð=Ð，\=，AD CD∴四边形ABCD是菱形；（2）∵四边形ABCD是菱形，^，\===，AC BDAB BC CD ADOD=，Q，4OA=3\==，5AD\四边形ABCD的周长420==．AD【变式1】（2024上·山东烟台·八年级统考期末）如图，点E，F分别是菱形ABCD边AD CD，的中点，^交CB的延长线于点G．若66EG BCÐ的度数是（ ）Ð=°，则AGEFA ．24°B ．33°C ．48°D ．66°【答案】C【分析】本题考查了菱形的性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，作辅助线构造出全等三角形和直角三角形是解题的关键，也是本题的难点．如图，延长GF 交AD 的延长线于M ．证明,FDM FCG FM FG =V V ≌，利用直角三角形斜边中线的性质，可得EF FM GF ==，再求出M Ð，证明DF DE =，即可求出FDM Ð，即可解决问题．解：如图，延长GF 交AD 的延长线于M ．∵四边形ABCD 是菱形，点E 是CD 的中点，,,AD BC AD DC DF CF\==P ,M CGF \Ð=Ð在FDM V 和△FCG 中，,M FGCDFM CFG DF CF Ð=ÐìïÐ=Ðíï=î,FDM FCG \V V ≌,FM FG \=,,EG CB AD CB ^∥Q ,EG AD \^90,GEM \Ð=°,EF FM FG \==,M FEM \Ð=Ð66,GEF Ð=°Q 66,24,EGF M MEF \Ð=°Ð=Ð=°E Q 是AD 的中点，,DF DE AE \==24,DEF DFE \Ð=Ð=°24248,MDF \Ð=°´=°,AB CD ∥Q 48,A CDM \Ð=Ð=°故选：C ．【变式2】（2024上·四川达州·九年级统考期末）如图，菱形ABCD 的边长为26，对角线AC 的长为48，延长AB 至E ，BF 平分CBE Ð，点G 是BF 上任意一点，则ACG V 的面积为．【答案】240【分析】本题考查了菱形的性质、勾股定理、平行线的判定与性质以及三角形面积等知识；熟练掌握菱形的性质，证出AC BF P 是解题的关键.连接BD 交AC 于O ，由菱形的性质和勾股定理求出10OB =，得出ABC V 的面积240=，依据ACB CBF Ð=Ð，得出AC BF P ，进而得出ACG V 的面积ABC =V 的面积即可解题．解：如图所示, 连接BD 交AC 于O ，∵四边形ABCD 是菱形，1126,24,22ACB BCD AB OA AC AB CD \Ð=Ð===P ，，AC BD ^，∴BCD CBE Ð=Ð，10OB ===，∴ABC V 的面积11481024022AC OB =´=´´=，∵BF 平分CBE Ð，12CBF CBE \Ð=Ð，∴ACB CBF Ð=Ð，∴AC BF P ，∴ACG V 的面积ABC =V 的面积240=，故答案为：240．【菱形判定定理】【考点3】利用菱形判定定理证明与求值【例3】（2023上·重庆渝中·八年级重庆巴蜀中学校考期末）如图，在直角AEC △中，90,E B Ð=°是边AE 上一点，连接,BC O 为AC 的中点，过C 作CD AB ∥交BO 延长线于D ，且AC 平分BCD Ð，连接AD ．（1）求证：四边形ABCD 是菱形．（2）连接OE 交BC 于,27F ACD Ð=°，求CFO Ð的度数．【答案】（1）见分析；（2）99°【分析】（1）证明()AAS AOB COD V V ≌，则AB CD =，又由AB CD P 即可证明四边形ABCD 是平行四边形，再证明AB BC =，即可证明四边形ABCD 是菱形．（2）求出27BCO DCO Ð=Ð=°，得到27AEO BAO Ð=Ð=°，由三角形外角的性质得到54AEO BAO EOC Ð+°Ð=Ð=，由三角形内角和定理即可得到答案．解：（1）证明：CD AB Q ∥，BAO DCO \Ð=Ð，O Q 为BD 中点，BO DO \=，在AOB V 和COD △中BAO DCO AOB COD BO DOÐ=ÐìïÐ=Ðíï=î，()AAS AOB COD \≌△△，AB CD \=，又∵AB CD P ，\四边形ABCD 是平行四边形，又AC Q 平分BCD Ð，BCO DCO \Ð=Ð，∵DCO BAO Ð=Ð，BCO BAO \Ð=Ð，AB BC \=，又ABCD Q 是平行四边形，\四边形ABCD 是菱形；（2）∵AC 平分BCD Ð，27BCO DCO \Ð=Ð=°，∵CD AB ∥，27BAO DCO \Ð=Ð=°，又O Q 为AC 中点，AE EC ^，∴OE AO =，∴27AEO BAO Ð=Ð=°，54AEO A EOC B O Ð=°Ð+Ð=∴，18099CFO COE BCO \Ð=°-Ð-Ð=°．【点拨】此题考查了菱形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质，直角三角形的性质等知识，熟练掌握菱形的判定和性质是解题的关键．【变式1】（2023上·四川达州·九年级达州市高级中学校考期中）已知四边形ABCD 是平行四边形，对角线AC 与BD 相交于点O ，下列结论中不正确的是（ ）A ．当AB BC =时，四边形ABCD 是菱形B ．当AC BD ^时，四边形ABCD 是菱形C ．当OA OB =时，四边形ABCD 是矩形D ．当ABD CBD Ð=Ð时，四边形ABCD 是矩形【答案】D【分析】本题考查了平行四边形的性质，菱形的判定，矩形的判定；熟练掌握菱形和矩形的判定是解题的关键．根据邻边相等的平行四边形是菱形、对角线互相垂直的平行四边形是菱形、据对角线相等的平行四边形是矩形，逐项分析即可得出答案．解：如图：A 、∵四边形ABCD 是平行四边形，AB BC =，∴四边形ABCD 是菱形；A 选项正确；B 、∵四边形ABCD 是平行四边形，AC BD ^，∴四边形ABCD 是菱形；B 选项正确；C 、∵四边形ABCD 是平行四边形，∴OA OC =，OB OD =，又∵OA OB =，∴OA OB OC OD ===，∴四边形ABCD 是矩形；C 选项正确；D 、∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB CD P ，∴ABD BDC Ð=Ð，又∵ABD CBD Ð=Ð，∴BDC CBD Ð=Ð，∴BC CD =，∴四边形ABCD 是菱形；不能证明四边形ABCD 是矩形，D 选项错误，故选：D ．【变式2】（2023下·四川广元·八年级统考期末）如图，ABCD Y 的对角线AC ，BD 相交于点O ，要使ABCD Y 成为菱形，还需添加的一个条件是．【答案】AC BD ^（答案不唯一）【分析】根据菱形的判定来添加合适的条件即可．解：要使ABCD Y 成为菱形，只要菱形满足以下条件之一即可，①对角线相互垂直，②邻边相等．故答案为即AC BD ^（答案不唯一）．【点拨】本题主要考查了菱形的判定，掌握菱形和平行四边形的区别是解答本题的关键．【菱形性质定理与判定定理】【考点4】利用菱形性质定理和判定定理证明与求值【例4】（2023下·云南昆明·八年级统考期末）如图，在矩形ABCD 中，对角线,AC BD 相交于点O ，DE AC ∥，CE BD ∥．（1）求证：四边形ODEC 为菱形；（2）连接OE，若BC =OE 的长．【答案】（1）见分析；（2）OE =【分析】（1）本题考查了矩形的性质，菱形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，解题的关键是证明四边形OCED 是平行四边形；（2）本题考查了矩形的性质，菱形的性质，平行四边形的判定与性质，解题的关键是证明四边形AOED 是平行四边形．（1）解：DE AC ∥Q ，CE BD ∥，\四边形OCED 是平行四边形，Q 矩形ABCD 的对角线,AC BD 相交于点O ，\OC OD =，\四边形OCED 是菱形；（2）如图，连接OE ，交CD 于点F ，由（1）知，四边形OCED 是菱形，\OE CD ^，\90ADC OFC Ð=Ð=°，\AD OE ∥，Q DE AC ∥，\四边形AOED 是平行四边形，\OE AD BC ===【变式1】（2023上·江西吉安·九年级校联考期中）如图，在ABCD Y 中，2CD AD =，BE AD ^于点E ，F 为DC 的中点，连结EF ，BF ．有下列四个结论①2ABC ABF Ð=Ð；②EF BF =；③2EFB DEBC S S =V 四边形；④4CFE DEF Ð=Ð其中正确的是（ ）A ．①②③B ．①③④C ．②③④D ．①②④【答案】A【分析】如图延长EF 交BC 的延长线于G ，取AB 的中点H ，连接FH ，根据题意得CF CB =，结合平行四边形的性质即可证得①；利用平行四边形的性质和点F 为中点证明DFE CFG ≌V V ，依据BE AD ^，得到Rt EBG V ，即有②；根据全等三角形面积相等和点F 为中点，可证得③；利用四边形ABCD 为平行四边形，证明BCFH 是平行四边形，且为菱形，结合菱形性质、等腰三角形的性质和平行得到④错误．解：延长EF 交BC 的延长线于G ，取AB 的中点H ，连接FH ，如图，∵F 为DC 的中点，∴DF FC =，∵2CD AD =，∴AD DF FC ==，则CF CB =，∴=CFB CBF ÐÐ，∵四边形ABCD 为平行四边形，∴CD AB ∥，则CFB FBH Ð=Ð，∴CBF FBH Ð=Ð，故2ABC ABF Ð=Ð，①正确；∵DE CG ∥，∴D FCG Ð=Ð，∵DF FC =，DFE CFG Ð=Ð，∴()DFE CFG ASA △≌△，∴FE FG =，∵BE AD ^，∴90AEB Ð=°，∵CD AB ∥，∴90AEB EBG Ð=Ð=°，则12BF EG EF ==，故②正确；∵DFE CFG △≌△，∴=DFE CFG S S V V ，∴2EBG BEF DEBC S S S ==四边形V V ，③正确；∵AB CD =，点F 和H 是CD 和AB 中点，∴CF BH =，∵CD AB ∥，∴四边形BCFH 是平行四边形，∵CF BC =，∴四边形BCFH 是菱形∴BFC BFH Ð=Ð，HF BC ∥，∵AD BC ∥，BE AD ^，∴BE FH ^，AD FH ∥，∴BFH EFH Ð=Ð，EFH DEF Ð=Ð则BFH EFH DEF Ð=Ð=Ð，∴3CFE DEF Ð=Ð，④错误；故选∶A ．【点拨】本题考查平行四边形的性质和判定、菱形的判定和性质、直角三角形斜边中线的性质、全等三角形的判定和性质及平行线的性质，解题的关键是添加辅助线、构造全等三角形，并利用有关性质．【变式2】（2023·四川成都·模拟预测）如图，在四边形ABCD 中，5AD BC AB =,∥，以A 为圆心，以适当的长为半径作弧，分别交,AB AD 于M ，N ；分别以M ，N 为圆心，以大于12MN 长为半径作弧，两弧相交于点G ；作射线AG 交BC 于E ；作EF AB ∥交AD 于F ．若6AE =，则四边形ABEF 的面积等于．【答案】24【分析】本题考查了作图-基本作图，平行线的性质，菱形的判定与性质，解决本题的关键是判定四边形ABEF 是菱形．连接BF 交AE 于点O ，证明四边形ABEF 是平行四边形，根据作图过程可得AE 平分BAF Ð，然后证明四边形ABEF 是菱形，进而可得四边形ABEF 的面积．解：如图，连接BF 交AE 于点O ，∵AD BC EF AB ,∥∥，∴四边形ABEF 是平行四边形，根据作图过程可知：AE 平分BAF Ð，∴FAE BAE Ð=Ð，∵AD BC ∥，∴FAE AEB Ð=Ð，∴BAE AEB Ð=Ð，∴AB BE =，∴四边形ABEF 是菱形，∴90AOB Ð=°，132AO AE ==，∴OB =4，∴28BF OB ==，∴四边形ABEF 的面积等于11682422AE BF ´×=´´=．故答案为：24．【考点5】利用菱形与矩形性质定理和判定定理证明与求值【例5】（2023上·四川成都·九年级统考期末）如图1，矩形ABCD 中，点E ，F 分别在AD ，BC 上，将矩形ABCD 沿直线EF 折叠，点C 落在AD 上的一点H 处，点D 落在点G 处，EF 与HC 交于点O ．（1）求证：四边形CFHE 是菱形；（2）如图2，4AB =，8BC =，点H 与点A 重合时，求OF 的长．【答案】（1）见分析；（2）OF 【分析】此题考查了折叠问题与菱形的判定与性质、勾股定理的综合应用，熟练掌握菱形的判定定理和性质定理、勾股定理是解本题的关键．（1）先判断出四边形CFHE 是平行四边形，再根据翻折的性质可得CF FH =，然后根据邻边相等的平行四边形是菱形证明；（2）过点F 作FM AD ^于M ，求出ME ，再利用勾股定理列式求解得到EF ，即可求出OF 的长．解：（1）证明：在矩形ABCD 中，AD BC ∥，HEF EFC \Ð=Ð，由翻折可知：EFC HFE Ð=Ð，HEF HFE \Ð=Ð，HE HF \=，FC FH =Q ，HE CF \=，EH CF ∥Q ，\四边形CFHE 是平行四边形，CF FH =Q ，\四边形CFHE 是菱形；（2）解：点H 与点A 重合时，设BF x =，则8AF FC BC BF x ==-=-，在Rt ABF V 中，222AB BF AF +=，即2224(8)x x +=-，解得3x =，85CE AF x \==-=，4CD AB ==Q ，3DE \===，如图，过点F 作FM AD ^于M ，得矩形ABFM ，矩形CDMF ，AM BF \=，DM CF =，4MF AB ==，8332ME \=--=，由勾股定理得，EF ===，12OF EF \==．【变式1】（2024上·山东青岛·八年级统考期末）如图，在ABCD Y 中，E 、F 分别为边AB 、CD 的中点，BD 是对角线．下列说法错误的是（ ）A ．当2AB AD =时，四边形DEBF 是菱形B ．当90ADB Ð=°时，四边形DEBF 是菱形C ．当AD BD =时，四边形DEBF 是矩形D ．当DE 平分ADB Ð时，四边形DEBF 是矩形【答案】A【分析】本题考查平行四边形的性质与菱形的判定，先根据平行四边形性质得到DF EB ∥，DF EB =，得到四边形DEBF 是平行四边形，再结合选项条件结合菱形的判定，逐个判定即可得到答案；解：∵在ABCD Y 中，E 、F 分别为边AB 、CD 的中点，∴DF EB ∥，1122DF DC AB EB ===，∴四边形DEBF 是平行四边形，∵DE 平分ADB Ð，∴DE AB ^，∴四边形DEBF 是矩形，故D 选项正确不符合题意，当2AB AD =时，得不到四边形DEBF 是菱形，故A 选项错误，符合题意，当90ADB Ð=°时，DE BE =，∴四边形DEBF 是菱形，故B 选项正确不符合题意，当AD BD =时，∵E 为边AB 的中点，∴90DEB Ð=°，∴四边形DEBF 是矩形，故C 选项正确不符合题意，故选：A ．【变式2】2024·江苏淮安·校考模拟预测）如图，先有一张矩形纸片48ABCD AB BC ==，，，点M ，N 分别在矩形的边AD BC ，上，将矩形纸片沿直线MN 折叠，使点C 落在矩形的边AD 上，记为点P ，点D 落在G 处，连接PC ，交MN 于点Q ，连接CM ；当P ，A 重合时，MN =．【答案】【分析】本题考查了矩形与折叠问题，涉及了菱形的判定与性质、勾股定理等知识点，根据题意画出图形可推出四边形ANCM 是菱形，设BN x =，则8AN NC x ==-，根据勾股定理求出x 即可求解．解：如图所示：由题意得：MN 垂直平分AC ，∴,==MA MC NA NC∴,MAC MCA NAC NCA Ð=ÐÐ=Ð∵AD BC ∥∴MAC NCAÐ=Ð∴MCA NCA NAC MAC Ð=Ð=Ð=Ð∴NA AM CN CM ===∴四边形ANCM 是菱形设BN x =，则8AN NC x ==-∵222AN AB BN =+∴()22284x x -=+解得：3x =∴835CN =-=，AC =∴12CQ AC ==QN ==∴2MN QN ==故答案为：。
人教版八年级下册 18.2 《菱形的性质》复习课
知识点二：菱形的性质 菱形除了具有平行四边形的一切性质外， 还有一些特殊性质： 1.菱形的四条边都相等； 2.菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条 对角线平分一组对角. 3.菱形也是轴对称图形，有两条对称轴（对 角线所在的直线），对称轴的交点就是对 称中心.
（1）菱形是特殊的平行四边形，是中心对称 图形，过中心的任意直线可将菱形分成完全全 等的两部分. （2）菱形的面积由两种计算方法：一种是平 行四边形的面积公式：底×高；另一种是两条 对角线乘积的一半（即四个小直角三角形面积 之和）.实际上，任何一个对角线互相垂直的 四边形的面积都是两条对角线乘积的一半. （3）菱形可以用来证明线段相等，角相等， 直线平行，垂直及有关计算问题.
练习反馈：
4.（2018•香坊区）已知边长为5的菱形ABCD
中，对角线AC长为6，点E在对角线BD上且
tan∠EAC= ，则BE的长为3或5．
练习反馈：
5. （2018•广州）如图，若菱形ABCD的顶点A，
B的坐标分别为（3，0），（﹣2，0），点D在
y轴上，则点C的坐标是
．
练习反馈：
5. （2018•广州）如图，若菱形ABCD的顶点A，
练习反馈：
Leabharlann （2018•十堰）菱形不具备的性质是（ B ） A．四条边都相等 B．对角线一定相等 C．是轴对称图形 D．是中心对称图形 解：菱形的四条边相等，是轴对称图形， 也是中心对称图形，对角线垂直不一定相 等， 故选：B．
练习反馈：
3．（2018•淮安）如图，菱形ABCD的对角 线AC、BD的长分别为6和8，则这个菱形的 周长是（ ） A．20 B．24 C．40 D．48
八年级数学下册菱形知识点(基础)归纳及典型例题解析
菱形知识点（基础）归纳及典型例题解析【学习目标】1. 理解菱形的概念.2. 掌握菱形的性质定理及判定定理．【要点梳理】【特殊的平行四边形（菱形）知识要点】要点一、菱形的定义有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.要点诠释：菱形的定义的两个要素：①是平行四边形.②有一组邻边相等.即菱形是一个平行四边形，然后增加一对邻边相等这个特殊条件.要点二、菱形的性质菱形除了具有平行四边形的一切性质外，还有一些特殊性质：1.菱形的四条边都相等；2.菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角.3.菱形也是轴对称图形，有两条对称轴（对角线所在的直线），对称轴的交点就是对称中心.要点诠释：（1）菱形是特殊的平行四边形，是中心对称图形，过中心的任意直线可将菱形分成完全全等的两部分.（2）菱形的面积有两种计算方法：一种是平行四边形的面积公式：底×高；另一种是两条对角线乘积的一半（即四个小直角三角形面积之和）.实际上，任何一个对角线互相垂直的四边形的面积都是两条对角线乘积的一半.（3）菱形可以用来证明线段相等，角相等，直线平行，垂直及有关计算问题.要点三、菱形的判定菱形的判定方法有三种：1.定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形.2.对角线互相垂直的平行四边形是菱形.3.四条边相等的四边形是菱形.要点诠释：前两种方法都是在平行四边形的基础上外加一个条件来判定菱形，后一种方法是在四边形的基础上加上四条边相等.【典型例题】类型一、菱形的性质1、（2018•广安）如图，四边形ABCD是菱形，CE ⊥AB交AB的延长线于点E，CF⊥AD交AD的延长线于点F，求证：DF=BE．【思路点拨】连接AC，根据菱形的性质可得AC平分∠DAE，CD=BC，再根据角平分线的性质可得CE=FC，然后利用HL证明Rt△CDF≌Rt△CBE，即可得出DF=BE．【答案与解析】证明：连接AC，∵四边形ABCD是菱形，∴AC平分∠DAE，CD=BC，∵CE⊥AB，CF⊥AD，∴CE=FC，∠CFD=∠CEB=90°．在Rt△CDF与Rt△CBE中，，∴Rt△CDF≌Rt△CBE（HL），∴DF=BE．【总结升华】此题考查了菱形的性质，角平分线的性质，关键是掌握菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．同时考查了全等三角形的判定与性质．举一反三：【变式1】（2018•温州模拟）如图，在菱形ABCD中，点E是AB上的一点，连接DE交AC于点O，连接BO，且∠AED=50°，则∠CBO=度．【答案】50；解：在菱形ABCD中，AB∥CD，∴∠CDO=∠AED=50°，CD=CB，∠BCO=∠DCO，∴在△BCO和△DCO中，，∴△BCO≌△DCO（SAS），∴∠CBO=∠CDO=50°．【高清课堂特殊的平行四边形（菱形）例1】【变式2】菱形ABCD中，∠A∶∠B＝1∶5，若周长为8，则此菱形的高等于( )．1 B.4 C.1 D.2A.2【答案】C；提示：由题意，∠A＝30°，边长为2，菱形的高等于1×2＝1.2类型二、菱形的判定2、如图所示，在△ABC中，CD是∠ACB的平分线，DE∥AC，DF∥BC，四边形DECF是菱形吗?试说明理由．【思路点拨】由菱形的定义去判定图形，由DE∥AC，DF∥BC知四边形DECF是平行四边形，再由∠1＝∠2＝∠3得到邻边相等即可．【答案与解析】解：四边形DECF是菱形，理由如下：∵ DE∥AC，DF∥BC∴四边形DECF是平行四边形．∵ CD平分∠ACB，∴∠1＝∠2∵ DF∥BC，∴∠2＝∠3，∴∠1＝∠3．∴ CF＝DF，∴四边形DECF是菱形．【总结升华】在用菱形的定义判定一个四边形是菱形时，首先判定这个四边形是平行四边形，再由一对邻边相等来判定它是菱形．举一反三：【变式】如图所示，AD是△ABC的角平分线，EF垂直平分AD，分别交AB于E，交AC于F，则四边形AEDF 是菱形吗?请说明理由．【答案】解：四边形AEDF是菱形，理由如下：∵ EF垂直平分AD，∴△AOF与△DOF关于直线EF成轴对称．∴∠ODF＝∠OAF，又∵ AD平分∠BAC，即∠OAF＝∠OAE，∴∠ODF＝∠OAE．∴ AE∥DF，同理可得：DE∥AF．∴四边形AEDF是平行四边形，∴ EO＝OF又∵AEDF的对角线AD、EF互相垂直平分．∴AEDF是菱形．3、如图所示，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC 于点D，CE平分∠ACD，交AD于点G，交AB于点E，EF⊥BC于点F．求证：四边形AEFG是菱形．【思路点拨】由角平分线性质易知AE＝EF，欲证四边形AEFG是菱形，只要再证四边形AEFG是平行四边形或AG＝GF＝AE即可．【答案与解析】证明：方法一：∵ CE平分∠ACB，∠BAC＝90°，EF⊥BC，∴ AE＝EF，∠1＋∠3＝90°，∠4＋∠2＝90°．∵∠1＝∠2，∴∠3＝∠4．∵ EF⊥BC，AD⊥BC，∴ EF∥AD．∴∠4＝∠5．∴∠3＝∠5．∴ AE＝AG．∴ EF AG．∴四边形AEFG是平行四边形．又∵ AE＝AG，∴四边形AEFG是菱形．方法二：∵ CE平分∠ACB，∠BAC＝90°，EF⊥BC，∴ AE＝EF，∠1＋∠3＝90°，∠4＋∠2＝90°．∴∠3＝∠4．∵ EF⊥BC，AD⊥BC，∴ EF∥AD．∴∠4＝∠5．∴∠3＝∠5．∴ AE＝AG．在△AEG和△FEG中，AE＝EF，∠3＝∠4，EG＝EG，∴△AEG≌△FEG．∴ AG＝FG．∴ AE＝EF＝FG＝AG．∴四边形AEFG是菱形．【总结升华】判定一个四边形是菱形，关键是把已知条件转化成判定方法所需要的条件．举一反三：【变式】如图所示，在ABCD中，E、F分别为边AB、CD的中点，BD是对角线，过A点作AG∥DB交CB的延长线于点G．(1)求证：DE∥BF；(2)若∠G ＝90°，求证四边形DEBF 是菱形．【答案】 证明：(1)ABCD 中，AB ∥CD ，AB ＝CD∵ E 、F 分别为AB 、CD 的中点∴ DF ＝12DC ，BE ＝12AB ∴ DF ∥BE ．DF ＝BE∴ 四边形DEBF 为平行四边形∴ DE ∥BF(2)证明：∵ AG ∥BD∴ ∠G ＝∠DBC ＝90°∴ △DBC 为直角三角形又∵ F 为边CD 的中点．∴ BF ＝12DC ＝DF 又∵ 四边形DEBF 为平行四边形∴ 四边形DEBF 是菱形类型三、菱形的应用4、如图所示，是一种长0.3m ，宽0.2m 的矩形瓷砖，E 、F 、G 、H 分别为矩形四边BC 、CD 、DA 、AB 的中点，阴影部分为淡黄色花纹，中间部分为白色，现有一面长4.2 m，宽2.8m的墙壁准备贴如图所示规格的瓷砖．试问：(1)这面墙最少要贴这种瓷砖多少块?(2)全部贴满后，这面墙壁会出现多少个面积相同的菱形?【答案与解析】解：墙壁长4.2m，宽2.8m，矩形瓷砖长0.3m，宽0.2m，4.2÷0.3＝14，2.8÷0.2＝14，则可知矩形瓷砖横排14块，竖排14块可毫无空隙地贴满墙面．(1)则至少需要这种瓷砖14×14＝196(块)．(2)每块瓷砖中间有一个白色菱形，则共有196个白色的菱形，它的面积等于瓷砖面积的一半．另外在同一个顶点处的瓷砖能够拼成一个淡黄色花纹的菱形，它的面积也等于瓷砖面积的一半，有花纹的菱形横排有13个，竖排也有13个，则一共有淡黄色花纹菱形13×13＝169个，面积相等的菱形一共有196＋169＝365(个)．【总结升华】菱形可以看作是由直角三角形组成的，因而铺满墙面后，要计算空白菱形的个数和阴影菱形。
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初二数学期末专题复习之——菱形一、知识点梳理（一）四边形的相关概念1、四边形在同一平面内，由不在同一直线上的四条线段首尾顺次相接的图形叫做四边形。
2、凸四边形把四边形的任一边向两方延长，如果其他个边都在延长所得直线的同一旁，这样的四边形叫做凸四边形。
3、对角线在四边形中，连接不相邻两个顶点的线段叫做四边形的对角线。
4、四边形的不稳定性三角形的三边如果确定后，它的形状、大小就确定了，这是三角形的稳定性。
但是四边形的四边确定后，它的形状不能确定，这就是四边形所具有的不稳定性，它在生产、生活方面有着广泛的应用。
5、四边形的内角和定理及外角和定理四边形的内角和定理：四边形的内角和等于360°。
四边形的外角和定理：四边形的外角和等于360°。
推论：多边形的内角和定理：n边形的内角和等于∙-)2(n180°；多边形的外角和定理：任意多边形的外角和等于360°。
6、多边形的对角线条数的计算公式设多边形的边数为n，则多边形的对角线条数为2)3(-nn。
（二）平行四边形1、平行四边形的概念两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。
平行四边形用符号“□ABCD”表示，如平行四边形ABCD记作“□ABCD”，读作“平行四边形ABCD”。
2、平行四边形的性质（1）平行四边形的邻角互补，对角相等。
（2）平行四边形的对边平行且相等。
推论：夹在两条平行线间的平行线段相等。
（3）平行四边形的对角线互相平分。
（4）若一直线过平行四边形两对角线的交点，则这条直线被一组对边截下的线段以对角线的交点为中点，并且这两条直线二等分此平行四边形的面积。
（5）中心对称图形，对称中心是对角线的交点。
3、平行四边形的判定（1）定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形（2）定理1：两组对角分别相等的四边形是平行四边形（3）定理2：两组对边分别相等的四边形是平行四边形（4）定理3：对角线互相平分的四边形是平行四边形（5）定理4：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形4、两条平行线的距离两条平行线中，一条直线上的任意一点到另一条直线的距离，叫做这两条平行线的距离。
平行线间的距离处处相等。
（4）两条平行线之间的距离两条平行线中，一条直线上的任意一点到另一条直线的距离，叫做这两条平行线的距离．平行线间的距离处处相等．注意：(1)距离是指垂线段的长度，是正值．=底边长×高=ah5、平行四边形的面积：S平行四边形（三）矩形1、矩形的概念有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。
2、矩形的性质（1）具有平行四边形的一切性质（2）矩形的四个角都是直角（3）矩形的对角线相等（4）矩形是轴对称图形注：用矩形的性质可以证明线段相等或倍分、直线平行、角相等等3、矩形的判定（1）定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形（2）定理1：有三个角是直角的四边形是矩形（3）定理2：对角线相等的平行四边形是矩形结论：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。
注意：①用定义判定一个四边形是矩形必须同时满足两个条件：一是有一个角是直角；二是平行四边形．也就是说有一角是直角的四边形，不一定是矩形，必须加上平行四边形这个条件，它才是矩形．②用定理2证明一个四边形是矩形，也必须满足两个条件：一是对角线相等；二是平行四边形．也就说明：两条对角线相等的四边形不一定是矩形，必须加上平行四边形这个条件，它才是矩形．=长×宽=ab4、矩形的面积：S矩形（四）菱形1、菱形的概念有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形2、菱形的性质（1）具有平行四边形的一切性质（2）菱形的四条边相等（3）菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角（4）菱形是轴对称图形3、菱形的判定（1）定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形（2）定理1：四边都相等的四边形是菱形（3）定理2：对角线互相垂直的平行四边形是菱形注意：①对角线互相垂直的四边形不一定是菱形，必须加上平行四边形这个条件它才是菱形．②利用菱形的性质及判定可以证明线段相等及倍分、角相等及倍分、直线平行、垂直，以及证明一个四边形是菱形和有关计算．4、菱形的面积=底边长×高=两条对角线乘积的一半S菱形菱形的计算转化为_____________三角形（五）正方形1、正方形的概念有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形。
矩形、菱形、正方形都是特殊的平行四边形，它们的包含关系如图：2、正方形的性质（1）具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质（2）正方形的四个角都是直角，四条边都相等（3）正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每一条对角线平分一组对角（4）正方形是轴对称图形，有4条对称轴（5）正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形，两条对角线把正方形分成四个全等的小等腰直角三角形（6）正方形的一条对角线上的一点到另一条对角线的两端点的距离相等。
3、正方形的判定判定一：一组邻边相等的矩形是正方形；判定二：一个角是直角的菱形是正方形．判定三：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形是正方形；判定四：即是矩形又是菱形的四边形是正方形。
（1）判定一个四边形是正方形的主要依据是定义，途径有两种：先证它是矩形，再证有一组邻边相等。
先证它是菱形，再证有一个角是直角。
（2）判定一个四边形为正方形的一般顺序如下：先证明它是平行四边形；再证明它是菱形（或矩形）；最后证明它是矩形（或菱形）4、正方形的面积设正方形边长为a ，对角线长为bS 正方形=222b a =（六）梯形 1、梯形的相关概念一组对边平行而另一组对边不平行的四边形叫做梯形。
梯形中平行的两边叫做梯形的底，通常把较短的底叫做上底，较长的底叫做下底。
梯形中不平行的两边叫做梯形的腰。
梯形的两底的距离叫做梯形的高。
两腰相等的梯形叫做等腰梯形。
一腰垂直于底的梯形叫做直角梯形。
一般地，梯形的分类如下：一般梯形梯形 直角梯形 特殊梯形等腰梯形 2、梯形的判定（1）定义：一组对边平行而另一组对边不平行的四边形是梯形。
（2）一组对边平行且不相等的四边形是梯形。
3、等腰梯形的性质（1）等腰梯形的两腰相等，两底平行。
（3）等腰梯形的对角线相等。
（4）等腰梯形是轴对称图形，它只有一条对称轴，即两底的垂直平分线。
4、等腰梯形的判定（1）定义：两腰相等的梯形是等腰梯形（2）定理：在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形 （3）对角线相等的梯形是等腰梯形。
5、梯形的面积 （1）（上底+下底）∙高2÷ （2） 梯形中位线∙高（3）一腰中点到对腰的距离乘以此对腰的长S 梯ABCD =BC EF ∙（如图）（4）如右图2ABCD s =梯（现记住结论就行了）FE DC BA（5）梯形中有关图形的面积：①BACABDSS∆∆=；②BOCAODSS∆∆=；③BCDADCSS∆∆=6、梯形中位线定理梯形中位线平行于两底，并且等于两底和的一半。
7、解决梯形问题的常用方法（如下图所示）：梯形的常见辅助线的添加方法：作高、平移腰、延腰、平移对角线、等积变化（当然不要忘了根据条件灵活添加辅助线）。
通过添加辅助线，把梯形转化成平行四边形和三角形．S OS0S2S1①“作高”：使两腰在两个直角三角形中．②“移对角线”：使两条对角线在同一个三角形中．③“廷腰”：构造具有公共角的两个三角形．④“等积变形”：连接梯形上底一端点和另一腰中点，并延长交下底的延长线于一点，构成三角形．综上，解决梯形问题的基本思路： 梯形问题分割、拼接转化三角形或平行四边形问题，这种思路常通过平移或旋转来实现． （七）各个四边形之间的关系 （1）知识框架8、中心对称图形（（（八）中心对称图形(1）把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称（中心对称）；(2)把一个图形绕它的某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够和原来的图形互相重合，那么这个图形叫做中心对称图形。
性质： (1)关于中心对称的两个图形是全等形；(2)关于中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心，并且被对称中心平分；(3)如果两个图形的对应点连线都经过某一点，并且被这一点平分，那么这两个图形关于这一点对称。
注： (1)以下图形是中心对称图形：直线、线段、平行四边形、矩形、菱形、正方形等。
(2)以下图形不是中心对称图形：射线、角、三角形、等边三角形、等腰三角形等。
(3)特别注意：平行四边形是中心对称图形但不是轴对称图形。
1、转化思想（又叫化归思想）转化思想就是将复杂的问题转化为简单的问题，或将陌生的问题转化为熟悉的问题来处理的一种思想，本章应用化归思想的内容主要有两个方面：（1）四边形问题转化为三角形问题来处理．（2）梯形问题转化为三角形和平行四边形来处理．2、代数法（计算法）代数法是用代数知识来解决几何问题的方法，也就是说运用几何定理、法则，通过列方程、方程组或不等式及解方程、方程组、恒等变形等代数方法，把几何问题转化成代数问题来解决的方法．3、变换思想即运用平移变换、旋转变换、对称变换等方法来构造图形解决几何问题．（十）应注意的几个问题1、不能把判定方法与性质混淆，应加深对判定方法中条件的理解，重视判定方法中的基本图形，不要用性质代替了判别．解题时不能想当然，更不要忽视重要步骤．2、在判别一个四边形是正方形时，容易忽视某个条件，致使判断失误，要避免这种错误的产生就必须认真熟记正方形的定义、特征和识别方法，认真区别各个特征、识别方法的条件，不要忽略隐含条件，避免错误的产生．3、判别一个四边形是等腰梯形时，不要忽略了先判别四边形是梯形，对梯形的概念、性质、判定认识要清．4、纵横对比，分清各种四边形的从属关系，抓住其概念的内涵．5、复习时，依然从边、角、对角线、对称性等角度来理解和应用平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质和判定方法，注意对问题的观察、分析与总结．（十一）几何证明思路。
（十三）做辅助线法则二、考点及题型考点1 与菱形有关的计算问题1、如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于O点，E，F分别是AB，BC边上的中点，连结EF.若EF＝3，BD＝4，则菱形ABCD的周长为() A．4 B．4 6C．47 D．282．如图，四边形ABCD是菱形，AC=8，DB=6，DH⊥AB于H，则DH=（）A ．B ．C ．12D ．243、如图，矩形ABCD 中，AB ＝8，BC ＝4.点E 在边AB 上，点F 在边CD 上，点G ，H 在对角线AC 上．若四边形EGFH 是菱形，则AE 的长是（ ） A ．2 5B ．3 5C ．5D ．64、如图，矩形ABCD 中，AB ＝8，点E 是AD 上的一点，有AE ＝4，BE 的垂直平分线交BC 的延长线于点F ，连结EF 交CD 于点G ，若G 是CD 的中点，则BC 的长是________．训练1 训练2 如图，在菱形ABCD 中，过点B 作BE ⊥AD ，BF ⊥CD ，垂足分别为E ，F ，延长BD 至G ，使得DG=BD ，连接EG ，FG ，若AE=DE ，则EGAB=________．训练2 如图，四边形ABCD 与四边形AEFG 都是菱形，其中点C 在AF 上，点E ，G 分别在BC ，CD 上，若∠BAD ＝135°，∠EAG ＝75°，则ABAE ＝________．（训练2图） （5题图）5、如图，菱形ABCD 和菱形ECGF 的边长分别为2和3，∠A =120°，则阴影部分的面积是（ ）A．2 C ．3 D考点2线段的最值问题1、如图，菱形ABCD 中，AB =2，∠A =120°，点P ，Q ，K 分别为线段BC ，CD ，BD 上的任意一点，则PK +QK 的最小值为( )A ．1 BC ． 2D 1（1题图） （训练1图）训练1 如图，边长为4的正方形ABCD ，点P 是对角线BD 上一动点，点E 在边CD 上，EC ＝1，则PC ＋PE 的最小值是训练2 在菱形ABCD 中，AB =2，∠ADC=120°，M 是AB 的中点，P 为对角线BD 上的一动点，在运动过程中，记AP +MP 的最大值为S ,最小值为T ，则22T S 的值为训练3 如图，在边长为2的菱形ABCD 中，∠A =60°，M 是AD 边的中点，N 是AB 边上一动点，将△AMN 沿MN 所在的直线翻折得到△MN A '，连接C A ',则C A '长度的最小值是_______.2、如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8．点E是BC边上的点，连结AE，过点E作AE的垂线交AB边于点F，求AF的最小值．方法小结：两条动线段的和的最小值问题，常见的是典型的“牛喝水”问题，关键是指出一条对称轴“河流”（如图1）．三条动线段的和的最小值问题，常见的是典型的“台球两次碰壁”或“光的两次反射”问题，关键是指出两条对称轴“反射镜面”（如图2）．两条线段差的最大值问题，一般根据三角形的两边之差小于第三边，当三点共线时，两条线段差的最大值就是第三边的长．如图3，P A与PB的差的最大值就是AB，此时点P在AB的延长线上，即P′．图1图2 图3注：解决线段和差的最值问题，有时候求函数的最值更方便．考点3 菱形的证明1、已知：如图，在正方形ABCD中，点E、F分别在BC和CD上，AE = AF．（1）求证：BE = DF；（2）连接AC交EF于点O，延长OC至点M，使OM = OA，连接EM、FM．判断四边形AEMF是什么特殊四边形？并证明你的结论．训练已知：如图，在矩形ABCD中，点E在边AD上，点F在边BC上，且AE=CF，作EG∥FH，分别与对角线BD交于点G、H，连接EH，FG．（1）求证：△BFH≌△DEG；（2）连接DF，若BF=DF，则四边形EGFH是什么特殊四边形？证明你的结论．考点4 图形的平移和旋转（与三角形的综合）1、如图，在菱形ABCD中，∠DAB=60°，点E为AB边上一动点（与点A，B不重合），连接CE，将∠ACE的两边所在射线CE，CA以点C为中心，顺时针旋转120°，分别交射线AD于点F，G.（1）依题意补全图形；（2）若∠ACE=α，求∠AFC的大小（用含α的式子表示）；（3）用等式表示线段AE、AF与CG之间的数量关系，并证明．训练如图1，在菱形ABCD中，AC=2，BD=3，AC，BD相交于点O．（1）求边AB的长；（2）如图2，将一个足够大的直角三角板60°角的顶点放在菱形ABCD的顶点A处，绕点A 左右旋转，其中三角板60°角的两边分别与边BC ，CD 相交于点E ，F ，连接EF 与AC 相交于点G ．①判断△AEF 是哪一种特殊三角形，并说明理由；②旋转过程中，当点E 为边BC 的四等分点时（BE ＞CE ），求CG 的长．考点5 与平行四边形的综合1、在平行四边形ABCD 中，AC 、BD 交于点O ，过点O 作直线EF 、GH ，分别交平行四边形的四条边于E 、G 、F 、H 四点，连结EG 、GF 、FH 、HE . （1）如图①，试判断四边形EGFH 的形状，并说明理由；（2）如图②，当EF ⊥GH 时，四边形EGFH 的形状是 ；（3）如图③，在（2）的条件下，若AC =BD ，四边形EGFH 的形状是 ； （4）如图④，在（3）的条件下，若AC ⊥BD ，试判断四边形EGFH 的形状，并说明理由.2、已知,矩形ABCD 中, AC 的垂直平分线EF 分别交AD 、BC 于点E 、F ,垂足为O .(1)如图10-1,连接AF 、CE .求证四边形AFCE 为菱形,并求AF 的长；H G F E O D C B A 图①H G F E O D C B A 图②A B C D O E F G H 图③A B C DO E F G H 图④(2)如图10-2,动点P 、Q 分别从A 、C 两点同时出发,沿AFB ∆和CDE ∆各边匀速运动一周.即点P 自A →F →B →A 停止,点Q 自C →D →E →C 停止.在运动过程中,①已知点P 的速度为每秒5cm ,点Q 的速度为每秒4cm ,运动时间为t 秒,当A 、C 、P 、Q 四点为顶点的四边形是平行四边形时,求t 的值.②若点P 、Q 的运动路程分别为a 、b (单位:cm ,0ab ≠),已知A 、C 、P 、Q 四点为顶点的四边形是平行四边形,求a 与b 满足的数量关系式.三、巩固训练1、如图，在△ABC 中，DE 分别是AB ，AC 的中点，BE=2DE ，延长DE 到点F ，使得EF=BE ，连CF（1）求证：四边形BCFE 是菱形；（2）若CE=6，∠BEF=120°，求菱形BCFE 的面积．ABCDEF图10-1O图10-2备用图2如图，在Rt △ABC 中，∠B=90°，点E 是AC 的中点，AC=2AB ，∠BAC 的平分线AD 交BC 于点D ，做AF ∥BC ，连接DE 并延长交AF 于点F ，连接FC.求证：四边形ADCF 是菱形。