2018春北师大版数学九下第二章《二次函数》单元测试

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2018年九年级数学下册《第二章二次函数》单元检测试题(有答案)

2017-2018学年度第二学期北师大版九年级数学下册第二章二次函数单元检测试题考试总分： 120 分考试时间： 120 分钟学校：__________ 班级：__________ 姓名：__________ 考号：__________一、选择题（共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分） 1.若函数是二次函数，则 y =x m ‒1+mx +3m =()A.‒3B.3C.或3‒3D.22.二次函数的图象如图，对称轴，下列结论：①y =ax 2+bx +c(a ≠0)x =‒1；②；③；④；⑤2a ‒b =0a +b +c <0a ‒b >am 2‒bm a ‒12b +14c >0，且，．其中正确的有（）ax 21+bx 1=ax 22+bx 2x 1≠x 2x 1+x 2=‒2A.①③④B.①②④⑤C.②③⑤D.①③④⑤3.为了准备毕业联欢会，工作人员的工作台上到处可见各种各样的函数图象．明明学过抛物线，便信口开河道：图可能是；图可能是1y =‒x 2+4x 2；图可能是；图可能是，你y =(x ‒2)2‒13y =‒3x 2‒4x +14y =‒x 2‒4x +1认为其中必定不正确的有（）A.个1B.个2C.个3D.个4 4.抛物线与轴的交点坐标是（）y =x 2+3x +2y A.(2, 0) B.(1, 0) C.(3, 2) D.(0, 2)5.如图是抛物线图象的一部分，抛物线的顶点坐标y1=ax2+bx+c(a≠0)，与轴的一个交点，直线与抛物线交于，A(1, 3)x B(4, 0)y2=mx+n(m≠0)A两点，下列结论：B①；②；③方程有两个相等的实数根；2a+b=0abc>0ax2+bx+c=3④抛物线与轴的另一个交点是；⑤当时，有．x(‒1, 0)1<x<4y2<y1其中正确结论的个数是（）A.5B.4C.3D.26.已知非负数，，满足，，设的最大值为，a b c a+b=2c‒3a=4S=a2+b+c m 最小值为，则的值为（）n m‒nA.9B.8C.1D.10 37.如果二次函数的图象如图所示，那么下列判断中，不正确的y=ax2+bx+c是（）A.a>0B.b<0C.c>0D.abc>08.如图是二次函数的图象，点是坐标平面内的点，y=ax2+bx+c P(a+b, bc)则点在（）PA.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限9.如图，平面直角坐标系中，已知点，过点作轴，垂足为，若B(2, 1)B BA⊥x A抛物线与的边界总有两个公共点，则实数的取值范围是（y =12x 2+k△OAB k ）A.‒2<k <0B.‒2<k <18C.‒2<k <‒1D.‒2<k <1410.如图，已知二次函数在坐标平面上的图象经过、y =a(x ‒ℎ)2+k (0, 5)两点．若，，则的值可能为（）(10, 8)a <00<ℎ<10ℎA.1B.3C.5D.7二、填空题（共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分）11.抛物线的图象如图，若将其向左平移个单位，再向下平移y =‒x 2+bx +c 2个单位，则平移后的解析式为________．312.体育课上，小明同学练习推铅球，如图是铅球被推出后所经的路线，铅球从点处出手，在点处落地，它的运行路线满足，则这次推铅A B y =‒112x 2+23x +53球的成绩是________米．y=(x‒1)2+(x‒3)2x=13.对于二次函数，当________时，函数有最小值________．y=ax2‒(a2‒1)x+1a14.如图所示的抛物线是二次函数的图象，那么的值是________．x A(‒2, 0)B(1, 0)C(2, 8)15.一抛物线与轴的交点是、，且经过点．则该抛物线的解析式为________；顶点坐标是________．y=‒2x2+4x+3y=a(x‒m)2+k16.把二次函数化成的形式是________．164017.有一个抛物线形拱桥，其最大高度为米，跨度为米，现把它的示意图放在如图所示的平面直角坐标系中，则此抛物线的解析式为________．8y/m218.某市“安居工程”新建成的经济房都是层高，房子的价格（元）随楼层x(x=1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8)(x, y)数（楼）的变化而变化；已知点都在一个二次函数x=46/m2的图象（如图）上，对称轴方程为：，则楼房子的价格为________元．y=ax2+bx+c19.如图为二次函数的图象，在下列说法中：ac<0ax2+bx+c=0x1=‒1x2=3①；②方程的根是，a+b+c>0x>1y x③④当时，随的增大而增大．正确的说法有________．y1=‒2x2+2y2=2x+2x x20.如图，已知抛物线，直线，当任取一值时，对应y1y2y1≠y2y1y2M y1=y2的函数值分别为，．若，取，中的较小值记为；若，M=y1=y2x=1y1=0y2=4y1<y2M=0记．例如：当时，，，，此时．那M=1x么使得的值为________．三、解答题（共 6 小题，每小题 10 分，共 60 分）y=mx3m‒1+4x‒521.已知：函数是二次函数．y=mx3m‒1+4x‒5已知：函数是二次函数．(1)m求的值；(2)写出这个二次函数图象的对称轴：________，顶点坐标：________；(3)x求图象与轴的交点坐标．xOy y=mx2‒(m+n)x+n(m<0)22.在平面直角坐标系中，二次函数的图象y A与轴正半轴交于点．(1)x求证：该二次函数的图象与轴必有两个交点；(2)x B∠ABO=45∘设该二次函数的图象与轴的两个交点中右侧的交点为点，若，AB2l l将直线向下平移个单位得到直线，求直线的解析式；(3)(2)M(p, q)‒3<p<0在的条件下，设为二次函数图象上的一个动点，当时，M x l m点关于轴的对称点都在直线的下方，求的取值范围．O y23.有一座抛物线形拱桥，以坐标原点为抛物线的顶点，以轴为抛物线的对称AB203轴建立如图所示的坐标系，桥下面在正常水位时，宽米，水位上升米就CD10CD达到警戒线，这时水面宽为米．求抛物线的解析式及警戒线到拱桥顶O的距离．x A(‒3, 0)B(1, 0)y24.如图，二次函数的图象与轴相交于、两点，与轴相交于点C(0, 3)C D B D ，点、是二次函数图象上的一对对称点，一次函数的图象过点、．(1)求二次函数的解析式；(2)‒3≤x≤0y当时的取值范围是________；(3)x根据图象可知：当一次函数值小于等于二次函数值时，的取值范围是________．15AB25.某学校广场有一段米长的旧围栏，如图所示，现打算利用围栏的一部24分（或全部）为一边，修建一排大小相等的三个矩形草坪．现有新围栏米，10每米元，1.5修建旧围栏每米价格元，如何设计每个小矩形的长、宽，使三个矩形草坪的总面积最大，最大的面积是多少？要花多少钱？3026.某种野生菌上市时，外商李经理按市场价格元/千克收购了这种野生菌1000千克存放入冷库中，据预测，该野生菌的市场价格将以每天每千克上涨1310元；但冷冻存放这批野生菌时每天需要支出各种费用合计元，而且这类野1603生菌在冷库中最多保存天，同时，平均每天有千克的野生菌损坏不能出售．(1)x y y x设天后每千克该野生菌的市场价格为元，试写出与之间的函数关系式．(2)x P若存放天后，将这批野生菌一次性出售，设这批野生菌的销售总额为元，P x试写出与之间的函数关系式．(3)W李经理将这批野生茵存放多少天后出售可获得最大利润元？并求出其最大利润．=（利润销售总额-收购成本-各种费用）答案1.B2.B3.C4.D5.C6.B7.C8.C9.A 10.D11.y =‒x 2‒2x12.1013.2214.‒115.y =2x 2+2x ‒4(‒12, ‒92)16.y =‒2(x ‒1)2+517.y =‒125x 2+85x18.308019.①②③20.或‒122221.x =‒2(‒2, ‒9)22.解：令，则(1)mx 2‒(m +n)x +n =0，△=(m +n )2‒4mn =(m ‒n )2∵二次函数图象与轴正半轴交于点，y A ∴，且，A(0, n)n >0又∵，m <0∴，m ‒n <0∴，△=(m ‒n )2>0∴该二次函数的图象与轴必有两个交点；令，(2)mx 2‒(m +n)x +n =0解得：，，x 1=1x 2=n m 由得，故的坐标为，(1)n m <0B (1, 0)又因为，∠ABO =45∘所以，即，A(0, 1)n =1则可求得直线的解析式为：．AB y =‒x +1再向下平移个单位可得到直线；由得二次函数的解析式为：2l:y =‒x ‒1(3)(2)．y =mx 2‒(m +1)x +1∵ 为二次函数图象上的一个动点，M(p, q)∴．q =mp 2‒(m +1)p +1∴点关于轴的对称点的坐标为．M M'(p, ‒q)∴点在二次函数上．M'y =‒m 2+(m +1)x ‒1∵当时，点关于轴的对称点都在直线的下方，‒3<p <0M x l 当时，；当时，；p =0q =1p =‒3q =12m +4结合图象可知：，‒(12m +4)<2解得：．m >‒12∴的取值范围为：．m ‒12<m <023.解：设抛物线解析式为，y =ax 2∵抛物线关于轴对称，，y AB =20∴点的横坐标为，B 10设点，点，B(10, n)D(5, n +3)，n =102⋅a =100a ，n +3=52a =25a即，{n =100an +3=25a 解得：，{n =‒4a =‒125∴，且点的坐标为，y =‒125x 2D (5, ‒1)故警戒线到拱桥顶的距离为米．CD O 124.；．0≤y ≤4‒2≤x ≤025.解：如图，设，B'C =x 那么，DC =24‒4x ，S A 'B 'CD=x(24‒4x)=24x ‒4x 2当时，总面积最大，最大为（平方米），x =‒242×(‒4)=336此时：（米），A'B'=DC =12总价格为：（元）．12×1.5+24×10=25826.解：由题意得与之间的函数关系式(1)y x （，且为整数）由题意得与之间的函数关系式y =x +301≤x ≤160x (2)P X 由题意得P =(x +30)(1000‒3x)=‒3x 2+910x +30000(3)∴当w =(‒3x 2+910x +30000)‒30×1000‒310x =‒3(x ‒100)2+30000时，x =100w 最大=30000∵天天100<160∴存放天后出售这批野生菌可获得最大利润元．10030000。

九年级数学下册第二章《二次函数》单元测试题-北师大版(含答案)

九年级数学下册第二章《二次函数》单元测试题-北师大版（含答案）一、单选题（本大题共12小题，每小题3分，共36分)1．抛物线2y ax bx c =++经过点()1,0-、()3,0，且与y 轴交于点()0,5-，则当2x =时，y 的值为（）A ．5-B ．3-C ．1-D ．52．在羽毛球比赛中，某次羽毛球的运动路线呈抛物线形，羽毛球距地面的高度()m y 与水平距离()m x 之间的关系如图所示，点B 为落地点，且1m OA =，4m OB =，羽毛球到达的最高点到y 轴的距离为3m 2，那么羽毛球到达最高点时离地面的高度为（）A ．25m 4B ．9m 4C ．3m 2D ．25m 163．二次函数222=++y x x 的图象的对称轴是（）A ．=1x -B ．2x =-C ．1x =D ．2x =4．已知二次函数()20y ax bx c a =+-≠，其中0b >、0c >，则该函数的图象可能为（）A ．B ．C ．D ．5．如图，抛物线2(0)y ax bx c a =++≠的对称轴为2x =-，下列结论正确的是（）A ．a<0B ．0c >C ．当<2x -时，y 随x 的增大而减小D ．当2x >-时，y 随x 的增大而减小6．已知抛物线22()1y x =-+，下列结论错误的是（）A ．抛物线开口向上B ．抛物线的对称轴为直线2x =C ．抛物线的顶点坐标为(2,1)D ．当2x <时，y 随x 的增大而增大7．关于二次函数22(4)6y x =-+的最大值或最小值，下列说法正确的是（）A ．有最大值4B ．有最小值4C ．有最大值6D ．有最小值68．抛物线y ＝x 2+3上有两点A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），若y 1＜y 2，则下列结论正确的是( )A ．0≤x 1＜x 2B ．x 2＜x 1≤0C ．x 2＜x 1≤0或0≤x 1＜x 2D ．以上都不对9．如图是拱形大桥的示意图，桥拱与桥面的交点为O ，B ，以点O 为原点，水平直线OB 为x 轴，建立平面直角坐标系，桥的拱形可以近似看成抛物线y =-0.01（x -20）2+4，桥拱与桥墩AC 的交点C 恰好位于水面，且AC ⊥x 轴，若OA =5米，则桥面离水面的高度AC 为（）A ．5米B ．4米C ．2.25米D ．1.25米10．下表中列出的是一个二次函数的自变量x 与函数y 的几组对应值：x… -2 0 1 3 …y… 6 -4 -6 -4 …下列各选项中，正确的是A ．这个函数的图象开口向下B ．这个函数的图象与x 轴无交点C ．这个函数的最小值小于-6D ．当1x >时，y 的值随x 值的增大而增大11．用配方法将二次函数21242y x x =--化为2()y a x h k =-+的形式为（） A ．21(2)42y x =-- B ．21(1)32y x =-- C ．21(2)52y x =-- D ．21(2)62y x =--12．向空中发射一枚炮弹，经x 秒后的高度为y 米，且时间与高度的函数表达式为()20y ax bx c a =++≠，若此炮弹在第6秒与第13秒时的高度相等，则下列时间中炮弹所在高度最高的是（）A ．第7秒B ．第9秒C ．第11秒D ．第13秒二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分)13．某快餐店销售A 、B 两种快餐，每份利润分别为12元、8元，每天卖出份数分别为40份、80份．该店为了增加利润，准备降低每份A 种快餐的利润，同时提高每份B 种快餐的利润．售卖时发现，在一定范围内，每份A 种快餐利润每降1元可多卖2份，每份B 种快餐利润每提高1元就少卖2份．如果这两种快餐每天销售总份数不变，那么这两种快餐一天的总利润最多是______元．14．如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD 的一边AB 在x 轴上，顶点B 在x 轴正半轴上．若抛物线y ＝x 2﹣5x +4经过点C 、D ，则点B 的坐标为______．15．已知二次函数2(0)y ax bx c a =++≠，图象的一部分如图所示，该函数图象经过点(2,0)-，对称轴为直线12x =-．对于下列结论：⊥<0abc ；⊥240b ac ->；⊥0a b c ++=；⊥21(2)4am bm a b +<-（其中12m ≠-）；⊥若()11,A x y 和()22,B x y 均在该函数图象上，且121x x >>，则12y y >．其中正确结论的个数共有_______个．16．二次函数23y ax ax c =-+（a<0，a ，c 均为常数）的图象经过()12A y -，、()22B y ，、()30C y ，三点，则1y ，2y ，3y 的大小关系是 _____．17．如图，是一名男生推铅球时，铅球行进过程中形成的抛物线．按照图中所示的平面直角坐标系，铅球行进高度y （单位：m ）与水平距离x （单位：m ）之间的关系是21251233y x x =-++，则铅球推出的水平距离OA 的长是_____m ．18．抛物线y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）的部分图象如图所示，其与x 轴的一个交点坐标为（﹣3，0），对称轴为x ＝﹣1，则当y ＜0时，x 的取值范围是_____．19．如图，一位篮球运动员投篮，球沿抛物线20.2 2.25y x x =-++运行，然后准确落入篮筐内，已知篮筐的中心离地面的高度为3.05m ，则他距篮筐中心的水平距离OH 是_________m ．20．如图是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面在正常水位的情况下，拱顶（拱桥洞的最高点）离水面2m ，水面宽4m ．则当水位下降m=________时，水面宽为5m ？三、解答题（本大题共5小题，每小题8分，共40分)21．如图，隧道的截面由抛物线DEC 和矩形ABCD 构成，矩形的长AB 为4m ，宽BC 为3m ，以DC 所在的直线为x 轴，线段CD 的中垂线为y 轴，建立平面直角坐标系．y 轴是抛物线的对称轴，最高点E 到地面距离为4米．(1)求出抛物线的解析式．(2)在距离地面134米高处，隧道的宽度是多少？ (3)如果该隧道内设单行道（只能朝一个方向行驶），现有一辆货运卡车高3.6米，宽2.4米，这辆货运卡车能否通过该隧道？通过计算说明你的结论．22．2022年北京冬奥会即将召开，激起了人们对冰雪运动的极大热情．如图是某跳台滑雪训练场的横截面示意图，取某一位置的水平线为x 轴，过跳台终点A 作水平线的垂线为y 轴，建立平面直角坐标系．图中的抛物线2117C :1126y x x =-++近似表示滑雪场地上的一座小山坡，某运动员从点O 正上方4米处的A 点滑出，滑出后沿一段抛物线221:8C y x bx c =-++运动．（1）当运动员运动到离A处的水平距离为4米时，离水平线的高度为8米，求抛物线2C的函数解析式（不要求写出自变量x的取值范围）；（2）在（1）的条件下，当运动员运动水平线的水平距离为多少米时，运动员与小山坡的竖直距离为1米？（3）当运动员运动到坡顶正上方，且与坡顶距离超过3米时，求b的取值范围．23．如图，抛物线y＝x2+x﹣2与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C．（1）求点A，点B和点C的坐标；（2）抛物线的对称轴上有一动点P，求PB+PC的值最小时的点P的坐标．24．李大爷每天到批发市场购进某种水果进行销售，这种水果每箱10千克，批发商规定：整箱购买，一箱起售，每人一天购买不超过10箱；当购买1箱时，批发价为8.2元/千克，每多购买1箱，批发价每千克降低0.2元．根据李大爷的销售经验，这种水果售价为12元/千克时，每天可销售1箱；售价每千克降低0.5元，每天可多销售1箱．(1)请求出这种水果批发价y（元/千克）与购进数量x（箱）之间的函数关系式；(2)若每天购进的这种水果需当天全部售完，请你计算，李大爷每天应购进这种水果多少箱，才能使每天所获利润最大？最大利润是多少？25．如图，抛物线的顶点为A(h，－1)，与y轴交于点B1(0,)2，点F(2，1)为其对称轴上的一个定点．（1）求这条抛物线的函数解析式；（2）已知直线l是过点C(0，－3)且垂直于y轴的定直线，若抛物线上的任意一点P(m，n)到直线l的距离为d，求证：PF＝d；（3）已知坐标平面内的点D(4，3)，请在抛物线上找一点Q，使△DFQ的周长最小，并求此时DFQ周长的最小值及点Q的坐标．参考答案1．A 2．D 3．A 4．C 5．C 6．D 7．D 8．D 9．C 10．C 11．D 12．B 13．1264 14．（2，0） 15．316．132y y y << 17．10 18．﹣3＜x ＜1 19．4 20．1.12521．(1)2114y x =-+(2)3 (3)能通过22．（1）213482y x x =-++；（2）12米；（3）3524b ≥．23．（1）A （﹣2，0），B （1，0），C （0，﹣2）．（2）P （12-，12-）24．(1)0.28.4y x =-+(110x ≤≤且x 为整数)．(2)李大爷每天应购进这种水果7箱，获得的利润最大，最大利润是140元．25．（1）()21218y x =--；（2）1（3）226，14,2⎛⎫- ⎪⎝⎭。

2018-2019学年北师大版九年级数学下册《第二章二次函数》单元测试卷(有答案)

2018-2019学年度第二学期北师大版九年级数学下册第二章二次函数单元检测试题考试总分： 120 分考试时间： 120 分钟学校：__________ 班级：__________ 姓名：__________ 考号：__________一、选择题（共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分）1.若函数是二次函数，则A. B. C.或 D.2.二次函数的图象如图，对称轴，下列结论：① ；② ；③ ；④；⑤ ，且，．其中正确的有（）A.①③④B.①②④⑤C.②③⑤D.①③④⑤3.为了准备毕业联欢会，工作人员的工作台上到处可见各种各样的函数图象．明明学过抛物线，便信口开河道：图可能是；图可能是；图可能是；图可能是，你认为其中必定不正确的有（）A.个B.个C.个D.个4.抛物线与轴的交点坐标是（）A. B. C. D.5.如图是抛物线图象的一部分，抛物线的顶点坐标，与轴的一个交点，直线与抛物线交于，两点，下列结论：① ；② ；③方程有两个相等的实数根；④抛物线与轴的另一个交点是；⑤当时，有．其中正确结论的个数是（）A. B. C. D.6.已知非负数，，满足，，设的最大值为，最小值为，则的值为（）A. B. C. D.7.如果二次函数的图象如图所示，那么下列判断中，不正确的是（）A. B. C. D.8.如图是二次函数的图象，点是坐标平面内的点，则点在（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限9.如图，平面直角坐标系中，已知点，过点作轴，垂足为，若抛物线与的边界总有两个公共点，则实数的取值范围是（）A. B.C. D.10.如图，已知二次函数在坐标平面上的图象经过、两点．若，，则的值可能为（）A. B. C. D.二、填空题（共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分）11.抛物线的图象如图，若将其向左平移个单位，再向下平移个单位，则平移后的解析式为________．12.体育课上，小明同学练习推铅球，如图是铅球被推出后所经的路线，铅球从点处出手，在点处落地，它的运行路线满足，则这次推铅球的成绩是________米．13.对于二次函数，当________时，函数有最小值________．14.如图所示的抛物线是二次函数的图象，那么的值是________．15.一抛物线与轴的交点是、，且经过点．则该抛物线的解析式为________；顶点坐标是________．16.把二次函数化成的形式是________．17.有一个抛物线形拱桥，其最大高度为米，跨度为米，现把它的示意图放在如图所示的平面直角坐标系中，则此抛物线的解析式为________．18.某市“安居工程”新建成的经济房都是层高，房子的价格（元）随楼层数（楼）的变化而变化；已知点都在一个二次函数的图象（如图）上，对称轴方程为：，则楼房子的价格为________元．19.如图为二次函数的图象，在下列说法中：① ；②方程的根是，③ ④当时，随的增大而增大．正确的说法有________．20.如图，已知抛物线，直线，当任取一值时，对应的函数值分别为，．若，取，中的较小值记为；若，记．例如：当时，，，，此时．那么使得的值为________．三、解答题（共 6 小题，每小题 10 分，共 60 分）21.已知：函数是二次函数．已知：函数是二次函数．求的值；写出这个二次函数图象的对称轴：________，顶点坐标：________；求图象与轴的交点坐标．22.在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴正半轴交于点．求证：该二次函数的图象与轴必有两个交点；设该二次函数的图象与轴的两个交点中右侧的交点为点，若，将直线向下平移个单位得到直线，求直线的解析式；在的条件下，设为二次函数图象上的一个动点，当时，点关于轴的对称点都在直线的下方，求的取值范围．23.有一座抛物线形拱桥，以坐标原点为抛物线的顶点，以轴为抛物线的对称轴建立如图所示的坐标系，桥下面在正常水位时，宽米，水位上升米就达到警戒线，这时水面宽为米．求抛物线的解析式及警戒线到拱桥顶的距离．24.如图，二次函数的图象与轴相交于、两点，与轴相交于点，点、是二次函数图象上的一对对称点，一次函数的图象过点、．求二次函数的解析式；当时的取值范围是________；根据图象可知：当一次函数值小于等于二次函数值时，的取值范围是________．25.某学校广场有一段米长的旧围栏，如图所示，现打算利用围栏的一部分（或全部）为一边，修建一排大小相等的三个矩形草坪．现有新围栏米，每米元，修建旧围栏每米价格 . 元，如何设计每个小矩形的长、宽，使三个矩形草坪的总面积最大，最大的面积是多少？要花多少钱？26.某种野生菌上市时，外商李经理按市场价格元/千克收购了这种野生菌千克存放入冷库中，据预测，该野生菌的市场价格将以每天每千克上涨元；但冷冻存放这批野生菌时每天需要支出各种费用合计元，而且这类野生菌在冷库中最多保存天，同时，平均每天有千克的野生菌损坏不能出售．设天后每千克该野生菌的市场价格为元，试写出与之间的函数关系式．若存放天后，将这批野生菌一次性出售，设这批野生菌的销售总额为元，试写出与之间的函数关系式．李经理将这批野生茵存放多少天后出售可获得最大利润元？并求出其最大利润．（利润销售总额-收购成本-各种费用）答案1.B2.B3.C4.D5.C6.B7.C8.C9.A10.D11.12.13.14.15.16.17.18..①②③20.或21.22.解：令，则，∵二次函数图象与轴正半轴交于点，∴ ，且，又∵ ，∴ ，∴ ，∴该二次函数的图象与轴必有两个交点；令，解得：，，由得，故的坐标为，又因为，所以，即，则可求得直线的解析式为：．再向下平移个单位可得到直线；由得二次函数的解析式为：．∵ 为二次函数图象上的一个动点，∴ ．∴点关于轴的对称点的坐标为．∴ 点在二次函数上．∵当时，点关于轴的对称点都在直线的下方，当时，；当时，；结合图象可知：，解得：．∴ 的取值范围为：．23.解：设抛物线解析式为，∵抛物线关于轴对称，，∴点的横坐标为，设点，点，，，即，解得：，∴，且点的坐标为，故警戒线到拱桥顶的距离为米．24.；．25.解：如图，设，那么，，当时，总面积最大，最大为（平方米），此时：（米），总价格为： . （元）．26.解：由题意得与之间的函数关系式（，且为整数）由题意得与之间的函数关系式由题意得∴当时，最大∵ 天天∴存放天后出售这批野生菌可获得最大利润元．。

第二章《二次函数》2018-2019学年单元测试(含答案)

单元测试(二) 二次函数(时间：100分钟满分：120分)一、选择题(每小题3分，共30分)下列各小题均有四个答案，其中只有一个是正确的.1.抛物线y ＝－2x 2＋1的对称轴是(C )A .直线x ＝12B .直线x ＝－12C .y 轴D .直线x ＝2 2.将二次函数y ＝x 2－2x ＋3化为y ＝(x －h )2＋k 的形式，结果为(D )A .y ＝(x ＋1)2＋4B .y ＝(x ＋1)2＋2C .y ＝(x －1)2＋4D .y ＝(x －1)2＋2 3.若函数y ＝axa 2－2a －6是二次函数且图象开口向上，则a ＝(B )A .－2B .4C .4或－2D .4或34.在平面直角坐标系中，二次函数y ＝a (x －h )2(a ≠0)的图象可能是(D )A. B.C. D.5.二次函数y ＝(x －2)2＋3是由二次函数y ＝x 2怎样平移得到的(A ) A .向右平移2个单位长度，向上平移3个单位长度 B .向左平移2个单位长度，向上平移3个单位长度 C .向右平移3个单位长度，向上平移2个单位长度 D .向右平移2个单位长度，向下平移3个单位长度6.若二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a <0)的图象经过点(2，0)，且其对称轴为直线x ＝－1，则使函数值y >0成立的x 的取值范围是(B )A .x <－4或x >2B .－4<x <2C .x ≤－4或x ≥2D .－4≤x ≤27.如图所示的桥拱是抛物线形，其函数的表达式为y ＝－14x 2，当水位线在AB 位置时，水面宽12 m ，这时水面离桥顶的高度为(C )A .3 mB .2 6 mC .9 mD .4 3 m8.如图，二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ＞0)图象的顶点为D ，其图象与x 轴的交点A ，B 的横坐标分别为－1和3，则下列结论正确的是(D )A .2a －b ＝0B .a ＋b ＋c ＞0C .3a －c ＝0D .当a ＝12时，△ABD 是等腰直角三角形9.若二次函数y ＝ax 2＋1的图象经过点(－2，0)，则关于x 的方程a (x －2)2＋1＝0的实数根为(A )A .x 1＝0，x 2＝4B .x 1＝－2，x 2＝6C .x 1＝32，x 2＝52D .x 1＝－4，x 2＝010.如图，垂直于x 轴的直线AB 分别与抛物线C 1：y ＝x 2(x ≥0)和抛物线C 2：y ＝x 24(x ≥0)交于A ，B 两点，过点A 作CD ∥x 轴，分别与y 轴和抛物线C 2交于点C ，D ，过点B 作EF ∥x 轴，分别与y 轴和抛物线C 1交于点E ，F ，则S △OFBS △EAD的值为(C )A.26B.24C.16D.14二、填空题(每小题3分，共15分)11.如果点A (－2，y 1)和点B (2，y 2)是抛物线y ＝(x ＋3)2上的两点，那么 y 1＜y 2.(填“＞”“＝”或“＜”)12.已知函数y ＝ax 2＋bx ＋c ，当x ＝3时，函数取最大值4，当x ＝0时，y ＝－14，则函数表达式为y ＝－2(x －3)2＋4.13.平时我们在跳绳时，绳子甩到最高处的形状可近似看作抛物线，如图，建立平面直角坐标系，抛物线的函数表达式为y ＝－16x 2＋13x ＋32(单位：m )，绳子甩到最高处时刚好通过站在x ＝2点处跳绳的学生小明的头顶，则小明的身高为1.5__m .14.如图，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 与x 轴相交于点A ，B (m ＋2，0)与y 轴相交于点C ，点D 在该抛物线上，坐标为(m ，c )，则点A 的坐标是(－2，0).15.老师出示了小黑板上的题后(如图)，小华说：过点(3，0)；小彬说：过点(4，3)；小明说：a ＝1；小颖说：抛物线被x 轴截得的线段长为2.你认为四人的说法中，正确的有小华、小彬、小明.(填写姓名即可)三、解答题(本大题共8个小题，满分75分)16.(8分)已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 中，函数值y 与自变量x 的部分对应值如下表：(1)求该二次函数的表达式；(2)当x 为何值时，y 有最小值，最小值是多少？解：(1)y ＝(x －2)2＋1. (2)当x ＝2时，y 有最小值1.17.(9分)如图，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 与x 轴交于点A (2，0)，B (4，0)，且过点C (0，4). (1)求出抛物线的表达式和顶点坐标；(2)请你求出抛物线向左平移3个单位长度，再向上平移1.5个单位长度后抛物线的表达式.解：(1)根据题意得：⎩⎪⎨⎪⎧4a ＋2b ＋c ＝0，16a ＋4b ＋c ＝0，c ＝4.解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝12，b ＝－3，c ＝4.∴抛物线的表达式为y ＝ 12x 2－3x ＋4.∵y ＝12x 2－3x ＋4＝12(x －3)2－12，∴顶点坐标为(3，－12).(2)抛物线向左平移3个单位长度，再向上平移1.5个单位长度后抛物线的表达式为y ＝12x 2＋1.18.(9分)如图，以直线x ＝1为对称轴的抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c (a ，b ，c 为常数)经过A (4，0)和B (0，4)两点，其顶点为C.(1)求该抛物线的表达式及其顶点C 的坐标；(2)若点M 是抛物线上的一个动点，且位于第一象限内. ①设△ABM 的面积为S ，试求S 的最大值； ②若S 为整数，则这样的M 点有3个.解：(1)∵对称轴为直线x ＝1，∴x ＝－b2a ＝1.∵抛物线经过点A (4，0)和B (0，4)， ∴⎩⎪⎨⎪⎧0＝16a ＋4b ＋c ，4＝c ，－b 2a ＝1.解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－12，b ＝1，c ＝4.∴抛物线的表达式为y ＝－12x 2＋x ＋4.当x ＝1时，y ＝－12×1＋1＋4＝92.∴顶点坐标为(1，92).(2)过点M 作MN ∥y 轴交AB 于点N . 设M (x ，－12x 2＋x ＋4)(0<x <4)，∵A (4，0)，B (0，4)∴直线AB 的表达式为y ＝－x ＋4. ∴N (x ，－x ＋4).∴MN ＝－12x 2＋2x .∵S △ABM ＝S △AMN ＋S △BMN ＝12(－12x 2＋2x )(4－x )＋12(－12x 2＋2x )·x ＝12(－12x 2＋2x )·4＝2(－12x 2＋2x )＝－x 2＋4x ＝－(x －2)2＋4.∵0<x <4，∴当x ＝2时，S △ABM 的最大值为4.19.(9分)某企业投资100万元引进一条产品加工生产线，若不计维修、保养费用，预计投产后每年可创利33万元.该生产线投产后，从第1年到第x 年的维修、保养费用累计为y 万元，且y ＝ax 2＋bx ，若第1年的维修、保养费用为2万元，第2年为4万元. (1)求y 的函数表达式；(2)投产后，这个企业在第几年就能收回投资？解：(1)由题意，x ＝1时，y ＝2；x ＝2时，y ＝2＋4＝6，分别代入y ＝ax 2＋bx ，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝2，4a ＋2b ＝6.解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝1.∴y ＝x 2＋x .(2)设第1年到第x 年利润为g 万元，则g ＝33x －100－x 2－x ＝－x 2＋32x －100＝－(x －16)2＋156.当g ＝0时，x 1＝16＋239，x 2＝16－239≈3.5，故当x ＝4时，即第4年可收回投资. 答：投产后，这个企业在第4年就能收回投资.20.(9分)如图，矩形ABCD 的两边长AB ＝18 cm ，AD ＝4 cm ，点P ，Q 分别从A ，B 同时出发，P 在边AB 上沿AB 方向以每秒2 cm 的速度匀速运动，Q 在边BC 上沿BC 方向以每秒1 cm 的速度匀速运动.设运动时间为x 秒，△PBQ 的面积为y (cm 2). (1)求y 关于x 的函数表达式，并写出x 的取值范围； (2)求△PBQ 的面积的最大值.解：(1)∵S △PBQ ＝12PB ·BQ ，PB ＝AB －AP ＝18－2x ，BQ ＝x ，∴y ＝12x (18－2x )，即y ＝－x 2＋9x (0<x ≤4).(2)由(1)知y ＝－x 2＋9x ，∴y ＝－(x －92)2＋814.∵当0<x ≤92时，y 随x 的增大而增大，而0<x ≤4，∴当x ＝4时，y 最大＝20，即△PBQ 的最大面积是20 cm 2.21.(10分)九年级七班“数学兴趣小组”对函数的对称变换进行探究，以下是探究发现运用过程，请补充完整. (1)操作发现在作函数y ＝|x |的图象时，采用了分段函数的办法，该函数转化为y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x （x≥0），－x （x<0）.请在如图1所示的平面直角坐标系中作出函数的图象； (2)类比探究作函数y ＝|x －1|的图象，可以转化为分段函数y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x －1（x≥1）－x ＋1（x<1），然后分别作出两段函数的图象.聪明的小昕利用坐标平面上的轴对称知识，把函数y ＝x －1在x 轴下面部分，沿x 轴进行翻折，与x 轴上及上面部分组成了函数y ＝|x －1|的图象，如图2所示； (3)拓展提高如图3是函数y ＝x 2－2x －3的图象，请在原平面直角坐标系作函数y ＝|x 2－2x －3|的图象； (4)实际运用①函数y ＝|x 2－2x －3|的图象与x 轴有2个交点，对应方程|x 2－2x －3|＝0有2个实根； ②函数y ＝|x 2－2x －3|的图象与直线y ＝5有2个交点，对应方程|x 2－2x －3|＝5有2个实根； ③函数y ＝|x 2－2x －3|的图象与直线y ＝4有3个交点，对应方程|x 2－2x －3|＝4有3个实根； ④关于x 的方程|x 2－2x －3|＝a 有4个实根时，a 的取值范围是0＜a ＜4.解：(1)如图所示. (3)如图所示.22.(10分)某文具店购进一批纪念册，每本进价为20元，出于营销考虑，要求每本纪念册的售价不低于20元且不高于28元，在销售过程中发现该纪念册每周的销售量y (本)与每本纪念册的售价x (元)之间满足一次函数关系：当销售单价为22元时，销售量为36本；当销售单价为24元时，销售量为32本. (1)请直接写出y 与x 的函数关系式；(2)当文具店每周销售这种纪念册获得150元的利润时，每本纪念册的销售单价是多少元？ (3)设该文具店每周销售这种纪念册所获得的利润为w 元，将该纪念册销售单价定为多少元时，才能使文具店销售该纪念册所获利润最大？最大利润是多少？解：(1)y ＝－2x ＋80(20≤x ≤28).(2)设当文具店每周销售这种纪念册获得150元的利润时，每本纪念册的销售单价是x 元，根据题意，得(x －20)y ＝150，即(x －20)(－2x ＋80)＝150.解得x 1＝25，x 2＝35(舍去). 答：每本纪念册的销售单价是25元.(3)由题意，得w ＝(x －20)(－2x ＋80)＝－2(x －30)2＋200. 当x ＝30时，w 最大.又∵售价不低于20元且不高于28元，－2＜0，∴x ＜30时，y 随x 的增大而增大，即当x ＝28时，w 最大＝－2×(28－30)2＋200＝192(元). 答：该纪念册销售单价定为28元时，才能使文具店销售该纪念册所获利润最大，最大利润是192元.23.(11分)如图，直线y ＝x ＋2与抛物线y ＝ax 2＋bx ＋6相交于A (12，52)和B (4，m )，点P 是线段AB 上异于A ，B 的动点，过点P 作PC ⊥x 轴，交抛物线于点C. (1)求抛物线的表达式；(2)是否存在这样的点P ，使线段PC 的长有最大值？若存在，求出这个最大值，若不存在，请说明理由；(3)当△P AC 为直角三角形时，求点P 的坐标.解：(1)∵B (4，m )在直线y ＝x ＋2上，∴m ＝6.∴B (4，6). ∵A (12，52)，B (4，6)在抛物线y ＝ax 2＋bx ＋6上，∴⎩⎪⎨⎪⎧14a ＋12b ＋6＝52，16a ＋4b ＋6＝6.解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝－8.∴抛物线的表达式为y ＝2x 2－8x ＋6.(2)设动点P 的坐标为(n ，n ＋2)，则点C 的坐标为(n ，2n 2－8n ＋6). ∴PC ＝(n ＋2)－(2n 2－8n ＋6)＝－2n 2＋9n －4＝－2(n －94)2＋498.∵a ＝－2＜0，∴当n ＝94时，线段PC 取得最大值498，此时，P (94，174).∴存在符合条件的点P (94，174)，使线段PC 的长有最大值498.(3)显然，∠APC ≠90°，如图1，当∠P AC ＝90°时，设直线AB 与y 轴交于E 点，与x 轴交于F 点， ∴E (0，2)，F (－2，0).∴△EFO 为等腰直角三角形，∠PFO ＝45°.又∵PC ⊥x 轴，∴∠FPC ＝45°.∴△P AC 为等腰直角三角形. 过A 作AM ⊥P C.∴PM ＝M C.设P (x ，x ＋2).∴M (x ，52)，C (x ，2x 2－8x ＋6).∵PM ＝MC ，∴x ＋2－52＝52－(2x 2－8x ＋6).即2x 2－7x ＋3＝0，解得x 1＝3，x 2＝12(舍去).当x ＝3时，x ＋2＝3＋2＝5.此时，点P 的坐标为(3，5). 如图2，当∠PCA ＝90°时，由A (12，52)知，点C 的纵坐标为52.令2x 2－8x ＋6＝52，解得x 1＝12(舍去)，x 2＝72.当x ＝72时，x ＋2＝72＋2＝112.此时，点P 的坐标为(72，112).综上可知，点P 的坐标为(3，5)或(72，112).。

北师大版九年级数学下册第二章二次函数单元检测试题(有答案)

第二章二次函数单元检测试题（满分120分；时间：120分钟）一、选择题（本题共计10 小题，每题3 分，共计30分，）1. 下例函数中是二次函数的有（）①；②；③；④．A.个B.个C.个D.个2. 抛物线与的图象，开口较大的是（）A. B. C.同样大 D.无法确定3. 抛物线的顶点坐标是A. B. C. D.4. 函数的图象大致为( )A. B.C. D.5. 下列关于二次函数的图象与轴交点的判断，正确的是A.只有一个交点，且它位于轴的右侧B.只有一个交点，且它位于轴的左侧C.有两个交点，且它们位于轴的两侧D.有两个交点，且它们位于轴的右侧6. 若将二次函数＝的图象向上平移个单位长度，再向右平移个单位长度，则平移后的二次函数的顶点坐标为（）A. B. C. D.7. 已知二次函数的图象如图所示，那么下列判断中①；②；③；④；⑤正确的个数是（）A. B. C. D.8. 点，的坐标分别为和，抛物线的顶点在线段上运动时，形状保持不变，且与轴交于，两点（在的左侧），给出下列结论：①；②当时，随的增大而增大；③若点的横坐标最大值为，则点的横坐标最小值为；④当四边形为平行四边形时，．其中正确的是( )A.②④B.②③C.①③④D.①②④9. 已知两点、均在抛物线上，点是该抛物线的顶点，若，则的取值范围是（）A. B. C. D.10. 在平面直角坐标系中，某二次函数图像的顶点为，此函数图像与轴交于，两点（点在点左侧），且．若此函致图像经过，，，四点，则实数，，，中为负数的是( )A. B. C. D.二、填空题（本题共计10 小题，每题3 分，共计30分，）11. 将二次函数的图象向右平移个单位，再向上平移个单位后，顶点恰好在直线上，则的值为________．12. 二次函数有最大值，则的值是________．13. 若二次函数的最低点的纵坐标是，则的值是________．14. 二次函数的图象如图所示，则它的解析式为________，如果另一个函数图象与该图象关于轴对称，那么它的解析式是________．15. 用厘米的铁丝，折成一个长方形框架，设长方形的一边长为厘米，则另一边长为________，长方形的面积________．16. 将二次函数化成的形式为________．17. 如图是一个横截面为抛物线形拱桥，当拱顶高水面时，水面宽．如图所示建立在平面直角坐标系中，则抛物线的解析式是________．18. 某商人将进价为每件元的某种商品按每件元出售，每天可销出件，经试验，把这种商品每件每提价元，每天的销售量就会减少件，则每天所得的利润（元）与售价（元/件）之间的函数关系式为：________．19. 如图，用长米的篱笆，靠墙围成一个长方形场地，在表示场地面积时，可以设为米，也可以选择________为米，相应地面积的解析式为________或________20. 用“描点法”画二次函数＝的图象时，列出了如下表格：……＝……那么该二次函数在＝时，＝________．三、解答题（本题共计6 小题，共计60分，）21. 已知抛物线（1）若，，求该抛物线与轴公共点的坐标；（2）若，且当时，抛物线与轴有且只有一个公共点，利用函数图象求的取值范围．22. 已知一抛物线与轴轴的交点分别是、且经过点．（1）求抛物线的解析式；（2）求抛物线的对称轴和顶点坐标．23. 如图，某学生推铅球，铅球出手（点处）的高度是，出手后的铅球沿一段抛物线运行，当运行到最高时，水平距离．求这个二次函数的解析式；该男同学把铅球推出去多远？24. 抛物线和反比例函数的图象如图所示利用图象解答：（1）方程的解（2）取何值时．25. 二次函数的图象如图所示，根据图象解答下列问题：（1）写出方程的两个根；（2）写出不等式的解集；（3）写出随的增大而增大的自变量的取值范围；（4）若方程没有实数根，求取值范围．26. 某贸易公司购进“长青”胶州大白菜，进价为每棵元，物价部门规定其销售单价每棵不得超过元，也不得低于元．经调查发现：日均销售量（棵）与销售单价（元/棵）满足一次函数关系，并且每棵售价元时，日均销售棵；每棵售价元时，日均销售棵．（1）求日均销售量与销售单价的函数关系式；（2）在销售过程中，每天还要支出其他费用元，求销售利润（元）与销售单价之间的函数关系式；并求当销售单价为何值时，可获得最大的销售利润？最大销售利润是多少？参考答案一、选择题（本题共计10 小题，每题 3 分，共计30分）1.【答案】B【解答】解：②；③是二次函数，故选：．2.【答案】A【解答】解：抛物线与的图象中，，∵，∴抛物线的开口小于的开口，故选．3.【答案】B【解答】解：∵抛物线的解析式为，∴抛物线的顶点坐标为．故选.4.【答案】B【解答】解：∵二次项系数，∴开口方向向下，∵一次项系数，∴对称轴为轴，∵常数项，∴图象与轴交于.故选．5.【答案】D【解答】解：当时，.∵，∴，∴有两个不同的实数根，即函数与轴有两个交点.设两根分别为，则，，∴函数与轴的两个交点位于轴右侧.故选.6.【答案】B【解答】∵将二次函数＝的图象向上平移个单位长度，再向右平移个单位长度，∴平移后的二次函数的解析式为：＝，∴平移后的二次函数的顶点坐标为，7.【答案】A【解答】解：①、图象开口向下，与轴交于正半轴，对称轴在轴右侧，能得到：，，，，∴，故①错误；②、∵对称轴是，∴，∴，∴，故②错误；③、当时，，∴，故③正确．④、时，，∴，∵，∴，故④错误；⑤、时，，∴，∵，∴，故⑤错误；故选：．8.【答案】A【解答】解：∵点，的坐标分别为和，∴线段与轴的交点坐标为，又∵抛物线的顶点在线段上运动，抛物线与轴的交点坐标为，∴，（顶点在轴上时取“”），故①错误；∵抛物线的顶点在线段上运动，∴当时，随的增大而增大，因此，当时，随的增大而增大，故②正确；若点的横坐标最大值为，则此时对称轴为直线，根据二次函数的对称性，点的横坐标最小值为，故③错误；根据顶点坐标公式，，令，则，，根据顶点坐标公式，，∴，∴，∵四边形为平行四边形，∴，∴，解得，故④正确；综上所述，正确的结论有②④．故选.9.【答案】B【解答】解：∵点是该抛物线的顶点，，∴抛物线开口向下，当两点、都在对称轴左侧，则；当两点、在对称轴两侧，则点离对称轴要近，所以，∴．故选．10.【答案】C【解答】解：设二次函数解析式为，函数图象与轴交于，两点，对称轴为直线，且，点，的坐标分别为：，，将点的坐标代入二次函数解析式并解得：，二次函数的解析式为，将，，，代入上式逐次验证，当时，，即.故选.二、填空题（本题共计10 小题，每题 3 分，共计30分）11.【答案】【解答】解：∵二次函数的顶点坐标为，∴将的图象向右平移个单位，向上平移个单位后顶点坐标为．根据题意，得，解得．故答案是：．12.【答案】【解答】解：∵二次函数有最大值，∴，，即，整理得：，即，解得：，（不合题意舍去），则的值是：．故答案为：．13.【答案】【解答】解：二次函数的顶点横坐标为，把代入得，，整理得，解得，，．函数有最低点，舍去，故答案为．14.【答案】,【解答】解：设抛物线的解析式为，由图可知，二次函数的图象经过点，∴，解得∴；∵另一个函数的图象与该函数的图象关于轴对称，∴这个函数的关系式是．故答案为：，．15.【答案】,【解答】解：∵长方形的一边长为厘米，周长为厘米，∴另一边长为，∴长方形的面积．故填空答案：，．16.【答案】【解答】解：，所以．故答案为：．17.【答案】【解答】解：如图，建立平面直角坐标系如下，设抛物线解析式为，由图象可知该图象经过点，故，解得．则抛物线的解析式是．18.【答案】【解答】解：每件可获得的利润为元，可售出的数量为，∴，故答案为．19.【答案】或,,【解答】解：若设为，则，面积；若设为，则，面积．20.【答案】【解答】由上表可知函数图象经过点和点，∴对称轴为＝，∴当＝时的函数值等于当＝时的函数值，∵当＝时，＝，∴当＝时，＝．三、解答题（本题共计6 小题，每题10 分，共计60分）21.【答案】解：（1）解：∵，，∴抛物线的解析式为，令，解得：或，∴抛物线与轴的交点坐标为：，（2）∵，∴解析式为．∵对称轴，∴当时，抛物线与轴有且只有一个公共点，则①此公共点一定是顶点，∴，②一个交点的横坐标小于等于，另一交点的横坐标小于而大于，∴，，解得．综上所述，的取值范围是：或．【解答】解：（1）解：∵，，∴抛物线的解析式为，令，解得：或，∴抛物线与轴的交点坐标为：，（2）∵，∴解析式为．∵对称轴，∴当时，抛物线与轴有且只有一个公共点，则①此公共点一定是顶点，∴，②一个交点的横坐标小于等于，另一交点的横坐标小于而大于，∴，，解得．综上所述，的取值范围是：或．22.【答案】解：（1）设抛物线的解析式为，∵与轴的交点是，∴，∵经过，，∴，解得：，∴抛物线的解析式为；（2）抛物线的对称轴是，，顶点坐标是．【解答】解：（1）设抛物线的解析式为，∵与轴的交点是，∴，∵经过，，∴，解得：，∴抛物线的解析式为；（2）抛物线的对称轴是，，顶点坐标是．23.【答案】解：设二次函数的解析式为，把代入得：.∴.当时，，解得或(舍去).答：该男同学把铅球推出去米远．【解答】解：设二次函数的解析式为，把代入得：.∴.当时，，解得或(舍去).答：该男同学把铅球推出去米远．24.【答案】解：（1）根据图象，抛物线与反比例函数图象的交点坐标是、、，∴方程的解是，，；（2）观察图形可知，当，，时，．【解答】解：（1）根据图象，抛物线与反比例函数图象的交点坐标是、、，∴方程的解是，，；（2）观察图形可知，当，，时，．25.【答案】解：（1）由图象可得：，；（2）结合图象可得：或时，，即当或时，；（3）根据图象可得当时，随的增大而减小；（4）根据图象可得，时，方程没有实数根．【解答】解：（1）由图象可得：，；（2）结合图象可得：或时，，即当或时，；（3）根据图象可得当时，随的增大而减小；（4）根据图象可得，时，方程没有实数根．26.【答案】解：（1）设一次函数解析式为设一次函数解析式为，把，分别代入上式得，，解得．故，．（2）根据题意得．当时取得最大值，为元．【解答】解：（1）设一次函数解析式为设一次函数解析式为，把，分别代入上式得，，解得．故，．（2）根据题意得．当时取得最大值，为元．。

北师大版2018年九年级数学下册第二章《二次函数》单元测试题含答案

北师大版数学九年级下册第二章全章测试题一、选择题(3分×10＝30分)1．(2013，益阳)抛物线y ＝2(x －3)2＋1的顶点坐标是( )A ．(3，1)B ．(3，－1)C ．(－3，1)D ．(－3，－1)2．若二次函数y ＝x 2＋bx ＋4配方后为y ＝(x －2)2＋k ，则b 、k 的值分别为( )A ．0，5B ．0，1C ．－4，5D ．－4，03．(2013，衢州)抛物线y ＝x 2＋bx ＋c 的图象先向右平移2个单位，再向下平移3个单位，所得图象的函数解析式为y ＝(x －1)2－4，则b ，c 的值分别为( )A ．b ＝2，c ＝－6B ．b ＝2，c ＝0C ．b ＝－6，c ＝8D ．b ＝－6，c ＝24．已知二次函数y ＝－12x 2－7x ＋152，若自变量x 分别取x 1、x 2、x 3，且0＜x 1＜x 2＜x 3，则对应的函数值y 1、y 2、y 3的大小关系正确的是( )A ．y 1＞y 2＞y 3B ．y 1＜y 2＜y 3C ．y 2＞y 3＞y 1D ．y 2＜y 3＜y 15．已知抛物线y ＝x 2－2x ＋m ＋1与x 轴有两个不同的交点，则函数y ＝m x 的大致图象是( )6．某市烟花厂为该市4.18烟花三月经贸旅游特别设计制作一种新型礼炮，这种礼炮的升空高度h(m)与飞行时间t(s)的关系式是h ＝－52t 2＋20t ＋1.若这种礼炮点火开空到最高点处引爆，则从点火升空到引爆需要的时间为( )A ．3sB ．4sC ．5sD ．6s7．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y ＝12x 2经过平移得到抛物线y ＝12x 2－2x ，其对称轴与两段抛物线所围成的阴影部分的面积为( )A ．2B ．4C ．8D ．168．已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象如图，则下列叙述正确的是( )A ．abc ＜0B ．－3a ＋c ＜0C ．b 2－4ac≥0D．将该函数图象向左平移2个单位后所得到抛物线的解析式为y＝ax2＋c9．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，若|ax2＋bx＋c|＝k(k≠0)有两个不相等的实数根，则k的取值范围是( )A．k＜－3 B．k＞－3 C．k＜3 D．k＞310．如图，正方形ABCD的边长为4cm，动点P、Q同时从点A出发，以1cm/s的速度分别沿A→B→C和A→D→C的路径向点C运动，设运动时间为x(单位：s)，四边形PBDQ的面积为y(单位：cm2)，则y与x(0≤x≤8)之间的函数关系可以用图象表示为( )二、填空题(3分×10＝30分)11．某厂今年一月份新产品的研发资金为a元，以后每月新产品的研发资金与上月相比增长率都是x，则该厂今年三月份新产品的研发资金y(元)关于x的函数关系式为____________12．如图，对称轴平行于y轴的抛物线与x轴交于(1，0)、(3，0)两点，则它的对称轴为____________________．13．已知下列函数：①y＝x2；②y＝－x2；③y＝(x－1)2＋2.其中图象通过平移可以得到函数y＝x2＋2x－3的图象的有_____________(填写所有正确选项的序号)．14．二次函数y＝x2－(m－4)x－m的图象与x轴的两个交点关于y轴对称，则其顶点坐标为___________．15．小汽车刹车距离s(m)与速度v(km/h)之间的函数关系式为s＝1100v2，一辆小汽车速度为100km/h，在前方80m处停放一辆故障车，此时刹车_______(填“会”或“不会”)有危险．16．已知二次函数y＝－x2＋4，当－2≤x≤3时，函数的最小值是_____，最大值是____．17．开口向下的抛物线y＝(m2－2)x2＋2mx＋1的对称轴经过点(－1，3)，则m＝_____．18．请选择一组你喜欢的a、b、c的值，使二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象同时满足下列条件：(1)开口向下；(2)当x＜2时，y随x的增大而增大；当x＞2时，y随x的增大而减小，这样的二次函数的解析式可以是__________________________________________.19．2013年5月26日，中国羽毛球队蝉联苏迪曼杯团体赛冠军，成就了首个五连冠霸业．比赛中羽毛球的某次运动路线可以看作是一条抛物线(如图)，若不考虑外力因素，羽毛球行进高度y(米)与水平距离x(米)之间满足关系y＝－29x2＋89x＋109，则羽毛球飞出的水平距离为__________米．20．如图，抛物线y＝x2在第一象限内经过的整数点(横坐标、纵坐标都为整数的点)依次为A1、A2、A3…A n，….将抛物线y＝x2沿直线L：y＝x向上平移，得一系列抛物线，且满足下列条件：①抛物线的顶点M1、M2、M3、…M n，…都在直线L：y＝x上；②抛物线依次经过点A1、A2、A3…A n、….则顶点M2014的坐标为______________．三、解答题(共60分)21．(7分)二次函数y＝x2＋bx＋c的图象经过点(4，3)，(3，0)．(1)求b、c的值；(2)求出该二次函数图象的顶点坐标和对称轴；(3)画出二次函数y＝x2＋bx＋c的图象．22．(8分)已知函数y＝mx2－6x＋1(m是常数)．(1)求证：不论m为何值，该函数的图象都经过y轴上的一个定点；(2)若该函数的图象与x轴只有一个交点，求m的值．23．(8分)如图，在平面直角坐标系中，O是坐标原点，点A的坐标是(－2，4)，过点A 作AB⊥y轴，垂足为B，连接OA.(1)求△OAB的面积；(2)若抛物线y＝－x2－2x＋c经过点A.①求c的值；②将抛物线向下平移m个单位长度，使平移后得到的抛物线顶点落在△OAB的内部(不包括△OAB的边界)，求m的取值范围(直接写出答案即可)．24．(8分)某商场购进一种每件价格为100元的新商品，在商场试销发现：销售单价x(元/件)与每天销售量y(件)之间满足如图所示的关系：(1)求出y与x之间的函数关系式；(2)写出每天的利润W与销售单价x之间的函数关系式；若你是商场负责人，会将售价定为多少，来保证每天获得的利润最大，最大利润是多少？25．(8分)如图，矩形ABCD的两边长AB＝18cm，AD＝4cm.点P、Q分别从A、B同时出发，P在边AB上沿AB方向以每秒2cm的速度匀速运动，Q在边BC上沿BC方向以每秒1cm的速度匀速运动，设运动时间为x秒，△PBQ的面积为y(cm2)．(1)求y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围；(2)求△PBQ的面积的最大值．26．(9分)某商场要经营一种新上市的文具，进价为20元，试营销阶段发现：当销售单价是25元时，每天的销售量为250件，销售单价每上涨1元，每天的销售量就减少10件．(1)写出商场销售这种工具，每天所得的销售利润w(元)与销售单价x(元)之间的函数关系式；(2)求销售单价为多少元时，该文具每天的销售利润最大；(3)商场的营销部结合上述情况，提出了A、B两种营销方案：方案A：该文具的销售单价高于进价且不超过30元；方案B：每天销售量不少于10件，且每件文具的利润至少为25元．请比较哪种方案的最大利润更高，并说明理由．27．(12分)如图，已知抛物线y＝38x2－34x－3与x轴的交点为A、D(A在D的右侧)，与y轴的交点为C.(1)直接写出A、D、C三点的坐标；(2)若点M在抛物线上，使得△MAD的面积与△CAD的面积相等，求点M的坐标；(3)设点C关于抛物线对称轴的对称点为B，在抛物线上是否存在点P，使得以A、B、C、P四点为顶点的四边形为梯形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．答案:一、1---10 ADBAA BBBDB二、11. y＝a(1＋x)212. 直线x＝213. ①③14. (0，－4)15. 会16. －5 417. －118. 答案不唯一，只要满足b＝－4a，a＜0即可，如y＝－x2＋4x＋3，y＝－2x2＋8x －3等．19. 520. (4027，4027)三21. 解：(1)b＝－4，c＝3(2) (2，－1)，x＝2(3)画图略22. 解：(1)当x＝0时，y＝1.所以不论m为何值，函数y＝mx2－6x＋1的图象都经过y轴上的一个定点(0，1)(2)①当m＝0时，函数y＝－6x＋1的图象与x轴只有一个交点；②当m≠0时，若函数y＝mx2－6x＋1的图象与x轴只有一个交点，则方程mx2－6x＋1＝0有两个相等的实数根，所以(－6)2－4m＝0，m＝9.综上可知，若函数y＝mx2－6x＋1的图象与x轴只有一个交点，则m的值为0或9.23. 解：(1)4(2)①c＝4；②∵y＝－x2－2x＋4＝－(x＋1)2＋5，∴抛物线顶点D的坐标是(－1，5)，AB的中点E的坐标是(－1，4)，OA的中点F的坐标是(－1，2)，∴m的取值范围为1＜m＜324. 解：(1)y＝－x＋180(2)W＝(x－100)y＝(x－100)(－x＋180)＝－x2＋280x－18000＝－(x－140)2＋1600；当x＝140，W最大＝1600，∴售价定为140元/件时，每天最大利润W＝1600元．25. 解：(1)y＝－x2＋9x(0＜x≤4)(2)y＝－(x－92)2＋814，∵当0＜x≤92时，y随x的增大而增大，而0＜x≤4，∴当x＝4时，y最大值＝20，即△PBQ的面积的最大值是20cm2.26. 解：(1)w＝(x－20)[250－10(x－25)]＝－10(x－20)(x－50)＝－10x2＋700x－10000 (2)∵w＝－10x2＋700x－10000＝－10(x－35)2＋2250，∴当x＝35时，w取到最大值2250.即销售单价为35元时，每天销售利润最大，最大利润为2250元(3)∵w＝－10(x－35)2＋2250，∴函数图象是以x＝35为对称轴且开口向下的抛物线．∴对于方案A，20＜x≤30，此时w随x的增大而增大，∴x＝30时，w取到最大值2000.∴当采用方案A时，销售单价为30元可获得最大利润为2000元；对于方案B ，则有⎩⎨⎧250－10（x －25）≥10，x －20≥25.解得45≤x ≤49.此时w 随x 的增大而减小．故当x ＝45时，w 取到最大值1250，∴当采用方案B 时，销售单价为45元可获得最大利润为1250元．两者比较，还是方案A 的最大利润更高．27. 解：(1)∵y ＝38x 2－34x －3，∴当y ＝0时，38x 2－34x －3＝0，解得x 1＝－2，x 2＝4.当x ＝0，y ＝－3.∴A 点坐标为(4，0)，D 点坐标为(－2，0)，C 点坐标为(0，－3) (2)∵y＝38x 2－34x －3，∴对称轴为直线x ＝342×38＝1.∵AD 在x 轴上，点M 在抛物线上，∴当△MAD 的面积与△CAD 的面积相等时，分两种情况：①点M 在x 轴下方时，根据抛物线的对称性，可知点M 与点C 关于直线x ＝1对称，∵C 点坐标为(0，－3)，∴M 点坐标为(2，－3)；②点M 在x 轴上方时，根据三角形的等面积法，可知M 点到x 轴的距离等于点C 到x 轴的距离3.当y ＝3时，38x 2－34x －3＝3，解得x 1＝1＋17，x 2＝1－17，∴M 点坐标为(1＋17，3)或(1－17，3)．综上所述，所求M 点坐标为(2，－3)或(1＋17，3)或(1－17，3)(3)结论：存在．如图所示，在抛物线上有两个点P 满足题意：①若BC ∥AP 1，此时梯形为ABCP 1.由点C 关于抛物线对称轴的对称点为B ，可知BC ∥x 轴，则P 1与D 点重合，∴P 1(－2，0)．∵P 1A ＝6，BC ＝2，∴P 1A≠BC ，∴四边形ABCP 1为梯形；②若AB ∥CP 2，此时梯形为ABCP 2.∵A 点坐标为(4，0)，B 点坐标为(2，－3)，∴直线AB 的解析式为y ＝32x －6，∴可设直线CP 2的解析式为y ＝32x ＋n ，将C 点坐标(0，－3)代入，得n ＝－3，∴直线CP 2的解析式为y ＝32x －3.∵点P 2在抛物线y ＝38x 2－34x －3上，∴38x 2－34x －3＝32x －3，化简得：x 2－6x ＝0，解得x 1＝0(舍去)，x 2＝6，∴点P 2横坐标为6，代入直线CP 2解析式求得纵坐标为6，∴P 2(6，6)．∵AB ∥CP 2，AB≠CP 2，∴四边形ABCP 2为梯形．综上所述，在抛物线上存在一点P ，使得以点A 、B 、C 、P 四点为顶点所构成的四边形为梯形；点P 的坐标为(－2，0)或(6，6)．。

北师大版九年级下第二章《二次函数》单元测试含答案

单元测试(二) 二次函数一、选择题(每小题3分，共24分)1．自由落体公式h ＝12gt 2(g 为常量)，h 与t 之间的关系是( )A ．正比例函数B ．一次函数C ．二次函数D ．以上答案都不对 2．(兰州中考)抛物线y ＝－2x 2＋1的对称轴是( )A ．直线x ＝12B ．直线x ＝－12C ．y 轴D ．直线x ＝23．(成都中考)将二次函数y ＝x 2－2x ＋3化为y ＝(x －h)2＋k 的形式，结果为( ) A ．y ＝(x ＋1)2＋4 B ．y ＝(x ＋1)2＋2 C ．y ＝(x －1)2＋4 D ．y ＝(x －1)2＋2 4．如果a 、b 同号，那么二次函数y ＝ax 2＋bx ＋1的大致图象是( )5．(牡丹江中考)将抛物线y ＝(x －1)2＋3向左平移1个单位，得到的抛物线与y 轴的交点坐标是( ) A ．(0，2) B ．(0，3) C ．(0，4) D ．(0，7)6．(泸州中考)若二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c(a<0)的图象经过点(2，0)，且其对称轴为x ＝－1，则使函数值y>0成立的x 的取值范围是( )A ．x<－4或x>2B ．－4≤x ≤2C ．x ≤－4或x ≥2D ．－4<x<27．如图所示的桥拱是抛物线形，其函数的表达式为y ＝－14x 2，当水位线在AB 位置时，水面宽12 m ，这时水面离桥顶的高度为( )A ．3 mB ．2 6 mC ．4 3 mD ．9 m8．(枣庄中考)已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c(a ≠0)的图象如图所示，给出以下四个结论：①abc ＝0；②a ＋b ＋c>0；③a>b ；④4ac －b 2<0.其中，正确的结论有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个二、填空题(每小题4分，共20分)9．若函数y＝ax2的图象是一条不经过一、二象限的抛物线，则a____________0.10．已知函数y＝ax2＋bx＋c，当x＝3时，函数取最大值4，当x＝0时，y＝－14，则函数表达式为____________．11．平时我们在跳绳时，绳子甩到最高处的形状可近似看作抛物线，如图，建立直角坐标系，抛物线的函数表达式为y＝－16x2＋13x＋32(单位：m)，绳子甩到最高处时刚好通过站在x＝2点处跳绳的学生小明的头顶，则小明的身高为____________．12．(宿迁中考)当x＝m或x＝n(m≠n)时，代数式x2－2x＋3的值相等，则当x＝m＋n时，代数式x2－2x＋3的值为____________．13．老师出示了小黑板上的题后(如图)，小华说：过点(3，0)；小彬说：过点(4，3)；小明说：a＝1；小颖说：抛物线被x轴截得的线段长为2.你认为四人的说法中，正确的有____________．(填写姓名即可)三、解答题(共56分)14．(8分)已知抛物线y＝ax2＋bx经过(2，0)，(－1，6)．(1)求这条抛物线的表达式；(2)写出抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标．15．(10分)小颖同学想用“描点法”画二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象，取自变量x的5个值，分别计算出对应的y值，如下表：由于粗心，16.(12分)某企业投资100万元引进一条产品加工生产线，若不计维修、保养费用，预计投产后每年可创利33万元．该生产线投产后，从第1年到第x 年的维修、保养费用累计为y 万元，且y ＝ax 2＋bx ，若第1年的维修、保养费用为2万元，第2年为4万元．(1)求y 的函数表达式；(2)投产后，这个企业在第几年就能收回投资？17．(12分)如图，小河上有一拱桥，拱桥及河道的截面轮廓线由抛物线的一部分ACB 和矩形的三边AE ，ED ，DB 组成，已知河底ED 是水平的，ED ＝16米，AE ＝8米，抛物线的顶点C 到ED 距离是11米，以ED 所在的直线为x 轴，抛物线的对称轴为y 轴建立平面直角坐标系．(1)求抛物线的表达式；(2)已知从某时刻开始的40小时内，水面与河底ED 的距离h(单位：米)随时间t(单位：时)的变化满足函数关系h ＝－1128(t －19)2＋8(0≤t ≤40)，且当水面到顶点C 的距离不大于5米时，需禁止船只通行，请通过计算说明：在这一时段内，需多少小时禁止船只通行？18．(14分)(枣庄中考)如图，直线y ＝x ＋2与抛物线y ＝ax 2＋bx ＋6相交于A(12，52)和B(4，m)，点P 是线段AB 上异于A 、B 的动点，过点P 作PC ⊥x 轴，交抛物线于点C.(1)求抛物线的表达式；(2)是否存在这样的点P ，使线段PC 的长有最大值？若存在，求出这个最大值，若不存在，请说明理由； (3)当△PAC 为直角三角形时，求点P 的坐标．参考答案1．C 2.C 3.D 4.D 5.B 6.D 7.D 8.C 9.< 10.y ＝－2(x －3)2＋4 11.1.5 m 12.3 13.小华、小彬、小明14．(1)y ＝2x 2－4x.(2)开口向上，对称轴为直线x ＝1，顶点坐标(1，－2)．15．根据表格给出的各点坐标可得出，该函数的对称轴为直线x ＝0.可设函数表达式为y ＝ax 2＋c.把x ＝1，y ＝2；x ＝0，y ＝－1代入，求得函数表达式为y ＝3x 2－1.则x ＝2与x ＝－2时应取值相同．把x ＝2代入y ＝3x 2－1，得y ＝11.故这个算错的y 值所对应的x 的值为2.16．(1)由题意，x ＝1时，y ＝2；x ＝2时，y ＝2＋4＝6，分别代入y ＝ax 2＋bx ，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝2，4a ＋2b ＝6.解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝1. 所以y ＝x 2＋x.(2)设第1年到第x 年利润为g 万元，则g ＝33x －100－x 2－x ＝－x 2＋32x －100＝－(x －16)2＋156. 当g ＝0时，x 1＝16＋239，x 2＝16－239≈3.5，故当x ＝4时，即第4年可收回投资．答：投产后，这个企业在第4年就能收回投资．17．(1)依题意，顶点C 的坐标为(0，11)，点B 的坐标为(8，8)，设抛物线表达式为y ＝ax 2＋c ，有⎩⎪⎨⎪⎧8＝64a ＋c ，11＝c.解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－364，c ＝11.∴抛物线表达式为y ＝－364x 2＋11(－8≤x ≤8)． (2)令－1128(t －19)2＋8＝11－5.解得t 1＝35，t 2＝3.∴当3≤t ≤35时，水面到顶点C 的距离不大于5米，需禁止船只通行，禁止船只通行时间为35－3＝32(小时)．答：禁止船只通行时间为32小时．18．解(1)∵B(4，m)在直线y ＝x ＋2上， ∴m ＝6，B(4，6)．∵A(12，52)、B(4，6)在抛物线y ＝ax 2＋bx ＋6上，∴⎩⎪⎨⎪⎧14a ＋12b ＋6＝52，16a ＋4b ＋6＝6.解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝－8.∴所求抛物线的表达式为y ＝2x 2－8x ＋6.(2)设动点P 的坐标为(n ，n ＋2)，则点C 的坐标为(n ，2n 2－8n ＋6)． ∴PC ＝(n ＋2)－(2n 2－8n ＋6)＝－2n 2＋9n －4＝－2(n －94)2＋498.∵a ＝－2＜0，∴当n ＝94时，线段PC 取得最大值498，此时，P(94，174)．综上所述，存在符合条件的点P(94，174)，使线段PC 的长有最大值498.(3)显然，∠APC ≠90°，如图1，当∠PAC ＝90°时，设直线AC 的表达式为y ＝－x ＋b ，把A(12，52)代入，得－12＋b ＝52.解得b ＝3.由－x ＋3＝2x 2－8x ＋6，得x 1＝3或x 2＝12(舍去)．当x ＝3时，x ＋2＝3＋2＝5.此时，点P 的坐标为P 1(3，5)．如图2，当∠PCA ＝90°时，由A(12，52)知，点C 的纵坐标为y ＝52.由2x 2－8x ＋6＝52，得x 1＝12(舍去)，x 2＝72.当x ＝72时，x ＋2＝72＋2＝112.此时，点P 的坐标为P 2(72，112)．综上可知，满足条件的点P 有两个，为P 1(3，5)，P 2(72，112)．。

北师大版九年级数学下《第二章二次函数》单元测试题含答案

A ．y 轴B ．直线 x ＝C ．直线 x ＝2D ．直线 x ＝ 4．一次函数 y ＝ax ＋b 和反比例函数 y ＝在同一平面直角坐标系中的图象如图 8－Z －1第二章二次函数 .一、选择题(本大题共 7 小题，共 28 分).1．已知抛物线 y ＝ax 2＋bx ＋c 的开口向下，顶点坐标为(2，－3)，那么该抛物线有( )A ．最小值－3B ．最大值－3C ．最小值 2D ．最大值 2..2．已知二次函数 y ＝ax 2＋bx ＋c 的 x 与 y 的部分对应值如下表..：xy－15 01 1－1 2－131则该二次函数图象的对称轴为().52323．若二次函数 y ＝(m －1)x 2－mx －m 2＋1 的图象过原点，则 m 的值为()A ．±1B ．0C ．1D ．－1图 8－Z －1cx所示，则二次函数 y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象大致为()图 8－Z －25．国家决定对某药品价格分两次降价，若设平均每次降价的百分率为 x ，该药品原价为 18 元，降价后的价格为 y 元，则 y 与 x 之间的函数关系式为()A ．y ＝36(1－x )B ．y ＝36(1＋x )为直线 x ＝－1，给出四个结论：①b 2＞4ac ；②2a ＋b ＝0；③a ＋b ＋c >0；④若点 B ⎝－2，y 1⎭， C ⎝－2，y 2⎭为函数图象上的两点，则 y 1＜y 2.其中正确的是(物线的表达式为 y ＝－ x 2＋b ，则隧道底部宽 AB 为________m.C ．y ＝18(1－x )2D ．y ＝18(1＋x 2)图 8－Z －36．如图 8－Z －3 是二次函数 y ＝ax 2＋bx ＋c 图象的一部分，图象过点(－3，0)，对称轴⎛ 5 ⎫⎛ 1 ⎫A ．②④B ．①④C ．①③D ．②③)图 8－Z －47．如图 8－Z －4，△Rt OAB 的顶点 A (－2，4)在抛物线 y ＝ax 2 上，将 △Rt OAB 绕点 O顺时针旋转 90°△，得到 OCD ，边 CD 与该抛物线交于点 P ，则点 P 的坐标为()A ．( 2， 2)B ．(2，2)C ．( 2，2)D ．(2， 2)二、填空题(本大题共 5 小题，共 25 分)8．函数 y ＝(x －2)(3－x )取得最大值时，x ＝________．9．将抛物线 y ＝2(x －1)2＋2 向左平移 3 个单位，再向下平移 4 个单位长度，那么得到的抛物线的表达式为____________．10．如图 8－Z －5，某公路隧道横截面为抛物线，其最大高度为 8 m ，以隧道底部宽 AB所在直线为 x 轴，以 AB 垂直平分线为 y 轴建立如图 2－Z －7 所示的平面直角坐标系，若抛1 2图8－Z－5图8－Z－6 11．如图8－Z－6所示，已知抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴交于A，B两点，顶点C的纵坐标为－2，现将抛物线向右平移2个单位长度，得到抛物线y＝a1x2＋b1x＋c1，则下列结论正确的是________．(写出所有正确结论的序号)①b>0；②a－b＋c<0；③阴影部分的面积为4；④若c＝－1，则b2＝4a.12．二次函数y＝x2－2x－3的图象如图8－Z－7所示，若线段AB在x轴上，且AB为23个单位长度，以AB为边作等边三角形ABC，使点C落在该函数y轴右侧的图象上，则点C的坐标为________________．图8－Z－7三、解答题(共47分)13．(14分)如图8－Z－8，已知矩形ABCD的周长为12，E，F，G，H为矩形ABCD 的各边中点，若AB＝x，四边形EFGH的面积为y.(1)请直接写出y与x之间的函数关系式；(2)根据(1)中的函数关系式，计算当x为何值时，y最大，并求出最大值．图8－Z－814．(16分)大学毕业生小王响应国家“自主创业”的号召，利用银行小额无息贷款开办了一家饰品店．该店购进一种今年新上市的饰品进行销售，饰品的进价为每件40元，售价为每件60元，每月可卖出300件．市场调查反映：调整价格时，售价每涨1元，每月要少卖10件；售价每下降1元，每月要多卖20件．为了获得更大的利润，现将饰品售价调整为(60＋x)元/件(x＞0即售价上涨，x＜0即售价下降)，每月饰品销量为y件，月利润为w元．(1)直接写出y与x之间的函数关系式；(2)如何确定销售价格才能使月利润最大？求最大月利润；(3)为了使每月利润不少于6000元，应如何控制销售价格？15．(17分)如图8－Z－9，在平面直角坐标系中，二次函数的图象交坐标轴于A(－1，0)，B(4，0)，C(0，－4)三点，P是直线BC下方抛物线上一动点．(1)求这个二次函数的表达式．(2)是否存在点P△，使POC是以OC为底边的等腰三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．(3)动点P运动到什么位置时△，PBC的面积最大，求出此时点P的坐标和△PBC的最大面积．图8－Z－9)＝ .故选 D.轴为直线 x ＝－1，则－＝－1，即 2a －b ＝0，所以②错误；③因为抛物线经过点 A (－3，以③错误；④点 B ⎝－2，y 1⎭在对称轴左侧 1.5 个单位长度处，点 C ⎝－2，y 2⎭在对称轴右侧7．C8. 10．8 [解析] 由题意可知抛物线 y ＝－ x 2＋b 的顶点坐标为(0，8)，∴b ＝8，∴抛物线的函数表达式为 y ＝－ x 2＋8.当 y ＝0 时，0＝－ x 2＋8，解得 x ＝4 或－4，∴x ＝－ >0，详解详析1．B [解析] 因为抛物线开口向下，其顶点坐标为(2，－3)，所以该抛物线有最大值－3.故选 B.2．D [解析] 观察表格可知，点(0，1)与点(3，1)、点(1，－1)与点(2，－1)的纵坐标分别相等，所以可知它们分别关于图象的对称轴对称，进而可求得对称轴为直线 x ＝ 0＋3 2(或1＋2 32 23．D 4.C 5.C6．B [解析]①由抛物线与 x 轴有两个交点，得 b 2－4ac ＞0，所以①正确；②因为对称b2a0)，对称轴为直线 x ＝－1，则抛物线与 x 轴的另一个交点为(1，0)，于是有 a ＋b ＋c ＝0，所⎛ 5 ⎫ ⎛ 1 ⎫0.5 个单位长度处，找出相应的点，显然 y 1＜y 2，所以④正确．故选 B.5 29．y ＝2(x ＋2)2－2(或 y ＝2x 2＋8x ＋6)1 21 2 1 2∴水面宽 AB ＝4＋4＝8(m)．故答案为 8.11．③④ [解析] 由题图知，抛物线开口向上， ∴a >0.又对称轴在 y 轴的右侧，b2a∴b <0，①错误．当 x ＝－1 时，抛物线在 x 轴上方，∴y ＝a －b ＋c >0，②错误．设平移后的抛物线顶点为 E ，与 x 轴右边的交点为 D ，则阴影部分的面积与平行四边形 CEDB 的面积相同．∵平移了 2 个单位长度，点 C 的纵坐标是－2，∴S ＝2×2＝4，③正确．由抛物线的顶∴BC ＝ ×12－x ＝6－x .∴y ＝ x (6－x )＝－ x 2＋3x ，即 y ＝－ x 2＋3x .(2)y ＝－ x 2＋3x ＝－ (x －3)2＋4.5， ∵a ＝－＜0，∴ ＝－2.⎩点坐标公式，得 y C ＝－2，4ac －b 2 4a∵c ＝－1，解得 b 2＝4a ，④正确．故填③④.12．(1＋ 7，3)或(2，－3)13．解：(1)∵矩形 ABCD 的周长为 12，AB ＝x ，12∵E ，F ，G ，H 为矩形 ABCD 的各边中点，1 12 21 21 12 2 12∴y 有最大值，当 x ＝3 时，y 有最大值，为 4.5. 14．解：(1)由题意可得：⎧⎪300－10x （0≤x ≤30）， y ＝⎨⎪300－20x （－20≤x <0）.(2)由题意可得：⎧（20＋x ）（300－10x ）（0≤x ≤30）， w ＝⎨⎩（20＋x ）（300－20x ）（－20≤x <0），化简得：⎧－10x 2＋100x ＋6000（0≤x ≤30）， w ＝⎨⎩－20x 2－100x ＋6000（－20≤x <0），⎪⎩ －20（x ＋）2＋6125（－20≤x <0）. 即 6000＝－20(x ＋ )2＋6125，6000＝－10(x －5)2＋6250，⎧⎪－10（x －5）2＋6250（0≤x ≤30），即 w ＝⎨ 5 2由题意可知 x 应取整数，所以当 x ＝－2 或 x ＝－3 时，w ＜6125＜6250，故当销售价格为每件 65 元时，月利润最大，最大月利润为 6250 元．(3)由题意得 w ≥6000，如图，令 w ＝6000，52解得 x 1＝－5，x 2＝0，x 3＝10，∴－5≤x ≤10，故将销售价格控制在 55 元到 70 元之间(含 55 元和 70 元)，才能使每月利润不少于 6000元．15．解：(1)设这个二次函数的表达式为 y ＝ax 2＋bx ＋c ，⎧a －b ＋c ＝0，⎧a ＝1，把 A ，B ，C 三点的坐标分别代入可得⎨16a ＋4b ＋c ＝0，解得⎨b ＝－3，⎩c ＝－4，⎩c ＝－4，∴这个二次函数的表达式为 y ＝x 2－3x －4.(2)作 OC 的垂直平分线 DP ，交 OC 于点 D ，交 BC 下方抛物线于点 P ，连接 OP ，CP ，如图①，∴PO ＝PC ，此时点 P 即为满足条件的点．∵C (0，－4)， ∴D (0，－2)，∴点 P 的纵坐标为－2.当 y ＝－2 时，即 x 2－3x －4＝－2，(不合题意，舍去)，x 2＝∴存在满足条件的点 P ，其坐标为( ，－2)．3－ 17 3＋ 17解得 x 1＝ 2 2.3＋ 17 2(3)∵点 P 在抛物线上，∴可设 P (t ，t 2－3t －4)．过点 P 作 PE ⊥x 轴于点 E ，交直线 BC 于点 F ，如图②， ∵B (4，0)，C (0，－4)，∴直线 BC 的函数表达式为 y ＝x －4， ∴F (t ，t －4)，∴PF ＝(t －4)－(t 2－3t －4)＝－t 2＋4t ，1 1 1 1 1 ∴S △PBC ＝S △PFC ＋S △PFB ＝2PF · OE ＋2PF · BE ＝2PF ·(OE ＋BE )＝2PF · OB ＝2(－t 2＋4t )×4＝－2(t －2)2＋8，∴当 t ＝2 时，△S PBC 最大，且最大值为 8，此时 t 2－3t －4＝－6，∴当点 P 的坐标为(2，－6)时△， PBC 的面积最大，最大面积为 8.。

2018-2019学年北师大版九年级数学下册《第2章二次函数》单元测试题含答案

2019年北师大版九下数学《第2章二次函数》单元测试卷一．选择题（共10小题）1．抛物线y＝﹣（x﹣2）2﹣1的顶点坐标是（）A．（﹣2，1）B．（﹣2，﹣1）C．（2，1）D．（2，﹣1）2．如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过点（1，2）且与x轴交点的横坐标分别为x1，x2，其中﹣1＜x1＜0，1＜x2＜2，下列结论：4a+2b+c＜0，2a+b＜0，b2+8a＞4ac，a＜﹣1，其中结论正确的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个3．若关于x的函数y＝（2﹣a）x2﹣x是二次函数，则a的取值范围是（）A．a≠0B．a≠2C．a＜2D．a＞24．二次函数y＝ax2+bx+c与一次函数y＝ax+c，它们在同一直角坐标系中的图象大致是（）A．B．C．D．5．抛物线y＝x2﹣4x+1与y轴交点的坐标是（）A．（0，1）B．（1，O）C．（0，﹣3）D．（0，2）6．将抛物线y＝2x2向左平移3个单位得到的抛物线的解析式是（）A．y＝2x2+3B．y＝2x2﹣3C．y＝2（x+3）2D．y＝2（x﹣3）27．函数y＝（x+1）2﹣2的最小值是（）A．1B．﹣1C．2D．﹣28．对称轴平行于y轴的抛物线的顶点为点（2，3）且抛物线经过点（3，1），那么抛物线解析式是（）A．y＝﹣2x2+8x+3B．y＝﹣2x‑2﹣8x+3C．y＝﹣2x2+8x﹣5D．y＝﹣2x‑2﹣8x+29．把二次函数y＝x2﹣2x+4化为y＝a（x﹣h）2+k的形式，下列变形正确的是（）A．y＝（x+1）2+3B．y＝（x﹣2）2+3C．y＝（x﹣1）2+5D．y＝（x﹣1）2+310．若抛物线y＝kx2﹣2x﹣1与x轴有两个不同的交点，则k的取值范围为（）A．k＞﹣1B．k≥﹣1C．k＞﹣1且k≠0D．k≥﹣1且k≠0二．填空题（共5小题）11．若函数是二次函数，则m的值为．12．如图，⊙O的半径为2，C1是函数y＝2x2的图象，C2是函数y＝﹣2x2的图象，则图中阴影部分的面积为．13．二次函数y＝4（x﹣3）2+7的图象的顶点坐标是．14．如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x＝1，与x轴的一个交点坐标为（﹣1，0），其部分图象如图所示，下列结论：①4ac＜b2；②方程ax2+bx+c＝0的两个根是x1＝﹣1，x2＝3；③3a+c＞0；④当y＞0时，x的取值范围是﹣1≤x＜3；⑤当x＜0时，y随x增大而增大；其中结论正确有．15．已知抛物线y＝2x2﹣5x+3与y轴的交点坐标是．三．解答题（共6小题）16．已知函数y＝（m2﹣m）x2+（m﹣1）x+m+1．（1）若这个函数是一次函数，求m的值；（2）若这个函数是二次函数，则m的值应怎样？17．已知二次函数y＝﹣x2+4x．（1）写出二次函数y＝﹣x2+4x图象的对称轴；（2）在给定的平面直角坐标系中，画出这个函数的图象（列表、描点、连线）；（3）根据图象，写出当y＜0时，x的取值范围．18．已知函数图象如图所示，根据图象可得：（1）抛物线顶点坐标；（2）对称轴为；（3）当x＝时，y有最大值是；（4）当时，y随着x得增大而增大．（5）当时，y＞0．19．已知抛物线y＝ax2+bx+c，如图所示，直线x＝﹣1是其对称轴，（1）确定a，b，c，△＝b2﹣4ac的符号；（2）求证：a﹣b+c＞0；（3）当x取何值时，y＞0，当x取何值时y＜0．20．已知抛物线y＝a（x﹣3）2+2经过点（1，﹣2）．（1）求a的值．（2）若点A（m，y1），（n，y2）（m＜n＜3）都在该抛物线上，试比较y1与y2的大小．21．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝﹣x+2与y轴交于点A，顶点为点B，点C与点A 关于抛物线的对称轴对称．（1）求直线BC的解析式；（2）点D在抛物线上，且点D的横坐标为4．将抛物线在点A，D之间的部分（包含点A，D）记为图象G，若图象G向下平移t（t＞0）个单位后与直线BC只有一个公共点，求t的取值范围．2019年北师大版九下数学《第2章二次函数》单元测试卷参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）1．抛物线y＝﹣（x﹣2）2﹣1的顶点坐标是（）A．（﹣2，1）B．（﹣2，﹣1）C．（2，1）D．（2，﹣1）【分析】二次函数表达式中的顶点式是：y＝a（x﹣h）2+k（a≠0，且a，h，k是常数），它的对称轴是x＝h，顶点坐标是（h，k）．【解答】解：抛物线y＝﹣（x﹣2）2﹣1的顶点坐标是（2，﹣1）．故选：D．【点评】本题考查了二次函数的性质，要求掌握顶点式中的对称轴及顶点坐标．2．如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过点（1，2）且与x轴交点的横坐标分别为x1，x2，其中﹣1＜x1＜0，1＜x2＜2，下列结论：4a+2b+c＜0，2a+b＜0，b2+8a＞4ac，a＜﹣1，其中结论正确的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【分析】由抛物线的开口方向判断a的符号，由抛物线与y轴的交点判断c的符号，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．【解答】解：由抛物线的开口向下知a＜0，与y轴的交点为在y轴的正半轴上，得c＞0，对称轴为x＝＜1，∵a＜0，∴2a+b＜0，而抛物线与x轴有两个交点，∴b2﹣4ac＞0，当x＝2时，y＝4a+2b+c＜0，当x＝1时，a+b+c＝2．∵＞2，∴4ac﹣b2＜8a，∴b2+8a＞4ac，∵①a+b+c＝2，则2a+2b+2c＝4，②4a+2b+c＜0，③a﹣b+c＜0．由①，③得到2a+2c＜2，由①，②得到2a﹣c＜﹣4，4a﹣2c＜﹣8，上面两个相加得到6a＜﹣6，∴a＜﹣1．故选：D．【点评】考查二次函数y＝ax2+bx+c系数符号的确定由抛物线开口方向、对称轴、抛物线与y轴的交点、抛物线与x轴交点的个数等．3．若关于x的函数y＝（2﹣a）x2﹣x是二次函数，则a的取值范围是（）A．a≠0B．a≠2C．a＜2D．a＞2【分析】根据二次函数的定义即可得．【解答】解：∵函数y＝（2﹣a）x2﹣x是二次函数，∴2﹣a≠0，即a≠2，故选：B．【点评】本题主要考查二次函数的定义，熟练掌握形如y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数是解题的关键．4．二次函数y＝ax2+bx+c与一次函数y＝ax+c，它们在同一直角坐标系中的图象大致是（）A．B．C．D．【分析】根据二次函数的开口方向，与y轴的交点；一次函数经过的象限，与y轴的交点可得相关图象．【解答】解：∵一次函数和二次函数都经过y轴上的（0，c），∴两个函数图象交于y轴上的同一点，排除B、C；当a＞0时，二次函数开口向上，一次函数经过一、三象限，排除D；当a＜0时，二次函数开口向下，一次函数经过二、四象限，A正确；故选：A．【点评】考查二次函数及一次函数的图象的性质；用到的知识点为：二次函数和一次函数的常数项是图象与y轴交点的纵坐标；一次函数的一次项系数大于0，图象经过一、三象限；小于0，经过二、四象限；二次函数的二次项系数大于0，图象开口向上；二次项系数小于0，图象开口向下．5．抛物线y＝x2﹣4x+1与y轴交点的坐标是（）A．（0，1）B．（1，O）C．（0，﹣3）D．（0，2）【分析】抛物线与y轴相交时，横坐标为0，将横坐标代入抛物线解析式可求交点纵坐标．【解答】解：当x＝0时，y＝x2﹣4x+1＝1，∴抛物线与y轴的交点坐标为（0，1），故选：A．【点评】本题考查了抛物线与坐标轴交点坐标的求法．令x＝0，可到抛物线与y轴交点的纵坐标，令y＝0，可得到抛物线与x轴交点的横坐标．6．将抛物线y＝2x2向左平移3个单位得到的抛物线的解析式是（）A．y＝2x2+3B．y＝2x2﹣3C．y＝2（x+3）2D．y＝2（x﹣3）2【分析】根据“左加右减”的原则进行解答即可．【解答】解：将抛物线y＝2x2向左平移3个单位所得直线解析式为：y＝2（x+3）2；故选：C．【点评】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知函数图象平移的法则是解答此题的关键．7．函数y＝（x+1）2﹣2的最小值是（）A．1B．﹣1C．2D．﹣2【分析】抛物线y＝（x+1）2﹣2开口向上，有最小值，顶点坐标为（﹣1，﹣2），顶点的纵坐标﹣2即为函数的最小值．【解答】解：根据二次函数的性质，当x＝﹣1时，二次函数y＝（x﹣1）2﹣2的最小值是﹣2．故选：D．【点评】本题考查对二次函数最值．求二次函数的最大（小）值有三种方法，第一种可由图象直接得出，第二种是配方法，第三种是公式法．8．对称轴平行于y轴的抛物线的顶点为点（2，3）且抛物线经过点（3，1），那么抛物线解析式是（）A．y＝﹣2x2+8x+3B．y＝﹣2x‑2﹣8x+3C．y＝﹣2x2+8x﹣5D．y＝﹣2x‑2﹣8x+2【分析】已知抛物线的顶点坐标，把经过的点的坐标代入顶点坐标式求出系数则可．【解答】解：根据题意，设y＝a（x﹣2）2+3，抛物线经过点（3，1），所以a+3＝1，a＝﹣2．因此抛物线的解析式为：y＝﹣2（x﹣2）2+3＝﹣2x2+8x﹣5．故选：C．【点评】本题考查利用待定系数法设抛物线的顶点坐标式求抛物线的表达式．9．把二次函数y＝x2﹣2x+4化为y＝a（x﹣h）2+k的形式，下列变形正确的是（）A．y＝（x+1）2+3B．y＝（x﹣2）2+3C．y＝（x﹣1）2+5D．y＝（x﹣1）2+3【分析】利用配方法整理即可得解．【解答】解：y＝x2﹣2x+4，＝x2﹣2x+1+3，＝（x﹣1）2+3．故选：D．【点评】本题考查了二次函数解析式的三种形式：（1）一般式：y＝ax2+bx+c（a≠0，a、b、c为常数）；（2）顶点式：y＝a（x﹣h）2+k；（3）交点式（与x轴）：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）．10．若抛物线y＝kx2﹣2x﹣1与x轴有两个不同的交点，则k的取值范围为（）A．k＞﹣1B．k≥﹣1C．k＞﹣1且k≠0D．k≥﹣1且k≠0【分析】根据抛物线y＝kx2﹣2x﹣1与x轴有两个不同的交点，得出b2﹣4ac＞0，进而求出k的取值范围．【解答】解：∵二次函数y＝kx2﹣2x﹣1的图象与x轴有两个交点∴b2﹣4ac＝（﹣2）2﹣4×k×（﹣1）＝4+4k＞0∴k＞﹣1∵抛物线y＝kx2﹣2x﹣1为二次函数∴k≠0则k的取值范围为k＞﹣1且k≠0．【点评】考查二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴交点的个数的判断．二．填空题（共5小题）11．若函数是二次函数，则m的值为﹣3．【分析】根据二次函数的定义得出m2﹣7＝2，再利用m﹣3≠0，求出m的值即可．【解答】解：若y＝（m﹣3）x m2﹣7是二次函数，则m2﹣7＝2，且m﹣3≠0，故（m﹣3）（m+3）＝0，m≠3，解得：m1＝3（不合题意舍去），m2＝﹣3，∴m＝﹣3．故答案为：﹣3．【点评】此题主要考查了二次函数的定义，根据已知得出m2﹣7＝2，注意二次项系数不为0是解题关键．12．如图，⊙O的半径为2，C1是函数y＝2x2的图象，C2是函数y＝﹣2x2的图象，则图中阴影部分的面积为2π．【分析】根据二次函数的对称性得出图中阴影部分的面积为半圆面积，进而求出即可．【解答】解：如图所示：图中阴影部分的面积为半圆面积，∵⊙O的半径为2，∴图中阴影部分的面积为：π×22＝2π．故答案为：2π．【点评】此题主要考查了二次函数对称性以及圆的面积公式，正确转化阴影部分面积是解题关键．13．二次函数y＝4（x﹣3）2+7的图象的顶点坐标是（3，7）．【分析】由抛物线解析式可求得答案．【解答】解：∵y＝4（x﹣3）2+7，∴顶点坐标为（3，7），故答案为：（3，7）．【点评】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键，即在y＝a（x﹣h）2+k中，对称轴为x＝h，顶点坐标为（h，k）．14．如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x＝1，与x轴的一个交点坐标为（﹣1，0），其部分图象如图所示，下列结论：①4ac＜b2；②方程ax2+bx+c＝0的两个根是x1＝﹣1，x2＝3；③3a+c＞0；④当y＞0时，x的取值范围是﹣1≤x＜3；⑤当x＜0时，y随x增大而增大；其中结论正确有①②⑤．【分析】利用抛物线与x轴的交点个数可对①进行判断；利用抛物线的对称性得到抛物线与x轴的一个交点坐标为（3，0），则可对②进行判断；由对称轴方程得到b＝﹣2a，然后根据x＝﹣1时函数值为0可得到3a+c＝0，则可对③进行判断；根据抛物线在x轴上方所对应的自变量的范围可对④进行判断；根据二次函数的性质对⑤进行判断．【解答】解：∵抛物线与x轴有2个交点，∴b2﹣4ac＞0，所以①正确；∵抛物线的对称轴为直线x＝1，而点（﹣1，0）关于直线x＝1的对称点的坐标为（3，0），∴方程ax2+bx+c＝0的两个根是x1＝﹣1，x2＝3，所以②正确；∵x＝﹣＝1，即b＝﹣2a，而x＝﹣1时，y＝0，即a﹣b+c＝0，∴a+2a+c＝0，所以③错误；∵抛物线与x轴的两点坐标为（﹣1，0），（3，0），∴当﹣1＜x＜3时，y＞0，所以④错误；∵抛物线的对称轴为直线x＝1，∴当x＜1时，y随x增大而增大，所以⑤正确．故答案为①②⑤．【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0），二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小：当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左；当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右；常数项c决定抛物线与y轴交点位置：抛物线与y轴交于（0，c）；抛物线与x轴交点个数由△决定：△＝b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△＝b2﹣4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点；△＝b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．15．已知抛物线y＝2x2﹣5x+3与y轴的交点坐标是（0，3）．【分析】y轴上点的坐标特点为横坐标为0，纵坐标为y，把x＝0代入即可求得交点坐标为（0，3）．【解答】解：当x＝0时，y＝3，即交点坐标为（0，3）．【点评】本题考查了函数图象上的点的坐标与函数解析式的关系，要明确y轴上点的坐标横坐标为0．三．解答题（共6小题）16．已知函数y＝（m2﹣m）x2+（m﹣1）x+m+1．（1）若这个函数是一次函数，求m的值；（2）若这个函数是二次函数，则m的值应怎样？【分析】根据一次函数与二次函数的定义求解．【解答】解：（1）根据一次函数的定义，得：m2﹣m＝0解得m＝0或m＝1又∵m﹣1≠0即m≠1；∴当m＝0时，这个函数是一次函数；（2）根据二次函数的定义，得：m2﹣m≠0解得m1≠0，m2≠1∴当m1≠0，m2≠1时，这个函数是二次函数．【点评】解题关键是掌握一次函数与二次函数的定义．17．已知二次函数y＝﹣x2+4x．（1）写出二次函数y＝﹣x2+4x图象的对称轴；（2）在给定的平面直角坐标系中，画出这个函数的图象（列表、描点、连线）；（3）根据图象，写出当y＜0时，x的取值范围．【分析】（1）把一般式化成顶点式即可求得；（2）首先列表求出图象上点的坐标，进而描点连线画出图象即可．（3）根据图象从而得出y＜0时，x的取值范围．【解答】解：（1）∵y＝﹣x2+4x＝﹣（x﹣2）2+4，∴对称轴是过点（2，4）且平行于y轴的直线x＝2；（2）列表得：描点，连线．（3）由图象可知，当y＜0时，x的取值范围是x＜0或x＞4．【点评】本题考查了二次函数的图象和二次函数的性质，要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用二次函数的图象，从而求出y＜0时，x的取值．18．已知函数图象如图所示，根据图象可得：（1）抛物线顶点坐标（﹣3，2）；（2）对称轴为x＝﹣3；（3）当x＝﹣3时，y有最大值是2；（4）当x＜﹣3时，y随着x得增大而增大．（5）当﹣5＜x＜﹣1时，y＞0．【分析】（1）由抛物线与x轴两个交点的坐标，根据二次函数的对称性可得顶点坐标；（2）根据二次函数的性质可得对称轴；（3）根据抛物线的顶点坐标即可求解；（4）根据二次函数的性质即可求解；（5）抛物线在x轴上方的部分对应的x的取值即为所求．【解答】解：（1）∵抛物线与x轴交于点（﹣5，0），（﹣1，0），∴顶点横坐标为＝﹣3，由图可知顶点纵坐标为2，∴顶点坐标为（﹣3，2）；（2）对称轴为x＝﹣3；（3）当x＝﹣3时，y有最大值是2；（4）当x＜﹣3时，y随着x得增大而增大；（5）当﹣5＜x＜﹣1时，y＞0．故答案为（1）（﹣3，2）；（2）x＝﹣3；（3）﹣3，2；（4）x＜﹣3；（5）﹣5＜x＜﹣1．【点评】本题考查了二次函数的图象与性质，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标是（﹣，），对称轴直线x＝﹣，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象具有如下性质：①当a＞0时，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的开口向上，x＜﹣时，y随x的增大而减小；x＞﹣时，y随x的增大而增大；x＝﹣时，y取得最小值，即顶点是抛物线的最低点．②当a＜0时，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的开口向下，x＜﹣时，y随x的增大而增大；x＞﹣时，y随x的增大而减小；x＝﹣时，y取得最大值，即顶点是抛物线的最高点．19．已知抛物线y＝ax2+bx+c，如图所示，直线x＝﹣1是其对称轴，（1）确定a，b，c，△＝b2﹣4ac的符号；（2）求证：a﹣b+c＞0；（3）当x取何值时，y＞0，当x取何值时y＜0．【分析】（1）根据开口方向确定a的符号，根据对称轴的位置确定b的符号，根据抛物线与y 轴的交点确定c的符号，根据抛物线与x轴交点的个数确定b2﹣4ac的符号；（2）根据图象和x＝﹣1的函数值确定a﹣b+c与0的关系；（3）抛物线在x轴上方时y＞0；抛物线在x轴下方时y＜0．【解答】解：（1）∵抛物线开口向下，∴a＜0，∵对称轴x＝﹣＝﹣1，∴b＜0，∵抛物线与y轴的交点在x轴的上方，∴c＞0，∵抛物线与x轴有两个交点，∴△＝b2﹣4ac＞0；（2）证明：∵抛物线的顶点在x轴上方，对称轴为x＝﹣1，∴当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＞0；（3）根据图象可知，当﹣3＜x＜1时，y＞0；当x＜﹣3或x＞1时，y＜0．【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数y＝ax2+bx+c系数的符号由抛物线开口方向、对称轴、抛物线与y轴的交点确定．利用数形结合是解题的关键．20．已知抛物线y＝a（x﹣3）2+2经过点（1，﹣2）．（1）求a的值．（2）若点A（m，y1），（n，y2）（m＜n＜3）都在该抛物线上，试比较y1与y2的大小．【分析】（1）根据抛物线y＝a（x﹣3）2+2经过点（1，﹣2），可以求的a的值；（2）根据（1）中a的值可以求得此函数的解析式，然后根据二次函数的性质可以求得y1与y2的大小．【解答】解：（1）∵抛物线y＝a（x﹣3）2+2经过点（1，﹣2），∴﹣2＝a（1﹣3）2+2，∴a＝﹣1；（2）∵y＝﹣（x﹣3）2+2，∴此函数的图象开口向下，当x＜3时，y随x的增大而增大，当x＞3时，y随x的增大而减小，∵点A（m，y1），（n，y2）（m＜n＜3）都在该抛物线上，∴y1＜y2．【点评】本题考查二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．21．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝﹣x+2与y轴交于点A，顶点为点B，点C与点A 关于抛物线的对称轴对称．（1）求直线BC的解析式；（2）点D在抛物线上，且点D的横坐标为4．将抛物线在点A，D之间的部分（包含点A，D）记为图象G，若图象G向下平移t（t＞0）个单位后与直线BC只有一个公共点，求t的取值范围．【分析】（1）欲求直线BC的解析式，需要求得点B、C的坐标，由抛物线解析式求得点A、B 的坐标，然后根据点的对称性得到点C的坐标；然后由待定系数法来求直线方程；（2）根据抛物线解析式y＝﹣x+2易求D（4，6），由直线y＝x+1易求点（0，1），点F （4，3）．设点A平移后的对应点为点A′，点D平移后的对应点为点D′．当图象G向下平移至点A′与点E重合时，点D'在直线BC上方，此时t＝1．当图象G向下平移至点D′与点F重合时，点A′在直线BC下方，此时t＝3．结合图象可知，符合题意的t的取值范围是1＜t≤3．【解答】解：（1）∵抛物线与y轴交于点A∴点A的坐标为（0，2）．∵，∴抛物线的对称轴为直线x＝1，顶点B的坐标为（1，）．又∵点C与点A关于抛物线的对称轴对称，∴点C的坐标为（2，2），且点C在抛物线上．设直线BC的解析式为y＝kx+b．∵直线BC经过点B（1，）和点C（2，2），∴解得∴直线BC的解析式为：y＝x+1；（2）∵抛物线y＝﹣x+2中，当x＝4时，y＝6，∴点D的坐标为（4，6）．∵直线y＝x+1中，当x＝0时，y＝1．当x＝4时，y＝3，∴如图，点E的坐标为（0，1），点F的坐标为（4，3）．设点A平移后的对应点为点A′，点D平移后的对应点为点D′．当图象G向下平移至点A′与点E重合时，点D'在直线BC上方，此时t＝1．当图象G向下平移至点D′与点F重合时，点A′在直线BC下方，此时t＝3．结合图象可知，符合题意的t的取值范围是1＜t≤3．【点评】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数图象的几何变换．解题时，利用了“数形结合”的数学思想，使抽象的问题变得直观化了．。

2018-2019学年北师大版九年级数学下册《第2章二次函数》单元测试题及答案

九年级下册（北师大版）数学第2章二次函数单元检测试卷一．选择题（共10小题）1．抛物线y=2x2﹣1与直线y=﹣x+3的交点的个数是（）A．0个B．1个C．2个D．3个2．对于抛物线y=﹣2（x+1）2+3，下列结论：①抛物线的开口向下；②对称轴为直线x=1：③顶点坐标为（﹣1，3）；④x＞1时，y随x的增大而减小．其中正确结论的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．43．已知二次函数y=x2﹣x+a（a＞0），当自变量x取m时，其相应的函数值小于0，则下列结论正确的是（）A．x取m﹣1时的函数值小于0B．x取m﹣1时的函数值大于0C．x取m﹣1时的函数值等于0D．x取m﹣1时函数值与0的大小关系不确定4．若抛物线y=x2+ax+b与x轴两个交点间的距离为2，称此抛物线为定弦抛物线，已知某定弦抛物线的对称轴为直线x=1，将此抛物线向左平移2个单位，再向下平移3个单位，得到的抛物线过点（）A．（﹣3，﹣6）B．（﹣3，0）C．（﹣3，﹣5）D．（﹣3，﹣1）5．如图，抛物线y=﹣x2+x+2与x轴交于A，B两点（A在B的左侧），与y轴交于点C，P为此抛物线对称轴l上任意一点，则△APC的周长的最小值是（）A．2B．3C．5D． +6．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列结论：①abc＞0；②2a+b=0；③m为任意实数，则a+b ＞am2+bm；④a﹣b+c＞0；⑤若ax12+bx1=ax22+bx2，且x1≠x2，则x1+x2=2．其中正确的有（）A．①②③B．②④C．②⑤D．②③⑤7．下列各点中，抛物线y=x2﹣4x﹣4经过的点是（）A．（0，4）B．（1，﹣7）C．（﹣1，﹣1）D．（2，8）8．将函数y=kx2与y=kx+k的图象画在同一个直角坐标系中，可能的是（）A．B．C．D．9．已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，它与x轴的两个交点分别为（﹣1，0），（3，0）．对于下列命题：①2a+b=0；②abc＜0；③b2﹣4ac＞0；④8a+c＞0．其中正确的有（）A．3个B．2个C．1个D．0个10．已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则下列结论：①ac＞0；②a﹣b+c＜0；③当x＜0时，y＜0；④方程ax2+bx+c=0（a≠0）有两个大于﹣1的实数根．其中正确的结论有（）A．①③B．②③C．①④D．②④二．填空题（共6小题）11．已知二次函数y=3（x﹣1）2+k的图象上三点A（2，y1），B（3，y2），C（﹣4，y3），则y1、y2、y3的大小关系是．12．若A（﹣，y1）、B（﹣，y2）、C（3，y3）为二次函数y=﹣x 2﹣4x+5的图象上的三点，则y1、y2、y3的大小关系是（用“＜”连接）．13．函数y=﹣3（x+2）2的开口，对称轴是，顶点坐标为．14．已知抛物线y=﹣x2+bx+2﹣b，在自变量x的值满足﹣1≤x≤2的情况下，函数有最大值m，则m的最小值是15．如图，已知抛物线和x轴交于两点A、B，和y轴交于点C，已知A、B两点的横坐标分别为﹣1，4，△ABC 是直角三角形，∠ACB=90°，则此抛物线顶点的坐标为．16．对于二次函数y=5x 2+bx+c ，甲、乙、丙、丁四位同学给出四个说法，甲：图象对称轴是x=1；乙：函数最小值为3；丙：当x=﹣1时，y=0；丁：点（2，8）在函数图象上．其中有且仅有一个说法是错误的，则哪位同学的说法是错误的．三．解答题（共9小题）17．一个二次函数图象上部分点的横坐标x ，纵坐标y 的对应值如下表：﹣（1）求这个二次函数的表达式；（2）求m 的值；（3）在给定的直角坐标系中，画出这个函数的图象；（4）根据图象，写出当y ＜0时，x 的取值范围．18．某商场销售一种商品，进价为每个20元，规定每个商品售价不低于进价，且不高于60元，经调查发现，每天的销售量y （个）与每个商品的售价x （元）满足一次函数关系，其部分数据如下所示：（1）求y 与x 之间的函数表达式；（2）设商场每天获得的总利润为w （元），求w 与x 之间的函数表达式；（3）不考虑其他因素，当商品的售价为多少元时，商场每天获得的总利润最大，最大利润是多少？19．如图，点P 为抛物线y=x 2上一动点．（1）若抛物线y=x2是由抛物线y=（x+2）2﹣1通过图象平移得到的，请写出平移的过程；（2）若直线l经过y轴上一点N，且平行于x轴，点N的坐标为（0，﹣1），过点P作PM⊥l于M．①问题探究：如图一，在对称轴上是否存在一定点F，使得PM=PF恒成立？若存在，求出点F的坐标：若不存在，请说明理由．②问题解决：如图二，若点Q的坐标为（1，5），求QP+PF的最小值．20．如图1，在平面直角坐标系xOy中，直线l：与x轴、y轴分别交于点A和点B（0，﹣1），抛物线经过点B，且与直线l的另一个交点为C（4，n）．（1）求n的值和抛物线的解析式；（2）点D在抛物线上，且点D的横坐标为t（0＜t＜4）．DE∥y轴交直线l于点E，点F在直线l上，且四边形DFEG为矩形（如图2）．若矩形DFEG的周长为p，求p与t的函数关系式以及p的最大值；（3）M是平面内一点，将△AOB绕点M沿逆时针方向旋转90°后，得到△A1O1B1，点A、O、B的对应点分别是点A1、O1、B1．若△A1O1B1的两个顶点恰好落在抛物线上，请直接写出点A1的横坐标．21．如图，抛物线y=ax2+bx+c与x轴相交于点A（﹣3，0），B（1，0），与y轴相交于（0，﹣），顶点为P．（1）求抛物线解析式；（2）在抛物线是否存在点E，使△ABP的面积等于△ABE的面积？若存在，求出符合条件的点E的坐标；若不存在，请说明理由；（3）坐标平面内是否存在点F，使得以A、B、P、F为顶点的四边形为平行四边形？直接写出所有符合条件的点F的坐标，并求出平行四边形的面积．22．如图，抛物线y=﹣x2+bx+c和直线y=x+1交于A，B两点，点A在x轴上，点B在直线x=3上，直线x=3与x轴交于点C．（1）求抛物线的解析式；（2）点P从点A出发，以每秒个单位长度的速度沿线段AB向点B运动，点Q从点C出发，以每秒2个单位长度的速度沿线段CA向点A运动，点P，Q同时出发，当其中一点到达终点时，另一个点也随之停止运动，设运动时间为t秒（t＞0）．以PQ为边作矩形PQNM，使点N在直线x=3上．①当t为何值时，矩形PQNM的面积最小？并求出最小面积；②直接写出当t为何值时，恰好有矩形PQNM的顶点落在抛物线上．23．建立适当的坐标系，运用函数知识解决下面的问题：如图，是某条河上的一座抛物线形拱桥，拱桥顶部点E到桥下水面的距离EF为3米时，水面宽AB为6米，一场大雨过后，河水上涨，水面宽度变为CD，且CD=2米，此时水位上升了多少米？24．如图，在直角坐标系中，0是坐标原点，直线AB交x轴于点A（﹣4，0），交y轴于点B，抛物线y=ax2+2ax+3（a≠0）经过A，B两点．P是线段AO上的一动点，过点P作PC⊥x轴交直线AB于点C，交抛物线于点D．（1）求a及AB的长．（2）连结PB，若tan∠ABP=，求点P的坐标．（3）连结BD，以BD为边作正方形BDEF，是否存在点P使点E恰好落在抛物线的对称轴上？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．（4）连结OC，若S△BDC：S△OBC=1：2，将线段BD绕点D按顺时针方向旋转，得到DB′．则在旋转的过程中，当点A，B到直线DB′的距离和最大时，请直接写出点B′的坐标．参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）1．【解答】解：由，消去y得到：2x2+x﹣4=0，∵△=1﹣（﹣32）=33＞0，∴抛物线y=2x2﹣1与直线y=﹣x+3有两个交点，故选：C．2．【解答】解：①∵a=﹣2＜0，∴抛物线的开口向下，正确；②对称轴为直线x=﹣1，故本小题错误；③顶点坐标为（﹣1，3），正确；④∵x＞﹣1时，y随x的增大而减小，∴x＞1时，y随x的增大而减小一定正确；综上所述，结论正确的个数是①③④共3个．故选：C．3．【解答】解：由题意，函数的图象为：∵抛物线的对称轴x=，设抛物线与x轴交于点A、B．∴AB＜1，∵x取m时，其相应的函数值小于0，∴观察图象可知，x=m﹣1在点A的左侧，x=m﹣1时，y＞0，故选：B．4．【解答】解：∵某定弦抛物线的对称轴为直线x=1，∴该定弦抛物线过点（0，0）、（2，0），∴该抛物线解析式为y=x（x﹣2）=x2﹣2x=（x﹣1）2﹣1．将此抛物线向左平移2个单位，再向下平移3个单位，得到新抛物线的解析式为y=（x﹣1+2）2﹣1﹣3=（x+1）2﹣4．当x=﹣3时，y=（x+1）2﹣4=0，∴得到的新抛物线过点（﹣3，0）．故选：B．5．【解答】解：作点C关于直线l的对称点C′，连接AC′交直线l于P，连接PC，则△APC的周长的最小，由抛物线的对称性可知，点C′在抛物线上，当x=0时，y=2，∴点C的坐标为（0，2），∴点C′的纵坐标为2，2=﹣x2+x+2，解得，x1=0，x2=3，则点C′的横坐标为3，﹣x2+x+2=0，x1=﹣1，x2=4，则点A的坐标为（﹣1，0），∴AC′==2，AC==，∴△APC的周长的最小值是3，故选：B．6．【解答】解：∵抛物线开口向下，∴a＜0，∵抛物线对称轴为直线x=﹣=1，∴b=﹣2a＞0，即2a+b=0，所以②正确；∵抛物线与y轴的交点在x轴上方，∴c＞0，∴abc＜0，所以①错误；∵抛物线对称轴为直线x=1，∴函数的最大值为a+b+c，∴当m≠1时，a+b+c＞am2+bm+c，即a+b＞am2+bm，所以③错误；∵抛物线与x轴的一个交点在（3，0）的左侧，而对称轴为直线x=1，∴抛物线与x轴的另一个交点在（﹣1，0）的右侧∴当x=﹣1时，y＜0，∴a﹣b+c＜0，所以④错误；∵ax12+bx1=ax22+bx2，∴ax12+bx1﹣ax22﹣bx2=0，∴a（x1+x2）（x1﹣x2）+b（x1﹣x2）=0，∴（x1﹣x2）[a（x1+x2）+b]=0，而x1≠x2，∴a（x1+x2）+b=0，即x1+x2=﹣，∵b=﹣2a，∴x1+x2=2，所以⑤正确．综上所述，正确的有②⑤．故选：C．7．【解答】解：当x=0时，y=x2﹣4x﹣4=﹣4；当x=1时，y=x2﹣4x﹣4=﹣7；当x=﹣1时，y=x2﹣4x﹣4=1；当x=2时，y=x2﹣4x﹣4=﹣8，所以点（1，﹣7）在抛物线y=x2﹣4x﹣4上．故选：B．8．【解答】解：当k＞0时，函数y=kx2的图象是开口向上，顶点在原点的抛物线，y=kx+k的图象经过第一、二、三象限，是一条直线，故选项A、B均错误，当k＜0时，函数y=kx2的图象是开口向下，顶点在原点的抛物线，y=kx+k的图象经过第二、三、四象限，是一条直线，故选项C正确，选项D错误，故选：C．9．【解答】解：A．①因为点（﹣1，0），（3，0）在二次函数上，所以a﹣b+c=0，9a+3b+c=0，两式作差可得8a+4b=0，故2a+b=0，则①正确；②由图形可知，该二次函数的a＞0，c＜0，顶点的横坐标﹣=1＞0，则b＜0，知abc＞0，故②错误；③函数图象与x轴两个交点，可知b2﹣4ac＞0，故③正确；④由图象可知，则b=﹣2a，因（3，0）在函数图象上，故9a+3b+c=0，将b=﹣2a代入得3a+c=0，由函数图象知a＞0，故3a+c+5a＞0，即8a+c＞0．故④正确．故选项A正确；B．①因为点（﹣1，0），（3，0）在二次函数上，所以a﹣b+c=0，9a+3b+c=0，两式作差可得8a+4b=0，故2a+b=0，则①正确；②由图形可知，该二次函数的a＞0，c＜0，顶点的横坐标﹣=1＞0，则b＜0，知abc＞0，故②错误；③函数图象与x轴两个交点，可知b2﹣4ac＞0，故③正确；④由图象可知，则b=﹣2a，因（3，0）在函数图象上，故9a+3b+c=0，将b=﹣2a代入得3a+c=0，由函数图象知a＞0，故3a+c+5a＞0，即8a+c＞0．故④正确．故选项B错误；C．①因为点（﹣1，0），（3，0）在二次函数上，所以a﹣b+c=0，9a+3b+c=0，两式作差可得8a+4b=0，故2a+b=0，则①正确；[来源:学&科&网Z&X&X&K]②由图形可知，该二次函数的a＞0，c＜0，顶点的横坐标﹣=1＞0，则b＜0，知abc＞0，故②错误；③函数图象与x轴两个交点，可知b2﹣4ac＞0，故③正确；④由图象可知，则b=﹣2a，因（3，0）在函数图象上，故9a+3b+c=0，将b=﹣2a代入得3a+c=0，由函数图象知a＞0，故3a+c+5a＞0，即8a+c＞0．故④正确．故选项C错误；D．①因为点（﹣1，0），（3，0）在二次函数上，所以a﹣b+c=0，9a+3b+c=0，两式作差可得8a+4b=0，故2a+b=0，则①正确；②由图形可知，该二次函数的a＞0，c＜0，顶点的横坐标﹣=1＞0，则b＜0，知abc＞0，故②错误；③函数图象与x轴两个交点，可知b2﹣4ac＞0，故③正确；④由图象可知，则b=﹣2a，因（3，0）在函数图象上，故9a+3b+c=0，将b=﹣2a代入得3a+c=0，由函数图象知a＞0，故3a+c+5a＞0，即8a+c＞0．故④正确．故选项D错误．故选：A．10．【解答】解：∵抛物线开口向下，∴a＜0，∵抛物线与y轴的交点在x轴上方，∴c＞0，∴ac＜0，所以①错误；∵x=﹣1时，y＜0，∴a﹣b+c＜0，所以②正确；当x＜0时，y有时大于0，有时等于0，有时小于0，∴③错误；∵抛物线与x轴的两个交点都在点（﹣1，0）的右边，∴方程ax2+bx+c=0（a≠0）有两个大于﹣1的实数根，所以④正确．故选：D．二．填空题（共6小题）11．【解答】解：∵y=3（x﹣1）2+k，∴图象的开口向上，对称轴是直线x=1，A（﹣4，y3）关于直线x=﹣2的对称点是（6，y3），∵2＜3＜6，∴y1＜y2＜y3，故答案为y1＜y2＜y3．12．【解答】解：抛物线的对称轴为直线x=﹣=﹣2，抛物线开口向下，当B（﹣，y 2）到直线x=﹣2的距离最小，点C（3，y3）到直线x=﹣2的距离最大，所以y3＜y1＜y2．故答案为y3＜y1＜y2．13．【解答】解：函数y=﹣3（x+2）2的开口向下，对称轴是直线x=﹣2，顶点坐标是（﹣2，0），故答案为：向下，直线x=﹣2，（﹣2，0）．14．【解答】解：∵抛物线y=﹣x2+bx+2﹣b，∴开口向下，对称轴为x=当﹣1≤≤2，则﹣2≤b≤4，函数最大值m为≥1当≤﹣1，则b≤﹣2，当x=﹣1时，函数最大值m为﹣1﹣b+2﹣b=1﹣2b≥5当≥2，则b≥4当x=2时，函数最大值m为﹣4+2b+2﹣b=b﹣2≥2∴m的最小值为1故答案为115．【解答】解：∵A、B两点的横坐标分别为﹣1，4，∴OA=1，OB=4，∵∠ACB=90°，∴∠CAB+∠ABC=90°，∵CO⊥AB，∴∠ABC+∠BCO=90°，∴∠CAB=∠BCO，又∵∠AOC=∠BOC=90°，∴△AOC∽△COB，∴=，即=，解得OC=2，∴点C 的坐标为（0，2），∵A 、B 两点的横坐标分别为﹣1，4，∴设抛物线解析式为y=a （x+1）（x ﹣4），把点C 的坐标代入得，a （0+1）（0﹣4）=2，解得a=﹣，∴y=﹣（x+1）（x ﹣4）=﹣（x 2﹣3x ﹣4）=﹣（x ﹣）2+，∴此抛物线顶点的坐标为（，）．故答案为：（，）．16．【解答】解：若甲乙对，则抛物线的解析式为y=5（x ﹣1）2+3，当x=﹣1时，y=23，此时丙错误；当x=2时，y=8，此时丁正确．而其中有且仅有一个说法是错误的，所以只有丙错误．故答案为丙．三．解答题（共9小题）17．【解答】解：（1）由图表可知抛物线的顶点坐标为（﹣1，2），所以，设这个二次函数的表达式为y=a （x+1）2+2，∵图象过点（1，0），∴a （1+1）2+2=0，∴a=﹣，∴这个二次函数的表达式为y=﹣（x+1）2+2；（2）x=2时，m=﹣（2+1）2+2=﹣；（3）函数图象如图所示；（4）y＜0时，x＜﹣3或x＞1．18．【解答】解：（1）设y与x之间的函数解析式为y=kx+b，则，解得，即y与x之间的函数表达式是y=﹣2x+160；（2）由题意可得，w=（x﹣20）（﹣2x+160）=﹣2x2+200x﹣3200，即w与x之间的函数表达式是w=﹣2x2+200x﹣3200；（3）∵w=﹣2x2+200x﹣3200=﹣2（x﹣50）2+1800，20≤x≤60，∴当20≤x≤50时，w随x的增大而增大；当50≤x≤60时，w随x的增大而减小；当x=50时，w取得最大值，此时w=1800元即当商品的售价为50元时，商场每天获得的总利润最大，最大利润是1800．19．【解答】解：（1）∵抛物线y=（x+2）2﹣1的顶点为（﹣2，﹣1）∴抛物线y=（x+2）2﹣1的图象向上平移1个单位，再向右2个单位得到抛物线y=x2的图象．（2）①存在一定点F，使得PM=PF恒成立．如图一，过点P作PB⊥y轴于点B设点P坐标为（a， a2）∴PM=PF=a2+1∵PB=a∴Rt△PBF中BF=∴OF=1∴点F坐标为（0，1）②由①，PM=PFQP+PF的最小值为QP+PM的最小值当Q、P、M三点共线时，QP+PM有最小值，最小值为点Q纵坐标加M纵坐标的绝对值．∴QP+PF的最小值为6．20．【解答】解：（1）∵直线l：y=x+m经过点B（0，﹣1），∴m=﹣1，∴直线l的解析式为y=x﹣1，∵直线l：y=x﹣1经过点C（4，n），∴n=×4﹣1=2，∵抛物线y=x2+bx+c经过点C（4，2）和点B（0，﹣1），[来源:学§科§网]∴，解得，∴抛物线的解析式为y=x2﹣x﹣1；（2）令y=0，则x﹣1=0，解得x=，∴点A的坐标为（，0），∴OA=，在Rt△OAB中，OB=1，∴AB===，∵DE∥y轴，∴∠ABO=∠DEF，在矩形DFEG中，EF=DE•cos∠DEF=DE•=DE，DF=DE•sin∠DEF=DE•=DE，∴p=2（DF+EF）=2（+）DE=DE，∵点D的横坐标为t（0＜t＜4），∴D（t， t2﹣t﹣1），E（t， t﹣1），∴DE=（t﹣1）﹣（t2﹣t﹣1）=﹣t2+2t，∴p=×（﹣t2+2t）=﹣t2+t，∵p=﹣（t﹣2）2+，且﹣＜0，∴当t=2时，p有最大值；（3）∵△AOB绕点M沿逆时针方向旋转90°，∴A1O1∥y轴时，B1O1∥x轴，设点A1的横坐标为x，①如图1，点O1、B1在抛物线上时，点O1的横坐标为x，点B1的横坐标为x+1，∴x2﹣x﹣1=（x+1）2﹣（x+1）﹣1，解得x=，②如图2，点A1、B1在抛物线上时，点B1的横坐标为x+1，点A1的纵坐标比点B1的纵坐标大，∴x2﹣x﹣1=（x+1）2﹣（x+1）﹣1+，解得x=﹣，综上所述，点A1的横坐标为或﹣．21．【解答】解：（1）将（﹣3，0），（1，0），（0，﹣）代入抛物线解析式得∴解得：a=，b=1，c=﹣∴抛物线解析式：y=x2+x﹣（2）存在．∵y=x2+x﹣=（x+1）2﹣2∴P点坐标为（﹣1，﹣2）∵△ABP的面积等于△ABE的面积，∴点E到AB的距离等于2，设E（a，2），∴a2+a﹣=2解得a1=﹣1﹣2，a2=﹣1+2∴符合条件的点E的坐标为（﹣1﹣2，2）或（﹣1+2，2）（3）∵点A（﹣3，0），点B（1，0），∴AB=4若AB为边，且以A、B、P、F为顶点的四边形为平行四边形∴AB∥PF，AB=PF=4∵点P坐标（﹣1，﹣2）∴点F坐标为（3，﹣2），（﹣5，﹣2）∴平行四边形的面积=4×2=8若AB为对角线，以A、B、P、F为顶点的四边形为平行四边形∴AB与PF互相平分设点F（x，y）且点A（﹣3，0），点B（1，0），点P（﹣1，﹣2）∴∴x=﹣1，y=2∴点F（﹣1，2）∴平行四边形的面积=×4×4=8综上所述：点F的坐标为（﹣1，2）、（3，﹣2）、（﹣5，﹣2），且平行四边形的面积为 8．22．【解答】解：（1）由已知，B点横坐标为3∵A、B在y=x+1上∴A（﹣1，0），B（3，4）把A（﹣1，0），B（3，4）代入y=﹣x2+bx+c得解得∴抛物线解析式为y=﹣x2+3x+4；（2）①过点P作PE⊥x轴于点E∵直线y=x+1与x轴夹角为45°，P点速度为每秒个单位长度∴t秒时点E坐标为（﹣1+t，0），Q点坐标为（3﹣2t，0）∴EQ=4﹣3t，PE=t∵∠PQE+∠NQC=90°∠PQE+∠EPQ=90°∴∠EPQ=∠NQC∴△PQE∽△QNC∴∴矩形PQNM的面积S=PQ•NQ=2PQ2∵PQ2=PE2+EQ2∴S=2（）2=20t2﹣48t+32当t=时，S最小=20×（）2﹣48×+32=②由①点Q坐标为（3﹣2t，0），P坐标为（﹣1+t，t）∴△PQE∽△QNC，可得NC=2QO=8﹣6t∴N点坐标为（3，8﹣6t）由矩形对角线互相平分∴点M坐标为（3t﹣1，8﹣5t）当M在抛物线上时8﹣5t=﹣（3t﹣1）2+3（3t﹣1）+4解得t=当点Q到A时，Q在抛物线上，此时t=2当N在抛物线上时，8﹣6t=4∴t=综上所述当t=、或2时，矩形PQNM的顶点落在抛物线上．23．【解答】解：以点E为原点、EF所在直线为y轴，垂直EF的直线为x轴建立平面直角坐标系，根据题意知E（0，0）、A（﹣3，﹣3）、B（3，﹣3），设y=kx2（k＜0），将点（3，﹣3）代入，得：k=﹣，∴y=﹣x2，将x=代入，得：y=﹣2，∴上升了1米．24．【解答】解：（1）把点A（﹣4，0代入抛物线y=ax2+2ax+3方程解得：a=﹣，二次函数的表达式为：y=﹣x2﹣x+3，则B坐标为（0，3），∵OA=4，OB=3，由勾股定理得：AB=5，则二次函数表达式为：y=﹣x2﹣x+3，对称轴为x=﹣1，答：a=﹣，AB的长为5；（2）如上图，连接BP，作AH⊥PH于H，在Rt△ABH中，AB=5，tan∠ABP=，可得：AH=，BH=2，设：点P的坐标为（x，0），在Rt△APH中，AP=﹣x，AH=，PH=BH﹣BP=2﹣，由勾股定理得：（﹣x）2=5+[2﹣]2，解得：x=10﹣14，答：点P的坐标（10﹣14，0）；（3）如上图所示，正方形DBFE的E点在抛物线的对称轴上，从E点作EN⊥PD，作DH⊥y轴，则Rt△BHD≌Rt△END（AAS），∴NH=BH，设P点坐标为（a，0），则D、E点的坐标分别为（a，﹣a2﹣a+3）、（﹣1，y），BH=3﹣（﹣a2﹣a+3）=HN=﹣1﹣a，解得：x=﹣（舍去），x=﹣4，答：E恰好落在抛物线的对称轴上情况存在，点P的坐标为（﹣4，0）；（4）当BD旋转到如图DB′的位置时，点A，B到直线DB′的距离和最大，此时AB⊥B′D，过点B′向PD和x轴作垂线，即BN⊥DP，BM⊥x轴，由A、B两点坐标可得AB的直线方程为：y=x+3，则tan∠BAO=，设P点坐标为（m，0），则C（m， m+3），∵△BDC和△OBC是等高不等底的两个三角形，而1：2若S△BDC：S△OBC=1：2，∴CD=OB=，则D点y坐标=C点y坐标+=m+，即：D（m， m+），把点D的坐标（m， m+）代入二次函数方程y=﹣x2﹣x+3，解得：m=﹣2，把m值代入，即D点坐标为：D（﹣2，3），P（﹣2，0），∵B（0，3）则BD∥x轴，∴BD⊥DC，∵BD⊥DC，AB⊥B′D，∴∠BDP=∠BAO=∠BAO，∴tan∠B′DP=tan∠BAO=，在Rt△B′MD中，B′D=BD=2，tan∠B′DP=，则：B′M=，DM=，则：B′的横坐标为=x P﹣B′M=﹣2+=﹣，B′的纵坐标为=y D﹣DM=3﹣=；答：当点A，B到直线DB′的距离和最大时点B′的坐标为（﹣，）．。

北师大版数学九年级下册第二章：二次函数综合单元测试题(含答案)

北师大版数学九年级下册第二章：二次函数综合单元测试题(含答案)一、选择题：1.若(2，5)，(4，5)是抛物线y=ax2＋bx＋c上的两个点，则它的对称轴是( )A.x=1B.x=2C.x=3D.x=42.抛物线y=2（x+3）2+1的顶点坐标是（）A.（3，1）B.（3，﹣1）C.（﹣3，1）D.（﹣3，﹣1）3.下列函数中，是二次函数的有( )①y=1－x2；②y=；③y=x(1－x)；④y=(1－2x)(1+2x).A.1个B.2个C.3个D.4个4.二次函数y=a(x+k)2+k(a≠0),无论k取何值,其图象的顶点都在( )A.直线y=x上B.直线y=－x上C.x轴上D.y轴上5.把抛物线y=(x+1)2向下平移2个单位,再向右平移1个单位,所得到抛物线是( )A.y=(x+2)2+2B.y=(x+2)2－2C.y=x2+2D.y=x2－26.在一定条件下，若物体运动的路程s(米)与时间t(秒)的关系式为s=5t2+2t，则当t=4时，该物体所经过的路程为( )A.88米B.68米C.48米D. 28米7.二次函数y=x2+2x－3的开口方向、顶点坐标分别是（）A.开口向上,顶点坐标为（－1,－4）B.开口向下，顶点坐标为（1,4）C.开口向上,顶点坐标为（1,4）D.开口向下，顶点坐标为（－1,﹣4）8.在同一坐标系中,一次函数y=ax+b与二次函数y=ax2﹣b的图象可能是（）9.将进货单价为40元的商品按50元出售时，就能卖出500个.已知这种商品每个涨价1元，其销售量就减少10个，为了赚得8000元的利润，商品售价应为（）A.60元B.80元C.60元或80元D.30元10.如图是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面宽4m时，拱顶（拱桥洞的最高点）离水面2m，当水面下降1m时，水面的宽度为（）A．3 B．2C．3D．211.向空中发射一枚炮弹，经x秒后的高度为y米，且时间与高度的关系为y=ax2+bx+c（a≠0）．若此炮弹在第7秒与第14秒时的高度相等，则在下列时间中炮弹所在高度最高的是（）A．第8秒B．第10秒C．第12秒 D．第15秒12.已知函数y=ax2﹣2ax﹣1（a是常数，a≠0），下列结论正确的是（）A．当a=1时，函数图象过点（﹣1，1）B．当a=﹣2时，函数图象与x轴没有交点C．若a＞0，则当x≥1时，y随x的增大而减小D．若a＜0，则当x≤1时，y随x的增大而增大二、填空题：13若把二次函数y=x2+6x+2化为y=（x－h）2+k的形式，其中h，k为常数，则h+k= ．14.抛物线y=(x－1)2+2的顶点坐标是.15.已知点A（x1，y1）、B（x2，y2）都在二次函数y=﹣2(x﹣2)2+1的图象上，且x1＜x2＜2，则1,y1、y2的大小关系是．16.a、b、c是实数，点A（a+1、b）、B（a+2，c）在二次函数y=x2﹣2ax+3的图象上，则b、c的大小关系是b c（用“＞”或“＜”号填空）17.将抛物线y=3(x﹣4)2+2向右平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度，平移后抛物线的解析式是．18.二次函数y=x2的图象如图，点O为坐标原点，点A在y轴的正半轴上，点B、C在二次函数y=x2的图象上，四边形OBAC为菱形，且∠OBA=120°，则菱形OBAC的面积为．19.如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=ax2+c（a≠0）的图象过正方形ABOC的三个顶点A、B、C，则ac的值是_______．三、解答题：20.已知抛物线y=ax2+bx+3的对称轴是直线x=1．（1）求证：2a+b=0；（2）若关于x的方程ax2+bx﹣8=0的一个根为4，求方程的另一个根．21.已知二次函数y=x2+bx+c的图象经过点（0，2）和（1，﹣1），求图象的顶点坐标和对称轴．22.如图，一次函数y 1＝kx ＋1与二次函数y 2＝ax 2＋bx －2交于A ，B 两点，且A (1，0)，抛物线的对称轴是x ＝－32. (1)求k 和a ，b 的值；(2)求不等式kx ＋1＞ax 2＋bx －2的解集．23.在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋2过B (－2，6)，C (2，2)两点． (1)试求抛物线的解析式；(2)记抛物线顶点为D ，求∠BCD 的面积；(3)若直线y ＝－12x 向上平移b 个单位所得的直线与抛物线BDC (包括端点B ，C )部分有两个交点，求b 的取值范围．24.杂技团进行杂技表演，演员从跷跷板右端A处弹跳到人梯顶端椅子B处，其身体(看成一点)的路线是抛物线的一部分，如图。

北师大版九年级数学下册第二章二次函数单元测试题

北师大版九年级数学下册第二章二次函数单元测试题一、选择题(本大题共8小题，每题4分，共32分；在每题列出的四个选项中，只要一项契合题意)1．以下函数中，y 是关于x 的二次函数的是( )A ．y ＝ax 2＋bx ＋cB ．y ＝x (x －1)C ．y ＝1x 2D ．y ＝(x －1)2－x 2 2．关于二次函数y ＝(x －1)2＋2的图象，以下说法正确的选项是( )A ．启齿向下B ．对称轴是直线x ＝－1C ．顶点坐标是(1，2)D ．与x 轴有两个交点3．二次函数y ＝x 2－6x ＋m 的最小值是－3，那么m 的值等于( )A ．10B ．4C ．5D ．64．如图2－Z －1，二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象与x 轴相交于(－2，0)和(4，0)两点，当函数值y ＞0时，自变量x 的取值范围是( )图2－Z －1A ．x ＜－2B ．－2＜x ＜4C ．x ＞0D ．x ＞45．2＋bx ＋c 中，y 与x 的局部对应值如下：那么一元二次方程ax ＋bx ＋c ＝0的一个根x 满足条件( )A ．1.2＜x ＜1.3B ．1.3＜x ＜1.4C ．1.4＜x ＜1.5D ．1.5＜x ＜1.66．二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象如图2－Z －2所示，那么一次函数y ＝bx ＋a 的图象不经过( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限图2－Z －27．如图2－Z －3是二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象的一局部，图象过点A (－3，0)，对称轴为直线x ＝－1，给出四个结论：①b 2＞4ac ；②2a ＋b ＝0；③a ＋b ＋c >0；④假定点B ⎝⎛⎭⎫－52，y 1，C ⎝⎛⎭⎫－12，y 2为函数图象上的两点，那么y 1＜y 2.其中正确的选项是( ) 图2－Z －3A ．②④B ．①④C ．①③D ．②③8．如图2－Z －4，正三角形ABC 的边长为4，P 为BC 边上的恣意一点(不与点B ，C 重合)，且∠APD ＝60°，PD 交AB 于点D .设BP ＝x ，BD ＝y ，那么y 关于x 的函数图象大致是( )图2－Z －4图2－Z －5二、填空题(本大题共5小题，每题4分，共20分)9．将抛物线y ＝－2x 2先向下平移3个单位长度，再向左平移1个单位长度，失掉的抛物线的函数表达式是______________．10．抛物线y ＝x 2－2x －3，假定点P (3，0)与点Q 关于该抛物线的对称轴对称，那么点Q 的坐标是________．11．A (4，y 1)，B (－4，y 2)是抛物线y ＝(x ＋3)2－2上的两点，那么y 1________y 2.(填〝＞〞〝＜〞或〝＝〞)12．如图2－Z －6是某地一座抛物线形拱桥，桥拱在竖直平面内，与水平桥面相交于A ，B 两点，桥拱最高点C 到AB 的距离为4 m ，AB ＝12 m ，D ，E 为拱桥底部的两点，且DE ∥AB ，点E 到直线AB 的距离为5 m ，那么DE 的长为________m.图2－Z －613．二次函数y ＝x 2－2x －3的图象如图2－Z －7所示，假定线段AB 在x 轴上，且AB 为23个单位长度，以AB 为边作等边三角形ABC ，使点C 落在该函数在y 轴右侧的图象上，那么点C 的坐标为________．图2－Z －7三、解答题(本大题共4小题，共48分)14．(10分)如图2－Z －8，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋2过B (－2，6)，C (2，2)两点．(1)试求抛物线的表达式；(2)记抛物线与y 轴的交点为D ，求△BCD 的面积．图2－Z －815．(12分)〝扬州漆器〞名扬天下，某网店专门销售某种品牌的漆器笔筒，本钱为30元/件，每天的销售量y (件)与销售单价x (元/件)之间存在一次函数关系，如图2－Z －9所示．(1)求y 与x 之间的函数关系式(不用写自变量x 的取值范围)；(2)假设规则每天漆器笔筒的销售量不低于240件，当销售单价为多少元/件时，每天获取的利润最大，最大利润是多少？(3)该网店店主热心公益事业，决议从每天的销售利润中捐出150元给希望工程，为了保证捐款后每天剩余利润不低于3600元，试确定该漆器笔筒销售单价的范围．图2－Z －916．(12分)如图2－Z －10，在直角坐标系中，点A (8，0)，B (0，6)，点P 由点B 动身沿BA 方向向点A 做匀速直线运动，速度为每秒3个单位长度，点Q 由点A 动身沿AO (O 为坐标原点)方向向点O 做匀速直线运动，速度为每秒2个单位长度，衔接PQ .假定设运动时间为t (0＜t ＜103)秒，解答以下效果： (1)当t 为何值时，△APQ 与△ABO 相似？(2)设△AQP 的面积为S ，求S 与t 之间的函数关系式，并求出S 的最大值．图2－Z －1017．(14分)如图2－Z －11，抛物线y ＝x 2＋bx ＋c 与x 轴交于点A ，B ，与y 轴交于点C ，对称轴为直线x ＝2，AB ＝2.(1)求抛物线的函数表达式；(2)设P 为对称轴上一动点，求△APC 的周长的最小值；(3)设D 为抛物线上一点，E 为对称轴上一点，假定以点A ，B ，D ，E 为顶点的四边形是菱形，那么点D 的坐标为________．图2－Z －11详解详析1．[解析] B A ．当a ＝0时，y ＝bx ＋c 不是二次函数；B.y ＝x (x －1)＝x 2－x 是二次函数；C.y ＝1x 2不是二次函数；D.y ＝(x －1)2－x 2＝－2x ＋1为一次函数．应选B. 2．[答案] C3．[解析] D 原二次函数可化为y ＝(x －3)2－9＋m ，∵函数的最小值是－3，∴－9＋m ＝－3，∴m ＝6.应选D.4．[解析] B ∵二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象与x 轴交于(－2，0)和(4，0)两点，函数图象启齿向下，∴函数值y ＞0时，自变量x 的取值范围是－2＜x ＜4，应选B.5．[解析] C 由表可以看出，当x 取1.4与1.5之间的某个数时，y ＝0，即这个数是关于x 的一元一次方程ax 2＋bx ＋c ＝0的一个根．那么一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0的一个根x 的取值范围为1.4＜x ＜1.5.应选C.6．[答案] D7．[解析] B ①由抛物线与x 轴有两个交点，知b 2－4ac ＞0，所以①正确．②由于对称轴为直线x ＝－1，所以－b 2a＝－1，即2a －b ＝0，所以②错误．由于抛物线经过点A (－3，0)，对称轴为直线x ＝－1，所以抛物线与x 轴的另一个交点坐标为(1，0)，于是有a ＋b ＋c＝0，所以③错误．④点B ⎝⎛⎭⎫－52，y 1在对称轴左侧1.5个单位长度处，点C ⎝⎛⎭⎫－12，y 2在对称轴右侧0.5个单位长度处，找出相应的点，显然y 1＜y 2，所以④正确．应选B.8．[解析] C ∵△ABC 是正三角形，∴∠B ＝∠C ＝60°，∵∠BPD ＋∠APD ＝∠C ＋∠CAP ，∠APD ＝60°，∴∠BPD ＝∠CAP ，∴△BPD ∽△CAP ，∴BP ∶AC ＝BD ∶PC .∵正三角形ABC 的边长为4，BP ＝x ，BD ＝y ，∴x ∶4＝y ∶(4－x )，∴y ＝－14x 2＋x .应选C. 9．[答案] y ＝－2(x ＋1)2－310．[答案] (－1，0)11．[答案] ＞[解析] 由y ＝(x ＋3)2－2可知抛物线的对称轴为直线x ＝－3.∵抛物线启齿向上，而点A (4，y 1)到对称轴的距离比点B (－4，y 2)到对称轴的距离远， ∴y 1＞y 2.12．[答案] 18[解析] 如下图，树立平面直角坐标系，x 轴在直线DE 上，y 轴经过最高点C .设AB 与y 轴交于点H ，∵AB ＝12，∴AH ＝BH ＝6，由题可知：OH ＝5，CH ＝4，∴OC ＝5＋4＝9，∴B (6，5)，C (0，9)．设该抛物线的表达式为y ＝ax 2＋k ，∵顶点为C (0，9)，∴y ＝ax 2＋9.把B (6，5)代入，得5＝36a ＋9，解得a ＝－19， ∴抛物线的表达式为y ＝－19x 2＋9.当y ＝0时，0＝－19x 2＋9，解得x ＝±9， ∴E (9，0)，D (－9，0)，∴OE ＝OD ＝9，∴DE ＝OD ＋OE ＝9＋9＝18(m)．故答案为18.13．[答案] (1＋7，3)或(2，－3)[解析] ∵△ABC 是等边三角形，且AB ＝2 3，∴AB 边上的高为3.又∵点C 在二次函数的图象上，∴点C 的纵坐标为±3.将y ＝±3代入y ＝x 2－2x －3，得x ＝1±7或0或2.∵点C 落在该函数在y 轴右侧的图象上，∴x ＞0，∴x ＝1＋7或2，∴点C 的坐标为(1＋7，3)或(2，－3)．14．解：(1)由题意得⎩⎨⎧4a －2b ＋2＝6，4a ＋2b ＋2＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝12，b ＝－1.∴抛物线的表达式为y ＝12x 2－x ＋2. (2)当x ＝0时，y ＝2，故点D 的坐标为(0，2)．衔接BD ，CD ，BC .∵C ，D 两点的纵坐标相反，∴CD ∥x 轴，∴点B 到CD 的距离为6－2＝4.∵CD ＝2－0＝2，∴S △BCD ＝12×2×4＝4. 15．[解析] (1)可用待定系数法来确定y 与x 之间的函数关系式；(2)依据利润＝销售量×单件的利润，然后将(1)中的函数关系式代入其中，求出利润和销售单价之间的关系式，然后依据其性质来判别出最大利润；(3)首先得出w －150与x 之间的函数关系式，进而应用所获利润等于3600元时，求得对应的x 值，依据增减性，求出x 的取值范围．解：(1)由题意得⎩⎨⎧40k ＋b ＝300，55k ＋b ＝150，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－10，b ＝700.故y 与x 之间的函数关系式为y ＝－10x ＋700，(2)由题意，得－10x ＋700≥240，解得x ≤46.设每天获取的利润为w 元，那么w ＝(x －30)·y ＝(x －30)(－10x ＋700)＝－10x 2＋1000x －21000＝－10(x －50)2＋4000.∵－10＜0，∴当x ＜50时，w 随x 的增大而增大，∴当x ＝46时，w 最大＝－10×(46－50)2＋4000＝3840.答：当销售单价为46元/件时，每天获取的利润最大，最大利润是3840元．(3)令w ′＝w －150＝－10x 2＋1000x －21000－150＝3600，－10(x －50)2＝－250，x －50＝±5，x 1＝55，x 2＝45.如下图，由图象妥当45≤x ≤55时，捐款后每天剩余利润不低于3600元．16．解：(1)在Rt △ABO 中，由勾股定理得：AB ＝OA 2＋OB 2＝10.①当P A AB ＝AQ OA时，△APQ ∽△ABO ，即10－3t 10＝2t 8，解得t ＝2011； ②当AP OA ＝AQ AB时，△APQ ∽△AOB ，即10－3t 8＝2t 10，解得t ＝5023. 综上所述，当t ＝2011或t ＝5023时，△APQ 与△ABO 相似． (2)如下图，过点P 作PD ⊥x 轴于点D .∵PD ⊥x 轴，OB ⊥x 轴，∴OB ∥PD ，∴AP AB ＝PD OB ，即10－3t 10＝PD 6， ∴PD ＝6－95t . 由三角形的面积公式可知：S ＝12AQ ·PD ＝12·2t ·(6－95t )＝6t －95t 2， ∴S 与t 之间的函数关系式为S ＝－95t 2＋6t (0＜t ＜103)． ∵S ＝－95t 2＋6t ＝－95(t －53)2＋5， ∴当t ＝53时，S 有最大值，最大值为5. 17．解：(1)∵AB ＝2，对称轴为直线x ＝2，∴点A 的坐标为(1，0)，点B 的坐标为(3，0)．把A ，B 两点的坐标代入y ＝x 2＋bx ＋c 中，得⎩⎨⎧1＋b ＋c ＝0，9＋3b ＋c ＝0，解得⎩⎨⎧b ＝－4，c ＝3， ∴抛物线的函数表达式为y ＝x 2－4x ＋3.(2)衔接AC ，BC ，BC 交对称轴于点P ，衔接P A (如图)．由(1)知抛物线的函数表达式为y ＝x 2－4x ＋3，点A ，B 的坐标区分为(1，0)，(3，0)，∴点C的坐标为(0，3)，∴BC＝32＋32＝3 2，AC＝32＋12＝10.∵点A，B关于对称轴直线x＝2对称，∴P A＝PB，∴P A＋PC＝PB＋PC，此时PB＋PC＝BC，∴当点P在对称轴上运动时，P A＋PC的最小值等于BC，∴△APC的周长的最小值＝AC＋P A＋PC＝BC＋AC＝3 2＋10.(3)(2，－1)。

北师版初中数学九年级下册第二章二次函数单元测试二及答案.doc

单元测试（二）一、选择题1．二次函数y=x 2﹣4x+5 的最小值是（）A ．﹣ 1B ．1C ．3D ．52．二次函数 y=ax 2+bx+c （a 、b 、c 为常数且 a ≠ 0）中的 x 与 y 的部分对应值如下表：x ﹣3 ﹣2 ﹣1 0123 4 5 y1250﹣3 ﹣4 ﹣3512给出了却论：(1)二次函数 y=ax 2+bx+c 有最小值，最小值为﹣ 3；(2)当时， y ＜ 0；(3)二次函数 y=ax 2+bx+c 的图象与 x 轴有两个交点，且它们分别在 y 轴双侧．则其中正确结论的个数是（）A ．3B ．2C ．1D ．03．将二次函数 y=x 2﹣ 2x+3 化为 y=（x ﹣h ）2+k 的形式，结果为（）A ．y=（x+1）2+4B ． y=（x+1） 2+2 C ．y=（ x ﹣ 1） 2+4 D ． y=（x ﹣1）2+24．已知 0≤x ≤，那么函数 y=﹣ 2x 2+8x ﹣6 的最大值是（）A ．﹣ 10.5B ．2C ．﹣ 2.5D ．﹣ 6．如图，二次函数 2+bx+c 的图象过点 B （ 0，﹣ 2）．它与反比率函数 y=﹣的 5 y=x图象交于点 A （m ， 4），则这个二次函数的分析式为（）A ．y=x 2﹣x ﹣2B ．y=x 2﹣x+2C ． y=x 2+x ﹣2D ．y=x 2+x+2 ．在二次函数 2﹣2x ﹣ 3 中，当 0≤x ≤3 时，y 的最大值和最小值分别是（）6 y=xA ．0，﹣ 4B ．0，﹣ 3C ．﹣ 3，﹣ 4D ．0，07．已知 m ，， k 为非负实数，且 2﹣8k+6 的最小n m ﹣k+1=2k+n=1，则代数式 2k 值为（）A ．﹣ 2B ．0C ．2D ．2.58．当﹣ 2≤ x ≤ 1 时，二次函数 y=﹣（ x ﹣m ）2+m 2+1 有最大值 4，则实数 m 的值为（）A ．﹣B ．或C ．2 或D ．2 或或9．定义符号 min{ a ，b} 的含义为：当 a ≥b 时 min{ a ，b} =b ；当 a ＜b 时 min{ a ， b} =a ．如： min{ 1，﹣ 3} =﹣3，min{ ﹣4，﹣ 2} =﹣ 4．则 min{ ﹣ x 2+1，﹣ x} 的最大值是（）A ．B ．C ．1D ．010．如图，二次函数 y=ax 2+bx+c 的图象经过点（ 0，﹣ 2），与 x 轴交点的横坐标分别为 x 1，x 2，且﹣ 1＜ x 1＜0，1＜x 2＜2，以下结论正确的选项是（）A ．a ＜0B ．a ﹣b+c ＜0C ．﹣D ．4ac ﹣b 2＜﹣ 8a11．如图，在平面直角坐标系中，抛物线所表示的函数分析式为y=﹣2（x ﹣ h ）2+k ，则以下结论正确的选项是（）A ．h ＞0，k ＞0B ．h ＜ 0，k ＞0C ． h ＜ 0， k ＜ 0D ．h ＞0，k ＜012．如图，二次函数 y=ax 2+bx+c （ a ≠ 0）的图象的极点在第一象限，且过点（ 0，1）和（﹣ 1，0）．以下结论：① ab ＜0，② b 2＞ 4a ，③ 0＜ a+b+c ＜2，④ 0＜b ＜1，⑤当 x ＞﹣ 1 时， y ＞0，此中正确结论的个数是（）A ．5 个B ．4 个C ．3 个D ．2 个二、填空题13．用一根长为 32cm 的铁丝围成一个矩形，则围成矩形面积的最大值是cm 2．14 ．把二次函数2﹣12x 化为形如 y=a （x ﹣h ）2+k 的形式．y=x15．抛物线 y=x 2+1 的最小值是．16 ．函数 y=（x ﹣1） 2+3 的最小值为．17．已知二次函数 y=x 2+bx+c 经过点（ 3， 0）和（ 4，0），则这个二次函数的解析式是．三、解答题18．已知二次函数 y=x2+mx+n 的图象经过点P（﹣ 3， 1），对称轴是经过（﹣ 1，0）且平行于 y 轴的直线．(1)求 m、 n 的值；(2)如图，一次函数 y=kx+b 的图象经过点 P，与 x 轴订交于点 A，与二次函数的图象订交于另一点B，点 B 在点 P 的右边， PA：PB=1：5，求一次函数的表达式．19．如图，在平面直角坐标系中，正方形OABC的边长为 4，极点 A、C 分别在 x 轴、 y 轴的正半轴，抛物线y=﹣ x2+bx+c 经过 B、C 两点，点 D 为抛物线的极点，连结 AC、BD、CD．(1)求此抛物线的分析式．(2)求此抛物线极点 D 的坐标和四边形ABCD的面积．20．已知抛物线 y=﹣ x2+bx+c 经过点 A（3，0）， B（﹣ 1，0）．(1)求抛物线的分析式；(2)求抛物线的极点坐标．21．如图，抛物线y=x2+bx+c 与 x 轴交于 A（﹣ 1， 0）和 B（3，0）两点，交y 轴于点 E．(1)求此抛物线的分析式．(2)若直线 y=x+1 与抛物线交于 A、D 两点，与 y 轴交于点 F，连结 DE，求△ DEF 的面积．22．如图，抛物线 y=x2+bx+c 过点 A（﹣ 4，﹣3），与 y 轴交于点 B，对称轴是 x=﹣ 3，请解答以下问题：(1)求抛物线的分析式．(2)若和 x 轴平行的直线与抛物线交于C，D 两点，点 C 在对称轴左边，且CD=8，求△ BCD的面积．注：抛物线 y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴是 x=﹣．23．如图，已知二次函数y=x2+bx+c 过点 A（ 1， 0），C（0，﹣ 3）(1)求此二次函数的分析式；(2)在抛物线上存在一点P 使△ ABP的面积为 10，请直接写出点 P 的坐标．参照答案与试题分析．二次函数2﹣4x+5 的最小值是（）1y=xA．﹣ 1 B．1C．3D．5【考点】 H7：二次函数的最值．【专题】选择题【剖析】先利用配方法将二次函数的一般式y=x2﹣4x+5 变形为极点式，再依据二次函数的性质即可求出其最小值．【解答】解：配方得： y=x2﹣4x+5=x2﹣4x+22+1=（ x﹣ 2）2+1，当 x=2 时，二次函数 y=x2﹣4x+5 获得最小值为1．应选 B．【评论】本题考察了二次函数最值的求法，求二次函数的最大（小）值有三种方法，第一种可由图象直接得出，第二种是配方法，第三种是公式法．2．二次函数 y=ax2+bx+c（a、b、c 为常数且 a≠ 0）中的 x 与 y 的部分对应值如下表：x﹣3 ﹣2 ﹣1012345y1250﹣3 ﹣4 ﹣30512给出了却论：(1)二次函数 y=ax2+bx+c 有最小值，最小值为﹣ 3；(2)当时， y＜ 0；(3)二次函数 y=ax2+bx+c 的图象与 x 轴有两个交点，且它们分别在 y 轴双侧．则其中正确结论的个数是（）A．3B．2C．1D．0【考点】 H7：二次函数的最值； HA：抛物线与 x 轴的交点．【专题】选择题【剖析】依据表格数据求出二次函数的对称轴为直线 x=1，而后依据二次函数的性质对各小题剖析判断即可得解．【解答】解；由表格数据可知，二次函数的对称轴为直线x=1，因此，当 x=1 时，二次函数 y=ax2+bx+c 有最小值，最小值为﹣ 4；故（ 1）小题错误；依据表格数据，当﹣ 1＜x＜3 时， y＜0，因此，﹣＜ x＜ 2 时， y＜0 正确，故（ 2）小题正确；二次函数 y=ax2+bx+c 的图象与 x 轴有两个交点，分别为（﹣ 1，0）（ 3，0），它们分别在 y 轴双侧，故（ 3）小题正确；综上所述，结论正确的选项是（2）（ 3）共 2 个．应选 B．【评论】本题考察了二次函数的最值，抛物线与 x 轴的交点，认真剖析表格数据，娴熟掌握二次函数的性质是解题的重点．．将二次函数2﹣ 2x+3 化为 y=（x﹣h）2+k 的形式，结果为（）3y=x．（）2+4B． y=（x+1）2+2C．y=（ x﹣ 1）2+4 D． y=（x﹣1）2+2 A y=x+1【考点】 H9：二次函数的三种形式．【专题】选择题【剖析】依据配方法进行整理即可得解．【解答】解： y=x2﹣ 2x+3，=（x2﹣ 2x+1）+2，=（x﹣1）2 +2．应选 D．【评论】本题考察了二次函数的三种形式的转变，熟记配方法的操作是解题的重点．4．已知 0≤x≤，那么函数 y=﹣ 2x2+8x﹣6 的最大值是（）A．﹣ 10.5 B．2 C．﹣ 2.5 D．﹣ 6【考点】 H7：二次函数的最值．【专题】选择题【剖析】把二次函数的分析式整理成极点式形式，而后确立出最大值．【解答】解：∵ y=﹣2x2+8x﹣6=﹣ 2（ x﹣2）2+2．∴该抛物线的对称轴是x=2，且在 x＜ 2 上 y 随 x 的增大而增大．又∵ 0≤x≤，∴当 x=时， y 取最大值， y 最大 =﹣ 2（﹣ 2）2+2=﹣ 2.5．应选 C．【评论】本题考察了二次函数的最值．确立一个二次函数的最值，第一看自变量的取值范围，当自变量取全体实数时，其最值为抛物线极点坐标的纵坐标；当自变量取某个范围时，要分别求出极点和函数端点处的函数值，比较这些函数值，从而获取最值．5．如图，二次函数y=x2+bx+c 的图象过点 B（ 0，﹣ 2）．它与反比率函数y=﹣的图象交于点 A（m， 4），则这个二次函数的分析式为（）A．y=x2﹣x﹣2 B．y=x2﹣x+2 C． y=x2+x﹣2D．y=x2+x+2【考点】 H8：待定系数法求二次函数分析式；G6：反比率函数图象上点的坐标特点．【专题】选择题【剖析】将 A 坐标代入反比率分析式求出 m 的值，确立出 A 的坐标，将 A 与 B 坐标代入二次函数分析式求出b 与c 的值，即可确立出二次函数分析式．【解答】解：将 A（ m，4）代入反比率分析式得： 4=﹣，即 m=﹣2，∴ A（﹣ 2，4），将 A（﹣ 2，4），B（0，﹣ 2）代入二次函数分析式得：，解得： b=﹣1，c=﹣2，则二次函数分析式为 y=x2﹣x﹣2．应选 A．【评论】本题考察了待定系数法求二次函数分析式，以及反比率函数图象上点的坐标特点，娴熟掌握待定系数法是解本题的重点．．在二次函数2﹣2x﹣ 3 中，当 0≤x≤3 时，y 的最大值和最小值分别是（）6y=xA．0，﹣ 4 B．0，﹣ 3 C．﹣ 3，﹣ 4D．0，0【考点】 H7：二次函数的最值．【专题】选择题【剖析】第一求得抛物线的对称轴，抛物线张口向上，在极点处获得最小值，在距对称轴最远处获得最大值．【解答】解：抛物线的对称轴是x=1，则当 x=1 时， y=1﹣2﹣3=﹣4，是最小值；当 x=3 时， y=9﹣6﹣3=0 是最大值．应选 A．【评论】本题考察了二次函数的图象和性质，正确理解获得最大值和最小值的条件是重点．7．已知 m， n， k 为非负实数，且m﹣k+1=2k+n=1，则代数式 2k2﹣8k+6 的最小值为（）A．﹣ 2 B．0C．2D．2.5【考点】 H7：二次函数的最值．【专题】选择题【剖析】第一求出 k 的取值范围，从而利用二次函数增减性得出k=时，代数式2k2﹣8k+6 的最小值求出即可．【解答】解：∵ m，n， k 为非负实数，且 m﹣ k+1=2k+n=1，∴m，n，k 最小为 0，当 n=0 时， k 最大为：，∴0≤ k，∵2k2﹣ 8k+6=2（k﹣ 2）2﹣2，∴a=2＞0，∴ k≤2 时，代数式 2k2﹣8k+6 的值随 k 的增大而减小，∴k=时，代数式 2k2﹣ 8k+6 的最小值为： 2×（）2﹣8×+6=2.5．应选 D．【评论】本题主要考察了二次函数的最值求法以及二次函数增减性等知识，依据二次函数增减性得出 k=时，代数式 2k2﹣ 8k+6 的最小值是解题重点．8．当﹣ 2≤ x≤ 1 时，二次函数 y=﹣（ x﹣m）2+m2+1 有最大值 4，则实数 m 的值为（）A．﹣B．或C．2 或 D．2 或或【考点】 H7：二次函数的最值．【专题】选择题【剖析】依据对称轴的地点，分三种状况议论求解即可．【解答】解：二次函数的对称轴为直线x=m，①m＜﹣ 2 时， x=﹣2 时二次函数有最大值，此时﹣（﹣ 2﹣m）2+m2 +1=4，解得 m=﹣，与 m＜﹣ 2 矛盾，故 m 值不存在；②当﹣ 2≤m≤ 1 时，x=m 时，二次函数有最大值，此时， m2+1=4，解得 m=﹣， m=（舍去）；③当 m＞ 1 时， x=1 时二次函数有最大值，此时，﹣（ 1﹣m）2+m2 +1=4，解得 m=2，综上所述， m 的值为 2 或﹣．应选 C．【评论】本题考察了二次函数的最值问题，难点在于分状况议论．9．定义符号 min{ a，b} 的含义为：当 a≥b 时 min{ a，b} =b；当 a＜b 时 min{ a，b} =a．如： min{ 1，﹣ 3} =﹣3，min{ ﹣4，﹣ 2} =﹣ 4．则 min{ ﹣ x2+1，﹣ x} 的最大值是（）A． B． C．1D．0【考点】 H7：二次函数的最值； F6：正比率函数的性质．【专题】选择题【剖析】理解 min{ a，b} 的含义就是取两者中的较小值，画出函数图象草图，利用函数图象的性质可得结论．【解答】解：在同一坐标系xOy 中，画出函数二次函数y=﹣x2+1 与正比率函数y=﹣x 的图象，如下图．设它们交于点A、 B．令﹣ x2+1=﹣x，即 x2﹣x﹣1=0，解得： x=或，∴A（，），B（，）．察看图象可知：①当 x≤时，min{ ﹣ x2+1，﹣x} =﹣ x2+1，函数值随 x 的增大而增大，其最大值为；②当＜ x＜时， min{ ﹣ x2+1，﹣ x} =﹣x，函数值随 x 的增大而减小，其最大值为；③当 x≥时， min{ ﹣ x2+1，﹣ x} =﹣x2 +1，函数值随 x 的增大而减小，最大值为．综上所示， min{ ﹣x2 +1，﹣ x} 的最大值是．应选 A．【评论】本题考察了二次函数与正比率函数的图象与性质，充足理解定义 min{ a， b} 和掌握函数的性质是解题的重点．．如图，二次函数2+bx+c 的图象经过点（ 0，﹣ 2），与 x 轴交点的横坐标10y=ax分别为 x1，2，且﹣＜1＜，＜2＜，以下结论正确的选项是（）x 1 x 0 1 x2A．a＜0B．a﹣b+c＜0 C．﹣D．4ac﹣b2＜﹣ 8a【考点】 H4：二次函数图象与系数的关系；HA：抛物线与 x 轴的交点．【专题】选择题【剖析】由张口方向，可确立a＞ 0；由当 x=﹣1 时， y=a﹣b+c＞0，可确立 B 错误；由对称轴在y 轴右边且在直线x=1 左边，可确立x=﹣＜ 1；由二次函数y=ax2+bx+c 的图象经过点（ 0，﹣ 2），对称轴在y 轴右边， a＞ 0，可得最小值：＜﹣ 2，即可确立 D 正确．【解答】解： A、∵张口向上，∴ a＞0，故本选项错误；B、∵当 x=﹣ 1 时， y=a﹣ b+c＞ 0，故本选项错误；C、∵对称轴在 y 轴右边且在直线x=1 左边，∴ x=﹣＜ 1，故本选项错误；D、∵二次函数 y=ax2+bx+c 的图象经过点（ 0，﹣ 2），对称轴在 y 轴右边， a＞0，∴最小值：＜﹣ 2，∴4ac﹣ b2＜﹣ 8a．故本选项正确．应选 D．【评论】本题考察了图象与二次函数系数之间的关系．本题难度适中，注意掌握数形联合思想的应用．11．如图，在平面直角坐标系中，抛物线所表示的函数分析式为y=﹣2（x﹣ h）2+k，则以下结论正确的选项是（）A．h＞0，k＞0 B．h＜ 0，k＞0 C． h＜ 0， k＜ 0 D．h＞0，k＜0【考点】 H4：二次函数图象与系数的关系．【专题】选择题【剖析】依据抛物线所的极点坐标在x 轴的上方即可得出结论．【解答】解：∵抛物线y=﹣2（x﹣h）2+k 的极点坐标为（ h，k），由图可知，抛物线的极点坐标在第一象限，∴h＞ 0， k＞0．应选 A．【评论】本题考察的是二次函数的图象与系数的关系，熟知二次函数的极点式是解答本题的重点．12．如图，二次函数 y=ax2+bx+c（ a≠ 0）的图象的极点在第一象限，且过点（0，1）和（﹣ 1，0）．以下结论：① ab＜0，② b2＞ 4a，③ 0＜ a+b+c＜2，④ 0＜b＜1，⑤当 x＞﹣ 1 时， y＞0，此中正确结论的个数是（）A．5 个 B．4 个 C．3 个 D．2 个【考点】 H4：二次函数图象与系数的关系．【专题】选择题【剖析】由抛物线的对称轴在 y 轴右边，能够判断 a、b 异号，由此确立①正确；由抛物线与 x 轴有两个交点获取 b2﹣4ac＞0，又抛物线过点（ 0， 1），得出 c=1，由此判断②正确；由抛物线过点（﹣ 1， 0），得出 a﹣b+c=0，即 a=b﹣1，由 a＜0 得出 b＜1；由 a ＜ 0，及 ab＜0，得出 b＞ 0，由此判断④正确；由 a﹣b+c=0，及 b＞ 0 得出 a+b+c=2b＞0；由 b＜1，c=1，a＜0，得出 a+b+c＜a+1+1＜ 2，由此判断③正确；由图象可知，当自变量 x 的取值范围在一元二次方程 ax2+bx+c=0的两个根之间时，函数值 y＞0，由此判断⑤错误．【解答】解：∵二次函数 y=ax2+bx+c（a≠0）过点（ 0，1）和（﹣ 1，0），∴c=1， a﹣ b+c=0．①∵抛物线的对称轴在y 轴右边，∴ x=﹣＞ 0，∴ a 与 b 异号，∴ ab＜0，正确；②∵抛物线与 x 轴有两个不一样的交点，∴b2﹣4ac＞0，∵c=1，∴ b2﹣ 4a＞0，b2＞ 4a，正确；④∵抛物线张口向下，∴ a＜ 0，∵ab＜0，∴ b＞ 0．∵a﹣ b+c=0，c=1，∴ a=b﹣1，∵a＜ 0，∴ b﹣1＜0， b＜ 1，∴ 0＜ b＜ 1，正确；③∵ a﹣b+c=0，∴ a+c=b，∴a+b+c=2b＞0．∵b＜ 1， c=1， a＜ 0，∴a+b+c=a+b+1＜a+1+1=a+2＜0+2=2，∴0＜ a+b+c＜2，正确；⑤抛物线 y=ax2+bx+c 与 x 轴的一个交点为（﹣ 1，0），设另一个交点为（ x0， 0），则 x0＞0，由图可知，当 x0＞x＞﹣ 1 时， y＞0，错误；综上所述，正确的结论有①②③④．应选 B．【评论】本题主要考察二次函数图象与系数之间的关系，不等式的性质，难度适中．二次函数 y=ax2+bx+c（ a≠ 0），a 的符号由抛物线张口方向决定； b 的符号由对称轴的地点及 a 的符号决定； c 的符号由抛物线与 y 轴交点的地点决定；抛物线与 x 轴的交点个数，决定了 b2﹣4ac 的符号，别的还要注意二次函数与方程之间的变换．13．用一根长为32cm 的铁丝围成一个矩形，则围成矩形面积的最大值是64 cm2．【考点】 H7：二次函数的最值．【专题】填空题【剖析】设矩形的一边长是 xcm，则邻边的长是（ 16﹣x） cm，则矩形的面积 S 即可表示成 x 的函数，依据函数的性质即可求解．【解答】解：设矩形的一边长是xcm，则邻边的长是（ 16﹣x）cm．则矩形的面积 S=x（ 16﹣x），即 S=﹣x2+16x，当 x=﹣=﹣=8 时， S 有最大值是： 64．故答案是： 64．【评论】本题考察了二次函数的性质，求最值得问题常用的思路是转变为函数问题，利用函数的性质求解．14．把二次函数 y=x2﹣12x 化为形如 y=a（x﹣ h）2+k 的形式y=（x﹣6）2﹣36．【考点】 H9：二次函数的三种形式．【专题】填空题【剖析】因为二次项系数为1，因此直接加前一次项系数的一半的平方来凑完整平方式，把一般式转变为极点式．【解答】解： y=x2﹣ 12x=（ x2﹣12x+36）﹣ 36=（ x﹣ 6）2﹣36，即 y=（x﹣6）2﹣36．故答案为 y=（x﹣6）2﹣36．【评论】本题考察了二次函数分析式的三种形式：(1)一般式： y=ax2+bx+c（a≠0，a、b、c 为常数）；(2)极点式： y=a（x﹣h）2+k；(3)交点式（与 x 轴）： y=a（x﹣x1）（x﹣ x2）．．抛物线2+1 的最小值是 1 ．15y=x【考点】 H7：二次函数的最值．【专题】填空题【剖析】依据二次函数的最值问题解答即可．【解答】解：抛物线 y=x2+1 的最小值是 1．故答案为： 1．【评论】本题考察了二次函数的最值问题，是基础题，娴熟掌握利用极点式分析式求最大（或最小）值是解题的重点．16．函数 y=（x﹣1）2 +3 的最小值为3．【考点】 H7：二次函数的最值．【专题】填空题【剖析】依据极点式获取它的极点坐标是（1，3），再依据其 a＞0，即抛物线的张口向上，则它的最小值是3．【解答】解：依据非负数的性质，（ x﹣1）2≥0，于是当 x=1 时，函数 y=（ x﹣ 1）2+3 的最小值 y 等于 3．故答案为： 3．【评论】本题考察了二次函数的最值的求法．求二次函数的最大（小）值有三种方法，第一种可由图象直接得出，第二种是配方法，第三种是公式法．17．已知二次函数 y=x2+bx+c 经过点（ 3， 0）和（ 4，0），则这个二次函数的分析式是 y=x2﹣7x+12 ．【考点】 H8：待定系数法求二次函数分析式．【专题】填空题【剖析】因为已知了二次函数与 x 轴的两交点坐标，则可设交点式易得其分析式．【解答】解：设二次函数的分析式为 y=a（ x﹣ 3）（x﹣4），而 a=1，因此二次函数的分析式为y=（ x﹣3）（x﹣4）=x2﹣7x+12．故答案为 y=x2﹣7x+12．【评论】本题考察了用待定系数法求二次函数的分析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要依据题目给定的条件，选择适合的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的极点或对称轴时，常设其分析式为极点式来求解；当已知抛物线与x 轴有两个交点时，可选择设其分析式为交点式来求解．18．已知二次函数 y=x2+mx+n 的图象经过点P（﹣ 3， 1），对称轴是经过（﹣ 1，0）且平行于 y 轴的直线．(1)求 m、 n 的值；(2)如图，一次函数 y=kx+b 的图象经过点 P，与 x 轴订交于点 A，与二次函数的图象订交于另一点 B，点 B 在点 P 的右边， PA：PB=1：5，求一次函数的表达式．【考点】 H8：待定系数法求二次函数分析式；FA：待定系数法求一次函数分析式．【专题】解答题【剖析】 (1)利用对称轴公式求得m，把 P（﹣ 3，1）代入二次函数 y=x2+mx+n 得出 n=3m﹣8，从而便可求得n；(2)依据 (1)得出二次函数的分析式，依据已知条件，利用平行线分线段成比率定理求得 B 的纵坐标，代入二次函数的分析式中求得 B 的坐标，而后利用待定系数法便可求得一次函数的表达式．【解答】解： (1)∵对称轴是经过（﹣ 1，0）且平行于 y 轴的直线，∴﹣ =﹣1，∴m=2，∵二次函数 y=x2+mx+n 的图象经过点P（﹣ 3，1），∴9﹣ 3m+n=1，得出 n=3m﹣ 8．∴n=3m﹣8=﹣ 2；(2)∵m=2， n=﹣2，∴二次函数为 y=x2+2x﹣2，作 PC⊥ x 轴于 C，BD⊥x 轴于 D，则 PC∥ BD，∴ =，∵ P（﹣ 3，1），∴ PC=1，∵ PA：PB=1：5，∴ =，∴ BD=6，∴ B 的纵坐标为 6，代入二次函数为 y=x2+2x﹣2 得， 6=x2+2x﹣2，解得 x1=2，x2=﹣4（舍去），∴B（2，6），∴，解得，∴一次函数的表达式为 y=x+4．【评论】本题考察了待定系数法求二次函数的分析式和一次函数的分析式，依据已知条件求得 B 的坐标是解题的重点．19．如图，在平面直角坐标系中，正方形OABC的边长为 4，极点 A、C 分别在 x轴、 y 轴的正半轴，抛物线 y=﹣ x2+bx+c 经过 B、C 两点，点 D 为抛物线的极点，连结 AC、BD、CD．(1)求此抛物线的分析式．(2)求此抛物线极点 D 的坐标和四边形ABCD的面积．【考点】 H8：待定系数法求二次函数分析式； H5：二次函数图象上点的坐标特点．【专题】解答题【剖析】 (1)依据题意确立出 B 与 C 的坐标，代入抛物线分析式求出 b 与 c 的值，即可确立出分析式；(2)把抛物线分析式化为极点形式，找出极点坐标，四边形 ABDC面积 =三角形 ABC 面积 +三角形 BCD面积，求出即可．【解答】解： (1)由已知得： C（0，4）， B（ 4， 4），把 B 与 C 坐标代入 y=﹣ x2+bx+c 得：，解得： b=2， c=4，则分析式为 y=﹣ x2+2x+4；(2)∵y=﹣ x2+2x+4=﹣（ x﹣2）2+6，∴抛物线极点坐标为（ 2，6），则 S 四边形ABDC=S△ABC+S△BCD=× 4× 4+×4×2=8+4=12．【评论】本题考察了待定系数法求二次函数分析式，以及二次函数图象上点的坐标特点，娴熟掌握待定系数法是解本题的重点．20．已知抛物线 y=﹣ x2+bx+c 经过点 A（3，0）， B（﹣ 1，0）．(1)求抛物线的分析式；(2)求抛物线的极点坐标．【考点】 H8：待定系数法求二次函数分析式；H3：二次函数的性质．【专题】解答题【剖析】 (1)依据抛物线 y=﹣x2+bx+c 经过点 A（3，0），B（﹣ 1，0），直接得出抛物线的分析式为； y=﹣（ x﹣3）（x+1），再整理即可，(2)依据抛物线的分析式为y=﹣ x2+2x+3=﹣（ x﹣1）2+4，即可得出答案．【解答】解： (1)∵抛物线 y=﹣ x2+bx+c 经过点 A（ 3，0），B（﹣ 1，0）．∴抛物线的分析式为； y=﹣（ x﹣3）（ x+1），即 y=﹣x2+2x+3，(2)∵抛物线的分析式为y=﹣x2+2x+3=﹣（ x﹣ 1）2+4，∴抛物线的极点坐标为：（1，4）．【评论】本题考察了用待定系数法求函数的分析式，用到的知识点是二次函数的分析式的形式，重点是依据题意选择适合的分析式．21．如图，抛物线y=x2+bx+c 与 x 轴交于 A（﹣ 1， 0）和 B（3，0）两点，交y 轴于点 E．(1)求此抛物线的分析式．(2)若直线 y=x+1 与抛物线交于 A、D 两点，与 y 轴交于点 F，连结 DE，求△ DEF 的面积．【考点】 H8：待定系数法求二次函数分析式；H3：二次函数的性质．【专题】解答题【剖析】 (1)利用待定系数法求二次函数分析式即可；(2)第一求出直线与二次函数的交点坐标从而得出E， F 点坐标，即可得出△ DEF 的面积．【解答】解： (1)∵抛物线 y=x2+bx+c 与 x 轴交于 A（﹣ 1，0）和 B（3，0）两点，∴，解得：，故抛物线分析式为： y=x2﹣ 2x﹣3；(2)依据题意得：，解得：，，∴D（4，5），对于直线 y=x+1，当 x=0 时， y=1，∴ F（0，1），对于 y=x2﹣ 2x﹣3，当 x=0 时， y=﹣3，∴ E（ 0，﹣ 3），∴EF=4，过点 D 作 DM⊥y 轴于点 M ．∴S△DEF=EF?DM=8．【评论】本题主要考察了待定系数法求二次函数分析式以及三角形面积求法等知识，利用数形联合得出 D，E， F 点坐标是解题重点．22．如图，抛物线 y=x2+bx+c 过点 A（﹣ 4，﹣3），与 y 轴交于点 B，对称轴是 x= ﹣ 3，请解答以下问题：(1)求抛物线的分析式．(2)若和 x 轴平行的直线与抛物线交于C，D 两点，点 C 在对称轴左边，且CD=8，求△ BCD的面积．注：抛物线 y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴是 x=﹣．【考点】 H8：待定系数法求二次函数分析式；H3：二次函数的性质．【专题】解答题【剖析】 (1)把点 A（﹣ 4，﹣3）代入 y=x2+bx+c 得 16﹣4b+c=﹣3，依据对称轴是x=﹣ 3，求出 b=6，即可得出答案，(2)依据 CD∥ x 轴，得出点 C 与点 D 对于 x=﹣3 对称，依据点 C 在对称轴左边，且CD=8，求出点 C 的横坐标和纵坐标，再依据点 B 的坐标为（0，5），求出△ BCD 中 CD边上的高，即可求出△ BCD的面积．【解答】解： (1)把点 A（﹣ 4，﹣ 3）代入 y=x2+bx+c 得：16﹣4b+c=﹣3，c﹣4b=﹣19，∵对称轴是 x=﹣ 3，∴﹣ =﹣3，∴b=6，∴c=5，∴抛物线的分析式是y=x2+6x+5；(2)∵CD∥x 轴，∴点 C 与点 D 对于 x=﹣3 对称，∵点 C 在对称轴左边，且CD=8，∴点 C 的横坐标为﹣ 7，∴点 C 的纵坐标为（﹣ 7）2+6×（﹣ 7）+5=12，∵点 B 的坐标为（ 0， 5），∴△ BCD中 CD边上的高为 12﹣5=7，∴△ BCD的面积 =×8×7=28．【评论】本题考察了待定系数法求二次函数的分析式、二次函数的性质，用到的知识点是二次函数的图象和性质，本题难度适中，注意掌握数形联合思想与方程思想的应用．23．如图，已知二次函数y=x2+bx+c 过点 A（ 1， 0），C（0，﹣ 3）(1)求此二次函数的分析式；(2)在抛物线上存在一点P 使△ ABP的面积为 10，请直接写出点 P 的坐标．【考点】 H8：待定系数法求二次函数分析式；H3：二次函数的性质．【专题】解答题【剖析】 (1)利用待定系数法把 A（1，0）， C（ 0，﹣ 3）代入二次函数y=x2+bx+c 中，即可算出 b、 c 的值，从而获取函数分析式是 y=x2+2x﹣3；(2)第一求出 A、B 两点坐标，再算出 AB 的长，再设 P（ m，n），依据△ ABP的面积为 10 能够计算出 n 的值，而后再利用二次函数分析式计算出 m 的值即可获取P点坐标．【解答】解： (1)∵二次函数 y=x2+bx+c 过点 A（1，0）， C（0，﹣ 3），∴，解得，∴二次函数的分析式为y=x2+2x﹣3；(2)∵当 y=0 时， x2+2x﹣ 3=0，解得： x1=﹣3，x2=1；∴A（1，0），B（﹣ 3，0），∴AB=4，设 P（m，n），∵△ ABP的面积为 10，∴AB?| n| =10，解得： n=±5，当 n=5 时， m2+2m﹣3=5，解得： m=﹣4 或 2，∴P（﹣ 4，5）（2，5）；当 n=﹣ 5 时， m2+2m﹣3=﹣5，方程无解，故 P（﹣ 4，5）（2，5）；【评论】本题主要考察了待定系数法求二次函数分析式，以及求点的坐标，重点是掌握凡是函数图象经过的点必能知足分析式．。

北师大新版九年级下学期《第2章+二次函数》2018年单元测试卷+(1)

第2章二次函数单元测试卷一．选择题（共15小题）1．已知y=（m﹣2）x|m|+2是y关于x的二次函数，那么m的值为（）A．﹣2B．2C．±2D．02．在同一直角坐标系中，函数y=mx+m和y=﹣mx2+2x+2（m是常数，且m≠0）的图象可能是（）A．B．C．D．3．抛物线y=﹣x2+bx+c上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如下表所示：从上表可知，下列说法中，错误的是（）A．抛物线于x轴的一个交点坐标为（﹣2，0）B．抛物线与y轴的交点坐标为（0，6）C．抛物线的对称轴是直线x=0D．抛物线在对称轴左侧部分是上升的4．图中有相同对称轴的两条抛物线，下列关系不正确的是（）A．h=m B．k=n C．k＞n D．h＜0，k＞0 5．已知点E（2，1）在二次函数y=x2﹣8x+m（m为常数）的图象上，则点E关于图象对称轴的对称点坐标是（）A．（4，1）B．（5，1）C．（6，1）D．（7，1）6．在平面直角坐标系中，将二次函数y=2x2的图象向上平移2个单位，所得函数图象的解析式为（）A．y=2x2+2B．y=2x2﹣2C．y=2（x﹣2）2D．y=2（x+2）2 7．已知二次函数y=x2﹣2mx（m为常数），当﹣1≤x≤2时，函数值y的最小值为﹣2，则m的值是（）A．B．C．或D．或8．一抛物线和抛物线y=﹣2x2的形状、开口方向完全相同，顶点坐标是（﹣1，3），则该抛物线的解析式为（）A．y=﹣2（x﹣1）2+3B．y=﹣2（x+1）2+3C．y=﹣（2x+1）2+3D．y=﹣（2x﹣1）2+39．将二次函数y=3x2﹣6x+1化成顶点式是（）A．y=3（x﹣3）2﹣26B．y=3（x﹣3）2﹣8C．y=3（x﹣1）2﹣2D．y=3（x﹣1）210．若抛物线y=x2﹣2x+c与y轴的交点为（0，﹣3），则下列说法不正确的是（）A．抛物线开口向上B．抛物线与x轴的交点为（﹣1，0），（3，0）C．当x=1时，y的最大值为﹣4D．抛物线的对称轴是直线x=1 11．观察下列表格，求一元二次方程x2﹣x=1.1的一个近似解是（）A．0.11B．1.6C．1.7D．1.1912．如图，抛物线y=x2+1与双曲线y=的交点A的横坐标是1，则关于x的不等式﹣1＞0的解集是（）A．x＞1B．x＜﹣1C．0＜x＜1D．﹣1＜x＜013．长方形的周长为24cm，其中一边为xcm（其中x＞0），面积为ycm2，则这样的长方形中y与x的关系可以写为（）A．y=x2B．y=12﹣x2C．y=（12﹣x）•x D．y=2（12﹣x）14．已知学校航模组设计制作的火箭的升空高度h（m）与飞行时间t（s）满足函数表达式h=﹣t2+24t+1．则下列说法中正确的是（）A．点火后9s和点火后13s的升空高度相同B．点火后24s火箭落于地面C．点火后10s的升空高度为139mD．火箭升空的最大高度为145m15．点A，B的坐标分别为（﹣2，3）和（1，3），抛物线y=ax2+bx+c（a＜0）的顶点在线段AB上运动时，形状保持不变，且与x轴交于C，D两点（C在D 的左侧），给出下列结论：①c＜3；②当x＜﹣3时，y随x的增大而增大；③若点D的横坐标最大值为5，则点C的横坐标最小值为﹣5；④当四边形ACDB 为平行四边形时，．其中正确的是（）A．②④B．②③C．①③④D．①②④二．填空题（共5小题）16．已知是二次函数，则m=．17．抛物线y=x2+8x﹣4与直线x=﹣4的交点坐标是．18．已知抛物线y=﹣x2﹣2x+3，当﹣2≤x≤2时，对应的函数值y的取值范围为．19．某数学兴趣小组研究二次函数y=mx2﹣2mx+1（m≠0）的图象时发现：无论m如何变化，该图象总经过两个定点（0，1）和（，）．20．如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x=1，与x轴的一个交点坐标为（﹣1，0），其部分图象如图所示，下列结论：①4ac＜b2；②方程ax2+bx+c=0的两个根是x1=﹣1，x2=3；③3a+c＞0；④当y＞0时，x的取值范围是﹣1≤x＜3；⑤当x＜0时，y随x增大而增大；其中结论正确有．21．已知点A（x1，y1），B（x2，y2）在二次函数y=（x﹣1）2+1的图象上，若x1＜x2＜1，则y1y2．（填“＞”“=”或“＜”）三．解答题（共3小题）22．已知抛物线y=﹣x2+bx﹣c的部分图象如图．（1）求b、c的值；（2）分别求出抛物线的对称轴和y的最大值．23．已知二次函数y=x2+bx+c的图象经过点（0，2）和（1，﹣1），求图象的顶点坐标和对称轴．24．某网店销售某款童装，每件售价60元，每星期可卖300件，为了促销，该网店决定降价销售．市场调查反映：每降价1元，每星期可多卖30件．已知该款童装每件成本价40元，设该款童装每件售价x元，每星期的销售量为y 件．（1）求y与x之间的函数关系式；（2）当每件售价定为多少元时，每星期的销售利润最大，最大利润多少元？27．如图1，抛物线y=ax2+bx﹣2与x轴交于点A（﹣1，0），B（4，0）两点，与y轴交于点C，经过点B的直线交y轴于点E（0，2）．（1）求该抛物线的解析式；（2）如图2，过点A作BE的平行线交抛物线于另一点D，点P是抛物线上位于线段AD下方的一个动点，连结PA，EA，ED，PD，求四边形EAPD面积的最大值；（3）如图3，连结AC，将△AOC绕点O逆时针方向旋转，记旋转中的三角形为△A′OC′，在旋转过程中，直线OC′与直线BE交于点Q，若△BOQ为等腰三角形，请直接写出点Q的坐标．28．如图，直线y=x+2与抛物线y=ax2+bx+6（a≠0）相交于A（，）和B（4，m），点P是线段AB上异于A、B的动点，过点P作PC⊥x轴于点D，交抛物线于点C．（1）求抛物线的解析式；（2）是否存在这样的P点，使线段PC的长有最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由；（3）连接AC，直接写出△PAC为直角三角形时点P的坐标．。

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一．选择题1．抛物线y ＝（A ）a ＜0（C ）a ＞02．二次函数（A ）a ＞0
（C ）a ＜03是抛物线
f 的大小
（C ）y ＝41（x －2）2－2 （D ）y ＝4
1
（x －2）2＋2
二．填空题(10个小题，每小题4分，共40分)
6．写出函数y ＝3（x －1）2与y ＝x 2－1所具有的一个共同性质＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿． 7．已知抛物线y ＝kx 2＋2x －5与x 轴两个交点的横坐标之和为6，则它们的积为＿＿＿＿．
8．若（3,0）是抛物线y ＝3
4
9＿＿＿＿＿＿＿＿＿
10．若抛物线y ＝x 2－2a x ＋则a 的值是＿＿＿＿＿＿．
11．欲使抛物线y ＝x 2＋4x ＋12．已知抛物线y ＝5x 2＋mx 2，0），
则因式分解5x 2
＋mx ＋n 13．如图所示，A 、B 、C 根据图中所绘位置可得a ＿＿“＜”连接）
14．使1522
++-x x 15．如图所示，直线y=－2x ＋3物线
y ＝x 2+bx ＋c 过点C AC ∶CB
＝1∶2三．解答题(4题，每题1016．已知n ＞0，关于x 个相等的正实数根．求n
m
17．（1）在同一直角坐标系中画抛物线y ＝x 2－2x －3与双曲线y ＝
x
2
，（2）观察图形，方程组⎪⎩
⎪
⎨⎧=
--=．x y x x y 2
,322的解的近似值为＿＿＿＿＿＿＿．
18．如图所示，E 、F 分别是边长为4的正方形ABCD 的边BC 、CD 上的点，CE ＝1，CF ＝
3
4
，直线FE 交AB 的延长线于G ．过线段FG 上的一个动点H 作HM ⊥AG ，HN ⊥AD ，垂足分别为M 、N ．设HM ＝x ，矩形AMHN 的面积为y ．
⑴ 求y 与x 之间的函数关系；
⑵ 当x 为何值时，矩形AMHN 的面积最大，最
大面积是多少？
M
B
A
四．选做题（此题10分，计入总分，满分为止）
20．已知二次函数y＝ax2－ax＋m的图象交x轴于A（x1,0）、B（x2,0）两点，x1＜x2，交y 轴的负半轴于C点，且AB＝3，tan∠BAC－tan∠ABC＝1．
（1）求此二次函数的解析式；
（2）在第一象限，抛物线上是否存在点P，使S△PAC＝6？若存在，请你求出点P的坐标；不存在，说明理由．
答案：
一．ABABA
试卷二．
可得到E（0,10），F（5,0）
得到直线EF的解析式为y＝－2x＋10，
再与抛物线的解析式联立，可得到P点的坐标P（3,4）。