人教版A版练习：第三章第一节任意角和弧度制及任意角的三角函数 Word版含解析-数学备课大师【全免费】

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2016高三数学复习(人教A版)_第三章_第1讲_任意角和弧度制及任意角的三角函数(含答案)

第1讲任意角和弧度制及任意角的三角函数2016高考导航知识梳理1．角的有关概念（1）从运动的角度看，角可分为正角、负角和零角．（2）从终边位置来看，角可分为象限角与轴线角．（3）若β与α是终边相同的角，则β用α表示为β＝2k π＋α，k Z ∈．2．弧度制（1）定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，正角的弧度数是正数，负角的弧度数是负数，零角的弧度数是零．（2）角度制和弧度制的互化：180°＝π rad ，1°＝π180 rad ，1 rad ＝⎝⎛⎭⎫180π°．（3）扇形的弧长公式：l ＝|α|·r ，扇形的面积公式：S ＝12lr ＝12|α|·r 2．3[1．设角α终边上一点P (－4，3)，则sin α的值为________． 2．若παπ64<<且α与－23π终边相同，则α＝________．要点整合1．辨明四个易误点（1）易混概念：第一象限角、锐角、小于90°的角是概念不同的三类角．第一类是象限角，第二、第三类是区间角．（2）利用180°＝πrad 进行互化时，易出现度量单位的混用．（3）三角函数的定义中，当P (x ，y )是单位圆上的点时有sin α＝y ，cos α＝x ，tan α＝yx ，但若不是单位圆时，如圆的半径为r ，则sin α＝y r ，cos α＝x r ，tan α＝yx.（4）已知三角函数值的符号确定角的终边位置不要遗漏终边在坐标轴上的情况．2．会用两个方法（1）三角函数值在各象限的符号规律概括为：一全正、二正弦、三正切、四余弦．（2）在解简单的三角不等式时，利用单位圆及三角函数线是一个小技巧． [做一做]3．已知角α的余弦线是单位长度的有向线段，那么角α的终边在( ) A ．x 轴上 B ．y 轴上 C ．直线y ＝x 上 D ．直线y ＝－x 上 4．已知cos θ·tan θ＜0，那么角θ是( )A ．第一或第二象限角B ．第二或第三象限角C ．第三或第四象限角D ．第一或第四象限角典例剖析考点一__象限角及终边相同的角______________（1）写出终边在直线y ＝3x 上的角的集合；（2）若角θ的终边与6π7角的终边相同，求在[0，2π)内终边与θ3角的终边相同的角；（3）已知角α为第三象限角，试确定2α的终边所在的象限．[规律方法] 1.表示区间角的三个步骤：（1）先按逆时针方向找到区域的起始和终止边界．（2）按由小到大分别标出起始和终止边界对应的－360°～360°范围内的角α和β，写出最简区间．（3）起始、终止边界对应角α，β再加上360°的整数倍，即得区间角集合． 2．确定kα，αk(k N ∈ *)的终边位置的方法先用终边相同角的形式表示出角α的范围，再写出kα或αk 的范围，然后根据k 的可能取值讨论确定kα或αk 的终边所在位置．1.（1）在－720°～0°范围内找出所有与45°终边相同的角为________．（2）在本例（3）的条件下，判断α2为第几象限角？考点二__扇形的弧长、面积公式______________已知扇形的圆心角是α ，半径为R ，弧长为l .（1）若α＝60°，R ＝10 cm ，求扇形的弧长l ；（2）若扇形的周长为20 cm ，当扇形的圆心角α为多少弧度时，这个扇形的面积最大？ [规律方法] 弧度制下有关弧长、扇形面积问题的解题策略：（1）明确弧度制下弧长公式l ＝|α|r ，扇形的面积公式是S ＝12lr ＝12|α|r 2(其中l 是扇形的弧长，α是扇形的圆心角)．（2）求扇形面积的关键是求得扇形的圆心角、半径、弧长三个量中的任意两个量． [提醒] 运用弧度制下有关弧长、扇形面积公式的前提是角的度量单位为弧度制．2.已知扇形周长为10，面积是4，求扇形的圆心角．解：设圆心角是θ，半径是r .考点三__三角函数的定义(高频考点)__________任意角的三角函数(正弦、余弦、正切)的定义属于理解内容．在高考中以选择题、填空题的形式出现，高考对三角函数定义的考查主要有以下三种命题角度：（1）已知角α终边上一点P 的坐标求三角函数值；（2）已知角α的终边所在的直线方程求三角函数值；（3）判断三角函数值的符号．（1）(2014·高考课标全国卷Ⅰ)若tan α>0，则( )A ．sin α>0B ．cos α>0C ．sin 2α>0D ．cos 2α>0（2）已知角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的非负半轴重合，终边在直线y ＝2x 上，则cos 2θ＝( ) A ．－45 B ．－35 C ．35 D ．45（3）如图所示，在平面直角坐标系xOy 中，角α的终边与单位圆交于点A ，点A 的纵坐标为45，则cos α＝________．[规律方法] 用定义法求三角函数值的两种情况（1）已知角α终边上一点P 的坐标，则可先求出点P 到原点的距离r ，然后用三角函数的定义求解；（2）已知角α的终边所在的直线方程，则可先设出终边上一点的坐标，求出此点到原点的距离，然后用三角函数的定义来求相关问题．3.（1）设角α终边上一点P (－4a ，3a )(a <0)，则sin α的值为________．（2）已知角α的终边经过点P (－3，m )，且sin α＝34m (m ≠0)，判断角α是第几象限角，并求tan α的值．名师讲坛交汇创新——三角函数定义下的创新(2014·高考课标全国卷Ⅰ)如图，圆O 的半径为1，A 是圆上的定点，P 是圆上的动点，角x 的始边为射线OA ，终边为射线OP ，过点P 作直线OA 的垂线，垂足为M .将点M 到直线OP 的距离表示成x 的函数f (x )，则y ＝f (x )在[0，π]的图象大致为( )[名师点评] （1）本题是三角函数与圆的结合，利用三角函数定义首先写出P 、M 坐标，结合图形用x 表示出f (x )，即可判断出结果，此类问题见证了数学中的“以静制动”．（2）近年来高考注重了由“静态数学”向“动态数学”的引导．一般以简单几何图形的平移、滑动、滚动等形式，运用三角知识考查学生分析问题解决问题的能力．(2013·高考江西卷) 如图，已知l 1⊥l 2，圆心在l 1上、半径为1 m 的圆O 在t ＝0时与l 2相切于点A ，圆O 沿l 1以1 m/s 的速度匀速向上移动，圆被直线l 2所截上方圆弧长记为x ，令y ＝cos x ，则y 与时间t (0≤t ≤1，单位：s)的函数y ＝f (t )的图象大致为()知能训练一、选择题1．(2014·大纲全国卷)已知角α的终边经过点(－4,3)，则cos α＝( ) A ．45 B ．35 C ．－35 D ．－452．(2014·新课标全国卷Ⅰ)若tan α＞0，则( )A ．sin α＞0B ．cos α＞0C ．sin2α＞0D ．cos2α＞03．(2014·杭州模拟)已知角α的终边经过点(3a －9，a ＋2)，且cos α≤0，sin α＞0，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－2,3] B ．(－2,3) C ．[－2,3) D ．[－2,3] 4．(2014·石家庄质检)已知点P ⎝⎛⎭⎫32，－12在角θ的终边上，且θ ∈[0,2π)，则θ的值为( )A ．5π6B ．2π3C ．11π6D ．5π35．点P 从(1,0)出发，沿单位圆x 2＋y 2＝1顺时针方向运动2π3弧长到达Q 点，则Q 的坐标为( )A ．⎝⎛⎭⎫－12，32B ．⎝⎛⎭⎫－32，－12C ．⎝⎛⎭⎫－12，－32D ．⎝⎛⎭⎫－32，126．已知点P (sin α－cos α，tan α)在第一象限，则在[0,2π]内α的取值范围是( ) A ．⎝⎛⎭⎫π4，π2 B ．⎝⎛⎭⎫π，54π C ．⎝⎛⎭⎫3π4，54π D ．⎝⎛⎭⎫π4，π2∪⎝⎛⎭⎫π，54π 7．将表的分针拨快10分钟，则分针旋转过程中形成的角的弧度数是( ) A ．π3 B ．π6 C ．－π3 D ．－π68．已知角α的终边经过一点P (x ，x 2＋1)(x >0)，则tan α的最小值为( ) A ．1 B ．2 C ．12D ． 29．已知角α＝2k π－π5(k Z ∈)，若角θ与角α的终边相同，则y ＝sin θ|sin θ|＋cos θ|cos θ|＋tan θ|tan θ|的值为( )A ．1B ．－1C ．3D ．－310．已知角α的终边过点P (－8m ，－6sin 30°)，且cos α＝－45，则m 的值为( )A ．－12B ．12C ．－32D ．3211．已知三角形ABC 是锐角三角形，若角θ终边上一点P 的坐标为(sin A －cos B ，cos A －sin C )，则sin θ|sin θ|＋cos θ|cos θ|＋tan θ|tan θ|的值是( ) A ．－1 B ．1 C ．3 D ．412．(2015·哈尔滨模拟)已知扇形的面积为3π16，半径为1，则该扇形的圆心角的弧度数是( )A ．3π16B ．3π8C ．3π4D ．3π213．已知圆O ：x 2＋y 2＝4与y 轴正半轴的交点为M ，点M 沿圆O 顺时针运动π2弧长到达点N ，以ON 为终边的角记为α，则tan α＝ ( ) A ．－1 B ．1 C ．－2 D ．2二、填空题1．(2014·山东潍坊一模)已知角α的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边上一点的坐标为(3,4)，则cos2α＝__________.2．已知角θ的顶点为坐标原点，始边为x 轴的正半轴．若P (4，y )是角θ终边上一点，且sin θ＝－255，则y ＝__________.3．若角α的终边落在直线y ＝－x 上，则sin α1－sin 2α＋1－cos 2αcos α的值等于________．4．已知角α的顶点在原点，始边与x 轴非负半轴重合，点P (－4m,3m )(m＞0)是α终边上一点，则2sin α＋cos α＝__________.5．(2015·厦门模拟)如图所示，角的终边与单位圆(圆心在原点，半径为1的圆)交于第二象限的点A ⎝⎛⎭⎫cos α，35，则cos α－sin α＝________. 6．如果α为第一象限角，那么①sin2α，②cos2α；③sin α2；④cos α2中必定为正值的是_______7．如图，在平面直角坐标系xOy 中，一单位圆的圆心的初始位置在(0，1)，此时圆上一点P 的位置在(0，0)，圆在x轴上沿正向滚动，当圆滚动到圆心位于(2，1)时，OP →的坐标为________．三、解答题1．已知扇形OAB 的圆心角α为120°，半径长为6，（1）求AB ︵的弧长；（2）求弓形OAB 的面积． 2．已知sin α＜0，tan α＞0.（1）求α角的集合；（2）求α2终边所在的象限；（3）试判断tan α2sin α2 cos α2的符号．3．已知A 、B 是单位圆O 上的动点，且A 、B 分别在第一、二象限．C 是圆O 与x 轴正半轴的交点，△AOB 为正三角形．记∠AOC ＝α.（1）若A 点的坐标为⎝⎛⎭⎫35，45，求sin 2α＋sin2αcos 2α＋cos2α的值；（2）求|BC |2的取值范围．任意角和弧度制及任意角的三角函数参考答案1． 35 2． 163π 3． A 4．C考点一[解] (1)∵在(0，π)内终边在直线y ＝3x 上的角是π3，∴终边在直线y ＝3x 上的角的集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪α＝π3＋k π，k ∈Z . (2)∵θ＝6π7＋2k π(k ∈Z )，∴θ3＝2π7＋2k π3(k ∈Z )．依题意0≤2π7＋2k π3<2π⇒－37≤k <187，k ∈Z .∴k ＝0，1，2，即在[0，2π)内终边与θ3相同的角为2π7，20π21，34π21.(3)由α是第三象限角，得π＋2k π<α<3π2＋2k π(k ∈Z )，∴2π＋4k π<2α<3π＋4k π(k ∈Z )．∴角2α的终边在第一、二象限及y 轴的非负半轴．1. (1)答案：－675°或－315°(2)解：∵π＋2k π<α<3π2＋2k π(k ∈Z )，∴π2＋k π<α2<3π4＋k π(k ∈Z )．当k ＝2n (n ∈Z )时，π2＋2n π<α2<3π4＋2n π，当k ＝2n ＋1(n ∈Z )时，3π2＋2n π<α2<7π4＋2n π，∴α2为第二或第四象限角．考点二[解] (1)α＝60°＝π3，l ＝10×π3＝10π3(cm)．(2)由已知得，l ＋2R ＝20，所以S ＝12lR ＝12(20－2R )R ＝10R －R 2＝－(R －5)2＋25，所以当R ＝5时，S 取得最大值25，此时l ＝10(cm)，α＝2 rad.2.解：设圆心角是θ，半径是r .则⎩⎪⎨⎪⎧2r ＋rθ＝1012θ·r 2＝4⇒⎩⎪⎨⎪⎧r ＝1θ＝8(舍去)或⎩⎪⎨⎪⎧r ＝4，θ＝12.故扇形圆心角为12 rad.考点三__[答案] (1)C (2)B (3)－353. (1)答案：－35(2)解：依题意，点P 到原点O 的距离为 r ＝（－3）2＋m 2＝3＋m 2，∴sin α＝m3＋m 2，又∵sin α＝34m ，m ≠0，∴m 3＋m 2＝34m ，∴m 2＝73，∴m ＝±213. ∴点P 在第二或第三象限．故角α 是第二象限角或第三象限角．当α是第二象限角时，m ＝213，tan α＝213－3＝－73，当α 是第三象限角时，m ＝－213，tan α＝－213－3＝73.名师讲坛[答案] B解析：选B知能训练参考答案DCACC DCBBB ABB 二、填空题1．－725 2．－8 3．0 4．25 5．－75 6．① 7．(2－sin 2，1－cos 2)三、解答题1．解析：(1)∵α＝120°＝2π3，r ＝6，∴AB ︵的弧长为l ＝2π3×6＝4π.(2)∵S 扇形OAB ＝12lr ＝12×4π×6＝12π，S △ABO ＝12r 2·sin π3＝12×62×32＝93，∴S 弓形OAB ＝S 扇形OAB －S △ABO ＝12π－9 3.2．解析：(1)由sin α＜0，知α在第三、四象限或y 轴的负半轴上；由tan α＞0，知α在第一、三象限，故α角在第三象限，其集合为{α|(2k ＋1)π＜α＜2k π＋3π2，k ∈Z }． (2)由(2k ＋1)π＜α＜2k π＋3π2，得k π＋π2＜α2＜k π＋3π4，k ∈Z ，故α2终边在第二、四象限．(3)当α2在第二象限时，tan α2＜0，sin α2＞0，cos α2＜0，所以tan α2sin α2cos α2取正号；当α2在第四象限时，tan α2＜0，sin α2＜0，cos α2＞0，所以tan α2sin α2cos α2也取正号．因此，tan α2sin α2cos α2取正号．3．解析：(1)∵A 点坐标为⎝⎛⎭⎫35，45，∴tan α＝43. ∴sin 2α＋sin2αcos 2α＋cos2α＝sin 2α＋2sin αcos α2cos 2α－sin 2α＝sin 2αcos 2α＋2×sin αcos α2－sin 2αcos 2α ＝tan 2α＋2tan α2－tan 2α＝169＋832－169＝20.(2)设A 点的坐标为(x ，y )，∵△AOB 为正三角形，∴B 点坐标为⎝⎛⎭⎫cos ⎝⎛⎭⎫α＋π3，sin ⎝⎛⎭⎫α＋π3，且C (1,0)． ∴|BC |2＝⎣⎡⎦⎤cos ⎝⎛⎭⎫α＋π3－12＋sin 2⎝⎛⎭⎫α＋π3＝2－2cos ⎝⎛⎭⎫α＋π3. 而A 、B 分别在第一、二象限， ∴α∈⎝⎛⎭⎫π6，π2.∴α＋π3∈⎝⎛⎭⎫π2，5π6. ∴cos ⎝⎛⎭⎫α＋π3∈⎝⎛⎭⎫－32，0.∴|BC |2的取值范围是(2,2＋3)．。

任意角、弧度制及任意角的三角函数

1．角的概念的推广(1)定义：角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形． (2)分类：①按旋转方向不同分为正角、负角、零角；②按终边位置不同分为象限角和轴线角．(3)终边相同的角❶：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋2k π，k ∈Z}． 2．弧度制的定义和公式(1)定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度记作rad. (2)公式：3.任意角的三角函数(1)定义：设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P (x ，y )，那么sin α＝y ，cos α＝x ，tan α＝yx (x ≠0)．（2）.若α的终边上有一点P (x ,y )(与原点O 不重合),则sin α=yr ,cos α=xr ,tan α=yx (x ≠0),其中r=√x 2+y 2.(3)几何表示：三角函数线可以看作是三角函数的几何表示．正弦线的起点都在x 轴上，余弦线的起点都是原点，正切线的起点都是(1,0)．如图中有向线段MP ，OM ，AT 分别叫做角α的正弦线、余弦线和正切线❷.(4)三角函数值在各象限内的符号,1.三角函数值在各象限的符号规律:一全正、二正弦、三正切、四余弦. (1)终边相同的角不一定相等．(2)“锐角”不等同于“第一象限的角”，锐角的集合为{α|0°＜α＜90°}，第一象限的角的集合为{α|k ·360°＜α＜k ·360°＋90°，k ∈Z}，小于90°的角包括锐角、负角、零角．(3)角的集合的表示形式不是唯一的，如⎩⎨⎧⎭⎬⎫α|α＝2k π＋π3，k ∈Z ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫β|β＝2k π＋7π3，k ∈Z .当角α的终边与x 轴重合时，正弦线、正切线都变成一个点，此时角α的正弦值和正切值都为0；当角α的终边与y 轴重合时，余弦线变成一个点，正切线不存在，此时角α的余弦值为0，正切值不存在．1．象限角角α的弧度数公式 |α|＝lr (l 表示弧长)注意：(1)正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零．(2)在一个式子中，采用的度量制度必须一致，不可混用角度与弧度的换算①1°＝π180rad ；②1 rad ＝⎝⎛⎭⎫180π° 弧长公式 l ＝|α|r扇形面积公式S ＝12lr ＝12|α|r 22．轴线角4．四种角的终边关系(1)β，α终边相同⇔β＝α＋2k π，k ∈Z . (2)β，α终边关于x 轴对称⇔β＝－α＋2k π，k ∈Z . (3)β，α终边关于y 轴对称⇔β＝π－α＋2k π，k ∈Z .(4)β，α终边关于原点对称（终边互为反向延长线）⇔β＝π＋α＋2k π，k ∈Z . (5)β，α终边在一条直线上⇔β＝π＋α＋k π，k ∈Z .5．若α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，则tan α＞α＞sin α. 角α的终边上到原点的距离为r 的点P 的坐标可写为：()cos ,sin P r r αα(3)特殊角的三角函数值2.弧度制（1）定义：长度等于半径的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角.（2）计算：如果半径为r 的圆的圆心角α所对弧的长为l ，那么角α弧度数的绝对值是 =l rα 其中，α的正负由角α的终边的旋转方向决定. 注意：弧长公式: =l r α. 扇形面积公式: 21122==S lr r α. （3）换算:360°＝2π 180°＝π 1001745180π≈=.1801=()5730≈.π说明：①1800＝π是所有换算的关键，如ππ====,18018030456644；②1设θ是第三象限角，且⎪⎪⎪⎪cos θ2＝－cos θ2，则θ2是( )A.第一象限角 B.第二象限角 C.第三象限角 D.角α 0° 30° 45° 60°90°120°135°150°180° 270°360° 角α的弧度数π6π4 π3 π22π 3π 5π6π 3π2π sin α 0 12√22√321 √32√22120 -1 0 cos α 1 √32√22120 -12-√22-√32-1 0 1 tan α√331√3 不存在-√3 -1-√33不存在第四2．若角α是第二象限角，则α2是( )A ．第一象限角B ．第二象限角C ．第一或第三象限角D ．第二或第四象限角 3．若α是第二象限的角，则下列结论一定成立的是( )A ．sin α2>0B ．cos α2>0C ．tan α2>0D ．sin α2cos α2<04.已知角α的终边经过点P (－x ，－6)，且cos α＝－513，则1sin α＋1tan α＝________.5.设集合M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ x ＝k 2·180°＋45°，k ∈Z ，N ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ＝k4·180°＋45°，k ∈Z ，那么( ) A.M ＝N B.M ⊆N C.N ⊆M D.M ∩N ＝∅6.若角α的顶点为坐标原点,始边在x 轴的非负半轴上,终边在直线y=-√3x 上,则角α的取值集合是 ( ) A.{α|α=2kπ-π3,k ∈Z} B.{α|α=2kπ+2π3,k ∈Z} C.{α|α=kπ-2π3,k ∈Z}D.{α|α=kπ-π3,k ∈Z}7.已知角α的终边上一点P (－3，m )(m ≠0)，且sin α＝2m4，求cos α，tan α的值． 8．已知α是第二象限角，P (x ，5)为其终边上一点，且cos α＝24x ，则x ＝( ) A.3 B ．±3 C ．－ 2 D ．－39.已知角α的终边过点P (－8m ，－6sin 30°)，且cos α＝－45，则m 的值为( ) A.－12B.12C.－32D.3210.已知点P (tan α，cos α)在第三象限，则角α的终边所在象限是( )A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限D.第四象11.已知角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边在直线y ＝2x 上，则cos 2θ＝( ) A.－45B.－35C.35D.4512．设α为第四象限角，则下列函数值一定是负值的是________．①tan α2 ②sin α2 ③cos α2④cos2α13．(2008年高考全国卷Ⅱ改编)若sin α<0且tan α>0，则α是第_______象限的角．14．函数y ＝|sin x |sin x ＋cos x |cos x |＋|tan x |tan x的值域为________．15．(原创题)若一个α角的终边上有一点P (－4，a )，且sin α·cos α＝34，则a 的值为________．16．已知角α的终边上的一点P 的坐标为(－3，y )(y ≠0)，且sin α＝24y ，求cos α，tan α的值．17．已知角α的终边过点P (a ，|a |)，且a ≠0，则sin α的值为________．18．已知扇形的周长为6 cm ，面积是2 cm 2，则扇形的圆心角的弧度数是_____． 19．如果一扇形的圆心角为120°，半径等于 10 cm ，则扇形的面积为________．4．若角θ的终边与168°角的终边相同，则在0°～360°内终边与θ3角的终边相同的角的集合为__________．答20．设角α的终边经过点P (－6a ，－8a )(a ≠0)，则sin α－cos α的值是________．1．同角三角函数的基本关系 (1)平方关系：sin 2α＋cos 2α＝1❶；(2)商数关系：tan α＝sin αcos α❷.2．三角函数的诱导公式断三角函数值的符号．作用：切化弦，弦切互化．同角三角函数的基本关系式的几种变形(1)sin 2α＝1－cos 2α＝(1＋cos α)(1－cos α)； cos 2α＝1－sin 2α＝(1＋sin α)(1－sin α)；(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α.(2)sin α＝tan αcos α⎝⎛⎭⎫α≠π2＋k π，k ∈Z . (3)sin 2α＝sin 2αsin 2α＋cos 2α＝tan 2αtan 2α＋1；cos 2α＝cos 2αsin 2α＋cos 2α＝1tan 2α＋1.（4）(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α；(sin α＋cos α)2＋(sin α－cos α)2＝2；(sin α＋cos α)2－(sin α－cos α)2＝4sin αcos α.考法(一)是公式的直接应用，即已知sin α，cos α，tan α中的一个求另外两个的值．解决此类问题时，直接套用公式sin 2α＋cos 2α＝1及tan α＝sin αcos α即可，但要注意α的范围，即三角函数值的符号．1.已知cos α＝k ，k ∈R ，α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，则sin α＝( )A ．－1－k 2 B.1－k 2 C ．±1－k 2 D.1＋k 22.sin 21°＋sin 22°＋…＋sin 289°＝________. 3．若角α的终边落在第三象限，则cos α1－sin 2α＋2sin α1－cos 2α的值为( )A ．3 B ．－3 C ．1D ．－14.已知sin α＋cos α＝－15，且π2＜α＜π，则1sin (π－α)＋1cos (π－α)的值为________．5.若sin α＝－513，且α为第四象限角，则tan α＝( )A.125 B.－125 C.512 D.－5126.已知α为锐角，且sin α＝45，则cos (π＋α)＝( )A.－35 B.35 C.－45 D .457．已知△ABC 中，sin A ＋cos A ＝－713，则tan A ＝________.8.已知tan α＝12，且α∈⎝⎛⎭⎫π，3π2，则cos ⎝⎛⎭⎫α－π2＝( )A ．－55 B.55 C.255 D ．－255 考法(二)的分式中分子与分母是关于sin α，cos α的齐次式，往往转化为关于tan α的式子求解.1．已知tan α＝2，求sin α－4cos α5sin α＋2cos α的值．3.已知tan αtan α－1＝－1，求下列各式的值：(1)sin α－3cos αsin α＋cos α； (2)sin 2α＋sin αcos α＋2.4．若3sin α＋cos α＝0，则1cos 2α＋2sin αcos α的值为______．5．已知sin α＋3cos α3cos α－sin α＝5，则cos 2α＋12sin 2α的值是_____．6已知tan α＝－43，求2sin 2α＋sin αcos α－3cos 2α的值． 7.已知tan α＝3，则1＋2sin αcos αsin 2α－cos 2α的值是( )A.12 B.2 C.－12 D.－2 8.已知θ为直线y ＝3x －5的倾斜角，若A (cos θ，sin θ)，B (2cos θ＋sin θ，5cos θ－sin θ)，则直线AB 的斜率为( )A ．3B ．－4 C.13 D ．－14考法(三)是考查sin α±cos α与sin αcos α的关系．对于sin α＋cos α，sin α－cos α，sin αcos α这三个式子，利用(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α，可以知一求二1.已知x ∈(－π，0)，sin x ＋cos x ＝15.(1)求sin x －cos x 的值； (2)求sin 2x ＋2sin 2x 1－tan x 的值．2.已知sin 2α＝34，π4＜α＜π2，则sin α－cos α的值是( )A.12 B ．－12 C.14D ．－143.已知sin α－cos α＝43，则sin 2α＝( ) A.－79 B.－29C.29D.794.已知sin αcos α＝18，且5π4<α<3π2，则cos α－sin α＝( )A.－32 B.32 C.－34 D .345．已知角A 为△ABC 的内角，且sin A ＋cos A ＝15，则tan A 的值为__________． 6.(2018自贡一模)求值:√1-2sin10°cos10°√2=.7.．若θ∈⎝⎛⎭⎫π4，π2，sin 2θ＝116，则cos θ－sin θ的值是________． 8.已知sin θ＋cos θ＝43，θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4，则sin θ－cos θ的值为________.1．(2018·大连二模)已知sin ⎝⎛⎭⎫π3－α＝13，则cos ⎝⎛⎭⎫5π6－α＝( )A.13 B ．－13 C.222 D ．－23 2.已知θ是第四象限角，且sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝35，则tan ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝( )A.34 B ．－43 C ．－34 D.433.已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－θ＝a ，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6＋θ＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－θ的值是________. 4.已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3＝1213，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝( )A.513 B.1213 C.－513D.－12135.已知sin (π3-α)=12,则cos (π6+α)= .6..(2016·全国Ⅰ卷)已知θ是第四象限角，且sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝35，则tan ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π4＝________.1．两角和与差的正弦、余弦和正切公式(1)sin(α±β)＝sin αcos β±cos αsin β(异名相乘、加减一致)；(2)cos(α∓β)＝cos αcos β±sin αsin β(同名相乘、加减相反)；(3)tan(α±β)＝tan α±tan β1∓tan αtan β(两式相除、上同下异)．(1)二倍角公式就是两角和的正弦、余弦、正切中α＝β的特殊情况． (2)二倍角是相对的，如：α2是α4的2倍，3α是3α2的2倍.2.二倍角的正弦、余弦、正切公式(1)sin 2α＝2sin αcos α； (2)cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α；(3)tan 2α＝2tan α1－tan 2α.1．公式的常用变式：tan α±tan β＝tan(α±β)(1∓tan αtan β)；tan α·tan β＝1－tan α＋tan βtan (α＋β)＝tan α－tan βtan (α－β)－1.2．降幂公式：sin 2α＝1－cos 2α2；cos 2α＝1＋cos 2α2；sin αcos α＝12sin 2α. 3．升幂公式：1＋cos α＝2cos 2α2；1－cos α＝2sin 2α2；1＋sin α＝⎝⎛⎭⎫sin α2＋cos α22；1－sin α＝⎝⎛⎭⎫sin α2－cos α22. 4．常用拆角、拼角技巧：例如，2α＝(α＋β)＋(α－β)；α＝(α＋β)－β＝(α－β)＋β；β＝α＋β2－α－β2＝(α＋2β)－(α＋β)；α－β＝(α－γ)＋(γ－β)；15°＝45°－30°；π4＋α＝π2－⎝⎛⎭⎫π4－α等． (1)sin(A+B )=sin C ;(2)cos(A+B )=-cos C ; (3)sin A+B 2=cos C 2;(4)cosA+B 2=sin C2; (5)tan(A+B )=-tan C ;(6)∵tan(A+B )=tan(π-C ),∴tanA+tanB1-tanAtanB=-tan C ,去分母,移项,整理可得tan A+tan B+tan C=tan A tan B tan C.2.找出下列复角的一个关系式,并写出它们的一个三角函数关系式.提示:(1)π4+α+π4-α=π2,sin (π4+α)=cos (π4-α);(2)(2π3+α)-(π6+α)=π2,sin (2π3+α)=cos (π6+α);(3) (π4+α)+(3π4-β)=π+(α-β),sin(α-β)=-sin [(3π4-β)+(π4+α)]; (4) (4)(3π4-β)-(π4+α)=π2-(α+β),sin(α+β)=cos [(3π4-β)-(π4+α)].5．辅助角公式：一般地，函数f (α)＝a sin α＋b cos α(a ，b 为常数)可以化为f (α)＝a 2＋b 2sin(α＋φ)⎝⎛⎭⎫其中tan φ＝ba 或f (α)＝a 2＋b 2cos(α－φ)⎝⎛⎭⎫其中tan φ＝ab . 1．cos 18°cos 42°－cos 72°sin 42°＝( )A ．－32B.32 C ．－12 D.122.cos(α＋β)cos β＋sin(α＋β)sin β＝( )A.sin(α＋2β) B.sin α C.cos(α＋2β)D.cos α3..3cos 15°－4sin 215°cos 15°＝________.4.1+tan 18°)(1+tan 27°)的值是( ) A.√2 B.√3 C.2D.√55．已知cos x ＝34，则cos 2x ＝________6．若tan α＝13，tan(α＋β)＝12，则tan β＝________.7．已知sin α＝35，α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，tan(π－β)＝12，则tan(α－β)的值为( )A ．－211 B.211 C.112D ．－1128．设sin 2α＝－sin α，α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，则tan 2α的值是________． 9.在△ABC 中，若tan A tan B ＝tan A ＋tan B ＋1，则cos C ＝________. 10.sin 10°1－3tan 10°＝________.(3)化简sin 235°－12cos 10°cos 80°＝________.11.已知sin 2α＝23，则cos 2⎝⎛⎭⎫α＋π4＝( )A.16B ．－16 C.12 D.2312.已知cos ⎝⎛⎭⎫x －π6＝13，则cos x ＋cos ⎝⎛⎭⎫x －π3＝( )A.32 B.3 C.12 D.3313.(2019·南昌模拟)设α为锐角，若cos ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝－13，则sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π12的值为( )A.725 B.72－818C ．－17250 D.25 14．已知tan θ＋1tan θ＝4，则cos 2⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝( )A.12 B.13 C.14 D.1515．(2018·全国卷Ⅲ)若sin α＝13，则cos 2α＝( )A.89 B.79 C ．－79 D ．－8916．下列式子的运算结果为3的是( )①tan 25°＋tan 35°＋3tan 25°tan 35°；②2(sin 35°cos 25°＋cos 35°cos 65°)；③1＋tan 15°1－tan 15°；④tanπ61－tan2π6.A ．①②④ B ．③④C ．①②③ D ．②③④17.若cos α=13,α∈(0,π),则cos α2的值为( )A.√63B.-√63C.±√63D.√3318已知α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，cos ⎝⎛⎭⎫α＋π3＝－23，则cos α＝( )A.5＋23 B.15－26 C.5－23 D.15＋2619.(2016课标Ⅱ,9,5分)若cos (π4-α)=35,则sin 2α=( )A.725B.15C.-15D.-72520.(2015课标Ⅰ,2,5分)sin 20°cos 10°-cos 160°·sin 10°=( ) A.-√32 B.√32 C.-12 D.12 考法(一) 给角求值 1.cos 10°－3cos (－100°)1－sin 10°＝________ 2.sin 50°＋sin 10°(1＋3tan 10°)]·2sin 280°＝________.3.2sin 235°－1cos 10°－3sin 10°的值为( )A ．1 B ．－1C.12 D ．－124.cos 165°的值是( ). A.√6-√22B.√6+√22C.√6-√24D.-√6-√245.sin47°-sin17°cos30°cos17°= .6.(2018年全国Ⅱ卷)已知sin α+cos β=1,cos α+sin β=0,则sin(α+β)= .考法(二) 给值求值1.已知cos ⎝⎛⎭⎫π4＋x ＝35，若17π12＜x ＜7π4，则sin 2x ＋2sin 2x 1－tan x 的值为________． 2.若tan α=2,tan(β-α)=3,则tan(β-2α)=( ).A.-1B.-15C.57D.173.已知0<α<π2<β<π,cos (β-π4)=13,sin(α+β)=45,求cos (α+π4)的值.4.已知sin (α+π3)=35,α∈(-π2,π6),求sin α的值. 5.在△ABC 中,若sin A=35,cos B=513,则cos C= .考法(三) 给值求角 1. 若sin 2α＝55，sin(β－α)＝1010，且α∈⎣⎡⎦⎤π4，π，β∈⎣⎡⎦⎤π，3π2，则α＋β的值是________． 2.已知cos α＝17，cos(α－β)＝1314，若0<β<α<π2，则β＝________. 3.已知α，β为锐角，cos α＝17，且sin(α＋β)＝5314，则角β＝________. 4.设cos α＝－55，tan β＝13，π<α<3π2，0<β<π2，则α－β＝________.5.已知0<α<π2<β<π,cos (β-π4)=13,sin(α+β)=45,求cos (α+π4)的值.(2)已知sin (α+π3)=35,α∈(-π2,π6),求sin α的值.6.已知α∈(π2,π),且sin α2+cos α2=√62.(1)求cos α的值;(2)若sin(α-β)=-35,β∈(π2,π),求cos β的值.辅助角公式 (1)sin x±cos x ;(2)sin x±√3cos x ;(3)√3sin x±cos x.2.(2013年全国Ⅰ卷)设当x=θ时,函数f (x )=sin x -2cos x 取得最大值,则cos θ= .3.(2014年全国Ⅱ卷)函数f (x )=sin(x+2φ)-2sin φcos(x+φ)的最大值为 .1.tan α±tan β＝tan(α±β)(1∓tan αtan β).2.cos 2α＝1＋cos 2α2，sin 2α＝1－cos 2α2. 3.1＋sin 2α＝(sin α＋cos α)2，1－sin 2α＝(sin α－cos α)2，4.sin α±cos α＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α±π4.3.tan 20°＋tan 40°＋3tan 20°·tan 40°＝________.考点一三角函数式的化简【例1】 (1)化简：sin(α＋β)cos(γ－β)－cos(β＋α)sin(β－γ)＝________. (2)化简：（1＋sin α＋cos α）·⎝ ⎛⎭⎪⎫cos α2－sin α22＋2cos α(0<α<π)＝________.(1)cos(α＋β)cos β＋sin(α＋β)sin β＝( )A.sin(α＋2β) B.sin α C.cos(α＋2β) D.cos α 角度1 给角(值)求值(1)计算：cos 10°－3cos （－100°）1－sin 10°＝________.(2)(2018·江苏卷)已知α，β为锐角，tan α＝43，cos(α＋β)＝－55. ①求cos 2α的值；②求tan(α－β)的值.角度2 给值求角(1)(2019·河南六市联考)已知cos α＝17，cos(α－β)＝1314，若0<β<α<π2，则β＝___. (2)已知α，β∈(0，π)，且tan(α－β)＝12，tan β＝－17，则2α－β的值为________. 考点三三角恒等变换的简单应用【例3】 (2019·郑州模拟)设函数f (x )＝sin 2ωx －cos 2ωx ＋23sin ωx cos ωx ＋λ的图象关于直线x ＝π对称，其中ω，λ为常数，且ω∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1.(1)求函数f (x )的最小正周期；(2)若y ＝f (x )的图象经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，0，求函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，3π5上的最值. (2016·全国Ⅲ卷)若tan θ＝－13，则cos 2θ＝( )A.－45 B.－15 C.15 D.45 1..sin 10°1－3tan 10°＝( )A.14 B.12C.32 D .12..(2017·江苏卷)若tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝16，则tan α＝________.3.(2017·全国Ⅰ卷)已知α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，tan α＝2，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝________.4.．已知sin α＝35，α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，tan(π－β)＝12，则tan(α－β)的值为( )A ．－211 B.211 C.112 D ．－1125.．设sin 2α＝－sin α，α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，则tan 2α的值是________．3．下列式子的运算结果为3的是( ) ①tan 25°＋tan 35°＋3tan 25°tan 35°；②2(sin 35°cos 25°＋cos 35°cos 65°)； ③1＋tan 15°1－tan 15°；④tan π61－tan2π6.A ．①②④B ．③④C ．①②③D ．②③④6.(2016·高考全国卷Ⅱ)若cos(π4－α)＝35，则sin 2α＝( )1、已知θ是第三象限角，且4459sincos θθ+=，那么2sin θ等于（） A 、3B 、3-C 、23D 、23- 2、函数222y sin x x =-+的最小正周期 A 、2π B 、π C 、3π D 、4π 3、tan 70cos10(3tan 201)-等于（）A 、1B 、2C 、－1D 、－2 4、设10,sin cos 2απαα<<+=，则cos2α＝＿＿＿＿＿。

第一节任意角、弧度制及任意角的三角函数

第一节任意角、弧度制及任意角的三角函数高考概览：1.了解任意角的概念；2.了解弧度制的概念，能进行弧度与角度的互化；3.理解任意角的三角函数(正弦、余弦、正切)的定义．[知识梳理]1．角的概念的推广(1)定义：角可以看成平面内的一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形．(3)终边相同的角：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}．2．弧度制的定义和公式(1)定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度记作rad.(2)公式3.任意角的三角函数[辨识巧记]1．区分两个概念(1)第一象限角未必是锐角，但锐角一定是第一象限角．(2)不相等的角未必终边不相同，终边相同的角也未必相等．2．两个关注点(1)利用扇形的弧长和面积公式解题时，要注意角的单位必须是弧度．(2)在同一个问题中采用的度量制度必须一致，不能混用．[双基自测]1．判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)小于90°的角是锐角．()(2)锐角是第一象限角，反之亦然．()(3)将表的分针拨快5分钟，则分针转过的角度是30°.()(4)相等的角终边一定相同，终边相同的角也一定相等．()[答案](1)×(2)×(3)×(4)×2．(必修4P10A组T10改编)单位圆中，200°的圆心角所对的弧长为( )A ．10πB ．9π C.910π D.109π[解析] ∵200°＝10π9，∴单位圆中，200°的圆心角所对的弧长为l ＝10π9×1＝10π9.故选D.[答案] D3．(必修4P 15练习T 6改编)若角θ满足tan θ>0，sin θ<0，则角θ所在的象限是( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限[解析] 由正切和正弦的象限符号可知，在第三象限．故选C.[答案] C4．已知角α的终边与单位圆交于点⎝ ⎛⎭⎪⎫－45，35，则tan α＝( ) A ．－43 B ．－45 C ．－35 D ．－34[解析] 根据三角函数的定义，tan α＝y x ＝35－45＝－34，故选D. [答案] D5．在(0,2π)内，使sin x >cos x 成立的x 的取值范围为________．[解析] 如图所示，找出在(0,2π)内，使sin x ＝cos x 的x 值，sin π4＝cos π4＝22，sin 5π4＝cos 5π4＝－22.根据三角函数线的变化规律标出满足题中条件的角x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，5π4.[答案] ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，5π4考点一角的概念及集合表示【例1】 (1)若α是第三象限角，且cos α2>0，则α2是第________象限角． (2)终边在直线y ＝3x 上的角的集合是________．[解析] (1)解法一：∵α是第三象限角，∴2k π＋π<α<2k π＋3π2(k∈Z )，则k π＋π2<α2<k π＋3π4(k ∈Z )．当k ＝2n (n ∈N )时，2n π＋π2<α2<2n π＋3π4，不满足cos α2>0，舍去．当k ＝2n ＋1(n ∈N )时，2n π＋π＋π2<α2<2n π＋π＋3π4，满足cos α2>0，∴α2是第四象限角．解法二：利用等分象限角的方法，可以判断α2是第二或四象限角，又因为cos α2>0，所以α2是第四象限角．(2)在(0，π)内终边在直线y ＝3x 上的角是π3，∴终边在直线y ＝3x 上的角的集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪⎪α＝π3＋k π，k ∈Z . [答案] (1)四 (2)⎩⎨⎧⎭⎬⎫α|α＝π3＋k π，k ∈Z(1)确定kα，αk (k ∈N *)的终边位置3步骤①用终边相同角的形式表示出角α的范围；②再写出kα或αk 的范围；③然后根据k 的可能取值讨论确定kα或αk 的终边所在位置．(2)终边在某直线上角的求法3步骤①数形结合，在平面直角坐标系中画出该直线；②按逆时针方向写出[0，π)内的角β；③{α|α＝k π＋β，k ∈Z }．[对点训练]1．给出下列四个命题：①－3π4是第二象限角；②4π3是第三象限角；③－400°是第四象限角；④－350°是第一象限角．其中正确的命题有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个[解析] －3π4是第三象限角；4π3是第三象限角；－400°＝－40°－360°，所以－400°是第一象限角；－350°＝10°－360°，所以350°是第一象限角．故②④正确，故选B.[答案] B2．设集合M ＝⎩⎨⎧ x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x ＝k 2×180°＋45°，k ∈Z ， N ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ＝k 4×180°＋45°，k ∈Z ，则两集合的关系是( ) A ．N ⊆M B ．M ＝N C ．M ND ．M ∩N ＝∅ [解析] 因为M ＝{x |x ＝(2k ＋1)·45°，k ∈Z }表示的是终边落在四个象限的平分线上的角的集合；而集合N ＝{x |x ＝(k ＋1)·45°，k ∈Z }表示终边落在坐标轴或四个象限平分线上的角的集合，所以：M N .故选C.[答案] C考点二扇形的弧长和面积公式【例2】已知一扇形的圆心角为α(α>0)，所在圆的半径为R .(1)若α＝60°，R ＝10 cm ，求扇形的弧长．(2)若扇形的周长是一定值C (C >0)，当α为多少弧度时，该扇形有最大面积？[思路引导] (1)化α为弧度制→代入弧长公式求解(2)利用扇形周长为C 确定α和R 的关系→用α表示扇形的面积S →借助函数知识求解[解] (1)设弧长为l ，则α＝60°＝π3，R ＝10，l ＝π3×10＝10π3(cm)．(2)解法一：扇形周长C ＝2R ＋l ＝2R ＋αR ，∴R ＝C2＋α， ∴S 扇＝12α·R 2＝12α·⎝ ⎛⎭⎪⎫C 2＋α2 ＝C 22α·14＋4α＋α2＝C 22·14＋α＋4α≤C 216.当且仅当α2＝4，即α＝2时，扇形面积有最大值C 216.解法二：扇形周长C ＝2R ＋l ，面积S ＝12lR ＝12R (C －2R )＝－R 2＋12CR ＝－⎝⎛⎭⎪⎫R －C 42＋C 216⎝ ⎛⎭⎪⎫0<R <C 2，当且仅当R ＝C 4，即C ＝4R 时，扇形的面积S 最大，此时C ＝4R ＝2R ＋l ，l ＝2R ，由l ＝2R 得α＝2，即α＝2时，扇形面积有最大值C 216.涉及弧长和扇形面积的计算时，可用的公式有角度表示和弧度表示两种，其中弧度表示的公式结构简单，易记好用，在使用前，应将圆心角用弧度表示．弧长和扇形面积公式：l ＝|α|R ，S ＝12|α|R 2＝12lR .在公式的选择上以简单，计算量小为原则，如本例(2)中解法二比解法一计算量小．[对点训练]已知扇形的面积为2，扇形圆心角的弧度数是4，则扇形的周长为( )A ．2B ．4C ．6D ．8[解析] 由S ＝12×4×R 2＝2，得R ＝1，所以弧长l＝4×1＝4，故扇形的周长C＝2R＋l＝2＋4＝6.故选C.[答案] C考点三三角函数的定义任意角的三角函数的定义属于理解内容，单独考查时不多，多结合其他知识一起考查，以选择、填空题形式出现．常见的命题角度有：(1)求三角函数值；(2)判断三角函数值的符号；(3)利用三角函数线解不等式．角度1：求三角函数值【例3－1】已知角α的终边上一点P(－3，m)(m≠0)，且sinα＝2m4，求cosα，tanα的值．[解]设P(x，y)．由题设知x＝－3，y＝m，所以r2＝|OP|2＝(－3)2＋m2(O为原点)，r＝3＋m2，所以sinα＝mr＝2m4＝m22，所以r＝3＋m2＝22，3＋m2＝8，解得m＝±5. 当m＝5时，r＝22，x＝－3，y＝5，所以cosα＝－322＝－64，tanα＝－153；当m ＝－5时，r ＝22，x ＝－3，y ＝－5，所以cos α＝－322＝－64，tan α＝153. 角度2：判断三角函数值的符号【例3－2】若sin α·tan α<0，且cos αtan α<0，则角α是( )A ．第一象限角B ．第二象限角C ．第三象限角D ．第四象限角[解析] 由sin α·tan α<0可知sin α，tan α异号，从而α为第二或第三象限的角，由cos αtan α<0，可知cos α，tan α异号．从而α为第三或第四象限角．综上，α为第三象限角．故选C.[答案] C角度3：利用三角函数线解不等式【例3－3】函数y ＝lg(3－4sin 2x )的定义域为________． [思路引导] 真数大于0→解三角不等式→ 单位圆中正弦线→看图得结果[解析] ∵3－4sin 2x >0，∴sin 2x <34， ∴－32<sin x <32.利用三角函数线画出x 满足条件的终边范围(如图阴影部分所示)．∴x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫k π－π3，k π＋π3(k ∈Z )．[答案] ⎝ ⎛⎭⎪⎫k π－π3，k π＋π3(k ∈Z )(1)定义法求三角函数的3种情况①已知角α终边上一点P 的坐标，则可先求出点P 到原点的距离r ，然后用三角函数的定义求解．②已知角α的某三角函数值，可求角α终边上一点P 的坐标中的参数值，可根据定义中的两个量列方程求参数值．③已知角α的终边所在的直线方程或角α的大小，根据三角函数的定义可求角α终边上某特定点的坐标．(2)三角函数符号在理解的基础上可借助口诀：一全正，二正弦，三正切，四余弦．(3)在解简单的三角不等式时，利用单位圆及三角函数线是一个小技巧．[对点训练]1．已知角α的终边经过点(－4,3)，则cos α＝( ) A.45 B.35 C ．－35 D ．－45[解析] 根据题，cos α＝－4(－4)2＋32＝－45.故选D. [答案] D2．已知角α的终边经过点(3a －9，a ＋2)，且sin α>0，cos α<0，则a 的取值范围是________．[解析] 因为sin α>0，cos α<0，所以α是第二象限角．所以点(3a －9，a ＋2)在第二象限，所以⎩⎪⎨⎪⎧3a －9<0，a ＋2>0，解得－2<a <3.[答案] (－2,3)3．函数y ＝2cos x －1的定义域为________． [解析] ∵2cos x －1≥0，∴cos x ≥12.由三角函数线画出x 满足条件的终边的范围．∴x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π3，2k π＋π3(k ∈Z )．[答案] ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π3，2k π＋π3(k ∈Z )课后跟踪训练(二十)基础巩固练一、选择题1．下列角中终边与330°相同的角是( ) A ．30° B ．－30° C ．630° D ．－630°[解析] 因为330°的角的终边与－30°的角的终边相同，所以选项B 满足题意．故选B.[答案] B2．若sin α＝－513，且α为第四象限角，则tan α的值等于( )A.125 B ．－125 C.512 D ．－512[解析] 因为sin α＝－513，且α为第四象限角，所以cos α＝1213，所以tan α＝－512，故选D.[答案] D3．若角α＝2 rad(rad 为弧度制单位)，则下列说法错误的是( ) A ．角α为第二象限角B ．α＝⎝ ⎛⎭⎪⎫360π°C ．sin α>0D ．sin α<cos α[解析] 对于A ，∵π2<α<π，∴角α为第二象限角，故A 正确；对于B ，α＝⎝ ⎛⎭⎪⎫360π°＝2 rad ，故B 正确；对于C ，sin α>0，故C 正确；对于D ，sin α>0，cos α<0，故D 错误．故选D.[答案] D4．已知扇形的周长是6 cm ，面积是2 cm 2，则扇形的圆心角α的弧度数是( )A ．1B ．4C ．1或4D ．2或4[解析] 设扇形的半径为r cm ，弧长为l cm ，则l ＋2r ＝6，S ＝12lr ＝2，解得r ＝2，l ＝2或r ＝1，l ＝4，故α＝lr ＝1或4，故选C.[答案] C5．集合⎭⎬⎫{α⎪⎪⎪k π＋π4≤α≤k π＋π2，k ∈Z 中的角所表示的范围(阴影部分)是( )[解析] 当k ＝2n (n ∈Z )时，2n π＋π4≤α≤2n π＋π2，此时α表示的范围与π4≤α≤π2表示的范围一样；当k ＝2n ＋1(n ∈Z )时，2n π＋π＋π4≤α≤2n π＋π＋π2，此时α表示的范围与π＋π4≤α≤π＋π2表示的范围一样．故选C.[答案] C 二、填空题6．若α＝k ·180°＋45°，k ∈Z ，则α为________象限角． [解析] α＝k ·180°＋45°＝k 2·360°＋45°.当k 为偶数时，α为第一象限角；当k 为奇数时，α为第三象限角．综上，α为第一或第三象限角．[答案] 第一或第三7．若点⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 5π6，cos 5π6在角α的终边上，则sin α的值为________． [解析] ∵角α的终边上一点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 5π6，cos 5π6，即⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－32，∴由任意角的三角函数的定义，可得sin α＝－32.[答案] －328．已知圆O ：x 2＋y 2＝4与y 轴正半轴的交点为M ，点M 沿圆O 顺时针运动π2弧长到达点N ，以ON 为终边的角记为α，则tan α＝________.[解析] 圆的半径为2，π2的弧长对应的圆心角为π4，故以ON 为终边的角为⎩⎨⎧⎭⎬⎫α|α＝2k π＋π4，k ∈Z ，故tan α＝1.[答案] 1 三、解答题9．(1)设90°<α<180°，P (x,4)为其终边上的一点，且cos α＝15x ，求tan α.(2)已知角θ的终边上有一点P (x ，－1)(x ≠0)，且tan θ＝－x ，求sin θ，cos θ.[解] (1)∵90°<α<180°，∴cos α<0，∴x <0. 又cos α＝15x ＝x x 2＋16，∴x ＝－3.∴tan α＝4x ＝－43.(2)∵θ的终边过点(x ，－1)，∴tan θ＝－1x ，又∵tan θ＝－x ，∴x 2＝1，∴x ＝±1. 当x ＝1时，sin θ＝－22，cos θ＝22；当x ＝－1时，sin θ＝－22，cos θ＝－22.10．(1)已知扇形周长为10，面积是4，求扇形的圆心角； (2)一个扇形OAB 的面积是1 cm 2，它的周长是4 cm ，求圆心角的弧度数和弦长AB .[解] (1)设圆心角是θ，半径是r ，则⎩⎨⎧2r ＋rθ＝10，12θ·r 2＝4，解得⎩⎨⎧r ＝4，θ＝12，或⎩⎪⎨⎪⎧r ＝1，θ＝8.(舍去)． ∴扇形的圆心角为12.(2)设圆的半径为r cm ，弧长为l cm ，则⎩⎨⎧12lr ＝1，l ＋2r ＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧r ＝1，l ＝2.∴圆心角α＝lr ＝2.如图，过O 作OH ⊥AB 于H ，则∠AOH ＝1 rad. ∴AH ＝1·sin1＝sin1(cm)， ∴AB ＝2sin1(cm)．能力提升练11．(2019·江西南昌二中测试)已知角α终边上一点P 的坐标是(2sin2，－2cos2)，则sin α等于( )A ．sin2B ．－sin2C ．cos2D ．－cos2[解析] r ＝(2sin2)2＋(－2cos2)2＝2.由任意角的三角函数的定义，得sin α＝yr ＝－cos2，故选D.[答案] D12．(2019·山东济南外国语学校段考)下列结论中错误的是( ) A ．若0<α<π2，则sin α<tan αB ．若α是第二象限角，则α2为第一象限或第三象限角 C ．若角α的终边过点P (3k,4k )(k ≠0)，则sin α＝45D ．若扇形的周长为6，半径为2，则其圆心角的大小为1弧度 [解析] 选项A ，若0<α<π2，则sin α<tan α＝sin αcos α，A 正确；选项B ，若α是第二象限角，即α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫2k π＋π2，2k π＋π，k ∈Z ，则α2∈⎝⎛⎭⎪⎫k π＋π4，k π＋π2，k ∈Z ，为第一象限或第三象限角，B 正确；选项C ，若角α的终边过点P (3k,4k )(k ≠0)，则sin α＝4k 9k 2＋16k 2＝4k 5|k |，不一定等于45，C 不正确；选项D ，若扇形的周长为6，半径为2，则弧长＝6－2×2＝2，其圆心角的大小为22＝1弧度，D 正确．故选C.[答案] C13．(2018·北京第三十五中学期中)如图所示，在平面直角坐标系xOy 中，角α的终边与单位圆的交点A 在第二象限．若cos α＝－35，则点A 的坐标为________．[解析] ∵cos α＝－35，∴sin α＝1－cos 2α＝45，∴A ⎝⎛⎭⎪⎫－35，45.[答案] ⎝ ⎛⎭⎪⎫－35，4514.如图所示，A ，B 是单位圆O 上的点，且B 在第二象限，C 是圆与x 轴的正半轴的交点，点A 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫513，1213，∠AOB ＝90°.(1)求cos ∠COA ； (2)求tan ∠COB .[解] (1)因为点A 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫513，1213，根据三角函数的定义可得cos ∠COA ＝513.(2)因为∠AOB ＝90°，sin ∠COA ＝1213，所以cos ∠COB ＝cos(∠COA ＋90°)＝－sin ∠COA ＝－1213.又因为点B 在第二象限，所以sin ∠COB ＝1－cos 2∠COB ＝513.故tan ∠COB ＝sin ∠COB cos ∠COB＝－512.拓展延伸练15．(2019·上海长宁、嘉定一模)设角α的顶点为坐标原点，始边为x 轴的正半轴，则“α的终边在第一、二象限”是“sin α>0”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件[解析] α的终边在第一、二象限能推出sin α>0，sin α>0成立能推出α的终边在第一、二象限或y 轴的正半轴上，故“α的终边在第一、二象限”是“sin α>0”的充分不必要条件．故选A.[答案] A16．(2019·河北张家口月考)若角θ满足sin θ>0，tan θ<0，则θ2是( )A ．第二象限角B ．第一象限角C ．第一或第三象限角D ．第一或第二象限角[解析] ∵角θ满足sin θ>0，tan θ<0，∴θ是第二象限角，即π2＋2k π<θ<π＋2k π，k ∈Z ，∴π4＋k π<θ2<π2＋k π，k ∈Z ，∴θ2是第一或第三象限角．故选C.[答案] C。

高考数学一轮复习第三章三角函数、解三角形第一节任意角、弧度制及任意角的三角函数学案文(含解

第一节任意角、弧度制及任意角的三角函数2019考纲考题考情1．角的有关概念(1)从运动的角度看，角可分为正角、负角和零角。

(2)从终边位置来看，角可分为象限角与轴线角。

(3)若β与α是终边相同的角，则β用α表示为β＝2k π＋α，k ∈Z 。

2．弧度与角度的互化 (1)1弧度的角长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角。

(2)角α的弧度数如果半径为r 的圆的圆心角α所对弧的长为l ，那么角α的弧度数的绝对值是|α|＝l r。

(3)角度与弧度的换算①1°＝π180rad ；②1 rad ＝ ⎛⎪⎫180π°。

(4)弧长、扇形面积的公式设扇形的弧长为l ，圆心角大小为α(rad)，半径为r ，则l ＝|α|r ，扇形的面积为S ＝12lr ＝12|α|·r 2。

3．任意角的三角函数(1)定义：设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P (x ，y )，那么sin α＝y ，cos α＝x ，tan α＝yx(x ≠0)。

(2)几何表示：三角函数线可以看作是三角函数的几何表示。

正弦线的起点都在x 轴上，余弦线的起点都是原点，正切线的起点都是点(1,0)。

如图中有向线段MP ，OM ，AT 分别叫做角α的正弦线，余弦线和正切线。

1．区分两个概念(1)第一象限角未必是锐角，但锐角一定是第一象限角。

(2)不相等的角未必终边不相同，终边相同的角也未必相等。

2．一个口诀三角函数值在各象限的符号：一全正、二正弦、三正切、四余弦。

3．三角函数定义的推广设点P (x ，y )是角α终边上任意一点且不与原点重合，r ＝|OP |，则sin α＝y r，cos α＝x r ，tan α＝y x。

一、走进教材1．(必修4P 10A 组T 7改编)角－225°＝________弧度，这个角在第________象限。

答案－5π4二2．(必修4P 15练习T 2改编)设角θ的终边经过点P (4，－3)，那么2cos θ－sin θ＝________。

3-1第一节任意角和弧度制及任意角的三角函数(2015年高考总复习)

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5．三角函数线设角 α 的顶点在坐标原点，始边与 x 轴非负半轴重合，终边与单位圆相交于点 P，过 P 作 PM 垂直 x 轴于点 M.由三角函数的定义知，点 P 的坐标为(cosα，sinα)，即 P(cosα，sinα)，其中 cosα ＝ OM ，sinα＝ MP ，单位圆与 x 轴的正半轴交于点 A，单位圆在 A 点的切线与 α 的终边或其反向延长线相交于点 T，则 tanα ＝ AT .我们把有向线段 OM、MP、AT 叫做 α 的余弦线、正弦线、正切线 .
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(2)终边相同的角不一定相等，相等的角终边一定相同，终边相同的角的同一三角函数值相等．
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2．对三角函数的理解要透彻三角函数也是一种函数，它可以看成是从一个角(弧度制)的集合到一个比值的集合的函数．也可以看成是以实数为自变量的函数，定义域为使比值有意义的角的范围． y 如 tanα＝x有意义的条件是角 α 终边上任一点 P(x，y)的横坐标不等于零，也就是角 α 的终边不能与 y 轴重合，故正切函数的 π 定义域为{α|α≠kπ＋，k∈Z}． 2
答案 A
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3．若 sinα＜0 且 tanα＞0，则 α 是( A．第一象限角 C．第三象限角 B．第二象限角 D．第四象限角

2019高三数学人教A版文一轮教师用书：第3章第1节任

第章三角函数、解三角形第一节任意角、弧度制及任意角的三角函数[考纲传真] (教师用书独具)1.了解任意角的概念和弧度制的概念.2.能进行弧度与角度的互化.3.理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义．(对应学生用书第39页) [基础知识填充]1．角的概念的推广(1)定义：角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形． (2)分类⎩⎨⎧按旋转方向不同分为正角、负角、零角.按终边位置不同分为象限角和轴线角.(3)终边相同的角：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S ＝{β|β＝α＋k ·360°，k ∈Z }． 2．弧度制的定义和公式(1)定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，用符号rad 表示，读作弧度．正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0.(2)公式3.1．三角函数值的符号规律三角函数值在各象限内的符号：一全正、二正弦、三正切、四余弦．2．任意角的三角函数的定义(推广)设P(x，y)是角α终边上异于顶点的任一点，其到原点O的距离为r，则sin α＝yr，cos α＝xr，tan α＝yx(x≠0)．[基本能力自测]1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)小于90°的角是锐角．()(2)锐角是第一象限角，反之亦然．()(3)角α的三角函数值与终边上点P的位置无关．()(4)若α为第一象限角，则sin α＋cos α＞1.( )[答案] (1)× (2)× (3)√ (4)√2．(2017·西宁复习检测(一))若cos θ＞0，且sin 2θ＜0，则角θ的终边所在象限为( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限D [由cos θ>0，sin 2θ＝2sin θ cos θ＜0得sin θ＜0，则角θ的终边在第四象限，故选D ．]3．(教材改编)已知角α的终边与单位圆的交点为M ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，y ，则sin α＝( )【导学号：79170079】A ．32 B ．±32 C ．22D ．±22B [由题意知|r |2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋y 2＝1，所以y ＝±32.由三角函数定义知sin α＝y ＝±32.]4．在单位圆中，200°的圆心角所对的弧长为( ) A ．10π B ．9π C ．910πD ．109πD [单位圆的半径r ＝1,200°的弧度数是200×π180＝109π，由弧长公式得l ＝109π.]5．终边在射线y ＝－x (x ＜0)上的角的集合是________．⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫α⎪⎪⎪α＝2k π＋34π，k ∈Z[终边在射线y ＝－x (x ＜0)上的一个角为34π，从而所求角的集合为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫α⎪⎪⎪α＝2k π＋34π，k ∈Z](对应学生用书第40页)(1)若角α是第二象限角，则2是( ) A ．第一象限角 B ．第二象限角 C ．第一或第三象限角D ．第二或第四象限角(2)已知角α的终边在如图3-1-1所示阴影部分表示的范围内(不包括边界)，则角α用集合可表示为________．图3-1-1(1)C (2)2k π＋π4，2k π＋56π(k ∈Z ) [(1)∵α是第二象限角，∴π2＋2k π＜α＜π＋2k π，k ∈Z ，∴π4＋k π＜α2＜π2＋k π，k ∈Z . 当k 为偶数时，α2是第一象限角；当k 为奇数时，α2是第三象限角．综上，α2是第一或第三象限角．(2)在[0,2π)内，终边落在阴影部分角的集合为⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，56π，∴所求角的集合为⎝ ⎛⎭⎪⎫2k π＋π4，2k π＋56π(k ∈Z )．][规律方法] 1.与角α终边相同的角可以表示为β＝2k π＋α(k ∈Z )的形式，α是任意角；相等的角终边一定相同，终边相同的角不一定相等；角度制与弧度制不能混用．2．由α所在象限，判定α2所在象限，应先确定α2的范围，并对整数k 的奇、偶情况进行讨论．[变式训练1] (1)终边在直线y ＝－3x 上的角的集合是( )【导学号：79170080】A ．⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫α⎪⎪⎪ α＝π3＋2k π，k ∈ZB ．⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫α⎪⎪⎪α＝2π3＋2k π，k ∈ZC ．⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫α⎪⎪⎪α＝π3＋k π，k ∈ZD ．⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫α⎪⎪⎪α＝2π3＋k π，k ∈Z(2)已知角α＝45°，在区间[－720°，0°]内与角α有相同终边的角β＝________. (1)D (2)－675°或－315° [(1)在(0，π)内终边在直线y ＝－3x 上的角为2π3，所以终边在直线y ＝－3x上的角的集合为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫α⎪⎪⎪α＝2π3＋k π，k ∈Z. (2)由终边相同的角的关系知β＝k ·360°＋45°，k ∈Z ， ∴取k ＝－2，－1，得β＝－675°或β＝－315°.](1)(2)已知扇形周长为40，当它的半径和圆心角分别取何值时，扇形的面积最大？[解] (1)设圆心角是θ，半径是r ，则 ⎩⎪⎨⎪⎧2r ＋rθ＝10，12θ·r 2＝4，解得⎩⎨⎧r ＝1，θ＝8(舍去)或⎩⎪⎨⎪⎧r ＝4，θ＝12，∴扇形的圆心角为12.(2)设圆心角是θ，半径是r ，则2r ＋rθ＝40.又S ＝12θr 2＝12r (40－2r )＝r (20－r )＝－(r －10)2＋100≤100.当且仅当r ＝10时，S max ＝100，此时2×10＋10θ＝40，θ＝2，∴当r ＝10，θ＝2时，扇形的面积最大．[规律方法] 1.(1)在弧度制下，计算扇形面积和弧长比在角度制下更方便、简捷；(2)从扇形面积出发，在弧度制下把问题转化为关于R 的二次函数的最值问题(如本例)或不等式问题来求解．2．利用公式：(1)l ＝αR ；(2)S ＝12lR ；(3)S ＝12αR 2.其中R 是扇形的半径，l 是弧长，α(0＜α＜2π)为圆心角，S 是扇形面积，知道两个量，可求其余量． [变式训练2] (1)若圆弧长度等于圆内接正三角形的边长，则其圆心角的弧度数为( )A ．π6 B ．π3 C ．3D ． 3(2)若扇形的圆心角α＝120°，弦长AB ＝12 cm ，则弧长l ＝________cm. (1)D (2)833π [(1)如图，等边三角形ABC 是半径为r 的圆O 的内接三角形，则线段AB 所对的圆心角∠AOB ＝2π3，作OM ⊥AB ，垂足为M ，在Rt △AOM 中，AO ＝r ，∠AOM ＝π3， ∴AM ＝32r ，AB ＝3r ， ∴l ＝3r ，由弧长公式得α＝l r ＝3rr ＝ 3. (2)设扇形的半径为r cm ，如图．由sin 60°＝6r ，得r ＝4 3 cm ，∴l ＝|α|·r ＝2π3×43＝833π cm.](1)(2018·天水模拟)若角θ的终边经过点P (－3，m )(m ≠0)且sin θ＝24m ，则cos θ的值为________．(2)点P 从(1,0)出发，沿单位圆逆时针方向运动2π3弧长到达Q 点，则Q 点的坐标为________．【导学号：79170081】(1)－64 (2)⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32 [(1)由题意知r ＝3＋m 2， ∴sin θ＝m 3＋m 2＝24m ， ∵m ≠0，∴m ＝±5，∴r ＝3＋m 2＝22， ∴cos θ＝－322＝－64.(2)由三角函数定义可知Q 点的坐标(x ，y )满足x ＝cos 2π3＝－12，y ＝sin 2π3＝32. ∴Q 点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32.][规律方法] 用定义法求三角函数值的两种情况．(1)已知角α终边上一点P 的坐标，则可先求出点P 到原点的距离r ，然后用三角函数的定义求解；(2)已知角α的终边所在的直线方程，则可先设出终边上一点的坐标，求出此点到原点的距离，然后用三角函数的定义来求相关问题．[变式训练3] (1)(2018·合肥模拟)已知角α的终边经过点P (－x ，－6)，且cos α＝－513，则x ＝________.(2)已知角α的终边上一点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 56π，cos 56π，若α∈(－π，0)，则α＝________.(1)52 (2)－π3 [(1)cos α＝－x x 2＋36＝－513，解得x ＝52，或x ＝－52，又－x ＜0，即x ＞0，所以x ＝52.(2)法一：点P 的坐标为P ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－32，点P 到原点O 的距离r ＝1，从而cos α＝12，又α∈(－π，0)，所以α＝－π3.法二：由sin 256π＋cos 256π＝1得cos α＝sin 56π＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－56π＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3，又α∈(－π，0)，所以α＝－π3.]。

第三章第一节任意角的概念与弧度制、任意角的的三角函数

2
对k的奇偶性讨论可得解. (2)由α所在的象限写出角α的范围，从而得2α, 的范围，最后确定终边所在的位置. 【规范解答】(1)选B.由 2k＜＜3 2k，k Z, 得 k＜1 ＜3 k，k Z，
2 2 2 4 故 k＜ 1 ＜ k, k Z. 4 2 2 当k为偶数时π- 1 α在第一象限，当k取奇数时π- 在第三象 2 2
2 2
13
13
13
13
因此 sin 2 2sin cos ( 3 13 ) 2 2 3 13 2 13 3 .
13 13 13 13
(2)由题设知 x 3，y m，
∴r2=|OP|2=（ r 3 m2 .
2 2 3 ） +m （O为原点），
第三章三角函数、三角恒等变形、
解三角形
第一节任意角的概念与弧度制、任意角的三角函数
1.角的有关概念
射线象限角
旋转
正角负角
零角
α +k·360o,k∈Z
2.弧度的定义和公式
单位长度 (1)定义:在以单位长为半径的圆中,_________的弧所对的圆心 rad 弧度角为1弧度的角,它的单位符号是____，读作_____.
从而 sin
m r
2m m ， 4 2 2
r 3 m2 2 2，
于是3+m2=8，解得 m 5. 当 m 5 时，r 2 2，x 3，
3 6 15 cos ，tan ; 4 3 2 2 当 m 5 时， 2 2，x 3， r cos 3 6 15 ，tan . 4 3 2 2
v u 于点P(u,v)，则sin α =__，cos α =__，tan α = v u 0）. （

2019版人教版a版高考数学练习：第三章第一节任意角和弧度制及任意角的三角函数含解析

课时规范练 A 组基础对点练1．已知角α的始边与x 轴的正半轴重合，顶点在坐标原点，角α终边上的一点P 到原点的距离为2，若α＝π4，则点P 的坐标为( )A ．(1，2)B ．(2，1)C ．(2，2)D ．(1,1)解析：设点P 的坐标为(x ，y )，则由三角函数的定义得⎩⎨⎧sin π4＝y 2，cos π4＝x2，即⎩⎨⎧x ＝2cos π4＝1，y ＝2sin π4＝1.故点P 的坐标为(1,1)．答案：D2．已知一圆弧的弧长等于它所在圆的内接正三角形的边长，则这段圆弧所对圆心角的弧度数为( ) A.π3 B.2π3 C. 3D ．2解析：设等边三角形边长为a ，圆的半径为R ，由正弦定理得2R ＝a sin π3，a ＝3R ，故α＝lR ＝aR ＝ 3.故选C. 答案：C3．若cos α>0且tan α<0，则α是( ) A ．第一象限角 B ．第二象限角 C ．第三象限角D ．第四象限角解析：由cos α>0，得α的终边在第一或第四象限或x 轴非负半轴上，又由tan α<0，得α的终边在第二或第四象限，所以α是第四象限角．答案：D4．已知α是第二象限角，sin α＝513，则cos α＝( )A ．－1213B ．－513C.513D.1213解析：根据题意，α终边上设点P (－12,5)， ∴cos α＝－1213，故选 A.答案：A5．已知角α的终边经过点(－4,3)，则cos α＝( ) A.45 B.35 C ．－35D ．－45解析：由三角函数的定义知cos α＝－4(－4)2＋32＝－45.故选D.答案：D6．角α的终边与直线y ＝3x 重合，且sin α<0，又P (m ，n )是角α终边上一点，且|OP |＝10，则m －n 等于( ) A ．2 B ．－2 C ．4D ．－4 解析：∵角α的终边与直线y ＝3x 重合，且sin α<0，∴角α的终边在第三象限．又P (m ，n )是角α终边上一点，故m <0，n <0.又|OP |＝10，∴⎩⎨⎧n ＝3m ，m 2＋n 2＝10，解得m ＝－1，n＝－3，故m －n ＝2. 答案：A7．(2018·兰州模拟)已知角α的终边过点P (－8m ，－6sin 30°)，且cos α＝－45，则实数m 的值为( ) A.12 B ．±12C ．－32D.32解析：点P (－8m ，－6sin 30°)即P (－8m ，－3)，所以cos α＝－8m64m 2＋9，即－8m 64m 2＋9＝－45，解得m 2＝14.又cos α＝－45＜0，所以m ＞0，所以m ＝12，故选A.答案：A8．(2018·泰安质检)若点A (m ，n )是240°角的终边上的一点(与原点不重合)，那么m －3nm ＋3n 的值等于( )A.12 B ．－12C ．2D ．－2解析：由三角函数的定义知tan 240°＝n m ，即nm ＝3，于是m －3n m ＋3n＝1－3×nm 1＋3×n m＝1－3×31＋3×3＝－12.答案：B9．(2018·连云港质检)已知角α的终边上一点的坐标为⎝⎛⎭⎫sin 2π3，cos 2π3，则角α的最小正值为( ) A.5π6 B.2π3 C.5π4D.11π6解析：∵⎝⎛⎭⎫sin 2π3，cos 2π3＝⎝⎛⎭⎫32，－12， ∴角α为第四象限角，且sin α＝－12，cos α＝32.∴角α的最小正值为11π6.答案：D10．已知点P ⎝⎛⎭⎫sin 3π4，cos 3π4落在角θ的终边上，且θ∈[0,2π)，则θ的值为( ) A.π4 B.3π4 C.5π4 D.7π4解析：sin 3π4＝22，cos 3π4＝－22，P 在第四象限角平分线上．答案：D11．已知锐角α的终边过点P (1＋sin 50°，cos 50°)，则锐角α＝( ) A ．80° B ．70° C ．10°D ．20° 解析：由三角函数的定义得tan α＝y x ＝cos 50°1＋sin 50°＝sin 40°1＋cos 40°＝2sin 20°cos 20°2cos 220°＝sin 20°cos 20°＝tan 20°，所以锐角α＝20°，故选D. 答案：D12．已知扇形的圆心角为60°，其弧长为2π，则此扇形的面积为( )A.π3B.5π3C.7π2D ．6π解析：设此扇形的半径为r ，由题意得π3r ＝2π，所以r ＝6，所以此扇形的面积为12×2π×6＝6π.答案：D13．(2018·无锡调研)已知角α的终边经过点P (x ，－6)，且tan α＝－35，则x 的值为________．解析：根据三角函数定义可知tan α＝－35＝－6x ，解得x ＝10.答案：1014．满足cos α≤－12的角α的集合为________．解析：作直线x ＝－12交单位圆于C ，D 两点，连接OC ，OD ，则OC 与OD 围成的区域(图中阴影部分)即为角α终边的范围，故满足条件的角α的集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪2k π＋23π≤α≤2k π＋43π，k ∈Z答案：⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪2k π＋23π≤α≤2k π＋43π，k ∈Z 15．已知某扇形所在圆的半径为R ，且该扇形的面积为R 2，那么这个扇形的圆心角的弧度数α(0<α<2π)是__________．解析：由题意得，12αR 2＝R 2，所以α＝2. 答案：2B 组能力提升练1．若sin α·tan α<0，且cos αtan α<0，则角α是( )A ．第一象限角B ．第二象限角C ．第三象限角D ．第四象限角解析：由sin α·tan α<0可知sin α，tan α异号，从而α为第二或第三象限角；由cos αtan α<0，可知cos α，tan α异号，从而α为第三或第四象限角．综上，α为第三象限角．答案：C2．设集合M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ x ＝k 2×180°＋45°，k ∈Z ，N ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ＝k4×180°＋45°，k ∈Z ，那么( ) A ．M ＝N B ．M ⊆N C ．N ⊆MD ．M ∩N ＝∅解析：由于M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ＝k2×180°＋45°，k ∈Z ＝{…，－45°，45°，135°，225°，…}，N ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ＝k4×180°＋45°，k ∈Z ＝{…，－45°，0°，45°，90°，135°，180°，225°，…}，显然有M ⊆N . 答案：B3．(2018·龙岩模拟)下列各选项中正确的是( ) A ．sin 300°>0 B ．cos(－305°)<0 C ．tan ⎝⎛⎭⎫－223π>0 D ．sin 10<0解析：300°＝360°－60°，则300°是第四象限角；－305°＝－360°＋55°，则－305°是第一象限角；因为－223π＝－8π＋23π，所以－223π是第二象限角；因为3π<10<72π，所以10是第三象限角．故sin 300°<0，cos(－305°)>0，tan ⎝⎛⎭⎫－223π<0，sin 10<0. 答案：D4．已知α是第二象限角，P (x ，5)为其终边上一点，且cos α＝24x ，则x ＝( ) A. 3 B ．±3 C ．－ 2D ．－ 3解析：依题意得cos α＝x x 2＋5＝24x ，x ＜0，由此解得x ＝－3，选D. 答案：D5．若点P (－sin α，cos α)在角β的终边上，则β＝( ) A ．α＋π2＋2k π，k ∈ZB ．α＋2k π，k ∈ZC ．－α＋π2＋2k π，k ∈ZD ．－α＋2k π，k ∈Z 答案：A6．点P 从(1,0)出发，沿单位圆x 2＋y 2＝1逆时针方向运动2π3弧长到达Q 点，则Q 点的坐标为( ) A.⎝⎛⎭⎫－12，32 B.⎝⎛⎭⎫－32，－12 C.⎝⎛⎭⎫－12，－32D.⎝⎛⎭⎫－32，12 解析：设α＝∠POQ ，由三角函数定义，x ＝cos α＝cos 23π＝－12，y ＝sin α＝sin 23π＝32.答案：A7．(2018·河南中原名校第三次联考)已知角α的终边经过点A (－3，a )，若点A 在抛物线y ＝－14x 2的准线上，则sin α＝( )A. 3B.32C ．－12D.12解析：抛物线方程y ＝－14x 2可化为x 2＝－4y ，∴抛物线的准线方程为y ＝1， ∵点A 在抛物线y ＝－14x 2的准线上，∴A (－3，1)，∴由三角函数的定义得sin α＝12.答案：D8．设α是第二象限角，P (x,4)为其终边上的一点，且cos α＝15x ，则tan 2α＝( )A.247 B ．－247C.127D ．－127解析：由三角函数的定义可得cos α＝xx 2＋42， ∵cos α＝15x ，∴x x 2＋42＝15x ，又α是第二象限角，∴x ＜0，故可解得x ＝－3， ∴cos α＝－35，sin α＝1－cos 2α＝45，∴tan α＝sin αcos α＝－43，∴tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝247.故选A. 答案：A9．已知sin θ－cos θ>1，则角θ的终边在( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限解析：由已知得(sin θ－cos θ)2>1，即1－2sin θcos θ>1，则sin θcos θ<0.又由sin θ－cos θ>1知sin θ>cos θ，所以sin θ>0>cos θ，所以角θ的终边在第二象限．答案：B10．已知角α的终边经过一点P (x ，x 2＋1)(x >0)，则tan α的最小值为( ) A ．1 B ．2 C.12D. 2解析：tan α＝x 2＋1x ＝x ＋1x ≥2x ·1x＝2，当且仅当x ＝1时取等号，即tan α的最小值为2.故选B. 答案：B11．在直角坐标系中，P 点的坐标为⎝⎛⎭⎫35，45，Q 是第三象限内一点，|OQ |＝1且∠POQ ＝3π4，则Q 点的横坐标为( ) A ．－7210B ．－325C ．－7212D ．－8213解析：设∠xOP ＝α，则cos α＝35，sin α＝45，则x Q ＝cos ⎝⎛⎭⎫α＋3π4＝35×⎝⎛⎭⎫－22－45×22＝－7210. 答案：A12．(2018·南昌质检)如图所示，质点P 在半径为2的圆周上逆时针运动，其初始位置为P 0(2，－2)，角速度为1，那么点P 到x 轴的距离d 关于时间t 的函数图象大致为( )解析：∵P 0(2，－2)，∴∠P 0Ox ＝－π4.∵角速度为1，∴按逆时针旋转时间t 后，得∠POP 0＝t ， ∴∠POx ＝t －π4.由三角函数定义，知点P 的纵坐标为2sin ⎝⎛⎭⎫t －π4，因此d ＝2⎪⎪⎪⎪sin ⎝⎛⎭⎫t －π4. 令t ＝0，则d ＝2⎪⎪⎪⎪sin ⎝⎛⎭⎫－π4＝2，当t ＝π4时，d ＝0，故选C.答案：C13．若两个圆心角相同的扇形的面积之比为1∶4，则这两个扇形的周长之比为__________．解析：设两个扇形的圆心角的弧度数为α，半径分别为r ，R (其中r <R )，则12αr 212αR 2＝14，所以r ∶R ＝1∶2，两个扇形的周长之比为2r ＋αr2R ＋αR ＝1∶2.答案：1∶214．若θ角的终边与8π5的终边相同，则在[0,2π]内终边与θ4角的终边相同的角是__________．解析：由已知θ＝2k π＋8π5(k ∈Z)．所以θ4＝k π2＋2π5(k ∈Z)．由0≤k π2＋2π5≤2π，得－45≤k ≤165.。

A018=第三章第一节任意角和弧度制及任意角的三角函数

解析：设圆半径为R，则其内接正三角形的边长为 3R，于是 3R 圆心角的弧度数为 R ＝ 3.
答案：C
作业
课时跟踪检测（B卷）（十八） p333
(2)设圆心角是θ，半径是r，则2r＋rθ＝40. 1 2 1 S＝2θ· ＝2r(40－2r)＝r(20－r) r ＝－(r－10)2＋100≤100，当且仅当r＝10时，Smax＝100. ∴当r＝10，θ＝2时，扇形面积最大．
[巧练模拟]——————(课堂突破保分题，分分必保！)
1．若角 β 的终边与 60° 角的终边相同，则在 0° ～360° 范围内，终 β 边与角的终边相同的角为________． 3
第一节任意角和弧度制及任意角的三角函数
考什么 1.了解任意角的概念．
2.了解弧度制的概念，能进行弧度与角度的互化． 3.理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义.
怎么考 1.三角函数的定义及应用是本节考查的重点，注意三角函数值符号的确定．
2.主要以选择题、填空题的形式考查.
1．角的有关概念 (1)从运动的角度看，角可分为正角、负角和零角．
1．－870°的终边在第几象限 A．一 B．二
(
)
C．三
D．四
解析：因－870°＝－2×360°－150°.
而－150° 答案： C 是第三象限角．
2．已知角α的终边经过点( 3，－1)，则角α的最小正值是 ( 2π A. 3 5π C. 6 11π B. 6
)
3π D. 4 －1 1 解析：∵sin α＝ 2 ＝－2，且α的终边在第四象限，
(2)从终边位置来看，可分为象限角和轴线角．
(3)若α与β是终边相同的角，则β可用α表示为S＝{β|β 360°，k∈Z }(或{β|β＝＝α＋k· α＋2kπ，k∈Z })．

数学复习：第三章三角函数、解三角形第一节任意角和弧度制及任意角的三角函数

第三章三角函数、解三角形错误!错误!错误!1。

了解任意角的概念；了解弧度制的概念．2．能进行弧度与角度的互化．3．理解任意角的三角函数（正弦、余弦、正切）的定义．知识点一角的概念的推广角的特点角的分类从运动的角度看角可分为______、______和______从终边位置来看可分为________和轴线角α与β角的终边相同β＝______________（或α＋k·2π，k∈Z)正角负角零角象限角α＋k·360°,k∈Z1．若α是第二象限角，β是第三象限角,则角α，β的大小关系是________．解析:角α可以大于角β，也可以小于角β，但是不能等于角β.答案：不确定2．终边在直线y＝x上的角的集合是________．解析：终边在直线y＝x上，且在[0°,360°）内的角为45°，225°，写出与其终边相同的的角的集合,整合即得．答案:｛α|α＝k·180°＋45°，k∈Z｝知识点二弧度的概念与公式在半径为r的圆中:分类定义(公式）1弧度的角把长度等于______长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，用符号1 rad表示角α的弧度数公式｜α｜＝______(弧长用l表示）角度与弧度的换算①1°＝______ rad②1 rad＝________弧长公式弧长l＝______扇形面积公式S＝______＝__________答案半径错误!错误!错误!°r｜α| 错误!lr错误!r2｜α｜3．（必修④P10习题1.1A组第10题改编）单位圆中，200°的圆心角所对的弧长为（)A．10π B．9πC。

910π D。

错误!π解析：单位圆的半径r＝1，200°的弧度数是200×错误!＝错误!π，由弧度数的定义得109π＝lr，所以l＝109π。

答案：D4．已知扇形的周长是6 cm，面积是2 cm2，则扇形的圆心角的弧度数是________．解析：设此扇形的半径为r,弧长为l,则错误!解得错误!或错误!从而α＝错误!＝错误!＝4或α＝错误!＝错误!＝1。

数学一轮复习第三章三角函数解三角形第1讲任意角和蝗制及任意角的三角函数学案含解析

第三章三角函数、解三角形第1讲任意角和弧度制及任意角的三角函数[考纲解读］1。

了解任意角的概念及弧度制的概念,能进行弧度与角度的互化．(重点)2.理解任意角的三角函数（正弦、余弦、正切）的定义，并能熟练运用基本知识与基本技能、转化与化归思想等．(重点、难点)[考向预测］从近三年高考情况来看，本讲内容属于基础考查范围．预测2021年高考会考查三角函数的定义、根据终边上点的坐标求三角函数值或根据三角函数值求参数值．常以客观题形式考查，属中、低档试题.1．任意角的概念（1)定义:角可以看成平面内的一条射线绕着错误!端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形．(2)角的分类（3）终边相同的角：所有与角α终边相同的角，连同角α在内,可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°,k∈Z｝．2．弧度制的定义和公式（1)定义：把长度等于错误!半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角．正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0。

(2)公式3．任意角的三角函数定义：设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y）,那么sinα＝错误!y,cosα＝错误!x，tanα＝错误!错误!.1．概念辨析（1）锐角是第一象限的角，第一象限的角也都是锐角．()（2）角α的三角函数值与其终边上点P的位置无关．()（3)不相等的角终边一定不相同．（）（4)三角形的内角必是第一、第二象限角．(）答案（1）×（2）√（3）×(4）×2．小题热身(1)下列与错误!的终边相同的角的表达式中正确的是(）A．2kπ＋45°(k∈Z）B．k·360°＋错误!（k∈Z）C．k·360°－315°(k∈Z) D．kπ＋5π4（k∈Z）答案C解析角度制与弧度制不能混用,排除A,B；因为错误!＝2π＋π4，所以与错误!终边相同的角可表示为k·360°＋45°(k∈Z)或k·360°－315°等，故选C。

2022数学第三章三角函数解三角形第一节任意角和蝗制及任意角的三角函数教师文档教案文

第一节任意角和弧度制及任意角的三角函数授课提示：对应学生用书第50页［基础梳理］1．任意角的概念（1)我们把角的概念推广到任意角,任意角包括正角、负角、零角．①正角：按逆时针方向旋转形成的角；②负角：按顺时针方向旋转形成的角；③零角:如果一条射线没有作任何旋转，我们称它形成了一个零角．(2）终边相同角：与α终边相同的角可表示为:｛β|β＝α＋2kπ，k∈Z｝．2．弧度与角度的互化(1)1弧度的角:长度等于半径长的弧所对的圆心角．（2）角α的弧度数公式:｜α｜＝错误!．(3）角度与弧度的换算：360°＝2π rad,1°＝错误!rad，1 rad＝（错误!)°≈57°18′。

(4)扇形的弧长及面积公式：弧长公式：l＝α·r．面积公式：S＝错误!l·r＝错误!α·r2.3．任意角的三角函数(1)定义:设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P（x，y),则sin α＝y，cos α＝x,tan α＝错误!(x≠0）．（2）几何表示：三角函数线可以看作是三角函数的几何表示．正弦线的起点都在x轴上，余弦线的起点都是原点,正切线的起点都是(1,0)．如图中有向线段MP，OM，AT分别叫作角α的正弦线、余弦线和正切线．4．终边相同的角的三角函数sin(α＋k·2π)＝sin__α,cos（α＋k·2π)＝cos__α,tan(α＋k·2π）＝tan__α（其中k∈Z），即终边相同的角的同一三角函数的值相等．1．一个口诀三角函数值在各象限的符号：一全正、二正弦、三正切、四余弦．2．两个关注点（1）利用扇形的弧长和面积公式解题时，要注意角的单位必须是弧度．(2)在同一个问题中采用的度量制度必须一致，不能混用．3．三角函数定义的推广设点P（x，y)是角α终边上任意一点且不与原点重合，r＝｜OP｜,则sin α＝错误!，cos α＝错误!,tan α＝错误!.4．四种角的终边关系(1）β，α终边相同⇔β＝α＋2kπ,k∈Z。

人教A版数学必修第一册期末复习：任意角和弧度制及任意角的三角函数课件(配套1)课件

A．－
1
3
B．±
1
3
)
C．－3
D．±3
(2)若角α的终边落在直线y＝ 3 x上，角β的终边与单位圆交于
点
1
,
2
，且sin α cos β<0，则cos α cos β＝________．
[例2] (1)已知点M
1
,
3
在函数y＝log3x的图象上，且角θ的终边
所在的直线过点M，则tan θ＝( C )
3
2
1
2
cos α＝x＝－
方法总结
三角函数定义问题的解题策略
(1)已知角α终边上一点P的坐标，可求角α的三角函数值．先
求P到原点的距离，再用三角函数的定义求解．
(2)已知角α的某三角函数值，可求角α终边上一点P的坐标中
的参数值，可根据定义中的两个量列方程求参数值．
(3)已知角α的终边所在的直线方程或角α的大小，根据三角函
中的任意两个量．
提醒
运用弧度制下有关弧长、扇形面积公式的前提是角的
度量单位为弧度．
跟踪训练
1．(多选)已知扇形的周长是6 cm，面积是2 cm2，则下列选项
正确的有( ABC )
A．扇形的半径为2
B．扇形的半径为1
C．圆心角的弧度数是1
D．圆心角的弧度数是2
设扇形半径为r，圆心角的弧度数为α，
2 + = 6
所有与45°终边相同的角可表示为β＝45°＋k×360°(k∈Z)．
令－720°≤45°＋k×360°<0°(k∈Z)，
得－765°≤k×360°<－45°(k∈Z)，
解得－
765
360
≤ k <－

第1节任意角和弧度制及任意角的三角函数(经典练习及答案详解)

第1节任意角和弧度制及任意角的三角函数知识梳理1.角的概念的推广(1)定义：角可以看成一条射线绕着它的端点旋转所形成的图形. (2)分类⎩⎨⎧按旋转方向不同分为正角、负角、零角Ｗ.按终边位置不同分为象限角和轴线角.(3)终边相同的角：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S ＝{β|β＝α＋k ·360°，k ∈Z }. 2.弧度制的定义和公式(1)定义：长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角，记作1 rad. (2)公式3.任意角的三角函数 (1)定义(2)定义的推广设P(x，y)是角α终边上异于原点的任一点，它到原点的距离为r(r>0)，那么sin α＝yr；cos α＝xr，tan α＝yx(x≠0).1.三角函数值在各象限的符号规律：一全正，二正弦，三正切，四余弦.2.角度制与弧度制可利用180°＝π rad进行互化，在同一个式子中，采用的度量制必须一致，不可混用.3.象限角4.轴线角诊断自测1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)(1)小于90°的角是锐角.()(2)锐角是第一象限角，第一象限角也都是锐角.()(3)角α的三角函数值与其终边上点P 的位置无关.( ) (4)若α为第一象限角，则sin α＋cos α>1.( ) 答案 (1)× (2)× (3)√ (4)√ 解析 (1)锐角的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2.(2)第一象限角不一定是锐角.2.已知角θ的终边过点P (－12，m )，cos θ＝－1213，则m 的值为( ) A.－5 B.5C.±5D.±8答案 C解析由三角函数的定义可知cos θ＝－12（－12）2＋m2＝－1213，解得m ＝±5. 3.在－720°～0°范围内，所有与角α＝45°终边相同的角β构成的集合为________. 答案 {－675°，－315°}解析所有与角α终边相同的角可表示为：β＝45°＋k ×360°(k ∈Z )，则令－720°≤45°＋k ×360°<0°(k ∈Z )，得－765°≤k ×360°<－45°(k ∈Z ). 解得k ＝－2或k ＝－1，∴β＝－675°或β＝－315°.4.(2020·全国Ⅱ卷)若α为第四象限角，则( ) A.cos 2α>0 B.cos 2α<0 C.sin 2α>0D.sin 2α<0答案 D解析 ∵α是第四象限角，∴sin α<0，cos α>0，∴sin 2α＝2sin αcos α<0，故选D. 5.(多选题)(2021·武汉调研)下列说法正确的是( ) A.时钟经过两个小时，时针转过的角度是60° B.钝角大于锐角C.三角形的内角必是第一或第二象限角D.若α是第二象限角，则α2是第一或第三象限角答案 BD解析对于A ，时钟经过两个小时，时针转过的角是－60°，故错误；对于B ，钝角一定大于锐角，显然正确；对于C ，若三角形的内角为90°，则是终边在y 轴正半轴上的角，故错误；对于D ，∵角α的终边在第二象限， ∴2k π＋π2＜α＜2k π＋π，k ∈Z ， ∴k π＋π4＜α2＜k π＋π2，k ∈Z .当k ＝2n ，n ∈Z 时，2n π＋π4＜α2＜2n π＋π2，n ∈Z ，得α2是第一象限角；当k ＝2n ＋1，n ∈Z 时，(2n ＋1)π＋π4＜α2＜(2n ＋1)π＋π2，n ∈Z ，得α2是第三象限角，故正确.6.(2021·菏泽质检)密位广泛用于航海和军事，我国采取的“密位制”是6 000密位制，即将一个圆周分成6 000等份，每一等份是一个密位，那么60密位等于________rad. 答案 π50解析 ∵周角为2π rad ， ∴1密位＝2π6 000＝π3 000(rad)， ∴60密位＝π3 000·60＝π50(rad).考点一角的概念及其表示1.下列与角9π4的终边相同的角的表达式中正确的是( )A.2k π＋45°(k ∈Z )B.k ·360°＋9π4(k ∈Z ) C.k ·360°－315°(k ∈Z )D.k π＋5π4(k ∈Z )答案 C解析与9π4的终边相同的角可以写成2k π＋9π4(k ∈Z )，但是角度制与弧度制不能混用，排除A 、B ，易知D 错误，C 正确.2.(多选题)(2021·海南调研)已知α为第三象限角，则α2的终边所在的象限可能是( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限D.第四象限答案 BD解析 ∵α为第三象限角， ∴π＋2k π<α<3π2＋2k π，k ∈Z ， ∴π2＋k π<α2<3π4＋k π，k ∈Z ，当k ＝2m ，m ∈Z 时，π2＋2m π<α2<3π4＋2m π，m ∈Z ，此时α2在第二象限，当k ＝2m ＋1，m ∈Z 时，3π2＋2m π<α2<7π4＋2m π，m ∈Z ，此时α2在第四象限.综上，α2的终边在第二或第四象限.3.终边在直线y ＝3x 上，且在[－2π，2π)内的角α的集合为________________. 答案⎩⎨⎧⎭⎬⎫－5π3，－2π3，π3，4π3解析终边在直线y ＝3x 上的角α的集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫α|α＝π3＋k π，又由α∈[－2π，2π)，即－2π≤π3＋k π<2π，k ∈Z ，解得k ＝－2，－1，0，1，故满足条件的角α构成的集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫－5π3，－2π3，π3，4π3.感悟升华 1.确定nα，αn (n ∈N *)的终边位置的方法先用终边相同角的形式表示出角α的范围，再写出nα或αn 的范围，然后根据n 的可能取值讨论确定nα或αn 的终边所在位置(也可采用等分象限角的方法). 2.利用终边相同的角的集合求适合某些条件的角：先写出与这个角的终边相同的所有角的集合，然后通过对集合中的参数k 赋值来求得所需的角. 考点二弧度制及其应用【例1】已知一扇形的圆心角为α，半径为R ，弧长为l ，若α＝π3，R ＝10 cm ，求：(1)扇形的面积；(2)扇形的弧长及该弧所在弓形的面积. 解 (1)由已知得α＝π3，R ＝10， ∴S 扇形＝12α·R 2＝12·π3·102＝50π3(cm 2). (2)l ＝α·R ＝π3·10＝10π3(cm)，S 弓形＝S 扇形－S 三角形＝12·l ·R －12·R 2·sin π3 ＝12×10π3·10－12×102×32＝50π－7533(cm 2).感悟升华应用弧度制解决问题时应注意：(1)利用扇形的弧长和面积公式解题时，要注意角的单位必须是弧度.(2)求扇形面积最大值的问题时，常转化为二次函数的最值问题.(3)在解决弧长问题和扇形面积问题时，要合理地利用圆心角所在的三角形. 【训练1】 (1)(多选题)(2020·青岛质检)已知扇形的周长是6，面积是2，下列选项可能正确的有( ) A.圆的半径为2 B.圆的半径为1 C.圆心角的弧度数是1 D.圆心角的弧度数是2(2)已知扇形的周长为8 cm ，则该扇形面积的最大值为________cm 2. 答案 (1)ABC (2)4解析 (1)设扇形半径为r ，圆心角弧度数为α，则由题意得⎩⎨⎧2r ＋αr ＝6，12αr 2＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧r ＝1，α＝4或⎩⎪⎨⎪⎧r ＝2，α＝1，可得圆心角的弧度数是4或1. (2)设扇形半径为r cm ，弧长为l cm ，则2r ＋l ＝8，S ＝12rl ＝12r ×(8－2r ) ＝－r 2＋4r ＝－(r －2)2＋4，所以S max ＝4(cm 2).考点三三角函数的定义及应用角度1 求三角函数值【例2】已知角α的终边与单位圆的交点为P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，y ，则sin α·tan α等于( )A.－33 B.±33C.－32D.±32答案 C解析由OP 2＝14＋y 2＝1，得y 2＝34，y ＝±32.当y ＝32时，sin α＝32，tan α＝－3，此时sin α·tan α＝－32.当y ＝－32时，sin α＝－32，tan α＝3，此时，sin α·tan α＝－32. 综上sin α·tan α＝－32. 角度2 由三角函数值求参数【例3】已知角α的终边过点P (－8m ，－6sin 30°)，且cos α＝－45，则m 的值为( ) A.－12 B.－32 C.12D.32答案 C解析由题意得点P (－8m ，－3)，r ＝64m 2＋9，所以cos α＝－8m64m 2＋9＝－45，所以m >0，解得m ＝12.角度3 三角函数值的符号【例4】 (多选题)(2021·重庆调研)已知|cos θ|＝cos θ，|tan θ|＝－tan θ，则角θ2的终边可能在( ) A.第二、四象限 B.第一、三象限 C.y 轴上D.x 轴上答案 AD解析∵|cos θ|＝cos θ，|tan θ|＝－tan θ，∴cos θ≥0，tan θ≤0，∴角θ的终边在第四象限或x轴正半轴上，∴角θ2的终边在第二、四象限或x轴上.故选AD.感悟升华 1.三角函数定义的应用(1)直接利用三角函数的定义，找到给定角的终边上一个点的坐标，及这点到原点的距离，确定这个角的三角函数值.(2)已知角的某一个三角函数值，可以通过三角函数的定义列出含参数的方程，求参数的值.2.要判定三角函数值的符号，关键是要搞清三角函数中的角是第几象限角，再根据正、余弦函数值在各象限的符号确定值的符号.如果不能确定角所在象限，那就要进行分类讨论求解.【训练2】(1)若sin θ·cos θ<0，tan θsin θ>0，则角θ是()A.第一象限角B.第二象限角C.第三象限角D.第四象限角(2)已知角θ的顶点与原点重合，始边与x轴非负半轴重合，若A(－1，y)是角θ终边上的一点，且sin θ＝－31010，则y＝________.答案(1)D(2)－3解析(1)由tan θsin θ>0，得1cos θ>0，所以cos θ>0.又sin θ·cos θ<0，所以sin θ<0，所以θ为第四象限角.故选D.(2)因为sin θ＝－31010<0，A(－1，y)是角θ终边上一点，所以y<0，由三角函数的定义，得yy2＋1＝－31010.解得y ＝－3.A 级基础巩固一、选择题1.小明出国旅游，当地时间比北京时间晚一个小时，他需要调整手表的时间，则时针转过的角的弧度数为( ) A.π3 B.π6C.－π3D.－π6答案 B解析因为当地时间比北京时间晚一个小时，所以时针应该是逆时针方向旋转，故时针转过的角的弧度数为π6.故选B.2.(多选题)(2021·淄博调研)下列四个命题正确的是( ) A.－3π4是第二象限角B.4π3是第三象限角C.－400°是第四象限角D.－315°是第一象限角答案 BCD解析－3π4是第三象限角，故A 错误；4π3＝π＋π3，从而4π3是第三象限角，B 正确；－400°＝－360°－40°，是第四象限角，从而C 正确；－315°＝－360°＋45°，是第一象限角，从而D 正确.3.(2020·天津期末)在平面直角坐标系中，若角α以x 轴的非负半轴为始边，且终边过点⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，12，则sin α＝( )A.－32B.－12C.32D.12答案 D解析由任意角三角函数的定义得sin α＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫－322＋⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝12.故选D.4.已知扇形的面积为2，扇形圆心角的弧度数是4，则扇形的周长为( )A.2B.4C.6D.8答案 C解析设扇形的半径为r ，弧长为l ，则由扇形面积公式可得2＝12|α|r 2＝12×4×r 2，解得r ＝1，l ＝αr ＝4，所以所求扇形的周长为2r ＋l ＝6.5.若角α的终边在直线y ＝－x 上，则角α的取值集合为( )A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪⎪α＝k ·2π－π4，k ∈Z B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪⎪α＝k ·2π＋3π4，k ∈Z C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪⎪α＝k ·π－3π4，k ∈Z D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪⎪α＝k ·π－π4，k ∈Z 答案 D解析由图知，角α的取值集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪⎪α＝2n π＋3π4，k ∈Z ∪ ⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪⎪α＝2n π－π4，k ∈Z ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪⎪α＝（2n ＋1）π－π4，k ∈Z ∪ ⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪⎪α＝2n π－π4，k ∈Z ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪⎪α＝k π－π4，k ∈Z . 6.设θ是第三象限角，且⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos θ2＝－cos θ2，则θ2是( ) A.第一象限角B.第二象限角C.第三象限角D.第四象限角答案 B解析由θ是第三象限角知，θ2为第二或第四象限角，又⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos θ2＝－cos θ2，所以cos θ2<0，综上可知，θ2为第二象限角.7.(2020·长沙模拟)已知角α的顶点在原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边上一点A (2sin α，3)(sin α≠0)，则cos α＝( )A.12B.－12C.32D.－32答案 A解析由三角函数定义得tan α＝32sin α，即sin αcos α＝32sin α，得3cos α＝2sin 2α＝2(1－cos 2α)，解得cos α＝12或cos α＝－2(舍去).故选A.8.(多选题)(2021·山东新高考模拟)如图，A ，B 是单位圆上的两个质点，点B 的坐标为(1，0)，∠BOA ＝60°，质点A 以1 rad/s 的角速度按逆时针方向在单位圆上运动，质点B 以2 rad/s 的角速度按顺时针方向在单位圆上运动，则( )A.经过1 s 后，∠BOA 的弧度数为π3＋3B.经过π12 s 后，扇形AOB 的弧长为7π12C.经过π6 s 后，扇形AOB 的面积为π3D.经过5π9 s 后，A ，B 在单位圆上第一次相遇答案 ABD解析经过1 s 后，质点A 运动1 rad ，质点B 运动2 rad ，此时∠BOA 的弧度数为π3＋3，故A 正确；经过π12 s 后，∠AOB ＝π12＋π3＋2×π12＝7π12，故扇形AOB 的弧长为7π12×1＝7π12，故B 正确；经过π6 s 后，∠AOB ＝π6＋π3＋2×π6＝5π6，故扇形AOB 的面积为S ＝12×5π6×12＝5π12，故C 不正确；设经过t s 后，A ，B 在单位圆上第一次相遇，则t (1＋2)＋π3＝2π，解得t ＝5π9(s)，故D 正确.二、填空题9.已知扇形的圆心角为π6，面积为π3，则扇形的弧长等于________. 答案 π3解析设扇形半径为r ，弧长为l ，则⎩⎪⎨⎪⎧l r ＝π6，12lr ＝π3，解得⎩⎨⎧l ＝π3，r ＝2. 10.在平面直角坐标系xOy 中，点P 在角2π3的终边上，且|OP |＝2，则点P 的坐标为________.答案 (－1，3)解析设点P 的坐标为(x ，y )，由三角函数定义得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝|OP |cos 2π3，y ＝|OP |sin 2π3，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝3，所以点P 的坐标为(－1，3).11.(2021·河北九校联考)已知点P (sin 35°，cos 35°)为角α终边上一点，若0°≤α<360°，则α＝________.答案 55°解析由题意知cos α＝sin 35°＝cos 55°，sin α＝cos 35°＝sin 55°，P 在第一象限，所以α＝55°.12.已知角α的顶点为坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边上有两点A (1，a )，B (2，b )，且cos 2α＝23，则|a －b |＝________.答案 55解析由O ，A ，B 三点共线，从而得到b ＝2a ，因为cos 2α＝2cos 2α－1＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 2＋12－1＝23，解得a 2＝15，即|a |＝55，所以|a －b |＝|a －2a |＝|a |＝55.B 级能力提升13.设集合M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＝k 2·180°＋45°，k ∈Z ，N ＝{x |x ＝k 4·180°＋45°，k ∈Z }，那么( )A.M ＝NB.M ⊆NC.N ⊆MD.M ∩N ＝∅ 答案 B解析由于M 中，x ＝k 2·180°＋45°＝k ·90°＋45°＝(2k ＋1)·45°，2k ＋1是奇数；而N 中，x ＝k 4·180°＋45°＝k ·45°＋45°＝(k ＋1)·45°，k ＋1是整数，因此必有M ⊆N .14.(2019·北京卷)如图，A ，B 是半径为2的圆周上的定点，P 为圆周上的动点，∠APB 是锐角，大小为β.图中阴影区域的面积的最大值为( )A.4β＋4cos βB.4β＋4sin βC.2β＋2cos βD.2β＋2sin β 答案 B解析如图，设点O 为圆心，连接PO ，OA ，OB ，AB ，在劣弧上取一点C ，则阴影部分面积为△ABP 和弓形ACB 的面积和.因为A ，B 是圆周上的定点，所以弓形ACB 的面积为定值，故当△ABP 的面积最大时，阴影部分的面积最大.又AB 的长为定值，故当点P 为优弧的中点时，点P 到弦AB 的距离最大，此时△ABP 面积最大，即当P 为优弧的中点时，阴影部分面积最大.下面计算当P 为优弧的中点时阴影部分的面积.因为∠APB 为锐角，且∠APB ＝β，所以∠AOB ＝2β，∠AOP ＝∠BOP ＝180°－β，则阴影部分的面积S ＝S △AOP ＋S △BOP ＋S 扇形OAB ＝2×12×2×2sin(180°－β)＋12×22×2β＝4β＋4sin β.故选B.15.一扇形的圆心角为2π3，则此扇形的面积与其内切圆的面积的比值为________.答案 7＋439解析设扇形半径为R ，内切圆半径为r .则(R －r )sin π3＝r ，即R ＝⎝⎛⎭⎪⎫1＋233r . 又S 扇＝12|α|R 2＝12×2π3×R 2＝π3R 2＝7＋439πr 2，所以S 扇πr 2＝7＋439.16.在平面直角坐标系中，劣弧，，，是圆x 2＋y 2＝1上的四段弧(如图)，点P 在其中一段弧上，角α以Ox 为始边，OP 为终边.若tan α<cos α<sin α，则P 所在的圆弧是________.答案解析因为tan α<cos α，所以P 所在的圆弧不是，因为tan α<sin α，所以P 所在的圆弧不是，又cos α<sin α，所以P 所在的圆弧不是，所以P 所在的圆弧是.。

2014版山东《复习方略》(人教A版数学理)课时提升作业第三章第一节任意角和弧度制及任意角的三角函数

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课时提升作业(十七)一、选择题1.(2013·银川模拟)已知命题p:“sinα=sinβ,且cosα=cosβ”,命题q:“α=β”,则命题p是命题q的( )(A)必要不充分条件(B)充分不必要条件(C)充要条件(D)既不充分也不必要条件2.(2013·青岛模拟)已知θ是第四象限角，则sin(sin θ)( )(A)大于0 (B)大于等于0(C)小于0 (D)小于等于03.若α=m·360°+θ,β=n·360°-θ(m,n∈Z),则α,β终边的位置关系是( ) (A)重合(B)关于原点对称(C)关于x轴对称(D)关于y轴对称4.(2013·安阳模拟)点P从(1,0)出发,沿单位圆x2+y2=1逆时针方向运动23π到达P′点,则P′点的坐标为( )()()()()11 A(B() 2211C(D() 2222-----，，5.若一扇形的圆心角为72°,半径为20cm,则扇形的面积为( ) (A)40πcm 2 (B)80πcm 2 (C)40 cm 2 (D)80 cm 26.若角α的终边落在直线x+y=0上,的值等于( ) (A)-2 (B)2 (C)-2或2 (D)0 7.已知sinx=2cosx,则sin 2x+1=( )()()()()6945A B C D 55338.一段圆弧的长度等于其圆内接正三角形的边长,则其圆心角的弧度数为( )()()((2A B C D 33ππ9.已知sin α+cos α=713,0<α<π,则1tan 1tan -α+α=( )()()()()15151717A B C D 7777--10.(能力挑战题)已知角α的终边上一点的坐标为(sin 6π,cos 6π),则角α的最小正值为( )()()()()115A B C D 6636ππππ二、填空题11.(2013·东营模拟)α的终边与6π的终边关于直线y=x 对称，则α= . 12.在平面直角坐标系xOy 中,以Ox 轴为始边作两个锐角α,β,它们的终边都在第一象限内,并且分别与单位圆相交于A,B 两点,已知A 点的纵坐标为10,B 点的纵坐标为10,则tan α= ,tan β= .13.若函数f(x)=()cos x x 0f x 11x 0-π⎧⎪⎨++≤⎪⎩，＞，，，则f(-43)的值为 .14.(2013·枣庄模拟)已知tan α=-34,α是第二象限角,则sin α-cos α的值为 . 三、解答题15.(能力挑战题)已知角α终边经过点≠0),且cos α=6x.求 sin α+1tan α的值.答案解析1.【思路点拨】先验证p 能否推出q,再判断q 能否推出p.【解析】选A.若“sin α=sin β,且cos α=cos β”,则α=β+2k π(k ∈Z),未必有“α=β”;反之,若“α=β”,必定有“sin α=sin β,且cos α=cos β”,即p 与q 满足p q 但q p,⇒所以命题p 是命题q 的必要不充分条件. 2.【解析】选C.令α=sin θ,∵θ是第四象限角， ∴-1＜α＜0，即-2π＜α＜0， ∴α是第四象限角，∴sin α＜0. 即sin(sin θ)＜0.3.【解析】选C.由已知得,α的终边与θ终边相同,而β的终边与-θ的终边相同,θ与-θ关于x 轴对称,故α,β终边关于x 轴对称.4.【解析】选A.如图所示,⇒由题意可知∠POP ′=2,3π ∴∠MOP ′=,3π∴OM=12,MP ′=2,∴P ′(-12,). 故选A.5.【解析】选B.72°=2,5π ∴S 扇形=12αR 2=12×25π×202=80π(cm 2). 6.【解析】选D.原式=sin sin cos cos αα+αα，由题意知角α的终边在第二、四象限,sin α与cos α的符号相反,所以原式=0. 7.【思路点拨】由sinx=2cosx 可得tanx,将所求式子弦化切代入求解. 【解析】选B.由sinx=2cosx 得tanx=2,而sin 2x+1=2sin 2x+cos 2x=22222sin x cos xsin x cos x++2222tan x 12419.tan x 1215+⨯+===++ 8.【解析】选C.由题意可知,圆内接正三角形边长a 与圆的半径之间关系为∴arα=== 9.【思路点拨】把sin α,cos α看成两个未知数,仅有sin α+cos α=713是不够的,还要运用sin 2α+cos 2α=1组成一个方程组,解出sin α,cos α的值,然后弦化切代入求解即可.【解析】选C.由条件结合平方关系式可得22sin cos 17sin cos .13⎧α+α=⎪⎨α+α=⎪⎩，可得7sin cos 1360sin cos .169⎧α+α=⎪⎪⎨⎪αα=-⎪⎩，又∵0<α<π, ∴sin α>0,cos α<0,解得125sin ,cos ,1313α=α=- 故121()121tan 175tan ..1251tan 71()5---αα=-∴==-+α+- 【一题多解】本题还可用如下解法:sin α+cos α=713两边平方可得: 1+2sin αcos α=49,169所以2sin αcos α=120,169- 故(sin α-cos α)2=1-2sin αcos α=289.169因0<α<π,且sin α+cos α=713,则α必为钝角(否则值大于等于1), 故sin α-cos α>0,sin α-cos α=1713.则有171tan cos sin 1713.71tan cos sin 713--αα-α===-+αα+α10.【解析】选C.∵sin 6π>0,cos 6π>0,∴角α的终边在第一象限,∴cosy 62tan x sin 62πα==== ∴角α的最小正值为.3π11.【解析】由题意，得2k 3πα=+π(k ∈Z). 答案:2k 3π+π(k ∈Z)12.【解析】由条件得sin αsin β ∵α为锐角,∴cos α>0且cos α同理可得cos β因此tan α=13,tan β=17.答案: 13 1713.【解析】由已知得f(-43)=f(-43+1)+1 =f(-13)+1=f(-13+1)+2 =f(23)+2=-cos 23π+2=12+2=52.答案:5214.【解析】∵tan α=3sin 3,,4cos 4α-∴=-α ∴sin α=-34cos α.又sin 2α+cos 2α=1,∴916cos 2α+cos 2α=1,∴cos 2α=1625. 又α为第二象限角,∴cos α=-45,∴sin α=35,∴sin α-cos α=347.555+=答案:7515.【思路点拨】利用三角函数定义先确定P 到原点的距离r,再代入三角函数公式可解.【解析】∵≠0),∴点P 到原点的距离又cos α∴cos α∵x ≠0,x r ∴=∴=当时,P 点坐标为由三角函数的定义,有1sin tan α==α1sin tan 1x sin tan 6∴α+==α=α+=α当【变式备选】已知角α的终边过点(a,2a)(a ≠0),求α的三角函数值. 【解析】因为角α的终边过点(a,2a)(a ≠0),所以,当a>0时,sin α=y r===cos α=xr==tan α=2. 当a<0时,sin α=y r5===-cos α=xr5==-；tan α=2. 综上,角α的三角函数值为sin αcos αtan α=2或sin αcos αtan α=2. 关闭Word 文档返回原板块。

(11)任意角和弧度制及任意角的三角函数 Word版含答案

寒假作业（11）任意角和弧度制及任意角的三角函数1、与468-︒角的终边相同的角的集合是( )A.{}|360456,Z k k αα=⋅︒+︒∈B.{}|360252,Z k k αα=⋅︒+︒∈C.{}|36096,Z k k αα=⋅︒+︒∈D.{}|360252,Z k k αα=⋅︒-︒∈2、330-︒是( )A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限3、终边在第三象限角平分线上的角α的集合为( ) A.3{|2ππ,Z}4k k αα=+∈ B.5{|2ππ,Z}4k k αα=+∈ C.π{|2π,Z}4k k αα=-∈ D.3{|2ππ,Z}4k k αα=+∈4、集合ππ{|ππ,Z}42k k k αα+≤≤+∈所表示的角的范围(用阴影表示)是()A. B. C. D.5、点(tan 2011,cos2011)P ︒︒位于( )A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限6、已知cos tan 0θθ⋅>，那么角θ是( )A.第一、二象限角B.第二、三象限角C.第三、四象限角D.第一、四象限角7、若342αππ-<<-，则sin ,cos ,tan ααα的大小关系是( )A.sin tan cos ααα<<B.tan sin cos ααα<<C.cos sin tan ααα<<D.sin cos tan ααα<<8、若α是第三象限角，则sin cos sin cos αααα-=( ) A.0 B.1 C.2 D.-29、已知角α的终边与单位圆交于点12⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，则sin α的值为( )A. B.12- D.1210、如果角α的终边经过点()()sin 780,cos 330P ︒-︒,则sin α=( )B.12 D.111、用弧度制表示终边在(0)y x x =≥上的角的集合为__________________.12、时针从6小时50分走到10小时40分,这时分针旋转了______________弧度.13、已知一扇形的圆心角π3α=,扇形所在圆的半径10R =,则这个扇形的弧长为_____________,该扇形所在弓形的面积为_____________. 14、若角α的终边与角π6的终边关于直线y x =对称,且(4π,π)a ∈-,则α=___________. 15、一扇形的圆心角为2弧度,记此扇形的周长为C ,面积为S ,则1C S -的最大值为______________. 16、若三角形三内角之比为4:5:6,则三内角的弧度数分别是____________.答案以及解析1答案及解析：答案：B解析：因为4682360252-︒=-⨯︒+︒，所以252︒角与468-︒角的终边相同，所以与468-︒角的终边相同的角为360252,Z k k ⋅︒+︒∈.故选B.2答案及解析：答案：A解析：由于330(1)36030-︒=-⨯︒+︒，即330-︒与30︒的终边相同，因此330-︒是第一象限角.故选A.3答案及解析：答案：B解析：在0~2π范围内终边在第三象限角平分线上的角为5π4,故终边在第三象限角平分线上的角α的集合为5{|2ππ,Z}4k k αα=+∈.故选B.4答案及解析：答案：C解析：当2k m =,Z m ∈时,ππ2π2π42m m α+≤≤+, 当21k m =+,Z m ∈时,5π3π2π2π42m m α+≤≤+, 故选C.5答案及解析：答案：D解析：tan 2011tan(5360211)tan 2110︒=⨯︒+︒=︒>，cos2011cos2110︒=︒<，所以点P 在第四象限.6答案及解析：答案：A解析：有cos tan 0θθ⋅>可知cos tan θθ⋅同号，从而θ为第一、二象限角.故选A.7答案及解析：答案：D 解析：如图所示，在单位圆中，作出342αππ-<<-内的一个角及其正弦线、余弦线、正切线.由图知，OM MP AT <<考虑方向可得sin cos tan ααα<<.8答案及解析：答案：A解析：因为α是第三象限角，所以sin 0,cos 0αα<<，所以sin cos 1(10)sin cos αααα-=---=.故选.9答案及解析：答案：B 解析：1sin 2y α==-.10答案及解析：答案：C解析：因为sin 780sin(236060)sin 60︒=⨯︒+︒=︒，cos(330)cos(36030)cos30-︒=-︒+︒=︒=，所以,sin P α=⎝⎭11答案及解析：答案：π{|2,Z}4kx k αα=+∈ 解析：因为在0~2π范围内终边在(0)y x x =≥上的角为π4,所以终边在(0)y x x =≥上的角的集合为π{|2,Z}4kx k αα=+∈.12答案及解析：答案：23π3- 解析：时针共走了3小时50分钟,分针旋转了523(32π2π)π63-⨯+⨯=-.13答案及解析：答案：10π3;π50(3- 解析：设扇形的弧长为l , 则π10π||1033l R α=⋅=⨯=. 如图在扇形OAB 中作OD AB ⊥交AB 于D .则10AB =,OD =111022OAB S AB OD =⨯⋅=⨯⨯=△110π50π10233S =⨯⨯=扇.则50ππ50(332S =-=-弓形.14答案及解析：答案：11π5ππ7π,,,3333-- 解析：如图所示,设角π6的终边为,OA OA 关于直线y x =对称的射线为OB ,则以OB 为终边且在0到2π之间的角为π3, 故以OB 为终边的角的集合为π{|2π,Z}3k k αα=+∈. 因为(4π,4π)a ∈-,所以π4π2π4π3k -<+<, 所以131166k -<<. 因为Z k ∈,所以2,1,0,1k =-- 所以11π5ππ7π,,,3333α=--.15答案及解析：答案：4解析：设扇形的弧长为l ,所在圆的半径为r ,则2l r =,故2224C l r r r r =+=+=,212S lr r ==,所以222141141()(2)44C r S r r r r --==-+=--+≤,当12r =时等号成立,则1C S-的最大值为4.16答案及解析：答案：4π15,π3,2π5解析：设三角形的三个内角的弧度数分别为4,5,6x x x ,则有456πx x x ++=,解得π15x =,所以三内角的弧度数分别为4π415x =,π53x =,2π65x =.。

人教A版数学必修四1.1 任意角、弧度制及任意角的三角函数.docx

高中数学学习材料马鸣风萧萧*整理制作1.1 任意角、弧度制及任意角的三角函数一、填空题1．若－π2＜α＜0，则点P (cos α，sin α)位于第________象限．解析由－π2＜α＜0，得cos α＞0且sin α＜0，所以点P (cos α，sin α)位于第四象限．答案四2．若点A (x ，y )是300°角终边上异于原点的一点，则yx 的值为________．解析yx＝tan 300°＝－tan 60°＝－ 3. 答案－ 33.已知锐角α终边上一点A 的坐标是(2sin 3π,2cos )3π,则α的弧度数是_______．解析 tan 2cos 3332sin 3y x παπ===, ∵α为锐角,∴6απ=. 答案6π 4．点P 从(1,0)出发，沿单位圆x 2＋y 2＝1逆时针方向运动2π3弧长到达点Q ，则点Q 的坐标为________．解析点Q 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 2π3，sin 2π3，即⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32.答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，325．用弧度制表示终边落在x 轴上方的角的集合为________________．解析若角α的终边落在x 轴上方，则2k π<α<2k π＋π，k ∈Z. 答案 {α|2k π<α<2k π＋π，k ∈Z}6．已知一扇形的中心角α＝60°，所在圆的半径R ＝10 cm ，则扇形的弧长为________cm ，面积为________cm 2.解析 α＝60°＝π3，R ＝10 cm ，l ＝10π3(cm)，S 扇＝12×10π3×10＝50π3(cm 2)．答案 10π3 50π37.设α角属于第二象限,且|cos 2α|=-cos 2α,则2α角属于________．解析:2k π22k απ+<<π+π(k ∈Z ), k π22k απ+<<π(2k π+∈Z ),当2(k n n =∈Z )时2α,在第一象限;当21(k n n =+∈Z )时2α,在第三象限;而|cos 2α|=-cos 2α⇒cos 02α≤,∴2α在第三象限.答案第三象限8．已知角α的终边上一点的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫sin 2π3，cos 2π3，则角α的最小正值为________．解析将点的坐标化简得⎝ ⎛⎭⎪⎫32，－12，它是第四象限的点，所以α最小正值为2π－π6＝11π6. 答案11π69．若0＜α＜2π，sin α＞3cos α，则α的取值范围是________．解析如图所示，当α角终边位于直线AB 左上侧时，有π3＜α＜4π3.答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，4π310．已知锐角α终边上一点A 的坐标为(2sin 3，－2cos 3)，则角α的弧度数为________．解析由已知tan α＝－2cos 32sin 3＝－tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－3＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫3－π2.因为0＜3－π2＜π2，所以α＝3－π2.答案 3－π211．已知扇形的周长为8 cm ，则该扇形面积的最大值为________cm 2. 解析设扇形半径为r cm ，弧长为l cm ，则2r ＋l ＝8，S ＝12rl ＝12r ×(8－2r )＝－r 2＋4r ＝－(r －2)2＋4，所以S max ＝4 (cm 2)．答案 412．已知集合E ＝{θ|cos θ<sin θ，0≤θ≤2π}，F ＝{θ|tan θ<sin θ}，那么E ∩F 的区间是________．解析由单位圆的正、余弦线，容易得E ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫θ⎪⎪⎪π4<θ<54π，又由F 可知，θ应在第二、第四象限，所以E ∩F ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫θ⎪⎪⎪π2<θ<π. 答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π13．已知角α的终边过点P (－8m ，－6sin 30°)，且cos α＝－45，则m 的值为________．解析因为r ＝64 m 2＋9，所以cos α＝－8m 64m 2＋9＝－45，所以m ＞0，所以4m 264m 2＋9＝125，即m ＝±12.又m ＞0，故m ＝12.答案 12二、解答题14.已知角α的终边经过P(4,-3). (1)求2sin α-cos α的值;(2)求角α的终边与单位圆的交点P 的坐标. 解析 (1)∵22224(3)5r x y =+=+-=,∴sin 3355y r α-===-,cos 45x r α==.∴2sin α-cos 342()255α=⨯--=-.(2)角α的终边与单位圆的交点P 的坐标为(cos α,sin )α,即34()55,-.15．角α终边上的点P 与A (a,2a )关于x 轴对称(a ≠0)，角β终边上的点Q 与A 关于直线y ＝x 对称，求sin α·cos α＋sin β·cos β＋tan α·tan β的值．解析由题意得，点P 的坐标为(a ，－2a )，点Q 的坐标为(2a ，a )． sin α＝－2a a 2＋－2a2＝－2a5a2， cos α＝a a 2＋－2a 2＝a 5a2，tan α＝－2aa＝－2，sin β＝a a 2＋a 2＝a5a 2，cos β＝2aa2＋a2＝2a5a2， tan β＝a 2a ＝12，故有sin α·cos α＋sin β·cos β＋tan α·tan β ＝－2a 5a 2·a 5a 2＋a 5a 2·2a 5a 2＋(－2)×12＝－1.16．已知角α终边经过点P (x ，－2)(x ≠0)，且 cos α＝36x ，求sin α，tan α的值．解析因为P (x ，－2)(x ≠0)，所以P 到原点的距离r ＝x 2＋2，又cos α＝36x ，故cos α＝x x 2＋2＝36x ，因为x ≠0，所以x ＝±10，故r ＝2 3. 当x ＝10时，P 点坐标为(10，－2)，由三角函数定义，有sin α＝－66，tan α＝－55；当x ＝－10时，P 点坐标为(－10，－2)，所以sin α＝－66，tan α＝55. 17．如图，在平面直角坐标系xOy 中，以Ox 轴为始边作两个锐角α，β，它们的终边分别与单位圆相交于A ，B 两点，已知A ，B 的横坐标分别为210，255. (1)求tan(α＋β)的值；(2)求α＋2β的值．解析由题意，得cos α＝210，cos β＝255，α，β∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，所以sin α＝1－cos 2 α＝7210，sin β＝1－cos 2 β＝55，因此tan α＝7，tan β＝12.(1)tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝7＋121－7×12＝－3.(2)tan(α＋2β)＝tan[(α＋β)＋β]＝－3＋121－－12＝－1，又α＋2β∈⎝⎛⎭⎪⎫0，3π2，所以α＋2β＝3π4.18．已知扇形OAB 的圆心角为4弧度，其面积为2 cm 2，求扇形周长和弦AB 的长．解析设AMB 长为l ，OA ＝r ，扇形OAB 的面积为S 扇形．∵S 扇形＝12lr ，∴12lr ＝2.①设扇形的圆心角∠AOB 的弧度数为α，则|α|＝l r＝4，②由①②解得r ＝1，l ＝4，∴扇形的周长为l ＋2r ＝4＋2×1＝6 (cm)．如图所示，作OH ⊥AB 于H ，则AB ＝2AH ＝2r sin 2π－42＝2r sin(π－2)＝2sin2 (cm)．。

2021年高考数学专题复习第17讲任意角、弧度制及任意角的三角函数练习新人教A版

2021年高考数学专题复习第17讲任意角、弧度制及任意角的三角函数练习新人教A 版[考情展望] 1.利用三角函数的定义求三角函数值.2.考查三角函数值符号的确定．一、角的有关概念1．从运动的角度看，角可分为正角、负角和零角． 2．从终边位置来看，可分为象限角与轴线角．3．若β与α是终边相同的角，则β用α表示为β＝2k π＋α(k ∈Z)．二、弧度与角度的互化 1．1弧度的角长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角． 2．角α的弧度数如果半径为r 的圆的圆心角α所对弧的长为l ，那么，角α的弧度数的绝对值是|α|＝lr.3．角度与弧度的换算①1°＝π180rad ；②1 rad ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫180π°.4．弧长、扇形面积的公式设扇形的弧长为l ，圆心角大小为α(rad)，半径为r ，则l ＝rα，扇形的面积为S ＝12lr ＝12r 2α.角度制与弧度制不可混用角度制与弧度制可利用180°＝π rad 进行互化，在同一个式子中，采用的度量制度必须一致，不可混用．三、任意角的三角函数1定义：设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P (x ，y )，那么sin α＝y ，cos α＝x ，tan α＝yx.2．几何表示：三角函数线可以看作是三角函数的几何表示，正弦线的起点都在x 轴上，余弦线的起点都是原点，正切线的起点都是(1,0)．三角函数值符号记忆口诀记忆技巧：一全正、二正弦、三正切、四余弦(为正)．即第一象限全为正，第二象限正弦为正，第三象限正切为正，第四象限余弦为正．1．给出下列四个命题：①－3π4是第二象限角；②4π3是第三象限角；③－400°是第四象限角；④－315°是第一象限角．其中正确的命题有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【解析】 ①中－3π4是第三象限角，故①错误．②中，4π3＝π＋π3，从而4π3是第三象限角正确．③中－400°＝－360°－40°，从而③正确．④中－315°＝－360°＋45°，从而④正确．【答案】 C2．已知角α的终边过点P (－1,2)，则sin α＝( ) A.55B.255C ．－55D ．－255【解析】由三角函数的定义可知，sin α＝2－12＋22＝255. 【答案】 B3．若sin α＜0且tan α＞0，则α是( ) A ．第一象限角B ．第二象限角C．第三象限角D．第四象限角【解析】由sin α＜0，得α在第三、四象限或y轴非正半轴上，又tan α＞0，∴α在第三象限．【答案】 C4．弧长为3π，圆心角为135°的扇形半径为________，面积为________．【解析】∵l＝3π，α＝135°＝3π4，∴r＝lα＝4，S＝12lr＝12×3π×4＝6π.【答案】 4 6π5．(xx·江西高考)下列函数中，与函数y＝13x定义域相同的函数为( )A．y＝1sin xB．y＝ln xxC．y＝x e x D．y＝sin x x【解析】函数y＝13x的定义域为{x|x≠0}，选项A中由sin x≠0⇒x≠kπ，k∈Z，故A不对；选项B中x>0，故B不对；选项C中，x∈R，故C不对；选项D中由正弦函数及分式型函数的定义域确定方法可知定义域为{x|x≠0}，故选D.【答案】 D6．(2011·江西高考)已知角θ的顶点为坐标原点，始边为x轴的正半轴．若P(4，y)是角θ终边上一点，且sin θ＝－255，则y＝________.【解析】由三角函数的定义，sin θ＝y16＋y2，又sin θ＝－255＜0，∴y＜0且y16＋y2＝－255，解之得y＝－8. 【答案】－8考向一 [047] 角的集合表示及象限角的判定(1)写出终边在直线y ＝3x 上的角的集合； (2)已知α是第三象限角，求α2所在的象限．【思路点拨】 (1)角的终边是射线，应分两种情况求解． (2)把α写成集合的形式，从而α2的集合形式也确定．【尝试解答】 (1)当角的终边在第一象限时，角的集合为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫α⎪⎪⎪α＝2k π＋π3，k ∈Z，当角的终边在第三象限时，角的集合为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫α⎪⎪⎪ α＝2k π＋43π，k ∈Z，故所求角的集合为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫α⎪⎪⎪α＝2k π＋π3，k ∈Z∪⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫α⎪⎪⎪α＝2k π＋43π，k ∈Z＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫α⎪⎪⎪α＝k π＋π3，k ∈Z. (2)∵2k π＋π＜α＜2k π＋32π(k ∈Z)，∴k π＋π2＜α2＜k π＋34π(k ∈Z)．当k ＝2n (n ∈Z)时，2n π＋π2＜α2＜2n π＋34π，α2是第二象限角，当k ＝2n ＋1(n ∈Z)时，2n π＋3π2＜α2＜2n π＋74π，α2是第四象限角，综上知，当α是第三象限角时，α2是第二或第四象限角．规律方法1 1.若要确定一个绝对值较大的角所在的象限，一般是先将角化为2k π＋α0≤α＜2πk ∈Z 的形式，然后再根据α所在的象限予以判断.2.利用终边相同的角的集合可以求适合某些条件的角，方法是先写出这个角的终边相同的所有角的集合，然后通过对集合中的参数k 赋值来求得所需角.对点训练若α＝k ·180°＋45°(k ∈Z)，则α在( ) A ．第一或第三象限 B ．第一或第二象限 C ．第二或第四象限D ．第三或第四象限【解析】当k ＝2n (n ∈Z)时，α＝n ·360°＋45°，所以α在第一象限．当k ＝2n ＋1(n ∈Z)时，α＝n ·360°＋225°，所以α在第三象限．综上可知，α在第一或第三象限．【答案】 A考向二 [048] 扇形的弧长及面积公式已知扇形的圆心角是α，半径为R ，弧长为l . (1)若α＝60°，R ＝10 cm ，求扇形的弧长l .(2)若扇形的周长为20 cm ，当扇形的圆心角α为多少弧度时，这个扇形的面积最大？ (3)若α＝π3，R ＝2 cm ，求扇形的弧所在的弓形的面积．【思路点拨】 (1)可直接用弧长公式，但要注意用弧度制；(2)可用弧长或半径表示出扇形面积，然后确定其最大值时的半径和弧长，进而求出圆心角α；(3)利用S 弓＝S 扇－S △，这样就需要求扇形的面积和三角形的面积．【尝试解答】 (1)l ＝10×π3＝10π3(cm)．(2)由已知得：l ＋2R ＝20，所以S ＝12lR ＝12(20－2R )R ＝10R －R 2＝－(R －5)2＋25，所以R ＝5时，S 取得最大值25，此时l ＝10，α＝2 rad.(3)设弓形面积为S 弓．由题知l ＝2π3cm ，S 弓＝S 扇－S △＝12×2π3×2－12×22×sin π3＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－3(cm 2)．规律方法2 1.利用扇形的弧长和面积公式解题时，要注意角的单位必须是弧度. 2.本题把求扇形面积最大值的问题，转化为二次函数的最值问题，利用配方法使问题得到解决，这是解决此类问题的常用方法.3.在解决弧长问题和扇形面积问题时，要注意合理地利用圆心角所在的三角形. 对点训练已知半径为10的圆O 中，弦AB 的长为10， (1)求弦AB 所对的圆心角α的大小；(2)求α所在的扇形弧长l 及弧所在的弓形的面积S . 【解】 (1)在△AOB 中，AB ＝OA ＝OB ＝10， ∴△AOB 为等边三角形．因此弦AB 所对的圆心角α＝π3. (2)由扇形的弧长与扇形面积公式，得l ＝α·R ＝π3×10＝103π， S 扇形＝12R ·l ＝12α·R 2＝50π3. 又S △AOB ＝12·OA ·OB ·sin π3＝25 3.∴弓形的面积S ＝S 扇形－S △AOB ＝50⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－32.考向三 [049] 三角函数的定义(1)已知角α的终边经过点P (m ，－3)，且cos α＝－45，则m 等于( )A ．－114 B.114C ．－4D ．4 (2)已知角α的终边在直线3x ＋4y ＝0上，求sin α，cos α，tan α的值．【思路点拨】 (1)求出点P 到原点O 的距离，根据三角函数的定义求解． (2)在直线上设一点P (4t ，－3t )，求出点P 到原点O 的距离，根据三角函数的定义求解，由于点P 可在不同的象限内，所以需分类讨论．【尝试解答】 (1)点P 到原点O 距离|OP |＝m 2＋9， ∴cos α＝m m 2＋9＝－45， ∴⎩⎪⎨⎪⎧m 2＝16m ＜0，∴m ＝－4.【答案】 C(2)在直线3x ＋4y ＝0上任取一点P (4t ，－3t )(t ≠0)，则x ＝4t ，y ＝－3t ， ∴r ＝|PO |＝x 2＋y 2＝4t2＋－3t2＝5|t |，当t ＞0时，r ＝5t ， sin α＝y r ＝－3t 5t ＝－35，cos α＝x r ＝4t 5t ＝45， tan α＝y x ＝－3t 4t ＝－34；当t ＜0时，r ＝－5t ，sin α＝y r ＝－3t －5t ＝35，cos α＝x r ＝4t －5t ＝－45，tan α＝y x ＝－3t 4t ＝－34.综上可知，当t ＞0时，sin α＝－35，cos α＝45，tan α＝－34.当t ＜0时，sin α＝35，cos α＝－45，tan α＝－34.规律方法3 定义法求三角函数值的两种情况 1已知角α终边上一点P 的坐标，则可先求出点P 到原点的距离r ，然后利用三角函数的定义求解.2已知角α的终边所在的直线方程，则可先设出终边上一点的坐标，求出此点到原点的距离，然后利用三角函数的定义求解相关的问题.若直线的倾斜角为特殊角，也可直接写出角α的三角函数值.对点训练设90°＜α＜180°，角α的终边上一点为P (x ，5)，且cos α＝24x ，求4sin α－3tan α的值．【解】 ∵r ＝x 2＋5，∴cos α＝xx 2＋5，从而24x ＝xx 2＋5，解得x ＝0或x ＝± 3. ∵90°＜α＜180°，∴x ＜0，因此x ＝－ 3.则r ＝22， ∴sin α＝522＝104，tan α＝5－3＝－153. 故4sin α－3tan α＝10＋15.易错易误之六 |a |≠a ——三角函数定义求值中引发的分类讨论 ———— [1个示范例] ———— [1个防错练] ————(xx·临沂模拟)已知角θ的终边上一点p (3a,4a )(a ≠0)，则sin θ＝________.【解析】 ∵x ＝3a ，y ＝4a ， ∴r ＝3a2＋4a2＝5|a |.此处在求解时，常犯r ＝5a 的错误，出错的原因在于去绝对值时，没有对a 进行讨论.(1)当a ＞0时，r ＝5a ，∴sin θ＝y 5＝45.(2)当a ＜0时，r ＝－5a ，∴sin θ＝y 5＝－45∴sin θ＝±45.【防范措施】 1.对于a 2＝|a |，在去掉绝对值号后，应分a ≥0和a ＜0两种情况讨论.2.已知角α终边上任意一点p x ，y ，求三角函数值时，应用sin α＝y x 2＋y2，cos α＝x x 2＋y2，tan α＝yx求解. 已知角α的终边落在直线y ＝2x 上，则sin α＋cos α＝________. 【解析】在角α的终边上任取一点P (t,2t )(t ≠0)，则r ＝|OP |＝t 2＋4t 2＝5|t |(1)若t ＞0，则sin α＝2t5t ＝255， cos α＝t5t＝55，sin α＋cos α＝355. (2)若t ＜0，则sin α＝－2t 5t ＝－255， cos α＝－t5t＝－55，sin α＋cos α＝－355. 综上所述，sin α＋cos α＝±355. 【答案】 ±35526695 6847 桇33393 8271 艱36518 8EA6 躦28397 6EED 滭{-{b37411 9223 鈣}"31438 7ACE 竎21868 556C 啬324016 5DD0 巐。

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