对数函数讲义(可直接使用).
对数与对数函数教师讲义
名思教育辅导讲义所以函数y ＝log 5(2x ＋1)的单调增区间是(－，＋∞)．5．已知f (x )是定义在R 上的偶函数，且在[0，＋∞)上为增函数，f ＝0，则不等式f (18logx )>0的解集为________________．答案 ∪(2，＋∞)解析 ∵f (x )是R 上的偶函数， ∴它的图象关于y 轴对称． ∵f (x )在[0，＋∞)上为增函数， ∴f (x )在(－∞，0]上为减函数， 由f ＝0，得f ＝0. ∴f (18logx )>0?18log x <－或18log x >x >2或0<x <， ∴x ∈∪(2，＋∞)． 题型一 对数式的运算例1 (1)若x ＝log 43，则(2x －2－x )2等于( )A.B.C.D.(2)已知函数f (x )＝则f (f (1))＋f (log 3)的值是 ( )A ．5B ．3C ．－1D.思维启迪 (1)利用对数的定义将x ＝log 43化成4x ＝3； (2)利用分段函数的意义先求f (1)，再求f (f (1))； f (log 3)可利用对数恒等式进行计算． 答案 (1)D (2)A解析 (1)由x ＝log 43，得4x ＝3，即2x ＝， 2－x ＝，所以(2x －2－x )2＝()2＝.(2)因为f (1)＝log 21＝0，所以f (f (1))＝f (0)＝2. 因为log 3<0，所以f (log 3)＝31log 231-+＝3log 23＋1＝2＋1＝3.所以f (f (1))＋f (log 3)＝2＋3＝5.思维升华 在对数运算中，要熟练掌握对数式的定义，灵活使用对数的运算性质、换底公式和对数恒等式对式子进行恒等变形，多个对数式要尽量化成同底的形式．已知函数f (x )＝则f (2＋log 23)的值为________．答案解析 因为2＋log 23<4，所以f (2＋log 23)＝f (3＋log 23)，而3＋log 23>4，所以f (3＋log 23)＝()323log +＝×()32log ＝×＝.题型二 对数函数的图象和性质例2 (1)函数y ＝2log 4(1－x )的图象大致是( )(2)已知f (x )是定义在(－∞，＋∞)上的偶函数，且在(－∞，0]上是增函数，设a ＝f (log 47)，b ＝f (12log 3)，c ＝f (0.2－0.6)，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．c <a <bB ．c <b <aC ．b <c <aD ．a <b <c思维启迪 (1)结合函数的定义域、单调性、特殊点可判断函数图象； (2)比较函数值的大小可先看几个对数值的大小，利用函数的单调性或中间值可达到目的．答案 (1)C (2)B解析 (1)函数y ＝2log 4(1－x )的定义域为(－∞，1)，排除A 、B ； 又函数y ＝2log 4(1－x )在定义域内单调递减，排除D.选C.(2)log3＝－log23＝－log49，12b＝f(log3)＝f(－log49)＝f(log49)，12log47<log49,0.2－0.6＝35 ＝>＝2>log49，又f(x)是定义在(－∞，＋∞)上的偶函数，且在(－∞，0]上是增函数，故f(x)在[0，＋∞)上是单调递减的，∴f(0.2－0.6)<f(log3)<f(log47)，即c<b<a.12思维升华(1)函数的单调性是函数最重要的性质，可以用来比较函数值的大小，解不等式等；(2)函数图象可以直观表示函数的所有关系，充分利用函数图象解题也体现了数形结合的思想．(1)已知a＝21.2，b＝－0.8，c＝2log52，则a，b，c的大小关系为() A．c<b<a B．c<a<bC．b<a<c D．b<c<a(2)已知函数f(x)＝log a(x＋b)(a>0且a≠1)的图象过两点(－1，0)和(0,1)，则a ＝________，b＝________.答案(1)A(2)2 2解析(1)b＝－0.8＝20.8<21.2＝a，c＝2log52＝log522<log55＝1<20.8＝b，故c<b<a.(2)f(x)的图象过两点(－1,0)和(0,1)．则f(－1)＝log a(－1＋b)＝0且f(0)＝log a(0＋b)＝1，∴，即.题型三对数函数的应用例3已知函数f(x)＝log a(3－ax)．(1)当x∈[0,2]时，函数f(x)恒有意义，求实数a的取值范围；(2)是否存在这样的实数a，使得函数f(x)在区间[1,2]上为减函数，并且最大值为1？如果存在，试求出a的值；如果不存在，请说明理由．思维启迪f(x)恒有意义转化为“恒成立”问题，分离参数a来解决；探究a 是否存在，可从单调性入手．解(1)∵a>0且a≠1，设t(x)＝3－ax，则t(x)＝3－ax为减函数，x∈[0,2]时，t(x)最小值为3－2a，当x∈[0,2]时，f(x)恒有意义，即x∈[0,2]时，3－ax>0恒成立．∴3－2a>0.∴a<.又a>0且a≠1，∴a∈(0,1)∪.(2)t(x)＝3－ax，∵a>0，∴函数t(x)为减函数，∵f(x)在区间[1,2]上为减函数，∴y＝log a t为增函数，∴a>1，x∈[1,2]时，t(x)最小值为3－2a，f(x)最大值为f(1)＝log a(3－a)，∴，即，故不存在这样的实数a，使得函数f(x)在区间[1,2]上为减函数，并且最大值为1.思维升华解决对数函数综合问题时，无论是讨论函数的性质，还是利用函数的性质(1)要分清函数的底数是a∈(0,1)，还是a∈(1，＋∞)；(2)确定函数的定义域，无论研究函数的什么性质或利用函数的某个性质，都要在其定义域上进行；(3)如果需将函数解析式变形，一定要保证其等价性，否则结论错误．已知f(x)＝log4(4x－1)．(1)求f(x)的定义域；(2)讨论f(x)的单调性；(3)求f(x)在区间[，2]上的值域．解(1)由4x－1>0，解得x>0，因此f(x)的定义域为(0，＋∞)．(2)设0<x1<x2，则0<4x1－1<4x2－1，因此log4(4x1－1)<log4(4x2－1)，即f(x1)<f(x2)，故f(x)在(0，＋∞)上递增．(3)f(x)在区间[，2]上递增，又f()＝0，f(2)＝log415，因此f(x)在[，2]上的值域为[0，log415]．利用函数性质比较幂、对数的大小典例：(15分)(1)设a＝0.50.5，b＝0.30.5，c＝log0.30.2，则a，b，c的大小关系是() A．a>b>c B．a<b<cC．b<a<c D．a<c<b(2)已知a＝2log 3.45，c＝()3log0.3，则()5，b＝2log 3.6A．a>b>c B．b>a>cC．a>c>b D．c>a>b(3)已知函数y＝f(x)的图象关于y轴对称，且当x∈(－∞，0)时，f(x)＋xf′(x)<0成立，a＝(20.2)·f(20.2)，b＝(logπ3)·f(logπ3)，c＝(log39)·f(log39)，则a，b，c的大小关系是()A ．b >a >cB ．c >a >bC ．c >b >aD ．a >c >b思维启迪 (1)利用幂函数y ＝x 0.5和对数函数y ＝log 0.3x 的单调性，结合中间值比较a ，b ，c 的大小；(2)化成同底的指数式，只需比较log 23.4、log 43.6、－log 30.3＝log 3的大小即可，可以利用中间值或数形结合进行比较；(3)先判断函数φ(x )＝xf (x )的单调性，再根据20.2，log π3，log 39的大小关系求解．解析 (1)根据幂函数y ＝x 0.5的单调性，可得0.30.5<0.50.5<10.5＝1，即b <a <1； 根据对数函数y ＝log 0.3x 的单调性，可得log 0.30.2>log 0.30.3＝1，即c >1. 所以b <a <c . (2)c ＝()3log 0.3＝53log 0.3＝5310log 3.方法一 在同一坐标系中分别作出函数y ＝log 2x ，y ＝log 3x ，y ＝log 4x 的图象，如图所示． 由图象知： log 23.4>log 3>log 43.6.方法二 ∵log 3>log 33＝1，且<3.4， ∴log 3<log 33.4<log 23.4. ∵log 43.6<log 44＝1，log 3>1， ∴log 43.6<log 3. ∴log 23.4>log 3>log 43.6. 由于y ＝5x为增函数，∴2log 3.45>5310log 3>5log 43.6.即2log 3.45>()3log 0.3>2log 3.65，故a >c >b .教研主任签字：________。
对数函数及其性质知识点总结讲义
对数函数及其性质知识点总结讲义一、对数基本概念1.对数的定义：对数是数学中的一种运算，用一个数的指数表示另一个数。
2. 对数的表示方法：如果a^x = b，则记作x = loga(b)。
3.对数函数：对数函数是指以对数的形式来表示函数的函数。
二、对数函数的性质1.定义域和值域：-对数函数的定义域为正实数集，即x>0。
-对数函数的值域为实数集，即y∈R。
2.对称性：- 设a > 1，则loga(x) = y当且仅当a^y = x。
- 设0 < a < 1，则loga(x) = y当且仅当a^y = x。
3.基本性质：- loga(1) = 0，其中a ≠ 0。
- loga(a) = 1，其中a ≠ 1- loga(x · y) = loga(x) + loga(y)，其中x > 0，y > 0。
- loga(x / y) = loga(x) - loga(y)，其中x > 0，y > 0。
- loga(x^p) = p · loga(x)，其中x > 0，p ∈ R。
- loga(b) = logc(b) / logc(a)，其中a，b > 0，且a ≠ 1，c ≠14.基本图像：- 对数函数y = loga(x)的图像为一条曲线，也称为对数曲线。
-当0<a<1时，对数曲线在第一象限上严格递减。
-当a>1时，对数曲线在第一象限上严格递增。
5.特殊对数函数：- 以2为底的对数函数y = log2(x)常用于衡量信息的位数及计算机科学中。
- 自然对数函数y = ln(x)常用于微积分和其它分支的数学中。
三、对数函数的应用1.指数增长与对数函数：对数函数的性质使得它在描述指数增长的问题中非常有用。
-对数函数可以用来模拟人口增长、投资收益、疾病传播等指数增长的过程。
2.对数函数在数据处理中的应用：-对数函数可以用来处理大量数据、极大值、极小值等情形。
对数函数及其性质知识点总结经典讲义
对数函数及其性质知识点总结经典讲义对数函数是指以一些正数b为底的函数，表示为logb(x)，其中x为自变量，b为底数。
对数函数是指数函数的逆运算，可以用于解决指数方程和指数不等式问题。
对数函数的一些重要性质如下：1.对数函数的定义域是正实数集R+。
2.对数函数的值域是实数集R。
3.对数函数的自变量必须大于0，即x>0。
4.底数b必须大于0且不等于1，即b>0，b≠15.对数函数的图像在直线y=x左侧，与x轴交于点(1,0)。
6. 对数函数是单调递增函数，即当自变量x1 > x2时，有logb(x1) > logb(x2)。
7. 对数函数的特殊值：logb(1) = 0，logb(b) = 18. 对数函数的运算规则：logb(x·y) = logb(x) + logb(y)，logb(x/y) = logb(x) - logb(y)，logb(x^n) = n·logb(x)，其中x、y 为正实数，n为任意实数。
9. 对数函数的函数性质：logb(1/x) = -logb(x)，logb√x =(1/2)·logb(x)。
10. 对数函数的性质：logb(m/n) = logb(m) - logb(n)，logb(m^n) = n·logb(m)，logb(m) = (logc(m))/(logc(b))，其中b、c为正实数，m、n为正实数。
11. 对数函数的解析式：logb(x) = logc(x)/logc(b)，其中c为任意正实数，c ≠ 112. 对数函数的性质：logb(x) = 1/(logx(b))。
13. 对数函数与指数函数的关系：y = logb(x)是函数y = b^x的反函数，两者互为反函数。
对数函数在数学、科学和工程等领域中具有广泛的应用。
它可以用于求解指数方程和指数不等式，简化复杂的计算和求解过程。
在数学中，对数函数是指数函数的重要补充，它们互为反函数，可以相互转化，应用更加灵活。
《对数的概念》 讲义
《对数的概念》讲义一、引入在数学的世界里，我们常常会遇到各种各样的数和运算。
其中，有一种非常重要的数学概念，那就是对数。
想象一下，你正在计算一个数的乘方，比如 2 的 3 次方等于 8。
但如果反过来，已知结果是 8，要找出是 2 的几次方得到 8 呢？这时候，对数就派上用场了。
二、什么是对数对数，简单来说，就是在一个等式中，表示要得到某个数，需要对另一个固定的数（底数）进行多少次乘方运算。
如果 a 的 b 次幂等于 N（a＞0，且a≠1），那么数 b 叫做以 a 为底N 的对数，记作 b ＝logₐN。
例如，因为 2³＝ 8，所以 3 就是以 2 为底 8 的对数，记作 log₂8 ＝3。
再比如，因为 10²＝ 100，所以 2 就是以 10 为底 100 的对数，记作log₁₀100 ＝ 2。
这里，a 叫做对数的底数，N 叫做真数。
三、对数的性质1、零和负数没有对数。
因为对数是指数运算的逆运算，而任何数的任何次幂都不可能是零或负数。
2、 1 的对数是 0。
因为 a⁰＝ 1（a＞0，且a≠1），所以logₐ1 ＝ 0。
3、底数的对数是 1。
即logₐa ＝ 1。
四、对数的运算1、对数的加法logₐ(MN) ＝logₐM ＋logₐN例如，log₂(4×8) ＝ log₂4 ＋ log₂8 ＝ 2 ＋ 3 ＝ 52、对数的减法logₐ(M ／ N) ＝logₐM logₐN比如，log₃(9 ／ 3) ＝ log₃9 log₃3 ＝ 2 1 ＝ 13、对数的乘方logₐ(Mⁿ) ＝n logₐM例如，log₅(25²) ＝ 2 log₅25 ＝ 4五、常用对数和自然对数1、常用对数以 10 为底的对数叫做常用对数，简记为 lg。
例如，lg100 ＝ 2。
2、自然对数以无理数 e（约等于 271828）为底的对数叫做自然对数，简记为 ln。
例如，ln e ＝ 1，ln e²＝ 2。
2.2 对数函数讲义
2.2 对数函数一、对数的概念：如果x a ＝N(a ＞0且a ≠1)，那么数x 叫做以a 为底N 的对数，记作x ＝N a log ，其中a 叫做对数的底数，N 叫做真数。
（1）常用对数：把以10为底数的对数叫做常用对数log 10N 简记为lgN ，如：log 105记为lg5 （2）自然对数：把以无理数（e ＝2.71828……）为底的对数称为自然对数，log e N 简记为lnN ，如：log e 5记为ln5。
性质：（1）0和负数没有对数；（2）1的对数是0，即log a 1＝0；（3）底数的对数等于1，即log a a ＝1例1：求下列各式中的x （1）log x 27＝23 （2）x ＝log 2791（3）log 5(log 2x)＝0 【解析】：（1）∵ log x 27＝23 ∴ 23x ＝321)(x ＝27＝33 ∴21x ＝3 ∴x ＝9（2）∵x ＝log 2791 ∴ x 27＝91 ∴x 33＝91＝23- ∴3x ＝－2 ∴x ＝－32 （3）∵log 5(log 2x)＝0 ∴log 2x ＝1 ∴x ＝2变式练习：解下列方程 （1）log 64x ＝－32（2）log x 4＝2 （3）lg 2x －lgx －2＝0【解析】：（1）161 （2）2 （3）101或1000二、对数运算性质 【如果a ＞0且a ≠1；M ＞0，N ＞0，m 、n ∈R 】（1）log a (MN)＝log a M ＋log a N （2）log a NM＝log a M －log a N （3）log a M n ＝nlog a M [ma b n log ＝nmlog a b] （4）N a N a =log 对数恒等式（5）log a b ＝a b c c log log ＝a b lg lg ＝a b ln ln (c ＞0且c ≠1) 换底公式 （6）log a b ＝ab log 1例2：计算（1）lg12.5－lg85＋lg 21 （2）lg5＋31lg8＋lg5×lg20＋lg 22 （3）20log 77×7.0log 77 【解析】：（1）原式＝lg(12.5×21×58)＝lg10＝1（2）原式＝lg5＋31lg23＋lg5×(lg4＋lg5)＋lg 22＝lg5＋lg2＋2lg5×lg2＋lg 25＋lg 22＝lg5＋lg2＋(lg5＋lg2)2＝1＋1＝2 （3）原式＝7.0log 20log 777+＝14log 77＝14【lg5＋lg2＝lg10＝1，lg2≈0.301， lg5≈0.699】变式练习1：计算下列代数式的值。
对数函数及其性质(讲义)含答案
对数函数及其性质（讲义）➢ 知识点睛一、对数函数的定义一般地，函数__________（ ）叫做对数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是(0，+∞)． 二、对数函数的图象和性质1. 对数函数log a y x =（a >0，且a ≠1）的图象和性质：①log a y x =，②log b y x =，③log c y x =，④log d y x =， 则有0<b <a <1<d <c ，即：x ∈(1，+∞)时，log log log log a b c d x x x x <<<； x ∈(0，1)时，log log log log a b c d x x x x >>>． 3. 反函数log a y x =与x y a =互为反函数，其中a >0，且a ≠1；互为反函数的两个函数的图象关于直线y =x 对称．➢ 精讲精练1. 直接写出下列函数的定义域：（1）3log (2)y x =- __________________； （2）y =__________________； （3）y __________________；（4）1ln(1)y x =+__________________．2. （1）已知()f x 的定义域为[0，1]，则函数12(log (3))y f x =-的定义域是_____________；（2）已知函数122()log (2log )f x x =-的值域是(-∞，0)，则它的定义域是_____________；（3）函数212()log (613)f x x x =++的值域是_____________．3. 已知a >0，且a ≠1，则函数x y a =与log ()a y x =-的图象只可能是（ ）A ．B ．C ．D ．4. 函数f (x )=1+2log x 与g (x )=12x -在同一直角坐标系中的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．5. 若点(a ，b )在函数y =lg x 的图象上，则下列点也在此图象上的是（ ）A ．1()b a ， B ．(10a ，1-b )C ．10(1)b a+，D ．(a 2，2b )6. 若log 21a <，则实数a 的取值范围是（ ）A ．(1，2)B ．(0，1)∪(2，+∞)C ．(0，1)∪(1，2)D ．(0，12)7. 若函数log a y x =在区间[2，π]上的最大值比最小值大1，则a =__________．8. 已知函数2log 0()20x x x f x x >⎧=⎨⎩≤，，，若1()2f a =，则a =________．9. （1）已知函数x y a )1(log -=在(0，+∞)上为增函数，则a 的取值范围是_____________；（2）已知函数log (2)a y ax =-在(-1，1)上是x 的减函数，则a 的取值范围是_____________；（3）若函数22log ()y x ax a =---在区间(1-∞-，上是增函数，则a 的取值范围是_____________．10. （1）函数()|log |01a f x x a a =>≠（）且的单调递增区间是_____________；（2）函数212()log (2)f x x x =+的单调递增区间是__________，单调递减区间是_____________；（3）已知2()2f x x x =+，12()log g x x =，则函数(())y f g x =的单调递增区间是___________，单调递减区间是_________．11. 比较下列各组数的大小：（1）112246log log 57，；（2）35log 2log 2，；（3）0.32log 2log 3，；（4）0.450.450.4log 5，，．12.设32log πlog log a b c ===， ）A ．a >b >cB ．a >c >bC ．b >a >cD ．b >c >a13. 设a ，b ，c 均为正数，且112212log ()log 2a b a b ==，，21()log 2c c =，则（ ） A ．a <b <c B ．c <b <aC ．c <a <bD ．b <a <c【参考答案】➢ 知识点睛一、对数函数的定义log 01a y x a a =>≠（，且） ➢ 精讲精练1. （1）(2)+∞，；（2）(0)+∞，；（3）2(1]3，；（4）(10)(02]-，， 2. （1）5[2]2，；（2）(02)，；（3）(2]-∞-， 3. B 4. C 5. D 6. B7.22ππ或 8.或-19. （1）(2)+∞，；（2）(1，2)；（3）[22]- 10. （1）(1)+∞，（2）(2)(0)-∞-+∞，，， （3）(2)(02)+∞，，，13. A。
新人教A版新教材学高中数学必修第一册第四章指数函数与对数函数对数函数讲义
最新课程标准：（１）通过具体实例，了解对数函数的概念．能用描点法或借助计算工具画出具体对数函数的图象，探索并了解对数函数的单调性与特殊点．（２）知道对数函数y＝log a x与指数函数y＝a x互为反函数（a＞0，且a≠１）．（３）收集、阅读对数概念的形成与发展的历史资料，撰写小论文，论述对数发明的过程以及对数对简化运算的作用.知识点一对数函数的概念函数y＝log a x （a＞0，且a≠１）叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是（0，＋∞）．错误!形如y＝２log２x，y＝log２错误!都不是对数函数，可称其为对数型函数．知识点二对数函数的图象与性质a＞１0＜a＜１图象性质定义域（0，＋∞）值域R过点（１,0），即当x＝１时，y＝0在（0，＋∞）上是增函数在（0，＋∞）上是减函数错误!底数a与１的大小关系决定了对数函数图象的“升降”：当a＞１时，对数函数的图象“上升”；当0＜a＜１时，对数函数的图象“下降”．知识点三反函数一般地，指数函数y＝a x（a＞0，且a≠１）与对数函数y＝log a x（a＞0，且a≠１）互为反函数，它们的定义域与值域正好互换．[教材解难]１．教材P１３0思考根据指数与对数的关系，由y ＝错误!5730x（x ≥0）得到x ＝log 573012y （0＜y ≤１）．如图，过y 轴正半轴上任意一点（0，y 0）（0＜y 0≤１）作x 轴的平行线，与y ＝错误!5730x（x ≥0）的图象有且只有一个交点（x 0，y 0）．这就说明，对于任意一个y ∈（0,１]，通过对应关系x ＝log 573012y ，在[0，＋∞）上都有唯一确定的数x 和它对应，所以x 也是y 的函数．也就是说，函数x ＝log 573012y ，y ∈（0,１]刻画了时间x 随碳１４含量y 的衰减而变化的规律．２．教材P １３２思考利用换底公式，可以得到y ＝log 12x ＝—log ２x .因为点（x ，y ）与点（x ，—y ）关于x轴对称，所以y ＝log ２x 图象上任意一点P （x ，y ）关于x 轴的对称点P １（x ，—y ）都在y ＝log 12x 的图象上，反之亦然．由此可知，底数互为倒数的两个对数函数的图象关于x 轴对称．根据这种对称性，就可以利用y ＝log ２x 的图象画出y ＝log 12x 的图象．３．教材P １３8思考一般地，虽然对数函数y ＝log a x （a ＞１）与一次函数y ＝kx （k ＞0）在区间（0，＋∞）上都单调递增，但它们的增长速度不同．随着x的增大，一次函数y＝kx（k＞0）保持固定的增长速度，而对数函数y＝log a x（a＞１）的增长速度越来越慢．不论a的值比k的值大多少，在一定范围内，log a x可能会大于kx，但由于log a x的增长慢于kx的增长，因此总会存在一个x0，当x＞x0时，恒有log a x＜kx.４．４．１对数函数的概念[基础自测]１．下列函数中是对数函数的是（）Ａ．y＝log14xＢ．y＝log14（x＋１）Ｃ．y＝２log14xＤ．y＝log14x＋１解析：形如y＝log a x（a＞0，且a≠１）的函数才是对数函数，只有A是对数函数．答案：A２．函数y＝错误!ln（１—x）的定义域为（）Ａ．（0,１）Ｂ．[0,１）Ｃ．（0,１] Ｄ．[0,１]解析：由题意，得错误!解得0≤x＜１；故函数y＝错误!ln（１—x）的定义域为[0,１）．答案：B３．函数y＝log a（x—１）（0＜a＜１）的图象大致是（）解析：∵0＜a＜１，∴y＝log a x在（0，＋∞）上单调递减，故A，B可能正确；又函数y＝log a（x—１）的图象是由y＝log a x的图象向右平移一个单位得到，故A正确．答案：A４．若f（x）＝log２x，x∈[２,３]，则函数f（x）的值域为________．解析：因为f（x）＝log２x在[２,３]上是单调递增的，所以log２２≤log２x≤log２３，即１≤log２x≤log２３．答案：[１，log２３]题型一对数函数的概念例１下列函数中，哪些是对数函数？（１）y＝log a错误!（a＞0，且a≠１）；（２）y＝log２x＋２；（３）y＝8log２（x＋１）；（４）y＝log x6（x＞0，且x≠１）；（５）y＝log6x.【解析】（１）中真数不是自变量x，不是对数函数．（２）中对数式后加２，所以不是对数函数．（３）中真数为x＋１，不是x，系数不为１，故不是对数函数．（４）中底数是自变量x，而非常数，所以不是对数函数．（５）中底数是6，真数为x，系数为１，符合对数函数的定义，故是对数函数.用对数函数的概念例如y＝log a x（a＞0且a≠１）来判断．方法归纳判断一个函数是对数函数的方法跟踪训练１若函数f（x）＝（a２—a＋１）log（a＋１）x是对数函数，则实数a＝________.解析：由a２—a＋１＝１，解得a＝0或a＝１．又底数a＋１＞0，且a＋１≠１，所以a＝１．答案：１对数函数y＝log a x系数为１．题型二求函数的定义域[教材P１３0例１]例２求下列函数的定义域：（１）y＝log３x２；（２）y＝log a（４—x）（a＞0，且a≠１）．【解析】（１）因为x２＞0，即x≠0，所以函数y＝log３x２的定义域是{x|x≠0}．（２）因为４—x＞0，即x＜４，所以函数y＝log a（４—x）的定义域是{x|x＜４}.真数大于0．教材反思求定义域有两种题型，一种是已知函数解析式求定义域，常规为：分母不为0；0的零次幂与负指数次幂无意义；偶次根式被开方式（数）非负；对数的真数大于0，底数大于0且不等于１．另一种是抽象函数的定义域问题．同时应注意求函数定义域的解题步骤．跟踪训练２求下列函数的定义域：（１）y＝lg（x＋１）＋错误!；（２）y＝log（x—２）（５—x）．解析：（１）要使函数有意义， 需错误!即错误!∴—１＜x ＜１，∴函数的定义域为（—１,１）． （２）要使函数有意义，需错误!∴错误! ∴定义域为（２,３）∪（３,５）．真数大于0，偶次根式被开方数大于等于0，分母不等于0，列不等式组求解． 题型三 对数函数的图象问题例３ （１）函数y ＝x ＋a 与y ＝log a x 的图象只可能是下图中的（ ）（２）已知函数y ＝log a （x ＋３）—１（a ＞0，a ≠１）的图象恒过定点A ，若点A 也在函数f （x ）＝３x ＋b 的图象上，则f （log ３２）＝________.（３）如图所示的曲线是对数函数y ＝log a x ，y ＝log b x ，y ＝log c x ，y ＝log d x 的图象，则a ，b ，c ，d 与１的大小关系为________．【解析】 （１）A 中，由y ＝x ＋a 的图象知a ＞１，而y ＝log a x 为减函数，A 错；B 中，0＜a ＜１，而y ＝log a x 为增函数，B 错；C 中，0＜a ＜１，且y ＝log a x 为减函数，所以C 对；D 中，a ＜0，而y ＝log a x 无意义，也不对．（２）依题意可知定点A （—２，—１），f （—２）＝３—２＋b ＝—１，b ＝—错误!，故f （x ）＝３x —错误!，f （log ３２）＝３3log 2—错误!＝２—错误!＝错误!.（３）由题干图可知函数y＝log a x，y＝log b x的底数a＞１，b＞１，函数y＝log c x，y＝log d x的底数0＜c＜１,0＜d＜１．过点（0,１）作平行于x轴的直线，则直线与四条曲线交点的横坐标从左向右依次为c，d，a，b，显然b＞a＞１＞d＞c.【答案】（１）C （２）错误!（３）b＞a＞１＞d＞c错误!（１）由函数y＝x＋a的图象判断出a的范围．（２）依据log a１＝0，a0＝１，求定点坐标．（３）沿直线y＝１自左向右看，对数函数的底数由小变大．方法归纳解决对数函数图象的问题时要注意（１）明确对数函数图象的分布区域．对数函数的图象在第一、四象限．当x趋近于0时，函数图象会越来越靠近y轴，但永远不会与y轴相交．（２）建立分类讨论的思想．在画对数函数图象之前要先判断对数的底数a的取值范围是a＞１，还是0＜a＜１．（３）牢记特殊点．对数函数y＝log a x（a＞0，且a≠１）的图象经过点：（１,0），（a,１）和错误!.跟踪训练３（１）如图所示，曲线是对数函数y＝log a x（a＞0，且a≠１）的图象，已知a取错误!，错误!，错误!，错误!，则相应于C１，C２，C３，C４的a值依次为（）Ａ．错误!，错误!，错误!，错误!Ｂ．错误!，错误!，错误!，错误!Ｃ．错误!，错误!，错误!，错误!Ｄ．错误!，错误!，错误!，错误!（２）函数y＝log a|x|＋１（0＜a＜１）的图象大致为（）解析：（１）方法一作直线y＝１与四条曲线交于四点，由y＝log a x＝１，得x＝a（即交点的横坐标等于底数），所以横坐标小的底数小，所以C１，C２，C３，C４对应的a值分别为错误!，错误!，错误!，错误!，故选Ａ．方法二由对数函数的图象在第一象限内符合底大图右的规律，所以底数a由大到小依次为C１，C２，C３，C４，即错误!，错误!，错误!，错误!.故选Ａ．增函数底数a＞１，减函数底数0＜a＜１．（２）函数为偶函数，在（0，＋∞）上为减函数，（—∞，0）上为增函数，故可排除选项B，C，又x＝±１时y＝１，故选Ａ．先去绝对值，再利用单调性判断.答案：（１）A （２）A课时作业２３１．下列函数是对数函数的是（）Ａ．y＝２＋log３xＢ．y＝log a（２a）（a＞0，且a≠１）Ｃ．y＝log a x２（a＞0，且a≠１）Ｄ．y＝ln x解析：判断一个函数是否为对数函数，其关键是看其是否具有“y＝log a x”的形式，A，B，C全错，D正确．答案：D２．若某对数函数的图象过点（４,２），则该对数函数的解析式为（）Ａ．y＝log２xＢ．y＝２log４xＣ．y＝log２x或y＝２log４xＤ．不确定解析：由对数函数的概念可设该函数的解析式为y＝log a x（a＞0，且a≠１，x＞0），则２＝log a４即a２＝４得a＝２．故所求解析式为y＝log２x.答案：A３．设函数y＝错误!的定义域为A，函数y＝ln（１—x）的定义域为B，则A∩B＝（）Ａ．（１,２）Ｂ．（１,２]Ｃ．（—２,１）Ｄ．[—２,１）解析：由题意可知A＝{x|—２≤x≤２}，B＝{x|x＜１}，故A∩B＝{x|—２≤x＜１}．答案：D４．已知a＞0，且a≠１，函数y＝a x与y＝log a（—x）的图象只能是下图中的（）解析：由函数y＝log a（—x）有意义，知x＜0，所以对数函数的图象应在y轴左侧，可排除A，Ｃ．又当a＞１时，y＝a x为增函数，所以图象B适合．二、填空题５．若f（x）＝log a x＋（a２—４a—５）是对数函数，则a＝________.解析：由对数函数的定义可知错误!，∴a＝５．答案：５6．已知函数f（x）＝log３x，则f错误!＋f（１５）＝________.解析：f错误!＋f（１５）＝log３错误!＋log３１５＝log３２7＝３．答案：３7．函数f（x）＝log a（２x—３）（a＞0且a≠１）的图象恒过定点P，则P点的坐标是________．解析：令２x—３＝１，解得x＝２，且f（２）＝log a１＝0恒成立，所以函数f（x）的图象恒过定点P（２,0）．答案：（２,0）三、解答题8．求下列函数的定义域：（１）y＝log３（１—x）；（２）y＝错误!；（３）y＝log7错误!.解析：（１）由１—x＞0，得x＜１，∴函数y＝log３（１—x）的定义域为（—∞，１）．（２）由log２x≠0，得x＞0且x≠１．∴函数y＝错误!的定义域为{x|x＞0且x≠１}．（３）由错误!＞0，得x＜错误!.∴函数y＝log7错误!的定义域为错误!.9．已知f（x）＝log３x.（１）作出这个函数的图象；（２）若f（a）＜f（２），利用图象求a的取值范围．解析：（１）作出函数y＝log３x的图象如图所示（２）令f（x）＝f（２），即log３x＝log３２，解得x＝２．由图象知，当0＜a＜２时，恒有f（a）＜f（２）．∴所求a的取值范围为0＜a＜２．[尖子生题库]１0．已知函数y＝log２x的图象，如何得到y＝log２（x＋１）的图象？y＝log２（x ＋１）的定义域与值域是多少？与x轴的交点是什么？解析：y＝log２x错误!y＝log２（x＋１），如图．定义域为（—１，＋∞），值域为R，与x轴的交点是（0,0）．。
2020年上海新高一新教材数学讲义-专题13 对数函数(学生版)
专题13 对数函数(对数函数的定义与图像，对数函数的性质）知识梳理一、对数函数1、对数函数定义：O y(0,1)x y a a a =>≠互为反函数。
2、性质：（1）对数函数log a y x =的图像都在y 轴的右方；（2）对数函数log a y x =的图像经过点（1,0）；（3）对数函数log (1)a y x a =>,当x>1时，y>0；当0<x<1时， y<0；对数函数log (01)a y x a =<<,当x>1时，y<0；当0<x<1时， y>0；（4）对数函数log (1)a y x a =>在（0，+∞）上是增函数，对数函数log (10)a y x a =>>在（0，+∞）上是减函数。
（5）对数函数图像在第一象限的规律是：以直线x=1把第一象限分成两个区域，每个区域里对数函数底数都是由左向右逐渐增大，如右图所示，C 1，C 2，C 3，C 4对应1log a y x =，2log a y x =，3log a y x =，4log a y x =，则0<a 4<a 3<1<a 2<a 1。
3、复合函数的单调性在复合函数[()]y f g x =中，如果()u g x =和()y f x =的增减性相异，则[()]y f g x =为减函数，如果()()u g x y f x ==和的增减性相同，则[g()]y f x =为增函数。
例题解析一、对数函数的概念与简单运用【例1】求下列函数的定义域（1）2log (162)x x y +=- （2）1lg(23)y x =+【例2】已知函数f(x)的定义域是[0，1]，求函数1[log (3)]y f x =-的定义域。
【例3】若132log >a ，则a 的取值范围是（ ） A ．231<<a B ．23110<<<<a a 或C ．132<<a D ．1320><<a a 或【例4】函数)2(x f y =的定义域为[1，2]，则函数)(log 2x f y =的定义域为（ ） A ．[0，1] B ．[1，2] C ．[2，4] D ．[4，16]【例5】已知函数2()lg(1)f x ax ax =++的定义域为R ，求实数a 的取值范围。
对数函数的概念教学讲义
对数函数的概念教学讲义必备知识·探新知基础知识知识点 对数函数函数y ＝log a x (a >0，且a ≠1)叫做__对数函数__，其中x 是自变量，定义域是__(0，＋∞)__. 思考：(1)对数函数的定义域为什么是(0，＋∞)? (2)对数函数的解析式有何特征？提示：(1)a x ＝N ⇔log a N ＝x ，真数为幂值N ，而N >0，故式子log a x 中，x >0. (2)①a >0，且a ≠1；②log a x 的系数为1；③自变量x 的系数为1.基础自测1．下列函数是对数函数的是( D ) A ．y ＝2＋log 3xB ．y ＝log a (2a )(a ＞0，且a ≠1)C ．y ＝log a x 2(a ＞0，且a ≠1)D ．y ＝ln x[解析] 判断一个函数是否为对数函数，其关键是看其是否具有“y ＝log a x ”的形式，A ，B ，C 全错，D 正确．2．(2019·山东临沂高一期末测试)函数y ＝lg(3x －2)的定义域是( D ) A ．[1，＋∞) B ．(1，＋∞) C ．[23，＋∞)D ．(23，＋∞)[解析] 要使函数y ＝lg(3x －2)有意义，应满足3x －2>0，∴x >23，故选D ．3．对数函数的图象过点M (16,4)，则此对数函数的解析式为__y ＝log 2x __. [解析] 设对数函数为y ＝log a x ，则4＝log a 16，∴a 4＝16， ∴a ＝2，∴y ＝log 2x .关键能力·攻重难题型探究题型一 对数函数概念例1 下列函数表达式中，是对数函数的有( B ) ①y ＝log x 2；②y ＝log a x (a ∈R )；③y ＝log 8x ；④y ＝ln x ；⑤y ＝log x (x ＋2)；⑥y ＝2log 4x ；⑦y ＝log 2(x ＋1)． A ．1个 B ．2个 C ．3个D ．4个[分析] (1)对数概念对底数、真数、系数的要求是什么？[解析] 根据对数函数的定义进行判断．由于①中自变量出现在底数上， ∴①不是对数函数；由于②中底数a ∈R 不能保证a >0且a ≠1， ∴②不是对数函数；由于⑤、⑦的真数分别为(x ＋2)，(x ＋1)， ∴⑤、⑦也不是对数函数；由于⑥中log 4x 系数为2， ∴⑥不是对数函数；只有③、④符合对数函数的定义． [归纳提升] 对于对数概念要注意以下两点： (1)在函数的定义中，a >0且a ≠1.(2)在解析式y ＝log a x 中，log a x 的系数必须为1，真数必须为x ，底数a 必须是大于0且不等于1的常数．【对点练习】❶ 指出下列函数中，哪些是对数函数？ ①y ＝5x ； ②y ＝－log 3x ； ③y ＝log 0.5x ； ④y ＝log 32x ；⑤y ＝log 2(x ＋1)．[解析] ①是指数函数；②中log 3x 的系数为－1，∴②不是对数函数；③中的真数为x ，∴③不是对数函数；⑤中的真数是(x ＋1)，∴⑤不是对数函数；∴只有④是对数函数． 题型二 对数函数的定义域 例2 求下列函数的定义域：(1)f (x )＝log (2x －1)(2－x )；(2)f (x )＝2－ln (3－x )；(3)f (x )＝3log 0.5(x －1).[分析] 依据使函数有意义的条件列出不等式组→解不等式组→写出函数的定义域． [解析] (1)要使函数有意义，需⎩⎪⎨⎪⎧ 2x －1>0，且2x －1≠12－x >0，即⎩⎪⎨⎪⎧x >12，且x ≠1x <2.∴12<x <2，且x ≠1，故函数的定义域为{x |12<x <2，且x ≠1}． (2)要使函数有意义，需使2－ln(3－x )≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧3－x ≤e 23－x >0，解得3－e 2≤x <3，故函数的定义域为{x |3－e 2≤x <3}． (3)要使函数有意义，需使log 0.5(x －1)>0， 即log 12(x －1)>0，∴0<x －1<1，即1<x <2.故函数的定义域为{x |1<x <2}．[归纳提升] 定义域是研究函数的基础，若已知函数解析式求定义域，常规为：①分母不能为零，②0的零次幂与负指数次幂无意义，③偶次方根的被开方式(数)非负，④求与对数函数有关的函数定义域时，除遵循前面求函数定义域的方法外，还要对这种函数自身有如下要求：一是要特别注意真数大于零；二是要注意底数；三是按底数的取值应用单调性． 【对点练习】❷ (1)函数f (x )＝1log 2x －1的定义域为( C )A ．(0,2)B ．(0,2]C ．(2，＋∞)D ．[2，＋∞)(2)函数y ＝f (x )的定义域为(－1,1)，则函数y ＝f (lg x )的定义域为__(110，10)__.[解析] (1)使函数有意义应满足log 2x －1>0， 即log 2x >1，∴x >2，故选C ．(2)由y ＝f (x )定义域为(－1,1)知，－1＜lg x ＜1， 解得110＜x ＜10，故y ＝f (lg x )定义域为(110，10)．题型三 对数函数在实际问题中的应用例3 某化工厂生产一种溶液，按市场要求，杂质含量不能超过0.1%，若初时含杂质2%，每过滤一次可使杂质含量减少14，问至少应过滤多少次，才能使产品达到市场要求？(参考数据lg2＝0.301 0，lg3＝0.477 1)[解析] 设过滤y 次后杂质含量为x ，则x ＝0.02(1－14)y ，即50x ＝(34)y ，则y ＝log 34 (50x )，令x ＝0.001，则y ＝log 340.05＝log 34120＝－lg20lg 34＝lg20lg4－lg3＝1＋0.301 02×0.301 0－0.477 1≈10.42，所以至少过滤11次才能使产品达到市场要求． [归纳提升] 建立对数函数模型解决应用问题对数运算是求指数的运算，因此要建立对数函数模型，可设指数变量为y ，利用指数与对数的互化得到对数函数解析式，再利用已知数据或计算工具计算解题．【对点练习】❸ 某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入，若该公司2017年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%，求该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份(参考数据：lg1.12≈0.05，lg1.3≈0.11，lg2≈0.30)． [解析] 设经过y 年后公司的研发资金为x ，则x ＝130(1＋12%)y ，即x 130＝1.12y ，所以y ＝log 1.12x 130，令x ＝200，所以y ＝log 1.12200130＝log 1.1221.3＝lg2－lg1.3lg1.12≈3.8，所以到2021年，公司研发资金开始超过200万元．课堂检测·固双基1．下列函数中，是对数函数的是( D ) A ．y ＝log x a (x >0且x ≠1) B ．y ＝log 2x －1 C ．y ＝2lg 8x D ．y ＝log 5x[解析] A 、B 、C 都不符合对数函数的定义，故选D ．2．已知对数函数的图象过点M (9,2)，则此对数函数的解析式为( B ) A ．y ＝log 2x B ．y ＝log 3x C ．y ＝log 13xD ．y ＝log 12x[解析] 设对数函数为y ＝log a x ，则2＝log a 9，∴a 2＝9，∴a ＝3，∴y ＝log 3x ，故选B ． 3．函数f (x )＝ln(1－x )的定义域是( D ) A ．(0,1) B ．[0,1) C ．(1，＋∞)D ．(－∞，1)[解析] 由1－x >0得x <1，故选D ．4．如果函数y ＝log 2x 的图象经过点A (4，y 0)，那么y 0＝__2__. [解析] 将A (4，y 0)代入y ＝log 2x 得log 24＝y 0，∴y 0＝2.素养作业·提技能 A 组·素养自测一、选择题1．下列函数是对数函数的是( C ) A ．y ＝log a (2x )(a >0，且a ≠1) B ．y ＝log a (x 2＋1)(a >0，且a ≠1) C ．y ＝log 1ax (a >0，且a ≠1)D ．y ＝2lg x[解析] 由于对数函数的形式是y ＝log a x (a >0且a ≠1)，据此判断A 、B 、D 均不符合，故选C ．2．若某对数函数的图象过点(4,2)，则该对数函数的解析式为( A ) A ．y ＝log 2xB ．y ＝2log 4xC ．y ＝log 2x 或y ＝2log 4xD ．不确定[解析] 由对数函数的概念可设该函数的解析式为y ＝log a x ，则log a 4＝2，解得a ＝2.故所求解析式为y ＝log 2x .3．函数f (x )＝lg(x －1)＋4－x 的定义域为( A ) A ．(1,4] B ．(1,4) C ．[1,4]D ．[1,4)[解析] 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧x －1>0，4－x ≥0，所以1<x ≤4.4．满足“对定义域内任意实数x ，y ，都有f (xy )＝f (x )＋f (y )”的函数f (x )可以是( C ) A ．f (x )＝x 2 B ．f (x )＝2x C ．f (x )＝log 2xD ．f (x )＝e ln x[解析] ∵对数运算律中有log a M ＋log a N ＝log a (MN )， ∴f (x )＝log 2x 满足题目要求． 二、填空题5．函数y ＝log 12(3x －2)的定义域是__(23，＋∞)__.[解析] 由3x －2>0得x >23，所以函数的定义域为(23，＋∞)．6．已知函数f (x )＝lg(x 2＋ax ＋1)的定义域是R ，则实数a 的取值范围是__(－2,2)__. [解析] 由题意知x 2＋ax ＋1>0恒成立，所以Δ＝a 2－4<0，即－2<a <2. 三、解答题7．已知对数函数f (x )＝(m 2－m －1)log (m ＋1)x ，求f (27)． [解析] ∵f (x )是对数函数，∴⎩⎪⎨⎪⎧m 2－m －1＝1m ＋1＞0m ＋1≠1，解得m ＝2.∴f (x )＝log 3x ，∴f (27)＝log 327＝3.B 组·素养提升一、选择题1．(多选题)给出下列函数中，不是对数函数的是( ABC ) A ．y ＝log 23x 2B ．y ＝log 3(x －1)C ．y ＝log (x ＋1)xD ．y ＝log πx[解析] A 、B 不是对数函数，因为对数的真数不是x ；C 不是对数函数，因为对数的底数不是常数；D 是对数函数，故选ABC ．2．函数f (x )＝lg (x ＋1)x －1＋2＋x 的定义域为( C )A ．[－2，＋∞)B ．(－1，＋∞)C ．(－1,1)∪(1，＋∞)D ．(－1,1)∪(1,2)[解析] 要使函数有意义，则需⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1>0，x －1≠0，2＋x ≥0，解得x >－1，且x ≠1，∴函数的定义域为(－1,1)∪(1，＋∞)． 二、填空题3．(2019·天津市南开区高一期末测试)函数y ＝x －1＋1lg (3－x )的定义域为__[1,2)∪(2,3)__.[解析] 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧x －1≥03－x >03－x ≠1，∴1≤x <3且x ≠2.∴所求函数的定义域为[1,2)∪(2,3)．4．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ax ＋b ，x ≤0，log c ⎝⎛⎭⎫x ＋19，x >0的图象如图所示，则a ＋b ＋c ＝__133__.[解析] 由题图可求得直线的方程为y ＝2x ＋2，即a ＝2，b ＝2，又函数y ＝log c ⎝⎛⎭⎫x ＋19的图象过点(0,2)，将其坐标代入可得c ＝13，所以a ＋b ＋c ＝2＋2＋13＝133.三、解答题5．已知f (x )＝lg 1＋x 1－x，x ∈(－1,1)，若f (a )＝12，求f (－a )．[解析] 解法一：∵f (－x )＝lg 1－x 1＋x ＝lg(1＋x 1－x )－1＝－f (x )，∴f (－a )＝－f (a )＝－12.解法二：f (a )＝lg 1＋a1－a，f (－a )＝lg 1－a 1＋a ＝lg(1＋a 1－a )－1＝－lg 1＋a 1－a ＝－12.。
第09讲-对数与对数函数(讲义版)
第09讲-对数与对数函数一、考情分析1.理解对数的概念和运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数；2.通过具体实例，了解对数函数的概念．能用描点法或借助计算工具画出具体对数函数的图象，探索并了解对数函数的单调性与特殊点；3.知道对数函数y＝log a x与指数函数y＝a x互为反函数(a>0，且a≠1)．二、知识梳理1.对数的概念一般地，对于指数式a b＝N，我们把“以a为底N的对数b”记作log a N，即b＝log a N(a>0，且a≠1).其中，数a叫做对数的底数，N叫做真数，读作“b等于以a为底N的对数”.2.对数的性质、换底公式与运算性质(1)对数的性质：①a log a N＝N；②log a a b＝b(a>0，且a≠1).(2)对数的运算法则如果a>0且a≠1，M>0，N>0，那么①log a(MN)＝log a M＋log a N；②log a MN＝log a M－log a N；③log a M n＝n log a M(n∈R)；④log a m M n＝nm log a M(m，n∈R，且m≠0).(3)换底公式：log b N＝log a Nlog a b(a，b均大于零且不等于1).3.对数函数及其性质(1)概念：函数y＝log a x(a＞0，且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是(0，＋∞).(2)对数函数的图象与性质a>10<a<1图象性质定义域：(0，＋∞)值域：R4.反函数指数函数y ＝a x (a >0，且a ≠1)与对数函数y ＝log a x (a >0，且a ≠1)互为反函数，它们的图象关于直线y ＝x 对称. [微点提醒]1.换底公式的两个重要结论 (1)log a b ＝1log ba ；(2)log a mb n ＝n m log a b . 其中a >0，且a ≠1，b >0，且b ≠1，m ，n ∈R .2.在第一象限内，不同底的对数函数的图象从左到右底数逐渐增大.3.对数函数y ＝log a x (a >0，且a ≠1)的图象过定点(1，0)，且过点(a ，1)，⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，－1，函数图象只在第一、四象限.三、 经典例题考点一 对数的运算【例1-1】 (1)计算：⎝⎛⎭⎫lg 14－lg 25÷100－12＝________. (2)计算：（1－log 63）2＋log 62·log 618log 64＝________.【解析】 (1)原式＝(lg 2－2－lg 52)×10012＝lg ⎝⎛⎭⎫122×52×10＝lg 10－2×10＝－2×10＝－20.(2)原式＝1－2log 63＋(log 63)2＋log 6 63·log 6(6×3)log 64＝1－2log 63＋(log 63)2＋1－(log 63)2log 64＝2(1－log 63)2log 62＝log 66－log 63log 62＝log 62log 62＝1.规律方法 1.在对数运算中，先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后正用对数运算法则化简合并.2.先将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算法则，转化为同底对数真数的积、商、幂再运算.3.a b ＝N ⇔b ＝log a N (a >0，且a ≠1)是解决有关指数、对数问题的有效方法，在运算中应注意互化. 考点二 对数函数的图象及应用【例2-1】 (1)若函数f (x )＝a x －a －x (a >0且a ≠1)在R 上为减函数，则函数y ＝log a (|x |－1)的图象可以是( )(2)当x ∈(1，2)时，不等式(x －1)2<log a x 恒成立，则a 的取值范围是( ) A.(0，1) B.(1，2) C.(1，2]D.⎝⎛⎭⎫0，12 【解析】 (1)由f (x )在R 上是减函数，知0<a <1.又y ＝log a (|x |－1)是偶函数，定义域是(－∞，－1)∪(1，＋∞).∴当x >1时，y ＝log a (x －1)的图象由y ＝log a x 向右平移一个单位得到.因此选项D 正确. (2)由题意，易知a >1.在同一坐标系内作出y ＝(x －1)2，x ∈(1，2)及y ＝log a x 的图象.若y ＝log a x 过点(2，1)，得log a 2＝1，所以a ＝2.根据题意，函数y ＝log a x ，x ∈(1，2)的图象恒在y ＝(x －1)2，x ∈(1，2)的上方. 结合图象，a 的取值范围是(1，2].规律方法 1.在识别函数图象时，要善于利用已知函数的性质、函数图象上的特殊点(与坐标轴的交点、最高点、最低点等)排除不符合要求的选项.2.一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解. 考点三 对数函数的性质及应用【例3－1】 已知函数f (x )＝ln x ＋ln(2－x )，则( ) A.f (x )在(0，2)上单调递增 B.f (x )在(0，2)上单调递减C.y ＝f (x )的图象关于直线x ＝1对称D.y ＝f (x )的图象关于点(1，0)对称解析 由题意知，f (x )＝ln x ＋ln(2－x )的定义域为(0，2)，f (x )＝ln[x (2－x )]＝ln[－(x －1)2＋1]，由复合函数的单调性知，函数f (x )在(0，1)上单调递增，在(1，2)上单调递减，所以排除A ，B ；又f (2－x )＝ln(2－x )＋ln x ＝f (x )，所以f (x )的图象关于直线x ＝1对称，C 正确，D 错误. 答案 C【例3－2】 (1)(一题多解)已知a ＝log 2e ，b ＝ln 2，c ＝log 1213，则a ，b ，c 的大小关系为( )A.a >b >cB.b >a >cC.c >b >aD.c >a >b(2)若log a (a 2＋1)<log a 2a <0，则a 的取值范围是( ) A.(0，1) B.⎝⎛⎭⎫0，12 C.⎝⎛⎭⎫12，1D.(0，1)∪(1，＋∞)【解析】 (1)法一 因为a ＝log 2e>1，b ＝ln 2∈(0，1)，c ＝log 1213＝log 23>log 2e ＝a >1，所以c >a >b .法二 log 1213＝log 23，如图，在同一坐标系中作出函数y ＝log 2x ，y ＝ln x 的图象，由图知c >a >b .(2)由题意得a >0且a ≠1，故必有a 2＋1>2a ， 又log a (a 2＋1)<log a 2a <0，所以0<a <1， 同时2a >1，∴a >12.综上，a ∈⎝⎛⎭⎫12，1. 【例3－3】 已知函数f (x )＝log a (3－ax ).(1)当x ∈[0，2]时，函数f (x )恒有意义，求实数a 的取值范围；(2)是否存在这样的实数a ，使得函数f (x )在区间[1，2]上为减函数，并且最大值为1？如果存在，试求出a 的值；如果不存在，请说明理由.【解析】 (1)∵a >0且a ≠1，设t (x )＝3－ax ， 则t (x )＝3－ax 为减函数，x ∈[0，2]时，t (x )的最小值为3－2a ， 当x ∈[0，2]时，f (x )恒有意义， 即x ∈[0，2]时，3－ax >0恒成立.∴3－2a >0.∴a <32.又a >0且a ≠1，∴a 的取值范围是(0，1)∪⎝⎛⎭⎫1，32. (2)t (x )＝3－ax ，∵a >0， ∴函数t (x )为减函数.∵f (x )在区间[1，2]上为减函数，∴y ＝log a t 为增函数，∴a >1，x ∈[1，2]时，t (x )最小值为3－2a ，f (x )最大值为f (1)＝log a (3－a )，∴⎩⎪⎨⎪⎧3－2a >0，log a（3－a ）＝1，即⎩⎨⎧a <32，a ＝32.故不存在这样的实数a ，使得函数f (x )在区间[1，2]上为减函数，并且最大值为1. 规律方法 1.确定函数的定义域，研究或利用函数的性质，都要在其定义域上进行. 2.如果需将函数解析式变形，一定要保证其等价性，否则结论错误.3.在解决与对数函数相关的比较大小或解不等式问题时，要优先考虑利用对数函数的单调性来求解.在利用单调性时，一定要明确底数a 的取值对函数增减性的影响，及真数必须为正的限制条件. [方法技巧]1.对数值取正、负值的规律当a >1且b >1或0<a <1且0<b <1时，log a b >0； 当a >1且0<b <1或0<a <1且b >1时，log a b <0.2.利用单调性可解决比较大小、解不等式、求最值等问题，其基本方法是“同底法”，即把不同底的对数式化为同底的对数式，然后根据单调性来解决.3.比较幂、对数大小有两种常用方法：(1)数形结合；(2)找中间量结合函数单调性.4.多个对数函数图象比较底数大小的问题，可通过比较图象与直线y ＝1交点的横坐标进行判定.5.在对数式中，真数必须是大于0的，所以对数函数y ＝log a x 的定义域应为(0，＋∞).对数函数的单调性取决于底数a 与1的大小关系，当底数a 与1的大小关系不确定时，要分0<a <1与a >1两种情况讨论.6.在运算性质log a M α＝αlog a M 中，要特别注意条件，在无M >0的条件下应为log a M α＝αlog a |M |(α∈N +，且α为偶数).7.解决与对数函数有关的问题时需注意两点：(1)务必先研究函数的定义域；(2)注意对数底数的取值范围.四、 课时作业1．（2020·土默特左旗金山学校高一开学考试（文））设82log 9log 3a=，则实数a 的值为（ ）A ．32B ．23C ．1D ．22．（2020·长春市第二十九中学高三期末（理））函数y ＝ln |x |＋1的图象大致为 （ ）A ．B ．C ．D ．3．（2020·陕西省高三开学考试（文））若24log log 1x y +=，则（ ）A ．22x y =B ．24x y =C ．22xy =D ．24xy =4．（2020·九台市第四中学高一期末）函数0.5log (43)y x =-的定义域为（ ）A ．（34，1） B ．（34，∞） C ．（1，+∞） D ．（34，1）∪（1，+∞） 5．（2020·海南省海南中学高三月考）已知实数ln22a =，22ln2b =+，2(ln2)c =，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A ．c a b << B ．c b a << C ．b a c <<D ．a c b <<6．（2020·肥东县综合高中高三二模（理））已知函数()log 1(0,1)a f x x a a =->≠，若1234x x x x <<<，且()()()()1234f x f x f x f x ===，则12341111x x x x +++=（ ）A ．2B ．4C ．8D ．随a 值变化7．（2020·榆林市第二中学高三零模（理））等比数列{}n a 的各项均为正数，且564718a a a a +=，则3132310log log log a a a +++=（ ）A ．12B ．10C ．8D ．32log 5+8．（2020·甘肃省甘谷第一中学高二开学考试（理））已知0,0a b >>，且1ab =，则函数()x f x a =与函数()log b g x x =-的图像可能是（ ）A ．B ．C ．D ．9．（2020·湖南省宁乡一中高一期末）设函数()1232,2()log 1,2x e x f x x x -⎧<⎪=⎨-≥⎪⎩，则()()2f f 的值为（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．310．（2020·甘肃省甘谷第一中学高一开学考试）已知函数2()log (23)a f x x x =+-，若(2)0f >，则此函数的单调递增区间是（ ）A ．(1,)(,3)+∞-∞- B ．(,3)-∞-B ．C ．(,1)-∞-D ．(1,)+∞11．（2020·内蒙古自治区集宁一中高二月考（文））已知定义在R 上的函数()f x 在区间[)0,+∞上单调递增，且()1y f x =-的图象关于1x =对称，若实数a 满足()12log 2f a f ⎛⎫<- ⎪⎝⎭，则a 的取值范围是（ ）A ．10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．1,4⎛⎫+∞⎪⎝⎭C ．1,44⎛⎫⎪⎝⎭D ．()4,+∞12．（2020·甘肃省高三一模（文））若函数()20202020log 1010f x a x ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭为奇函数（其中a 为常数），则不等式()0f x ≥的整数解的个数是（ ） A ．1011B ．1010C ．2020D ．202113．（2020·湖南省宁乡一中高一期末）计算：02lg 2lg53⎛⎫++ ⎪⎝⎭的值是________． 14．（2020·江苏省盐城中学高三月考）已知函数221()log (1)1x a x f x x x ⎧+≤=⎨->⎩，，，若[(0)]2f f =，则实数a 的值是_______．15．（2020·海南枫叶国际学校高一期末）不用计算器求下列各式的值 （1）()11230988.6427-⎛⎫⎛⎫--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；（2）7log 23lg25lg472log +++16．（2020·甘肃省甘谷第一中学高一开学考试）设函数33()log (9)log (3)f x x x =⋅，且199x ≤≤． （1）求(3)f 的值；（2）令3log t x =，将()f x 表示成以t 为自变量的函数；并由此，求函数()f x 的最大值与最小值及与之对应的x 的值．17．（2020·四川省乐山沫若中学高一月考）已知函数()()()3 01a f x log ax a a -≠＝＞且 ．（1）当[]02x ∈，时，函数()f x 恒有意义，求实数a 的取值范围； （2）是否存在这样的实数a ，使得函数f （x ）在区间[]12，上为减函数，并且最大值为1？如果存在，试求出a 的值；如果不存在，请说明理由．18．（2020·天水市第一中学高一月考）已知函数()()lg 2(01)x xf x m m =-<<．（1）当12m =时，求()f x 的定义域； （2）试判断函数()f x 在区间(,0)-∞上的单调性，并给出证明； （3）若()f x 在区间(,1]-∞-上恒取正值，求实数m 的取值范围．19．（2020·甘肃省甘谷第一中学高二开学考试（文））已知函数()log (2)(0,1)a f x x a a =+>≠． （1）求函数()f x 定义域；（2）若(2)2f =，判断函数()f x 单调性，并用单调性定义证明； （3）解关于x 的不等式()0f x >．20．（2020·山西省大同一中高二月考（理））已知函数()()2232log ,log f x x g x x =-=. (1)当[]1,4x ∈时，求函数()()()1h x f x g x ⎡⎤=+⋅⎣⎦的值域；(2)如果对任意的[]1,4x ∈，不等式()()2f x fk g x ⋅>⋅恒成立，求实数k 的取值范围．。
《对数函数 y=log2 x 的图象和性质》 讲义
《对数函数 y=log2 x 的图象和性质》讲义《对数函数 y=log₂ x 的图象和性质》讲义一、对数函数的定义在数学中，如果 a 的 x 次方等于 N（a＞0，且a≠1），那么数 x 叫做以 a 为底 N 的对数，记作 x ＝logₐN。
当底数 a ＝ 2 时，我们就得到了对数函数 y ＝ log₂ x。
二、对数函数 y ＝ log₂ x 的图象1、图象的绘制要绘制对数函数 y ＝ log₂ x 的图象，我们可以通过列表、描点、连线的方法来完成。
选取一些 x 的值，比如 x ＝ 1/8 、1/4 、1/2 、1、2、4、8 等等，然后分别计算出对应的 y 值。
当 x ＝ 1/8 时，y ＝ log₂（1/8) ＝－3 ；当 x ＝ 1/4 时，y ＝ log₂（1/4) ＝－2 ；当 x ＝ 1/2 时，y ＝ log₂（1/2) ＝－1 ；当 x ＝ 1 时，y ＝ log₂ 1 ＝ 0 ；当 x ＝ 2 时，y ＝ log₂ 2 ＝ 1 ；当 x ＝ 4 时，y ＝ log₂ 4 ＝ 2 ；当 x ＝ 8 时，y ＝ log₂ 8 ＝ 3 。
将这些点（1/8，－3）、（1/4，－2）、（1/2，－1）、（1，0）、（2，1）、（4，2）、（8，3）在平面直角坐标系中描出，然后用平滑的曲线连接起来，就得到了对数函数 y ＝ log₂ x 的图象。
2、图象的特征（1）对数函数 y ＝ log₂ x 的图象位于 y 轴右侧。
（2）图象经过点（1，0），因为 log₂ 1 ＝ 0 。
（3）从左往右看，图象逐渐上升。
三、对数函数 y ＝ log₂ x 的性质1、定义域对数函数 y ＝ log₂ x 的定义域为（0，＋∞），因为对数中的真数必须大于 0 。
2、值域对数函数 y ＝ log₂ x 的值域为（∞，＋∞）。
当 x 趋近于 0 时，y 趋近于负无穷；当 x 趋近于正无穷时，y 趋近于正无穷。
对数函数课件
对数函数的函数——指 数函数
探讨对数函数与指数函数之 间的对应关系，理解它们在 数学中的互相关联。
对数函数的运用
复利计算与对数函数
发现对数函数在复利计算中的应 用，解释其在金融领域的重要性。
对数函数在科学计算中的 应用
展示对数函数在科学计算、数据 处理和实验分析中的广泛应用， 强调其工作原理。
对数函数在生物学中的应用
说明如何将对数函数与三角函数结合， 解决复杂的三角函数方程与不等式。
对数函数的拓展
自然对数函数和自然指数函数
介绍自然对数函数和自然指数函数的定义、图像以及它们在数学中的关系。
对数函数与幂函数的比较
通过对对数函数和幂函数的分析，讨论它们的差异、相似性和各自的应用领域。
对数函数与指数函数的比较
对比对数函数和指数函数的特点，探讨它们相互之间的关系和相对优势。
对数函数
通过本课件，我们将探索对数函数的定义、性质以及其在科学、生物学和数 学中的应用，帮助大家更好地理解和运用对数函数。
基础知识
对数函数的定义与性质
深入了解对数函数的定义以 及其特性，掌握其在数学中 的基本概念。
常见对数函数的图像及 其特点
通过图像展示，了解常见对 数函数的形态、趋势以及重 要特点。
揭示对数函数在生物学研究、物 种分布及生态模型中的应用案例， 探索其实际价值。
对数函数的解题方法
1
对数函数在方程中的应用
2
指导学生在解决各种类型的方程时，如
何运用对数函数进行求解。
3活运用对数函数进行数学计算。
对数函数与三角函数的结合运用
通用版高考数学一轮复习2.10对数函数讲义文
[解析] (1)因为 y＝lg|x－1|＝Error! 当 x＝1 时，函数无意义，故排除 B、D. 又当 x＝2 或 0 时，y＝0，所以 A 项符合题意．
( ] (2)若 x<logax 在 x∈ 0，14 时成立，则 0<a<1，且 y＝ x的图象
在 y＝logax 图象的下方，作出图象如图所示． 由图象知 14<loga14， 所以Error!解得116<a<1.
解析：选 B y＝lg|x|是偶函数，由图象知在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递
增．
3．设 a＝log23，b＝log 1 3，c＝3－2，则 a，b，c 的大小关系是( )
2
A．a＞b＞c
B．b＞a＞c
C．a＞c＞b
D．c＞b＞a
解析：选
C 因为
a＝log23＞1，b＝log
解析：选 B 函数 y＝loga(－x)的图象与 y＝logax 的图象关于 y 轴对称，符合条件的只 有 B.
2．函数 y＝lg|x|( ) A．是偶函数，在区间(－∞，0)上单调递增 B．是偶函数，在区间(－∞，0)上单调递减 C．是奇函数，在区间(0，＋∞)上单调递减 D．是奇函数，在区间(0，＋∞)上单调递增
解析：当 x＝2 时，函数 y＝loga(x－1)＋2(a＞0，且 a≠1)的值为 2，所以图象恒过定点
(2,2)．
答案：(2,2)
考点一 对数函数的图象及应用 [典例] (1)函数 y＝lg|x－1|的图象是( )
(2)已知当 0<x≤14时，有 x<logax，则实数 a 的取值范围为________．
的取值范围．
( ) 解：设 f1(x)＝x2，f2(x)＝logax，要使 x∈ 0，12 时，不等式 x2<logax 恒成立，只需 f1(x)
9对数函数 - 简单 - 讲义
对数函数知识讲解一、对数函数的图像与性质①函数log a y x =（0a >，1a ≠）叫做对数函数，其中x 是自变量，图像如下1a > 01a <<图 象性 质定义域：（0，+∞） 值域：R过点（1，0），即当时，时 时时 时在（0，+∞）上是增函数在（0，+∞）上是减函数1oyx 1oyx1=x 0=y )1,0(∈x 0<y ),1(+∞∈x 0>y )1,0(∈x 0>y ),1(+∞∈x 0<y②对数函数的性质：定义域：(0,)+∞；值域：R ；过点(1,0)，即当1x =时，0y =． 当0a >时，在（0，+∞）上是增函数；当01a <<时，在（0，+∞）上是减函数．二、对数函数与指数函数的关系关系：对数函数log a y x =与指数函数x y a =图像关于直线y x =对称． 类型：指数方程和对数方程主要有以下几种类型：()()log ,log ()()f x b a a a b f x b f x b f x a =⇔==⇔=（定义法）()()()(),log ()log ()()()0f x g x a a a a f x g x f x g x f x g x =⇔==⇔=>（转化法） ()()()log ()log f x g x m m a b f x a g x b =⇔= （取对数法）三、对数函数有关的性质（1）xy a =与log a y x =；2x x a a y --=与(l g ()ay o x x R =+∈；11x x a y a -=+与1log 1a xy x+=- 关于y x =对称，（2）已知1()lg 1x f x x +=-,,(1,1)a b ∈-则()()1a b f a f b f ab +⎛⎫+= ⎪+⎝⎭（3）指数函数与对数函数可以有两个或一个交点．典型例题一．选择题（共8小题）1．下列函数中，是对数函数的是（ ）①y=lg x a （x ＞0且x ≠1）②y=log 2x ﹣1③y=2lg 8x ④y=log 5x ． A ．① B ．②C ．③D ．④【解答】解：由对数函数的定义可知：④y=log 5x 是对数函数，其余3个都不是对数函数． 故选：D ．2．使对数log a （一2a +1）有意义的a 的取值范围为（ ） A ．a ＞12且a ≠1B ．0＜a ＜12C ．a ＞0且a ≠1D ．a ＜12【解答】解：要使对数有意义，则{−2a +1＞0a ＞0a ≠1，解得0＜a ＜12，故选：B ．3．（2018•辽宁模拟）函数f （x ）=log 3（x 2﹣x ﹣2）的定义域为（ ） A ．{x |x ＞2或x ＜﹣1} B ．{x |﹣1＜x ＜2}C ．{x |﹣2＜x ＜1}D ．{x |x ＞1或x ＜﹣2}【解答】解：由题意得：x 2﹣x ﹣2＞0，解得：x ＞2或x ＜﹣1， ∴函数的定义域是：{x |x ＞2或x ＜﹣1}， 故选：A ．4．（2016秋•邹平县期中）函数y=2+log 2x （x ≥1）的值域为（ ） A ．（2，+∞） B ．（﹣∞，2）C ．[2，+∞）D ．[3，+∞）【解答】解：∵函数y=2+log 2x 在[1，+∞）上单调递增， ∴当x=1时，y 有最小值2，即函数y=2+log 2x （x ≥1）的值域为[2，+∞）． 故选：C ．5．（2018•天津）已知a=log 372，b=（14）13，c=log 1315，则a ，b ，c 的大小关系为（ ） A ．a ＞b ＞c B ．b ＞a ＞cC ．c ＞b ＞aD ．c ＞a ＞b【解答】解：∵a=log 372，c=log 1315=log 35，且5＞72＞3，∴log 35＞log 372＞1，则b=（14）13＜(14)0=1，∴c ＞a ＞b ． 故选：D ．6．（2017秋•黄陵县校级期末）若a ＞0且a ≠1，则函数y=log a （x +1）的图象一定过点（）A．（1，1）B．（1，0）C．（﹣1，0）D．（0，0）【解答】解：令x+1=1，求得x=0，y=0，故函数y=log a（x+1）的图象一定过点（0，0），故选：D．7．（2017秋•定边县校级期末）函数y=log a（x+2）+1的图象过定点（）A．（1，2）B．（2，1）C．（﹣2，1）D．（﹣1，1）【解答】解：由函数图象的平移公式，我们可得：将函数y=log a x（a＞0，a≠1）的图象向左平移2个单位，再向上平移1个单位，即可得到函数y=log a（x+2）+1（a＞0，a≠1）的图象．又∵函数y=log a x（a＞0，a≠1）的图象恒过（1，0）点，由平移向量公式，易得函数y=log a（x+2）+1（a＞0，a≠1）的图象恒过（﹣1，1）点，故选：D．8．（2016秋•秀屿区校级期末）若函数y=log a（x+1）（a＞0，a≠1）的图象过定点，则x值为（）A．﹣1B．0C．1D．无法确定【解答】解：因为y=log a x的图象恒过（1，0）点，又y=log a （x +1）的图象是把y=log a x 的图象左移1个单位得到的， 所以y=log a （x +1）的图象必过定点（0，0）． 故选：B ．二．填空题（共4小题）9．（2012•黄浦区二模）函数f （x ）=log 12(2x +1)的定义域为 （﹣12，+∞） ．【解答】解：∵2x +1＞0∴x ＞﹣12即函数f （x ）=log 12(2x +1)的定义域为（﹣12，+∞）故答案为：（﹣12，+∞）10．（2012秋•东台市校级期中）集合A={1，log 2x }中的实数x 的取值范围为 （0，2）∪（2，+∞） ．【解答】解：∵集合A={1，log 2x }， ∴{log 2x ≠1x ＞0，解得x ∈（0，2）∪（2，+∞），故答案为：（0，2）∪（2，+∞）；11．（2017秋•昆山市期中）已知a=log 20.3，b=20.3，c=0.32，则小到大排列 a ＜c ＜b ．【解答】解：a=log 20.3＜0，b=20.3＞1，c=0.32∈（0，1）． ∴a ＜c ＜b ．故答案为：a ＜c ＜b ．12．（2016春•浦东新区期中）若对数函数y=log a x 的图象过点（9，2），则a= 3 ． 【解答】解：∵对数函数y=log a x 的图象经过点P （9，2）， ∴2=log a 9， ∴a=3， 故答案为：3．三．解答题（共2小题）13．当log x ﹣1（x 2﹣5x ﹣6）有意义时，求x 的取值范围．【解答】解：当log x ﹣1（x 2﹣5x ﹣6）有意义时，满足{x 2−5x −6＞0x −1＞0x −1≠1，解得x＞6．∴x ∈（6，+∞）．14．已知1＜x ＜10，且a=lg 2x ，b=lgx 2，c=lg （lgx ），那么求a ，b ，c 的大小顺序． 【解答】解：∵1＜x ＜10， ∴0＜lgx ＜1．c=lg （lgx ）＜0．∴a ﹣b=（lgx ﹣2）lgx ＜0，∴0＜a ＜b ， ∴c ＜a ＜b ．。
对数函数 - 中档 - 讲义
对数函数知识讲解一、对数函数的图像与性质①函数log a y x =（0a >，1a ≠）叫做对数函数，其中x 是自变量，图像如下②对数函数的性质：定义域：(0,)+∞；值域：R ；过点(1,0)，即当1x =时，0y =． 当0a >时，在（0，+∞）上是增函数；当01a <<时，在（0，+∞）上是减函数．1a > 01a <<图 象1oyx1oyx性 质定义域：（0，+∞） 值域：R过点（1，0），即当1=x 时，0=y)1,0(∈x 时 0<y ),1(+∞∈x 时 0>y)1,0(∈x 时 0>y ),1(+∞∈x 时0<y在（0，+∞）上是增函数在（0，+∞）上是减函数二、对数函数与指数函数的关系关系：对数函数log a y x =与指数函数x y a =图像关于直线y x =对称． 类型：指数方程和对数方程主要有以下几种类型：()()log ,log ()()f x b a a a b f x b f x b f x a =⇔==⇔=（定义法）()()()(),log ()log ()()()0f x g x a a a a f x g x f x g x f x g x =⇔==⇔=>（转化法） ()()()log ()log f x g x m m a b f x a g x b =⇔= （取对数法）三、对数函数有关的性质（1）xy a =与log a y x =；2x x a a y --=与(l g ()a y o x x R =∈；11x x a y a -=+与1log 1a xy x+=- 关于y x =对称，（2）已知1()lg 1x f x x +=-,,(1,1)a b ∈-则()()1a b f a f b f ab +⎛⎫+= ⎪+⎝⎭（3）指数函数与对数函数可以有两个或一个交点．典型例题一．选择题（共6小题）1．（2016秋•荆门期末）函数f（x）=（a2+a﹣5）log a x为对数函数，则f（）等于（）A．3 B．﹣3 C．﹣log36 D．﹣log382．（2014秋•大兴区期中）已知对数函数的图象过点M（9，2），则此对数函数的解析式为（）A．y=log2x B．y=log3x C．y=log x D．y=log x3．（2018•通州区一模）设，，，那么（）A．c＞b＞a B．c＞a＞b C．a＞b＞c D．a＞c＞b4．（2017秋•林芝县校级期末）函数y=3+log a（2x+3）的图象必经过定点P的坐标为（）A．（﹣1，3）B．（﹣1，4）C．（0，1） D．（2，2）5．（2016秋•准格尔旗校级期末）函数f（x）=log a（ax﹣3）在[1，3]上单调递增，则a的取值范围是（）A．（1，+∞）B．（0，1） C．（0，）D．（3，+∞）6．（2016春•资阳区校级期末）函数f（x）=log a（4x﹣3）过定点（）A．（1，0） B．（）C．（1，1） D．（）二．填空题（共4小题）7．（2014秋•镇沅县校级期中）对数函数f（x）的图象经过点（，2），则f （x）=．8．（2012秋•麻栗坡县校级期末）对数函数y=log（a+1）x中实数a的取值范围是．9．（2009春•金山区校级月考）方程log2（log5x）=1的解为．10．（2017•金华模拟）比较lg2，（lg2）2，lg（lg2）的大小，其中最大的是l ，最小的是．三．解答题（共2小题）11．（2016春•石家庄校级期末）已知函数f（x）=lg（2+x）+lg（2﹣x）．（1）求函数f（x）的定义域；（2）若不等式f（x）＞m有解，求实数m的取值范围．12．（2013秋•荔湾区校级期末）设全集为U=R，集合A={x|（x+3）（x﹣6）≤0}，B={x|log2（x+2）＜4}．（1）求如图阴影部分表示的集合；（2）已知C={x|x＞2a且x＜a+1}，若C⊆B，求实数a的取值范围．。
对数及其运算讲义
授课内容：（一）对数1.对数的概念：一般地，如果Q=N（">O,"H1）,那么数x叫做以"为底"的对数, 记作：x = b浜N（“_底数,N—真数，bg“N_对数式）说明：①注意底数的限制。
>°,且"工1;Q / =N oIog°N = x；lo。
N0注意对数的书写格式.两个重要对数：①常用对数：以10为底的对数IgN；0自然对数：以无理数0 = 2.7182&…为底的对数的对数InN.指数式与对数式的互化a b =Nolog“N= b（二）对数的运算性质如果。
>0,且"工1, M>0, N>0,那么：① log fl（M . N）=log“M+log“N；]M _Q◎亦一1呱必_1呱化③ log fl M,!= /2 log fl M （n e R）注意：换底公式】,log,log/= --------------log, （d>0,竺"Hl；C>0, g.cHl；b>0）利用换底公式推导下面的结论log h" = —log fl/? l°g°b =—（1）川;（2）吨/.（四）例题例1、设a, b, c都是正数，且3M b=6\那么（）解：由 a, b, c 都是正数，且 3a =4b =6c =M,则 a=log 3\ b=logA c=log 6M 例2、若a>l, b>l,昨严吐,则『等于()A 、1B 、bC 、log h aD 、a ,OK b alog h (lo$h a)解：由对数的换底公式可以得出p 二 ------ T^~Q ----- =log it (log h a),因此，a"等于logi,a.1,则x 属于区间( 例4、若3牛9二10・3\那么x'+l 的值为( ) A 、1B 、2C 、5D 、1 或 5专题：数形结合。
6对数函数 - 中等 - 讲义
对数函数知识讲解一、对数1.定义：一般地，对于指数式b a N =，我们把“以a 为底N 的对数b ”记作，即log a b N=（0a >且1a ¹），其中，数a 叫做对数底数，N 叫做真数．2.对数运算1）对数的运算性质：如果0a >，且1,0,0a M N ≠>>，那么：i. log log log ()a a a M N M N +=⋅；（对数的和等于积的对数） ii. 推广1212log (...)log log ...log a k a a a k N N N N N N ⋅=+++ iii. log log log a a aMM N N-=；（商的对数等于对数的差） iv. log log (R)a a M M ααα=∈ v. 1log log naa N N n=2）换底公式：log log log a b a NN b=（,0,,1,0a b a b N >≠>） 3）关于对数的恒等式log a NaN =log n a a n = 1log log a b b a=log log n m a a mM M n= log log log log a b a b M MN N=二、对数函数1.定义：函数log a y x =（0a >且1a ≠）叫做对数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是(0,)+∞，值域为实数集R ．2.对数函数log (0a y x a =>且1a ≠）的图象和性质：3.根据图像比较对数函数底数的大小曲线1234C C C C ，，，分别是指函log log log log a b c d y x y x y x y x ====，，，的图像． 1）由图像得01a b d c <<<<<．2）当底数大于1时，底数越大图像越靠近x 轴，当底数小于1时，底数越小于靠近x 轴． 3）指数函数log a y x =与1log ay x =（0a >且1a ≠）的图像关于x 轴对称．4）函数值的大小比较①底数相同真数不同：当底数大于1数小于1时真数越大函数值越小．②指数相同真数不同：可采用函数图像法，底数大于1同底数越大函数值越小，底数小于1时，真数相同底数越小函数值越小．③底数不同真数不同：找中间值（一般为1值比较．经典例题一．选择题（共12小题）1．（2016秋•马山县期中）对数式log （a ﹣2）（5﹣a ）中实数a 的取值范围是（ ） A ．（﹣∞，5） B ．（2，5）C ．（2，3）∪（3，5）D ．（2，+∞）【解答】解：要使对数式b=log （a ﹣2）（5﹣a ）有意义，则{a −2＞05−a ＞0a −2≠1，解得a ∈（2，3）∪（3，5），故选：C ．2．在M=log （x ﹣3）（x +1）中，要使式子有意义，x 的取值范围为（ ） A ．（﹣∞，3] B ．（3，4）∪（4，+∞）C ．（4，+∞）D ．（3，4）【解答】解：由函数的解析式可得 {x +1＞0x −3＞0x −3≠1，解得3＜x ＜4，或x ＞4．故选：B ．3．（2017春•杭州期末）若a 2017=b （a ＞0，且a ≠1），则（ ） A ．log a b=2017 B ．log b a=2017C ．log 2017a=bD ．log 2017b=a【解答】解：若a 2017=b （a ＞0，且a ≠1），则2017=log a b ，故选：A．4．（2015秋•高密市期中）若0＜a＜1，实数x，y满足|x|=log a 1y，则该函数的图象是（）A．B．C．D．【解答】解：由|x|=log a1y，得，∴y=1a|x|={a x，x≤0a−x，x＞0，又0＜a＜1，∴函数在（﹣∞，0]上递j减，在（0，+∞）上递增，且y≥1，故选：A．5．（2018•安庆二模）设x，y，z均大于一，且log√2x=log√3y=log√5z，令a=x12，b=y13，c=z14则a，b，c的大小关系是（）A．a＞b＞c B．b＞c＞a C．c＞a＞b D．c＞b＞a【解答】解：法一：令log√2x=log√3y=log√5z=k，则x12=(214)k，y13=(316)k，z14=(518)k将它们分别24次方，得a 24=(x 12)24，b 24=(y 13)24=81k ，c 24=(z 14)24=125k ，法二：取特殊值法：取x=√2，y=√3，z=√5，符合题意， 易验证c ＞a ＞b ， 故选：D ．6．（2018•潮南区模拟）若log 2（log 3a ）=log 3（log 4b ）=log 4（log 2c ）=1，则a ，b ，c 的大小关系是（ ） A ．a ＞b ＞c B ．b ＞a ＞cC ．a ＞c ＞bD ．b ＞c ＞a【解答】解：由log 2（log 3a ）=1，可得log 3a=2，lga=2lg3，故a=32=9， 由log 3（log 4b ）=1，可得log 4b=3，lgb=3lg4，故b=43=64， 由log 4（log 2c ）=1，可得log 2c=4，lgc=4lg2，故c=24=16， ∴b ＞c ＞a ． 故选：D ．7．（2014•苏州校级学业考试）化简log 38log 32可得（ ） A ．log 34 B ．32C ．3D ．4【解答】解：log 38log 32=log 28=log 223=3．故选：C ．8．（2014秋•喀什地区月考）log29×log34=（）A ．14B ．12C ．2D ．4【解答】解：原式=2lg3lg2×2lg2lg3=4．故选：D ．9．（2016秋•南岗区校级期末）函数y =√x−1x−2+log 2(−x 2+2x +3)的定义域为（ ） A ．{x |1≤x ＜3}B ．{x |1＜x ＜2}C ．{x |1≤x ＜2或2＜x ＜3}D ．{x |1≤x ＜2}【解答】解：要使函数有意义，则{x −1≥0x −2≠0−x 2+2x +3＞0，即{x ≥1x ≠2x 2−2x −3＜0，∴{x ≥1x ≠2−1＜x ＜3解得1≤x ＜3且x ≠2，即1≤x ＜2或2＜x ＜3． ∴函数的定义域为{x |1≤x ＜2或2＜x ＜3}． 故选：C ．10．（2016秋•东莞市校级期末）函数y=log 5x 的定义域（ ） A ．（﹣∞，0） B ．（﹣∞，0]C ．（0，+∞）D ．[0，+∞）【解答】解：根据题意，函数y=log 5x 的是对数函数， 则有x ＞0，即其定义域为（0，+∞）；故选：C ．11．（2017秋•南涧县校级月考）函数f （x ）对于任意实数x 满足条件f(x +4)=1f(x)，且当x ∈[2，10）时，f （x ）=log 2（x ﹣1），则f （2010）+f （2011）的值为（ ） A ．﹣2 B ．﹣1C ．1D ．2【解答】解：由f （x +4）=1f(x)得f [（x +8）]=1f(x+4)=f （x ），T=8 ∵x ∈[2，10），f （x ）=log 2（x ﹣1） ∴f （2010）+f （2011）=f （2）+f （3） =log 21+log 2（3﹣1）=1． 故选：C ．12．（2014•陕西二模）函数g （x ）=log 22x x+1（x ＞0），关于方程|g （x ）|2+m |g（x ）|+2m +3=0有三个不同实数解，则实数m 的取值范围为（ ）A ．（﹣∞，4﹣2√7）∪（4+2√7，+∞）B ．（4﹣2√7，4+2√7）C ．（﹣34，﹣23）D ．（﹣32，﹣43]【解答】解：∵2x x+1=2(x+1)−2x+1=2﹣2x+1，∴当x ＞0时，0＜2﹣2x+1＜2，即g （x ）＜1，则y=|g （x ）|大致图象如图所示，设|g （x ）|=t ，则|g （x ）|2+m |g （x ）|+2m +3=0有三个不同的实数解， 即为t 2+mt +2m +3=0有两个根，且一个在（0，1）上，一个在[1，+∞）上，当t=0时，2m +3=0，得m=﹣32，此时方程为t 2﹣32t=0，解得t=0或t=32，当t=0时，g （x ）=0有一个根x=1，当t=32时，由|g （x ）|=32，此时也只有一个根，此时方程共有2个根，不满足条件．设h （t ）=t 2+mt +2m +3， ①当有一个根为1时，h （1）=12+m +2m +3=0，解得m=﹣43，此时另一根为13，满足条件．②根不是1时，则满足{ℎ(0)＞0ℎ(1)＜0，∴{2m +3＞01+m +2m +3＜0，即{m ＞−32m ＜−43，∴﹣32＜m ＜−43．综上﹣32＜m ≤﹣43，即实数m 的取值范围为（﹣32，﹣43]，故选：D ．二．填空题（共4小题）13．（2016秋•曲阜市校级期末）若4x =9y =6，则1x+1y= 2 ．【解答】解：∵4x =9y =6，∴x=lg6lg4，y=lg6lg9．则1x +1y =lg4lg6+lg9lg6=lg62lg6=2． 故答案为：2．14．（2018•黑龙江模拟）设2x =5y =m ，且1x+1y=2，则m 的值是 √10 ．【解答】解：由2x =5y =m ， 得x=log 2m ，y=log 5m ，由1x +1y =2，得1log 2m +1log 5m =2， 即log m 2+log m 5=2， ∴log m 10=2， ∴m=√10． 故答案为：√10．15．（2015秋•汉阳区校级期末）已知log 23=t ，则log 4854=1+3t 4+t（用t 表示）【解答】解：log 23=t ，则log 4854=log 254log 248=1+3log 234+log 23=1+3t4+t．故答案为：1+3t4+t．16．（2013秋•缙云县校级期末）已知函数f （x ）=log a [mx 2+（m ﹣1）x +14]的值域为R ，则实数m 的取值范围是 [0，3−√52]∪[3+√52，+∞） ．【解答】解：令g （x ）=mx 2+(m −1)x +14的值域为A ，∵函数f(x)=log a [mx 2+(m −1)x +14]的值域为R ，∴（0，+∞）⊂A ，当m=0时，g （x ）=−x +14值域为R ，满足条件；当m ≠0时，{m ＞0(m −1)2−m ≥0，解得：m ∈（0，3−√52]∪[3+√52，+∞），故实数m 的取值范围是[0，3−√52]∪[3+√52，+∞），故答案为：[0，3−√52]∪[3+√52，+∞）．三．解答题（共2小题）17．已知函数f （x ）=lg [（m 2﹣3m +2）x 2+2（m ﹣1）x +5]， （1）若函数f （x ）的定义域为R ，求实数m 的取值范围； （2）若函数f （x ）的值域为R ，求实数m 的取值范围．【解答】解：函数f （x ）=lg [（m 2﹣3m +2）x 2+2（m ﹣1）x +5]， （1）∵f （x ）的定义域为R ，∴g （x ）=（m 2﹣3m +2）x 2+2（m ﹣1）x +5的图象恒在x 轴上方， （m 2﹣3m +2）x 2+2（m ﹣1）x +5＞0恒成立， 当m=1时，5＞0恒成立， 当m=2时2x +5＞0不恒成立，当{m 2−3m +2＞0△＜0时，不等式恒成立．即m ＞94或m ＜1，所以实数m 的取值范围为：m ＞94或m ≤1，（2）∵f （x ）的值域为R ，∴g （x ）=（m 2﹣3m +2）x 2+2（m ﹣1）x +5图象不能在x 轴下方， 当m=2时g （x ）=2x +5，符合题意，当{m 2−3m +2＞0△≥0时，即2＜m ≤94 实数m 的取值范围：2≤m ≤9418．（2015•湘西州校级一模）已知函数f （x ）=log a （1﹣x ）+log a （x +3）（0＜a ＜1）（1）求函数f （x ）的定义域；（2）求函数f （x ）的零点；（3）若函数f （x ）的最小值为﹣4，求a 的值．【解答】解：（1）要使函数有意义：则有{1−x ＞0x +3＞0，解之得：﹣3＜x ＜1， 则函数的定义域为：（﹣3，1）（2）函数可化为f （x ）=log a （1﹣x ）（x +3）=log a （﹣x 2﹣2x +3） 由f （x ）=0，得﹣x 2﹣2x +3=1，即x 2+2x ﹣2=0，x =−1±√3∵−1±√3∈(−3，1)，∴函数f （x ）的零点是−1±√3（3）函数可化为：f （x ）=log a （1﹣x ）（x +3）=log a （﹣x 2﹣2x +3）=log a [﹣（x +1）2+4] ∵﹣3＜x ＜1，∴0＜﹣（x +1）2+4≤4，∵0＜a＜1，∴log a[﹣（x+1）2+4]≥log a4，即f（x）min=log a4，由log a4=﹣4，得a﹣4=4，∴a=4−14=√22。
人教版高一数学对数函数讲义
第五节、对数函数 幂函数一、基本概念1．对数的概念一般地，如果N a x=)1,0(≠>a a ，那么数x 叫做以．a 为底．．N 的对数，记作：N x a log =a — 底数，N — 真数，N a log — 对数式说明：○1 注意底数的限制0>a ，且1≠a ； ○2 x N N a ax=⇔=log ； 思考：○1 为什么对数的定义中要求底数0>a ，且1≠a ； ○2 是否是所有的实数都有对数呢？ 两个重要对数：○1 常用对数：以10为底的对N lg 数； ○2 自然对数：以无理数 71828.2=e 为底的对数的对数N ln ． 2． 对数式与指数式的互化x N a =log ⇔N a x= 对数式⇔指数式对数底数 ← a → 幂底数 对数 ← x → 指数 真数← N → 幂3． 对数的性质 对数的性质（1）负数和零没有对数； （2）1的对数是零：01log =a ； （3）底数的对数是1：1log =a a ； （4）对数恒等式：N aNa =log ；（5）n a na =log ． M Ma alog 1log -=（6）N M MN a a a log log log += (7)换底公式： abb c c a log log log =特殊的对数公式：b b a n a n log log = b mnb a n a m log log =ab b a log 1log =c c b a b a log log log =•例1、基本对数公式的应用1．log a b ＝1成立的条件是( )A ．a ＝bB ．a ＝b ，且b >0C ．a >0，且a ≠1D ．a >0，a ＝b ≠1 解析：选D.a >0且a ≠1，b >0，a 1＝b . 2．若log a 7b ＝c ，则a 、b 、c 之间满足( )A ．b 7＝a cB ．b ＝a 7cC ．b ＝7a cD ．b ＝c 7a解析：选B.log a 7b ＝c ⇒a c ＝7b ，∴b ＝a 7c . 3．(20XX 年高考四川卷)2log 510＋log 50.25＝( )A ．0B ．1C ．2D ．44．若log 2(log 3x )＝log 3(log 4y )＝log 4(log 2z )＝0，则x ＋y ＋z 的值为( )A ．9B ．8C ．7D ．6解析：选A.∵log 2(log 3x )＝0，∴log 3x ＝1，∴x ＝3. 同理y ＝4，z ＝2.∴x ＋y ＋z ＝9.5．已知log a x ＝2，log b x ＝1，log c x ＝4(a ，b ，c ，x ＞0且≠1)，则log x (abc )＝( )A.47B.27C.72D.74解析：选D.x ＝a 2＝b ＝c 4，所以(abc )4＝x 7，所以abc ＝x 74.即log x (abc )＝74.例2、换底公式。
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一、教学目标：1．理解对数的概念，掌握对数的运算性质；2．掌握对数函数的概念、图象和性质；能利用对数函数的性质解题．二、教学重、难点：运用对数运算性质进行求值、化简、证明、运用对数函数的定义域、单调性解题三、命题规律：主要考察指数式ba N =与对数式log a Nb =的互化，对数函数的图像和性质或由对数函数复合成的函数，主要涉及比较大小、奇偶性、过定点、单调区间以及运用单调性求最值等，主要以填空为主。
四、教学内容：【知识回顾】 1.对数的概念如果 ,那么数b 叫做以a 为底N 的对数，记作 ，其中a 叫做对数的 ，N 叫做对数的 。
即指数式与对数式的互化：log ba aN b N =⇔=2.常用对数：通常将以10为底的对数10log N 叫做常用对数，记作lg N 。
自然对数：通常将以无理数 2.71828e =⋅⋅⋅为底的对数叫做自然对数，记作ln N 。
3.对数的性质及对数恒等式、换底公式（1）对数恒等式：①log Na a = (01,0)a a N >≠>且②log N a a =(01,0)a a N >≠>且（2）换底公式：log a N =log log b b Na（3）对数的性质：①负数和零没有对数 ② 1的对数是零，即log 10a =③底的对数等于1，即log 1a a = ④log log log a b c b c d ⋅⋅=log a d4.对数的运算性质如果01,0,0a a M N >≠>>且，那么（1）log ()a MN = ； （2）log aMN= ； （3）log na M = ； （4）logn a mM = 。
（5）log log a b b a ⋅= ； （6）log a b =1log b a5.对数函数函数log (01)a y x a a =>≠且做对数函数，其定义域为(0，+∞)，值域为(-∞，+∞).、 6.对数函数图像与性质注：对数函数1log log (01)a ay x y x a a ==>≠与且的图像关于x 轴对称。
7.同真数的对数值大小关系如图在第一象限内，图像从左到右相应的底逐渐增大， 即01c d a b <<<<<8.对数式、对数函数的理解① 应重视指数式与对数式的互化关系，它体现了数学的转化思想，也往往是解决“指数、对数”问题的关键。
② 在理解对数函数的概念时，应抓住定义的“形式”，像2log 2,log 2,3ln x y y x y x ===等函数均不符合形式log (01)a y x a a =>≠且，因此，它们都不是对数函数 ③ 画对数函数log a y x =的图像，应抓住三个关键点1(,1),(1.0),(,1)a a-【例题精讲】 考点一：对数式的运算例1.计算（1）(22lg5+ （2）()(21lg5lg8lg1000lg lg lg 0.066++++【反思归纳】运用对数的运算法则时，要注意各字母的取值范围，只有所得结果中的对数和所给出的数的对数都存在时才成立，同时不要将积商幂的对数与对数的积商幂混淆起来。
【举一反三】 1.求值：（1）2221log log 12log 4212-- （2）()2lg 2lg 2lg50lg 25+⋅+（3）()()3948log 2log 2log 3log 3+⋅+练习：1=29=3(log 3log 3)=1248．化简．．计算．．计算＋·．lg lg lg lg log 23939123-+-4log(6+42642)=5log 2=1aalog 3=32．．．已知，则．---6．若log π(log 3(lnx))=0，则x=________． 7．化简lg 25＋lg2·lg50=________．8log500lg 85lg6450(lg2lg5)2．计算＋＋＋＝．-12考点二：对数值的大小比较比较大小常用的方法有：①做差比较法 ②做商比较法 ③函数单调性法 ④中间值法， 在比较两个幂的大小时，除上述一般方法外，还应注意以下情况：1) 对于底数相同，真数不同的两个对数的大小比较，直接利用对数函数的单调性来判断。
2) 对于底数不同，真数相同的两个对数的大小比较，可利用对数函数的图像来判断。
3) 对于底数和真数均不同的两个对数的大小比较，可以利用中间值来比较4) 对于三个及以上的数进行大小比较，则应先根据值的大小，（特别是0和1）进行分组，再比 较各组的大小。
5) 对于含有参数的两个对数进行大小比较时，要注意对底数进行讨论。
例2.比较大小（1）22log 3.4log 8.5与 （2）23log 3log 3与（3）76log 6log 7与 （4）()()21log 1log 2a ab b b R -+∈与【举一反三】(1)3.0log 7.0log 4.03.0与 (2) 214.36.0317.0log ,8.0log -⎪⎭⎫ ⎝⎛和 (3)1.0log 1.0log 2.03.0和解：（1） ∵13.0log 7.0log 3.03.0=< 14.0log 3.0log 4.04.0=>∴3.0log 7.0log 4.03.0<(2) ∵18.0log 06.0<< 07.0log 4.3< 13121>⎪⎭⎫⎝⎛-∴216.04.3318.0log 7.0log -⎪⎭⎫ ⎝⎛<<(3) 解： 03.0log 11.0log 1.03.0>=02.0log 11.0log 1.02.0>=∵2.0log 3.0log 1.01.0< ∴1.0log 1.0log 2.03.0> 考点三：与对数函数有关的定义域问题求与对数函数有关的复合函数的定义域的方法与前面所讲到的求定义域解法一样，但应注意真数大于0且不等于1，若遇到底数含有参数，则应对参数进行讨论。
例3. 求下列函数的定义域()21log a y x =；（2）2log (4)a y x =-；（3）log 4a xy x=-. 解（1）因为20x >，即0x ≠，所以函数2log a y x =的定义域是()(),00,-∞+∞.（2）因为240x ->，即240x -<，所以函数2log (4)a y x =-的定义域是()2,2-.（3）因为04x x >-，即()40x x -<，所以函数log 4axy x=-的定义域是()0,4. 考点四：与对数函数有关的值域问题（1） 型如(log )a y f x =：采用换元法，令log a t x =，根据定义域先求log a t x =值域，再求()y f t =的值域。
（2） 型如log ()a y f x =：由真数()0f x >求出定义域，再求出()y f x =的值域，再根据a 的值确定复合函数的值域.例4.求下列函数的定义域、值域： (1)41212-=--xy (2) )52(log 22++=x x y (3) )54(log 231++-=x x y (4) )(log 2x x y a --=解(1)：要使函数有意义，必须：041212≥---x 即：11212≤≤-⇒-≥--x x 值域：∵11≤≤-x ∴012≤-≤-x 从而 1122-≤--≤-x ∴2124112≤≤--x ∴41412012≤-≤--x ∴210≤≤y(2)∵522++x x 对一切实数都恒有4522≥++x x ∴函数定义域为R从而24log )52(log 222=≥++x x 即函数值域为2≥y (3)函数有意义，必须：5105405422<<-⇒<--⇒>++-x x x x x由51<<-x ∴在此区间内 9)54(max 2=++-x x∴ 95402≤++-≤x x从而 29log )54(log 31231-=≥++-x x 即：值域为2-≥y(4)要使函数有意义，必须： 02>--x x ①0)(log 2≥--x x a ②由①：01<<-x由②：当1>a 时 必须 12≥--x x φ∈x当10<<a 时 必须 12≤--x x R x ∈综合①②得 1001<<<<-a x 且 当01<<-x 时 41)(max 2=--x x ∴4102≤--<x x ∴41log )(log 2aa x x ≥-- 41log a y ≥ )10(<<a考点五：定义域或值域为R 的问题（1） 若[]log ()a y x ϕ=的定义域为R,则对任意实数x ，恒有()0x ϕ>。
特别地，当2()(0)x ax bx c a ϕ=++≠时，要使定义域为R ，则必须00a >∆<且 （2） 若[]log ()a y x ϕ=的值域为R ，则()x ϕ必需取遍()0+∞，内所有的数。
特别地，当2()(0)x ax bx c a ϕ=++≠时，要使值域为R ，则必须00a >∆≥且 例5. 对于函数)32(log )(221+-=ax x x f ，解答下述问题：（1）若函数的定义域为R ，求实数a 的取值范围； （2）若函数的值域为R ，求实数a 的取值范围；（3）若函数在),1[+∞-内有意义，求实数a 的取值范围； （4）若函数的定义域为),3()1,(+∞-∞ ，求实数a 的值； （5）若函数的值域为]1,(--∞，求实数a 的值； （6）若函数在]1,(-∞内为增函数，求实数a 的取值范围.考点六：对数函数的综合问题 例1、设121()log 1axf x x －＝－为奇函数, a 为常数. ⑴求a 的值；⑵求证：()f x 在(1)∞，＋内单调递增；⑶若对于[3,4]上的每一个x 的值，不等式1()()2xf x m >＋恒成立，求实数m 的取值范围。
解：⑴因为()f x 是奇函数，所以()()f x f x －＝－，112211log log 11ax axx x ∴＋－＝－－－－，1111ax x x ax∴＋－＝－－－，22211a x x ∴－＝－，1a ∴±，经检验1a ＝－⑵121()log 1x f x x +＝－定义法：任取121x x >>，所以12110x x >>－－，1222011x x ∴<<－－，12121111x x x x ∴<＋＋－－，1211122211log log 11x x x x ∴>＋＋－－，所以12()()f x f x >，所以()f x 在(1)∞，＋内单调递增.导数法：1211()()log ()11x x f x e x x '⋅⋅'－＋＝＋－()112222121log log 111x e e x x x ⋅⋅⋅－－＝＝－＋－－，因为1x >，所以2101x >，－又12log 0e >－，所以()0f x '>，所以所以()f x 在(1)∞，＋内单调递增.⑶对于[3,4]上的每一个x 的值，不等式1()()2xf x m >＋恒成立，所以1()()2xf x m>－恒成立，令1()()()2xg x f x =－，由知⑵，()g x 在[3,4]上是单调递增函数，所以9(3)8m g <＝－，所以m 的取值范围是9()8∞－，－.例2、已知()log (01,0)ax bf x a a b x b+>≠>＝且－ ⑴求函数()f x 的定义域； ⑵讨论函数()f x 的奇偶性； ⑶讨论函数()f x 的单调性.析：由真数大于0，可求定义域，按奇偶性的定义判断其奇偶性，单调性可按复合函数的单调性的规律判断。