四川省广安遂宁资阳等六市2017级高三第一次诊断性考试文科数学试题(PDF版)
2017届高三数学一模试卷(文科)Word版含解析
一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合M={x|x 2+x ﹣12≤0}，N={y|y=3x ，x ≤1}，则集合{x|x ∈M 且x ∉N}为（ ） A ．（0，3] B ．[﹣4，3]C ．[﹣4，0）D ．[﹣4，0]2．向量，，在正方形网格中的位置如图所示，若=λ+μ（λ，μ∈R ），则=（ ）A ．2B ．4C ．D ．3．已知，则f[f （1﹣i ）]等于（ ）A ．3B ．1C ．2﹣iD ．3+i4．如图的程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”，执行该程序框图，若输入的a ，b 分别为16，28，则输出的a=（ ）A ．0B ．2C ．4D ．145．设S n 为等比数列{a n }的前n 项和，8a 2+a 5=0，则等于（ ）A ．11B ．5C ．﹣8D ．﹣116．某一简单几何体的三视图如所示，该几何体的外接球的表面积是（ ）A．13πB．16πC．25πD．27π7．已知直线m和平面α，β，则下列四个命题中正确的是（）A．若α⊥β，m⊂β，则m⊥αB．若α∥β，m∥α，则m∥βC．若α∥β，m⊥α，则m⊥βD．若m∥α，m∥β，则α∥β8．已知tanx=，则sin2（+x）=（）A．B．C．D．9．已知m，n是满足m+n=1，且使取得最小值的正实数．若曲线y=xα过点P（m， n），则α的值为（）A．﹣1 B．C．2 D．310．△ABC的三内角A，B，C所对边长分别是a，b，c，若=，则角B的大小为（）A．B．C．D．11．设点P是双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）与圆x2+y2=a2+b2在第一象限的交点，F1、F2分别是双曲线的左、右焦点，且|PF1|=3|PF2|，则双曲线的离心率（）A．B． C．D．12．对于三次函数f（x）=ax3+bx2+cx+d（a≠0），给出定义：设f′（x）是函数y=f（x）的导数，f″（x）是f′（x）的导数，若方程f″（x）=0有实数解x0，则称点（x，f（x））为函数y=f（x）的“拐点”．经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心．设函数g（x）=，则g（）+g（）+…+g（）=（）A．2016 B．2015 C．4030 D．1008二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．已知实数x，y满足：，z=2x﹣2y﹣1，则z的取值范围是．14．已知抛物线y2=4x上一点P到焦点F的距离为5，则△PFO的面积为．15．已知O是坐标原点，A，B分别是函数y=sinπx以O为起点的一个周期内的最大值点和最小值点．则tan∠OAB= ．16．已知函数f（x）=kx，，若f（x）与g（x）的图象上分别存在点M，N，使得MN关于直线y=e对称，则实数k的取值范围是．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．已知数列{an }为公差不为零的等差数列，其前n项和为Sn，满足S5﹣2a2=25，且a1，a4，a 13恰为等比数列{bn}的前三项（Ⅰ）求数列{an }，{bn}的通项公式；（Ⅱ）设Tn 是数列{}的前n项和，是否存在k∈N*，使得等式1﹣2Tk=成立，若存在，求出k的值；若不存在，说明理由．18．今年我校高二文科班学生共有800人参加了数学与地理的学业水平测试，现学校决定利用随机数表法从中抽取100人进行成绩抽样统计，先将800人按001，002，…800进行编号：（1）如果从第8行第7列的数开始向右读，请你依次写出最先检测的三个人的编号：（下面摘取了第7行至第9行）（2）抽出100人的数学与地理的水平测试成绩如表：成绩分为优秀、良好、及格三个等级，横向、纵向分别表示地理成绩与数学成绩，例如：表中数学成绩良好的共有20+18+4=42人，若在该样本中，数学成绩优秀率是30%，求a、b的值；（3）在地理成绩为及格的学生中，已知a≥10，b≥8，求数学成绩为优秀的人数比及格的人数少的概率．19．如图，AB为圆O的直径，点E、F在圆O上，AB∥EF，矩形ABCD所在平面和圆O所在的平面互相垂直．已知AB=2，EF=1．（Ⅰ）求证：平面DAF⊥平面CBF；（Ⅱ）设几何体F﹣ABCD、F﹣BCE的体积分别为V1、V2，求V1：V2的值．20．已知函数f（x）=+nlnx（m，n为常数）的图象在x=1处的切线方程为x+y﹣2=0（1）判断函数f（x）的单调性；（2）已知p∈（0，1），且f（p）=2，若对任意x∈（p，1），任意t∈[，2]，f（x）≥t3﹣t2﹣2at+2与f（x）≤t3﹣t2﹣2at+2中恰有一个恒成立，求实数a的取值范围．21．已知椭圆的离心率，过椭圆的左焦点F 且倾斜角为30°的直线与圆x 2+y 2=b 2相交所得弦的长度为1． （I ）求椭圆E 的方程；（Ⅱ）若动直线l 交椭圆E 于不同两点M （x 1，y 1），N （x 2，y 2），设=（bx 1，ay 1），=（（bx 2，ay 2），O 为坐标原点．当以线段PQ 为直径的圆恰好过点O 时，求证：△MON 的面积为定值，并求出该定值．请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在直角坐标系xOy 中，圆C 1和C 2的参数方程分别是（ϕ为参数）和（β为参数），以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系． （1）求圆C 1和C 2的极坐标方程；（2）射线OM ：θ=α与圆C 1的交点分别为O 、P ，与圆C 2的交点分别为O 、Q ，求|OP|•|OQ|的最大值．[选修4-5：不等式选讲]23．（Ⅰ）若关于x 的不等式|x+1|﹣|x ﹣2|＞|a ﹣3|的解集是空集，求实数a 的取值范围；（Ⅱ）对任意正实数x ，y ，不等式+＜k恒成立，求实数k 的取值范围．2017届高三数学一模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合M={x|x2+x﹣12≤0}，N={y|y=3x，x≤1}，则集合{x|x∈M且x∉N}为（）A．（0，3] B．[﹣4，3] C．[﹣4，0）D．[﹣4，0]【考点】集合的表示法．【分析】集合M为不等式的解集，集合N为指数函数的值域，分别求出，再根据新定义求集合{x|x∈M且x∉N}B即可．【解答】解：M={x|x2+x﹣12≤0}=[﹣4，3]，N={y|y=3x，x≤1}=（0，3]，所以集合{x|x∈M且x∉N}=[﹣4，0）．故选：C．2．向量，，在正方形网格中的位置如图所示，若=λ+μ（λ，μ∈R），则=（）A．2 B．4 C．D．【考点】平面向量的基本定理及其意义．【分析】如图所示，建立直角坐标系．利用向量的坐标运算性质、向量相等即可得出．【解答】解：以向量，的公共点为坐标原点，建立如图直角坐标系可得=（﹣1，1），=（6，2），=（﹣1，﹣3）∵=λ+μ（λ，μ∈R），∴，解之得λ=﹣2且μ=﹣，因此，则=4故选：B．3．已知，则f[f（1﹣i）]等于（）A．3 B．1 C．2﹣i D．3+i【考点】函数的值．【分析】根据f（x）中的范围带值计算即可．【解答】解：∵1﹣i∉R∴f（1﹣i）=（1+i）（1﹣i）=2．那么：f[f（1﹣i）]=f（2）=1+2=3．故选A．4．如图的程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”，执行该程序框图，若输入的a，b分别为16，28，则输出的a=（）A．0 B．2 C．4 D．14【考点】程序框图．【分析】由循环结构的特点，先判断，再执行，分别计算出当前的a，b的值，即可得到结论．【解答】解：由a=16，b=28，不满足a＞b，则b变为28﹣16=12，由b ＜a ，则a 变为16﹣12=4， 由a ＜b ，则，b=12﹣4=8， 由a ＜b ，则，b=8﹣4=4， 由a=b=4， 则输出的a=4． 故选：C ．5．设S n 为等比数列{a n }的前n 项和，8a 2+a 5=0，则等于（ ）A ．11B ．5C ．﹣8D ．﹣11【考点】等比数列的性质．【分析】由题意可得数列的公比q ，代入求和公式化简可得． 【解答】解：设等比数列{a n }的公比为q ，（q ≠0） 由题意可得8a 2+a 5=8a 1q+a 1q 4=0，解得q=﹣2，故====﹣11故选D6．某一简单几何体的三视图如所示，该几何体的外接球的表面积是（ ）A ．13πB ．16πC ．25πD ．27π【考点】由三视图求面积、体积．【分析】几何体为底面为正方形的长方体，底面对角线为4，高为3．则长方体的对角线为外接球的直径．【解答】解：几何体为底面为正方形的长方体，底面对角线为4，高为3，∴长方体底面边长为2．则长方体外接球半径为r，则2r==5．∴r=．∴长方体外接球的表面积S=4πr2=25π．故选C．7．已知直线m和平面α，β，则下列四个命题中正确的是（）A．若α⊥β，m⊂β，则m⊥αB．若α∥β，m∥α，则m∥βC．若α∥β，m⊥α，则m⊥βD．若m∥α，m∥β，则α∥β【考点】空间中直线与平面之间的位置关系．【分析】利用面面垂直、面面平行、线面平行的判定定理和性质定理分别分析解答．【解答】解：对于选项A，若α⊥β，m⊂β，则m与α可能平行或者斜交；故A错误；对于选项B，若α∥β，m∥α，则m∥β或者m⊂α；故B 错误；对于选项C，若α∥β，m⊥α，则由面面平行的性质定理可得m⊥β；故C正确；对于选项D，若m∥α，m∥β，则α与β可能相交；故D错误；故选C．8．已知tanx=，则sin2（+x）=（）A．B．C．D．【考点】二倍角的正弦．【分析】由条件利用半角公式、同角三角函数的基本关系，求得要求式子的值．【解答】解：tanx=，则sin2（+x）===+=+=+=，故选：D．9．已知m，n是满足m+n=1，且使取得最小值的正实数．若曲线y=xα过点P（m， n），则α的值为（）A．﹣1 B．C．2 D．3【考点】基本不等式．【分析】由基本不等式易得m=且n=时取到最小值，可得=，解方程可得．【解答】解：∵正实数m，n是满足m+n=1，∴=（）（m+n）=10++≥10+2=16，当且仅当=即m=且n=时取到最小值，∴曲线y=xα过点P（，），∴=，解得α=故选：B10．△ABC的三内角A，B，C所对边长分别是a，b，c，若=，则角B的大小为（）A．B．C．D．【考点】余弦定理；正弦定理．【分析】利用正弦定理化简已知可得c2+a2﹣b2=﹣ac，由余弦定理可得cosB=﹣，结合范围B∈（0，π），即可解得B的值．【解答】解：在△ABC中，由正弦定理，可得：sinB=，sinA=，sinC=，∵=，可得： =，整理可得：c2+a2﹣b2=﹣ac，∴由余弦定理可得：cosB==﹣，∵B∈（0，π），∴B=．故选：B．11．设点P是双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）与圆x2+y2=a2+b2在第一象限的交点，F1、F2分别是双曲线的左、右焦点，且|PF1|=3|PF2|，则双曲线的离心率（）A．B． C．D．【考点】双曲线的简单性质．【分析】先由双曲线定义和已知求出两个焦半径的长，再由已知圆的半径为半焦距，知焦点三角形为直角三角形，从而由勾股定理得关于a、c的等式，求得离心率【解答】解：依据双曲线的定义：|PF1|﹣|PF2|=2a，又∵|PF1|=3|PF2|，∴|PF1|=3a，|PF2|=a，∵圆x2+y2=a2+b2的半径=c，∴F1F2是圆的直径，∴∠F1PF2=90°在直角三角形F1PF2中由（3a）2+a2=（2c）2，得故选 D12．对于三次函数f（x）=ax3+bx2+cx+d（a≠0），给出定义：设f′（x）是函数y=f（x）的导数，f″（x）是f′（x）的导数，若方程f″（x）=0有实数解x0，则称点（x，f（x））为函数y=f（x）的“拐点”．经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心．设函数g（x）=，则g（）+g（）+…+g（）=（）A．2016 B．2015 C．4030 D．1008【考点】利用导数研究函数的极值．【分析】由题意对已知函数求两次导数可得图象关于点（，1）对称，即f（x）+f（1﹣x）=2，即可得到结论．【解答】解：函数g（x）=，函数的导数g′（x）=x2﹣x+3，g″（x）=2x﹣1，由g″（x0）=0得2x﹣1=0解得x=，而g（）=1，故函数g（x）关于点（，1）对称，∴g（x）+g（1﹣x）=2，故设g（）+g（）+…+g（）=m，则g（）+g（）+…+g（）=m，两式相加得2×2015=2m，则m=2015．故选：B．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．已知实数x，y满足：，z=2x﹣2y﹣1，则z的取值范围是[﹣，5）．【考点】简单线性规划．【分析】根据画出不等式组表示的平面区域，利用数形结合结合目标函数的意义，利用平移即可得到结论．【解答】解：不等式对应的平面区域如图：（阴影部分）．由z=2x﹣2y﹣1得y=x﹣，平移直线y=x﹣，由平移可知当直线y=x﹣，经过点C时，直线y=x﹣的截距最小，此时z取得最大值，由，解得，即C（2，﹣1），此时z=2x﹣2y﹣1=4+2﹣1=5，可知当直线y=x﹣，经过点A时，直线y=y=x﹣的截距最大，此时z取得最小值，由，得，即A（，）代入z=2x﹣2y﹣1得z=2×﹣2×﹣1=﹣，故z∈[﹣，5）．故答案为：[﹣，5）．14．已知抛物线y2=4x上一点P到焦点F的距离为5，则△PFO的面积为 2 ．【考点】抛物线的简单性质．【分析】由抛物线方程求出抛物线的焦点坐标和准线方程，结合抛物线的定义得答案．【解答】解：抛物线y2=4x的焦点坐标为F（1，0），准线方程为x=﹣1，∵抛物线y2=4x上的一点P到焦点的距离为5，由抛物线定义可知，点P到准线x=﹣1的距离是5，则点P到x轴的距离是4，∴△PFO的面积为=2，故答案为：2．15．已知O是坐标原点，A，B分别是函数y=sinπx以O为起点的一个周期内的最大值点和最小值点．则tan∠OAB= ．【考点】正弦函数的图象．【分析】根据题意画出图形，结合图形，利用函数y=sinπx的对称性得出∠OAB=2∠OAC，结合二倍角公式求出tan∠OAB的值．【解答】解：如图所示；O是坐标原点，A，B分别是函数y=sinπx以O为起点的一个周期内的最大值点和最小值点，∴AB过点D，且∠OAB=2∠OAC；又A（，1），∴tan∠OAC=，∴tan∠OAB===．故答案为：．16．已知函数f（x）=kx，，若f（x）与g（x）的图象上分别存在点M，N，使得MN关于直线y=e对称，则实数k的取值范围是[﹣，2e] ．【考点】函数的图象．【分析】设M（x，kx），则N（x，2e﹣kx），推导出k=﹣lnx，由此利用导数性质能求出实数k的取值范围．【解答】解：∵函数f（x）=kx，g（x）=2lnx+2e（≤x≤e2），f （x ）与g （x ）的图象上分别存在点M ，N ，使得M ，N 关于直线y=e 对称， ∴设M （x ，kx ），则N （x ，2e ﹣kx ），∴2e ﹣kx=2lnx+2e ，∴k=﹣lnx ，k′=，由k′=0，得x=e ，∵≤x ≤e 2，∴x ∈[，e ）时，k′＜0，k=﹣lnx 是减函数；x ∈（e ，e 2]时，k′＞0，k=﹣lnx 是增函数，∴x=e 时，k=﹣lne=﹣；x=e 2时，k=﹣lne 2=﹣；x=时，k=﹣ln =2e ，∴k min =﹣，k max =2e ．∴实数k 的取值范围是[﹣，2e]．故答案为：三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17．已知数列{a n }为公差不为零的等差数列，其前n 项和为S n ，满足S 5﹣2a 2=25，且a 1，a 4，a 13恰为等比数列{b n }的前三项（Ⅰ）求数列{a n }，{b n }的通项公式；（Ⅱ）设T n 是数列{}的前n 项和，是否存在k ∈N *，使得等式1﹣2T k =成立，若存在，求出k 的值；若不存在，说明理由． 【考点】数列的求和；数列递推式．【分析】（I ）利用等差数列与等比数列的通项公式及其前n 项和公式即可得出； （II ）利用“裂项求和”与数列的单调性即可得出． 【解答】解：（Ⅰ）设等差数列{a n }的公差为d （d ≠0），∴，解得a 1=3，d=2， ∵b 1=a 1=3，b 2=a 4=9，∴．（Ⅱ）由（I）可知：a=3+2（n﹣1）=2n+1．n，∴=，∴，单调递减，得，而，所以不存在k∈N*，使得等式成立．18．今年我校高二文科班学生共有800人参加了数学与地理的学业水平测试，现学校决定利用随机数表法从中抽取100人进行成绩抽样统计，先将800人按001，002，…800进行编号：（1）如果从第8行第7列的数开始向右读，请你依次写出最先检测的三个人的编号：（下面摘取了第7行至第9行）（2）抽出100人的数学与地理的水平测试成绩如表：成绩分为优秀、良好、及格三个等级，横向、纵向分别表示地理成绩与数学成绩，例如：表中数学成绩良好的共有20+18+4=42人，若在该样本中，数学成绩优秀率是30%，求a、b的值；（3）在地理成绩为及格的学生中，已知a≥10，b≥8，求数学成绩为优秀的人数比及格的人数少的概率．【考点】古典概型及其概率计算公式．【分析】（1）利用随机数表法能求出最先检测的3个人的编号．（2）由，能求出a、b的值．（3）由题意，知a+b=31，且a≥10，b≥8，满足条件的（a，b）有14组，其中数学成绩为优秀的人数比及格的人数少有6组，由此能求出数学成绩为优秀的人数比及格的人数少的概率．【解答】解：（1）依题意，最先检测的3个人的编号依次为785，667，199．…（2）由，得a=14，…∵7+9+a+20+18+4+5+6+b=100，∴b=17．…（3）由题意，知a+b=31，且a≥10，b≥8，∴满足条件的（a，b）有：（10，21），（11，20），（12，19），（13，18），（14，17），（15，16），（16，15），（17，14），（18，13），（19，12），（20，11），（21，10），（22，9），（23，8）共14组，且每组出现的可能性相同．…．…其中数学成绩为优秀的人数比及格的人数少有：（10，21），（11，20），（12，19），（13，18），（14，17），（15，16）共6组．…∴数学成绩为优秀的人数比及格的人数少的概率为．…19．如图，AB为圆O的直径，点E、F在圆O上，AB∥EF，矩形ABCD所在平面和圆O所在的平面互相垂直．已知AB=2，EF=1．（Ⅰ）求证：平面DAF⊥平面CBF；（Ⅱ）设几何体F﹣ABCD、F﹣BCE的体积分别为V1、V2，求V1：V2的值．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；平面与平面垂直的判定．【分析】（1）由面面垂直可得AD ⊥平面ABEF ，从而得到AD ⊥BF ，由直径的性质得BF ⊥AF ，故得出BF ⊥平面ADF ，从而得出平面DAF ⊥平面CBF ；（2）V F ﹣BCE =V C ﹣BEF ，设AD=a ，则可用a 表示出V 1，V 2．从而得出体积比．【解答】证明：（1）∵平面ABCD ⊥平面ABEF ，平面ABCD ∩平面ABEF=AB ，AD ⊥AB ，AD ⊂平面ABCD ，∴AD ⊥平面ABEF ，∵BF ⊂平面ABE ， ∴AD ⊥BF ，∵AB 是圆O 的直径，∴BF ⊥AF ，又AD ⊂平面ADF ，AF ⊂平面ADF ，AD ∩AF=A ， ∴BF ⊥平面ADF ，∵BF ⊂平面BCF ， ∴平面DAF ⊥平面CBF ．（2）．连结OE ，OF ，则OE=OF=EF=1， ∴△AOF ，△OEF ，△BOE 是等边三角形，过F 作FM ⊥AB 于M ，则FM=，FM ⊥平面ABCD ，设AD=BC=a ，则V 1=V F ﹣ABCD ==．V 2=V F ﹣BCE =V C ﹣BEF ===．∴V 1：V 2=：=4：1．20．已知函数f（x）=+nlnx（m，n为常数）的图象在x=1处的切线方程为x+y﹣2=0（1）判断函数f（x）的单调性；（2）已知p∈（0，1），且f（p）=2，若对任意x∈（p，1），任意t∈[，2]，f（x）≥t3﹣t2﹣2at+2与f（x）≤t3﹣t2﹣2at+2中恰有一个恒成立，求实数a的取值范围．【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（1）利用导数的意义求得m，进而求出单调区间；（2）f（x）在[p，1]上的最小值为f（1）=1，最小值f（p）=2，只需2a≥t2﹣t+对t∈[，2]恒成立或2a≤t2﹣t对t∈[，2]恒成立，利用导数求出函数的单调性，列出不等式，即可求得结论；【解答】解：（1）由f（x）=+nlnx（m，n为常数）的定义域为（0，+∞），∴f′（x）=﹣+，∴f′（1）=﹣+n=﹣1，把x=1代入x+y﹣2=0得y=1，∴f（1）==1，∴m=2，n=﹣，∴f（x）=﹣lnx，f′（x）=﹣﹣，∵x＞0，∴f′（x）＜0，∴f（x）的单调递减区间为（0，+∞），没有递增区间．（2）由（1）可得，f（x）在[p，1]上单调递减，∴f（x）在[p，1]上的最小值是f（1）=1，最大值是f（p）=2，∴只需t3﹣t2﹣2at+2≤1或≥2，即2a ≥t 2﹣t+对t ∈[，2]恒成立或2a ≤t 2﹣t 对t ∈[，2]恒成立，令g （t ）=t 2﹣t+，则g′（t ）=，令g′（t ）=0，解得：t=1，而2t 2+t+1＞0恒成立，∴≤t ＜1时，g′（t ）＜0，g （t ）递减，1＜t ≤2时，g′（t ）＞0，g （t ）递增，∴g （t ）的最大值是max{g （），g （2）}，而g （）=＜g （2）=，∴g （t ）在[，2]的最大值是g （2）=，又t 2﹣t ∈[﹣，2]，∴2a ≥或2a ≤﹣，解得：a ≥或a ≤﹣，故a 的范围是（﹣∞，﹣]∪[，+∞）．21．已知椭圆的离心率，过椭圆的左焦点F 且倾斜角为30°的直线与圆x 2+y 2=b 2相交所得弦的长度为1． （I ）求椭圆E 的方程；（Ⅱ）若动直线l 交椭圆E 于不同两点M （x 1，y 1），N （x 2，y 2），设=（bx 1，ay 1），=（（bx 2，ay 2），O 为坐标原点．当以线段PQ 为直径的圆恰好过点O 时，求证：△MON 的面积为定值，并求出该定值．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（I ）运用离心率公式和直线与圆相交的弦长公式，结合a ，b ，c 的关系，解方程可得a ，b ，进而得到椭圆方程；（Ⅱ）讨论直线MN 的斜率存在和不存在，以线段PQ 为直径的圆恰好过点O ，可得⊥，运用向量的数量积为0，联立直线方程和椭圆方程，运用韦达定理，化简整理，由三角形的面积公式，计算即可得到定值．【解答】解：（I ）由题意可得e==，过椭圆的左焦点F （﹣c ，0）且倾斜角为30°的直线方程为：y=（x+c ），由直线与圆x 2+y 2=b 2相交所得弦的长度为1，可得2=2=1，又a 2﹣b 2=c 2，解方程可得a=2，b=1，c=，即有椭圆的方程为+y 2=1；（Ⅱ）证明：（1）当MN 的斜率不存在时，x 1=x 2，y 1=﹣y 2，以线段PQ 为直径的圆恰好过点O ，可得⊥，即有•=0，即有b 2x 1x 2+a 2y 1y 2=0，即有x 1x 2+4y 1y 2=0，即x 12﹣4y 12=0， 又（x 1，y 1）在椭圆上，x 12+4y 12=4，可得x 12=2，|y 1|=，S △OMN =|x 1|•|y 1﹣y 2|=••=1；（2）当MN 的斜率存在，设MN 的方程为y=kx+t ， 代入椭圆方程（1+4k 2）x 2+8ktx+4t 2﹣4=0， △=64k 2t 2﹣4（1+4k 2）（4t 2﹣4）=4k 2﹣t 2+1＞0，x 1+x 2=﹣，x 1x 2=，又•=0，即有x 1x 2+4y 1y 2=0，y 1=kx 1+t ，y 2=kx 2+t ，（1+k 2）x 1x 2+4kt （x 1+x 2）+4t 2=0， 代入整理，可得2t 2=1+4k 2，即有|MN|=•=•=•，又O 到直线的距离为d=，S △OMN =d•|MN|=|t|•=|t|•=1．故△MON 的面积为定值1．请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在直角坐标系xOy 中，圆C 1和C 2的参数方程分别是（ϕ为参数）和（β为参数），以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系． （1）求圆C 1和C 2的极坐标方程；（2）射线OM ：θ=α与圆C 1的交点分别为O 、P ，与圆C 2的交点分别为O 、Q ，求|OP|•|OQ|的最大值．【考点】参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程． 【分析】（1）先分别求出普通方程，再写出极坐标方程； （2）利用极径的意义，即可得出结论． 【解答】解：（1）圆C 1和C 2的参数方程分别是（ϕ为参数）和（β为参数），普通方程分别为（x ﹣2）2+y 2=4，x 2+（y ﹣1）2=1，极坐标方程分别为ρ=4cos θ，ρ=2sin θ；（2）设P ，Q 对应的极径分别为ρ1，ρ2，则|OP|•|OQ|=ρ1ρ2=4sin2α， ∴sin2α=1，|OP|•|OQ|的最大值为4．[选修4-5：不等式选讲]23．（Ⅰ）若关于x 的不等式|x+1|﹣|x ﹣2|＞|a ﹣3|的解集是空集，求实数a 的取值范围；（Ⅱ）对任意正实数x ，y ，不等式+＜k恒成立，求实数k 的取值范围．【考点】绝对值三角不等式；绝对值不等式的解法．【分析】（Ⅰ）利用绝对值不等式，结合关于x的不等式|x+1|﹣|x﹣2|＞|a﹣3|的解集是空集，即可求实数a的取值范围；（Ⅱ）利用柯西不等式，结合对任意正实数x，y，不等式+＜k恒成立，求实数k的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）∵||x+1|﹣|x﹣2||≤|（x+1）﹣（x﹣2）|=3，∴﹣3≤|x+1|﹣|x﹣2|≤3，∵关于x的不等式|x+1|﹣|x﹣2|＞|a﹣3|的解集是空集∴|a﹣3|≥3，∴a≥6或a≤0；（Ⅱ）由柯西不等式可得（+）（8x+6y）≥（）2，∴≤，∵对任意正实数x，y，不等式+＜k恒成立，∴k＞，即实数k的取值范围是（，+∞）．。
2019年12月23日四川省广安市高2020届高2017级高三广安市一诊文科数学试题
对
个
图 随选
则
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业
贫 动 决 帮 贫 区将 运 销售 现 辆 车 辆
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数学与艺术审 统 谢 尔宾
边 连线 将它 复 学过
咚
现称为 递归 馈 统
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图 关 轴对称
丰数 学 义
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学与艺术
学 论义 图
兰数学 谢尔宾
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个
确
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试题
须
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题满
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2017级高三一诊文数答案
∴h
(x)max
＝０,即 f(x )－f′(x )≤ x
２ ＋x
对 任 意 的x
∈
[１,２]都 成 立 ．
������ ������１２ 分
２１．解:(Ⅰ)由题,F(１,０),令直线 AB :x ＝my ＋１(m ∈ R),A(x１,y１),B(x２,y２)．
ìïïx ＝my ＋１
联立
íx２ ï î２
∴三角形 ABC 为正三角形������
∵ E 为BC 的中点,∴ BC ⊥ AE������
������ ������２ 分
又∵ AP ⊥ 平面 PBC ,BC ⊂ 平面 PBC ,
∴ BC ⊥ AP������
������ ������４ 分
∵ AP ∩ AE ＝A ,AP,AE ⊂ 平面 PAE ,
y１ ＋y２ ＝ ２y１
＝
１ ２
＋２yy２１������
������ ������１０ 分
数学(文科)“一诊”考试题参考答案 第 ３ 页(共４页)
１
１
化 简 ① ,得 yD
２y２
＝
１
my２ － ２
＝
１ ２
２y２ y２ ＋２y１ －
１ ２
＝y１．
∴直线 AD 与x 轴平行������
２２．解:(Ⅰ)由题,知点 Q 的轨迹是以(２,０)为圆心,２为半径的圆．
m ＝０时取等号),∴０＜S≤
２．
������ ������５ 分
∴四边形 OAHB 面积的取值范围为 (０,２]．
������ ������６ 分
(Ⅱ)∵ H (２,０),F(１,０),∴ E(３ ２,０)������
������ ������７ 分
2020届四川省广安遂宁资阳等七市2017级高三上学期第一次诊断性考试数学(文)试卷及解析
2020届四川省广安遂宁资阳等七市2017级高三上学期第一次诊断性考试数学（文）试卷★祝考试顺利★ (解析版)一、选择题：本题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}2|3100A x x x =--≤,{}1,2,4,8B =,则A B =（ ）A. {}1,1,2-B. {}1,2C. {}1,2,4D. {}0,1,2,4【答案】C 【解析】求出集合A ,再根据交集的定义运算可得.【详解】解：因为{}{}2|3100|25A x x x x x =--=-,{}1,2,4,8B =所以{}1,2,4A B =. 故选：C2.已知i 为虚数单位,复数()23z i i =+,则其共扼复数z =（ ） A. 23i - B. 23i -- C. 32i - D. 32i --【答案】D 【解析】先根据复数的乘法运算计算得复数z ,再根据共轭复数的概念可得答案. 【详解】因为()23z i i =+32i =-+, 所以32i z =--. 故选:D3.已知圆柱的底面半径为2,高为3,垂直于圆柱底面的平面截圆柱所得截面为矩形ABCD （如图）．若底面圆的弦AB 所对的圆心角为π3,则圆柱被分成两部分中较大部分的体积为（ ）A. 10π33+B. 10πC.10π33D. 2π33-【答案】A 【解析】利用较大部分与圆柱的体积比等于面积比列方程可解得答案.【详解】设截面ABCD 将圆柱分成的两部分中较大部分的体积为1V ,圆柱的体积为V , DC 将圆柱的底面分成的两部分中,较大部分的面积为1S ,圆柱的底面积为S ,则2151322262S π=⨯⨯+⨯⨯1033π=22312V ππ=⨯⨯=, 224S ππ=⨯=, 所以依题意可得11V S V S=, 所以1110331210334S V V S ππππ+===+故选:A4.在平面直角坐标系中,若角α的终边经过点4π4πsin ,cos 33P ⎛⎫ ⎪⎝⎭,则cos α=（ ）3B.12 C. 12-D. 3 【答案】D 【解析】根据三角函数的定义计算可得答案. 【详解】因为43sinsin 33ππ=-=41cos cos 332ππ=-=-,所以2231()()122r =-+-=,所以332cos 12α-==-. 故选:D5.函数()21x x f x e =-的图象大致是（ ）A. B.C. D.【答案】B 【解析】根据函数值恒大于0,排除A ,根据函数不是偶函数,排除C ,根据x 趋近于正无穷时,函数值趋近于0,排除D ,故选:B .【详解】因为()21xx f x e =-0>,所以A 不正确; 函数()21x x f x e =-不是偶函数,图象不关于y 轴对称,所以C 不正确;当0x >时,2()01xx f x e =>-, 当x 趋近于正无穷时,2x 和e 1x -都趋近于正无穷,但是e 1x -增大的速度大于2x 增大的速度,所以()21x x f x e =-趋近于0,故D 不正确.故选:B6.执行如图所示的程序框图,若输入x 的值分别为2-,19,输出y 的值分别为a ,b ,则a b +=（ ）A. 4-B. 2-C. 74-D. 14【答案】C 【解析】根据程序框图得到14a =,2b =-,再相加即可得到答案. 【详解】由程序框图可知:程序框图的功能是计算分段函数的函数值当2x =-时,2124y -==,所以14a =,当19x =时,31log 29y ==-,所以2b =-,所以17244a b +=-=-. 故选:C7.已知椭圆()222210x y a b a b+=>>的左顶点为A ,上顶点为B ,且3OA OB =（O 为坐标原点）,则该椭圆的离心率为（ ） A.2336 C.22D.33【答案】B 【解析】 根据题意得3ab 以及222a b c =+,消去b ,结合离心率的定义可得答案.【详解】依题意可知3a b ,即3b =,又222236()33c a b a a a =-=-=, 所以该椭圆的离心率63c e a ==. 故选:B【点睛】本题考查了求椭圆的离心率,关键是由3OA OB =得到3a b ,属于基础题.8.关于函数()()π3sin 213f x x x R ⎛⎫=-+∈ ⎪⎝⎭的图象向右平移π12个单位长度后得到()y g x =图象,则函数()g x （ ） A. 最大值为3 B. 最小正周期为2π C. 为奇函数 D. 图象关于y 轴对称【答案】D 【解析】先根据图象的平移变换和诱导公式得()3cos 21g x x =-+,再根据()g x 的解析式可得答案. 【详解】依题意可得()3sin[2()]1123g x x ππ=--+3sin(2)12x π=-+3cos21x =-+,所以()g x 的最大值为4,最小正周期为π,()g x 为偶函数,图象关于y 轴对称. 故选:D9.部分与整体以某种相似的方式呈现称为分形,一个数学意义上分形的生成是基于一个不断迭代的方程式,即一种基于递归的反馈系统．分形几何学不仅让人们感悟到科学与艺木的融合,数学与艺术审美的统一,而且还有其深刻的科学方法论意义．如图,由波兰数学家谢尔宾斯基1915年提出的谢尔宾斯基三角形就属于－种分形,具体作法是取一个实心三角形,沿三角形的三边中点连线,将它分成4个小三角形,去掉中间的那一个小三角形后,对其余3个小三角形重复上述过程逐次得到各个图形．若在图④中随机选取－点,则此点取自阴影部分的概率为（ ）A.928B.1928C.2764D.3764【答案】C 【解析】根据图①,②,③归纳得出阴影部分的面积与大三角形的面积之比,再用几何概型的概率公式可得答案.【详解】依题意可得:图①中阴影部分的面积等于大三角形的面积,图②中阴影部分的面积是大三角形面积的34,图③中阴影部分的面积是大三角形面积的916, 归纳可得,图④中阴影部分的面积是大三角形面积的2764, 所以根据几何概型的概率公式可得在图④中随机选取－点,则此点取自阴影部分的概率为2764.故选:C10.圆222220x y x y ++--=上到直线:0l x y ++=的距离为1的点共有（ ） A. 1个 B. 2个C. 3个D. 4个【答案】C 【解析】通过计算可知:圆心到直线的距离等于圆的半径的一半,由此可得结论. 【详解】圆222220x y x y ++--=可化为22(1)(1)4x y ++-=, 所以圆心为(1,1)-,半径r 为2,圆心(1,1)-到直线:0l x y ++=的距离为:1d ==,所以12d r =,所以圆222220x y x y ++--=上到直线:0l x y ++=的距离为1的点共有3个. 故选:C11.某企业在“精准扶贫”行动中,决定帮助一贫困山区将水果运出销售.现有8辆甲型车和4辆乙型车,甲型车每次最多能运6吨且每天能运4次,乙型车每次最多能运10吨且每天能运3次,甲型车每天费用320元,乙型车每天费用504元．若需要一天内把180吨水果运输到火车站,则通过合理调配车辆,运送这批水果的费用最少为（ ） A. 2400元 B. 2560元 C. 2816元 D. 4576元【答案】B 【解析】设甲型车x 辆,乙型车y 辆,运送这批水果的费用为z 元,依题意列出,x y 所满足的不等式组和目标函数,然后作出可行域,平移直线3205040x y +=,根据图形得到最优解,代入最优解的坐标即可得到答案.【详解】设甲型车x 辆,乙型车y 辆,运送这批水果的费用为z 元,则08042430180,x y x y x N y N≤≤⎧⎪≤≤⎪⎨+≥⎪⎪∈∈⎩ ,目标函数320504z x y =+, 作出不等式组08042430180x y x y ≤≤⎧⎪≤≤⎨⎪+≥⎩所表示的平面区域,如图所示的阴影部分:作直线3205040x y +=,并平移,分析可得当直线过点(8,0)时,z 取得最小值, 即min 832005042560z =⨯+⨯=元. 故选:B12.已知直线()1y a x =+与曲线()xf x e b =+相切,则ab 的最小值为（ ）A. 14e-B. 12e -C. 1e -D. 2e- 【答案】B 【解析】设切点为00(,)x x e b +,利用导数的几何意义可得0ln x a =,将切点00(,)xx e b +坐标代入直线(1)y a x =+,可得2ln ab a a =,再构造函数利用导数可得最小值.【详解】设切点为00(,)xx e b +,因为()x f x e b =+,所以()x f x e '=,所以00()xf x e a '==,所以0ln x a =, 又切点00(,)xx e b +在直线(1)y a x =+上, 所以00(1)xe b a x +=+,所以0a b ax a +=+, 所以0ln b ax a a ==, 所以2ln ab a a =, 令2()ln (0)g a a a a =>,则21()2ln 2ln (2ln 1)g a a a a a a a a a a'=+⋅=+=+, 令()0g a '<,得120a e -<<,令()0g a '>,得12a e ->,所以()g a 在12(0,)e -上递减,在12(,)e -+∞上递增, 所以12a e -=时,()g a 取得最小值11122221()()ln 2g e e ee---==-. 即ab 的最小值为12e-. 故选:B二、填空题：本题共4小题,每小题5分,共20分.13.若非零向量,αβ满足αβαβ+=-,则α与β所成角的大小为___． 【答案】90° 【解析】对该方程两边分别平方,即可得到0αβ⋅=,即可．【详解】αβαβ+=-222222ααββααββ∴++=-+则0αβ=∴α与β所成角的大小为90° 故答案为90°14.如图是调查某学校高一年级男、女学生是否喜欢徒步运动而得到的等高条形图,阴影部分表示喜欢徒步的频率.已知该年级男生500人、女生400名（假设所有学生都参加了调查）,现从所有喜欢徒步的学生中按分层抽样的方法抽取23人,则抽取的男生人数为______．【答案】15 【解析】先根据等高条形图求出喜欢徒步的男女生人数,从而可得喜欢徒步的总人数,进一步可得男生的抽样比,利用抽样比可得抽取的男生人数.【详解】根据等高条形图可知: 喜欢徒步的男生人数为0.6500300⨯=,喜欢徒步的女生人数为0.4400160⨯=,所以喜欢徒步的总人数为300160460+=, 按分层抽样的方法抽取23人,则抽取的男生人数为3002315460⨯=人. 故答案:1515.如图,在正方体1111ABCD A B C D -中,点P 在线段1A B 上移动,有下列判断：①平面//BDP 平面11B D C ；②平面1PAC ⊥平面11B D C ；③三棱锥11P B D C -的体积不变；④1PC ⊥平面11B D C ．其中,正确的是______．（把所有正确的判断的序号都填上）【答案】①②③ 【解析】①在正方体中可证平面//BDP 平面11B D C ,又点P 在线段1A B 上移动,所以平面//BDP 平面11B D C ,所以①正确;②先证1AC ⊥平面11B D C ,再根据面面垂直的判定定理可证平面1PAC ⊥平面11B D C ,所以②正确；③根据1//A B 平面11B D C ,可得三棱锥11P B D C -的体积不变,所以③正确； ④由1AC ⊥平面11B D C ,而1PC 与1AC 交于1C ,可得④不正确.【详解】①因为在正方体中有11//A B D C , ,且1A B ⊄平面11B D C ,1D C ⊂平面11B D C ,所以1//A B 平面11B D C ,同理得//BD 平面11B D C , 又1A B BD B ⋂=,所以平面1//A BD 平面11B D C ,又点P 在线段1A B 上移动,所以平面//BDP 平面11B D C ,所以①正确; ②因为AB ⊥平面11BB C C ,所以1AC 在平面11BB C C 内的射影为1BC , 因为11B C BC ⊥,根据三垂线定理可得11AC B C ⊥, 同理可得111AC B D ,因为1111B C B D B ⋂=, 所以1AC ⊥平面11B D C ,因为1AC ⊂平面1PAC ,所以平面1PAC ⊥平面11B D C ,所以②正确；③由①知1//A B 平面11B D C ,所以点P 到平面11B D C 的距离为定值,所以三棱锥11P B D C -的体积不变,所以③正确；④由②知1AC ⊥平面11B D C ,而1PC 与1AC 交于1C ,所以1PC 与平面11B D C 不垂直,所以④不正确。
2017级高三一诊文数答案
m ＝０时取等号),∴０＜S≤
２．
������ ������５ 分
∴四边形 OAHB 面积的取值范围为 (０,２]．
������ ������６ 分
(Ⅱ)∵ H (２,０),F(１,０),∴ E(３ ２,０)������
������ ������７ 分
∴直线 BE 的斜率k＝
y２ ３ ,直线 BE 的方程为y ＝
y２
３
(x
－
３ ２
)������
x２ － ２
x２ － ２
������ ������８ 分
１
令x ＝２得,yD ＝
２y２ ．������������① １
my２ － ２
������ ������９ 分
由
(Ⅰ
),y１
＋y２
＝
２m －m２ ＋２
,y１y２
＝
１ －m２ ＋２
．
∴
y１
＋y２
＝２my１y２,my２
属于“追光族” 属于“观望者”
女性员工
２０
４０
男性员工
２０
２０
合 计
４０
６０
合 计 ６０ ４０ １００
∵
K２
＝１００４(０２０××６０２０×－４０２０××６０４０)２
２５ ＝９
≈
２������７７８
＜
３������８４１,
∴ 没 有 ９５％ 的 把 握 认 为 该 公 司 员 工 属 于 “追 光 族 ”与 “性 别 ”有 关 ．
在 (－a,＋ ∞ )内单调递增．
������ ������５ 分
(Ⅱ)当a ＝２时,f(x)＝lnx
＋x
２ ＋x
,f′(x)＝x１
2017级高三一诊文数答案_PDF压缩
．
������ ������３ 分
∴四边形 OAHB
的 面 积S
１ ＝ ２|OH
|������|y１
－y２|＝|y１
２ －y２|＝
２������ m２
m２ ＋１ ＋２
．
������ ������４ 分
令
m２
＋１
＝t
,∴t
≥１,∴
S
２ ＝t２
２t ２ ２
＋１＝t＋
１ t
．
１ ∵t＋t
≥ ２(当 且 仅 当t＝１ 即
属于“追光族” 属于“观望者”
女性员工
２０
４０
男性员工
２０
２０
合 计
４０
６０
合 计 ６０ ４０ １００
∵
K２
＝１００４(０２０××６０２０×－４０２０××６０４０)２
２５ ＝９
≈
２������７７８
＜
３������８４１,
∴ 没 有 ９５％ 的 把 握 认 为 该 公 司 员 工 属 于 “追 光 族 ”与 “性 别 ”有 关 ．
B,C;b,A,B;b,A,C;b,B,C;c,A,B;c,A,C;c,B,C ”共９种．
������ ������１１ 分∴抽取源自到的３名中
恰有
１
名属
于“追
光族
”的 概
率
P
９ ＝２０������
１９������ 解:(Ⅰ)如图,连接 AC������
∵底面 ABCD 为菱形,且 ∠ABC ＝６０°,
������ ������２ 分 ������ ������４ 分 ������ ������５ 分
(Ⅱ)设人事部的这６名中的３名“追 光 族”分 别 为“a,b,c”,３ 名“观 望 者”分 别 为“A,
2017年一模(文科数学答案)
数学试卷（文科）参考答案 第1页（共8页）绝密★启用前 试卷类型：A2017年茂名市高三级第一次综合测试数学试卷（文科）参考答案及评分标准一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）提示：1.【解析】P={x ∈N|1≤x ≤10}, Q={ x ∈R|－2＜x ＜3}, P ∩Q= {1，2}，选择B2.【解析】设i =i (0)1ia b b -≠+，则i=(1i)i=i a b b b -+-+，所以{,1,a b b =-=- 解得a =1, 选择A 3.【解析】111(2)ln222(ln21)0222f =+--=-<,1111(e)lne+e 2()(e 2)02e 2e f =--=-+-> ∴(2)(e)0f f ⋅<，由零点存在定理得函数零点所在区间是(2,e). 选择C.4.【解析】符合条件的所有两位数为：12, 14, 21, 41, 32, 34, 23, 43, 52, 54, 25, 45共12个， 能被4整除的数为12, 32, 52共3个，所求概率31124p ==，选择D. 5.【解析】因为非零向量⊥a b 时，也有0⋅=a b ，所以A 错；22=a b 只说明向量a 与b 的模相等，a 与b 不一定共线，所以C 错；当向量,,a b c 两两垂直时，也有a b =a c ⋅⋅， 但b 与c 方向不同，故≠b c ，所以D 错. 选择B.6.【解析】由S △ABC =111sin 222AC BC C AC ⋅=⋅=解得AC =2，由余弦定理得 2222cos 4122242AB AC BC AC BC C =+-⋅=+-⨯⨯=,所以AB =2,选择C. 7. 【解析】依题意，金箠由粗到细各尺构成一个等差数列，设首项a 1=4，则a 5=2，由等差数列性质得a 2+a 4= a 1+a 5=6，所以第二尺与第四尺的重量之和为6斤，选择A.8. 【解析】因为函数f (x )和g (x )的图象的对称轴完全相同，故f (x )和g (x )的周期相同，所以ω =2，()3cos(2)3f x x π=+，由[0,]3∈x π，得2[,]33x πππ+∈，根据余弦函数的单调性，当23x ππ+=，即3x π=时，f (x )min =3-，当233x ππ+=，即0x =时，f (x )max =32，所以f (x )数学试卷（文科）参考答案 第2页（共8页） 的取值范围是3[3,]2-，选择D. 9.【解析】当n=0时，S =0,当n=1时, S =12, 当n=2时, S =21122+, …，当n =4时, S =234111115222216+++=, 当n =5时, S =234511111312222232++++=, 输出S ， 所以4＜a ≤5，故选择C.10.【解析】由几何体的三视图可知，几何体由一个圆锥、一个圆柱和一个半球组合而成 ∴其表面积为S 表=222112224622⨯+⨯+⨯=r r r r r r ππππ.又S 表=6π，∴2266=+r r ππ, 解得r =1, 故该几何体的体积为 11423323=⨯+⨯+⨯=V ππππ，选择D. 11. 【解析】如图1，不妨设12(0,),(0,)F c F c -，则过F 1与渐近线a y x b=平行的直线为a y x c b=+， 联立,,a y x c b a y x b ⎧=+⎪⎨⎪=-⎩解得,2,2bc x a c y ⎧=-⎪⎨⎪=⎩即(,)22bc c M a - 因M 在以线段12F F 为直径的圆222x y c +=内， 故222()()22bc c c a -+<，化简得223b a <, 即2223c a a -<，解得2c a <，又双曲线离心率 1c e a=>，所以双曲线离心率的取值范围是(1，2). 选择A . 12．【解析】令x y xe =，则(1)x y x e '=+，由0y '=，得1x =-，当(,1)x ∈-∞-时，0y '<，函数y 单调递减，当(1,)x ∈-+∞时，0y '>，函数y 单调递增. 作出x y xe =图象，利用图象变换得()||x f x xe =图象如图2，令()f x m =， 当1(0,)m e ∈，()f x m =有3个根， 当1(,)m e∈+∞，()f x m =有1个根，数学试卷（文科）参考答案 第3页（共8页）因此，关于m 方程012=+-tm m 两根分别在11(0,),(,)e e+∞时，满足()1g x =-的x 有4个，令2()1h m m tm -+=，由(0)>h =10 和2111()10h t e e e =-+<，解得ee t 12+>. 选择B. 二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13. 5 14.12 15. (x -1)2+( y +1)2=5或 (x -1)2+(y +11)2=12516. 2 提示：13. 【解析】可行域如图3所示，目标函数在点（2，1）取得最大值5.14. 【解析】由二倍角公式得2sin αcos α+2(1-2sin 2α)=2，即 (cos α-2sin α)sin α=0，∵α∈(0, π)，∴sin α≠0，cos α-2sin α=0，故sin 1tan cos 2ααα== 15. 【解析】∵圆C 与x 轴交于两点A (-1, 0)、B (3, 0)，∴由垂径定理得圆心在x=1这条直线上． 设圆心坐标为C (1, b)，圆半径为r ，则C 到切线x -2y+2=0的距离等于r=|CA|，=即b 2+12b+11=0，解得b= -1或b= -11. ∴圆C 的方程为(x -1)2+(y+1)2=5或 (x -1)2+( y +11)2=125.（只答对一个不给分）16. 【解析】解法1由条件A -BCD 是正四面体，△BCD 是正三角形，A , B , C , D 为球上四点，将正三棱锥A -BCD 补充成一个正方体AGBH -FDEC 如图4，则正三棱锥A -BCD 和正方体AGBH -FDEC 有共同的外接球，△BCD 的边长就是正方体面的对角线，设正方体AGBH -FDEC 的棱长为a ，则正方体外接球半径R 满足：a 2+a 2+a 2=(2R )2，解得2243=a R ，所以BC 2=22283+=a a R ， △BCD的面积22118sin 60223=⨯︒=⨯=S BC BD R . 解法2由条件A -BCD 是正四面体，△BCD 是正三角形，A , B , C , D 为球上四点， 球心O 在正四面体中心如图5，设BC =a ，CD 的中点为E ，O 1为过点B , C , D截面圆圆心，则截面圆半径12233r O B BE ====，数学试卷（文科）参考答案 第4页（共8页）正四面体A -BCD的高1AO . ∴截面BCD与球心的距离1d OO R ==-，在Rt △BOO 1中，222))R R =--，解得a =. ∴△BCD的面积为2211sin 60)22S BC BD =⨯︒=⨯=. 三、解答题（本大题共7小题，共70分.其中17至21题为必做题，22、23题为选做题. 解答过程应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）设等差数列}{n a 的公差为d ． 由已知得114434182a d a d +=⎧⎪⎨⨯+=⎪⎩，， ……………2分 解得13,1.a d =⎧⎨=⎩ ………………4分所以a n ＝n ＋2. ……………………………………………………………………………5分 （Ⅱ）由（Ⅰ）可得b n ＝2nn ⋅， …………………………………………………………6分 ∴123==n n T b b b b +++⋅⋅⋅+231222322n n ⨯+⨯+⨯++⨯ ① ………………7分 2n T =2341122232(1)22n n n n +⨯+⨯+⨯++-⨯+⨯ ② …………………8分 ①-②得：23122222n n n T n +-=++++-⨯ …………………………………………9分111222(1)2212n n n n T n n +++--=-⨯=-⨯-- …………………………………………11分∴1(1)22n n T n +=-⨯+ …………………………………………………………………12分18.（本小题满分12分）证明：（Ⅰ）如图6，取OG 的中点的H ，连结HN ，HB ， ……………………………1分数学试卷（文科）参考答案 第5页（共8页）∴,,,OE OB OE OC OB OC O ⊥⎧⎪⊥⎨⎪=⎩得OE ⊥平面OBC ， …………………………………………………3分5分 6分 730︒，9分 11分 12分19. （本小题满分12分）解：（Ⅰ）由茎叶图知A 类工人中抽查人数为25名, …………………………………1分∴B 类工人中应抽查100-25=75（名）. ………………………………………………2分 由频率分布直方图得 (0.008+0.02+0.048+x)⨯10=1，得x=0.024. ……………………3分（Ⅱ）由茎叶图知A 类工人生产能力的中位数为122 ………………………………4分 由（Ⅰ）及频率分布直方图，估计B 类工人生产能力的平均数为B x =115⨯0.008⨯10+125⨯0.020⨯10+135⨯0.048⨯10+145⨯0.024⨯10=133.8 ……………6分…………9分由上表得22100(8211754)10075012.7332575386225753862k ⨯⨯-⨯⨯==≈⨯⨯⨯⨯⨯⨯＞10.828 (11)数学试卷（文科）参考答案 第6页（共8页）分因此,可以在犯错误概率不超过0.1%的前提下,认为生产能力与培训时间长短有关.…12分20. （本小题满分12分）解：(Ⅰ)依题意可得：圆N 的圆心坐标为N(半径为MP |=|MQ |, ………1分 则|MN |+|MQ |=|MN |+|MP |=|NP|=|NQ | ……………………………………………2分 根据椭圆的定义，点M 的轨迹是以N 、Q为焦点，长轴长为即2a= 2c=，∴b= …………………………………………3分所以点M 的轨迹C 的方程为：22163x y +=. ……………………………………………4分 (Ⅱ)当直线的斜率存在时，设直线l 为y =kx +m , A (x 1,y 1), B (x 2,y 2)，联立直线与椭圆的方程，得{2226,,x y y kx m +==+消去y 并整理得222(12)4260k x kmx m +++-=. ……………………6分 因为直线与椭圆有两个不同的交点，所以△=2222164(12)(26)0k m k m -+->，化简得：2263m k <+ ① …………………7分 由韦达定理得：2121222426,1212km m x x x x k k--+=⋅=++. ………………………………8分 ∴ 22121226()()12m k y y kx m kx m k -⋅=++=+. ∵0OA OB ⋅=，∴ x 1x 2+y 1y 2=0，即2222226601212m m k k k --+=++ ， ………………………9分 整理得2222m k =+满足①式=即原点到直线l∴直线l 与圆222x y +=相切. ……………………………………………………10分当直线的斜率不存在时, 直线为x =m , 与椭圆C 交点为A (mB (m,) ∵0OA OB ⋅=,∴22302m m m -+=⇒=此时直线为x=222x y +=相切. …………………………………11分 综上，直线l 与定圆E ：222x y +=相切. …………………………………………12分21. （本小题满分12分）解：(Ⅰ) 当a =0时，f (x ) =1x , f (1) =1, 则切点为(1, 1)， ……………………………1分 ∵21()f x x '=-, ∴切线的斜率为(1)1k f '==-, ……………………………………2分 ∴曲线f (x )在点(1, 1)处的切线方程为y -1= -( x -1)，即x + y -2=0 ………………………3分 (Ⅱ)依题意1()ln a h x a x x x +=--，定义域为(0, +∞)，数学试卷（文科）参考答案 第7页（共8页） ∴22221(1)(1)[(1)]()1a a x ax a x x a h x x x x x+--++-+'=-+=-=-, ……………………4分 ①当a +1＞0，即a ＞-1时，令()0h x '>，∵x ＞0，∴0＜x ＜1+ a ,此时，h (x ) 在区间(0, a +1)上单调递增，令()0h x '<，得 x ＞1+ a .此时，h (x )在区间(a +1,+∞)上单调递减. ………………………………………………5分 ②当a +1≤0，即a ≤-1时，()0h x '<恒成立， h (x )在区间(0,+∞)上单调递减. …………6分 综上，当a ＞-1时，h (x )在x =1+a 处取得极大值h (1+a )=ln(1)2a a a +--，无极小值；当a ≤-1时，h (x )在区间(0,+∞)上无极值. ………………………………………7分(Ⅲ) 依题意知，在[1, e]上存在一点x 0，使得00()()g x f x ≥成立,即在[1, e]上存在一点x 0，使得h (x 0)≥0， 故函数1()ln a h x a x x x+=--在[1, e]上，有h (x )max ≥0. ………………………………8分 由(Ⅱ)可知，①当a +1≥e, 即a ≥e -1时，h (x )在[1, e]上单调递增， ∴max 1()(e)e 0e a h x h a +==--≥, ∴2e 1e 1a +≥-, ∵2e 1e 1e 1+>--，∴2e 1e 1a +≥-. ………………………………………………………9分 ②当0＜a +1≤1，或a ≤-1，即a ≤0时，h (x )在[1, e]上单调递减，∴max ()(1)110h x h a ==---≥，∴a ≤-2. ……………………………………………10分 ③当1＜a +1＜e ，即0＜a ＜e -1时，由(Ⅱ)可知，h (x )在x =1+a 处取得极大值也是区间(0, +∞)上的最大值，即h (x )max =h (1+a )=ln(1)2[ln(1)1]2a a a a a +--=+--，∵0＜ln(a +1)＜1, ∴h (1+a )＜0在[1, e]上恒成立，此时不存在x 0使h (x 0)≥0成立．……………………………………………………………11分综上可得，所求a 的取值范围是2e 1e 1a +≥-或a ≤-2. ……………………………………12分 请考生在第22、23两题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清题号．22. （本小题满分10分）解：解法一（Ⅰ）2222,()cos sin 122sin ,y x y αααα⎧=⎪⇒+=+=⎨=⎪⎩ …………1分 即1C 的普通方程为22 1.204x y += …………………………………………………………3分 222,cos ,sin ,x y x y ρρθρθ=+==2C 可化化为 224240x y x y ++-+=， …………………………………………………3分数学试卷（文科）参考答案 第8页（共8页）即1)1()2(:222=-++y x C . …………………………………………………4分 （Ⅱ）曲线1C 左焦点为（4-，0）， ……………………………………………………5分 直线l 的倾斜角为4πα=, sin cos αα== ………………………………………6分 所以直线l的参数方程为：4,,x y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ (t 为参数)，…………………………………7分 将其代入曲线2C 整理可得：04232=+-t t ， ………………………………………8分所以△=2(4420--⨯=>.设A ,B 对应的参数分别为21,t t，则1212 4.t t t t +== …………………………9分所以12AB t t =-==. ………………………10分 解法二（Ⅰ）同解法一. ………………………………………………………………4分 （Ⅱ）曲线1C 左焦点为（4-，0）， ……………………………………………………5分 直线l 的斜率为tan 14k π==, ……………………………………………………………6分直线l 的普通方程为4y x =+. 即40x y -+= ……………………………………………7分 由(Ⅰ)知圆2C 圆心为(-2，1)，半径1r =. ………………………………………………8分 到直线l的距离d == ……………………………………………………9分故AB ==. …………………………………………………10分 解法三（Ⅰ）同解法一. ……………………………………………………………4分 曲线1C 左焦点为（4-，0） ……………………………………………………………5分 直线l 的斜率为tan 14k π==, ……………………………………………………………6分直线l 的普通方程为 4.y x =+ ……………………………………………………………7分 12222124,2,3,5602, 1.(2)(1)1,y x x x x x y y x y =+=-=-⎧⎧⎧⇒++=⇒⎨⎨⎨==++-=⎩⎩⎩或 ………………9分数学试卷（文科）参考答案 第9页（共8页）∴|AB ………………………………………………10分23. （本小题满分10分）解：（Ⅰ）当1a =时，()6f x <，即21236x x -++<， 即3,212236,x x x ⎧≤-⎪⎨⎪---<⎩或31,2223126,x x x ⎧-<<⎪⎨⎪++-<⎩或1,22123 6.x x x ⎧≥⎪⎨⎪-++<⎩ ……………3分322x ∴-<≤-或3122x -<<或112x ≤<， 21x ∴-<< 所以不等式()6f x <的解集为{}|21x x -<<. ……………………5分 （Ⅱ）对任意R x ∈1，都有R x ∈2，使得)()(21x g x f =成立，则有{|()}{|()}y y f x y y g x =⊆=， ………………………………………………………6分 又()|2||23|f x x a x =-++|(2)(23)||3|x a x a ≥--+=+. ……………………………8分 ()|1|22g x x =-+≥，从而|3|2a +≥，解得51a a ≤-≥-或，故(,5][1,)a ∈-∞--+∞U . ………………………………………………………………10分。
四川省遂宁市2017届高三三诊考试数学试题(文)含答案
原点，若 OA OB ，则点 O 到直线 AB 的距离为
A． 6
B ．2
C
．5
3
D．
3
2
2
12. 已知函数 g( x) 的导函数 g ( x) ex , 且 g(0) g (1) e , （其中 e为自然对数的底数） ．若
x (0,
xm3
) , 使得不等式 g (x)
成立 , 则实数 m的取值范围是
D ． 16.2 立方寸
5．已知直线 ax
y2
0 与圆 C
x
2
1
2
y a 4 相交于 A, B 两点，且线段 AB 是
圆 C 的所有弦中最长的一条弦，则实数 a
A. 2
B.
1
C. 1 或 2
D. 1
6．表面积为 24 的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的体积为
A. 12
B.
43
8
C.
D.
43
3
3
7．函数 y A sin( x ) ( A 0, 0,
1．若集合 A x N x 2 ， B x 3x x 2 0 ，则 A B 为
A． x0 x 2
B． 1,2
C． x0 x 2
D． 0,1,2
2 2．复数 z cos
3
A ．第一象限
i sin 在复平面内对应的点在 3
B．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
3. 已知向量 a ， b 的夹角为 ，且 a (3, 4) ， b 2 ，则 a 2b 3
中， AB=BC=BB 1， AB1 A1B E ，
D 为 AC 上的点， B1C∥ 平面 A1BD；
2017年高考诊断性测试文科数学参考答案
2017年高考诊断性测试文科数学参考答案一、选择题A DB BC AD B C C 二、填空题11. 68 12.0120 13.33π 14. (],4-∞- 15. ③ 三、解答题16.解：（1）()f x 1cos 21=2222-+-x x =sin(26π-）x , …………………3分 由 3222,262k x k k πππππ+≤-≤+∈Z ， 得5,36k x k k ππππ+≤≤+∈Z ， …………………5分所以()x f 的单调递减区间为5[,]()36k k k ππππ++∈Z . ………………6分 （2）由（1）知()sin(2)6π=-f x x ,当()0,π∈x 时，112666πππ-<-<x , 结合正弦函数图象可知，当262x ππ-=，即3x π=时()x f 取得最大值.因为()f A 是()f x 在(0,)π上的最大值，所以3π=A . …………………8分在ABC ∆中，由余弦定理得 A bc c b a cos 2222-+=， 即 214216122⨯⨯-+=b b , 解得 2b =, …………………10分 于是11sin 24sin 602322ABC S bc A ∆==⨯⨯=. …………………12分 17.(1)证明：因为在平面ABCD 内以BD 为直径的圆经过点A ,AD AB =，所以平行四边形ABCD 为正方形，所以BC AB ⊥ ,因为⊥EA 平面ABCD ，又⊂BC 平面ABCD ,所以⊥EA BC . ……………………2分 因为⊥BC EA ，BC AB ⊥，=EAAB A ，EA ⊂平面ABEG ,AB ⊂平面ABEG ,所以BC ⊥平面ABEG ， 又EF ⊂平面ABEG ,所以BC EF ⊥. …………………4分 因为在三角形EAG 中，2==EA EG ，F 为AG 的中点 所以⊥EF AG又在平行四边形ABEG 中，//BE AG ，所以⊥EF BE . …………………6分 因为⊥EF BC ，⊥EF BE ，BCBE B =，BE ⊂平面BCE ，BC ⊂平面BCE ，所以EF ⊥平面BCE ， ……………………7分 又EF ⊂平面EFP ，所以平面EFP ⊥平面BCE . ……………………8分(2)解：由（1）知EF ⊥平面BCE ，所以EF 是三棱柱ADG BCE -的高， …………………10分所以1222242ADG BCE BCE V S EF -∆=⋅=⨯⨯=. …………………12分 18.解：（1）由题意，可知100.012100.056100.018100.010101x +⨯+⨯+⨯+⨯=，∴0.004x =． ……………………2分 （2）甲部门服务情况的满意度为0.056100.018100.010100.84⨯+⨯+⨯=． …………………3分乙部门服务情况的满意度为610.8850-=． …………………5分 ∴乙部门服务情况的满意度较高. ……………………6分 （3）由题意，设乙部门得分为[)[)50,60,60,70的6个样本数据从小到大依次为121234,,,,,A A B B B B ．则随机抽取两个样本数据的所有基本事件有：{}{}{}{}{}{}{}{}{}{}{}{}{}{}{}121112131421222324121314232434,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,A A AB A B A B A B A B A B A B A B B B B B B B B B B B B B 共15个． ………………… 9分 其中“至少有一个样本数据落在[)50,60内”包含{}{}{}{}{}1211121314,,,,,,,,,,A A A B A B A B A B {}{}2122,,,A B A B {}{}2324,,,,A B A B共9个基本事件． ……………………11分 ∴至少有一个样本数据落在[)50,60内的概率为93155P ==. ………………12分 19.解：（1）由已知，22n S n n =+，当2n ≥时，221(2)[(1)2(1)]21n n n a S S n n n n n -=-=+--+-=+，…………………2分当1n =时，13a =，适合上式，所以21n a n =+. ……………………4分 由于11=3b a =，24=9b a =，所以公比3q =，所以3nn b =. ……………………6分（2） (1)=(1)(21)3n n nn n n c a b n =-+-++,当n 为偶数时，n T =[(35)(79)+-(21)(21)]n n -++-+-++23+(3+3+3+3)+n3(13)=2213⨯-⨯+-n n 133=22n n ++-. ……………9分当n 为奇数时，1-n 为偶数，()()()(1)1133T =T [1]121322n n n n n c n n -+-+=+--+-⨯++137.22n n +=--………………11分 综上所述，1133,22T 3722n n n n n n n ++⎧+-⎪⎪=⎨⎪--⎪⎩为偶数,,为奇数. ………………12分20. 解：（1） 抛物线24y x =的焦点为10（，），1∴=c ………………2分 又椭圆上的点到F 的最大距离为3+=a c ，2∴=a . …………………4分由222=+a b c，知=b 所以椭圆C 的方程为22143x y +=. …………………5分(2)设直线AB 的方程为1x my =+，由221431x y x my ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩整理得22(43)690m y my ++-=， …………7分 设直线l 与椭圆C 的交点为()()1122,,A x y B x y ，，则有 12122269,4343m y y y y m m+=-=-++ ， ………………………8分 于是∆OAB 的面积1212=-S OF y y ………………………9分243m==+， ……………10分(1)t t ≥， 于是()266=11313)3=≥++（t S t t t t，令()()113f t t t t =+≥，()2221311033-'=-=>t f t t t ，所以()13=+f t t t 在[1,)+∞单调递增，所以当1t =时，13t t +取最小值43，()6==113)3S t t t≥+（取最大值32所以∆OAB 的面积S 最大值为32. ………………13分 21. 解：（1）1()ln ln 1f x x x x x'=+⋅=+，当1x =时，(1)1f '=， 所以()ln f x x x =在1x =处的切线方程为：1y x =-， …………2分联立212y x y x ax =-⎧⎨=-+-⎩，消y 可得，2(1)10x a x +-+=， 由题意可知，2(1)40a =--=，所以31a =-或； ………………………………4分(2)由（1）知'()ln 1f x x =+，当1(0,)x e∈，'()0f x <，()f x 单调递减，当1(,)x e∈+∞，'()0f x >，()f x 单调递增． …………………………6分①1104e t t <<+≤，即110e 4t <≤-时，min 111()()()ln()444f x f t t t =+=++； ② 110e 4t t <<<+，即111e 4et -<<时，min 11()()f x f e e ==-；③11e 4t t ≤<+，即1t e ≥时，()f x 在1[,]4t t +上单调递增，min ()()ln f x f t t t ==；所以min1111()ln()044e 41111()e e 4e 1ln ,e t t t f x t t t t ⎧++<≤-⎪⎪⎪=--<<⎨⎪⎪≥⎪⎩，，． ……………………………9分 （3）设2()((0,))x x m x x e e=-∈+∞，则1'()x x m x e -=， ……………………………10分 当(0,1)x ∈时，()0m x '>,()m x 单调递增； 当(1,)x ∈+∞时，()0m x '<,()m x 单调递减，可得max 1()(1)m x m e==-，当且仅当1x =时取到. …………12分由（2）知()ln ((0,))f x x x x =∈+∞的最小值是1e -，当且仅当1x e=时取到.因此当(0,)x ∈+∞时，()()min max 1ef x m x ≥-≥恒成立. 又两次最值不能同时取到，所以对一切(0,)x ∈+∞，都有2ln e exx x x >-.……14分。
2017年四川省遂宁市高考数学零诊试卷(文科)
2017年四川省遂宁市高考数学零诊试卷（文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每个小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．1．（5分）已知集合A={﹣1，0，1}，B={y|y=|x|}，则A∩B=（）A．{0}B．{1}C．{0，1}D．{﹣1，0，1}2．（5分）已知角α的终边与单位圆x2+y2=1交于点P（，y），则sin（+α）=（）A．1 B．C．﹣D．﹣3．（5分）设函数，则的定义域为（）A． B．[2，4]C．[1，+∞）D．[，2]4．（5分）设a∈R，则“a＞1”是“a2＞1”的（）A．充分非必要条件 B．必要非充分条件C．充要条件D．既非充分也非必要条件5．（5分）在等差数列{a n}中，a1=﹣6，公差为d，前n项和为S n，当且仅当n=6时，S n取得最小值，则d的取值范围为（）A．B．（0，+∞）C．（﹣∞，0）D．6．（5分）已知变量x，y满足约束条件（k∈Z），且z=2x+y的最大值为6，则k的值为（）A．﹣3 B．3 C．﹣1 D．17．（5分）根据如图的程序框图，当输入x为2017时，输出的y=（）A．28 B．10 C．4 D．28．（5分）已知平面向量是非零向量，，，则向量在向量方向上的投影为（）A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣29．（5分）已知数列{a n}是等比数列，数列{b n}是等差数列，若，则的值是（）A．1 B．C．D．10．（5分）已知存在实数a，使得关于x的不等式恒成立，则a的最大值为（）A．0 B．﹣1 C．﹣2 D．﹣311．（5分）已知正数a，b，c满足4a﹣2b+25c=0，则lga+lgc﹣2lgb的最大值为（）A．﹣2 B．2 C．﹣1 D．112．（5分）函数f（x）是定义在（0，+∞）上的单调函数，∀x∈（0，+∞），f[f （x）﹣lnx]=e+1，函数h（x）=xf（x）﹣ex的最小值为（）A．﹣1 B．C．0 D．e二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分．13．（5分）若z=1﹣i，则=．14．（5分）某楼盘按国家去库存的要求，据市场调查预测，降价销售．今年110平方米套房的销售将以每月10%的增长率增长；90平方米套房的销售将每月递增10套．已知该地区今年1月份销售110平方米套房和90平方米套房均为20套，据此推测该地区今年这两种套房的销售总量约为套（参考数据：1.111≈2.9，1.112≈3.1，1.113≈3.5）15．（5分）已知点A（7，1），B（1，a），若直线y=x与线段AB交于点C，且，则实数a=．16．（5分）已知函数f（x）=cos（ωx+φ）（ω＞0，|φ|≤），当x=﹣时函数f（x）能取得最小值，当x=时函数y=f（x）能取得最大值，且f（x）在区间（，）上单调．则当ω取最大值时φ的值为．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（12分）已知a∈R，命题p：∀x∈[﹣2，﹣1]，x2﹣a≥0，命题q：∃x∈R，x2+2ax﹣（a﹣2）=0．（1）若命题p为真命题，求实数a的取值范围；（2）若命题“p∨q”为真命题，命题“p∧q”为假命题，求实数a的取值范围．18．（12分）已知△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，有b2+c2=a2+bc （1）求角A的大小；（2）求的最大值．19．（12分）已知等差数列{a n}，a3=4，a2+a6=10．（1）求{a n}的通项公式；（2）求的前n项和T n．20．（12分）如图，在直角三角形ABC中，∠B=90°，，点M，N分别在边AB和AC上（M点和B点不重合），将△AMN沿MN翻折，△AMN变为△A'MN，使顶点A'落在边BC上（A'点和B点不重合）．设∠ANM=θ（1）用θ表示线段AM的长度，并写出θ的取值范围；（2）求线段A'N长度的最小值．21．（12分）已知a，b是实数，1和﹣1是函数f（x）=x3+ax2+bx的两个极值点．（1）求a和b的值；（2）设函数g（x）的导函数g'（x）=f（x）+2，求g（x）的极值点；（3）若，当x1，x2∈（0，+∞）时，不等式恒成立，求c的取值范围．请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在直角坐标系中，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C：，直线l：．（1）写出直线l的参数方程；（2）设直线l与曲线C的两个交点分别为A、B，求|AB|的值．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）=|x+2|+|x﹣4|．（1）求函数f（x）的最小值；（2）若{x|f（x）≤t2﹣t}∩{x|﹣3≤x≤5}≠∅．求实数t的取值范围．2017年四川省遂宁市高考数学零诊试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每个小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．1．（5分）（2017•遂宁模拟）已知集合A={﹣1，0，1}，B={y|y=|x|}，则A∩B=（）A．{0}B．{1}C．{0，1}D．{﹣1，0，1}【解答】解：∵集合A={﹣1，0，1}，B={y|y=|x|}={0，1}，∴A∩B={0，1}．故选：C．2．（5分）（2017•遂宁模拟）已知角α的终边与单位圆x2+y2=1交于点P（，y），则sin（+α）=（）A．1 B．C．﹣D．﹣【解答】解：∵点P（，y）在单位圆上，∴y=±∴α=+2kπ或﹣+2kπ，k∈Z．sin（+α）=cosα=cos（+2kπ）=．故选：B．3．（5分）（2017•遂宁模拟）设函数，则的定义域为（）A． B．[2，4]C．[1，+∞）D．[，2]【解答】解：∵函数的定义域为：[1，+∞）．∴，解得2≤x≤4．∴的定义域为：[2，4]．故选：B．4．（5分）（2016•上海）设a∈R，则“a＞1”是“a2＞1”的（）A．充分非必要条件 B．必要非充分条件C．充要条件D．既非充分也非必要条件【解答】解：由a2＞1得a＞1或a＜﹣1，即“a＞1”是“a2＞1”的充分不必要条件，故选：A．5．（5分）（2017•遂宁模拟）在等差数列{a n}中，a1=﹣6，公差为d，前n项和为S n，当且仅当n=6时，S n取得最小值，则d的取值范围为（）A．B．（0，+∞）C．（﹣∞，0）D．【解答】解：∵在等差数列{a n}中，a1=﹣6，公差为d，前n项和为S n，∴S n=﹣6n+=（n﹣）2+∵当且仅当n=6时，S n取得最小值，∴，解得1＜d＜∴d的取值范围为（1，）．故选：D．6．（5分）（2017•遂宁模拟）已知变量x，y满足约束条件（k∈Z），且z=2x+y的最大值为6，则k的值为（）A．﹣3 B．3 C．﹣1 D．1【解答】解：作出的可行域，由，得A（3，0），将约束条件中：x+3y=﹣k经过A时，目标函数的最大值是6，可得k=﹣3．故选：A．7．（5分）（2017•遂宁模拟）根据如图的程序框图，当输入x为2017时，输出的y=（）A．28 B．10 C．4 D．2【解答】解：当输入的x为2017时，第1次执行循环体后，x=2015，满足x≥0；第2次执行循环体后，x=2013，满足x≥0；第3次执行循环体后，x=2011，满足x≥0；…第1008次执行循环体后，x=1，满足x≥0；第1009次执行循环体后，x=﹣1，不满足x≥0；故y=31+1=4，故选：C．8．（5分）（2017•遂宁模拟）已知平面向量是非零向量，，，则向量在向量方向上的投影为（）A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣2【解答】解：∵平面向量是非零向量，，，∴•（）=0，即+2=0，即=﹣2，∴向量在向量方向上的投影为==﹣1，故选：B．9．（5分）（2017•遂宁模拟）已知数列{a n}是等比数列，数列{b n}是等差数列，若，则的值是（）A．1 B．C．D．【解答】解：在等差数列{b n}中，由b1+b6+b11=7π，得3b6=7π，，∴，在等比数列{a n}中，由，得，，∴，则=tan=tan=．故选：D．10．（5分）（2017•遂宁模拟）已知存在实数a，使得关于x的不等式恒成立，则a的最大值为（）A．0 B．﹣1 C．﹣2 D．﹣3【解答】解：关于x的不等式恒成立，则a≤﹣，设f（x）=﹣，则，解得0≤x≤，∴f（x）在[0，]上单调递增，∴f（x）min=f（0）=﹣3，∴a≤﹣3，故a的最大值为﹣3，故选：D．11．（5分）（2017•遂宁模拟）已知正数a，b，c满足4a﹣2b+25c=0，则lga+lgc ﹣2lgb的最大值为（）A．﹣2 B．2 C．﹣1 D．1【解答】解：由题意：4a﹣2b+25c=0，变形为：4a+25c=2b，∵4a+25c≥2，当且仅当4a=25c时，取等号．∴2b≥2；即b2≥100ac那么：lga+lgc﹣2lgb=lg≤lg=lg10﹣2=﹣2故选：A．12．（5分）（2017•遂宁模拟）函数f（x）是定义在（0，+∞）上的单调函数，∀x∈（0，+∞），f[f（x）﹣lnx]=e+1，函数h（x）=xf（x）﹣ex的最小值为（）A．﹣1 B．C．0 D．e【解答】解：根据题意，对任意的x∈（0，+∞），都有f[f（x）﹣lnx]=e+1，又由f（x）是定义在（0，+∞）上的单调函数，∴f（x）﹣lnx为定值，设t=f（x）﹣lnx，∴f（x）=lnx+t，又由f（t）=e+1，即lnt+t=e+1，解得：t=e，∴f（x）=lnx+e，∴h（x）=xf（x）﹣ex=xlnx，∴h′（x）=1+lnx，令h′（x）=0，解得x=，当h′（x）＞0时，即x＞，函数h（x）单调递增，h′（x）＞0时，即0＜x＜，函数h（x）单调递减，∴h（x）min=h（）=﹣，故选：B．二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分．13．（5分）（2017•遂宁模拟）若z=1﹣i，则=1+i．【解答】解：由z=1﹣i，得==．故答案为：1+i．14．（5分）（2017•遂宁模拟）某楼盘按国家去库存的要求，据市场调查预测，降价销售．今年110平方米套房的销售将以每月10%的增长率增长；90平方米套房的销售将每月递增10套．已知该地区今年1月份销售110平方米套房和90平方米套房均为20套，据此推测该地区今年这两种套房的销售总量约为1320套（参考数据：1.111≈2.9，1.112≈3.1，1.113≈3.5）【解答】解：由题意可得，今年110平方米套房的销售量构成以20为首项，以1.1为公比的等比数列，则今年年110平方米套房的销售量为≈420；90平方米套房的销售量构成以20为首项，以10为公差的等差数列，则90平方米套房的销售量为=900．∴这两种套房的销售总量约为：420+900=1320．故答案为：1320．15．（5分）（2017•遂宁模拟）已知点A（7，1），B（1，a），若直线y=x与线段AB交于点C，且，则实数a=4．【解答】解：根据题意，设C（x，x），由A（7，1），B（1，a），得=（x﹣7，x﹣1），=（1﹣x，a﹣x），又=2，∴（x﹣7，x﹣1）=2（1﹣x，a﹣x），∴，解得x=3，a=4；∴实数a的值为4．故答案为：4．16．（5分）（2017•遂宁模拟）已知函数f（x）=cos（ωx+φ）（ω＞0，|φ|≤），当x=﹣时函数f（x）能取得最小值，当x=时函数y=f（x）能取得最大值，且f（x）在区间（，）上单调．则当ω取最大值时φ的值为﹣．【解答】解：当x=﹣时f（x）能取得最小值，x=时f（x）能取得最大值，∴（n+）•T=﹣（﹣），即T=，（n∈N）解得ω=4n+2，（n∈N）即ω为正偶数；∵f（x）在（，）上单调，∴﹣=≤，即T=≥，解得ω≤12；当ω=12时，f（x）=cos（12x+φ），且x=﹣，12×（﹣）+φ=﹣π+2kπ，k∈Z，由|φ|≤，得φ=0，此时f（x）=cos12x在（，）不单调，不满足题意；当ω=10时，f（x）=cos（10x+φ），且x=﹣，10×（﹣）+φ=﹣π+2kπ，k∈Z，由|φ|≤，得φ=﹣，此时f（x）=cos（10x﹣）在（，）单调，满足题意；故ω的最大值为10，此时φ的值为﹣．故答案为：﹣．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（12分）（2017•遂宁模拟）已知a∈R，命题p：∀x∈[﹣2，﹣1]，x2﹣a≥0，命题q：∃x∈R，x2+2ax﹣（a﹣2）=0．（1）若命题p为真命题，求实数a的取值范围；（2）若命题“p∨q”为真命题，命题“p∧q”为假命题，求实数a的取值范围．【解答】（本小题满分12分）解：（1）因为命题p：∀x∈[﹣2，﹣1]，x2﹣a≥0．令f（x）=x2﹣a，根据题意，只要x∈[﹣2，﹣1]时，f（x）min≥0即可，也就是1﹣a≥0，即a≤1；…（4分）（2）由（1）可知，当命题p为真命题时，a≤1，命题q为真命题时，△=4a2﹣4（2﹣a）≥0，解得a≤﹣2或a≥1 …（6分）因为命题“p∨q”为真命题，命题“p∧q”为假命题，所以命题p与q一真一假，…（7分）当命题p为真，命题q为假时，﹣2＜a＜1，…（9分）当命题p为假，命题q为真时，a＞1．…（11分）综上：a＞1或﹣2＜a＜1．…（12分）18．（12分）（2017•遂宁模拟）已知△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，有b2+c2=a2+bc（1）求角A的大小；（2）求的最大值．【解答】（本小题满分12分）解析：（1）∵b2+c2=a2+bc，∴cosA==，又∵A∈（0，π），∴A=；…（6分）（2）f（x）=sin（x﹣）+cosx=sinx﹣cosx+cosx=sinx+cosx=sin（x+），…（10分）∴f（x）max=1．…（12分）19．（12分）（2017•遂宁模拟）已知等差数列{a n}，a3=4，a2+a6=10．（1）求{a n}的通项公式；（2）求的前n项和T n．【解答】解：（1）由a2+a6=10．，可知2a4=10．a4=5，d=a4﹣a3=1，所以{a n}其通项公式为a n=a3+（n﹣3）×1=n+1（n∈N*）（2）T n=，，，．∴．20．（12分）（2017•遂宁模拟）如图，在直角三角形ABC中，∠B=90°，，点M，N分别在边AB和AC上（M点和B点不重合），将△AMN沿MN翻折，△AMN变为△A'MN，使顶点A'落在边BC上（A'点和B点不重合）．设∠ANM=θ（1）用θ表示线段AM的长度，并写出θ的取值范围；（2）求线段A'N长度的最小值．【解答】（本小题满分12分）解：（1）∵在直角三角形ABC中，∠B=90°，，∴∠C=30°，∠BAC=60°，∠AMN=120°﹣θ，…（2分）设MA=MA′=x，则MB=1﹣x．在Rt△MBA′中，cos∠BMA′=，即cos[180°﹣2（120°﹣θ）]=cos（2θ﹣60°）=，∴MA=x==，…（5分）∵点M在线段AB上，M点和B点不重合，A′点和B点不重合，∴45°＜120°﹣θ＜90°，∴30°＜θ＜75°．…（6分）（2）由（1）知，在△AMN中，∠ANM=θ，∠AMN=120°﹣θ，由正弦定理有，∴A′N=AN==…（8分）=======，…（10分）∵30°＜θ＜75°，∴30°＜2θ﹣30°＜120°，当且仅当2θ﹣30°=90°，即θ=60°时，A′N有最小值．…（12分）21．（12分）（2017•遂宁模拟）已知a，b是实数，1和﹣1是函数f（x）=x3+ax2+bx 的两个极值点．（1）求a和b的值；（2）设函数g（x）的导函数g'（x）=f（x）+2，求g（x）的极值点；（3）若，当x1，x2∈（0，+∞）时，不等式恒成立，求c的取值范围．【解答】解：（1）由f（x）=x3+ax2+bx，得f′（x）=3x2+2ax+b，1和﹣1是函数f（x）的两个极值点，∴，解得a=0，b=﹣3．（2）∵由（1）得f（x）=x3﹣3x，∴g′（x）=f（x）+2=（x﹣1）2（x+2），令g′（x）=0，解得x=1或﹣2，∵当x＜﹣2时，g′（x）＜0；当﹣2＜x＜1时，g′（x）＞0，∴x=﹣2是g（x）的极值点．∵当﹣2＜x＜1或x＞1时，g′（x）＞0，∴x=1不是g（x）的极值点．∴g（x）的极值点是﹣2．（3）由（1）知a=0，b=﹣3，则h（x）=﹣（cbx﹣）+2lnx=cx﹣+2lnx，不妨设x1＞x2＞0，所以x1﹣x2＞0，故不等式[﹣]（x1﹣x2）＜0，即﹣＜0恒成立，整理得x1h（x1）＜x2h（x2），所以函数y=xh（x）在（0，+∞）上单调递减，设ω（x）=xh（x），则ω（x）=cx2﹣c+2xlnx，ω′（x）=2cx+2+2lnx，由题意得ω′（x）≤0在（0，+∞）上恒成立，即2cx+2+2lnx≤0在（0，+∞）上恒成立，因为x＞0，所以不等式等价于c≤﹣（x＞0），记F（x）=﹣，（x＞0），则F′（x）=，所以当x∈（0，1]时，F′（x）≤0，函数单调递减；当x∈（1，+∞）时，F′（x）＞0，函数单调递增，故F（x）≥F（1）=﹣1，即F（x）的最小值为﹣1，故c≤﹣1．请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）（2017•遂宁模拟）在直角坐标系中，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C：，直线l：．（1）写出直线l的参数方程；（2）设直线l与曲线C的两个交点分别为A、B，求|AB|的值．【解答】解：（1）直线l的直角坐标方程为x+y=，与y轴相交于（0，），∴直线l的参数方程为（t为参数）．…（4分）（2）曲线C的直角坐标方程为=1，把直线l的参数方程代入椭圆方程可得：3t2+8t﹣8=0，∴t1+t2=﹣，t1t2=﹣，∴|AB|=|t1﹣t2|==．…（10分）[选修4-5：不等式选讲]23．（2017•遂宁模拟）已知函数f（x）=|x+2|+|x﹣4|．（1）求函数f（x）的最小值；（2）若{x|f（x）≤t2﹣t}∩{x|﹣3≤x≤5}≠∅．求实数t的取值范围．【解答】解：（1）函数f（x）=|x+2|+|x﹣4|≥|（x+2）﹣（x﹣4）|=6，所以函数f（x）的最小值为6．…（5分）（2）使{x|f（x）≤t2﹣t}∩{x|﹣3≤x≤5}≠∅，知存在x0∈[﹣3，5]使得f（x0）≤t2﹣t成立，即f（x）min≤t2﹣t在[﹣3，5]成立，∵函数f（x）在[﹣3，5]的最小值为6，∴t2﹣t≥6，解得：t≤﹣2或t≥3．…（10分）参与本试卷答题和审题的老师有：zlzhan；qiss；sxs123；maths；w3239003；whgcn；lcb001；742048；豫汝王世崇；陈远才；刘老师（排名不分先后）菁优网2017年2月23日。
2017级一诊文科数学参考答案
绵阳市高中2017级第一次诊断性考试文科数学参考答案及评分意见一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．ADCBC DBCAD AC二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．e 14．4π 15． 16．0<a <1或3e a >三、解答题：本大题共6小题，共70分．17．解：（1）22()(cos sin )2sin f x x x x =−−212sin cos 2sin x x x =−−cos 2sin 2x x =−)4x π+， ……………………………………………4分 ∴ T =22ππ=， 即()f x 的最小正周期为π. ……………………………………………………5分 ∵ cos y x =的单调递减区间为[2k π，2k ππ+]，k ∈Z ，∴ 由2k π≤2x +4π≤2k ππ+，k ∈Z ，解得8k ππ−≤x ≤38k ππ+，k ∈Z ， ∴ ()f x 的单调递减区间为[8k ππ−，38k ππ+]，k ∈Z ． ……………………7分（2）由已知0()=1f x −，可得0)14x π+=−， ………………………10分即0cos(2)4x π+=， 再由0()2x ππ∈−−，，可得0732()444x πππ+∈−−，， ∴ 05244x ππ+=−， 解得 03=4x π−．………………………………………………………………12分18．解：（1）设数列{}n a 的公差为d ，则a 2=a 1+d ，a 5=a 1+4d ， ………………1分∵ a 1，a 2，a 5成等比数列，∴ a 22=a 1a 5，即(a 1+d )2=a 1(a 1+4d )，整理得d 2=2a 1d ，解得d =0（舍去）或d =2a 1=2，∴ a n =a 1+(n -1)d =2n -1.…………………………………………………………4分 当1n =时，12b =，当n ≥2时，1122(22)n n n n n b S S +−=−=−−−1222222=n n n n n +−=⨯−=.∴ 数列{}n b 的通项公式为2n n b =．……………………………………………8分（2）由（1）得，212n n c n −=+，………………………………………………9分 3521(21)(22)(23)(2)n n T n −=++++++++ 3521(2222)(123)n n −=+++++++++ 2(14)(1)142n n n −+=+− 2122232n n n +−+=+． ………………………………………………………12分 19．解：（1）在△ABC 中，A +B +C =π，即B =π-(A +C )，∴ sin B =sin(A +C )，由题意得 cos B =sin B +1． …………………………………………………3分 两边平方可得2cos 2B =sin 2B +2sin B +1，根据sin 2B +cos 2B=1，可整理为3sin 2B+2sin B -1=0， 解得1sin 3B =或sin B =-1（舍去）．……………………………………………5分 ∴ 1sin 3B =．……………………………………………………………………6分 （2）由2C A π−=，且A B C π++=，可得22A B π=−，C 为钝角，∴ sin 2cos A B =，又b =由正弦定理得sin sin a b c A C===∴a A =，c C =．又C 为钝角，由（1）得cos 3B =． ………………………………………9分∴ △ABC 的面积为111sin 223S ac B A C ==⨯⨯⨯ 99sin sin()sin cos 222A A A A π=+=999sin 2cos 444A B ====综上所述，△ABC 的面积为2． …………………………………………12分 20．解：（1）当a =1时，31()23f x x x =−+，则2()1(1)(1)f x x x x '=−=−+， 由()f x '>0，得x <-1或x >1；由()f x '<0，得-1<x <1， ……………………3分 ∴ ()f x 在(1)−∞−，上单调递增，(-1，1)上单调递减，(1)+∞，上单调递增． ∴ ()f x 的极小值为4(1)=3f ，极大值为8(1)=3f −． …………………………5分 （2）()()(1)f x x a x '=−+当a ≤1时，()f x 在[12]，单调递增，∴ ()f x 最大值为20(2)=423f a −=， 解得7=6a （舍）； ………………………………………………………………7分 当1<a <2时，()f x 在[1)a ，上单调递减，在(2]a ，上单调递增， ∴ ()f x 最大值为(1)f 或(2)f ，由173(1)262a f =−=，解得59a =（舍）， 由(2)2f =，解得76a =． ……………………………………………………10分 当a ≥2时，()f x 在[12]，单调递减，∴()f x 最大值为173(1)262a f =−=， 解得59a =（舍）． 综上所述：76a =． ……………………………………………………………12分 21．解：（1）由题意得e ()e 2(2)x x f x ax x a x '=−=−，令e ()xh x x=， 则2e (1)()x x h x x−'=． ……………………………………………………………2分 ∴ 当0<x <1时，得()h x '<0，此时()h x 单调递减，且x →0，()h x →+∞， 当x >1时，得()h x '>0，此时()h x 单调递增，且x →+∞，()h x →+∞， ∴ ()h x min =h (1)=e ．①当2a ≤e ，即a ≤e 2时，()f x '≥0，于是()f x 在(0，+∞)上是增函数， 从而()f x 在(0，+∞)上无极值．②当2a >e ，即a >e 2时，存在0<x 1<1<x 2，使得1()f x '=2()f x '=0， 且当x ∈(0，x 1)时，()f x '>0，()f x 在(0，x 1)上是单调递增；当x ∈(x 1，x 2)时，()f x '<0，()f x 在(x 1，x 2)上是单调递减；当x ∈(x 2，+∞)时，()f x '<0，()f x 在(x 2，+∞)上是单调递增，故x 2是()f x 在(0，+∞)上的极小值． 综上，e 2a >． …………………………………………………………………6分 （2）由(1)知，f (x )的极大值为M =f (x 0)>f (0)=1． …………………………8分 又M =f (x 0)=00002200000e e e e (1)(01)22x x x x x ax x x x −=−⨯=−∈，，， 令()e (1)(01)2x x g x x =−∈，，， 则1()(1)e 02x g x x '=−>， ……………………………………………………10分 ∴ g (x )在区间(0，1)上单调递增，∴ 2)1()(e g x g =<． ∴ 12e M <<． ………………………………………………………………12分22．解：（1）由题意得2222(cos )(sin )4x y αααα+=+=，∴ 曲线C 的普通方程为224x y +=． …………………………………………2分 ∵ cos x ρθ=，sin y ρθ=，∴ 代入可得曲线C 的极坐标方程为2ρ=． ………………………………5分（2）把=3πθ代入ρcos(6πθ−)=3中，可得ρcos(36ππ−)=3，解得ρ=，即B 点的极径B ρ=，由（1）易得A ρ=2，∴ |AB |=|A ρ-B ρ|=-2． ………………………………………………10分23．解：（1）当m =2时，f (x )=︱x -2︱+︱x+1︱-5．当x ≤-1时，()(2)(1)50f x x x =−−−+−≥，解得x ≤-2； ……………………………………………………………………1分 当-1<x <2时，()(2)15f x x x =−−++−≥0，无解．…………………………3分 当x ≥2时，()215f x x x =−++−≥0，解得x ≥3； ……………………………………………………………………4分综上，原不等式的解集为(2][3)−∞−+∞，，． ………………………………5分 （2）∵()|||1|5f x x m x =−++−≥|()(1)|5x m x −−+−|1|5m =+−≥-2，∴ |1|m +≥3， …………………………………………………………………8分 ∴ m +1≥3或m +1≤-3，即m ≥2或m ≤-4，∴ 实数m 的取值范围是(−∞，-4][2)+∞，． ……………………………10分。
2017年四川省遂宁市高考数学零诊试卷(文科)
2017年四川省遂宁市高考数学零诊试卷（文科）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、选择题(本大题共12小题，共60.0分)1.已知集合A={-1，0，1}，B={y|y=|x|}，则A∩B=（）A.{0}B.{1}C.{0，1}D.{-1，0，1}【答案】C【解析】解：∵集合A={-1，0，1}，B={y|y=|x|}={0，1}，∴A∩B={0，1}．故选：C．分别示求出集合A，B，由此能求出A∩B．本题考查交集的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意并集性质的合理运用．2.已知角α的终边与单位圆x2+y2=1交于点P（，y），则sin（+α）=（）A.1B.C.-D.-【答案】B【解析】解：∵点P（，y）在单位圆上，∴y=±∴α=+2kπ或-+2kπ，k∈Z．sin（+α）=cosα=cos（+2kπ）=．故选：B．首先求出点P的坐标，再利用三角函数的定义得出α的度数，进而由二倍角公式求出结果即可．此题考查了三角函数的定义以及诱导公式的应用，求出y的值是解题的关键．3.设函数，则的定义域为（）A.，B.[2，4]C.[1，+∞）D.[，2]【答案】B【解析】解：∵函数的定义域为：[1，+∞）．∴，解得2≤x≤4．∴的定义域为：[2，4]．故选：B．求出函数f（x）的定义域，再进一步求出复合函数的定义域，即可得答案．本题考查了函数的定义域及其求法，考查了不等式的解法，是基础题．4.设a∈R，则“a＞1”是“a2＞1”的（）A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既非充分也非必要条件【答案】A【解析】解：由a2＞1得a＞1或a＜-1，即“a＞1”是“a2＞1”的充分不必要条件，故选：A．根据不等式的关系，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．本题主要考查充分条件和必要条件的判断，利用不等式的关系结合充分条件和必要条件的定义是解决本题的关键，比较基础．5.在等差数列{a n}中，a1=-6，公差为d，前n项和为S n，当且仅当n=6时，S n取得最小值，则d的取值范围为（）A.，B.（0，+∞）C.（-∞，0）D.，【答案】D【解析】解：∵在等差数列{a n}中，a1=-6，公差为d，前n项和为S n，∴S n=-6n+=（n-）2+∵当且仅当n=6时，S n取得最小值，∴＞＜＜，解得1＜d＜∴d的取值范围为（1，）．故选：D．推导出S n=-6n+=（n-）2+，由此根据当且仅当n=6时，S n取得最小值，能求出d的取值范围．本题考查等差数列的通项公式的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列的性质的合理运用．6.已知变量x，y满足约束条件（k∈Z），且z=2x+y的最大值为6，则k的值为（）A.-3B.3C.-1D.1【答案】A【解析】解：作出的可行域，由，得A（3，0），将约束条件中：x+3y=-k经过A时，目标函数的最大值是6，可得k=-3．故选：A．先画出不等式组成的不等式组表示的区域，由于a＜0且目标函数z=x-2y的斜率是正值，故目标函数是在第四象限的交点处取得最大值3，代入计算即可求出a的值．先画出不等式组成的不等式组表示的区域，由于a＜0且目标函数z=x-2y的斜率是正值，故目标函数是在第四象限的交点处取得最大值3，代入计算即可求出a的值．7.根据如图的程序框图，当输入x为2017时，输出的y=（）A.28B.10C.4D.2【答案】C【解析】解：当输入的x为2017时，第1次执行循环体后，x=2015，满足x≥0；第2次执行循环体后，x=2013，满足x≥0；第3次执行循环体后，x=2011，满足x≥0；…第1008次执行循环体后，x=1，满足x≥0；第1009次执行循环体后，x=-1，不满足x≥0；故y=31+1=4，故选：C．根据已知的程序框图可得，该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量y的值，模拟程序的运行过程，可得答案．本题考查的知识点是程序框图，当循环次数不多，或有规律可循时，可采用模拟程序法进行解答，属于基础题．8.已知平面向量，是非零向量，，，则向量在向量方向上的投影为（）A.1B.-1C.2D.-2【答案】B【解析】解：∵平面向量，是非零向量，，，∴•（）=0，即+2=0，即=-2，∴向量在向量方向上的投影为==-1，故选：B．先根据向量垂直，得到=-2，再根据投影的定义即可求出．本题主要考查向量投影的定义及求解的方法，公式与定义两者要灵活运用．解答关键在于要求熟练应用公式．9.已知数列{a n}是等比数列，数列{b n}是等差数列，若，，则的值是（）A.1B.C.D.【答案】D【解析】解：在等差数列{b n}中，由b1+b6+b11=7π，得3b6=7π，，∴，在等比数列{a n}中，由，得，，∴，则=tan=tan=．故选：D．由等差数列和等比数列的性质求出b3+b9，1-a4a8的值，代入得答案．本题考查等差数列与等比数列的综合题，考查等差数列与等比数列的性质，训练了三角函数值的求法，是中档题．10.已知存在实数a，使得关于x的不等式恒成立，则a的最大值为（）A.0B.-1C.-2D.-3【答案】D【解析】解：关于x的不等式恒成立，则a≤-，设f（x）=-，则，解得0≤x≤，∴f（x）在[0，]上单调递增，∴f（x）min=f（0）=-3，∴a≤-3，故a的最大值为-3，故选：D．先分离参数，构造函数f（x）=-，求出函数的定义域，并判断函数的单调性，根据函数的单调性即可求出f（x）min=f（0）=-3，问题得以解决．本题考查了不等式恒成立的问题，关键是分离参数，构造函数，根据函数的单调性求出函数最值，属于中档题．11.已知正数a，b，c满足4a-2b+25c=0，则lga+lgc-2lgb的最大值为（）A.-2B.2C.-1D.1【答案】A【解析】解：由题意：4a-2b+25c=0，变形为：4a+25c=2b，∵4a+25c≥2，当且仅当4a=25c时，取等号．∴2b≥2；即b2≥100ac那么：lga+lgc-2lgb=lg≤lg=lg10-2=-2故选：A．将4a-2b+25c=0变形为：4a+25c=2b，利用基本不等式可得：2b≥2；lga+lgc-2lgb=lg≤lg即可求解．本题考查了对数的运算和基本不等式的运用能力．属于基础题．12.函数f（x）是定义在（0，+∞）上的单调函数，∀x∈（0，+∞），f[f（x）-lnx]=e+1，函数h（x）=xf（x）-ex的最小值为（）A.-1B.C.0D.e【答案】B【解析】解：根据题意，对任意的x∈（0，+∞），都有f[f（x）-lnx]=e+1，又由f（x）是定义在（0，+∞）上的单调函数，∴f（x）-lnx为定值，设t=f（x）-lnx，∴f（x）=lnx+t，又由f（t）=e+1，即lnt+t=e+1，解得：t=e，∴f（x）=lnx+e，∴h（x）=xf（x）-ex=xlnx，∴h′（x）=1+lnx，令h′（x）=0，解得x=，当h′（x）＞0时，即x＞，函数h（x）单调递增，h′（x）＞0时，即0＜x＜，函数h（x）单调递减，∴h（x）min=h（）=-，故选：B．由设t=f（x）-lnx，则f（x）=lnx+t，又由f（t）=e+1，求出f（x）=lnx+e，再求出jh （x），根据导数和函数的最值的关系即可求出．本题考查了导数的运算和函数的最值，关键是求出f（x），属于中档题二、填空题(本大题共4小题，共20.0分)13.若z=1-i，则= ______ ．【答案】1+i【解析】解：由z=1-i，得==．故答案为：1+i．由z=1-i，得=，然后利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．本题考查了复数代数形式的乘除运算，是基础题．14.某楼盘按国家去库存的要求，据市场调查预测，降价销售．今年110平方米套房的销售将以每月10%的增长率增长；90平方米套房的销售将每月递增10套．已知该地区今年1月份销售110平方米套房和90平方米套房均为20套，据此推测该地区今年这两种套房的销售总量约为______ 套（参考数据：1.111≈2.9，1.112≈3.1，1.113≈3.5）【答案】1320【解析】解：由题意可得，今年110平方米套房的销售量构成以20为首项，以1.1为公比的等比数列，则今年年110平方米套房的销售量为．≈420；90平方米套房的销售量构成以20为首项，以10为公差的等差数列，则90平方米套房的销售量为=900．∴这两种套房的销售总量约为：420+900=1320．故答案为：1320．由题意可得，今年110平方米套房的销售量量与90平方米套房的销售量分别构成等比数列和等差数列，然后利用等比数列和等差数列的前n项和求解．本题考查等差数列与等比数列的综合，考查了等差数列与等比数列的前n项和，是中档题．15.已知点A（7，1），B（1，a），若直线y=x与线段AB交于点C，且，则实数a= ______ ．【答案】4【解析】解：根据题意，设C（x，x），由A（7，1），B（1，a），得=（x-7，x-1），=（1-x，a-x），又=2，∴（x-7，x-1）=2（1-x，a-x），∴，解得x=3，a=4；∴实数a的值为4．故答案为：4．根据题意设出点C的坐标，由向量相等列出方程求出C的坐标，再求a的值．本题考查了向量共线的坐标表示，考查了向量相等的条件，是基础题．16.已知函数f（x）=cos（ωx+φ）（ω＞0，|φ|≤），当x=-时函数f（x）能取得最小值，当x=时函数y=f（x）能取得最大值，且f（x）在区间（，）上单调．则当ω取最大值时φ的值为______ ．【答案】-【解析】解：当x=-时f（x）能取得最小值，x=时f（x）能取得最大值，∴（n+）•T=-（-），即T=，（n∈N）解得ω=4n+2，（n∈N）即ω为正偶数；∵f（x）在（，）上单调，∴-=≤，即T=≥，解得ω≤12；当ω=12时，f（x）=cos（12x+φ），且x=-，12×（-）+φ=-π+2kπ，k∈Z，由|φ|≤，得φ=0，此时f（x）=cos12x在（，）不单调，不满足题意；当ω=10时，f（x）=cos（10x+φ），且x=-，10×（-）+φ=-π+2kπ，k∈Z，由|φ|≤，得φ=-，此时f（x）=cos（10x-）在（，）单调，满足题意；故ω的最大值为10，此时φ的值为-．故答案为：-．根据x=-时f（x）取得最小值，x=时f（x）取得最大值，得出（n+）•T=，求出T 以及ω的值；再由f（x）在（，）上单调，得出T以及ω的取值；讨论ω的取值，求出满足条件的ω的最大值以及对应φ的值．本题考查了余弦型函数的图象和性质的应用问题，也考查了转化思想与分类讨论思想的应用问题，难度较大．三、解答题(本大题共7小题，共82.0分)17.已知a∈R，命题p：∀x∈[-2，-1]，x2-a≥0，命题q：∃x∈R，x2+2ax-（a-2）=0．（1）若命题p为真命题，求实数a的取值范围；（2）若命题“p∨q”为真命题，命题“p∧q”为假命题，求实数a的取值范围．【答案】解：（1）因为命题p：∀x∈[-2，-1]，x2-a≥0．令f（x）=x2-a，根据题意，只要x∈[-2，-1]时，f（x）min≥0即可，也就是1-a≥0，即a≤1；（2）由（1）可知，当命题p为真命题时，a≤1，命题q为真命题时，△=4a2-4（2-a）≥0，解得a≤-2或a≥1因为命题“p∨q”为真命题，命题“p∧q”为假命题，所以命题p与q一真一假，当命题p为真，命题q为假时，-2＜a＜1，当命题p为假，命题q为真时，a＞1．综上：a＞1或-2＜a＜1．【解析】（1）令f（x）=x2-a，若命题p为真命题，只要x∈[-2，-1]时，f（x）min≥0即可，进而得到实数a的取值范围；（2）若命题“p∨q”为真命题，命题“p∧q”为假命题，命题p与q一真一假，进而得到答案．本题以命题的真假判断与应用为载体，考查的知识点是复合命题，函数恒成立问题，方程根的存在性及个数判断，难度中档．18.已知△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，有b2+c2=a2+bc（1）求角A的大小；（2）求的最大值．【答案】（本小题满分12分）解析：（1）∵b2+c2=a2+bc，∴cos A==，又∵A∈（0，π），∴A=；…（6分）（2）f（x）=sin（x-）+cosx=sinx-cosx+cosx=sinx+cosx=sin（x+），…（10分）∴f（x）=1．max…（12分）【解析】（1）根据已知利用余弦定理可求cos A=，结合范围A∈（0，π），可求A的值．（2）利用两角和与差的正弦函数公式化简可得解析式f（x）=sin（x+），利用正弦函数的性质可求最大值．本题主要考查了余弦定理，两角和与差的正弦函数公式，正弦函数的图象和性质的应用，考查了转化思想，属于基础题．19.已知等差数列{a n}，a3=4，a2+a6=10．（1）求{a n}的通项公式；（2）求的前n项和T n．【答案】解：（1）由a2+a6=10．，可知2a4=10．a4=5，d=a4-a3=1，所以{a n}其通项公式为a n=a3+（n-3）×1=n+1（n∈N*）（2）T n=，，，．∴．【解析】（1）由a2+a6=10．可知2a4=10．a4=5，d=a4-a3，a n=a3+（n-3）×d即可．（2）利用错位相减法求和本题考查了等差数列的性质，及错位相减法求和，属于基础题．20.如图，在直角三角形ABC中，∠B=90°，，点M，N分别在边AB和AC上（M点和B点不重合），将△AMN沿MN翻折，△AMN变为△A'MN，使顶点A'落在边BC上（A'点和B点不重合）．设∠ANM=θ（1）用θ表示线段AM的长度，并写出θ的取值范围；（2）求线段A'N长度的最小值．【答案】（本小题满分12分）解：（1）∵在直角三角形ABC中，∠B=90°，，∴∠C=30°，∠BAC=60°，∠AMN=120°-θ，…（2分）设MA=MA′=x，则MB=1-x．在R t△MBA′中，cos∠BMA′=，即cos[180°-2（120°-θ）]=cos（2θ-60°）=，∴MA=x=°=°，…（5分）∵点M在线段AB上，M点和B点不重合，A′点和B点不重合，∴45°＜120°-θ＜90°，∴30°＜θ＜75°．…（6分）（2）由（1）知，在△AMN中，∠ANM=θ，∠AMN=120°-θ，由正弦定理有°，∴A′N=AN=°=°°…（8分）=°°°=°°=°=°°===°，…（10分）∵30°＜θ＜75°，∴30°＜2θ-30°＜120°，当且仅当2θ-30°=90°，即θ=60°时，A′N有最小值．…（12分）【解析】（1）设MA=MA'=x，则MB=1-x，在R t△MBA'中，利用三角函数可求；（2）求线段A'N长度的最小值，即求线段AN长度的最小值，利用三角恒等变换化简，从而求最值．本题主要考查在实际问题中建立三角函数模型，从而利用三角函数中研究最值的方法解决最值问题，应注意角的范围的确定是关键，属于中档题．21.已知a，b是实数，1和-1是函数f（x）=x3+ax2+bx的两个极值点．（1）求a和b的值；（2）设函数g（x）的导函数g'（x）=f（x）+2，求g（x）的极值点；（3）若，当x1，x2∈（0，+∞）时，不等式＜恒成立，求c的取值范围．【答案】解：（1）由f（x）=x3+ax2+bx，得f′（x）=3x2+2ax+b，1和-1是函数f（x）的两个极值点，∴′′，解得a=0，b=-3．（2）∵由（1）得f（x）=x3-3x，∴g′（x）=f（x）+2=（x-1）2（x+2），令g′（x）=0，解得x=1或-2，∵当x＜-2时，g′（x）＜0；当-2＜x＜1时，g′（x）＞0，∴x=-2是g（x）的极值点．∵当-2＜x＜1或x＞1时，g′（x）＞0，∴x=1不是g（x）的极值点．∴g（x）的极值点是-2．（3）由（1）知a=0，b=-3，则h（x）=-（cbx-）+2lnx=cx-+2lnx，不妨设x1＞x2＞0，所以x1-x2＞0，故不等式[-]（x1-x2）＜0，即-＜0恒成立，整理得x1h（x1）＜x2h（x2），所以函数y=xh（x）在（0，+∞）上单调递减，设ω（x）=xh（x），则ω（x）=cx2-c+2xlnx，ω′（x）=2cx+2+2lnx，由题意得ω′（x）≤0在（0，+∞）上恒成立，即2cx+2+2lnx≤0在（0，+∞）上恒成立，因为x＞0，所以不等式等价于c≤-（x＞0），记F（x）=-，（x＞0），则F′（x）=，所以当x∈（0，1]时，F′（x）≤0，函数单调递减；当x∈（1，+∞）时，F′（x）＞0，函数单调递增，故F（x）≥F（1）=-1，即F（x）的最小值为-1，故c≤-1．【解析】（1）求出函数f（x）的导数，得到关于a，b的方程组，求出a，b的值；（2）求出f（x）的解析式，求出g′（x），解关于g′（x）的不等式，求出函数g（x）的单调区间，从而求出g（x）的极值点即可；（3）求出h（x），整理得x1h（x1）＜x2h（x2），根据函数的单调性得到2cx+2+2lnx≤0在（0，+∞）上恒成立，即不等式等价于c≤-（x＞0），根据函数的单调性求出c的范围即可．本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及函数恒成立问题，是一道中档题．22.在直角坐标系中，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C：，直线l：．（1）写出直线l的参数方程；（2）设直线l与曲线C的两个交点分别为A、B，求|AB|的值．【答案】解：（1）直线l的直角坐标方程为x+y=，与y轴相交于（0，），∴直线l的参数方程为（t为参数）．…（4分）（2）曲线C的直角坐标方程为=1，把直线l的参数方程代入椭圆方程可得：3t2+8t-8=0，∴t1+t2=-，t1t2=-，∴|AB|=|t1-t2|==．…（10分）【解析】（1）直线l的直角坐标方程为x+y=，与y轴相交于（0，），即可得出：直线l 的参数方程．（2）把直线l的参数方程代入椭圆方程可得：3t2+8t-8=0，可得|AB|=|t1-t2|．本题考查了直线与椭圆相交弦长问题、极坐标的应用、参数方程的应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．23.已知函数f（x）=|x+2|+|x-4|．（1）求函数f（x）的最小值；（2）若{x|f（x）≤t2-t}∩{x|-3≤x≤5}≠∅．求实数t的取值范围．【答案】解：（1）函数f（x）=|x+2|+|x-4|≥|（x+2）-（x-4）|=6，所以函数f（x）的最小值为6．…（5分）（2）使{x|f（x）≤t2-t}∩{x|-3≤x≤5}≠∅，知存在x0∈[-3，5]使得f（x0）≤t2-t成立，即f（x）min≤t2-t在[-3，5]成立，∵函数f（x）在[-3，5]的最小值为6，∴t2-t≥6，解得：t≤-2或t≥3．…（10分）【解析】（1）由条件利用绝对值三角不等式求得f（x）=|x+2|+|x-4|的最小值．（2）问题转f（x）min≤t2-t在[-3，5]成立，求出f（x）的最小值，解出t即可本题主要考查绝对值三角不等式，绝对值不等式的解法，体现了转化的数学思想，属于中档题．。
四川省广安、遂宁、内江、眉山2017届高三上学期第一次诊断考试文数试题 含答案
数学(文史类)第Ⅰ卷(共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的.1.已知集合{}|9,*A x x x N =≤∈，集合{}|07B x x =<<,则A B =（）A ．{}|07x x <<B ．{}|16x x ≤≤C ．{}1,2,3,4,5,6D ．{}7,8,9 2。
已知i 是虚数单位，复数131i i+=+（ ） A ．2i +B ．2i -C ．1i -+D ．1i --3。
将函数()sin 2f x x =的图象向右平移6π个单位后得到函数()g x 的图象，则函数()g x 的单调递增区间是（ ）A ．,36k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦（k Z ∈）B ．,63k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦（k Z ∈)C ．5,1212k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦（k Z ∈） D ．5,1212k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦（k Z ∈）4.供电部门对某社区1000位居民2016年11月份人均用电情况进行统计后，按人均用电量分为[0,10),[10,20)，[20,30),[30,40),[]40,50五组，整理得到如图的频率分布直方图，则下列说法错误的是( ） A ．11月份人均用电量人数最多的一组有400人 B ．11月份人均用电量不低于20度的有500人 C ．11月份人均用电量为25度D ．在这1000位居民中任选1位协助收费，选到的居民用电量在[30,40)一组的概率为1105.已知等比数列{}na 满足126a a+=，4548a a +=,则数列{}n a 的前10项的和10S =( ）A ．1022B ．1023C ．2046D ．20476。
“21x>”是“1x >”的( ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件7.如图,是某算法的程序框图，当输出29T >时，正整数n 的最小值是（ ) A ．2B ．3C ．4D ．58。