1.1.1任意角题型全归纳

1.1.1任意角题型全归纳【常考题型】题型一、象限角的判断【例1】已知角的顶点与坐标原点重合，始边落在x轴的非负半轴上，作出下列各角，并指出它们是第几象限角．(1)－75°；(2)855°；(3)－510°.【类题通法】象限角的判断方法(1)根据图形判定，在直角坐标系中作出角，角的终边落在第几象限，此角就是第几象限角．(2)根据终边相同的角的概念．把角转化到0°～360°范围内，转化后的角在第几象限，此角就是第几象限角．变式1：在直角坐标系中，作出下列各角，在0°～360°范围内，找出与其终边相同的角，并判定它是第几象限角．(1)360°；(2)720°；(3)2 012°；(4)－120°.题型二、终边相同的角的表示【例2】 (1)写出与α＝－1 910°终边相同的角的集合，并把集合中适合不等式－720°≤β＜360°的元素β写出来．(2)分别写出终边在下列各图所示的直线上的角的集合．(3)设集合M=18045,,N=18045,24k k x x k x x k ⎧⎫⎧⎫=⨯+∈=⨯+∈⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭Z Z ，判断两集合的关系．(4)写出终边落在图中阴影部分(包括边界)的角的集合．【类题通法】1．终边相同的角常用的三个结论 (1)终边相同的角之间相差360°的整数倍． (2)终边在同一直线上的角之间相差180°的整数倍． (3)终边在相互垂直的两直线上的角之间相差90°的整数倍． 2．区域角是指终边落在坐标系的某个区域的角，其写法可分三步 (1)先按逆时针方向找到区域的起始和终止边界；(2)由小到大分别标出起始、终止边界对应的一个角α，β，写出所有与α，β终边相同的角； (3)用不等式表示区域内的角，组成集合．变式2：已知角α的终边在如图所示的阴影部分内，试指出角α的取值范围．变式3：把一条射线绕着端点按顺时针方向旋转240°所形成的角是( )A ．120°B ．－120°C ．240°D ．－240°变式4：与435°角终边相同的角可以表示为( ) A ．－75°＋k ·360°，k ∈Z B ．－435°＋k ·360°，k ∈Z C ．75°＋k ·360°，k ∈ZD ．75°＋k ·180°，k ∈Z变式5：若角α＝2 014°，则与角α具有相同终边的最小正角为________，最大负角为________．变式6：试写出终边在直线y ＝－3x 上的角的集合S ，并把S 中适合不等式－180°≤α<180°的元素α写出来．题型三、确定n α及nα所在的象限 【例3】 若α是第二象限角，则2α，2α，3α分别是第几象限的角？【类题通法】1．nα所在象限的判断方法确定nα终边所在的象限，先求出nα的范围，再直接转化为终边相同的角即可． 2.αn所在象限的判断方法 已知角α所在象限，要确定角αn所在象限，有两种方法：(1)用不等式表示出角αn 的范围，然后对n 的取值分情况讨论：被n 整除；被n 除余1；被n除余2；…；被n 除余n －1.从而得出结论．(2)作出各个象限的从原点出发的n 等分射线，它们与坐标轴把周角分成4n 个区域．从x 轴非负半轴起，按逆时针方向把这4n 个区域依次循环标上1,2,3,4.标号为几的区域，就是根据α终边所在的象限确定αn 的终边所落在的区域．如此，αn 所在的象限就可以由标号区域所在的象限直观地看出．变式7：已知角α为第三象限角，试确定角2α，α2是第几象限角．1.1.1任意角题型全归纳参考答案【例1】(1)－75°是第四象限角．(2) 855°是第二象限角．(3)－510°是第三象限角． 变式1： (1)360°＝0°＋360°，(2)720°＝0°＋2×360°，因此，在0°～360°范围内，这两个角均与0°角终边相同．所以这两个角不属于任何一个象限．(3) 2 012°是第三象限角．(4)－120°是第三象限角． 【例2】[解] (1)与角α＝－1 910°终边相同的角的集合为 {}β|β＝－1 910°＋k ·360°，k ∈Z . ∵－720°≤β＜360°，∴－720°≤－1 910°＋k ·360°＜360°， 31136≤k ＜61136. 故k ＝4,5,6，k ＝4时，β＝－1 910°＋4×360°＝－470°. k ＝5时，β＝－1 910°＋5×360°＝－110°.k＝6时，β＝－1 910°＋6×360°＝250°.(2)①在0°～360°范围内，终边在直线y＝0上的角有两个，即0°和180°，因此，所有与0°角终边相同的角构成集合S1＝{β|β＝0°＋k·360°，k∈Z}，而所有与180°角终边相同的角构成集合S2＝{β|β＝180°＋k·360°，k∈Z}，于是，终边在直线y＝0上的角的集合为S＝S1∪S2＝{β|β＝k·180°，k∈Z}．②由图形易知，在0°～360°范围内，终边在直线y＝－x上的角有两个，即135°和315°，因此，终边在直线y＝－x上的角的集合为S＝{β|β＝135°＋k·360°，k∈Z}∪{β|β＝315°＋k·360，k∈Z}＝{β|β＝135°＋k·180°，k∈Z}．③终边在直线y＝x上的角的集合为{β|β＝45°＋k·180°，k∈Z}，结合②知所求角的集合为S ＝{β|β＝45°＋k·180°，k∈Z}∪{β|β＝135°＋k·180°，k∈Z}＝{β|β＝45°＋2k·90°，k∈Z}∪{β|β＝45°＋(2k＋1)·90°，k∈Z}＝{β|β＝45°＋k·90°，k∈Z}．(3)因为M＝{x|x＝(2k＋1)×45°，k∈Z}表示的是终边落在四个象限的平分线上的角的集合；而集合N＝{x|x＝(k＋1)×45°，k∈Z}表示终边落在坐标轴或四个象限平分线上的角的集合，从 .而M N(4)终边落在OA位置上的角的集合为{α|α＝90°＋45°＋k·360°，k∈Z}＝{α|α＝135°＋k·360°，k∈Z}，终边落在OB位置上的角的集合为{β|β＝－30°＋k·360°，k∈Z}．故阴影部分角的集合可表示为{α|－30°＋k·360°≤α≤135°＋k·360°，k∈Z}．变式2：解：终边在30°角的终边所在直线上的角的集合为S1＝{α|α＝30°＋k·180°，k∈Z}，终边在180°－75°＝105°角的终边所在直线上的角的集合为S2＝{α|α＝105°＋k·180°，k∈Z}，因此终边在图中阴影部分的角α的取值范围为{α|30°＋k·180°≤α<105°＋k·180°，k∈Z}.变式3：解析：选D一条射线绕着端点按顺时针方向旋转240°所形成的角是－240°变式4：解析：选C435°＝360°＋75°，∴与435°角终边相同的角是75°＋k·360°，k∈Z.变式5：解析：∵2 014°＝5×360°＋214°，∴与角α终边相同的角的集合为{α|α＝214°＋k ·360°，k ∈Z }，∴最小正角是214°，最大负角是－146°.变式6：解：终边在直线y ＝－3x 上的角的集合S ＝{α|α＝k ·360°＋120°，k ∈Z }∪{α|α＝k ·360°＋300°，k ∈Z }＝{α|α＝k ·180°＋120°，k ∈Z }，其中适合不等式－180°≤α<180°的元素α为－60°，120°.【例3】 [解] (1)∵α是第二象限角， ∴90°＋k ·360°<α<180°＋k ·360°(k ∈Z )， ∴180°＋k ·720°<2α<360°＋k ·720°，∴2α是第三或第四象限的角，或角的终边在y 轴的非正半轴上． (2)∵α是第二象限角，∴90°＋k ·360°<α<180°＋k ·360°(k ∈Z )， ∴45°＋k ·180°<α2<90°＋k ·180°(k ∈Z )．法一：①当k ＝2n (n ∈Z )时， 45°＋n ·360°<α2<90°＋n ·360°(n ∈Z )，即α2是第一象限角； ②当k ＝2n ＋1(n ∈Z )时，225°＋n ·360°<α2<270°＋n ·360°(n ∈Z )，即α2是第三象限角． 故α2是第一或第三象限角． 法二：∵45°＋k ·180°表示终边为一、三象限角平分线的角，90°＋k ·180°(k ∈Z )表示终边为y 轴的角，∴45°＋k ·180°<α2<90°＋k ·180°(k ∈Z )表示如图中阴影部分图形．即α2是第一或第三象限角．。