江苏省扬中高级中学2020届高三数学9月月考试题(无答案)苏教版

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江苏省扬州中学2020届高三下学期数学第一次月考试卷

θx yO P 1P 0 P 2江苏省扬州中学2020学年度第二学期2月份考试高三数学试卷 2020-2-26参考公式：线性回归方程的系数公式为1122211()(),()n ni iiii i nniii i x y nx y x x y y b a y bx xnxx x ====---===---∑∑∑∑.一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．1．已知α的终边经过点(39,2)a a -+，且sin 0,cos 0αα>≤ ，则a 的取值范围是 ▲2．如果复数2()(1)m i mi ++是实数，则实数m =_____ ▲ ． 3．如图所示，四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个边长为2的大正方形，若直角三角形中较小的锐角6πθ=,现在向该正方形区域内随机地投掷一枚飞镖，飞镖落在小正方形内概率是___ ▲ ． 4．某单位为了了解用电量y 度与气温C x 0之间的关系，随机统计了某4天的用电量与当天气温，并制作了对照表：气温(0C) 18 13 10-1 用电量(度) 24 343864由表中数据得线性回归方程a bx yˆ+=中2b -=，预测当气温为04C - 时，用电量的度数约为____▲____.5．给出一个算法： Read x If Then x 0≤()x x f 4← Else()x x f 2← If End()x f intPr根据以上算法，可求得()()12f f -+= ▲6．如图，点P 是单位圆上的一个顶点，它从初始位置0P 开始沿单位圆按逆时针方向运动角α（02πα<<）到达点1P ，然后继续34 2 俯视图主视图左视图P A BCDEF 沿单位圆逆时针方向运动3π到达点2P ，若点2P 的横坐标为45-，则cos α的值等于 ▲7．一个三棱锥的三视图是三个直角三角形，如图所示，则该三棱锥的外接球的表面积为▲ ．8．已知平面上不共线的四点O,A,B,C 。

江苏扬州市2020高三数学调研测试卷含参考答案(word版)

江苏扬州市 2020 高三数学调研测试卷含参考答案班级：高三( )班姓名：成绩：2020.3一、填空题：本大题共 14 个小题，每小题 5 分，共 70 分. 请把答案写在答题卡相应位置上.1. 函数 y sin(2x  ) 的最小正周期为．3【答案】2. 函数 f (x) x2 2(a 3)x 1 在区间 (, 3) 上单调递减，则实数 a 的取值范围是.【答案】{a|a≤6}3. 已知焦点在 x 轴上的双曲线的渐近线方程为 3x 4 y 0 ，则双曲线的离心率为.【答案】 544. 已知函数 f (x) xex ax （其中 e 为自然对数的底数）为偶函数，则实数 a 的值为．ex【答案】1 5. 在 ABC中，点D，E分别在边AB，BC上，且ADDB，BE2EC，记ABa，ACb，若  DE xa yb ，则 x y 的值为．【答案】 12 【解析】因为ADDB，BE2EC  ，所以 DB 1 AB ， BE 2BC 2 (AC AB)   ，且 AB a, AC b .所以   DE DB BE 1 a 2 (b a)1 a 2 b2 ，又  DE xa3  yb .32363所以根据平面向量基本定理得， x 1 , y 2 ，所以 x y 1 ．6326. 已知各项均为正数的等比数列{an } 满足 a3 4 ， S3 7 ，则 a2 的值为．【答案】2【解析】设等比数列{a } 的公比为 q ，由题可得 4 4 4 7 ，即 3q2 4q 4 0 ，nq2 q解之得 q 2 (舍)或 q 2 ，所以 a a3 2 .3 7. 已知 x ， y 为正数，且12q 4 1 ，则 x y 的最小值为．【答案】72 x y【解析】因为 1 4 1 ，则x y 2 x y 2 [(2 x) y]( 1 4) 2 3  y 4(2 x) 34 7 ．2 x y2 x y2 x y8. 函数 f (x) Asin(x )(A 0 ，0) 的部分图象如图所示．若函数 y  f (x) 在区间[m ， n] 上的值域为[ 2, 2]，则 n m 的最小值是．【答案】3【解析】函数 f (x) Asin(x )(A 0 ， 0) 的部分示．T 28 ，解得，当 x 2 时， A 2 ，所以 sin(图象如图所 ) 1 ，解42得2k(k Z ) ，当 k 0 时0 ．由于函数 y  f (x) 2sin( x) 在区间[m ， n] 上的值域为[ 2, 2]， 4所以当 n 2 时取得最大值，当 x 1 时，函数取得最小值，则 n m 的最小值为 2 (1) 3 ．1/69. 已知函数 f (x) x x 3x ，若 f (a)  f (a 2 2) 0 ，则实数 a 的取值范围为.【答案】 (2,1)x2  3x, x  0, 【解析】函数 f (x) x x 3x x2  3x, x  0. 则 f (x) f (x) ，即函数 f (x) 为奇函数，且在 R 上单调递增，若 f (a)  f (a 2 2) 0 ，则 f (a2 2) f (a)  f (a) ，所以 a2 2 a ，解得： 2 a 1 .10. 已知 A, B 为平面内的两点， AB 2 ， M 是 AB 的中点，点 P 在该平面内运动，且满足 PA  3PB ，则PM 的最大值为．【答案】 2  3 【解答】以 AB 所在直线为 x 轴， AB 的中点 M 为原点建立平面直角坐标系，令 A(1,0) ， B(1,0) .设 P(x, y) ，由 PA  3PB 列方程并整理得， (x 2)2 y2 3 ，故 P 点轨迹为以(2,0)为圆心， 3 为半径的圆，所以 PMmax 2  3 .11. 已知 1 2x 4x a 0 对一切 x (，1]上恒成立，则实数 a 的取值范围是．【答案】 (3 ， )4 【解析】1 2x 4x a 0 可化为 a 1 2x 22 x 2x ，令t2x，由x (，1]，得 t[ 1，4x )，则at 2t，t2t(t1)21在[ 1，)上递减，2 当 t 1 时， t2 t 取得最大值为 3 ，所以 a 3 ．2 4224412. 已知椭圆 x2 y2 1(a b 0) 的上顶点为 B ，若椭圆上离点 B 最远的点为椭圆的下顶点，则椭圆离心率的取值范围为a2 b2．【答案】 (0 ， 2 ] 2【解析】设点 P(x, y) 是椭圆上的任意一点，因为 x 2  y2 1 ，则 x2 a2 (1 y2 ) ，则|PB |2 x2( yb)2a2(1y2)(yb)2(1 aa2)2 y2b2 2bya2b2．b2b22b b2 b3所以关于 y 的二次函数的对称轴为 y  ．2(1 a2 ) c2因为椭圆上离点 Bb2 最远的点为椭圆的下顶点，所以 b3b ，即 b21 ，所以 2c2a2，解得 0e2．c2c22所以椭圆离心率的取值范围为 (0, 2 ]．2a b c 2,13. 已知 a,b, c R ，且满足 则 c 的取值范围为．a2 b2 c2 2,【答案】[0, 4]3【解析】 22 (a b c)2 a2 b2 c2 2ab 2ac 2bc 2 2(ab ac bc) ，所以 ab ac bc 1，即 ab c(a b) 1 ，又因为 a b 2 c ，所以 ab c(2 c) 1 ，即 ab 1 2c c2 ，故可将 a ， b 看成是关于 x 的方程 x2 (2 c)x (12c c2 ) 0 的两根，所以△ (2 c)2 4(1 2c c2 ) 3c2 4c 0 ，解得 0 c 4 ，所以 c 的取值范围为[0, 4] .332/614. 已知函数 f (x) x4 ,x2, 若关于 x 的方程 f (x) kx 有且仅有 1 个实根，则实数 k 的取值范围(x  1)3, 0  x  2,是．【答案】 (， 0] [1 ，1] 2【答案】画出函数 f (x) 和 y kx 的图象，如图，点 A(2,2) ， B(2,1) .k 1 ， k 1 . 由数形结合可得直线的斜率 k 满足 k 0 或者OB 2OA1 k 1时，函数 f (x) 的图象和直线 y kx 有 1 个交点.2所以实数 k 的取值范围是： (， 0] [1 ，1]． 2二、解答题：本大题共 6 小题，共 90 分. 请在答题卡制定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 设向量 a (sin x,3 cos x) ( x [0 ，]) ， b (1,1) ， c(1,1)．(1)若(ab)∥ c，求实数x 的值；(2) 若 a b 1 ，求 sin(x  ) 的值．2 6【答案】(1) 因为 (a b)∥c (sin x 1) ( 3 cos x 1) 0 ，所以 sin x  3 cos x 2 2( 1sin x 3cosx)2sin(x)1，又 x [0,] x [, 222 ] ，所以 x  5 3x  ．3 33326 (2) 因为 a b sin x 3 cos x  1 2(1 sin x 3 cos x) 1 ，所以sin(x2)1，所以sin(x2)2 2sin((x 2 ))2 cos(x2)．又x [034，] 且 sin(x2)16 0 x2(23,2) ，33433所以 cos(x 2 )  1 sin 2(x 2) 1 ( 1) 2 15 ，所以sin(x  ) 3344615 ． 4…7 分 …14 分16. 如图，在 ABC 中， B ， AB 3 ， AD 为边 BC 上的中线，记 BAD ，且 cos2 5 ．45(1) 求 AD 的长；(2) 求 sinC 的值．【答案】(1) 在 ABD 中， B ， AB 3 ， AD 为边 BC 上的中线.4因为 cos2 5 ，所以 sin51 cos2 2 1 ( 55 )25， 5在 △ABD 中， B ADB ，所以 ADB 3，43/6所以 sin ADB sin( 3) sin 3coscos 3sin4442 2 5 ( 252 2) 5 5310 10.在 △ABD 中，由正弦定理得AB sin ADBsBinDAD sin B，即33 10BD5AD2，3 5则 BD 35 103 5 53 101010 5 23 22 ， AD  2 3 2 10  5 .3 102 3 10…7 分1010(2) 由(1)知， BC 2BD 2 2 ，在 △ABC 中，由余弦定理得 AC2 AB2 BC2 2AB BC cosB ，所以 AC 2 32 (22)2 2 322cos 5，所以AC5，43 2在 △ABC中，由正弦定理得AB sin CsAinCB，所以 sin C AB sin B AC2 3 10 . 5 10…14 分17. 在平面直角坐标系 xOy 中，已知 ABC 的顶点坐标分别是 A(0,0) ， B(2,2) ， C(1, 3) ，记 ABC 外接圆为圆 M ．(1) 求圆 M 的方程；(2) 在圆 M 上是否存在点 P ，使得 PA2 PB2 4 ？若存在，求点 P 的个数；若不存在，说明理由．【答案】(1) 根据题意，设 ABC 外接圆圆 M 的方程为 x2 y2 Dx Ey F 0 ，F 0ABC 的顶点坐标分别是 A(0,0) ， B(2, 2) ， C(1,3)，则有 2D2E8 0，D  3E 4 0解得： D 4 ， E 0 ， F 0 ，则圆 M 的方程为 x2 y2 4x 0 .…7 分(2) 设 P 的坐标为 (x, y) .因为 PA2 PB2 4 ，所以 x2 y2 (x 2)2 (y 2)2 4 ；化简可得 x y 3 0 ，即 P 的轨迹为直线 x y 3 0 ；…11 分圆心 M 到直线 x y 3 0 的距离 d | 2 3 |  2 2 ， 1 1 2则直线 x y 3 0 与圆 M 相交，故满足条件的点 P 有 2 个．…14 分18. 如图，已知椭圆 E : x2  y2 1(a b 0) 的离心率为 3 ，过左焦点 F ( 3 ，0) 且斜率为 k 的直线交椭a2 b22圆 E 于 A ， B 两点，线段 AB 的中点为 M ，直线 l : x 4ky 0 交椭圆 E 于 C ， D 两点．(1) 求椭圆 E 的方程；(2) 求证：点 M 在直线 l 上； (3) 是否存在实数 k ，使得 SBDM 3SACM ？若存在，求出 k 的值．若不存在，说明理由．【答案】(1) 因为左焦点 F ( 3 ， 0) ，则 c  3 ，离心率为 3 ，则 c  3 ，即有 a 2 ， b 1 ，2a2则椭圆 E 的方程为 x2 y2 1 ； …4 分44/6(2) 证明：设 A( x1 ， y1) ， B( x2 ， y2 ) ， M ( x0 ， y0 ) 设直线 AB : y k(x  3) ，y  k(x  由 3) 消去 y ，得 (14k 2 )x2 83k 2 x 12k2 4 0 ，x2  4y2  4所以x1x28 3k 2 1 4k 2，x0x1 x2 24 3k 2 1 4k 2，y0k (x 03)  3k ， 1 4k 2因为 4 3k 2 4k  3k 0 ，所以点 M 在直线 l 上；1 4k 21 4k 2…10 分(3) 由(2)知点 A 到直线 CD 的距离与点 B 到直线 CD 的距离相等，因 BDM 的面积是 ACM 面积的 3 倍，所以 DM 3CM ，又| OD || OC | ，于是 M 是 OC 的中点，设点 C 的坐标为 ( x3 ， y3 )则y0 y3，因为x 4ky22，解得 y23 1， 22x 4y 41 4k于是y324 y02，所以 1 1 4k24 (34kk22)，解得12k1，所以k82． 4…16 分19. 已知函数 f (x) 2x3 ax2 1(a R)．(1) 若 a 3 ，求函数 f (x) 的单调区间；(2) 当 a 0 时，若函数 f (x) 在[1 ，1]上的最大值和最小值的和为 1，求实数 a 的值．【答案】(1) 因为 f (x) 2 x3 ax2 1 ，所以由 f (x) 6x2 2ax 2x(3x a) 0 ，得 x 0 ， x a ，123当 a 3 时，由 f (x) 0 得 x 0 或 x 1，即函数 f (x) 在 (, 0) 和 (1,) 上单调递增，由 f (x) 0 得 0 x 1，即函数 f (x) 在 (0,1) 上单调递减，所以函数 f (x) 的单调递增区间为 (, 0) ， (1,) ，单调递减区间为 (0,1) .…4 分(2) 当 a 0 时，函数 f (x) 在 (, 0) ， (a , ) 上单调递增，在 (0, a) 上单调递减，33aa3此时函数 f (x) 有两个极值点，极大值为 f (0) 1，极小值为 f ( ) 1  ，327且 f (1) a 1 ， f (1) 3 a .…6 分①若a1 ，即 a 3 时，f (x) max f (0) 1 ，此时f (1)  f (1) ，所以f (x) minf (1) a 1，3由 f (x)max f (x)min 1 可得 1 (a 1) 1 ，即 a 1，不符合题意，舍去.10 分② 若 0 a 1 ，即 0 a 3 时，比较 f (1) 与 f (0) 的大小.31°若 f (1)  f (0) ，即 3 a 1 ，也即 0 a 2 时，此时 f (x)max  f (1) 3 a ，aa3又因为 f ( ) 1  0 ， f (1) a 1 0 ，所以 f (x)min  f (1) 1 a ，3271 由 f (x)max f (x)min 1 可得 (3 a) (1 a) 1 ，即 a  ，符合题意.213 分2° 若 f (1)  f (0) ，即 3 a 1 ，即 2 a 3 时，此时 f (x)max f (0) 1 .aa3又因为 f ( ) 1  0 ， f (1) a 1 0 ，所以 f (x)min  f (1) 1 a ，3275/6由 f (x)max f (x)min 1 可得 1 (1 a) 1 ，即 a 1 ，不符合题意. 综上所述，所求实数 a 的值为 1 ．2…16 分20. 已知常数 a 0 ，数列{a } 的前 n 项和为 S ， a 1 ，且 a Sn a(n 1) ．n(1) 求证：数列{an } 为等差数列；n1nn(2) 若 b 3n (1)n a ，且数列{b } 是单调递增数列，求实数 a 的取值范围；nnn(3) 若 a 1 ，数列{c } 满足： c  an ，对于任意给定的正整数 k ，是否存在 p ， q N* ，使2nnan 2019ck  cp  cq ？若存在，求 p ， q 的值（只要写出一组即可）；若不存在，说明理由．【解答】(1)因为 anSn a(n 1) ，所以 S n nanan(n 1) ， S n 1(n 1)an 1 a(n1)n ，2分n所以 an1  (n  1)an1  nan  2an ，化简得： an1  an  2a （常数），所以数列{an } 是以 1 为首项，公差为 2a 的等差数列；4分nn(2) 由(1)知 an 1 2a(n 1) ，又因为 bn 3 (1) an ， bn bn1 ，所以 n 3n(1)ann13n1(1) an1 ，所以nn(1) [1 (2n 1)a] 3 .① 当 n 是奇数时，因为 [1 (2n 1)a] 3n ，所以 a 3 n 1 ， n 1，3，5，7，n令 f (n) 3 1 ，所以 a  f (n)2n 13n 2 1 3n 1 4(4n 3)3n 4. 因为 f (n 2) f (n) 0 ，2n 1max2n 3 2n 1 (2n 1)(2n 3)所以 f (1)  f (3)  f (5)  f (n) ，且 f (1) 4 ，所以 a 4 ；7分② 当 n 是偶数时，因为 1 (2n 1)a 3n ，所以 a 3n 1 ， n 2 ，4，6，8，2n 1令 g(n)  3n 1 ，所以 a g(n)3n 2 1 3n 1 4(4n 3)3n 4，又因为 g (n 2) g (n) 0 ，2n 1min2n 3 2n 1 (2n 1)(2n 3)所以 g(2) g(4) g(6) g(n) ，且 g(2) 8 ，所以 a g(2) 8 .33综上可得：实数 a 的取值范围是 (4, 8) ． 310 分(3) 由(1)知， an n ，又因为 cn  n ， n 2019设对任意正整数 k ，都存在正整数 p ， q ，使 ck cp cq ，所以kk 2019 pp 2019qq 2019，所以pk(q 2019) q k，…12 分令 q k 1 ，则 p k (k 2020) （或 q 2k ， p 2k 2019)ck ck (k 2020) ck 1 （或 ck c2k 2019 c2k ) .…16 分6/6。

江苏省扬州中学2020届高三数学12月月考试题【含答案】

x2
xy 2y2
的最大值是．
14. 已知函数 f (x) cos2 x 的图象与直线 4kx 4 y k 0(k 0) 恰有三个公共点，这三个点的横坐
标从小到大分别为
x2 x1 x1, x2, x3 ，则 tan( x1 x3 )
________.
二、解答题（本大题共有 6 道题，满分 90 分）
（ 2）函数 f ( x) 在 (0, ] 内的所有零点．
17. 一个创业青年租用一块边长为 4 百米的等边田地如图养蜂、产蜜与
售蜜田地内拟修建笔直小路 MN， AP，其中 M， N分别为 AC，BC的中点，
点 P在 BC上规划在小路 MN与 AP的交点与 M、 N不重合处设立售蜜点，
图中阴影部分为蜂巢区，空白部分为蜂源植物生长区，
当 x ( ,0) 时， h '(x) 0， h( x) 单调递增；当 x (0,ln 1 ) 时， h'( x) 0 ， h(x) 单调递减；当时 2a
x (ln 1 , ) ， h '(x) 0 ， h( x) 单调递增 2a
又 h(0)
0 ， h(ln
1 )
h(0)
2a
1 0 ， h( )
a
要证明 h( x)
0 成立，即证
x1 ex
x2
1
0 ，也即证 ( x
1)[
1 ex
x 1] 0
由于 x
1
0 ，只需证
1 ex
x1 0
不妨令 m( x)
1 ex
1 x 1 ， m '(x) 1 ex
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由 1 x 0 ，得 m'(x) 0 且不恒为 0，所以 m( x) 在区间 [ 1,0] 上单调递减，

2019-2020学年江苏省扬州中学高一(上)第一次月考数学试卷(9月份)

2019-2020学年江苏省扬州中学高一（上）第一次月考数学试卷（9月份）试题数：20.满分：01.（填空题.5分）已知全集U={1.2.4.6.8}.集合A={2.6}.B={1.2.4}.则∁U （A∪B ）=___ ．2.（填空题.5分）已知集合A⊆C .其中C={x|1＜x ＜10.且x 是素数}.若A 含有两个元素.则这样的集合A 共有___ 个．3.（填空题.5分）函数 f (x )=11−x 2+√3−x 的定义域为___ ．4.（填空题.5分）函数f （x ）=3x 2+2（a-1）x-3在（-∞.1]上递减.则a 的取值范围是___ ．5.（填空题.5分）设函数 f (x )={3x(x ＜1)4−x 2(x ≥1).则f[f （2）]=___ ． 6.（填空题.5分）已知函数f （x ）= {x 2，x ＞12−x ，x ≤1 .那么f （f （-3））=___ 7.（填空题.5分）下列各组函数中.表示同一个函数的有___① y =x 2−1x−1 与y=x+1； ② y=x 与y=|x|；③ y=|x|与 y =√x 2 ； ④ y =√x 2−1 与y=x-1．8.（填空题.5分）已知函数g （x ）对任意的x∈R .有g （-x ）+g （x ）=x 2．设函数f （x ）=g （x ）- x 22 .且f （x ）在区间[0.+∞）上单调递增．若f （a ）+f （a-2）≤0.则实数a 的取值范围为___ ．9.（填空题.5分）已知一次函数f （x ）满足f （f （x ））=3x+2.则函数f （x ）的解析式为___ ．10.（填空题.5分）函数y=|x-2|+3的最小值是___ ．11.（填空题.5分）已知函数 f (x )={(12)x +34，x ≥2log 2x ，0＜x ＜2 若函数g （x ）=f （x ）-k 有两个不同的零点.则实数k 的取值范围是___ ．12.（填空题.5分）设f （x ）是定义在R 上的奇函数.且当x≥0时.f （x ）单调递减.若x 1+x 2＞0.则f （x 1）+f （x 2）___ 0．（填“＞”“＜”或“=”）13.（填空题.5分）已知函数 f (x )={√x +1(x ⩾2)f (x +3)(x ＜2).则f （1）+f （9）等于___ ． 14.（填空题.5分）若关于x 的不等式x 2-4x≥m 对任意x∈[0.1]恒成立.则实数m 的取值范围是___ ．15.（问答题.0分）已知集合A={x|x2-3x-10≤0}.B={x|m+1≤x≤2m-1}.若A∪B=A.求实数m的取值范围．16.（问答题.0分）若函数f（x）= √(a−2)x2+2(a−2)x+4的定义域为R.求实数a的取值范围．17.（问答题.0分）已知集合A={x|6＞1} .B={x|x2-2x-a2-2a＜0}．x−1（1）当a=4时.求A∩B；（2）若A∪B=B.求实数a的取值范围．18.（问答题.0分）2016年9月.第22届鲁台经贸洽谈会在潍坊鲁台会展中心举行.在会展期间某展销商销售一种商品.根据市场调查.每件商品售价x（元）与销量t（万元）之间的函数关系如图所示.又知供货价格与销量呈反比.比例系数为20．（注：每件产品利润=售价-供货价格）（1）求售价15元时的销量及此时的供货价格；（2）当销售价格为多少时总利润最大.并求出最大利润．.x∈R．19.（问答题.0分）已知函数f（x）= 2x+a2x+1（1）证明：当a＞1时.函数y=f（x）是减函数；（2）根据a的不同取值.讨论函数y=f（x）的奇偶性.并说明理由；（3）当a=2.且b＜c时.证明：对任意d∈[f（c）.f（b）].存在唯一的x0∈R.使得f（x0）=d.且x0∈[b.c]．20.（问答题.0分）已知函数f(x)=(12)x．（1）若存在x∈（0.+∞）.使af（x）-f（2x）＞1成立.求实数a的取值范围；（2）若a＞0.且当x∈[0.15]时.不等式f（x+1）⩾f[（2x+a）2]恒成立.求实数a的取值范围．2019-2020学年江苏省扬州中学高一（上）第一次月考数学试卷（9月份）参考答案与试题解析试题数：20.满分：01.（填空题.5分）已知全集U={1.2.4.6.8}.集合A={2.6}.B={1.2.4}.则∁U（A∪B）=___ ．【正确答案】：[1]{8}【解析】：由A与B.求出两集合的并集.根据全集U.求出并集的补集即可．【解答】：解：∵A={2.6}.B={1.2.4}.∴A∪B={1.2.4.6}.∵全集U={1.2.4.6.8}.∴∁U（A∪B）={8}.故答案为：{8}【点评】：此题考查了交、并、补集的混合运算.熟练掌握各自的定义是解本题的关键．2.（填空题.5分）已知集合A⊆C.其中C={x|1＜x＜10.且x是素数}.若A含有两个元素.则这样的集合A共有___ 个．【正确答案】：[1]6【解析】：首先求出C.再判断A集合的个数．【解答】：解：C={2.3.5.7}．A⊆C.因为A含有两个元素.所以A={2.3}.{2.5}.{2.7}.{3.5}.{3.7}.{5.7}.共6个．故答案为6．【点评】：本题考查集合的子集和个数.属于基础题．3.（填空题.5分）函数f(x)=1+√3−x的定义域为___ ．1−x2【正确答案】：[1]{x|x≤3且x≠±1}【解析】：根据函数成立的条件即可求函数的定义域．【解答】：解：要使函数有意义.则 {1−x 2≠03−x ≥0. 即 {x ≠±1x ≤3. 即函数的定义域为{x|x≤3且x≠±1}.故答案为：{x|x≤3且x≠±1}【点评】：本题主要考查函数的定义域的求解.要求熟练掌握常见函数成立的条件．4.（填空题.5分）函数f （x ）=3x 2+2（a-1）x-3在（-∞.1]上递减.则a 的取值范围是___ ．【正确答案】：[1]（-∞.-2]【解析】：根据二次函数的性质.得出 −a−13≥1.即可求解．【解答】：解：∵函数f （x ）=3x 2+2（a-1）x-3在（-∞.1]上递减.∴ −a−13 ≥1. 即a≤-2故答案为：（-∞.-2]【点评】：本题考查了二次函数的性质.解不等式.属于基础题.难度较小．5.（填空题.5分）设函数 f (x )={3x(x ＜1)4−x 2(x ≥1).则f[f （2）]=___ ．【正确答案】：[1]0【解析】：由已知中函数 f (x )={3x(x ＜1)4−x 2(x ≥1) .将x=2代入可得答案．【解答】：解：∵函数 f (x )={3x(x ＜1)4−x 2(x ≥1). 当x=2时.f （2）=0.∴f[f （2）]=f （0）=0.故答案为：0．【点评】：本题考查的知识点是函数求值.分段函数的应用.难度不大.属于基础题．6.（填空题.5分）已知函数f （x ）= {x 2，x ＞12−x ，x ≤1 .那么f （f （-3））=___【正确答案】：[1]25【解析】：根据题意.由函数的解析式求出f（-3）的值.即可得f（f（-3））=f（5）.计算可得答案．【解答】：解：根据题意.函数f（x）= {x2，x＞12−x，x≤1.则f（-3）=2-（-3）=5.则f（f（-3））=f（5）=（-5）2=25；故答案为：25【点评】：本题考查函数值的计算.涉及分段函数的解析式.属于基础题．7.（填空题.5分）下列各组函数中.表示同一个函数的有___① y=x2−1x−1与y=x+1；② y=x与y=|x|；③ y=|x|与y=√x2；④ y=√x2−1与y=x-1．【正确答案】：[1] ③【解析】：根据两个函数的定义域相同.对应关系也相同.即可判断它们是同一函数．【解答】：解：对于① .y= x 2−1x−1=x+1（x≠1）.与y=x+1（x∈R）的定义域不同.所以不是同一函数；对于② .y=x（x∈R）.与y=|x|（x∈R）的对应关系不同.所以不是同一函数；对于③ .y=|x|（x∈R）.与y= √x2 =|x|（x∈R）的定义域相同.对应关系也相同.所以是同一函数；对于④ .y= √x2 -1=|x|-1（x∈R）.与y=x-1（x∈R）的对应关系不同.所以不是同一函数．故答案为：③ ．【点评】：本题考查了判断两个函数是否为同一函数的应用问题.应判断它们的定义域是否相同.对应关系是否也相同.是基础题目．8.（填空题.5分）已知函数g（x）对任意的x∈R.有g（-x）+g（x）=x2．设函数f（x）=g（x）- x22.且f（x）在区间[0.+∞）上单调递增．若f（a）+f（a-2）≤0.则实数a的取值范围为___ ．【正确答案】：[1]（-∞.1]【解析】：判断f（x）的奇偶性和单调性.根据单调性求出a的范围．【解答】：解：由f（x）=g（x）- x 22得：f（-x）=g（-x）- x22.∴f（x）+f（-x）=g（x）+g（-x）-x2=0.∴f（x）在R上是奇函数.又f（x）在区间[0.+∞）上单调递增.∴f（x）在R上单调递增.∵f（a）+f（a-2）≤0.∴f（a）≤-f（a-2）=f（2-a）.∴a≤2-a.即a≤1．故答案为：（-∞.1]．【点评】：本题考查了函数奇偶性、单调性的判断与应用.属于中档题．9.（填空题.5分）已知一次函数f（x）满足f（f（x））=3x+2.则函数f（x）的解析式为___ ．【正确答案】：[1] f(x)=√3x+√3−1或f(x)=−√3x−√3−1【解析】：本题已知函数f（x）是一次函数.可以用待定系数法设出函数解析式.然后利用已知条件得到关于参数方程.解方程组得到本题结论．【解答】：解：∵函数f（x）是一次函数.∴设f（x）=ax+b.（a≠0）．∴f（f（x））=a（ax+b）+b=a2x+ab+b．∵f（f（x））=3x+2.∴ {a2=3ab+b=2.∴ {a=√3b=√3−1或{a=−√3b=−√3−1.∴ f(x)=√3x+√3−1或f(x)=−√3x−√3−1．故答案为：f(x)=√3x+√3−1或f(x)=−√3x−√3−1．【点评】：本题考查了解析式求法.方法是待定系数法.本题难度不大.属于基础题．10.（填空题.5分）函数y=|x-2|+3的最小值是___ ．【正确答案】：[1]3【解析】：根据绝对值的性质即可求出函数的最小值．【解答】：解：y=|x-2|+3≥3.当x=2时.取得等号．故函数y=|x-2|+3的最小值是3.故答案为：3【点评】：本题考查函数的最小值.以及绝对值函数的性质.属于基础题．11.（填空题.5分）已知函数f(x)={(12)x+34，x≥2log2x，0＜x＜2若函数g（x）=f（x）-k有两个不同的零点.则实数k的取值范围是___ ．【正确答案】：[1]（34.1）【解析】：由题意可得函数f（x）的图象与直线y=k有二个不同的交点.结合图象求出实数k 的取值范围．【解答】：解：由题意可得函数f（x）的图象与直线y=k有二个不同的交点.如图所示：故实数k的取值范围是（34.1）.故答案为：（34.1）．【点评】：本题主要考查函数的零点与方程的根的关系.体现了化归与转化、数形结合的数学思想.属于中档题．12.（填空题.5分）设f（x）是定义在R上的奇函数.且当x≥0时.f（x）单调递减.若x1+x2＞0.则f（x1）+f（x2）___ 0．（填“＞”“＜”或“=”）【正确答案】：[1]＜【解析】：根据题意.分析可得f（x）在R上单调减.又由x1+x2＞0.分析可得x1＞-x2.结合函数的奇偶性与单调性分析可得答案．【解答】：解：根据题意.因为f（x）是定义在R上的奇函数.且当x≥0时.f（x）单调递减.则f（x）在[0.+∞）上递减.故f（x）在R上单调减.当x1+x2＞0.则x1＞-x2.则有f（x1）＜f（-x2）.又由f（x）为奇函数.则有f（x1）＜-f（x2）.即f（x1）+f（x2）＜0. 故答案为：＜．【点评】：本题考查函数的奇偶性与单调的综合应用.13.（填空题.5分）已知函数f(x)={√x+1(x⩾2)f(x+3)(x＜2).则f（1）+f（9）等于___ ．【正确答案】：[1]7【解析】：依题意.根据分段函数的解析式计算即可．【解答】：解：因为f(x)={√x+1(x⩾2)，f(x+3)(x＜2)，所以f（1）+f（9）=f（4）+f（9）=3+4=7.故答案为：7．【点评】：本题考查分段函数函数值的求法.属于基础题．14.（填空题.5分）若关于x的不等式x2-4x≥m对任意x∈[0.1]恒成立.则实数m的取值范围是___ ．【正确答案】：[1]（-∞.-3]【解析】：构造函数f（x）.将不等式恒成立问题转化为求函数f（x）的最小值问题.求出二次函数的对称轴.判断出其单调性.求出f（x）的最小值.令最小值大于等于m即得到m的取值范围．【解答】：解：∵x2-4x≥m对任意x∈[0.1]恒成立令f（x）=x2-4x.x∈[0.1]∵f（x）的对称轴为x=2∴f（x）在[0.1]上单调递减∴当x=1时取到最小值为-3∴实数m的取值范围是（-∞.-3]故答案为（-∞.-3]【点评】：解决不等式恒成立问题常通过分离参数转化为求函数的最值问题；求二次函数的最值问题.常利用公式求出对称轴.据区间与对称轴的关系判断出其单调性.求出最值．15.（问答题.0分）已知集合A={x|x2-3x-10≤0}.B={x|m+1≤x≤2m-1}.若A∪B=A.求实数m的取值范围．【正确答案】：【解析】：分别解出集合A.B.根据A∪B=A .可得B⊆A .从而进行求解；【解答】：解：∵A∪B=A .∴B⊆A 又A={-2≤x≤5}.当B=∅时.由m+1＞2m-1.解得m ＜2.当B≠∅时.则 {m +1≤2m −1−2≤m +12m −1≤5解得2≤m≤3.综上所述.实数m 的取值范围（-∞.3]．【点评】：此题主要考查集合关系中的参数的取值问题.还考查子集的性质.此题是一道基础题；16.（问答题.0分）若函数f （x ）= √(a −2)x 2+2(a −2)x +4 的定义域为R.求实数a 的取值范围．【正确答案】：【解析】：由题意得（a-2）x 2+2（a-2）x+4≥0恒成立.对a 分类讨论后.由恒成立问题、一元二次函数的图象与性质列出不等式.求出实数a 的取值范围．【解答】：解：由题意得.（a-2）x 2+2（a-2）x+4≥0恒成立.当a-2=0.即a=2时.则4≥0恒成立；当a-2≠0.即a≠2时.则 {a −2＞0△=4(a −2)2−4(a −2)×4≤0.解得2＜a≤6. 综上可得.实数a 的取值范围是[2.6]．【点评】：本题考查函数的定义域.一元二次函数的图象与性质.以及恒成立问题.考查转化思想、分类讨论思想．17.（问答题.0分）已知集合A={x|6＞1} .B={x|x2-2x-a2-2a＜0}．x−1（1）当a=4时.求A∩B；（2）若A∪B=B.求实数a的取值范围．【正确答案】：【解析】：（1）求出A中不等式的解集确定出A.把a=4代入B中求出解集确定出B.找出两集合的交集即可；（2）由A与B的并集为B.得到A为B的子集.分三种情况考虑. ① 当a=-1时；② 当a+2＞-a时；③ 当a+2＜-a时.分别求出a的范围即可．【解答】：解：（1）由题意得：A={x|1＜x＜7}.当a=4时.B={x|-4＜x＜6}.∴A∩B={x|1＜x＜6}；（2）B={x|（x+a）（x-a-2）＜0}.① 当a=-1时.可得B=∅.显然A⊆B不成立；② 当a+2＞-a.即a＞-1时.B={x|-a＜x＜a+2}.∵A⊆B.∴ {−a≤1.a+2≥7解得：a≥5；③ 当a+2＜-a.即a＜-1时.B={x|a+2＜x＜-a}..∵A⊆B.∴ {a+2≤1−a≥7解得：a≤-7.综上.当A∪B=B时.实数a的取值范围是{a|a≤-7或a≥5}．【点评】：此题考查了并集及其运算.交集及其运算.熟练掌握各自的定义是解本题的关键．18.（问答题.0分）2016年9月.第22届鲁台经贸洽谈会在潍坊鲁台会展中心举行.在会展期间某展销商销售一种商品.根据市场调查.每件商品售价x（元）与销量t（万元）之间的函数关系如图所示.又知供货价格与销量呈反比.比例系数为20．（注：每件产品利润=售价-供货价格）（1）求售价15元时的销量及此时的供货价格；（2）当销售价格为多少时总利润最大.并求出最大利润．【正确答案】：【解析】：（1）每件商品售价x（元）与销量t（万件）之间的函数关系为t=20-x （0≤x≤20）.设价格为y.则y= 20t.即可求售价15元时的销量及此时的供货价格；（2）总利润L=（x- 20t ）t=xt-20=x（20-x）-20≤ (x+20−x2)2-20=80.可得结论．【解答】：解：（1）每件商品售价x（元）与销量t（万件）之间的函数关系为t=20-x （0≤x≤20）.设价格为y.则y= 20t.x=15时.t=5万件.y=4万元；（2）总利润L=（x- 20t ）t=xt-20=x（20-x）-20≤ (x+20−x2)2-20=80.当且仅当x=10元时总利润最大.最大利润80万元．【点评】：此题考查了一次函数与二次函数的知识.考查学生利用数学知识解决实际问题的能力.属于中档题．19.（问答题.0分）已知函数f（x）= 2x+a2x+1.x∈R．（1）证明：当a＞1时.函数y=f（x）是减函数；（2）根据a的不同取值.讨论函数y=f（x）的奇偶性.并说明理由；（3）当a=2.且b＜c时.证明：对任意d∈[f（c）.f（b）].存在唯一的x0∈R.使得f（x0）=d.且x0∈[b.c]．【正确答案】：【解析】：（1）设x 1＜x 2.计算f （x 1）-f （x 2）.判断f （x 1）-f （x 2）的符号得出结论；（2）令f （-x ）=f （x ）和f （-x ）=-f （x ）分别求出a 的值得出结论；（3）利用反证法得出结论．【解答】：（1）证明：任取x 1.x 2∈R .设x 1＜x 2.则f （x 1）-f （x 2）= (a−1)(2x 2−2x 1)(2x 1+1)(2x 2+1) .∵x 1＜x 2.∴ 2x 1 ＜ 2x 2 .又a ＞1.∴f （x 1）-f （x 2）＞0.即f （x 1）＞f （x 2）．所以当a ＞1时.函数y=f （x ）是减函数．（2）解：当a=1时.f （x ）=1.所以f （-x ）=f （x ）=1.所以函数y=f （x ）是偶函数. 当a=-1时.f （x ）= 2x −12x +1 .f （-x ）= 2−x −12−x +1 = 1−2x1+2x =-f （x ）.所以函数y=f （x ）是奇函数．当a≠1且a≠-1时.f （1）= a+23 .f （-1）= 2a+13 . ∴f （-1）≠f （1）且f （-1）≠-f （1）.所以函数y=f （x ）是非奇非偶函数．（3）证明：由（1）知.当a=2时.函数y=f （x ）是减函数.所以函数f （x ）在[b.c]上的值域为[f （c ）.f （b ）].因为d∈[f （c ）.f （b ）].所以存在x 0∈R .使得f （x 0）=d ．假设存在x 1∈R .x 1≠0使得f （x 1）=d.若x 1＞x 0.由f （x ）的单调性可得f （x 1）＜f （x 0）.若x 1＜x 0.则f （x 1）＞f （x 0）.与f （x 1）=f （x 0）=d 矛盾.故x 0是唯一的．假设x 0∉[b.c].即x 0＜b 或x 0＞c.由单调性可得f （x 0）＞f （b ）或f （x 0）＜f （c ）.所以d∉[f （c ）.f （b ）].与d∈[f （c ）.f （b ）]矛盾.故x 0∈[b .c]．【点评】：本题考查了函数单调性的判断与证明.函数奇偶性的判断.属于中档题．20.（问答题.0分）已知函数 f (x )=(12)x ．（1）若存在x∈（0.+∞）.使af （x ）-f （2x ）＞1成立.求实数a 的取值范围；（2）若a ＞0.且当x∈[0.15]时.不等式f （x+1）⩾f[（2x+a ）2]恒成立.求实数a 的取值范围．【正确答案】：【解析】：（1）当x∈（0.+∞）. af(x)−f(2x)＞1⟺a＞2x+12x．令2x=t（t＞1）.利用函数的单调性求解函数的最小值.推出实数a的取值范围；（2）转化构造函数ℎ(u)=u−2(u2−1)=−2(u−14)2+178.利用二次函数的性质.求解最大值.然后求解结果即可．【解答】：解：（1）当x∈（0.+∞）. af(x)−f(2x)＞1⟺a＞2x+12x．令2x=t（t＞1）.考虑函数g(t)=t+1t．∵g（t）在（1.+∞）上是增函数.∴g（t）的值域为（2.+∞）．∵存在x∈（0.+∞）.使af（x）-f（2x）＞1成立.∴a＞2.∴实数a的取值范围为（2.+∞）；（2）当x∈[0.15]时. f(x+1)⩾f[(2x+a)2]⟺a⩾√x+1−2x．令√x+1=u(1⩽u⩽4) .考虑函数ℎ(u)=u−2(u2−1)=−2(u−14)2+178.∵h（u）在[1.4]上是减函数.∴h（u）max=h（1）=1．∵当x∈[0.15]时.不等式f（x+1）⩾f[（2x+a）2]恒成立.∴a⩾1．∴实数a的取值范围为[1.+∞）．【点评】：本题主要考查不等式的恒成立问题.复合函数的单调性以及函数与方程的综合运用.对考生的综合能力要求较高.属于难题．。

江苏省扬州中学2020届高三下学期数学第一次月考试卷

江苏省【最新】高三9月月考数学试卷(附答案)

江苏省高三9月月考数学试卷参考公式样本数据x 1，x 2，…，x n 的方差s 2＝1n i ＝1∑n (x i －－x )2，其中－x ＝1n i ＝1∑nx i ．锥体的体积公式：V ＝13Sh ，其中S 为锥体的底面积，h 为锥体的高．一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分．不需要写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上）1. 已知集合{}3,2,1=A ，{}5,4,2=B ，则集合B A Y 中元素的个数为 ▲ . 2. 若复数z 满足z (1＋i)＝2i(i 为虚数单位)，则|z |＝ ▲ . 3. 命题“024,02>+->∃x x x ”的否定是 ▲ .4. 已知一组数据4，6，5，8，7，6，那么这组数据的方差为 ▲ .5. 袋中有形状、大小都相同的4只球，其中1只白球，1只红球，2只黄球，从中一次随机摸出2只球，则这2只球颜色不同的概率为 ▲ .6．如图，它是一个算法的流程图，最后输出的k 值为 ▲.A sin(ωx7. 如右f (x )＝（第7题图）注意事项考生在答题前认真阅读本注意事项及各题答题要求1.本试卷共4页，均为非选择题(第1题～第20题，共20题)。

本试卷满分160分，考试时间为120分钟。

考试结束后，请将本试卷和答题纸一并交回。

2.答题前，请您务必将自己的姓名、考试号用的0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题纸上的规定位置。

3.作答试题，必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔在答题纸上的指定位置作答，在其它位置作答一律无效。

＋ϕ)(A ＞0，ω＞0，ϕ∈[0，2π) )图象的一部分，则f (0)的值为 ▲ .8. 对于直线l ，m ，平面α，m ⊂α，则“l ⊥m ”是“l ⊥α”成立的 ▲ 条件．（在“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分又不必要”中选填一个）．9. 已知一个圆柱的侧面展开图是边长为2的正方形，则该圆柱的体积为 ▲ .10. 已知函数f (x )＝13x 3＋x 2－2ax ＋1，若函数f (x )在(1，2)上有极值，则实数a 的取值范围为 ▲ .11. 已知平行四边形ABCD 中，AD ＝2，∠BAD ＝60°．若E 为DC 中点，且1AE BD ⋅=u u u r u u u r ，则BD BE⋅u u u r u u u r的值为 ▲ .12．设a 为实常数，=y f x （）是定义在R 上的奇函数，且当0x <时，2()97a f x x x=++．若()1f x a ≥+对一切0x ≥成立，则a 的取值范围是 ▲ .13．已知函数[](]3,0,1()93,1,322x x f x x x ⎧∈⎪=⎨-∈⎪⎩，当[]0,1t ∈时，[](())0,1f f t ∈，则实数t 的取值范围是 ▲ .14. 已知函数()()2,f x x ax b a b R =++∈与x 轴相切,若直线y c =与5y c =+分别交()f x 的图象于,,,A B C D 四点,且四边形ABCD 的面积为25,则正实数c 的值为 ▲ . 二、解答题（本大题共6小题，共90分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内） 15.（本小题满分14分）已知(sin ,cos )a θθ=r ,3,1)b =r.(1)若//a b r r,求tan θ的值；(2)若()f a b θ=+r r, ABC ∆的三个内角,,A B C 对应的三条边分别为a 、b 、c ,且(0)a f =,()6b f π=-,()3c f π=,求AB AC ⋅u u u r u u u r.16（本小题满分14分）如图，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 为平行四边形，E 为侧棱P A 的中点．（1）求证：PC // 平面BDE ；（2）若PC ⊥P A ，PD ＝AD ，求证：平面BDE ⊥平面P AB ．17. （本小题满分14分）设a R ∈，()()2cos sin cos cos 2f x x a x x x π⎛⎫=-+-⎪⎝⎭满足()03f f π⎛⎫-= ⎪⎝⎭， (Ⅰ)求函数)(x f 的单调递增区间；（Ⅱ）设ABC ∆三内角C B A ,,所对边分别为c b a ,,且ca cc b a b c a -=-+-+2222222，求)(x f 在(]B ,0上的值域．18. （本小题满分16分）已知二次函数2()(,0)f x ax bx a b a =+≠为常数且满足条件(3)(5)f x f x -=-，且方程()f x x =有等根.（1）求()f x 得解析式；（2）是否存在实数,()m n m n <，使()f x 得定义域和值域分别为[],m n 和[]3,3m n ？如果存在，求出,m n 的值；如果不存在，请说明理由.19. （本小题满分16分）某地开发了一个旅游景点，第1年的游客约为100万人，第2年的游客约为120万人. 某数P ABCDE（第16题图）学兴趣小组综合各种因素预测：①该景点每年的游客人数会逐年增加；②该景点每年的游客都达不到130万人. 该兴趣小组想找一个函数()y f x =来拟合该景点对外开放的第x (1)x ≥年与当年的游客人数y （单位：万人）之间的关系.（1）根据上述两点预测，请用数学语言描述．．．．．．．函数()y f x =所具有的性质；（2）若()f x =mn x+，试确定,m n 的值，并考察该函数是否符合上述两点预测；（3）若()f x =(0,1)xa b c b b ⋅+>≠，欲使得该函数符合上述两点预测，试确定b 的取值范围．20. （本小题满分16分）已知函数2()ln (01)xf x a x x a a a =+->≠且． (1)求函数()f x 在点(0,(0))f 处的切线方程； (2)求函数()f x 的单调区间；(3)若存在[]12,1,1x x ∈-，使得12()()1f x f x e -≥- (e 是自然对数的底数)，求实数a 的取值范围．数学参考答案及评分标准说明：1．本解答给出的解法供参考．如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 4．只给整数分数，填空题不给中间分数．一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．1. 52. 23. 20,420x x x ∀>-+≤ 4.53 5. 566. 57. 3228. 必要不充分 9. 2π10. (32，4) 11. 3 12. 87a ≤- 13. [37log ,13] 14.4二、解答题：本大题共6小题，共90分．15. 解:(1)//,sin 0a b θθ∴=r rQ …………………3分sin tan θθθ∴=⇒= …………………6分(2)(sin 1)a b θθ+=++r rQa b ∴+=r r== …………………8分(0)a f ∴===…………………9分()6b f π∴=-== …………………10分()33c f π∴=== …………………11分由余弦定理可知:222cos 2b c a A bc +-== …………………12分7cos cos 2AB AC AB AC A bc A ∴⋅===u u u r u u u r u u u r u u u r (其它方法酌情给分) ……………14分16．证明：（1）连结AC ，交BD 于O ，连结OE ．因为ABCD 是平行四边形，所以OA ＝OC ． ……………2分因为 E 为侧棱PA 的中点，所以OE ∥PC ． ………4分因为PC /⊂平面BDE ，OE ⊂平面BDE ，所以PC // 平面BDE ． ………6分（2）因为E 为PA 中点，PD ＝AD ，所以PA ⊥DE ．…8分因为PC ⊥P A ，OE ∥PC ，所以P A ⊥OE ．因为OE ⊂平面BDE ，DE ⊂平面BDE ，OE ∩DE ＝E ，所以P A ⊥平面BDE ． …………………12分因为P A ⊂平面P AB ，所以平面BDE ⊥平面P AB ． …………………14分 17. 解：(Ⅰ)22()sin cos cos sin f x a x x x x =-+sin 2cos 2.2ax x =- 由31()(0)1,2 3.322a f f a π-=-⋅+=-=得解得 …………………3分因此()3sin 2cos 22sin(2).6f x x x x π=-=-令Z k k x k ∈+≤-≤+-,226222πππππ得Z k k x k ∈+≤≤+-,36ππππ故函数)(x f 的单调递增区间)(3,6Z k k k ∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡++-ππππ …………………7分（Ⅱ）由余弦定理知：c a cC b B c C ab B ac cb a bc a -===-+-+2cos cos cos 2cos 2222222，即C b B c B a cos cos cos 2=-，又由正弦定理知：()A C B C B B C B A sin sin cos sin cos sin cos sin 2=+=+=，即21cos =B ,所以3π=B …………………10分当⎥⎦⎤⎝⎛∈3,0πx 时，⎥⎦⎤ ⎝⎛-∈-2,662πππx ，()(]2,1-∈x f ，故)(x f 在(]B ,0上的值域为(]2,1- …………………14分18.解：（1）由(3)(5)f x f x -=-可知，函数()f x 图像的对称轴为1,12bx a=-=即○1 又方程()f x x =有等根,即2(1)0ax b x +-=有等根.PABCDEO10, b=1b ∴-=故,代入○1可得12a =-.21()2f x x x ∴=-+. ………………… ………6分(2)221111()(1)2222f x x x x =-+=--+≤Q ,113. 1.26n m n ∴≤∴<≤<∴函数存在实数,()m n m n <,使()f x 得定义域和值域分别为[],m n 和[]3,3m n ,则有()3,()3,f m m f n n =⎧⎨=⎩即,m n 是方程()3f x x =的两根,且16m n <≤. ……… ………10分由()3f x x =得124,0,4,0.x x m n =-=∴=-=∴存在这样的实数,m n ,4,0.m n =-= …………………………16分19.解：（1）预测①：()f x 在[)1,+∞上单调递增；预测②：()130f x <对[)1,x ∈+∞恒成立； …………………3分（2）将（1，100）、（2，120）代入到m y n x =+中，得1001202m nmn =+⎧⎪⎨=+⎪⎩，解得40140m n =-⎧⎨=⎩. 因为40()140,f x x =-+所以240()0f x x'=>，故()f x 在[)1,+∞上单调递增，符合预测①；又当4x ≥时，40()140130,f x x=-+≥所以此时()f x 不符合预测②. …………………8分（3）由2100120ab c ab c =+⎧⎨=+⎩，解得20(1)201001a b b c b ⎧=⎪-⎪⎨⎪=-⎪-⎩.因为()ln ,xf x a b b '=⋅⋅要想符合预测①，则()0,f x '>即ln 0a b ⋅>，从而01a b >⎧⎨>⎩或001a b <⎧⎨<<⎩. …………………10分（i ）当1b >时，200(1)a b b =>-，此时符合预测①，但由()130f x ≥，解得23log 22b b x b ⎛⎫- ⎪⎝⎭≥，即当23log 22b b x b ⎛⎫- ⎪⎝⎭≥时，()130f x ≥，所以此时()f x 不符合预测②； …………………12分（ii ）当2001,0(1)b a b b <<=<-，此时符合预测①，又由1,x ≥知(]0,x b b ∈，所以[),0x a b ab ⋅∈；从而[)(),.f x ab c c ∈+欲()f x 也符合预测②，则130c ≤，即20100130,1b --≤又01b <<，解得103b <≤.综上所述，b的取值范围是10,3⎛⎤⎥⎝⎦…………………16分 20.[解] (1)∵函数f (x )＝a x ＋x 2－x ln a (a >0，且a ≠1)，∴f ′(x )＝a x ln a ＋2x －ln a ， ∴f ′(0)＝0.又f (0)＝1，∴函数f (x )在点(0，f (0))处的切线方程为y ＝1. …………………………4分(2)由(1)知，f ′(x )＝a x ln a ＋2x －ln a ＝2x ＋(a x －1)ln a .∵当a >0，且a ≠1时，总有f ′(x )在R 上是增函数．又f ′(0)＝0，∴不等式f ′(x )>0的解集为(0，＋∞)，故函数f (x )的单调增区间为(0，＋∞)，单调减区间为(－∞，0)．………………………10分(3)∵存在x 1，x 2∈[－1,1]，使得|f (x 1)－f (x 2)|≥e －1成立，当x ∈[－1,1]时，|f (x 1)－f (x 2)|≤f (x )max －f (x )min ， ∴只要f (x )max －f (x )min ≥e －1即可．又当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表所示∴f (x )在[－1,0]∴当x ∈[－1,1]时，f (x )的最小值f (x )min ＝f (0)＝1，f (x )的最大值f (x )max 为f (－1)和f (1)中的最大值． …………………………12分∵f (1)－f (－1)＝(a ＋1－ln a )－⎝⎛⎭⎫1a ＋1＋ln a ＝a －1a －2ln a ，令g (a )＝a －1a －2ln a (a >0)，而g ′(a )＝1＋1a 2－2a ＝⎝⎛⎭⎫1－1a 2≥0，∴g (a )＝a －1a －2ln a 在(0，＋∞)上是增函数， …………………………13分又g (1)＝0，∴当a >1时，g (a )>0，即f (1)>f (－1)；当0<a <1时，g (a )<0，即f (1)<f (－1)．∴当a >1时，f (1)－f (0)≥e －1，即a －ln a ≥e －1，又函数y ＝a －ln a 在(1，＋∞)上是增函数， …………………………14分 ∴解得a ≥e ；当0<a <1时，f (－1)－f (0)≥e －1，即1a ＋ln a ≥e －1，又函数y ＝1a ＋ln a 在(0,1)上是减函数，∴解得0<a ≤1e.综上可知，实数a 的取值范围为⎝⎛⎦⎤0，1e ∪[e ，＋∞)． …………………………16分。

2020年江苏省镇江市扬中实验中学高三数学理月考试题含解析

2020年江苏省镇江市扬中实验中学高三数学理月考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 甲、乙两名运动员在某项测试中的6次成绩的茎叶图如图2所示，，分别表示甲乙两名运动员这项测试成绩的平均数，分别表示甲乙两名运动员这项测试成绩的标准差，则有A． B．C． D．参考答案：D由样本中数据可知，，由茎叶图得，所以选D.2. “”是“直线：与直线：平行”的（A）充分不必要条件（B）必要不充分条件（C）充要条件（D）既不充分也不必要条件参考答案：A3. 设P为等边△ABC所在平面内的一点，满足，若AB=1，则的值为（）A．4 B．3 C．2 D．1参考答案：B考点：向量在几何中的应用．专题：计算题．分析：先利用三角形法则把所求问题用已知条件表示出来，整理为用三角形边长和角度表示的等式，再代入已知条件即可求出结论．解答：解：因为?=（+）?（+）=+?（+）+?=（+2）?（+2）﹣（+2）?（+）+?=2+2=2×12+2×1×1×=3．故选 B．点评：本题主要考查向量在几何中的应用中的三角形法则．在解决向量问题中，三角形法则和平行四边形法则是很常用的转化方法．4. 设集合，，则（）A．B．C．D．参考答案：5. 已知双曲线的一条渐近线平行于直线双曲线的一个焦点在直线上，则双曲线的方程为（）A. B. C. D.参考答案：A∵,∴,,,∴.6. 点所在平面区域的面积是A． 1 B． 2 C． 4 D．8参考答案：C设，则即据题意，有即如图，故选C．7. 曲线y=2sin x+cos x在点(π，–1)处的切线方程为A．B．C．D．参考答案：C因为，所以曲线在点处的切线斜率为，故曲线在点处的切线方程为.8. 在边长为2的正方体内部随机取一点，则该点到正方体8个顶点得距离都不小于1得概率为（）A．B．C．D．1﹣参考答案：D【考点】几何概型．【分析】根据题意，求出满足条件的点P所组成的几何图形的体积是多少，再将求得的体积与整个正方体的体积求比值即可．【解答】解：符合条件的点P落在棱长为2的正方体内，且以正方体的每一个顶点为球心，半径为1的球体外；根据几何概型的概率计算公式得，P==1﹣．故选：D．9. 复数Z=（i为虚数单位）在复平面内对应点的坐标是（）A．（1，3）B．（﹣1，3）C．（3，﹣1）D．（2，4）参考答案：A【考点】复数的代数表示法及其几何意义．【专题】数系的扩充和复数．【分析】利用复数的运算法则、几何意义即可得出．【解答】解：复数Z===（1+2i）（1﹣i）=3+i在复平面内对应点的坐标是（3，1）．故选：A．【点评】本题考查了复数的运算法则、几何意义，属于基础题．10. 已知，则=（）A．B．C．D．参考答案：D【考点】GH：同角三角函数基本关系的运用．【分析】把已知等式化弦为切，求出tanα，然后展开两角和的正切得答案．【解答】解：∵，∴，解得tanα=﹣5，∴=．故选：D．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 若，则的值为参考答案：12. 已知抛物线y2=4x上一点M与该抛物线的焦点F的距离｜MF｜＝4，则点M的横坐标x=________.参考答案：313. 我国古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有人持金出五关，前关二而税一，次关三而税一，次关四而税一，次关五而税一，次关六而税一，并五关所税，适重一斤，问本持金几何”其意思为“今有人持金出五关，第1关收税金，第2关收税金为剩余金的，第3关收税金为剩余金的，第4关收税金为剩余金的，第5关收税金为剩余金的，5关所收税金之和，恰好重1斤，问原来持金多少？”若将题中“5关所收税金之和，恰好重1斤，问原来持金多少？”改成假设这个原来持金为x，按此规律通过第8关，则第8关需收税金为x．参考答案：【考点】数列的应用．【分析】第1关收税金： x；第2关收税金：（1﹣）x=x；第3关收税金：（1﹣﹣）x=x；…，可得第8关收税金．【解答】解：第1关收税金： x；第2关收税金：（1﹣）x=x；第3关收税金：（1﹣﹣）x=x；…，可得第8关收税金： x，即x．故答案为：．14. △ABC外接圆半径为，内角A，B，C对应的边分别为a，b，c，若A=60°，b=2，则c的值为．参考答案：【考点】余弦定理．【专题】计算题；转化思想；分析法；解三角形．【分析】由已知及正弦定理可解得a，利用余弦定理可得：c2﹣2c﹣5=0，解方程即可得解．【解答】解：∵△ABC外接圆半径为，内角A，B，C对应的边分别为a，b，c，若A=60°，b=2，∴由正弦定理可得：，解得：a=3，∴利用余弦定理：a2=b2+c2﹣2bccosA，可得：9=4+c2﹣2c，即c2﹣2c﹣5=0，∴解得：c=1+，或1﹣（舍去）．故答案为：．【点评】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，在解三角形中的综合应用，考查了转化思想和计算能力，属于基础题．15. 已知△ABC中，，，，若线段BA的延长线上存在点D，使，则CD= ．参考答案：16. 定义：区间的长度为.已知函数定义域为，值域为，则区间的长度的最大值为▲ .参考答案：17. 甲、乙、丙、丁四名同学和一名老师站成一排合影留念．要求老师必须站在正中间，甲同学不与老师相邻，则不同站法种数为．参考答案：12考点：排列组合综合应用老师必须站在正中间,则老师的位置是指定的；甲同学不与老师相邻，则甲同学站两端，故不同站法种数为：三、解答题：本大题共5小题，共72分。

江苏省2020版高三上学期数学9月月考试卷D卷

江苏省2020版高三上学期数学9月月考试卷D卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共4题；共8分)1. （2分） (2018高一下·攀枝花期末) 实数满足，则下列不等式成立的是（）A .B .C .D .2. （2分）“a≥0”是“函数在区间（－∞，0）内单调递减”的（）A . 充要条件B . 必要不充分条件C . 充分不必要条件D . 即不充分也不必要条件3. （2分） (2019高一上·河南期中) 定义函数为不大于的最大整数，对于函数，有以下四个结论：① ；②在每一个区间 , 上, 都是增函数；③ ；④ 的定义域是 ,值域是 .其中正确的个数是（）A . 1B . 2C . 3D . 44. （2分） (2019高一上·平遥月考) 下列说法中，正确的有（）①函数y＝的定义域为{x|x≥1}；②函数y＝x2＋x＋1在(0，＋∞)上是增函数；③函数f(x)＝x3＋1(x∈R)，若f(a)＝2，则f(－a)＝－2；④已知f(x)是R上的增函数，若a＋b>0，则有f(a)＋f(b)>f(－a)＋f(－b)．A . 0个B . 1个C . 2个D . 3个二、填空题 (共12题；共12分)5. （1分）(2020·吴中模拟) 已知集合，，则 ________．6. （1分）(2018·长宁模拟) 不等式的解集为________.7. （1分）已知函数f（x）=ax3﹣2x的图象过点（﹣1，4）则a=________ ．8. （1分） (2015高一下·南阳开学考) （log3 ）2﹣3 +log0.25 +（）﹣4=________．9. （1分） (2016高二上·三原期中) 已知二次函数f（x）=ax2﹣x+c（x∈R）的值域为[0，+∞），则的最小值为________．10. （1分）(2019·杭州模拟) 已知定义在R上的函数f(x)= ，若存在实数a，使得对于任意实数x，都有|f(x)-a|<k成立，则实数k的最小值为________．11. （1分） (2019高一上·荆门期中) (e为自然对数的底数)，且，其中是奇函数，为偶函数，则 ________.12. （1分） (2019高三上·上海月考) 设函数，则使得成立的的取值范围是________．13. （1分）如图，直线AB⊥平面BCD，∠BCD=90°，则图中直角三角形的个数为________．14. （1分） (2019高三上·上海月考) 已知函数，设函数的最小值为，若不等式有解，则实数的取值范围为________.15. （1分） (2019高三上·成都月考) 已知函数，有下列说法：①函数对任意，都有成立；②函数在上单调递减；③函数在上有3个零点；④若函数的值域为，设是中所有有理数的集合，若简分数（其中，为互质的整数），定义函数，则在中根的个数为5；其中正确的序号是________（填写所有正确结论的番号）.16. （1分） (2018高一上·广东期末) 已知函数若存在实数使得函数的值域为，则实数的取值范围是________．三、解答题 (共5题；共60分)17. （10分）如图，平面ABCD⊥平面ADEF，其中ABCD为矩形，ADEF为梯形，AF∥DE，AF⊥FE，AF=AD=2，DE=1．（1）求异面直线EF与BC所成角的大小；（2）若二面角A﹣BF﹣D的平面角的余弦值为，求AB的长．18. （10分） (2020高三上·北京月考) 数字的任意一个排列记作，设为所有这样的排列构成的集合.集合任意整数都有，集合任意整数都有（1）用列举法表示集合；（2）求集合的元素个数；（3）记集合的元素个数为，证明：数列是等比数列.19. （10分） (2016高一上·徐州期中) 某厂生产某种产品x（百台），总成本为C（x）（万元），其中固定成本为2万元，每生产1百台，成本增加1万元，销售收入（万元），假定该产品产销平衡．（1）若要该厂不亏本，产量x应控制在什么范围内？（2）该厂年产多少台时，可使利润最大？（3）求该厂利润最大时产品的售价．20. （15分） (2019高一上·定远月考) f(x)是定义在R上的奇函数，对x，y∈R都有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，且当x>0时，f(x)<0，f(－1)＝2.（1）求证：f(x)为奇函数；（2）求证：f(x)是R上的减函数；（3）求f(x)在[－2，4]上的最值.21. （15分） (2019高一上·临澧月考) 已知函数，其中为常数，且 .（1）若，求函数的表达式；（2）在（1）的条件下，设函数，若在区间[-2,2]上是单调函数，求实数的取值范围；（3）是否存在实数使得函数在[-1,4]上的最大值是4？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.参考答案一、单选题 (共4题；共8分)答案：1-1、考点：解析：答案：2-1、考点：解析：答案：3-1、考点：解析：答案：4-1、考点：解析：二、填空题 (共12题；共12分)答案：5-1、考点：解析：答案：6-1、考点：解析：答案：7-1、考点：解析：答案：8-1、考点：解析：答案：9-1、考点：解析：答案：10-1、考点：解析：答案：11-1、考点：解析：答案：12-1、考点：解析：答案：13-1、考点：解析：答案：14-1、考点：解析：答案：15-1、考点：答案：16-1、考点：解析：三、解答题 (共5题；共60分)答案：17-1、答案：17-2、考点：解析：答案：18-1、答案：18-2、答案：18-3、考点：解析：答案：19-1、答案：19-2、答案：19-3、考点：解析：答案：20-1、答案：20-2、答案：20-3、考点：解析：答案：21-1、答案：21-2、答案：21-3、考点：解析：。

2020届高三数学9月月考试题(无答案)

2020届高三数学9月月考试题（无答案）一、填空题请把答案直接填写在答题卡相应位置上．1.集合，，则 .2.函数的定义域为 .3.在平面直角坐标系中，已知角终边过点，则.4.“”是“函数在上的奇函数”的条件.（从“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”中选一个填空）命题“在中，若，则”的否命题是命题.（选填“真”、“假”之一）已知扇形的周长为，圆心角为，则该扇形的面积为.已知，则 .已知定义在实数集上的偶函数在区间上是单调增函数，若，则的取值范围是 .已知曲线在点处的切线方程为，则 .已知函数的定义域为，当时，；当时，；当时，，则 .设，且，则的值为 .已知函数，若存在实数，满足，则的取值范围为 .已知是定义在上且周期为3的周期函数，当时，，若函数在上有3个互不相同的零点，则实数取值范围 .设函数，若对于任意的，都有，则实数的取值范围为 .解答题请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.（本小题满分14分）设命题:实数满足，其中；命题：实数满足.若，且为真命题，求实数的取值范围；若是的充分不必要条件，求实数的取值范围；16.（本小题满分14分）（1）已知，求及的值；（2）已知，且，求的值；2020届高三数学9月月考试题（无答案）一、填空题请把答案直接填写在答题卡相应位置上．1.集合，，则 .2.函数的定义域为 .3.在平面直角坐标系中，已知角终边过点，则 .4.“”是“函数在上的奇函数”的条件.（从“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”中选一个填空）命题“在中，若，则”的否命题是命题.（选填“真”、“假”之一）已知扇形的周长为，圆心角为，则该扇形的面积为.已知，则 .已知定义在实数集上的偶函数在区间上是单调增函数，若，则的取值范围是 .已知曲线在点处的切线方程为，则 .已知函数的定义域为，当时，；当时，；当时，，则 .设，且，则的值为 .已知函数，若存在实数，满足，则的取值范围为 .已知是定义在上且周期为3的周期函数，当时，，若函数在上有3个互不相同的零点，则实数取值范围 .设函数，若对于任意的，都有，则实数的取值范围为 .解答题请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.（本小题满分14分）设命题:实数满足，其中；命题：实数满足.若，且为真命题，求实数的取值范围；若是的充分不必要条件，求实数的取值范围；16.（本小题满分14分）（1）已知，求及的值；（2）已知，且，求的值；。

2020-2021学年江苏省扬州市某校高三(上)9月月考数学试卷有答案

2020-2021学年江苏省扬州市某校高三（上）9月月考数学试卷一、选择题1. 设集合 A ={x|y =2x }, B ={x|x3−x <0} 则∁A B =( )A.(−∞,0)∪(3,+∞)B.(−∞,0]∪[3,+∞)C. [0,3]D.[3,+∞)2. 已知复数(2+ai )(3+i )在复平面内对应的点在直线y =x 上，则实数a =( ) A.−2 B.−1 C.1 D.23. 若函数f(x)是定义在R 上的奇函数，f (14)=1，当x <0时，f(x)=log 2(−x)+m ，则实数m =( ) A.−1 B.0 C.1 D.24. 设x ∈R ，则“x 2−5x <0”是“|x −1|<1”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件5. 若点P 坐标为(cos 2020∘ ，tan 2020∘)，则点P 在( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限6. 函数f (x )=ln |x|+x 2x 3+sin x的图象大致为( )A.B.C.D.7. 某产品的广告费用x与销售额y的统计数据如下表：()A.回归直线ŷ=6.3x+â必经过样本点(2,19)，(6,44)B.这组数据的样本中心点(x¯,y¯)未必在回归直线ŷ=6.3x+â上C.回归系数6.3的含义是广告费用每增加1万元，销售额实际增加6.3万元D.据此模型预报广告费用为7万元时销售额为50.9万元8. 已知函数f(x)=−x2+a，g(x)=x2e x，若对任意的x2∈[−1，1]，存在唯一的x1∈[−12，2]，使得f(x1)=g(x2)，则实数a的取值范围是()A.(e,4]B.(e+14,4] C.(e+14,4) D.(14,4)二、多选题若a>0，b>0，且a+b=4，则下列不等式恒成立的是()A.0<1ab ≤14B.√ab<2C.1a+1b≥1 D.1a2+b2≤18下列判断正确的是()A.若随机变量ξ服从正态分布N(1, σ2)，P(ξ≤4)=0.79，则P(ξ≤−2)=0.21B.已知直线l⊥平面α，直线m // 平面β，则“α // β”是“l⊥m”的必要不充分条件C.若随机变量ξ服从二项分布：ξ∼B(4,14)，则E(ξ)=1D.am2>bm2是a>b的充分不必要条件如图是2018年10月—2019年10月中国钢铁同比增速及日均产量统计图，则下列陈述中正确的是()A.2019年6月同比增速最大B.2019年3月—5月同比增速平稳C.2019年8月钢材总产量比2019年9月钢材总产量低D.2019年10月钢材总产量约10264万吨设函数f(x)=x ln x，g(x)=f′(x)x，给定下列命题，其中是正确命题的是()A.不等式g(x)>0的解集为(1e,+∞)B.函数g(x)在(0,e)单调递增，在(e,+∞)单调递减C.若m≥1，则当x1>x2>0时，有m2(x12−x22)>f(x1)−f(x2)D.若函数F(x)=f(x)−ax2有两个极值点，则实数a∈(0,12)三、填空题函数f(x)=a ln xe x在点P(1,f(1))处的切线与直线2x+y−3=0垂直，则a=_________.如果(3x√x3)n的展开式中各项系数之和为4096，则展开式中x的系数为________.函数y=log a(x+4)+2(a>0，且a≠1)的图象恒过定点A，且点A在角θ的终边上，则sin2θ=________.一圆柱形封闭容器内有一个棱长为2的正四面体，若该正四面体可以绕其中心在容器内任意转动（正四面体顶点恰好触碰到容器内壁可视为可以转动），则容器体积的最小值为________.四、解答题在①A∩B=A，②A∩B=⌀，③B⊆∁R A，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的实数a存在，求a的取值范围；若不存在，说明理由.问题：已知集合A={x|x−ax+1<0,x∈R}，B={x|log2(1−x)≤1,x∈R}，是否存在实数a，使得________.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.设函数f(x)=a⋅2x−2−x(a∈R)．(1)若函数y=f(x)的图象关于原点对称，求函数g(x)=f(x)+32的零点x0；(2)若函数ℎ(x)=f(x)+4x+2−x在x∈[0,1]的最大值为−2，求实数a的值．销售甲种商品所得利润是P万元，它与投入资金t万元的关系有经验公式P=att+1，销售乙种商品所得利润是Q万元，它与投入资金t万元的关系有经验公式Q=bt，其中a，b为常数.现将3万元资金全部投入甲、乙两种商品的销售：若全部投入甲种商品，所得利润为94万元；若全部投入乙种商品，所得利润为1万元.若将3万元资金中的x万元投入甲种商品的销售，余下的投入乙种商品的销售，则所得利润总和为f(x)万元.(1)求函数f(x)的解析式；(2)怎样将3万元资金分配给甲、乙两种商品，才能使所得利润总和最大，并求最大值.如图，在四棱锥P−ABCD中，PA⊥底面ABCD，BC // AD，AB⊥BC，PA=AB=√2，AD=2BC=2，M是PD的中点．(1)求证：CM // 平面PAB；(2)求二面角M−AC−D的余弦值．《中国制造2025》是经国务院总理李克强签批，由国务院于2015年5月印发的部署全面推进实施制造强国的战略文件，是中国实施制造强国战略第一个十年的行动纲领．制造业是国民经济的主体，是立国之本、兴国之器、强国之基．发展制造业的基本方针为质量为先，坚持把质量作为建设制造强国的生命线．某制造企业根据长期检测结果，发现生产的产品质量与生产标准的质量差都服从正态分布N(μ,σ2)，并把质量差在(μ−σ,μ+σ)内的产品为优等品，质量差在(μ+σ,μ+2σ)内的产品为一等品，其余范围内的产品作为废品处理．优等品与一等品统称为正品．现分别从该企业生产的正品中随机抽取1000件，测得产品质量差的样本数据统计如下：(1)根据频率分布直方图，求样本平均数x¯；（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）(2)根据大量的产品检测数据，检查样本数据的方差的近似值为100，用样本平均数x¯作为μ的近似值，用样本标准差S作为σ的估计值．求该厂生产的产品为正品的概率；参考数据：若随机变量ξ服从正态分布N(μ,σ2)，则P(μ−σ<ξ≤μ+σ)≈0.6827，P(μ−2σ<ξ≤μ+2σ)≈0.9545，P(μ−3σ<ξ≤μ+3σ)≈0.9973．(3)假如企业包装时要求把3件优等品球和5件一等品装在同一个箱子中，质检员每次从箱子中摸出三件产品进行检验，记摸出三件产品中优等品球的件数为X，求随机变量X的分布列及期望值．已知函数f(x)=x3+k ln x(k∈R)，f′(x)为f(x)的导函数.(1)当k=6时，(i)求曲线y=f(x)在点(1，f(1))处的切线方程；(ii)求函数g(x)=f(x)−f′(x)+9的单调区间和极值；x>(2)当k≥−3时，求证：对任意的x1，x2∈[1,+∞)，且x1>x2，有f′(x1)+f′(x2)2f(x1)−f(x2).x1−x2参考答案与试题解析2020-2021学年江苏省扬州市某校高三（上）9月月考数学试卷一、选择题 1.【答案】 C【考点】分式不等式的解法指数函数的定义、解析式、定义域和值域补集及其运算【解析】此题暂无解析【解答】解：∵ A ={x|y =2x }=R , B ={x|x 3−x<0}={x|x <0 或x >3}∴ ∁A B ={x|0≤x ≤3}，即 ∁A B =[0,3]. 故选C . 2. 【答案】 C【考点】复数代数形式的混合运算复数的代数表示法及其几何意义【解析】（1）根据题目所给信息进行求解即可. 【解答】解：已知复数z =(2+ai)(3+i)=6−a +(2+3a)i ，已知其在复平面内对应的点在直线y =x 上，即6−a =2+3a ，解得a =1. 故选C . 3.【答案】 C【考点】函数奇偶性的性质【解析】此题暂无解析【解答】解：∵ f(x)是定义在R 上的奇函数, ∴ f (−14)=−f (14)=−1,由题意知，f (−14)=log 2(14)+m =−2+m =−1, ∴ m =1. 故选C . 4. 【答案】 B【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断一元二次不等式的解法【解析】充分、必要条件的定义结合不等式的解法可推结果【解答】解：∵ x 2−5x <0， ∴ 解得0<x <5， ∵ |x −1|<1， ∴ 解得0<x <2，∵ 0<x <5推不出0<x <2，而0<x <2⇒0<x <5， ∴ 0<x <5是0<x <2的必要不充分条件，即x 2−5x <0是|x −1|<1的必要不充分条件．故选B . 5.【答案】 B【考点】三角函数值的符号象限角、轴线角【解析】【解答】解：∵ cos 2020∘=cos (5×360∘+220∘)=cos 220∘<0， tan 2020∘=tan (5×360∘+220∘)=tan 220∘>0， ∴ 点P 在第二象限. 故选B . 6.【答案】 C【考点】函数的图象【解析】求出函数f (x )的定义域(−∞,0)∪(0,+∞)，排除A 项，再根据f (x )+f (−x )=0，可知函数f (x )是奇函数，其图象关于坐标原点对称，排除D 项．再利用特殊点的值即可得解.【解答】解：由题意可得，x 3+sin x ≠0， ∴ x ≠0，∴ 函数f (x )的定义域为(−∞,0)∪(0,+∞)，故排除A 选项； ∵ f (x )+f (−x )=ln |x|+x 2x 3+sin x+ln |−x|+(−x )2(−x )3+sin (−x )=ln |x|+x 2x 3+sin x−ln |x|+x 2x 3+sin x =0，∴ 函数f (x )是奇函数，故排除D 选项； ∵ f (e −2)=−2+e −4e −6+sin (e −2)<0，∴ 排除B 选项. 故选C . 7.【答案】 D【考点】回归分析的初步应用求解线性回归方程【解析】【解答】解：回归直线不一定过样本点，但一定过样本中心点(x ¯,y ¯)，故A ，B 均错误；回归系数6.3的含义是广告费用每增加1万元，销售额大约增加6.3万元，故C 错误；由统计数据可得， x ¯=2+3+4+5+65=4，y ¯=19+25+34+38+445=32.∵ y ̂=6.3x +a ̂恒过样本中心点(4,32), ∴ a ̂=32−6.3×4=6.8,∴ 回归直线方程为y ̂=6.3x +6.8. 将x =7代入y ̂=6.3x +6.8得， y ̂=6.3×7+6.8=50.9（万元），∴ 据此模型预报广告费用为7万元时销售额为50.9万元，故D 正确. 故选D ． 8.【答案】 B【考点】利用导数研究函数的最值函数恒成立问题利用导数研究函数的单调性【解析】求得f (x )在（12,2]的值域A ，以及函数y =g (x )的导数，判断单调性，求得在[−1,1]的值域B，由题意可得B包含于A，可得a的不等式，解不等式可得所求范围．【解答】解：易得，f(x)=−x2+a在[−12,2]上的值域为[a−4,a]，且f(x)在(12,2]上单调递减，此时f(x)∈[a−4,a−14).∵g(x)=x2e x，∴g′(x)=2xe x+x2e x=x(x+2)e x，∴g(x)在[−1,0]上单调递减，在(0,1]上单调递增，∴g(x)在[−1,1]上的最小值为g(0)=0，最大值为g(1)=e，∴g(x)在[−1,1]上的值域为[0,e].∵对任意的x2∈[−1,1]，存在唯一的x1∈[−12,2],使得f(x1)=g(x2),∴[0,e]⊆[a−4,a−14)，即a−4≤0<e<a−14，解得：e+14<a≤4.故选B．二、多选题【答案】C,D【考点】基本不等式不等式比较两数大小【解析】【解答】解：A，∵a>0，b>0，且a+b=4，∴0<ab≤(a+b2)2=4，当且仅当a=b=2时等号成立，∴1ab ≥14，故A错误；B，√ab≤a+b2=2，当且仅当a=b=2时等号成立，故B错误；C，∵1ab ≥14，∴1a +1b=a+bab=4ab≥4×14=1，当且仅当a=b=2时等号成立，故C正确；D，1a2+b2=1(a+b)2−2ab≤142−2×4=18，当且仅当a=b=2时等号成立，故D正确．故选CD.【答案】A,C,D【考点】正态分布的密度曲线二项分布的应用必要条件、充分条件与充要条件的判断命题的真假判断与应用【解析】A，根据正态分布概率的性质，计算即可；B，判断充分性与必要性是否成立即可；C，根据二项分布计算即可；D，判断充分性与必要性是否成立即可．【解答】解：A，随机变量ξ服从正态分布N(1, σ2)，所以图象关于x=1对称，根据P(ξ≤4)=0.79，可得P(ξ≥4)=1−P(ξ≤4)=0.21，所以P(ξ≤−2)=P(ξ≥4)=0.21，故A正确；B，直线l⊥平面α，直线m // 平面β，若α // β，则l⊥m是真命题；若l⊥m，则α // β是假命题，所以“α // β”是“l⊥m”的充分不必要条件”，故B错误；)，C，随机变量ξ服从二项分布：ξ∼B(4,14=1，故C正确；则E(ξ)=4×14D，若am2>bm2，则a>b是真命题；若a>b，则am2>bm2是假命题，如m2=0时不成立，所以am2>bm2是a>b的充分不必要条件，故D正确．故选ACD.【答案】A,B,D【考点】频率分布折线图、密度曲线频率分布直方图【解析】【解答】解：A，由图可知，2019年6月同比增速最大，故A正确；B，由图可知，2019年3月—5月同比增速平稳，故B正确；C，2019年8月钢材总产量为343.2×31=10639.2(万吨)，2019年9月钢材总产量为347.9×30=10437(万吨).∵10639.2>10437，∴2019年8月钢材总产量比2019年9月钢材总产量高，故C错误；D，∵331.1×31=10264.1≈10264(万吨)，∴2019年10月钢材总产量约10264万吨，故D正确.故选ABD．【答案】A,C,D【考点】利用导数研究函数的最值利用导数研究不等式恒成立问题利用导数研究函数的单调性【解析】【解答】解：A，∵f(x)=x ln x，x>0，∴f′(x)=ln x+1，∴g(x)=ln x+1x，令g(x)>0，即ln x+1x>0，∴ln x+1>0，解得：x>1e，故A正确；B，∵g(x)=ln x+1x，∴g′(x)=−ln xx2.∵当0<x<1时，g′(x)>0；当x>1时，g′(x)<0，∴函数g(x)在(0,1)上单调递增，在(1,+∞)上单调递减，故B错误；C，m2(x12−x22)>f(x1)−f(x2)可转化为：f(x2)−m2x22>f(x1)−m2x12.令H(x)=f(x)−m2x2，x>0.∵x1>x2>0，∴H(x)在(0,+∞)上单调递减，∴H′(x)=1+ln x−mx≤0在(0,+∞)上恒成立，即m≥1+ln xx=g(x)在(0,+∞)上恒成立.∵g(x)在(0,1)上单调递增，在(1,+∞)上单调递减，∴g(x)max=g(1)=1，∴m≥1，故C正确；D，函数F(x)=f(x)−ax2有两个极值点，即F′(x)=f′(x)−2ax有两个零点，即ln x+1−2ax=0，则2a=ln x+1x，∴y=2a和g(x)=ln x+1x的图象有2个交点.∵g(x)=ln x+1x在(0,1)上单调递增，在(1,+∞)上单调递减，且g(x)max=g(1)=1，当x→+∞时，g(x)→0，∴2a∈(0,1)，即a∈(0,12)，故D正确.故选ACD.三、填空题【答案】e2【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程【解析】【解答】解：∵f(x)=a ln xe x，∴f′(x)=a x−a ln xe x.∵函数f(x)=a ln xe x在点P(1,f(1))处的切线与直线2x+y−3=0垂直，∴切线的斜率k=12.∴f′(1)=ae =12，∴a=e2.故答案为：e2.【答案】1215【考点】二项展开式的特定项与特定系数【解析】由二项展开式中各项系数之和求出n的值，再利用展开式的通项公式计算含r项的系数．【解答】解：令x=1，可得(3+1)n=4096，解得：n=6，∴T r+1=C6r⋅36−r⋅x6−52r.令6−52r=1，解得：r=2，∴展开式中x的系数为C62⋅36−2=1215.故答案为：1215．【答案】−12 13【考点】二倍角的正弦公式对数函数的图象与性质同角三角函数间的基本关系【解析】【解答】解：∵函数y=loga(x+4)+2(a>0，且a≠1)，当x =−3时，f(−3)=2，∴ 函数y =log a (x +4)+2的图象恒过定点A(−3, 2).∵ 点A 在角θ的终边上，∴ sin θ=2√1313，cos θ=−3√1313， ∴ sin 2θ=2sin θcos θ=2×2√1313×(−3√1313)=−1213. 故答案为：−1213.【答案】 3√6π2【考点】球内接多面体柱体、锥体、台体的体积计算【解析】【解答】解：由已知得，要使该正四面体可以绕其中心在容器内任意转动，只需该正四面体的外接球在圆柱形的封闭容器内即可，作出正四面体S −ABC 与其外接球O 的位置关系如图所示，SD 是球的直径，与面ABC 交于点E ，连接CE ，CD ，易知，CE =2√33. ∵ SE ⊥CE ， ∴ SE =√SC 2−CE 2=√22−(2√33)2=2√63， ∴ SA 2=SE ⋅SD ，即22=2√63⋅SD ，∴ SD =√6，∴ 外接球O 的半径为√62， ∴ 圆柱形封闭容器的体积V ≥π×(√62)2×√6=3√6π2. ∴ 容器体积的最小值为3√6π2.故答案为：3√6π.2四、解答题【答案】<0,x∈R}={x|(x−a)(x+1)<0,x∈R}，解：A={x|x−ax+1(1−x)≤1,x∈R}=[−1,1)，B={x|log2当a>−1时，A=(−1,a)；当a=−1时，A=⌀；当a<−1时，A=(a,−1)．若选择①A∩B=A，则A⊆B，当a>−1时，要使(−1,a)⊆[−1,1)，则a≤1，所以−1<a≤1；当a=−1时，A=⌀，满足题意；当a<−1时，A=(a,−1)不满足题意．所以若选择①，则实数a的取值范围是[−1,1]．若选择②A∩B≠⌀，当a>−1时，A=(−1,a)，B=[−1,1)，满足题意；当a=−1时，A=⌀，不满足题意；当a<−1时，A=(a,−1)，B=[−1,1)，不满足题意．所以若选择②，则实数a的取值范围是(−1,+∞)．若选择③B⊆∁R A，当a>−1时，A=(−1,a)，∁R A=(−∞,−1]∪[a,+∞)，而B=[−1,1)，不满足题意；当a=−1时，A=⌀，∁R A=R，而B=[−1,1)，满足题意；当a<−1时，A=(a,−1)，∁R A=(−∞,a]∪[−1,+∞)，而B=[−1,1)，满足题意．所以若选择③，则实数a的取值范围是(−∞,−1]．【考点】交、并、补集的混合运算交集及其运算集合的包含关系判断及应用【解析】【解答】<0,x∈R}={x|(x−a)(x+1)<0,x∈R}，解：A={x|x−ax+1(1−x)≤1,x∈R}=[−1,1)，B={x|log2当a>−1时，A=(−1,a)；当a=−1时，A=⌀；当a<−1时，A=(a,−1)．若选择①A∩B=A，则A⊆B，当a>−1时，要使(−1,a)⊆[−1,1)，则a≤1，所以−1<a≤1；当a=−1时，A=⌀，满足题意；当a<−1时，A=(a,−1)不满足题意．所以若选择①，则实数a的取值范围是[−1,1]．若选择②A∩B≠⌀，当a>−1时，A=(−1,a)，B=[−1,1)，满足题意；当a=−1时，A=⌀，不满足题意；当a<−1时，A=(a,−1)，B=[−1,1)，不满足题意．所以若选择②，则实数a的取值范围是(−1,+∞)．若选择③B⊆∁R A，当a>−1时，A=(−1,a)，∁R A=(−∞,−1]∪[a,+∞)，而B=[−1,1)，不满足题意；当a=−1时，A=⌀，∁R A=R，而B=[−1,1)，满足题意；当a<−1时，A=(a,−1)，∁R A=(−∞,a]∪[−1,+∞)，而B=[−1,1)，满足题意．所以若选择③，则实数a的取值范围是(−∞,−1]．【答案】解：(1)∵ f(x)的图象关于原点对称，∴ f(−x)+f(x)=0，∴ a⋅2x−2−x+a⋅2x−2−x=0，即∴(a−1)⋅(2−x+2x)=0，∴ a=1．令g(x)=2x−2−x+32=0，则2⋅(2x)2+3⋅2x−2=0，∴(2x+2)⋅(2⋅2x−1)=0，又2x>0，∴ x=−1，所以函数g(x)的零点为x0=−1．(2)ℎ(x)=a⋅2x−2−x+4x+2−x，x∈[0,1]，令2x=t∈[1,2]，ℎ(x)=t2+at，t∈[1,2]，对称轴t0=−a2，①当−a2≤32，即a≥−3时，ℎmax(t)=ℎ(2)=4+2a=−2，∴ a=−3；②当−a2>32，即a<−3时，ℎmax(t)=ℎ(1)=1+a=−2，∴ a=−3（舍）．综上：实数a的值为−3．【考点】函数最值的应用函数的零点奇函数【解析】此题暂无解析【解答】解：(1)∵ f(x)的图象关于原点对称，∴ f(−x)+f(x)=0，∴ a⋅2−x−2−x+a⋅2x−2x=0，即∴(a−1)⋅(2−x+2x)=0，∴ a=1．令g(x)=2x−2−x+32=0，则2⋅(2x)2+3⋅(2x)−2=0，∴(2x+2)⋅(2⋅2x−1)=0，又2x>0，∴ x=−1，所以函数g(x)的零点为x0=−1．(2)ℎ(x)=a⋅2x−2−x+4x+2−x，x∈[0,1]，令2x=t∈[1,2]，ℎ(x)=t2+at，t∈[1,2]，对称轴t0=−a2，①当−a2≤32，即a≥−3时，ℎmax(t)=ℎ(2)=4+2a=−2，∴ a=−3；②当−a2>32，即a<−3时，ℎmax(t)=ℎ(1)=1+a=−2，∴ a=−3（舍）．综上：实数a的值为−3．【答案】解：(1)∵P=att+1, Q=bt，∴当t=3时，P=3a3+1=94，Q=3b=1，解得：a=3, b=13，∴P=3tt+1, Q=13t，∴f(x)=3xx+1+3−x3, x∈[0,3].(2)由(1)知，f(x)=3xx+1+3−x3=133−(3x+1+x+13).∵x∈[0,3]，∴x+1∈[1,4]，∴3x+1+x+13≥2，∴f(x)≤133−2=73，当且仅当3x+1=x+13，即当x=2时取等号，∴f(x)的最大值为73.答：分别投入2万元、1万元销售甲、乙两种商品时，所得利润总和最大，最大利润是73万元.【考点】基本不等式在最值问题中的应用根据实际问题选择函数类型函数解析式的求解及常用方法【解析】此题暂无解析【解答】解：(1)∵P=att+1, Q=bt，∴当t=3时，P=3a3+1=94，Q=3b=1，解得：a=3, b=13，∴P=3tt+1, Q=13t，∴f(x)=3xx+1+3−x3, x∈[0,3].(2)由(1)知，f(x)=3xx+1+3−x3=133−(3x+1+x+13).∵x∈[0,3]，∴x+1∈[1,4]，∴3x+1+x+13≥2，∴f(x)≤133−2=73，当且仅当3x+1=x+13，即当x=2时取等号，∴f(x)的最大值为73.答：分别投入2万元、1万元销售甲、乙两种商品时，所得利润总和最大，最大利润是73万元.【答案】(1)证明：取AP的中点E，连接BE，EM，∵ E ，M 分别为PA ，PD 的中点，∴ EM // AD ，AD =2EM .又∵ BC // AD ，且AD =2BC ，∴ EM // BC ，EM =BC ，∴ 四边形BCME 为平行四边形，∴ BE // CM .又CM ⊄平面PAB ，BE ⊂平面PAB ，∴ CM // 平面PAB ．(2)解：由题意知，PA ，AB ，AD 两两垂直，故以A 为坐标原点，AB ，AD ，AP 所在的直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0, 0, 0)，D(0, 2, 0)，C(√2,1,0)， P(0,0,√2)，M(0,1,√22)， ∴ AC →=(√2,1,0)，AM →=(0,1,√22)，AP →=(0,0,√2). 设平面MAC 的法向量为n →=(x,y,z)，则{n →⋅AC →=√2x +y =0,n →⋅AM →=y +√22z =0,令y =√2，则x =−1，z =−2，∴ n →=(−1,√2,−2)．∵ PA ⊥平面ABCD ，∴ AP →为平面ACD 的一个法向量，∴ cos <AP →，n →>=AP →⋅n →|AP →|⋅|n →| =√2√2×√7=−2√77. 由图可知，二面角M −AC −D 为锐二面角，∴ 二面角M −AC −D 的余弦值为2√77．【考点】用空间向量求平面间的夹角直线与平面平行的判定【解析】（1）取AP 的中点E ，连接BE ，EM ，由中位线的性质和平行四边形的性质可推出BE // CM ，再由线面平行的判定定理即可得证；（2）以A 为坐标原点，AB 、AD 、AP 所在的直线分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，依次写出A 、D 、C 、P 、M 的坐标；根据法向量的性质求出平面MAC 的法向量n →，而AP →为平面ACD 的一个法向量；再由空间向量数量积的坐标运算求出cos <AP →，n →>即可得解．【解答】(1)证明：取AP 的中点E ，连接BE ，EM ，∵ E ，M 分别为PA ，PD 的中点，∴ EM // AD ，AD =2EM .又∵ BC // AD ，且AD =2BC ，∴ EM // BC ，EM =BC ，∴ 四边形BCME 为平行四边形，∴ BE // CM .又CM ⊄平面PAB ，BE ⊂平面PAB ，∴ CM // 平面PAB ．(2)解：由题意知，PA ，AB ，AD 两两垂直，故以A 为坐标原点，AB ，AD ，AP 所在的直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0, 0, 0)，D(0, 2, 0)，C(√2,1,0)， P(0,0,√2)，M(0,1,√22)， ∴ AC →=(√2,1,0)，AM →=(0,1,√22)，AP→=(0,0,√2).设平面MAC 的法向量为n →=(x,y,z)，则{n →⋅AC →=√2x +y =0,n →⋅AM →=y +√22z =0,令y =√2，则x =−1，z =−2， ∴ n →=(−1,√2,−2)． ∵ PA ⊥平面ABCD ，∴ AP →为平面ACD 的一个法向量， ∴ cos <AP →，n →>=AP →⋅n→|AP →|⋅|n →|=−2√2√2×√7=−2√77. 由图可知，二面角M −AC −D 为锐二面角， ∴ 二面角M −AC −D 的余弦值为2√77．【答案】解：(1)x ¯=0.010×10×46+562+0.020×10×56+662+0.045×10×66+762+0.020×10×76+862+ 0.005×10×86+962=70．(2)由题意可知，样本方差S 2=100，故σ≈√S 2=10 ，∴ X ∼N (70,102) ，∴ 该厂生产的产品为正品的概率P =P(60<X <90) =P(60<X <70)+P(70<X <90) =12×(0.6827+0.9545)=0.8186．(3)X 的可能取值为0，1，2，3， P(X =0)=C 30C 53C 83=528，P(X =1)=C 31C 52C 83=1528， P(X =2)=C 32C 51C 83=1556，P(X =3)=C 33C 50C 83=156．∴ X 的分布列为：期望值为： E(X)=0×528+1×1528+2×1556+3×156=98．【考点】众数、中位数、平均数频率分布直方图正态分布的密度曲线离散型随机变量的期望与方差离散型随机变量及其分布列【解析】此题暂无解析【解答】解：(1)x ¯=0.010×10×46+562+0.020×10×56+662+0.045×10×66+762+0.020×10×76+862+ 0.005×10×86+962=70．(2)由题意可知，样本方差S 2=100，故σ≈√S 2=10 ，∴ X ∼N (70,102) ，∴ 该厂生产的产品为正品的概率P =P(60<X <90) =P(60<X <70)+P(70<X <90) =12×(0.6827+0.9545)=0.8186．(3)X 的可能取值为0，1，2，3， P(X =0)=C 30C 53C 83=528， P(X =1)=C 31C 52C 83=1528， P(X =2)=C 32C 51C 83=1556，P(X=3)=C33C50C83=156．∴X的分布列为：期望值为：E(X)=0×528+1×1528+2×1556+3×156=98．【答案】(1)解：(i)当k=6时，f(x)=x3+6ln x，f′(x)=3x2+6x，可得f(1)=1，f′(1)=9，所以曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为：y−1=9(x−1)，即y=9x−8；(ii)依题意，g(x)=x3−3x2+6ln x+3x，x∈(0,+∞)．从而可得g′(x)=3x2−6x+6x −3x2，整理可得：g′(x)=3(x−1)3(x+1)x2，令g′(x)=0，解得x=1．当x变化时，g′(x)，g(x)的变化情况如下表：g(x)的极小值为g(1)=1，无极大值；(2)证明：由f(x)=x3+k ln x，得f′(x)=3x2+kx．对任意的x1，x2∈[1,+∞)，且x1>x2，令x1x2=t(t>1)，则(x1−x2)(f′(x1)+f′(x2))−2(f(x1)−f(x2))=(x1−x2)(3x12+kx1+3x22+kx2)−2(x13−x23+k lnx1x2)=x13−x23−3x12x2+3x1x22+k(x1x2−x2x1)−2k lnx1x2=x23(t3−3t2+3t−1)+k(t−1t−2ln t)①．令ℎ(x)=x−1x−2ln x，x∈(1,+∞)．当x>1时，ℎ′(x)=1+1x2−2x=(1−1x)2>0，由此可得ℎ(x)在(1,+∞)上单调递增，所以当t>1时，ℎ(t)>ℎ(1)，即t−1t−2ln t>0．因为x2≥1，t3−3t2+3t−1=(t−1)3>0，k≥−3,所以x23(t3−3t2+3t−1)+k(t−1t−2ln t)≥(t3−3t2+3t−1)−3(t−1t−2ln t)=t3−3t2+6ln t+3t−1②．由(1)(ii)可知，当t>1时，g(t)>g(1)，即t3−3t2+6ln t+3t>1，故t3−3t2+6ln t+3t−1>0③．由①②③可得(x1−x2)(f′(x1)+f′(x2))−2(f(x1)−f(x2))>0，所以，当k≥−3时，任意的x1，x2∈[1,+∞)，且x1>x2，有f′(x1)+f′(x2)2>f(x1)−f(x2)x1−x2．【考点】利用导数研究不等式恒成立问题利用导数研究曲线上某点切线方程利用导数研究函数的极值利用导数研究函数的单调性【解析】(1)(i)根据导数的几何意义即可求出切线方程；(ii)根据导数与函数单调性、极值的关系，即可求出；(2)要证不等式成立，只要证明(x1−x2)[f′(x1)+f′(x2)]−2[f(x1)−f(x2)]>0，根据导数与函数最值的关系，利用放缩法即可证明．【解答】(1)解：(i)当k=6时，f(x)=x3+6ln x，f′(x)=3x2+6x，可得f(1)=1，f′(1)=9，所以曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为：y−1=9(x−1)，即y=9x−8；(ii)依题意，g(x)=x3−3x2+6ln x+3x，x∈(0,+∞)．从而可得g′(x)=3x2−6x+6x −3x2，整理可得：g′(x)=3(x−1)3(x+1)x2，令g′(x)=0，解得x=1．当x变化时，g′(x)，g(x)的变化情况如下表：g(x)的极小值为g(1)=1，无极大值；(2)证明：由f(x)=x3+k ln x，得f′(x)=3x2+kx．对任意的x1，x2∈[1,+∞)，且x1>x2，令x1x2=t(t>1)，则(x1−x2)(f′(x1)+f′(x2))−2(f(x1)−f(x2))=(x1−x2)(3x12+kx1+3x22+kx2)−2(x13−x23+k lnx1x2)=x13−x23−3x12x2+3x1x22+k(x1x2−x2x1)−2k lnx1x2=x23(t3−3t2+3t−1)+k(t−1t−2ln t)①．令ℎ(x)=x−1x−2ln x，x∈(1,+∞)．当x>1时，ℎ′(x)=1+1x2−2x=(1−1x)2>0，由此可得ℎ(x)在(1,+∞)上单调递增，所以当t>1时，ℎ(t)>ℎ(1)，即t−1t−2ln t>0．因为x2≥1，t3−3t2+3t−1=(t−1)3>0，k≥−3,所以x23(t3−3t2+3t−1)+k(t−1t−2ln t)≥(t3−3t2+3t−1)−3(t−1t−2ln t)=t3−3t2+6ln t+3t−1②．由(1)(ii)可知，当t>1时，g(t)>g(1)，即t3−3t2+6ln t+3t>1，故t3−3t2+6ln t+3t−1>0③．由①②③可得(x1−x2)(f′(x1)+f′(x2))−2(f(x1)−f(x2))>0，所以，当k≥−3时，任意的x1，x2∈[1,+∞)，且x1>x2，有f′(x1)+f′(x2)2>f(x1)−f(x2)x1−x2．。

江苏省扬州中学2020届高三数学12月月考试题

江苏省扬州中学2020届高三数学12月月考试题必做题部分(160分)一、填空题（本大题共有14道小题，每小题5分，满分70分）1.已知集合A ={1，3，5}，B ={2，3}，则集合A ∪B 中的元素个数为______．2.已知复数z 满足32,z i i ⋅=-其中i 是虚数单位，则z 的共轭复数是________.3. 函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且0x >时，()1f x =+，则当0x <时，()f x =________.4. “”是“直线，垂直”的条件．5. 过点的圆与直线相切于点，则圆的方程为 .6.已知，，则______7. 已知实数，满足则的取值范围是．8.已知曲线在点处的切线与曲线相切，则．9. 已知函数()sin()(,0)4f x x x R πωω=+∈>的最小正周期为π，将()y f x =的图象向右平移(0)ϕϕ>个单位长度，所得函数()y g x =为偶函数时，则ϕ的最小值是．10.已知函数，则不等式的解集为______11．设点P 为正三角形ABC △的边BC 上一动点，当PA PC ⋅取最小值时，sin PAC ∠的值为．12．在平面直角坐标系xOy 中，已知(6,0),(6,6),(0,6)A B C ，若在正方形OABC 的边上存在一点P ，圆222:(2)(0)G x y R R +-=>上存在一点Q ，满足4OP OQ =，则实数R 的取值范围为．13．已知0x >，0y >，则2222282xy xyx y x y +++的最大值是．14.已知函数()cos 2f x x =的图象与直线440(0)kx y k k π--=>恰有三个公共点，这三个点的横坐标从小到大分别为123,,x x x ，则2113tan()x x x x -=-________.二、解答题（本大题共有6道题，满分90分）15. （1）命题，，命题，．若“且”为假命题，求实数的取值范围．（2）已知，，若是的充分不必要条件，求实数的取值范围．16．已知函数()sin()(0,0)f x A x B A ωϕω=++>>，部分自变量、函数值如下表．x3π712πx ωϕ+02ππ32π2π()f x 24求：（1）函数()f x 的单调增区间．（2）函数()f x 在(0,]π内的所有零点．17.一个创业青年租用一块边长为4百米的等边田地如图养蜂、产蜜与售蜜田地内拟修建笔直小路MN ，AP ，其中M ，N 分别为AC ，BC 的中点，点P 在BC 上规划在小路MN 与AP 的交点与M 、N 不重合处设立售蜜点，图中阴影部分为蜂巢区，空白部分为蜂源植物生长区，A ，N 为出入口小路的宽度不计为节约资金，小路MO 段与OP 段建便道，供蜂源植物培育之用，费用忽略不计为车辆安全出入，小路AO 段的建造费用为每百米4万元，小路ON 段的建造费用为每百米3万元．若拟修的小路AO 段长为百米，求小路ON 段的建造费用；设，求的值，使得小路AO 段与ON 段的建造总费用最小．18. 已知椭圆的左右焦点坐标为，且椭圆E 经过点12P ⎛⎫ ⎪⎝⎭．（1）求椭圆E 的标准方程；（2）设点M 是椭圆E 上位于第一象限内的动点，A ，B 分别为椭圆E 的左顶点和下顶点，直线MB 与x 轴交于点C ，直线MA 与y 轴交于点D ，求四边形ABCD 的面积．19．已知函数21(),()1x x f x g x ax e+==-（a R ∈）．（1）求函数()f x 的极值；（2）当102a <<时，判断方程()()f x g x =的实根个数，并加以证明；（3）求证：当1a ≥时，对于任意实数[1,)x ∈-+∞，不等式()()f x g x ≥恒成立．20. 已知函数f (x )＝31,()ln 4x ax g x x ++=-(1)当a 为何值时，x 轴为曲线()y f x =的切线；(2)用min {},m n 表示m ，n 中的最小值，设函数}{()min (),()(0)h x f x g x x =>，讨论h (x )零点的个数理科附加题（满分40分时间30分钟）21.B 选修4—2：矩阵与变换已知矩阵M 221a ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，其中R a ∈，若点(1,2)P -在矩阵M 的变换下得到点(4,0)P '-．（1）求实数a 的值；（2）求矩阵M 的特征值及其对应的特征向量．21.C 选修4—4：坐标系与参数方程以直角坐标系的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线l 的极坐标方程为C 的参数方程是2cos 2sin x y ϕϕ=⎧⎨=⎩（ϕ为参数）．（1）求直线l 和曲线的普通方程；（2）直线l 与x 轴交于点P ，与曲线C 交于A ，B 两点，求PA PB +．[必做题]第22题、第23题，每题10分，共计20分．22.某市有A ，B ，C ，D 四个景点，一位游客来该市游览，已知该游客游览A 的概率为，游览B 、C 和D 的概率都是，且该游客是否游览这四个景点相互独立．（1）求该游客至多游览一个景点的概率；（2）用随机变量X 表示该游客游览的景点的个数，求X 的概率分布和数学期望E （X ）．23.现有（n ≥2，n ∈N*）个给定的不同的数随机排成一个下图所示的三角形数阵：n (n ＋1)2* ..................... 第1行** ..................... 第2行*** (3)………………………………* *…………** ………………… 第n 行设M k 是第k 行中的最大数，其中1≤k ≤n ，k ∈N*．记M 1＜M 2＜…＜M n 的概率为p n ．（1）求p 2的值；（2）证明：p n ＞．答案1. 4；2. 2+3i -；3.1-；4. 充分不必要；5.；6.；7.；8. 8；9.8π；10.；；12.15,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦；可得点P 的轨迹方程为圆:H 222(8)(4)x y R +-=，则圆H 与正方形的四边有公共点．13.23；332222224224224()23(4)38210161610x y xy xy x y xy y x x y x y x y x x y y y x+++==⨯++++++2434()2x y y x x y y x +=⨯++令4(0)x y xt y x y=+>，则4t ≥，原式23323222344t t t t =⨯=≤=+++．也可直接换元后求导．14.12-15. （1）若是真命题，则．因为，所以．若为真命题，则方程有实根，所以，即或．当且为真命题时，或．故当“且”为假命题时，的取值范围为．（2）由，得，所以．由于，得，所以．由是的充分不必要条件，知，则解得．故的取值范围为．16．解：（1）由题意得：3327212ππωϕπωϕπ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得：256ωπϕ=⎧⎪⎨=⎪⎩又sin 02sin 42A B A B π+=⎧⎪⎨+=⎪⎩，解得：22A B =⎧⎨=⎩∴5()2sin(2)26f x x π=++由5222,262k x k k Z πππππ-+≤+≤+∈，解得：2,36k x k k Zππππ-+≤≤-+∈∴函数()f x 单调增区间为2[,]()36k k k Z ππππ-+-+∈；（2）∵5()2sin(2)206f x x π=++=∴5sin(216x π+=-∵(0,]x π∈∴55522666x ππππ<+≤+∴53262x ππ+=，解得：3x π=∴函数()f x 在(0,]π内的零点为3π．17.解：在中化简得：则，，答：小路ON 段的建造费用为3万元．由正弦定理得：则，设小路AO 段与ON 段的建造总费用为，则，，，若满足，且，列表如下：则当时，有极小值，此时也是的最小值，，答：当，小路AO 段与ON 段的建造总费用最小．18.解：（1）因为椭圆焦点坐标为，且过点13,2P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以，所以a =2，从而，故椭圆的方程为．（2）设点M （x 0，y 0）（0＜x 0＜2，0＜y 0＜1），C （m ，0），D （0，n ），因为A （-2，0），且A ，D ，M 三点共线，所以，解得，所以，同理得，因此，=，因为点M （x 0，y 0）在椭圆上，所以，即，代入上式得：．∴四边形ABCD 的面积为2． 19. 解：（1）∵1()x x f x e +=∴'()xxf x e -=当(,0)x ∈-∞时，'()0f x >，()f x 单调递增；当(0,)x ∈+∞时，'()0f x <，()f x 单调递减所以当0x =时，函数()f x 存在极大值(0)1f =，无极小值；（2）令21()()()1xx h x f x g x ax e +=-=+-，12'()22x x x e x ah x ax ax e e -=-+=⋅∵102a <<，∴112a >，即1ln 02a >，令'()0h x =，解得0x =或1ln2x a=当(,0)x ∈-∞时，'()0h x >，()h x 单调递增；当1(0,ln )2x a∈时，'()0h x <，()h x 单调递减；当时1(ln ,)2x a∈+∞，'()0h x >，()h x 单调递增又(0)0h =，1(ln (0)02h h a <=，210h a =-=>（1ln 2a <），函数()h x 在R 上连续，所以()h x 有一个零点0，且在1(ln 2a 上有一个零点，即函数()h x 有两个零点∴当102a <<时，方程()()f x g x =的实根个数为2个；（3）方法（一）由（2）知，即证：当1a ≥时，对于任意实数[1,)x ∈-+∞，不等式()0h x ≥恒成立．∵1a ≥ ∴1ln ln 22a≤-①当1ln 12a ≤-，即2ea ≥时，则(1,0)x ∈-时，'()0h x <，()h x 单调递减；(0,,)x ∈+∞时，'()0h x >，()h x 单调递增∴min ()(0)0h x h ==∴当1x ≥-时，()0h x ≥恒成立；②当11ln 02a -<<，即12e a ≤<时，则1(1,ln )2x a ∈-时，'()0h x >，()h x 单调递增；1(ln ,0)2x a∈'()0h x <，()h x 单调递减；(0,)x ∈+∞时，'()0h x >，()h x 单调递增∴min ()min{(0),(1)}h x h h =-∵(0)0,(1)10h h a =-=-≥∴当1x ≥-时，()0h x ≥恒成立；综上：当1a ≥时，对于任意实数[1,)x ∈-+∞，()0h x ≥恒成立，即不等式()()f x g x ≥恒成立．方法（二）由（2）知，即证：当1a ≥时，对于任意实数[1,)x ∈-+∞，不等式()0h x ≥恒成立．①在0x ≥时，∵1a ≥∴11022a <≤ 又0x ≥，1xe ≥得：'()0h x ≥，∴()h x 为在[0,)+∞上是增函数，故()(0)0h x h ≥=； ②在10x -≤≤时，由于1a ≥，所以2211ax x -≥-要证明()0h x ≥成立，即证2110x x x e ++-≥，也即证1(1)[1]0x x x e ++-≥由于10x +≥，只需证110x x e+-≥不妨令1()1x m x x e=+-，11'()1x x xe m x e e -=-=由10x -≤≤，得'()0m x ≤且不恒为0，所以()m x 在区间[1,0]-上单调递减，()(0)0m x m ≥=，从而110xx e +-≥得证．综上，当1a ≥时，对于任意实数[1,)x ∈-+∞，()0h x ≥恒成立，即不等式()()f x g x ≥恒成立．20.解：（I ）设曲线()y f x =与x 轴相切于点0(,0)x ，则0()0f x =且'0()0f x =即3002010430x ax x a ⎧++=⎪⎨⎪+=⎩解得013,24x a ==-因此，当3x y ()4a f x =-=时，轴为曲线的切线（II ）当{}x (1,)()10,(),()()0,h()(1,)g x nx f x g x g x x ∈+∞=-<≤<+∞时，从而h(x)=m i n 故在无零点{}55x 1(1)0,(1)min (1),(1)(1)0,x 44a f a h f g g =≥-=+≥====当时，若则故是{}5()a ,(1),(1)(1)0,1(4h x f g f x h x <-=<=的零点；若则f (1)<0,h(1)=m i n 故不是的零点x (0,1)g()10.fx nx ∈=->当时，所以只需考虑(x)在（0,1）的零点个数2i a a f '≤≥（）若-3或0,则（x ）=3x +a 在（1,0）无零点，故f (x)在（0,1）单调15f (0),(1),f a f 44f a =+≤≥所以当a -3时，(x)在（0,1）有一个零点；当0时(x)在（1,0）没有零点a a ()30,f ()0),133ii a x -<<--若则在（，单调递减，在（）单调递增，故在（0,1）中()f (3a x f x =-=30.0,()43faf ()(0,1)431530,3,(0),(1)4444f a f x x f a f f a a >-<<<-<<-==+<<-1）无零点；②若(=0,即=-则在有唯一零点5()f ()(0,1).4f x x ≤时，在（0,1）有两个零点；当-3<a -时，在有一个零点综上，当3535a a<-()a a h()4444h x x >-=-=-或时，有一个零点；当或时，有两个零点53h().44a x -<<-当时，有三个零点21.B 解：（1）由221a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦12⎡⎤⎢⎥-⎣⎦=40-⎡⎤⎢⎥⎣⎦，∴2243a a -=-⇒=.（2）由（1）知M 2321⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，则矩阵M 的特征多项式为223()(2)(1)63421f λλλλλλλ--==---=----令0)(=λf ，得矩阵M 的特征值为1-与4.当1-=λ时， (2)302(1)0x y x y x y λλ--=⎧⇒+=⎨-+-=⎩∴矩阵M 的属于特征值1-的一个特征向量为11⎡⎤⎢⎥-⎣⎦;当4λ=时， (2)302302(1)0x y x y x y λλ--=⎧⇒-=⎨-+-=⎩∴矩阵M 的属于特征值4的一个特征向量为32⎡⎤⎢⎥⎣⎦．21.C 解：（1sin cos 30θρθ+-=，即l 的普通方程为330x +-=，ϕ，得C 的普通方程为224x y +=．30-=中，令0y=得()3,0P ，∵k =∴l代入224x y +=得250t -+=，70∆=>，∴方程有两解，12t t +=，1250tt =>，∴1t ，2t 同号，12PA PB t t +=+12t t =+=．22.解：（1）记“该游客游览i 个景点”为事件A i ，则i =0，1；所以，；所以该游客至多游览一座山的概率为；（2）由题意知，随机变量X 的可能取值为0，1，2，3，4；计算，，，，，所以X 的概率分布为：X01234P 数学期望为；答：X 的数学期望为．23.解：（1）由题意知p 2＝＝，即p 2的值为．2323（2）先排第n 行，则最大数在第n 行的概率为＝； 2n ＋1去掉第n 行已经排好的n 个数，则余下的－n ＝个数中最大数在第n －1行的概率为＝；n (n ＋1)2n (n －1)22n 故p n ＝××…×＝＝．2n ＋12n 232n －1(n ＋1)×n × (32)(n ＋1)!由于2n ＝(1＋1)n ＝C ＋C ＋C ＋…＋C ≥C ＋C ＋C ＞C ＋C ＝C a (0)a (1)a (2)a (n )a (0)a (1)a (2)a (1)a (2)2 n ，＋1故＞，即p n ＞． 2n(n ＋1)!。

江苏省镇江市扬中八桥中学2020年高三数学理月考试题含解析

江苏省镇江市扬中八桥中学2020年高三数学理月考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知在△ABC中，∠ABC＝60°，AB＝2，BC＝6，在BC上任取一点D，则使△ABD为钝角三角形的概率为（A）（B）（C）（D）参考答案：B2. 已知奇函数f（x）满足f（x+1）=f（x-l），给出以下命题：①函数f（x）是周期为2的周期函数；②函数f（x）的图象关于直线x=1对称；③函数f（x）的图象关于点（k，0）（k∈Z）对称；④若函数f（x）是（0，1）上的增函数，则f （x）是（3，5）上的增函数，其中正确命题的是( )A．①③ B．②③ C．①③④ D．①②④参考答案：A略3. 已知全集U={1，2，3，4，5}，A∩?U B={1，2}，?U（A∪B）={4}，则集合B为（）A．{3} B．{3，5} C．{2，3，5} D．{1，2，3，5}参考答案：B【考点】交、并、补集的混合运算．【专题】集合．【分析】利用已知条件求出A∪B，通过A∩?U B={1，2}，即可求出B．【解答】解：全集U={1，2，3，4，5}，?U（A∪B）={4}，可得A∪B={1，2，3，5}∵A∩?U B={1，2}，∴A={1，2，3}，则B={3，5}．故选：B．【点评】本题考查集合的基本运算，交、并、补的求法，考查计算能力．4. 下列各命题中正确的命题是（）①命题“或”为真命题，则命题“”和命题“”均为真命题；② 命题“”的否定是“”；③“函数的最小正周期为错误！未找到引用源。

”是“”的必要不充分条件；④“平面向量与的夹角是钝角”的充分必要条件是“”。

A．②③B．①②③C．①②④D．③④参考答案：A5. 已知，且，则（）A． B． C． D ．参考答案：D略6. 已知上是单调增函数，则a的最大值是A．0 B．1C．2 D．3参考答案：D7. 若集合，，则（）A． B． C． D．参考答案：D试题分析：由题意，．故选D．考点：集合的运算．8. 已知函数f（x）是R上的奇函数，当x＞0时，f（x）=e x+x2，则不等式f（3﹣x2）＞f （2x）的解集为（）A．（﹣3，1）B．（﹣1，3）C．（﹣∞，﹣3）∪（1，+∞）D．（﹣∞，﹣，1）∪（3，+∞）参考答案：A【考点】奇偶性与单调性的综合．【分析】确定函数的单调性，不等式转化为3﹣x2＞2x，即可得出结论．【解答】解：∵当x＞0时，f（x）=e x+x2，∴当x＞0时，函数单调递增，∵函数f（x）是R上的奇函数，∴函数f（x）在R上单调递增，∵f（3﹣x2）＞f（2x），∴3﹣x2＞2x，∴（x+3）（x﹣1）＜0，∴﹣3＜x＜1，故选A．9. 不等式的解集是A．B．C．D．参考答案：B10. 下列命题说法正确的是（）A．命题“若,则”的否命题为：“若,则”B．“”是“”的必要不充分条件C．命题“,使得”的否定是：“,均有”D．命题“若，则”的逆命题为真命题参考答案：【知识点】命题及其关系；充分、必要条件；含量词的命题的否定. A2 A3【答案解析】B 解析：命题“若,则”的否命题为：“若,则”，故A 不正确；因为，所以B正确；命题“,使得”的否定是：“,均有”,所以C不正确；显然D不正确.故选 B.【思路点拨】根据命题及其关系，充分、必要条件，含量词的命题的否定，逐个判断各说法的正误.二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 已知则的值 . 参考答案：12. 已知.参考答案：13. 函数f（x）若f（x）的两个零点分别为x1，x2，则|x1﹣x2|= ．参考答案：3【考点】函数零点的判定定理．【分析】作出函数y=log4x和y=3﹣x的图象交点A，作出y=（）x与y=x+3的交点B，y=4x与y=3﹣x的交点C，根据A，B，C之间的对称关系得出x1，x2的关系．【解答】解：当x＞0时，令f（x）=0得log4x=3﹣x，作出函数y=log4x和y=3﹣x的函数图象，设交点为A（x1，y1），当x＜0时，令f（x）=0得（）x=x+3，作出函数y=（）x和y=x+3的函数图象，设交点为B（x2，y2），显然x1＞x2．作函数y=4x的函数图象，与y=3﹣x的图象交于C（x0，y0）点．∵y=（）x与y=4x的函数图象关于y轴对称，y=x+3与y=3﹣x的图象关于y轴对称，∴B，C关于y轴对称，∴x0=﹣x2，y0=y2，∵y=4x与y=log4x互为反函数，∴y=4x与y=log4x的函数图象关于直线y=x对称，又y=3﹣x关于y=x对称，∴A，C关于直线y=x对称．∴x0=y1，y0=x1．∴x2=﹣y1，∴|x1﹣x2|=x1﹣x2=x1+y1，又A（x1，y1）在直线y=3﹣x上，∴x1+y1=3．故答案为：3．14. 已知双曲线x2 y2 =1,点F1,F2为其两个焦点，点P为双曲线上一点，若P F1⊥P F2,则∣P F1∣+∣P F2∣的值为___________________.参考答案：；15. 已知函数零点依次为，则的大小关系为 .参考答案：16. 已知f(x)=3sin(2x－)，若存在α∈(0,π)，使f(α+x)= f(α-x)对一切实数x恒成立，则α=参考答案：，略17. 若圆与圆的公共弦长为，则=________.参考答案：1三、解答题：本大题共5小题，共72分。

江苏省扬中市第二高级中学2020-2021第二学期初高三数学试题(学生版)

江苏省扬中市第二高级中学2020-2021第二学期初高三数学试题姓名一、选择题．请把答案直接填涂在答题卡相应位置上．．．．．．．．． 1．已知集合{}{}22,1,0,1,2,1,A B y y x x A =--==+∈，则A B ⋂= （）A ．∅B ．{}1,2C ．{}2,0,2-D ．{}2,1,1,2-- 2．已知,,0(1,2)i i i i a b R a b i ∈=且都不为，则“1212a ab b =”是“关于x 的不等式112200a x b a x b ->->与同解”的（） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件3．已知0.40.4222,lg ,()55x y z ===，则下列结论正确的是（） A ．x y z << B ．y z x << C ．z y x << D ．z x y <<4．正三角形ABC 的边长为2，将它沿高AD 翻折，使点B 与点C 间的距离为3，此时四面体ABCD 外接球表面积为（） A ．776π B ．19196π C ．7π D ．19π 5．设{}n a 为等比数列，{}n b 为等差数列，且n S 为数列{}n b 的前n 项和，若210661,16,a a a b ===且，则11S = A ．20 B ．30 C ．44 D ．88 （） 6．10(1)(21)x x -+的展开式中10x 的系数为（） A ．512- B ．1024 C ．4096 D ．51207．在探索系数,,,A b ωϕ对函数sin()(0,0)y A x b A ωϕω=++>>的图象的影响时，我们发现，系数A 对其影响是图象上所有点的纵坐标伸长或缩短，通常称为“振幅变换”；系数ω对其影响是图象上所有点的横坐标伸长或缩短，通常称为“周期变换”；系数ϕ对其影响是图象上所有点向左或向右平移，通常称为“左右平移变换”；系数b 对其影响是图象上所有点向上或向下平移，通常称为“上下平移变换” .若函数()sin f x x =的图象经过四步变换得到函数()2sin(2)13g x x π=-+的图象，且一直其中有一步是向右平移3π个单位，则变换的分法共有（）A ．6种B ．12种C ．16种D ．24种8．如图所示，直线l 为双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的一条渐近线，12,F F 是双曲线C 的左、右焦点，1F 关于直线l 的对称点为1F '，且1F '是以2F 为圆心，以半焦距c 为半径的圆上的一点，则双曲线C的离心率为（）A ．2B ．3C ．2D ．3二、多选题：（每小题给出的四个选项中，不止一项是符合题目要求的，请把正确的所有选项填涂在答题卡相应的位置上）9．2020年的“金九银十”变成“铜九铁十”.全国各地房产“跳水”严重，但某地二手房交易却“逆势”而行，下图是该地某小区2019年12月至2020年12月间，当月在售二手房均价（单位：万元/平方米）的散点图（图中月份代码113-分别对应2019年12月-2020年12月）根据散点图选择ln y a b x y c d x =+=+和两个模型进行拟合，经过数据处理得到的两个回归方程0.93690.0285y x =+和0.95540.0306ln y x =+，并得到以下一些统计量的值：0.93690.0285y x =+0.95540.0306ln y x =+2R0.9230.973注：x 是样本数据中x 的平均值，y 是样本数据中y 的平均值，则下列下列说法正确的是（） A ．当月在售二手房均价y 与月份代码x 呈负相关关系B ．由0.93690.0285y x =+预测2021年3月在售二手房均价为1.0509万元/平方米C ．曲线0.93690.0285y x =+ 与0.95540.0306ln y x =+ 都经过点(,)x yD ．模型0.95540.0306ln y x =+ 回归曲线的拟合效果比模型0.93690.0285y x =+ 的好10．下列四个命题中，真命题为（） A ．若复数z 满足z R ∈，则z R ∈ B ．若复数z 满足1R z∈，则z R ∈ C ．若复数z 满足2z R ∈，则z R ∈ D ．若复数12,z z 满足12z z R ⋅∈，则12z z =11．已知抛物线24x y =的焦点为1122,(,),(,)F A x y B x y 是抛物线上两点，则下列结论正确的是（） A ．点F 的坐标为(1,0) B ．若,,A F B 三点共线，则3OA OB ⋅=- C ．若直线OA OB 与的斜率之积为14-，则直线AB 过焦点F D ．若6AB =,则AB 的中点到x 轴距离的最小值为212．已知函数()y f x =在R 上可导，且(0)1f =，其导函数()f x '满足(1)[()()]0x f x f x '+->，对于函数()()x f x g x e=，下列结论正确的是（） A ．函数()g x 在(,1)-∞-上为增函数 B ．1x =-是函数()g x 的极小值点 C ．函数()g x 必有两个零点 D ．2()e (2)ee f e f >三、填空题．请把答案直接填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．． 13．设()xf x a x =+，若(3)6f =，则不等式(21)()f x f x ->的解集为 . 14．在四边形ABCD 中，8AB =，若3144DA CA CB =+，则AB CD ⋅= . 15．若7(,),cos 2225παπα∈=，则sin 3sin()2απα=+ .16．红外线自动测温门能有效避免测温者与被测温者的近距离接触，降低潜在的病毒感染风险，为防控新冠肺炎，某厂生产的红外线自动测温门，其测量体温误差服从正态分布2(0.1,0.3)N ，从已经生产出的测温门中随机取出一件，则其测量体温误差在区间(0.4,0.7)内的概率为 .（附：若随机变量ξ服从正态分布2(,)N μσ，则0000()68.27,(22)95.45P P μσξμσμσξμσ-<<+=-<<+=）四、解答题．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．设n S 为数列{}n a 的前n 项和，已知213,2 1.n n a a a +==+（1）证明{}1n a +为等比数列；（2）判断,,n n n a S 是否成等差数列？并说明理由.18．在ABC ∆中，,,a b c 分别为角,,A B C 对边，且ABC ∆同时满足下列四个条件中的三个，①22223a cb +=-；②21cos 22sin 2A A +=；③3a = 2.b = （1）满足ABC ∆有解的序号组合有哪些？（2）在（1）的组合中任意一组，求ABC ∆的面积.19．某公司在市场调查中，发现某产品的单位定价x （单位：万元/吨）对月销售量y （单位：吨）有影响。

江苏省扬中市第二高级中学2020-2021学年第一学期初高三数学检测试题学生版

- x 22 22江苏省扬中市第二高级中学 2020-2021 第一学期初高三数学检测试题姓名一、选择题．请把答案直接填涂在答．题．卡．相．应．位．置．上．．1．复平面内表示复数 z = i (-2 + i )的点位于 A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限2．已知集合 A = {x | x 2+ x = 0, x ∈ R }，则满足 A B = {0, -1,1}的集合B 的个数是A ．4B ．3C ．2D ．13．已知sin(π+α) = 4，且α是第四象限角，则cos(α- 2π)的值是5A ． - 353B ． 5C ． ± 354 D ． 54．已知“ x ≤ k ”是“ x - 1 > 2 ”的充分不必要条件，则 k 的取值范围是A ．[2, +∞)B ． (-∞, -1) 5⎛π⎫ C ． (2, +∞) D ． (-∞, -1]5．给定函数：① y = x 3 ；② y = sin 2x + ⎝⎪；③ y = x 2-1；④ y = log 2 ⎭2x ，其中偶函数是A ．①②B ．③④C ．②③D ．②④6．已知直线l , m 和平面α,β满足l ⊥α, m ⊂ β，下列命题：①α⊥ β⇒ l // m ；②α// β⇒ l ⊥ m ； ③ l ⊥ m ⇒ α// β； ④ l // m ⇒ α⊥ β正确命题的序号是 A ．①②B ．③④C ．①③D ．②④7．已知双曲线C ：x y = 1(a > 0, b > 0 )的焦距为2c ，焦点到双曲线C 的渐近线的距离为 c ，则 a b 2双曲线的渐近线方程为 A ． y = ± 3xB ． y = ± 2xC ． y = ±xD ． y = ±2x28．若函数 f (x ) = - ax 存在两个不同零点，则实数 a 的取值范围是 e x3a 2 +b 2 3 3 A ． ⎛- ∞ ,1 ⎫B ． ⎛0 ,1 ⎫C ． (- ∞ , 0)⎧1 ⎫D ． (- ∞ , 0) ⎛0 ,1 ⎫e ⎪ e ⎪ ⎨ e ⎬ e ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎩ ⎭⎝ ⎭二、多选题：（每小题给出的四个选项中，不止一项是符合题目要求的，请把正确的所有选项填涂在答题卡相应的位置上）9．已知函数 f (x )= 3 cos ⎛2x + π⎫ ，则下列结论正确的是（）⎪ ⎝⎭A ．函数 f ( x ) 的最小正周期为πB ．函数 f ( x ) 在[0,π]上有三个零点C ．当 x = 5π时，函数 f ( x ) 取得最大值 6D ．为了得到函数 f ( x ) 的图象，只要把函数 f (x )= 3 cos ⎛x +π⎫图象上所有点的横坐标变为原来的2 倍⎪ ⎝⎭（纵坐标不变）10．若 a > 0 ， b > 0，则下面有几个结论正确的有（）A. 若 a ≠ 1， b ≠ 1，则log a b + log b a ≥ 2B.≥a +b 2C. 若 1 + 4 = 2 ，则 a + b ≥ 9D. 若ab + b 2 = 2 ，则 a + 3b ≥ 4a b211．若直线 y = 1x + b 是函数 f ( x ) 图象的一条切线，则函数 f ( x ) 可以是（）2A ． f ( x ) = 1x⎛a ⎫⎛ B ． f (x ) = x 41 ⎫6 C ． f ( x ) = sin xD ． f (x ) = e x12．已知 1 + ⎝ A ． a = 1⎪ 2x - x ⎭⎝⎪ 的展开式中各项系数的和为 2 ，则下列结论正确的有（）⎭ B ．展开式中常数项为160C ．展开式系数的绝对值的和1458D ．若 r 为偶数，则展开式中 x r和 xr -1的系数相二、填空题．请把答案直接填写在答．题．卡．相．应．位．置．上．．13．设口袋中有黑球、白球共有7 个，从中任取2 个球，已知取到白球个数的数学期望为 6，则口袋中白7球的个数为 .2x2 14．已知圆锥的侧面展开图是一个半径为6cm ，圆心角为2π的扇形，则此圆锥的体积为3cm 3 .15．已知双曲线 x a 2y 2- = 1(a > 0, b > 0) 的一条渐近线的斜率为，且b 2A右焦点与抛物线 y 2= 4 3x 的焦点重合，则该双曲线的方程为.CB 16. 如图，在 ∆ABC 中， AB = 2, AC = 1， E ,D 分别是直线 AB ，ACE 上的点， AE = 2BE ， CD = 4AC ，且 BD CE = -2 ，则∠BAC = .D三、解答题．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17 ．在 ∆ABC 中，内角 A ， B ， C 所对的边分别为 a ， b ， c ．已知 a ， b ， c 成等差数列，且3a sin C - 4c sin B = 0 ．（1）求cos A 的值；（2）求sin(2 A + π3x 2 y 2 18．设椭圆C : +=> > 的左、右焦点分别为 F , F ，下顶点为 A ，O 为坐标原点，点O 到直a 2b 21(a b 0)12线 AF 的距离为2, ∆AF F 为等腰三角形.221 2（1）求椭圆C 的标准方程；（2）若倾斜角为45︒的直线经过椭圆C 的右焦点 F 2 ，且与椭圆C 交于 M , N 两点（ M 点在 N 点的上方）求线段 MF 2 与 NF 2 的长度之比.).219．如图，要利用一半径为5cm 的圆形纸片制作三棱锥形包装盒．已知该纸片的圆心为O ，先以O 为中心作边长为2x（单位：cm ）的等边三角形ABC 再分别在圆O 上取三个点D ，E ，F ，使∆DBC ，∆ECA，∆FAB 分别是以BC ，CA，AB 为底边的等腰三角形．沿虚线剪开后，分别以BC ，CA，AB 为折痕折起∆DBC ，∆ECA，∆FAB ，使得D ，E ，F 重合于点P ，即可得到正三棱锥P -ABC ．（1）若三棱锥P -ABC 是正四面体，求x 的值；（2）求三棱锥P -ABC 的体积V 的最大值，并指出相应x 的值．20．已知函数f (x) =e x -a(x + 2) .（1）当a = 1时，讨论f (x)的单调性；（2）若f (x)有两个零点，求a 的取值范围.n n21．如图，已知四棱锥 P - ABCD 的底面是菱形，对角线 AC ，BD 交于点O ，OA = 8，OB = 6，OP = 8 ，OP ⊥ 底面 ABCD ，设点 M 满足 PM = λMC (0 < λ< 1) . （1）若λ= 1，求二面角 M - AB - C 的大小；3（2）若直线 PA 与平面 BDM 所成角的正弦值10，求λ的值.1022．已知数列{a n }满足 a 1 = 6 ， a 2 = -3 ．（1）若 a + a= 2a (n ∈ N *)．①设b = a - a ，求证：数列{b }是等比数列；②若数列{a }的前 nnn +1n +2nn +1nn n项和 S 满足 S ≤ m (n ∈ N *)，求实数 m 的最小值：（2）若数列{a }的奇数项与偶数项分别成等差数列，且a > a (n ∈ N *)，a + a = -33 ，求数列{a }的n n n +1 3 4 n通项公式．。

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江苏省扬中高级中学2020届高三调研试卷
数学
一、填空题：本大题共14个小题，每小题5分，共70分，把答案填在答题纸的横线上. 1. 已知集合{}
{}2,,1,2A a a B ==-，若A I {}1B =-，则A U B = ▲ . 2. 设复数z 满足:(1)3z i i +=-（其中i 为虚数单位），则z 的模等于 ▲ . 3. 函数2sin (0)7y x πωω⎛
⎫
=+
> ⎪⎝
⎭
的最小正周期为4π，则ω= ▲ . 4. 已知向量(,1),t =(3,2)=-，若⋅6=-，则实数t 的值是 ▲ . 5. 函数3()log (51)f x x =-的单调增区间是 ▲ .
6. 若双曲线22
14x y m
-=
的离心率为2，则m 的值是 ▲ .
7. 若函数()321
x
a
f x =-+
-为奇函数，则实数a 的值是 ▲ . 8. 若直线0x y -=与圆2
2
(1)(1)4x y ++-=的交点为,A B ，则AB 的长是 ▲ . 9.
已知,,sin 25παπα⎛⎫
∈=
⎪⎝⎭
，则tan 4πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭ ▲ . 10. 若函数2
()4,[0,]f x x x x a =-∈的值域是]0,4[-，则实数a 的取值范围是 ▲ . 11. 已知公差不为0的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且523a a =，若67S a λ=，
则λ= ▲ .
12. 已知()lg f x x =，若()2628,(0,0)f mn m n =>>
，则f f += ▲ . 13. 已知()f x 是定义在R 上且周期为2的函数，在区间[1,3]上，
,12
()3,23
a x x f x x
bx x ⎧
+≤<⎪=⎨⎪-≤≤⎩ ，且7722f f ⎛⎫⎛⎫
=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，则a b -6的值为 ▲ . 14. 定义在[1,)+∞上的函数()f x 满足：①(2)()f x cf x =(c 为正常数)；②当24x ≤≤时，
()13f x x =--.若函数()f x 的所有极大值点均落在同一条直线上，则c = ▲ .
二、解答题：本大题共6小题，共90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 已知二次函数()f x 顶点坐标为(1,2)，且图象经过原点，函数()log a g x x =的图像经过
点1,24⎛⎫- ⎪⎝⎭
.
(1) 分别求出函数()f x 与()g x 的解析式；
(2) 设函数()(())F x g f x =，求()F x 的定义域和值域.
16. 如图，三棱柱111ABC A B C -中，侧面11BB C C 为菱形，11BC B C 与的交点为E ，
1AC AB =，F 为1AA 的中点.
(1) 求证：面1FCB ⊥面1ABC ； (2) 求证：//EF 面ABC
A C
B
1
A 1
C 1
B E
F
17. 已知函数32
()31,(0)f x ax x a =-+≠.
(1)当1a =时，求()f x 的图像在1x =处的切线方程； (2)当0a <时，求()f x 的单调区间；
(3)若对于任意(0,)x ∈+∞，都有()0f x ≥成立，求a 的取值范围.
18. 某公司有价值a 万元的一条流水线，要提高该流水线的生产能力，就要对其进行技术改造，从而提高产品附加值，改造需要投入，假设附加值y 万元与技术改造投入x 万元之间的关系满足：①y 与a x -和x 的乘积成正比；②2
a x =
时，2
y a =；③02()x t a x ≤≤-，其
中t 为常数，且[0,1]t ∈.
（1）设()y f x =，求()f x 表达式，并指出()y f x =的定义域；（2）求出附加值y 的最大值，并求出此时的技术改造投入.
19. 已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>过点212⎛⎫
⎪ ⎪⎝⎭
，，离心率为2，左、右焦点分别
为12F F ,.点P 为直线:2l x y +=上且不在x 轴上的任意一点，直线1PF 和2PF 与椭圆的交点分别为,A B 和,C D ,O 为坐标原点.
(1) 求椭圆的标准方程；
(2) 设直线12,PF PF 的斜率存在，且分别为12,k k .
① 求证：
2
13
1k k -为定值； ② 是否存在这样的点P ，使直线,,,OA OB OC OD 的斜率之和为0？若存在，求出所有满
足条件的点P 的坐标；若不存在，说明理由.
20. 已知函数()f x 的导函数()f x '是二次函数，且当1-=x 时，()f x 取极小值，当1x =时，
()f x 取极大值为2，(2)2f =-. (1) 求函数()f x 的解析式；
(2) 若函数()1y f x k =--有两个零点，求实数k 的取值范围； (3) 设函数2
1()2()2(1),()()x
f x x h x x t x
g x
h x e x -⎡⎤=+-=
⋅+⎢⎥⎣⎦
，若存在实数
,,[0,1]a b c ∈，使得()()()g a g b g c +<，求实数t 的取值范围.
江苏省扬中高级中学2020届高三调研试卷
附加题 2020.9
B ．（选修4—2：矩阵与变换）本小题满分10分）
已知矩阵11x M ⎡⎤
=⎢
⎥
⎣⎦
　2 的一个特征值为1-，求其另一个特征值.
C ．（选修4—4：坐标系与参数方程）（本小题满分10分）
在平面直角坐标系xOy 中，椭圆
22
1164
x y +=的右顶点为A ，上顶点为B ，点P 是第一象限内在椭圆上的一个动点，求PAB ∆面积S 的最大值．
班级姓名学号
[必做题] 第22、23题,每小题10分,计20分.请把答案写在答题纸的指定区域内． 22．（本小题满分10分）
三棱柱111ABC A B C -在如图所示的空间直角坐标系中，已知2AB =，4AC =，
13AA =．D 是BC 的中点．
（1）求直线1DB 与平面11AC D 所成角的正弦值；（2）求二面角111B A D C --的大小的正弦值．
23．（本小题满分10分）
已知数列}{n a 满足：)(1,22*1
11N n a a a a n a n ∈+=-=-+
（1）若1-=a ，求数列}{n a 的通项公式
（2）若3=a ，试证明：对任意n a N n ,*
∈是4的倍数。