中考命题研究数学(河北)教材知识研究：第三节等腰三角形与直角三角形

第三节等腰三角形与直角三角形,河北8年中考命题规律)年份题型题号考查点考查内容分值总分2015填空20 等腰三角形性质以等腰三角形为背景，求角度3 32013选择13 等边三角形的性质以两个等边三角形与正方形结合为背景，考查平行线性质及三角形内角和性质求两角度之和3 32012填空14 直角三角形的性质以直角三角形为背景，结合余角的性质求角度3 32011填空9 直角三角形的性质以直角三角形为背景，将三角形折叠，求折痕长3 32009填空17 等边三角形的性质以等边三角形为背景，将三角形折叠，求阴影部分图形的周长3 32008填空18 直角三角形的性质以赵爽弦图为背景，利用勾股定理，求不规则图形的周长3 32014、2010年未考查命题规律对于本课时内容中考中一般设置1道题，分值为3分，题型为选择、填空题．分析近8年河北中考试题可以看出，本课时的常考类型有： 1．等边三角形的相关计算(在选择题中考查1次，在填空题中考查1次)； 2．直角三角形的相关计算(在填空题中考查3次). 命题预测纵观河北8年中考，2016年本节重点考查内容为直角三角形的相关计算，题型以填空题为主.,河北8年中考真题及模拟)等边三角形的相关计算(2次)1．(2013河北13题3分)一个正方形和两个等边三角形的位置如图所示，若∠3＝∠50°，则∠1＋∠2＝( ) A ．90° B ．100° C ．130° D ．180°(第1题图)(第2题图)2．(2009河北17题3分)如图，等边△ABC 的边长为1cm ，D 、E 分别是AB 、AC 上的点，将△ABC 沿直线DE 折叠，点A 落在点A′处，且点A′在△ABC 外部，则阴影部分图形的周长为________cm .直角三角形的相关计算(3次)3．(2011河北9题3分)如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝6，D 、E 分别在AB 、AC 上，将△ABC 沿DE 折叠，使点A 落在点A′处，若A′为CE 的中点，则折痕DE 的长为( )A .12B ．2C ．3D ．4 (第3题图) (第4题图)4．(2012河北14题3分)如图，AB 、CD 相交于点O ，AC ⊥CD 于点C ，若∠BOD ＝38°，∠A 等于______． 5．(2008河北18题3分)如图(1)是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的．若AC ＝6，BC ＝5，将四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长一倍，得到如图(2)所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长是________．(第5题图) (第6题图)6．(2015唐山丰润区二模)如图，已知△ABC 为等边三角形，BD 为中线，延长BC 至E ，使CE ＝CD ＝1，连接DE ，则DE 等于( )A .32B . 3C ．2 3D .127．(2015秦皇岛模拟)已知：一等腰三角形的两边长x ，y 满足方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＝3，3x ＋2y ＝8，则此等腰三角形的周长为________．8．(2015唐山滦县一模)等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为36°，则该等腰三角形的底角的度数为______．9．(2015唐山路北区二模)如图，在等边三角形ABC 中，点D 、E 分别在边BC 、AC 上，且DE ∥AB ，过点E 作EF ⊥DE ，交BC 的延长线于点F.(1)求∠F 的度数；(2)若CD ＝2，求DF 的长．,中考考点清单)等腰三角形的性质与判定 1．等腰三角形定义 有两边相等的三角形是等腰三角形，相等的两边叫腰，第三边为底性质(1)等腰三角形两腰相等(即AB ＝AC)；(2)等腰三角形的两底角________(即∠B ＝________)；(3)等腰三角形是轴对称图形，有一条对称轴；(4)等腰三角形顶角的平分线、底边上的高和底边的中线互相重合；(5)面积： S △ABC ＝12BC ·AD判定如果一个三角形有两个角相等，那么这个三角形是等腰三角形，其中，两个相等的角所对的边相等(简称“________”) 2.等边三角形定义三边相等的三角形是等边三角形性质(1)等边三角形三边相等(即AB＝BC＝AC)；(2)等边三角形三角相等，且每一个角都等于________(即∠A＝∠B＝∠C＝________)；(3)等边三角形内、外心重合；(4)等边三角形是轴对称图形，有三条对称轴；(5)面积：S△ABC＝12BC·AD判定(1)三边都相等的三角形是等边三角形；(2)三个角相等的三角形是等边三角形；(3)有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形直角三角形的性质与判定(高频考点)直角三角形的性质与判定近8年考查3次，题型均为填空题，设问方式为：1.求角度；2.求线段长度；3.求周长．结合的背景有：1.与三角形折叠结合；2.以赵爽弦图为背景；3.利用三角形余角的性质求角度．3．直角三角形定义有一个角等于90°的三角形叫做直角三角形性质(1)直角三角形的两个锐角之和等于______；(2)直角三角形斜边上的____等于斜边的一半(即BD＝12AC)；(3)直角三角形中________角所对应的直角边等于斜边的一半(即AB＝12AC)；(4)勾股定理：如果直角三角形两直角边分别为a，b，斜边为c，那么a2＋b2＝c2；(5)在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于30°判定(1)有一个角为90°的三角形是直角三角形；(2)一条边的中线等于这条边的一半的三角形是直角三角形；(3)有两个角互余的三角形是直角三角形4.等腰直角三角形定义顶角为90°的等腰三角形是等腰直角三角形性质等腰直角三角形的顶角是直角，两底角为45°判定(1)用定义判定；(2)有两个角为45°的三角形,中考重难点突破)等腰三角形的相关计算【例1】如图，等腰△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线MN交AC于点D，且∠DBC＝15°，则∠A＝________．【解析】由线段垂直平分线定理知AD＝BD，∴∠A＝∠ABD，又∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，设∠A＝x，则2(x＋15°)＋x＝180°，∴∠A＝x＝50°.【学生解答】1．(2014扬州中考)如图，已知∠AOB＝60°，点P在边OA上，OP＝12，点M，N在边OB上，PM＝PN，若MN＝2，则OM＝()A．3B．4C．5D．6,(第1题图)),(第2题图))2．(2015舟山中考)如图，在等腰三角形ABC 中，AB ＝AC ，DE 垂直平分AB ，已知∠ADE ＝40°，则∠DBC ＝________．直角三角形的相关计算【例2】(2015宿迁中考)如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AD 平分∠BAC 与BC 相交于点D ，若BD ＝4，CD ＝2，则AB 的长是________．,(例2题图)) ,(例2题解图))【解析】如解图，过D 作DE ⊥AB ，∵∠ACB ＝90°，AD 平分∠BAC ，∴DE ＝CD ＝2，在Rt △BDE 中，DE ＝2，BD ＝4，∴∠B ＝30°，在Rt △ABC 中，BC ＝CD ＋BD ＝6，∴AC ＝63＝23，∴AB ＝23·2＝4 3.【学生解答】3．(2015吉林中考)如图，△ABC 中，∠C ＝45°，点D 在AB 上，点E 在BC 上．若AD ＝DB ＝DE ，AE ＝1，则AC 的长为( )A . 5B ．2C . 3D . 24．如图，在△ABC 中，∠B ＝30°，BC 的垂直平分线交AB 于点E ，垂足为D ，CE 平分∠ACB ，若BC ＝2，则AC 的长为( )A . 3B ．1C . 2D ．2,中考备考方略)1．(2015秦皇岛二模)若实数x ，y 满足|x －4|＋y －8＝0，则以x ，y 的值为两边长的等腰三角形的周长是( ) A ．12 B ．16 C ．16或20 D ．202．(2014滨州中考)下列四组线段中，可以构成直角三角形的是( ) A ．4，5，6 B ．1.5，2，2.5 C ．2，3，4 D ．1，2，33．(2015秦皇岛11中模拟)如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，∠B ＝30°，AD 是△BAC 的角平分线，DE ⊥AB ，垂足为E ，DE ＝1，则BC ＝( )A .3B ．2C ．3D .3＋2(第3题图) (第4题图)4．(2015沧州中考)如图，在锐角三角形ABC 中，AD 、CE 分别是边BC 、AB 上的高，垂足分别是D 、E ，AD 、CE 相交于点O ，若∠B ＝60°，则∠AOE 的度数是( )A ．60°B ．50°C ．70°D ．80°5．(2015保定中考)在△ABC 中，若AC ＝15，BC ＝13，AB 边上的高CD ＝12，则△ABC 的周长为( ) A ．32 B ．42C ．40或42D ．32或426．(2015枣庄中考)如图，△ABC 中，AB ＝4，AC ＝3，AD 、AE 分别是其角平分线和中线，过点C 作CG ⊥AD 于F ，交AB 于G ，连接EF ，则线段EF 的长为( )A .12B ．1C .72D ．7 (第6题图)(第7题图)7．(2015吉林中考)如图，△ABC 中，∠C ＝45°，点D 在AB 上，点E 在BC 上，若AD ＝DB ＝DE ，AE ＝1，则AC 的长为( )A . 5B ．2C . 3D . 28．(2015聊城中考)如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，∠A ＝30°，BD 是∠ABC 的平分线，若AB ＝6，则点D 到AB 的距离是________．(第8题图) (第9题图)9．(2015陕西中考)如图，在△ABC 中，∠A ＝36°，AB ＝AC ，BD 是△ABC 的角平分线，若在边AB 上截取BE ＝BC ，连接DE ，则图中等腰三角形共有( )A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个10．(2014德阳中考)如图，△ABC 中，∠A ＝60°，将△ABC 沿DE 翻折后，点A 落在BC 边上的点A′处，如果∠A′EC ＝70°，那么∠A′DE 的度数为________．11．(2015资阳中考)如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ＝1，E 、F 为线段AB 上两动点，且∠ECF ＝45°，过点E 、F 分别作BC 、AC 的垂线相交于点M ，垂足分别为H 、G.现有以下结论：①AB ＝2；②当点E与点B 重合时，MH ＝12；③AF ＋BE ＝EF ；④MG·MH ＝12.其中正确结论为( )A ．①②③B ．①③④C ．①②④D ．①②③④(第11题图) (第12题图)12．(2015苏州中考)如图，在△ABC 中，CD 是高，CE 是中线，CE ＝CB ，点A 、D 关于点F 对称，过点F 作FG ∥CD ，交AC 边于点G ，连接GE.若AC ＝18，BC ＝12，则△CEG 的周长为________．13．(2015北京中考)如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，AD 是BC 边上的中线，BE ⊥AC 于点E.求证：∠CBE ＝∠BAD.14．(2014承德2中模拟)如图，已知在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，CD 是斜边AB 上的中线，过点A 作AE ⊥CD ，AE 分别与CD 、CB 相交于点H 、E ，AH ＝2CH.(1)求sin B 的值；(2)如果CD ＝5，求BE 的长．15．(2015菏泽中考)如图，已知∠ABC＝90°，D是直线AB上的点，AD＝BC.(1)如下图，过点A作AF⊥AB，并截取AF＝BD，连接DC、DF、CF，判断△CDF的形状并证明；(2)如下图，E是直线BC上的一点，且CE＝BD，直线AE、CD相交于点P，∠APD的度数是一个固定的值吗？若是，请求出它的度数，若不是，请说明理由．。